Развитие представлений о законах сохранения
Идея сохранения появилась ещё в Древней Греции в виде догадки о наличии неизменных субстанций в мире, где все меняется, Древние материалисты пришли к выводу, что материя как неуничтожима, так и нетворима, и является основой всего существующего мира Одновременно, наблюдение изменений в природе приводит к представлению о вечном движении материи как важнейшем её свойстве.
Эти выводы, скорее, философские. Однако были открыты и конкретные их проявления. Например, ещё Архимеду было известно, что произведение силы, поднимающей груз, на длину рычага — величина постоянная, Значительно позднее, с развитием экспериментальной физики, была сформулирована в виде закона сохранения массы идея о неуничтожимости материи. Его независимо установили основоположник российской естественнонаучной школы Михаил Ломоносов (1711–1765) и французский химик Антуан Лавуазье (1743–1794), систематически применявший в химических исследованиях количественные методы.
Теперь обсудим простые и поучительные опыты Галилея. Исследуя падение тел по наклонной плоскости, он обнаружил, что скорость, которую имеет тело у основания наклонной плоскости, не зависит от угла её наклона, следовательно, от длины пути, а зависит лишь от высоты, с которой падает тело. Это не могло не заинтересовать Галилея, и он продолжил исследовать проблему «наоборот». Для этого он придумал маятник, получивший его имя (рис 11.1). На плоской вертикальной доске, на нити подвешивался груз — это маятник. Если груз отвести в сторону, чтобы он был на высоте h по отношению к низшей точке и отпустить, то он, пройдя низшую точку, поднимался на ту же высоту с другой стороны.
Рис. 11.1. Маятник Галилея
Получается, что скорость в нижней точке тратится на то, чтобы снова подняться выше. А изменится ли эта высота, если изменить траекторию подъёма? Для этого по вертикали, на пути нити, Галилей стал вбивать гвоздики на разном уровне. Тогда траектория подъёма стала разной в разных случаях, как на рисунке. Однако высота груза осталась прежней — h.
Следующим исследователем, значительно продвинувшимся к открытию закона сохранения механической энергии, был нидерландский механик, физик, математик, астроном и изобретатель Христиан Гюйгенс (1629–1695). Он поставил задачу исследовать законы механического движения системы тел. Изучая колебания сложных маятников, он пришёл к выводу, что если система тел приведена в движение силами тяготения, то их общий центр тяжести не может подняться выше того уровня, на котором он находился в начале движения. Заметьте — это обобщение результатов опыта Галилея!
Это вдохновило и других учёных. Лейбниц обратил внимание на то, что из законов свободного падения следует пропорциональность высоты, на которую поднимается колеблющееся тело, квадрату его скорости. Поскольку при колебании без трения высота, с которой падает тело, равна высоте поднятия, то, следовательно, сохраняется произведение тν2 . В современной терминологии — это удвоенная кинетическая энергия. Лейбниц назвал это произведение «живой силой» и предложил идею, что Вселенная обладает сохраняющимся запасом «живых сил». Сохранение «живой силы» было установлено в опытах Гюйгенса с соударением шаров, где при ударе двух тел сумма произведений их масс на квадраты скоростей одинакова до и после удара.
Многие учёные уделяли внимание принципу сохранения живых сил. Из исследований упругого сжатия было ясно, что существуют состояния, которые способны отдавать живые силы, частично или полностью. Появилась уверенность, что должен быть переход живой силы в состояние упругой деформации. Однако до чёткого представления о потенциальной энергии и строгой формулировки закона сохранения механической энергии со времён Лейбница пришлось ждать более 100 лет,
Мы не приводим фактов о замечательных прозрениях, когда стало ясно, что все явления в природе взаимосвязаны, и, скажем, механическая работа (а, следовательно, и энергия) может переходить в тепловую, химические явления связаны с электрическими и т. д. Мы ограничимся обсуждением механики.
Понятие потенциальной энергии в чёткой форме появилось в 1847 году в книге великого немецкого физика Гельмгольца. Кинетическую энергию Гельмгольц называл по–прежнему живой силой, потенциальная энергия появилась под именем «количества сил напряжения». Здесь нужно отметить, что понятие работы (произведение силы на расстояние, на котором она действует) сложилось раньше понятия энергии. Закон сохранения энергии Гельмгольц представлял в двух формах.
