Ноль и бесконечность всегда выглядели подозрительно похожими друг на друга. Умножьте ноль на что угодно, и вы получите ноль. Умножьте бесконечность на что угодно, и вы получите бесконечность. Деление числа на ноль дает бесконечность, деление числа на бесконечность дает ноль.

Прибавление ноля к числу оставляет число без изменения. Прибавление числа к бесконечности оставляет бесконечность без изменения. Это сходство было очевидным со времен Ренессанса, но математикам пришлось ждать до конца Французской революции, прежде чем они открыли большой секрет ноля.

Ноль и бесконечность — две стороны одной медали, равные и противоположные, инь и ян, одинаково могучие противники на противоположных концах области чисел. Причиняющая неприятности природа ноля связана со странной силой бесконечности, и можно понять бесконечное, изучая ноль. Чтобы узнать об этом, математикам пришлось погрузиться в мир воображаемого, странный мир, где окружности — прямые, прямые — окружности, а бесконечность и ноль находятся на противоположных полюсах.

 

Мнимые

Ноль — не единственное число, которое веками отвергалось математиками. Как и ноль, страдавший от предубеждения греков, игнорировались и другие числа — за то, что не имели геометрического смысла. Одним из таких чисел было i, обладавшее ключом к странным особенностям ноля.

Алгебра предложила новый способ смотреть на числа, совершенно оторванный от греческих геометрических идей. Вместо того чтобы пытаться измерить площадь под параболой, как это делали греки, ранние алгебраисты искали решения уравнений, определявших соотношения между разными числами. Например, простое уравнение 4x — 12 = 0 описывает, как неизвестная величина x соотносится с числами 4, 12 и 0. В данном случае x равен 3. Подставьте 3 вместо x в данном уравнении, и вы сразу увидите, что уравнение выполняется: 3 — это решение уравнения 4x — 12 = 0.

Начав нанизывать символы, чтобы получить уравнение, вы можете столкнуться с чем-то неожиданным. Например, возьмите то же уравнение и замените в нем знак «–» на знак «+». Вы получите совершенно невинно выглядящее уравнение 4x + 12 = 0, однако теперь его решение –3, отрицательное число.

Как и в случае с нолем, который индийские математики принимали, в то время как европейские веками отвергали, Восток принял и отрицательные числа, которые Запад пытался игнорировать. Еще в XVII веке Декарт отказывался признавать отрицательные числа корнями уравнений. Он называл их «ложными корнями». Это объясняет, почему он никогда не распространял свою систему координат на отрицательные числа. Декарт оказался жертвой своего успеха соединения алгебры с геометрией. Отрицательные числа давно были полезны алгебраистам, даже западным. Они все время возникали при решении уравнений, таких как квадратные.

Линейное уравнение вроде 4x — 12 = 0 решить чрезвычайно легко, и проблемы такого рода не занимали алгебраистов надолго. Они вскоре обратились к более трудным проблемам — квадратным уравнениям, начинавшимся с выражения x2, таким как x 2 — 1 = 0. Квадратные уравнения сложнее линейных, кроме всего прочего, они имеют два различных корня. Например, уравнение x 2 — 1 = 0 имеет два решения: 1 и –1. (Подставьте –1 или 1 в уравнение вместо x, и вы увидите, что получится.) Любое из этих решений работает, поскольку, как выяснилось, выражение x 2 — 1 распадается на (x — 1)(x + 1), делая ясным, что если x равен +1 или –1, x2 — 1 делается равным нолю.

Хотя квадратные уравнения более сложны, чем линейные, существует простой способ нахождения корней квадратного уравнения. Знаменитая формула, венчающая изучение алгебры в школе, дает значения корней уравнения ax 2 + bx + c = 0: x = (–b ± √(b 2 — 4ac) / 2a. Знак «+» дает нам один корень, а знак «–» дает другой. Квадратичная формула была известна не одно столетие; математик IX века аль-Хорезми знал, как решить почти любое квадратное уравнение, хотя, по-видимому, не рассматривал как корни отрицательные числа. Вскоре после него алгебраисты научились принимать отрицательные числа за правомерные решения уравнений. С мнимыми числами, впрочем, дело обстояло несколько иначе.

Мнимые числа никогда не появлялись в линейных уравнениях, но начали возникать в квадратных. Рассмотрим уравнение х 2 + 1 = 0. Ни одно число явно не удовлетворяет этому уравнению: подстановка –1; 3; –750; 235,23 или любого другого положительного или отрицательного числа не дает правильного ответа. Выражение просто не желает разлагаться. Хуже того, когда вы попытаетесь использовать формулу, вы получите два глупо выглядящих ответа: + √–1 и –√–1.

