Мир систем

Если мне не изменяет память, то знаменитому микробиологу Луи Пастеру принадлежат слова: «Природа открывает свои тайны только подготовленным умам».

Другому знаменитому мыслителю прошлого, древнегреческому философу Аристотелю принадлежит замечание о том, что философия и наука возникли из удивления.

Хотя авторы этих высказываний отделены друг от друга почти двухтысячелетним интервалом, их взгляды как бы дополняют друг друга. В самом деле, люди, склонные во всем, даже новом и неожиданном, видеть уже знакомое и привычное, вряд ли в состоянии сделать открытие.

Человек, способный даже в привычных вещах обнаружить нечто достойное удивления, а следовательно, внимания и изучения, делает тем самым первую заявку на открытие. Однако одного удивления мало. Пытливость, способность удивляться увиденному, критическое отношение к якобы незыблемым истинам, свойственное молодым умам, образуют необходимые условия открытия.

Самые знаменитые исследователи нового времени Галилей, Фарадей, Эйнштейн, Бор, Павлов, Колмогоров и другие сделали или задумали свои наиболее выдающиеся работы в относительно молодом возрасте. Но далеко не все молодые люди становятся крупными учеными.

Другим важным условием, позволяющим сделать новый шаг по пути научного познания мира, является хорошая профессиональная подготовка. Давно прошли те времена, когда более или менее значительные открытия делали самоучки. Теперь настоящий ученый должен сочетать в себе пытливость и образованность. Эти качества особенно важны на современном этапе развития науки.

Но что означают слова «современный этап развития науки», которые мы так часто слышим по радио или читаем в газетах? Чем современная наука отличается, например, от классического естествознания, классической науки, возникновение которой относится к XVI и XVII векам и связано с именами Коперника, Галилея, Ньютона и других великих ученых прошлого?

Существует довольно много характерных черт и признаков, позволяющих провести хотя и не жесткую, но все же достаточно заметную границу между классическим естествознанием и современной наукой. Я думаю, что самой существенной чертой, позволяющей уточнить это отличие, является интерес к изучению сложных систем, так называемых системных объектов, и порожденные этим методы и приемы системного анализа. Вот почему сейчас я приглашаю вас познакомиться с одним из наиболее важных понятий всей современной науки, идет ли речь о математике, физике, геологии, биологии или общественных дисциплинах, таких, как социология и экономика, а именно с понятиями «система» и «структура».

Я думаю, что не ошибусь, сказав, что нет в нашей стране человека, который лично, в кино или по телевизору не видел бы большого города, такого, как Москва, Ленинград, Киев, Свердловск или Новосибирск. Что представляет собой такой город? На первый взгляд, это огромное скопление людей, жилых, промышленных и административных зданий, а также транспортных средств.

В действительности все обстоит гораздо сложнее. Под поверхностью города, скажем, Москвы, проходят сотни километров железнодорожных путей — линий метрополитена. Более ста станций связывает их с наземным транспортом. Под землей проложены тысячи километров электрических и телефонных кабелей. По городу двигаются автобусы, троллейбусы, трамваи. В самых разных направлениях мчатся грузовые и легковые автомашины. Город для своей жизнедеятельности нуждается в сложной сети магазинов, бытовых учреждений, больниц, поликлиник, театров, клубов, административных зданий, в которых располагаются министерства, ведомства и управления, научно-исследовательские и учебные институты, школы, детские сады, ясли и т. д.

Все эти учреждения, включая многочисленные заводы и фабрики, железнодорожные вокзалы, аэродромы и многое другое, а также перечисленные выше транспортные и технические устройства, тесно связаны друг с другом и составляют необходимые условия жизнедеятельности большого города. Нечего и говорить, что управление таким гигантским хозяйством представляет собой задачу, по сложности далеко превосходящую все управленческие задачи, когда-либо возникавшие в целых средневековых королевствах или античных империях.

Чтобы управлять жизнедеятельностью и обеспечить нормальное протекание производственных и культурно-бытовых процессов в таком гигантском городе, необходимо знать, как связаны между собой тысячи самых различных величин, характеризующих состояние транспорта, торговых, бытовых, культурных и промышленных предприятий. Сложные объекты, подобные гигантским городам, вроде Москвы, Ленинграда, Киева и т. д., принято называть системными объектами или большими системами.

Внутри такой большой системы можно выделить как бы подсистемы, например транспортную подсистему, подсистемы водоснабжения, канализации, энергоснабжения или системы почтовой и телефонной связи, а также системы культурных, бытовых и иных учреждений. В свою очередь, эти подсистемы можно подразделить на подсистемы второго порядка, например, в транспортной подсистеме можно выделить подсистемы автобусную, троллейбусную, трамвайную, подсистемы личных и ведомственных автомашин, такси и т. д. То же самое можно сказать и о торговой системе большого города.

Рассматривая подсистемы большого города, не трудно заметить, что, разбивая их на подсистемы или системы второго порядка, а эти последние, в свою очередь, на подсистемы третьего порядка и т. д., мы в конце концов приходим к уровню, когда дальнейшее деление в рамках данной системы оказывается невозможным. Можно выделить общественный транспорт как подсистему большого города, троллейбусный или автобусный парк как подподсистему общественного транспорта, наконец, отдельные автобусы или троллейбусы можно рассматривать как своего рода единицы в данной подсистеме. Это не означает, что отдельный автобус нельзя разделить на составные части: колеса, мотор, систему рулевого управления, энергопитания и т. д. Однако такие части уже не будут частями системы общественного транспорта. Это просто отдельные механизмы или детали данного технического агрегата, в нашем случае автобуса.

Подобным же образом мы можем рассматривать отдельного человека, живущего в нашем городе, как единицу подсистемы, называемой городским населением. Разумеется, с точки зрения анатомии человек сам подразделяется на отдельные органы, например сердце, печень, желудочно-кишечный тракт и т. д. Эти органы, в свою очередь, можно представить как состоящие из отдельных клеток. Было бы, однако, нелепостью утверждать, что печень, желчный пузырь, сердце, а тем более клетки этих органов являются единицами или, как принято говорить, элементами городского населения.

Таким образом, мы приходим к очень важному выводу, что любой системный объект или сложная система в конечном счете состоит из элементов, то есть таких образований, которые неделимы внутри данной системы. Я обращаю ваше внимание на важность слов «внутри данной системы», ибо элементы данной системы под другим углом зрения, в других условиях, при постановке иных исследовательских задач сами могут рассматриваться как сложные системы, состоящие из некоторых других элементов. Примером такого рода могут служить отдельные детали и технические узлы автобуса, выступающего в качестве самостоятельной системы.

Итак, мы приходим к выводу, что системами называются объекты, состоящие из взаимосвязанных, взаимодействующих и взаимозависящих элементов, организованных в более или менее устойчивые совокупности-подсистемы различных порядков, которые, в свою очередь, взаимосвязаны, взаимодействуют друг с другом, определяя общий режим и закономерности существования, развития и деятельности сложного объекта.

Здесь вы можете перебить мои рассуждения вопросом: «А разве наука в прошлом не изучала сложные системы, разве ученые не знали, что окружающий нас мир состоит не из простых элементарных, неделимых явлений, а из сложных системных объектов?»

Ваш вопрос тем более уместен, что заметить сложный, системный характер окружающих нас явлений и процессов не так уж трудно для человека, обладающего мало-мальскими способностями к наблюдениям и размышлениям над увиденным. В самом деле, не только большие города, но и различные технические сооружения от стенобитной машины до парохода, различные общественные организации от войска древних фараонов до политических и профсоюзных объединений современного общества, живые организмы, растения и животные дают нам сотни примеров сложных системных объектов. Естественно, что люди, и особенно ученые, не могли долгое время не замечать этого важного обстоятельства. Дело, однако, заключается не в простом признании системного характера окружающих нас явлений, а в способе познания и изучения сложных систем.

Уже в глубокой древности философы и ученые, наблюдая за различными явлениями природы и общественной жизни, постепенно пришли к выводу, что сложные явления следует в процессе их изучения расчленять, разделять на составляющие части. Знаменитый древнегреческий философ Демокрит (460—370 гг. до н. э.) и его последователи Эпикур (341—270 гг. до н. э.) и др. учили, что все явления в живой и неживой природе состоят из мельчайших, далее неделимых частиц— атомов (от греческого слова atomus — неделимый). Атомы отличаются формой, размерами и положением в пространстве, соединяясь друг с другом посредством особых невидимых крючков и зазубрин, они образуют все известные нам тела.

-Когда европейская наука начиная с середины XVI и особенно в XVII веке попыталась преодолеть влияние средневековой церковной схоластики, полностью отрицавшей роль наблюдений и эксперимента в познании мира и сводившей все исключительно к умозрительным размышлениям, сторонники новой науки на первый план выдвинули метод эмпирическо-rot то есть опытного, исследования. Суть его заключалась в утверждении, что понимание любого сложного явления, будь то Солнечная система, машина, растение или животное, может быть полностью достигнуто благодаря точному и последовательному описанию и изучению его частей и элементов. Согласно этому взгляду, описав элементы системы, изучив их порознь, мы можем получить исчерпывающие, точные знания по системе в целом простым суммированием знаний об элементах этой системы.

Такой подход долгое время оставался господствующим в науке. Он казался не только верным, глубоко истинным, но и единственно возможным. Для этого имелись свои объективные основания.

Новая наука, сложившаяся благодаря, работам Галилея, Кеплера, Ньютона и ряда их современников, начала развиваться прежде всего в области механики, астрономии и оптики. Причина этого заключается в том, что механические взаимодействия и механическая форма движения в целом являются простейшими, наиболее доступными наблюдению и эксперименту, с одной стороны, и точному математическому описанию и анализу, с другой.

С самого начала экспериментальное естествознание Нового времени, сочетавшее в себе наблюдение за простейшими формами движения с применением математики привело к таким разительным и неожиданным открытиям, казалось столь убедительным и неопровержимым, что на несколько столетий подчинило себе лучшие умы Европы и Америки.

Имелось и другое основание для торжества механистического подхода к научному исследованию. Оно коренилось в философском утверждении, что научное познание должно начинать с самого простого, чтобы путем последовательных усложнений перейти к пониманию сложного целого объекта.

Отчетливее всего эта точка зрения была выражена в трудах знаменитого английского философа Фрэнсиса Бэкона (1561 —1626) и французского философа и математика Рене Декарта (1596—1650). Первый из них провозгласил метод восхождения от части к целому, от единичного явления к совокупности явлений единственным научным методом. Второй утверждал, что всякое научное познание заключается в расчленении, разделении целого на максимальное число наименьших частей и элементов и в последовательном познании этих элементов, ибо познание целого осуществляется через познание его образующих.

Следует сказать, что при тогдашнем состоянии техники, научного эксперимента и наблюдения, при тогдашнем уровне математики, не перешагнувшей еще пределы современной нам школьной алгебры, иной подход трудно, а может быть, и невозможно себе представить.

Вплоть до XIX века, пока классическое механистическое по своему методу естествознание одерживало одну победу за другой и приносило бесспорные впечатляющие результаты, в справедливости подобного подхода никто не сомневался. Однако уже в XIX веке сама жизнь потребовала перейти к изучению очень сложных систем в природе и обществе.

Чарлз Дарвин в знаменитом труде «Происхождение видов путем естественного отбора, или Сохранение благоприятствуемых пород в борьбе за жизнь» (1859) попытался обнаружить и сформулировать законы развития живых организмов, иными словами, законы развития и совершенствования всей живой системы в целом.

