Решение Шварцшильда

Для того чтобы обсудить многие эффекты ОТО, необходимо познакомиться с одним из самых важных решений (а возможно, и самым важным) уравнений ОТО — решением немецкого астронома Карла Шварцшильда (1873–1916). Оно получено в 1916 году, всего лишь через несколько месяцев после публикации Эйнштейном своих уравнений гравитационного поля. Это решение соответствует статическому сферически симметричному вакуумному пространству–времени. (О вакуумных решениях уравнений Эйнштейна см. Дополнение 4.) Слова, выделенные курсивом — это условия (ограничения), при которых искалось решение. Эти же условия определяют, чему в реальности должно соответствовать найденное решение — это пространство–время вокруг изолированного сферически симметричного тела. «Изолированного» — это в идеале, а в реальности — вокруг тела, достаточно удалённого от всех остальных тел. Таким образом, в очень хорошем приближении это решение описывает и гравитационное поле вокруг Солнца и каждой из планет Солнечной си стемы, шаровых звёздных скоплений. Поэтому с использованием именно этого решения были проверены первые эффекты ОТО.

Решение Шварцшильда в математическом плане простое, поэтому мы немного с ним повозимся, Собственно, решением уравнений явилась метрика:

Здесь также в силу сферической симметрии мы опустили угловую часть, оставив только временную и радиальную. С — постоянная интегрирования, без дополнительных предположений или принципов её определить невозможно. Здесь самое время обратиться к принципу соответствия. При «бесконечном» удалении от центра r → ∞ эта метрика обращается в метрику пространства Минковского в сферических координатах, точно так же, как и метрика пространства–времени Ньютона, которую мы уже обсуждали. Значит, на достаточном удалении нам необходимо сравнить новую метрику с метрикой пространства–времени Ньютона, обсуждавшейся в предыдущей главе. При аккуратной процедуре приближения оказывается, что здесь основное возмущение в метрику плоского мира вносится только первым слагаемым в выражении для интервала. Нужно сравнить его с аналогичным членом в метрике Ньютона. Это нам даст C = -2GM/c2 , после чего метрика Шварцшильда запишется в окончательном виде:

где величина rg = 2GM/c2 называется гравитационным радиусом. Мы так подробно обсуждаем решение Шварцшильда потому, что это ещё и базовое решения для чёрных дыр, речь о которых впереди. Также потом мы обсудим смысл гравитационного радиуса. А сейчас важно отметить, что появился параметр, определяющий решение, — это масса тела М, обращение в нуль этого параметра превращает решение Шварцшильда в метрику плоского мира.

 

Классические тесты теории Эйнштейна

Теперь мы во всеоружии, чтобы перейти к классическим тестам, подтвердившим ОТО. Уже в 1915 году, сразу после опубликования своих уравнений, Эйнштейн назвал три эксперимента, результаты которых должны соответствовать выводам новой теории.

Первый из этих экспериментов — отклонение луча света в гравитационном поле массивного тела. Из‑за слабости эффекта в роли массивного тела в то время могло выступить только Солнце. А отклонять оно может свет далёкой звезды, координаты которой известны достаточно точно.

Второй эксперимент — смещение перигелиев планет. Мы уже говорили об аномальном смещении перигелия Меркурия, о котором было известно с середины XIX века.

Третий эксперимент — эффект гравитационного красного смещения. Его суть в том, что электромагнитное излучение, испущенное из окрестности гравитируещего тела, должно терять энергию. Это выражается в том, что частота сигнала уменьшается, то есть его спектр смещается в красную сторону. Для точного теоретического описания этих эффектов как раз было необходимо решение Шварцшильда, которое не замедлило появиться, как мы уже отметили и только что представили.

