Принципы построения
Попытки решить возникшие проблемы чрезвычайно активными были в начале XX века. В результате в 1905 году была окончательно сформулирована специальная теория относительности (далее будем обозначать её СТО) и представлена одновременно в работах Альберта Эйнштейна (1879–1955), и Анри Пуанкаре. Позднее теория была представлена немецким математиком и физиком Германом Минковским (1864–1909) в четырёхмерном формализме, объединяющем пространство и время. До сих пор идут споры — и кто, и что, и кто раньше, а кто позже. В конце главы мы кратко расскажем о взаимоотношениях между учёными той великой эпохи. Вне всяких сомнений, важный вклад внёс каждый из исследователей.
Разные авторы по–разному приводят и формулируют принципы (постулаты), на основании которых построена СТО. Но можно сказать, что существуют два основных принципа, которые обычно представлены явно.
Первый из них — это принцип относительности, согласно которому во всех инерциальных системах отсчёта действуют одни и те же физические законы. Принцип относительности, прежде всего, устраняет различия в проявлениях законов механики и электродинамики при переходе в другие инерциальные системы. Он также исключает идею о неподвижном эфире абсолютного пространства. Часто этот принцип называют принципом относительности Пуанкаре–Эйнштейна, который, конечно, является расширением принципа относительности Галилея на все физические явления.
Второй принцип постулирует постоянство (неизменность) скорости света во всех инерциальных системах отсчёта. Обычно в качестве постулата выбирается некая аксиома, то есть очевидное утверждение, не требующее доказательств. Второй же принцип выглядит скорее парадоксальным, чем очевидным. На первый взгляд он плохо сочетается с принципом относительности. Поэтому можно только восхищаться смелостью и гениальностью создателей СТО.
Остальные принципы иногда озвучиваются явно, иногда скрыты в процессе построений. Они частично перекрываются двумя, отмеченными выше. Как минимум, нужно упомянуть, что все построения (измерение рас стояний и отсчёт времени) ведутся с помощью световых (электромагнитных) сигналов.
Была построена теория, удовлетворяющая этим принципам. Оказалось, что преобразования Галилея нужно заменить преобразованиями Лоренца. Их использование приводит к преобразованиям не только пространственных координат, но и времени, все перемешивая. Таким образом, становится естественным рассматривать пространство и время не по отдельности, а как составляющие единой «арены», на которой рассматриваются физические взаимодействия, — пространственно–временного континуума, или просто пространства–времени.
Напомним, что уравнения электродинамики неизменны (инвариантны) относительно преобразований Лоренца (иначе: лоренц–инвариантны). Это и означает, что законы электромагнетизма одни и те же во всех инерциальных системах отсчёта. Но как быть с законами механики, которые инвариантны относительно преобразований Галилея, но не Лоренца? А эти законы пришлось подправить для случая скоростей близких к скорости света, и их называют релятивистскими законами механики. При малых скоростях тел (значительно меньших световых) релятивистские законы переходят в законы механики Ньютона.
Эффекты СТО
Теперь обсудим наиболее важные и интересные эффекты специальной теории относительности, Многие из них оказались неожиданными для бытового восприятия. Но нет никаких противоречий, просто нам в повседневной жизни не доводится перемещаться с околосветовыми скоростями, а именно тогда эти эффекты становятся наблюдаемыми.
Относительное сокращение длины. Как отмечали Лоренц и Фицджеральд, движение любого объекта влияет на измеренную величину его длины. Представим космический корабль, который проносится мимо нас с большой скоростью. Для нас его размеры уменьшатся. Чем ближе скорость корабля к скорости света, тем более заметным становится этот эффект. При приближении его скорости к световой, сжатие будет стремиться к предельному — нулевым размерам в направлении движения. Что же касается пилота космического корабля, то он не заметит никакого сокращения корабля, зато мы для него сожмёмся. На рис. 5.1 проиллюстрировано релятивистское сокращение длины, где штрихованная система отсчёта движется вдоль оси х.
Относительное замедление времени. Любой наблюдатель, сравнивая ход своих часов и часов в движущейся относительно него системе отсчёта, обнаружит, что последние идут медленнее. Поясним это. Пусть пилот корабля и земной лаборант имеют абсолютно одинаковые часы. Лаборант фиксирует и сопоставляет «тики» своих часов и часов на корабле. Окажется, что для него «космические тики» происходят реже, чем земные. А для пилота, наоборот, земные часы идут медленнее. Этот эффект также становится все более заметным по мере приближения скорости ракеты к скорости света и становится предельным, когда скорость становится околосветовой. Эффект замедления времени касается буквально всего, включая атомные процессы и биологические ритмы, иначе нарушился бы принцип относительности.
Рис. 5.1. Релятивистское сокращение длины
Приведём в качестве иллюстрации пример, подтверждающий как эффект замедления времени, так и эффект сокращения расстояний. Космические лучи — элементарные частицы, попадающие на Землю из космоса, сталкиваются с атомами атмосферы. В результате на высоте около 10 км рождаются новые частицы — мюоны. Время жизни мюонов очень короткое — они распадаются в среднем за 0,000 002 с в собственной системе отсчёта. Если бы не было замедления времени, то они никак не смогли бы пролететь расстояние более 1 км Но, преодолев 10 км, эти частицы долетают до поверхности Земли, где их регулярно регистрируют. Причина видится только в относительном увеличении времени жизни мюонов для земного наблюдателя. Кстати, почему тогда с точки зрения наблюдателя в системе покоя мюона он достигает Земли, ведь для него его часы идут нормально? Здесь нужно вспомнить о сокращении расстояний. Для такого наблюдателя 10 км до Земли значительно сократятся, и он успеет достичь её поверхности за короткое время жизни этой элементарной частицы.
