Глава 31. Точный язык, стенографическая машина и «блестящий канцлер» науки. Новая наука и новые взгляды

Математика — язык науки

При сборе информации, формулировке законов и создании основ науки ученым для выражения мыслей нужен ясный язык. Обыденный язык гораздо грубее и туманнее, чем это кажется большинству людей. Выражение «я люблю овощи» столь неопределенно, что недостойно цивилизованного языка, оно нисколько не лучше нечленораздельных криков дикаря. «Термометр дает температуру воды». Термометр ничего не «дает». Все что вы делаете — это, внимательно поглядев на термометр, пытаетесь сделать выводы и почти наверняка немного ошибаетесь. Термометр к тому же вовсе не показывает температуру воды. Он показывает лишь свою собственную температуру. Кое-что из этих упреков относится к существу вопроса, но словеса отнюдь не помогают делу. Мы можем при желании сделать свои утверждения более определенными, но это приведет к выражениям, которые потребуют целого ряда комментариев. Язык же математики выражает смысл удивительно кратко и откровенно. Когда мы пишем 2x2 — 3x + 1 = 0, то делаем очень определенное, хотя и не далеко идущее утверждение относительно х. Одно из преимуществ применения математики в науке состоит в том, что она помогает точно записать нашу мысль, избежав неясности и двусмысленности. Запись Δv/Δt = 9,8 ясна и без привлечения длинных словесных описаний ускорения, a y = 4,9∙t2 говорит о падении камня без лишних слов о массе и притяжении.

Великое свойство математики — ее стенографичность при установлении связей и при проведении сложнейших рассуждений, когда мы соединяем воедино несколько соотношений. Равноускоренное движение можно определить так: «Пройденное расстояние равно сумме произведений начальной скорости на время м половине ускорения на квадрат времени», однако короче написать: s = v0∙t + 1/2a∙t2. Если бы вместо алгебры мы пытались оперировать словесными утверждениями, то по-прежнему могли бы из двух выражений для ускоренного движения получить третье по аналогии с выводом формулы v2 =v02 + 2∙a∙s в приложении 1 гл. 1. Однако без компактной алгебраической записи рассуждения были бы убийственно громоздкими. Идя дальше, туда, где используется отточенная математика дифференциального исчисления, мы, рассуждая на словах, пришли бы к невообразимо сложным и запутанным выражениям.

Математика в таких случаях напоминает автомат, в котором вместо колес и поршней работают правила логики. Она получает от нас информацию — факты и соотношения из эксперимента и из нашей головы, схемы, которые подлежат проверке, а потом перемалывает все это и подает в новой форме. Хотя в ее изделие не обязательно входят все заложенные материалы, но, как положено настоящему автомату, она никогда не выдает того, чего не было заложено вначале. Создать науки о реальном мире машина никакими ухищрениями не сможет.

Математика — верный слуга

Помимо обычных услуг, математика может творить в науке поистине чудеса. Как маленький кудесник, она может сотворить нечто новое для дальнейшего использования. Допустим, например, что падающее тело обладает постоянным ускорением 9,8 м/сек2 и что любое движение, приданное ему вначале, попросту складывается с ускоренным движением. Тогда математическая машина возьмет ваше экспериментальное открытие, величину g и даст вам соотношение s = v0∙t + 1/2∙(9,8)∙t2. А теперь допустим, что в ваших исследованиях никогда не было тел, брошенных вверх, и вы никогда не видели поднимающегося и падающего по параболе мяча. Математическая машина, которую не смущают подобные обстоятельства, даст вам ответ, как будто никаких ограничений нет и в помине. Так, чтобы посмотреть, как выглядит бросок вверх, v0 в формуле надо придать отрицательное значение. Формула тотчас же расскажет вам невообразимую историю. Камень — скажет она — летел бы все медленнее и медленнее верх, достиг бы высшей точки, а затем начал бы все быстрее и быстрее падать вниз. Но здесь вовсе не блестящая догадка, а обычное бесстрастное утверждение. В свое оправдание машина сказала бы: «Вы не сообщили мне, что v0 должно быть направлено вниз. Я не знаю, верно ли новое предсказание. Единственное, что я могу сказать, что ЕСЛИ бы движение вверх подчинялось правилам, которые мне задали для движения вниз, ТО брошенный вверх мяч поднимался бы, затем останавливался и начинал бы падать вниз».

Блестящее предположение о том, что это основное правило может быть общим, сделал не кто иной, как мы сами. Именно мы приветствовали такую подсказку машине, а затем проверили все. В качестве другого примера математики летящего снаряда рассмотрим уже встречавшуюся нам ранее задачу с двумя ответами.

Задача 1

В птицу, сидящую на дереве на высоте 15 м, бросили вертикально вверх камень с начальной скоростью 20 м/сек. Через сколько секунд после броска камень попадет в нее? (g ~= 10 м/сек).

Ответ: 1 или 3 сек.

Фиг. 126. К задаче 1.

Этот ответ характеризует алгебру как очень честного, но довольно глупого слугу. Получилось два ответа, как собственно и должно быть для задачи, предложенной машине. Камень может попасть в птицу, когда летит вверх (через 1 сек) и когда падает вниз (через 3 сек). Если вы упрекнете машину за второй ответ, она будет оправдываться так: «Но вы же ничего не сказали о том, что камень должен попадать в птицу и, кроме того, что он должен попасть в нее, когда будет лететь вверх. Я только вычислила, через какое время камень будет на высоте 15 м над землей, а таких времен два». Вернувшись назад, вы увидите, что совершенно не отразили в математике контакт между камнем и птицей и ничего не сказали о направлении движения камня в этот момент. То, что инструкция неполная, — наша вина, а то, что машина вежливо дала вам все возможные в рамках инструкции ответы, — делает ей честь.

Если в каком-нибудь ответе на задачу получаются 3 или 21/4 коровы, мы вправе отбросить второй ответ, но вы сами виноваты, что не сообщили математической машине некие важные сведения о коровах. В физических задачах, где возникает несколько ответов, мы обычно без особого смысла отбрасываем некоторые из них. Все эти ответы могут быть совершенно правильными, если же некоторые из них слишком уж странные, то, признав их, мы можем прийти к новым выводам. Если вы вспомните задачу 15 приложения II к гл. 1, то увидите, что означает второй ответ.

А вот еще задача того же типа.

Задача 2

Человек бросает в колодец глубиной 30 м камень, который начинает падать вниз со скоростью 5 м/сек. Когда он достигнет дна?

Фиг. 127. К задаче 2.

Припишем исходным данным подходящие знаки + и —, подставим их в подходящее выражение для свободного падения и решим уравнение. Получаются два ответа: один — разумный со знаком + («правильный» ответ), а другой с отрицательным знаком. Но так ли уж глуп отрицательный ответ?

Время, равное —3 сек, просто означает: «За 3 сек до того, как были пущены часы». Машине не было сказано о том, что камень брошен вниз человеком. Ей только сообщили, что в нулевой момент, когда были пущены часы, камень двигался вниз со скоростью 5 м/сек, а после этого падал свободно. Камень в нулевой момент времени мог просто выскользнуть из рук. Он мог быть брошен задолго до этого вторым человеком со дна колодца — предположим, он швырнул его вверх с достаточной силой, чтобы камень получил нужную скорость в нулевой момент. Таким образом, хотя наша теория говорит: «Джордж, стоя на краю колодца, бросил вниз камень…», ответ — 3 сек свидетельствует совсем о другой истории: «Алфред, стоя на дне колодца, сильно бросил камень вверх. Камень вылетел из колодца с уменьшающейся скоростью, достиг высшей точки и начал падать с возрастающей скоростью, пролетев мимо Джорджа через 3 сек после того, как его бросил Алфред. Джордж не успел поймать камень (в момент t = 0), так что тот пролетел мимо него со скоростью 5 м/сек и снова упал на дно колодца». Согласно математике, камень достигнет дна через 1 сек после того, как его выпустит Джордж из рук, или же он мог бы начать движение со дна за 3 сек до того, как пролетит мимо Джорджа. Вернемся к задаче 15 приложения II гл. 1 и попытаемся пояснить полученные там два ответа.

Задача 3

Человек, стоящий на вершине башни высотой 15 м, бросает вверх камень со скоростью 10 м/сек. Какое время понадобится камню, чтобы достичь земной поверхности?

Фиг. 128. К задаче 3.

В этой задаче математика ведет себя как исключительно честный слуга, совсем так, как честный мальчик из историй «Папаши Брауна» Дж. Честертона. Посыльный мальчик принес в глухую деревушку одному скряге телеграмму. По ошибке скряга вместо 1/3 пенса (самой мелкой английской монеты из светлой бронзы) дал мальчику «на чай» золотой фунт. Как же поступил мальчик, когда обнаружил ошибку? Забрал золотой, бессовестно воспользовавшись ошибкой? С притворной добросовестностью принес ее назад, надеясь, что скряга, растрогавшись, скажет: «Возьми его себе, малыш!»? Нет, он не сделал ни того, ни другого. Он просто принес сдачу — 19 шиллингов и 11 3/4 пенса точно. «Наконец-то я нашел честного человека!» — воскликнул восхищенный скряга и завещал мальчику все свое золото. И мальчик, со своей тупой честностью, так буквально понял волю скряги, что снял даже золотые коронки с его зубов.

Математика — умный слуга

Самое удивительное — это то, что наша машина может приготовить «новый продукт» в таком виде, который соответствует совершенно новой точке зрения. Взглядом гения ученый может увидеть в новом смутные очертания виденного ранее, достаточные для работы воображения и проверки. Если мы попытаемся обойтись без математики, то потеряем нечто большее, нежели ясный язык: возможность стенографической записи рассуждений и мощное орудие переработки информации. Мы лишимся также части научного воображения на более высоком уровне.

С помощью математики можно закодировать современную науку в столь ясной форме, что в ней будет легче обнаружить простоту, которую многие ищут в науке. Это, однако, не грубая простота наподобие круговых орбит планет, а простота изощренная, понятная только на языке самой математики. Представим, например, что, ущипнув конец натянутой веревки, мы создали на ней горб (фиг. 129). Воспользовавшись вторым законом Ньютона, мы можем закодировать поведение горба в сложной математической форме. И совершенно неожиданно здесь явно проступит «математическое клеймо» волнового движения. Математика предсказывает, что эта волна будет распространяться, и говорит, как, зная натяжение и массу веревки, вычислить скорость волны.

Еще один пример. Сто лет назад Максвелл с помощью математики свел воедино экспериментальные законы электромагнетизма и записал их в простой форме. Прежде всего он избавился от детален формы и размеров аппаратуры, как мы избавляемся от формы и размеров образца, вычисляя плотность металла по его весу и размерам. Удалив таким образом «граничные условия», Максвелл получил законы электричества, свойственные любой системе при любых обстоятельствах, как плотность свойственна любым образцам данного металла. Дифференциальное исчисление придало его законам окончательную форму, называемую дифференциальными уравнениями. Взгляните на них, пока не заботясь о понимании терминологии.

Допустим, что в момент времени t движущиеся либо покоящиеся электрические заряды и магниты породили соответствующие поля: электрическое с напряженностью Е(Е — вектор с компонентами Ех, Еу, Ez) и магнитное поле Н (с компонентами Нх, Ну, Нz). Тогда в пустом пространстве экспериментальные законы, известные уже сто лет, будут описываться приведенными соотношениями.

Постоянная K H относится к магнитным полям. Она появляется в выражении для силы, действующей со стороны магнитного поля на электрический ток. (См. также гл. 37 « Магнитные силы », т. 3 настоящего издания.) Существует соответствующая постоянная для электрического поля K E, которая появляется в законе Кулона (см. гл 33 « Электростатика. Электрические заряды и поля », т. 3 настоящего издания).

Посмотрите на колонку IV и сравните ее с колонкой III. Уравнения IV кажутся неполными, они портят общую симметрию.

Максвелл обнаружил этот дефект и исправил его, выдумав дополнительный ток в пустоте — «привидение», которое до тех пор даже никому и не снилось, но впоследствии ток этот был обнаружен экспериментально. А Как бы вы изменили уравнение IV, чтобы сделать его симметричным уравнениям III, если бы вам сказали, что часть уравнения пропущена (она была неизвестна еще в то время)? Попытайтесь.

Такое добавление не было ни счастливой догадкой, ни вдохновением свыше. Для Максвелла, отлично знавшего состояние науки, оно казалось обязательным, неизбежным расширением симметрии. В этом разница между развитием науки знающим специалистом и стихийным изобретательством энтузиаста-любителя.

Сделав свое фантастическое в то время добавление, Максвелл смог заложить всю связку уравнений в математический «автомат». Оттуда вышло удивительное уравнение знакомого вида — волновое уравнение, аналогичное тому, которое получилось для горба на веревке. Это новое уравнение утверждало, что изменяющиеся электрические и магнитные поля должны распространяться в виде волн со скоростью v = 1/√(KH∙KE), где КH — постоянная, характерная для магнитных эффектов, создаваемых движущимися зарядами, а КE — соответствующая электростатическая постоянная, введенная Максвеллом при усовершенствовании уравнений. (Kg входит в закон обратных квадратов для сил, действующих между двумя электрическими зарядами.) Необычный вывод этого вы найдете в конце гл. 37.

