1. Скалярные, векторные и тензорные поля

В основном тексте и далее в Дополнениях мы используем понятия скалярного, векторного и тензорного полей. Чтобы не было дискомфорта при встрече с этими терминами, дадим некоторые пояснения. Лучше начать с вектора. В обычном 3–мерном пространстве он определяется тремя компонентами — проекциями на оси х, у, z. Если представить себе n–мерное пространство, то для определения в нем вектора нужно задать набор n компонент. Тогда говорят, что задано поле вектора и его обозначают, например, va , где а пробегает все координаты, от 1 до n, в общем случае, если мы их пронумеровали А все n значений va и есть те самые п компонент, часто их записывают в виде строки va = [v1, v2, …, vn -1 , vn ] или столбца

Величина va (набор значений) с одним индексом называется тензором 1–го ранга. Поле скаляра, в отличие от вектора, в каждой точке пространства, независимо от его размерности, имеет одну компоненту (функцию от пространственных координат) и записывается как величина без индексов, скажем, ν. Скаляр, как величина без значков, является тензором нулевого ранга, В тексте очень часто встречается понятие метрического тензора gab , который и описывает гравитационное поле. Теперь, имея представление о векторе и скаляре, как о тензорах, смело можно говорить, что метрика — это тензор 2–го ранга и все его компоненты объединены в матрицу. В 4–мерном пространстве–времени это выглядит так:

В силу симметрии gab = gba независимых компонент из 16–ти остаётся 10. Поле метрического тензора задано, если в каждой точке пространства–времени задано 10 функций, представляющих эту матрицу. Аналогичные рассуждения справедливы для других тензоров второго ранга. Если бы мы хотели рассмотреть какой‑нибудь тензор 3–го ранга, мы должны были представить величину с 3–мя индексами, а ей сопоставить 3–мерную матрицу (куб). Важно отметить, что все тензоры обладают общим свойством: при преобразованиях координат они преобразуются по специальному тензорному закону, сохраняя свою прежнюю структуру. Нетензорные величины при преобразованиях координат обычно приобретают дополнительные (по отношение к тензорным) слагаемые.

 

2. Материальные источники

В тексте обсуждается и утверждается, что искривление пространства–времени — это результат воздействия материальных источников. Что они собой представляют и как представлены формально? Эти источники являются материей в самом общем понимании. Они включают в себя все вещество, которое может быть сосредоточено в отдельных телах или распределено дисперсно, и все возможные поля, как статические, так и поля излучения. Обсуждая специальную теорию относительности, мы уже отметили, что энергию и импульс в релятивистской теории нельзя рассматривать отдельно, а правильно рассматривать мерный вектор энергии–импульса, скажем, материальной частицы. Но оказывается, что в искривление пространства-времени свой вклад вносят и другие характеристики материи, такие как напряжения внутри тел, давление Все вместе они образуют тензор энергии–импульса материи Тab .

Далее нам необходимо вспомнить об уравнении непрерывности. Суть его в том, что изменения со временем плотности вещества в данной точке равно скорости притока и оттока со всех сторон. Это один из законов сохранения, иначе его называют уравнением баланса, и он является следствием уравнений движения для вещества. Обобщение этого закона для всего тензора энергии- импульса в искривлённом пространстве–времени означает, что он также должен удовлетворять закону сохранения.

 

3. Построение уравнений Эйнштейна

Теперь мы в состоянии построить уравнения гравитации в ОТО. Как мы рассказали в главе 6, в начале XX века было постулировано, что гравитационное взаимодействие выражается в искривлении пространства–времени. При этом пространство–время искривляется под воздействием материи, которая, в свою очередь, движется в этом искривлённом собой пространстве–времени. Это и есть логическая основа для построения уравнений общей теории относительности. Но как их построить правильно?

Логика очевидна: нужно связать тензор энергии- импульса материи с кривизной пространства–времени. Самый простой и очевидный способ: отнести Тab в правую часть уравнений, а левую определить как некую комбинацию компонент тензора кривизны. Но как это сделать? Дело в том, что все уравнения вместе (гравитационные уравнения и уравнения для материи) должны быть совместны, иначе не будет существовать решений. Но как мы уже отметили, анализ уравнений материи в искривлённом пространстве–времени приводит к выводу, что тензор энергии–импульс а материи должен удовлетворять закону сохранения (непрерывности). Но тогда, чтобы все уравнения были совместны, нужно найти такую комбинацию из величин, связанных с кривизной, и которую мы собираемся написать в левой части уравнений, чтобы она тождественно удовлетворяла такому же закону сохранения. Такая комбинация была найдена — это так называемый тензор Эйнштейна Gab , построенный из компонент тензора Римана, а в конечном итоге зависящий от метрического тензора. Тогда уравнения для гравитационного поля записываются в виде:

Gab = κТab .