Эти выражения, похоже, не имеют смысла. Индийский математик Бхаскара писал в XII веке, что «не существует квадратного корня из отрицательного числа, потому что отрицательное число не является квадратом». Бхаскара и другие имели в виду, что когда вы возводите в квадрат положительное число, вы получаете положительное число: например, дважды два равно четырем. Когда вы возводите в квадрат отрицательное число, вы все равно получаете число положительное: –2, умноженное на –2, все равно дает 4. Когда вы возводите в квадрат ноль, вы получаете ноль. Положительные числа, отрицательные числа и ноль все дают вам неотрицательные квадраты, и эти три возможности охватывают всю числовую ось. Это значит, что не существует числа на числовой оси, которое при возведении его в квадрат давало бы отрицательное число. Квадратный корень из отрицательного числа представлялся смешной концепцией.

Декарт полагал, что эти числа еще хуже, чем отрицательные, он придумал презрительное наименование для квадратных корней из отрицательных чисел: мнимые числа. Название прижилось, и со временем символ для корня квадратного из –1 стал обозначаться как i.

Алгебраисты i обожали, а почти все остальные ненавидели. Это был прекрасный инструмент для решения полиномов — выражений типа x3 + 3x + 1, куда входили разные степени x. На самом деле стоит включить i в область чисел, и любой полином делается решаемым; х2 + 1 неожиданно разлагается на (x — i ) (x + i), и корнями уравнения оказываются +i и –i. Кубические полиномы типа x 3 — x 2 + x — 1 разлагаются на три сомножителя, такие как (x — 1)(x + i) (x — i). Выражения четвертой степени, первый член которых имеет вид x 4 , и пятой степени — с первым членом вида x 5 — разлагаются соответственно на четыре и пять сомножителей. Все полиномы степени n — имеющие член вида x n — разлагаются на n отдельных сомножителей. Это основная теорема алгебры.

Уже в XVI веке математики использовали числа, включающие i: так называемые комплексные числа — для решения кубических уравнений и уравнений четвертой степени. Хотя многие математики рассматривали комплексные числа как удобную фикцию, другие видели в них Бога.

Лейбниц полагал, что i — странная смесь существования и несуществования, что-то вроде гибрида между 1 (Богом) и 0 (пустотой) в его бинарной схеме. Лейбниц уподоблял i Святому Духу: оба обладают эфемерным и едва ли материальным существованием. Однако даже Лейбниц не осознавал того, что i в конце концов откроет связь между нолем и бесконечностью. Потребовалось два важных открытия в математике, прежде чем была открыта истинная зависимость.

 

Мнение и опровержение

Первое открытие — проективная геометрия — родилось в суматохе войны. В 1700-е годы Франция, Англия, Австрия, Пруссия, Испания, Нидерланды и другие государства соперничали на европейской арене. Союзы снова и снова возникали и распадались, происходили территориальные стычки из-за колоний, страны стремились к господству в торговле с Новым Светом. Всю первую половину XVIII столетия Франция, Англия и другие страны враждовали, и примерно через четверть века после смерти Ньютона разразилась полномасштабная война. Франция, Австрия, Испания и Россия противостояли Англии и Пруссии.

В 1763 году Франция капитулировала, и Семилетняя война (официальному ее объявлению предшествовали два года сражений) закончилась. Победа сделала Англию преобладающей силой в мире, но далось это дорогой ценой. И Франция, и Англия были истощены и в долгах, следствием этого для обеих стран стали революционные потрясения. Немногим более чем через десятилетие после окончания Семилетней войны началась война за независимость американских колоний, лишившая Англию ее богатейших заморских владений. В 1789 году, как раз когда Джордж Вашингтон возглавил вновь образованные Соединенные Штаты, началась Французская революция. Через четыре года революционеры обезглавили короля Франции.

Математик Гаспар Монж подписал постановление революционного правительства о казни короля. Монж был превосходным геометром, специализировавшимся в стереометрии. Его заслугой было то, как архитекторы и инженеры изображали здания и машины: они создавали проекции сооружений на горизонтальную и вертикальную плоскости, сохраняя таким образом всю информацию, необходимую для создания объекта. Работы Монжа были так важны для армии, что значительная их часть была засекречена сначала революционным, а затем пришедшим ему на смену наполеоновским правительством.

Жан-Виктор Понселе был учеником Монжа, осваивавшим трехмерную геометрию в качестве инженера наполеоновской армии. К своему несчастью, Понселе оказался в армии, как раз когда Наполеон в 1812 году вступил в войну с Россией.

При отступлении от Москвы наполеоновская армия была почти полностью уничтожена жестокой русской зимой и не менее жестокой русской армией. После сражения под Красным Понселе, которого сочли убитым, остался на поле боя. Он был жив и попал в плен к русским. За время пребывания в плену Понселе создал новую дисциплину: проективную геометрию.

