Если игра в мудрецов и колпаки вызвала интерес, подобную деятельность можно продолжить. Предлагаем еще три сюжета о мудрецах с возможными сценариями. Первые два сюжета требуют различного реквизита, но математически близки и могут быть разыграны как на разных занятиях, так и на одном и том же. Склеивать же все три в одно тематическое занятие вряд ли целесообразно.
Важно, чтобы все участники осознали, что мудрецы по правилам игры никогда не действуют наобум, а говорят только то, в чем уверены. Если школьник-«мудрец» случайно верно называет цвет своего колпака (или число), хотя по-честному следовало сказать «Не знаю», надо показать, что колпак (число) мог быть и другим, и «казнить» «мудреца».
Предложено два порядка обсуждения задачи о пяти мудрецах и трех цветах. Первый вариант уместен для сильного и многочисленного кружка: первая ситуация сложная, зато разбирается совместно; с более простыми ребята должны справиться сами. В упрощенном варианте те же ситуации разыгрываются и обсуждаются всем кружком вместе с руководителем. Одна и та же ситуация рассматривается в нескольких вариациях, математически аналогичных, но на первый взгляд кажущихся различными. Ситуации не отличаются принципиально от рассмотренных в первом варианте, поэтому мы ограничились ответами без обоснований. Этот вариант более игровой и динамичный и больше подходит для сообразительных ребят, мало занимавшихся математикой и не склонных к формальным доказательствам.
Все цвета радуги
Задача 10.12. Пяти мудрецам принесли колпаки всех семи цветов радуги и восьмой, белый, колпак. Затем мудрецов построили в затылок друг другу и надели каждому по колпаку. Каждый мудрец видит колпаки всех стоящих перед ним, но не видит ни своего колпака, ни колпаки стоящих сзади. Мудрецам сообщили, что белый колпак на кого-то надет. Затем по очереди, начиная с последнего, стали спрашивать каждого, знает ли он цвет своего колпака. Как только кто-то верно назовет цвет своего колпака, всем дадут по конфете. Но если он ошибется, всех казнят. Чем закончится эта история?
Сценарий. Руководитель кружка приглашает для инсценировки пятерых ребят и показывает всем восемь разноцветных колпаков. Количество «артистов» может быть иным, лишь бы колпаков оказалось больше. Затем рассказывает условие задачи, строит ребят и надевает на них колпаки, после чего спрашивает всех по порядку, начиная с последнего, о цвете его колпака. На первый раз лучше надеть белый колпак на достаточно сообразительного кружковца, стоящего ближе к началу, чтобы спросить его попозже. После того как ребята получат конфеты (или будут «казнены»), можно пригласить и других детей, чтобы в итоге каждый получил по конфете, а затем кто-то из обладателей белого колпака объяснит, как он догадался, а кто-то другой – почему он не мог угадать цвет своего колпака.
Ответ. Носитель белого колпака назовет его цвет, и каждый мудрец получит конфету.
Решение. Если последний мудрец видит перед собой кого-то в белом колпаке, он ответит «Не знаю», а если не видит, то скажет, что на нем белый колпак. Так же поведут себя и другие мудрецы, пока очередь не дойдет до того, на котором надет белый колпак. Он поймет: раз все говорили «Не знаю», значит, они видели кого-то в белом колпаке. Но я-то его не вижу. Значит, я сам в белом колпаке.
Пять мудрецов и три цвета
Задача 10.13. Пяти мудрецам принесли шесть колпаков: два желтых, два красных и два зеленых. Мудрецов построили в затылок друг другу и надели каждому по колпаку. Каждый мудрец видит колпаки всех стоящих перед ним, но не видит ни своего колпака, ни колпаков стоящих сзади. Затем по очереди, начиная с последнего, стали спрашивать каждого, знает ли он цвет своего колпака.
1) На мудрецов надеты колпаки в таком порядке: красный, желтый, зеленый, красный, желтый (а второй зеленый спрятан). Что ответят мудрецы?
Сценарий. Учитель может пригласить к доске пятерых мудрецов и надеть им колпаки указанных цветов. Если мудрец называет цвет своего колпака, он должен объяснить, как он рассуждал. Если он затрудняется, то зрителям хочется подсказать. Но просто назвать цвет колпака (который зритель видит) неинтересно, надо встать на место мудреца и порассуждать за него. Чтобы не забыть, кто что говорил, ответы можно писать на доске.