Сложение скоростей. Теперь вернёмся ко второму принципу — постоянству скорости света в любой инерциальной системе отсчёта. Сразу очевидно, что он определяет сложение скоростей, отличное от того, которое следует из преобразований Галилея. Действительно, движение источника света со скоростью V не должно влиять на скорость света с, который он испускает. Это выглядит парадоксально! Однако преобразования Лоренца именно к такому сложению скоростей и ведут. В соответствии с ними, сложение двух досветовых скоростей даёт величину, меньшую их простой суммы, а если одна из скоростей — с, то сложение тоже даёт с!
Многие эффекты СТО противоречат повседневному опыту (интуиции), кажутся невероятными и даже невозможными. Это вызывает сомнения в основах теории у многих людей, интересующихся наукой. Особое неприятие вызывает второй принцип — сложение скоростей. По мнению любителей, скорость света должна складываться со скоростью источника, как следовало бы из преобразований Галилея (баллистическая гипотеза). Неизменность скорости света давно подтверждена напрямую при сравнении света, испускаемого двумя экваториальными краями вращающегося Солнца. Однако сторонники баллистической гипотезы возражают тем, что перед сравнением лучей свет пропускался через оптику телескопа, а пе ре из лучение преломляющей средой как бы приводит к уравниванию скоростей двух пучков.
Чтобы опровергнуть и эти возражения недавно (результаты опубликованы в 2011 году) в центре синхротронного излучения Курчатовского института был произведён опыт. Исследовали излучение сгустка электронов, разогнанного почти до скорости света и запущенного по искривлённой траектории. В этом случае есть большое ускорение, а именно тогда происходит эффективное излучение. По баллистической гипотезе скорость света должна быть близка к двойной световой — 2с. Эффект огромный, его нельзя не заметить. Провели два типа экспериментов. Для первого — свет разделили на два пучка: один пустили напрямую, а второй — через стеклянную пластину, чтобы установить, изменяет ли переизлучение скорость света Затем оба пучка сравнили. Разницы в скорости не было найдено! Во втором эксперименте скорость синхротронного излучения измерили напрямую. Как и ожидалось, она с высокой точностью оказалась равной своему обычному значению — с, никак не 2с. Можно сказать, что это ещё одна непосредственная проверка второго принципа.
Пространство Минковского
Как мы уже отметили, в СТО пространство и время нужно рассматривать как единый четырёхмерный континуум — его называют пространством Минковского. Тогда непривычные (для бытового восприятия) свойства теории объяснять и интерпретировать значительно легче. Пространство Минковского представляют в виде диаграммы
Рис. 5.2. Путь частицы на диаграмме пространство–время
с временной и пространственными осями. На временной оси в качестве отсчёта используется время, умноженное на скорость света — ct, это упрощает анализ, поскольку все данные имеют одинаковую размерность. Пространственные координаты, также для простоты, часто представлены только координатой x, хотя, конечно, подразумеваются все три. Кроме того, в отличие от общепринятых диаграмм, здесь роль функции играет время, а аргумента — пространственные координаты.
Диаграмма пространства Минковского, точно так же, как обычные диаграммы, используется для отображения в виде графика пути, который проходит материальная частица с течением времени. Если частица движется равномерно и прямолинейно — её путь будет прямой линией, а котангенс угла наклона к оси x равен скорости частицы в долях скорости света. На рис. 5.2 изображён путь такой частицы от начала координат до точки А. Прямые, направленные под углом 45°, отображают пути фотонов, движущихся со скоростью света как через начало координат, так и через точку А в разные стороны. Позже мы определим такие «фигуры» как световые конусы. Движение частицы от точки А возможно только внутри конуса, поскольку её скорость не может превышать световую.
Если частица движется произвольно, то её путь будет представлен кривой, а котангенс угла наклона касательной к оси x в какой‑либо точке будет равен скорости частицы в момент, соответствующий этой точке.
Как в СТО, так и в общей теории относительности (мы увидим это позднее) ключевым понятием является метрическое пространство. Под этим понимается некое множество точек, переход между которыми осуществляется непрерывным образом и определено понятие расстояния между ними. Вспомним обычное пространство Евклида. Квадрат расстояния r между началом координат и точкой с декартовыми координатами х, у, z определяется по правилу: r2 = х2 + у2 + z2 . Эта величина всегда положительная, за исключением случая, когда длина равна нулю.
Пространство Минковского тоже метрическое. Однако в нем расстояние между двумя точками называется интервалом и определяется непривычным образом. Квадрат интервала s между началом координат и какой‑либо точкой 4–мерного пространства–времени (рис. 5.2) определяется по правилу:
s2 = c2 t2 — х2 — у2 — z2 = c2 t2 — r2 .
Временную координату ct и пространственные координаты Декарта х, у, и z, представляющие единую координатную сетку в пространстве Минковского, обычно называют координатами Лоренца. Как видно, временная и пространственные части в определении интервала входят с разными знаками. Из‑за этого квадрат интервала может быть положительным, нулевым и даже отрицательным. Пространства, в которых расстояния определяются таким образом, называются псевдоевклидовыми.
Итак, пространство Минковского — это псевдоевклидово метрическое пространство, объединяющее время (длительность) и пространство (протяжённость, 3–мерное пространство Евклида).