Математика Понселе была кульминацией работы, начатой художниками и архитекторами в XV веке — Филиппо Брунеллески и Леонардо да Винчи, которые обнаружили, как рисовать реалистично, используя перспективу. Когда все «параллельные» прямые сходятся в единственной точке на картине, зрителя заставляют верить, что они никогда не встретятся. Квадраты на полу на рисунке делаются трапециями, каждый предмет мягко искажается, но все выглядит совершенно естественным.

Таково свойство бесконечно удаленной точки — ноля в бесконечности.

Иоганн Кеплер, ученый, открывший, что планеты движутся по эллиптическим орбитам, распространил эту идею — идею бесконечно удаленной точки — еще на один шаг вперед. Эллипсы имеют два фокуса; чем более удлиненным является эллипс, тем дальше отстоят друг от друга фокусы. Все эллипсы обладают одним и тем же свойством: если бы у вас оказалось зеркало эллиптической формы и вы поместили в один из фокусов лампочку, все световые лучи сошлись бы в другом фокусе, вне зависимости от того, насколько вытянут был бы эллипс (рис. 29).

Рис. 29. Световые лучи в эллипсе

Кеплер в уме все больше и больше вытягивал эллипс, удаляя его фокус все дальше. Потом Кеплер вообразил, что второй фокус удален бесконечно далеко: он стал точкой в бесконечности. Неожиданно эллипс превратился в параболу, а все прямые, сходившиеся к точке, сделались параллельными. Парабола — это просто эллипс с одним фокусом в бесконечности (рис. 30).

Рис.30. Растягивание эллипса дает параболу

Рис.31. Получение эллипса и параболы с помощью фонарика

Это можно увидеть с помощью фонарика. Войдите в темную комнату и встаньте у стены. Направьте свет фонарика прямо на стену. На стене вы увидите ясный круг света. Теперь медленно наклоняйте фонарик вверх (рис. 31). Вы увидите, что круг растягивается в эллипс, который делается все длиннее и длиннее по мере того как вы увеличиваете наклон. Неожиданно эллипс раскрывается и превращается в параболу. Таким образом кеплеровская бесконечно удаленная точка доказала, что параболы и эллипсы в сущности одно и то же.

Это было началом проективной геометрии, дисциплины, в которой математики рассматривают тени и проекции геометрических фигур, чтобы узнать их скрытые свойства, даже более примечательные, чем родственность парабол и эллипсов. Впрочем, все зависело от того, признавалась ли бесконечно удаленная точка.

Жерар Дезарг, французский архитектор XVII века, был одним из зачинателей проективной геометрии. Он использовал бесконечно удаленную точку для доказательства ряда важных новых теорем, однако коллеги Дезарга не могли понять его терминологии и сочли его сумасшедшим. Хотя некоторые математики, например Блез Паскаль, оценили работы Дезарга, они были забыты.

Для Жана-Виктора Понселе это не имело значения. Как ученик Монжа, Понселе освоил систему построения проекций в двух плоскостях, а будучи военнопленным, имел достаточно свободного времени. Он использовал свое пребывание в плену для того, чтобы заново открыть концепцию бесконечно удаленной точки. Использовав ее для развития идей Монжа, он стал подлинным создателем проективной геометрии. По возвращении из России (он привез с собой счеты — русский абак, к тому времени архаическую диковинку) Понселе поднял проективную геометрию до уровня настоящего высокого искусства. Впрочем, Понселе не имел представления о том, что проективная геометрия раскроет таинственную природу ноля, потому что для этого требовался второй важный прорыв, еще один важный компонент — комплексная плоскость. За этой частью загадки мы должны отправиться в Германию.

Карл Фридрих Гаусс, родившийся в 1777 году, был немецким вундеркиндом. Он начал свою математическую карьеру с исследования мнимых чисел. Его докторская диссертация включала доказательство фундаментальной теоремы алгебры — что полином степени n (квадратное уравнение имеет степень 2, кубическое — 3 и т.д.) имеет n корней. Это верно только в том случае, если вы принимаете мнимые числа, как и вещественные.

За свою жизнь Гаусс исследовал множество проблем, относящихся к самым разным разделам математики над невероятным множеством тем; его исследование работы по теории кривизны стало ключевым компонентом для общей теории относительности Эйнштейна. Кроме того, целую новую структуру в математике создал метод изображения комплексных чисел Гаусса.

В 1830-е годы Гаусс понял, что каждое комплексное число — число, имеющее вещественную и мнимую часть, как 1 — 2i — может быть изображено в декартовых координатах. Горизонтальная ось представляет вещественную часть комплексного числа, а вертикальная — мнимую (рис. 32). Эта простая конструкция, названная комплексной плоскостью, раскрыла многое о том, как работают числа.