Здесь κ — постоянная Эйнштейна, которая выражается через ньютонову гравитационную постоянную G и скорость света с: κ = 8πG/c4. Эти уравнения были построены и представлены Эйнштейном в работах 1915 и 1916 годов на основании соображений, изложенных выше. Практически одновременно они были представлены немецкими математиком Давидом Гильбертом.

 

4. Решение уравнений Эйнштейна

Но если есть уравнения, значит их нужно решать. То есть при ограничениях и условиях каждой конкретной задачи или модели нужно найти метрические коэффициенты в каждой точке пространства–времени и тем самым определить его геометрические свойства. Также необходимо найти, как в этом пространстве–времени распределена, движется и взаимодействует материя. Система гравитационных и материальных уравнений решается одновременно. Если можно так сказать, материя, искривляя пространство–время, распространяется в этом уже искривлённом собой пространстве–времени. То есть процесс «сцепленный». Именно поэтому изначально система гравитационных и материальных уравнений строилась как совместная. Однако чтобы система имела решения, нужно чтобы условия и ограничения модели также не были противоречивыми.

Уравнения Эйнштейна носят локальный характер, как и многие другие уравнения физики. Это значит, что величины, которые в них входят, относятся по отдельности к каждой точке пространства–времени (или его части), где модель определена или задача рассматривается. В этой связи рассуждения, которые привели к уравнениям, требуют дальнейшего пояснения. Может показаться, что если в некоторой точке (и её окрестности) нет материи, то в этой окрестности нет и кривизны. Это, конечно, неправильный вывод. Связь материи и искривлённости пространства-времени была использована, чтобы построить непротиворечивую (совместную) систему уравнений. После того как уравнения представлены, решать их можно (и нужно) и с нулевой правой частью тоже, то есть в отсутствие материи вообще. Эти решения называют вакуумными. Действительно, гравитирующее тело должно «продавливать» пространство–время не только в той части, где оно находится, но и на достаточном удалении, где никакой материи нет, то есть в вакууме. В противном случае просто не будет гравитационного взаимодействия. По этому поводу полезно привести аналогию с упругой плоской линейкой: её нельзя изогнуть только в одном месте, поскольку это будет означать, что она просто сломана. Так и здесь, если бы материя никак не прогибала окружающий вакуум, то на границе всегда возникали бы разрывы в описании различных физических величин, чего не наблюдается.

Уравнения в вакууме нужно решать, чтобы узнать насколько этот вакуум «продавлен» соседней материей. На конец, некоторые решения вакуумных уравнений представляют такие важные решения, как гравитационные волны, которые представляют собой свободное (без всякой материи) распространение метрических возмущений, о чем говорится в главе о гравитационных волнах.

Как только уравнения были получены, Эйнштейн стал искать их важные решения, в том числе и космологические. В то время считалось, что Вселенная статична А статическое космологическое решение никак не получалось — как выяснилось, оно просто не существует. Чтобы спасти статическое решение, Эйнштейн немного изменил уравнения. Это оказалось возможным без нарушения закона сохранения для левой части. К тензору Эйнштейна можно добавить член с так называемой космологической постоянной — Λ. Уравнения Эйнштейна в 1917 году приобрели вид:

Это не помогло — статическое космологическое решение этих уравнений существует, но это решение неустойчиво, следовательно, не может быть моделью реального мира. Тем не менее, понятие космологической постоянной оказалось востребованным, особенно в последнее время.

 

5. Координаты Леметра

В этом дополнении мы обсуждаем координаты для чёрной дыры Шварцшильда, свободные от дефектов на горизонте. Их предложил Леметр, как систему отсчёта, сопутствующую свободно падающим наблюдателям. Смысл её в том, что в каждую точку пространства помещается наблюдатель. Наблюдатели никак не взаимодействуют между собой, они лишь свободно падают к центру, формально представляя собой точки. Каждому наблюдателю приписываются три пространственных координаты, которые вместе образуют пространственные координаты всего пространства–времён и. А собственное время каждо

Рис. Д1. Пространство–время геометрии Шварцшильда в сопутствующих координатах Леметра

го наблюдателя вместе определяет координатное время новой системы отсчёта. Форма решения сохраняет сферическую симметрию, поэтому можно сказать, что Леметр сделал переход от шварцшильдовых координат t и r к координатам сопутствующих наблюдателей (сопутствующей системе отсчёта) τ и R.