К удовольствию Максвелла и удивлению его противников вычисленное значение v совпадало со скоростью света, который, как считалось в то время, представляет какие-то волны. Все сходилось к тому, что свет мог быть одним из видов предсказанных Максвеллом электромагнитных волн. Это произошло за много лет до того, как предсказание Максвелла было проверено путем непосредственной генерации электромагнитных волн электрическими токами. Работа Максвелла была одним из величайших достижений физики. А ныне пришедшие ей на смену столь же смелые гипотезы создают основы физики сегодняшнего дня.

Одним из величайших вкладов математики в физику явилась теория относительности, которую можно считать разделом и физики, и математики; для ее понимания требуется хорошее знание как математики, так я физики.

Сейчас мы обратимся к «Специальной теории относительности» Эйнштейна, потом снова вернемся к математике как языку науки.

Теория относительности

Теория относительности привела к видоизменению механики и ломке старых научных представлений. Она возникла из простого вопроса: «Какова скорость нашего движения в пространстве?» Попытки экспериментально ответить на этот вопрос создали затруднения, которые заставили ученых думать о пересмотре существовавших представлений. В результате подобных переоценок возникла теория относительности — блестящий пример приложения математики и методологии к нашим взглядам на пространство, время и движение. Теория относительности — это раздел математики. Поэтому популярное изложение этой теории без математики почти наверняка обречено на неудачу. Чтобы понять теорию относительности, вы должны либо проследить за всеми выкладками по обычным учебникам, либо, как это сделано в данной книге, разобраться в исходных фактах и окончательных результатах, приняв на веру все, что касается работы самой «машины» математики.

Что можно сказать о пространстве? Где находится начало отсчета фиксированной системы и с какой скоростью мы движемся в пространстве? Сейчас точка зрения Коперника кажется нам удобной и мы рисуем в воображении вращающуюся Землю, которая несется по своей орбите вокруг Солнца со скоростью около 120 000 км/час. Солнечная система как целое мчится к созвездию Геркулеса со скоростью 180 000 км/час, тогда как вся Галактика…

Должно быть, мы летим по огромной эпициклоиде, не ведая об этом. Не ведая, ибо, как заметил Галилей, механика движения, а именно столкновений, полета снарядов и т. д., будет одной и той же как в покоящейся, так и в равномерно движущейся лаборатории. Сам Галилей приводил в пример мысленные эксперименты с человеком, который на идущем по курсу корабле бросает камни с мачты. В гл. 2 мы иллюстрировали эту «галилееву относительность» мысленными экспериментами в движущемся поезде. Допустим, что один поезд проходит мимо другого с постоянной скоростью и без всяких толчков, причем все окутано таким туманом, что вокруг ничего не видно. Могут ли пассажиры определить, какой из поездов движется? Могут ли им помочь эксперименты по механике? Пассажиры могут наблюдать только относительное движение. Хотя все правила сложения векторов и законы движения выработаны в движущихся «земных» лабораториях, они тем не менее не обнаруживают никакого влияния этого движения.

Мы называем инерциальной любую систему отсчета или лабораторию, в которой справедливы законы Ньютона, предоставленные самим себе тела движутся по прямой с постоянной скоростью или остаются в покое, а сила сообщает пропорциональное ей ускорение. Мы установили, что любая система, движущаяся с постоянной скоростью относительно инерциальной, тоже будет инерциальна — в ней справедливы законы Ньютона. В последующих рассуждениях о галилеевой и эйнштейновской относительности мы предполагаем, что рассматриваем инерциальные системы подобно покоящейся относительно Земли. В обсуждениях общей теории относительности мы коснемся и других систем, в частности тех, которые ускоряются.

Природа не обеспечила нас строго инерциальной системой. Вращающаяся Земля в строгом смысле — не инерциальная система (ибо ее вращение вызывает центростремительное ускорение); если бы нам удалось найти одну идеальную систему, то принцип относительности гарантировал бы любое число других инерциальных систем. Любая система, движущаяся с постоянной скоростью по отношению к нашей первой, была бы столь же хорошей инерциальной системой; законы Ньютона, справедливые по определению в первоначальной системе, были бы справедливы и во всех остальных. Когда мы проводим опыты по механике и обнаруживаем, что законы Ньютона строго выполняются, то с точки зрения теории относительности просто демонстрируем, что наша первоначальная лаборатория была практически инерциальной системой. Напротив, любые эксперименты, демонстрирующие вращение Земли, показывают несовершенство нашего выбора инерциальной системы. Однако, сказав «Земля вращается», мы представляем себе идеальную систему, в которой законы Ньютона выполняются совершенно точно.

Теория относительности Галилея содержится в наших формулах. Когда для движущейся по горизонтали с ускорением ракеты мы пишем s = v0t + 1/2 at2, то это означает «запустить ракету со скоростью v0 и это скажется в качестве простого добавления слагаемого v0t к пройденному расстоянию».

То же самое можно сформулировать следующими словами: «Экспериментатор ε запускает ракету из состояния покоя и наблюдает движение по закону s = 1/2 at2. Другой экспериментатор ε', бегущий со скоростью v0, увидит движение по закону s' = v0t + 1/2 at2. Он должен добавить v0t вследствие своего собственного движения» (фиг. 130).

Мы говорим, что равномерное и ускоренное движения не мешают друг другу, а просто складываются.

Наблюдатели ε и ε' сделали бы следующие заключения о расстоянии, пройденном за время t:

НАБЛЮДАТЕЛЬ ε

s = 1/2 at2

НАБЛЮДАТЕЛЬ ε'

s' = v0t + 1/2 at2

Оба вывода говорят о том, что ракета движется с постоянным ускорением.

Оба заключения говорят, что в начальный момент t = 0 ракета находилась в начале координат.

Первое заключение говорит, что наблюдатель ε видит, будто ракета начала движение из состояния покоя. В момент пуска часов t = 0 ракета по отношению к наблюдателю не обладала скоростью. В этот момент ракета двигалась вместе с ним, если сам он двигался (так что ему она казалась покоящейся), а он дал ей возможность двигаться с ускорением.

Различие этих выводов свидетельствует, что относительная скорость наблюдателей ε и ε' равна v0. Однако никакой информации об абсолютном движении здесь не содержится. Наблюдатель ε' может стоять на месте, в этом случае наблюдатель ε бежит назад с постоянной скоростью v0 (запуская в момент t = 0 на бегу ракету, фиг. 131, б). А может быть, оба наблюдателя, и ε и ε', находятся в поезде, мчащемся с огромной скоростью (фиг. 131, в), но и тогда ε движется со скоростью v0 относительно ε'. В любом случае v0 будет относительной скоростью наблюдателей и никакой анализ их измерений не может сказать нам (или им), кто из них «действительно» движется.

Добавка v0t только сдвигает график зависимости s от t, но не влияет на ускорение и силы. Следовательно, на вопрос: «С какой скоростью движемся мы в пространстве?», простая механика отвечает: «Никакие эксперименты с весами, пружинами и силами… не могут выявить нашей скорости. Ускорение дает о себе знать, но постоянную скорость мы не чувствуем». Мы можем измерять только относительную скорость, т. е. скорость по отношению к другим телам и системам отсчета.

Тем не менее мы все же рассуждаем так, как будто бы существует абсолютное движение, как будто бы мимо нас проносятся «верстовые столбы» пространства, но как их заметить? Однако прежде чем перейти к этому вопросу, где нас ждет большее разочарование, мы запишем правила относительного движения в простой алгебраической форме.

Фиг. 133. Обнаружение одинаковых механических законов.

Галилеево преобразование координат

Сравнение результатов двух наблюдателей можно провести просто и в общем виде. Допустим, наблюдатель в описывает события в своей лаборатории. Другой наблюдатель ε', пролетающий мимо лаборатории с постоянной скоростью v, описывает те же события так, как видит их он. Оба наблюдателя ε и ε' приготовили для измерения одинаковые часы и метры и с каждым из них связаны оси X, Y и Z. Для удобства наблюдатели запускают свои часы (t = 0, t' = 0) в тот момент, когда находятся рядом. В тот же момент совпадают начала их систем и оси координат. Допустим, что, по мнению ε, событие произошло в момент t в точке (х, у, z) по отношению к своим осям. Наблюдатель ε' регистрирует то же событие с помощью своих приборов: оно происходит в момент t и в точке (х', у', z') по отношению к движущимся вместе с ним осям координат. Как сравнить эти два результата? Здравый смысл говорит нам, что время для обоих наблюдателей будет одним и тем же, так что t = t'. Пусть относительная скорость наблюдателей равна v = м/сек и направлена вдоль оси Х. Тогда координаты у и z для них будут также одинаковы: у' = у, a z' = z. Но поскольку наблюдатель ε' вместе со своей системой координат переместился за время t от наблюдателя в на vt метров, его координаты х' будут на vt метров меньше, так что каждое х' должно быть равно х — vt. Итак,

х' = х — vt, y' = y, z' = z, t' = t.

Эти соотношения, связывающие результаты наблюдений ε и ε', называются преобразованиями Галилея.

Обратные преобразования, связывающие наблюдения ε и ε', имеют вид

х = х' + vt, y = y', z = z', t = t'.

Оба типа преобразований равноправны для обоих наблюдателей и указывают просто на наличие относительной скорости наблюдателей +v в случае ε' —> ε и — v в случае ε —> ε'. Эта алгебраическая запись отражает наш обыденный взгляд на пространство и время.

Фиг. 134.

Скорость движущегося тела

Если наблюдатель ε видит движущееся вдоль оси X тело и измеряет его скорость и отношением Δх/Δt, то, по мнению ε', то же тело движется со скоростью u', равной Δх'/Δt'. Использование алгебры и преобразований Галилея показывает, что u' = u — v. (Чтобы получить это соотношение в случае постоянных скоростей, надо просто разделить х' = х — vt на t.)

Предположим, например, что наблюдатель ε стоит у железнодорожного полотна и видит движущийся со скоростью v = 100 км/час. Другой наблюдатель ε' едет на товарном поезде со скоростью 40 км/час в том же направлении (фиг. 138).

Тогда экспресс с точки зрения ε' будет двигаться со скоростью

u' = u — v = 100 — 40 = 60 км/час.

Если наблюдатель ε' движется в противоположную сторону, как при лобовом соударении, то v = —40 км/час, и ε' видит экспресс приближающимся со скоростью

u' = 100 — (—40) = 140 км/час.

Это обычный способ сложения и вычитания скоростей. Он кажется о точки зрения «здравого смысла» единственно правильным, и в первых главах (т. 1) мы принимали его как нечто непреложное. Тем не менее окажется, что при очень больших скоростях его необходимо модифицировать.

Абсолютное движение?

Если мы обнаружим, что лаборатория находится в движущемся поезде, то сможем учесть скорость движения поезда и отнести результаты всех наших опытов к Земле. Обнаружив движение Земли, мы можем поместить систему координат на Солнце, затем на звезды, затем в центр тяжести всех звезд. Но если эти перемены не влияют на наше понимание механики, имеют ли они смысл? Разумно ли так беспокоиться об абсолютной неподвижной системе?

Ответить заставляет любопытство. «Да. Если мы движемся в космическом пространстве, то было бы интересно знать, с какой скоростью». Если этого не могут сказать механические опыты, то, может быть, могут прояснить опыты с электричеством? Для неподвижного наблюдателя электромагнитные явления целиком содержатся в уравнениях Максвелла. Посмотрим, что обнаружит движущийся наблюдатель при переходе от х к х' в соответствии с преобразованиями Галилея. Уравнения Максвелла тогда принимают более сложную форму. Доверяющий этим преобразованиям: экспериментатор сможет определить, что на самом деле движется — он или его приборы. Абсолютное движение проявилось бы в изменении формы законов теории электричества. Простейший способ найти эти изменения — воспользоваться распространением световых волн — электромагнитных полей, предсказанных уравнениями Максвелла.

Нашу скорость в пространстве можно найти, измеряя скорость распространения вспышек света. Подобные эксперименты пытались проделать еще семьдесят пять лет назад. Получился неожиданный результат. Оказалось, что не удается наблюдать никаких эффектов движения. Затем появилось множество попыток объяснить этот результат. Фитцджеральд в Англии предположил, что где бы в пространстве ни двигался предмет, он должен сокращаться в направлении движения, причем во сколько раз он сокращается — зависит только от скорости движения. При определенных условиях сокращение размеров приборов, регистрирующих световые сигналы, не позволило бы обнаружить движение в пространстве. Это странное сокращение, заставляющее сжиматься даже измерительные линейки, как и все находящееся в движении, казалось слишком невероятным и поэтому было встречено неодобрительно. К тому же не было дано механизма сокращения. Впоследствии голландский физик Лоренц (и Лармор в Англии) разработал последовательное «объяснение» механизма сокращения.

Преобразования Лоренца

Лоренц создал электронную теорию вещества, согласно которой атомы содержат электрические заряды, которые, двигаясь, излучают световые волны.

Происшедшее вскоре после этого открытие электронов подкрепило его соображения, и было естественно, что Лоренц попытался объяснить неожиданный результат с точки зрения своей теории. Он обнаружил, что если потребовать неизменности уравнений Максвелла при движении электронов и атомов прибора, то длины в направлении движения при переходе от х к х' должны сокращаться в

раз.

