Эллинизм и зарождение александрийской науки

Образование империи Александра Македонского знаменовало собой окончательное крушение греческой общественно-политической формы города-государства и явилось поворотным пунктом и началом новой эры не только в политической, но и культурной истории древнего мира. Эта эра — эллинизм. Походы Александра далеко раздвинули пределы известного грекам мира и, расширив их кругозор, способствовали утверждению нового мироощущения, не свойственного жителям Эллады классической эпохи. Раньше греки тоже не оставались безвыездно в своих, городах: они отправлялись в морские путешествия и основывали колонии па берегах Черного и Средиземного морей. Эти колонии были чисто греческими поселениями в варварском окружении и, за исключением отдельных случаев (Навкратис в Египте), нельзя было говорить о сколько-нибудь существенном влиянии этого окружения на обычаи, представления о мире и культурные интересы греческих поселенцев. Теперь же под властью Александра оказались великие древние цивилизации, во многих аспектах превосходившие греческую, и непосредственный контакт с ними не мог не привести к самым серьезным последствиям для греческой культуры, и в первую очередь для отношения греков к окружающему миру. Присущие грекам классической эпохи черты партикуляризма, национальной гордости и ощущения своей исключительности сменились космополитизмом, ставшим в дальнейшем характерной особенностью всей поздней античности; возникновение Римской мировой державы и победа христианства не погасили, а лишь усилили эти космополитические тенденции. Другой важный момент состоял в потере старой Грецией ее прежней культурной гегемонии. Если Афины еще продолжали оставаться местом пребывания важнейших философских школ, то оформившиеся к этому времени специальные науки нашли более благоприятную почву для своего развития в столицах новых государств, на которые распалась империя Александра после смерти ее создателя. Эти государства были своеобразными конгломератами греческих и местных элементов, причем культурная элита в них почти целиком состояла из греков, а греческий язык стал языком образованных слоев общества и одновременно международным языком новой эпохи. На первое место среди новых столиц быстро выдвинулась Александрия, где уже основатель династии — Птолемей I Сотер (323—283 гг. до н. э.) — приютил ученика Феофраста Деметрия Фалерского, который может считаться первым «переносчиком» в Александрию аристотелевских традиций. Несколько позднее в Александрию был приглашен Стратон Лампсакский для участия в воспитании наследника престола, будущего Птолемея II (подобно тому, как Аристотель участвовал в воспитании Александра Македонского). Стратон находился в Александрии вплоть до смерти Феофраста (в 287 г.), после чего вернулся в Афины, чтобы принять на себя руководство школой. При первых правителях династии Птолемеев была основана знаменитая александрийская Библиотека, начало которой положено Деметрием, а также учрежден Мусей (Mouseion) — научное учреждение, при котором жили крупнейшие ученые и литераторы, получавшие государственное жалованье, достаточное для того, чтобы они могли целиком посвятить себя научным занятиям. Большого развития достигла там же книгоиздательская деятельность, чему в немалой степени способствовала монополия Египта на папирус — единственный книжный материал, получивший в то время широкое распространение; в результате Александрия вскоре стала крупнейшим центром книжной торговли. Все это привело к тому, что уже в III в. до. н. э. александрийская наука достигла расцвета почти во всех оформившихся к тому времени областях знания.

Не только Птолемей Сотер и его преемники, но и другие «диадохи» (так назывались бывшие полководцы Александра Македонского, разделившие между собой его империю) были меценатами наук и искусств. К этому их побуждали соображения престижа, а порой и личный интерес. Так, крупные библиотеки, а при них научные центры возникли в Пелле (Македония), Пергаме (западная Малая Азия), Антиохии (Сирия), а также в городах, не бывших столицами диадохов — в Родосе (на острове того же названия), Смирне, Эфесе. Интерес к наукам проявляли также сицилийские тираны, с которыми еще в начале IV в. до п. э. неудачно пытался флиртовать Платон. Позднее один из них — Гиерон,— захвативший власть в Сиракузах в 269 г. до н. э., стал покровителем Архимеда.

Каковы же были отличительные черты наук, с большим или меньшим успехом развивавшихся в перечисленных научных центрах и пользовавшихся покровительством тамошних царственных властителей? Эти науки уже ничем не напоминали раннюю греческую науку «о природе». Для них были характерны, с одной стороны, резкое отграничение от философии, а с другой — четкая дифференциация и специализация. Математика и астрономия, механика и оптика, физиология и эмбриология, география и история, наконец, целый ряд гуманитарных дисциплин — все они развивались самостоятельно, обладая, каждая, специфической проблематикой и присущими данной науке методами исследования. Этому, разумеется, не противоречило то обстоятельство, что некоторые величайшие ученые эпохи эллинизма (Евклид, Архимед, Эратосфен) прославили себя достижениями не в одной, а в нескольких областях знания.

В связи с этим в последующей части нашей книги несколько изменится и метод изложения: рассмотрение материала будет проводиться нами уже не по учениям, каждое из которых является продуктом творчества определенного лица, а по дисциплинам.

 

Основные философские учения эпохи эллинизма

В отличие от специальных наук философия эллинистической эпохи не нашла благоприятной почвы в столицах новых государств и продолжала в основном оставаться афинской. Помимо платонизма и перипатетиков, в III в. до н. э. возникли новые философские школы, полемизировавшие друг с другом и боровшиеся за успех и влияние.

С точки зрения истории науки интерес представляют лишь две из этих школ — эпикурейство и стоицизм.

Основатель первой из них Эпикур (342—270 гг. до н. э.) был сыном афинянина Неокла, проживавшего на острове Самос. Восемнадцати лет от роду он стал учеником Навзифана, придерживавшегося атомистической доктрины Демокрита, и принял основные положения атомистики. Большов влияние на него (особенно в этической части) оказало также учение основателя скептической школы Пиррона, жившего примерно в это же время с немногими учениками в Элиде. Выработав собственную систему, Эпикур в течение нескольких лет учил в Лампсаке и Митилене (на острове Лесбос), а затем, в 306 г., перенес свою школу в Афины, где жил со своими учениками и друзьями в «саду», который и после его смерти продолжал служить местопребыванием эпикурейской школы.

Приняв атомистику Демокрита в целом, Эпикур пытался усовершенствовать ее в тех вопросах, которые вызывали наиболее острую критику ее противников. Так, он признавал наличие абсолютной противоположности верха и низа; по его представлениям, в бесконечной бездне пространства бесчисленные множества атомов несутся сверху вниз, увлекаемые силой тяжести. Тяжесть атомов пропорциональна их величине, однако различия в тяжести не влияют на скорость их падения в пустоте; этот тезис выводился Эпикуром из представлений о дискретной структуре пространства (он считал, что из бесконечной делимости пространственных интервалов неизбежно вытекала бы — в соответствии с аргументами Зенона Элейского — невозможность всякого движения). Атомы в своем падении с одинаковой скоростью могут отклоняться от строго вертикального направления. Эти отклонения (позднее обозначенные Лукрецием латинским термином clinamen) невелики, но произвольны. Отклоняясь, атомы могут сталкиваться друг с другом, сцепляться и образовывать скопления и вихри, приводящие к возникновению миров.

Источником всякого знания, согласно учению Эпикура, являются чувственные восприятия; в этом отношении Эпикур был представителем последовательного сенсуализма в греческой философии. Адекватность восприятий вызывающим их внешним объектам обосновывалась Эпикуром с помощью демокритовской теории истечений и образов.

В соответствии с воззрениями творцов атомистики, Эпикур считал душу телесной, состоящей из наиболее легких и подвижных атомов; при этом он делил ее на несколько составных частей, обладающих разными функциями. Единство души обусловлено сдерживающей ее телесной оболочкой; в случае гибели последней душа улетучивается, распадаясь на отдельные атомы. В целом учение о душе было разработано Эпикуром весьма основательно, ибо оно служило фундаментом для его этики, составлявшей ядро и важнейшую часть всей его философской системы.

Как и Демокрит, Эпикур признавал существование богов, но отрицал, что они как-либо влияют на ход мирового процесса: обитая в пространствах между мирами, боги пребывают в состоянии вечного блаженства, не нарушаемого никакими заботами или страстями.

От Эпикура дошли до нас лишь немногие тексты: три философских письма (к Пифоклу, Геродоту и Мецекею), сборник важнейших эпикурейских максим (Kyriai doxai) и ряд фрагментов. Влияние эпикуреизма в позднейшие эпохи определялось не сочинениями самого Эпикура, а поэмой «О природе вещей», написанной последователем Эпикура римским поэтом Лукрецием.

Если эпикурейство было еще во всех отношениях порождением эллинского духа, то наиболее могучая философская школа этой эпохи — стоицизм — вобрала в себя много восточных элементов. Характерно, что почти все ведущие деятели этой школы были так или иначе связаны с Востоком. Ее основатель Зенон (ок. 366—264 гг. до н. э.) был уроженцем финикийской колонии Китион на Кипре. Школа его получила наименование по месту, в котором происходили занятия (stoa — крытая галерея с колоннами). Большого влияния школа стоиков достигла в конце III в. до н. э., когда ее руководителем стал выдающийся ученый Хрисипп из Сол (Киликия). Преемником Хрисиппа был Диоген из Вавилона, а последний большой мыслитель греческого стоицизма — Посидоний Родосский (первая половина I в. до н. э.) — происходил из Сирии.

Философия, по мнению стоиков, распадается на три главных отдела — логику, физику и этику. В отличие от Аристотеля, признававшего за логикой значение лишь орудия всякого познания, стоики считали логику самостоятельной наукой. Эта наука, по их мнению, изучает и словесные знаки (звуки, слоги, слова, предложения) и обозначаемое ими (понятия, суждения, умозаключения). Таким образом, стопки относили к логике и грамматику, и философию языка. В рассуждениях стоиков, относящихся к логике, имеется много очень интересных мыслей, на которых мы здесь не имеем возможности останавливаться.

Физико-космологические воззрения стоиков обладают также значительным своеобразием. Стоики признавали элементами всего сущего четыре стихии, но из них они выделяли «высшие» стихии — огонь и воздух, противопоставляя их низшим — воде и земле. Сочетание огня и воздуха образует «пневму» — нечто вроде души, проникающей все вещи и мир в целом; хотя эта душа материальна, она обладает активностью и формообразующей способностью; наоборот, вода и земля пассивны, инертны и получают форму от пневмы. Взаимопроникновение пневмы и материи имеет своеобразный характер; пневма непрерывна и заполняет все пространство, в том числе и те его точки, которые уже заняты материальными вещами. В этом смысле пневму можно сопоставить с эфиром (или полем) физики нового времени. Это сопоставление оказывается тем более уместным, что в силу внутренних движений, в ней происходящих, - пневма всегда находится в состоянии известного натяжения (tonos); степенью этого натяжения определяются различные градации форм пневмы. Величина и фигура тел, а также все их качества — все это является результатом действия пневмы. В мире органической природы пневма обусловливает жизнедеятельность живых существ, причем от тонкости «пневматической» формы зависит степень организации данного класса животных или растений. Космос в целом объединяется пневмой, которая придает ему единство и охватывает все, что в нем содержится. Существует только один космос: он имеет сферическую форму и окружен беспредельным пустым пространством. Космос — живое разумное существо, проходящее циклический путь развития. Он возникает из первичного огня, проходит стадии, когда в нем раскрывается все многообразие сущего, а затем вновь разрешается в стихию огня в результате всеобщего воспламенения (ekpyrosis). Этот процесс необходим и причинно обусловлен — так же, как причинно обусловлены и все единичные события мирового процесса, включая кажущиеся произвольными действия живых существ. Эту единую и необходимую причинную связь всего совершающегося стоики называли термином «рок» или «судьба» (heimarmene).

