Предмет этого занятия – общие и частные высказывания. В формальной логике для их записи используют всего два квантора (квантор общности V и квантор существования 3). А в бытовом языке вместо кванторов используют самые разные слова, что порой приводит к недоразумениям. Задачи 2.1, 2.2 и 2.13 помогают разобраться в способах передачи кванторов общности и существования средствами русского языка.

Смысл общих и частных высказываний удобно иллюстрировать с помощью кругов Эйлера. Рекомендуем их использовать при обсуждении задач 2.3, 2.11, 2.12, 2.16, несмотря на то что для решения предложенных задач часть учеников в иллюстрациях не нуждается. Во-первых, другой части учеников картинка может существенно помочь. Во-вторых, навык работы с кругами Эйлера еще никому не повредил. Надеемся, что в задаче 2.16 удобство трех кругов оценят и те, кому два круга в предыдущих задачах казались излишним «наворотом». В-третьих, использование кругов Эйлера позволяет почувствовать родство логики и теории множеств.

Задачи 2.4–2.10, 2.14, 2.15 связаны с построением отрицания к общим и частным высказываниям. Меньше всего нам бы хотелось, чтобы итогом занятия стала формулировка соответствующей пары правил, которое дети будут потом применять в задачах. А больше всего – чтобы они грамотно строили отрицания, не задумываясь о правилах. Если на этом занятии дети много ошибаются, продолжайте предлагать на последующих занятиях аналогичные упражнения (в том числе из раздела дополнительных задач) до победного конца.

Можно ли одну и ту же мысль выразить по-разному? Насколько сильно зависит смысл русского предложения от порядка слов? Всегда ли одинаково следует понимать одни и те же слова? Не будем пытаться на одном занятии изучить весь русский язык. Ограничимся несколькими словами и выражениями: «все», «каждый (любой)», «некоторые», «существует», «хотя бы один».

Задача 2.1. 1) Серый Волк заинтересовался цветом шапочек. Однажды он встретил Красную Шапочку. Помогите Волку сделать правильный вывод. Придумайте несколько вариантов.

2) Выразите другими словами мысль «Все шапочки красные».

Решение. 1) Можно сказать: «Некоторые шапочки красные». Но можно и по-другому. Например, так:

Шапочки бывают красные.

Иногда встречаются красные шапочки и т. п.

Математики любят говорить точно: «Существует хотя бы одна красная шапочка».

2) «Шапочки всегда красные», «Любая шапочка красная» или «Каждая шапочка красная».

Задача 2.2. Вася говорит, что слова «для всех» и «для каждого» означают одно и то же. Прав ли Вася?

Решение. Вопрос скорее лингвистический, чем математический. Часто смысл предложения действительно не меняется при замене «для всех» на «для каждого» и соответствующих изменениях формы слов. Например, «Для всех принцесс горошины под периной невыносимы» означает то же, что и «Для каждой принцессы горошина под периной невыносима». Но вот если вместо «Выдать зимовщикам для всех одну пару валенок» попросить «Выдать зимовщикам для каждого одну пару валенок», зимовщики наверняка заметят разницу.

Задача 2.3. 1) Означают ли одно и то же высказывания: «Некоторые сантехники любят рэп» и «Некоторые любители рэпа – сантехники»?

2) Означают ли одно и то же высказывания: «Все сантехники любят рэп» и «Все любители рэпа – сантехники»?

Ответ. 1) Да. 2) Нет.

Рис. 1

Решение. 1) Чтобы лучше разобраться в смысле высказываний, изобразим их с помощью кругов Эйлера (см. рис. 1). Пусть в одном круге находятся сантехники, в другом – любители рэпа. Если первое высказывание истинно, то круги непременно пересекаются, и в пересечении кругов располагается хотя бы один сантехник, любящий рэп. Но ровно это же требуется и для истинности второго утверждения. Поэтому они означают одно и то же.

2) Снова разместим сантехников и рэперов в пересекающихся кругах. В пересечении кругов, как и прежде, расположены сантехники, любящие рэп. Сантехники, НЕ любящие рэп, окажутся в серой части рисунка 2. Если таковых нет (т. е. все сантехники любят рэп), то серая часть пуста.

Рис. 2

Чтобы показать это на рисунке, принято изображать круг сантехников внутри круга рэперов (см. рис. 3).

Рис. 3

Сравнение рисунков 3 и 4 помогает понять, почему смысл высказываний «Все сантехники любят рэп» и «Все любители рэпа – сантехники» разный.

Рис. 4. Все любители рэпа – сантехники

Задача 2.4. Лжец сказал: «В этой корзине все грибы съедобны». Значит ли это, что все грибы в этой корзине ядовиты? (Для простоты забудем об условно съедобных грибах и будем каждый гриб считать либо съедобным, либо ядовитым.)

Ответ. Нет, не значит. В корзине могут лежать одновременно и съедобные, и ядовитые грибы.

Обсуждение. Неверно, что все грибы съедобны. Значит, съедобны НЕ ВСЕ грибы. То есть ХОТЯ БЫ ОДИН из грибов ядовит.

Задача 2.5. Рассмотрим два утверждения. Сколько из них могут быть верными?

1) В этой корзине все грибы съедобные.

2) В этой корзине есть хотя бы один ядовитый гриб.

Ответ. Верно ровно одно утверждение.

Решение. Начнем внимательно перебирать грибы по одному. Первый же найденный нами ядовитый гриб окажется одновременно и контрпримером, опровергающим первое высказывание, и примером, подтверждающим второе. А если, перебрав всю корзину, ядовитого гриба мы так и не найдем, то верным окажется только первое утверждение. В любом случае одно из двух утверждений истинно, а другое ложно.

