Занятие 1. Легко ли быть рыцарем, или Высказывания и их отрицания

Задача 1. Являются ли высказываниями следующие предложения?

1. Семеро одного не ждут.

2. У кошки четыре ноги.

3. 1 января 2001 года был вторник.

4. Любое четное число, не меньшее 4, можно представить в виде суммы двух простых чисел

5*. Это утверждение истинно.

Задача 2. Являются ли противоположными высказывания:

1) «Вчера светило солнце» и «Вчера шел дождь»;

2) «Я умею прыгать через лужи» и «Я не умею прыгать через лужи»?

Задача 3. Постройте отрицания к высказываниям, не пользуясь оборотом «Неверно, что…»:

1) Я встретил Вас.

2) Трудно быть богом.

Задача 4*. Британские ученые нашли древнюю рукопись, содержащую всего два утверждения:

1) Оба утверждения этой рукописи ложны.

2) Земля имеет форму чемодана.

Какой вывод можно сделать из этой рукописи?

Задача 5. Объясните, почему данные предложения не являются высказываниями. Можете ли вы сконструировать аналогичные по смыслу высказывания? Как вы думаете, истинны ли они?

1. Семь раз отмерь, один раз отрежь.

2. Что нам стоит дом построить: нарисуем – будем жить.

3. Шел дождь.

Задача 6. Придумайте несколько высказываний и несколько предложений, не являющихся высказываниями.

Задача 7. Являются ли противоположными высказывания:

1) «Нельзя пользоваться калькулятором на уроках математики» и «На уроках математики можно пользоваться калькулятором»;

2) «Андрей выше Мити» и «Митя выше Андрея»?

Задача 8. Постройте отрицания к высказываниям, не пользуясь оборотом «Неверно, что…»:

1) Завтра дальняя дорога выпадает королю.

2) У него деньжонок много.

3) А я денежки люблю.

Задача 9. 1) Директор школы категорически возражает против отмены контроля за прическами. Может ли Степа безнаказанно покрасить волосы в малиновый цвет?

2) Директор школы категорически возражает против отмены решения о запрете контроля за прическами. Может ли Степа безнаказанно покрасить волосы в малиновый цвет?

Задача 10*. Житель острова Крит говорит: «Все критяне лжецы». Истинно или ложно это высказывание? (В этой задаче Крит считается островом рыцарей и лжецов.)

Задача 11. К каждому из высказываний сформулируйте отрицание. Определите, что верно: утверждение или его отрицание.

1) Сумма двух двузначных чисел – двузначное число.

2) Сумма двух четных чисел – четное число.

3) Прямоугольник размером 20 х 15 можно разрезать на прямоугольники размером 3x5.

4) Квадрат размером 2015 х 2015 можно разрезать на прямоугольники размером 20 х 15.

5) В нашей школе найдутся два ученика, имеющие одинаковое число друзей среди учеников нашей школы.

6) * Через отверстие, прорезанное в листке из школьной тетради, человек пролезть не может.

 

Занятие 2. Урок русского языка, или «Все», «некоторые» и отрицание

Задача 1. 1) Серый Волк заинтересовался цветом шапочек. Однажды он встретил Красную Шапочку. Помогите Волку сделать правильный вывод. Придумайте несколько вариантов.

2) Выразите другими словами мысль «Все шапочки красные».

Задача 2. Вася говорит, что слова «для всех» и «для каждого» означают одно и то же. Прав ли Вася?

Задача 3. 1) Означают ли одно и то же высказывания: «Некоторые сантехники любят рэп» и «Некоторые любители рэпа – сантехники»?

2) Означают ли одно и то же высказывания: «Все сантехники любят рэп» и «Все любители рэпа – сантехники»?

Задача 4. Лжец сказал: «В этой корзине все грибы съедобны». Значит ли это, что все грибы в этой корзине ядовиты? (Для простоты забудем об условно съедобных грибах и будем каждый гриб считать либо съедобным, либо ядовитым.)

Задача 5. Рассмотрим два утверждения. Сколько из них могут быть верными?

1) В этой корзине все грибы съедобные.

2) В этой корзине есть хотя бы один ядовитый гриб.

Задача 6. Лжец сказал: «В этой корзине некоторые грибы ядовитые». Что можно узнать из этого высказывания?

Задача 7. Дано утверждение: «Все малышки хорошо поют». Незнайка сформулировал к нему отрицание: «Все малышки поют отвратительно».

1) Как с помощью закона исключенного третьего убедить Незнайку, что он ошибся?

2) Сформулируйте отрицание правильно.

Задача 8. Постройте отрицания к каждому утверждению, не используя частицу «не». Где сможете, укажите, что верно: утверждение или его отрицание. Где сможете, обоснуйте свое мнение примером или контрпримером.

1) На Земле существует хотя бы одна гора выше 10000 м над уровнем моря.

2) Существует хотя бы один вулкан с высотой более 10000 м относительно своего основания.

3) Любой жук помещается в спичечном коробке.

4) Некоторые горные реки быстрые.

5) Бутерброд всегда падает маслом вниз.

Задача 9. Рассмотрим два утверждения:

А: В этой корзине все грибы съедобные.

Б: В этой корзине есть хотя бы один съедобный гриб.

Могут ли быть верными: 1) оба утверждения; 2) ровно одно из них;

3) ни одного?

Задача 10. Является ли высказывание «В этой корзине некоторые грибы съедобные» отрицанием высказывания «В этой корзине некоторые грибы ядовитые»?

Задача 11. Нарисуйте с помощью кругов Эйлера иллюстрацию к каждому высказыванию. Есть ли среди иллюстраций одинаковые? Одинаков ли смысл соответствующих высказываний?

1. Все хоббиты живут в норах.

2. Все жители нор – хоббиты.

3. Некоторые кошки серые.

4. Некоторые серые существа – кошки.

