K главе 1

1.1. Если через точку D1 касания окружностей провести их общую касательную, то, пересекая продолжения сторон ВА1 и ВС1, она образует треугольник А1ВС1 (рис. I.1.1). Воспользуйтесь тем, что OD = DD1 = R /2, а O1D1 = BD 1 /3.

1.2. В треугольнике АОВ (O — центр вписанной окружности, рис. I.1.2) угол ВАО равен α/2 , а угол ВОА равен сумме углов OAD и ODA, т. е. равен π/2 + α/2 . По условию BO = m, так как BD = r + m. Поэтому решение удобно начать с определения AB из треугольника BOA.

1.3. Вначале нужно выяснить смысл выражения «окружность делит сторону треугольника пополам». Если окружность имеет со стороной треугольника две общие точки, то ни про одну мы не сможем сказать, что она делит отрезок пополам, поскольку отрезок разделится на три части.

1.4. Отношение площади треугольника А1В1С1 к площади треугольника АВС (рис. I.1.4) можно записать так:

Теперь нужно найти каждое из отношений, входящих в правую часть.

1.5. Углы определяют треугольник лишь с точностью до подобия. Если ввести в рассмотрение один линейный элемент и выразить через него обе площади, то при подсчете отношения площадей этот элемент сократится. В качестве такого линейного элемента удобно выбрать радиус r вписанной в треугольник окружности.

1.6. Так как В = 3C (рис. I.1.6), то сторона AB меньше стороны AC и можно доказать, что площадь треугольника АВD (АD — биссектриса треугольника АВС) меньше площади треугольника ADC. Таким образом по условию

1.7. Применить метод сравнения площадей.

1.8. Все участвующие в задаче величины связаны с площадью треугольника, которая известна. Воспользоваться сравнением площадей.

1.9. В треугольнике даны две биссектрисы и отношение, в котором эти биссектрисы делятся точкой их пересечения. Наряду с данными отношениями естественно воспользоваться свойством отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону треугольника. Поскольку требуется определить углы треугольника, то от отношений данных линейных величин нужно перейти к отношению сторон данного треугольника.

1.10. Продолжить отрезок QМ до пересечения в точке А с другой стороной угла.

1.11. Известные высоты треугольника естественно связать между собой с помощью его площади. При этом вместо сторон треугольника удобнее рассматривать его углы, выразив стороны через третью высоту.

1.12. В соотношении b + с = k выразить b и с через известную высоту h и тригонометрические функции углов В и С.

1.13. Способ 1. Чтобы решить задачу, нужно установить связь между углом α, сторонами треугольника и его площадью. Однако установить эту связь непосредственно не удается. Поэтому необходимо рассматривать вспомогательные элементы, например перпендикуляры длины x, у и z, опущенные из точки О на стороны а, b, с соответственно.

Способ 2. Чтобы установить связь между углом α, сторонами треугольника и его площадью, можно ввести в рассмотрение длины отрезков: ОА = I, ОВ = m, ОС = n.

1.14. По условию CD = BC − AC (D — основание высоты). Однако BC и AC можно выразить через CD с помощью тригонометрических функций углов треугольника АВС. Это даст нам уравнение, связывающее углы треугольника АВС.

1.15. Если рассматривать длины сторон AC = b и BC = а, то все участвующие в задаче геометрические величины будут связаны с площадью треугольника ABC.

1.16. Чтобы геометрически связать окружность с центром О и окружность с центром О1, нужно провести отрезки СО и ВО (рис. I.1.16). Окружность О1 описана около треугольника СОВ. Длина хорды СВ известна. Следовательно, для того, чтобы найти радиус, достаточно определить угол СОВ.

1.17. Задачу удобно переформулировать иначе: через центр вписанной окружности проведем прямую, параллельную средней стороне треугольника, и докажем, что она пройдет через точку пересечения медиан, т. е. точка пересечения этой прямой с медианой, опущенной на меньшую сторону, делит медиану в отношении 2 : 1.

1.18. Воспользоваться методом сравнения площадей.

1.19. Точки A, О и L лежат на одной прямой — биссектрисе угла ВАС, аналогично точки В, О и K лежат на биссектрисе угла АВС. Прямая KL делит угол АСМ пополам (СМ — продолжение BC).

По условию A = 2С, а В = 4С (рисунок сделайте самостоятельно).

1.20. Так как сумма углов в треугольнике равна π, то углы А, В и С нетрудно вычислить.

1.21. Сделать несложное дополнительное построение, чтобы получились подобные треугольники.

1.22. Поскольку отрезки, длины которых входят в правую часть равенства, лежат на одной прямой, нужно выразить длины всех отрезков на той же прямой. Тем самым мы «спрямим» записанное соотношение и сделаем его доказательство простым.

1.23. В формулу входят отношения. Поэтому целесообразно сделать дополнительные построения, в результате которых получатся подобные треугольники.

1.24. При построении, описанном в условии, возникают подобные треугольники. Нужно с их помощью заменить стоящие в левой части отношения новыми отношениями с тем, чтобы в знаменателе была одна и та же сторона треугольника, а в числителе — отрезки этой стороны. (!)

1.25. Положение прямой, проходящей через точку О, можно определить с помощью угла α, который эта прямая составляет с некоторым фиксированным радиусом описанной окружности. Нужно доказать, что величина, о которой говорится в условии, не зависит от α.

1.26. Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно знать стороны данного треугольника и радиус описанной около него окружности. С вычисления этих величин и следует начать решение задачи.

1.27. Связать углы треугольника и его стороны можно либо с помощью теоремы синусов, либо с помощью теоремы косинусов. Данное в условии соотношение между сторонами треугольника подсказывает, что теорема косинусов удобнее.

1.28. Если отрезки ОА, ОВ и ОС, входящие в данное соотношение ОА² = ОВ · ОС, выразить через радиус r вписанной окружности и углы треугольника, то должно получиться соотношение между тригонометрическими функциями этих углов, не содержащее r. (!)

1.29. Применить формулу, выражающую площадь треугольника через две стороны и синус угла, и теорему косинусов. (!)

1.30. Чтобы доказать равенство двух отрезков, о которых идет речь в условии, можно ввести элементы, определяющие треугольник, и выразить через них эти отрезки. То же самое можно сделать геометрически: четырехугольник О1ЕDО3 (рис. I.1.30), построенный на отрезке О1О3, таков, что каждая из трех его остальных сторон равна половине соответствующей стороны треугольника. Остается построить такой же четырехугольник на отрезке ВО2.

1.31. Площадь треугольника АFМ (рис. I.1.31) в восемь раз меньше площади треугольника АВС, так как АF = ½AB, а высота треугольника АFМ в четыре раза меньше высоты треугольника АВС (докажите). Если рассматривать AM и АD как основания треугольников АFМ и АВD, то соответствующие высоты этих треугольников относятся как 1 : 2. Выяснив, в каком отношении точка M делит отрезок АD, мы решим задачу.

1.32. Так как четырехугольник вписанный, то кроме входящих в задачу величин целесообразно рассмотреть радиус круга R и углы четырехугольника. Введя углы, мы сможем использовать свойство вписанного четырехугольника.

1.33. Использовать тот факт, что боковые стороны трапеции и отрезок, соединяющий середины ее оснований, лежат на прямых, пересекающихся в общей точке.

1.34. Если обозначить сторону квадрата через а, а расстояние от точки M до самой ближней стороны (либо до AB, либо до CD) через x, то остальные расстояния можно выразить через а и x.

1.35. Фигура, площадь которой нужно определить, на рис. I.1.35 заштрихована. Отрезок CD разбивает эту фигуру на правильный треугольник и трапецию. Длина отрезка АF известна, она равна 3/2. Если мы сможем определить длину отрезка СЕ (обозначим ее x), то задача будет решена.

1.36. Из параллельности сторон трапеции и треугольника следует, что углы при основании треугольника и при нижнем основании трапеции равны. Если обозначить эти углы через α, то можно выразить через α и другие углы, связанные с треугольником и трапецией.

1.37. Треугольники АОD и BОС подобны. Это позволяет из отношения оснований трапеции получить отношение высот треугольника АОD и трапеции. (!)

1.38. Нас интересует периметр третьего многоугольника. Обозначим его через x. Введем также радиус окружности R и число сторон b первого многоугольника.

1.39. Окружность не может лежать между точками M и О (докажите). Ее центр О1 лежит на биссектрисе угла АОВ.

1.40. Из данного отношения площадей треугольников АВС и АDЕ, записанного в виде отношения произведений катетов, и из свойства произведения секущей на ее внешнюю часть найти отношение AE /AB .

1.41. Пусть О1 — центр окружности, радиус которой мы ищем, а О — центр данной окружности. В качестве связующего звена следует рассмотреть треугольник АОО1.

1.42. Нужно обозначить сторону квадрата через а и составить с помощью теоремы Пифагора биквадратное уравнение для определения а через R и r.

1.43. Вписанный в сегмент квадрат не должен нарушать симметрии сегмента. Поэтому он расположится так, как показано на рис. I.1.43. Обозначим половину стороны квадрата через x и составим уравнение относительно x.

1.44. Чтобы использовать условия задачи, нужно провести радиусы обеих окружностей в точки касания окружностей друг с другом и с нижним основанием. Центр меньшей окружности лежит на биссектрисе угла D.

1.45. Вначале для определенности удобно предположить, что точки P и Q лежат по разные стороны от CD. В этом случае диаметр CD разделит фигуры РQNМ и Р1Q1D на две части (рис. I.1.45). Нужно доказать, что площадь фигуры СQNK равна площади треугольника Q1OD. При этом полезен будет следующий факт. Если соединить точки Q и О, то, во-первых, угол QОС вдвое больше угла QDС, а во-вторых, треугольники ОQ1D и ОQD равновелики.

1.46. Соединим точки А и В, P и M и проведем радиусы из центра О в точки А и В (рис. I.1.46). Если длины отрезков AB, АР1 и ОА = R заданы и отрезок AB построен, то прямоугольный треугольник АРВ и положение точки О определяются однозначно. Следовательно, зная длины этих отрезков, можно вычислить длины интересующего нас отрезка РМ.

1.47. Отрезок, соединяющий центр окружности с серединой хорды, перпендикулярен к этой хорде. Зная, что хорда удалена от центра на 3 R /5, легко выразить ее длину через R.

1.48. Использовать геометрически касание окружности О2 с окружностью О1 можно, соединив их центры (рис. I.1.48). Отрезок О2О1 пройдет через точку касания. Так как окружность О2 касается сторон угла ОАВ, то ее центр лежит на биссектрисе угла ОАВ.

1.49. Если в треугольнике АВС провести высоту АN (рис. I.1.49), то искомая площадь будет равна ½АN · BC. Соединив точки M и С, разобьем треугольник АВС на равнобедренный треугольник МСВ и треугольник АМС, у которого угол АМС легко выразить через φ.

1.50. Задача вычислительная. Нужно воспользоваться формулой Герона и выражением радиуса R через стороны треугольника и его площадь S, т. е. R = abc /4 S . Стороны треугольника удобно обозначить: а, а − d, а + d.

1.51. Проведите через точки P и Q прямые, параллельные AC. Первая будет средней линией треугольника АВС, вторая — средней линией треугольника с вершиной В, которому первая средняя линия служит основанием.

1.52. Соединим точки P и T. Данный треугольник разбивается на пять. Пусть QT = m, TL = n, QN = RL = а. Чтобы использовать условия задачи, можно записать соотношения площадей различных треугольников, образовавшихся из данного треугольника PQR.

1.53. Хорда MN — сторона правильного шестиугольника, вписанного в первую окружность, так как опирающийся на MN центральный угол ∠МО1N = 60°. Чем является MN для второй окружности?

1.54. Для вписанного в окружность четырехугольника воспользоваться свойством, в силу которого сумма противоположных его углов равна 180°. Удобно обозначить стороны четырехугольника через а, b, с, d, начиная со стороны AB, а опирающиеся на них углы (проведите диагонали) через α, β, γ, δ.

 

K главе 2

2.1. Предположим, что где-то построен мост (рис. I.2.1). В этом случае путь из А в В будет ломаной, состоящей из трех звеньев. Среднее звено всегда остается неизвестным по длине и направлению. Следовательно, нужно «спрямить» первое и третье звенья.

2.2. Из точки А отрезки МР и РN видны под углом 30° каждый. Следовательно, построить точку А можно как пересечение двух сегментов, вмещающих угол в 30°.

2.3. Пусть треугольник АВС искомый (рис. I.2.3). Чтобы на чертеже появился угол φ, отразим треугольник АВС от вертикальной оси, проходящей через середину BC. Получим треугольник СА1А, в котором ∠А1СА = φ.

2.4. В любом треугольнике АВС центр описанной окружности лежит на пересечении перпендикуляров, восставленных из середин сторон. Этот факт можно использовать для того, чтобы связать данные элементы треугольника: b и m с .

2.5. Точки О (центр вписанной окружности) и О1 (центр вневписанной окружности) лежат на биссектрисе угла А треугольника АВС (рис. I.2.5). Отрезки ОС и О1С, ОВ и О1В взаимно перпендикулярны как биссектрисы смежных углов. Поэтому точки В, О, С, О1 лежат на одной окружности с центром в точке Q.

2.6. Применить метод подобия, выбрав за центр подобия одну из вершин треугольника, А или С.

2.7. Если прямую FЕ (рис. I.2.7) вращать около точки M, то площади треугольников ОМF и ОМЕ будут изменяться так, что с увеличением одной уменьшается другая. Это должно навести на мысль рассмотреть некоторое среднее положение.

2.8. Чтобы использовать данный в условии периметр треугольника, нужно осуществить «спрямление», т. е. рассмотреть треугольник, который получается из искомого, если отложить на BC отрезки А1В и СА2, равные AB и AC соответственно, так, как это показано на рис. I.2.8.

2.9. Чтобы подойти к решению задачи, нужно построить из отрезков АР, ВР и СР ломаную с закрепленными концами и посмотреть, когда эта ломаная будет выпрямляться.

2.10. Зная гипотенузу, можно построить окружность, в которую вписан искомый прямоугольный треугольник АВС. Если биссектрису CD продолжить до пересечения с этой окружностью в точке E, то получим две равные дуги АЕ и ЕВ. Следовательно, отрезок ОЕ, соединяющий точку E с центром круга, перпендикулярен к AB и равен c /2. Теперь все данные в условии элементы связаны между собой.

2.11. Пусть известны углы при вершинах А и D четырехугольника и его стороны AB = а, BC = b, CD = с. Если угол ВАD закреплен, то положение точки С определяется с помощью метода геометрических мест.

2.12. Пусть AM (рис. I.2.12) — искомая секущая и AB = ВМ. Чтобы связать ее с данной окружностью, соединим точки О и В. Если отрезок ОВ продолжим за точку В и отложим BC = ОВ = R, то точки О, А, С и M будут вершинами параллелограмма.

2.13. Пусть через точку M пересечения двух окружностей с центрами О и О1 (рис. I.2.13) проведена секущая AB данной длины. Проведем к ней перпендикуляры ОС и О1D. Отрезок CD вдвое меньше отрезка AB, так как точки С и D — соответственно середины хорд AM и МВ.

2.14. Если хорда AB искомая, то МВ − AM = а. Построим отрезок BN, равный AM (рис. I.2.14). Точки M и N лежат на одинаковом расстоянии от точки О, а MN = а.

2.15. Так как длина отрезка PQ и несущая его прямая известны, то можно воспользоваться методом параллельного переноса.

2.16. Нужно построить отрезок FD (рис. I.2.16), делящийся в точке M пополам. Следовательно, его можно рассматривать как одну из диагоналей параллелограмма. В качестве одной из вершин параллелограмма удобно выбрать точку В. Отразив ее симметрично от точки M, получим еще одну вершину.

2.17. Если через точки А и В провести прямую, то она, вообще говоря, должна пересечь прямую PQ в некоторой точке С. Остается воспользоваться свойством секущей и касательной, проходящих через общую точку. Случай, когда AB и PQ параллельны, рассмотрите отдельно. (!)

2.18. Соединить точку M с концами А и В данного диаметра. Рассмотреть получившиеся точки пересечения с окружностью.

2.19. Воспользоваться предыдущей задачей и построить произвольный перпендикуляр к данному диаметру, пересекающий окружность в точках С и D.

2.20. Какую бы точку С на прямой l мы ни взяли, величина |AC − BC| в силу неравенства треугольника не может превзойти длины отрезка AB. Следовательно, существует точка прямой l, отвечающая требованиям задачи. По условию точки А и В лежат по разные стороны прямой l. Принципиально ли это требование, или же можно сформулировать эквивалентную задачу для точек, лежащих по одну сторону прямой l?

2.21. Для построения естественно воспользоваться обычным методом геометрических мест. Каждая вершина квадрата лежит на внешней половине окружности, построенной на стороне четырехугольника как на диаметре. Чтобы отыскать второе геометрическое место точек, которому принадлежат вершины, нужно выяснить, что связана какая-то из линий, определяющих вершины, с данным четырехугольником. Рассмотрите с этой целью диагональ квадрата.

2.22. Дан отрезок и известно, что его длина 7. Отрезок длины 1 не известен. Если бы он был дан, то отрезок длины √7 можно построить, как только мы построим отрезок длины √3. Затем построим гипотенузу прямоугольного треугольника со сторонами √3 и 2.

2.23. Решение можно искать только при одновременном выполнении условий:

 

K главе 3

3.1. Чтобы связать участвующие в задаче элементы, нужно отрезок ОА луча, перпендикулярного к ребру, спроецировать на другую полуплоскость. Проекцию ОВ этого отрезка спроецировать в отрезок ОС, лежащий на втором луче.

3.2. Чтобы связать данные углы с величиной угла, который нужно найти, следует спроецировать катеты треугольника на плоскость P и построить искомый угол.

3.3. При проецировании угла α на плоскость P возникает четырехгранный угол, в котором три плоских угла даны, а два двугранных угла прямые. Чтобы установить связь между плоскими углами, нужно пересечь этот четырехгранный угол плоскостью Q, перпендикулярной к плоскости P.

3.4. Если спроецировать искомую прямую, параллельную а, на плоскость, перпендикулярную к а, то мы получим точку. Спроецируйте на эту же плоскость три оставшиеся прямые.

3.5. Начать нужно с построения искомого угла. Для этого прямые AB и SC нужно перенести в одну точку. Если сместить прямую SC, то она «повиснет в воздухе» и угол, который мы получим, не будет связан с треугольником. Поэтому проведем через току C прямую CD, параллельную AB; угол SCD искомый.

3.6. Лучи Аx и Вy удобно расположить так, как показано на рис. I.3.6. Утверждение, что ОК = АО, равносильно утверждению, что АM = MK (рассмотрите прямоугольные треугольники ОАМ и OKM).

3.7. Если такое сечение четырехгранного угла существует, то в результате параллельного сдвига плоскости этого сечения мы получим новую плоскость, пересечение которой с четырехгранным углом — тоже параллелограмм. Поэтому строить сечение можно в любой точке ребра четырехгранного угла.

3.8. Если продолжить DE и BC до пересечения в точке F, то BD — средняя линия в треугольнике EFC (рис. I.3.8). Площадь треугольника DEА равна половине площади треугольника FEA.

3.9. Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно определить высоту H пирамиды. Каждый из данных двугранных углов можно измерить с помощью линейного угла, опирающегося на высоту H. Остается использовать тот факт, что в основании лежит правильный треугольник.

3.10. Докажите, что высота, проведенная в треугольнике АDВ через вершину D, проходит через середину E основания AB. Тогда интересующий нас двугранный угол измеряется линейным углом DEC.

3.11. Условия задачи отражены на рис. I.3.11. Сторона а основания известна, так как известна площадь основания.

3.12. Аналогичное построение на плоскости приводит к образованию треугольника, подобного данному, с коэффициентом подобия ½. Поэтому и здесь следует постараться выяснить, подобны ли рассматриваемые тетраэдры.

3.13. Если О — центр шара, касающегося боковых граней пирамиды в точках О1, О2 и О3 (рис. I.3.13), то легко установить, что SB1 = SB2 = SB3. Если мы сумеем доказать равенство треугольников А2SВ1 и А2SВ3, то установим, что в основании пирамиды лежит правильный треугольник.

3.14. Достроить усеченную пирамиду до полной и рассмотреть высоты пирамид, имеющих три основания, о которых идет речь в условии.

3.15. Построить угол между скрещивающимися прямыми можно, если параллельно перенести их так, чтобы они проходили через одну точку. В качестве такой точки удобно выбрать вершину А основания пирамиды. Если мы достроим треугольник АВС, лежащий в основании, до параллелограмма АВСЕ (рисунок сделайте самостоятельно), то угол DАЕ будет искомым. Образовавшаяся в результате четырехугольная пирамида будет состоять из ребер данной длины, за исключением ребра DЕ.

3.16. Тетраэдр разбивается на две пирамиды с общим основанием — плоскостью сечения. Данное отношение объемов позволяет найти отношение высот этих пирамид и, следовательно, отношение синусов искомых углов.

3.17. Условия задачи отражены на рис. I.3.17. Нас интересует отношение площадей треугольников DАМ и DМS, в то время как все известные элементы сосредоточены в плоскости KSЕ. Поэтому нужно связать элементы треугольников DАМ и DМS с элементами треугольника KSЕ.

3.18. Использовать условие задачи, согласно которому высота пирамиды, опущенная из вершины D, проходит через точку пересечения высот основания АВС, с тем, чтобы доказать, что треугольники АDВ и АDС прямоугольные.

3.19. В пирамиде SАВС (рис. I.3.19) равнобедренные треугольники АSВ и АСВ равны. Следовательно, проведенные в них высоты из вершин S и С упадут в точку D — середину AB.

3.20. Если верхний из двух равных треугольников, лежащих один на другом в плоскости, начать вращать вокруг из общей стороны, то образованный ими двугранный угол может быть как острым, так и тупым. Поэтому придется рассмотреть два случая.

3.21. Если в основании АВС пирамиды провести высоту ВD, то отрезок SD разделит угол АSС пополам.

3.22. Покажите, что отрезки AB и CD взаимно перпендикулярны. Центр описанного шара лежит на их общем перпендикуляре KM, где K — середина СD, M — середина AB.

3.23. Расстояние от основания высоты до бокового ребра измеряется отрезком перпендикуляра, опущенного на боковое ребро. Чтобы связать участвующие в задаче величины, нужно измерить двугранный угол α линейным углом, построенным в точке бокового ребра, которая является основанием этого перпендикуляра. Следовательно, придется построить сечение пирамиды, проходящее через основание высоты и перпендикулярное к боковому ребру пирамиды.

3.24. Чтобы в сечении получился квадрат, плоскость сечения необходимо провести так, чтобы она пересекала все четыре грани пирамиды (иначе мы получили бы в сечении треугольник). Докажите, что если KLNM — квадрат (рис. I.3.24), то плоскость KLNM параллельна двум скрещивающимся прямым AB и СD.

3.25. Для того чтобы найти наиболее рациональное решение задачи, поставьте пирамиду на одну из боковых граней (рис. I.3.25), а затем примените сравнение объемов.

3.26. Вписать в пирамиду куб значит расположить его так, чтобы нижнее основание куба лежало на основании пирамиды, а верхнее основание куба было вписано в треугольник, полученный в горизонтальном сечении пирамиды (рис. I.3.26).

3.27. K решению этой задачи удобно подойти аналитически, рассмотрев общий случай. Предположим, что в сечении образовался некоторый треугольник со сторонами а, b и с. Полезно рассмотреть пирамиду, в основании которой лежит этот треугольник, а вершиной является вершина трехгранного угла.