Примерно в те же годы величайший мыслитель XIX века Карл Маркс поставил перед собой задачу исследовать систему современного ему капиталистического общества и найти законы его развития и превращения в новое бесклассовое коммунистическое общество. Для решения этих задач методы, разработанные классической наукой XVII—XIX веков, были уже непригодны. Особенно отчетливо потребность в новых приемах, методах и философских основаниях научного познания встала в XX веке, когда перед естественными и общественными науками во весь рост возникли задачи изучения сложных систем в природе и обществе. И суть дела не в том, что раньше такие системы не существовали или о них не было известно, а в том, что для изучения управляющих ими закономерностей еще не созрели условия, объективные предпосылки и соответствующие научные методы.

Чтобы пояснить суть новых познавательных задач, я считаю полезным обратиться к нескольким примерам. Представьте себе огромную груду кирпича, чаны с гашеной и негашеной известью, мелким цементом, вагонетки с гравием, строительные леса и другие материалы, разбросанные на площадке до начала строительства дома.

Вы можете изучить каждый кирпич, каждый предмет на строительной площадке и все же не получить полного, объективного представления о строящемся здании. Готовое здание— это не груды беспорядочно разбросанных строительных материалов, а кирпич, цемент, водопроводные трубы, звенья металлической арматуры, расположенные в определенном порядке, определенным образом связанные, взаимодействующие, предназначенные для совершенно определенных целей. Здание представляет собой не совокупность разрозненных строительных блоков, а наоборот, систему особым образом упорядоченных помещений и технических коммуникаций, предназначенных для жизни и деятельности людей. Чтобы понять сущность и назначение, например, жилого дома, мало изучить и описать отдельные строительные материалы. Более того, только зная цель и назначение здания в целом, можно понять и объяснить характер и свойство выбранных для его создания материалов, оценить целесообразность тех или иных строительных узлов, помещений, коммуникаций и т. п.

Таким образом, мы приходим к выводу, что не целое, не система определяется своими подсистемами и элементами, а наоборот, роль и назначение каждой подсистемы и каждого элемента в данной системе (или данном целом) объясняются ее закономерностями и принципами организации. Это утверждение верно не только в отношении современного жилого здания, но и по отношению к несравненно более сложным системным объектам, насчитывающим сотни тысяч и миллионы взаимодействующих элементов, таких, как живой организм, например человеческий, отдельная клетка или современный город.

Анатомы, физиологи и цитологи давно изучили все функции и строение человеческого сердца. Однако операции по пересадке сердца от одного человека к другому требуют знания не только физиологии и цитологии сердца. Для успеха трансплантации (пересадки органов) необходимо знать особенности и специфику организма в целом, учитывать взаимосвязь и взаимодействие всех органов внутриединой и невероятно сложной системы, называемой человеком.

Точно так же современные гигантские города не могут быть поняты и изучены на основе исследования отдельных составляющих: жилого массива, транспортной сети, сети водоснабжения, канализации, подземных железных дорог и т. д.

В научно-фантастическом романе «Мутант-59» рассказывается о целой серии катастроф, почти парализовавших жизнь Лондона из-за того, что при проектировании и создании ряда его подсистем не был учтен всего лишь один элемент, точнее, не было учтено его взаимодействие с другими элементами и подсистемами.

Изучение сложных систем, насчитывающих десятки, а иногда и сотни миллионов или даже миллиардов элементов, десятки и сотни тысяч подсистем различного уровня, требуют и особых приемов, и методов познания. Без этих методов многие явления вообще не были бы открыты. Если бы Уотсон и Крик пытались изучить лишь отдельные элементы, химические составляющие, из которых сделан наследственный аппарат живых организмов, они, вероятно, могли бы с большей или меньшей точностью установить пропорции различных химических элементов, присутствующих в составе этого аппарата. Вряд ли им удалось бы сделать что-либо большее. Однако они пошли по другому пути. Они хорошо понимали, что «двойная спираль» является сложной системой, включающей десятки и сотни взаимодействующих подсистем с многочисленными связями и разнообразными функциями. Такой подход позволил определить роль и назначение ДНК в развитии и формировании живого организма. Установив, что ДНК представляет собой генератор информации, регулирующий жизнедеятельность живого организма, Уотсон и Крик сумели понять и назначение отдельных узлов ДНК, ее составных частей. Каждый атом и группы атомов внутри молекулы не только нашли свое определенное место, но и получили точное научное объяснение.

Для изучения сложных систем нам надо ввести еще одно важное понятие — «структура».

Внутри больших и сложных объектов различные подсистемы и элементы расположены не произвольно, связаны между собой не Как попало. Обращаясь к прежним примерам, мы можем сказать, что это не груда строительных материалов на площадке, а построенный, завершенный дом, в котором различные блоки и звенья коммуникации взаимодействуют в определенной последовательности и расположение которых подчинено плану или закономерности. Иными словами, между подсистемами разных уровней и элементами внутри подсистем существуют определенные отношения и взаимодействия. Эти отношения и взаимодействия могут быть описаны со стороны своих характерных черт, свойств и особенностей. п Р и этом часто оказывается, что различные по содержанию отношения могут сравниваться с формальной точки зрения.

Что это означает? А вот что.

Возьмем для иллюстрации математические отношения «больше» (>) и «равно» ( = ) и отношения «старше» и «ровесник» для людей, сравниваемых с точки зрения их возраста. Оказывается, что, выделив определенные характеристики, мы можем сравнить эти различные по содержанию отношения и найти нечто общее между ними. Для этого нам придется снова прибегнуть к абстракциям. На этот раз мы отбросим все специфические особенности сравниваемых и сопоставляемых отношений, выделив лишь единственное интересующее нас обстоятельство, а именно то, что мы имеем дело с отношениями между произвольными явлениями, отдельными предметами и процессами. Вообще говоря, в то или иное отношение могут быть включены два, три, четыре и более явлений. В соответствии с этим принято различать двух-, трех-, четырех-и вообще я-местные отношения.

Например, отношения «. . . больше. . .» или «. . . старше. . .» являются двухместными отношениями, так как в них включаются лишь пары чисел или людей. Отношение «. . . лежит между. . .» является трехместным, как видно хотя бы из утверждения «Варшава лежит между Москвой и Берлином». Не трудно себе представить также четырех- и пятиместные отношения и т. д.

Сравнивая такие разные по своему содержанию отношения, как «больше» и «старше», мы можем отметить, что первое из них относится к числам, второе — к людям, и, следовательно, они различны по содержанию. То же самое мы могли бы сказать и об отношениях «равно» и «ровесник».

Теперь постараемся определить понятие «структура».

Если имеется несколько систем, различных по содержанию, но обладающих отношениями, которым присущи одинаковые формальные свойства, то говорят, что эти системы обладают одной и той же структурой. Это открывает совершенно неожиданные перспективы для изучения различных систем. Всякий закон науки, устанавливающий прочные, необходимые связи тех или иных явлений, по сути дела, выделяет, закрепляет и описывает определенные, устойчивые структуры. Например, структура числовой системы 1, 2, 3, 4, 3. . . п —1, п обладает той же самой формальной структурой, что и система «Иванов, Сидоров, Петров. . . Лукьянов, Беляев», где каждый член ряда старше своего предшественника, фамилия которого записана слева от его собственной (за исключением Иванова). В этом смысле мы можем некоторые особенности первой системы приписать второй. Однако это очень простой случай. В науке часто приходится сталкиваться с разными по своему содержанию отношениями, охватывающими, например, расположение предметов в пространстве, их последовательность во времени, виды их взаимодействия, различные преобразования (например, химические реакции и т. д.).

Процесс познания становится гораздо более эффективным и действенным, если мы получаем возможность выделить какие-либо сопоставимые, сходные свойства этих отношений. В этом случае удается выяснить структуры различных по содержанию систем или системных объектов. Если мы хорошо изучили один из них и сумели сформулировать для него ряд важных Законов, выраженных, скажем, в математической форме, то обнаружение структурного сходства уже изученной нами системы с другой, новой, более сложной или трудно поддающейся изучению, позволяет применить к ней ранее открытые и сформулированные законы.

Вы, наверное, уже догадались, что первая система при этом выступает в качестве модели второй, и мы просто-напросто осуществляем перенос уже полученных знаний на новый системный объект. Словам «просто-напросто» не следует все же придавать слишком большое значение. Дело в том, что при изучении реальных сложных объектов структурное сходство никогда не бывает полным. Сравнивая числовую последовательность 1, 2, 3, 4... n—1, n и людей, расположенных по старшинству, мы можем заметить, что первая последовательность может продолжаться бесконечно, тогда как для старшинства существует предел, который не в состоянии перешагнуть даже долгожители.

Другое важное обстоятельство заключается в том, что в таких системах, как современный город, завод, живой организм и т. д., каждый элемент или подсистема одновременно включены в большое число различных отношений. Человек, работающий на заводе, может быть включен в отношения дружбы и сотрудничества с членами своей бригады, в отношения подчинения, когда речь идет о директоре или главном инженере завода, в отношения «наставничества» к своим ученикам и целый ряд других: семейных, профессиональных, спортивных и т. д. отношений.

В сложных системах, как правило, необходимо выделять много различных структур и, сравнивая их со структурами других объектов, следует постоянно помнить, что формальное сходство натыкается на пределы, «расставленные» содержанием различных систем.

Для этого достаточно вспомнить, как Максвелл, установив известное сходство в течении жидкости по трубкам и движении электричества по проводникам, осуществил частичный перенос знаний, полученных при изучении гидродинамических систем на системы электродинамические. Так как при этом он сразу же обнаружил и ряд существенных содержательных и структурных отличий между двумя системами, то ему пришлось частично изменить уравнения гидродинамики, и вновь созданная теория электродинамических процессов оказалась новым разделом физики с оригинальными уравнениями и понятиями.

Применяя понятие «структуры» при изучении сложных систем, мы должны поэтому постоянно помнить, что простой механический перенос знаний от одних систем к другим, даже при наличии ряда сходных структур, никогда не ведет к подлинным открытиям. Серьезный исследователь должен точно определять, в каких границах существует действительное структурное совпадение и где необходимо существенно видоизменить ранее установленные законы или даже сформулировать новые.

 

Пойми систему

Казалось, что на нежные зеленые ростки, высаженные на опытных участках растениеводческой станции, равномерно накатываются коричневые волны. Тысячи крохотных насекомых с неукротимой жадностью пожирали ростки нового гибрида, выведенного селекционерами в течение многих лет упорного труда. Вот тогда-то и пришлось обратиться к ученым химикам и биохимикам с просьбой найти действенное средство для борьбы с насекомыми, уничтожавшими посевы.

В лабораториях научно-исследовательского института кипела работа. После сотен тщательных экспериментов ученым наконец удалось создать и проверить действие ядохимикатов, которые удовлетворяли сразу двум поставленным задачам: уничтожали вредных насекомых, но не оказывали вредных последствий на растения. Наконец было решено провести первое распыление нового ядохимиката на опытных посевах растениеводческой станции. Но вот здесь-то и поджидала всех обескураживающая неожиданность.

Через несколько дней, после того как самолеты сельскохозяйственной авиации распылили ядохимикаты над опытными делянками, число вредных насекомых не только не уменьшилось, но даже возросло. Что же произошло? Почему химикаты, тщательно проверенные в лабораторных условиях, привели к прямо противоположным непредвиденным результатам? Ни в экспериментах, проведенных в лабораториях, ни в расчетах, ни в химических анализах не было никаких ошибок.

Суть дела заключалась в другом. Ученые-химики, имевшие дело с вредными насекомыми и различными химическими веществами, проводили свои эксперименты в искусственных лабораторных условиях, не учитывавших, что реальные природные условия представляют собой сложную систему, охватывающую не только насекомых и растения, но и другие живые организмы. В природе все сбалансировано, уравновешено. Чем больше становилось вредных насекомых, тем больше слеталось различных птиц, для которых эти насекомые служили пищей. Рано или поздно пернатые охотники остановили бы наступление насекомых на растения.