Задача 12. Когда учительница ругала Дениса за плохой почерк, он сказал: «У всех великих людей был плохой почерк, значит, я великий человек». Прав ли он?

Задача 13. Шерлок Холмс допросил Зайца, Волка и Лису по делу о съедении Колобка. Подозреваемые заявили:

Заяц: «Хотя бы один из нас съел Колобка».

Волк: «Хотя бы один из нас не ел Колобка».

Лиса: «Хотя бы один из нас сказал правду».

Как известно, Колобка съела Лиса. Кто сказал правду, а кто солгал?

Задача 14. Комиссия посетила больницу и составила отчет, в котором не было ни одного правдивого утверждения.

«Все врачи имеют достаточный опыт. Некоторые врачи никогда еще не ставили неправильного диагноза. Никто из врачей не опаздывает на работу. Все пациенты довольны лечением. Ни один из них не жалуется на бытовые условия. Некоторые пациенты выздоравливают за один день».

Напишите, как выглядел бы честный отчет.

Задача 15. В комнате собрались несколько жителей острова рыцарей и лжецов. Трое из них сказали следующее:

– Нас тут не больше трех человек. Все мы лжецы.

– Нас тут не больше четырех человек. Не все мы лжецы.

– Нас тут пятеро. Лжецов среди нас не меньше трех.

Сколько в комнате человек и сколько из них лжецов?

Задача 16. Предположим, что справедливы следующие утверждения:

• Среди людей, имеющих телевизоры, не все являются малярами.

• Люди, каждый день купающиеся в бассейне, но не являющиеся малярами, не имеют телевизоров.

Следует ли отсюда, что не все владельцы телевизоров каждый день купаются в бассейне?

 

Занятие 3. Вдоль по Африке, или Примеры для некоторых и контрпримеры для всех

Задача 1. Определите, какие из утверждений верны. Где можно, подтвердите свой ответ примером (контрпримером). В остальных случаях обоснуйте его по-другому.

1. Все нечетные числа простые.

2. Все простые числа нечетные.

3. Некоторые нечетные числа простые.

4. Некоторые простые числа нечетные.

5. Все четные числа составные.

6. Все числа вида р + 7, где р – простое, являются составными.

Задача 2. Верно ли высказывание: «Любое нечетное число, большее

5, можно представить в виде суммы трех простых чисел»?

Задача 3*. Верно ли утверждение: «Все дожившие до наших дней тираннозавры умеют вышивать крестиком»?

Задача 4*. Рассмотрим два высказывания:

А: Некоторым Мишиным одноклассникам 12 лет.

Б: Всем Мишиным одноклассникам 12 лет.

Можно ли, ничего не зная про Мишу, утверждать, что:

1) если верно А, то верно и Б;

2) если верно Б, то верно и А?

Задача 5. Землянин Вася сказал: «Все марсиане лжецы». Прав ли Вася?

Задача 6. Есть 30 гирек, которые весят 1 г, 2 г, 3 г…, 30 г. Можно ли разложить их: 1) на две кучки одинакового веса; 2) на три кучки одинакового веса?

Задача 7. 1) Можно ли заполнить таблицу 3x3 натуральными числами так, чтобы сумма чисел в каждой строке была четным числом, а в каждом столбце – нечетным? 2) А таблицу 4x4?

Задача 8. Верно ли, что периметр любого четырехугольника, целиком находящегося внутри данного квадрата, меньше периметра этого квадрата?

Задача 9. Верно ли, что все числа вида 2 n + 15, где n – натуральное число, простые?

Задача 10. Рассмотрим натуральные числа, в записи которых нет нулей.

1) Найдется ли среди них десятизначное число, делящееся на сумму своих цифр?

2) А стозначное?

Задача 11.1) Какие из высказываний А – Д означают одно и то же?

2) Будем считать высказывание А истинным. Какие из других высказываний в таком случае наверняка истинны?

А: Дед Мороз – волшебник.

Б: Существует хотя бы один дед-волшебник.

В: Существует ровно один дед-волшебник.

Г: Некоторые деды – волшебники.

Д: Некоторые волшебники – деды.

Задача 12*. Найдите ошибку в рассуждениях.

«Рассмотрим три высказывания:

А: Существует хотя бы один дед-волшебник.

Б: Дед Мороз – волшебник.

В: Все деды – волшебники.

Можно ли утверждать, что если верно В, то верно и А? Нет: контрпримером является ситуация, когда множество дедов пусто (аналогично задаче про Мишиных одноклассников).

С другой стороны, если верно В, то верно и Б (иначе Дед Мороз служил бы контрпримером к высказыванию В). Но если верно Б, то верно и А (для доказательства существования достаточно привести пример, в данном случае Дед Мороз – пример). Итак, если верно В, то верно и А».

Задача 13*. Прокомментируйте доказательство существования Деда Мороза, изложенное в виде диалога двух логиков.

Первый: «Если я не ошибаюсь, Дед Мороз существует».

Второй: «Разумеется, Дед Мороз существует, если вы не ошибаетесь».

Первый: «Следовательно, мое утверждение истинно».

Второй: «Разумеется!»

Первый: «Итак, я не ошибся, а вы согласились с тем, что если я не ошибаюсь, то Дед Мороз существует. Следовательно, Дед Мороз существует».

 

Занятие 4. Пиратская логика, или Высказывания с союзами «и», «или»

Задача 1. Чтобы найти клад, надо пройти от старой пальмы 100 футов на восток, потом 100 футов на север. Четыре пирата высказались про место расположения клада.

Арчи: от пальмы 30 футов на восток, потом 120 футов на север;

Бен: от пальмы 100 футов на восток, потом 120 футов на север;

Вилли: от пальмы 30 футов на восток, потом 100 футов на север;

Глен: от пальмы 100 футов на восток, потом 100 футов на север.

Подберите подходящую строку в таблице истинности для высказываний каждого из 4 пиратов.

Задача 2. Какие из следующих высказываний истинны, а какие ложны?

