Ноль и научная революция

Ноль и бесконечность разрушили аристотелевскую философию, вакуум и бесконечный космос избавили Вселенную от скорлупы и от идеи о том, что природа не терпит пустоты. Древняя мудрость была отброшена, и ученые начали открывать законы, управляющие природными явлениями. Однако перед научной революцией стояла проблема ноля.

В глубине могучего нового инструмента научного мира — дифференциального и интегрального исчисления — таился парадокс. Изобретатели исчисления, Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц, создали мощнейший математический метод благодаря делению на ноль и сложению бесконечного числа нолей. Оба действия были столь же нелогичны, как сложение 1 и 1, чтобы получить 3. Дифференциальное и интегральное исчисление в своих основах отрицали математическую логику. Их принятие было актом веры. Ученые совершили этот прыжок, поскольку дифференциальное и интегральное исчисление есть язык природы. Чтобы в совершенстве понимать этот язык, наука должна была победить бесконечные ноли.

 

Бесконечные ноли

Проклятие Зенона висело над математикой два тысячелетия. Казалось, что Ахиллес обречен вечно преследовать черепаху, никогда ее не догоняя. В простой загадке Зенона скрывалась бесконечность. Греки были остановлены бесчисленными шагами Ахиллеса. Им не приходило в голову сложить вместе бесконечные части, хотя величина шагов Ахиллеса приближалась к нолю. Греки едва ли могли сложить шаги нулевой величины, не имея понятия ноля. Впрочем, когда Запад принял ноль, математики начали приручать бесконечность и закончили гонку Ахиллеса.

Несмотря на то, что последовательность Зенона имеет бесчисленные члены, мы можем сложить их и все же остаться в области конечных чисел: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/16 +… = 2. Первым человеком, проделавшим такой трюк — сложение бесконечного числа членов для получения конечного результата, — был британский логик XIV века Ричард Суисет. Он взял последовательность 1/2 , 2/4 , 3/8 , 4/16 , …, n/2 n , сложил ее члены и получил 2. В конце концов числа, составлявшие последовательность, все больше и больше приближались к нолю; по наивности можно было бы предположить, что это обеспечит конечность их суммы. Увы, бесконечность вовсе не так проста.

Примерно в то же время, когда Суисет получит свой результат, Николя Оресм, французский математик, попробовал сложить другую бесконечную последовательность чисел — так называемую гармоническую серию: 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + … Как и в случаях последовательностей Зенона и Суисета, все члены данной последовательности все больше и больше приближаются к нолю. Тем не менее когда Оресм попытался сложить их, он обнаружил, что сумма становится все больше и больше. Несмотря на то, что отдельные члены последовательности стремятся к нолю, сумма делается бесконечно большой. Оресм показал это, сгруппировав члены: 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) +… Первый член новой последовательности очевидно равен 1/2 ; второй больше 1/2 , так как больше, чем (1/4 + 1/4); третий тоже больше 1/2 , так как больше, чем (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8)… и так далее. Вы продолжаете складывать 1/2, 1/2, 1/2… и сумма становится все больше и больше — до бесконечности. Хотя члены последовательности стремятся к нолю, они стремятся недостаточно быстро. Сумма бесконечной последовательности может быть бесконечно большой, даже если ее члены стремятся к нолю. Однако это еще не самое странное свойство бесконечно большой суммы. Ноль сам не застрахован от странной природы бесконечности.

Представьте себе следующую серию: 1 — 1 + 1 — 1 + 1 — 1 + 1… Нетрудно увидеть, что сумма этой серии равна нолю: ведь (1 — 1) + (1 — 1) + (1 — 1)… — то же самое, что 0 + 0 + 0 + 0 +…, что, несомненно, дает в сумме ноль. Однако внимание! Сгруппируйте члены серии иначе: 1 + (–1 + 1) + (–1 + 1) + (–1 + 1) +… Это то же самое, что 1 + 0 + 0 + 0 +… и явно равняется 1. Одна и та же сумма бесконечного числа нолей одновременно равна 0 и 1! Итальянский священник отец Гвидо Гранди даже использовал эту серию для доказательства того, что Бог мог создать Вселенную (1) из ничего (0). На самом деле такая серия в сумме может давать что угодно. Чтобы сумма стала равна 5, используйте 5 и –5 вместо 1 и –1, и можно будет доказать, что 0 + 0 + 0 + 0 +… равно 5.

Сложение бесконечного числа объектов друг с другом может приводить к странным и противоречивым результатам. Иногда, когда члены стремятся к нолю, сумма оказывается конечной, прекрасным, нормальным числом вроде 2 или 53. В других случаях сумма делается бесконечно большой. А сумма бесконечной серии нолей может равняться вообще чему угодно. И все это происходило одновременно. Происходило нечто странное, и никто не знал, как же обращаться с бесконечностью.

К счастью, физический мир проявил больше здравого смысла, чем мир математический. Складывать бесконечное число предметов друг с другом удается вполне успешно при условии, что вы имеете дело с чем-то реальным, например, ищете объем бочки вина. 1612 год оказался знаменательным для вина.