Но люди не могли ждать так долго: слишком до'ро-ги были для них выращенные с большой затратой сил растения. Торопясь как можно скорей решить задачу, химики выделили из системы природы лишь часть взаимодействующих факторов и не учли взаимосвязи и отношений этих факторов с другими частями системы. После распыления ядохимикатов значительная часть насекомых действительно погибла, однако другие, случайно спасшиеся под неровностями почвы, камешками и т. д., а также личинки насекомых, в большом изобилии сохранявшиеся в почве и не поддававшиеся воздействию ядов, быстро восполнили урон. В то же время яды оказались губительными для птиц. Вот это и привело к столь неожиданному результату. И хотя впоследствии это обстоятельство было учтено и дело удалось поправить, мой рассказ имеет прямое отношение к обсуждаемой в этой главе проблеме — исследованию и познанию систем.

Было бы неверно думать, что люди занялись изучением систем лишь в недавнее время. Птолемей, Коперник, Галилей, Ньютон и Максвелл также имели дело с различными системами. Однако, естественно, приступая к их изучению, они стремились выделить и рассмотреть лишь самые простые, самые существенные с их точки зрения связи и отношения.Такой прием исследования называется упрощением и опирается на изолирующую абстракцию. Суть ее заключается в том, что ученый выделяет (изолирует) в рассматриваемой системе относительно небольшое число элементов или подсистем и на время оставляет в стороне остальные элементы и отношения системы.

Впрочем, довольно часто эти «остальные» явления либо вообще не замечают, пренебрегают ими, либо забывают к ним вернуться, либо, наконец, оказываются не в состоянии рассмотреть и изучить все подсистемы во всей их сложности. Очень часто поэтому научные результаты, понятия и закономерности, построенные и открытые с помощью изолирующей абстракции, оказываются ограниченными, и по мере развития науки их приходится видоизменять, а часто и довольно серьезно переделывать. Более того, знания, полученные при изучении лишь выделенных элементов и подсистем, могут привести к к неожиданным и даже нежелательным последствиям. Так и случилось в эксперименте с ядохимикатами.

Но почему же тогда ученые до сих пор продолжают, и часто с успехом, пользоваться изолирующими абстракциями? Почему мы не отказываемся от изучения изолированных явлений и относительно простых связей? Не лучше ли всегда стремиться понимать любые объекты как сложные системы и рассматривать все их элементы, подсистемы и отношения?

Ответ на этот вопрос не так прост, как может показаться. Конечно, в случае с ядохимикатами с самого начала был допущен просчет, выделен слишком узкий набор элементов в системе природы. Однако в большинстве других случаев дело обстоит не так.

Во-первых, не все познавательные задачи требуют для своего решения сложного системного подхода. В простейших случаях наши знания, основанные на выделении и изучении небольшого числа элементов и связей, могут оказаться практически вполне удовлетворительными. Деревенскому жителю, которому глина нужна для того, чтобы обмазать печку, сделать глинобитный пол, или древнему гончару, которому она была нужна для изготовления простейшей посуды, вряд ли были необходимы тонкие химические формулы, применяемые в наши дни специалистами для определения состава и качества различных глин.

Во-вторых, и это гораздо важней, для изучения сложных систем необходим соответствующий теоретический аппарат. Выяснением того, что это означает, мы теперь и займемся.

Но прежде чем двинуться в этом направлении, следует уточнить, что означает выражение «теоретический аппарат». Обычно словом «аппарат» обозначают технические устройства вроде телефонного аппарата, телеграфного аппарата и т. д. Рассматривая состав сотрудников в каком-либо учреждении, их должностное Положение, взаимную подчиненность, выполняемые ими обязанности и т. д., иногда употребляют выражение «административный аппарат».

Вы уже, наверное, догадались, что выражение «теоретический аппарат» имеет совсем иной смысл. В самом деле, всякая научная теория состоит из цепочек взаимосвязанных законов. Законы, в свою очередь, представляют собой утверждения, построенные из понятий и связывающих их вспомогательных соединительных выражений. Кроме того, в таких науках, как физика, химия, биология и т. д., нередко употребляются специальные математические и структурные формулы вроде (а в) Зили Н2О, которые подразумевают применение особых математических или других символических выражений, обозначающих специальные объекты, множества объектов и операции с этими объектами и множествами.

Выражение «теоретический аппарат» как раз и используется для обозначения основных и производных понятий, утверждений, математических формул и т. п., необходимых для выражения и формулирования законов данной науки, составляющих ту или иную теорию.

Чтобы изучить то или иное явление, ученым часто приходится создавать новые понятия, отражающие различные свойства и отношения изучаемых явлений, а также включающие их связи и взаимодействия. Такие понятия почти никогда не создаются на пустом месте. Даже для изучения очень простых предметов и процессов требуется располагать каким-то готовым теоретическим аппаратом, который в дальнейшем можно уточнить, улучшить, дополнить или даже преобразовать, вводя новые понятия, формулируя новые законы, применяя новые разделы математики. Нечего и говорить, что при изучении сложных систем, насчитывающих десятки и сотни подсистем, тысячи, а иногда и миллионы элементов, огромное множество связей, отношений и взаимодействий, требуется и соответствующий теоретический аппарат. Он должен включать в себя понятия, не только отражающие эти подсистемы, связи и отношения (понятия первой группы), но и специальные понятия и выражения, как правило, математические, устанавливающие определенную взаимозависимость, количественные взаимоотношения между соответствующими объектами (понятия второй группы).

Чтобы представить, как трудно создать такой теоретический аппарат, вспомните хотя бы проблему управления различными процессами в жизнедеятельности большого города. Чтобы изучить город как сложную систему, нужно образовать наборы понятий, отражающих работу всех подсистем города. Каждую из таких подсистем мало отобразить в десятках различных понятий, необходимо, чтобы каждая из них поддавалась количественному истолкованию, то есть могла принимать числовые значения и, следовательно, могла бы выступать в качестве переменной величины в тех или иных математических уравнениях, описывающих устойчивые количественные связи между различными элементами и подсистемами городской системы. Наконец, необходимо сформулировать систему уравнений более или менее сложного вида, охватывающих и связывающих воедино многочисленные величины (понятия). Только подставляя в эти уравнения различные числовые характеристики и решая их при определенных условиях, можно создать удовлетворительную математическую модель города, допускающую разумное, научно обоснованное управление всей этой огромной системой, обеспечивающее нормальную жизнедеятельность городского населения, промышленности и т. д.

Понятно, что решение такой задачи предполагает очень высокий уровень развития математики, особенно таких ее разделов, как алгебра, машинное программирование и т. п. Без наличия соответствующей математики нельзя создать теоретический аппарат, необходимый для решения задачи автоматического управления основными процессами в больших городах.

Я думаю, что вы уже заметили еще одну трудность, и я готов обсудить ее вместе с вами. Она заключается в том, что даже при наличии соответствующего теоретического аппарата, исследование сложных систем, их глубокое понимание могут оказаться непо-сильйой проблемой.

Допустим, что мы располагаем всеми нужными понятиями (переменными величинами) для описания подсистем и элементов, а также взаимосвязей в городской системе. Допустим также, что математики предоставляют нам необходимый математический аппарат и правила для решения громоздкой системы уравнений, включающей десятки, а быть может, и сотни переменных величин. При этом может оказаться, что для решения системы уравнений потребуются сотни математиков и десятки лет упорного труда. Когда же наконец математические трудности будут преодолены, может оказаться, что вся работа лишена смысла, так как за это время положение в городе изменилось: появились новые магистрали, здания, линии связи, водопроводы и предприятия; увеличилось или уменьшилось число жителей, изменился характер снабжения и т. п. Следовательно, помимо теоретического аппарата, необходим и соответствующий технический аппарат.

Современная научно-техническая революция дает необходимые условия для создания такого технического аппарата. Он должен включать в себя самые современные быстродействующие электронно-вычислительные машины, способные совершать несколько миллионов вычислительных операций в минуту. Затем необходимо обеспечить очень быстрое поступление и опять-таки машинную обработку информации о деятельности различных подсистем, поступающей из разных концов города. Наконец, следует обеспечить быстрое и правильное выполнение решений, основанных на полученных расчетных данных. Только в этом случае мы сможем получить полную уверенность в том, что наш теоретический аппарат действительно дает нам знания о сложной системе большого города.

Разумеется, совсем не всегда для решения задач, связанных с познанием системных объектов, изучением структур и закономерностей их работы, необходимо привлекать столь сложный и дорогостоящий теоретический и технический аппарат. Эпизод с ядохимикатами, рассказанный в начале этого раздела, показывает, что очень многое зависит от подхода к решению соответствующей познавательной задачи.

Один из таких подходов мы можем с полным правом назвать классическим. Суть его заключается в том, что ученый, сформулировав задачу, определив главную цель, отвлекается от системного характера изучаемых объектов.

Выработав те или иные изолирующие абстракции и упростив задачу, он может во многих случаях достигнуть желанной цели с наименьшими затратами материальных средств и умственных усилий. Именно благодаря подобным упрощениям была построена гелиоцентрическая модель Коперника, открыт закон всемирного тяготения, сформулированы принципы классической электродинамики.

Другой подход в строгом смысле следовало бы назвать системным. Он заключается в том, что мы рассматриваем каждый объект как сложную систему, как совокупность взаимодействующих, взаимосвязанных, взаимообусловливающих и влияющих друг на друга частей. Притом характер взаимодействия частей определяется какими-то общими, так сказать, «генеральными» особенностями, свойствами, закономерностями или, как иногда говорят, принципами системы.

Если при классическом подходе ученый сначала стремится выработать теоретический аппарат, то есть набор понятий и утверждений, относящийся к частям, к отдельным взаимодействиям, и лишь затем пытается понять целое, то при системном подходе он стремится выдвинуть гипотезу (с соответствующими понятиями), касающуюся деятельности, режима работы или развития системного объекта в целом, а затем на ее основании пытается понять и осмыслить взаимосвязь и взаимодействие частей. Именно отсутствием системного подхода при первоначальной попытке и объяснялась неудача в решении задачи по борьбе с вредными насекомыми, рассказанная выше.

Системный подход особенно важен при решении задач, связанных с познанием так называемых саморегулирующихся или самоуправляющихся систем. Насколько важны, сложны и интересны для нас такие системы, можно судить уже хотя бы по тому, что для их изучения создана особая наука — кибернетика. Она рассматривает и некоторые другие системы, но самоуправляющаяся, саморегулирующаяся находится в центре ее внимания. Так как о кибернетике написаны целые горы популярной и серьезной литературы, я не буду рассказывать о ней подробно. Все же несколько важных примеров, поясняющих значение системного подхода, я приведу.

Первый из них касается судьбы нашей планеты Земля и человечества, взятых вместе, рассматриваемых как единая система. В известном смысле природа представляет собой саморегулирующуюся систему, в значительной степени сбалансированную, уравновешенную, все процессы в которой так или иначе взаимосвязаны. Различные части природы вносят различный «вклад» в жизнь целого, по-разному влияют на него, по-разному ему подчиняются. Во времена, когда жил наш неандерталец, ужин которого я описывал в начале книжки, все население Земли едва ли превышало несколько десятков тысяч человек. Деятельность людей вряд ли могла существенно влиять на нормальное течение процессов природы.

Иное дело сейчас, когда на Земле живет около четырех миллиардов людей, а техническая мощь человечества достигла необычайных масштабов. Уничтожаются огромные леса, перекрываются русла рек, создаются и уничтожаются огромные озера, гигантские города с населением в несколько миллионов человек покрывают площадь в сотни квадратных километров. И повсюду грохочут станки, пылают доменные печи, сжигаются миллионы тонн нефти, бензина, газа, потоки электрической энергии передаются на тысячи километров, и вся эта бурная деятельность связана с потреблением кислорода, запасы которого в атмосфере ограниченны и пополняются за счет жизнедеятельности растений. Растения, как вы знаете, поглощают углекислый газ и выделяют кислород. Напротив, животные и люди потребляют кислород и выделяют углекислый газ. Технические же устройства — автомобильные моторы, реактивные двигатели самолетов, топки электростанций и т. д., вообще не могут работать без сжигания кислорода.