1) Утка умеет плавать и летать.

2) Курица умеет плавать и летать.

3) Камбала умеет плавать и летать.

Задача 3. Какие из следующих шести высказываний истинны, а какие ложны?

1) Береза – это куст или дерево. Береза – это либо куст, либо дерево.

2) Собака – животное или камбала – рыба. Либо собака – животное, либо камбала – рыба.

3) Собака – это птица или рыба. Собака – это либо птица, либо рыба.

Задача 4. 1) В сказке Ганса Христиана Андерсена «Новое платье короля» обманщики пообещали, что «платье… обладает чудесным свойством становиться невидимым для всякого человека, который не на своем месте сидит или непроходимо глуп». Изобразите с помощью кругов Эйлера тех, для кого платье должно стать невидимым.

2) Вот отрывок из «Песни ткачей» Владимира Васильева:

Представим, что три представителя народа высказались о короле. Первый: «Либо он дурак – либо не на месте»; второй: «Либо не на месте – либо он дурак»; третий: «Либо он дурак, либо не на месте, либо не на месте и дурак». Одинаков ли смысл трех высказываний? Какое из них наиболее точно соответствует сказке?

Задача 5. Постройте отрицания к высказываниям пиратов из задачи 1. Какие из этих отрицаний истинны?

Задача 6. Замените высказывания на противоположные:

1) Но с ветром худо и в трюме течи.

2) Ни Бог, ни дьявол не помогут ему спасти свои суда.

3) Случился штиль иль просто ветер встречный.

4) Вода и ветер сегодня злы, и зол, как черт, капитан.

Задача 7. В ансамбль приглашают всех, кто хорошо поет или танцует. Наташа хорошо и поет, и танцует. Пригласят ли ее в ансамбль?

Задача 8. Каждый из четырех гномов: Беня, Сеня, Веня и Женя – либо всегда говорит правду, либо всегда врет. Мы услышали такой разговор:

Беня – Вене: «Ты врун».

Женя – Бене: «Сам ты врун!»

Сеня – Жене: «Да оба они вруны!» Подумав, он добавил: «Впрочем, ты тоже».

Кто из гномов говорит правду?

Задача 9. Математик с тремя детьми пришел в пиццерию.

– Хочу, чтобы в пицце были помидоры или грибы, – потребовала Аня.

– Пиццу с помидорами и грибами я есть не буду, – заявил Боря.

– Если будут помидоры, а грибов не будет, то я не буду есть, – добавил Ваня.

– Отлично! – воскликнул математик. – Сделайте нам, пожалуйста, пиццу с…

Так какую же пиццу заказал математик, чтобы все дети ее ели?

Задача 10. Андрей является участником шоу-викторины. Главный приз спрятан в одном из ящиков. Андрей получает 4 подсказки:

1. Приз находится в синем или зеленом ящике.

2. Приз находится в красном или желтом ящике.

3. Приз находится в зеленом ящике.

4. В желтом ящике приза нет.

Три подсказки ошибочны и только одна правильная. Андрей поразмыслил и открыл правильный ящик. Ящик какого цвета он выбрал?

Задача 11. В доме 300 квартир. В квартиры, номера которых кратны 4 или 6, Дед Мороз принес шоколадку. А в квартиры, номера которых кратны 4 и 6, – айфон. Чего Дед Мороз принес в дом больше – айфонов или шоколадок? Во сколько раз?

Задача 12. Зайчишка-хвастунишка залез на пенек и громко закричал: «Во всем лесу нет никого меня смелее, нет никого меня умнее!». Он, конечно же, соврал. Какой из пяти выводов можно сделать?

(A) Все в лесу умнее и смелее его.

(Б) В лесу есть кто-то и умнее его, и смелее.

(B) В лесу есть кто-то его умнее.

(Г) В лесу есть кто-то его смелее.

(Д) В лесу есть кто-то умнее или смелее его.

Задача 13. Король подвел узника к двум дверям, ведущим в две комнаты. В каждой из них может находиться принцесса или тигр. При этом не исключено, что в обеих комнатах находятся принцессы или в обеих – тигры. Узник должен войти в одну из комнат. Если там окажется принцесса, то узник женится на ней. Если тигр – то он растерзает узника. На дверях висят таблички с надписями:

Король любезно сообщил, что на одной из табличек написана правда, а на другой – нет. Какую комнату вы посоветуете выбрать?

Задача 14. Другого узника ожидало похожее испытание. Но на этот раз король сказал, что утверждения на обеих табличках одновременно либо истинны, либо ложны. А написано было вот что:

Задача 15. Для третьего узника король повесил на обе двери одинаковые таблички:

А сказал так: «Если в левой комнате находится принцесса, то утверждение на табличке истинно, если же тигр, то ложно. В правой же комнате все наоборот: утверждение ложно, если там находится принцесса и истинно, если тигр». Куда лучше идти узнику?

Задача 16. Один из пяти братьев испек маме пирог.

Никита сказал: «Это Глеб или Игорь».

Глеб сказал: «Это сделал не я и не Дима».

Игорь сказал: «Вы оба шутите».

Антон сказал: «Нет, один из них сказал правду, а другой обманул».

Дима сказал: «Нет, Антон, ты не прав».

Мама знает, что трое из ее сыновей всегда говорят правду. Кто испек пирог?

Задача 17. Четверо детей сказали друг о друге так:

Маша: «Саша, Наташа и Гриша умеют сидеть на стуле».

Саша: «Маша, Наташа и Гриша не умеют сидеть на стуле».

Наташа: «Маша и Саша солгали».

Гриша: «Маша, Саша и Наташа сказали правду».

Сколько детей на самом деле сказали правду?

Задача 18. «Хоп!» – это игра на внимательность. Игроки по очереди называют натуральные числа в порядке возрастания. Если число кратно 3 или содержит в записи цифру 3, то вместо него надо сказать «Хоп!». Если не ошибаться, получится ряд: 1, 2, хоп, 4, 5, хоп, 7, 8, хоп, 11, хоп, хоп, 14 и т. д. Кто по ошибке назовет запрещенное число, выходит из круга. Побеждает последний оставшийся игрок.