Решение. Пятый (последний) не знает, желтый на нем колпак или зеленый, и должен сказать «Не знаю». Четвертый видит перед собой колпаки трех разных цветов и не имеет никаких оснований «предпочесть» для себя один из них. Он тоже должен сказать «Не знаю». А вот третий знает, что колпаки всех трех цветов использованы (так как колпаков двух цветов всего четыре, а мудрецов пять). Но не видит перед собой зеленого колпака. И думает так: «Пятый мудрец, как и я, знал, что зеленый колпак на кого-то надет. Почему он не сказал, что на нем зеленый колпак? Потому что видел его на ком-то другом. Причем не на первом и не на втором. Может быть, зеленый колпак только у четвертого мудреца? Но тогда четвертый мудрец, не видя перед собой ни одного зеленого колпака, догадался бы, что на нем зеленый колпак. Так что про четвертого мудреца не знаю, а вот на мне точно зеленый колпак». Поэтому он скажет «Зеленый».
Второй, аналогично, знает, что желтый колпак на кого-то надет. Более того, он понимает, что это знали и другие мудрецы и думает так: «Почему пятый не сказал, что на нем желтый колпак? Потому что видел его на ком-то другом. Причем не на первом (на первом красный колпак). И не на третьем, который сказал «Зеленый». Может быть, на четвертом? Но если бы четвертый не видел перед собой желтого колпака, он бы догадался, что желтый на нем. Значит, четвертый и пятый видели желтый колпак на мне». Итак, второй угадывает, что на нем желтый колпак.
Аналогично и первый угадывает, что у него красный колпак.
Сценарий. Когда кто-то из детей догадается до решения и расскажет его, можно надеть колпаки на первый взгляд по-другому, а по сути так же: три первых колпака разных цветов, затем два любых разных колпака. Например, желтый, красный, зеленый, зеленый, желтый. Так можно делать, пока все не поймут, почему три первых мудреца могут определить свой цвет, а два последних нет.
После этого можно продолжать поочередно разыгрывать ситуации, меняя артистов и зрителей местами. Если ребят на кружке много, их можно разделить на группы: в каждой по пять мудрецов и хотя бы один человек, надевающий на них колпаки. Пусть каждая группа попробует экспериментально разобраться с пунктом 2. Те, кто справится быстрее, успеют подумать и про пункт 3 и рассказать решение всем. После этого каждой группе предлагается подобрать пример для пункта 4 и для начала проверить его в своей группе, а затем предложить на суд всего кружка. Точно так же, группа, решившая пункт 6, предлагает эту ситуацию другим группам. Придумать подходящий пример легче после решения пункта 5.
2) На мудрецов надеты колпаки в таком порядке: красный, красный, желтый, желтый, зеленый (а второй зеленый спрятан). Что ответят мудрецы?
Решение. Пятый мудрец понимает, что на ком-то есть зеленый колпак. Поскольку перед собой он видит только желтые и красные колпаки, то ответит: «На мне зеленый». Отсюда остальные мудрецы поймут, что пятый видит два желтых и два красных колпака (иначе он сказал бы «Не знаю») и что не использован зеленый колпак. А поскольку цвета остальных колпаков им известны (либо видны, либо верно названы другими мудрецами), то все по очереди верно назовут цвета своих колпаков.
3) Стоявший сзади мудрец верно ответил на вопрос. Докажите, что и остальные смогут определить цвета своих колпаков.
Решение. Как показано в предыдущем пункте, все мудрецы поймут, что спрятан колпак того же цвета, что и колпак, надетый на последнего мудреца. А поскольку цвета остальных колпаков им известны (либо видны, либо верно названы другими мудрецами), то все по очереди верно назовут цвета своих колпаков.
4) Один из мудрецов верно ответил на вопрос. Обязательно ли остальные после этого тоже смогут определить цвета своих колпаков?
Решение. Нет. Пусть, например, на мудрецов надеты красный, желтый, красный, зеленый, зеленый колпаки. Тогда пятый мудрец не сможет понять, зеленый или желтый колпак на нем, и скажет «Не знаю». Четвертый после этого поймет, что на нем не желтый колпак. Но и не красный, поскольку два красных он видит. Поэтому четвертый скажет «Зеленый». Но для третьего желтый и красный цвета останутся равноправны.
5) Докажите, что не менее трех мудрецов правильно определят цвет своего колпака.