Всего сто лет назад, по подсчетам ученых, вес техномассы, то есть всех сооружений, когда-либо созданных людьми, включая авторучки, небоскребы, египетские пирамиды и шоссейные дороги, был на несколько порядков меньше, чем вес фитомассы — всех растений, находящихся на поверхности земли и вырабатывающих кислород.

В наши дни вес техномассы достиг примерно того же порядка, что и вес фитомассы. Если дело и дальше пойдет теми же темпами, то не за горами день, когда фитомасса Земли не сможет обеспечить нас необходимым запасом кислорода и начнется кислородный голод. Чтобы предотвратить возможное катастрофическое последствие, люди должны научиться понимать системный характер, сбалансированность всех технических и природных процессов на Земле. Из беспомощного неандертальца человек стал хозяином, владыкой Земли.

Так как мы не можем остановить научно-технический прогресс, ибо он обеспечивает удовлетворение наших потребностей, задача заключается в том, чтобы перейти к научному регулированию этого прогресса на основе современных исследований взаимодействия и взаимозависимости всех частей нашей земной системы. При этом нам необходимо выделить управляющую часть системы — человеческую деятельность и управляемую часть — природу, развивающуюся и живущую по своим особым законам. Между этими двумя частями существуют сложные связи: прямые, идущие от управляющей подсистемы к управляемой, и обратные — от управляемой к управляющей.

Чтобы понять такую сложную систему, необходимы уже усилия не отдельных ученых, а работа гигантских научных коллективов. А для осуществления разработанных ими проектов и рекомендаций необходимо взаимодействие и сотрудничество гигантского числа учреждений, предприятий и даже целых государств. Вот, кстати, и еще одна проблема.

Самоуправляющиеся или саморегулирующиеся системы совсем не такая редкость. К их числу относятся не только системы «человек — природа», но и просто взятые порознь высшие животные, заводские коллективы, крупные армейские подразделения и армии в целом, стада животных, подобные стаду китов, оленей или стае перелетных птиц, и т. д. Оказывается, что, несмотря на все качественные различия, между этими системами много общего.

В чем, однако, это общее заключается?

Сравнивая с позиций классического подхода современную электронно-вычислительную машину, осуществляющую по заданной программе управление целой железной дорогой, с человеком, мы поневоле пришли бы к выводу, что между ними нет ничего общего.

С позиций же системного подхода, когда мы стремимся выделить наиболее существенные части целого, чтобы понять роль и назначение его отдельных органов, механизмов и частей, все выглядит иначе. Выделив в качестве главных признаков сравниваемых объектов их функции, то есть виды действий, мы замечаем, что ЭВМ и человек в некоторой ситуации делают почти одно и то же, а именно: сидя в диспетчерской железной дороги, человек-диспетчер, так же как и ЭВМ, получает информацию о движении, погрузке, разгрузке, прибытии и отправлении поездов, о загруженности и состоянии различных участков дороги и в соответствии с определенной программой (инструкцией, правилами) принимает основанные на этой информации решения, которые он затем передает для исполнения на различные участки дороги.

Структура деятельности или, как иногда говорят ученые, функциональная структура человека и ЭВМ в данных обстоятельствах одинакова, хотя детали, части и «органы» у них совершенно различны.

Вот и оказывается, что системный подход позволяет при известных условиях сравнивать, отождествлять и изучать явления, которые при классическом подходе не обнаруживали никаких черт сходства. При этом возникает возможность выделить некоторые устойчивые структуры, присущие всем саморегулирующимся системам, и сформулировать отражающие их законы.

Познание систем имеет и еще одно серьезное преимущество, если оно опирается на системный подход. Диалектический материализм всегда утверждал, что мир представляет собой связанное целое, что все его части взаимообусловлены, так или иначе взаимодействуют. Однако обнаружить эту универсальную взаимосвязь и взаимодействие с помощью одних лишь наблюдений и экспериментов на протяжении долгого времени было не так-то легко. В течение ряда столетий, начиная со времен Галилея и до конца XIX века, классический подход был не только господствующим, но и во многих отношениях чрезвычайно полезным методом познания, так как давал возможность тщательно изучить детали различных явлений, всесторонне описать отдельные изолированные объекты и даже простейшие взаимосвязи между ними.

К концу XIX века во многих науках отчетливо стали замечаться недостатки классического подхода как основного, методологического принципа научного познания. Химики, например, тщательно изучили несколько десятков химических элементов, описали их свойства, соединения и типы реакций, в которых они участвуют. Потребовался, однако, особый подход, подход, который опирался на предположение, что химические свойства элементов и их взаимоотношения, то есть структуры взаимодействия, зависят от их позиций в какой-то общей системе, для того чтобы сделать новый гигантский шаг или, лучше сказать, скачок в развитии химии. Такое именно предположение и было сделано Д. И. Менделеевым, который составил систему химических элементов, а затем сформулировал опирающийся на нее закон периодичности их химических свойств. Используя этот закон, Менделеев даже сумел предсказать существование еще не известных элементов и более или менее подробно описал их предполагаемые свойства. Эти предсказания великого химика в дальнейшем были подтверждены экспериментально.

Так системный подход завоевал еще одну важную позицию.

Сыграл он значительную роль и в познании живой природы. На протяжении многих тысячелетий простые люди и ученые замечали особую периодичность, повторяемость в жизни животных и растений. Рыбы нерестятся не только в определенном месте, но и в определенное время; перелетные птицы точно узнают время отлета в жаркие страны; растения в определенное время суток раскрывают и закрывают свои цветки, расправляют и свертывают листья. Многочисленные попытки ихтиологов, орнитологов и биохимиков изучить эти явления в изолированном виде долгое время не давали результатов.

В начале нашего века шведский исследователь, один из первых лауреатов Нобелевской премии Сванте Аррениус высказал предположение, что цикличность в жизни растений в значительной степени связана с космическим фактором, с «деятельностью» небесных светил, потоком космических излучений.

В середине нашего столетия орнитологам и астрономам общими усилиями удалось показать, что многие птицы во время ночных перелетов ориентируются по звездам, а ихтиологи обнаружили, что рыбы точно фиксируют целую систему факторов: температуру и соленость воды, направление течения, рельеф морского дна, сейсмические волны, распространяемые подземными толчками, и т. д. и т. п.

Эти и многие другие обстоятельства еще отчетливее ставят перед нами задачу познания сложных систем взаимодействия самых различных объектов: далеких звезд, растений, подземных вулканов, морских рыб и птиц, совершающих ночные перелеты.

Во всех этих случаях системный подход не только помогает познавать сложные объективные системы, но и подталкивает ученых к постановке неожиданных познавательных задач, заставляет их задуматься над поиском новых и неожиданных связей, помогает глубже проникнуть в тайны научного познания.

 

Математика в научном познании

Знаменитый философ Иммануил Кант как-то заметил, что первая научная революция, возможно, связана с именем древнегреческого мудреца Фалеса (около 625—547 гг. до н. э.), которому приписывали доказательство геометрической теоремы о равнобедренных треугольниках. В некоторых старых учебниках ее так и называли теоремой Фалеса. До сих пор не известно, был ли именно Фалес первым греческим математиком, осуществившим процедуру геометрического доказательства, но, как бы то ни было, мы вправе предположить, что кто-то из древних мыслителей на самом деле впервые осуществил математическое доказательство на грани VII и VI веков до н. э. Почему же именно этот на первый взгляд вполне заурядный и привычный для каждого школьника прием математических рассуждений Кант считает признаком научной революции?

Математики древней Индии, Китая и особенно Египта и Вавилона располагали довольно обширными математическими познаниями. Они умели вычислять площади земельных участков, производить измерение высот различных, иногда очень больших предметов, располагали довольно сложными формулами, позволявшими им вычислять объем сельскохозяйственной продукции, размеры налогов, производить различные финансовые, военные и инженерные расчеты. При всем этом доказательство как особый математический или, лучше сказать, логический прием было им почти совершенно чуждо. Ученики воспринимали от своих учителей, чаще всего жрецов или писцов при правительственных учреждениях, готовые формулы без всякого доказательства и применяли их из столетия в столетие для решения сходных задач. Этим во многом объясняется медлительность в развитии восточной математики.

Древние греки были первым народом, который открыл важность логического доказательства для развития научной и прежде всего математической мысли. Энгельс настойчиво подчеркивал, что удивительная одаренность этого маленького народа обеспечила ему ту роль в истории, на которую не мог претендовать ни один народ. Этим он хотел, по-видимому, сказать, что основы современного мышления были заложены в древнегреческой науке и философии. Но почему именно древние греки открыли и изобрели доказательство? В чем сила этого приема мышления, почему именно эта сторона дела рассматривается Кантом и другими исследователями истории науки как поворотный пункт в ее развитии? Я попытаюсь хотя бы вкратце ответить на эти вопросы, хотя до окончательного их решения еще далеко.

В VII—VI вв. до н. э. в развитии древнегреческого общества наступил переломный момент. На побережье Малой Азии и Пелопоннесского полуострова вместо старых, тиранических государств начали возникать так называемые демократические города-государства — греческие полисы. Как вы знаете по школьным учебникам истории, это была демократия для рабовладельцев, но не для рабов. Однако внутри сообщества свободных граждан все решения должны были приниматься на основе голосования горожан, собиравшихся для обсуждения важных проблем на общие собрания. Чтобы склонить своих сограждан в ту или иную сторону, политические руководители, вожди различных группировок должны были убедить их в своей правоте, доказать правильность своей позиции. Очень скоро практика убеждения и доказательства была перенесена греческими мудрецами в другие области общественной жизни, прежде всего в сферу обучения и познания мира. Первоначальный смысл доказательства заключался в том, чтобы, пользуясь общими для всех правилами рассуждения, прийти к согласованному мнению или к истине. В дальнейшем под доказательством стали понимать последовательное выведение из некоторых принятых утверждений, называвшихся посылками или предпосылками, определенных следствий. Если посылки считались истинными и доказательство проводилось без нарушения принятых правил, то полученные из них заключения или следствия также рассматривались как истинные. Вскоре выяснилось, что из относительно небольшого числа бесспорных, очевидных или общепринятых посылок, не вызывавших ни у кого сомнения, на основе доказательства или процедуры логического выведения можно получить практически бесконечное число различных следствий. В обычной жизни мы переходим от одного утверждения к другому, опираясь главным образом на их содержание.

Создание математических и логических доказательств позволило в корне изменить этот привычный способ рассуждения. Математики осуществляют переход от одних утверждений к другим на основе заранее установленных правил, которые учитывают лишь форму данных утверждений, не касаясь по существу дела их содержания, то есть тех сторон и свойств действительности, к которым эти утверждения относятся или могут относиться и применяться. С примерами таких доказательств или, как их часто называют, формальных преобразований вы хорошо знакомы по курсу школьной математики.

В самом деле, беря ту или иную алгебраическую, геометрическую или тригонометрическую формулу, вы, пользуясь заранее установленными правилами, можете получить из них целый ряд других, необходимых вам для той или иной цели формул, даже не задумываясь о том, каково значение входящих в формулы величин.

Какие же преимущества сулит такой подход к математике?

Отныне ученик получает от своего учителя не готовый рецепт, который остается только зазубрить, но прежде всего метод математического рассуждения, доказательства, а вместе с тем и способ открытия новых теорем. Учитель сообщает ранее полученные теоремы или аксиомы, то есть утверждения, принимаемые без доказательства, а также основные логические правила — рассуждения и формулы, позволяющие преобразовывать уже известные теоремы в другие. Мало того, что каждое доказанное предложение приобретает достоинство объективной истины, процедура доказательства снимает всякие сомнения в этом, но, что гораздо важнее, математические предложения становятся понятными. Каждый, кто обладает способностями и необходимыми познаниями, может сам открывать и доказывать такие теоремы.