Центральное место в философии стоиков занимала этика. И хотя проблемы этики, как и вообще гуманитарных наук, лежат за пределами нашего рассмотрения, все же несколько слов об основных положениях этики стоиков необходимо сказать.

Подобно эпикурейцам (и в полном соответствии с общепринятой в античности точкой зрения), главной целью человеческой жизни стоики считали счастье (eudaimo-nia). Но если эпикурейцы понимали под счастьем наслаждение, то для стоиков высшим счастьем человека считалась жизнь, согласующаяся с его «природой». Это означало, что человек должен стремиться к максимальной степени совершенства, развивая свои естественные задатки и способности. Максимальная же степень совершенства человека тождественна с добродетелью; следовательно, жизнь, согласующаяся с «природой», есть по учению стоиков, не что иное, как добродетельная жизнь. В этом вопросе стоики кардинально отличались от другой современной им школы — кинической, основателем которой был один из учеников Сократа Антисфен. По мнению киников, согласие с «природой» было эквивалентно отказу от всякого рода человеческих норм и установлений; поэтому киники проповедовали ничем не сдерживаемое следование «естественным» инстинктам и побуждениям (отметим, в связи с этим, что об ученике Антисфена Диогене Синопском — наиболее ярком представителе кинической школы — имеются многочисленные анекдоты).

Таким образом, если киники довели до крайних выводов развивавшуюся софистами доктрину о противоположности «природы» и «закона» (physis — nomos), то у стоиков понятие «природы» было радикально переосмыслено. Отождествляя «природу» со стремлением к добродетели, стоики по сути дела сняли указанную софистическую противоположность.

 

География

География была наукой, в наибольшей степени испытавшей непосредственное воздействие походов Александра Македонского. До этого географический кругозор греков еще не очень отличался от тех представлений об ойкумене, которые были изложены в книгах Геродота. Правда, в IV в. до н. э. путешествия в далекие страны и описания чужих земель становятся более частыми по сравнению с предшествующим столетием. В знаменитом «Анабазисе» Ксенофонта содержится много интересных данных по географии и этнографии Малой Азии и Армении. Ктесий Книдский, состоявший в течение 17 лет (415— 399 гг.) врачом при персидском дворе, написал ряд исторических и географических сочинений, из которых, помимо описания Персии, особой популярностью в древности и в средние века пользовалось описание Индии, содержавшее массу баснословных сведений о природе и жителях этой страны. Позднее (около 330 г. до н. э.) некий Пифей из Массилии предпринял путешествие вдоль западных берегов Европы; миновав Гибралтар и открыв Бретонский выступ, он в конце концов достиг полумифической земли Фуле, которую некоторые исследователи отождествляют с теперешней Исландией, другие же — с, Норвегией. Отрывки из сочинения Пифея приведены в трудах Полибия и Страбона.

И все же, когда Александр Македонский начал свои походы, и он, и его полководцы имели лишь очень слабое представление о странах, которые им предстояло завоевать. Армию Александра сопровождали «землемеры» или, точнее, «шагомеры» (bematistoi), устанавливавшие, на основе подсчета шагов, пройденные расстояния, составлявшие описание маршрутов и наносившие на карту соответствующие территории. Когда Александр возвращался из Индии, часть войска была им отправлена морем, причем командир флота Неарх получил приказание исследовать береговую полосу Индийского океана. Покинув устье Инда, Неарх благополучно достиг Двуречья и написал отчет об этом плавании, которым позднее пользовались историографы походов Александра Арриан и Страбон. Данные, накопленные во время походов Александра, позволили ученику Аристотеля Дикеарху из Мессаны составить карту всех известных тогда районов ойкумены.

Представление о шарообразности Земли, окончательно утвердившееся в Греции в эпоху Платона и Аристотеля, поставило перед греческой географией новые принципиальные задачи, важнейшей из них была задача установления размеров земного шара. И вот первую попытку решить эту задачу с помощью измерений положения зенита на разных широтах (в районе Лисимахии у Дарданелл и у Ассуана в Египте), причем полученное им значение земной окружности оказалось равным 300 000 стадиев (т. е. около 50 000 км вместо истинного значения 40 000 км). Ширину ойкумены (с севера на юг) Дикеарх определил в 40 000 стадиев, а длину (с запада на восток) — 60 000.

Наряду с этим Дикеарх занимался определением высот горных вершин и составил описание Греции в трех книгах. В целом же Дикеарх с полным правом может считаться первым географом-профессионалом в греческой науке.

Интересовался географией и другой представитель перипатетической школы — Стратон. Он высказал гипотезу, что Черное море было когда-то озером, а потом, соединившись со Средиземным морем, начало отдавать свои излишки Эгейскому морю (наличие течения в Дарданеллах было известным фактом, обсуждавшимся, в частности, Аристотелем; вспомним также историю постройки мостов через этот пролив для войска Ксеркса). Средиземное море, по мнению Стратона, также было ранее озером; когда оно прорвалось через узкий Гибралтарский пролив (называвшийся тогда Геркулесовыми столбами), уровень его снизился, обнажая побережье и оставляя раковины и отложения солей. Эта гипотеза потом оживленно обсуждалась Эратосфеном, Гиппархом и Страбоном.

Высшие достижения александрийской географии связаны с именем Эратосфена из Кирены, в течение долгого времени (234—196 гг. до н. э.) стоявшего во главе александрийской библиотеки. Эратосфен был необычайно разносторонним человеком, оставившим после себя сочинения по математике, астрономии, истории (хронологии), филологии, этике и т. д.; однако его географические работы были, пожалуй, наиболее значительными.

Большой труд Эратосфена «География», состоявший из трех книг, не сохранился, но его содержание, а также полемические замечания к нему Гиппарха довольно полно изложены Страбоном. В первой книге этого сочинения Эратосфен дает очерк истории географии, начиная с древнейших времен. При этом он критически высказывается по поводу географических сведений, приводимых «непогрешимым» Гомером; рассказывает о первых географических картах Анаксимандра и Гекатея; выступает в защиту описания путешествия Пифея, неоднократно высмеивавшегося его современниками. Во второй книге Эратосфен приводит доказательства шарообразности Земли, упоминает о своем методе измерения размеров земного шара и развивает соображения об ойкумене, которую он считал островом, со всех сторон окруженным океаном.

На этом основании он впервые высказал предположение о возможности достичь Индию, плывя из Европы на запад. Третья книга представляла собой подробный комментарий к составленной Эратосфеном карте.

Рис. 6. Метод определения окружности Земли по Эрастофену (А - Александрия, С — Сиена)

Метод, примененный Эратосфеном для определения окружности 3емли, был подробно описан им в специальном сочинении; метод состоял в измерении длины тени, отбрасываемой гномоном в Александрии в тот самый момент когда в Сиене (Ассуане) находившимся приблизительно в том же меридиане, Солнце стоит прямо над головой (Рис. 6). Угол между вертикалью и направлением па Солнце оказался (в Александрии) равным 1/50 полного круга. Считая расстояние между Александрией и Сиеной равным 5000 стадиев (немного менее 800 км). Эрастофен получил для окружности земного шара приближенное значение 250 000 стадиев. Более точные вычисления дали значение 252 000 стадиев, или 39 690 км, что всего лишь на 310 км отличается от истинной величины. Этот результат Эрастофена оставался непревзойденным вплоть до XVII в.

Знаменитый астроном II в. до н. э. Гиппарх написал сочинение, в котором подверг резкой критике «Географию» Эратосфена. Критика в основном касалась методов локализации географических объектов. Гиппарх считал недопустимым придавать серьезное значение свидетельствам путешественников или моряков об удаленности и ориентации этих объектов; он признавал лишь методы, основанные на точных объективных данных, к которым он относил высоту звезд над горизонтом, длину тени, отбрасываемой гномоном, различия во времени наступления лунных затмений и т. д. Введя в употребление сетку меридианов и параллелей в качестве основы для построения географических карт, Гиппарх явился основоположником математической картографии.

На примере географии мы видим, что даже эта наука, ранее бывшая чисто описательной подверглась в александрийскую эпоху процессу математизации. Еще в большей степени этот процесс был характерен для развития астрономии, механики, оптики. Поэтому мы вправе утверждать, что именно в эту эпоху математика впервые стала признанной царицей наук. А следовательно, прежде чем переходить к другим наукам, целесообразно рассмотреть замечательные достижения эллинистической математики.

 

Математика

Евклид. В конце IV в. до н, э. почти вся известная к тому времени математика была изложена в «Началах» Евклида — замечательном труде, которому суждено было остаться образцом и идеалом на два с лишним тысячелетия.

О личности Евклида мы почти ничего не знаем, за исключением того, что он был современником Птолемея I Сотера и преподавал математику - в Александрии. Предполагается, что он получил математическое образование в Афинах (может быть, в Академии?). Судя по тому, что Архимед приводит в одной из своих книг предложение, взятое из «Начал», этот основной труд Евклида был, по-видимому, к тому времени уже хорошо известен. Нелегко оценить вклад, внесенный в математику самим Евклидом, поскольку он, по всей видимости, был не столько творческим гением, подобно Евдоксу или Архимеду, сколько блестящим педагогом и систематизатором. Основное содержание «Начал» Евклида составляют открытия Гиппократа Хиосского, Теэтета, Евдокса и других математиков предшествующей эпохи, причем излагаемому материалу Евклид придал логическую стройность и формальную законченность.

Дошедший до нас текст «Начал» состоит пятнадцати книг, причем две последние были написаны не Евклидом, а добавлены позднее. Кратко резюмируем содержание каждой из них.

Первые четыре книги «Начал» посвящены геометрии на плоскости — в них представлен тот же материал, который, предположительно, уже содержался в книге Гиппократа Хиосского. Из этого, однако, не следует, что в своем изложении Евклид просто повторял Гиппократа. В особенности это относится к I книге, начинающейся с определений, постулатов и аксиом. В числе постулатов имеется знаменитый (пятый) постулат о параллельных линиях, попытки изменения которого привели впоследствии к созданию неевклидовых геометрий. После этого идут теоремы, устанавливающие важнейшие свойства треугольников, параллелограммов, трапеций. В конце книг приводится теорема Пифагора.

Во II книге излагаются основы геометрической алгебры. Произведение двух величин трактуется в ней как прямоугольник, построенный на двух отрезках. Устанавливается дистрибутивность умножения по отношению к сложению (т. е. если a=a1+a2+a3, то ba=ba1+ba2+ba3). Доказывается ряд важных тождеств, например, (a+b)2=a2+2ab+b2

Дается геометрическая формулировка нескольких типов задач, эквивалентных задачам на квадратные уравнения.

III книга посвящена свойствам круга, его касательных и хорд.

Наконец, в IV книге рассматриваются правильные многоугольники. Строятся правильные n-угольники при n=3, 4, 5, 10, 15, причем построение правильного 15-угольника принадлежит, по-видимому, самому Евклиду.