Первая — обобщённая форма: количество затраченной работы равно количеству полученной энергии.
Вторая — частная — формулируется так: сумма кинетической и потенциальной энергии в замкнутой системе всегда остаётся постоянной.
Для измерения работы эталоном была работа поднятия груза определённой массы на определённую высоту: А = mgh. Чтобы подняться свободно на высоту h, тело должно обладать начальной скоростью ν = (2gh)1/2 . Такую же скорость приобретает тело, если с этой высоты упадёт вниз, так происходит взаимопревращение энергии, причём тν2 /2 = mgh. Таким образом, к середине XIX века были сформулированы законы сохранения массы и энергии. Они трактовались как независимые, и их смысл был в сохранении материи и движения.
Снова вернёмся к временам Ньютона. Ещё в своих «Началах» он ввёл понятие количества движения, которое определяется как произведение массы тела на его скорость — mv. Развитие представлений о сохранении со временем этой величины, как это ни удивительно, шло независимо от представлений о живых силах. Количество движения связывалось со вторым законом Ньютона, где его изменение служило мерой действия силы. В то же самое время произведение массы на скорость рассматривалось как мера движения. Именно исходя из этих представлений, возникла идея о сохранения количества движения.
Первая формулировка принадлежит Декарту, она опубликована в его «Началах философии» в 1644 году. В его понимании закон, без сомнения, существует и его основа — теологическая: «Бог — первопричина движения, он постоянно сохраняет в мире одинаковое его количество». Декарт не дал математического выражения закона, в том смысле, что не написал соответствующих формул, Однако, благодаря ясности его определений, нужды в этом фактически нет: «Когда одна частица материи движется вдвое скорее другой, а эта последняя — вдвое по величине больше первой, то в меньшей столько же движения, сколько и в большей из частиц; и что насколько движение одной частицы замедляется, настолько же движение какой‑либо иной возрастает».
Активнейшим оппонентом Декарту выступил Лейбниц. Он, увлечённый идеей живых сил, как мы уже знаем, считал, что мерой движения является не mv, a mv2, и что сохраняется только вторая, а не первая величина. Возникла путаница, которая долгое время оставалась в умах исследователей и мешала осознать соотношение законов сохранения для живых сил и количества движения.
Развитие динамики Ньютона, шаг за шагом, привело к пониманию, что сохраняются обе величины, Оказалось, что закон сохранения количества движения непосредственно связан со всеми законами механики Ньютона. Действительно, если нет внешних воздействий, то количество движения сохраняется (1–й закон); если есть определённое воздействие внешней силы, то определённым образом меняется и количество движения (2–й закон); для замкнутой системы взаимодействующих тел происходит обмен количеством движения, но поскольку взаимодействия осуществляются, следуя 3–му закону, то в результате общее количество движения сохраняется.
Законы сохранения в СТО
Как выводились законы сохранения и строились сохраняющиеся величины в до релятивистской механике и электродинамике до появления СТО? Преобразованиями в уравнениях движения частиц, механических систем, уравнений поля выделялись специальные комплексы. Их интегрирование приводило к выражениям, которые не изменяются со временем. Это и были сохраняющиеся величины для системы: энергия, количество движения и угловой момент. Эта ситуация сохранялась до конца XIX — начала XX века. Было даже установлено, что количество движения и угловой момент соответствуют смещениям и вращениям плоского евклидова пространства — абсолютного пространства механики Ньютона. Именно эти «движения» являются симметриями пространства Евклида. Но как‑то на этом особо не акцентировалось внимания, и этими симметриями не пользовались для построения сохраняющихся величин. Более того, долгое время оставалась в тени одна из главных симметрий — «смещение» по абсолютному времени, поэтому сохраняющаяся величина «энергия» была сама по себе.
Кроме того, в не релятивистской механике законы сохранения для массы и энергии рассматривались как разные. Однако с построением СТО ситуация стала меняться. Само понятие энергии подверглось обобщению: оказалось, что полная энергия системы включает энергию покоя согласно известному соотношению Эйнштейна Е = mс2 . Согласно этому же соотношению существует взаимное превращение между массой и энергией То есть в релятивистскую энергию, собственно, включена масса, и имеет смысл лишь закон сохранения энергии, объединяющий оба понятия.