Мы не приводим форму решения Леметра, а вот диаграмма на рис. 8.2 в его координатах принимает форму, представленную на рис. Д1. Обсудим её. Наклонные на рис. Д1 соответствуют вертикальным линиям постоянных значений координаты r на рисунке 8.2, включая линии горизонта r = rg и сингулярности r =0. Вертикальные на рис. Д1 — мировые линии сопутствующих наблюдателен. Как видно, они без помех пересекают горизонт.

Проследим за формой световых конусов на рис. Д1. Вне горизонта наклон «лепестков» превосходит 45°, на горизонте он равен 45°, а под горизонтом становится все меньше: конусы сужаются при приближении к «центру». Поскольку распространение лучей света происходит как раз по направлению конусов, а материальных частиц — по мировым линиям внутри конусов, то ясно, что вне горизонта r = rg возможно движение с удалением от горизонта во внешнюю область. По достижении горизонта такое движение невозможно. Под горизонтом становится неизбежным движение к «центру».

 

6. Система отсчёта ускоренных наблюдателей

После того как определены понятия пространства Минковского в главе 5, собственного времени в главе 7 и горизонта событий в главе 8, интересно обсудить пространство–время ускоренных наблюдателей. Пусть один из таких наблюдателей движется прямолинейно вдоль оси х в пространстве Минковского с постоянным ускорением с2 /Х в направлении х. Пусть таких наблюдателей много и их ускорения меняются от бесконечности до нуля, что соответствует изменению X от 0 до ∞.

Рис. Д2. Мировые линии ускоренных наблюдателей

На рис. Д2 на диаграмме пространства Минковского в лоренцевых координатах х и t изображены мировые линии таких ускоренных наблюдателей: каждому наблюдателю соответствует своё значение X. Чем больше ускорение наблюдателя, тем его мировая линия ближе к началу координат. Ускорение каждого из них направлено в сторону увеличения х. Поэтому изначально двигаясь к началу координат, они снижают скорость до нуля при t = 0, а затем движутся в обратном направлении.

Поскольку скорости этих наблюдателей не могут превысить световые, то их мировые линии ограничены световыми конусами: А- 0 и 0A+, они вместе образуют так называемый «угол Риндлера». Кроме того, угол Риндлера — это предельная мировая линия наблюдателя, ускорение которого стремится к бесконечности, Эти конусы имеют смысл горизонта событий. Конус А- 0 является горизонтом событий прошлого — ускоренные наблюдатели никак не могут повлиять на события за этим горизонтом. Конус 0A+. является горизонтом событий будущего, поскольку ускоренным наблюдателям недоступны для наблюдения события за этим горизонтом. Этот горизонт аналогичен горизонту шварцшильдовой чёрной дыры, в чем легко убедиться, сравнив рис. Д2 с диаграммой в координатах Леметра на рис. Д1.

Точно так же, как была представлена пространственно-временная диаграмма для сопутствующих наблюдателей в координатах Леметра, можно представить пространственно–временную диаграмму для равномерно ускоренных наблюдателей. Для этого каждому такому наблюдателю сопоставляют свою пространственную координату со значением X. Тогда метрика пространства Минковского (вернее его части, заключённой в углу Риндлера), в координатах этих ускоренных наблюдателей принимает форму:

Здесь Х0 — произвольный пространственный масштаб, позволяющий сохранить размерность, кроме того, для наблюдателя, у которого X = Х0, эта система является локально лоренцевой. Эти координаты введены американским физиком Вольфгангом Риндлером, и представлены на диаграмме на рис. Д3. Каждому ускоренному наблюдателю соответствует вертикальная прямая с соответствующим значением X. Вертикальная прямая X = 0 соответствует горизонту Риндлера. Если время Т является координатным временем в системе Риндлера, то собственным временем для ускоренного наблюдателя является τ = (g00)1/2T = XT/Х0 как это было определено в главе 7.

Для ускоренного наблюдателя с параметром Х0 собственное время совпадает с координатным. Собственное время ускоренных наблюдателей идёт тем быстрее, чем больше X, и тем медленнее, чем меньше X.

Рис. ДЗ. Координаты Риндлера

В этом проявляется сильный принцип эквивалентности (глава 6) — ускорение имитирует действие гравитационного поля, где ход часов замедляется тем сильнее, чем больше потенциал.