Не стоит, впрочем, думать, что открытия рождаются всегда в самой процедуре доказательства. Гораздо чаще доказательство применяется для установления связи и взаимной зависимости утверждений, открытых в результате других творческих процессов, часто даже эмпирических наблюдений. Величайший мыслитель Нового времени Галилей недаром подчеркивает в одной из своих бесед, что Пифагор, прежде чем доказать свою знаменитую теорему, по-видимому, нашел заключенное в ней соотношение эмпирическим путем. Известно также, что Архимед, прежде чем привести строгие математические доказательства, например, своей знаменитой теоремы о квадратуре параболы, позволяющей выразить площадь фигуры, ограниченной кривой линией, через площадь более простого прямоугольника, сначала производил ряд чисто механических экспериментов. Он вырезал параболические фигуры и различные прямоугольники из папируса и взвешивал их, стараясь найти сначала весовое соответствие, а затем, найдя такое соответствие приблизительно, придал ему форму строго геометрического доказательства. Тем не менее открытие доказательства и формальных преобразований как основного механизма построения математики привело к ее удивительному расцвету в Древней Греции.

Между зарождением египетской, а затем вавилонской математики и Фалесом лежит почти тысячелетний период. За это время сделано немало: открыты важные арифметические правила, осуществлены некоторые геометрические построения.

И все же это несоизмеримо мало по сравнению с тем, что сделано за три столетия, отделяющие Фалеса от знаменитого александрийского математика III века до н. э. Евклида. Он, как известно, впервые в истории науки изложил стройную систему геометрического знания. В его «Началах» систематизированы почти все известные к тому времени основные теоремы геометрии и арифметики. Что, однако, особенно важно, эти знания не просто агрегат, не просто механическое соединение, не просто сумма различных, не связанных частей, так сказать, порций математической информации, а последовательное, логически обоснованное построение.

Вначале излагаются аксиомы,а затем из них по правилам доказательства выводятся все полученные к этому времени теоремы геометрии. Такое построение математики, получившее с тех пор название аксиоматического метода, стало образцом для развития европейской математики на протяжении двух последующих тысячелетий. Возникнув из практических потребностей пересчета домашнего скота, денег, товаров, из необходимости проектировать крупные постройки, вроде пирамид и осушительных каналов, рассчитывать земельные участки и т. д., геометрия и арифметика, благодаря открытию логических доказательств и формальных преобразований, получили мощный толчок и стали развиваться в силу, как теперь говорят, внутренней логики. Накопление точных, общезначимых, доказательных математических знаний, позволявших производить точные расчеты и вычисления, с успехом заменявшие трудноосуществимые эмпирические измерения, побудило греческих мыслителей применить математику к наблюдаемым явлениям. Уже Фалес, как гласит легенда, пытался воспользоваться теоремами о подобии треугольников для измерения расстояния от берега до корабля.

Находясь в точке А (см. рис. 1) побережья, он завизировал направление на мачту находящегося в море корабля, а затем на другую точку побережья В. Перейдя в точку В, он проделал такую же процедуру, направив на этот раз визир на мачту и точку А. Затем он построил небольшой треугольник с основанием ав и углами при вершинах а иве соответственно равными углами при вершинах А и В треугольника ABC. Измерив затем расстояние ав и расстояние АВ и применив теорему о подобии треугольников, Фалес без труда смог точно рассчитать расстояние до корабля, которое при тогдашних методах измерения трудно было бы установить иным методом.

Мысль о том, что применение математики может не только облегчить практически вычисления и расчеты, но и позволяет познать явления, которые иным способом вообще не могут быть познаны или могут быть познаны с трудом и менее точно, очень быстро овладело умами мыслителей. Архимед (287 — 212 гг. до н. э.) был одним из самых великих греческих механиков, широко применявших математику для решения механических и физических задач. Сочетая вычисления с наблюдениями, он, в частности, открыл знаменитый закон об уменьшении веса тел, погруженных в жидкость. Другое интересное применение, и, быть может, самое перспективное, в античную эпоху математика нашла в астрономии. В частности, александриец Эратосфен воспользовался геометрическими построениями, чтобы вычислить длину земного меридиана, поскольку он считал Землю шарообразной. Аристарх Самосский, живший в III веке до н. э., воспользовался геометрической моделью пространства для измерения диаметра Луны и расстояния до Солнца. Считая, что Земля вращается вокруг Солнца, а Луна вокруг Земли, он правильно представил себе пространственно-геометрическую модель расположения этих трех тел, при котором ровно половина лунного диска является освещенной. Аристарх правильно решил, что при таком освещении Луна должна находиться в вершине прямого угла в треугольнике, образованном Землей, Луной и Солнцем. Завизировав направление на Солнце и границы освещенной части Луны, а также воспользовавшись некоторыми исход-72 ными данными о размерах Луны, Земли и некоторыми другими сведениями, с большей или меньшей точностью установленными им самим и его предшественниками, Аристарх сделал важные вычисления, оставившие определенный след в античной астрономии. В этом отчетливо проявляется возможность использовать математические построения для вычислений, дополняющих и продолжающих практические астрономические измерения.

Таким образом, использование математики позволяло делать расчеты все более и более точными, а также заменять некоторые неосуществимые по разным причинам измерения вычислениями и, что особенно важно, придавало научным знаниям систематический, упорядоченный, научный характер.

Разумеется, применение математики в астрономии, механике и физике в античном мире было несравненно менее эффективным и распространенным, чем в наши дни. Однако следует специально подчеркнуть, что именно в эпоху античности впервые был сделан шаг к фундаментальному изменению роли математики в процессе познания. Этот шаг, по моему мнению, связан прежде всего с именем александрийского астронома Клавдия Птолемея, жившего во II веке н. э.

С тех пор как в XVI веке Коперником была провозглашена гелиоцентрическая система и особенно после того, как благодаря трудам Галилея, Кеплера и Ньютона ее справедливость была доказана, многие относились к Птолемею пренебрежительно, рассматривая созданную им геоцентрическую систему как нелепость, веками использовавшуюся богословами для подтверждения библейской картины мира. Однако сам Коперник с большим почтением и уважением относился к Птолемею, подчеркивая, что и Птолемей и он метили в одну цель, но степень точности прицела была различной.

Великая историческая заслуга Птолемея заключалась в том, что он впервые в истории астрономии да, пожалуй, и науки вообще попытался создать единую систему знаний, относящуюся к единой области — движению небесных светил. Птолемей стремился объединить в рамках единой системы механические основы движения светил, заимствованные у Аристотеля, эмпирические наблюдения, производившиеся его многочисленными предшественниками в Греции и в странах древней Азии, а также достижения современной ему математики. Что еще важнее, он попытался подойти к рассматриваемым явлениям с единой математической точки зрения и создать для каждого движущегося небесного светила — Солнца и известных ему планет — геометрическую модель движения. Правда, его система страдала рядом серьезных недостатков, справедливо подмеченных как арабскими астрономами, так и особенно Коперником, который отмечал слабость математических основ системы Птолемея. Тем не менее первая историческая попытка изложить астрономию на математической основе, позволяющей хотя бы приблизительно вычислять и предсказывать движение светил, произвела столь сильное впечатление на современников и последователей Птолемея, что, несмотря на множество недостатков и несоответствия более точным наблюдениям, система эта просуществовала без изменения почти тринадцать столетий.

Интересно отметить, что не только несоответствие ряда вычислений, произведенных на основе невероятно сложных геометрических построений Птолемея, с действительными наблюдениями, но в гораздо большей степени общая математическая шаткость основ системы Птолемея побудили Коперника, по его собственным словам, заняться пересмотром системы Птолемея в целом.

Величайшей заслугой Коперника было понимание того, что научное знание должно излагаться и развиваться в рамках единой математической системы. Коперник правильно считал, что основа, то есть исходные положения, отнюдь не обязательно должны покоиться на наблюдении. Достаточно, чтобы они были просты, не противоречивы и позволяли путем логического вывода или математических преобразований получить следствия, которые, по мнению Коперника, должны непременно согласовываться с наблюдением и экспериментом. В противном случае вся математическая система рассматривалась как несоответствующая данной совокупности естественно-научных знаний, не способная служить их развитию и изложению.

Этим подход Коперника существенно отличался от подхода Птолемея, стремившегося в первую очередь согласовать свои геометрические модели движения планет и Солнца с наблюдением, но мало заботившегося как о простоте и согласованности между собой различных моделей, так и о соответствии их точным расчетам, опирающимся на наблюдения. Переворот в научном мышлении, произведенный Коперником, оказал могучее влияние на развитие всего естествознания Нового времени.

Дальнейшие успехи в применении математики для целей научного познания связаны с именами прежде всего Галилея, Кеплера, Гюйгенса и Ньютона. Из этого, конечно, неверно было бы делать вывод, что только эти четыре великих мыслителя содействовали применению математики к решению научных проблем.

Период XVI и XVII веков дал миру многих выдающихся ученых, стремившихся применить математику для решения различных научных задач, но именно эти мыслители сделали существенные шаги, видоизменившие взаимоотношения математики и экспериментального естествознания. Со времен античных ученых и особенно Птолемея вплоть до Коперника математика играла роль вспомогательного средства. Ее использовали для упорядочения результатов наблюдения, для проведения вычислений в тех случаях, когда прямые наблюдения или измерения казались невозможными, наконец, для вычисления отдельных количественных характеристик тех или иных явлений. Но при этом математика как бы накладывалась на эмпирические знания, само же развитие математики происходило независимо от естествознания и никак не связывалось со стоящими перед ним задачами.

В период средних веков, в эпоху засилья церковной схоластики, успехи опытного эмпирического естествознания были практически ничтожны, и математика развивалась независимо от него, в силу своих внутренних потребностей и закономерностей. Галилей одним из первых стал использовать математические соображения при проведении и планировании экспериментов.

Хотя Галилей и не сформулировал соотношение математики и эксперимента в четкой форме, оно, по существу, хорошо усматривается в его работах. Их смысл заключается в глубоком понимании, что для того чтобы быть истинными, знания должны быть проверены точным экспериментом, не вызывающим возражений или сомнений. Это возможно лишь в том случае, если эксперимент основан на количественных измерениях. Измерения же могут быть сопоставлены с научными знаниями, использованы для их проверки, только если эмпирические знания выражены в математической форме. С этого момента само наблюдение и эксперимент должны были выражаться в точной количественной, то есть математизированной форме.

Математизация наблюдения и эксперимента была тем существенным отличием, которое позволяет провести водораздел между качественными наблюдениями, преобладавшими в прежней науке, и количественными наблюдениями, основанными на многократных, хорошо проверяемых, общедоступных и неопровержимых измерениях.

Что же такое измерение? Отложив шесть с половиной раз стандартную метровую линейку вдоль прилавка в магазине, мы говорим, что длина его равна 6 м 50 см. Положив на одну чашу весов арбуз, а на другую — уравновешивающую его гирю в 5 кг и еще три разновеска в 100, 50 и 25 г, мы утверждаем, что вес арбуза равен 5 кг 175 г.

Таким образом, измерение длины, веса да и всех других величин заключается в приписывании измеряемым величинам определенных числовых значений.Это приписывание делается не произвольно (иначе его познавательная ценность была бы равна нулю), а по некоторым правилам. Правила определяются теорией измерений и включают в себя: 1) выбор единиц измерения (например, сантиметр, метр, грамм, килограмм, секунда и т. д); 2) определение операций, допустимых при манипулировании со стандартами данной величины (последовательное прикладывание метровой линейки, последовательное добавление или удаление разновесков на чаше весов и т. д.); 3) оперирование с числовыми значениями, полученными при измере-нии(например, допускается или не допускается сложение, вычитание, умножение, деление и другие операции с числовыми результатами измерений).