Понятие количества движения также получило развитие — в настоящее время эту величину называют импульсом. Поскольку оно определяется скоростью, то это векторная мера движения. Замена термина «количество движения» на «импульс» имеет смысл физического обобщения. Дело в том, что импульсом обладают не только массивные частицы вещества, но и без массовые, такие как фотоны. Для фотона мы не можем написать произведение mv, поскольку у него нулевая масса покоя. Однако известно, что он переносит энергию, она и оказывается прямо связанной с импульсом, который играет роль количества движения. Ясно, что энергия, в отличие от импульса, — скалярная мера движения.
Фактически СТО строилась как теория в пространстве Минковского. А каковы свойства самого пространства Минковского? Это плоское пространство–время, оно обладает 10–ю геометрическими симметриями. Не произойдёт никаких изменений в пространстве Минковского, если произвести смещения, соответствующие этим симметриям. Перечислим их: смещения вдоль каждой из осей — временной и трёх пространственных; три независимых пространственных вращения; три независимых пространственно–временных (лоренцевых) вращения.
Сама СТО была построена как теория, все законы и следствия которой инвариантны относительно вращений Лоренца. Затем очень быстро было установлено, что СТО инвариантна относительно более полной группы движений Пуанкаре (всех 10 смещений в пространстве Минковского).
В чем формально (математически) выражается эта инвариантность, когда изучается материальная система? Движение и взаимодействие материи определяется соответствующими уравнениями движения и/или уравнениями поля. Оказывается, что эти уравнения при каждом из 10–ти перечисленных смещений не изменяются, остаются инвариантными.
Поэтому сама логика построения должна бы навести на мысль, что этой инвариантности должны соответствовать фундаментальные величины. Фактически в 1905–1906 годах все было готово для того, чтобы в СТО (в Пуанкаре–инвариантной теории), основываясь на симметриях пространства Минковского, представить общие правила построения 10–ти сохраняющихся величин. Но этого не произошло. Историки объясняют это тем, что творцы науки того времени были в эйфории от работы по переформулировке всей физики в релятивистскую. До законов сохранения руки просто не дошли.
Первым, кто представил такие правила, был немецкий математик и механик Густав Герглотц (1881–1953). Он вывел законы сохранения из универсальных соображений инвариантности относительно группы Пуанкаре в 1911 году, разрабатывая релятивистскую теорию сплошных сред. Однако поначалу сам не придал этому никакого особого значения. Лишь немного позже фундаментальный смысл этих результатов был осознан замечательным немецким математиком Феликсом Клейном (1849–1925), который его всячески пропагандировал. После чего симметрии пространства Минковского стали основой построения законов сохранения в любой релятивистской теории. В частности, на результаты Герглотца Клейн обратил внимание другого немецкого математика Фридриха Энгеля (1861–1941). Тот свёл в единую форму группу смещений в механике Ньютона. Это так называемая группа Галилея–Ньютона, она объединяет смещения в пространстве Евклида и смещения по времени. А в 1916 году показал в общем виде, что все сохраняющиеся величины (энергия, импульс и момент импульса) в не релятивистской физике могут быть построены из инвариантности относительно движений этой группы, Мы привели этот пример, чтобы подчеркнуть насколько бурным было развитие релятивистской физики. Обоснование и интерпретация законов сохранения в СТО было достигнуты раньше, чем в механике Ньютона!
На основе инвариантности относительно группы Пуанкаре была пересмотрена и иерархия сохраняющихся величин, которые были объединены в единые комплексы. Обсуждая СТО, мы уже установили, что в случае пробной массивной частицы единый смысл имеет 4–вектор энергии–импульса: энергия представляет его временную компоненту, а импульс — три пространственные компоненты. При этом обе эти меры, определяющие 4–вектор, являются составляющими более общей единой меры — релятивистского тензора энергии–импульса ТаЬ (об этом подробнее см. Дополнение 2). Можно сказать, что 4–вектор энергии–импульса дополняется компонентами давления и внутренних натяжений, что в результате даёт тензор энергии–импульса. Этот тензор можно определить и для твёрдых тел, и для набора материальных частиц, и для сплошной среды, и для любого поля, распределённого в пространстве.