Точки в пространстве Минковского называют событиями или мировыми точками. Таким образом, каждой мировой точке соответствует момент времени и точка в 3–мерном пространстве. А интервал — это расстояние между двумя мировыми точками или, в ряде интересных случаев, промежуток времени между двумя событиями.
Теперь попытаемся понять, как в рамках исходной системы отсчёта в пространстве Минковского выглядит другая инерциальная система отсчёта. Оси 0ct и 0x (см. рис. 5.2) в исходной системе образуют базис. Путь наблюдателя, связанного с исходной системой, направлен вдоль оси 0ct. Для него же ось 0x и параллельные ей линии — это сечения одновременности. Наблюдатель другой инерциальной системы движется прямолинейно и равномерно по отношению к первой. Тогда ясно, что его путь направлен вдоль наклонной прямой, например, 0A на рис. 5.2. Для движущегося наблюдателя сечения одновременности также наклонятся. Остаётся сделать вывод: чтобы перейти к базису движущейся инерциальной системы отсчёта нужно осуществить поворот исходного базиса. При этом угол поворота соответствует относительной скорости между системами. Вспомним, что две системы отсчёта связаны преобразованиями Лоренца. Именно поэтому такие повороты базиса называют лоренцевыми вращениями.
На рис. 5.3 на диаграмме пространства Минковского изображён базис неподвижной системы K с не штрихованными координатами, и базис движущейся в направлении оси 0x со скоростью V инерциальной системы отсчёта K’ с штрихованными координатами. Теперь выпишем преобразования Лоренца от одних координат к другим:
Преобразования дают возможность заключить, что обе системы отсчёта эквивалентны. Действительно, если выразить штрихованные координаты через не штрихованные, то получим те же самые преобразования:
с заменой знака «плюс» перед V на «минус» — по отношению к штрихованной системе не штрихов энная движется в противоположном направлении.
Одно из достоинств геометрической интерпретации пространства Минковского состоит в том, что лоренц-инвариантность выражается в инвариантности относительно лоренцевых вращений. В частности, значение интервала, записанного выше, не изменяется после поворота базиса, хотя теперь выражается через новые (штрихованные) координаты нового базиса. Чтобы убедиться в этом нужно лоренцевы преобразования (А) подставить в выражение для квадрата интервала, записанного выше. В результате получим:
то есть s = s'.
В инвариантности интервала нет ничего удивительного — это лишь геометрическое свойство пространства Минковского, а не следствие каких‑то принципов. Действительно, поскольку интервал — это длина в метрическом пространстве, то эта величина не зависит от способов измерения (использования той или иной координатной сетки). Замечательно другое — известные геометрические свойства псевдоевклидовых пространств оказались весьма полезными для описания СТО.
Эффекты сокращения длины, замедления времени, сложение скоростей в СТО являются следствием лоренц-инвариантности. Остановимся на первых двух. Рассмотрим линейку, собственная длина которой l0 — это длина в её системе покоя. Пусть система покоя для выбранной линейка — это система K' , которая движется относительно нас (системы К) со скоростью V. Тогда, если кон
Рис. 5.3. Переход к другой инерциальной системе на диаграмме пространства Минковского
цы линейки имеют координаты x1 ' и x2 ', то l0 = x2 ' - x1 '. Определим длину этого отрезка с точки зрения наблюдателя системы K. Для этого нужно в один и тот же (!) момент времени t определить координаты концов линейки x2 и x1 в системе К. Тогда для нас длина линейки буде иметь величину l = x2 — x1 . Чтобы определить каждое из значений x2 и x1 через соответствующие штрихованные координаты используем первую часть преобразований Лоренца (Б) каждый раз с одним и тем же значением t. Затем составим разницу и получим l = l0 sqrt(1–V2 /c2 ), то есть для нас (покоящейся системы K) движущаяся линейка становится короче.
Подтвердим вывод о замедлении времени. Находясь в системе К будем отслеживать ход часов в системе К' которые находятся в точке х'. Для нас часы в системе К идут одинаково во всех точках, поэтому часы системы K' можно сравнивать с любыми нашими. Не теряя общности, можно предположить, что х' = 0 и моменты первого сравнения в обеих системах также нулевые: t1 ' = t1 = 0.
Вопрос в том, как начнут разниться показания в любой следующий момент сравнения t2 (а для системы K' — t2 '). Теперь удобнее использовать вторую часть преобразований Лоренца (А). Получаем t2 = t2 '/sqrt(1–V2 /c2 ). Как видно, показания часов в нашей системе К будут больше, чем в К', хотя в обоих случаях отсчёт начинался с нуля. Таким образом, движущиеся часы идут медленнее.
На этом этапе важно сделать замечание. Мы все больше убеждаемся, что пространство и время физически объединены в единое целое — пространственно–временной континуум. Действительно, и пространственные, и временные координаты участвуют в единых преобразованиях; инвариантная величина интервал построена как из временных промежутков, так и из пространственных отрезков. Несмотря на это, и пространство, и время сохраняют свою физическую сущность — протяжённость и длительность. Формально это различие состоит в том, что временная часть входит в интервал со знаком «плюс», а пространственная — со знаком «минус».
Мы уже отметили, что квадраты интервалов могут быть положительными, нулевыми и даже отрицательными. Для положительных — временная часть превосходит пространственную, и они называются времениподобными. Нулевые соответствуют распространению света и называются светоподобными; совокупность светоподобных, представляющая распространение световых лучей из какой‑либо мировой точки, образует, так называемый, световой конус в пространстве Минковского. На рис. 5.4 такой световой конус относится к началу координат и делит прост ранет в о–время на две части: внутри и вне конуса. Наконец, для отрицательных квадратов интервалов, пространственная часть превышает временную, и они называются пространственноподобными.