V и VI книги «Начал» отражают вклад Евдокса в теорию отношений и ее применения к решению алгебраических задач. Особой законченностью отличается V книга, посвященная общей теории отношений, охватывающей как рациональные, так и иррациональные величины (о чем мы уже говорили в третьей главе, в разделе, посвященном Евдоксу).

VII, VIII и IX книги посвящены арифметике, т. е. теории целых и рациональных чисел, разработанной, как указывалось выше, пифагорейцами не позднее V в. до н. э. Помимо теорем, относящихся к сложению и умножению целых чисел и умножению их отношений, здесь рассматриваются вопросы теории чисел: вводится «алгоритм Евклида», излагаются основы теории делимости целых чисел, доказывается теорема о том, что существует бесконечное множество простых чисел. Эти три книги написаны, по-видимому, на основе не дошедших до нас сочинений Архита.

X книга, содержащая изложение результатов, полученных Теэтетом, посвящена квадратичным иррациональностям. Дается их классификация (биномиали, апотомы, медиали и т. д.).

В XI книге рассматриваются основы стереометрии; здесь содержатся теоремы о прямых и плоскостях в пространстве, трехмерные задачи на построение и т. д.

В XII книге излагается метод исчерпывания Евдокса, с помощью которого доказываются теоремы, относящиеся к площади круга и к объему шара, а также выводятся соотношения объемов пирамид и конусов с объемами соответствующих призм и цилиндров.

Основные результаты XIII книги, посвященной пяти правильным многогранникам, принадлежат Теэтету.

Позднее к «Началам» были присоединены XIV и XV книги, не принадлежавшие Евклиду, а написанные позже — одна во II в. до н. э, а другая в VI в. н. э. Об их содержании будет сказано ниже.

При всем богатстве материала, включенного в «Начала» Евклида, это сочинение отнюдь не было всеохватывающей энциклопедией античной математики. Так, в него не вошли теоремы о «луночках» Гиппократа Хиосского, а также три знаменитых задачи древности — об удвоении куба, трисекции угла и квадратуре круга, о которых мы говорили во второй главе. Мы не находим в нем также ни единого упоминания конических сечений, теория которых в это время уже начала разрабатываться (в том числе и самим Евклидом).

Были ли у Евклида предшественники в попытках создания дедуктивной системы математики. Безусловно, были. О Гиппократе Хиосском мы уже говорили. Как сообщает неоплатоник Прокл в своих комментариях к «Началам», аналогичные попытки предпринимались также двумя математиками IV века — неким Леоном и Февдием из Магнесии, примыкавшим к платоновской Академии. Евклид, несомненно, был знаком с их работами. Это, однако, нисколько не умаляет его собственных заслуг. Мы не можем считать случайностью, что именно «Начала» сохранились в веках, в то время как труды не посредственных предшественников Евклида были утеряны и забыты, и даже о их содержании не сохранилось никаких сведений. В конечном счете суд истории оказывается, как правило, справедливым.

Кроме «Начал», Евклиду приписывается еще несколько сочинений, относящихся к различным разделам математической науки; В книге «Данные» («Dedomena») Евклид рассмотрел 95 случаев, когда некоторым числом заданных величин определяются другие величины (к каковым могут относиться части фигур, их положения, взаимные соотношения н т. д.). В небольшом сочинении «О делении фигур» («Peri diaireseon»), сохранившемся только в арабском переводе, обсуждается задача о делении данной геометрической фигуры на две части, имеющие данное отношение, с помощью прямой, имеющей данное направление или проходящей через данную точку. Некоторые математические сочинения Евклида до нас не дошли; среди них древние источники называли «Ложные заключения» («Pseudaria») и книгу о конических сечениях («Konika»), написанную задолго до знаменитого трактата Аполлония на эту же тему.

Помимо чисто математических сочинений, Евклид написал еще ряд сочинений, относящихся, согласно нынешней терминологии, к различным разделам математической физики. До нас дошли: «Явления» («Phaiaonienа»), где излагается элементарная сферическая астрономия; далее, «Оптика» и «Катоптрика», о которых речь пойдет ниже, и «Сечения канона» («Katatome kanonos»), содержавшие десять предложений о музыкальных интервалах. Изложение в этих сочинениях также имело строго дедуктивный характер, причем теоремы в них выводились из точно сформулированных физических гипотез и математических постулатов.

Архимед. Величайший ученый эпохи эллинизма Архимед формально не принадлежал к александрийской научной школе; он родился в 287 до н. э. в Сиракузах и там же прожил почти всю свою жизнь. Считается, однако, несомненным, что он бывал в Александрии, где установил связи с александрийскими учеными; об этом свидетельствует его переписка с Кононом, Досифеем и Эратосфеном.

Будучи сыном сиракузского математика и астронома Фидия, Архимед уже в детстве получил хорошую математическую подготовку. Но собственно математическими проблемами он начал заниматься сравнительно поздно. В какой-то период своей жизни Архимед посетил Александрию, где сблизился с уже упомянутым Кононом (с острова Самос), занимавшим должность астронома при дворе третьего представителя династии Птолемеев — Птолемея III Эвергета (246—211 гг. до н. э.). Конон, в то время находившийся в преклонном возрасте, был, несомненно, высококвалифицированным математиком; предполагается, что именно он побудил Архимеда заняться чисто математическими проблемами. По возвращении в Александрию Архимед регулярно переписывается с Кононом, а после смерти последнего — с его учеником Досифеем. До нас дошли пять писем Архимеда к Досифею; по существу это пять математических трактатов из которых каждый посвящен определенному кругу, проблем в соответствии с их содержанием эти письма-трактаты имеют следующие названия:

1. «Квадратура параболы»,

2 и 3. «О шаре и цилиндре»,

4.«О коноидах и сфероидах»,

5. «О спиралях».

Значение этих писем трудно переоценить: в них Архимед непосредственно подходит к методам высшей математики. Если в первом письме, где решается задача об определении площади параболического сегмента, отсеченного прямой, Архимед еще пользуется методом исчерпывания Евдокса, то в последующих письмах он разрабатывает свой метод, который им применяется к вычислению поверхностей и объемов ряда геометрических тел.

Метод Архимеда представляет собой дальнейшее развитие и усовершенствование метода Евдокса. Как было указано в предыдущей главе, Евдокс получал искомое значение площади (поверхности, объема), безгранично увеличивая число членов ряда величин, сумма которых имела своим пределом именно это значение; Но при этом общая схема метода еще не была сформулирована Евдоксом, и рассуждения должны были повторяться заново для каждого конкретного случая. В отличие от Евдокса Архимед заключал подлежащую определению величину между двумя интегральными суммами, разность которых могла быть сделана меньше любой наперед заданной величины. Искомая величина находится при этом как общий предел обеих сумм при безграничном увеличении числа слагаемых, что эквивалентно задаче о вычислении определенного интеграла. При определении поверхности шара, при нахождении объема сегментов параболоида и гиперболоида, а также эллипсоида вращения Архимед, по существу дела, вычислял интегралы:

Этим же методом он решал и более трудные задачи — определения длин дуг и площадей ряда кривых поверхностей.

Все эти задачи мы находим в книгах «О шаре и цилиндре», «О коноидах и сфероидах», «О спиралях». Трудно сказать, осознавал ли Архимед, что в каждой из рассмотренных им задач речь шла об одном и том же математическом понятии — понятии определенного интеграла. Во всяком случае, у него еще не было средств, чтобы дать общее определение интеграла. Кроме того, во всех решаемых задачах Архимеда интересовали в первую очередь не методы, а результаты — например, что поверхность шара в четыре раза больше, чем площадь его большого круга, и что объем шара равен 2/3 объема описанного около него цилиндра. Последним результатом Архимед особенно гордился, вследствие чего на его могиле был поставлен надгробный памятник, изображавший шар, вписанный в цилиндр.

Рис. 7. Архимедова спираль (ρ=αφ)

Наряду с методами вычисления площадей и объемов, Архимед разработал метод определения касательной к кривой, фактически сводящийся к нахождению производной. По каким-то причинам этот метод фигурирует только в письме «О спиралях», где он применяется для определения касательной к спирали ρ=αφ (так называемая «Архимедова спираль», рис. 7), однако рассуждения Архимеда имеют общий характер и применимы к любой дифференцируемой кривой. Тем же методом Архимед пользуется для нахождения экстремальных значений алгебраических выражений, которые могут быть выражены в виде геометрических кривых. В частности, пользуясь современной терминологией, можно сказать, что он провел полное исследование существования положительных корней кубического уравнения определенного вида. Проблема определения экстремальных значений сводится Архимедом к проблеме нахождения касательной к соответствующей кривой.

Помимо пяти писем к Досифею, до нас дошли — полностью или частично — еще некоторые математические работы Архимеда. Так, мы располагаем фрагментом его книги «Измерение круга», в котором доказывается ряд теорем, относящихся к свойствам круга (более полный текст этого сочинения сохранился в арабском переводе). В одной из теорем Архимед пользуется методом исчерпывания, доказывает, что площадь круга равна площади прямоугольного треугольника, один катет которого равен радиусу данного круга, а другой — длине его окружности. При этом в качестве порочного результата Архимед устанавливает приближенное значение отношения длины окружности к диаметру (т. е. числа П). Вычисляя периметры вписанных в круг и описанных вокруг него многоугольников, Архимед устанавливает для этого числа следующие неравенства:

Наряду со строго математическими методами Архимед иногда пользуется остроумными эвристическими приемами для получения тех же результатов. Еще в первом письме к Досифеем («О квадратуре параболы») площадь параболического сегмента определяется не только методом исчерпывания Евдокса, но также «механическим» методом, представлявшим собою изобретение самого Архимеда. Обоснование подобных процедур содержится в рукописи неизвестного ранее сочинения Архимеда, обнаруженной в Константинополе приват-доцентом Петербургского университета Попадопуло Керамевсом и прочтенной в 1906—1908 гг. известным датским филологом И. Л. Хейбергом. В, этом сочинении (так называемый «Эфод»), пользуясь принципом рычага, Архимед приводит доказательства ряда теорем, в других сочинениях доказываемых им с помощью интегрального метода. При этом Архимед пишет: «Кое-что из того, что ранее мною усмотрено при помощи механики, позднее было доказано также и геометрически». Разумеется, такие «механические» методы не могли быть применены ко всем задачам подобного рода, которые, однако, также были решены Архимедом. Механические методы, используемые Архимедом, представляют собой обход интегрирования, когда можно бывает выразить одни интегралы через другие, уже известные. Этому не противоречит то обстоятельство, что механические методы применялись Архимедом задолго до того, как он разработал интегральный метод, представлявший собой развитие метода исчерпывания Евдокса.

Уже в древности большой популярностью пользовалось сочинение Архимеда, дошедшее до нас полностью под названием «Псаммит» (примерный перевод — «Исчисление песчинок») и относящееся к числу поздних работ великого сиракузца, причем, судя по началу, оно было теснейшим образом связано с астрономической проблематикой. Математическое содержание «Псаммита» сводится к разработке системы классификации больших чисел. Эта классификация, кажущаяся теперь неоправданно сложной, заканчивается числом, которое в наших обозначениях может быть записано как 108·10^16.