Отклонение луча звезды в гравитационном поле Солнца. Начнём с отклонения света и истории обсуждения проблемы, начавшейся задолго до релятивистской эпохи. Известно, что отклонение лучей света от прямой линии обсуждалось после создания Ньютоном классической механики, и как части её — оптики. Сам Ньютон был убеждённым сторонником корпускулярной теории света. А раз так, то «световые частицы» должны двигаться в поле тяготеющего центра точно так же, как и всякие другие тела — по линиям конического сечения. Поскольку скорость света Ньютону уже была известна (она очень большая по сравнению со скоростью планет), то траектории «световых частиц» должны быть скорее гиперболическими. Ньютону было известно, конечно, как вычислять угол между асимптотами, см. рис 7.1. Поэтому очень вероятно, что Ньютону была известна формула типа a = 2GM/c2 R. Она как раз определяет угол отклонения в поле тела массы М частицы, движущейся со скоростью света на расстоянии R от тела. Скорее всего ему была известна также величина отклонения луча света вблизи поверхности Солнца, поскольку все необходимые значения констант ко времени опубликования «Начал» были известны. Однако часто Ньютон не публиковал результаты, а форма представления их была очень сложной. Поэтому не известно наверняка, что Ньютон эту формулу выписывал. Кроме того, по тем временам не представлялось возможным измерить это отклонение света в поле Солнца, что могло поубавить заинтересованность в проблеме.

Рис. 7.1. Отклонение луча звезды в гравитационном поле Солнца

Хотя приведённая формула не была опубликована, она фигурировала в переписке нескольких учёных. Наконец, в 1801 году немецкий астроном Иоганн Георг фон Зольднер (1776— 1833) представил в Берлинский астрономический ежегодник статью об отклонении луча света в гравитационном поле звезды, которая была опубликована в 1804 году и содержала эту замечательную формулу. Однако даже после публикации, она осталась на долгое время забытой.

О формуле Зольднера вспомнили в 1911 году, когда Эйнштейн в рамках специальной теории относительности получил точно такую же. К началу XX века телескопы уже давали возможность измерить угол отклонения луча света вблизи Солнца. Однако для такого измерения было необходимо затмение Солнца Луной, чтобы были видны звезды вблизи его края. Группа астрономов из Берлинской обсерватории заинтересовалась предсказаниями Эйнштейна и собралась провести измерения во время предстоящего полного солнечного затмения в Крыму в августе 1914 года, но началась Первая мировая война. А теория тем временем развивалась. В 1915 году на основе уже общей теории относительности, Эйнштейн получил новое значение для угла отклонения:

в два раза большее зольднеровского или своего 1911 года. Последовательный вывод этой формулы производится с помощью решения Шварцшильда. Уравнение траектории луча задаётся, как светоподобная геодезическая в пространстве–времени Шварцшильда, она имеет простой вид: ds2 = 0. Единственным исходным условием должно быть направление света далёкой звезды на край Солнца, то есть при расчётах учитывается тот факт, что луч проходит от тяготеющего центра на расстоянии радиуса Солнца R.

Итак, после этого заявления Эйнштейна нужно было проверять обе формулы, Наконец, во время ближайшего полного солнечного затмения 29 мая 1919 года группой английских астрономов измерения отклонения луча света были произведены. Перед группой стояла задача после сделанных наблюдений выбрать один из трёх следующих ответов:

1) гравитационное поле Солнца не оказывает влияния на траекторию луча света;

2) гравитационное поле Солнца действует на световой луч как на обычные частицы в силу закона тяготения Ньютона, что приводит к кажущемуся смещению изображения звезды у края солнечного диска, равному 0,87»;

3) отклонение изображения звезды согласуется с предсказаниями общей теории относительности и равно 1,75»,

В пределах ошибок измерений был подтверждён третий ответ. И это было триумфом новой теории.