Лоренц показал, что это сокращение (такое же, как у Фитцджеральда) приборов в точности «компенсирует» любой эффект движения в пространстве и таким образом объясняет экспериментальные результаты. Но, кроме того, он указал и причину сокращения. Он показал, как сокращение связано с электрическими силами в новой полученной им форме уравнений Максвелла. Очень странно думать, что тела при движении незаметно сокращаются — незаметно, ибо мы сами сокращаемся. Однако это ничуть не хуже прежней ситуации, связанной с существованием необъяснимых эффектов, которые получались при галилеевых преобразованиях уравнений Максвелла. Наряду с х' преобразуется и t'; кроме того, к t' пришлось добавить странное слагаемое. При применении таких преобразований уравнения Максвелла сохраняют простую форму для любого наблюдателя, движущегося с постоянной скоростью. Дальше вы увидите, как эти «преобразования Лоренца» были использованы в теории относительности, но сначала познакомьтесь со знаменитыми экспериментами с распространением световых сигналов.

Измерение скорости движения в пространстве

Уже сто лет назад было ясно, что свет представляет собой волны, которые с очень большой скоростью распространяются в стекле, воде, воздухе и даже в «пустом пространстве» от звезд до нас. Считалось что это пространство заполнено «эфиром», который переносит световые волны так же, как воздух — звук. Сейчас мы знаем, что свет (и другие радиоволны) представляет распространяющиеся электрические и магнитные поля и нет необходимости ни в каком «эфире», но прежде чем подойти к этой простой точке зрения, ученые столкнулись с вопиющим противоречием.

Эксперименты, призванные выяснить то, как быстро мы движемся через «эфир», дали удивительный результат: «никак!». Это нацело противоречило опытам с распространением звуковых волн в воздухе.

Звуки в воздухе распространяются в виде волн. Звук трубы, например, передается молекулами воздуха с определенной скоростью относительно самого воздуха, которая всегда одинакова независимо от того, движется труба или нет. Но движущийся наблюдатель обнаруживает, что его скорость складывается со скоростью движения звуковых волн. Когда он бежит по направлению к трубе, звук проходит мимо него быстрее (фиг. 139). Он может определить свою скорость движения относительно воздуха, измеряя частоту проходящих мимо него звуковых сигналов.

Наблюдатель заметит и другой эффект, если он движется стороной, приложив к уху звукоулавливатель (фиг. 140). Направление звука будет постоянно изменяться. Если известна скорость звука, то наблюдатель может определить и свою скорость. В любом случае измерения позволяют наблюдателю определить скорость относительно воздуха. Тот же эффект создает и ветер, избавляя нашего наблюдателя от беготни.

Подобные опыты со световыми волнами должны были выяснить нашу скорость относительно «эфира» — того, что было единственным символом абсолютного пространства. Опыты были проделаны, и результаты их оказались весьма многозначительными.

Аберрация звездного света

Вскоре после смерти Ньютона астроном Бредли обнаружил небольшое годовое колебание положения всех звезд, обусловленное движением Земли по орбите. Представьте себе, что свет от звезды над головой — это хлынувший (с большой скоростью) ливень. Если на таком отвесном дожде вы держите зонтик прямо, капли будут падать на него под прямым углом, а капля, проникшая через дырочку посредине, упадет прямо вам на голову (фиг. 141, а).

А теперь припуститесь изо всех сил бегом. Дождь будет казаться вам косым (фиг. 141, б).

Чтоб защититься от него, придется наклонить зонтик под углом, полученным с помощью сложения векторов (фиг. 141, в).

Капли, пролетевшие через щель, будут по-прежнему падать вам на голову. Если вы бегаете по круговой орбите или взад-вперед по прямой линии, то должны наклонять зонтик так, чтобы он соответствовал направлению движения (фиг. 141, г).

Фиг. 141. «Аберрация» дождя.

Фив. 142. «Аберрация» дождя при сильном ветре.

Как раз это и обнаружил Бредли, когда пристально изучал в телескоп звезды. Кажется, что звезды вблизи плоскости эклиптики отклоняются то туда, то сюда на небольшой угол, а звезды вблизи полюса описывают в течение года небольшие окружности. Следящий за звездами телескоп напоминает наклоненный зонтик. За шесть месяцев скорость Земли относительно Солнца меняет свое направление на противоположное, так что наклон телескопа за это время тоже должен соответственно измениться. Из этого небольшого изменения Бредли определил скорость света. Она согласовалась с единственной в то время оценкой, полученной по наблюдениям за спутниками Юпитера в различных точках земной орбиты.

Фиг. 143. Аберрация света звезд.

Чтобы капли падали на зонтик отвесно, вы должны наклонять его при беге или при ветре, если только ветер не несет воздух, а с ним и капли вслед за вами. (Если вы стоите под душем внутри мчащегося поезда, вам не придется наклонять зонтика.) Поэтому проведенные Бредли измерения аберрации говорили, что при движении Земли по орбите она перемещается в эфире в различных направлениях в пространстве со скоростью 30 км/сек.

Общее движение Солнечной системы в направлении каких-либо звезд остается незамеченным, ибо это дает постоянное отклонение направления на звезды, а Бредли измерял сезонное изменение наклона.

Опыт Майкельсона-Морли

Семьдесят пять лет назад были задуманы новые эксперименты для обнаружения абсолютного движения. Одним из наиболее известных и решающих был эксперимент, выполненный Майкельсоном и Морли в Кливленде. Он явился одним из первых великих научных достижений Нового Света. В своем эксперименте Майкельсон и Морли заставили два луча света, идущие в разных направлениях, «шагать в ногу». Здесь не было движущегося наблюдателя и фиксированного источника, как в случае Бредли и звезд. Как источник, так и наблюдатель перемещались в пространстве вместе с лабораторией, и экспериментаторы пытались обнаружить движение эфира, переносящего световые волны. Полупрозрачное зеркало расщепляло свет на два пучка, один из которых шел вертикально, а другой — горизонтально (фиг. 144).

Фиг. 144. Схематическое представление опыта Майкельсона-Морли.

Зеркала поворачивали пучки назад, и они, вновь соединяясь, давали интерференционную картину. Малейшее изменение времени пролета одного луча по сравнению с другим смещало бы эту картину. Предположим теперь, что в какое-то время вся аппаратура движется вверх. Внешний наблюдатель увидел бы, что луч света отклоняется «эфирным» ветром вверх или вниз, причем наклон для каждого из путей будет один и тот же. В другое же время года Земля как целое движется горизонтально, поэтому горизонтальному лучу понадобится больше времени, чтобы пройти путь в оба конца, чем вертикальному.

В обычных курсах вы найдете описание этого эксперимента. С помощью алгебры показывается, что если вся лаборатория движется сквозь «эфир», то свету понадобится больше времени на то, чтобы пройти вдоль потока и вернуться назад, нежели пройти поперек потока. Вы можете убедиться в этом на следующем примере. Пусть вместо света взад и вперед в клетке летает птица, а клетка движется относительно воздуха (фиг. 145 и 146).

Можно либо равномерно тащить клетку в стоячем воздухе, либо оставить, клетку в покое и создать эквивалентный поток воздуха в противоположном направлении (фиг. 147).

Остановимся на последнем варианте, но эту историю с тем же результатом можно пересказать и для движущейся клетки. Предположим, что скорость птицы относительно воздуха составляет 5 м/сек, клетка представляет собой квадрат 40 м х 40 м, а ветер дует со скоростью 3 м/сек. Чтобы пролететь от одного конца до другого и вернуться назад, птице требуется 10 сек + 10 сек, т. е. всего 20 сек. Но чтобы пролететь от одного конца до другого и вернуться назад, требуется

[40 м /(5–3) м/сек] + [40 м/(5 + 3) м/сек]

или 20 сек + 5 сек, т. е. большее время. Посадите птицу в клетку наподобие только что описанной; время пролета птицы поперек и вдоль клетки скажет вам, насколько быстро относительно воздуха движется клетка. Конечно, можно воспользоваться двумя птицами. Поверните клетку в другом направлении, и время пролета птиц скажет вам, в каком направлении движется клетка и с какой скоростью. Подобный же эксперимент со звуковыми волнами в лаборатории, движущейся относительно воздуха, дал бы вам скорость лаборатории. Пусть в одном углу комнаты стоит горнист и подает сигнал, тогда время возвращения эха от противоположных стен выявит общее движение лаборатории или наличие ветра. (Разумеется, если эта движущаяся лаборатория закрыта со всех сторон и увлекает находящийся в ней воздух с собой, эхо не обнаружит никакого движения.)

Соответствующие опыты со световыми сигналами трудны, но интерференционная картина крайне чувствительна ко времени прохождения. Когда Майкельсон и Морли поставили такой опыт, а Миллер повторил его, ответ получился удивительным: никакого движения «эфира» нет. Опыты повторялись при разных ориентациях и в разные времена года всегда с одним и тем же ответом «движения нет». Будь вы опытным ученым, вы бы сразу спросили: «А какова точность? Каковы ошибки?»

Ответ: «Они таковы, что позволили бы надежно определить скорость, равную 1/4 скорости движения Земли вокруг Солнца, а в последних опытах — 1/10 скорости Земли».

Фиг. 148. Геометрия полета.

Аберрация тем не менее указывала на движение «эфира», равное 10/10 этой скорости. Добавились данные других опытов, оптических, электрических. Вновь и вновь получался все тот же «нулевой результат». Налицо было явное противоречие.

АБЕРРАЦИЯ ЗВЕЗДНОГО СВЕТА. Попадающий в телескоп свет звезд через 6 месяцев меняет свой наклон

-> Земля движется по орбите вокруг Солнца сквозь «эфир»

ОПЫТЫ МАЙКЕЛЬСОНА, МОРЛИ, МИЛЛЕРА . Сравнение времени прохождения в оба конца световых сигналов в двух перпендикулярных направлениях; дифракционная картина не меняется при повороте прибора или смене времени года

-> Земля не движется сквозь «эфир» или полностью увлекает его

-

ПРОТИВОРЕЧИЕ

К этому добавляла свои неприятности и развивающаяся теория электричества, ибо уравнения Максвелла, по-видимому, написаны для токов и полей в абсолютном пространстве («эфире»). В отличие от законов Ньютона они изменяются преобразованиями Галилея, приобретая в движущейся лаборатории иной вид. Впрочем, придуманные Лоренцем преобразования сохраняют форму уравнений Максвелла и в случае движущегося наблюдателя. Они, по-видимому, согласуются с фактами; эффекты не зависят от того, что движется — магнит или катушка. При преобразованиях Лоренца опыты по электричеству дают сведения лишь об относительной скорости (что они и делают), но ничего не говорят об абсолютном движении. Однако от преобразований Лоренца страдает механика. Они превращают F = m∙a и s = v0 + 1/2 at2 в столь необычную форму, что начинают противоречить наглядной относительности Галилея и простым законам Ньютона.

Для «объяснения» некоторых модификаций опыта Майкельсона-Морли было достаточно фитцджеральдова сокращения. Кеннеди и Торндайк, например, повторили его на приборе с неравными длинами плеч. Нулевой результат требовал лоренцева изменения масштаба времени и сокращения длин.

Введем теперь эту информацию в хорошую логическую машину. Она вынесет ясный и строгий приговор: «Информация противоречива». Сигнал очень тревожный. Но прежде чем переходить к решению проблемы, найденному Эйнштейном, прочтите описание поучительного фокуса.

ФОКУС

Этот неправдоподобный трюк познакомит вас с трудностью в признании теории относительности. Счет предметов — вещь абсолютная, не зависящая от точки зрения, так что этот фокус может ее понравиться физику с математическим складом ума, хорошо чувствующему природу. Пусть он отнесется к нему со снисхождением. Однако то, что невозможно при сложении шаров, действительно проявилось в сложении скоростей.

Я хочу показать вам фокус.

Беру черный мешочек и демонстрирую, что он пуст. Кладу туда 2 белых шарика. Считайте, один, два…, затем еще два: три, четыре. А теперь смотрите: я вынимаю 5 белых шариков, и мешочек снова пуст. Вложите эти данные в логическую машину и она вам скажет: «Противоречие». Что вы ответите на это? Обман зрения?

Нет. Можете проделать это сами. (Миллер повторил опыт Майкельсона-Морли с большой точностью.)

Хотите проверить, нет ли в мешочке потайных карманов? Пожалуйста. Их нет. Вернемся к записи. Мешочек без секретов, шарики круглые и крепкие, подсчитано все правильно: положили 2 + 2 и вынули 5. Что вы на это скажете? Если нельзя опровергнуть перепроверенные и несомненные наблюдения, то вы должны либо отречься от науки и потерять рассудок, либо перекромсать правила логики, включая и основные правила арифметики. Вы вынуждены будете признать: « В некоторых случаях 2 + 2 не дает 4 ». Но прежде чем искать спасения в коварной фразе «2 + 2 дает нечто», вы можете взяться за перечисление событий, где 2 + 2 дает 4, например сложение горошин на столе или денег в кошельке, и за перечень событий, где 2 + 2 дает нечто другое [254] .

Для этого фокуса вы имеете три объяснения.

а) «Это — колдовство» — заключение безусловно ложное.

б) «Работает особый механизм» — заключение едва ли лучше первого, оно отдает науку во власть нечистой силы.

в) «Нужно изменить правила арифметики».

Как это ни неприятно, вернее всего остановиться на нем. Это уже крайние меры. Подумайте внимательно, что бы вы предприняли в таком бедственном положении?

В обычной жизни мы не сталкиваемся с арифметическими парадоксами, однако вернемся к движению. Исключив ошибку эксперимента, мы останемся с теми же возможностями: колдовство, особый механизм, изменение физических законов движения.