Громадность этого числа должна была поражать воображение древних, не привыкших оперировать с очень большими числами. По сравнению с ним количество песчинок, которые заполнили бы пустую сферу, равновеликую сфере неподвижных звезд, оказалось равным, согласно расчетам Архимеда, неизмеримо меньшему числу — 1068. Не все математические сочинения Архимеда дошли до нашего времени. Так книги «Леммы», «О семиугольнике», «и касающихся кругах» известны нам лишь в арабском изложении; некоторые геометрические теоремы, доказанные Архимедом, сохранились в математическом трактате знаменитого среднеазиатского ученого Ал-Бируни (973—1048 гг.); от ряда же других книг (в том числе от трактата «О параллельных линиях») до нас дошли лишь их заглавия. Но и того, что нам известно, достаточно, чтобы оценить Архимеда как величайшего математика древности, явившегося предтечей творцов виршей математики Нового времени.

Аполлоний Пергский. Третий великий математик эпохи эллинизма — Аполлоний из Перги (в Памфилии — небольшой области, расположенной на южном побережье Малой Азии) — жил и работал в Александрии, Пергаме и Эфесе в конце III в. до н. э. Наиболее знаменитое сочинение Аполлония — «Конические сечения» («Кonika») - посвящено теории кривых второго порядка эллипса, гиперболы и параболы), получающихся при сечении конуса плоскостью, расположенной под разными углами к оси конуса. До нас сочинение Аполлония дошло не полностью: из составлявших его восьми книг мы располагаемым оригинальным греческим текстом лишь первых четырех и арабским переводом трех последующих; что же касается восьмой книги, то она считается утерянной, хотя о ее содержании мы можем судить по изложению Паппа в его «Математическом сборнике». Долгое время сочинение Аполлония не имело влияния на развитие науки, и лишь в XVII в., в связи с развитием аналитической геометрии, механики и новой теории движения планет, данной Кеплером, наступило возрождение идей Аполлония. Теория конических сечений Аполлония принадлежит к числу таких математических теорий, которые создавались задолго до того, как в них возникала потребность в математическом естествознании.

Из других математических работ Аполлония полностью сохранился (в арабском переводе) лишь один небольшой трактат в двух книгах — «О сечении в данном отношении». В нем рассматривается следующая задача: даны две прямые, лежащие в одной плоскости, и точка на каждой из них; через некоторую третью точку надо провести прямую так, чтобы она отсекала на данных прямых, начиная от данных точек, отрезки, которые находились бы друг к другу в заданном отношении. Первая книга трактата рассматривает случай, когда данные прямые параллельны, вторая — когда они пересекаются (рис. 8). Аполлоний показывает, что эта задача сводится к решению некоторого квадратного уравнения.

Рис. 8. Теорема Аполлония о сечении в данном отношении.

Аполлоний написал еще два трактата на сходные темы; о них мы знаем по изложению Паппа.

«О сечении с заданной площадью». В этом сочинении рассматривалась задача, аналогичная предыдущей: оба отсекаемых отрезка должны, при умножении их друг на друга, дать прямоугольник заданной площади.

«Об определенном сечении». На прямой даны четыре точки: A, B, С и D. Определить точку Р, лежащую на той же прямой, так, чтобы произведение АР•СР имело заданное отношение к BP•DP.

Несколько трактатов Аполлония известны нам по ссылкам на них Паппа и других позднейших авторов.

«О касаниях». Здесь разбирается знаменитая задача Аполлония: даны три объекта, каждый из которых может быть точкой, прямой или окружностью. Найти окружность, которая проходит через каждую из данных точек и касается заданных прямых или окружностей.

«О плоских геометрических местах». В этом трактате Аполлоний доказывал ряд теорем, в которых рассматривались геометрические места, относящиеся к прямым и окружностям. Некоторые из этих теорем приводятся Паппом. Интересно, что в этом трактате впервые используются инверсия на плоскости и геометрия как преобразования, переводящие «плоские места» (прямые и окружности) в такие же «места».

«О сравнении додекаэдра и икосаэдра». Эта книга упоминается Гипсиклом во введении к так называемой XIV книге «Начал» Евклида. В ней доказывалось, что если додекаэдр и икосаэдр вписаны в один и тот же шар, то их поверхности имеют то же отношение, что и их объемы.

Известны названия еще некоторых сочинений Аполлония, но о их содержании нет определенных сведений. Среди них — работа «О неупорядоченных иррациональностях», в которой, как можно предполагать, классификация иррациональных величин, содержащаяся в «Началах» Евклида, была распространена на более широкие классы иррациональностей. К сожалению, мы не располагаем данными, которые позволили бы судить, насколько далеко Аполлоний продвинулся в этой области.

Но даже из того, что мы знаем о достижениях Аполлония — то ли из его оригинальных текстов, то ли из свидетельств о нем математиков более позднего времени — мы вправе заключить, что в его лице эллинистическая эпоха дала миру первоклассного математического гения. В трудах Аполлония греческая геометрическая алгебра достигла высшего расцвета. После него это направление математической науки начинает постепенно хиреть и иссякать. Для дальнейшего успешного развития античная математика нуждалась в новых импульсах; эти импульсы, однако, нельзя было почерпнуть в тогдашней действительности.

 

«Малые» математики эпохи эллинизма

Наряду с гигантскими фигурами Евклида, Архимеда и Аполлония в Александрии и в других культурных центрах III—II вв. до н. э. жили и работали математики меньшего калибра, не давшие новых идей и не разработавшие принципиально новых теорий. И все же некоторые из них заслуживают того, чтобы их имена не были преданы забвению.

О Кононе Самосском, старшем друге Архимеда, мы уже упоминали выше. О его собственных математических достижениях нам ничего не известно; впрочем, он был, по-видимому, скорее астрономом, чем математиком.

Математические труды другого друга Архимеда — Эратосфена Киренского — были не столь значительны, как его работы в области географии и хронологии, но они все же свидетельствовали об оригинальном и творческом уме их автора. Так, Эратосфен дал механическое решение знаменитой задачи об удвоении куба; это решение было высечено на стене одного из александрийских храмов. Он занимался теорией чисел и предложил оригинальный способ выделить простые числа из последовательности всех нечетных чисел (так называемое «решето Эратосфена»). В диалоге «Платоник» он изложил основы античной арифметики, где, в частности, были сформулированы правила образования различных пропорций.

Рис. 9. Конхоида (или кохлоида) Никомеда. При любом А (меньше 90°) AB=DE

Старший современник Аполлония, Никомед, известен главным образом тем, что открыл новую алгебраическую кривую — конхоиду. Она определяется как геометрическое место точек, образуемое концами лучей, исходящих из точки О и пересекающих прямую, причем расстояние от этой прямой до конца луча остается всегда равным а (рис 9). В полярных координатах уравнение этой кривой имеет вид:

Как рассказывают источники, Никомед очень гордился этой кривой и построил прибор для ее черчения. Он применил свою кривую для решения задач об удвоении куба и трисекции угла.

Ко второй половине II в. до н. э. относится творчество Диокла, изучавшего другую алгебраическую кривую — циссоиду. Она строится следующим образом. Даны два взаимно перпендикулярных диаметра круга АВ и CD. Пусть точки К и L удаляются от B в обе стороны, все время, однако, оставаясь на равном расстоянии от диаметра АВ. Из точки L опустим на диаметр CD перпендикуляр. Пересечение этого перпендикуляра с прямой KD даст нам точку, которая, по мере удаления К и L от В, будет описывать циссоиду (рис. 10). С помощью этой кривой Диокл также решил задачу об удвоении куба. Кроме того, он предложил свое решение задачи Архимеда о делении шара в заданном отношении; это решение, однако, было утеряно еще в древности.

Рис. 10. Построение циссоиды

Между III в. до н. э. и па-чалом нашей эры жил Зенодор — автор трактата «Об изопериметрических фигурах», где в частности, было показано:

1) что из двух правильных многоугольников с равными периметрами большую площадь будет иметь прямоугольник с большим числом сторон;

2) что если окружность круга и периметр правильного многоугольника равны, то площадь круга будет всегда больше правильного многоугольника;

3) что из всех многоугольников равного периметра и с равным числом сторон наибольшую площадь будет иметь правильный многоугольник.

Следствие этих теорем состоит в том, что из всех изопериметрических фигур круг будет иметь наибольшую площадь. Зенодор также утверждал, что из всех пространственных тел с одинаковой поверхностью наибольшим объемом будет обладать шар. Это, вообще говоря, правильное предложение, им не было доказано; он сумел доказать лишь следующие теоремы (которые в его сочинения шли под номерами 13 и 14):

1) Если правильный многоугольник с четным числом сторон вращать вокруг самой длинной его диагонали, то получится тело, ограниченное коническими поверхностями, которое будет меньше шара с такой же поверхностью.

2) Каждый из пяти правильных многогранников будет меньше шара с той же поверхностью.

Наконец, следует назвать Гипсикла, живущего в Александрии во II в. до н. э. Он написал сочинение о правильных многогранниках, по своему содержанию примыкавшее к XIII книге «Начал» Евклида; вероятно, именно поэтому оно было позднее включено в «Начала» в качестве XIV книги и таким образом дошло до нашего времени. В этом сочинении Гипсикл рассматривает додекаэдр и икосаэдр, вписанные в один и тот же шар, и показывает, что объемы этих двух фигур относятся друг к другу так же, как их поверхности. Кроме того, он доказывает, что указанное отношение будет равно отношению ребра вписанного куба к ребру икосаэдра. Других чисто математических работ Гипсикла мы не знаем; впрочем, в источниках имеется указание на то, что он писал о многоугольных числах, примыкая, таким образом, к пифагорейской традиции.

Диокл, Зенодор и Гипсикл (и вообще все математики эллинистической эпохи, жившие после Аполлония) обычно именуются «эпигонами». Они действительно были эпигонами — в том смысле, что к основному богатству античной математики, накопленному гениями IV—III вв. до н. э., они добавили лишь мелочи, не выходившие за рамки уже существовавших идей и теорий.

 

Астрономия

В предыдущей главе, излагая достижения античной астрономии классического периода, мы дошли до Гераклида Понтийского, предложившего модель мира, в которой. Земля совершала суточные обороты вокруг своей оси, а Меркурий и Венера вращались вокруг Солнца. Система Гераклида еще не снимала всех трудностей, связанных с изменением яркости планет. Это изменение было характерно не только для Венеры, но и для Марса: находясь в противостоянии с Солнцем, Марс имел значительно большую яркость, чем в соединениях, причем эти противостояния и соединения могли происходить в любых местах зодиакального пояса. Объяснить это можно было двояко: либо Марс вращается вокруг Солнца, а Солнце, в свою очередь, совершает обороты вокруг Земли, либо же Земля, находясь между Солнцем и Марсом, вращается вокруг Солнца. Первый путь был избран уже в Новое время знаменитым датским астрономом Тихо Браге: у него все пять видимых планет вращались вокруг Солнца, а Солнце — в соответствии с традиционной геоцентрической точкой зрения — вращалось вокруг Земли. Второе из указанных допущений; означавшее переход к гелиоцентрической системе мира, было сделано великим астрономом древности — Аристархом.