Подведём некоторый итог. Предположим, что физическая система в СТО замкнута, т. е. не взаимодействует с внешним миром. Тогда смещению по временной оси соответствует закон сохранения энергии; смещениям вдоль трёх пространственных осей соответствуют законы сохранения для каждой из компонент импульса; трём независимым пространственным вращениям соответствуют законы сохранения компонент углового момента. Наконец, трём независимым лоренцевым вращениям отвечает равномерное и прямолинейное движение центра инерции («центр энергии») всей системы, другими словами, выполняется обобщённый 1–й закон Ньютона, или обобщённый закон сохранения инерции. А если система не замкнута, и есть взаимодействие с другими системами? В этом случае те же симметрии дадут возможность рассчитать изменение величины той или иной физической характеристики (энергии, импульса, и т. д.).
Нелокализуемость сохраняющихся величин в ОТО
Теперь, располагая определённым представлением о сохраняющихся величинах для физических систем в пространстве Минковского, обратимся к ОТО. Прежде всего отметим принципиальную разницу в трактовке пространства–времени. В СТО пространство–время — это арена, на которой разворачиваются физические взаимодействия, это «жёсткий каркас», по отношению к которому определяются сохраняющиеся величины, более того, симметрии «каркаса» однозначно связаны с ними. В ОТО ситуация сложнее: пространство–время играет двойственную роль. С одной стороны, оно остаётся ареной для физических взаимодействий материи, с другой стороны, само является динамическим объектом и участвует во всех взаимодействиях. То есть для того чтобы определить сохраняющиеся величины в ОТО, их нужно определять совместно для материи и гравитационного поля. Более того, пространство–время в ОТО искривляется и меняется со временем, поэтому нет возможности определить симметрии, подобные тем, что определены в пространстве Минковского. Это означает, что нельзя определить сохраняющиеся величины отдельно для материи без гравитационного поля. Этот факт является ещё одним поводом задуматься над определением законов сохранения совместно для материи и гравитационного поля.
Роль пространства–времени, как «жёсткого каркаса», в СТО проявляется ещё и в том, что однозначно и без противоречий определяются плотности сохраняющихся величин. В этом случае говорят, что энергия и другие сохраняющиеся величины локализуются. В противоположность этому, в ОТО, где сохраняющиеся величины нужно определять совместно для материи и гравитационного поля, определение плотностей этих величин не является однозначным. С точки зрения основания гравитационной теории, эта проблема рассматривается как связанная с принципом эквивалентности. Действительно, в малой окрестности свободно падающий наблюдатель ощущает себя в пространстве Минковского. Для него нет ни гравитационного поля, ни его характеристик, представленных энергией, импульсом и т. д. Но если посмотреть со стороны (с точки зрения другого наблюдателя), то падение первого как раз обусловлено действием гравитационных сил, которые совершают работу, ускоряя его. В результате, и лифт, и все его содержимое приобретают энергию, импульс. А это означает, что гравитационное поле обладает теми же характеристиками, Пример с лифтом наглядный и простой. В общем случае ситуация интерпретируется как нелокализуемость не только энергии и импульса, но всех (десяти) сохраняющихся величин ОТО.
Для сравнения вернёмся к теории Ньютона. В отличие от ОТО, здесь все взаимодействия происходят в абсолютном пространстве, и это даёт возможность дать локальные характеристики гравитационного поля. Правда, чтобы быть корректными, необходимо оставаться в рамках теории. Вспомним, что в самой теории Ньютона нет понятия поля. Оно было введено лишь опосредовано, в частности, для сравнения с ОТО. Более того, не определена «энергия покоя», поэтому она не определена и для статического поля. Однако есть понятие гравитационного потенциала, для точечной массы φ = - GM/r. Именно этой характеристикой определяется действие гравитационных сил и, благодаря наличию абсолютного пространства, определяется однозначно.