Сначала ученые изобретали различные механизмы наподобие сплющивания электронов в эллипсоид при движении, но это привело к еще большим трудностям. Пуанкаре и другие готовы были изменить определение времени и пространства. Затем последовали два блестящих предложения Эйнштейна: откровенная точка зрения и единственная гипотеза — его принцип относительности.

Точка зрения теории относительности состоит в следующем — наука должна строиться на понятиях, которые можно наблюдать экспериментально; нельзя считать реальными ненаблюдаемые детали, вопросы о таких деталях не только не имеют ответа, но даже непристойны и ненаучны. С этой точки зрения абсолютное пространство (и, как полагали, заполняющий его «эфир») нужно выбросить из наших рассуждений, коль скоро мы убедились, что все попытки зарегистрировать его, обнаружить движение в нем обречены на провал. Такая точка зрения просто говорит: «Давайте будем реалистами; ни капли жалости».

Все попытки наподобие эксперимента Майкельсона-Морли-Миллера не указывают на наличие изменений скорости света. Опыты же с аберрацией вовсе не говорит, что свет движется с новой скоростью. Они просто дают новое направление его кажущейся скорости. Итак, гипотеза теории относительности состоит в следующем: Измеряемая скорость света (скорость распространения электромагнитных волн) одна и та же независимо от движения наблюдателя или источника. Это в корне противоречит здравому смыслу. Мы ожидали, что свет будет двигаться быстрее или медленнее в зависимости от того, бежим мы навстречу ему или от него. Тем не менее это просто реалистический итог всех опытов, в которых не удалось обнаружить движение наблюдателя или наличие «эфирного ветра». Вложим эти гипотезы в логическую машину, которая сначала ответила нам «Противоречие», но теперь удалим из нее «геометрические правила» для пространства-времени и движения, а также преобразования Галилея. Вместо этого попросим ее дать новые (простейшие) правила, которые делали бы всю схему внутренне непротиворечивой. Поскольку механика Ньютона выдержала проверку временем (движение кораблей, поездов, Солнечной системы и т. д.), новые правила должны сводиться при малых скоростях к преобразованиям Галилея. Логическая машина ответила бы. «Есть только одна разумная схема — преобразования, предложенные Лоренцем и принятые Эйнштейном».

Вместо преобразований Галилея

x' = x — vt,

y' = y,

z' = z,

t' = t

должны быть справедливы преобразования Лоренца-Эйнштейна

x' = (x — vt)/√(1 — (v2/c2)),

y' = y,

z' = z,

t' = (t — (xv/c2))/√(1 — (v2/c2))

которые при замене v на —v переходят в преобразования

x = (x' + vt')/√(1 — (v2/c2)),

y' = y,

z' = z,

t = (t' + (x'v/c2))/√(1 — (v2/c2))

где с — скорость света в пустоте. Эта скорость существенно входит в новые правила измерения, ибо новые преобразования так и выбраны, чтобы все попытки измерить эту скорость давали один и тот же ответ. Симметричная форма преобразований показывает, что эксперимент никогда не выяснит абсолютного движения. Мы можем обнаружить движение одного экспериментатора относительно другого, но никогда не сможем сказать, кто из них движется на самом деле.

Новые преобразования, конечно, объясняют и нулевой результат опыта Майкельсона-Морли-Миллера, ибо они специально для этого предназначены. Они объясняют и аберрацию, предсказывая одну и ту же аберрацию независимо от того, что движется — звезды или мы. Но они ведут к видоизменению механики Ньютона. Другими словами, из двух бед нам предстоит выбрать наименьшую: старые преобразования нарушают вид законов электромагнетизма, а новые — законов механики. Но старые законы электромагнетизма дают хорошее и простое описание природы в любых экспериментах как при высоких, так и при низких скоростях, а законы механики в своей классической форме все же нарушаются при высоких скоростях. Поэтому мы выбираем новые преобразования, модифицируем с их помощью законы механики и очень довольны, обнаружив, что модифицированные законы прекрасно описывают более точные эксперименты.

Новые преобразования выглядят не очень привлекательно, ибо они сложней и работать с ними менее приятно. Для сохранения галилеевой относительности Ньютон считал, что длины, массы и время не зависят от наблюдателя и друг от друга. Он мог утверждать, что с помощью механических экспериментов нельзя обнаружить равномерное движение в «пространстве». Когда же Эйнштейн распространил это утверждение на «неудачные» эксперименты со светом, он обнаружил, что результаты измерений длины, времени, а следовательно, и массы у наблюдателей с различными скоростями будут разными. Мы не рассказываем, как работает логическая машина, но на нее можно вполне положиться, как и на обычную алгебру.

Мы будем называть их, как принято, преобразованиями Лоренца.

Применение преобразований Лоренца

Итак, примем новые усовершенствованные представления и посмотрим, как можно сравнить результаты измерений различных наблюдателей. Вернемся к наблюдателям ε и ε', которые снабжены совершенно одинаковыми метрами, часами и стандартными килограммовыми гирями. Наблюдатель ε' движется вместе со своей системой координат относительно наблюдателя ε со скоростью v, а ε движется относительно ε' назад, со скоростью —v.

Преобразования ε —> ε' и ε' —> ε полностью симметричный говорят только об одной и той же в обоих случаях относительной скорости v без каких-либо указаний на абсолютное движение и намека на то, кто из них «движется на самом деле».

Из этих преобразований вытекают результаты, которые необычны с точки зрения здравого смысла, но проявляются только при чрезвычайно больших скоростях. Наблюдатель, пролетающий мимо лаборатории на самолете или ракете, вполне может пользоваться преобразованиями Галилея. Он не обнаружил бы отклонений от правил сложения векторов и обычных законов движения механики Ньютона.

Скорость света с огромна:

с = 300000000 м/сек = 300 000 км/сек ~= 1 миллиард км/час.

В случае движения с обычными скоростями множитель v/c очень мал, а v2/c2 еще меньше. Множитель √(1 — (v2/c2)) для любых практических целей можно считать единицей, а запаздывание времени xv/c2 настолько незначительно, что практически мы имеем дело с преобразованиями Галилея.

Пусть теперь наблюдатель ε' движется относительно ε с колоссальной скоростью. В своей лаборатории каждый наблюдатель обнаружит одни и те же законы механики, а луч света будет распространяться с одной и той же скоростью в обеих лабораториях. Однако при скоростях 30 000, 60 000, 90 000 км/сек и еще больше наблюдатель ε увидел бы, что у проносящегося мимо него наблюдателя ε' творятся удивительные вещи. Наблюдатель ε воскликнул бы: «Вот чудак, у тебя же все приборы неправильные! Метр — короче моего, правильного, а часы отстают и за каждую секунду по моим точным часам они отсчитывают долю секунды». Между тем наблюдатель ε' не обнаружил бы в своей лаборатории никакого беспорядка и, взглянув на уносящегося ε и его лабораторию, закричал бы: «Сам чудак! У меня-то все в порядке, а посмотри, что творится у тебя! Метр короче… часы запаздывают…»

Допустим, наблюдатель ε измеряет и проверяет приборы ε' в тот момент, когда тот пролетает мимо. Оказывается, что метр, который ε считает стандартом, сократился до √(1 — (v2/c2)) м. Стандартные часы тикают медленнее, вместо секунды через каждые 1/√(1 — (v2/c2)) сек. А стандартная килограммовая гиря оказывается тяжелее: 1/√(1 — (v2/c2)) кг. Вот какие изменения увидит покоящийся наблюдатель в движущейся лаборатории. Однако движущийся наблюдатель, глядя на покоящуюся лабораторию, увидит те же самые особенности: метры там короче, часы идут медленнее, а массы увеличиваются. Преобразования Лоренца от ε' к ε и от ε к ε' совершенно симметричны. Если бы ε и ε' сравнили свои записи, они бы безнадежно переругались, ибо каждый из них обвинял бы другого в одних и тех же ошибках. Каждый из них видел бы, что все приборы другого, даже электроны, сжались в направлении движения. Каждый из них видел бы, что часы другого (даже колеблющиеся атомы) идут медленнее. (В направлениях X и Y, перпендикулярных движению, записи ε и ε' сошлись бы.) В том-то и состоит симметрия «относительности», что каждый из наблюдателей видит одни и те же дефекты в лаборатории коллеги независимо от того, кто из них движется. Важно только относительное движение между нами и приборами, так что не существует ни малейшей надежды выявить абсолютное движение.

Сокращение размеров и замедление хода часов определяются одним и тем же множителем 1/√(1 — (v2/c2)). При обычных относительных скоростях v двух наблюдателей этот множитель практически равен единице. Преобразования при этом превращаются в преобразования Галилея, характер которых согласуется с нашим «здравым смыслом». Возьмите сверхзвуковой самолет летящий со скоростью 3200 км/час (~ 900 м/сек). Для такой скорости множитель равен

1/√(1 — (0,9 км/сек / 300 000 км сек)2), или 1,000 000 000 004

Длина самолета сократится, а часы будут идти медленнее, менее чем на половину триллиардной доли процента. При скорости 10 000 000 км/час (около 1/100 с) множитель вырастает до 1,00005, а при скорости 100 000 000 км/час он превращается в 1,005 и приводит к изменению длины на 1/2%.

Вплоть до нашего столетия ученым не приходилось иметь дело со скоростями, близкими к скорости света, за исключением, конечно, самого света, где она сталкивались со сплошными трудностями. Сейчас даже из маленьких циклотронов вырываются протоны со скоростью 2/10 с, что дает множитель 1,02, электроны, порождающие рентгеновские лучи, ударяются о мишень со скоростью 6/10 с, что дает множитель 1,2; β-лучи вылетают из радиоактивных атомов со скоростью 98/100 с, что дает множитель 5, а электроны с энергией в миллиарды электрон-вольт из гигантских ускорителей — со скоростью 0,99999988 с и характеризуются множителем 2000.

В составе космических лучей имеются очень быстрые частицы — μ-мезоны. Энергия некоторых из них составляет около 1000 миллионов электрон-вольт, а скорость — 199/200 скорости света. Для них

1/√(1 — (v2/c2)) = 1/√(1 — (1992/2002)) = 1/√(1/100) = 10

Эти мезоны представляют собой нестабильные частицы со временем жизни около 2∙10-6 сек (2 мксек). Они возникают при соударениях в верхних слоях атмосферы, и чтобы дойти до нас, им требуется около 20∙10-6 сек. Кажется загадочным, как могут они прожить столь долго. Теория относительности дает ответ на эту загадку мы наблюдаем за внутренними часами летящих мезонов. А по нашим часам они идут медленнее в 10 раз. Так что время жизни летящего мезона должно казаться нам равным 20∙10-6 в сек. С точки зрения μ-мезона его время жизни нормальное, 2 мксек, но толщина проносящейся мимо него атмосферы сокращается в 10 раз по сравнению с нашими представлениями. Так что за свою короткую жизнь он успевает пройти этот путь.

Фиг. 155. Изменения, предсказываемые теорией относительности.

а — длина движущегося метра по измерениям неподвижного наблюдателя; б — длина неподвижного метра по измерениям движущегося наблюдателя; в — время между тиканием стандартных часов по оценке неподвижного наблюдателя; г — масса стандартного килограмма по оценке неподвижного наблюдателя.

Измерительные линейки и часы

Измерительные линейки мы привыкли считать неизменными стандартами, прикладывая которые можно измерить длины или указать направления. Правда, это относится к идеализированному метру, который не коробится от сырости и не расширяется при изменениях температуры, но и эти слабости не могут поколебать доверия к его свойствам. Его длина была неизменной инвариантной. То же относится и к интервалу времени между «тиканием» хороших часов. (Если вы не доверяете маятниковым часам, возьмите настольные атомные часы.) Но теория относительности предупреждает, что измерительные линейки не обладают неизменной длиной. Вся идея твердого тела — безобидное и полезное представление физики XIX века — теперь только вводит в заблуждение. То же самое произошло и с идеей абсолютного времени, текущего независимо от пространства. Вместо этого оказалось, что движение влияет на наши измерения и только скорость свети неизменна. С более общей точки зрения скорость света с — масштабный фактор нашего выбора единиц в сложном пространстве-времени, которое для разных наблюдателей течет по-разному.

Изменение массы

Если длина и время изменяются, то должна изменяться также и масса. Мысленный эксперимент, предложенный Толменом, поможет нам выяснить, какой должна быть масса по измерению движущегося наблюдателя. Будем считать, что закон сохранения импульса справедлив в любой (инерциальной) системе — мы должны опереться на какие-то правила, иначе не миновать произвола.

Пусть снова наблюдатели ε и ε' движутся в своих лабораториях с относительной скоростью v в направлении оси X. Допустим, они сделали два платиновых кубика, каждый из которых равен стандартному килограмму и которые совершенно одинаковы. Они могут, если угодно, даже пересчитать там все атомы. Каждый из наблюдателей помещает этот кубик на идеально гладкий стол (фиг. 156).