3.28. По условию задачи попарно равны именно те ребра тетраэдра, которые лежат на скрещивающихся прямых. Использовать это условие можно, если расположить тетраэдр так, чтобы ребро AB лежало в горизонтальной плоскости P, а ребро DС было параллельно этой плоскости.

3.29. Нужно построить расстояние между прямыми AB и CD. Для этого через один из отрезков, например через AB, надо провести плоскость P, параллельную CD.

Решение естественно начать с построения плоскости P, проходящей через одно ребро (AB) и параллельной другому (CD). Удобный чертеж можно получить, повернув пирамиду вокруг AB так, чтобы плоскость P стала горизонтальной.

Далее нужно построить угол между скрещивающимися прямыми AB и CD. Напомним, что для этого достаточно построить прямую, пересекающую одну из них и параллельную другой.

3.30. Плоскость А1ВС отсекает от призмы четырехугольную пирамиду. Расположим ее так, как показано на рис. I.3.30. То, что в эту пирамиду вписан шар радиусом R, означает, что в треугольники В1А1С1 и DА1Е вписаны окружности радиусом R.

3.31. В силу соображений симметрии центр шара, о котором идет речь в задаче, совпадает с центром шара, вписанного в правильный тетраэдр.

3.32. Если куб преобразовать подобно, выбрав в качестве центра подобия точку О, то диагональ, проходящая через точку О, сохранит свое направление в пространстве.

3.33. Составным элементом этой задачи является соотношение, связывающее разность углов треугольника, прилегающих к некоторой его стороне, с углом между этой стороной и биссектрисой противоположного угла.

3.34. Диагонали, расстояние между которыми нужно найти, будут лежать на скрещивающихся прямых. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между определяемыми ими параллельными плоскостями.

3.35. Так как сфера с центром в точке О расположена симметрично относительно всех трех ребер, выходящих из А, то О должна лежать на диагонали куба.

3.36. Вначале нужно извлечь информацию из того обстоятельства, что проекции каждой стороны четырехугольника на взаимно перпендикулярные плоскости равны. Отсюда следует, что каждая сторона четырехугольника параллельна плоскости, делящей угол между взаимно перпендикулярными плоскостями пополам.

3.37. Задачу можно свести к такой: доказать, что объем конуса меньше куба его образующей. (!)

3.38. Введите линейные элементы, характеризующие конус, например высоту H и радиус основания ρ. Затем величины H, ρ и p выразите через радиусы R и r шаров.

3.39. Чтобы использовать данное в условии отношение объемов двух конусов, нужно выразить радиус основания одного конуса через радиус основания другого. Для этого придется внутренний конус, свободно вращающийся в шаре, закрепить так, чтобы образующие конусов были параллельны.

3.40. Не следует начинать решение с построения общего чертежа, который окажется весьма громоздким. Удобнее вначале провести анализ условия и вспомнить, что центр сферы, вписанной в двугранный угол (рис. I.3.40), лежит в плоскости, проходящей через точки касания В и С и перпендикулярной к ребру этого угла. Линейный угол ВЕС делится прямой EO1 пополам, а отрезки СЕ и ВЕ равны. Если сделать соответствующие построения для треугольной пирамиды, то появится возможность использовать условие, что данная пирамида правильная.

3.41. Центры четырех шаров, касающихся основания конуса, лежат в одной плоскости (рис. I.3.41). Если мы проведем осевое сечение конуса через O1 и О3, то сможем связать высоту H и радиус основания R конуса с радиусом r.

3.42. Необходимые построения показаны на рис. I.3.42. Плоскость EMNF проходит через ось цилиндра и перпендикулярна к основанию пирамиды; F — точка касания окружности основания цилиндра со стороной DС; M — точка касания с гранью ASB. Отрезки МК и EF взаимно перпендикулярны, KF — искомая величина.

3.43. Условия задачи отражены на рис. I.3.43. Ввести линейные элементы, определяющие конус, и выразить их через ребро куба.

3.44. Поскольку в усеченную пирамиду вписан шар, то объем пирамиды можно представить в виде произведения одной трети радиуса шара на полную поверхность пирамиды. Обозначим стороны нижнего и верхнего основания через а и b соответственно. Воспользовавшись сравнением объемов, — в качестве второго выражения для объема нужно взять обычную формулу  — выразим площадь боковой грани пирамиды через а и b.

3.45. Нет необходимости изображать сами шары. Достаточно изобразить их центры и точки их касания с плоскостью.

3.46. Фигуры, о которых говорится в условии задачи, расположены так, что у них имеются две плоскости симметрии. Первая плоскость симметрии пройдет через ребро данного двугранного угла и через центр меньшего шара. На этой плоскости окажутся центры двух других шаров. Вторая плоскость симметрии будет перпендикулярна к ребру двугранного угла и тоже пройдет через центр меньшего шара. Поэтому достаточно сделать каркасный чертеж, на котором изобразить лишь одну из четырех равных частей данной конфигурации.

3.47. У рассматриваемой фигуры будут три плоскости симметрии, проходящие через ось конуса и центр одного из шаров. Проекции центров трех шаров на плоскость P образуют равносторонний треугольник, сторона которого равна 2R. Сделать каркасный чертеж.

3.48. Чтобы использовать условие задачи, нужно рассмотреть два соседних конуса. При этом нет необходимости рисовать их целиком, достаточно изобразить оси, общую образующую и образующие, по которым конусы касаются плоскости.

3.49. По условию сфера, радиус которой нужно найти, вписана в трехгранный угол А (рис. I.3.49). Это означает, что ее центр лежит на высоте АО. Однако все точки высоты АО (кроме концов) лежат внутри сферы, построенной на AB. Следовательно, касание двух сфер может быть только внутренним.

3.50. Искомое тело можно представить себе как часть пространства, заполненную в результате вращения вокруг оси РР (рис. I.3.50) треугольника SАВ и всех сечений пирамиды, проходящих через вершину S параллельно AB. Таким сечением является, например, треугольник SEF, изображенный на рис. I.3.50.

3.51. Способ 1. Задачу можно решить аналитически, если выразить полную поверхность конуса через радиус вписанного в него шара и угол а (рис. I.3.51; на нем изображено осевое сечение конуса). Затем следует воспользоваться соотношением Sпк = 2Sш. В результате получим тригонометрическое уравнение относительно α.

Способ 2. Объем конуса можно представить себе как сумму объемов V1 и V2  где V1 — объем тела, полученного вращением треугольника ASO вокруг оси конуса, а V2 — объем конуса с осевым сечением АОВ.

3.52. Пусть АВС и А1В1С1 — основания призмы, а В1В — ее ребро, принадлежащее двум равновеликим граням. Докажите, что вершина В1 проецируется тогда на биссектрису одного из углов, образованных прямыми AB и BC. Может ли проекция вершины В1 оказаться на биссектрисе внешнего угла треугольника АВС?

3.53. О пирамидах не сказано, какие они. Поэтому следует попытаться заполнить ими весь объем куба.

3.54. Высота SP пирамиды SABС (рис. I.3.54) фиксирована и равна 4. В основании правильный треугольник АВС со стороной 6. Кроме того, основание высоты не покидает треугольник АВС. Следовательно, вершина S пирамиды SАВС лежит в плоскости, параллельной плоскости треугольника АВС, и отстоящей от нее на расстоянии, равном 4. Если мы построим на основании АВС прямую призму А1В1С1ABC с ребром 4, то вершина S пирамиды SАВС будет принадлежать верхнему основанию этой призмы.

 

K главе 4

4.1. Построение сечения, о котором идет речь в задаче, показано на рис. I.4.1. Вначале найдена точка F сечения, лежащая в плоскости нижнего основания на пересечении прямых АЕ и DС.

4.2. Построение сечения показано на рис. I.4.2, который подсказывает и рациональный способ вычисления площади сечения.

4.3. Чтобы построить сечение, проведите прямую через вершину А и центр верхнего основания и найдите точку пересечения этой прямой с ребром СС1.

4.4. Сечение BEFG (рис. I.4.4) разбивает пирамиду на две части. Удобнее найти объем той части пирамиды, которая лежит под сечением, представив эту фигуру в виде разности двух пирамид EBCM и FGDM.

4.5. Сечение должно пройти через точки А, D и N (рис. I.4.5). Если их соединить, то получим пирамиду NACD, которую сечение отрезает от половины данной пирамиды.

4.6. Основную трудность в этой задаче представляет построение сечения. Начните с построения вспомогательного треугольника PQR.

4.7. Связать сечение с перпендикулярной к нему плоскостью центрального сечения пирамиды.

4.8. Чтобы вычислить площадь треугольника ABE, достаточно найти его высоту ЕМ (рис. I.4.8). Высоту B1O призмы нетрудно вычислить, а высота EK пирамиды EABC в два раза меньше B1O.

4.9. Чтобы построить сечение, достаточно провести через точку F два отрезка, лежащих внутри данного параллелепипеда: один в одной диагональной плоскости параллельно BD, а второй в другой диагональной плоскости параллельно AC1.

4.10. Построение тени, отбрасываемой кубом, показано на рис. I.4.10. Посмотрите, как будет изменяться тень при вращении источника света.

4.11. Площадь тени не изменится при произвольном параллельном переносе куба. Поэтому удобно расположить куб так, чтобы по крайней мере одна из его вершин (обозначим ее А) лежала в плоскости Π (рис. I.4.11).

Площадь тени не изменится также и при вращении куба вокруг вертикальной прямой, проходящей через вершину А. Следовательно, для определения положения куба удобно воспользоваться острым углом между плоскостью его нижнего основания и плоскостью Π, который при таком вращении не изменяется.

Задача существенно упростится, если удастся выбрать в кубе простейшую фигуру, составленную из плоских фигур, которая отбрасывает на плоскость Π ту же самую тень.

 

K главе 5

5.1. Если точка M принадлежит геометрическому месту точек, то отрезок NО виден из нее под прямым углом. (!)

5.2. Если к треугольнику АМВ применить теорему косинусов, то получим еще одно соотношение, связывающее угол АМВ со сторонами треугольника.

5.3. Поскольку характеристики геометрического места точек содержатся в условии задачи, вполне удобно доказать, что любая точка окружности обладает указанным свойством. Для этого следует применить теорему косинусов к стороне МВ треугольника АМВ.

5.4. При любом выборе точки M треугольники АМВ и ВМС имеют общую сторону ВМ. Использовать условие равновеликости двух треугольников, имеющих общую сторону.

5.5. Пусть точка M зафиксирована. Площадь треугольника АВМ не изменится, если отрезок AB двигать по прямой AB. То же самое можно сказать о треугольнике СDМ. Остается рассмотреть два случая: 1) прямые AB и CD пересекаются, 2) прямые AB и CD параллельны.

5.6. Выясните, какую роль играет в задаче куб. Задачу можно разделить на две: вначале решить ту же задачу для прямых, на которых расположены диагонали куба, а затем высечь часть пространства, ограниченную кубом, и проследить, какие при этом произойдут изменения.

 

K главе 6

6.1. Воспользоваться тождеством p² − 1 = (p − 1)(p + 1).

6.2. Способ 1. Воспользоваться методом математической индукции. (!)

Способ 2. Разбить все числа на классы по модулю 3:

n = 3k, n = 3k + 1, n = 3k − 1,

и проверить утверждение для каждого класса. (!)

6.3. Поскольку 105 = 3 · 5 · 7, то а105 = (а³)35 = (а5)21 = (а7)15. Воспользуйтесь этим для разложения данного числа на множители.

6.4. Среди чисел от 1 до 500 будет 250 четных, 125 делящихся на 4 и т. д.

6.5. Чтобы данное число приняло более симметричный вид, его удобно умножить на 10. При этом делимость его на 81 не изменится.

6.6. Дополнить выражение n4 + 4 до полного квадрата и разложить на множители.

6.7. Так как по условию n четное, то нужно сделать подстановку n = 2k и привести данное выражение к общему знаменателю.

6.8. Способ 1. Дробь  сократима тогда и только тогда, если ее числитель представим в виде pr, а знаменатель — в виде qr, где p, q и r — целые числа и r ≠ ±1.

Способ 2. Если сократима дробь p /q , то сократима и дробь q /p .

6.9. Использовать сначала признак делимости на 4, а затем признак делимости на 9. (!)

6.10. Если условие, в силу которого число  в три раза меньше  записать символически, то получим уравнение, которое нужно будет решить в целых числах, каждое из которых расположено между 0 и 9.

6.11. Ясно, что число p нечетное. Одно значение p легко угадать — это p = 3. Есть ли другие?

6.12. Задачу удобнее решать от противного, исходя из предположения, что tg 5° = p /q , где p и q — целые.

6.13. Если меньшее из чисел не оканчивается цифрой 9, то суммы цифр этих чисел различаются на 1. Поэтому обе суммы цифр одновременно делиться на 11 не могут. Нужно искать решение среди чисел, меньшее из которых оканчивается одной или несколькими цифрами 9.

6.14. Нужно правильно использовать условие, в силу которого x и у — целые. Однородное выражение относительно неизвестных нужно оставить слева и попытаться разложить на множители, а число 17 перенести в правую часть равенства.

6.15. Данное уравнение таково, что если x = а, у = b — его решение, то существуют еще три решения: (−а, b), (а, −b), (−а, −b), если а ≠ b.

6.16. Преобразовать исходное условие к виду 11(4x − 1) = 69(у − x) и воспользоваться тем, что x и у — натуральные числа.

 

K главе 7

7.1. Обе двойки представить как 3 − 1 и сгруппировать члены так, чтобы в числителе можно было вынести за скобки n + 1, а в знаменателе n − 1.

7.2. Прежде чем выполнять действия в скобках, следует упростить дроби, разложив числители и знаменатели на множители.

7.3. Перед нами сумма из трех слагаемых. Если первые два привести к общему знаменателю, то в числителе произойдут существенные упрощения.

7.4. Прежде чем производить вычитание, следует упростить дробь.

7.5. Если вынести за скобки х2 m , то в скобках останется x в степени, содержащей множителями m − n и 1/mn . Это упростит дальнейшие преобразования. (!)

7.6. Каждое из подкоренных выражений является полным квадратом.

7.7. Обратить внимание на то, что

9 + 4√2 = 8 + 4√2 + 1 = (2√2 + 1)².

7.8. Каждую из вторых скобок разбить на два слагаемых x² − u² и z² − у², после чего собрать все члены, содержащие множитель x² − u², и все члены, содержащие z² − у². (!)

7.9. Если обозначить левую часть через z, то, освобождаясь от радикалов, можно получить уравнение относительно z.

7.10. Равенство, которое нужно доказать, представляет собой однородное выражение седьмой степени. Возвести в степень

а + b + с = 0    и    а + b = −с.

7.11. Задача сводится к разбору случаев, позволяющих раскрыть знаки абсолютной величины. Количество рассматриваемых случаев можно уменьшить, если заметить, что равенство, о котором идет речь, не меняется при замене x на −x.

7.12. Можно разобрать различные случаи взаимного расположения чисел x, у и 0. Однако проще возвести каждую часть в квадрат. Так как обе части неотрицательны, то мы получим равенство, равносильное данному. (!)

7.13. Условие можно записать в виде а⅓ + b⅓ = −с⅓ и возвести это соотношение в куб.

7.14. Данный трехчлен тождественно равен выражению

(ax + b)³ − (сх + d)³,    где    а > 0, b > 0, с > 0, d > 0.

 

K главе 8

8.1. Поскольку выражения, стоящие в скобках, расположены симметрично относительно значения x = 5, удобно ввести новое неизвестное у = x − 5. После того как мы раскроем скобки, произойдут значительные упрощения. (!)

8.2. Можно перемножить скобки по две, чтобы получить квадратные трехчлены, отличающиеся только свободным членом.

8.3. Если записать уравнение в виде x² − 17 = 3у², то возникает мысль доказать, что левая часть ни при каких целых x не делится на 3. (!)

8.4. Если целое у зафиксировать, то получим квадратное уравнение относительно x. Поэтому естественно обратить внимание на те ограничения, которые накладывает на у условие неотрицательности дискриминанта этого уравнения. (!)

8.5. Остаток следует искать в виде аx + b, а частное удобно обозначить через Q(x). Следуя определению деления, записать тождество.

8.6. Если переписать уравнение в виде

то благодаря условию целочисленности решений можно ограничить возможные значения у рассмотрением нескольких случаев.

8.7. Если подставить известный корень в уравнение, найти коэффициенты при рациональной и иррациональной частях, то получим систему двух уравнений для определения а и b.

8.8. Ответьте на вопрос: достаточно ли воспользоваться теоремой Виета, в силу которой свободный член и второй коэффициент должны быть положительными?

8.9. Если обозначить первый корень через x1, а знаменатель прогрессии через q, то останется применить теорему Виета. (!)

8.10. С помощью теоремы Виета получить зависимость между α1, α2, α3 и коэффициентами данного уравнения. (!)

8.11. Разделить x³ + аx + 1 на x − α по правилу деления многочлена на двучлен.

8.12. Ясно, что остаток нужно искать в виде аx + b. Если данный многочлен обозначить через P(x), а частное от его деления на (x − 2)(x − 3) — через Q(x), то мы сможем воспользоваться определением деления многочленов.

8.13. Если многочлен x4 + 1 разделится на x² + рx + q, то в частном мы получим многочлен второй степени, т. е. x² + аx + b.

8.14. Если данный многочлен делится на (x − 1)³, то после замены x − 1 = у получим многочлен, который должен делиться на у³.

8.15. Если многочлен четвертой степени с коэффициентом 6 при старшем члене делится на x² − x + q без остатка, то в частном обязательно получится многочлен 6x² + аx + b, в котором а и b определяются одновременно с p и q.

 

K главе 9

9.1. Точки −2, −1, 0 делят числовую ось на четыре интервала, в каждом из которых нужно решить данное уравнение. (!)

9.2. Если рассматривать значения x, обращающие в нуль числа, стоящие под знаками абсолютных величин, то придется разбить числовую ось на пять частей.

Удобнее ввести новое неизвестное у = x². (!)

9.3. Это уравнение четвертой степени. Следовательно, нужно найти искусственный прием, приводящий к его решению. Удобно воспользоваться тем, что слева стоит сумма квадратов.

9.4. Возвести в куб и сравнить полученное уравнение с данным.

9.5. Свести уравнение к симметрической системе, обозначив первое слагаемое левой части через u, а второе через v. (!)

9.6. Если под радикалами раскрыть скобки, то получим квадратные трехчлены, отличающиеся лишь свободным членом. Поэтому данное в условии уравнение удобно заменить системой, обозначив первое слагаемое его левой части через u, а второе через v.

9.7. Поскольку неизвестное входит в уравнение либо в сочетании x − b, либо в сочетании а − x, то удобно ввести обозначения    и получить систему алгебраических уравнений.

9.8. Ввести вспомогательное неизвестное у и свести решение данного уравнения к решению системы уравнений относительно x и у.

9.9. Перенести  в правую часть уравнения и возвести обе части в квадрат.

9.10. Чтобы избавиться от знаков абсолютной величины, можно поступить двояко: либо потребовать, чтобы правая часть уравнения была неотрицательной, и решить уравнения

x² − 3 x /2 − 1 = −x² − 4x + β,    x² − 3 x /2 − 1 = x² + 4x − β;

либо рассмотреть два случая: в первом выражение, стоящее под знаком абсолютной величины, неотрицательно, а во втором — отрицательно.

9.11. Рассмотреть различные случаи расположения x и у по отношению к нулю (всего придется рассмотреть четыре случая). (!)

9.12. Решить систему уравнений с параметром k, а затем решить систему неравенств. (!)

9.13. Рассмотреть различные случаи взаимного расположения чисел x и у и чисел x и −у. Это позволит раскрыть знаки абсолютной величины. (!)

9.14. Второе уравнение — уравнение окружности радиуса √а . Нарисовать кривую, которая определяется первым уравнением.

9.15. Одно решение очевидно: x = у = 0. Если ху ≠ 0, то можно разделить первое уравнение на ху, а второе на x²у².

9.16. Если бы во втором и третьем уравнениях не было коэффициентов 2 и 3, то уравнения системы получались бы друг из друга с помощью циклической перестановки неизвестных x, у и z. Однако влияние коэффициентов оказывается столь сильным, что попытка использовать это свойство системы не приводит к успеху. Попытайтесь преобразовать систему в распадающуюся, для чего потребуется отыскать алгебраическое выражение, общее для двух уравнений, и исключить его.

9.17. Если первое уравнение системы записать в виде x + у = −z и возвести в квадрат, то с помощью второго ее уравнения можно найти ху.

9.18. Сопоставьте первое и последнее уравнения. Если записать их в виде

x + у = 1 − z,    х³ + у³ = 1 − z³,

то напрашивается способ, с помощью которого можно преобразовать систему в распадающуюся.

9.19. Если раскрыть скобки, то получим систему линейных уравнений относительно u = x + у + z, v = ху + xz + yz, w = xyz. Найдя u, v и w, можно вычислить х³ + у³ + z³, если возвести x + у + z = u в куб: u³ = х³ + у³ + z³ + 3uv − 3w.

Однако такой путь решения, хотя и прост по идее, требует значительных выкладок. Решение можно упростить, если ввести в рассмотрение многочлен M(t) = (t − x)(t − у)(t − z) + а, который в силу условия задачи имеет корни t = а, t = b, t = с.

9.20. Первые два уравнения системы симметричны относительно x и у. Нужно использовать эту симметрию для того, чтобы получить одинаковые правые части у этих двух уравнений.

9.21. Если второе уравнение возвести в квадрат, то можно сравнить два выражения для (x + у)². (!)

9.22. В первое уравнение входит у, в последующие уt, yt² и yt³ соответственно. Эта закономерность позволяет исключить у.

9.23. Каждый элемент, стоящий в левой части второго уравнения, получается из соответствующего элемента, стоящего в левой части первого уравнения, возведением в квадрат. Нужно использовать это свойство системы.

9.24. Левые части всех трех уравнений симметричны относительно x, у, z. Поэтому, подвергнув какому-то преобразованию любые два уравнения системы, разумно сделать то же самое и с оставшимися двумя парами уравнений.

9.25. Если известна сумма s = x1 + x2 + ... + x n , то из каждого уравнения можно найти соответствующее xk .

9.26. Чтобы избежать возведения двучлена в третью и, тем более, в пятую степень, нужно ввести новые неизвестные так, чтобы выражение 7x − 11у было одним из этих неизвестных.

9.27. Поскольку  входит в оба уравнения с разными знаками, а √у — с одинаковыми, то естественно сложить данные уравнения и вычесть. При этом мы приходим к системе, у которой слева стоят сумма и разность одинаковых радикалов, а справа — разные радикалы.

9.28. Чтобы левые части уравнений стали однородными относительно неизвестных, удобно ввести новое неизвестное z = √у.

9.29. Если каждое из уравнений возвести в квадрат, то получим систему относительно u = x² и v = у². Проверка здесь может оказаться довольно сложной, поэтому целесообразно следить за равносильностью в процессе решения. Чтобы в результате возведения в квадрат не появились посторонние решения, достаточно записать ограничения: x > 0, у > 0.

9.30. Все члены системы, содержащие x и у, однородны второй степени относительно x и у. Пусть данная система имеет решения x1, у1, z1 Укажите симметричное решение, которое наряду с этим будет иметь система.

9.31. Поскольку вместе с условием x + у = 0 мы получаем три уравнения с двумя неизвестными, то имеет смысл воспользоваться подстановкой у = −x.

9.32. Поскольку данная система должна иметь решение при любом b, то, чтобы сузить область допустимых значений а, можно рассмотреть эту систему при некотором фиксированном b.

9.33. Вначале нужно использовать условие, что система должна иметь только одно решение. Второе уравнение можно рассматривать как четную функцию относительно x и у, т. е. наряду с решением x = x1, у = у1 оно имеет три симметричных решения: (−x1, у1), (x1, −у1), (−x1, −у1). Какое из этих решений наряду с (x1, у1) будет удовлетворять первому уравнению?