Для нас более интересны времениподобные интервалы. Почему? Отрезок прямой 0А, соединяющий мировую точку внутри конуса и начало координат на рис 5.4 вполне можно интерпретировать как путь материальной частицы, движущейся прямолинейно и равномерно. Скорость её меньше скорости света, и поэтому путь находится внутри конуса. Квадрат интервала между точкой А и началом координат s2 = c2 t2 — хА 2 — положительный, и это относится ко всем мировым точкам внутри конуса, скажем А'. Наклон соответствующих отрезков пути меньше, чем у светового конуса. Если бы мы попытались интерпретировать отрезки пути с наклоном больше, чем у светового конуса, как путь материальной частицы, то
Рис. 5.4. Интервалы в пространстве Минковского
нужно было бы говорить о скоростях больших скорости света. Но для материальной частицы это невозможно, мы об этом ещё скажем.
Продолжим обсуждение времениподобных интервалов. На рис. 5,4 отрезок на временной оси, скажем, от начала координат до точки ct, определяет, конечно, такой интервал. В чем его смысл? Он соответствует наблюдателю, который покоится в этой инерциальной системе отсчёта, а соответствующий интервал определяет промежуток времени жизни наблюдателя между этими событиями: s = ct. После лоренцева вращения этот отрезок станет наклонным. (Другими словами: в другой инерциальной системе этот наблюдатель будет двигаться прямолинейно и равномерно.) Однако, в силу лоренц–инвариантности значение интервала для этого отрезка не изменится, хотя примет другое выражение: s = (c2 t'2 — х'2 )1/2 . Это позволяет сделать важный вывод, давайте его зафиксируем:
Времениподобный интервал s между двумя событиями на мировой линии наблюдателя определяет промежуток собственного времени наблюдателя между этими двумя событиями: τ = s/с. Ещё и поэтому такие интервалы называют времениподобными.
Перейдём к обсуждению с вето подобных интервалов. Отрезок прямой ОС на конусе на рис. 5.4 вполне можно интерпретировать как путь фотона (луча света), движуще го прямолинейно и равномерно со скоростью света. Действительно, лучу света отвечают прямые х = ct и х = -ct. Это как раз подтверждает, что интервал между любыми двумя мировыми точками на такой прямой равен нулю, т. е. светоподобный. Например, между началом координат и точкой С: s2 = c2 t2 — хс 2 = 0, или между началом координат и точкой С', или между точками С и C' и т. д.
А теперь дадим ещё одно определение. Множество мировых точек, описывающее движения в зависимости от времени материальной частицы (в том числе и безмассовой, как фотон) на пространственно–временной диаграмме (в данном случае на диаграмме пространства Минковского) называется мировой линией. Если интервалы для любых двух точек на прямых мировых линиях времениподобны или светоподобны, то сами линии, соответственно, времениподобные или светоподобные. Конечно, мировые линии могут быть и искривлёнными, В этом случае, чтобы они соответствовали реальным частицам необходимо, чтобы углы наклона всех касательных не превышали угол наклона светового конуса. Тогда скорость частицы не превысит световую.
Также не нужно путать понятие мировой линии с обычной траекторией частицы в 3–мерном пространстве. Мировая линия — это путь на пространственной–временной диаграмме, траектория — это след, который оставляет зверёк в зимнем лесу.
Наконец, обсудим пространственноподобные интервалы. Если мы возьмём любую мировую точку вне конуса, скажем В, как на рис 5.4, то квадрат интервала между этой точкой и началом координат s2 = c2 t2 — хВ 2 будет отрицательным, и он будет как раз пространственноподобным. Точно так же, это относится ко всем мировым точкам вне конуса, скажем B', поскольку пространственная часть интервала превышает временную. Наклон соответствующих отрезков больше, чем у светового конуса.
При лоренцевых вращениях в силу инвариантности все интервалы сохранят свои значения, а значит и тип, к которому относятся. То есть все мировые точки, которые были внутри конуса, там и останутся, то же относится к точкам вне конуса. Интересным является поведение светового конуса при таких вращениях. Поскольку скорость света во всех инерциальных системах отсчёта одинакова, то угол светоподобных отрезков не изменится (!), а это значит, что световой конус останется на месте.
На рис. 5.3 световой конус после лоренцева вращения не изменил своего положения, он относится как к покоящейся системе отсчёта с нештрихованными координатами, так и к движущейся — со штрихованными.
Теперь определим ещё одно важное понятие. Если для интервала между двумя событиями s2 ≥ 0, то эти события могут быть соединены мировой линией, которая отвечает реальной частице или лучу света. Такие два события называют причинно связанными.
Если для интервала между двумя событиями s2 < 0, то как бы мы не соединяли эти мировые точки непрерывными линиями, найдутся участки, где наклон касательной превышает наклон светового конуса. Такая линия не может быть отнесена к мировой линии какой‑либо реальной частицы, а события, для которых s2 < 0, называют причинно несвязанными.
Чтобы чувствовать себя уверенней, используя свойства пространства Минковского, полезно осознать, как сравниваются времениподобные интервалы на пространственно-временной диаграмме. Снова возьмём отрезок на временной оси от начала координат до момента f, квадрат его интервала — s2 = c2 t2 . Затем рассмотрим наклонный отрезок прямой (времениподобной), также от начала координат до какой‑либо мировой точки, но с той же временной координатой t (например, точки А, рис. 5.4). Его квадрат интервала — это s2 = c2 t2 - хА 2 . Мы видим, что интервал наклонного отрезка меньше, чем интервал вертикального для одинакового значения t!