Пять ребят играли в «Хоп!». Известно, что числа 1 и 23 назвал Петя, 2 и 20 – Вася, а 5 и 15 – Таня. Сколько раз победитель сказал «Хоп!»?

 

Занятие 5. Можно ли дышать на Луне, или Следствие и обратные высказывания

Задача 1. Перед перекрестком папа остановил машину. «У нас мотор сломался!» – испуганно закричал Ваня. «С чего ты взял?» – удивился папа. «Но ты же сам говорил, что если мотор сломался, то машина не едет», – объяснил Ваня. Правильно ли он рассуждал?

Задача 2. Постройте высказывание, обратное данному. Истинно ли данное высказывание? А обратное ему?

1) Если последняя цифра натурального числа – 0, 2, 4, 6 или 8, то оно четное.

2) Если натуральное число делится на 6, то оно четное.

3) Если натуральное число делится на 3, то оно делится и на 5.

Задача 3. «Вырежем» из составного высказывания задачи 5.2 (п. 2)

простые высказывания. А: «Число делится на 6», Б: «Число четное». Как мы убедились, для них высказывание «А ⇒ Б» истинно, а обратное ему высказывание «Б ⇒ А» – ложно. Приведите другие примеры высказываний А и Б с тем же свойством.

Задача 4. Будем считать истинной пословицу «Кто не работает, тот и не ест».

1) Известно, что Иван ест. Обязательно ли он работает?

2) Известно, что Семен работает. Обязательно ли он ест?

Задача 5. Верно ли высказывание «Если человек допрыгнет с Земли до Луны, то он сможет там дышать»?

Задача 6. 1) Сформулируйте высказывание, начинающееся со слова «все», имеющее тот же смысл, что высказывание «Если человек допрыгнет с Земли до Луны, то он сможет там дышать».

2) Сформулируйте высказывание с союзом «если… то», имеющее тот же смысл, что высказывание «Все дожившие до наших дней тираннозавры умеют вышивать крестиком».

Задача 7. 1) Верно ли, что если Женя – Борин брат, то Боря – Женин брат?

2) Составьте обратное высказывание. Верно ли оно?

Задача 8. На планете Плюк действует правило: увидев чатланина, житель планеты должен сказать «Ку». В суд поступили дела пяти обвиняемых в нарушении этого правила:

1) Первый сказал «Ку» облезлой кошке.

2) Землянин Второй ничего не сказал при встрече с главным чатланином.

3) Часовой Третий спал на посту, не заметил подошедшего чатланина и ничего ему не сказал.

4) Четвертый сказал чатланину: «Ку. Как противно приветствовать такого мерзавца!»

5) Пятый не знал, что Шестой – чатланин, поэтому при встрече сказал ему: «Здравствуйте, уважаемый!»

Кто, с вашей точки зрения, нарушил данное правило, а кто нет?

Задача 9. Пусть на клетчатой бумаге нарисован многоугольник, составленный из целых клеточек. Рассмотрим два утверждения:

1) Если многоугольник можно разрезать на доминошки (прямоугольники 1 х 2), то количество клеточек четно.

2) Если количество клеточек четно, то многоугольник можно разрезать на доминошки.

Верны ли эти утверждения? Можно ли их доказать (опровергнуть) с помощью примера (контрпримера)?

Задача 10. Говорят, что если человек сорвет цветок папоротника, то станет понимать язык животных. Правду ли говорят?

Задача 11. Из утверждений «Число а делится на 2», «Число а делится на 4», «Число а делится на 12» и «Число а делится на 24» три верных, а одно неверное. Какое? Найдите три таких числа а.

Задача 12. На столе лежат четыре карточки, на которых сверху написано: «А», «Б», «4», «5». Известно, что на одной стороне каждой карточки написана буква, на другой – натуральное число. Какое наименьшее число карточек надо перевернуть, чтобы проверить истинность утверждения: «Если на одной стороне карточки написано четное число, то на другой – гласная буква»?

Задача 13. На вопрос, какая завтра будет погода, синоптик верно ответил:

(1) «если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя»;

(2) «если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра»;

(3) «если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра».

Определите погоду на завтра.

Задача 14*. Прочитайте отрывок из сказки Льюиса Кэрролла «Алиса в стране чудес» в переводе Бориса Заходера. Алиса путает высказывания «А ⇒ Б» и «Б ⇒ А», а ее собеседники поясняют, почему это не одно и то же. Все ли их примеры удачны?

«– Так бы и сказала! – укоризненно сказал Заяц. – Надо говорить то, что думаешь!

– Я всегда так и делаю! – выпалила Алиса, а потом, чуточку подумав, честно прибавила: – Ну, во всяком случае… во всяком случае, что я говорю, то и думаю. В общем, это ведь одно и то же!

– Ничего себе! – сказал Шляпа. – Ты бы еще сказала: „я вижу все, что ем“, и „я ем все, что вижу“ – это тоже одно и то же!

– Ты бы еще сказала, – подхватил Заяц, – „я учу то, чего не знаю“ и „я знаю то, чего не учу“ – это тоже одно и то же!

– Ты бы еще сказала, – неожиданно откликнулась Соня, не открывая глаз, – „я дышу, когда сплю“ и „я сплю, когда дышу“ – это тоже одно и то же…»

 

Занятие 6. «…И чушь прекрасную несли», или Как рассуждать логично, не вдумываясь в смысл высказываний

Задача 1. Верно ли сделаны выводы?

1) Все металлы проводят электричество. Ртуть – металл. Следовательно, ртуть проводит электричество.

2) Все арабы смуглы. Ахмед смугл. Следовательно, Ахмед – араб.