Пролетая мимо друг друга, они прицепляют в этот момент к кубикам длинную легкую пружину, направленную вдоль оси Y. Пружина дергает эти кубики, затем ее удаляют, а кубики приобретают некоторый импульс в направлении оси Y. После этого каждый экспериментатор измеряет компоненту скорости своего кубика вдоль оси Y и вычисляет его импульс. Затем записи сравниваются: каждый записал для своего кубика скорость 3 м/сек. «Раз скорости равны и противоположны, — заключают они, — то должны быть равны и противоположны импульсы». Им нравится принимать в качестве рабочего правила третий закон Ньютона. Но когда ε наблюдал, как работает ε', он видел, что тот пользуется часами, которые идут медленнее (хотя он согласен с метром, которым пользуется ε' для измерений вдоль оси Y). Поэтому ε видел, что, когда ε' измерил за 1 сек 3 м, на самом деле по часам ε требовалось более 1 сек. Следовательно, будь у него верные часы, ε' намерил бы скорость меньше 3 м/сек в 1/√(1 — (v2/c2)) раз. Доверяя третьему закону Ньютона и закону сохранения импульса, ε пришел бы к выводу, что раз его кубик приобрел импульс 1 кг∙3 м/сек, то масса другого кубика, двигавшегося по его расчету медленнее, должна быть больше в 1/√(1 — (v2/c2)) раз. Но в то время как кубик после рывка пружины движется поперек стола, ε видит, что и кубик, и стол, и все остальное несется в направлении оси X с громадной скоростью v. Обладатель кубика ε', который покоится относительно стола, говорит, что масса его кубика 1 кг. Но наблюдателю ε', проносящемуся мимо ε', кажется, что масса этого кубика больше в 1/√(1 — (v2/c2)) раз.

Этот результат применим к любым движущимся массам. Для разных наблюдателей масса имеет разное значение. Посадите наблюдателя на движущееся тело, и он измерит так называемую «массу покоя», которая одинакова у всех электронов, у всех протонов, у каждого литра воды и т. п. Но, пролетая мимо тела или видя, как тело проносится мимо него, наблюдатель обнаружит, что тело имеет большую массу: m = m0/√(1 — (v2/c2)). Для обычных скоростей множитель 1/√(1 — (v2/c2)) практически не дает никакого эффекта. Однако ионы, ускоряемые в циклотроне, значительно увеличивают свою массу. На свой возросший путь они тратят теперь слишком много времени, и если не принять особых мер, то они будут запаздывать все больше и больше! Электроны из ускорителей на миллиарды электрон-вольт настолько массивны, что вполне могут сойти за протоны.

Фиг. 157. Упругое соударение релятивистских масс.

а — столкновение α -частицы о покоящимся атомом. Несмотря на высокую энергию, α -частица из радиоактивного атома обладает скоростью 0,1 с, так что ее масса увеличивается незначительно. При столкновении с неподвижной частицей (ядро Не) той же массы она дает вилку с углом 90°, при столкновении с атомом водорода выявляется бóльшая масса α -частицы; б — столкновение медленного электрона с неподвижным. Получается вилка с углом 90°. При столкновении быстрого электрона с неподвижным угол указывает на гораздо большую массу быстрого электрона

Возьмем, к примеру, электрон из ускорителя на энергию два миллиона электрон-вольт, который вылетает со скоростью около 294 000 000 м/сек, или 0,98 с. Для него 1/√(1 — (98/100)2) ~= 1/√(4/100) = 5. Таким образом, для покоящегося наблюдателя масса электрона в 5 раз больше массы покоя. (А вот другой способ получить этот результат. Кинетическая энергия электрона равна 2 млн. эв, а энергия, связанная с массой покоя, 0,5 млн. эв. Следовательно, этот электрон имеет кинетическую энергию, соответствующую 4 массам покоя, что вместе с первоначальной массой дает 5 масс покоя).

Фиг. 158. Фотография соударения очень быстрого электрона с неподвижным в камере Вильсона.

Эта зависимость от скорости проверялась отклонением очень быстрых электронов (β-лучей) электрическими и магнитными полями; результат превосходно совпал с предсказаниями. Другая проверка: соударение очень быстрых электронов с покоящимися электронами в камере Вильсона, которые не дают ожидаемой прямоугольной вилки. Зато измерение углов на фотографии фиг. 158 согласуется с предсказанием теории относительности для упругого столкновения массы 12,7 m и покоящейся массы m. Следы частиц искривлены, ибо все это происходило в сильном магнитном поле, перпендикулярном плоскости картинки (фиг. 159).

Фиг. 159. Измерения представленной на фиг. 158 фотографии.

Измерение кривизны дает импульс каждого из электронов после соударения и импульс налетающего электрона до соударения. Измерение углов подтверждает пропорцию этих импульсов. Если для вычисления масс воспользоваться формулой нерелятивистской механики (Eкин = 1/2 mv2 и т. д.), предполагая упругое соударение, то масса налетающей частицы должна быть примерно в 4 раза больше массы частицы-мишени. Тем не менее следы выглядят как электронное соударение и мы не можем приписать двум электронам классические массы m и 4m. Поэтому попытаемся проверить релятивистскую механику с Eкин = (m — m0)∙с2.

ИМПУЛЬС = mv и m = m0/√(1 — (v2/c2))

Тогда все оказывается согласованным. Из величины магнитного поля и измерения кривизны находим:

ДО СОУДАРЕНИЯ

налетающий электрон имеет массу 12,7∙ m 0 и скорость 0,9969∙ с .

Поскольку следы коротки и слабо искривлены, радиус кривизны измерить очень точно не удается. Поэтому импульс налетающей частицы, а следовательно, ее масса определяются с точностью до 6 %. Другими словами, -

Macca = 12,7∙ m 0 ± 6 % = 12,7∙ m 0 ± 0,8∙m 0   .

ПОСЛЕ СОУДАРЕНИЯ

разлетающиеся частицы имеют массы 8,9∙ m 0 и 4,3∙ m 0 и скорости 0,9936∙ с и 0,9728∙ с ,

где m 0 — масса покоя электрона, а с — скорость света. До соударения полная масса была равна 13,7∙m0 (включая массу мишени), после соударения она стала 13,2∙m0. В этом соударении масса сохраняется в пределах точности 6 %, подобно энергии, измеряемой теперь величиной mс2.

Смысл изменения массы

Существует простая физическая интерпретация изменений массы: добавочная масса является массой, соответствующей кинетической энергии тела. Проверим это с помощью алгебры, воспользовавшись разложением радикала для достаточно малых скоростей в ряд:

= m0 + (1/2)∙m0∙(v2/c2) + Пренебрежимо малые величины при малых скоростях

= Масса покоя + Eкин/с2

=Масса покоя + Macca, соответствующая кинетической энергии.

Максимальная скорость с

По мере роста скорости тела и приближения ее к скорости света ускорять тело становится все труднее и труднее — масса его приближается к бесконечности. Экспериментаторы, работающие с линейными ускорителями (которые разгоняют электрон по прямой), обнаруживают, что при высоких энергиях их «подопечные» приближаются к скорости света, но никогда не превосходят ее. При каждом последующем толчке электрон приобретает большую энергию (и, следовательно, большую массу), но становится лишь чуть-чуть быстрее (поэтому ускоряющие промежутки можно равномерно располагать вдоль пучка, что будет неким упрощением конструкции).

Рост массы до бесконечности при приближении к скорости света означает бесконечное «затруднение ускоряться». Наши попытки заставить тело двигаться быстрее остаются тщетными до тех пор, пока тело не достигнет очень больших скоростей, где приходится «карабкаться» по все более и более крутому склону к отвесной стене, когда скорость подходит к скорости света. Поэтому не следует удивляться предсказанию теории относительности, что никакое тело не может двигаться быстрее скорости света, ибо при попытке ускорить его до этой скорости мы сталкиваемся со все большей и большей массой и, следовательно, получаем все меньший отклик на действие ускоряющей силы.

Релятивистское сложение скоростей

Двигаться быстрее света? Ну, конечно, это возможно: возьмите на ракету, летящую со скоростью 3/4 с, ружье и выстрелите вперед пулей, летящей со скоростью 1/2 с относительно ружья. Тогда скорость пули будет 1/2 с + 3/4 с = 11/4 с. Но ведь это галилеево сложение скоростей, а нам нужно найти релятивистское правило!

Фиг. 160. Измерение скорости.

Пусть наблюдатель ε в своей лаборатории видит тело, движущееся со скоростью u вдоль оси X. Какова скорость этого тела по мнению наблюдателя е'?

По измерениям ε' скорость u = Δx/Δt, а по измерениям ε' скорость u' = Δx'/Δt', и простая алгебра с использованием преобразований Лоренца дает

вместо галилеева u' = (u — v). Обратное преобразование дает

Для обычных скоростей скобка [] в знаменателе практически равна единице и формула сложения скоростей сводится к галилеевой. Проверьте это для пули, выпущенной из ружья в вагоне обычного экспресса. Едущий в вагоне наблюдатель ε' видит, что из ружья вылетает пуля со скоростью u', а наблюдатель ε, сидящий у полотна, видит, что пуля движется со скоростью u. Экспресс же, по его наблюдениям, проносится мимо со скоростью v. Тогда u = (u' + v)/[1]Некоторые комментарии в этой главе заимствованы из превосходной популярной книги о первобытном человеке: V. Gordon Child , Man Makes Himself, New York, 1951.
.

Формула Галилея дает:

СКОРОСТЬ ПУЛИ ОТНОСИТЕЛЬНО ЗЕМЛИ = СКОРОСТЬ ПУЛИ ОТНОСИТЕЛЬНО ПОЕЗДА + СКОРОСТЬ ПОЕЗДА ОТНОСИТЕЛЬНО ЗЕМЛИ.

Фиг. 161. Сложение обычных скоростей.

Обратимся снова к опыту с ружьем на ракете, летящей со скоростью 3/4 с, из которого со скоростью 1/2 с вперед вылетает пуля. Сидящий в ракете наблюдатель ε' видит, что пуля вылетает со скоростью u' = (1/2)∙с, а находящийся на земле наблюдатель ε видит, что ε' и ракета несутся со скоростью 3/4 с; от ε' он знает, с какой скоростью из ружья вылетает пуля. Воспользовавшись затем релятивистской формулой, ε предсказываем скорость пули:

т. е. немного меньше с.

Предпримем еще одну попытку превысить скорость света с. Запустим две ракеты навстречу друг другу со скоростями 3/4 с и 1/2 с. Стоящий на земле наблюдатель ε видит своего коллегу ε' на ракете, летящей со скоростью v = (3/4)∙с и другую ракету, летящую со скоростью u = —(1/2)∙с. Он думает, что ракеты должны сближаться с относительной скоростью 11/4 с. Однако сидящий на ракете наблюдатель ε' видит, что вторая ракета приближается к нему со скоростью

Их скорость сближения меньше с. Что бы мы ни делали, нельзя заставить материальное тело двигаться быстрее скорости света с точки зрения любого наблюдателя.

Фиг. 162. Сложение очень больших скоростей.

Фиг. 163. Две сближающиеся ракеты.

Скорость света

Для проверки нового правила сложения скоростей убедимся, что с точки зрения наблюдателей, движущихся с разными скоростями, оно дает одну и ту же скорость света. Возьмем световой сигнал, распространяющийся, согласно ε, со скоростью с. Наблюдатель ε', двигаясь со скоростью v относительно ε в том же направлении, видит, что световой сигнал распространяется со скоростью

Каждый наблюдатель получает одну и ту же скорость света с. (Удивляться здесь нечему, ибо преобразования Лоренца на это и рассчитаны.) Такой результат, несомненно, объясняет нулевой результат опыта Майкельсона-Морли-Миллера.

Энергия

Видоизменим теперь точку зрения Ньютона, чтобы привести ее в соответствие с теорией относительности. Определим импульс как mv, где m — масса движущегося тела: m = m0/√(1 — (v2/с2)). Определим силу F как Δ(mv)/Δt, а переход потенциальной энергии в кинетическую — как работу F∙Δs. Скомбинируем их и вычислим кинетическую энергию массы m, движущейся со скоростью v. Приведем только результат:

Мы приписываем телу постоянный запас «энергии покоя», m0c2, заключенный, по-видимому, в атомных силовых полях. Добавляем ее к Екин и получаем полную энергию тела Е, равную m0c2 +(mc2 — m0c2) = m0c2, т. е. Е = mc2.

Фиг. 164. Измерение скорости одного и того же луча света.

Это справедливо независимо от скорости, но следует помнить, что m изменяется со скоростью. При малых скоростях mc2 сводится к

(Энергия покоя m0c2) + (Екин = 1/2 mv2)

(См. выше рассуждения о разложении бинома).

Короткий и прямой вывод соотношения Е = mc2 дан ниже.

Вывод соотношения  Е = mc 2

Этот краткий вывод, данный Эйнштейном, основан на экспериментальном факте, который состоял в том, что при поглощении веществом излучения с энергией Е дж ему сообщается импульс Е / с кг∙м/сек. Опыты показывают, что давление излучения на поглощающую стенку равно количеству энергии в единице объема излучения. Допустим, что пучок площадью А падает по нормали на поглощающую поверхность. За время Δ t нa поглотитель падает пучок длины с ∙Δ t . Тогда импульс , сообщенный за время Δ t , равен

ИМПУЛЬС = СИЛА Δ t = = ДАВЛЕНИЕ ∙ ПЛОЩАДЬ ∙ Δ t = (ЭНЕРГИЯ/ОБЪЕМ)∙ПЛОЩАДЬ∙Δ t =

= (ЭНЕРГИЯ/ А ∙ с ∙Δ t )∙ A ∙Δ t = ЭНЕРГИЯ/ с

Это следует также из уравнений Максвелла.

Рассмотрим один и тот же мысленный эксперимент с двух точек зрения.