Многие критики ОТО, апеллируя к свойству нелокализуемости, говорят, что понятие энергии вообще отсутствует в ОТО, что другие сохраняющиеся величины также нельзя определить и использовать в ОТО. Это, конечно, не так. Гравитационное взаимодействие, а следовательно и гравитационное поле, без всякого сомнения, даёт вклад в энергетические характеристики гравитирующих систем, но этот вклад определяется лишь нелокально. Примером может служить двойная система (двойная звезда). Ясно, что эта система существует благодаря гравитационной связи. Но как в ней распределена гравитационная энергия? Если мы запустим наблюдателя в качестве спутника одного из компонентов, то он, конечно, не определит ничего. Действительно, его состояние — это состояние свободного падения, и он себя ощущает как в пространстве Минковского (вспомните состояние невесомости космонавтов на орбитальной станции). Тем не менее, конечно, гравитационная энергия есть в наличии. Давайте извне «впрыснем» в систему энергию, в результате один из компонентов приобретёт достаточную скорость, чтобы покинуть своего собрата. Полная релятивистская (с учётом масс покоя) энергия системы до разлёта меньше, чем после, поскольку для разгона компонентов была добавлена положительная энергия. Разница — это и есть гравитационная энергия, энергия связи. Поскольку она была компенсирована «впрыскиванием» положительной энергии, то является отрицательной. Таким образом, нелокализуемость энергии в ОТО является лишь особым свойством теории.
Эйнштейн о проблеме определения энергии в ОТО
Уже в процессе создания ОТО Эйнштейн уделял особое внимание построению законов сохранения либо для свободного гравитационного поля, либо для гравитационного поля вместе с материальными источниками. Он приходит к выводу, что законы сохранения должны определяться совместно для материи и гравитационного поля, Как оказалось, именно это требование в конечном итоге привело Эйнштейна к правильной формулировке уравнений.
Хотя, конечно, более рационально построить уравнения так, как изложено в Дополнении 5, чтобы удовлетворить требованиям совместности геометрической и материальной частей. Мы привели этот факт, чтобы подчеркнуть, насколько важным оказался теоретический анализ законов сохранения ещё в период построения ОТО.
Эйнштейн, интерпретируя нелокализуемость плотности энергии гравитационного поля, отстаивал точку зрения, что это не недостаток теории, а особое свойство такого поля. Для простых моделей были рассмотрены возможные способы «локализации» гравитационной энергии. Так, рассматривая островную (изолированную) систему, Эйнштейн предложил следующее: «Чтобы можно было говорить об энергии или импульсе системы, плотности энергии и импульса должны обращаться в нуль вне некоторой области В. Это будет только тогда, когда вне области В компоненты метрики постоянны, то есть когда рассматриваемая система как бы погружена в «галилеевское пространство», и мы пользуемся «галилеевскими координатами» для описания окружения системы». В данном случае «галилеевское пространство» играет роль пространства Минковского, относительно которого сохраняющиеся величины в СТО определяются однозначно. В СТО, однако, можно однозначно определить и плотности, а здесь только полные характеристики всей системы, поскольку «галилеевское пространство» определено только в окрестностях системы.
Локализация сохраняющихся величин в ОТО
Слабые гравитационные волны были представлены как метрические возмущения, распространяющиеся в плоском пространстве–времени. Это означает, что вводится некоторое «опорное» фиксированное пространство Минковского. Но его фактически нет в ОТО как теории с динамической метрикой! Но такова постановка задачи: изучение (1) слабых метрических возмущений (2) в плоском пространстве–времени. И (1), и (2) — это ограничения, определённые постановкой задачи, которые в данном случае вводятся везде, во всем физическом пространстве–времени. Эти ограничения позволяют рассматривать только линейные возмущения в пространстве Минковского. Такое исследование принципиально не отличается от исследования электродинамики в пространстве Минковского. У линейного гравитационного поля исключаются не физические степени свободы, аналогично тому, как это делается в электродинамике.
А в итоге получается, что для системы слабых гравитационных волн (этой конкретной задачи) локальные сохраняющиеся величины (плотности энергии, импульса, и т. д.) определяются вполне однозначно.
Опорное, или фоновое, пространство–время не обязательно должно быть плоским, оно обычно определяется характером конкретных моделей или задач. Так, например, для реальных гравитационных волн естественно выбрать в качестве фона пространство–время какого‑либо космологического решения. Конкретный выбор фона является одним из ограничений, которое позволяет корректно говорить о локализации. Гравитационные волны, в силу теории, должны переносить положительную энергию. Именно на этом основан метод детектирования, который заключается в том, что под их воздействием должны смещаться зеркала в интерферометрах. Кроме того, это уже, хотя и косвенно, подтверждено наблюдениями. Для некоторых двойных систем достоверно известно, что их компоненты сближаются. Это означает, что их отрицательная энергия связи по абсолютной величине становится больше, т. е. с гравитационными волнами происходит отток положительной энергии.