Задача 2. Все вороны собирают картины. Некоторые вороны сидят

в птичьей клетке. Следует ли из этого, что некоторые собиратели картин сидят в птичьей клетке?

Задача 3. Все вороны собирают картины. Некоторые собиратели картин сидят в птичьей клетке. Следует ли из этого, что некоторые вороны сидят в птичьей клетке?

Задача 4. Ни одна кочерга не мягкая. Все подушки мягкие. Какой можно сделать вывод?

Задача 5. Является ли точным квадратом число:

а) 1234567;

б) 10101… 01 (всего 2015 единиц и 2014 нулей);

в) 20122013201420152016?

Задача 6. Каждый англичанин любит играть в гольф. Майкл любит играть в гольф. Можно ли наверняка утверждать, что он англичанин?

Задача 7. Докажите с помощью контрпримера, что вывод сделан неверно.

1) Все мои друзья – болельщики «Спартака». А некоторые болельщики «Спартака» занимаются спортом. Следовательно, некоторые мои друзья занимаются спортом.

2) Некоторые кочаны капусты – паровозы. Некоторые паровозы играют на рояле. Значит, некоторые кочаны капусты играют на рояле.

Задача 8. Покажите с помощью рисунка, что рассуждение верное.

1) Все крокодилы умеют летать. Все великаны являются крокодилами. Значит, все великаны могут летать.

2) Некоторые сны ужасны. Ни один ягненок не способен вызвать ужас. Следовательно, некоторые сны не ягнята.

Задача 9. Определите, какие из приведенных рассуждений истинны, а какие ложны.

1) Все англичане любят пудинг. Ни один француз не любит пудинг. Следовательно, ни один француз не англичанин.

2) Ни один лентяй не достоин славы. Некоторые художники – не лентяи. Следовательно, некоторые художники достойны славы.

Задача 10. Сделайте вывод, если это возможно:

1) Сахар сладкий. Некоторые сладкие вещи очень нравятся детям.

2) Некоторые горные кручи непреодолимы. Все заборы вполне преодолимы.

3) Гусеницы не отличаются красноречием. Джон красноречив.

4) Все шутки придуманы для того, чтобы смешить людей. Ни один закон не шутка.

5) Музыка, которую слышно, вызывает колебания воздуха. Музыка, которую не слышно, не стоит того, чтобы за нее платили деньги.

Задача 11. Придумайте свои примеры верных и неверных рассуждений про всех и некоторых.

Задача 12. В следующем рассуждении истинность исходных высказываний не вызывает сомнения. Верен ли вывод? Почему?

Все сочинения Пушкина нельзя прочитать за одну ночь. «Сказка о рыбаке и рыбке» – сочинение Пушкина. Следовательно, «Сказку о рыбаке и рыбке» нельзя прочитать за одну ночь.

 

Занятие 7. Доказательство от противного

Задача 1. Если рыцарь встречает дракона, то рыцарь вступает в

бой.

1) Составьте к этому высказыванию обратное, противоположное и противоположное обратному.

2) Известно, что рыцарь вступил в бой. Означает ли это, что он встретил дракона?

3) Рыцарь не вступил в бой. Означает ли это, что он не встретил дракона?

Задача 2. Многозначное число не содержит повторяющихся цифр. Докажите, что оно не может быть произведением двух меньших чисел, состоящих только из единиц и нулей.

Задача 3. Двое играют в «крестики-нолики» на бесконечной доске. Крестики ходят первыми. Выигрывает тот, кто смог поставить пять своих значков подряд по вертикали, горизонтали или диагонали. Докажите, что крестики могут как минимум не проиграть.

Задача 4. В клетках шахматной доски как-то расставлены все натуральные числа от 1 до 64. Докажите, что найдутся две соседние по стороне или по вершине клетки, числа в которых отличаются не меньше чем на 9.

Задача 5. Острова архипелага связаны мостами так, что с каждого острова можно дойти до любого другого. Не более чем с двух островов ведет нечетное число мостов, а с остальных – четное. «Докажем», что можно обойти архипелаг, пройдя по каждому мосту ровно один раз.

«Доказательство». Предположим противное: хотя бы с трех островов ведет нечетное число мостов. Заходя на остров, мы «тратим» два моста: по одному вошли, по другому вышли. Поэтому мосты, выходящие с каждого острова, можно объединить в пары. Нечетное число мостов может быть только на самом первом острове (мы с него вышли первый раз, не заходя перед этим) и на последнем (зашли, но не вышли). Если островов с нечетным числом мостов хотя бы три, приходим к противоречию, и пройти по всем мостам ровно один раз нельзя. А если таких островов не более двух, то можно.

Верно ли это «доказательство»?

Задача 6*. Конечно или бесконечно множество простых чисел?

Задача 7. Петя сказал: «Если кот шипит, то рядом собака, и наоборот, если собаки рядом нет, то кот не шипит». Не сказал ли он что-то лишнее?

Задача 8. Все знают: когда Петя готов к уроку, он всегда поднимает руку. И вдруг…

1) Двоечник Вася точно знает, что сегодня Петя не готов к уроку. «Значит, он не будет поднимать руку», – думает Вася. Верно ли он рассуждает?

2) Марья Ивановна видит, что Петя не поднимает руку. «Ага, значит, он к уроку не готов. Вот сейчас вызову и двойку поставлю!» – думает коварная Марья Ивановна. Верно ли она рассуждает?

Задача 9. В вершинах куба расставлены числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Докажите, что есть ребро, числа на концах которого отличаются не менее чем на 3.

Задача 10. Десять друзей послали друг другу праздничные открытки, так что каждый послал пять открыток. Докажите, что найдутся двое, которые послали открытки друг другу.

Задача 11. Можно ли в кружочках расставить все цифры от 0 до 9 так, чтобы сумма трех чисел на каждом из шести отрезков была бы одной и той же?