A . Поместим кубик вещества на идеально гладкий стол, снабдим его дополнительной энергией Е и направим на него порцию излучения с энергией  1 / 2 E справа и порцию с энергией  1 / 2 E слева. Кубик поглощает излучение и приобретает энергию Е , но полное приращение импульса равно нулю — он остается в покое.

B . Как протекает это событие с точки зрения движущегося наблюдателя?

Он движется со скоростью v к северу, но, согласно принципу относительности, можно считать, что он находится в покое, а стол и все прочее движется к югу со скоростью v . По его мнению, кубик движется к югу с импульсом Mv , а обе порции излучения налетают на кубик со скоростью с под углом, определяемым v / c .

(Это напоминает аберрацию света звезд .) Каждая порция, с его точки зрения, обладает импульсом ( 1 / 2 Е / с ) с составляющей в направлении на юг, равной ( 1 / 2 Е / с )∙( v / c ).

Считая себя покоящимся, наблюдатель видит, что полный импульс будет Mv + 2∙( 1 / 2 Е / с )∙( v / c ). После того как кубик поглотил излучение, наблюдателю по-прежнему кажется, что кубик движется на юг с той же скоростью v . Поэтому мы говорим, что в варианте А кубик не приобретает никакого импульса. Выясним, какова должна быть масса m , если мы верим в сохранение импульса:

Mv + 2∙( 1 / 2 Е / с )∙( v / c ) = ( M + m )∙ v

т. е. m = Е / с 2 или Е = mс 2 , где m — увеличение массы , соответствующее увеличению энергии на Е .

Представление о единстве энергии и массы в соответствии с формулой Е = mс2 выдержало множество успешных проверок в ядерной физике. Мы вновь вновь обнаруживаем, что часть массы элементарных частиц исчезает при ядерных расщеплениях, но при этом возникает избыток энергии — излучения в одних случаях и кинетической энергии разлетающихся осколков в других. Эта энергия уносила «недостающую» массу.

Выражение для массы m = m0/√(1 — (v2/c2)) следует из преобразований Лоренца и закона сохранения импульса. Таким образом, Е = mс2 следует из второго и третьего законов Ньютона в комбинации с преобразованиями Лоренца.

Если наблюдатель приписывает движущемуся телу массу m, импульс mv и полную энергию mс2, то он обнаружит, что в любой замкнутой системе сохраняются масса, импульс (как векторная сумма импульсов) и энергия. При этом для тела, движущегося с относительной скоростью v, он должен пользоваться наблюдаемой массой m = m0/√(1 — (v2/c2)). Однако ему приходится повторяться, ибо если сумма всех масс (m1 + m2 +…) постоянна, то полная энергия (m1c2 + m2c2 +…) также должна быть постоянной. Если энергия сохраняется, должна сохраняться и масса. Получив один закон, мы получим и второй. Вот почему некоторые ученые безответственно заявляют: масса и энергия — одно и то же, за исключением множителя с2». Поскольку с — универсальная постоянная, такое утверждение не приносит большого вреда, хотя обычно масса и энергия измеряются в разных единицах. Нет большого вреда и в том, что вы думаете о нем как о физической концепции. Однако остается очень важное различие между веществом и излучением (а также и другими формами энергии). Вещество состоит из частиц, полное число которых остается постоянным, при условии, что рождение и уничтожение пары [частица + античастица] не вносит никаких изменений. Излучение же состоит из фотонов, а их полное число изменяется при испускании и поглощении веществом.

Ковариантность

Далее, Эйнштейн рассматривал импульс как некий «сверхвектор» с тремя пространственными компонентами и полной энергией в качестве четвертой временной компоненты. Таким образом, законы сохранения массы, импульса и энергии в релятивистской механике можно связать воедино. Преобразования Лоренца сохраняют вид этой формулы для любых (равномерно движущихся) систем отсчета независимо от их скорости. Подобные формулы или соотношения мы называем «ковариантными». В ковариантность вкладывается большой смысл — ковариантные законы обладают наибольшей общностью из всех возможных, и мы чувствуем, что это наиболее совершенное математическое выражение законов природы. Как сказал Фредерик Кеффер: «Мы потеряли систему отсчета, но приобрели универсальную символическую форму».

«Незаконный вопрос»

Ковариантность законов механики и электромагнетизма не оставляет никакой надежды на возможность обнаружения абсолютного движения. Это вновь приводит нас к основному принципу Эйнштейна, согласно которому ответ «невозможно» означает просто, что вопрос не имел смысла. Считать, что существует абсолютное пространство, что мы и делаем, задавая вопрос: «С какой скоростью… в абсолютном пространстве?» — совершенно ненаучно. Упоминая пространство, мы тем самым задаем еще один вопрос. Это незаконный прием, как и вопрос юриста: «Отвечайте мне только «да» и «нет». Вы перестали бить свою жену?» Ответ на него может быть только таким: «Разумный человек не отвечает на бессмысленные вопросы». Эйнштейн же предполагал, что разумный ученый не будет задавать бессмысленных вопросов.

Одновременность

Наблюдатели ε и ε' не просто видят, что часы партнеров отстают. Дело обстоит куда хуже. Часы, расположенные на разных расстояниях, кажутся несинхронизованными. Допустим, каждый наблюдатель выстроил в своей лаборатории вдоль оси X целый ряд часов и все они показывают одно и то же время. Когда ε и м' проносятся друг мимо друга, то в начале координат они сверяют свои центральные часы. После этого каждый из них обвинял бы другого: «Его часы не были синхронизованы. Удаленные часы идут неверно даже по сравнению с его собственными центральными часами, и чем они дальше — тем больше ошибка. Чем дальше находятся часы в направлении движения в этом ряду, тем сильнее они отстают. Они показывали по сравнению с моим собственным временем более ранние часы. В направлении же, противоположном его движению, часы опережают мои все больше и показывают более поздний час по сравнению с моими правильными». (Это обвинение, предъявляемое Каждым из наблюдателей, не объясняется кажущимся запаздыванием времени по удаленным часам, обусловленным, конечно, скоростью распространения света. Каждый наблюдатель учитывает такое запаздывание или сравнивает свои часы, находящиеся в тот момент рядом с другими, и все же обнаруживает расхождение. Это отсутствие синхронизации удаленных часов связано с представлением каждого наблюдателя о скорости хода часов. Каждый заявляет, что часы партнера отстают. Каждый говорит: «Его центральные часы идут медленнее моих. Сейчас они сверены с моими, но некоторое время тому назад, когда они были вдали от меня, они должны были показывать более позднее время, чем мои. Вот почему сейчас показания наших часов совпадают. Позднее, когда они удалятся в другую сторону, они будут показывать более раннее время, нежели мои, так как эти часы идут слишком медленно».)

Согласно наблюдению ε, все его часы идут синхронно, в такт. Согласно ε', они тикают не синхронно. События, которые одновременна для ε , не одновременны для ε' . Это серьезнее изменение обычной точки зрения об универсальности времени, но оно является частью преобразований Лоренца. Вопрос об одновременности сыграл важную роль в процессе развития Пуанкаре и Эйнштейном принципа относительности. Обсуждая мысленные эксперименты, в которых скорость v постоянна, вы можете показать, что такое изменение необходимо.

Это иллюстрируется следующим примером.

Фиг. 166. Расстановка «синхронизованных» часов.

Пример

Наблюдатели  ε и ε ' расположили свои лаборатории в двух прозрачных железнодорожных вагонах на параллельных путях, причем один из них движется со скоростью v относительно другого. Как только вагоны проходят один мимо другого,  ε и ε ' высовываются в центральные окна и обмениваются рукопожатием. Но оказывается, что сами наблюдатели заряжены зарядами + и —, поэтому при соприкосновений между ними проскакивает искра. Рассмотрим теперь свет от этой искры. Из средней точки, где находились экспериментаторы, часть света проходит в вагоны. Наблюдатель  ε видит, что свет достигает передней и задней стен вагона одновременно (фиг. 167, а ). Наблюдатель ε ' также видит, что свет достигает стен его вагона одновременно (фиг. 167, б ). Каждый из них считает, что находится в неподвижном вагоне и свет, по его мнению, распространяется от центра с постоянной скоростью с . Но  ε может наблюдать и за распространением света в вагоне, где едет ε '. Он видит те же события, что и ε ', но, разумеется, не считает их одновременными, как об этом заявляет ε '. Пока свет успевает пройти полвагона, сам вагон продвигается вперед. Наблюдателю  ε кажется, что свету для достижения передней стены приходится идти дольше, а для достижения задней — меньше. Поэтому  ε видит, что свет раньте достигнет задней стены, тогда как ε ' заявляет, что свет попадает па обе стены одновременно [261] . (В свою очередь ε ' видит, что свет достигает концов вагона, в котором едет ε , в разные моменты, тогда как  ε заявляет, что одновременно.) В обыденной жизни вы не встретите таких противоречий, ибо подобные споры возникают только в тех случаях, когда события очень близки по времени и очень удалены по расстоянию. Когда события Р и Q разделены по времени интервалом короче, чем время распространения света между соответствующими точками, у наблюдателей с разным характером движения будут разные точки зрения: один будет видеть, что события Р и Q одновременны, другой найдет, что Р происходят раньше, чем  Q , а третий — наоборот, что Q происходит раньше, чем Р .

В представлениях теории относительности Эйнштейна время считается тесно переплетенным с пространством в так называемом пространстве-времени, разделение которого на пространство и время зависит от движения наблюдателя. Но если мы принимаем существование пространства-времени, то должны будем переосмыслить и наши представления о причине и следствии.

Фиг. 167. Мысленный эксперимент.

Причина и следствие

В вопросе о причинности в прежней науке было немало путаницы. Греки искали «первопричину». В последующем ученые искали непосредственную причину: «нагревание — причина плавления камня», «давление — причина течения жидкости», «α-частицы — причина образования ионов». Определить, что причина, а что следствие — не просто. Что означает: «Р вызывает Q». Самое лучшее сказать, что причина — это нечто, предшествующее следствию. Мы не придем к противоречию, если представим, что между ними существует некая связь.

Даже в обычных ситуациях (типа напряжение и деформация или разность потенциалов и ток) мы предпочитаем говорить, что события Р и Q происходят одновременно. Мы по-прежнему ищем соотношения, которые бы выражали наши представления, но события Р и Q обычно рассматриваются как братья, а не как родители и дети.

Теория относительности утверждает, что порядок некоторых событий может, по мнению разных наблюдателей, оказаться различным и каждый из них будет в равной степени прав На фиг. 169 показано, как разные наблюдатели, для которых событие Р происходит здесь и сейчас (т. е. в той же точке и в тот же момент), должны будут считать, что некоторые события (например, Q1) происходят в абсолютном будущем, некоторые (Q2) — в абсолютном прошедшем, а некоторые (Q3) — в абсолютном где-то (absolute elsewhere — как назвал их Эддингтон). Относительно их порядка очередности с событием Р может возникнуть разногласие между наблюдателями, движущимися по-разному.

Таким образом, нужно быть повнимательнее. Нетрудно установить причину и следствие в простейших случаях наподобие незрелого яблока и расстройства желудка или α-частицы и ионов, но следует соблюдать осторожность с событиями, близкими по времени и удаленными пространственно, не то как бы они не попали в абсолютное где-то по отношению друг к другу.

В атомной физике вы встретитесь с еще одним сомнением в отношении причины и следствия. Радиоактивные превращения оказываются подвластны чистой случайности: время существования индивидуального атома непредсказуемо. В последней главе вы увидите, что природа переносит частичную невозможность предсказаний на все наши знания, снабжая индивидуальные атомные явления некой неопределенностью, в свете которой бессмысленно ожидать однозначных следствий при определенной «причине».

Преобразования Лоренца как вращения

Фиг. 468 и 169 позволяют пролить новый свет на преобразования Лоренца, если сравнить их с простым вращением осей х и у. Воспользуемся алгеброй и найдем «преобразования», связывающие старые координаты точки с новыми координатами х', у' той же точки.

Фиг. 168. Диаграмма пространства-времени по Эддингтону .

Наблюдатель  ε находится в начале координат, так же как и наблюдатель ε ', который быстро движется вдоль оси х относительно  ε . Линия « вижу сейчас » описывается уравнением x = — ct и отмечает все события, которые  ε (или  ε ') видят сейчас . Зная величину скорости света с, ε следит за временем его распространения и размечает свою ось событиями, которые происходят сейчас вдоль оси х . Однако, для той же линии « вижу сейчас » поправки ε ' будут другими и линией «сейчас» он называет свою ось х '. Продолжение линии « вижу сейчас » в направлении положительного времени дает максимальный наклон, который получается у  ε ' для линии « сейчас », ибо ε ' не может двигаться с относительной скоростью, большей с , а его линия поэтому никогда не может наклониться больше «световой» линии с наклоном с . Покрутите эту картинку вокруг оси t , и световая линия даст вам двойной конус

Допустим что событие Р произошло вначале координат, в точке « здесь, сейчас », а другое событие — в точке Q . Если Q находится внутри верхнего светового конуса ( Q 1), оно явно находится в будущем для всех наблюдателей. Аналогично всякое событие внутри нижнего светового конуса ( Q 2) находится в абсолютном прошлом , для всех наблюдателей Q 2, происходит раньше Р . Но Q 3 в пространстве между конусами может быть будущим для  ε и тем не менее прошлым для наблюдателя ε ', так как его ось наклонна. Поэтому мы называем такую промежуточную область « абсолютным где-то ». Если Q попадет туда, ни Р, ни Q не могут быть причиной друг друга, они просто происходят в разных местах .