Решение. Все мудрецы знают, что хотя бы один из них в желтом колпаке. Если последний мудрец не видит перед собой желтого колпака, то он скажет: «На мне желтый колпак». Если он назвал другой цвет или не смог определить цвет своего колпака, то он видит перед собой хотя бы одного мудреца в желтом колпаке. Тогда если предпоследний мудрец не видит перед собой желтого колпака, то он скажет: «На мне желтый колпак». Аналогичные рассуждения верны и для следующих мудрецов. Поэтому рано или поздно кто-то скажет, что желтый колпак на нем. Точно так же доказывается, что каждый из трех цветов будет назван хотя бы одним мудрецом.
6) Придумайте ситуацию, в которой верно ответить на вопрос смогут четыре из пяти мудрецов.
Решение. Например, колпаки надеты в таком порядке: желтый, желтый, красный, зеленый, зеленый (а второй красный спрятан). Пятый мудрец не может отличить, красный на нем колпак или зеленый, и ответит «Не знаю». Четвертый видит перед собой два желтых колпака и понимает, что на нем не желтый. А еще он видит красный колпак третьего мудреца и понимает, что если бы на нем тоже был красный колпак, то пятый бы без труда определил цвет своего зеленого колпака. Итак, четвертый понимает, что на нем зеленый колпак, и сообщает об этом.
Третий понимает, что если бы на нем тоже был зеленый колпак, то пятый бы определил цвет своего красного колпака. Третий также видит желтые колпаки первых двух и делает вывод, что на нем красный колпак.
Второй думает: «Если на мне красный колпак, то третий видит перед собой желтый и красный колпаки, а слышал до этого ответы „Не знаю“ и „Зеленый“. Как же третий мог различить, желтый или красный на нем колпак? А если на мне зеленый, то четвертый видел перед собой три разных колпака и слышал от пятого „Не знаю“. Как же он определил цвет своего колпака?» Итак, второй методом исключения тоже поймет, что на нем желтый колпак.
Первый думает: «Пусть на мне красный колпак. Тогда третий видел перед собой желтый и красный колпаки, а слышал до этого ответы „Не знаю“ и „Зеленый“. В таком случае желтый и красный цвета с точки зрения третьего равноправны. Как же он сделал выбор? Значит, на мне не красный колпак. Пусть на мне зеленый колпак. Тогда четвертый видел перед собой три колпака разных цветов, а слышал только ответ „Не знаю“. Как же он мог сделать выбор? Значит, на мне и не зеленый колпак. Остается желтый».
Упрощенный вариант
Сценарий. Обсуждается та же задача 10.13. Учитель приглашает пятерых «мудрецов», просит их закрыть глаза и надевает им пять колпаков, а шестой прячет. Затем мудрецы открывают глаза и, начиная с последнего, либо называют цвет своего колпака, либо говорят «Не знаю». Все ошибки предлагается исправлять на месте с помощью зрителей или учителя. Например, если «мудрец» должен был сказать «Не знаю», но вместо этого случайно верно назвал цвет своего колпака, можно достать спрятанный колпак и сказать: «Но ведь могло быть и так!», после чего «отрубить голову». А если «мудрец» мог бы догадаться, но говорит «Не знаю», подсказать примерно так: «Представь, что на тебе желтый колпак. Что бы тогда видел стоящий за тобой? И что бы он сказал? Почему же он сказал „Не знаю“? Так какой же на тебе колпак?» Если какая-то ситуация пошла с трудом, можно повторить ее, поменяв, например, все желтые колпаки на красные, а красные – на желтые.
Колпаки на мудрецах такие:
1) Красный, красный, желтый, желтый, зеленый (а второй зеленый спрятан).
Ответ. Определить цвет своего колпака могут все.
2) Желтый, зеленый, желтый, зеленый, красный.
Ответ. Определить цвет своего колпака могут все.
3) Красный, желтый, желтый, красный, зеленый.
Ответ. Определить цвет своего колпака могут все.
4) Желтый, красный, зеленый, желтый, красный.
Ответ. Два последних скажут «Не знаю», а три первых назовут цвет.
5) Зеленый, желтый, красный, красный, зеленый.
Ответ. Два последних скажут «Не знаю», а три первых назовут цвет.
6) Желтый, желтый, красный, зеленый, зеленый.
Ответ. Последний скажет «Не знаю», а остальные назовут свой цвет.
7) Красный, желтый, красный, зеленый, зеленый.
Ответ. Пятый и третий скажут «Не знаю», а остальные назовут свой цвет.
Два мудреца и последовательные числа
Задача 10.14. 1) Двум мудрецам написали на лбу по натуральному числу и сообщили, что эти числа последовательные. Когда мудрецы посмотрели друг на друга, между ними состоялся такой диалог:
А: «Я не знаю моего числа».