Это выглядит парадоксально, ведь визуально все наоборот. Но вспомним, что интервал — это не длина траектории, а время, которое в движущейся системе отсчёта (наклонный отрезок) течёт медленнее, чем в покоящейся. Действительно (рис. 5.3), из преобразований Лоренца следует, что время t'2 движущихся часов меньше времени t2 покоющихся. Ясно, что интервал наклонного отрезка станет ещё меньше, если мы увеличим наклон. Если наклон сравняется с наклоном светового конуса, то интервал обратится в нуль.
В заключение перечислим основные понятия, определённые только что, и утверждения, важные для понимания свойств пространства Минковского:
• метрическое пространство — множество точек, переход между которыми осуществляется непрерывным образом и введено правило определения расстояния между точками;
• мировая точка или событие — точка на диаграмме пространства Минковского (в 4–мерном пространстве-времени);
• мировая линия — совокупность мировых точек на диаграмме пространства Минковского, описывающая движение в зависимости от времени материальной массивной или безмассовой частицы;
• пространство Минковского — псевдоевклидово метрическое пространство, в котором связь между пространственными расстояниями и промежутками времени, разделяющими события, определяется интервалом, сохраняющимся при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой;
•интервал времениподобнып, если его квадрат положительный; в этом случае он эквивалентен промежутку собственного времени наблюдателя, следующего от одного события к другому прямолинейно и равномерно;
интервал светоподобный, если его квадрат равен нулю;
интервал пространственноподобный, если его квадрат отрицательный;
• световой конус в данной мировой точке — совокупность всех с вето подобных прямых, проходящих через эту точку;
• причинно связанные события — события, которые могут быть соединены мировой линией, все касательные к таким линиям имеют наклон, не превышающий наклона с вето подобных прямых;
• лоренцевы вращения — переход в пространстве Минковского из одной инерциальной системы отсчёта в другую;
Теперь, используя представления о пространстве Минковского, продвинемся дальше.
Ещё о свойствах СТО
Эквивалентность инвариантной массы и энергии покоя. Знаменитая формула Эйнштейна. Вспомним обычные определения энергии и импульса из школьного курса, которые используются в не релятивисте кой механике Ньютона. Энергия обычно разделяется на потенциальную и кинетическую. Потенциальная определяется высотой тела над поверхностью Земли. Её исключим из рассмотрения, предполагая, что нет гравитационного поля Земли. Кинетическая энергия определяется массой и скоростью тела:
Импульс определяется простой формулой р = mv, m — инвариантная относительно преобразований инерциальная масса тела, масса покоя. Как изменятся эти величины при переходе к другой инерциальной системе? В рамках преобразований Галилея нужно лишь заменить скорость тела ν на ν' = ν + V, где V — скорость движения одной системы относительно другой.
В специальной теории относительности мы имеем дело с релятивистской механикой. В её рамках энергия движущегося тела и его импульс выражаются формулами:
Как релятивистские энергия и импульс преобразуются при переходе от одной инерциальной системы к другой? Ответ простой: с помощью преобразований Лоренца. Релятивистские энергию и компоненты импульса (для сохранения размерности — cp) можно мыслить, как компоненты единого 4–х вектора в пространстве Минковского, который называют вектором энергии–импульса. Строим квадрат длины этого 4–мер но го вектора точно так же, как был построен квадрат интервала между событиями Как и интервал, эта величина инвариантна относительно поворотов Лоренца и всегда имеет значение:
Знак минус и здесь отражает тот факт, что пространство Минковского — псевдоевклидово. Легко видеть, если частица покоится и р = 0, то её полная энергия выражается знаменитой формулой: Е = тс2 . Это согласуется с релятивистским выражением для энергии, если там положить ν = 0, и приводит к выводу, что вся масса покоя тела может быть превращена в энергию, а энергия может обращаться в массу покоя.
Представим релятивистские энергию и импульс для малых скоростей ν: они переходят в не релятивисте кие Е = mc2 - + Еk (где второе слагаемое — обычная кинетическая энергия, она определена выше) и р = mν. Как видим, здесь не релятивистская энергия отличается от кинетической энергии Ньютона на величину, которую мы уже назвали энергией покоя. То есть в СТО у массивных частиц состояний с нулевой энергией не бывает.
Кроме этих выводов, сделаем ещё один: в СТО естественным образом описываются частицы с нулевой массой покоя m = 0, такие как фотон, для них E2 = (cp)2 . Очевидно, что в пространстве Минковкого они распространяются со скоростью света. Действительно, длина 4–вектора энергии–импульса для них равна нулю, т. е. их мировые линии лежат на световом конусе.
«Утяжеление релятивистской массы». Иногда в литературе, особенно часто — в популярной, встречается понятие «релятивисткой массы», Откуда оно взялось? В выражениях для релятивистских энергии и импульса инвариантную массу покоя можно заменить выражением:
Эта величина и называется релятивистской массой. Тогда релятивистская энергия приобретает форму формулы Эйнштейна Е=m'c2 , а релятивистский импульс форму обычного импульса p = m'ν. Ясно, что с возрастанием скорости ν, величина m' увеличивается, а при ν = c обращается в бесконечность Возможно, это выглядит как яркий пример в популярной литературе. Но исследователи, как правило, этой величиной не оперируют, чтобы не создавать путаницы, ведь релятивистские энергия и импульс ведут себя точно так же. Действительно, они растут с увеличением скорости, Но для реальных тел ни энергия, ни импульс не могут достигать бесконечных значений. Это значит, что объекты с ненулевой массой покоя не могут достичь скорости света, а их траектория всегда находится внутри светового конуса. Куда удобнее использовать массу покоя, которая является инвариантной величиной.