Смещение перигелиев планет. О смещении перигелия Меркурия мы уже говорили. В ОТО траектория планет также рассчитывается как движение массивной частицы по геодезическим в пространстве–времени Шварцшильда, окружающем Солнце. Расчёт для массивных частиц немного сложнее, чем для световых. Необходимо знать массу планеты m, массу М центрального массивного тела (Солнца) и угловой момент планеты (последний определяется этими массами и эксцентриситетом e орбиты планеты). Расчёт геодезической в пространстве–времени позволяет определить траекторию в пространстве. Эта траектория представляет собой вращающийся эллипс. Для орбиты с «неподвижным» эллипсом планета, начиная вращение от перигелия, за один оборот (2π) снова возвратится в перигелий. Для орбиты с «вращающимся» эллипсом это уже не так: за один оборот планета окажется в другой точке, при этом точка наименьшего удаления от Солнца («новый» перигелий) сместится, Угол между направлением из центрального тела на «старый» и «новый» перигелии равен

Получается, что кеплеровский эллипс сам начинает медленно вращаться, см. рис. 7.2. Формула определяет угловое перемещение за один период, то есть за один год этой планеты, За 100 земных лет у Меркурия накапливается величина 43,0», что находится в хорошем согласии с аномальным смещением, обнаруженным в середине XIX века, когда орбиты рассчитывались только с помощью закона Ньютона. У Земли за 100 земных лет смещение перигелия орбиты, вычисленное по этой формуле, равно 3,8». Оно также хорошо согласуется с наблюдениями.

Рис. 7.2. Смещение перигелия Меркурия (пунктир — траектория по Ньютону)

Гравитационное красное смещение частоты сигнала. Чтобы перейти к третьему тесту необходимо определить, что такое истинное время, а что такое координатное время. Истинное время в данной точке — это время наблюдателя, его собственных часов. В какую точку наблюдателя не помещай, часы на его руке будут для него идти одинаково. Собственные биоритмы также не изменятся. У хорошо тренированных людей, например космонавтов, сердце одинаково стучит как на Земле, так и на орбите. Но на Земле мы ощущаем силу тяжести, в то время как космическая станция на орбите движется по геодезической (по инерции), является инерциальной системой отчёта и там имеет место состояние невесомости. В отличие от истинного времени, координатное время не несёт такой смысловой нагрузки. Оно вместе с пространственными координатами представляет как бы «сетку», накинутую на пространство–время, с помощью которой удобно производить измерения и не более.

Как связаны истинное время и координатное? Ограничимся рассмотрением статического пространства-времени, то есть такого, для которого все метрические коэффициенты не зависят от времени. Рассмотрим два бесконечно близких события, происходящих в одной и той же точке пространства. Тогда интервал между этими событиями ds, как инвариантная величина, независимая от координат, определяет промежуток собственного (или истинного) времени dx следующим образом: ds2 = c2 dτ2 . Поскольку мы рассматриваем одну и ту же точку пространства, то пространственная часть не даёт вклада в интервал, dx1 = dx2 = dx3 = 0. Поэтому от всего выражения интервала остаётся только часть: ds2 = g00 c2 dt2 . Таким образом, истинное время в данной точке определяется через координатное формулой dx = (gm )1/2 dt. Если в данной точке g00 = l, то истинное время совпадает с координатным. Поясним это. В зависимости от модели и исследуемых проблем, координатное время можно менять так же, как и пространственные координаты. А истинное время неизменно, поскольку оно однозначно определятся интервалом — инвариантной величиной.

Из всего сказанного полезным является следующий вывод Если имеется некоторый отрезок мировой линии некоторого произвольно движущегося наблюдателя, то его собственное время равно длине этого отрезка (инвариантной величине) в псевдоевклидовом искривлённом пространстве–времени.

Теперь можно перейти к третьему эффекту, предсказанному Эйнштейном. Поскольку мы ограничились статическим случаем, для которого метрический коэффициент goo зависит только от пространственных координат, то от бесконечно малых по времени величин можно перейти к конечным. Таким образом, в каждой точке пространства τ = (g00 )1/2 t. Значит, в общем случае, в каждой точке пространства истинное время течёт по–разному в зависимости от значения g00 . Для примера возьмём слабое гравитационное поле изолированного тела, которое представлено приближённой метрикой пространства–времени Ньютона. Тогда в приближении слабого поля в окрестности этого тела τ = t(1+φ/c2 ). А поскольку потенциал φ по определению отрицателен, то это время течёт медленнее по сравнению с координатным. Учитывая, что координатное время совпадает с физическим временем на удалении от тела (на бесконечности), то это замедление можно интерпретировать, как замедление по сравнению с удалённым наблюдателем. Справедливо и более общее утверждение: собственное время течёт медленнее по сравнению с наблюдателем, у которого потенциал гравитационного поля слабее.