Иоганн Кеплер — тот самый, который открыл, что планеты движутся по эллипсам, — провел этот год, заглядывая в винные бочки, потому что понял, что методы виноделов, оценивающих объем бочек, очень грубы. Чтобы помочь торговцам вином, Кеплер расколол — в уме, конечно, — бочку на бесконечное число бесконечно малых кусочков, а потом сложил их, чтобы определить объем. Это может показаться странным способом измерения бочки, но идея оказалась блестящей.

Чтобы несколько упростить проблему, представим себе двумерный, а не трехмерный объект — треугольник. Треугольник на рис. 23 имеет высоту 8 и основание 8. Поскольку площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, она равна 32.

Рис. 23 . Оценка площади треугольника

Теперь представьте себе, что вы пытаетесь оценить размер треугольника, вписывая в него маленькие прямоугольники. При первой попытке вы получите площадь в 16 — гораздо меньше действительной площади в 32. Вторая попытка окажется несколько лучше. С помощью трех прямоугольников вы получите площадь в 24. Близко, но вы еще не у цели. Третья попытка дает 28 — еще ближе.

Как вы видите, использование меньших и меньших прямоугольников, ширина которых, обозначенная символом Øx, стремится к нолю, делает результат все более близким к 32, истинной площади треугольника. (Сумма площадей прямоугольников равна ∑f(x)Øx, где греческий символ ∑ означает сумму по соответствующему ряду, а f(x) есть уравнение кривой, к которой стремятся прямоугольники.

В современном написании, при том что x стремится к нолю, мы заменяем ∑ новым символом, ∫, а Øx — dx, что превращает уравнение в ∫f(x)dx — в интеграл.)

В одной из малоизвестных работ Кеплера «Новая стереометрия винных бочек» он делает то же самое для трех измерений, рассекая бочку на плоскости и складывая плоскости друг с другом. Кеплер по крайней мере не боялся стоящей перед ним проблемы: по мере того как Øx приближается к нолю, получение суммы становится эквивалентным сложению бесконечного числа нолей — результат, не имеющий смысла. Кеплер игнорировал эту проблему. Хотя сложение бесконечного числа нолей с точки зрения логики — тарабарщина, ответ, который оно давало, был правильным.

Кеплер был не единственным выдающимся ученым, который рассекал объекты на бесконечно тонкие слои. Галилей тоже размышлял о бесконечности и бесконечно малых величинах. Об этих двух идеях — бесконечно больших и бесконечно малых, превосходящих наше конечное понимание, он писал: «Первых (мы не понимаем) по причине их огромности, вторых — их малости». Однако несмотря на глубокую тайну бесконечных нолей, Галилей чувствовал их могущество. «Представьте себе, чем они становятся, объединившись», — поражался он. Ученик Галилея Бонавентура Кавальери отчасти ответил на этот вопрос.

Вместо винных бочек Кавальери рассекал геометрические объекты. Для Кавальери всякая площадь, как, например, площадь треугольника, состояла из бесконечного числа имеющих нулевую ширину отрезков прямых, а всякий объем — из бесконечного числа имеющих нулевую высоту плоскостей. Эти неделимые отрезки и плоскости подобны атомам площади и объема; дальше делить их нельзя. Как Кеплер измерял объем винной бочки с помощью тонких слоев, так Кавальери складывал бесконечное число неделимых нолей для определения площади или объема геометрического объекта.

Утверждения Кавальери весьма беспокоили геометров. Сложение бесконечного числа имеющих нулевую площадь отрезков не могло дать двумерного треугольника, а бесконечного числа имеющих нулевой объем плоскостей — трехмерный объект. Это была та же проблема: нет логического смысла в сумме бесконечного числа нолей. Тем не менее метод Кавальери всегда приносил правильный ответ. Математики стали игнорировать логические и философские нестыковки при сложении бесконечного числа нолей, особенно поскольку неделимые, или бесконечно малые, как их стали называть, величины наконец позволили найти ответ на давно существовавшую проблему касательной.

Касательная — это прямая, лишь слегка целующая кривую. Для любой точки гладкой кривой, существующей в пространстве, имеется прямая, лишь задевающая кривую, касаясь ее только в одной точке. Это и есть касательная, и математики обнаружили, что она чрезвычайно важна при изучении движения. Например, представьте себе, что вы вращаете мяч на веревочке над головой. Он движется по окружности. Однако если вы внезапно перережете веревочку, мяч улетит по касательной к этой окружности; сходным образом рука питчера в бейсболе движется по дуге в момент броска, но как только он выпустит мяч, тот летит по касательной (рис. 24).

Рис. 24 . Полет по касательной

Другой пример: если вы захотите узнать, куда упадет мяч у подножия холма, вы будете искать точку, в которой касательная горизонтальна. Крутизна касательной — ее наклон — обладает в физике некоторыми важными свойствами: например, если у вас имеется кривая, представляющая траекторию движения велосипеда, то наклон касательной к этой кривой в каждой данной точке скажет вам, с какой скоростью двигался велосипед в момент, когда он этой точки достиг.