Аристарх Самосский родился во второй половине IV в. и умер предположительно в середине III в. до н. э.; таким образом, он был современником Евклида, Эпикура и Стратона. О его жизни нет никаких сведений — за исключением того, что примерно в 288—277 гг. до н. э. он занимался астрономическими наблюдениями в Александрии. Основное сочинение Аристарха, в котором была изложена его система мира, до нас не дошло; о его содержании коротко сообщает Архимед в «Псаммите». Сохранился текст лишь одного небольшого, но крайне интересного трактата Аристарха «О размерах и расстояниях Солнца и Луны». Трактат Аристарха написан по образцу математических подобий того времени: он состоит из ряда выводимых друг из друга теорем, которым предшествуют шесть фундаментальных положений, или «гипотез», взятых в основном из данных наблюдений, полученных при прохождении Луны через тень Земли во время лунных затмений. Из этих данных Аристарх заключает: 1) что расстояние от Земли до Солнца составляет приблизительно 18—20 расстояний от Земли до Луны; 2) что диаметры Солнца и Луны находятся в том же отношении друг к другу, как и их расстояния о земли; 3) что отношение диаметра Солнца к диаметру Земли, должно лежать в пределах между 19/3 и 43/6. Отсюда следует, что объем Солнца должен быть в (19/3)3 или приблизительно в 250 раз больше объема Земли.

Каким образом получил Аристарх эти значения, вообще говоря, очень сильно отличающиеся от действительных? В качестве примера рассмотрим первое из приведенных соотношений — соотношение между расстояниями от Земли до Солнца и от Земли до Луны. Аристарх фиксирует тот момент времени, когда Луна находится строго в первой (или последней) четверти, т. е. когда мы видим освещенной половину лунного диска. Очевидно, что в этот момент прямые, соединяющие Луну с Землей и Луну с Солнцем, образуют прямой угол. Затем Аристарх определяет угол а, который в этот же момент времени образует прямые, соединяющие Солнце с Луной и Землей (рис. 11). Этот угол, согласно его наблюдениям, оказывается равным одной тридцатой прямого угла (т. е. в нынешних обозначениях a=3°). Задача состоит в том, чтобы определить, во сколько раз расстояние от Земли до Солнца (3.—С.) превосходит расстояние от Земли до Луны (3.—Л.) или, если пользоваться тригонометрическими терминами — в определении sin а. С помощью соответствующих геометрических построений Аристарх находит неравенства, заключающие отношение (3.—С.)/(3.—Л.) в достаточно узкие границы. А именно, он получает:

Рис. 11. Метод определения отношения расстояний Земля — Луна и Земля — Солнце по Аристарху (3.—Л.)(3.—С.) = sin α=α

Математические рассуждения Аристарха безупречны. Почему же найденное им приближенное значение отношения (3.—С.)/(3.—Л.) оказалось очень далеким от истинного? Потому, что принятое им значение угла а оказалось завышенным примерно в 18 раз (на самом деле оно составляет всего около 10 ). Дефектными были не математические приемы Аристарха, а его наблюдательная техника.

Зная отношение (3.—С.)/(3.—Л.) и учитывая тот факт, что видимые поперечники Солнца и Луны примерно равны, мы сразу же находим, что диаметр Солнца должен быть в 19 раз больше диаметра Луны.

Несколько сложнее обстоит дело с определением отношения диаметра Солнца к диаметру Земли. При выводе этого соотношения Аристарх использует одну из шести «гипотез», сформулированных им в начале трактата, а именно, что поперечник тени Земли, падающей па Луну при лунном затмении, принимается равным удвоенному диаметру Луны. С помощью этой гипотезы и найденного выше соотношения между расстоянием от Земли до Лупы и от Земли до Солнца, Аристарх находит искомое отношение (19/3).

В числе шести «гипотез» Аристарха фигурирует и такое утверждение: «Диаметр Луны равен одной пятнадцатой части знака зодиака», т. е. 2°. Это — грубая ошибка, на которую часто ссылаются как на свидетельство несовершенства наблюдательных средств Аристарха (на самом деле видимый поперечник Луны равен 0,5°). Правда, Архимед в «Псаммите» сообщает, что диаметр видимого диска Солнца (а значит, и Луны?) составляет, по Аристарху, одну семьсот двадцатую часть круга, что, в общем, соответствует действительности. Откуда же возникла указанная ошибка? Может быть, она явилась следствием небрежности переписчика? Независимо от решения этого частного вопроса, можно считать несомненным, что Аристарх не придавал большого значения точности наблюдательных данных, которыми он пользовался. Он подходил к решению своих астрономических задач скорее как математик, чем астроном, для которого претенциозность наблюдений имеет первостепенное значение.

Эти критические замечания отнюдь не имеют целью умалить роль Аристарха в развитии точного естествознания. В истории математики эта роль определяется тем, что он начал пользоваться — пусть еще в неявном виде — тригонометрическими функциями. Что же касается астрономической науки, то величие Аристарха выражается прежде всего в том, что он впервые попытался по наблюдательным данным определить как относительные размеры небесных светил (Земли, Луны и Солнца), так и относительные расстояния между ними. Это был шаг величайшего значения, по существу, может быть, значительно более важный, чем создание первой гелиоцентрической системы мира, что по традиции считается основным достижением Аристарха-астронома.

В самом деле, имеются все основания думать, что гелиоцентрическая модель космоса рассматривалась Аристархом как естественное следствие полученных им результатов о сравнительных размерах Солнца и Земли. В V в. до н. э. Анаксагор допустил, что Солнце по своей величине может превышать Пелопоннес — для того времени очень смелое предположение. Лишь не намного дальше этого пошел, по-видимому, Аристотель. И вот оказалось, что объем Солнца в 250 раз больше объема Земли. Хотя и эта цифра была очень заниженной (на самом деле, как мы теперь знаем, объем Солнца по крайней мере в миллион раз превышает объем Земли), по она была достаточной для того, чтобы вызвать сомнения в правильности традиционной геоцентрической картины мира. Если Солнце так велико по сравнению с Землей, то не естественнее ли было бы именно его принять за центр вселенной? Тем более, что это допущение приводило к радикальному упрощению устройства космоса и естественным образом разрешало трудность с колебаниями яркости некоторых планет. А эта трудность, как мы видели, была наиболее слабым пунктом в гомоцентрических моделях мира, создававшихся ученым IV в. до н. э.

Вероятно, таким — или сходным — образом Аристарх обосновывал свою гелиоцентрическую концепцию. Естественное возражение, что в случае движения Земли вокруг Солнца должны были бы меняться видимые конфигурации неподвижных звезд, Аристарх отводил указанием на огромность радиуса сферы неподвижных звезд. Как свидетельствует Архимед в «Псаммите», сфера, по которой, согласно Аристарху, обращается Земля вокруг Солнца, находится в таком же отношении к сфере неподвижных звезд, в каком в обычной геоцентрической модели Земля находится к тому, что мы называем космосом.

Несмотря на все, с нашей точки зрения, крайне убедительные аргументы в пользу гелиоцентрической модели мира, предложенной Аристархом, модель эта не нашла поддержки среди большинства астрономов античности; единственным известным ее сторонником оказался Селевк из Селевкии, весьма оригинальный мыслитель, живший во II в. до н. э. Любопытно, что Селевк был первым ученым, установившим зависимость приливов и отливов от положения Луны. Селевк отстаивал также тезис о бесконечности вселенной, следуя в этом отношении атомистам и, возможно, Гераклиду Понтийскому.

Против гипотезы Аристарха выдвигались доводы, которые по тому времени казались достаточно вескими. Так, например, Птолемей рассуждал, что если бы Земля двигалась так быстро, как это следовало из предположения о ее вращении вокруг оси (и тем более при ее вращении вокруг Солнца), то все, что находится на ее поверхности и не связано с ней жестким образом (например, облака), должно было бы отставать от ее движения и казаться улетающим в противоположную сторону. С позиций аристотелевской динамики, не знавшей закона инерции, этому аргументу ничего нельзя было противопоставить. Другие возражения против системы Аристарха имели уже чисто астрономический характер. По Аристарху, все планеты, Луна и Земля движутся равномерно по круговым орбитам вокруг Солнца. Это лишало возможности объяснить наблюдаемые нерегулярности в движении небесных светил, которые в геоцентрической системе мира могли быть учтены путем добавления дополнительных круговых движений. Уже афинские астрономы V в. до н. э. Метон и Евктемон знали, что длительность четырех времен года неодинакова — так, как если бы Солнце двигалось по своей орбите то быстрее, то медленнее. По-видимому, именно для объяснения этого факта Каллипп ввел четвертую сферу для Солнца в своей модели мира. Между тем из гелиоцентрической системы Аристарха следовало, что длительность четырех времен года всегда остается одинаковой. Надо также учесть, что в III в. до н. э. грекам стали известны данные многовековых наблюдений вавилонских астрономов; данные вавилонян позволили уточнить греческие наблюдения над движением небесных светил, причем, как правило, эти уточнения говорили не в пользу системы Аристарха.

К сожалению, мы очень мало знаем об астрономических работах Архимеда. Из высказываний самого Архимеда можно заключить, что он не принял гелиоцентрической системы Аристарха и, в соответствии с господствовавшим мнением, полагал, что Земля находится в центре мира. По словам римского писателя Макробия, Архимед вычислил, на расстоянии скольких стадий находится Земля от Луны, Венеры, Меркурия, Солнца, Марса, Юпитера и Сатурна. Если свидетельство Макробия соответствовало истине, то было бы крайне интересно установить, на основании каких соображений Архимед производил свои вычисления. Мы, однако, об этом ничего не знаем.

В «Псаммите» Архимед дал детальное описание метода, примененного им для измерения видимого диаметра Солнца. Это описание свидетельствует о большом экспериментальном мастерстве Архимеда (любопытно, что в своих расчетах он даже учитывает размеры человеческого зрачка). Полученное им значение определяется верхним и нижним пределами (в современных обозначениях — 32’ 55’’ и 27’), причем верхний предел оказывается очень близким к истинному значению (которое колеблется между 31’ 28’’ и 32’ 37’’).

Известно также, что Архимед построил планетарий — полую вращающуюся сферу с механизмом, позволявшим воспроизводить движение Луны, Солнца и пяти планет. После смерти Архимеда планетарий был увезен в Рим где им мог восхищаться еще Цицерон. Возможно, что к этому планетарию имело отношение не дошедшее до нас сочинение Архимеда «Об изготовлении сфер».

Из астрономов меньшего масштаба этой эпохи, помимо Конона и Доспфея, с которыми переписывался Архимед, следует упомянуть двух астрономов, также живших в Александрии в первой половине III в. до н. э.,— Аристилла и Тимохариса. В отличие от астрономов-математиков (или «теоретиков», как сказали бы мы теперь) они были типичными наблюдателями, занимавшимися точным измерением положений звезд, установлением моментов равноденствий и т. д. Они пользовались при этом специальными инструментами, снабженными градуированными кругами.

Данные Аристилла и Тимохариса были впоследствии использованы Гиппархом.

Непосредственное отношение к астрономии имело и определение размеров земного шара, произведенное Эратосфеном, о чем уже шла речь выше, в разделе географии. Но у Эратосфена были и другие астрономические работы; в частности, ему приписывается точное определение наклона эклиптики. В середине IV в. до н. э. Евдокс определил этот наклон как дугу окружности, стягивающую сторону правильного пятнадцатиугольника, т. е. 24°. По Эратосфену же, разность между высотами Солнца в летние и зимние солнцестояния равна примерно 11/83 полуокружности, что соответствует в градусах наклону 23°51’ , очень близкому к истинному значению. Из этого, между прочим, следует, что в эпоху Эратосфена дуга измерялась еще не градусами, а долями окружности.