Задача 12. Двое играют в игру «Щелк!». У них есть прямоугольная шоколадка, разделенная на дольки. Левая нижняя долька отравлена. Ходят по очереди. За ход можно съесть произвольную дольку и все находящиеся справа и сверху от нее. Съевший отравленную дольку проигрывает. Докажите, что у первого игрока есть выигрышная стратегия на любой прямоугольной шоколадке, в которой больше одной дольки (предъявлять стратегию не обязательно).

Задача 13. Круг разбит на 25 секторов, пронумерованных в произвольном порядке числами от 1 до 25. В одном из секторов сидит кузнечик. Он прыгает по кругу, каждым своим прыжком перемещаясь по часовой стрелке на количество секторов, равное номеру текущего сектора. Докажите, что в некотором секторе кузнечик не побывает никогда.

Задача 14. 1) Несколько мальчиков стали в ряд, при этом разница в росте между двумя соседними не более 10 см. Потом их построили по росту. Докажите, что и теперь разница в росте между двумя соседними мальчиками не более 10 см.

2) На уроке танцев 15 мальчиков и 15 девочек построили двумя параллельными колоннами, так что образовалось 15 пар. В каждой паре измерили разницу роста мальчика и девочки (разница берется по абсолютной величине, то есть из большего вычитают меньшее). Максимальная разность оказалась 10 см. В другой раз перед образованием пар каждую колонну предварительно построили по росту. Докажите, что максимальная разность будет не больше 10 см.

Задача 15. Найдите ошибку в рассуждении.

Докажем от противного, что ленивых учеников больше, чем прилежных. Предположим, что прилежных не меньше, чем ленивых. Несомненно, ленивых учеников больше, чем надо. Значит, получается, что прилежных учеников тем более больше, чем надо?! С этим мы, учителя, согласиться никак не можем. Получили противоречие, значит, исходное предположение было неверно, и на самом деле ленивых учеников больше, чем прилежных.

 

Занятие 8. Равносильность

Задача 1. 1) Известно, что высказывание А ⇒ Б истинно. Что можно сказать об истинности высказываний А ⇒ Б и Б ⇒ А?

2) Известно, что высказывание А ⇒ Б истинно. Можно ли что-то сказать об истинности высказывания А ⇒ Б?

3) Известно, что высказывание А ⇒ Б ложно. Можно ли что-то сказать об истинности высказывания А Б?

Приведите для каждого случая примеры подходящих высказываний.

Задача 2. Бабушка печет пирог в те и только те дни, когда ждет гостей.

1) Бабушка печет пирог. Можно ли утверждать, что она сегодня ждет гостей?

2) Бабушка не печет пирог. Можно ли утверждать, что сегодня она не ждет гостей?

Задача 3. Равносильны ли высказывания А и Б? Если нет, то следует ли хотя бы одно из них из другого?

1) А: «Некоторые принцессы – красавицы»; Б: «Некоторые красавицы – принцессы».

2) А: «Все принцессы – красавицы»; Б: «Все красавицы – принцессы».

3) А: «Число N кратно 11»; Б: «Сумма цифр числа N, стоящих на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах».

4) А: «Число N является квадратом натурального числа»; Б: «У числа N нечетное число делителей».

5) А: «У любой девочки из 6 „А“ больше друзей среди одноклассников, чем у любого мальчика из 6 „А“ среди одноклассниц»; Б: «В 6 „А“ мальчиков больше, чем девочек».

Задача 4. Чтобы доказать равносильность двух утверждений А и Б, необходимо доказать две теоремы: А ⇒ Б и Б ⇒ А. А какое наименьшее число теорем надо доказать, чтобы убедиться в равносильности: а) трех утверждений; б) десяти утверждений?

Задача 5*. В лифте многоэтажного дома работают только две кнопки: одна поднимает лифт на х этажей, вторая опускает на у этажей (если это возможно при данном положении лифта), где натуральные числа х и у меньше количества этажей в доме. Рассмотрим три утверждения:

(1) С любого этажа можно попасть на любой другой.

(2) С любого этажа, кроме последнего, можно подняться на следующий.

(3) С любого этажа, кроме первого, можно спуститься на предыдущий.

1) Покажите, что в зависимости от значений х и у каждое утверждение может быть как верным, так и неверным.

2) Между какими из этих утверждений можно поставить знак следствия и получить верное высказывание? Есть ли среди данных трех утверждений равносильные?

Задача 6. Иа-Иа считает, что у Винни-Пуха хорошее настроение бывает тогда и только тогда, когда Винни-Пух хорошенько подкрепился. Съев всё, что было у Кролика, Винни-Пух застрял в норе, и его настроение сразу испортилось. Прав ли Иа-Иа?

Задача 7. Будем считать, что трава зеленая, а небо голубое. Определите, какие из данных высказываний истинны, а какие ложны:

1) Если трава зеленая, то небо голубое.

2) Если трава зеленая, то небо оранжевое.

3) Если трава оранжевая, то небо зеленое.

4) Если трава оранжевая, то небо голубое.

5) Трава зеленая тогда и только тогда, когда небо голубое.

6) Трава зеленая тогда и только тогда, когда небо оранжевое.

7) Трава оранжевая тогда и только тогда, когда небо зеленое.

8) Трава оранжевая тогда и только тогда, когда небо голубое.

Задача 8. В лесу живут только ляпусики и мордасики. Равносильны ли для обитателей леса три утверждения:

(1) все ляпусики кузявые;

(2) если кто-то некузяв, то он мордасик;

(3) никто, кроме мордасиков, не может быть некузявым?

Задача 9. Объект охраняют пятеро часовых: А, Б, В, Г и Д. При

этом справедливы следующие утверждения:

1) Если А спит, то и Б спит.

2) Хотя бы один из Г и Д спит.

3) Ровно один из Б и В спит.

4) В спит тогда и только тогда, когда спит Г.

5) Если Д спит, то А и Г тоже спят.

Перечислите всех спящих часовых.