9.34. Второе уравнение можно преобразовать к виду

умножив числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю. Легко убедиться, что у ≠ 0. Поэтому можно полученное уравнение разделить на у, после чего нетрудно с помощью первого уравнения системы исключить

9.35. Представить уравнение в виде

|6 − |x − 3| − |x + 1|| = а(x + 5) + 4,

построить график функции, стоящей в левой части равенства, и рассмотреть поведение относительно этого графика прямой у = а(x + 5) + 4 при разных значениях а.

9.36. Обе части нужно возвести в квадрат. Чтобы обеспечить равносильность, в системе с полученным уравнением придется решать неравенство 4x² − 3аx ≥ 0. При этом выражение под вторым радикалом автоматически будет неотрицательным.

В задачах с параметрами, как правило, нарушать равносильность нецелесообразно. Рассуждения, связанные с ОДЗ, не дают строгого решения.

9.37. x = 0 — корень уравнения. Выражения в знаменателях имеют одинаковую составляющую 5x² + 6.

9.38. Это система однородных уравнений, и она решается стандартной подстановкой x + у = u, xу = v.

 

K главе 10

10.1. Из условия а + b = 2 следует, что числа а и b расположены симметрично относительно единицы. Использовать этот факт.

10.2. Условие а1а2...а n = 1 можно использовать при преобразовании левой части неравенства, умножая или деля ее на произведение а1а2...а n . Поскольку число множителей 1 + а i совпадает с показателем степени в правой части неравенства и все множители равноправны, то следует доказать, что каждый из них не меньше двух.

10.3. Способ 1. Поделить данное в условии равенство а + b = с почленно на с⅓.

Способ 2. Доказать эквивалентное неравенство:

10.4. Избавиться от дробей и использовать условие 0 ≤ x ≤ 1. Это условие обеспечивает выполнение таких неравенств, как xk + 1  ≤ xk , 1 − xk  ≥ 0 при любом натуральном k. (!)

10.5. Оценить каждый корень с помощью неравенства между средним геометрическим и средним арифметическим двух чисел, взяв в качестве первого числа подкоренное выражение, а в качестве второго единицу.

10.6. Предположить, что b ≤ а, и оценить левую часть данного неравенства, заменив b на а. (!)

10.7. Если бы между правой и левой частями стоял знак равенства, то мы имели бы производную пропорцию от

10.8. Воспользоваться неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим двух чисел.

10.9. Способ 1. Если обозначить три положительных слагаемых в левой части неравенства через u, v и w, то uvw = 1. Следовательно, среди чисел u, v и w есть одно большее единицы и одно меньшее единицы, например, u > 1, v < 1. Тогда (1 − u)(v − 1) > 0.

Способ 2. Если u, v и w — положительные числа, причем w — наименьшее, то u > w, v > w. Неравенство v > w можно умножить на положительное число u − w и полученное неравенство разделить почленно на uw.

Способ 3. Если с < b < а, то можно записать, что b = с + d1, а = b + d2, где d1 и d2 — положительные числа. Подставьте в левую часть неравенства вместо а и b их выражения с + d1 и b + d2— соответственно.

10.10. Преобразования удобно начать с записи S по формуле Герона. Величину S нужно оценить так, чтобы прийти к выражению, симметричному относительно а, b и с. Поскольку из четырех множителей p, p − а, p − b, p − с первый удовлетворяет этому требованию (2р = а + b + с), следует подвергнуть преобразованиям три других множителя. При этом полезно обратить внимание на то обстоятельство, что их сумма равна p:

p − а + p − b + p − с = 3р − (а + b + с) = p.

10.11. Если перемножить крайние и средние скобки, то получатся два трехчлена, отличающиеся только свободным членом. Это позволяет оценить левую часть, выделив квадрат трехчлена, свободный член которого находится посередине между свободными членами первого и второго трехчленов. (!)

10.12. Данные уравнения симметричны относительно у и z и не симметричны (второе) относительно x. Если воспользоваться вторым уравнением и из первого выразить у + z через x, то мы получим простую систему относительно у и z, где x выступает в роли свободного члена.

10.13. Данные уравнения можно переписать в виде

у + z = 5 − x,    yz + x(z + y) = 8,

после чего можно получить уравнение, корнями которого будут у и z, а коэффициенты будут зависеть от x.

10.14. Нужно рассмотреть три случая, в зависимости от того, положителен, отрицателен или равен нулю дискриминант трехчлена. Затем обратить внимание на знак старшего коэффициента. (!)

10.15. Так как коэффициент при x² положителен, то ветви параболы направлены вверх. Рассмотреть возможное расположение корней параболы относительно отрезка 1 < x < 2.

10.16. Воспользоваться теоремой Виета и рассмотреть случаи, когда х1 и x2 одного знака и разных знаков.

10.17. Определить направление ветвей параболы и расположение ее корней относительно точек −1 и +1, чтобы условия задачи выполнялись.

10.18. Если m ≠ 0 (случай m = 0 следует рассмотреть отдельно), то ветви параболы у = mx² − 4x + 3m + 1 должны быть направлены вверх.

10.19. Рассмотреть случаи, позволяющие раскрыть знаки абсолютной величины. Удобнее записать это неравенство как совокупность двух систем: в первой выражение, стоящее под знаком абсолютной величины, неотрицательно, а во второй системе оно отрицательно. (!)

10.20. Чтобы избавиться от знаков абсолютных величин, достаточно вспомнить о том, как они могли быть получены, например  = |x − 3|. (!)

10.21. Чтобы упростить данное неравенство, его нужно умножить на 4x. Поскольку результат будет зависеть от знака x, необходимо рассмотреть два случая: x < 0 и x > 0. (!)

10.22. Если перенести 3 в левую часть неравенства и привести полученное выражение к общему знаменателю, то получим дробь, которая должна быть отрицательной.

10.23. Неравенство можно упростить, если перенести все в одну сторону, привести выражения, стоящие под радикалами, к общему знаменателю и вынести за скобки неотрицательный множитель

10.24. Удобно рассмотреть два случая: x > 0 и x < 0 (при x = 0 сразу видно, что неравенство не выполняется).

10.25. В неравенство входит сумма двух выражений: √x ,  — и их удвоенное произведение. Кроме этого, в правой части стоит член −2x, который после перенесения его в левую часть можно использовать для образования суммы квадратов этих выражений.

10.26. Поскольку второе слагаемое всегда неотрицательно, целесообразно рассмотреть два случая: x > 0 и x ≤ 0.

10.27. Если привести обе части неравенства к основанию 2, то можно заметить симметрию показателей.

10.28. Если перенести все влево и сгруппировать члены, содержащие иррациональное выражение в показателе степени, то это поможет разложить левую часть на множители. (!)

10.29. Придется разобрать два случая: x > 0 и x ≤ 0. Когда x > 0, данное неравенство равносильно такому:

10.30. Чтобы сравнить показатели степени, необходимо выяснить, как основание расположено по отношению к единице.

10.31. Так как обязательно x > 0, то можно упростить неравенство, разделив обе его части на x.

10.32. При x > 0 получаем равносильное неравенство

Что будет при x < 0?

10.33. При возведении в квадрат нужно потребовать, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. (!)

10.34. Выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть положительным. Абсолютная величина выражения неотрицательна. Как видите, это не совсем одно и то же. (!)

10.35. При решении логарифмических неравенств удобнее иметь дело с одинаковыми основаниями логарифмов. Если вы выбрали в качестве такого основания число 5, то обратите внимание на правую часть неравенства. Осуществив в ней почленное деление числителя на знаменатель, вы обнаружите, что При этом появляются ограничения x > 0, x ≠ 1. Существенны ли они в процессе решения?

10.36. Перейти к одному основанию и получить под знаками логарифма одинаковое число. (!)

10.37. Неравенство легко приводится к виду

log| x + 6| (x² − x − 2) ≥ 1. (!)

10.38. Если обозначить logа x = у, то получим простое неравенство относительно у.

10.39. Перейти к общему основанию k.

10.40. Вообще говоря, нужно рассмотреть случаи, когда основание x больше единицы и когда оно находится между нулем и единицей. Однако внимательное изучение данного неравенства позволяет рассмотреть только один из этих случаев.

10.41. Поскольку основание логарифма больше единицы, данное неравенство эквивалентно требованию, чтобы число, стоящее под знаком логарифма, было не меньше единицы.

10.42. Чтобы упростить это неравенство, нужно рассмотреть два случая, в зависимости от того, больше или меньше единицы основание логарифма. Однако правильное использование условия позволяет исключить случай

0 < (x − 1)² < 1.

10.43. Полезно обратить внимание на то обстоятельство, что первый сомножитель положителен. Следовательно, и второй сомножитель тоже должен быть больше нуля.

10.44. Нужно начать с приведения логарифмов к основаниям 2 и 3.

10.45. Поскольку неизвестно, как расположено выражение, стоящее в основании логарифма, относительно 1, то придется рассмотреть два случая: 0 < x² − 1 < 1 и x² − 1 > 1. (!)

10.46. Поскольку мы ищем как решения, при которых основание положительно, так и решения, при которых оно отрицательно, удобно начать с определения тех интервалов изменения x, где основание сохраняет свой знак.

10.47. Если у ≠ 0 фиксировано, то данное неравенство является обычным квадратным неравенством относительно x. Остается записать условие, при котором это квадратное неравенство имеет решение.

10.48. Прежде чем приступить к «техническому» решению задачи, ответьте на вопрос, следует ли из неравенства 3 < 2, например, теорема синусов?

10.49. Чтобы составить план решения, нужно рассмотреть строгое неравенство:

Корень в левой части этого неравенства существует и положителен при x < а. Поэтому оно равносильно системе

10.50. Разложить оба квадратных трехчлена на множители и общий множитель вынести за скобки.

10.51. Откажитесь от идеи непосредственной проверки данных в условии чисел путем их подстановки в неравенство. Проще это неравенство решить. (!)

10.52. Обратите внимание, что числа √5 + 2 и √5 − 2 при перемножении дают 1, т. е. эти числа взаимно обратны.

10.53. Обозначив log2x = у, можно привести неравенство к виду

1 + у² ≤ |у| (4x − x² − 2).

В выражении в скобках нужно выделить полный квадрат.

 

K главе 11

11.1. С помощью формулы перехода к другому основанию можно выразить искомое число через десятичные логарифмы.

11.2. Число 1225 нужно разложить на простые множители. (!)

11.3. Перенести степени с основанием 2 в правую часть уравнения, а с основанием 3 в левую. После преобразований уравнения его правая часть может быть записана как 2 в некоторой степени, а левая — как степень числа 3.

11.4. Обозначить 3−| x − 2| = у и исследовать квадратное уравнение.

11.5. Обозначить 12| x | = у. При исследовании учесть, что не только дискриминант не должен быть отрицательным, но и найденные значения у не могут стать меньше 1. (!)

11.6. Уравнение можно переписать в виде

Прежде чем прологарифмировать, удобно получить в правой части единицу. (!)

11.7. Использовать тот факт, что числа 2 + √3 и 2 − √З взаимно обратные

11.8. Уравнение примет более симметричный вид, если разделить обе его части на 2x .

11.9. Отдельно рассмотреть случаи, когда основание равно 0, 1, −1. (!)

11.10. Привести к одинаковому числу под знаком логарифма.

11.11. С помощью формулы loga b = loga k b k можно добиться того, что в уравнение будут входить только logx 7 и log7x.

11.12. Если уравнение прологарифмировать по основанию 3, то мы получим уравнение третьей степени относительно log3x. (!)

11.13. Уравнение легко преобразовать в иррациональное с помощью замены у = logx 3. (!)

11.14. Так как 2 logx 2 = logx 4, то после умножения обеих частей уравнения на log4x оно упростится. Нарушится ли при этом равносильность?

11.15. Вид уравнения подсказывает, что для его решения удобно перейти к логарифмам с общим основанием x. Равносильное ли получится уравнение?

11.16. В уравнение входят логарифмы выражения 3 + x при разных основаниях. Его можно упростить, если воспользоваться формулой

11.17. При решении удобнее следить за равносильностью, чем делать в конце проверку, которая окажется здесь достаточно громоздкой.

11.18. Если log√b x записать при основании а, то уравнение упростится.

11.19. Если в каждом из подкоренных выражений произвести логарифмирование с переходом к общему основанию а, то это позволит выделить под радикалами полные квадраты. Очевидно, такие же ограничения, как на а, должны быть наложены и на x.

11.20. Система не может иметь решений, в которых хотя бы одно неизвестное обращается в нуль (докажите). Следовательно, каждое уравнение можно прологарифмировать.

11.21. Поскольку нам известно, чему равно x у , то второе уравнение целесообразно возвести в степень у.

11.22. Из вида системы следует, что x и у положительны. Так как в левых частях уравнений одинаковые показатели степени, то целесообразно попытаться их найти.

11.23. Так как 11xz : 11z = 11( x − 1) z , то с помощью этого соотношения можно получить уравнение относительно .

11.24. Так как коэффициенты в левых частях уравнений одинаковы (двойку во втором уравнении можно убрать, прибавив единицу к показателю степени), то целесообразно посмотреть, нет ли у левых частей общего множителя.

11.25. Вначале нужно перейти к общему основанию у логарифмов, а затем получить систему двух алгебраических уравнений.

11.26. Способ 1. Систему можно решить подстановкой, выразив из второго уравнения у через x.

Способ 2. Воспользоваться равенством аlog b c = сlog b а .

11.27. Решение системы нужно начать с использования ограничений, что позволит сократить число рассматриваемых случаев.

Из второго уравнения следует, что x и у — величины одного знака. Поскольку должен существовать log2 (x + у), то x и у положительны. Сумму x + у легко сравнить с единицей.

11.28. Это — алгебраическая система относительно u = log2x и v = log2(у + 1). (!)

11.29. Оба уравнения можно упростить с помощью формулы

loga k N = 1/k loga N (а > 0, а ≠ 1).

11.30. Первые два уравнения можно рассматривать как систему относительно соответствующих степеней тройки. Нетрудно заметить, что это позволит найти x.

 

K главе 12

12.1. Выражения, стоящие в квадратных скобках, существенно упростятся, если раскрыть скобки и выполнить возведение в степень. (!)

12.2. Это тождество по структуре похоже на формулу тангенса суммы. Чтобы заметить это, достаточно переписать его так:

tg 2α [tg (30° − α) + tg (60° − α)] = 1 − tg (60° − α) tg (30° − α).

12.3. Перенести ctg x в левую часть и преобразовать вместе с ½ tg x /2.

12.4. Поскольку нам нужно получить соотношение, в котором участвуют α + β и α, то вместо sin β удобно записать sin [(α + β) − α] и воспользоваться формулой синуса разности. (!)

12.5. Домножить и разделить на 2 sin π/7 и воспользоваться формулой синуса двойного угла. (!)

12.6. Вычислить произведение косинусов этих углов можно, если домножить и разделить его на 2 sin π/7. После этого нужно трижды последовательно воспользоваться формулой синуса двойного угла (см. задачу 12.5).

12.7. Удобнее доказать, что правая часть равна левой. Для этого стоящее в правой части выражение нужно преобразовать с учетом данных равенств.

12.8. В произведении sin (x + у) sin (x − у) удобно раскрыть синус суммы и синус разности.

12.9. Выразить дробь, стоящую в правой части последнего равенства, через синусы и косинусы α и β.

12.10. Данное выражение и выражение, которое нужно вычислить, симметричны относительно α, β и γ. Левую часть данного равенства удобно выразить через sin²α, sin²β, sin²γ.

12.11. Подставить β = α + π/3, γ = α + 2π/3 и записать данное выражение через синусы и косинусы.

12.12. Так как ctg α, ctg β и ctg γ образуют арифметическую прогрессию, то ctg α + ctg γ = 2 ctg β. Если теперь вспомнить, что β = π/2 − (α + γ), то можно получить соотношение, не зависящее от ctg α + ctg γ. (!)

12.13. cos 106° = cos (90° + 16°) = −sin 16° = −2 sin 8° cos 8°.

 

K главе 13

13.1. Множитель √2 sin (x + π/4) замените на sin x + cos x.

13.2. Левую часть можно преобразовать так, чтобы она содержала множителем выражение, стоящее в правой части.

13.3. Выразить левую часть уравнения через sin x и cos x так, чтобы оказалось возможным разложение ее на множители.

13.4. Если преобразовать в сумму произведение синусов двух функций и произведение косинусов этих же функций, то получим сопряженные выражения. Поэтому целесообразно заменить тангенсы через синусы и косинусы соответствующих аргументов.

13.5. Если записать 1/tg x вместо ctg x, то после простых преобразований (следите за их равносильностью) придем к распадающемуся уравнению.

13.6. Прибавить к левой и правой частям уравнения tg 3x. Тогда слева можно вынести за скобки число 3, а справа tg 3x.

13.7. Нетрудно заметить, что множитель sin (x + π/4) можно вынести в левой части уравнения за скобки, так как он получается при преобразовании суммы sin x + cos x в произведение.

13.8. Перенести tg 2x в правую часть и привести обе части уравнения к виду, удобному для логарифмирования.

13.9. Избавиться от иррациональностей с помощью перехода под радикалами к функциям половинного аргумента. Использовать условие, что 0 < x < 2π, и постараться раскрыть знаки абсолютной величины.

13.10. Перенести sin α в левую часть и привести полученную сумму к виду, удобному для логарифмирования. Стоящий в правой части sin x выразить через функции половинного аргумента.

13.11. Рассмотреть случаи, позволяющие раскрыть знаки абсолютной величины; задача сведется к решению двух уравнений и к выбору тех значений x, которые попадают в указанный интервал.

13.12. Вначале следует посмотреть, не стоит ли под радикалом полный квадрат какого-то выражения. Число 16 нам, скорее всего, не помешает, а вот число 17 менее удобно для последующих преобразований. Чтобы освободиться от его присутствия, удобно вынести под радикалом sec² x за скобки, а оставшееся в скобках выражение записать через sin x.

13.13. Перенести все члены уравнения в левую часть и разложить на множители с тем, чтобы появилась возможность избавиться от большинства радикалов.

13.14. Выразить sin 4x через tg 2x. Это тождество условное, поэтому нужно убедиться в равносильности полученного уравнения данному.

13.15. Перейти к функциям sin x и cos x.

13.16. Правую часть уравнения можно сократить на cos 2x, добавив условие cos 2x ≠ 0.

13.17. С помощью универсальной подстановки (через тангенс половинного угла) это уравнение может быть сведено к кубичному уравнению относительно у = tg x /2. Равносильное ли получится уравнение?

13.18. Понизить степень.

13.19. Левую и правую части можно привести к виду, удобному для логарифмирования.

13.20. Уравнение упростится, если преобразовать произведения, стоящие в левой его части, в разность косинусов. Оно станет квадратным относительно у = cos x. (!)

13.21. Выразить sin 4x через sin x и cos x и вынести sin x за скобки после переноса в левую часть.

13.22. Раскрыть скобки и каждое из ста произведений преобразовать в сумму. (!)

13.23. Каждое произведение преобразовать в разность косинусов. (!)

13.24. Выразить cos 4x + 1 через cos 2x.

13.25. Произведение косинусов может равняться единице, если либо оба косинуса равны единице, либо оба равны минус единице.

13.26. Представить единицу в виде sin² x + cos² x.

13.27. Уравнение таково, что не остается надежд на упрощения в результате тригонометрических преобразований. Поэтому следует попытаться воспользоваться оценками. Во-первых, выражение, стоящее в левой части, всегда неотрицательно, кроме того, cos4 x ≥ 0; следовательно, и cos 3x ≥ 0. Во-вторых, слева стоит сумма квадратов, которую разумно дополнить до полного квадрата.

13.28. Обратить внимание на то обстоятельство, что левая часть уравнения не может стать меньше единицы, а правая не может превзойти единицу.

13.29. Второе уравнение легко свести к виду sin (2x − у) = 0, откуда у = 2x − πk. При подстановке в первое уравнение получим

4 tg 3x = 3 tg 4x.

Это уравнение удобнее преобразовать к виду

4(tg 4x − tg 3x) = tg 4x,

чем к виду

3(tg 4x − tg 3x) = tg 3x,

так как множитель 4 удобнее при тригонометрических преобразованиях.

13.30. Второе уравнение легко решается преобразованием его левой части в разность косинусов; в результате получится соотношение 2у = π/2 − x + kπ. Прежде чем им воспользоваться, следует первое уравнение привести к виду, удобному для логарифмирования.

13.31. Левые части первого и второго уравнений нетрудно выразить через u = sin x и v = sin у.

13.32. Второе уравнение существенно упростится, если его левую часть преобразовать в сумму.

13.33. Из системы можно исключить x, если воспользоваться основным тригонометрическим тождеством

sin² φ + cos² φ = 1.

13.34. Нужно вначале решить первое уравнение, решение которого находится обычным путем. Найденное значение подставить во второе уравнение.

13.35. Разделив второе уравнение на первое, получим tg у = 2 tg x.

13.36. Удобно перейти к уравнениям относительно одной тригонометрической функции. При этом нужно следить за равносильностью.

13.37. Если возвести каждое уравнение в квадрат и полученные уравнения сложить, то мы исключим α. Однако для нас важнее исключить либо x, либо у. Как это сделать?

13.38. Левую часть первого уравнения можно преобразовать в разность sin (x − у) − cos (x + у). Из второго уравнения определяется cos (x + у).

13.39. Правая часть уравнения не может стать больше четырех. Если ввести обозначения tg² x = u, tg² у = v, то нетрудно заметить, что левая его часть не может стать меньше четырех.

13.40. Способ 1. Умножить sin² x на тригонометрическую единицу sin² 3x + cos² 3x и сгруппировать члены, содержащие sin² 3x.

Способ 2. Перенести все члены в левую часть и выделить полный квадрат разности 2 sin x − sin² 3x. Оставшиеся члены образуют неотрицательное выражение.

13.41. Способ 1. Преобразовать сумму тригонометрических функций cos x + cos у в произведение, а cos (x + у) выразить через косинус половинного аргумента.

Способ 2. Раскрыть cos (x + у) по формуле косинуса суммы.

13.42. Вопрос задачи естественно поставить следующим образом: при каких а и b равенство

tg x + tg (а − x) + tg x tg (а − x) = b

является тождеством (неабсолютным)?

13.43. Вначале следует попытаться оценить снизу левую часть уравнения, так как верхняя оценка правой части очевидна:

12 + ½ sin у ≤ 12,5.

13.44. Перенести sin Зx в левую часть уравнения и преобразовать sin x − sin Зx к виду, удобному для логарифмирования.

13.45. После раскрытия скобок произвести упрощения.

13.46. Условие записано таким образом, что введение нового неизвестного

является очевидным шагом к решению уравнения. Мы придем к квадратному уравнению относительно у.

13.47. В задаче требуется решить систему двух уравнений с одним неизвестным и выбрать решения, удовлетворяющие ограничению |x| < 5. Было бы заблуждением пытаться свести эти два уравнения в одно с помощью подстановки или какого-либо другого преобразования. Можно решить каждое в отдельности и отыскать общие корни. Однако попытайтесь использовать особенности данной системы.

13.48. Так как выражений, схожих с cos 6 x /5 , в условии больше нет, то, скорее всего, cos 6 x /5 преобразовывать не следует. В числителе левой части tg x естественно вынести за скобки. Выражение 3 − tg²x, оставшееся в скобках, удобнее преобразовать, заменив tg² x на  

13.49. Воспользуйтесь тем, что  и cos Зx + cos x = 2 cos 2x cos x.