Шестидесятиричная система деления на градусы впервые встречается во II в. до н. э. у Гипсикла — того самого, который написал XIV книгу «Начал» Евклида. В сочинении «Анафорик» («О восхождениях») Гипсикл излагает приближенный метод определения промежутков времени, в течение которых восходят и заходят некоторые знаки зодиака, причем — подобно вавилонянам — он делит сутки на 360 «градусов времени». В этой работе Гипсикла ясно чувствуется вавилонское влияние. Существует, впрочем, мнение, что самому Гипсиклу в этом сочинении принадлежит лишь несколько первых фраз, все же остальное представляет собой пересказ вавилонского астрономического текста.

Величайший астроном александрийской эпохи Гиппарх был родом из Никеи (в Вифинии, на северо-западе Малой Азии). Его деятельность относится примерно к середине II в. до н. э. (между 160 и 120 гг.). Он производил наблюдения в разных местах, в том числе и в Александрии, но его основным местопребыванием был остров Родос. От многочисленных сочинений Гиппарха до нас дошли лишь «Комментарии к Арату», но к счастью, о его астрономических достижениях достаточно подробные сведения сообщает нам Птолемей в «Альмагесте».

Заслуги Гиппарха громадны — как в отношении усовершенствования геоцентрической картины мира. Так и в области наблюдательной астрономии. Прежде всего его имя в истории астрономии связано с теорией эпициклов. Правда, эта теория начала разрабатываться еще в III в. до н. э., причем уже тогда она рассматривалась в качестве альтернативы моделей космоса, основанных на комбинациях гомоцентрических сфер. Серьезный вклад в разработку теории эпициклов внес Аполлоний Пергский. Птолемей обстоятельно излагает одну из теорем Аполлония, относящуюся к тем моментам времени, когда• планета, движущаяся по малому кругу вокруг центра, который, в свою очередь, движется по большому кругу вокруг Земли, кажется стоящей на месте. Вавилонские астрономы тщательно наблюдали эти стояния и записывали их в своих таблицах, однако никакой их теории они не Могли и не пытались дать. Аполлоний свел проблему стояний к чисто геометрической задаче и показал, что при определенных соотношениях угловых скоростей центра эпицикла и планеты, движущейся по эпициклу, существуют такие интервалы времени, в течение которых планета будет казаться находящейся в покое.

Гиппарх придал теории эпициклов законченную форму и с ее помощью построил усовершенствованную геоцентрическую модель космоса. При этом он заметил, что если период движения небесного тела по эпициклу равен периоду движения центра эпицикла, движущегося вокруг Земли в противоположном направлении, то в этом случае результирующее движение тела будет происходить по круговой орбите, центр которой уже не будет совпадать с центром Земли (Рис. 12). Такие орбиты Гиппарх назвал эксцентрами. Он предположил, что неодинаковость времен года проистекает из того, что центром круговой орбиты Солнца является не центр Земли, а другая точка, т. е. что Солнце движется по эксцентру. Зная длительности всех четырех времен года.

Гиппарх точно определил положение центра солнечной орбиты. Теория движения Солнца была им разработана полностью, что же касается движений планет, то их детальная теория, базирующаяся на понятиях эпицикла и эксцентра, была создана триста лет спустя Клавдием Птолемеем.

Рис. 12. Эпициклы и эксцектр

Введением эксцентров роль Гиппарха в истории астрономической науки отнюдь не исчерпывается. Он по справедливости считается создателем прецизионной наблюдательной астрономии. Птолемей упоминает три трактата Гиппарха: «О длине года», «Об интеркаляции месяцев и дней» и «Об изменении солнцестояний и равноденствий». Мы попытаемся кратко резюмировать результаты, полученные Гиппархом и изложенные им в этих трактатах.

Большим достижением Гиппарха было открытие им явления прецессии (предварения равноденствии), свидетельствовавшее о высокой степени точности, которой достигла греческая астрономия, в александрийскую эпоху. Сравнивая свои наблюдения с наблюдениями Тимохариса, проводившимися примерно на полтораста лет раньше, Гиппарх установил, что за это время точка осеннего равноденствия переместилась вдоль эклиптики с востока на запад на 2°. Это значение довольно точно соответствует истинному (согласно измерениям недавнего времени прецессия составляет 50,3’’ в год). Отсюда Гиппарх заключил, что длительность тропического года, определяемого временем, протекающим между двумя последовательными прохождениями центра Солнца через точку осеннего (или весеннего) равноденствия, отличается от длительности года сидерического, равного промежутку времени, за который Солнце возвращается к одним и тем же звездам. Гиппарх вычислил длительность тропического года и установил, что она равна 365 дням 5 часам 55 минутам и 16 секундам, что было на 1/300 дня короче принимавшегося обычно значения, равного 365 1/4 дня. Значение Гиппарха также не было абсолютно точным; согласно вычислениям нашего времени, длительность года в эпоху Гиппарха была равна 365 дням 5 часам 48 минутам и 56 секундам, что на 6 минут 20 секунд короче значения, полученного Гиппархом. Надо, впрочем, иметь в виду, что установление моментов равноденствия представляло в то время немалые трудности и даже Птолемей писал, что здесь могут встречаться ошибки «больше одной четверти дня».

Много внимания уделил Гиппарх также изучению движении Луны. В этом вопросе он мог воспользоваться вавилонскими данными, так как движение Луны было исследовано халдейскими астрономами с особой тщательностью. Гиппарх сравнил эти данные с результатами собственных наблюдений: известно, что в промежутке между 146 и 135 гг. до н. э. Гиппарх наблюдал несколько лунных затмений. Он определил периоды обращения Луны, получив для них следующие значения:

синодическпй период: 29 дней 42 часов 44 минуты 3,3 секунды;

сидерический период: 27 дней 7 часов 43 минуты 13,1 секунды

Оба эти значения с точностью до одной секунды совпадают с истинным значением и практически не отличаются от значений, записанных в вавилонских таблицах. Далее Гиппарх разработал теорию движения Луны, приняв в качестве ее орбиты эксцентрический круг, дававший возможность хорошо объяснить изменение скорости Луны па ее орбите. Учитывая то обстоятельство, что при солнечном затмении, которое было полным в районе Геллеспонта, в Александрии были закрыты лишь 4/5 солнечного диска (вероятно, речь идет о затмении 129 г. до н. э.), Гиппарх смог довольно точно определить расстояние от Земли до Лупы, поскольку расстояние между точками, с которых производились наблюдения, было хорошо известно. Гиппарху приписывался и другой остроумный метод определения расстояния до Лупы — на основании измерений размеров земной тени, когда через нее проходит Луна.

В своих вычислениях Гиппарх широко пользовался тригонометрическими соотношениями, правда, без тех обозначений, которыми пользуемся теперь мы. Вместо таблиц синусов и тангенсов он составил таблицу хорд, в которой длины хорд были даны в зависимости от стягиваемых ими углов. Предполагается, что эта таблица содержалась в написанной им книге «О теории прямых в круге». К сожалению, ни эта книга, ни таблица хорд до пас не дошли, поэтому мы не можем сказать, каким способом Гиппарх вычислял значения хорд, включенные в таблицу. Следует при этом отметить, что Гиппарх уже широко пользуется вавилонской системой деления круга на 360 градусов и затем на минуты и секунды; с тех пор эта система входит во всеобщее употребление.

Немалый вклад был внесен Гиппархом и в звездную астрономию. Он составил каталог неподвижных звезд, содержавший, как предполагают, около 850 звезд, места которых на небесном своде определялись их долготой и широтой относительно эклиптики. Впоследствии Плиний писал, что работа по составлению каталога была предпринята Гиппархом после того, как на небе вспыхнула новая звезда. Мы не знаем, так ли это было на самом деле. Мы не знаем также, какой аппаратурой располагал Гиппарх при установлении положений звезд; вероятно, он пользовался инструментом того типа, который позднее получил наименование «армиллярной сферы».

Поскольку Гиппарх занимался определением длительности года и периодов Луны, то было вполне естественно, что он занялся также усовершенствованием лунно-солнечного календаря. Во второй главе было рассказано о том, что в целях приведения в соответствие солнечного календаря с лунным афинский астроном V в. до н. э. Меток установил 19-летний цикл, включавший 235 лунных месяцев, из которых 110 имели по 29 дней, а 125 — по 30. Всего в этом цикле было 6940 дней. «Цикл Метона» получил в античную эпоху широкое распространение. Однако он обладал небольшим дефектом: при общепринятой длительности года в 365 1/4 дня, в этом цикле оказывалось не целое число дней — 6939,75. Чтобы устранить этот недостаток, Каллипп — тот самый, который увеличил число гомоцентрических сфер в евдоксовой модели космоса,— предложил объединить четыре метоновых цикла по 6940 дней, опустив при этом один день. Таким образом, «цикл Каллиппа» состоял из 27 759 дней, которые были сгруппированы в 940 месяцев — 441 месяц по 29 дней и 499 по 30 дней. Этот цикл делился точно на 76 лет по 365 1/4 дня и на 940 синодических периодов, имевших длительность 29 дней 12 часов 44 минуты и 25,5 секунды (что всего лишь на 22 секунды превышало истинную длительность синодического периода).

Цикл Каллиппа никогда не использовался в официальных положениях о календаре и учитывался лишь учеными. Однако Гиппарх решил внести в него дальнейшие уточнения, приведя его в соответствие с вычисленным им более точным значением тропического года. Он утвердил 76-летний календарный период Каллиппа и отбросил от получившихся 304 лет еще один день. В результате получился цикл, который точно делился на 304 года и 3760 лунных месяцев, длительность которых соответствовала значениям, полученным Гиппархом. Цикл Гиппарха никем никогда не использовался, тем более что при всей своей сложности и он не может считаться абсолютно точным: ведь, как мы указали выше, длительность тропического года, по Гиппарху, на 6 минут превышает истинную длительность, причем с течением времени эта разница продолжает увеличиваться.

Все изложенное выше, как нам кажется, с достаточной отчетливостью показывает, какого высокого уровня достигла греческая астрономия в эпоху расцвета эллинистической науки. По точности своих наблюдений она уже нисколько не уступала вавилонской астрономии, значительно превосходя последнюю в чисто теоретическом отношении. У вавилонян оставалось лишь одно преимущество, большая масса наблюдательного материала, накопленного за многие столетия. Но этот материал в эллинистическую эпоху стал доступен грекам, и уже Гиппарх широко им пользовался, сравнивая греческие наблюдения с вавилонскими и проверяя одни данные путем сопоставления их с другими.

 

Механика

В первой главе мы отметили поразительный, с точки зрения наших современных представлений, факт, что античная техника и античная наука развивались в значительной степени независимо друг от друга. Ремесло, металлургия, строительное дело, решения ряда инженерных задач — все это находилось в Греции уже в VI в. до н. э. на довольно высоком уровне, в то время как наука была тогда еще в самом зачаточном состоянии.