Задача 10*. Трех братьев пригласили на день рождения. Всего ожидалось 17 человек. «Вот бы мальчиков было больше, чем девочек», – захотел первый. «Вот бы при любой рассадке по кругу нашлось два мальчика рядом», – захотел второй. «Вот бы при любой рассадке по кругу нашелся гость, сидящий между двумя мальчиками», – захотел третий. Докажите, что все трое хотят одного и того же.

Указание. Докажите равносильность трех утверждений по кругу: 1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 1.

Задача 11*. У профессора есть n утверждений А 2 , …, А n . О том, что все эти утверждения равносильны, знает только он. Профессор по очереди дает ученикам для доказательства такие теоремы: A i ⇒ A j . Нельзя давать теорему, если она следует из ранее доказанных. Какое наибольшее число теорем могут доказать ученики, если: 1) n = 3; 2) n = 4; 3) в общем случае?

Задача 1. Из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Незнайка задумал два числа и сообщил Знайке их произведение. Знайка не смог отгадать задуманные числа. Какое произведение мог сообщить Незнайка?

Задача 2. Встретились как-то два математика и разговорились:

А: «У меня трое сыновей».

Б: «Сколько им лет?»

А: «Произведение их возрастов равно 36. А сумма их возрастов равна номеру твоего дома».

Б: «Я все равно не знаю, сколько лет каждому».

А: «Мой старший сын рыжий».

После этого Б смог определить, сколько лет сыновьям А. Сколько же?

Задача 3. За столом сидело несколько жителей острова рыцарей и лжецов. Путешественник спросил каждого про его ближайших соседей. Каждый ответил: «У меня оба соседа – лжецы». Путешественник сказал: «Если бы вас было на одного больше или на одного меньше, я бы смог узнать, сколько среди вас рыцарей. А так не могу». Сколько человек было за столом?

Задача 4. Два мудреца написали на семи карточках числа от 5 до 11. После этого они перемешали карточки, первый мудрец взял себе три карточки, второй взял две, а две оставшиеся карточки они не глядя спрятали в мешок. Изучив свои карточки, первый мудрец сказал второму: «Я знаю, что сумма чисел на твоих карточках четна!» Какие числа написаны на карточках первого мудреца?

Задача 5. Один из двух братьев-близнецов по имени Джон совершил преступление. Известно, что по крайней мере один из близнецов всегда лжет. Судья спросил у братьев по очереди: «Вы – Джон?» Первый ответил: «Да». Второй тоже что-то ответил. После этого судья смог определить, кто из них на самом деле Джон. Определите это и вы.

Задача 6. На острове живут два племени: рыцарей и лжецов. Путешественник встретил двух островитян и спросил одного из них: «Вы оба рыцари?» Тот ответил «да» или «нет». Путешественник не смог определить, кто перед ним, и спросил у того же человека: «Вы из одного племени?» Тот ответил «да» или «нет», и теперь путешественник понял, из какого племени каждый из островитян. Кого он встретил?

Задача 7. Путешественник посетил деревню, каждый житель которой либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. Все жители деревни встали в круг лицом к центру, и каждый сказал путешественнику про соседа справа, правдив ли тот. На основании этих сообщений путешественник смог однозначно определить, какую долю от всех жителей составляют лжецы. Определите и вы, чему она равна.

Задача 8. Путешественник на острове рыцарей и лжецов пришел в гости к своему знакомому рыцарю и увидел его за круглым столом с пятью гостями.

– Интересно, а сколько среди вас рыцарей? – спросил он.

– А ты задай каждому какой-нибудь вопрос и узнай сам, – посоветовал один из гостей.

– Хорошо. Пусть каждый ответит на вопрос: кто твои соседи? – спросил путешественник.

На этот вопрос все ответили одинаково.

– Данных недостаточно! – сказал путешественник.

– Но сегодня день моего рождения, не забывай об этом, – сказал один из гостей.

– Да, сегодня день его рождения! – сказал его сосед. И путешественник смог узнать, сколько за столом рыцарей.

Сколько же их?

Задача 9. Саша и Маша загадали по натуральному числу и сказали их Васе. Вася написал на одном листе бумаги сумму загаданных чисел, а на другом – их произведение, после чего один из листов спрятал, а другой (на нем оказалось написано число 2002) показал Саше и Маше. Увидев это число, Саша сказал, что не знает, какое число загадала Маша. Услышав это, Маша сказала, что не знает, какое число загадал Саша. Какое число загадала Маша?

Задача 10. Есть 9 карточек с цифрами 1, 2…, 9. Их перетасовали, отдали четыре Ивану, четыре Василисе и одну Бабе-Яге. Иван сообщил вслух, что сумма цифр на его карточках оканчивается на 7.

1) Знает ли теперь Василиса карточку Бабы-Яги?

2) Знает ли теперь Баба-Яга набор карточек Василисы?

3) Может ли случится, что про какую-то карточку, кроме своей, Баба-Яга знает, у кого она находится?

Задача 11. Пять мудрецов играют в мафию. Среди них два мафиози, два мирных жителя и комиссар. Мафиози знают друг друга, комиссар знает все, мирные жители изначально ничего не знают. Мафиози могут говорить что угодно. Остальные говорят только то, в чем сами уверены. Состоялся разговор:

А: «Д – мирный житель».

Б: «Нет, Д – мафиози».

В: «Д не знает, кто я».

Г: «Д знает, кто я».

Д: «Б – мафиози».

Определите роли тех игроков, для кого это возможно.

Задача 1. Двум мудрецам принесли один белый и два черных колпака. Затем им завязали глаза и надели каждому на голову по колпаку, а третий спрятали. После этого мудрецам развязали глаза, и каждый смог увидеть, какой колпак на голове у другого. Затем у первого мудреца спросили, какой колпак на голове у него самого, и он ответил правильно. Какие колпаки надели на головы мудрецам?