13.50. Разбить 4 ctg 2x на слагаемые и в левой части образовать выражения 2(tg x + ctg 2x), tg x /2 + ctg 2x, ctg 2x − ctg Зх. Преобразовать каждое из этих выражений и затем преобразовать все уравнения к равной нулю дроби, у которой числитель и знаменатель — произведения тригонометрических функций.

13.51. Сделайте преобразование, имея в виду, что sin t ≠ 0, cos t ≠ 0, и воспользуйтесь соотношениями:

 

K главе 14

14.1. Если обе части неравенства возвести в квадрат, то получим равносильное неравенство. (!)

14.2. Использовать тот же прием, что и при решении уравнения cos x − sin x = −1, т. е. ввести вспомогательный угол. (!)

14.3. Способ 1. Можно перейти к неравенству относительно tg x. При этом придется рассмотреть различные случаи, в зависимости от знака cos x. (!)

Способ 2. Если синус и косинус выразить через tg x /2, то получим квадратное неравенство. Равносильно ли оно данному? (!)

14.4. Если cos 2x и sin 2x выразить через tg x и обозначить tg x = y, то получится простое алгебраическое неравенство. Равносильно ли оно данному?

14.5. Способ 1. Можно перейти к совокупности двух систем: cos x и tg 2x должны быть нестрого (т. е. включая нуль) разных знаков.

Способ 2. Воспользоваться формулой тангенса двойного угла. Равносильное ли получится неравенство?

14.6. Неравенство можно привести к алгебраическому, если выразить все тригонометрические функции через cos x. (!)

14.7. Если записать sin 2x = 2 sin x cos x и перенести все члены неравенства в одну часть, то получим однородное выражение относительно sin x и cos x. Разделив на cos² x, получим алгебраическое неравенство относительно y = tg x. Равносильно ли оно данному? (!)

14.8. Вычислить дискриминант и выяснить, когда он положителен.

14.9. Неравенство может выполняться только при sin x ≥ 0 и cos x ≥ 0. Приняв во внимание эти ограничения, его можно возвести в квадрат. (!)

14.10. Записать решение неравенства в предположении, что  — новое неизвестное.

14.11. Привести к неравенству относительно одной тригонометрической функции.

14.12. Перенести −1 в левую часть, записать тангенсы через синусы и косинусы и выполнить сложение.

14.13. Это — иррациональное неравенство относительно у = cos x. Не следует забывать, что |у| ≤ 1. Благодаря этому решение можно упростить.

14.14. Если выразить sin x и cos x через tg x /2 , то получим алгебраическое неравенство, которое решается методом интервалов. (!)

14.15. Выразить все тригонометрические функции через sin α.

14.16. Так как sin² x ≥ 0, то, заметив, что x = πk — решения неравенства, можно изолировать параметр а², разделив обе части неравенства на sin² x.

14.17. Если обозначить cos t = z, то данное выражение запишется в виде квадратного трехчлена относительно z, который должен быть положительным при всех −1 ≤ z ≤ 1. Найдите абсциссу вершины соответствующей ему параболы.

 

K главе 15

15.1. В правой части можно произвести логарифмирование, не нарушая равносильности.

15.2. Рассмотреть случаи 0 < tg x < 1 и tg x > 1. Удобно выразить sin² x через tg² x. (!)

15.3. Нетрудно заметить, что на самом деле интервал можно сузить: 0 < x < π/2 , так как при π/2 < x < π функции, стоящие под знаком логарифма, отрицательны.

15.4. Вначале нужно привести все логарифмы к общему основанию с помощью формулы loga k N = 1/k loga N .

15.5. Неравенство эквивалентно условию, что основание логарифмов лежит между 0 и 1.

15.6. Начать следует с приведения левой части к виду, удобному для логарифмирования. Это позволит перейти к неравенствам, где уже не будут участвовать тригонометрические функции.

15.7. Использовать тот факт, что arccos у ≥ 0. Чему равносильно данное в условии неравенство?

15.8. Область значений левой части неравенства — интервал от 0 до π/2 , а область значений правой части — интервал от 0 до π. Так как левая часть должна быть больше правой, то аргумент арккосинуса не может стать отрицательным.

15.9. Второй сомножитель неотрицателен при всех x, следовательно, неравенство может удовлетворяться лишь при положительных значениях первого сомножителя. Если произведение двух положительных чисел не меньше единицы, то хотя бы одно из них не меньше единицы.

15.10. Обозначим первый сомножитель через А, а второй через В. Так как А ≥ 0, то неравенство равносильно совокупности двух систем:

 

K главе 16

16.1. Правая часть уравнения не может стать меньше двух. Сравнить с оценкой левой части. (!)

16.2. Это уравнение легко привести к квадратному относительно 2tg²x. (!)

16.3. Перейти к общему основанию. Не нарушится ли при этом равносильность?

16.4. Поскольку в левой части уравнения стоит произведение синуса и косинуса от одного аргумента, удобно воспользоваться формулой синуса двойного угла. Записать, чему равен аргумент.

16.5. Перейти к уравнению без логарифмов, позаботившись о сохранении ограничений.

16.6. Ввести вспомогательное неизвестное и преобразовать данное уравнение в квадратное. (!)

16.7. От этого уравнения легко перейти к тригонометрическому. При этом нужно учесть все ограничения, которыми логарифм связывает число и основание.

16.8. Уравнение равносильно уравнению  при условии, что cos² x ≠ 1/8.

16.9. Перейти к уравнению 5π(½)x  = π/4 + πk и найти все k, при которых это равенство возможно.

16.10. Вначале решить квадратное уравнение относительно lg cos x. Затем найти cos x и на этом шаге провести исследование.

16.11. Решить квадратное уравнение и учесть все ограничения на параметр а в связи с появлением радикала и синуса.

16.12. Данную систему нужно заменить системой без логарифмов. Однако при этом следует помнить обо всех ограничениях, которые накладываются на число, стоящее под знаком логарифма, и на основание логарифма.

16.13. Уравнение составлено таким образом, что решить его с помощью элементарных преобразований нельзя. Остаются два пути: либо графическое решение, либо оценка правой и левой частей уравнения. Второй путь предпочтительнее, так как левая часть легко оценивается, если положить 4cos² − π x = u.

16.14. Трехчлен x² − x + 0,5 всегда больше 0,25.

 

K главе 17

17.1. Данную систему решить относительно f(2x + 1) и g(x − 1).

17.2. f(x) = x(x² − 6x + 9) = x(x − 3)²,

f(f(x)) = f(x) (f(x) − 3)² = x(x − 3)²(x³ − 6x² + 9x − 3)².

17.3. Из второго уравнения найти 2 и подставить в первое. Воспользоваться условием, что x и у — целые числа.

17.4. Неравенство |x + 2| ≤ x + 2 удовлетворяется при всех x ≥ −2.

Уравнение следует преобразовать с помощью подстановки

2x − 1 = у,  sin π x /2 = 2.

17.5. Найти первообразную F(x) и воспользоваться условием касания графиков функций f(x) и F(x) в некоторой точке F0(x0; у0).

17.6. Данное неравенство равносильно такому:

Рассмотрите случаи: а) 0 < x − у < 1 и б) x − у > 1.

17.7. Изобразите на графике часть плоскости, координаты точек которой удовлетворяют первому неравенству, для каждого квадранта отдельно. Для первого квадранта это будут все его точки.

17.8. Начать нужно с определения координат точки E. Для этого придется записать уравнение прямой, проходящей через две точки (x1, у1) и (x2, у2):

сначала для точек В и D, затем для точек А и C. Решение системы этих двух уравнений даст нам координаты точки E.

17.9. Оба неравенства зависят от x + у и от у − x. Это подсказка побуждает ввести новые переменные u = x + у и v = у − x.

17.10. Если x1 и x2 — целые, то и а — целое. (Докажите.)

17.11. Это биквадратное уравнение, и оно сводится к квадратному подстановкой x² = у. Знак дискриминанта квадратного уравнения не позволяет ответить на вопрос о числе корней исходного уравнения. Нужно позаботиться, чтобы у ≥ 0.

17.12. Поскольку cos 8x = 1 − 2 sin² 4x, исходное уравнение преобразуется в квадратное относительно у = sin 4x, где |у| ≤ 1.

17.13. Подставив любые значения x и а в данное уравнение, получим соответствующее единственное значение у. Таким образом, при любом фиксированном а любая прямая, параллельная оси у, пересечет кривую семейства, соответствующую этому а, в единственной точке. Это не означает, что через каждую точку плоскости (x, у) проходит кривая семейства. Не при любом у мы найдем точки плоскости (x, у), соответствующие данному семейству.

 

K главе 18

18.1. Если ввести в качестве неизвестных производительности труб, то получим три уравнения с четырьмя неизвестными (объем бассейна следует принять за единицу).

18.2. Если плечи весов равны l1 и l2, то можно вычислить массу P товара, отпущенного покупателю.

18.3. Эта задача менее всего похожа на «алгебраическую». Скорее, она напоминает рассуждения человека, пытающегося обнаружить факт на основе отрывочных сведений. Вначале следует обратить внимание на то обстоятельство, что листов в альбоме — число целое. После этого нужно использовать условие задачи с тем, чтобы ограничить рассмотрением возможные значения этой переменной.

18.4. Путь буксира изображен на рис. 1.18.4, где x — часть пути, которую прошел самостоятельно (т. е. без буксировки) первый понтон, а y — часть пути, которую прошел без буксировки второй понтон.

18.5. Так как некто родился в девятнадцатом веке, то неизвестны две последние цифры его года рождения. Если мы обозначим их через x и y, то сможем записать условия задачи в виде уравнений.

18.6. Если одна часть имеет массу x карат, то ее цена lx², где l — коэффициент пропорциональности.

18.7. Основная трудность в выборе неизвестных, которые позволили бы связать данные в условии величины. Здесь эту роль могут выполнить нормы расхода горючего при работе двигателя с фиксированной собственной скоростью. K чему удобнее отнести эти нормы: к часу работы двигателя или к километру пути в стоячей воде?

18.8. Выбор неизвестных подсказан условием задачи: x, y, z, s и t — число десятков порций соответствующих сортов мороженого. Выбрав в качестве неизвестных число десятков порций, а не число самих порций, и заметив, что неизвестные — натуральные числа, мы тем самым использовали условие, в силу которого у продавца есть по нескольку десятков порций мороженого. Последнее условие задачи запишется в виде неравенства y > s. Это ограничение позволит нам восполнить отсутствие пятого уравнения в системе с пятью неизвестными.

18.9. Пусть С — устье реки. Время, за которое плоты прошли весь путь от А до В, известно, а время, за которое прошли путь СB, обозначим через x. Если ввести в рассмотрение расстояние AC, то скорость течения реки можно выразить из остальных условий задачи.

18.10. Условия задачи отражены на схеме (рис. 1.18.10). С помощью схемы можно составить четыре уравнения: встреча в точке С дает два уравнения и две оставшиеся встречи — по одному.

18.11. Вначале нужно проследить весь процесс за один цикл в предположении, что объем сосуда принят за единицу, а часть его объема, занимаемая раствором, обозначена через x.

18.12. В качестве неизвестных удобно выбрать: x — скорость автомобиля, y — скорость мотоцикла и z — расстояние между пунктами А и В. Первая встреча произошла через z /x + у ч после начала движения на расстоянии zy /x + у км от пункта В.

Теперь нетрудно подсчитать расстояние между пунктами первой и второй встречи.

18.13. В качестве неизвестных удобно выбрать расстояние (x), которое пассажир проехал на такси и (y) на автобусе, скорость поезда (u) и время, на которое пассажир опоздал на поезд (t).

18.14. Скорости поездов связаны со всеми величинами, участвующими в задаче. Поэтому естественно ввести в качестве неизвестного x скорость товарного поезда до остановки. Тогда mx — скорость пассажирского поезда до остановки.

Однако одного неизвестного здесь мало, так как поезда выходили из своих пунктов в разное время. Чтобы связать скорости и времена, нам нужно ввести в рассмотрение расстояния. Пусть расстояние между А и В равно y, а расстояние между А и С равно z.

18.15. Вопрос задачи не имеет прямого отношения к ее решению. Поэтому величину, о которой спрашивается в задаче, не следует выбирать в качестве неизвестного, так как она сложно связана с остальными компонентами. Наиболее удачно связать участвующие в задаче величины — расстояния и промежутки времени — можно с помощью скоростей самолета и вертолета.

18.16. Если обозначить устье реки, на которой стоит порт M, буквой А, а устье второй реки буквой В, то для решения задачи удобно ввести два неизвестных расстояния. Сразу же появляется желание обозначить расстояние AB, которое требуется определить, буквой x, один из оставшихся отрезков, МА или NA, — буквой у, а последний отрезок записать как s − (x + у). Однако более естественно не нарушать симметрию и обозначить буквами x и у отрезки МА и BN соответственно. Тогда отрезок AB будет равен s − (x + у). Поскольку нас интересует только отрезок AB, то нужно определить x + у.

18.17. Поскольку линейные единицы измерения в условие не входят, целесообразно принять расстояние между А и В за единицу. Если ввести скорости поездов: u — скорого, v — пассажирского, 2v — курьерского, то легко определить u в долях AB в час.

18.18. Первый вопрос, который должен возникнуть у хозяйственника, решающего подобную задачу, какой из комплектов выгоднее заказать, т. е. для какого из них средние расходы на пересылку одной детали будут наименьшими.

 

K главе 19

19.1. Записать выражения для и n и и n + 1 и сравнить.

19.2. Поскольку первый член арифметической прогрессии входит в качестве слагаемого в выражения для любого ее члена, удобнее сразу записать a q − а р , a r − a q , a s − а z . Это тем более удобно, что нас интересуют разности p − q, q − r, r − s.

19.3. Если ввести а1 и u1 — соответственно первые члены арифметической прогрессии с разностью d и геометрической прогрессии со знаменателем q, то а, b и с придется выразить через а1, u1, d и q.

19.4. В левой части удобно перейти к общему основанию x.

19.5. Если бы сумма состояла из одних девяток, то каждый член можно было бы представить в виде 10k − 1.

19.6. Выражение, стоящее под знаком квадратного корня, умножить и разделить на 9. Число, состоящее из k девяток, равно 10k − 1.

19.7. Условия задачи можно записать в виде а1 + а3 = 2а2, а1а3 = а2² . Из этой системы нетрудно исключить а2.

19.8. Удобно ввести знаменатель прогрессии q и с его помощью записать теорему Виета для обоих уравнений. Это позволит определить q и x1. (!)

19.9. Так как корни уравнения образуют геометрическую прогрессию, то x2 = x1q, x3 = x1q². Воспользуйтесь теоремой Виета для уравнения третьей степени.

19.10. Если приравнять выражения для удвоенной суммы n членов прогрессии и суммы всех ее членов, то получим уравнение относительно q n .

19.11. Так как число делится на 45, то оно может оканчиваться либо нулем, либо пятью. Рассмотреть эти два случая.

19.12. Если обозначить через x цифру единиц, а через q — знаменатель прогрессии, то легко составить два уравнения, отражающих условия задачи. Однако можно пойти по другому пути: поскольку цифры числа образуют геометрическую прогрессию и само число больше 594, то в нашем распоряжении только три возможности: 931, 842 и 964. (!)

19.13. Всю работу следует принять за единицу. Чтобы использовать условия задачи, нужно знать производительность одного комбайна. Однако нам неизвестно, сколько часов перед завершением работы по плану все комбайны работали вместе. Поскольку удобнее вводить одноименные неизвестные, то эту величину обозначим через y, а через x обозначим количество часов, необходимых одному комбайну, чтобы убрать весь урожай. Тогда производительность комбайна будет равна 1/x .

19.14. Пусть братьям а, аq и аq² лет. Если младший получит x рублей, то остальные два получат xq и xq² рублей. Условия задачи позволяют составить три уравнения.

19.15. После того как числа, о которых говорится в задаче, будут обозначены буквами а, b и с и условия задачи будут переведены на математический язык, мы получим два уравнения с тремя неизвестными. Достаточно ли этого, чтобы решить задачу?

19.16. Воспользоваться методом математической индукции, что позволит доказать формулы для а n и b n .

19.17. Решив данное тригонометрическое уравнение, получим две серии углов, каждая из которых является арифметической прогрессией с известной разностью и первым членом, равным нулю. В каком случае две арифметические прогрессии могут быть объединены в одну?

 

K главе 20

20.1. Данное неравенство эквивалентно такому:

1/2² + ... + 1/n ² < 1.

Оценить каждое слагаемое так, чтобы легко было оценить всю сумму, стоящую слева.

20.2. Домножить все члены на d.

20.3. Чтобы разложить дробь  на простейшие, можно начать с разложения дроби , а результат умножить на .

20.4. Слева стоит сумма членов геометрической прогрессии.

20.5. Выписать все коэффициенты многочлена 1 + x + 2x² + ... + nx n и под ними написать коэффициенты того же многочлена, записанные в обратном порядке. Рассмотреть сумму произведений стоящих друг под другом чисел.

20.6. В левой части неравенства стоит абсолютная величина суммы членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем −2x.

20.7. Каждое слагаемое k · k! можно представить в виде (k + 1)k! − k(k − 1)!. При этом следует иметь в виду, что 0! = 1. (!)

20.8. Коэффициенты в правой части образуют арифметическую прогрессию с разностью 3. Если домножить S n  на x², то справа получим сумму, все члены которой, кроме крайних, имеют коэффициент, отличающийся от подобного коэффициента S n на 3.

20.9. Рассмотреть тождество

(x + 1)5 = x5 + 5x4 + 10x³ + 10x² + 5x + 1

и положить в нем последовательно x = 1, 2, ..., n.

20.10. В n-й группе n членов. Рассмотрите отдельно случаи, когда n четное и n нечетное.

20.11. Удобнее найти 2S n  sin π/2 n .

20.12. Можно разбить эту сумму на 1 00 сумм:

каждая из которых является суммой членов геометрической прогрессии. Однако попытайтесь решить эту задачу проще, обозначив искомую сумму через в и осуществив над ней некоторое несложное преобразование.

20.13. Общий член ряда имеет вид  Чтобы воспользоваться формулой геометрической прогрессии, нужно избавиться от 2 n в числителе. Чтобы понять, как это лучше сделать, запишите рядом два соседних члена ряда.

 

K главе 21

21.1. Если все, сидящие за круглым столом, одновременно сдвинуться на один стул в одном направлении, то у каждого останутся те же самые соседи.

21.2. Представить искомое число в виде разности числа всех перестановок из пяти элементов и перестановок, не удовлетворяющих условиям задачи.

21.3. Три разряда каждого числа должны быть заняты двойками. В оставшиеся четыре разряда можно поместить любые из восьми цифр, что даст 84 вариантов.

21.4. Задачу следует начать решать в предположении, что есть разные цифры l1, l2 и l3, которые входят в каждое число, а остальные пять цифр равноправны.

21.5. Легче найти число всевозможных размещений экскурсантов по каютам в предположении, что каюты неравноценны. Пусть таких размещений будет N, а размещений, о которых идет речь в задаче, K. Поскольку из каждого размещения экскурсантов по равноценным каютам можно получить 8! размещений по неравноценным каютам, то K · 8! = N.

21.6. В записи k-го члена суммы произвести сокращение на k.

21.7. Нужно найти такие n, для которых равенство

выполняется при некотором k.

21.8. Представить а + b + с + d в виде (а + b) + (с + d) и осуществить возведение в n-ю степень по правилам возведения в степень двучлена.

21.9. Коэффициент при x k будет равен числу членов, содержащих x k при почленном перемножении двух одинаковых многочленов. Придется различать случай, когда члены, содержащие x k , могут быть получены в результате умножения друг на друга членов суммы 1 + x + x² + ... + x k − 1 + x k (0 ≤ k ≤ n − 1), от случая, когда n − 1 < k ≤ 2(n −1).

21.10. Записать выражение для общего члена разложения и сравнить с выражением для десятого члена разложения.

21.11. Сгруппировать члены внутри скобки и последовательно дважды применить формулу бинома.

21.12. Если обозначить через Р n число способов, которыми можно разбить на группы последовательность из n элементов, то можно получить рекуррентную формулу для Р n .

21.13. Если на плоскости проведены m параллельных прямых, то они разбивают плоскость на m + 1 частей. Когда мы пересечем их некоторой прямой, то каждая часть разобьется на две. Что произойдет, если к уже проведенным k непараллельным прямым добавить еще одну?

 

K главе 22

22.1. Перенести acrtg 7/23 в правую часть, после чего оценить значения обеих частей с тем, чтобы они попали в интервал (0, π/2). (!)

22.2. Каждое из двух первых слагаемых лежит в интервале (0, π/4). Это позволяет воспользоваться формулой тангенса суммы и заменить два первых слагаемых одним.

22.3. Начать нужно с представления в виде значения одной тригонометрической функции первого и третьего слагаемых. Чтобы их сумма попала в область главных значений арккотангенса, придется прибавить к ней π. (!)

22.4. Если 0 ≤ x ≤ 1, то сумма существует и лежит в интервале [0, π], т. е. в интервале монотонности косинуса.

22.5. Начать нужно с выяснения, в каком интервале лежит π(x² + x − 3), если 0 ≤ x ≤ √3 − 1/2.

22.6. Убедившись в существовании арксинусов при 0 ≤ x ≤ 1, перенести π/4 в левую часть, а вычитаемое — в правую, затем доказать, что левая часть равенства будет лежать в интервале монотонности синуса. (!)

22.7. Так как x < −1, то значение каждой функции, входящей в правую часть, можно уточнить с тем, чтобы сумма попала в интервал монотонности синуса и тангенса. (!)

22.8. Из данного уравнения можно найти значения arcsin x. Из этих значений остается выбрать те, которые лежат в области значений арксинуса. (!)

22.9. Поскольку arcsin x — нечетная функция, то одновременно с корнем x уравнение имеет корень −x. Это позволяет искать лишь неотрицательные корни.

22.10. Из условия следует, что x > 0. Левая часть заключена в интервале [0, π], который является интервалом монотонности косинуса.

22.11. Воспользовавшись тем, что 2 + cos x > 0 и 2 cos² x/2 ≥ 0, можно уточнить интервал значений левой части уравнения.

22.12. Левая и правая части лежат в интервале монотонности синуса. (!)

22.13. Уточнение интервалов с тем, чтобы получить равносильное уравнение, приведет к нерациональному способу решения. Проще перенести, например, arctg (x + 1) в правую часть и взять котангенсы от обеих частей. Каким образом может быть нарушена равносильность?

 

K главе 23

23.1. Поскольку sin x ≤ 1, то log3 sin x ≤ 0. (!)

23.2. В указанной последовательности действий первое ограничение накладывается на трехчлен x² − x − 1, он должен быть положительным. Следующее ограничение накладывается уже на log½ (x² − x − 1). (!)

23.3. Нужно пройти всю последовательность действий, начиная с самого внутреннего, и записать все встречающиеся при этом ограничения. (!)

23.4. Найдя область определения функции arccos (x² − 3x + 1), исключить точки, в которых не существует tg 2x. (!)

23.5. Решить графически систему неравенств, обеспечивающих существование данного выражения. (!)

23.6. Способ 1. Доказательство можно вести от противного, предположив, что функция имеет период T.

Способ 2. Найти корни функции и исследовать их в предположении, что у функции имеется период.

23.7. Записать тождество, равносильное условию, что f(x) имеет своим периодом число T. Рассмотреть это тождество при x = 0 и x = ±T. (!)

23.8. Ясно, что любое общее кратное периодов cos 3 x /2 и sin x /3 будет периодом данной функции. Доказать, что наименьшее общее кратное будет основным периодом.

 

K главе 24

24.1. Заменить cos² x на 1 − sin² x. В результате получится квадратный трехчлен относительно sin x.

24.2. Записать у как одну функцию другого аргумента.