По этой причине несколько математиков XVII века, такие как Эванджелиста Торричелли, Рене Декарт, француз Пьер де Ферма (прославившийся своей последней теоремой) и англичанин Исаак Барроу, разрабатывали различные способы нахождения касательной в каждой точке кривой. Как и Торричелли, все они столкнулись с проблемой бесконечно малых величин.

Чтобы провести касательную к кривой в данной точке, лучше всего сделать так: выбрать другую точку поблизости и соединить две точки. Полученная прямая не будет в точности касательной, но если кривая не слишком ухабиста, две прямые будут довольно близки друг к другу. Можно предположить, что по мере того как уменьшается расстояние между двумя точками, соединяющая их прямая все ближе совпадет с касательной (рис. 25). Когда точки окажутся на нулевом расстоянии друг от друга, такое приближение даст вам касательную. Конечно, тут есть проблема.

Рис. 25. Аппроксимация касательной

Самой важной особенностью прямой является ее наклон, и чтобы измерить его, математики выясняют, насколько прямая поднимается на определенном расстоянии. Например, представьте себе, что вы едете на восток вверх по холму; при этом на каждую милю, которую вы проехали, приходится подъем на полмили. Наклон холма — это просто подъем (полмили) над горизонтальным расстоянием, которое вы проехали (милей). Математики сказали бы, что наклон холма — 1/2. Это же верно для прямых: чтобы определить наклон прямой, вы смотрите, насколько она переместилась по вертикали (математики обозначают это символом Øy) при заданном перемещении по горизонтали (которое обозначается Øx); таким образом, наклон равен Øy / Øx.

Когда вы пытаетесь рассчитать наклон касательной, процесс приближения вам портит ноль. По мере того как аппроксимация делается все лучше и лучше, точки на кривой, которые вы для нее используете, оказываются все ближе друг к другу. Это означает, что разница по вертикали, Øy, стремится к нолю, как и расстояние по горизонтали между точками, Øx. В результате, когда аппроксимация касательной делается все лучше, Øy / Øx приближается к 0 / 0. Ноль, деленный на ноль, может равняться любому числу на свете. Имеет ли наклон касательной какое-либо значение?

Каждый раз, когда математики пытались иметь дело с бесконечностью или с нолем, они сталкивались с логическими трудностями. Чтобы вычислить объем бочки или площадь параболы, математики складывали друг с другом бесконечные ноли; чтобы найти касательную к кривой, они делили ноль на самого себя. Ноль и бесконечность заставляли простой акт нахождения касательной или определения площади выглядеть противоречащими самим себе. Эти трудности положили бы конец интересным рассуждениям, если бы не одно обстоятельство: эти бесконечности и ноли служат ключом к пониманию природы.

 

Ноль и тайна математического анализа

Проблемы касательной и площади оказываются в запутанном состоянии из-за одних и тех же трудностей с бесконечностью и нолями. Это неудивительно, поскольку проблема касательной и проблема площади на самом деле одно и то же. Они обе — аспекты дифференциального и интегрального исчисления, научного инструмента, много более мощного, чем все, что было известно ранее. Телескоп, например, дал ученым возможность обнаружить луны и звезды, никогда раньше не наблюдавшиеся. Дифференциальное и интегральное исчисление, с другой стороны, дало ученым способ выражать законы, управляющие движением небесных тел, — и законы, со временем позволившие узнать, как эти луны и звезды возникли. Дифференциальное и интегральное исчисление оказалось истинным языком природы, но оно было пронизано нолями и бесконечностью, которые грозили уничтожить новый инструмент.

Его первооткрыватель едва не умер, не успев сделать первый вдох. Исаак Ньютон родился недоношенным на Рождество 1642 года, таким маленьким, что помещался в кружке объемом в кварту. Его отец, фермер, умер за два месяца до рождения сына.

Несмотря на тяжелое детство и желание матери, чтобы он стал фермером, Ньютон поступил в 1660 году в Кембриджский университет и преуспел. За несколько лет он создал систематический метод разрешения проблемы касательной: теперь он мог вычислить касательную к любой плавной кривой в любой точке. Этот процесс представляет собой первую часть математического анализа, теперь известную как дифференциальное исчисление. Впрочем, способ Ньютона не особенно похож на тот, которым мы пользуемся сегодня.

Стиль дифференцирования Ньютона основывался на флюксиях (производных) — потоках — математических выражений, которые он называл флюентами (переменными). Как пример флюксий Ньютона рассмотрим уравнение y = x 2 + x + 1. В этом уравнении флюентами являются x и y; Ньютон полагал, что x и y меняются — текут — с течением времени. Скорость их изменения — их флюксии — он обозначал как x́ и ý соответственно.

Метод дифференцирования Ньютона основывался на одном приеме: он позволял флюксиям изменяться, но изменяться бесконечно мало. По сути, он не давал им времени течь. В обозначениях Ньютона y в этот момент менялся на (y + оý), в то время как x менялся на (x + оx́). (Буква «о» представляла собой количество прошедшего времени; оно было почти нолем, но не совсем, как мы увидим.)

Уравнение тогда принимает вид:

(y + оý) = (x + оx́) 2 + (x + оx́) + 1.