Большинство шкал на известных вам по школьным лабораториям приборов представляют собой не что иное, как такие правила, выполненные в виде насечек на планке метровой линейки, термометра, пружинных весов и т. д. К числу шкал, по существу, относятся также деления на часовом циферблате, позволяющие по положению стрелки приписывать определенные числовые значения интервалам времени, в течение которого совершаются какие-либо события.

Таким образом, в результате измерения определенной величины можно приписать событию или группе событий, явлений и процессов те или иные числовые значения. С другой стороны, располагая соответствующими числовыми значениями, можно отобрать подходящие явления и процессы среди гигантского множества других изучаемых явлений и процессов.

Измерения, следовательно, позволяют заменить качественное описание явлений, в известной степени зависящее от органов восприятия данного субъекта (исследователя), количественными характеристиками, имеющими одинаковое объективное значение для различных исследователей, экспериментирующих или наблюдающих за явлениями в сходных условиях.

Однако обойтись одними измерениями никакая наука не может.

Во-первых, для того чтобы измерения были надежными, желательно проводить их много раз, что позволяет учесть влияние случайных и побочных обстоятельств. При этом часто возникают так называемые ошибки измерения, определить которые можно лишь с помощью вычислений, основанных н£ особых математических формулах.

Во-вторыл, измерения, как и наблюдения, могут повторяться и производиться лишь конечное число раз. При этом остается неясным, каковы значения величины между моментами двух «соседних измерений». Измерения не дают нам сведений о значениях изучаемой величины в любой интересующий нас момент времени, они не пригодны для того, чтобы делать предсказания о будущих значениях данной величины, о поведении того или иного явления в будущем или прошлом.

И, наконец, в-третьих, существуют такие явления и процессы, которые просто не поддаются прямому измерению. Как, например, измерить температуру на поверхности Солнца, равную примерно 6000° С, или в его центре, где она достигает, по мнению ученых, миллиона градусов. Никакой термометр не может быть приведен в соприкосновение с таким горячим телом, ибо даже самые жаростойкие сплавы и составы немедленно сгорают или испаряются при подобных температурах. Оказывается, что для этого приходится пользоваться косвенными измерениями, измеряя, скажем, яркость и светимость того или иного тела, чтобы, воспользовавшись после этого вычислениями, установить значение интересующей нас величины, в данном случае температуру различных частей Солнца.

Итак, измерения представляют собой продукт прямого внедрения математики в эксперимент и наблюдение. Смысл измерения, оказывается, состоит в том, чтобы превратить результаты лаблюдений и экспериментов в числа, которые могут быть включены в различные вычислительные процедуры и преобразования.

Но где и когда происходит такое включение и почему мы не можем ограничиться либо одними вычислениями, либо одними измерениями?

На некоторые из этих вопросов я отчасти ответил выше, другие я собираюсь обсудить сейчас.

Дело в том, что сами по себе чистые математические преобразования и манипуляции с числами не имеют прямого отношения к действительности, хотя многие математические операции и объекты (например, натуральные числа 0, 1, 2, 3. . .) возникли как результат абстрагирования от вещей и процессов, существующих и происходящих в реальном мире.

Когда мы говорим, что 3 -f- 3 = 8, это отнюдь не означает, что мы утверждаем, будто бы где-то в мире реально существует восемь каких-то предметов. Во всяком случае, наше математическое утверждение не имеет в виду ничего конкретного, оно просто устанавливает правило для оперирования с числами. Если же мы утверждаем, что число баранов в одном стаде три, а в другом пять, то на вопрос, сколько будет баранов, если мы объединим эти два стада без потерь и добавлений в одно, мы можем ответить, что их будет восемь. Для этого нет необходимости заново производить пересчет, достаточно лишь просуммировать числа, указывающие количество баранов в каждом стаде по вышеприведенному правилу.

Следовательно, чтобы математические расчеты давали нам знания об объективном мире, мы должны сначала произвести измерения, получить с их помощью числовые значения величин, а затем подставить их в те или иные формулы.

Чтобы эти формулы и совершаемые над ними преобразования вновь дали нам знания об объективном мире, необходимо, чтобы мы располагали не произвольными математическими формулами-теоремами и преобразованиями, а законами науки, выраженными в математической формуле. В этом случае у нас будет гарантия, что истинные законы науки дают нам знания об объективных конкретных предметах, и притом знания объективно-истинные во всех ситуациях, когда мы подставляем числовые значения, полученные в измерениях вместо, переменных, фигурирующих в формулировке физических, биологических, химических, астрономических и других фундаментальных законов.

Если далее мы имеем гипотезы, выраженные в виде математических уравнений и формул, и допускаем, что входящие в них величины могут иметь определенные значения, то после соответствующих преобразований мы можем получить числовые выражения, подсказывающие нам, что и как следует измерить в действительности, для того чтобы проверить правильность, объективность данных гипотез. В этом случае измерение как бы завершает исследование. Если результаты формальных преобразований и вычислений в границах разрешенных ошибок совпадают с результатами измерений, то именно эта процедура доказывает нам, что гипотеза имеет право называться законом науки. Здесь математика обнаруживает новые замечательные особенности, она выступает как особый язык, позволяющий нам формулировать, выражать и даже создавать знания о явлениях, свойствах и состояниях, которые далеко не всегда поддаются измерениям или вообще им не поддаются, хотя и имеют количественные характеристики.

В античной науке математику, так сказать, прилагали для оформления знаний, которые были получены часто без ее помощи. Она позволяла точнее и определеннее говорить о вещах и процессах, о которых можно было говорить и на обычном, повседневном языке, языке наблюдения, здравого смысла.

Напротив, в науке Нового времени математика все чаще обнаруживает свои новые возможности; она превращается в язык формул и формальных преобразований, дающий возможность выразить знания не только о ненаблюдаемых, но часто и о принципиально не наглядных явлениях.

Чтобы эта мысль была понятна, я хочу пояснить различие между наблюдаемостью и наглядностью.

В 30-е годы прошлого столетия французский философ Огюст Конт для иллюстрации своего утверждения о том, что мир не может быть нами познан, приводил в качестве примера обратную сторону Луны, которая, по его мнению, никогда не будет наблюдаемой, а следовательно, и познанной.

Облет Луны и фотографирование ее обратной стороны опровергли этот тезис Конта. Но для нас важнее другое, а именно: понять, что наглядность и наблюдаемость не одно и то же. Есть явления, которые не могут наблюдаться в данный момент, в данном месте и при данных обстоятельствах, хотя при иных обстоятельствах, в иное время и ином месте они наблюдаемы. Звезды нельзя наблюдать при ярком солнечном освещении, Солнце не поддается наблюдению в облачный день, нельзя невооруженным глазом увидеть полет артиллерийского снаряда и т. д. Однако при других условиях перечисленные явления наблюдать можно. Некоторые явления не поддаются наблюдению по техническим причинам, скажем, из-за отсутствия увеличивающего устройства определенной силы. Долгое время считали, что молекулы никогда не будут наблюдаемы. Создание мощных электронных микроскопов опровергло это предположение и сделало некоторые крупные молекулы доступными наблюдению.

Существуют тем не менее процессы и явления, которые вряд ли можно будет наблюдать в обозримом будущем, но которые вместе с тем можно вообразить благодаря нашему пространственному и временно'му воображению.

Мы никогда не сможем наблюдать, например, переход Цезаря через Рубикон, так как время необратимо. Движение планет вокруг Солнца, предсказанное Коперником и уточненное Кеплером, мы наблюдать никогда не сможем, так как для этого наблюдателю следовало бы поместиться в центре Солнца, что заведомо невозможно.

И все же эти явления могут быть нами представлены в наглядных, чувственных образах. Кинофильм, посвященный жизни Юлия Цезаря, научно-фантастические романы, наконец, наглядные схемы гелиоцентрической системы создают образы этих ненаблюдаемых явлений.

Наглядными, стало быть, называются такие явления и процессы, которые, не будучи наблюдаемыми в данный или какой-либо другой момент, в принципе при иных условиях и обстоятельствах могли бы быть объектами нашего чувственного восприятия. Те же из явлений и процессов, которые ни при каких условиях не могут быть непосредственно восприняты органами чувств человека, не могут вызвать в нем чувственных образов — не наглядны.

Как же быть с тем, что не наглядно, как познать не наглядные явления?

Здесь-то и обнаруживается в полной мере роль математики в современном научном познании.

Уже Ньютон, Гюйгенс и другие мыслители XVII, XVIII и XIX веков использовали математику для того, чтобы формулировать знания о не наглядных явлениях. Можно почувствовать силу тяжести по боли в плечах, вызванной тяжелым рюкзаком, можно увидеть волны, расходящиеся по воде от брошенного камня, но увидеть силу взаимного притяжения, особенно при взаимодействии небесных светил, или волновые колебания света невозможно. Однако эти явления могут быть описаны и поняты с помощью определенных законов, выраженных в виде уравнений волнового движения или уравнений, указывающих количественные характеристики взаимодействующих на расстоянии тел.

Математика, следовательно, позволяет современной науке говорить о том, что не наглядно. При этом она не просто формулирует на языке особых символов то, что понятно и выразимо в обыденном языке. Напротив, математика позволяет сказать и даже открыть то, что иным образом никогда, быть может, и не было бы сделано.

Наконец, еще одна замечательная особенность математики заключается в силе абстракций. Отвлекаясь от качественного разнообразия предметов, математика позволяет изучать сходные структуры самых различных объективных систем. Я уже рассказывал вам, как Максвелл воспользовался уравнениями гидродинамики для описания сходных свойств и отношений совершенно другого физического явления— электромагнетизма.jЧисло подобных примеров не трудно увеличить. Достаточно вспомнить, что некоторые уравнения механики, например для соударения чрезвычайно малых упругих шариков, могут при известных условиях использоваться для описания движения молекул газов.

В. И. Ленин еще в начале нашего столетия подчеркивал, что общность и единство дифференциальных уравнений, применяемых к качественно различным объектам природы, демонстрируют не только связь между науками, но и внутреннее единство окружающего нас мира.

Это обстоятельство особенно важно, когда мы сталкиваемся с изучением больших и сложных систем, подобных тем, о которых говорилось раньше.

С помощью электронно-вычислительных машин, позволяющих в необыкновенно сжатые сроки решать сложные уравнения и делать громоздкие вычисления, непосильные человеку, математика дает нам мощное средство изучения сложных систем. Она не только обслуживает потребности науки, но и подсказывает направление новых исследований. Именно поэтому Маркс и говорил, что наука только тогда достигает совершенства, когда она начинает пользоваться математикой.

Итак, можно сделать выводы:

1. Математика превращает науку в систематическое, доказательное, количественное и проверяемое знание.

2. Она позволяет придать нашим наблюдениям с помощью измерения количественный характер и точно проверить результаты теоретических вычислений.

3. Она позволяет сформулировать знания о принципиально не наглядных и не наблюдаемых явлениях.

4. Она позволяет точно описывать и изучать сложные системы.

 

Штурм неопределенности

Наш разговор о системном подходе, сложных системах, о многоструктурных объектах и месте математики в научном познании будет не полон, если мы не затронем еще одну важную проблему теории познания — вопрос о неопределенности. Но какое отношение ко всему этому имеет неопределенность? Что это за особая вещь? Почему вообще о ней нужно говорить, а тем более в трактате о научном познании?—спросите вы. Ну что ж, ваши вопросы законны. И я предлагаю вам вместе попытаться наити на них разумный ответ.