Последующие три столетия характеризуются бурным развитием греческой науки. Особенных успехов достигли к началу III в. до н. э. математика и астрономия (мы оставляем в стороне философию, логику, медицину и т. д., которые по самому существу своему не могли иметь технических выходов). Однако эти успехи никак не отразились на развитии техники. Обе эти дисциплины развивались как чисто теоретические, не ставившие перед собой сколько-нибудь серьезных практических задач, за исключением, может быть, разработки календаря. Та же отрасль науки, которая могла бы оказать положительное воздействие на технический прогресс (мы имеем в виду теоретическую механику), зародилась лишь в эпоху Архимеда. Напомним, сколь примитивны были теоретико-механические представления Аристотеля с его естественными и насильственными движениями, с его идеями о роли воздуха при движении брошенных тел и т. д. Эти представления и идеи возникли в полном отрыве от реальной деятельности человека, не проверялись практикой и потому не могли найти технического применения.

Существовали лишь две области техники, развитие которые ознаменовалось в классическую эпоху греческой цивилизации более или менее существенными успехами.

1. Театральная техника, одним из элементов которой были подъемные механические устройства. Собственно говоря, для обозначения этих устройств и стало применяться греческое слово «машина» (he mechane, откуда, между прочим, происходит и латинское выражение deus ex machine). Позднее этим словом стали обозначаться машины вообще.

2. Военное дело, приведшее к созданию метательной артиллерии и новых типов военных судов. Особенно бурное развитие военная техника получила в период непосредственно последовавший за походами Александра Македонского. Источники сообщают об остроумных машинах Архимеда, затруднивших взятие Сиракуз римлянами. Дело было, однако, не только в гении Архимеда, ведь и осаждавший город римский полководец Марцелл также располагал аналогичными наступательными орудиями (историю осады Сиракуз красочно рассказывает историк Полибий). В войнах между наследниками Александра Македонского метательные орудия и другие военно-механические устройства сыграли небывалую до того времени роль; в этой связи следует особо отметить осаду Родоса Деметрием, сыном Антигона, получившим после нее прозвище Полиоркета (т. е. «разрушителя городов»).

Что касается Архимеда, то он, по-видимому, был чем-то вроде военного инженера при дворе сиракузского тирана Гиерона (который, кстати сказать, приходился ему родственником). Однако достижения Архимеда в области инженерного дела не сводились к одним лишь военным машинам. Выше уже было сказано о созданном им искусном планетарии, вызывавшем восхищение у людей того времени. Ему же приписывается изобретение так называемого Архимедова винта («улитки»), применявшегося для поливки полей. Рассказывают также, что с помощью технических приспособлений Архимед передвигал по суше тяжело нагруженный корабль Гиерона.

Специфической отраслью техники являлась возникшая в ΙII в. до н. э. пневматика. Под которой понималось использование давления воздуха для создания различного рода механических устройств. Основателем этой отрасли считается Ктесибий, современник Архимеда, живший и работавший в Александрии, труды самого Ктесибия до нас не дошли, но сведения об его изобретениях содержатся в сочинениях ряда авторов — Филона, Витрувия, Афинея, Плиния и Геропа. Из этих источников мы узнаем, что Ктесибий был изобретателем двухцилиндрового водяного насоса, снабженного всасывающими и нагнетательными клапанами; водяного органа, управление которым осуществлялось с помощью сжатого воздуха: водяных часов, - отличавшихся от древней клепсидры тем, что в них имелся плавок, движение которого передавалось фигурке. Указывавшей время на специальной шкале, и некоторых других устройств. Сообщается также о созданных им военных метательных машинах, в которых использовалась сила сжатого воздуха.

Следующим «пневматиком» был Филон из Византии, возможно, ученик Ктесибия. В молодости он приехал в Александрию, чтобы познакомиться с работавшими там известными мастерами-механиками; большую часть своей дальнейшей жизни он провел на острове Родос, где написал объемистое сочинение «Механика», девять книг которого охватывали все области античной техники. Оригинальный текст этого сочинения не сохранился, по некоторые его части дошли до нас в арабской переработке. После общего введения Филон описывал разного рода метательные орудия; здесь же он рассматривал действие рычага. Затем шло изложение конструкций автоматов и кукольного театра, а в отделе, посвященном пневматике, который начинался с экспериментального доказательства упругости воздуха, описывались всевозможные механические устройства, служившие для развлечения публики в садах и во время празднеств: волшебные кубки, лейки, из которых по желанию могли литься различные жидкости, фонтаны с пьющими животными и поющими птицами и другие аналогичные забавы. Наряду с этим у Филона были описаны и аппараты, предназначавшиеся для практических целей, например водяные колеса, водочерпалки, автомат для омовения перед входом в храм и т. д. В большинстве этих машин использовалось давление воздуха. Из дошедших до нас описаний следует также, что Филон был хорошо знаком с принципом сифона.

И Ктесибий и Филон были, по-видимому, прежде всего изобретателями-практиками; об их же теоретических воззрениях нам ничего неизвестно. Первой попыткой теоретического осмысления действия различного рода механизмов следует считать трактат «Механические проблемы», ранее приписывавшийся Аристотелю и до сих пор включаемый в свод аристотелевских сочинений, но на самом деле написанный в более позднюю эпоху, скорее всего в Александрии III (или II) в. до н. э. Этот трактат представляет значительный интерес для истории механики, поэтому на нем следует остановиться.

«Механические проблемы» состоят из 36 глав, написанных в форме ответов на вопросы. В этих главах речь идет о многих механизмах — рычаге, весах, колодезном журавле, клещах, топоре, клине, колесе, катке, гребном весле и руле, гончарном круге и ряде других. Действие каждого из этих механизмов сводится автором трактата к принципу рычага, который, в свою очередь, объясняется удивительными свойствами круга. Сведение рычага к кругу является наиболее оригинальной чертой трактата, не имеющей соответствия в последующих сочинениях по механике.

Рассматривая вращение отрезка вокруг одного из его концов, автор «Механических проблем» обращает внимание па тот факт, что ни одна из точек, находящихся на этом отрезке, не будет двигаться с одинаковой скоростью, но точки, отстоящие от центра дальше, будут двигаться с большей скоростью по сравнению с точками, лежащими ближе к центру. Круговое движение рассматривается при этом как сумма двух движений: прямолинейного, направленного по касательной к кругу, и центростремительного, направленного к центру круга. Первое из них является естественным, второе — насильственным. Точка, движущаяся по внешнему (большему) кругу, будет, проходя одно и то же расстояние, отклоняться к центру на меньшую величину, чем точка, движущаяся по внутреннему (меньшему) кругу. Отсюда следует, что для движения по внешнему кругу требуется приложить меньше усилия, чем для движения по кругу внутреннему, но скорость движения на внешнем круге будет больше. Именно это обстоятельство лежит, по мнению автора трактата, в основе действия рычага.

Изложенные рассуждения представляют собой причудливую смесь метафизических спекуляций и верных наблюдений. До научной механики здесь еще очень далеко, но некоторые мысли автора бесспорно интересны. Предположение о том, что прямолинейное движение само по себе является «естественным» движением, выводит нас за пределы чисто перипатетических представлений и может рассматриваться в качестве первой, хотя и очень нечеткой формулировки принципа инерции. Кроме того, утверждение, что для большего отклонения от прямолинейного движения требуется приложить большее усилие, уже содержит намек на существование зависимости между силой и ускорением, т. е. на второй закон динамики.

Заслуживает также внимания тот факт, что автору «Механических проблем» уже был известен принцип параллелограмма скоростей — как в форме сложения, так и в форме разложения движений.

Но намеки так и остались намеками. Зарождавшиеся в «Механических проблемах» тенденции не получили дальнейшего развития. Несмотря на широкое распространение военных метательных орудий как в эллинистическую, так и в римскую эпоху, мы не можем заметить никакого прогресса в области изучения динамики вплоть до VI в. н. э., т. е. фактически вплоть до начала средневековья. Это лишний раз свидетельствует об отрыве теоретической мысли от практической (ремесленной, инженерной) деятельности, который был характерен для рабовладельческого общества.

Что касается рычага, то он продолжал оставаться в центре внимания ученых эллинистической эпохи, но трактовался ими в чисто статическом плане, главным образом в связи с проблемой весов и взвешивания. Так, например, условия равновесия рычага рассматриваются в псевдоевклидовом трактате «Книга о весах», дошедшем до нас лишь в арабском переводе. Автор этого сочинения дает определение веса как меры тяжести или легкости предмета, сопоставляемого с другими предметами с помощью весов. Затем путем передвижки одних и тех же грузов вдоль коромысла весов, разбитого на равные отрезки, устанавливается закон равновесия рычага. При этом автор пользуется понятием «сила веса», которая меняется в зависимости от положения груза на коромысле. По смыслу проводимых рассуждений «сила веса» эквивалентна статическому моменту, т. е. произведению груза на его расстояние от точки опоры.

Проблемой рычага много занимался Архимед. Правда, его ранние сочинения по этому вопросу — «О весах» и «О рычагах» — не сохранились, но дошедший до нас трактат «О равновесии плоских фигур» начинается с изложения математической теории равновесия рычага, после чего Архимед переходит к изложению общей теории равновесия, основным понятием которой является понятие центра тяжести (которое в этом трактате предполагается читателю известным). Форма изложения здесь, как и в других книгах Архимеда, строго аксиоматическая. Доказав ряд общих теорем Архимед определяет центры тяжести ряда плоских фигур — треугольника, параллелепипеде, трапеции, а во второй части трактата - параболического сегмента и параболической трапеции.

В одной из позднейших работ Архимед упоминает свое сочинение «О равновесии». То, что это сочинение не тождественно с трактатом о равновесии плоских фигур, показывают ссылки Архимеда на центры тяжести круга, цилиндра, призмы, конуса, параболоида вращения. Возможно, что трактат «О равновесии плоских фигур» был лишь одной частью более обширного труда «О равновесии», за которой следовала другая часть, посвященная равновесию объемных тел.

От не сохранившихся трактатов Архимеда дошел ряд фрагментов, цитируемых Героном (в «Механике»), Паппом (в «Математической библиотеке») и другими авторами. В частности, Герон приводит длинный отрывок из раннего сочинения Архимеда — «Книги опор». В нем еще нет строгости, присущей зрелым трудам великого сиракузца, и содержится ряд ошибок, относящихся к распределению опорных реакций и показывающих, что в период написания этой книги Архимед еще не знал, что вес тела можно считать сосредоточенным в его центре тяжести.

Приведем дословно знаменитое определение центра тяжести, взятое Паппом из какого-то не дошедшего до нас сочинения Архимеда (может быть, из книги «О рычагах»):

«Центром тяжести некоторого тела мы называем некоторую расположенную внутри него точку, обладающую тем свойством, что если за нее мысленно подвесить тяжелое тело, то оно останется в покое и сохранит первоначальное положение».

В заключение остановимся на последнем, по-видимому, предсмертном труде Архимеда — «О плавающих телах», заложившем математические основы новой пауки — гидростатики. Не исключено, что его написание было стимулировано популярной историей с короной царя Гиерона. Долгое время этот трактат был известен лишь в латинском переводе XIII в.; греческий текст трех четвертей трактата был обнаружен только в 1905 г. И. Л. Хейбергом в Константинополе, одновременно с письмом к Эратосфену (так называемый «Эфод»), о котором было сказано выше, в разделе математики.