В отношении эйнштейновского примера с изолированной системой можно сказать, что также вводится некоторое «опорное» фиксированное пространство Минковского, но не везде, а в очень удалённой окрестности системы, В этом случае также удаётся локализовать сохраняющиеся величины, то есть определить глобальные (полные для всей системы) сохраняющиеся величины. Таким образом, можно определить энергию, импульс и т. д. всего, что «внутри», рассматривая энергию гравитационного поля вместе со всей материей.
Основываясь на этом принципе, можно определить энергию, скажем, чёрной дыры Шварцшильда. Удаляясь от центра, попадаем в почти плоскую область, где возмущения метрики очень слабые. Теперь их можно рассматривать как самостоятельное поле в пространстве Минковского. Характер убывания возмущений позволяет рассчитать полную энергию, которая заключена под сферой, определённой положением наблюдателя. В пределе, на бесконечности получим полную энергию всей системы. Для чёрной дыры Шварцшильда — это mc2 , где m — параметр массы в решении.
В силу сложности определения сохраняющихся величин в ОТО, существует множество методов их построения, среди них встречаются ошибочные, противоречащие некоторым фундаментальным требованиям. Расчёт полной энергии чёрной дыры является одним из тестов на удовлетворение этим требованиям.
Обсуждая решение Шварцшильда, мы отмечали, что это внешнее вакуумное решение, которое может быть в равной степени связано как с чёрной дырой, так и с обычной регулярной звездой. Тогда что получается, если в обоих случаях решение характеризуется одним и тем же параметром m, то обе системы будут иметь одну и ту же полную энергию mc2 ? Так и есть. Несмотря на принципиально различную внутреннюю структуру, и обычная звезда, и чёрная дыра будут иметь одинаковую энергию. Если в случае звезды можно получить эту же полную энергию интегрированием по всему объёму без принципиальных трудностей, то в случае с чёрной дырой они неизбежно возникнут в силу нетривиальной геометрической структуры, связанной с наличием горизонта событий и сингулярности.
Таким образом, эйнштейновское «погружение в галилеевское пространство» и интегрирование по удалённой окрестности элегантно решает проблему определения глобальной энергии (и других сохраняющихся величин) для таких объектов, как чёрные дыры,
Для определения глобальных сохраняющихся величин удалённое фоновое пространство–время не обязательно должно быть плоским, оно также определяется характером конкретных моделей и задач. Будучи искривлённым, оно может иметь симметрии, используя которые можно построить соответствующие сохраняющиеся величины.
В последнее время большое внимание уделяется так называемым квазилокальным характеристикам, например, квазилокальной энергии, которые рассчитываются для конечного объёма. Уравнения ОТО устроены так, что позволяют связать динамику гравитационного поля, вещества и материальных полей внутри объёма с поведением метрики на границе. Тогда оказывается, что если граничные условия для метрики и её производных на границе объёма заданы (известны), то можно определить сохраняющиеся величины для всего объёма.
Рис. 11.2. Эмми Нётер
Рассказывая о законах сохранения, нельзя не упомянуть выдающегося немецкого математика Эмми Нётер (1882–1935).
С её именем связаны различные разделы математики, она является основателем нового направления — абстрактной алгебры. Но для физиков её имя прежде всего связано с законами сохранения, построение которых основано на универсальных принципах, сформулированных и опубликованных в 1918 году. Особо важны теоремы Нётер при анализе и развитии теорий, имеющих внутренние группы симметрий, которым соответствуют разного вида сохраняющиеся заряды. Именно эти теории представляют строение материи во всем её многообразии.
Что касается ОТО, то искривлённое пространство-время, как правило, не имеет симметрий, Поэтому нельзя, пользуясь теоремами Нётер, представить глобальные сохраняющиеся величины в общем случае. Однако ОТО инвариантна относительно общего вида координатных преобразований, здесь использование её принципов вполне продуктивно. Результатом оказываются локальные законы сохранения — обобщённые уравнения непрерывности (см. Дополнение 2).