Фиг. 169. Диаграммы пространства (в одном измерении) и времени.

а — некое событие, происходящее на прямой линии (оси х ), изображено точкой. Расстояние вдоль оси х показывает, где произошло событие, а высота показывает, когда оно произошло. Событие Р предшествует по времени событию Q . Для некоторой пары событий можно утверждать, что Р является причиной Q ;

б — для движущегося наблюдателя начало отсчета переносится вместе с ним. В галилеевой системе он пользуется тем же масштабом времени, что и неподвижный наблюдатель.

в — при преобразованиях Галилея лилии каждого часа для двух наблюдателей одни и те же и параллельны линии t = 0;

г — преобразования Лоренца поворачивают оси одной координатной системы пространства-времени по отношению к другой (хотя и на пренебрежимо малый угол, за исключением случаев, когда относительная скорость  ε  и ε ' приближается к c ).

Спроектируем точку на оси х и у (фиг. 470).

Повернем теперь оси на угол A (вокруг оси z). По отношению к новым осям координаты точки будут x', у'. Обозначим символом s наклон новой оси х, так что s = tg А. Теперь видно, что

x' = (x + b)∙cos A = (x + y∙tg A)∙cos A =

= (x + sy)/sec A = (x + sy)/√(1 + tg2 A),

т. е.

x' = (x + sy)/√(1 + s2)

Подобным же образом

y' = (y — sx)/√(1 + s2)

Преобразования при простом вращении осей показывают, что квадратный корень играет здесь ту же роль, что и в преобразованиях Лоренца. Действительно, мы получим лоренцеву форму преобразований, если вместо у возьмем t, умноженное на постоянную с и на i [квадратный корень из (—1)], а вместо наклона s возьмем i(v/c). Если y = ict, y' = ict', a s = iv/c, то преобразования вращения превратятся в преобразования Лоренца. Проверьте это. Отсюда видно, что преобразования Лоренца можно рассматривать как расслоение пространства-времени линиями разного наклона для разных наблюдателей.

Инвариантный «интервал» между двумя событиями

Определим «интервал» между двумя событиями (x1, t1) и (x2, t2) по теореме Пифагора:

R2 = (x1 — x2)2 + (ict1 — ict2)2

Затем можно записать выражение для «интервала» R' для другого наблюдателя, который в своих координатах связывает те же два события в точках (x'1, t'1) и (x'2, t'2). Воспользуемся преобразованиями Лоренца и выразим R' через координаты первого наблюдателя. Тогда мы обнаружим, что R' совпадает с R. Преобразования Лоренца оставляют «интервал» неизменным. Это и составляет утверждение теории относительности — измерения с всегда дают одну и ту же ее величину.

Роль скорости с иллюстрируется историей, предложенной Джоном А. Уилером. Допустим, что обитатели некоего острова проводят все свои измерения в прямоугольной системе координат, но расстояние по оси, идущей с севера на юг, они измеряют в километрах, а с запада на восток — в метрах. Затем неожиданный сдвиг магнитного поля Земли на угол А вынуждает их повернуть свои оси в новом направлении. Однако они по-прежнему продолжают мерить расстояния С'—Ю' в километрах, а 3'—В' в метрах. Попытавшись вычислить расстояние между двумя точками по теореме Пифагора R2 = (Δx)2 + (Δy)2, они обнаруживают, что в новых координатах R стало другим. Затем они открывают, что для обоих наборов осей значение R получается одним и тем же (которое к тому же полезно), если определить R2 = (Δx)2 + (1000∙Δy)2. Этот «таинственный» множитель 1000 соответствует c в релятивистском интервале. Вывод таков: с не столько таинственная предельная скорость, сколько множитель, связанный с единицами измерения, который говорит, что время и расстояние не отличаются в корне друг от друга, а образуют однородное множество, в котором и то и другое можно измерять метрами.

Существует ли система отсчета, связанная с неподвижным пространством?

Итак, мы построили специальную теорию относительности с ее новой геометрией и физикой пространства и времени, с ее часами и метрами (основными приборами физики), которые своими изменениями при переходе в новую систему открывают универсальный характер и постоянство скорости света — предел скорости движущихся тел — и выявляют единую форму физических законов для всех наблюдателей, движущихся друг относительно друга с постоянной скоростью, тем самым безвозвратно сокрушая наши надежды на всякое абсолютное движение и системы отсчета, связанные с неподвижным пространством, вернее, объявляя вопрос о существовании таких систем лишенным всякого смысла.

Высшая ценность математики как языка науки. Математическая форма и красота

Язык алгебры правдив, точен и даже плодотворен, но не обречен ли он навечно оставаться скучной, неинтересной прозой, никогда не способной подняться до высот поэзии? Большинство математиков отвергают это, считая математику прекрасной. Нужно научиться извлекать наслаждение из ее формы и элегантности, как и в случае поэзии. В качестве примера покажем, как можно придать красоту системе двух уравнений. Начнем с системы

2 x + 3 y = 9

4 x — 2 y = 10

С помощью простых уловок можно избавиться от у и найти х = 3, а после этого y = 1. Но это слишком частный пример. Давайте обобщим его, заменив коэффициенты 2, 3, 9 и т. д. буквами а, Ь, c и т, д. Таким образом,

a x + b y = c, d x + e y = f

Потрудившись немного, находим x = (еc — fb)/(ae — db). Затем, чтобы определить у, требуются новые ухищрения. Но это дает нам возможность решить, как прежнее, так и все подобные ему уравнения простой подстановкой числовых коэффициентов а, b, с и т. д. Если нам не нужно решать множество таких уравнений, вряд ли на это стоило бы тратить время и до поэзии здесь далеко как до неба. Но давайте рассуждать более систематично. Давайте считать х и у однородными вещами и отметим это сходство, переименовав их x1 и х2. Чтобы еще больше подчеркнуть это сходство, будем писать а1, a2, а0 вместо a, b, c и соответственно a1x1 + а2x2 = a0. Кроме этого, у нас есть коэффициенты второго уравнения. Можно обозначить их а'1 и т. д. Но и в этом случае оба уравнения не будут вполне симметричными. Поэтому обозначим первый набор коэффициентов а'1 т, д., а второй а''1 и т. д. Тогда

a' 1 x 1 + а' 2 x 2 = a' 0

a'' 1 x 1 + а'' 2 x 2 = a'' 0

Эта запись выглядит изящной, но много ли в таком изяществе толку? Разрешим уравнение относительно х1. Получим

x 1 = (a' 0 a'' 2 — a'' 0 a' 2 )/(a' 1 a'' 2 — a'' 1 a' 2 )

а вот и толк: нам не нужно разрешать уравнение относительно x2 или y. Симметрия сразу дает нам ответ. Заметьте, что х1 и х2 (старые х и у) и; их коэффициенты отличаются только индексами 1 и 2. Если мы всюду заменим индексы 1 на 2, получится то же самое уравнение, а следовательно, и те же решения. Произведя эту замену в решении

x 1 = (a' 0 a'' 2 — a'' 0 a' 2 )/(a' 1 a'' 2 — a'' 1 a' 2 )

мы получим

x 2 = (a' 0 a'' 1 — a'' 0 a' 1 )/(a' 2 a'' 1 — a'' 2 a' 1 )

Итак, мы без труда получили результат для х2 (старого у). Экономия как будто небольшая, но представьте себе, как увеличилась бы сложность, если бы мы имели дело, скажем, с пятью уравнениями и пятью неизвестными. В такой симметричной записи системы мы просто решаем относительно одного неизвестного, а остальные четыре решения пишем исходя из соображений симметрии. Такая запись проста, экономична и красива с точки зрения математики. Более того, новая запись уравнений и ответов обща и универсальна. В некотором смысле — она ковариантна. Такая симметричная запись созвучна идеям Максвелла и Эйнштейна.

Это лишь небольшой шаг на пути поиска поэзии математического языка — всего лишь подходящий размер стиха. Следующим шагом должны быть не симметричная запись, а симметричные методы, например «детерминанты». Когда профессиональный математик разрабатывает обоснования доказательства своих методов, он создает логические построения и пишет выражения, которые для него столь же великолепны, как и лучшие из стихов.

Геометрия и наука: истина и общая теория относительности

Таким образом, математика далеко выходит за рамки рабочей арифметики и некоего «автомата». Для более полного расцвета и развития она даже избавляется от скучных определений и некоторых ограничений логики, но тем не менее вся математическая схема основана на собственных исходных положениях; сердца ее исследователей пленяют числа, точки, параллельные линии, векторы…. Чистая математика — это наука в башне из слоновой кости. Результаты, полученные только с помощью правил логики, будут автоматически верны в той мере, в коей верны первоначальные предположения и определения. Удовлетворяет ли реальный мир этим предположениям — на первый взгляд это вопрос эксперимента. Разумеется, нам не следует доверять предположениям только потому, что они кажутся разумными и очевидными. Однако они могут больше напоминать определения тех действий, в случае которых математика в рамках этих определений может их языком описывать мир.

Мы привыкли думать, что после того, как математики создали свой мир пространства и чисел, нам осталось ставить опыты и выяснять, насколько с ним согласуется наш мир. Евклид, например, выдвинув предположения относительно точек, линий и т. д., вывел из них непротиворечивую геометрию.

На первый взгляд из грубого сравнения с реальными окружностями и треугольниками, нарисованными на бумаге или начерченными на земле, кажется, что результаты системы Евклида правильно описывают природу. Однако чувствуется, что для проверки, насколько правильно Евклид выбрал свои предположения и точно ли они воспроизводят природу, нужны все более и более точные эксперименты. Например, будут ли три угла треугольника составлять точно 180°. Релятивистская механика и размышления о строении Вселенной поднимают серьезный вопрос о выборе наиболее подходящей геометрии. Математики давно знают, что евклидова геометрия — одна из нескольких возможных, которые совпадают в малом масштабе, но радикально отличаются по своей физической и философской природе в большом масштабе.

Специальная теория относительности имеет дело с наблюдателем, движущимся с постоянной скоростью относительно приборов или другого наблюдателя. После нее Эйнштейном была развита общая теория относительности, которая имеет дело с ускоряющимися системами.

Что же такое общая теория относительности и как она влияет на наши представления о физике и геометрии?

Фиг. 171. Разорванный треугольник ( а ) и треугольник на сфере ( б ).

Эйнштейновский принцип эквивалентности

К общей теории относительности Эйнштейна привел вопрос: «Может ли наблюдатель в падающем лифте или ускоряющемся поезде установить, что он действительно ускоряется?» Конечно, он заметил бы появление странных сил (как и в опытах с тележкой на роликах при проверке соотношения F = mа в ускоряющемся вагоне. Там на тележку действуют силы, которые приводят к отклонению от закона F = mа). Но можно ли какими-то опытами отличить ускорение системы отсчета от нового поля силы тяжести? (Если бы плотник построил в таком ускоряющемся вагоне лабораторию с надлежащим наклоном, то наблюдатель снова обнаружил бы, что закон F = mа справедлив, но величина g в этом случае была бы другой.) Поэтому Эйнштейн предположил, что никакие локальные эксперименты (ни механические, ни электрические, ни оптические) никогда не могут сказать наблюдателю, вызваны ли наблюдаемые им силы ускорением или локальным полем силы тяжести. Затем Эйнштейн сказал: «Законы физики должны иметь одну и ту же форму для ВСЕХ наблюдателей, включая тех, кто движется с ускорением». Другими словами, Эйнштейн потребовал, чтобы все законы физики были ковариантны относительно любых переходов от одной системы отсчета (или лаборатории) к другой. В этом суть общей теории относительности: все физические законы должны сохранять свою форму.

Эквивалентность механического поведения в поле силы тяжести и ускоренной системе отсчета давно была очевидна. Величайшим вкладом Эйнштейна было предположение об их полной эквивалентности, а именно предположение, что даже на оптические и электрические эксперименты поле силы тяжести будет влиять подобно ускорению системы отсчета. «Это утверждение дало долгожданную связь между гравитацией и остальной физикой…»

Локальное ускорение гравитация (поле силы тяжести)

Принцип эквивалентности существенно меняет наши взгляды на движение и геометрию.

1. Локальная физика ускоряющегося наблюдателя. Если принцип эквивалентности верен, все эффекты, наблюдаемые в ускоренной лаборатории, можно описать дополнительным силовым полем. Если ускорение лаборатории равно а м/сек2, мы можем считать лабораторию покоящейся, и вместо этого приписать действие на каждую массу m кг дополнительной силы — mа ньютон, силовому полю напряженностью — а ньютон/кг. При учете этого поля должны быть справедливы все правила обычной механики, точнее, та модификация, внесенная Лоренцем в механику Ньютона и геометрию Евклида, которая составляет специальную теорию относительности.

Пример А

Экспериментаторы в ускоряющемся железнодорожном вагоне или разгоняющейся ракете обнаруживают, что законы Ньютона применимы при малых скоростях при условии, что в дополнение ко всем видимым силам на каждую из масс m действует направленная противоположно ускорению сила — mа , обусловленная эквивалентным силовым полем [266] .

Движущиеся с большими скоростями тела в такой лаборатории кажутся более массивными и т. п., в точности как это предсказывает специальная теория относительности.