24.3. Привести к одной тригонометрической функции другого аргумента.

24.4. Выражение можно представить в виде А² + В² + С, где С — константа.

24.5. Чтобы раскрыть знаки абсолютных величин, нужно нанести на числовую ось точки ±1 и ±2, которые разобьют ее на пять интервалов.

24.6. Воспользоваться неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим нескольких чисел.

24.7. Чтобы найти максимум AB + BC, удобно ввести углы x и у (рис. 1.24.7), имея в виду, что x + у = π − α, и перейти с помощью теоремы синусов к тригонометрическим соотношениям. (!)

24.8. Если обозначить катеты основания через а и b, то боковая поверхность призмы равна

причем ab = 4.

24.9. Квадрат должен быть вписан в шестиугольник так, чтобы не нарушалась симметрия, т. е. центр квадрата должен совпадать с центром шестиугольника.

24.10. Прежде всего необходимо обратить внимание на свойства квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе. Его дискриминант отрицателен и, следовательно, трехчлен не может быть равен нулю при действительных x.

Если обозначить теперь данную дробь через у, то можно получить квадратное уравнение относительно x, в котором у играет роль параметра.

24.11. Если ребра параллелепипеда обозначить через а, b и с, то условие задачи можно записать в виде системы

Из второго и третьего неравенств следует, что

ab + с(а + b) ≥ ab + 5с.

24.12. Чтобы найти наименьшее значение этой функции, естественно выделить полный квадрат. Однако удобнее вначале перейти от котангенсов к косекансам, что позволяет выразить функцию только через синусы:

Теперь в числителе следует выделить полный квадрат разности. При этом могут представиться два случая, в зависимости от знака произведения sin (α + x) sin (α − x). Чтобы не рассматривать их отдельно, можно необходимые преобразования записать так:

sin² (α + x) + sin² (α − x) = [|sin (α + x)| − |sin (α − x)|]² + 2 |sin (α + x) sin (α − x)|.

24.13. Известно, что arcsin x + arccos x = π/2 . Поэтому данную функцию удобно преобразовать так, чтобы воспользоваться этим соотношением.

24.14. Воспользоваться преобразованием нормирования:

после чего коэффициенты при sin α и cos α можно объявить косинусом и синусом общего аргумента φ, т. е.

Функция у достигает своего наименьшего значения

когда sin (α + φ) = −1, и наибольшего значения

при sin (α + φ) = 1. (!)

24.15. Систему естественно привести к виду

Свободные члены равны, соответственно, 5², 12² и 5 · 12. Удобно каждое из соотношений разделить на его свободный член.

 

K главе 1

1.1. Из треугольника AO1D определить АO1; если известен радиус окружности O1 (см. рис. I.1.1 на с. 114).

1.2. Зная AB, можно найти AD и радиус ВО1 описанной окружности (рис. II.1.2). Нужно лишь заметить, что угол ABD равен π/2 − α, а ВE = АB /2.

1.3. Возможны два случая взаимного расположения треугольника и окружности. Либо окружность будет вписана в треугольник так, что каждая точка касания делит соответствующую сторону пополам, либо одна вершина треугольника окажется внутри окружности, а две другие — вне.

Найдите решение, не зависящее от взаимного расположения окружности и треугольника. Для этого достаточно рассмотреть треугольник, который получится, если соединить середины сторон данного треугольника.

1.4. Чтобы найти отношение площадей треугольников А1В1С и АВС, нужно применить теорему об отношении площадей треугольников, имеющих равный угол.

В обозначениях, введенных на рис. II.1.4. имеем

С помощью теоремы о биссектрисе внутреннего угла треугольника остается выразить а1, a2, b1, b2, c1, с2 через а, b и с.

1.5. Если центр вписанной в треугольник окружности обозначить через О, то площадь треугольника АВС можно будет вычислить как сумму площадей треугольников АОВ, ВОС и СОА. При этом каждая из сторон АО, ВО и СО может быть выражена через радиус r вписанной окружности. Площадь треугольника А1В1С1 тоже разбивается на три площади: А1ОВ1, В1ОС1 и С1ОА1. Остается углы А1ОВ1, В1ОС1 и С1ОА1 выразить через углы треугольника АВС.

1.6. Из данного соотношения между площадями треугольников АDС и АВD, имеющих общую сторону АD и одинаковые углы при вершине А (поскольку АD — биссектриса треугольника АВС), можно найти отношение сторон AC : AB. Далее применить теорему синусов.

1.7. Площадь треугольника САD (D — точка пересечения биссектрисы внешнего угла А треугольника АВС с продолжением стороны СВ) можно вычислить двумя способами, используя лишь элементы, участвующие в задаче.

1.8. Сумма двух сторон треугольника, не лежащих против угла А, участвует в выражении площади через полупериметр и радиус вписанной окружности и в выражении через биссектрису и синус половинного угла. Из этих двух выражений сумму b + с нужно исключить.

1.9. Отношение отрезков АО и ОМ дано. Эти отрезки можно рассматривать как отрезки, на которые сторона AM треугольника АВМ делится биссектрисой ВО. В результате мы перейдем к отношению отрезков AB и ВМ, последний из которых легко выражается через стороны данного треугольника.

Аналогично нужно поступить с отношением отрезков ВО и ON.

1.10. Угол РМА равен углу QОА (рис. II.1.10). Чтобы найти МР, нужно рассмотреть сначала треугольник РМА, а затем треугольник ОАQ.

1.11. С помощью первого указания можно получить одно уравнение, связывающее углы данного треугольника. Ко второму уравнению нас приведет условие, в силу которого высота ВQ треугольника АВС (рис. II.1.11) в 6 раз больше высоты ОQ треугольника АОС. Достаточно выразить АQ из треугольников АВQ и АОQ, заметив при этом, что угол ОАQ является дополнительным для угла С.

1.12. После того как получено соотношение

h /sin C + h /sin  B = k

использовать условие, согласно которому В − С = π/2, с тем, чтобы получить уравнение относительно одной тригонометрической функции неизвестного угла С. Для достижения этой цели можно, например, в написанное выше соотношение подставить В = π/2 + С. После этого полученное соотношение удобно возвести в квадрат.

1.13. Способ 1. Через x, y и z можно выразить площадь треугольника:

ха + yb + zc = 2S.

Еще три соотношения, в которых участвуют x, y и z, получим, если выразим каждый из отрезков АО, ВО и СО из двух прилегающих к нему треугольников.

Способ 2. Связать отрезки l, m и n удобно с помощью теоремы косинусов для каждого из трех треугольников АОВ, АОС и ВОС, сумма площадей которых равна площади треугольника АВС.

1.14. Остается использовать условие, что А − В = φ. С помощью формул преобразования произведения тригонометрических функций в сумму придем к тригонометрическому уравнению относительно A + B /2.

1.15. Площадь треугольника АВС, которую мы временно обозначим через S, равна

S =  ½ah a = ½bh b .

Кроме того, S выражается через а, b, l и sin C /2 , если треугольник АВС разделить биссектрисой СD на два треугольника.

1.16. Для нахождения угла СОВ следует использовать тот факт, что центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис. Для этого нужно выразить ∠ СОВ через сумму ∠ ОСВ + ∠ ОВС.

1.17. Так как по условию стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию, то обозначим их длины через а, а + d, а + 2d и постараемся связать радиус вписанной окружности с длинами сторон. На рисунке треугольник удобно расположить так, чтобы средняя по длине сторона оказалась его основанием.

С помощью сравнения площадей легко выразить высоту треугольника через радиус вписанной окружности. Этот факт будет полезен для исследования образовавшихся подобных треугольников.

1.18. Заметить, что проекция отрезка АО (О — центр вписанной окружности) на сторону b равна p − а.

1.19. Чтобы доказать, что треугольники АВС и OKL подобны, достаточно установить равенство их углов. Так как углы треугольника АВС легко выражаются через угол С, то и углы треугольника OLK тоже следует постараться выразить через тот же угол С. Начать удобно с угла KOL, который равен углу АОВ.

1.20. Чтобы связать стороны треугольника и его углы, удобно воспользоваться теоремой синусов; так как соотношение, которое нужно доказать, однородно, линейные элементы сократятся.

1.21. Если через одну из вершин треугольника АВС провести отрезок, параллельный противоположной стороне треугольника до пересечения с данной в условии прямой, то получим нужные подобные треугольники.

1.22. Если в треугольнике АВС провести высоту АЕ, то получим три прямоугольных треугольника; с помощью теоремы Пифагора АВ², АС² и АD² можно выразить через АЕ и отрезки, лежащие на BC.

1.23. Если AC — основание треугольника, то дополнительное построение удобно выполнить так: через вершины А и С провести прямые, параллельные ВQ, а отрезки СR и АР продолжить до пересечения с этими прямыми. В результате возникнут все необходимые для решения подобные треугольники.

1.25. В качестве неподвижного радиуса удобно выбрать АО. Сумму квадратов расстояний выразить через радиус R описанной около треугольника окружности и угол α.

1.26. Две стороны треугольника и угол между ними известны. Третью сторону можно найти по теореме косинусов, а радиус описанной окружности — по теореме синусов.

1.27. Выразить cos А и cos С через стороны треугольника и сравнить cos 2С с cos А, имея в виду данное в условии соотношение: а² = с(b + с).

1.30. Сделать это можно так: ВЕ будет стороной, соответствующей О1Е, а через точку E нужно будет провести прямую, параллельную KO2, и отложить на ней отрезок, равный KO2.

1.31. Достроить треугольник АВС до параллелограмма так, чтобы сторона AB была диагональю этого параллелограмма, а через вершину В провести ВD1 ‖ АD. Рассматривая треугольник МDС и подобный ему треугольник с вершинами в точках В и С, найдем отношение, в котором точка M делит отрезок АD.

1.32. Чтобы выразить все участвующие в формулировке задачи величины через R и синусы соответствующих углов, нужно ввести углы так, как это показано на рис. II. 1.32, и затем воспользоваться теоремой синусов.

1.33. При продолжении боковой стороны трапеции и указанного в условии отрезка до их пересечения получаются подобные треугольники. Это позволяет выписать соответствующую пропорцию и составить из нее производную пропорцию.

1.34. Чтобы использовать условие AN : NB = 1 : 2, можно отметить на рисунке точку пересечения прямой с продолжением одной из сторон квадрата или провести через точку N прямую, параллельную BC.

1.35. Чтобы составить уравнение относительно x, удобно выразить через x отрезок АЕ один раз с помощью квадрата, а другой раз с помощью треугольника.

1.36. Чтобы связать треугольник и трапецию с окружностью, естественно провести радиусы в вершины обеих фигур. K этим радиусам прилегают прямоугольные треугольники. Выясните, какие из них равны. (!!)

Углы NOE и OAD (рис. II.1.36) можно выразить через угол а и убедиться в том, что они равны.

1.38. Выразить через R и n периметры первого и второго многоугольников и сравнить с периметром третьего многоугольника.

1.39. Величину R можно вычислить, построив треугольник, в котором все стороны выражаются через R и известные величины. В качестве такого треугольника удобно выбрать треугольник ОМО1, где О1 — центр рассматриваемой в задаче окружности.

1.40. Ввести в рассмотрение угол ADC (обозначить его через φ) и равный ему угол BEC. Найти tg φ.

1.41. Чтобы применить к треугольнику AOO1 теорему косинусов, придется использовать угол β между хордой AB и диаметром, исходящим из точки А. Косинус и синус этого угла легко выразить через b и r.

1.42. Чтобы использовать условие задачи, нужно соединить центр окружностей с концами и серединами хорд, являющихся сторонами квадрата. При решении следует помнить, что возможны два варианта взаимного расположения квадрата и центра окружностей: либо центр лежит внутри квадрата, либо вне его.

1.43. Чтобы составить уравнение относительно x, рассмотрите треугольник ОЕС, в котором все стороны можно выразить через R и x.

1.44. Ввести обозначения R, r и x, где x — расстояние между проекциями центров на нижнее основание. Составить уравнения, используя условия задачи и теорему Пифагора.

1.45. Чтобы доказать, что фигуры СQNK и ОQR равновелики, достаточно доказать, что равновелики секторы COQ и KDN. Для этого следует выяснить связь между радиусами большей и меньшей окружностей.

1.46. Пусть K — проекция точки O на AB. Отрезок OK можно вычислить двумя способами: из треугольника OAK и из треугольника OKP1.

1.47. Так как хорды пересекаются внутри окружности, то естественно воспользоваться равенством произведений отрезков, на которые каждая хорда делится точкой пересечения.

1.48. Чтобы связать x и R, а именно это требуется в условии задачи, нужно опустить из центра О2 перпендикуляры O2D и О2С на радиусы OA и ОВ соответственно.

Рассмотреть треугольник О2СО1. Выразить О2С через x и R, используя тот факт, что угол ОАВ = 45°.

1.49. Угол АМС равен π − 2φ. Если МВ = МС = рx, то AC можно выразить из треугольников АМС и АВС. Приравняв эти выражения, получим уравнение относительно x.

1.50. Если стороны треугольника а, а − d, а + d, то его полупериметр p = 3 a /2 . Из формулы Герона получим уравнение относительно а:

Это уравнение нужно решить относительно а. Подберите удобную замену переменной.

1.51. Пусть PP1 — средняя линия треугольника АВС, а QQ1 — средняя линия треугольника PBP1 Пусть далее P1 — точка пересечения PP1 и BR, а Q2 — точка пересечения QQ1 с BR. Убедитесь в подобии треугольников Р2TP и Q2TQ.

1.52. Рассмотрите треугольники с общей вершиной, опирающейся на отрезки, которые участвуют либо в условии задачи, либо в искомом соотношении.

1.53. MN — хорда второй окружности, ее центральный угол МО2N равен 150°, что следует из рассмотрения первой окружности.

1.54. Так как α + β + γ+ δ = 180°, то площадь S четырехугольника АВСD равна

S = ½ab sin (γ + δ) + ½cd sin (α + β) = ½ sin (α + β) (ab + cd).

Далее воспользоваться теоремой синусов, в силу которой а = 2R sin α, b = 2R sin β , ... .

 

K главе 2

2.1. Осуществить параллельный перенос отрезка DC в точку В.

2.2. Сколько решений имеет задача?

2.3. Точки А и А1 лежат на прямой, параллельной BC и отстоящей от BC на расстоянии h а . Нужно найти еще одно свойство любой из этих точек; в этом должен помочь угол φ.

Отразив треугольник СА1А от оси А1А, получим треугольник С1А1А (рисунок сделайте самостоятельно). Фигура С1АВА1 — параллелограмм, у которого вершины С1 и В фиксированы, углы известны, а две другие вершины нужно построить.

2.4. Зная R и b, можно построить треугольник АОF (рис. II.2.4). Остается использовать медиану m с . Чтобы это сделать, нужно, после того как построен треугольник АОF, построить середину отрезка AB.

2.5. Докажите, что точка Q лежит на окружности, описанной около треугольника АВС. Для этого достаточно вычислить угол ВО1С.

2.6. Предположим, что точки D и E найдены (рис. II.2.6). Если через любую точку F, лежащую на AB, провести прямую FG, параллельную DЕ и пересекающую АЕ в точке G, а через точку G — прямую GH, параллельную ЕС, то получим четырехугольник AFGH, подобный АDЕС, с центром подобия в точке А.

2.7. «Средним» будет такое положение прямой FЕ, когда FM = ME.

2.8. В треугольнике А1АА2 известны основание и высота. Третий элемент этого треугольника можно найти, если использовать данный в условии угол А треугольника АВС, через который легко выразить угол А1АА2.

2.9. Если взять любой из треугольников, образовавшихся при вершине P (рис. 11.2.9), то начало для построения ломаной, составленной из АР, ВР и СР, уже есть. Однако просто пристроить недостающее звено нельзя, так как последняя вершина такой ломаной не будет закреплена, а потому не позволит решить задачу.

На помощь приходит свойство правильного треугольника: поверните треугольник АВР на 60° вокруг точки А и вы получите ломаную В1Р1РС, равную сумме отрезков АР, ВР и СР. При этом точка В1 однозначно определяется видом треугольника АВС.

2.10. Чтобы построить точку С, достаточно знать длину отрезка СЕ или длину отрезка DЕ = СЕ − l. Задача сводится к вычислению и построению отрезка DЕ.

2.11. Вершина С лежит, с одной стороны, на окружности радиусом b с центром в точке В, а с другой стороны, на прямой, параллельной АD, которую нетрудно построить.

2.12. Остается построить треугольник ОМС по трем сторонам: СМ = АО = R, ОС = 2R, ОМ известно, так как точки О и M даны.

2.13. Треугольник ОО1E, где О1E ‖ AB, а точка E лежит на ОС, легко построить, зная О1Е = a /2.

2.14. Точки M и N лежат на окружности, концентрической данной.

2.15. Отрезок РQ перенести параллельно в отрезок В1В и рассмотреть угол АРВ1.

2.16. Чтобы построить параллелограмм FBDE на его диагонали, нужно найти еще одну связь между вершинами F и D и данными элементами. Заметим, что точка А еще никак не участвовала в построениях. Если соединить ее с точкой F то получим угол АFЕ, который известен, так как выражается через угол АСВ.

2.18. Воспользоваться тем, что высоты в треугольнике пересекаются в одной точке.

2.19. Провести прямую через точку С и данную точку M и найти точку ее пересечения с данным диаметром или его продолжением.

2.20. Если одну из точек, например А, отразим симметрично от прямой l (рис. II.2.20), то получим точку А1 причем решение аналогичной задачи для точек A1 и В совпадет с решением первоначальной задачи. Легко заметить, что величина |A1C − BC| не может превзойти длины отрезка A1B. Но может ли она ее достигнуть?

2.21. Такая связь есть (рис. II.2.21). Точки E и F пересечения диагонали квадрата с окружностями, построенными на противоположных сторонах данного четырехугольника как на диаметрах, делят соответствующие дуги пополам.

2.22. Выбрав произвольно длину отрезка 1, построим соответствующий ему отрезок длины √7. Теперь, зная отрезки 1 и √7, найдем отрезок x = 7, воспользовавшись подобием соответствующих треугольников: √7 : x = 1 : √7 .

2.23. Если на одном луче от вершины О угла отложены отрезки ОА = а и ОВ = b (b > а), на другом его луче отрезок ОС = с (рис. II.2.23), и через точку В проведена прямая BD, параллельная AC и пересекающая ОС в точке D, то отрезок OD = d = bc /а .

 

K главе 3 

3.1. Выразить длину отрезка ОС через ОА.

3.2. Данный треугольник и все треугольники, образовавшиеся при его проецировании на плоскость P, определены с точностью до подобия. Поэтому соотношение между углами можно получить, введя в рассмотрение некоторый линейный элемент, зависящий от всех участвующих в задаче углов. (!!)

В качестве линейного элемента взять расстояние от вершины прямого угла треугольника до плоскости P.

3.3. При построении плоскости Q мы можем произвольно выбрать две величины: расстояние от точки О до этой плоскости и угол АВО (рис. II.3.3), чтобы пирамида ОАА1В1В имела наиболее удобный вид. При изменении расстояния от точки О до плоскости Q возникает фигура, подобная первоначальной. Это не отражается на рассматриваемых углах, а потому позволяет ввести линейный элемент, через который мы выразим затем все стороны треугольника ОАВ. (!!)

В качестве линейных элементов удобно выбрать отрезки AA1 или ВВ1 так как это позволяет легко вычислить стороны треугольника ОАВ и затем угол АОВ. Однако мы должны выбрать лишь один линейный элемент. Поэтому расположим плоскость Q так, чтобы AA1 = ВВ1.

3.4. Точка, в которую спроецируется искомая прямая, должна быть одинаково удалена от проекций прямых b, с и d. Рассмотреть различные случаи расположения проекций, которые могут возникнуть.

3.5. Чтобы связать искомый угол с треугольником и отрезком AS, построим в плоскости P прямоугольник, две стороны которого лежат на AB и CD, а AC — его диагональ.

3.6. Отрезок OK можно выразить из треугольников OKM и OKR и приравнять полученные выражения. Еще одно соотношение между интересующими нас величинами получим с помощью отрезка АР. Останется воспользоваться равенством, содержащимся в условии.

3.7. В двух противоположных гранях четырехгранного угла должны лежать параллельные стороны параллелограмма. Однако эти грани имеют общую точку — вершину угла, поэтому они пересекаются по некоторой прямой. Противоположные стороны параллелограмма должны быть параллельны этой прямой.

3.8. Рассмотреть треугольник FBA и убедиться, что угол CAF прямой.

3.9. Если вершина пирамиды спроецируется в точку, лежащую внутри основания, то с помощью сравнения площадей легко сосчитать, чему равна сумма расстояний от этой точки до сторон треугольника. (!!)

Расстояния от точки, в которую проецируется вершина пирамиды, до сторон треугольника выражаются через высоту пирамиды и данные углы. Пользуясь этим, можно вычислить высоту пирамиды. Случай, когда вершина проецируется не внутрь основания, не доставляет ничего нового.

3.10. Высота DO пирамиды будет лежать в плоскости EDC (докажите). Ее можно выразить сначала через ED, а затем через ЕС и искомый угол.

3.11. Чтобы вычислить площадь боковой поверхности пирамиды, нужно найти либо боковое ребро, либо тригонометрические функции угла x. Второе сделать легче, так как углы x и 2x встречаются в двух различных прямоугольных треугольниках с одинаковой гипотенузой.

3.12. Начать нужно с определения коэффициента пропорциональности длин параллельных ребер тетраэдров. Для этого придется рассмотреть треугольник, образованный двумя медианами, которые принадлежат разным треугольникам, но опираются на одно ребро тетраэдра.

3.13. Чтобы установить равенство треугольников A1SB1 и A2SB3, достаточно доказать, что равны их углы при вершине S. Мы не использовали еще полностью то условие задачи, в силу которого О — центр шара, вписанного в трехгранный угол. Поэтому целесообразно рассмотреть плоскость, проходящую через ОО1 и ОО2 и точку ее пересечения с SA2.

3.14. Достаточно ограничиться рассмотрением схематического рис. II.3.14, имея в виду, что H − h2 = H − h 1 /2. Это соотношение соответствует условию, согласно которому интересующее нас сечение проходит через середину высоты усеченной пирамиды.

3.15. Если вычислить DE², то косинус угла DAE найдем с помощью теоремы косинусов из треугольника ADE. Вычислить DE² можно, воспользовавшись тем, что DO — медиана одновременно в двух треугольниках: ADC и BDE.

3.16. Углы α и β в сумме образуют угол, все тригонометрические функции которого известны. Взяв, например, cos (α + β), мы получим еще одно уравнение.

3.17. Треугольники DAM и DMS имеют общую сторону MD и смежные углы при вершине M. Следовательно, отношение их площадей равно отношению отрезков AM и MS. Воспользоваться подобием треугольников, образовавшихся в плоскости ASB. (!!)

Ввести линейный элемент, через который выразить длины отрезков. Удобно выбрать сторону квадрата, лежащего в основании, так как равный ей отрезок KE связывает с помощью углов α и β все элементы в треугольнике KSE.

3.18. В треугольниках ADC и ADB углы при вершине D прямые.

3.19. Плоскостью SDC пирамида SABC разбилась на две равные пирамиды с общим основанием SDC. Для решения задачи нужно найти площадь SDC, так как высоты пирамид известны.

3.20. Чтобы связать участвующие в задаче элементы, нужно измерить данный двугранный угол α и искомый двугранный угол x. Высота пирамиды свяжет эти два угла.

3.21. Рассмотрите треугольник ABD, стороны которого легко выразить через SA и тригонометрические функции угла α. (!!)

Из треугольника ABD найдите косинус угла x.

3.22. Отрезок KM можно, во-первых, вычислить непосредственно, а во-вторых, выразить через R.