В повседневной жизни мы сталкиваемся с неопределенностью на каждом шагу. Выглянув в окно и заметив, что вечернее небо затянуто тучами, вы можете сказать: «Вероятно, ночью будет гроза». Тот, кто услышит такой прогноз, вряд ли задумается над тем, почему вы употребили слово «вероятно», а не сказали просто: «Ночью будет гроза». А между тем короткое слово «вероятно» занимает одно из самых почетных мест и в математике и в теории познания. Я даже готов утверждать, что с понятием вероятности связаны самые острые, так сказать, «гвардейские» проблемы современной науки, изучающие самые разные процессы, происходящие в природе и человеческом обществе.

Когда вы говорите, что ночная гроза вероятна, то вами, по-видимому, руководит осторожность, опирающаяся на опыт. Нередкб бывает так, что внезапно налетает сильный ветер и разгоняет тучи. Если бы вы сказали: «Ночью будет гроза», ваше утверждение оказалось бы ложным в случае, если бы ветер разогнал тучи. Если же вы говорите: «Вероятно, ночью будет гроза», то вас никто не упрекнет в ошибочности прогноза, ибо вы не настаиваете на своем утверждении, а только предполагаете, не считаете его абсолютно истинным, а лишь более или менее правдоподобным.

Такая осторожность имеет серьезные основания. Погода в каждый определенный день в определенном месте Земли так же, как и климат в целом, зависит от множества различных факторов, от тысячи различных причин. На погоду влияют: состояние солнечной активности, положение Земли на околосолнечной орбите, наклон ее оси к плоскости вращения вокруг Солнца, направление и сила воздушных течений в соседних областях (наличие циклонов или антициклонов), относительная влажность воздуха, температура и многое другое. Короче говоря, чтобы точно предсказать погоду, мы должны знать все факторы, от которых она зависит, их взаимодействие, мы должны учитывать огромное количество самых разнообразных причин и уметь точно определять влияние каждой из них на конечные результаты. Для этого, как вы знаете, нам, с одной стороны, необходимо располагать точными математически сформулированными законами метеорологии (науки о погоде), с другой — результатами измерений всех величин, входящих в этот закон (атмосферное давление, температура воздуха и поверхности почвы, относительная влажность, характер воздушных течений на различных высотах и т. п.).

А между тем метеорологи еще не сформулировали закона, связывающего воедино все причины, влияющие на погоду, да и измерить такие величины с надлежащей точностью в различных уголках Земли, а затем с предельной быстротой собрать полученные данные и обработать их далеко не просто. Вот и оказывается, что многие факторы, влияющие на погоду, не определены, а порой и не могут быть определены достаточно точно.

Вы, наверно, уже заметили, что климат и погода как его характеристика являются системами, и притом весьма сложными, с десятками подсистем и тысячами элементов. Точно определить взаимосвязь и количественные характеристики всех этих подсистем и элементов невозможно даже с помощью радиосвязи, передающей сведения на любые расстояния с молниеносной быстротой, и при содействии ЭВМ, способных просчитать миллионы данных за несколько минут. Понятие «вероятность», следовательно, отражает некоторую неопределенность, с которой вольно или невольно нам приходится считаться.

Если быть до конца откровенным, то я должен сказать, что мы живем в мире неопределенности. Наши категорические утверждения: «Высота Останкинской телебашни равна 536 м» или «Вес этой гири равен 1 кг», «Радиус Земли составляет 6371 км» — на самом деле дают огрубленное, упрощенное знание об объективной действительности. Правда, и в повседневной жизни и в науке такие упрощения и огрубления часто бывают оправданными, а во многих случаях даже необходимыми. Возьмите хотя бы второй закон Кеплера. Он позволяет довольно точно вычислять положение планет в Солнечной системе в любой момент времени, и все-таки я употребил оговорку «довольно точно», не сказал «совершенно точно», так как в действительности законы небесной механики основаны на определенных огрубленных моделях, на абстракциях, учитывающих лишь взаимодействие небольшого числа факторов.

В действительности, как показали астрономические наблюдения и измерения, планеты не двигаются вокруг Солнца по геометрически правильным эллипсам, а колеблются, вибрируют вокруг некоторой «средней» линии, ибо на них оказывают воздействие множество причин, влияние которых не учитывается законами Кеплера.

Под влиянием наших практических потребностей мы, как правило, отражаем в законах науки лишь наиболее устойчивые, постоянные и простые связи между объективными явлениями и процессами. Но, по мере того как в сферу научных исследований втягиваются все более сложные системы, мы чаще сталкиваемся с «неопределенностными» ситуациями, то есть с таким положением дел, когда мы не можем отвлечься, абстрагироваться от влияния неизвестных, неизученных или не поддающихся учету причин.

А между тем людям приходится постоянно действовать в условиях большей или меньшей неопределенности. Полководец часто разрабатывает план военных действий, не зная в точности сил и намерений врага. Ученый планирует высадку человека на другую планету, не имея всех необходимых сведений о поверхности и атмосфере этой планеты. Директор завода, рабочий, водитель автобуса, диспетчер на железной дороге, пешеход, пересекающий улицу, министр торговли, хирург, производящий операцию, сотни и тысячи раз принимают самые различные решения, не зная до конца всех возможных последствий и всех условий, необходимых для осуществления этих решений и действий. Естественно поэтому, что люди стремятся уменьшить неопределенность, а для этого им прежде всего необходимо ее оценить, необходимо сравнить различные последствия, определить «вес» или влияние различных неопределенных факторов, оценить их предполагаемые следствия.

Вот этим-то целям и служит понятие «вероятность». В обычном, повседневном языке, в бытовой деятельности мы говорим, что одно событие более вероятно, чем другое, или что одно весьма вероятно тогда, как другое почти невероятно, и т. д. Однако в науке, где требуется высокая точность, ограничиться такими расплывчатыми оценками нельзя, поэтому ученые стремятся разработать особые математические приемы, особые правила, определения и вычисления количественных оценок вероятностей различных событий и процессов.

Именно этим целям и служит особый раздел математики— теория вероятностей.

Теория вероятностей возникла в XVII веке благодаря трудам Паскаля, Ферма', Бернулли и др. В XVII, XVIII и XIX веках ею занимались многие крупные математики. Большой вклад в ее развитие в конце XIX и в XX веке сделали академики А. А. Марков, А. Н. Колмогоров и др.

Теория вероятностей — сложная научная дисциплина. Она состоит как бы из двух этажей. Один из них — это исчисление вероятностей, то есть набор математических правил, позволяющих по определенным исходным условиям вычислять вероятность простых или сложных событий. Второй этаж представляет собой как бы философскую или теоретико-познавательную надстройку, так как здесь осуществляется выяснение содержания различных понятий о вероятности и неопределенности, о том, какие стороны объективного мира и человеческой деятельности отражены в понятии «вероятность».

Мы не будем здесь заниматься исчислением вероятности. Если вы заинтересуетесь им, то легко сможете изучить по многочисленным популярным или даже специальным учебникам и книгам. Зато побродить по второму этажу и хоть немного разобраться в том, что на нем находится, нам не только полезно, но и необходимо.

Долгое время многие естествоиспытатели и математики, стоявшие на позициях стихийного, естественнонаучного материализма, считали, что все явления в мире имеют свои строгие, точные и раз навсегда определенные причины. Это убеждение во многом покоилось на механистическом мировоззрении, прообразом и моделью которого служила классическая механика. В ней-то каждое изменение в движении материальных тел действительно строго определено теми или иными воздействиями, поддающимися точному учету. Не многим могла прийти в эпоху торжества классической механики мысль, что сама она с ее высокой точностью, простотой, наглядностью, геометрической безупречностью является лишь приблизительным, упрощенным отображением действительности. Поэтому-то все неопределенностные ситуации рассматривались лишь как результат недостаточной осведомленности людей.

Если бы люди обладали исчерпывающей информацией, полными сведениями о всех событиях и причинах, то они могли бы, по мнению ведущих естествоиспытателей и математиков XVII—XIX веков, предсказывать и объяснять любое явление абсолютно точно. Они не нуждались бы в вероятности как в мере неопределенности.

Эту точку зрения замечательно образно выразил знаменитый французский математик Пьер Лаплас:

«Ум, которому были бы известны для какого-либо данного момента все силы, одушевляющие природу, и относительное положение всех ее составных частей, если бы вдобавок он оказался достаточно обширным, чтобы подчинить эти данные анализу, обнял бы в одной формуле движения величайших тел Вселенной наравне с движениями легчайших атомов, — не осталось бы ничего, что было бы для него недостоверно, и будущее так же, как и прошедшее, предстало бы перед его взором. Ум человеческий в совершенстве, которое он сумел придать астрономии, дает представление о слабом наброске того разума. Его открытия в механике и геометрии в соединении с открытием всемирного тяготения сделали его способным понимать под одними и теми же аналитическими выражениями прошедшие и будущие состояния мировой системы. Применяя тот же метод к некоторым другим объектам знания, нашему разуму удалось подвести наблюдаемые явления под общие законы и предвидеть явления, которые будут вызваны данными условиями. Все усилия духа в поисках истины постоянно стремятся приблизить его к разуму, о котором мы только что упоминали, но от которого он останется навсегда бесконечно далеким. Это стремление, свойственное роду человеческому, возвышает его над животными; и успехи его в этом направлении различают нации и века и составляют их истинную славу».

Лаплас, как видно, был убежден в том, что неопределенность, неточность, приблизительность, а следовательно, и вероятность наших знаний зависит от того, что люди не в состоянии собрать и проанализировать абсолютно все необходимые сведения. Однако у него не было никаких сомнений, что в самой природе каждое следствие обусловлено одной, точно определенной причиной и каждая причина вызывает строго определенное следствие. Если бы все их связи были известны, мы могли бы навсегда покончить с неопределенностью, а следовательно, и с вероятностью как количественной мерой неопределенности. Поскольку эта цель вследствие несовершенства человеческого разума с точки зрения Лапласа неосуществима, то и приходится прибегать к теории вероятностей.

Самым простым понятием о вероятности является так называемая классическая концепция вероятности.

Допустим, что в ящике, содержащем 100 биллиардных шариков, имеется 30 красных, 20 белых и 50 черных шариков. Если вы потрясли и достаточно хорошо перемешали шарики в ящике, а затем наугад, не глядя, вытаскиваете один из шариков, то каков шанс, что вы вытащите красный шарик?

Обозначив вероятность вытащить красный шарик через Р(к) и учитывая, что всего красных шариков 30 и каждое вытаскивание не зависит от другого, так как шарики возвращаются обратно в ящик, мы можем сказать, что Р(к)=30/100=0,3. Точно так же вероятность вытащить белый шарик равна 0,2. В этом смысле вероятность представляет собой отношение числа благоприятных случаев ко всем возможным случаям. Она вовсе не гарантирует, что первый же вытащенный шарик будет именно данного цвета, но подсказывает, что при большом числе попыток вытащить черней шарик с первого раза более вероятно, чем красный: Р(ч)=0,5, а красный более вероятно, чем белый: Р(к) = 0,3.

Не следует, однако, думать, что классические вероятности всегда вычисляются так же легко, как в нашем примере. Если бы, дело обстояло так, то незачем было бы создавать особое исчисление вероятностей. На практике мы, как правило, имеем дело со сложными событиями, с запутанными ситуациями, над которыми приходится долго ломать голову, прежде чем становится ясно, какие правила исчисления вероятности следует к ним применить.

Вот вам простейшая иллюстрация подобного рода: допустим, что в первый ящик письменного стола положили два красных карандаша, во второй — красный и синий, в третий — два синих. Затем вы, не глядя, вытаскиваете один карандаш и снова закрываете ящик. Глянув на этот карандаш, вы обнаруживаете, что он красный. Спрашивается, какова вероятность того, что снова, открыв тот же самый ящик, вы опять вытащите красный карандаш?