Пример Б

В лифте, падающем с ускорением а , экспериментатор, измеряя вес на пружинных весах, получит значение, соответствующее полю силы тяжести напряженностью ( g — a ) (см. задачу 10 в гл. 7 , т. 1, стр 285).

Пример В

В свободно падающем ящике сила, действующая со стороны эквивалентного поля на массу m , будет направлена вверх. Так как она полностью компенсирует вес тела mg , направленный вниз, нам кажется, что наступила невесомость. То же самое происходит и в опытах внутри ракеты, когда ее двигатели выключаются, и в опытах на спутнике, движущемся по орбите вокруг Земли: притяжение Земли здесь не чувствуется, ибо вся лаборатория ускоряется как целое.

Пример Г

Во вращающейся лаборатории введение направленного наружу силового поля напряженностью v 2 / R сводит локальные особенности механики к случаю стационарной лаборатории.

2. Интерпретация силы тяжести . Любое реальное поле силы тяжести можно интерпретировать как локальную модификацию пространства-времени переходом в такую ускоренную систему, где поле исчезнет. Этот переход не помогает вычислениям, но указывает на новый смысл гравитации, который будет обсуждаться в следующем разделе.

3. Невесомость . Если поле силы тяжести действительно эквивалентно ускорению системы, то мы можем ликвидировать его, придавая нашей лаборатории подходящее ускорение. Обычная сила тяжести — притяжение Земли — действует вертикально вниз. Она эквивалентна направленному вверх ускорению g нашей системы. Если же мы позволим нашей лаборатории падать вертикально вниз, то не обнаружим в ней действия силы тяжести. В нашей лаборатории имеются два ускорения — «реальное» ускорение падающего тела и противоположное ему ускорение, заменяющее поле силы тяжести. Они в точности компенсируют друг друга и получается эквивалент стационарной лаборатории в отсутствие гравитации. Это попросту означает, что если лаборатория свободно падает, то в ней не чувствуется земного притяжения. Практически это осуществимо при космических полетах или спуске в свободно падающем лифте. В подобной ускоряющейся системе отсчета локально устранены все следы поля силы тяжести Земли или Солнца. Теперь можно предоставить тело самому себе и понаблюдать за его поведением. Его путь в пространстве-времени оказывается прямой линией, и мы ожидаем, что тело будет подчиняться простым механическим законам. У нас получилась локальная инерциальная система отсчета.

4. Искусственная сила тяжести. Напротив, создавая большие реальные ускорения, можно получить мощное силовое поле. Если верить принципу эквивалентности, то можно ожидать, что это силовое поле будет действовать на вещество подобно очень сильному гравитационному полю. С этой точки зрения центрифуга тысячекратно увеличивает значение g.

5. Символические эксперимента . Для наблюдателя, движущегося с ускорением a, каждая масса m°, помимо других сил, действующих на нее со стороны известных тел m°∙а, кажется подверженной действию силы, противоположной ускорению. В поле силы тяжести напряженностью g масса  притягивается с силой ∙g. Здесь m° обозначает инертную массу, которая входит в формулу F = ma, а  обозначает гравитационную массу в законе всемирного тяготения F = G∙M∙m/d2. Принцип эквивалентности гласит, что поле силы тяжести напряженностью g можно заменить противоположно направленным ускорением наблюдателя g:

∙g должно быть равно m ° g , т. е. #_175.jpg_0

Принцип эквивалентности требует, чтобы гравитационная масса была равна инертной, и символический эксперимент давно доказал, что так оно и есть. Как вы увидите из последующего, Эйнштейн в своей общей теории относительности придал этому равенству двух сортов масс более глубокий смысл.

Общая теория относительности и геометрия

В малой области пространства-времени поле силы тяжести Земля, как и любые другие гравитационные поля, практически однородно. Поэтому в локальном опыте мы можем «убрать» притяжение, дав нашей лаборатории возможность свободно падать. При этом она будет подобна инерциальной системе в отсутствие гравитационных полей, т. е. предоставленные самим себе тела будут оставаться в ней в покое иди двигаться по прямой, а приложив к ним силу, мы обнаружим, что F = ma. Однако в большем масштабе, скажем в пространстве около Земли или около Солнца, мы должны использовать множество различных ускорений, чтобы устранить силу тяжести в каждой из локальных лабораторий. Чтобы согласовать прямолинейное движение в соответствии с первым законом Ньютона с его продолжением в соседней лаборатории, которая также свободно ускоряется, мы должны будем «искривить» траекторию. При переходе из лаборатории в лабораторию около тяготеющей массы придется изгибать ее еще больше. Как это объяснить? Вместо того чтобы говорить «мы обнаружим здесь, помимо всего, сипу тяжести», мы могли бы сказать. «Евклидова геометрия не соответствует реальному миру вблизи массивной Земли и Солнца». Общая теория относительности выбирает второе. Как и при создании специальной теории относительности, Эйнштейн искал простейшую геометрию, которая удовлетворяла бы новому предположению о том, что запись законов физики всегда должна быть одинаковой. Он пришел к геометрии общей теории относительности, в которой сила тяжести как некая странная сила, порождаемая массой, исчезла, уступив место возмущению пространства-времени в окрестности масс.

«С незапамятных времен физики и чистые математики работали в определенном согласии друг с другом относительно их доли участия в изучении природы. Сначала приходили математики и, проанализировав свойства пространства и времени, строили предварительную геометрию и кинематику (чистое движение). Затем, когда сцена была подготовлена, физики выводили действующих лиц: материальные тела, магниты, электрические заряды, свет и так далее, и представление начиналось. Однако, согласно революционной концепции Эйнштейна, действующие лица теперь сами готовят подмостки, появляясь на них: геометрия уже не предшествует физике, а неразделимо слита с ней в единый предмет. Свойства пространства в общей теории относительности зависят от присутствия материальных тел и их энергии…».

Однако какая же геометрия более правильна — старая или новая? Вернемся к нашей точке зрения на математику как послушного слугу. Нельзя ли для описания физического мира воспользоваться любой геометрией, так сказать, деформировать картину мира, чтобы втиснуть его в геометрию? Тогда нашей задачей будет не нахождение правильной геометрии, а выбор простейшей или наиболее удобной, которая описывала бы мир с минимальным искажением. Если это так, то мы должны понять, что, выбирая геометрию, мыимеем дело с нашей Вселенной, и если мы для подгонки безжалостно корежили ее, то это не пройдет нам даром.

Если бы наш мир представлял собой, например, апельсиновую кожуру, то подходящей моделью для него был бы шар. Если же мы подойдем к нему с непоколебимой верой в плоскую геометрию, то должны растянуть кожуру на плоском столе так, чтобы она плотно прилегла к его поверхности. Тогда мы бы обнаружили, что клетки кожуры у внешнего края стали больше, но вынуждены были бы объявить это законом природы. Мы бы обнаружили странные силы, пытающиеся оторвать середину кожуры от стола, — снова «закон природы». Если мы заботимся об упрощении наших представлений о природе, то поведение апельсиновой кожуры подсказало бы нам в качестве модели пространства не плоскую, а сферическую геометрию. Все это звучит странно, но так оно и есть. Именно такие рассуждения в рамках трех- и четырехмерного пространства, вместо двумерного, использованы общей теорией относительности. Странные гравитационные силы могут быть непосредственным результатом стремления описать природу неподходящей геометрией — прекрасно развитой системой Евклида. Если бы мы выбрали другую геометрию, в которой материя возмущала бы вблизи системы отсчета, то гравитация из удивительного набора сил превратилась бы в простой вопрос геометрии. Теперь уже не нужно говорить, что ядро из-за силы тяжести летит, согласно старой геометрии, по «кривому» пути. Вместо этого мы можем считать, что оно следует по пути, который в новой геометрии представляет собой прямую линию в пространстве-времени, искаженном присутствием Земли.

Это было бы всего лишь простым изменением точки зрения (и как ученые, мы едва ли беспокоились бы об этом), если бы не открывало нам глаза на новые стороны природы или не улучшало понимания старых. А это так. С подобной геометрической точки зрения «криволинейный» путь свободно движущихся тел присущ новой геометрии пространства-времени и всякое летящее с данной скоростью тело, большое или маленькое, должно следовать по одному и тому же пути. Обратите внимание, как исчезает неожиданность символического эксперимента. Долговечная загадка равенства гравитационной и инертной масс оказалась решенной. Этим равенством, представляющим собой фундаментальное свойство природы, пренебрегали на протяжении веков, пока Эйнштейн не объявил его свойством пространства-времени, обусловленным присутствием вещества.

Даже световые лучи подобно пуле, движущейся со скоростью света, должны распространяться по криволинейному пути. В окрестности Земли эта кривизна незаметна, но лучи звезд, проходящие вблизи Солнца, должны отклоняться на угол около 0,0005°, измерение которого под силу лишь современным приборам. Фотографии, сделанные при полном солнечном затмении, показывают, что положение звезд, близких к краю Солнца, кажется сдвинутым на угол 0,0006°. С традиционной («классической») точки зрения Солнце создает поле силы тяжести, которое, по-видимому, видоизменяет прямолинейное распространение света в евклидовой геометрии. С точки зрения общей теории относительности мы заменяем силу тяжести Солнца таким локальным искажением геометрии, что по сравнению с простой евклидовой формой свет кажется нам «более медленным». Таким образом, лучи немного искривляются вблизи Солнца наподобие искривления лучей горячим воздухом над шоссе, когда возникает мираж, но в другую сторону.

Обнаружив простоту и плодотворность этой точки зрения, особенно когда она выливается в простейшую математическую форму, мы принимаем ее. Обычные лабораторные эксперименты показывают, что евклидова геометрия дает достаточно простое и точное описание пространства. Но в астрономических масштабах с громадными гравитационными полями мы должны либо пользоваться новой геометрией (в которой сетка «прямых линий» в пространстве-времени кажется нам слегка искривленной), либо как-то видоизменять законы физики. Современная наука предпочла изменения в геометрии. Это позволяет не только придать законам физики простой и универсальный вид, на вместе с тем иногда обнаруживать новые свойства.

Приспосабливая гравитацию к новой геометрической точке зрения, Эйнштейн обнаружил, что в простейшей, наиболее правдоподобной форме она приводит к закону, несколько отличному от закона всемирного тяготения Ньютона.

Фиг. 172. Движение планеты Меркурий.

Он вовсе не опроверг «закон Ньютона», а предложил лишь более правильную его модификацию, хотя основана она на радикальном изменении точки зрения. Не следует думать, что закон справедлив только потому, что предложен великим человеком или облечен в изящную математическую форму. Он рассматривается нами как блестящая догадка великого ума, чрезвычайно чуткого к звучанию правды реального мира. Мы воспринимаем его как перспективное и весьма правдоподобное предположение, но именно поэтому должны подвергнуть его безжалостной проверке. Предложенные Эйнштейном изменения предсказаний Ньютона, столь фундаментальные по своей природе, обычно дают слишком малый эффект, чтобы привести к какой-то разнице и в эксперименте и даже в большинстве астрономических измерений. Однако в случае быстрого движения планеты Меркурий по своей орбите они должны быть заметны. Ньютон предсказывал для орбит простой эллипс, искаженный возмущениями других планет, которые могут быть вычислены и наблюдаемы. Общая теория относительности предсказывает и другое движение — очень медленный поворот большой оси эллипса на 0,0119° в столетие. Это слабое движение было уже известно до предсказания Эйнштейна. Его открыл Леверье. Скорость его (т. е. небольшой остаток после учета возмущений) оказалась близка к 0,012° в столетие.

Такой взгляд на гравитацию позволяет астрономам обсуждать геометрию всего пространства и ставить вопросы о том, бесконечна Вселенная или ограничена своей собственной геометрической кривизной (наподобие сферы). Когда-нибудь мы, быть может, будем способны решить их.

В общей теории относительности еще немало трудностей и сомнений. Даже когда мы доверчиво опираемся на эту теорию, имея дело с движением Меркурия или красным смещением в свечении массивных звезд, то, по-видимому, должны связывать наши вычисления с какой-то системой отсчета — быть может, с отдаленными областями пространства вдали от тяготеющей материи, а быть может, с центром тяжести нашей Вселенной. Таким образом, пространство при нашем рассмотрении может быть «размечено» некоего рода абсолютными «верстовыми столбами». Однако это сомнение, эта угроза для мощной теории ничуть не пугает мудрого ученого. Он имеет ее в виду, веря в перспективность своих умозаключений.

Новая математика в ядерной физике

В атомной и ядерной физике математика тоже берет свое. Вместо картинки с твердыми шариками-электронами, которые вращаются вокруг тоже твердого шарика — ядра, мы выражаем наши сведения об атомах в математической форме, для которой нельзя нарисовать простой картины. Для такого описания используется аппарат, специально приспособленный для этой цели, на котором стоит привычное математическое «клеймо» распространения волн. Несмотря на свою чисто математическую форму, оно приводит ко множеству плодотворных предсказаний — от прочности металлической проволоки и химической энергии до поведения радиоактивных ядер.

Мы вновь видим, что математика с ее строгими рассуждениями и доказательствами предлагает физике ясную форму, которая помогает нашим размышлениям. Однако теперь это уже далеко не слуга, а скорее лорд-канцлер, стоящий позади трона королевы-науки и предлагающий ей законы. Кроме того, мы можем сравнить математику с выдающимся архитектором, проектирующим здание, в котором еще более пышно расцветет древо Науки.

* * *