Раскрытие выражения (x + оx́) 2 дает нам y + оý = x 2 + 2x(оx́) + (оx́) 2 + x + оx́ + 1. Приведение членов дает y + оý = (x 2 + x + 1) + 2x(оx́) + 1(оx́) + (оx́)2. Поскольку y = x 2 + x + 1, мы можем вычесть y из левой части уравнения и x 2 + x + 1 из правой. Это дает нам оý = 2x(оx́) + 1(оx́) + (оx́)2. Дальше следует жульнический прием. Ньютон заявил, что поскольку оx́ на самом деле очень, очень мал, оx́́2 еще меньше и исчезает. По сути это был ноль, и его можно было игнорировать. Это дает нам оý = 2x(оx́) + 1(оx́), а это значит, что оý / оx́ = 2x + 1. Это и есть угол наклона касательной в любой точке кривой (рис. 26).

Рис. 26. Чтобы найти угол наклона в любой точке параболы y = x 2 + x + 1, нужно использовать формулу 2x + 1

Бесконечно малый период времени о выпадает из уравнения, оý / оx́ превращается в ý / x́, и об о больше не нужно думать.

Метод давал правильный ответ, но ньютоновское действие исчезновения очень смущало. Если, как настаивал Ньютон, (оx́) 2 , (оx́) 3 и более высокие степени оx были равны нолю, то и само оx́ должно быть равно нолю. С другой стороны, если оx́ — ноль, то деление на оx́, как мы делали в конце, то же самое, что деление на ноль — как и самый последний шаг избавления от о в верхней и нижней части выражения оý / оx́. Деление на ноль запрещено математической логикой.

Ньютоновский метод флюксий был очень сомнителен. Он предполагал незаконную математическую операцию, однако обладал одним огромным преимуществом. Он работал. Метод флюксий не только разрешал проблему касательной, он разрешал и проблему площадей. Нахождение площади под кривой (или прямой, которая является одной из разновидностей кривой) — операция, которую мы теперь называем интегрированием, — всего лишь действие, обратное дифференцированию. Как дифференцирование выражения y = x 2 + x + 1 дает уравнение для наклона касательной y = 2x + 1, интегрирование уравнения y = 2x + 1 дает формулу для определения площади под кривой. Эта формула — y = x 2 + x + 1; площадь под кривой, ограниченной точками x = a и x = b просто равна (b 2 + b + 1) — (a 2 + a + 1) (рис. 27). (Технически формула имеет вид y = x 2 + x + c, где c есть любая константа. Процесс дифференцирования уничтожает часть информации, так что процесс интегрирования не дает вам точно тот ответ, который вы ищете, если только вы не добавите недостающие данные.)

Рис. 27 . Чтобы узнать площадь под кривой y = 2x + 1, используйте формулу y = x 2 + x + 1

Математический анализ — это комбинация этих двух инструментов, дифференцирования и интегрирования, в одной упаковке. Хотя Ньютон нарушил некоторые очень важные математические правила, заигрывая с нолем и бесконечностью, математический анализ давал настолько мощные методы вычислений, что ни один математик не смог его отвергнуть.

Природа говорит уравнениями. В этом странное совпадение. Правила математики были выстроены на основании подсчета овец и измерения земельных участков, однако те же самые правила управляют Вселенной. Законы природы описываются уравнениями, а уравнения в определенном смысле — всего лишь инструменты, используя которые, вы вводите числа и получаете другое число. Древние знали несколько этих уравнений-законов, вроде закона рычага, но с началом научной революции уравнения-законы стали появляться отовсюду. Третий закон Кеплера описывал время, которое нужно планетам для обращения по орбите: r 3 / t 2 = k , где t — время, r — расстояние и k — константа. В 1662 году Роберт Бойль показал, что если взять запечатанный сосуд с газом внутри и начать газ сжимать, то давление внутри возрастет: давление, умноженное на объем, есть константа: pυ = k, где p — давление, v — объем, k — константа. В 1676 году Роберт Гук вычислил силу действия пружины. Она равна отрицательной константе, умноженной на расстояние: f = –kx, где f — сила, x — расстояние, на которое растянута пружина, и k — константа. Эти ранние уравнения-законы были очень хороши для выражения простых зависимостей, однако уравнения имели ограничения — их постоянство, что не позволяло им быть универсальными.

Например, возьмем знаменитое уравнение, с которым все мы знакомимся в школе: скорость, умноженная на время, дает расстояние. Оно показывает, как далеко (на сколько миль — x) вы продвинетесь, если будете бежать с постоянной скоростью v в час на протяжении t часов: υt = x. Это уравнение очень полезно, когда вы подсчитываете, сколько времени займет путь от Нью-Йорка до Чикаго на поезде, который едет со скоростью ровно 120 миль в час. Однако сколько предметов на самом деле двигаются с постоянной скоростью, как поезд в этом математическом примере? Уроните мяч, и окажется, что он падает все быстрее и быстрее. В данном случае уравнение x = vt попросту неверно. В случае падающего мяча x = gt 2 / 2, где g — ускорение, вызванное гравитацией. С другой стороны, если вы приложите к мячу увеличивающуюся силу, может оказаться, что x = at 3 / 3. Равенство расстояния скорости, умноженной на время, — это не универсальный закон, он действует не при всех условиях.