Теперь вспомним, что частота ω электромагнитного сигнала обратно пропорциональна течению времени. Таким образом, в отсутствии гравитационного поля ω0 ~ 1/t. А поскольку в реальности все физические явления в данной точке происходят в темпе истинного времени, то частота электромагнитного сигнала в какой‑либо точке в окрестности тела ω ~ l/τ. Поэтому в приближении слабого поля

Это означает, что если в данную точку в окрестности тела сигнал пришёл издалека (из бесконечности, где гравитационный потенциал фактически исчезает), то его частота в этой точке станет больше, чем на бесконечности — произойдёт так называемое «фиолетовое» смещение. И наоборот, если пошлём сигнал от тяготеющего тела в область плоского пространства–времени, то там он вое примется с меньшей частотой, то есть его спектр сместится в «красную» область. Уменьшение частоты означает уменьшение энергии сигнала. То есть, покидая тяготеющее тело, электромагнитный сигнал ослабевает, что естественно. На рис. 7.3 отображена следующая ситуация.

Из двух идентичных источников света один расположен на поверхности массивной планеты, другой — далеко, как от неё, так и от всех остальных небесных тел. Наблюдатель находится рядом с последним источником и детектирует свет обоих. Левая картинка соответствует наблюдениям источника на планете, правая — наблюдениям собственного источника. Сравнивая свет от обоих источников, он найдёт, что свет от планеты «покраснел» (поскольку его частота меньше частоты его собственного источника), и часы на планете идут медленнее его часов.

Рис. 7.3. Замедление времени

Также можно сравнить частоту сигнала, если он посылается между двумя точками пространства с разными гравитационными потенциалами. Снова вернёмся к приближению слабого поля для изолированного тела:

Формула означает, что сигнал, испущенный в точке 1, регистрируется в точке 2. Тогда, например, если точка 2 дальше от центра, чем точка 1, то в ней частота станет меньше. Именно последняя формула лежит в основе третьего эффекта, Если его проверять на Земле, то нужно приёмник разместить выше источника. Из формулы следует, что ожидаемая разность частот в наименьшем приближении будет пропорциональной разности h = r2 — r1 по высоте приёмника и источника: Δω/ω = GMh/c2 , где М — масса Земли. Этот эффект на Земле очень слаб.

В 1925 году гравитационное красное смещение света, испускаемого сверхплотной звездой–компаньоном Сириуса, впервые наблюдал американский астроном Уолтер Адамс (1876–1956). Прямой эксперимент по проверке существования гравитационного красного смещения в поле Земли был осуществлён только в 1960 году сотрудниками Гарвардского университета Робертом Паундом и Гленом Ребкой. Они измеряли сдвиг частоты гамма–излучения, пучок которого направляли вверх и вниз на 23 м по вертикали внутри здания лаборатории. Полученное в этом эксперименте значение красного смещения (относительный сдвиг частоты 2.57*10–15) совпало с предсказанием теории Эйнштейна с точностью до 1%.

 

Эффект Шапиро

Рассмотренные эффекты обычно называют классическими, предсказанными самим Эйнштейном. Начиная с 60–70–х годов прошлого века, появились новые возможности, с помощью которых проверки ОТО стали значительно точнее. Это радиолокация планет и спутников, а также лазерная локация Луны. После этого четвёртым классическим тестом принято считать задержку радиосигнала в гравитационном поле. Этот эффект был предсказан тоже Эйнштейном, и он тесно связан с отклонением луча света. Отклонение света можно вполне интерпретировать как результат действия линзы — «среды» с другим коэффициентом преломления. То есть гравитирующее тело можно рассматривать как гравитационную линзу; а поле тела рассматривать как имитатор преломляющей среды. Но эта среда, как мы знаем, не только отклоняет луч света, но и замедляет его: скорость света в среде меньше, чем в вакууме. Точно так же, луч света, проходя рядом с гравитирующим объектом, замедляется по отношению к достаточно удалённому наблюдателю.