Комментарий. Почему так получилось? Потому что утверждения «В этой корзине все грибы съедобные» и «В этой корзине есть хотя бы один ядовитый гриб» противоположны, то есть одно из них является отрицанием другого. А по закону исключенного третьего в этом случае как раз и верно ровно одно из двух.

Итак, чтобы построить отрицание к высказыванию про всех, надо заменить:

• «всех» на «некоторых»;

• свойство на противоположное (например, «ядовитое» на «съедобное»).

Задача 2.6. Лжец сказал: «В этой корзине некоторые грибы ядовитые». Что можно узнать из этого высказывания?

Решение. Если бы в корзине был хотя бы один ядовитый гриб, лжец был бы прав. Поэтому ядовитых грибов в корзине нет. Другими словами, все грибы в этой корзине съедобны.

Итак, чтобы построить отрицание к высказыванию про некоторых, надо заменить:

• «некоторых» на «всех»;

• свойство на противоположное (например, «ядовитое» на «съедобное»).

Задача 2.7. Дано утверждение: «Все малышки хорошо поют». Незнайка сформулировал к нему отрицание: «Все малышки поют отвратительно».

1) Как с помощью закона исключенного третьего убедить Незнайку, что он ошибся?

2) Сформулируйте отрицание правильно.

Решение. 1) По закону исключенного третьего верно ровно одно из двух: либо утверждение, либо его отрицание. Найдя двух малышек, одна из которых поет хорошо, а вторая плохо, мы убедимся, что неверно ни само утверждение, ни его «отрицание», придуманное Незнайкой.

2) «Существует хотя бы одна малышка, которая поет плохо». Или «Некоторые малышки поют плохо».

Задача 2.8. Постройте отрицания к каждому утверждению, не используя частицу «не». Где сможете, укажите, что верно: утверждение или его отрицание. Где сможете, обоснуйте свое мнение примером или контрпримером.

1) На Земле существует хотя бы одна гора выше 10000 м над уровнем моря.

2) Существует хотя бы один вулкан с высотой более 10000 м относительно своего основания.

3) Любой жук помещается в спичечном коробке.

4) Некоторые горные реки быстрые.

5) Бутерброд всегда падает маслом вниз.

Ответ. 1) Верно отрицание: любая гора на Земле не выше 10000 м над уровнем моря. Обосновать утверждение такого типа примером нельзя, знание высоты Эвереста (8848 м) не доказывает, что более высоких гор нет.

2) Верно утверждение. Пример – вулкан Мауна-Кеа на Гавайских островах с высотой 10203 м от основания (и «всего» 4205 м над уровнем моря). Последний раз этот вулкан извергался несколько тысяч лет назад. А самый высокий вулкан Солнечной системы – гора Олимп на Марсе имеет высоту 21,2 км от основания.

3) Верно отрицание: существует хотя бы один жук, не помещающийся в спичечном коробке. Пример – жук-голиаф из подсемейства бронзовки, обитающий в Африке. Длина его тела достигает 11 см.

4) Верно утверждение. Примером служит любая горная река.

5) Не стоит относиться к этой задаче всерьез. Для точного построения отрицания потребуется сначала строго определить, что такое бутерброд. Например, может ли он вообще не содержать масла? Мы предполагаем, что при любом определении верным окажется отрицание, но для приведения примера может потребоваться тренировка.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 2.9. Рассмотрим два утверждения:

А: В этой корзине все грибы съедобные.

Б: В этой корзине есть хотя бы один съедобный гриб.

Могут ли быть верными: 1) оба утверждения; 2) ровно одно из них; 3) ни одного?

Задача 2.10. Является ли высказывание «В этой корзине некоторые грибы съедобные» отрицанием высказывания «В этой корзине некоторые грибы ядовитые»?

Задача 2.11. Нарисуйте с помощью кругов Эйлера иллюстрацию к каждому высказыванию. Есть ли среди иллюстраций одинаковые? Одинаков ли смысл соответствующих высказываний?

1. Все хоббиты живут в норах.

2. Все жители нор – хоббиты.

3. Некоторые кошки серые.

4. Некоторые серые существа – кошки.

Задача 2.12. Когда учительница ругала Дениса за плохой почерк, он сказал: «У всех великих людей был плохой почерк, значит, я великий человек». Прав ли он?

Задача 2.13. Шерлок Холмс допросил Зайца, Волка и Лису по делу о съедении Колобка. Подозреваемые заявили:

Заяц: «Хотя бы один из нас съел Колобка».

Волк: «Хотя бы один из нас не ел Колобка».

Лиса: «Хотя бы один из нас сказал правду».

Как известно, Колобка съела Лиса. Кто сказал правду, а кто солгал?

Задача 2.14. Комиссия посетила больницу и составила отчет, в котором не было ни одного правдивого утверждения.

«Все врачи имеют достаточный опыт. Некоторые врачи никогда еще не ставили неправильного диагноза. Никто из врачей не опаздывает на работу. Все пациенты довольны лечением. Ни один из них не жалуется на бытовые условия. Некоторые пациенты выздоравливают за один день».

Напишите, как выглядел бы честный отчет.

Задача 2.15. В комнате собрались несколько жителей острова рыцарей и лжецов. Трое из них сказали следующее:

– Нас тут не больше трех человек. Все мы лжецы.

– Нас тут не больше четырех человек. Не все мы лжецы.

– Нас тут пятеро. Лжецов среди нас не меньше трех.

Сколько в комнате человек и сколько из них лжецов?

Задача 2.16. Предположим, что справедливы следующие утверждения:

• Среди людей, имеющих телевизоры, не все являются малярами.

• Люди, каждый день купающиеся в бассейне, но не являющиеся малярами, не имеют телевизоров.

Следует ли отсюда, что не все владельцы телевизоров каждый день купаются в бассейне?