Трактат «О плавающих телах» делится на две книги. Первая книга начинается с допущения, что жидкость является совокупностью прилегающих друг к другу частиц, из которых менее сдавленные вытесняются более сдавленными, причем каждая отдельная частица сдавливается жидкостью, отвесно над ней расположенной. Из этого фундаментального допущения Архимед выводил ряд следствий. В первых двух устанавливалось, что свободная поверхность воды, окружающей Землю, имеет сферическую форму, причем центр сферы совпадает с центром Земли. Хотя сферичность Земли к этому времени была уже общепризнанным фактом, тем не менее вывод Архимеда отнюдь не казался тривиальным и даже вызвал возражения такого крупного ученого, как современник Архимеда Эратосфен.

В последующих теоремах исследуются вопросы равновесия и устойчивости погруженных в жидкость тел, в частности формулируется положение, известное в наше время под именем закона Архимеда. Затем устанавливаются условия равновесия плавающего в жидкости сегмента шара, а во второй части трактата — сегмента параболоида. Обе эти задачи решаются двумя независимыми друг от друга и очень остроумными математическими методами. Именно эти методы представляли, в первую очередь, интерес для Архимеда, поскольку очевидно, что никакого практического значения обе эти задачи иметь в то время не могли.

Пример Архимеда крайне поучителен и позволяет сделать некоторые общие выводы. Будучи гениальным математиком и одновременно замечательным инженером, Архимед мог в большей степени, чем кто-либо другой из ученых той далекой эпохи, уяснить глубокую взаимозависимость между теоретическими (фундаментальными, как сказали бы мы теперь) исследованиями, и их техническими приложениями. Между тем даже у него требования практики являются в лучшем случае всего лишь случайными поводами для постановки тех или иных научных задач; решения же этих задач стимулируются отнюдь не возможными их применениями в практической жизни, а прежде всего чистой любознательностью ученого. Это была особенность всей античной науки, присущая ей на протяжении всей ее многовековой истории. В силу этого дефекта развитие античной науки происходило, если выражаться языком современной автоматики, без обратной связи, которая побуждала бы ее ставить все новые и новые задачи. В этом следует усматривать частичное объяснение застоя античной науки, последовавшего вслед за ее бурным взлетом в III—II вв. до н. э.

 

Оптика

Оптика была тем разделом физики, который уже в древности подвергся процессу математизации и получил очертания научной дисциплины в нашем понимании. Во избежание недоразумений надо оговориться, что греки придавали термину «оптика» более узкое значение, чем мы: для них это была наука о зрении. Затем они различали катоптрику — науку об отражении лучей от зеркальных поверхностей, скенографию, включавшую не только прикладные вопросы, связанные с изготовлением театральных декораций, но и учение о перспективе вообще, и, наконец, диоптрику — учение об оптических измерениях. Явление преломления света также было хорошо известно грекам, но его детальное изучение началось относительно позднее, причем его включали либо в оптику, либо в катоптрику.

О взглядах древних философов на природу зрения говорилось при изложении соответствующих учений, Аристотель сделал важный шаг, предположив, что видимые нами предметы действуют на глаз через промежуточную среду. Эту среду, которой может быть и воздух, и вода, и многие из твердых тел, Аристотель назвал «прозрачным» (diaphanes). Свет есть как бы актуализация такого «прозрачного»; там же, где оно существует только в возможности, бывает тьма. Цвет предмета является движущим началом для актуально прозрачной среды; этот цвет изменяет «прозрачное» таким образом, что оно начинает действовать на глаз. Бесцветные предметы не вызывают такого действия и потому не могут быть восприняты зрением. Видимые нами цвета представляют собой сочетания, в различных пропорциях, двух основных цветов — белого и черного. О механизме образования зрительного образа в глазу Аристотель ничего не говорит, хотя строение глаза было ему в общих чертах известно.

Значение теории Аристотеля состояло прежде всего в том, что в ней была подчеркнута роль промежуточной среды, находящейся между видимым предметом и глазом. Объединение этой теории со взглядами атомистов было произведено в учении Стратона, согласно которому цвета отделяются от тел (подобно демокритовским «образам»), и соответственно окрашивают среду, которая уже затем действует на глаз.

Любопытное предвосхищение волновой концепции света мы обнаруживаем в физическом учении стоиков. Точка зрения стоиков на природу зрения сводится вкратце к следующему. От души, состоящей из «пневмы», отделяется «зрительная пневма», попадающая в зрачок и являющаяся причиной возникновения своего рода волн, распространяющихся в пределах конуса, вершина которого находится в зрачке. Ударяясь о предмет, волны возвращаются к глазу и производят на него давление, обусловливающее возникновение зрительных ощущений. Этот процесс происходит лишь в освещенном воздухе: темный воздух оказывает волнам настолько большое сопротивление, что они не могут в нем распространяться.

В эпоху поздней античности новых идей в данной области не возникло. Зато геометрическая оптика достигла больших успехов именно в эпоху поздней античности. Основные закономерности отражения света были известны уже Платону. Аристотель формулирует закон отражения практически в той форме, в какой мы знаем его теперь. Наиболее древний дошедший до нас трактат но оптике приписывается Евклиду; в нем он придерживается старых пифагорейских представлений о том, что зрение осуществляется с помощью зрительных лучей, прямолинейно распространяющихся из глаза и как бы ощупывающих предмет. Эти представления, однако, были достаточны для вывода основных положений геометрической оптики и теории перспективы. Фактически «Оптика» Евклида является трактатом по теории перспективы. Законы перспективы выводятся им из четырнадцати исходных положений, являющихся результатом оптических наблюдений. На закон отражения Евклид ссылается, как на нечто уже известное: он говорит, что этот закон доказывается в его «Катоптрике».

«Катоптрика» Евклида до нас не дошла; приписывавшийся этому автору текст под таким заглавием является, вероятно, позднейшей компиляцией. По-видимому, уже в древности это сочинение было оттеснено на второй план объемистой «Катоптрикой» Архимеда (теперь также утерянной), содержавшей строгое изложение всех достижений греческой геометрической оптики. Сам Архимед был не только теоретиком оптики, но и мастером оптических наблюдений, о чем свидетельствует описанная им методика измерения видимого диаметра Солнца (см. раздел астрономии).

Дальнейшие успехи греческой оптики связаны с именами Герона и Птолемея и будут рассмотрены ниже.

 

Науки о живой природе

Из предыдущего изложения явствует, что александрийская эпоха была временем исключительного расцвета математических наук. Наоборот, описательное естествознание этого времени не продемонстрировало сколько-нибудь существенного продвижения вперед. Правда, в специальных работах, посвященных земледелию, садоводству, пчеловодству и тому подобным прикладным отраслям человеческой деятельности, было собрано много наблюдений и описано много фактов. Однако в научном отношении эти работы не дали ничего нового по сравнению с биологическими трактатами Аристотеля или трудами по ботанике Феофраста. На трудах Аристотеля основан как каталог птиц, составленный поэтом и историком литературы III в. до н. э. Каллимахом, так и зоологический сборник александрийского грамматика Аристофана из Византии (конец III — начало II вв. до н. э.), причем у этих авторов уже чувствуется склонность к чудесному и сказочному, оказавшая столь вредное влияние на развитие естествознания в эпоху поздней античности.

Значительно больший прогресс был достигнут в то время в области анатомии, чему немало способствовал отказ от старых религиозных предрассудков, запрещавших вскрытие человеческих трупов. Творцом научной анатомии и основателем александрийской школы врачей считается Герофил ив Халкедона, ученик косского врача Праксагора. Его деятельность протекала в Александрии в начале III в. до н. э.; он был автором нескольких не дошедших до нас сочинений, среди которых античные источники называют большой труд «Анатомия» и специальные работы — «О глазах», «О пульсе» и др.

Ставя выше всего наблюдение и опыт, Герофил сумел избавиться от ряда укоренившихся догм и во многих отношениях явился пролагателем новых путей в науке. Его важнейшие работы в области анатомии относились к строению и функционированию нервной системы; он тщательно изучил нервные центры и отдельные нервы и окончательно установил, что головной мозг является средоточием умственных способностей человека. Из общей массы нервов он выделил нервы чувствительные, идущие от периферии человеческого тела к спинному и головному мозгу. Он впервые провел четкое различение между артериями и венами и выяснил, что артерии получают свою кровь из сердца. Исследуя с помощью клепсидры пульс, он пытался перенести на биение пульса ритмические закономерности теории музыки и впервые оценил значение пульса, как важного диагностического средства. С пульсом он тесно связывая механизм дыхания, причем дыхательный цикл был у него разбит на четыре этапа: вдыхание свежего воздуха, распространение этого воздуха по всему телу, извлечение из тела загрязненного воздуха и устранение загрязненного воздуха путем выдыхания. Кроме того Герофил дал подробное описание анатомии глаза, печени, половых органов и других частей тела, а также провел сопоставление анатомического устройства человека и животных.

В области практической медицины Герофил уделял большое внимание действию лекарственных препаратов, в особенности тех, которые изготавливались из трав; наряду с этим он подчеркивал значение рациональной диеты и гимнастических упражнений. Будучи выходцем из косской медицинской школы, Герофил придерживался учения о четырех соках; он много занимался изучением трудов Гиппократа и к некоторым из них написал комментарий.

Другим выдающимся ученым той эпохи был Эрасистрат с острова Кеос. Он учился в Афинах и на острове Кос, затем переехал в Александрию, где к середине III в. до н. э. приобрел большую известность. В течение некоторого времени он был лейб-медиком сирийского царя Селевка, однако в последние годы своей жизни прекратил врачебную практику и занялся исключительно научной деятельностью. Именно в этот период было, по-видимому, написано его основное анатомическое сочинение «О рассечениях».

Эрасистрат продолжил анатомические исследования Герофила, особенно в области нервной системы. Он подразделил нервы на чувствительные и двигательные, установил различие между большим головным мозгом и мозжечком, а также обратил внимание на извилины мозга человека и животных; большую сложность этих извилин он связал с более высоким уровнем развития интеллекта.

В изучении кровообращения Эрасистрат кое в чем пошел дальше Герофила, хотя в отдельных вопросах высказывал ошибочные взгляды. Так, он утверждал, что кровь циркулирует только по венам, в то время как артерии наполнены воздухом (эта точка зрения базировалась на наблюдениях над трупами, у которых артерии оказываются пустыми). Главным двигателем крови и воздуха по телу Эрасистрат признал сердце; в то же время он считал, что органом, вырабатывающим кровь, является печень. Помимо вскрытия трупов, Эрасистрат (как сообщают некоторые источники) делал живосечения на преступниках, предоставлявшихся ему царем.

В своей врачебной практике Эрасистрат придерживался иных принципов, чем Герофил: он полемизировал с гуморальной патологией гиппократиков и скептически относился к лекарствам; считая причиной всех болезней неправильное питание, он рассматривал диету в качестве основного лечебного средства. Теоретические воззрения Эрасистрата отличались смешением атомистических представлений с учением о пневме, развивавшимся стоиками.

Наряду с этими двумя корифеями медицинской науки в рассматриваемую эпоху жили и другие талантливые врачи; среди них источники называют некоего Эвдема, открывшего и описавшего действие ряда желез человеческого организма.

В эллинистическую эпоху образовалось несколько медицинских школ, о которых будет сказано в следующей главе. Сейчас мы упомянем лишь школу так называемых «эмпириков», основанную последователями Герофила. Эта школа отрицала значение для медицины любых теоретических построений и во главу угла ставила непредвзятое наблюдение; в этой позиции «эмпирики» усматривали верность истинным принципам учения Гиппократа.