Книга, которую Вы держите в руках — и, может быть, уже прочитали — повествует о том, как законы истории играли судьбами миллионов людей и о том, как люди постигали эти законы. Сначала они описывали их простыми земными словами: "В древности усилий не прилагали, а для жизни хватало, — писал Хань Фэй-цзы, — народ был малочисленный, и запасов было в избытке. Ныне же иметь пять детей не считается слишком много, поэтому-то народ такой многочисленный и испытывает недостаток в припасах. Поэтому в народе идёт борьба…"
Простые слова понятны всем, но не могут донести до людей всю глубину сокровенного знания. Настоящее знание доступно лишь немногим и передаётся на особом языке — языке математики. Эта маленькая глава предназначена для тех, кто понимает этот язык.
Обозначим p — коэффициент рождаемости (число рождений на тысячу жителей), а q — коэффициент смертности, тогда разность r = p — q будет коэффициентом естественного прироста. В благоприятных условиях, когда этот коэффициент остаётся постоянным, рост численности населения N за время t описывается дифференциальным уравнением
dN/dt = rN.
Известно, что, если в начальный момент t = 0 численность населения составляла величину N то решение этого дифференциального уравнения будет иметь вид
N = N exp(rt).
К примеру, в 1950-1980 годах общемировой коэффициент естественного прироста r был равен 0.018. Это означает, что за время t население вырастает в exp(0.018t) раз. За 50 лет оно вырастает в 2,5 раза, за 100 — в 6 раз, за 300 лет — в 220 раз! Скорость заполнения экологической ниши огромна и быстрое пришествие голода неизбежно — таков основной вывод из заложенной Мальтусом теории экспоненциального роста. Для историка это означает, что перенаселение было обычным состоянием человеческого общества на протяжении многих тысячелетий. Перенаселение и голод вызывают к жизни социалистическую Империю — и мы действительно видим, что реальностью древней истории было господство империй.
Голод меняет динамику воспроизводства населения — к естественной смертности q добавляется голодная смертность Q, которая компенсирует рост численности населения. В экологии обычно рассматривается простейшая модель воспроизводства, когда Q имеет вид Q =rN/K, где K — максимальная емкость экологической ниши. Это означает, что смертность увеличивается пропорционально величине V = N/K — «заполнению» экологической ниши. Мы будем называть величину Q также демографическим давлением, а величину военной смертности — военным давлением. Пусть P — величина пищевых ресурсов местности, а w — минимально возможное душевое потребление. Тогда K=P/w и
Q = rN/K = rw(N/P).
Таким образом, в общепринятой модели демографическое давление обратно пропорционально среднему потреблению продуктов питания P/N. Величину среднего потребления можно найти в демографических справочниках. В 70-х годах эта величина составляла в среднем в мире 2600 ккал, в странах Европы — 3200 ккал, в Мали — 1621, в Эфиопии -1752, в Индии — 1906 ккал. По этим количественным величинам можно судить о демографическом давлении и остроте политического положения в различных странах.
С учетом демографического давления дифференциальное уравнение примет вид
dN/dt = r(1-N/K)N
Это уравнение называют логистическим, а его решение
N = K/((K/N -1)exp(-rt)+1)
— логистической кривой. На начальных участках логистическая кривая ведет себя подобно экспоненциальной кривой, но при приближении к величине К она довольно резко поворачивает к асимптоте N(t) = K — популяция вступает в период экологического равновесия, характеризующийся постоянным голодом.
В общепринятой математической модели считается, что смертность возрастает прямо пропорционально заполнению экологической ниши V. Биологические эксперименты показали, что логистическая модель достаточно хорошо описывает динамику роста различных популяций животных. В 20-х годах было обнаружено, что ее можно применять также и для анализа роста населения в некоторых странах. Например, логистической кривой с К = 60 млн. описывается рост населения китайской империи Хань в I-II вв.н.э (см. рис.).
Конечно, реальные данные переписей могут давать отклонения от теоретических расчётов — это связано с действием случайных факторов, таких, как войны и засухи, однако, в целом, теория вполне согласуется с реальностью. Период, когда логистическая кривая идёт вдоль асимптоты, мы называем Сжатием — это время голода, когда голодающие крестьяне за бесценок продают свои наделы и уходят в города; в это время разрастается помещичья собственность, а государство переживает тяжёлый кризис. В конце концов, голод поднимает народ на восстание, и начинается гражданская война, приводящая к демографической катастрофе и гибели большой части населения. Катастрофа завершает ДЕМОГРАФИЧЕСКИЙ ЦИКЛ; гражданская война приводит к истреблению помещиков и рождению социалистической Империи — государства, которое наделяет крестьян землёй и пытается поддерживать социальную справедливость. Затем начинается новый демографический цикл, население начинает расти, логистическая кривая снова приближается к асимптоте, и снова приходит голод. Крестьяне, несмотря на запреты, продают за бесценок наделы, снова разрастаются помещичьи усадьбы, а монархия оказывается бессильной отвратить приближающуюся катастрофу. Новая революция порождает новую Империю — может быть, лучше организованную и более справедливую, — но затем всё повторяется снова и снова.
Так выглядит история с точки зрения математики.