3.23. Построенное сечение пересечет основание пирамиды по отрезку, параллельному одному из ребер основания. (!!)

Воспользоваться сравнением площадей для треугольника SOA.

3.24. На рис. I.3.24 (см. с. 127) спроецируйте DС на плоскость основания. Докажите утверждение, обратное сформулированному в первом указании: если проведена плоскость KLNM, параллельная AB и DC, то KLNM — прямоугольник. Выясните, когда он будет квадратом, воспользовавшись подобием образовавшихся на рисунке треугольников.

3.25. Из точки R1 на три грани пирамиды опущены перпендикуляры одинаковой длины. Если соединить точку R1 со всеми вершинами пирамиды, то этот факт можно будет использовать при сравнении объемов.

3.26. Чтобы найти площадь основания пирамиды, нужно сначала выразить площадь сечения А1В1С1 (см. рис. I.3.26 на с. 127) через ребро куба, а затем воспользоваться соотношением между площадями подобных фигур.

3.27. С помощью боковых ребер x, y, z пирамиды можно записать выражение для ее объема V = xyz /6. Остается выразить x, y и z через a, b и с.

3.28. Если EF — проекция DC на плоскость P, то АЕВF — прямоугольник (докажите). (!!)

Плоскость DCFE разобьет пирамиду АВСD на две равные пирамиды с общим основанием, площадь которого легко вычислить, и высотой, которую можно найти из прямоугольника AFBE.

3.29. Если вы правильно воспользовались первым указанием, то получите рис. II.3.29.

Пусть MN — проекция CD на плоскость P. Тогда СN = DM = 6, MN и AB образуют искомый угол α. Применение метода сравнения объемов для тела АNВMСD позволяет получить уравнение относительно sin α.

3.30. Если ввести в рассмотрение высоту H призмы и сторону a ее основания, то из правильного треугольника В1А1С1 мы легко выразим a через R, а с помощью треугольника DА1Е выразим и H через R. (!!)

Для треугольника DА1E применить метод сравнения площадей.

3.31. Рассмотреть треугольник, образованный высотой тетраэдра, одним из боковых ребер и проекцией этого ребра на плоскость основания, а также подобный ему треугольник, в котором участвует искомый радиус.

3.32. Из всех подобных кубов с центром в точке О удобно выбрать тот, вершина которого, противоположная точке О, лежит на грани параллелепипеда.

3.33. Пусть разность между углами А и С равна φ, а ВD — биссектриса угла В (рис. II.3.33). Легко показать, что α = π/2 + φ/2. Затем удобно представить площадь треугольника АВС как сумму площадей треугольников АDВ и ВDС.

3.34. Расстояние между диагоналями С1D и В1С (рисунок сделайте сами) равно расстоянию между плоскостями А1C1D и АВ1С.

3.35. Основание перпендикуляра, опущенного из точки K на диагональ куба, обозначим через О1. Для треугольника OKO1 можно воспользоваться свойством отрезков, на которые биссектриса делит сторону основания.

3.36. Перемещая взаимно перпендикулярные плоскости параллельно самим себе, мы не изменим проекции четырехугольника. Поэтому разместим одну из плоскостей так, чтобы она проходила через вершину четырехугольника (рис. II.3.36; эта вершина обозначена буквой А). Чтобы построить прямую, по которой пересекаются плоскости АВСD и АВ1С1D1, найдем точку E, в которой пересекаются BC и В1С1. Теперь можно измерить угол между плоскостями АВСD и АВ1С1D1, построив ВF ⊥ ЕА и соединив В1 с F. Угол ВFВ1 равен 45°.

3.38. Найти связь между радиусами шаров и величинами H, ρ и p можно, рассмотрев осевое сечение конуса.

3.39. Если рассмотреть осевое сечение обоих конусов, то задача станет плоской. Чтобы связать радиусы оснований конусов, в качестве вспомогательной величины удобно выбрать радиус сферы.

3.40. Сделав аналогичные построения для второй сферы, можно будет заключить, что, во-первых, треугольник О1ВО2 равнобедренный и, во-вторых, SB — высота пирамиды, объем которой мы ищем. (!!)

Так как BC (постройте этот отрезок на рис. I.3.40) (см. с. 129) — сторона основания правильной пирамиды, то можно доказать, что отрезок прямой EO1 является в треугольнике BEC одновременно медианой и биссектрисой. Это может оказаться полезным при вычислениях.

3.41. В осевом сечении, проходящем через О1 и О3, получим картину, изображенную на рис. II.3.41. Все стороны треугольника О1О3О5 нам известны (О1О3 легко найти из рис. I.3.41) (см. с. 129). Остается определить SD и AD.

3.42. Треугольники ASD и EMK подобны, т. е. углы SAD и MEK равны. Котангенс угла SAD нам известен, так как AD = a, SD = h. (!!)

Из треугольника SDC можно найти радиус основания цилиндра, а затем из треугольника EMK определить EK.

3.43. Рассмотреть подобные треугольники SOA и SO1B, где О1 — центр куба, а B — одна из вершин диагонального сечения куба, параллельного плоскости основания конуса. Это позволит найти одно соотношение между ребром куба а, высотой конуса H и радиусом его основания R (рис. II.3.43). (!!)

Второе соотношение между H, R и а можно будет найти, рассмотрев вторую пару подобных треугольников: SO1B и SO2C. Здесь О2 — середина верхнего ребра куба, а C — одна из вершин этого ребра. Имея в распоряжении два уравнения, можно выразить R и H через а и тем самым решить задачу.

3.44. В предыдущих рассуждениях не использовано условие, согласно которому три стороны трапеции, являющейся боковой гранью пирамиды, равны b. С помощью этого условия можно найти другое выражение площади боковой грани через а и b и приравнять первому. (!!)

Решить полученное однородное уравнение относительно а /b . Остается связать величину b с радиусом вписанного шара. Для этого достаточно рассмотреть треугольник, получающийся при проецировании одной вершины верхнего основания на нижнее.

3.45. Обозначим через О1 и O2 центры меньших шаров, через O3 — центр большего шара, через О — центр шара, радиус которого нужно найти (рис. 11.3.45); Р1 Р2, Р3, P — соответственно точки касания этих шаров с плоскостью. Радиус искомого шара обозначим через x. Тогда известны длины изображенных на рисунке отрезков: О1Р1 = O2Р2 = r, O3Р3 = R, ОР = x, O1O2 = 2r, O1O3 = O2O3 = R + r, OO1 = OO2 = r + x, OO3 = R + x. Мы считаем очевидным, что x < r. (!!)

Нужно найти соотношение, связывающее величины R, r и x. Для этого придется рассмотреть треугольник Р1Р2Р3 и вычислить длины проекций отрезков, соединяющих центры шаров. Так как шары O1 и O2 равны, то O2O3 = O1O3 и, следовательно, Р2Р3 = Р1Р3. Поэтому точка P лежит на высоте и медиане равнобедренного треугольника Р1Р2Р3.

3.46. Обозначим через O1 центр одного из двух равных шаров, а через O3 — центр меньшего шара. Пусть эти шары касаются нижней грани двугранного угла (рис. 11.3.46) в точках В и D соответственно. Прямоугольные треугольники O1АВ и O3CD имеют углы при вершинах А и С, равные α/2 . Чтобы использовать факт касания шаров O1 и O3 и наличие у них общей касательной плоскости Π, нужно рассмотреть треугольник O1O3F, в котором О1О3 = R + r (R — радиус большего шара, r — радиус меньшего шара), O1F = R − r (F — проекция точки О3 на отрезок О1В). Если удастся выразить O3F через R, r и α, то мы получим соотношение, позволяющее определить угол α. (!!)

Отрезок O3F (см. рис. II.3.46) равен ВD, а ВD можно выразить через катеты прямоугольного треугольника ВDЕ, где E — проекция точки D на отрезок AB. Чтобы найти ЕD, нужно воспользоваться фактом касания шаров О1 и О2, сделайте на рисунке необходимые построения, рассмотрев проекцию их линии центров на плоскость Π.

3.47. Так как каждый из трех шаров с центрами в точках О1, О2, О3 касается боковой поверхности конуса и плоскости P, то длина перпендикуляра, опущенного из центра шара на плоскость P, равна длине перпендикуляра, опущенного из центра на ближайшую к нему образующую (рис. II.3.47).

3.48. Оси двух соседних конусов и их общая образующая лежат в одной плоскости (докажите). Рисунок, сделанный в предположении, что ось конуса и две образующие, по которым происходит касание с соседними конусами, лежат в одной плоскости, будет неверным. При таком расположении конусов касание происходило бы по диаметрально противоположным образующим, т. е. основание конуса было бы перпендикулярно к плоскости, и общая вершина конусов не смогла бы лежать в этой плоскости. (!!)

Угол между осями соседних конусов искомый.

3.49. Центр сферы, построенной на AB, обозначим через О1, а центр вписанной сферы — через О2. Пусть F — точка касания сферы О2 с гранью САD. Треугольники FO2A и OKA подобны.

3.50. Плоскость, проведенная через ось РР и точку О — центр основания пирамиды (обозначим ее через Π), разобьет пирамиду SАВСD на две равные части, расположенные симметрично относительно этой плоскости. Вместо всей пирамиды можно вращать вокруг РР одну из этих частей. Теперь нужно заменить пирамиду плоской пластинкой, дающей при вращении то же тело, что и пирамида. Для этого каждое из сечений SEF пирамиды нужно перенести с помощью поворота в плоскость Π. (!!)

В плоскости Π образуется пятиугольник специального вида. Такой пятиугольник можно получить, если на одно из оснований прямоугольника поставить равнобедренный треугольник.

3.51. Способ 1. Из полученного тригонометрического уравнения удобно определить cos 2α и воспользоваться этой величиной для нахождения отношения Vк : Vш.

Способ 2. Естественно воспользоваться леммой, в силу которой V1 = ⅓ rS6, т. е. объем первого тела вращения равен одной трети произведения радиуса вписанного в конус шара на его боковую поверхность.

3.52. Вершина В1 может проецироваться на биссектрису угла ABN (или угла СВМ) — внешнего угла треугольника АВС (рис. II.3.52). Поэтому придется рассмотреть два различных случая, каждому из которых соответствует свой рисунок.

3.53. Разделите куб АВСDА1В1С1D1 на две равные призмы плоскостью, проходящей через ребра В1С1 и АD. Каждую из двух призм разделите на две пирамиды, одна из которых — четырехугольная, а другая — треугольная.

3.54. Центр описанного около пирамиды SABC шара обозначим через O1. Он лежит на перпендикуляре ОО1 к плоскости АВС, проведенном через центр О правильного треугольника АВС (рис. II.3.54). Возникает соблазн сделать вывод о том, что радиус описанного шара достигает минимального значения, когда вершина S совпадает с центром Q треугольника А1В1С1. В этом случае радиус O1S = O1Q становится частью перпендикуляра, в то время как в остальных случаях O1S — наклонная и поэтому меньше своего перпендикуляра. K сожалению, это рассуждение некорректно, так как при изменении положения вершины S, вообще говоря, меняется положение центра шара О1, хотя он и остается на прямой ОО1. (!!)

Есть еще одна тонкость. Мы не можем заранее утверждать, что центр шара О1 лежит между точками О и Q. Вполне может случиться, что точка О ближе к точке Q, чем точка О1. Решение должно учитывать и это обстоятельство.

 

K главе 4

4.1. Если ребро куба обозначить через а, то объем фигуры, лежащей под сечением, можно вычислить как разность объемов двух треугольных пирамид: NАFD и МЕFС (рис. I.4.1 на с. 131).

4.2. Площадь сечения удобно вычислять как разность между площадью треугольника AML (см. рис. I.4.2 на с. 131) и удвоенной площадью треугольника KGL.

4.3. Построение сечения показано на рис. II.4.3. Обратите внимание на то обстоятельство, что EС1 = BF.

4.4. Объемы пирамид, о которых шла речь в конце указания I (см. с. 132), нужно выразить через объем данной пирамиды SABCD. Для этого придется найти отношение их высот и оснований. Сделайте отдельный чертеж плоскости, в которой лежит грань SDC.

4.5. Чтобы сравнить объемы фигур, на которые разбивается сечением вторая половина данной пирамиды, удобно в качестве основания выбрать грань BSC.

4.6. Если продолжить ребра А1D1 и А1B1 до пересечения с QR и QP соответственно, то можно будет построить след сечения в плоскости верхнего основания куба.

4.7. Обозначить сторону основания через а и выразить площадь сечения через а и высоту боковой грани.

4.8. Нужно доказать, что точка D лежит на отрезке KM (см. рис. I.4.8 на с. 132). Однако сделать это непосредственно трудно. Удобнее изменить построение: EK — высота пирамиды ЕАВС, D — середина AC. Проведем через K и D прямую, которая пересечет AB в точке M. Докажем, что ЕМ — высота в треугольнике АВЕ. (!!)

Если мы убедимся в том, что KSOD — параллелограмм, то отрезок KD параллелен СО и, следовательно, перпендикулярен к AB, откуда ЕМ — высота треугольника АВЕ.

4.9. В сечении получается пятиугольник, в котором отрезок, параллельный АС1, не является высотой, так как основания параллелепипеда — не квадраты. Высоту нужно вычислить, чтобы найти площадь пятиугольника.

4.10. Докажите, что при вращении точки E тень, отбрасываемая верхним основанием куба, перемещается, оставаясь квадратом со стороной 2h. (!!)

Тень при любом положении источника E состоит из двух квадратов АВСD и А2В2С2D2, стороны которых параллельны, сторона второго вдвое больше стороны первого, а отрезок, соединяющий центры, имеет постоянную длину R. Чтобы построить из этих квадратов тень, нужно соединить соответствующие вершины квадратов и получить выпуклую фигуру. Задача свелась к плоской.

4.11. Если вместо куба, нижнее основание которого образует с плоскостью Π острый угол φ, оставить фигуру А1В1D1DВС, образованную двумя треугольниками A1B1D1, ВСD и диагональным сечением В1D1DB куба, то отбрасываемая на плоскость Π тень не изменится. Остается выразить площадь тени через ребро куба и угол φ.

 

K главе 5

5.2. В треугольнике АМВ рассмотреть медиану, выразить ее квадрат через стороны треугольника, воспользоваться полученными ранее соотношениями. (!!)

Доказать, что медиана МС равна AB.

5.3. Косинус угла А, участвующий в теореме косинусов, можно определить из треугольника АМО, где О — центр окружности, о которой идет речь в условии задачи. (!!)

Обратное утверждение можно доказывать в такой форме: если AC = 2ВС и 2АМ² + МВ² = АВ², то АО = МО. Здесь тоже естественно воспользоваться теоремой косинусов для треугольника АМВ. Единственное осложнение возникает из-за необходимости выразить cos А через линейные элементы. Можно поступить иначе: записать теорему косинусов для треугольника АМО, имеющего с АМВ общий угол А, и исключить cos А.

5.4. Два треугольника АМВ и ВМС, имеющие общую сторону ВМ, равновелики тогда и только тогда, если их высоты, опущенные из вершин А и С на общую сторону ВМ, равны.

Задача свелась к построению прямой, проходящей через точку В и равноудаленной от двух данных точек А и С. (!!)

Существуют две и только две прямые, проходящие через точку В и равноудаленные от точек А и С: одна — параллельная AC, другая проходит через середину AC.

5.5. Если прямые AB и CD пересекаются в точке N, то отрезки AB и CD следует перенести в эту точку, двигая каждый по своей прямой. После этого задача сведется к предыдущей (см. задачу 5.4). (!!)

Если прямые AB и CD параллельны, то отрезки AB и CD удобно расположить так, чтобы их центры лежали на общем перпендикуляре. Этот перпендикуляр остается разделить в отношении CD : AB.

5.6. Пусть MN — отрезок длины l, E — его середина, а длина отрезка ОО1 равна а (рис. II.5.6). Если спроецировать точку E на плоскость нижнего основания, то легко вычислить длину отрезка GO, равного отрезку EF. (!!)

Поскольку длина отрезка GO, равного отрезку EF, не зависит от расположения отрезка MN, то точка E лежит на окружности радиуса EF с центром в точке F. Остается установить обратное предположение и вспомнить о том, что отрезок не должен находиться вне куба.

 

K главе 6

6.1. Воспользоваться тем, что p − 1, p, p + 1 — три последовательных числа, причем p — простое, большее трех.

6.3. Если n = 2k + 1, то а n + b n = (а + b)(аn − 1 − ... + bn − 1 ).

6.4. Среди этих же чисел будет 125/2 = 62, делящихся на 8 = 2³ и т. д.

6.5. Так как сумма цифр числа делится на 81, то естественно предположить, что оно делится на 81. Однако такой признак делимости не был доказан в курсе арифметики, и поэтому придется дважды воспользоваться признаком делимости на 9. Для этого удобно разбить цифры числа на 9 групп, каждая из которых делится на 9.

6.6. Если многочлен n4 + 4 разложен на множители второй степени, то он может быть простым числом только в том случае, если один из множителей равен единице.

6.7. Чтобы убедиться, что числитель всегда делится на число, стоящее в знаменателе, его придется разложить на множители.

6.8. Способ 1. Предположим, что данная дробь сократима. Тогда 5x + 7 = qr, 2x + 3 = pr. Рассматривая эти равенства как систему уравнений относительно x, исключим x.

Способ 2. Рассмотреть вместо данной дроби обратную и выделить целую часть.

6.10. Пример дальнейших рассуждений: при умножении цифры с на 3 мы должны получить число, оканчивающееся на 1. Это возможно лишь при с = 7.

6.11. Так как p — число нечетное, то мы имеем три последовательно нечетных числа. Докажите, что одно из них обязательно делится на 3.

6.12. Если tg 5° — рациональное число, то cos 10° и cos 30° — тоже рациональные числа.

6.13. Сумма девяток должна быть на 10, или на 21, или на 32, или на 43, ... меньше числа, которое делится на 11. Чему должны быть равны в сумме остальные цифры?

6.14. Однородные выражения удобно преобразовывать с помощью замены у = kx. Так как x и у — целые числа, то число k — рациональное, т. е. k = p /q . Остается рассмотреть возможные значения сомножителей, произведение которых равно 17. Нужно добиться того, чтобы каждый сомножитель был целым числом.

6.15. Удобно записать уравнение в виде (x − 2у)(x + 2у) = 5² · 9 · 89 и вспомнить, что мы ищем целочисленные решения.

6.16. Условие 11(4x − 1) = 69(у − x) удовлетворяется при целочисленных значениях x и у, только если 4x − 1 = 69k, у − x = 11n. Из первого соотношения следует, что k + 1 делится на 4. Отсюда k = 3, 7, 11, ... .

 

K главе 7

7.1. Вынести за скобки в числителе , а в знаменателе . После этого дробь сократится.

7.2. Трехчлен 1 + x − x² является общим множителем знаменателей дробей в первой скобке.

7.3. Последнее слагаемое нужно преобразовать отдельно, после чего его можно будет объединить с первыми двумя.

7.4. Поскольку степень каждого члена числителя вдвое больше степени соответствующего члена знаменателя, то дробь целесообразно умножить на выражение, сопряженное знаменателю.

7.6. Преобразовать подкоренные выражения, прибавив и вычтя из них единицу. При извлечении корня использовать условия задачи.

7.7. Можно воспользоваться формулой сложного радикала

7.9. Возвести левую часть, равную 2, в куб, воспользовавшись формулой (x + у)³ = x³ + у³ + 3xу(x + у), где x + у = 2.

7.10. Равенство а + b = − с возвести в куб, а равенство а + b + с = 0 дважды возвести в квадрат. Полученные таким образом соотношения учесть при преобразовании левой части равенства, которое нужно доказать.

7.11. Итак, можно безболезненно рассмотреть лишь случай x ≥ 0, у — любое. Его придется разбить на два случая: |у| ≤ x и |у| > x. В последнем случае .

7.12. Возведенное в куб выражение преобразовать и упростить, воспользовавшись им же.

7.13. Тождественное равенство многочленов означает равенство их коэффициентов:

а³ − с³ = 0,   3(а²b − с²) = 24, ... .

Из первого равенства следует, что а = с, после чего можно упростить все другие соотношения.

 

K главе 8

8.2. Перемножить первую скобку с третьей, а вторую с четвертой.

8.5. Полученное тождество справедливо при всех значениях x, в частности при x = i.

8.6. Полезно заметить, что при целых значениях x ≠ 0 выражение  Это позволяет ограничиться рассмотрением таких целых у, что у² ≤ 6.

8.7. Так как все коэффициенты уравнения — рациональные числа, то можно предвидеть, что наряду с корнем √3 + 1 должен существовать корень √3 − 1.

8.8. Теоремы Виета недостаточно, так как уравнение в этом случае может вовсе не иметь действительных корней.

8.11. Приравнять остаток нулю и потребовать, чтобы квадратный трехчлен, получившийся в частном, был положителен, т. е. имел отрицательный дискриминант.

8.12. В полученном тождестве следует выбрать x = 2 и x = 3. Получим два уравнения относительно а и b.

8.13. Записать x4 + 1 в виде произведения квадратных трехчленов с неопределенными коэффициентами, раскрыть скобки и воспользоваться условием равенства двух многочленов.

8.14. Многочлен делится на у³, если его свободный член и коэффициенты при у и у² равны нулю.

8.15. Воспользоваться условием тождественного равенства двух многочленов.

 

K главе 9

9.3. Один способ — дополнить левую часть до полного квадрата, второй — обозначить второе слагаемое через u² и перейти к системе.

9.4. При возведении в куб воспользоваться формулой куба суммы в виде (а + b)³ = а³ + b³ + 3аb(а + b). Выражение а + b заменить правой частью данного уравнения.

9.6. Если ввести новое неизвестное p = u + v, то с помощью уравнения u − v = 1 можно через p выразить как u, так и v. Это поможет решить второе уравнение системы.

9.7. Из системы, полученной в результате замены, исключить свободные члены. Это приведет к уравнению, левую часть которого легко разложить на множители.

9.8. В качестве вспомогательного неизвестного удобно выбрать

9.9. Найти x и сделать проверку. Обратить внимание на то обстоятельство, что разность, стоящая в левой части данного уравнения, всегда положительна.

9.10. Второй путь удобнее, так как не приходится решать неравенство с параметром β, что значительно упрощает исследование.

9.14. Первое уравнение задает квадрат с центром в начале координат и с диагоналями, равными по длине 2, расположенными на координатных осях.

9.15. Ввести новые неизвестные: x + 1/x = u, у + 1/y = v.

9.16. В первое и второе уравнения входит разность у − z. Ее-то и следует исключить из этих уравнений.

9.17. Сумму x4 + у4 в третьем уравнении удобно выразить через x² + у² и xу. В результате придем к уравнению относительно z.

9.18. Уравнение x + у = 1 − z позволит также упростить выражение, оказавшееся в скобках после того, как в третьем уравнении был вынесен за скобку множитель 1 − z.

9.19. Поскольку а, b и с — корни многочлена M(t), его можно записать в виде M(t) = (t − а)(t − b)(t − с). Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях t в двух выражениях для M(t), найдем u, v и w (см. указание I, с. 138). Постарайтесь закончить решение, не прибегая к излишним выкладкам.

9.20. Умножить первое уравнение на xу²z², а второе на x²уz². Будет ли нарушена при этом равносильность?

9.22. Умножить первое уравнение на z и вычесть из второго. Аналогично поступить со вторым и третьим уравнениями.

9.23. Возвести первое уравнение в квадрат и вычесть его из второго. Из полученного уравнения исключить z, воспользовавшись сначала третьим, а затем первым уравнениями. (!!)

Чтобы осуществить эту операцию, первое уравнение нужно предварительно умножить на у.