Исчисление позволило Ньютону объединить все эти уравнения в один великий свод законов — законов, приложимых во всех случаях, при всех условиях. Впервые наука смогла увидеть универсальные законы, лежащие в основе всех этих мелких полузаконов. Несмотря на то, что математики знали о глубинном пороке анализа, связанном с математикой ноля и бесконечности, они быстро восприняли новые математические инструменты. Дело в том, что природа говорит не обычными уравнениями. Она говорит дифференциальными уравнениями, и математический анализ — инструмент, который нужен, чтобы их создавать и решать.

Дифференциальные уравнения отличаются от обычных, с которыми все мы знакомы. Обычное уравнение подобно машине: вы скармливаете машине числа, и она выбрасывает ответ. Дифференциальное уравнение тоже похоже на машину, но на этот раз вы вводите в машину уравнения, а получаете новые уравнения. Загрузите уравнение, описывающее условия проблемы (движется ли мяч с постоянной скоростью или на мяч действует сила), и в результате получите уравнение, в котором закодирован ответ, который вы ищете: двигается ли мяч по прямой или по параболе. Одно дифференциальное уравнение управляет всем неисчислимым количеством уравнений-законов. И в отличие от мелких уравнений-законов, которые то выполняются, то нет, дифференциальное уравнение верно всегда. Это универсальный закон, возможность заглянуть в механизм природы. Математический анализ Ньютона — его метод флюксий — сделал именно это: связал вместе такие концепции, как позиция, скорость, ускорение. Когда Ньютон обозначил положение функцией времени x, он понял, что скорость — это просто флюксия (современные математики называют ее производной от положения по времени: x́), а ускорение — всего лишь производная от скорости по времени: x˝ Переход от положения к скорости и к ускорению и обратно так же прост, как дифференцирование или интегрирование.

Имея в руках такой инструмент, Ньютон смог создать простое дифференциальное уравнение, описывающее движение всех тел во Вселенной: F = mx˝, где F — сила, действующая на тело, а m — его масса. (На самом деле это не вполне универсальный закон, поскольку уравнение верно, только когда масса объекта постоянна. Более общая версия закона Ньютона выглядит так: F = ṕ, где p — количество движения, или импульс тела. Конечно, уравнения Ньютона были со временем усовершенствованы множеством ученых, в том числе Эйнштейном.)

Если у вас имеется уравнение, которое говорит вам о силе, приложенной к телу, дифференциальное уравнение точно сообщит вам, как тело движется. Например, мяч в свободном падении движется по параболе, в то время как пружина без трения вечно раскачивается туда и сюда, а под действием трения медленно останавливается (рис. 28). Какими бы разными ни казались эти исходы, все они описываются одним и тем же дифференциальным уравнением.

Рис. 28. Различные движения, описываемые одним и тем же дифференциальным уравнением

Точно так же, если вам известно, как движется тело — будь это мячик или гигантская планета, — дифференциальное уравнение скажет вам, какого рода сила к нему приложена. (Триумф Ньютона заключался в выведении уравнения, описывавшего силу притяжения и форму орбит планет. Раньше предполагалось, что сила была пропорциональна 1 / r 2 , и когда из дифференциальных уравнений Ньютона были получены эллиптические орбиты, люди стали верить в правоту Ньютона.) Несмотря на возможности анализа, ключевая проблема сохранялась. Работы Ньютона основывались на очень шатком фундаменте — делении ноля на самого себя. Труды его соперника имели тот же недостаток.

В 1673 году почтенный немецкий юрист и философ посетил Лондон. Его имя было Готфрид Вильгельм Лейбниц. Они с Ньютоном едва не разорвали пополам научный мир, хотя ни один из них не мог разрешить проблему ноля, которой был пронизан математический анализ.

Никто не знает, не ознакомился ли во время визита в Англию тридцатитрехлетний Лейбниц с неопубликованной работой Ньютона. Однако между 1673 и 1676 годами, когда Лейбниц в следующий раз посетил Лондон, он тоже создал анализ, хотя и в несколько иной форме.

Глядя назад, можно заключить, что Лейбниц сформулировал свою версию независимо от Ньютона, хотя споры по этому поводу не прекращаются. Двое ученых в 1670-е годы вели переписку, так что очень трудно определить, как они влияли друг на друга. Впрочем, хотя две теории дают одинаковые ответы, условные обозначения — и философия — очень разнятся.

Ньютон не любил бесконечно малые величины, маленькие о в его флюксиях иногда вели себя как ноль, а иногда — как отличные от ноля числа. В определенном смысле эти бесконечно малые были бесконечно малы, меньше любого положительного числа, но все же каким-то образом больше ноля. Для математиков того времени это была смешная концепция.

Ньютона смущали бесконечно малые в его уравнениях, и он заметал их под ковер. Маленькие о в его уравнениях были всего лишь посредниками, костылями, которые чудесным образом исчезали к концу выкладок. С другой стороны, Лейбниц наслаждался бесконечно малыми. Там, где Ньютон писал о x́, Лейбниц писал dx — бесконечно малый кусочек x. Бесконечно малые выжили без изменений во всех расчетах Лейбница; действительно, производная от y по x было не свободным от бесконечно малых отношением флюксий ý / x́, а отношением бесконечно малых dy / dx.