Задача 2. Двум мудрецам принесли один белый и два черных колпака. Затем им завязали глаза и надели каждому на голову по черному колпаку, а белый спрятали. Когда им развязали глаза, у первого мудреца спросили, какой колпак на голове у него самого. Что он ответил? Когда после этого тот же вопрос задали второму мудрецу, он ответил правильно. Как он догадался?

Задача 3. Изменится ли решение предыдущей задачи, если вначале принесли: а) один белый и три черных колпака; б) два белых и два черных колпака?

Задача 4. Трем мудрецам принесли два белых и три черных колпака. Затем им завязали глаза и надели каждому на голову по черному колпаку, а белые спрятали. Когда им развязали глаза, у первого мудреца спросили, знает ли он, какой колпак на голове у него самого.

а) Что он ответил?

б) Тот же вопрос задали второму мудрецу. Что ответил второй?

в) Наконец, спросили третьего мудреца, и он правильно назвал цвет своего колпака. Как он рассуждал?

Задача 5*. Парадокс трех мудрецов. В задаче о трех мудрецах первый смог бы определить цвет своего колпака лишь в одном случае: если бы видел перед собой двух мудрецов в белых колпаках. Но и второй, и третий мудрецы знают, что это не так: они же видят черные колпаки друг на друге. Поэтому ответ «Не знаю», произнесенный первым мудрецом, для каждого из них очевиден и не содержит никакой информации.

С другой стороны, если первому мудрецу не задавать вопроса, то второй окажется в положении первого, а третий – в положении второго, и не сможет ответить на вопрос. Но третий ответил, значит, информация в ответе первого все же была! Какая же?

Задача 6. Как можно изменить количество колпаков в задаче о трех мудрецах, чтобы решение всех пунктов в точности сохранилось?

Задача 7*. Придумайте задачу, аналогичную задаче о трех мудрецах, для большего количества мудрецов. Решите задачу для четырех и для пяти мудрецов.

Задача 8*. В купе поезда собрались 7 мудрецов. Окно было открыто. Поезд въехал в тоннель, и лица всех мудрецов оказались испачканы сажей. Каждый видел, что и другие испачканы, но себя не видел и спокойно продолжал беседу. В купе вошел проводник и сказал: «Господа, среди вас есть люди с грязными лицами. В поезде воды нет. Зато на каждой станции поезд стоит достаточно долго, так что рекомендую испачкавшимся пойти и умыться». Несколько станций никто из мудрецов не реагировал на это замечание, но на некоторой станции все одновременно встали и пошли умываться.

1) На какой по счету станции мудрецы поняли, что следует умыться?

2) Парадокс проводника. Если бы проводник промолчал, каждый бы по-прежнему считал себя чистым и умываться не пошел бы. Но ведь каждый видел, что среди них есть испачкавшиеся, так что проводник, казалось бы, ничего нового не сказал. Так что же сказал проводник?

Задача 9. Установим соответствие между задачами о колпаках и о проводнике (при одинаковом количестве мудрецов). Будем считать, что на мудреце с грязным лицом надет черный колпак, а иначе – белый. Тогда ответу «Не знаю» в задаче о колпаках соответствует нежелание умываться в задаче о проводнике. Как перевести слова проводника на язык задачи о колпаках?

Задача 10. Три дамы сидят в купе с испачканными лицами и смеются. Вдруг А думает: «Почему Б не понимает, что В смеется над ней? О Боже! Они смеются надо мной!» Что в этой задаче играет роль проводника?

Задача 11. Фразы типа «Это верно», «А знает, что это верно», «Б знает, что А знает, что это верно», «В знает, что Б знает, что А знает, что это верно» можно продолжать до бесконечности, и все они имеют разный смысл, но разницу эту с каждым «витком» улавливать все труднее. Придумайте подобные цепочки, где эта разница заметна.

Приложение к занятию 10. Продолжаем играть в мудрецов

Задача 12. Пяти мудрецам принесли колпаки всех семи цветов радуги и восьмой, белый, колпак. Затем мудрецов построили в затылок друг другу и надели каждому по колпаку. Каждый мудрец видит колпаки всех стоящих перед ним, но не видит ни своего колпака, ни колпаки стоящих сзади. Мудрецам сообщили, что белый колпак на кого-то надет. Затем по очереди, начиная с последнего, стали спрашивать каждого, знает ли он цвет своего колпака. Как только кто-то верно назовет цвет своего колпака, всем дадут по конфете. Но если он ошибется, всех казнят. Чем закончится эта история?

Задача 13. Пяти мудрецам принесли шесть колпаков: два желтых, два красных и два зеленых. Мудрецов построили в затылок друг другу и надели каждому по колпаку. Каждый мудрец видит колпаки всех стоящих перед ним, но не видит ни своего колпака, ни колпаков стоящих сзади. Затем по очереди, начиная с последнего, стали спрашивать каждого, знает ли он цвет своего колпака.

1) На мудрецов надеты колпаки в таком порядке: красный, желтый, зеленый, красный, желтый (а второй зеленый спрятан). Что ответят мудрецы?

2) На мудрецов надеты колпаки в таком порядке: красный, красный, желтый, желтый, зеленый (а второй зеленый спрятан). Что ответят мудрецы?

3) Стоявший сзади мудрец верно ответил на вопрос. Докажите, что и остальные смогут определить цвета своих колпаков.

4) Один из мудрецов верно ответил на вопрос. Обязательно ли остальные после этого тоже смогут определить цвета своих колпаков?

5) Докажите, что не менее трех мудрецов правильно определят цвет своего колпака.

6) Придумайте ситуацию, в которой верно ответить на вопрос смогут четыре из пяти мудрецов.

Задача 14. 1) Двум мудрецам написали на лбу по натуральному числу и сообщили, что эти числа последовательные. Когда мудрецы посмотрели друг на друга, между ними состоялся такой диалог:

А: «Я не знаю моего числа».

Б: «А я знаю мое число».

Какие числа были написаны?