9.24. Почленно сложить каждые два уравнения: первое и второе, первое и третье, второе и третье. Из найденной системы получить уравнение относительно u = xyz. (!!)

Чтобы получить уравнение относительно u = xyz, достаточно перемножить полученные уравнения.

9.25. Каждое уравнение — квадратное относительно соответствующего x k . Решив все эти квадратные уравнения и сложив их решения, мы получим уравнение относительно s. Гарантировать равносильность при этом нельзя, но в условии задачи требуется найти только одно решение.

9.26. Если обозначить 7x − 11у = u, то отсюда можно выразить z через u и у. Таким образом, мы получим снова систему двух уравнений с двумя неизвестными. Из этой системы легко исключить у.

9.27. Из такой системы можно исключить у, одновременно избавляясь от иррациональностей: нужно возвести оба уравнения в квадрат и вычесть второе из первого.

9.28. Выразить  через x и сравнить получающиеся в результате выражения для z².

9.29. Полученная после возведения в квадрат система уравнений позволяет легко определить u − v, а затем u и v. (!!)

При определении u и v и при последующем вычислении x и у нужно провести исследование. В результате будут использованы условия а > b > 0 и а + b < 1, а также введенные при возведении в квадрат ограничения x > 0, у > 0.

9.30. Наряду с решением x1, у1, z1 у системы обязательно есть решение −x1, −у1, z1. Таким образом, для единственности решения системы необходимо, чтобы эти два решения совпали. (!!)

Условие совпадения симметричных решений приведет к системе относительно а и b. Каждое из полученных значений а и b нужно проверить, так как мы воспользовались лишь необходимым условием единственности решения системы.

9.31. Подставив в первое и второе уравнения у = −x, мы получим два линейных уравнения относительно x³. Выразить из каждого уравнения x³ и приравнять эти два выражения. (!!)

Предыдущие рассуждения позволяют ограничить число рассматриваемых значений параметра а. Остается проверить, выполняются ли для каждого из оставшихся значений остальные условия задачи.

9.32. В качестве фиксированного значения b удобно выбрать b = 0. Мы придем к системе, из которой легко определить все возможные а. (!!)

Найденные значения а необходимо проверить.

9.33. Наряду с решением (x1, у1) система имеет решение (x1, −у1). Она может иметь единственное решение лишь при у = 0. Подставив это значение у, находим, что а = 0. Достаточно ли выполнение условия а = 0 для того, чтобы у системы было единственное решение?

9.34. После исключения  получится уравнение

x ² /y ² − 2x /y + у² + 2x − 2у = 3.

Его не следует преобразовывать в уравнение четвертой степени. Если в качестве вспомогательного неизвестного z взять некоторое выражение, содержащее x и у, то получится квадратное уравнение относительно z.

9.35. Все прямые у = а(x + 5) + 4 проходят через точку (−5; 4). Построение графика функции у = |6 − |x − 3| − |x + 1|| удобно начать с построения графика функции

у = 6 − |x − 3| − |x + 1|.

9.36. Уравнение равносильно системе

У первого уравнения есть корни

Остается выяснить, когда их два, а когда один, а также, при каких а для каждого из них удовлетворяется участвующее в системе неравенство.

9.37. Для упрощения симметрических многочленов применяют подстановку x + 1/x = t. Здесь возможна похожая подстановка. Наличие в числителе каждой дроби множителя x упрощает решение.

9.38. Вы упростите вычисления, если обратите внимание, что 84 693 делится на 327.

 

K главе 10

10.1. Ввести обозначения а = 1 + k и b = 1 − k.

10.2. Обозначим выражение, стоящее в левой части неравенства, через P. Разделив его на а1а2...а n = 1, после несложных преобразований получим

Для оценки P удобно рассмотреть теперь Р² и заметить, что

10.3. Способ 1. Воспользоваться тем, что с > а и с > b, и оценить каждое слагаемое.

Способ 2. Применить свойство показательной функции, приняв во внимание, что а < с, b < с.

10.5. Использовать условие а + b + с = 1, чтобы убедиться, что неравенство будет обязательно строгим.

10.7. Показательная функция (a /b )x , в силу условия задачи, является возрастающей.

10.8. Применить неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим к произведению каждых двух чисел, равноотстоящих от концов в выражении n!.

10.9. Способ 1. В неравенстве (1 − u)(v − 1) > 0 (см. указание I на с. 141) раскрыть скобки и воспользоваться неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим чисел uv и w.

Способ 2. Воспользоваться неравенством u /v + v /u > 2 (сложить его с полученным в указании I).

10.10. Оценить произведение (p − а)(p − b)(p − с) суммой этих чисел можно, воспользовавшись неравенством

xyz ≤ (x + y + z)³/27 .

10.12. Зная выражения у + z и уz через x, можно записать квадратное уравнение с коэффициентами, зависящими от x, корнями которого будут у и z.

10.13. Выразив у + z и уz через x, придем к квадратному уравнению, коэффициенты которого зависят от x. Поскольку в условии сказано, что x, у и z — действительные числа, дискриминант полученного уравнения не должен быть отрицательным. (!!)

Найденные границы изменения x, в силу симметрии данных уравнений, распространяются на у и z.

10.15. Чтобы данный трехчлен был отрицательным внутри некоторого отрезка, необходимо и достаточно, чтобы на концах отрезка он принимал неположительные значения.

10.16. Доказать, что условие а > 0 несовместно с требованием, в силу которого оба корня больше а.

10.17. Так как k ≠ 0 (иначе условие задачи неосуществимо), то парабола должна иметь один корень в интервале (−1, +1), а другой вне этого интервала.

Такое расположение параболы имеет место тогда и только тогда, когда значения трехчлена в точках −1 и 1 противоположны по знаку.

10.18. Если ветви параболы будут направлены вверх и, кроме того, парабола не будет пересекать положительную полуось Оx, то мы получим расположение параболы, необходимое и достаточное для выполнения условия задачи.

10.22. Числитель и знаменатель полученной дроби должны иметь разные знаки. Приходим к совокупности двух систем.

10.23. Неотрицательный множитель можно отбросить, исключив точки, в которых он обращается в нуль. Оставшееся неравенство удобно привести к виду, в котором правая и левая части неотрицательны, и возвести в квадрат с учетом соответствующих ограничений.

10.24. При x > 0 данное неравенство можно возвести в квадрат (учтя соответствующие ограничения), так как обе его части положительны. При x < 0 неравенство исследуется аналогично.

10.25. Составить квадратное неравенство относительно

10.26. Нельзя забывать о том, что под корнем должно стоять неотрицательное число, в то время как само а может быть и отрицательным.

10.27. Данное неравенство можно переписать в виде

22 x  ≤ 3 · 2√ x · 2x + 4 · 22√ x .

Поделив на 2√ x · 2x , получим неравенство, сводящееся к квадратному.

10.29. При x < 0 неравенство может удовлетворяться лишь при условии, что 2 x − 1 /3 − x  = n — целое. Отберите те значения n, при которых число x оказывается отрицательным, и ответьте на вопрос, что будет при x = 0.

10.30. Выражение х³ − 5х + 2 легко разложить на множители методом группировки: (х³ − 4х) − (x − 2).

10.31. Нужно рассмотреть два случая в зависимости от расположения а относительно единицы.

10.32. Случай x = 0 исследуется непосредственной подстановкой. При x < 0 показатель степени должен быть целым числом. Здесь придется рассмотреть подслучаи в зависимости от того, будет ли это целое число четным или нечетным.

10.35. Если после приведения всех логарифмов к общему основанию перенести все члены неравенства в одну часть, то полученное выражение разлагается на множители, одним из которых будет 2 log5 x + 1.

10.36. Обозначив log2 (2х − 1) = y, можно привести это неравенство к квадратному.

10.38. После решения алгебраического неравенства нужно вернуться к прежним обозначениям. При этом приходится рассмотреть различные случаи в зависимости от величины а.

10.39. Обозначить logk x через y, после чего получится неравенство относительно y, которое решается методом интервалов.

10.40. Так как под знаком логарифма стоит число 4х − 6, то x не может быть меньше единицы.

10.41. Разобрать случаи, позволяющие раскрыть знаки абсолютных величин. Таких случаев будет четыре.

10.42. Так как x − 2 > 0, то x − 1 > 1 и, следовательно, (x − 1)² > 1.

10.43. Из условия, что log2 (2 − 2х²) > 0, легко вывести, что |√2 |x|- 1| ≤ 1.

10.44. Перейти от неравенств между функциями к неравенству между аргументами и учесть необходимые ограничения.

10.46. Для положительного основания (обозначим его f(x)) нужно решить две системы

которые равносильны неравенству

(f(x) − 1)(x − 4) ≥ 0.

При f(x) < 0 следует рассмотреть случаи, когда показатель степени x − 4 — четное число.

10.47. Известно, что при неположительном дискриминанте знак квадратного трехчлена не может быть противоположен знаку старшего коэффициента. Если же дискриминант положителен, то такие точки всегда найдутся.

10.48. Поскольку из ложного утверждения следует все, что угодно, решение распадается на две части: а) находим значения а, при которых первое неравенство не имеет решений, тогда из него следует второе; б) если первое неравенство имеет решения, то они не должны выйти за рамки решений второго неравенства.

10.49. Рассмотрите варианты расположения параметра а относительно интервала (1, 2). Особое внимание обратите на граничные точки этого интервала.

10.50. Неравенство

(x + 5)[(x + 3) · 22 + x − (2 + x)] > 0

при x = −5 не удовлетворяется. Остается рассмотреть случаи x + 5 < 0 и x + 5 > 0. Далее удобно рассмотреть и случаи x + 3 < 0 и x + 3 > 0 (x + 3 = 0 тоже не является решением неравенства). (!!)

Решить неравенства

удобнее, изобразив графически функции, стоящие в левой и правой частях этих неравенств.

10.52. Данное неравенство можно преобразовать к виду:

или

10.53. Левую часть неравенства следует преобразовать к виду

1 − |у|².

 

K главе 11

11.1. Остается заметить, что lg 2 + lg 5 = 1.

11.3. Привести уравнение к равенству степеней с одинаковыми показателями.

11.4. Обратить внимание на тот факт, что поскольку у = 3−| x − 2| , то 0 < у ≤ 1.

11.7. Если обе части уравнения разделить на 2 + √3, то придем к квадратному уравнению относительно у = (2 + √3)x ² − 2 x .

11.8. Совсем нетрудно найти один корень уравнения. Затем нужно попытаться доказать, что других решений нет. (!!)

Корнем будет x = 2. Докажите, что других корней нет, используя монотонность показательной функции.

11.10. Левую часть выразить через у = log3(3x − 1).

11.11. Можно обозначить logx 7 = у, но удобнее использовать другое обозначение. Какое — станет ясно, если дополнить правую часть до полного квадрата (суммы или разности?).

11.14. Когда мы заменим logx 4 · log4 x единицей, получим уравнение, которое может иметь посторонний корень x = 1. Поскольку в дальнейшем нам придется потенцировать, что снова может повлечь приобретение посторонних корней, решение необходимо закончить проверкой.

11.15. При переходе к логарифмам с основанием x мы можем потерять корень. Какой?

11.16. Чтобы воспользоваться формулой модуля перехода, нужно умножить обе части уравнения на log2 (3 + x).

11.17. Если умножить уравнение на выражение, стоящее в знаменателе, то нужно потребовать, чтобы последнее не обращалось в нуль, т. е. |x² + x − 1| ≠ 1. При потенцировании же появится еще одно ограничение.

11.18. Теперь с помощью тождества, эквивалентного определению логарифма, данное уравнение можно свести к квадратному относительно xlog b a .

11.19. Нужно помнить, что √c² = |с|, и разобрать несколько случаев, предварительно оценив из условия logа x и а. Для оценки а удобно воспользоваться неравенством t + 1/t  ≥ 2 при t > 0.

11.20. Первое из уравнений, полученных после логарифмирования, разделить на второе и затем произвести потенцирование.

11.21. Нужно заметить, что 243 = 35, 1024 = 210. Теперь из второго уравнения системы с помощью первого нетрудно получить уравнение относительно (⅔)y .

11.22. Для того чтобы найти 4√x + √у, можно второе уравнение возвести в степень 3/2 и полученное выражение использовать для подстановки в первое уравнение системы.

11.23. Выразить 11xz , 11z и 11( x − 1) z через  и подставить в тождество, записанное в первом указании (см. с. 146).

11.24. Если в левой части второго уравнения вынести за скобки 2x + 2 у , то в скобках останется выражение, аналогичное левой части первого уравнения. Его можно заменить числом 2.

11.25. Здесь удобно не заботиться о равносильности, а каждый раз получать следствия. Алгебраическая система, которая будет получена, легко сводится к уравнению относительно u = у /x . Для этого нужно будет почленно перемножить входящие в нее уравнения.

11.26. При преобразовании выражений, входящих в первое уравнение (после подстановки), нужно будет воспользоваться определением логарифма.

11.27. Так как xy = 3, то либо x, либо у больше единицы. Мы убедились, что x и у положительны. Следовательно,

x + y > 1   и   |log2 (x + у)| = log2 (x + у).

Остается рассмотреть два случая в зависимости от знака log2 (x − у).

11.29. Воспользоваться математической записью определения логарифма: аlog a b  = b.

11.30. Определив x, следует использовать его для упрощения третьего уравнения системы. Если третье уравнение преобразовать в алгебраическое, то посмотрите, что при этом может произойти — потеря или приобретение корней.

 

K главе 12

12.2. Доказательство следует начать с очевидного тождества

tg [(30° − α) + (60° − α)] = ctg 2α.

12.3. Воспользоваться тем, что

12.6. Вычислить произведение синусов несколько труднее. Удобнее найти квадрат этого произведения, записав 2 sin2 π/7 как 1 − cos 2π/7 и т. д.

12.7. Разделить числитель и знаменатель выражения, стоящего в правой части, на Вb.

12.8. Если заменить sin² x на k² sin² у, то sin² у можно вынести за скобки.

12.9. Выразить а² + b2 через cos α − β/2 .

12.10. Обозначить sin²α = а, sin²β = b, sin²γ = с и преобразовать данное равенство, выполнив сложение.

12.11. Привести к общему знаменателю и все произведения тригонометрических функций от α + π/3 и α + 2π/3 преобразовать в сумму.

12.13. Второе слагаемое преобразуется к выражению −2 cos² 8° или cos 16° − 1.

 

К главе 13

13.1. Заменить √2 sin (x + π/4) на sin x + cos x, после чего объединить все одночлены, содержащие cos Зx, и все оставшиеся одночлены уравнения. Это поможет получить распадающееся уравнение, y которого в правой части нуль, а левая разложена на множители.

13.2. Если левую часть представить в виде , то получим распадающееся уравнение, которое нужно решать, следя за равносильностью.

13.3. Левую часть уравнения записать в виде , перенести все в одну часть и вынести  за скобки. (!!)

Оставшееся в скобках выражение симметрично относительно sin x и cos x. Если привести дроби к общему знаменателю, то должно получиться достаточно простое выражение, поскольку все подобные члены будут иметь разные знаки.

13.4. Найти такие решения уравнения sin 2x sin 7x = cos 2x cos 7x, при которых cos 2x cos 7x ≠ 0.

13.5. Замена ctg x = 1/tg x  приведет к появлению tg x множителем в числителе. Однако tg x не может быть равным нулю.

13.6. Воспользоваться формулой разности тангенсов и заменить полученное уравнение эквивалентной ему системой, состоящей из нового уравнения и ограничений.

13.7. Множитель sin (x + π/4) входит в правую часть уравнения. Чтобы обнаружить это, достаточно заменить cos x на sin (π/2 − x) и привести правую часть к виду, удобному для логарифмирования.

13.8. После приведения к виду, удобному для логарифмирования, внимательно следить за равносильностью.

13.9. Так как cos x /2 на интервале 0 < x /2 < π меняет знак, то этот интервал придется разбить на два: 0 < x /2 ≤ π/2 , π/2 < x /2 < π.

13.10. При решении получившегося уравнения нужно правильно оценить роль параметра: если из соотношения исчезает неизвестное и остается только параметр, то при данном значении параметра неизвестное может принимать любое значение из области определения данного уравнения.

13.11. Выбор значений x, попадающих в интервал 0 ≤ x ≤ 2π, удобнее осуществить, если при решении мы постараемся воспользоваться арккосинусами, областью значений которых является указанный интервал.

13.12. Под радикалом стоит полный квадрат. Помните, что

13.13. Остается заметить, что tg x + sin x = tg x(1 + cos x), а tg x − sin x = tg x (1 − cos x). Оба этих выражения входят слагаемыми в степени ½. Множитель tg½ x входит и в третье слагаемое. Этот множитель можно вынести за скобки, так как 1 + cos x и 1 − cos x никогда не станут отрицательными, а следовательно, равносильность в результате этого действия не нарушится. (!!)

Получаем уравнение вида tg½ x φ(x) = 0, где φ(x) имеет смысл всегда. Это уравнение равносильно совокупности уравнения tg x = 0 и системы

(B ограничении взято строгое неравенство, так ка случай tg x = 0 учтен раньше.)

13.14. Чтобы произвести упрощения, придется воспользоваться еще одним условным тождеством 1/tg 2 x = ctg 2x. Провести анализ равносильности и перейти в полученном уравнении к синусам и косинусам.

13.15. Когда в уравнение входят только sin α cos α и sin α + cos α, то одну из этих величин, например вторую, можно обозначить через y, а другую выразить через y.

13.16. Перейти к функциям x и привести уравнение к однородному, домножив 6 sin x на тригонометрическую единицу.

13.17. Воспользоваться теоремой о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами.

13.18. Выразить правую и левую части через y = cos x /2.

13.19. Выражение в квадратных скобках представить в виде

(1 + ctg x) + [ 1 + ctg (π/4 − x) ]

и воспользоваться формулой суммы котангенсов. B правой части для cos 2 x нужно выбрать выражение, которое позволит избавиться от стоящей в скобках единицы.

13.21. Относительно cos x получится биквадратное уравнение, решения которого придется исследовать.

13.24. Воспользоваться этой формулой еще раз, предварительно выделив выражение 1 + cos 2x, и получить распадающееся уравнение. (!!)

Вспомнить об условиях, при которых произведение двух косинусов равно единице.

13.25. Записывая условие одновременного равенства двух косинусов единице или минус единице, следует брать разные обозначения для целочисленного переменного.

13.26. Если перенести все в правую часть, то мы сможем образовать сумму двух неотрицательных слагаемых.

13.27. Так как cos 3x ≥ 0, а при дополнении до полного квадрата к обеим частям уравнения прибавляется ± cos x cos 3x, то знак правой части зависит от знака cos x. Это означает, что целесообразно рассмотреть три случая: cos x = 0, cos x > 0, cos x < 0. (!!)

Если cos x > 0, то целесообразно привести левую часть к квадрату разности, а если cos x < 0 — к квадрату суммы.

13.28. Поскольку минимум левой части совпадает с максимумом правой, то единственная возможность их уравнять — решить систему

13.29. При решении окажется полезной следующая идея. Если уравнение преобразуется к виду f(x) g(x) = 0, причем корни f(x) находятся легко и содержат все корни g(x), то решать уравнение g(x) не следует. Поскольку в нашем случае уравнение f(x) g(x) = 0 было получено из системы, то остается выяснить, какие из корней уравнения f(x) = 0 приведут к решению исходной системы.

13.30. Первое уравнение можно привести к виду

При подстановке 2y = π/4 − x + kπ приходится рассматривать случаи k = 2p и k = 2p + 1.

13.31. Относительно и и v получится система уравнений, которую удобно решить заменой v = ut.

13.32. С помощью второго уравнения выразить y через x и подставить в первое уравнение системы.

13.33. При решении системы нам придется оба уравнения возводить в квадрат. Следовательно, в конце необходимо сделать проверку.

13.34. Получив из второго уравнения после подстановки в него найденного значения x выражение для |y|, нужно позаботиться о том, чтобы |y| ≥ 0.

13.35. Из третьего уравнения x + y = π − z. Следовательно, tg z = −tg (π − z) = −tg (x + y). (!!)

По формуле тангенса суммы и с помощью уравнения tg y = 2tg x можно выразить tg z через tg x и подставить в первое уравнение.

13.36. Получить уравнения с одинаковыми левыми частями и сравнить их. При решении квадратного уравнения обратить внимание на исследование.

13.37. Прежде чем возводить уравнения в квадрат, оставим в левой части первого уравнения sin x, а в левой части второго уравнения оставим cos x.

13.38. При решении уравнений возникнут арксинусы и арккосинусы, которые будут накладывать ограничения на а. Следует ли к этим ограничениям добавлять |а| ≤ 1, |а + ½| ≤ 1, что вытекает непосредственно из условия?

13.39. Оценив правую и левую части уравнения, обнаружим, что равенство возможно лишь в случае, если обе равны четырем. B результате уравнение сводится к системе. B частности, следует обратить внимание на то обстоятельство, что левая часть равна 4 лишь при tg x = tg y = 1.

13.40. Способ 1. Преобразовать уравнение в сумму квадратов и заменить системой.

Способ 2. Уравнение преобразуется к сумме двух неотрицательных выражений, которая равна нулю. B результате получим систему

13.41. Способ 1. После преобразования данное уравнение примет вид

Первые два члена дополнить до полного квадрата и получить сумму неотрицательных слагаемых, которая равна нулю.

Способ 2. Уравнение можно записать в виде

(1 − cos x) cos y + sin x sin y = 3/2 − cos x

и рассмотреть левую часть как однородное выражение относительно sin y и cos y. Остается оценить выражение A cos y + B sin y и правую часть уравнения.

13.42. Способ 1. Обозначив tg x = z, tg а = с, мы придем к выражению, которое должно быть тождеством относительно x. Остается вспомнить условие тождественного равенства двух многочленов.

Способ 2. Так как равенство

tg x + tg (а − x) + tg x tg (а − x) = b

должно выполняться тождественно, т. е. при всех x, то оно должно быть верным и для конкретных значений x, например при x = 0 и x = π/4 . Найденные в результате значения а и b нуждаются в проверке.

13.43. На первый взгляд кажется естественным воспользоваться оценкой

sin² x + 1/sin² x  ≥ 2, cos² x + 1/cos² x  ≥ 2.

Однако это очень грубая оценка. B самом деле, если для одного из выражений достигается равенство, то другое обращается в бесконечность.

Следовательно, нужно преобразовать левую часть уравнения так, чтобы sin² x и cos² x не были разъединены. С этой целью удобно раскрыть скобки и заменить

sin4 x = ¼ (1 − cos 2x)², cos4 x = ¼ (1 + cos 2x)².

13.44. Левую часть выражения

sin 2x − sin x cos 2x = 3/2 ,

к которому приводится данное уравнение, удобно рассмотреть как A sin 2x + B cos 2x, где А = 1, B = -sin x, и оценить.

13.45. Задача сводится к уравнению типа sin α + cos β = 2, которое равносильно системе: sin α = 1, cos β = 1.

13.46. Найдя y из квадратного уравнения, следует использовать и его выражение через x (см. указание I, с. 150). При такой замене появляется опасность приобретения посторонних корней.

13.47. Данную систему уравнений удобно переписать в виде

Легко заметить, что следствием полученной системы является уравнение cos 7x = 0, содержащее в качестве корней не только все числа, для которых cos x = 0, но и все корни второго уравнения. B самом деле, при cos 7x = 0 получим cos² 7 x /2 = 1 и, следовательно, cos² x /2 = ½ . Остается отсеять посторонние значения x.

13.48. Левая и правая части преобразуются к виду, когда в знаменателе и в числителе появляются общие множители. Нужно следить за ограничениями, а в конце провести отбор решений.

13.49. Все ограничения можно объединить: sin 4x ≠ 0. Эти значения нужно исключить из решений уравнения, полученного после преобразований.