В исчислении Лейбница с этими dy и dx можно было обращаться как с обычными числами, поэтому современные математики и физики обычно используют обозначения Лейбница, а не Ньютона. Дифференциальное исчисление Лейбница обладало той же силой, что и метод Ньютона, а благодаря обозначениям даже несколько большей. Тем не менее под всеми математическими ухищрениями дифференциалы Лейбница имели ту же запретную природу 0 / 0, которая вредила флюксиям Ньютона. До тех пор, пока сохранялся этот недостаток, исчисление продолжало основываться скорее на вере, чем на логике. (На самом деле вера очень сильно влияла на Лейбница, когда он создавал новые математические методы, например двоичную систему счисления. Любое число могло быть записано как ряд нолей и единиц. Для Лейбница это было созданием ex nihilo, созданием Вселенной из ничего, большего, чем Бог / 1 и пустоты / 0. Лейбниц даже пытался убедить иезуитов использовать это знание для обращения китайцев в христианство.)

Должно было пройти много лет, прежде чем математики начали освобождать математический анализ от его мистических обоснований, потому что математический мир был занят спорами по поводу того, кто его изобрел.

Едва ли можно сомневаться в том, что первым — в 1660-х годах — идею высказал Ньютон, однако он не публиковал свою работу в течение двадцати лет. Ньютон был магом, теологом, алхимиком, а не только ученым (например, он использовал библейские тексты для заключения о том, что второе пришествие Христа случится примерно в 2060 году), и многие его взгляды носили еретический характер. В результате он был склонен к хранению секретов и неохотно публиковал свои работы. Тем временем, пока Ньютон держал свое открытие в тайне, Лейбниц разработал собственную теорию. Двое ученых тут же обвинили друг друга в плагиате, и английское математическое сообщество, поддерживавшее Ньютона, отвернулось от континентальных математиков, поддерживавших Лейбница. В результате англичане держались за ньютоновские флюксии и не принимали более удобного обозначения дифференциалов Лейбница — назло себе. Когда дело дошло до развития математического анализа, английские математики сильно отстали от континентальных.

Именно француз, а не англичанин был первым, кто запустил зубы в таинственные ноли и бесконечность, пронизывавшие математический анализ; теперь математики узнают о правиле Лопиталя, начиная изучать дифференциальное исчисление. Как ни странно, не Лопиталь создал правило, которое теперь носит его имя.

Родившийся в 1661 году Гийом-Франсуа-Антуан де Лопиталь был маркизом и очень богатым человеком. Он рано начал интересоваться математикой, и хотя некоторое время прослужил в армии, сделавшись капитаном кавалерии, снова вернулся к своей первой любви — математике.

Лопиталь нанял себе лучшего учителя, какого только можно было нанять за деньги, — Иоганна Бернулли, швейцарского математика, одного из первых, кто освоил лейбницевское исчисление бесконечно малых. В 1692 году Бернулли обучил Лопиталя анализу. Лопиталь так увлекся новым математическим методом, что побудил Бернулли за деньги сообщить ему обо всех новых математических открытиях, чтобы маркиз мог делать с ними, что пожелает. В результате был создан учебник. В 1696 году Лопиталь издал «Анализ бесконечно малых». Эта книга стала первым учебником математического анализа и познакомила с лейбницевской версией дифференциального исчисления большую часть Европы. Лопиталь не только изложил основы анализа, но и добавил некоторые важные новые результаты. Самое знаменитое новшество стало известно как правило Лопиталя.

Правило Лопиталя нанесло первый удар по тревожащим математиков выражениям 0 / 0, постоянно встречавшимся в математическом анализе. Правило дало способ определять истинную величину математических функций, стремящихся к 0 / 0 в данной точке. Правило Лопиталя гласит, что значение отношения функций равно производной верхнего выражения, деленному на производную нижнего выражения. Например, рассмотрим выражение x / (sin x), когда x = 0. При x = 0 sin x = 0, так что выражение принимает вид 0 / 0. Используя правило Лопиталя, мы увидим, что выражение стремится к 1 / (cos x), поскольку производная x — это 1, а производная sin x — это cos x. При x = 0 cos x равен 1, так что все выражение равно 1 / 1 = 1. Ловкие манипуляции могли также позволить с использованием правила Лопиталя разрешать и другие странные вопросы: ∞ / ∞, 0 / 0, 0 / ∞, ∞0.

Все эти выражения, но особенно 0 / 0, могли бы принимать любые значения, какие только пожелаете, в зависимости от того, какие функции вы поставите в числитель и в знаменатель. Поэтому-то 0 / 0 и назвали неопределенностью. Это теперь не было полной тайной, математики могли получить некоторую информацию о 0 / 0, если подходили к делу очень осторожно. Ноль больше не был врагом, которого следовало избегать, это была подлежащая изучению загадка.