Энергия замкнутой вселенной Рождение из «ничего»
Мы дали представление как посчитать энергию гравитационных волн и изолированных объектов, то есть наиболее востребованных в исследованиях физических систем. Но можно ли посчитать энергию всей Вселенной? Для открытых миров обычно даётся ответ, что её нельзя определить корректно, либо, что она бесконечна. А вот для замкнутых миров есть вполне определённый ответ. Давайте проведём расчёт в замкнутом мире с помощью квазилокальной техники. Окружим себя сферой какого- либо радиуса, зададим граничные условия, которые будут регулярными (конечными), и, проинтегрировав соответствующее выражение по сфере, определим полную энергию материи и гравитационного поля внутри. Увеличим радиус и снова определим энергию уже внутри большего объёма, и т. д. Чтобы определить энергию всей Вселенной нужно интегрировать по сфере, охватывающей всю Вселенную. А это противоположный полюс (точка), площадь такой сферы нулевая, и, следовательно, интегрирование по ней даст только нуль.
Таким образом, вывод, с которым согласны все или почти все исследователи, состоит в том, что энергия замкнутой Вселенной нулевая. Как это можно объяснить? Вернёмся к примеру двойной звезды. Давайте сравним полную энергию системы до разрыва и после разрыва. Во втором случае, очевидно, энергия больше из‑за того, что была «впрыснута» энергия извне, именно поэтому звезды разлетелись. Другими словами, сумма масс отдельных звёзд больше, чем масса единой системы. Эта разница называется дефектом масс и она возникает из‑за гравитационной энергии связи, которая отрицательна. Тогда для замкнутой Вселенной можно сделать вывод, что отрицательная гравитационная энергия связи настолько велика, что она полностью и точно компенсирует положительную энергию всей материи. Почему так получается? Некоторое обсуждение этой проблемы и вопросов, связанных с ней проводится в Дополнении 8.
Тот факт, что замкнутая Вселенная имеет нулевую полную энергию, никак не зависит от величины радиуса кривизны Вселенной. То есть с расширением такой Вселенной полная энергия не изменится, оставаясь нулевой. Что в деталях происходило на самых ранних этапах, трудно сказать. Это период, когда материя (в привычном для нас понимании) рождалась после распада первичных скалярных полей или как результат чрезмерных «напряжений» пространства–времени (поляризации вакуума). Когда Вселенная расширялась, состояние материи, заполняющей её, менялось. Но, конечно, в любом случае (и в случае замкнутого мира) в её составе мы должны учитывать, кроме обычной материи, и тёмную материю, и тёмную энергию.
Само решение для замкнутого мира появилось как решение уравнений Эйнштейна для однородной плотности энергии ε, которая связана с соответствующей плотностью масс р известным соотношением ε = ρc2. А поскольку полный объём замкнутой Вселенной известен, он равен V = 2π2 a3 (t), то легко посчитать полную массу замкнутой Вселенной: Μ = 2π2 ρa3 . Для простых состояний материи (например, для «пыли», когда отсутствует давление) эта величина не изменяется со временем, поскольку при расширении Вселенной (с ростом масштабного фактора a(t)) плотность масс р соответственно уменьшается. Но мы уже знаем, что, скорее всего, живём в мире, более чем на 70% заполненном «тёмной энергией». А «тёмная энергия», с одной стороны, должна обладать специальным свойством — отрицательным давлением. С другой стороны, плотность её энергии не изменяется при расширении Вселенной. Это сильно отличает её от обычной материи. Все это означает, что если мы живём в замкнутом мире, то, следуя формуле Μ = 2π2 ρa3 , получим, что полная масса Вселенной растёт. За счёт чего это происходит? Ответ один, во Вселенной, вынужденной расширяться из‑за «странных» свойств наполнителя, растёт отрицательная энергия гравитационной связи.
Возвратимся к проблеме рождения Вселенной, о которой упоминалось в главе о космологии. Теперь становится ясно, почему именно замкнутые миры фигурируют в моделях «рождения из ничего». Дело в том, что вероятность рождения Вселенной в виде квантовой флуктуации с характеристиками замкнутого мира (нулевой энергией и т. д.) в разных моделях квантования ненулевые, в то время как для открытых миров эта вероятность тождественно равна нулю. Важным также является то, что при последующем расширении полная энергия остаётся равной нулю, удовлетворяя фундаментальному закону сохранения энергии.