В настоящее время понятие производной опирается на надежный логический базис, поскольку мы определяем ее в терминах пределов. Формальное определение производной от функции f(x) в точке x 0 , обозначаемой как f '(x), таково:

f '(x) = lim f(x + ε) — f(x) / ε при ε → 0.

Чтобы увидеть, как это помогает избавиться от грязной уловки Ньютона, рассмотрим ту функцию, которая использовалась для демонстрации флюксий Ньютона: f '(x) = x 2 + x + 1. Производная этой функции равна

f '(x) = lim (x 2 + 2 εx + ε2 + x + ε+ 1 — x 2 — x — 1) / ε при ε → 0..

Теперь x2 взаимно уничтожается с –x 2 , x аннигилирует с –x, а 1 — с –1. Остается

f '(x) = lim (2εx + ε + ε2 ) / ε при при ε → 0.

Разделив на ε, мы помним, что ε всегда отлично от 0, потому что мы еще не вычислили предел. Получаем

f '(x) = lim (2x + 1 + ε) при ε → 0.

Теперь мы находим предел и позволяем ε приблизиться к 0. Получаем

f '(x) = 2x + 1 + 0 = 2x +1

Это и есть ответ, который мы ищем. Всего лишь небольшой сдвиг в мышлении, но он и составляет всю разницу.