Вскоре после смерти Лопиталя в 1704 году Бернулли начал утверждать, что тот украл его работу. В то время математическое сообщество отвергло претензии Бернулли: не только Лопиталь проявил себя как умелый математик; Иоганн Бернулли имел запятнанную репутацию. Он уже раньше пытался приписать себе заслугу другого математического доказательства (другим математиком был его брат, Якоб Бернулли). В данном случае, однако, претензии Иоган на Бернулли были обоснованны: это подтверждалось его перепиской с Лопиталем. К огорчению Бернулли, название «правило Лопиталя» прижилось.

Это правило было чрезвычайно важным для разрешения трудностей с 0 / 0, однако лежащая в их основе проблема оставалась. Новая математика Ньютона и Лейбница зависит от деления на ноль и от чисел, которые чудесным образом исчезают при возведении в квадрат. С помощью правила Лопиталя 0 / 0 исследуется инструментами, изначально опирающимися на 0 / 0. Эти аргументы — замкнутый круг. Физики и математики по всему миру начали использовать математический анализ для изучения природы, а концепцию абсолютного пространства — для объяснения движения — под крики протеста со стороны Церкви.

В 1734 году, через 7 лет после смерти Ньютона, ирландский епископ Джордж Беркли написал книгу под названием «Аналитик, или рассуждение, адресованное неверующему математику». (Под неверующим математиком, вероятнее всего, подразумевался Эдмунд Галлей, всегда поддерживавший Ньютона.) В «Аналитике» Беркли обрушился на грязные трюки с нолем Ньютона и Лейбница.

Называя бесконечно малые «призраками исчезнувших величин», Беркли показал, что безнаказанное исчезновение этих бесконечно малых ведет к противоречию. Он заключал: «Разве математики, столь чувствительные в вопросах религии, строго скрупулезны в своей собственной науке?»

Хотя математики того времени язвили по поводу логики Беркли, славный епископ был совершенно прав. В те дни исчисление было очень отлично от других областей математики. Каждая теорема в геометрии строго доказывалась. Позаимствовав несколько правил у Евклида и тщательно, шаг за шагом продвигаясь вперед, математик мог доказать, что углы треугольника в сумме равны 180 градусам, или любой другой геометрический факт. С другой стороны, анализ основывался на вере.

Никто не мог объяснить, как при возведении в квадрат исчезают бесконечно малые. Этот факт просто принимался потому, что, заставив их исчезнуть в нужный момент, математики получали правильный результат. Никого не беспокоило деление на ноль, раз удобное игнорирование правил математики объясняло все — от падения яблока до орбит планет на небе. Хотя анализ давал правильные результаты, его использование было таким же актом веры, как вера в Бога.

 

Конец мистицизма

Под сенью Французской революции мистика была изгнала из математического анализа.

Несмотря на шаткие основания, к концу XVIII века математики по всей Европе достигли поразительных успехов, используя новый инструмент. Колин Макларен и Брук Тейлор, возможно, лучшие английские математики эры изоляции от континента, обнаружили, как использовать исчисление для того, чтобы записывать функции в совершенно новом виде. Например, используя некоторые уловки, математики обнаружили, что функция 1 / (1 — x) может быть записана как 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 +… Хотя два выражения выглядят совершенно разными, они (с некоторыми пояснениями) — в точности одно и то же.

Эти пояснения, вытекающие из свойств ноля и бесконечности, могут оказаться очень важными. Швейцарский ученый Леонард Эйлер, вдохновленный простыми манипуляциями с нолем и бесконечностью в исчислении, используя те же рассуждения, что и Макларен и Тейлор, «доказал», что сумма… 1 / x 3 + 1 / x 2 + 1 / x + 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 +… равна нолю. (Чтобы убедиться, что тут что-то не то, подставьте в качестве x число 1 и посмотрите, что получится.) Эйлер был прекрасный математик — он был одним из самых плодовитых и влиятельных ученых в истории, но в этом случае небрежное обращение с нолем и бесконечностью заставило его сделать ошибку.

Тем, кто наконец укротил ноли и бесконечность, оказался подкидыш; в 1717 году на ступенях «Круглой церкви Святого Иоанна» (Saint Jean Baptiste le Rond) в Париже был найден младенец. В память об этом ребенка назвали Жан Лерон. Со временем он взял фамилию Д’Аламбер. Хотя ребенок был воспитан в бедной рабочей семье — его приемный отец был стекольщиком, как выяснилось, его отцом являлся генерал, а матерью — аристократка.

Д’Аламбер наиболее знаменит своим двадцатилетним участием совместно с Дени Дидро в создании «Энциклопедии наук, искусств и ремесел». Однако Д’Аламбер был больше, чем энциклопедистом. Именно он осознал, как важно рассмотреть путь, а не только пункт назначения. Именно Д’Аламберу принадлежит идея предела и разрешение существовавшей в исчислении проблемы ноля.

Рассмотрим еще раз историю Ахиллеса и черепахи — сумму шагов, все больше и больше приближающихся к нолю. Манипуляции с суммой бесконечного числа слагаемых — будь это проблема Ахиллеса, нахождение площади, ограниченной кривой, или альтернативное представление математической функции — заставили математиков прийти к противоречивому результату.