Парадокс близнецов
Представления о пространстве Минковского помогают разобраться и с так называемым парадоксом близнецов. Он связан с эффектом относительного замедления времени. Это мысленный эксперимент, в котором рассматривают двух близнецов, один из которых решил отправиться в космическое путешествие. В соответствии с релятивистским замедлением времени каждый из близнецов считает (и это подтверждается его наблюдениями), что часы другого близнеца идут медленнее, чем его собственные. Но тогда, когда путешественник вернётся, окажется, что каждый из них должен обнаружить своего брата моложе, чем он сам! Это и есть парадокс. Так кто из них будет моложе при встрече после путешествия?
На самом деле парадокс сформулирован точно так же, как многие детские загадки, когда важные детали замалчиваются. Об их существовании нужно догадаться.
Парадокс был бы, действительно, парадоксом, если бы положение близнецов было симметричным. Но так ли это? Путешественник, прежде чем полететь к звёздам, должен разогнаться до высоких скоростей, потом, где‑то там далеко, развернуться, а вернувшись к Земле, замедлиться, чтобы встретиться со своим братом. Ничего этого не происходит с братом–домоседом. Как минимум, во время трёх периодов своего путешествия космонавт будет испытывать ускорения. Поэтому, строго говоря, на пространственно-временной диаграмме мировая линия брата-путешественника будет кривая:
Качественно проблему можно решить, представив мировую линию путешественника в виде ломаной, состоящей из двух отрезков, как показано на рис. 5.5, ускорения «скрыты» в изломах этой ломаной. Мировая линия брат а–домоседа совпадает с осью времени, Сравним интервал отрезка прямой на оси времени между событиями α (расставания) и w (встречи) с суммой интервалов отрезков ломаной. Прежде всего, отметим, что наклонные отрезки ломаной линии времениподобные, поскольку описывают движение материального тела. Но тогда из наших рассуждений о сравнении интервалов на рис. 5.4 следует, что интервал каждого из наклонных отрезков меньше половины интервала отрезка aw, то есть интервал всей ломаной меньше, чем весь интервал aw. Но интервал отрезка мировой линии наблюдателя равен промежутку его собственного времени, Поэтому брат–путешественник при встрече будет моложе.
Тот же вывод можно сделать по–другому. Нанесём на наклонных мировых значения собственного времени путешественника и соединим их с точно такими же значениями для времени на мировой линии домоседа. Получим два набора параллельных линий, как на рис. 5.5, первый набор синхронизован на момент их разлуки и в будущее, второй набор синхронизован от момента встречи и в прошлое. Эти наборы параллельных линий всегда пространственноподобны, они не имеют никакого отношения ни к световым конусам, ни к реальным наблюдателям. Очевидно, домосед проживёт больше времени, см. рис 5.5. Отрезок на временной оси, не получивший своих точек-двойников на ломаной линии, определяет — насколько домосед будет старше путешественника при встрече.
Ситуация на рис. 5.5 несколько утрирована. Получается, что брат–путешественник стартовал с бесконечным ускорением, затем развернулся с бесконечным ускорением, и т. д. Реальная мировая линия брата–путешественника конечно плавная, соответствующая конечным ускорениям. Однако выводы не изменятся. Мы можем кривую аппроксимировать ломаной, причём с любой точностью. А анализ ломаной мировой линии, имеет она два отрезка, как на рис. 5.5, или любое другое количество отрезков, принципиально не отличается. Другими словами, парадокса не возникает, если не нарушаются правила вычисления интервалов. Тогда результат всегда таков: интервал отрезка αw на рис. 5.5 больше интервала, измеренного вдоль любой другой мировой линии, соединяющей события α и w. Та есть собственное время домоседа всегда больше собственного времени любого путешественника из α в w.
Некоторые особенности ускоренных наблюдателей обсуждаются в Дополнении 6, которое лучше читать после главы 8 (о чёрных дырах).
Пуанкаре и Эйнштейн
В исторической литературе о науке много внимания уделяется взаимоотношениям создателей СТО в начале прошлого века. Иногда оценки разнятся чрезвычайно, К сожалению, часто доходят до крайностей, ничем не обоснованных. Можно было бы об этом просто не писать, но великие создатели великой теории тоже были людьми. Взаимоотношения были частью их жизни и, так или иначе, были связаны и с их творчеством.
Поскольку основными создателями СТО по праву считаются Пуанкаре и Эйнштейн, то на их взаимные отношения и отношение к ним научного сообщества обратим особое внимание. Весьма взвешанная оценка тех событий дана в послесловии (которое называется «Истоки релятивизма») в книге А. А. Тяпкина и А. С. Шабанова «Пуанкаре», вышедшей в 1979 году в серии «Жизнь замечательных людей». Поэтому, в основном, будем следовать изложению этого послесловия, иногда вставляя собственные комментарии. Но прежде, совсем немного об Анри Пуанкаре.
Математические таланты Пуанкаре проявились уже в престижной Политехнической школе. Там он опубликовал свою первую научную работу по дифференциальной геометрии. В 1875 году его приняли в ещё более авторитетное заведение — Горную школу, где в 1879 году он защитил докторскую диссертацию, которая была оценена как «заслуживающая многих хороших диссертаций».
После этого Пуанкаре преподавал в нескольких университетах, иногда одновременно. Опубликовал несколько важных статей, фактически создавая новые разделы математики. Его исследования тесно связаны с небесной механикой и астрономией.