Б: «А я знаю мое число».
Какие числа были написаны?
Решение. Если бы А увидел число 1, то он бы понял, что у него на лбу число 2. То есть А фактически сообщил Б, что у него не 1. Если Б увидел число 2, то он сделал вывод, что у него самого – 3. Если Б увидел 1, то он независимо от слов А понял, что у него самого 2. А если бы Б увидел другое число, он не смог бы определить свое число.
Ответ. Либо у А написано число 2, а у Б – число 3, либо у А – число 1, а у Б – число 2.
Сценарий. После разбора этой задачи можно поиграть с числами чуть побольше (3 и 4, 4 и 5, 5 и 6). Рисовать каждый раз на лбу необязательно, можно использовать наклейки на лоб, а чтобы зрителям было труднее, можно писать числа на бумажках. Двум школьникам дают написанные на бумажках последовательные числа (причем делать это могут зрители), а они по очереди говорят, знают ли они, что написано на бумажке у второго «мудреца». Когда один из них скажет «Знаю», зрители должны догадаться, какие у них числа, и проверить, не ошибся ли кто-то из «мудрецов». Интересно сравнить, как изменится диалог, если дать мудрецам те же числа, но в обратном порядке. Экспериментируя, школьники могут заметить, что первым догадывается о числе партнера тот из мудрецов, кто видит меньшее число. После этого можно предложить исследовать ситуацию в общем виде.
2) Каждому из двух мудрецов дали бумажку с написанным на ней натуральным числом и сообщили, что эти числа последовательные. Когда мудрецы посмотрели на числа, между ними состоялся такой диалог:
А: «Я не знаю твое число».
Б: «И я не знаю твое число».
А: «И я не знаю твое число».
…
а) Докажите, что рано или поздно кто-то из мудрецов сможет сказать: «Теперь я знаю твое число».
б) От чего (от написанных чисел или от того, кто начал диалог) зависит, кто из мудрецов первым узнает число другого?
в) Докажите, что второй мудрец сможет сказать в ответ: «И я теперь тоже знаю твое число».
Решение, а) Произнося по очереди «Я не знаю твое число», мудрецы сообщают друг другу следующую информацию:
А: «У меня не 1»;
Б: «У меня не 1 и не 2»;
А: «У меня не 1, не 2 и не 3» и так далее, прибавляя по одному числу с каждым новым высказыванием.
Ясно, что это не может продолжаться бесконечно.
б) Пусть одному из мудрецов (неважно, А или Б) написали меньшее число n, а второму – большее число n + 1. До (n — 1) – го высказывания никто из них не знает, какое число у партнера. Если (n — 1) – е высказывание делает второй, то первый поймет, какое у него число, и скажет об этом. Если (n — 1) – е высказывание делает первый, то второй не сможет сразу определить, какое число у первого, n или n + 2, и сделает n-е высказывание: «И я не знаю твое число». А первый теперь все поймет.
в) Как выяснилось в предыдущем пункте, сказав «Теперь я знаю твое число», первый мудрец фактически сообщает: «Мое число меньше твоего». Второму мудрецу остается лишь отнять 1 от своего числа.
3) Каждому из двух мудрецов дали бумажку с написанным на ней натуральным числом и сообщили, что эти числа последовательные. Когда мудрецы посмотрели на числа, между ними состоялся такой диалог:
А: «Я не знаю твое число».
Б: «И я не знаю твое число».
А: «И я не знаю твое число».
Б: «И я не знаю твое число».
После того как каждый сообщил о своем незнании 10 раз, мудрец А сказал: «Теперь я знаю твое число». Какие числа были написаны на бумажках?
Ответ. Либо у А число 20, а у Б число 21, либо у А число 21, а у Б число 22.
Решение. После первой реплики А мудрец Б понимает, что у А не число 1. Если бы у Б было число 2, он бы понял, что у А число 3. По его первой реплике ясно, что это не так (а также что у Б не 1), и мудрец А делает вывод, что у Б не 1 и не 2. Рассуждая аналогично, делаем два вывода. Во-первых, после десятой реплики А мудрец Б понимает, что у А не числа от 1 до 19 включительно. Во-вторых, после десятой реплики Б мудрец А понимает, что у Б не числа от 1 до 20 включительно. Понять после этого, какое у Б число, мудрец А мог в двух случаях: если у него самого число 20, то у Б число 21, а если у А число 21, то у Б – 22.