Родился Алексей Фёдорович Греков около 1799 или 1800 года в Ярославской губернии, в семье мелкопоместного дворянина. Он был современником таких выдающихся людей как поэт Александр Пушкин и художник Карл Брюллов, современником открытий математика Николая Лобачевского, возрастом чуть старше его. Родившись еще при Павле I, застал правление Александра I и Николая I. Пережил вместе со всей страной нашествие французов в 1812 году и был свидетелем восстания декабристов в 1825-м.

Как свидетельствуют «Формулярные списки о службе и достоинстве чиновников», хранящиеся в архиве Московского Университета, семья владела родовым имением, где насчитывалось «36 душ крестьян мужескаго пола». Позже Грековым будут приобретены еще «четыре души мужескаго пола». Правда, «Формулярные списки» за другие годы содержат чуть иную информацию – так, в документе за 1842 год значится, что семья владела всего четырьмя крестьянами «мужескаго пола». Очевидно, письмоводители допустили ошибку. Дворянство в начале XIX века в России было одним из четырех сословий (или «родов») – наряду с духовенством, городским «родом» (купечество, мещанство) и сельским населением (крестьянство). Дворянство составляло господствующий «род» как в политике, так и в экономике, в культуре и было наиболее привилегированной частью общества. В 9-м томе «Свода законов Российской империи», в законе, устанавливающем сословность российского государства, определялось две возможности принадлежать к дворянству – наследственность или по жалованью монарха: «Дворянское название есть следствие, истекающее от качества и добродетели начальствующих в древности мужей, отличивших себя заслугами: чем, обращая самую службу в заслугу, приобрели потомству своему нарицание благородное. Благородными разумеются все те, кои или от предков благородных рождены, или монархами сим достоинством пожалованы». Алексей Фёдорович относился к тем дворянам, которые «от предков благородных рождены». Крестьянских душ во владении его семьи, как свидетельствуют документы, было совсем немного, т. е. семья Грекова была небогатой, ведь именно в крестьянских душах на тот момент оценивались состоятельность и богатство. Причем учитывали именно крестьян-мужчин. Крестьян-женщин в списки не включали, их вообще не брали во внимание при проведении переписи населения (при подаче так называемых ревизских сказок – поименных списков тех, кто облагался подушным налогом). Однако происхождение даже из мелкопоместных дворян открывало дорогу к получению образования в одном из высших государственных учреждений, среди которых наиболее престижными в XIX веке были военные заведения и университеты. В дальнейшем в служебных документах Греков будет значиться как человек «происхождением из дворян».