В 1887 году король Швеции Оскар II объявил математический конкурс и предложил участникам на выбор четыре темы. Самой сложной была первая: рассчитать совместное движение тел Солнечной системы. За неё и взялся Пуанкаре. Для решения этой проблемы, как минимум, необходимо было решить задачу совместного движения трёх тел. Пуанкаре показал, что задача трёх тел не имеет аналитического решения, но предложил эффективные методы приближённого решения. Эта работа и последовавшие за ней содержат идеи, ставшие базовыми для «теории хаоса».
Позднее Пуанкаре реализует замысел создания качественной геометрии, или топологии. С начала XX века он много занимается философией математики, ролью интуиции в науке. Однако основной сферой интересов в это время становятся физика.
Рис. 5.6. Анри Пуанкаре
О Пуанкаре как о человеке современники отзывались исключительно хорошо. Он никогда не участвовал в скандалах, всегда был доброжелательным. В научных спорах был твёрд, но вежлив.
Теперь перейдём к событиям великой эпохи.
Начнём с того момента, когда преобразования Лоренца стали известны его современникам, пытающимся распутать клубок противоречий. Пуанкаре одним из первых понял, что необходима инвариантная относительно этих преобразований механика. И он впервые представляет уравнения классической механики в групповых переменных (инвариантной форме). Но в трудах учёных, развивавших это направление, не найдёшь ссылок на новаторскую работу французского математика и механика. Возможно, она была слишком математезирована, возможно, его коллеги в то время «были не в теме» — статья была опубликована в 1901 году. Цитировать стали опубликованные только в 1904 году две статьи немецкого механика Георга Гамеля (1877–1954), в которых он тоже приходит к инвариантной записи уравнений движения.
В специальной теории относительности инвариантный подход получил дальнейшее развитие. И здесь первый шаг был сделан Пуанкаре, чётко сформулировавшим требование инвариантности законов всей физики относительно преобразований Лоренца. Замечательный немецкий математик Феликс Клейн (1849–1925) писал впоследствии: «То,
Рис. 5.7. Альберт Эйнштейн
что современные физики называют теорией относительности, является теорией инвариантов четырёхмерной области пространства-времени… относительно… «лоренцевой группы».
Долгие годы инвариантное представление теории относительности целиком приписывалось Минковскому, развившему его несколько лет спустя. Но надо сказать, что в позднее время, когда требование инвариантности стало в физике нормой теоретического знания, учёные отдают должное Пуанкаре в становлении этого фундаментального подхода. Сейчас релятивистская инвариантность любой физической теории в плоском пространстве–времени формулируется как инвариантность относительно группы Пуанкаре. Введённые им преобразования более общие, чем преобразования Лоренца. К этому позднему признанию научная общественность пришла после длительного замалчивания вклада французского учёного в новую величайшую теорию физики.
Необходимо, конечно, отметить, что кроме отношений учёных между собой было противостояние научных школ, и это сказывалось с самого начала построения СТО. Тенденциозность представителей немецкой физической школы не исчезла после смерти Пуанкаре. В 1913 году в Германии вышел сборник работ классиков релятивизма под редакцией видного физика–теоретика Арнольда Зоммерфельда (1868–1951). В нем были опубликованы статьи Лоренца, Эйнштейна и Минковского. Работы Пуанкаре не были включены ни в это первое, ни в последующие издания сборника. Умалчивая о его достижениях, немецкие физики упорно представляли Эйнштейна единственным создателем теории относительности, Лоренца — его предшественником, а Минковского — последователем.
Французская школа физики оказалась слишком слабой и несамостоятельной, чтобы предпринять какие‑либо серьёзные шаги для защиты приоритета своего знаменитого соотечественника. Поль Ланжевен (1872–1946), наиболее авторитетный из французских физиков, не проявил настойчивости в своих попытках изменить уже сложившееся мнение. В своём докладе 1913 года, обсуждая различные аспекты новой теории, он неоднократно отмечает вклад Пуанкаре. В том же году Ланжевен публикует статью, посвящённую достижениям Пуанкаре в физике, в которой подчёркивает, что французский учёный в то же самое время пришёл к тем же самым результатам, что и Эйнштейн. Но в последующем Ланжевен уже не вспоминает об этом. Таким образом, даже во Франции Пуанкаре не снискал популярности как один из создателей теории относительности.
Было бы, наверное, правильно кому‑то из виднейших учёных заявить о неоспоримости заслуг Пуанкаре в создании новой теории, и факты неминуемо привели бы научную общественность к необходимости дополнить родившуюся в Германии версию происшедшего в физике переворота Это произошло, но далеко не в полной мере, В 1914 году крупнейший физик Лоренц выступил в журнале «Акта математика» с яркой статьёй о двух работах Пуанкаре. Отмечая, что страницы его статьи «не могут дать хоть сколько‑нибудь полного представления о том, чем теоретическая физика обязана Пуанкаре», Лоренц совершенно по–новому освещает значение работ французского учёного, подчёркивая его приоритет в развитии теории, пост роением которой занимался и он сам. «…Я должен, прежде всего, сказать, что меня весьма ободрил благосклонный интерес, который неизменно проявлял Пуанкаре к моим исследованиям, — пишет голландский физик, — Впрочем, вскоре будет видно, насколько он меня превзошёл».