Первый путь рассуждений таков: так как я вытащил красный карандаш, то я имею дело с первым или вторым ящиком. Третий ящик отпадает. Если это был первый ящик, то оставшийся карандаш — красный, если второй — то синий. Обе эти возможности не зависят друг от друга, полностью исключают друг друга и совершенно одинаковы с точки зрения условий и осуществлений. Поскольку таких возможностей всего две и они равноценны, то вероятность вытащить красный карандаш при следующей попытке равна 1/2.

Второй способ рассуждения таков: так как карандашей всего 6, то вероятность вытащить один из них равна 1/6. После первой попытки мы убеждаемся, что имеем дело с первым или вторым ящиком, но наверняка не с третьим. После того как один карандаш вытащен, в этих ящиках осталось три карандаша, из которых два красных. Так как одинаково возможно при второй попытке вытащить любой из них, то вероятность вытащить красный из общего числа в три карандаша равна 2/3.

Как видите, результаты при разных способах рассуждения оказываются разными. Тщательный анализ показывает, что более правилен второй анализ рассуждения. Тем не менее для нас важно не это, а то, что количественное значение вероятности тех или иных событий определяется не только ходом математических вычислений и правилами математики, но и способом логического анализа понятия вероятности, пониманием структуры неопределенностной ситуации.

Начиная с середины XIX века и на протяжении всего XX века все большее число ученых начало понимать, что вероятность тех или иных событий связана не только с нашей недостаточной осведомленностью, но и с природой самих объективных, материальных процессов. Изучая, например, законы движения газов, физики обнаружили, что молекулы газа характеризуются относительно небольшим набором свойств — скажем, скоростью, энергией и т. п. В то же время даже в относительно небольшом объеме, не превышающем несколько литров, находятся миллиарды молекул.

Если мы возьмем различные количественные значения скорости и энергии и захотим ответить на вопрос, как распределяются молекулы газа в данном объеме, по скоростям, в зависимости от их энергии, то мы сможем сформулировать так называемые статистические законы газовой динамики. Эти законы называются статистическими, потому что статистика изучает массовые случайные процессы. При этом мы хорошо знаем, что случайными следует считать не произвольные явления, которые не подчиняются никаким законам, а явления, подчиняющиеся огромному числу объективных и притом закономерных воздействий. За такими случайными явлениями как бы скрываются необходимые и закономерные связи и отношения.

Изучая случайные явления и процессы при помощи определенных математических методов, статистика как раз и стремится выявить такие закономерности. Разумеется, что статистические закономерности содержат в себе значительную «дозу» неопределенности. С их помощью нельзя, например, точно указать, какая именно молекула в такой-то момент времени в такой-то части объема газа будет двигаться с данной скоростью и в данном направлении. Зато они позволяют подсчитать с известной вероятностью общее количество молекул (или их процент от общего числа), обладающих определенными скоростями или энергиями, и т. д.

Статистические законы газовой кинематики и динамики были разработаны Максвеллом, о котором я уже говорил в связи с созданием классической электродинамики.

Нам здесь важно отметить, что в этих законах в том или ином виде также присутствует понятие вероятности, отражающее некоторую неопределенность.

Чтобы представить себе, что такое статистическая или эмпирическая вероятность, нам следует рассмотреть простой эксперимент с подбрасыванием монет.

Допустим, что мы проводим 10 серий испытаний по 100 подбрасываний в каждой серии, стремясь выяснить, что выпадает чаще: орел или решка. Пусть в первой серии монеты 49 раз упадут решкой кверху, а 51 — орлом. Во второй серии соответственно выпадает 47 раз орел, 53 — решка, в третьей — 52 орел, 48 решка, в четвертой и последующих орел выпадает 44, 41, 42, 45, 50, 52 и 54 раза, соответственно решка выпадает 56, 59, 58, 55, 50, 48, 46 раз. Расположив все эти данные в определенном порядке при помощи таблицы или графика, мы можем заметить, что частота появления каждого признака (орел и решка) в каждой серии испытаний различны, но, взятые вместе, они как бы колеблются около некоторого устойчивого значения или, иными словами, приближаются к нему с разных сторон, как к своему пределу. Это значение есть число 1/2. Его и можно условно принять за вероятность того, что в достаточно большой серии подбрасываний почти в половине случаев монеты выпадут орлом вверх, а в другой половине — решкой. Число 1/2 было установлено здесь на основе статистических подсчетов случаев в большой массе экспериментальных подбрасываний.

Разумеется, в действительности в научных экспериментах при измерении различных сложных процессов дело обстоит не так просто, но суть его та же самая. Измерение статистических вероятностей позволяет в дальнейшем оценить возможность наступления того или иного события, предсказать его с наибольшим или наименьшим правдоподобием.

Применение статистических методов и понятие статистической или эмпирической вероятности иногда приводит к настоящим открытиям. Именно так случилось в опытах основоположника современной генетики — науки о биологической наследственности Грегора Менделя. Мендель занимался гибридизацией двух сортов гороха, различавшихся лишь небольшим числом признаков. Выделив один из них — форму горошин (одни были гладкими, другие морщинистыми), Мендель заметил, что гибриды, полученные в результате взаимного опыления двух сортов гороха, состояли исключительно из гладких горошин. Однако следующее поколение, полученное из гладких семян, отличалось удивительной особенностью. Статистический подсчет показал, что из 7324 семян второго поколения 3474 оказались гладкими, а 1830 — морщинистыми. Хотя в любых двух произвольно взятых стручках горошины распределялись как попало, статистический расчет обнаружил довольно четко выраженную количественную закономерность: гладких горошин было почти в три раза больше, чем морщинистых.

Мендель, в отличие от большинства биологов XIX века, хорошо знавший математику, предположил, что законы наследственности подчиняются точным количественным соотношениям и опубликовал свои соображения в 1865 году. Его открытие было столь неожиданным, что в течение почти тридцати пяти лет не получило почти никакого отклика в научной литературе. Лишь в XX веке биологи смогли полностью оценить важность количественных методов в биологических исследованиях. Однако даже после открытия структуры ДНК из генетики не удалось устранить вероятностные статистические оценки. И сейчас мы можем лишь с высокой вероятностью предсказать, сколько мальчиков и девочек родится в следующем году в Москве, Хабаровске, Амстердаме или Токио, какие признаки унаследуют гибриды таких-то и таких-то растений или животных и т. д.

Как бы ни были точны наши предсказания, опирающиеся теперь не на догадки, а на объективную истину, касающуюся молекулярной структуры ДНК, на ясное знание механизмов размножения и развития животных и растений, мы вынуждены признать, что известная доля неопределенности заложена, по-види-мому, в самой природе, в самой организации передачи наследственных признаков.

Еще одно подтверждение объективного характера некоторых видов неопределенности мы легко обнаруживаем, рассматривая сложные системы типа большого города. Вы хорошо знаете, что безопасность уличного движения зависит не только от числа пешеходов, транспортных средств, светофоров и регулировщиков, но и от взаимного расположения улиц, перекрестков, подземных и наземных переходов —иными словами, безопасность зависит не только от элементов систем, но и от ее пространственной структуры.

Эти факторы хотя и поддаются учету, не являются единственными причинами, полностью определяющими безопасность движения. Необходимо учитывать еще, насколько хорошо известны правила уличного движения пешеходам и водителям, насколько они готовы соблюдать эти правила, и, наконец, психологическое состояние людей, освещение улиц, состояние светофоров, переходных полос и многое другое. Даже самые быстродействующие ЭВМ, получающие максимально полную информацию о состоянии транспортных магистралей, о движении транспорта и пешеходных потоков, не могут с полной определенностью оценить состояние транспортных систем одновременно во всех частях города. Они могут дать такую оценку лишь с известной вероятностью. Поэтому диспетчер (человек или автомат), регулируя движение в городе, принимает решение, опирающееся на более или менее вероятную информацию. Чем больше неопределенность в той или иной ситуации, тем менее вероятными, менее надежными являются наши знания. Наоборот, чем меньше неопределенность, тем выше значение вероятности.

Когда все причины и следствия, все временные и пространственные характеристики, все сведения об элементах и структурах систем совершенно определенны, безукоризненно точны, тогда вероятность переходит в достоверность — в исчерпывающе полную, абсолютную истину.

Нетрудно заметить, что истины такого рода достижимы лишь в самых простых случаях, когда чрезвычайно мало число элементов и структур системы, когда требования к точности измерений и вычислений невысоки, а сама познавательная задача относится скорее к абстрактной упрощенной модели, а не к самой действительности.

Вот почему один из создателей системного подхода биолог Людвиг Берталанфи как-то сказал, что все законы природы носят статистический, вероятностный характер.

Теперь мы могли бы указать основные виды неопределенности, с которыми приходится иметь дело ученым:

1. Неопределенность, связанная со статистическим характером объективных законов природы. Неопределенность этого рода неустранима и не зависит от степени нашей неосведомленности о тех или иных явлениях.

2. Неопределенность, зависящая от недостаточно полной информированности. Причиной ее могут быть, по крайней мере, три обстоятельства.

Во-первых, необходимая для устранения неопределенностей информация может быть безвозвратно утеряна или ее нельзя получить в силу объективных причин. Мы, например, никогда не сможем точно узнать о полном составе книг Александрийской библиотеки, целиком уничтоженной пожаром около двух тысяч лет назад. Люди (по крайней мере, мы с вами) вряд ли узнают о существовании в данный момент жизни в других галактиках, так как даже самые быстрые сигналы, посланные оттуда со скоростью света (300 000 км/сек) в момент, когда вы читаете эти строки, достигнут Земли лишь через много миллиардов лет.

Во-вторых, необходимая для устранения неопределенностей информация может отсутствовать или затеряться по техническим причинам. Примерами этого рода могут служить смерть гонца, везущего донесение главнокомандующему, обрыв проводов телефоннотелеграфной связи, недостаточная скорость или поломка ЭВМ. Во всех этих случаях недостаток или отсутствие информации вызваны не объективными законами природы или необратимостью времени, а техническими случайными помехами, которые в принципе можно было предотвратить, но которые фактически предотвращены не были.

В-третьих, плата за ту или иную информацию, устраняющую неопределенность, может быть очень высокой. «Плату» я понимаю здесь в широком смысле, как совокупность возможных затрат: денег, времени, людских сил, как использование сырья, научной аппаратуры и т. д.

Вы легко поймете, о чем идет речь, если представите себе ученых, пытающихся детально изучить поведение и маршруты перелетных птиц.

В принципе мы могли получить бы вполне достоверное знание, если бы не только закольцевали всех птиц в стае, но и снабдили их портативными радиопередатчиками, мобилизовав для слежения за полетом десятки радиолокационных станций, сотни планеров, управляемых пилотами-орнитологами, и т. д. Однако затраты на все эти предприятия были бы так велики, что вряд ли оправдались полученными результатами. Поэтому орнитолог, занимающийся изучением птиц, удовлетворяется гораздо более ограниченной информацией и восполняет существующие пробелы с помощью более или менее вероятных гипотез и предположений.

Мы можем теперь сказать, что позиция Лапласа, допускавшего, что при известных условиях неопределенность вообще могла быть исключена из научного познания, является сильным преувеличением. Впрочем, оно продиктовано верой в мощь человеческого познания, и в этом отношении сам Лаплас и другие ученые, занимавшиеся развитием теории вероятности и статистикой, сделали очень многое, чтобы разработать методы, позволяющие преодолеть или уменьшить неопределенность, с которой мы встречаемся в практической и познавательной деятельности. Так как ученым, государственным деятелям, инженерам, руководителям производства в нашу эпоху, эпоху быстрых перемен и сложных систем, часто приходится принимать ответственные решения в условиях неопределенности, им необходимо располагать все более совершенными методами для ее оценки и преодоления. Штурм неопределенности, который наука ведет на протяжении всей своей истории, усиливается и нарастает, и тому, кто обладает пытливым и критическим умом, стоит приложить свои усилия к этой важной сфере научного познания.