Это замедление впервые было обнаружено только в 1964 году Ирвином Шапиро из Массачусетского технологического института (США) в ходе пассивной локации Венеры и Меркурия, находившихся с другой стороны Солнца. Время задержки сигнала, проходящего вблизи Солнца, достигало значения около 240 мкс. Использование этого эффекта оказывается более привлекательным, чем измерение отклонения луча, поскольку интервалы времени могут быть измерены с гораздо более высокой точностью, чем углы, Первые эксперименты с пассивной локацией давали точность 22%. Чтобы измерить временную задержку с наибольшей точностью, необходим космический аппарат, располагающийся за Солнцем При этом сигнал «перерабатывается», чтобы значительно снизить влияние помех, а лишь затем посылается обратно — активная локация. Впервые она было осуществлена группой Шапиро в 1977 году. Точность значительно улучшается при совмещении пассивной и активной локации, когда, например, одновременно с локацией Марса осуществляется локация аппарата рядом с ним. Результат группы итальянских астрофизиков Бруно Бертотти, Лусиано Иесса и Паоло Торторы за 2003 год составляет 1,00001 ∓ 0,000012 от предсказания ОТО, то есть эффект подтверждается с точностью до тысячных процента!

 

Гравитационные линзы

С понятием «гравитационная линза», которое мы ввели выше, связаны бурно развивающиеся в последнее время области исследований в астрофизике и космологии Из российских учёных активными теоретиками-исследователями в этой области являются Михаил Сажин и Александр Захаров. Изложение этой части будет во многом соответствовать статье Захарова «Гравитационные линзы» на сайте pereplet.ru.

По–видимому первый, кто использовал термин «линза» для отклонения луча света гравитационным полем тела, был английский физик Оливер Лодж (1851–1949) в 1919 году. Однако он отметил, что «гравитационное поле действует как линза, но она не имеет фокусной длины». Петербургский физик Орест Хвольсон (1852–1934) в 1924 году опубликовал короткую заметку, в которой заметил, что в случае, когда рассматривается отклонение луча света далёкой звезды звездой–линзой, возможно возникновение второго изображения фоновой звезды, но угол между двумя изображениями столь мал, что эти изображения нельзя разрешить с помощью наземного телескопа. В случае, когда наблюдатель, линза и источник находятся на одной прямой, возникает изображение типа кольца.

Аналогичные результаты опубликовал Эйнштейн в 1936 году, где также описывалось появление кольца в случае, если наблюдатель, линза и источник находятся на одной прямой. Эти результаты более известны, возможно потому, что журнала «Science», где опубликована статья Эйнштейна, более популярен по сравнению с потсдамским астрономическим журналом «Astronomische Nachricliten», где опубликована статья Хвольсон а. Поэтому кольца гравитационной линзы называют обычно «кольцами Эйнштейна», значительно реже «кольцами Хвольсона–Эйнштейна». Эйнштейн также заметил, что «конечно нельзя надеяться на то, что удастся прямо наблюдать это явление». Нужно сказать, правда, что и Хвольсон, и Эйнштейн рассматривали случай, когда и источник, и гравитационная линза являются звёздами.

Однако в 1937 году американский астроном швейцарского происхождения фриц Цвикки (1898–1974) пришёл к выводу, что эффект может быть наблюдаем в случае, если источником является далёкая яркая галактика, а гравитационной линзой — более близкая галактика. В публикации он ссылается на идеи нашего соотечественника, представителя первой русской эмиграции инженера Владимира Зворыкина (1888–1982), создателя современно го телевидения, и чешского инженера Руди Мандла. То же самое написал Эйнштейн в своей работе: «Некоторое время тому назад меня посетил Руди Мандл и попросил опубликовать результаты небольшого расчёта, который я провёл по его просьбе. Уступая его желанию, я решил опубликовать эту заметку». Так что, может и была борьба за приоритеты, но исследователи вели себя очень корректно в отношении чужих идей и результатов. А ссылка Цвикки демонстрирует широкое влияние на развитие мировой науки российской научной школы,