На горизонте собственное время «замораживается», в этом смысле ситуация аналогична поведению собственного времени для наблюдателей в пространстве–времени шварцшильдовой чёрной дыры. Если мы проследим за формой светового конуса, то для наблюдателя Х0 его «лепестки» наклонены под «стандартным» углом 45° (это как раз потому, что для него система Риндлера оказалась локально лоренцевой). Для больших X угол наклона «лепестков» увеличивается, для меньших X — уменьшается. На горизонте «лепестки» световых конусов вообще слипаются, точно также, как на горизонте на диаграмме Шварцшильда, см. рис. 8.2. Горизонт в метрике Риндлера представляет лишь координатную особенность, как и горизонт в координатах Шварцшильда. Но поскольку система ускоренных наблюдателей — это система в пространстве Минковского, то в отличие от решения Шварцшильда, «решение Риндлера» не имеет истинной сингулярности.

Наконец, обратимся к мировой линии покоящегося наблюдателя в пространстве Минковского — на рис. Д2 вертикальная линия x1 = const Она соответствует кривой линии на рис. Д3. Координаты Риндлера охватывают лишь часть пространства Минковского, как видно из рис. Д2, поэтому ясно, что кривая на рис. Д3 отвечает лишь части истории покоящегося наблюдателя на рис. Д2.

 

7. Однородность и изотропия Вселенной

Рис. Д4. Расслоение пространства-времени на пространственные сечения

Приведём более строгие, чем в главе 6, определения однородности и изотропии. Почему это важно? Эти понятия определяются на данный момент времени, а космологическое пространство меняется со временем. В теории Ньютона в этом нет проблемы, поскольку понятие времени абсолютно. В СТО тоже нет больших проблем, определившись с выбором какой‑либо инерциальной системы отсчёта, наблюдатель также имеет единое время. А в ОТО, да ещё в переменном по времени решении, ситуация сложнее. Поясним это на примере того же решения Фридмана: ds2 = c2 dt2 — a2 (t)dl2 . Здесь каждому значению времени соответствует пространство со своим значением масштабного фактора a(t). Пространство–время как бы распадается на слои — пространства, сложенные «стопочкой». Ход времени определяется переходом от одного слоя (пространственного сечения) к другому, а каждый слой отвечает своему единственному моменту времени, На рис. Д4 такое расслоение произвольного пространства–времени изображено символически, каждый слой — это 3–мерное пространство в данный момент времени. Для вселенной Фридмана каждое такое 3–мерное пространство и однородно, и изотропно. Но это про из о шло потому, что для поиска решений Фридман специально выбрал такую удобную систему координат именно с этим определением времени. На самом деле можно выбрать другую систему координат, для которой сечения одновременности уже не будут ни однородными, ни изотропными. В неоднородной же Вселенной подобрать однородные пространственные сечения вообще невозможно.

Теперь можно дать строгое определение: Вселенная однородна, если через каждую мировую точку (событие) проходит пространственное сечение однородности. В каждой точке на таком сечении плотность ρ, давление р и кривизна пространства должны быть одинаковы.

Теперь определим изотропию Вселенной. Рост масштабного фактора означает и расширение материи, заполняющей Вселенную. На каждую частицу расширяющегося вещества можно мысленно «посадить» сопутствующего наблюдателя. Вселенная изотропна если, каждый сопутствующий наблюдатель не может отличить одно направление от другого.

Если Вселенная изотропна, то она автоматически однородна. Действительно, если это не так, то будут какие‑то её части с разной плотностью, давлением и т. п. Но тогда, найдутся выделенные направления к областям с разными характеристиками, а это нарушение изотропии. А вот однородная Вселенная может быть анизотропной. Но для всех сопутствующих наблюдателей эта анизотропия будет одинаковой. Таких моделей Вселенной существуют целые семейства, они до сих пор активно исследуются, Поскольку изотропия Вселенной подтверждена с определённой точностью, то модели с меньшей величиной анизотропии имеют право на жизнь.

В качестве наглядного и простого примера рассмотрим однородную, но анизотропную космологическую модель, предложенную американским математиком Эдвардом Казнером (1878–1955) в 1922 году. Эта вселенная, в отличие не выдумано, а является решением уравнений Эйнштейна. Параметры р1 , p2 , p3 удовлетворяют двум соотношениям р1 + p2 + p3 = 1 и р1 2 + p2 2 + p3 2 = 1. Отсюда следует, что все числа не могут быть равными одновременно, мало того, одно из них всегда отрицательно. Исключение составляют два вырожденных случая.