Д’Аламбер понял, что проблема Ахиллеса решается, если рассмотреть предел этой гонки. В приведенном выше примере с каждым шагом черепаха и Ахиллес приближаются к отметке в два фута. Ни один шаг не позволяет им продвинуться дальше и даже не позволяет им поравняться. В каждый момент они делаются ближе к указанной отметке. Таким образом, предел гонки — окончательный пункт назначения — и есть отметка в 2 фута. Именно там Ахиллес перегонит черепаху.

Однако как доказать, что 2 фута — на самом деле предел гонки? Я бросаю вам вызов. Задайте мне маленькое расстояние — сколь угодно малое, и я скажу вам, когда и Ахиллеса, и черепаху будет отделять от предела расстояние меньшее, чем заданное.

Например, пусть вы задали мне расстояние в одну тысячную фута. После некоторых вычислений я скажу вам, что после одиннадцатого шага Ахиллес окажется в 977 миллионных от отметки в 2 фута, а черепаха — в половине этого расстояния. Я принял ваш вызов и выиграл, имея даже 23 миллионных фута в запасе. Что было бы, если бы вы назвали расстояние в одну миллиардную фута? После 31 шага Ахиллес был бы в 931 триллионной от цели — на 69 триллионных ближе, чем требовалось, а черепаха снова в половине этого расстояния. Каков бы ни был ваш вызов, я выиграю, назвав вам момент, в который Ахиллес будет ближе к цели, чем вы потребовали. Это показывает, что действительно Ахиллес в процессе гонки как угодно близко подбегает к отметке в два фута: два фута — это предел гонки.

Теперь вместо того, чтобы думать о гонке как о сумме бесконечного числа шагов, представьте ее себе как предел конечных частичных гонок. Например, в первой из них Ахиллес добегает до отметки в один фут. Всего при этом он пробегает один фут. В следующей частичной гонке он пробегает две части — сначала один фут, потом еще полфута. Всего он пробегает 1 + 1 / 2 — всего 1,5 фута. Третья частичная гонка приведет его на 1 + 1 / 2 + 1 / 4 — всего на 1,75 фута. Каждая из этих частичных гонок конечна и ясно определена, и мы никогда не сталкиваемся с бесконечностью.

То, что Даламбер сделал неформально и что позднее формализировали француз Огюст Коши, чех Бернард Больцано и немец Карл Вейерштрасс, заключалось в том, что бесконечная сумма 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +…+ 1/2 n +… была записана как выражение lim (1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +…+ 1/2 n ) при n, стремящемся к бесконечности. Это очень хитроумное изменение в записи, но в нем заключена вся разница.

Когда в выражении присутствует бесконечность или когда мы делим на ноль, все математические операции, даже такие простые, как сложение, вычитание, умножение и деление, оказываются все закона. Все делается бессмысленным, так что когда вы имеете дело с бесконечным рядом членов, даже знак + делается не таким уж однозначным. Поэтому-то сумма бесконечного числа +1 и –1, как мы видели в начале главы, одновременно равна 0 и 1.

Однако поставив перед рядом знак lim, вы отделяете процесс от его цели. Таким образом, вы избегаете манипулирования бесконечностью и нолями. Так же, как в случае Ахиллеса, каждая из частичных гонок конечна, конечна и каждая частичная сумма под знаком lim. Их можно складывать, делить, возводить в квадрат — делать с ними все что угодно. Правила математики работают, потому что все объекты конечны. Затем, после того как все манипуляции завершены, вы находите предел: экстраполируете и находите, к чему выражение стремится.

Иногда предела не существует. Например, сумма бесконечного числа +1 и –1 предела не имеет. Величина частичных сумм колеблется между 0 и 1; ряд не стремится к предсказуемому значению. Однако в случае гонки между Ахиллесом и черепахой частичные суммы составляют 1; 1,5; 1,75; 1,875; 1,9375 и т.д. — они оказываются все ближе и ближе к 2. Суммы имеют пункт прибытия — предел.

То же самое происходит при нахождении производной. Вместо того чтобы делить на ноль, как делали Ньютон и Лейбниц, современные математики делят на число, которому они позволяют стремиться к нолю. Они производят деление — совершенно законно, поскольку в операции не участвует ноль, — а потом находят предел. Жульнические уловки с исчезновением возведенных в квадрат бесконечно малых, а затем делением на ноль, чтобы найти производную, больше не нужны (см. Приложение С).

Такая логика может показаться мелочной и как аргумент столь же мистической, как «призраки» Ньютона, но на самом деле это не так. Она удовлетворяет жесткому требованию математиками логической строгости. Концепция пределом обладает твердым и последовательным основанием. На самом деле можно распроститься с приведенным выше обсуждением «вызова»: существуют и другие способы определения предела. Можно назвать его схождением двух чисел, предела сверху и предела снизу. (У меня есть замечательное доказательство этого, но, увы, эта книга слишком мала, чтобы оно могло в ней поместиться.) Поскольку пределы логически безупречны, производная, определенная в терминах пределов, тоже делается логически безупречной, и исчисление получает надежный фундамент.

Больше не было необходимости делить на ноль. Из области математики исчез мистицизм, и снова к власти пришла логика. Мир царил до эры Террора.