Рис. 7.4. Первая гравитационная линза

Насколько плодотворным было замечание Зворыкина и, безусловно, последующий анализ Цвикки, стало ясно спустя более сорока лет. В 1979 году группа английских астрономов обнаружила первую гравитационную линзу при наблюдении двойного квазара QSO 0957+16 А, В: угловое расстояние между изображениями порядка 6», а гравитационной линзой являлась галактика, рис. 7.4. Таким образом, предсказание Цвикки подтвердилось. На настоящий момент открыто более полусотни объектов, которые представляют результат гравитационного линзирования, и это число постоянно растёт. Замечательный космолог, астрофизик, физик–теоретик Яков Зельдович (1914–1987), рис. 7,5, с его широчайшим научным кругозором, не мог не оценить важности этого открытия и обратил на него внимание одного из своих учеников — Михаила Сажина Сейчас как теоретическое изучение этого явления, так и поиски новых наблюдательных подтверждений активно продолжаются.

Теперь расскажем о физике явления. Действительно, как было замечено Лоджем, гравитационные линзы не имеют «фокусного расстояния» в том смысле, как её имеют оптические линзы. Поэтому их действие оказывается несколько непривычным. Они также «собирают» свет, при некоторых условиях это приводит к по вышению яркости наблюдаемого объекта. Но более выдающимся их проявлением является «построение» двух, а иногда нескольких изображений этого объекта. Обратимся к схеме на рис. 7.6. На ней проиллюстрировано как действует точечная гравитационная линза. Собственно объект наблюдения (квазар) находится в точке S, линза в точке D а наблюдатель в точке О.

Рис. 7.5. Яков Зельдович

Два луча (жирные линии) отклоняются линзой так, что наблюдатель видит два изображения квазара на небесной сфере: точки S1 и S2 . В случае, если точечный источник находится точно на оси симметрии, изображение является кольцом, которое обсуждалось в работах Хвольсона и Эйнштейна. Однако наблюдать подобное кольцо в реальности в случае точечного источника невозможно, поскольку при самом малом изменении параметров кольцо исчезает и появляется два точечных изображения.

Рис. 7.6. Геометрия точечной гравитационной линзы

Чаще всего обнаружить гравитационные линзы можно по наблюдениям пар квазаров, которые имеют похожие спектры и временную переменность компонентов, отличающуюся лишь временным сдвигом, который может принимать значения для различных пар изображений от нескольких дней до нескольких лет!

В случае, когда источник не точечный, появление кольца в принципе возможно, хотя скорее будет два растянутых изображения в виде дуг. В реальных ситуациях или угловое расстояние между изображениями слишком мало, или линза имеет большую массу и большие размеры, так что её нельзя рассматривать как материальную точку (как в первых наблюдаемых примерах гравитационных линз). Реальные эффекты гравитационного линзирования зависят от разных параметров, а число возможных изображений и сами изображения разнообразны.

Гравитационные линзы в настоящее время являются и важным инструментом астрономических исследований. С их помощью можно: 1) получить независимую от других методов исследований оценку параметров расширения Вселенной; 2) оценить массы гравитационных линз, большая часть которых испускает слишком мало электромагнитного излучения, чтобы их можно было обнаружить с помощью стандартных астрономических методов; 3) по наблюдаемому изменению формы удалённых фоновых галактик с помощью методов так называемого слабого гравитационного линзирования можно восстановить распределение поверхностной плотности удалённых скоплений галактик; 4) по характерному изменению наблюдаемой светимости фоновой звезды можно обнаружить невидимые объекты с массами порядка солнечной, то есть обнаружить так называемое микролинзирование. Это как раз то явление, которое Хвольсону и Эйнштейну казалось слишком недоступным для наблюдения.

Недавно, в 2007 году, было установлено, что одно из событий микролинзирования вызвано коричневым карликом — это почти невидимые объекты небольшой (по звёздным меркам) массы, Таким образом, микролинзирование расширяет возможности исследования этих малодоступных для обнаружения и наблюдений, но очень интересных и важных тусклых звёзд.