Говоря о преобразованиях, которым Пуанкаре дал его имя, Лоренц признается, что он «не извлёк из этого преобразования все возможное… Это было сделано самим Пуанкаре, а затем Эйнштейном и Минковским». Далее Лоренц отмечает, что он не смог достигнуть полной инвариантности уравнений. «…Я не установил принципа относительности как строгую и универсальную истину. Напротив, Пуанкаре получил полную инвариантность уравнений электродинамики и сформулировал «постулат относительности» — термин, впервые введённый им… Добавим, что, исправляя, таким образом, недостатки моей работы, он никогда в них меня не упрекнул». В конце статьи Лоренц обращается к четырёхмерному математическому представлению, введённому Пуанкаре в новую теорию. «Напоминаю об этих идеях Пуанкаре потому, что они близки к тем методам, которыми пользовались позже Минковский и другие учёные для облегчения математических действий, встречающихся в теории».
Какие причины того, что бесспорные достижения Пуанкаре в то время оставались в тени? Одна из них в том, что сформировавшееся мнение трудно разрушить. Поэтому предпринятые отдельными учёными попытки более полного и объективного описания истории рождения СТО наталкивались на сопротивление сторонников широко распространившегося уже мнения о том, что Эйнштейн является её творцом. Именно поэтому без внимания остались цитированные выше высказывания Лоренца о решающем вкладе Пуанкаре в эту теорию. Кроме того, нужно не забывать о противостоянии научных школ, а вместе с тем, и о политическом противостоянии перед Первой мировой войной и во время неё. Пуанкаре был французом, а это враждебная Германии страна — учёные тоже люди и разные.
Возможно, некоторые оценки появлялись и без ведома учёных. Вернёмся к оценкам Лоренца, В 1912 году он обсуждает свои собственные результаты 1904 года: «Можно заметить, что в этой статье мне не удалось в полной мере получить формулы преобразования теории относительности Эйнштейна.., Заслуга Эйнштейна состоит в том, что он первый высказал принцип относительности в виде всеобщего, строгого и точно действующего закона». Неизвестно, откуда был взят издателями сборника этот текст, но в публикациях Лоренца таких утверждений не появлялось. Возможно, примечание было получено специально к данному сборнику или добавлено редактором (?).
Очень интересно и важно мнение молодого швейцарского физика Вольфганга Паули (1900–1958), будущего великого учёного, В 1921 году он написал для «Математической энциклопедии» обширную статью «Принцип относительности». Его краткий исторический обзор, изложенный всего на пяти страницах, в течение нескольких десятилетий является самым точным и непредвзятым освещением истории нового физического учения. В своей статье Паули ссылается на многие ранние исследования, способствовавшие возникновению этой теории. Для более подробного рассмотрения он выделяет три основные работы — Лоренца, Пуанкаре и Эйнштейна, «в которых были установлены положения и развиты соображения, образующие фундамент теории относительности». Затем Паули перечисляет все основные результаты, полученные впервые Пуанкаре. «В работе Пуанкаре были заполнены формальные пробелы, оставшиеся у Лоренца, — пишет он. — Принцип относительности был им высказан в качестве всеобщего и строгого положения». Что же касается работы Эйнштейна, то она была выделена, прежде всего, как «изложение совершенно нового и глубокого понимания всей проблемы». Далее шло подробное изложение этого понимания теории, в котором центральное место отводилось формулировке принципа относительности, распространённого на электромагнитные явления, и относительному характеру одновременности. Но Паули не знал, что именно эти важные для понимания вопросы были впервые рассмотрены в ранних работах Пуанкаре.
Написанное Паули историческое введение вносило существенное уточнение в картину создания теории относительности. Казалось бы, оно должно быть учтено во всех последующих изложениях и исторических изысканиях по этому вопросу. Но этого не случилось, несмотря на то, что в целом замечательная работа Паули заслужила признание как одно из лучших изложений теории относи тельности. При этом никто не опровергал и не оспаривал приводимые в ней исторические факты и выводы, к ним старались не привлекать внимания. Сам Эйнштейн с восторгом отзывался о книге Паули (а значит и соглашался с оценкой вклада Пуанкаре), но при этом ни разу явно не высказал своего отношения к оценке фундаментальной работы Пуанкаре.
Один из примеров спора в отношении приоритета связан со знаменитым соотношением между массой и энергией. Его обычно называют именем Эйнштейна. Однако ещё в 1900 году Пуанкаре пришёл к результатам, из которых это выражение непосредственно следовало для электромагнитного излучения. По–видимому, Эйнштейн, получивший эту связь в статье 1905 года также лишь для электромагнитного излучения, опирался на его идеи. И это подтверждается ссылкой на работу Пуанкаре в следующей статье Эйнштейна 1906 года — в её вводной части Эйнштейн фактически признает приоритет Пуанкаре. Заслуга Эйнштейна заключается в том, что закон, полученный первоначально лишь для лучистой энергии, он обосновал для всех форм энергии, что, конечно, более важно. А это даёт полное основание называть знаменитую формулу его именем. Однако многие авторы умалчивают (не знают?) о решающем значении предшествующих работ, безусловно оказавших влияние на молодого Эйнштейна Нет никакой необходимости принижать их роль.
Преемственность идей — общий закон развития научного познания. Достигнуть новых вершин можно лишь опираясь на результаты предыдущих исследователей. Конечно, воспринять и развить ранее высказанные новаторские идеи может только проницательный ум, обладающий большой смелостью суждений. И работы Эйнштейна сразу же выдвинули его на видное место среди знаменитостей того времени. Его понимание и изложение всей проблемы оказали огромное влияние на современников, способствовали признанию теории, которую не принимали или не понимали многие даже выдающиеся учёные. Однако для доказательства несомненных заслуг Эйнштейна не требуется преуменьшать значение других исследований по теории относительности.