13.50. Следить за равносильностью всех преобразований. Отобрать среди корней числителя те, которые не обращают в нуль знаменатель.

13.51. Из полученных значений t нужно отбросить те, для которых sin t = 0, cos t = 0 и cos 2t = 0, а также (это будет видно в процессе преобразований) cos 2t = ½. Первые три ограничения можно объединить: sin 4t ≠ 0.

 

К главе 14

14.4. Когда мы заменим sin 2x и cos 2x на их выражения через tg x, могут быть потеряны те решения неравенства, при которых sin 2x и cos 2x существуют, а tg x не существует. Однако tg x входит в правую часть данного неравенства, а потому значения x, при которых tg x не существует, не могут быть решениями этого неравенства.

14.5. Способ 1. Чтобы найти секторы круга, в которых tg 2 x ≤ 0, нужно вначале построить радиусы, соответствующие углам, для которых tg 2x = 0 и tg 2x не существует.

Способ 2. B результате применения формулы тангенса двойного угла возможна потеря решений: из области определения выпадают точки, в которых cos x = 0.

14.8. Так как коэффициент при старшем члене положителен, то знаки корней зависят от знака свободного члена.

14.10. Найти те значения k, при которых полученное неравенство осуществимо.

14.11. Воспользоваться тем, что sin x + cos x = √2 cos (x − π/4), и решить неравенство относительно y = cos (x − π/4).

14.12. Произведение cos x cos 3x, стоящее в знаменателе, выразить через cos 2x. Получится алгебраическое неравенство относительно y = cos 2x.

14.13. При возведении неравенства в квадрат достаточно потребовать, чтобы cos x ≥ 0.

14.15. Обозначить sin α через y и разложить получившийся многочлен третьей степени на множители, воспользовавшись теоремой о делителях свободного члена и первого коэффициента.

14.16. Выражение  можно преобразовать, воспользовавшись разложением sin 3x = sin (2x + x).

14.17. Так как абсцисса вершины параболы оказывается внутри интервала −1 < z < 1, а сама парабола направлена рогами вверх, то условие задачи равносильно тому, что ордината вершины положительна.

 

К главе 15

15.1. Неравенство сводится к квадратному, если положить logsin x   2 = y. При этом необходимо следить за равносильностью преобразований.

15.3. Поскольку основание логарифма больше единицы, неравенство между логарифмами можно заменить таким же неравенством между cos x и tg x.

15.4. Остается перейти к системе тригонометрических неравенств, равносильной логарифмическому неравенству. При этом нужно помнить, что все функции, стоявшие в условии под знаками логарифма, должны быть положительными.

15.5. Для дальнейшего нужно иметь в виду, что условие 0 < |а| < 1 не равносильно неравенству −1 < а < 1.

15.6. При дальнейшем решении мы столкнемся с выбором целочисленного аргумента. Следует помнить, что мы имеем дело с |lg x|, а не с lg x.

15.7. Неравенство равносильно условию, что знаменатель положителен, если при этом arccos (x² − 3x + 2) существует и отличен от нуля.

15.8. Если 1 − x > 0, то правая и левая части неравенства попадают в интервал от 0 до π/2 , который является общим интервалом монотонности для тангенса и косинуса. Если взять косинус от правой и левой частей неравенства, а знак неравенства изменить на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

15.9. Неравенство 4x − x² − 3 > 1 удовлетворяется лишь при x = 2. Докажите, что тогда оба сомножителя должны быть раны единице.

15.10. Первая система не имеет решения, поскольку из условия А = 0 следует, что tg x = 1. Но tg x стоит в основании логарифма и не может быть равным единице. Остается решить вторую систему, которую можно упростить, заметив, что tg x > 1.

 

К главе 16

16.3. При исследовании нужно помнить, что отрицательное число в дробной степени не имеет для нас смысла.

16.4. Решив простейшее тригонометрическое уравнение, получим показательное уравнение, которое нужно исследовать, в зависимости от значений, принимаемых целочисленным аргументом.

16.5. Вспомнить, когда произведение синусов и косинусов может равняться единице.

16.7. Полученное уравнение легко решить, если записать sin³ x = = sin x (1 − cos² x). При решении распадающегося уравнения, которое получится в результате такой замены, нужно постоянно иметь в виду ограничения.

16.8. При решении удобно на время забыть о возникающих ограничениях, а в конце проверить, для каких из найденных значений неизвестного они выполняются.

16.9. Использовать тот факт, что x > 0.

16.10. При исследовании полезно иметь в виду, что cos x ≤ 1 и дискриминант квадратного уравнения не должен быть отрицательным.

16.11. Удобно отдельно рассмотреть случаи а ≤ −1, а ≥ −1, когда данное уравнение имеет неотрицательный дискриминант.

16.12. Вы должны получить систему, состоящую из двух уравнений, трех неравенств и двух ограничений ≠.

16.13. Обозначив 4cos² π x через u (u > 0), найдем, что левая часть, равная 4/u + u, не может стать меньше 4. Чтобы оценить квадратный трехчлен, стоящий в правой части, можно выделить полный квадрат.

16.14.

 

К главе 17

17.1. Осуществить замену переменных: x − 1 = y, 2x + 1 = z. Найти f(y) и g(z), что равносильно знанию f(x) и g(x).

17.2. Уравнение f(f(x)) = 0 имеет корни x1 = 0 и x2 = 3. Исследование функции y = x³ − 6x² + 9x − 3 позволит определить число оставшихся корней интересующего нас уравнения.

17.3. Первое уравнение после подстановки примет вид

5 · 2x ² − 2 xy + 1 = (1 + 2k)3y ² − 1 ,

k — целое. При каких y в правой части не будет множителя 3?

17.4. Полученное после подстановки квадратное уравнение относительно z имеет дискриминант, равный (3y − 1/y )² , что позволяет непосредственно рассмотреть возможные корни.

17.5. Касание функций f(x) и F(x) в точке М0(x0; y0) означает совпадение ординат f(x0) и F(x0), а также угловых коэффициентов касательных при x = x0, т. е. значений f′(x0) и f(x0).

17.6. Будьте внимательны в отношении точек границы множества решений и определите, какие из них принадлежат этому множеству, а какие не принадлежат.

17.7. Прямая y = −x позволит отсечь от части плоскости, координаты точек которой удовлетворяют первому неравенству — фигуру, площадь которой нас интересует.

17.8. Прямые AC и BD пересекаются в точке E(4; 4). Прямая BC параллельна оси абсцисс и пересекает ось ординат в точке G. Через точку D проведем прямую DF, параллельную оси абсцисс и пересекающую ось ординат в точке F, а прямую AC — в точке H. Пусть CK — перпендикуляр, опущенный из точки С на FD. Теперь искомую площадь легко найти через площадь прямоугольника FGCK и прямоугольных треугольников, которые будут изображены на рисунке после всех проведенных выше построений.

17.9. После замены переменных и простых преобразований исходные неравенства примут вид

Проекция множества решений этой системы рассматривается на прямую u = 2. Левую часть первого из неравенств рассмотрите как функцию второго порядка относительно u, где зависящие от v коэффициенты — параметры. Тогда можно сформулировать условия существования решений в зависимости от значений v. (Куда направлены ветви параболы и каков знак дискриминанта.) (!!)

Придется рассмотреть существование решений первого неравенства при u > 1 для разных случаев относительно коэффициента при u² функции f(u), т. е. v² − 1 > 0; v² − 1 = 0; v² − 1 < 0.

17.10. Если а — целое, то дискриминант данного уравнения есть квадрат целого числа, т. е. а² − 2а − 19 = n². Отсюда (а − 1)² − n² = 20. Левую часть нужно представить в виде произведения целых чисел.

17.11. Случаи, когда y = 0 нужно рассмотреть отдельно. Определить соответствующие а и для каждого из них решить исходное уравнение. До этого выводов о числе корней исходного уравнения делать не следует.

17.12. Исходное уравнение при y = sin 4x преобразуется к виду

(а + 3)y² + (2а − 1)y + (а − 2) = 0,

где |y| ≤ 1.

Исследуйте отдельно случаи D = 0 и D > 0, для каждого из которых найдите значения а, удовлетворяющие условию, в силу которого равно восемь решений исходного уравнения (см. условие задачи) попадают на отрезок [−π, π]. (!!)

При замене переменной z = 4x получаем уравнение

(а + 3) sin² z + (2а − 1) sin z + (а − 2) = 0,

или

(а + 3)y2 + (2а − 1)y + (а − 2) = 0,

где y = sin z; |y| ≤ 1.

Если существует решение второго уравнения y1 ∈ (−1, 1), т. е. y1 лежит внутри интервала (−1, 1), то этому y1 соответствуют ровно два значения z ∈ (−π, π) и ровно восемь значений x ∈ (−π, π). (Для z период синуса равен 2π, а для x = z /4 период синуса уменьшится в 4 раза и будет равен π/2, т. е. внутри каждого интервала длиной π/2 мы получим два решения для x, а внутри интервала (−π, π) таких решений будет восемь.)

17.13. Если (x, y) — фиксированная точка плоскости и через эту точку проходит кривая семейства, то должно существовать, по крайней мере одно соответствующее ей значение параметра а. Рассмотрев уравнение семейства кривых как уравнение относительно а, мы и получим соответствующие ограничения.

 

К главе 18

18.1. Этих трех уравнений достаточно; чтобы ответить на вопрос задачи, нужно из первого уравнения вычесть поочередно второе и третье.

18.2. Найти минимум P.

18.3. Так как числа 20, 21 и 23 очень близки, то дальше удобно рассуждать, предполагая, что все 500 марок расклеены по 20 на один лист — тогда двух альбомов заведомо не хватит, и по 23 на один лист — тогда в двух альбомах останется не менее одного пустого листа.

18.4. Легко доказать, что x = y. B самом деле, первый и второй понтоны прошли весь путь за равное время, т. е.

откуда

Так как v ≠ 0 и u ≠ 0, то x = y.

18.5. При решении уравнений нужно помнить, что x и y — цифры, а потому число их возможных вариаций ограничено.

18.6. Цена второй части бриллианта l(p − x)². Остается сравнить цену двух частей с ценой целого бриллианта.

18.7. Удобнее ввести в рассмотрение нормы расхода горючего, отнесенные к часу работы двигателя, так как нормы расхода на километр пути в стоячей воде пришлось бы пересчитывать на нормы для движения против течения.

18.8. Решать систему уравнений нужно методом исключения. При этом последнее уравнение будет содержать два неизвестных, одним из которых должно быть s. Использовать условие y > s и решить это уравнение в натуральных числах.

18.9. Путь отрезок AC вниз по течению пароход проходит за (40 − x /2) ч, а тот же путь вверх по течению — за (48 − x /2) ч. Это позволяет найти скорость течения.

18.10. B качестве неизвестных удобно выбрать скорости пловцов и расстояние AC.

18.11. Если раствор занимал первоначально x-ю часть сосуда, то чистой кислоты в нем было xp /100, а долили (1 − x)q /100 чистой кислоты. Концентрация полученного таким образом раствора равна

p1 = px + (1 − x)q.

Мы получили рекуррентную формулу для р k — концентрации после k циклов. Остается выразить р k  через p.

18.12. Чтобы вычислить расстояние между пунктами первой и второй встречи, нужно сначала определить время между этими двумя встречами, т. е. разделить длину отрезка между пунктом первой встречи и пунктом B на сумму скоростей. Полученное выражение нужно умножить на скорость автомобиля. B результате получим уравнение

Два уравнения, в которых используются оставшиеся условия задачи, составить нетрудно. Одно из них будет линейным, а другое — уравнением второй степени.

Решение системы трех уравнений рациональнее начать с решения относительно x /y полученного выше уравнения.

18.13. Стоимость автобусного билета А может быть использована только для того, чтобы определить расстояние до встречи с поездом, которое пассажиру пришлось бы проехать на такси. Эта поездка обошлась бы ему в (А + ax − B) p. и пройденное машиной расстояние составило бы

Условие задачи позволяет составить три уравнения, приравнивая различные выражения для одинаковых отрезков времени: а) время, которое заняла поездка сначала на такси, а затем на автобусе, равно времени, за которое поезд прошел тот же путь за вычетом t; б) если бы пассажир догонял поезд на такси, то догнал бы его на расстоянии x + А — B /a  км; в) остается использовать разность времен, которые входят в а) и б), и приравнять ее τ.

18.14. Условия задачи позволяют составить два уравнения, которые получатся в результате сравнения времени, за которое каждый поезд проходит весь путь без остановки, с временем, за которое поезд проходит этот же путь с остановкой и последующим увеличением скорости. (!!)

Прежде чем решать полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными, нужно выразить через введенные неизвестные и ту величину, которая нас интересует.

18.15. Для решения задачи нам понадобятся два уравнения, которые мы получим, приравнивая промежутки времени до первой и второй встреч. Тот факт, что самолет вернулся в А, а вертолет прилетел в B, мы используем после того, как определим их скорости. Это позволит нам вычислить нужные отрезки времени для ответа на вопрос задачи.

18.16. Составить два уравнения относительно x и y нетрудно. Достаточно записать, чему равно время на путь от M до N и на путь от N до M, и вспомнить, что обе эти величины известны.

18.17. Данные в условии ограничения записать в виде системы неравенств и решить эту систему.

18.18. После того как заказчик выяснил, что выгоднее всего заказывать комплекты по 40 деталей, а наименее выгодны комплекты по 70 деталей, он должен позаботиться о том, чтобы общая сумма деталей равнялась 1100. При этом он будет стремиться заказать как можно больше дешевых комплектов и как можно меньше самых дорогих.

 

К главе 19

19.1. Свести задачу к сравнению (n + 1 /n )n  и числа 2.

19.2. Нужно использовать условие, в силу которого а р , a q , а r и a s образуют геометрическую прогрессию. Это удобнее сделать так: a²q = а р а r и т. п. (!!)

Остается выразить p − q, q − r и r − s через а р , a q , а r и a s и убедиться, что (p − q)(r − s) = (q − r)².

19.3. При составлении разностей а − b, b − с и с − а удобнее пользоваться представлением чисел a, b и с с помощью арифметической прогрессии.

19.4. Воспользоваться тем, что logx  b /a = logx с /b (числа a, b, с образуют геометрическую прогрессию).

19.5. Вынести за скобки 7/9.

19.6. Под знаком квадратного корня стоит полный квадрат 1/9(102 n − 2 · 10n + 1).

19.7. После исключения получим уравнение относительно а1 и а3, из которого следует, что а1 = а3.

Так как а1 = а3, то  Рассмотрите систему: а1 = а2, а2 = а3.

19.9. Теорема Виета, записанная для данного уравнения, приведет к системе уравнений относительно x1 и q (уравнение, в которое входит а, можно не рассматривать). Удобнее найти сначала q.

19.10. Записать произведение n первых членов и воспользоваться тем, что а1 = √2.

19.11. Если цифру сотен обозначить через а, а разность прогрессии — через d, то число делится на 5, когда либо а + 2d = 0, либо а + 2d = 5; оно же делится на 9, если а + (а + d) + (а + 2d) делится на 9. Остается воспользоваться тем, что а, а + d и а + 2d — цифры.

19.13. B задаче спрашивается, сколько комбайнов было в колхозе. Эту величину мы обозначим через n. Условия задачи позволяют составить три уравнения. При этом левая часть уравнения, соответствующего работе по плану, представляет собой сумму членов арифметической прогрессии. (!!)

При решении системы уравнений нужно исключить x и y.

19.14. При решении уравнений нужно иметь в виду, что нас интересуют только а и q.

19.15. Двух уравнений достаточно для решения задачи, так как нас интересуют не сами числа а, b и с, а отношение каких-либо двух из них. Поскольку полученные результаты использования условий задачи уравнения однородны относительно а, b и с, то определить интересующую нас величину нетрудно.

19.16. Так как предел (¼)n при n → ∞ равен нулю, то а n и b n имеют общий предел.

19.17. Члены двух арифметических прогрессий, имеющих первый член, равный нулю, могут снова образовать арифметическую прогрессию в том и только в том случае, если разность одной прогрессии кратна разности другой прогрессии.

 

К главе 20

20.1. Воспользоваться оценкой

1/(1 + k )² < 1/(1 + k ) k .

20.2. Воспользоваться тем, что

20.4. Умножить правую часть на а − 1 и привести ее к виду

20.5. Разбить полученную сумму на три алгебраических слагаемых: 2n, произведение n на сумму чисел от 1 до n − 1 и сумму квадратов этих же чисел.

20.6. Бесконечная геометрическая прогрессия имеет сумму, если она бесконечно убывающая, т. е. |2x| < 1.

20.8. Рассмотреть разность S n − S n x ², в которой выделить геометрическую прогрессию.

20.9. Полученные равенства сложить и воспользоваться известными формулами для S n , S n ², S n ³. 

20.10. Подсчитайте число четных (нечетных) членов, стоящих до n-й группы.

20.11. Каждое слагаемое после домножения на 2 sin π/2 n представить в виде разности косинусов.

20.12. Нетрудно заметить, что ряд 2S отличается от ряда S на величину, которая легко может быть сосчитана.

20.13. Запишем два соседних члена ряда:  Если первый член разделить на 2 и вычесть из второго, получим  Это должно подсказать соответствующую процедуру с рядами. Только не забудьте предварительно обозначить искомую сумму через S.

 

К главе 21

21.1. Так как сосед справа и сосед слева неразличимы, то можно любого из сидящих оставить на месте, а остальных попросить пересесть на место, симметричное относительно того, кто остался на своем месте.

21.2. Обратить внимание на то, что, вычитая перестановки, в которых на первом месте стоит элемент а1, и перестановки, в которых на втором месте стоит элемент а2, мы некоторые перестановки вычтем дважды.

21.3. Поскольку в нашем распоряжении имеются семь разрядов, то выбрать места для трех двоек можно  способами.

21.4. Число не может начинаться с цифры 0. На сколько больше чисел мы получим, если не учтем это обстоятельство?

21.5. Экскурсантов для заселения первой каюты можно выбрать  способами, вторую каюту нужно заселить четырьмя из оставшихся и т. д.

21.6. Доказать, что .

21.7. После упрощений мы придем к квадратному уравнению относительно n и k, которое нужно решить в целых числах. Удобнее решать это уравнение относительно k.

21.8. Все получившиеся после раскрытия скобок члены не будут подобными. Остается сосчитать их число.

21.9. Если n — 1 < k ≤ 2(n — 1), то члены, содержащие x k , могут быть получены лишь в результате перемножения членов суммы x k − n + 1 + ... + ... + xn — 1 .

21.10. Мы приходим к неравенству , решить которое можно, придавая различные значения параметру k. B качестве таких значений удобно выбрать номера двух членов разложения, стоящих рядом с десятым членом.

21.11. Наиболее удобной является группировка

После того как мы применим формулу бинома и к (1 + x²)k , получим, что в общем члене содержится x100 − (5 k − 2 m ) . Остается выяснить, принимает ли 5k − 2m все значения от 0 до 100, и если не все, то сколько значений окажутся пропущенными. Следует иметь в виду, что m, k = 0, 1, ..., 20, но m ≤ k.

21.12. Для получения рекуррентной формулы достаточно разобрать два случая: а) в первой группе один элемент (а1); б) в первой группе два элемента (а1, а2).

21.13. Чтобы получить рекуррентную формулу, связывающую M n и M n + 1, где через M n обозначен ответ задачи, нужно найти число точек пересечения (n + 1)-й прямой со всеми остальными. Как с этим числом связано количество вновь образовавшихся областей?

Рекуррентное соотношение будет иметь вид

M n + 1 = M n + m + n + 1

 

К главе 22

22.2. После того как найдена сумма двух первых слагаемых, можно воспользоваться формулой синуса суммы, так как третье слагаемое положительно, но меньше π/4, и вся сумма не больше π/2.

22.4. Так как оба слагаемых расположены в интервале [0, π/2], то все тригонометрические функции от них неотрицательны.

22.5. Воспользоваться формулами приведения с тем, чтобы под знаком арккосинуса стоял косинус, а не синус.

22.9. Если перенести acrsin 3 x /5 в правую часть и взять синусы от обеих частей, то в предположении, что x > 0, получим уравнение, равносильное данному.

22.10. После взятия косинусов от обеих частей уравнения получится иррациональное уравнение, при решении которого возможно приобретение посторонних корней.

22.11. Так как обе части лежат в интервале (−π/2, π/2), то от обеих частей данного уравнения можно взять тангенсы, что не нарушит равносильности.

22.13. Ясно, что в результате взятия котангенсов от обеих частей равенства мы можем получить посторонние корни, так как у неравных углов могут быть равные котангенсы. Однако возможна и потеря корней, если в интервал изменения углов попадает значение kπ.

 

К главе 23

23.6. Способ 1. B тождестве cos (x + T)² = cos x² удобно выбрать x = 0 и x = √2 T. Вместо второго значения можно выбрать другое иррациональное число.

Способ 2. Если у функции есть период T r , то x1 + T = x m , x2 + T = x k , где x i − i-й положительный корень функции. Исключив T, получим равенство, которое нужно привести к противоречию.

23.8. Предположить, что функция имеет меньший положительный период, чем наименьшее общее кратное периодов cos 3 x /2 и sin x /3. Записать тождество и привести его к противоречию, преобразовав разность синусов и разность косинусов в произведения.

 

К главе 24

24.1. Получившийся квадратный трехчлен можно разложить на множители. Однако такой прием исследования здесь не подойдет, так как аргумент, от которого зависит квадратный трехчлен, сам является функцией от x. Используйте другой прием для исследования квадратного трехчлена.

Выделите полный квадрат.

24.2. Данную функцию удобно записать в виде разности косинусов, поскольку в аргумент каждого синуса входит 2 x — единственное слагаемое, зависящее от x.

24.3. Для этого вынести sin x cos x за скобки.

24.4. А = x + y + 1.

24.5. Найдя наименьшее значение y в каждом из пяти интервалов, мы сравним эти значения друг с другом.

24.6. Для функции y = x + а /x мы можем неравенство применить непосредственно и написать

x + a /x  ≥ 2√a .

Для данной же функции нужно иметь семь слагаемых, содержащих в знаменателе x, чтобы погасить влияние x7. (!!)

Представить a /x в виде суммы семи одинаковых слагаемых a /7 x .

24.8. Выразить боковую поверхность как функцию только а + b.

24.9. Удобно ввести угол α между диагональю шестиугольника и диагональю квадрата. Этот угол можно будет найти из условия, что диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и должны принимать наибольшую возможную величину.

24.10. B условии сказано, что x — действительное число. Следовательно, дискриминант полученного квадратного уравнения не должен быть отрицательным. Это накладывает ограничения на y.

24.11. Чтобы решить систему

удобнее всего найти решение системы уравнений xy = 36 и x + y = 12, где x = ab, y = 5с.

24.12. Данная функция может быть записана в виде

Обратите внимание на второе слагаемое. Когда оно достигает своего минимума?

24.13. Если acrsin x = α, acrcos x = β, то

α³ + β³ = (α + β)3 − 3αβ(α + β) = π³/8 − 3π/2 αβ.

Минимум функции достигается при α > 0 (β не может быть отрицательным), а максимум — при α < 0. Если α > 0, то появляется возможность применить оценку, в силу которой αβ ≤ (α + β/2)².

24.15. После того как система приведена к виду

Теперь нужно ввести новые переменные. А лучше сразу обратить внимание на то, что эти переменные — синусы и косинусы двух углов. (!!)

Левая часть входящего в систему неравенства не что иное, как выражение для синуса суммы. Поэтому она не больше 1, т. е. последнее условие есть равенство. Не забудьте, что нужно найти min (y + w). Поэтому искать следует в области, где y < 0 и w < 0.