от фридмановской, без материи, хотя её можно заполнить веществом, но «пробным», так что оно не влияет на геометрию. Решение Казнера, метрика которого имеет вид

Поскольку модель пустая, то пространство характеризуется только значениями кривизны в каждой точке. Эти значения определяются только моментом времени и одинаковы во всех точках пространства, так как метрические коэффициенты не зависят от пространственных координат, то есть пространство однородно. Из ограничений на параметры можно сделать вывод, что эта вселенная расширяется. Действительно, элемент объёма dV = tр1+p2+p3 dxdydz = tdxdydz увеличивается пропорционально времени. Однако увеличивается такая вселенная довольно странно — по двум координатам расширяется (тем, которым соответствуют положительные параметры), а по третьей — сжимается (ей соответствует отрицательный параметр), Очевидно, что это анизотропное поведение.

Казнеровский режим расширения, конечно, не соответствует современному расширению — слишком очевидна его анизотропия, которая не наблюдается. Однако, вблизи сингулярности t = 0, которая имеет место, так же, как и во фридмановском сценарии, решение Казнера представляется интересным космологам. Оказывается, при приближении к сингулярности возникает осциллирующий режим Казнера, когда отрицательный параметр начинает переходить от одного пространственного измерения к другому с возрастающей частотой. Это даёт дополнительные возможности «подобраться» к пониманию физики космологической сингулярности. Связь с вселенной Фридмана, в которой мы живём, в одном из вариантов осуществляется следующим образом. Анизотропная часть модели Казнера трактуется как эффективная материя, которая с расширением распадается с образованием обычной материи. Если и остаётся анизотропия, то она не наблюдается из‑за слабости эффекта.

 

8. Модели Фридмана и критическая плотность

В основном тексте было сказано, что каждой из моделей Фридмана: открытой, плоской и закрытой, соответствуют свои значения плотности энергии ε или плотности массы ρ в соответствии с определением ε = ρc2. Плоской модели соответствует критическая плотность εкp = ρкpc2, открытой — ε < εкp, а закрытой — ε > εкp. Напрашивается очевидный вопрос: в каком мире мы живём?

Рассмотрим ситуацию несколько подробнее. Одно из уравнений Фридмана можно привести к виду:

Здесь ρM означает плотность массы всей материи Вселенной, которую обычно записывают в виде суммы ρM = ρm + ρdm + ρde, где вклад представлен обычной материей (барионы, излучение), тёмной материей и тёмной энергией. Величина к называется знаком кривизны и определяет тип модели Фридмана: гиперболическому пространству соответствует k = -1, плоскому — k = 0, замкнутому — k = +1. В ходе эволюции Вселенной знак кривизны не меняется.

Теперь вспомним, что постоянная Хаббла Н = а/а, и нормируем это уравнение на ρкр = 3H2 /8πG. Тогда оно приобретёт форму:

Модели Фридмана и критическая плотность

Как видно, величина Ωс описывает отклонение от единицы в ту либо другую сторону отношения ΩΜ, а конкретное значение Ωс определяет знак и величину кривизны пространства. Если отклонения нет, то кривизна пространства нулевая. Таким образом, вопрос о геометрии пространства решается, если известно значение ρM .

Однако определить ρM напрямую эмпирически невозможно. Поэтому, наоборот, сначала с помощью наблюдений определяют кривизну пространства. Это делается различными способами. Наибольшим доверием пользуется анализ анизотропии реликтового излучения. Другой способ основан на изучении видимой светимости (блеска) сверхновых известного типа в далёких галактиках, независимом определении расстояний до них и сопоставлении этих данных. Также информацию о типе и величине кривизны получают, исходя из картины крупномасштабной структуры Вселенной.

Кривизна трёхмерного пространства оказывается весьма малой, радиус кривизны, по крайней мере, в 10 раз превышает размеры наблюдаемой части Вселенной. Это соответствует отклонению плотности всей материи от критической |Ωс| < 0,01. Если плотность массы обычной материи ρdm и тёмной материи ρdm известны из эмпирических данных, то плотность тёмной энергии ρde не известна. Фактически она определяется расчётным путём из соотношения ρM ≈ ρкр. И, наконец, поскольку оценка кривизны приблизительна, то пока нельзя сказать какая именно из моделей Фридмана соответствует реальному миру.