Рис. 32. Комплексная плоскость

Возьмите, например, число i. Угол между ним и осью x составляет 90 градусов (рис. 33). Что произойдет, когда вы возведете i в квадрат? Ну, по определению, i2 = –1. Эта точка отстоит на 180 градусов от оси x: угол удвоился.

Рис. 33. i под углом 90 градусов

Рис. 34. Различные возможности i

Число i3 равно –i — в 270 градусах от оси x: угол утроился. Число i4 = 1. Мы совершили оборот в 360 градусов — ровно в четыре раза больше исходного угла (рис. 34). Это не совпадение. Возьмите любое комплексное число и измерьте угол. Возведение этого числа в степень n увеличивает угол в n раз. И по мере того как вы все больше и больше увеличиваете n, число по спирали движется внутрь или наружу, в зависимости от того, находится ли исходное число внутри или снаружи единичной окружности — окружности с центром в начале координат и с радиусом 1 (рис. 35).

Рис. 35. Спирали внутри и снаружи единичной окружности

Умножение и возведение в степень на комплексной плоскости становятся геометрическими идеями, можно видеть, что происходит. Это было вторым большим продвижением вперед.

Человеком, который объединил эти две идеи, был ученик Гаусса Георг Фридрих Бернхард Риман. Риман объединил проективную геометрию с комплексными числами, и неожиданно прямые превратились в окружности, окружности — в прямые, а ноль и бесконечность стали полюсами шара, полного чисел.

Риман представлял себе прозрачный шар на комплексной плоскости; южный полюс шара касался ноля. Если бы на северном полюсе шара был крошечный источник света, все фигуры, отмеченные на шаре, отбрасывали бы тени на лежащую внизу плоскость. Тень экватора образовывала бы окружность вокруг начала координат. Тень южного полушария находится внутри окружности, а тень северного — снаружи (рис. 36). Начало координат — ноль — совпадает с южным полюсом. Каждая точка на шаре имеет тень на комплексной плоскости; в определенном смысле каждая точка на шаре — эквивалент своей тени на плоскости, и наоборот. Каждая окружность на плоскости есть тень окружности на шаре, и окружность на шаре соответствует окружности на плоскости — за одним исключением.

Рис. 36. Стереографические проекции шара

Если окружность проходит через северный полюс шара, то ее тень больше не окружность, а прямая. Северный полюс подобен бесконечно удаленной точке, как ее представляли себе Кеплер и Понселе. Прямые на плоскости — это просто окружности на сфере, проходящие через северный полюс — бесконечно удаленную точку (рис. 37).

Рис. 37. Прямые и окружности — одно и то же

Как только Риман увидел, что комплексная плоскость (с бесконечно удаленной точкой) — то же самое, что и сфера, математики смогли увидеть умножение, деление и другие, более трудные операции, анализируя, как деформируется и вращается сфера. Например, умножение на число i эквивалентно вращению сферы на 90 градусов по часовой стрелке. Если вы берете число x и заменяете его на (x — 1)/(x + 1), это эквивалентно такому повороту всей сферы на 90 градусов, что северный и южный полюса оказываются на экваторе (рис. 38, 39, 40). Самое интересное, что если вы берете число x и заменяете его на обратную величину 1 / x, это эквивалентно перевороту всей сферы вверх ногами и зеркальному отражению. Северный полюс становится южным, а южный — северным, ноль становится бесконечностью, а бесконечность — нолем. Все это встроено в геометрию сферы, 1 / 0 = ∞ и 1 /∞ = 0. Бесконечность и ноль — просто противоположные полюса сферы Римана и могут мгновенно меняться местами. Они имеют равные и противоположные силы.

Рис. 38 . Сфера Римана

Рис. 39. Сфера Римана, трансформированная i

Рис. 40. Сфера Римана, трансформированная (x — 1)(x + 1)

Возьмите все числа на комплексной плоскости и умножьте на 2. Похоже, что вы взялись рукой за южный полюс и растянули резиновое покрытие сферы от южного к северному полюсу. Умножение на 1 / 2 произведет обратный эффект: как будто вы растянули резиновое покрытие от северного полюса к южному. Умножение на бесконечность подобно втыканию иглы в южный полюс: резиновое покрытие все стянется вверх, к северному полюсу: любое число, умноженное на бесконечность, есть бесконечность. Умножение на ноль подобно втыканию иглы в северный полюс, и все стягивается к нолю: любое число, умноженное на ноль, есть ноль. Бесконечность и ноль равны и противоположны и одинаково разрушительны.

Ноль и бесконечность вечно борются за поглощение всех чисел. Как в манихейском кошмаре, эти двое сидят на противоположных полюсах числовой сферы, всасывая в себя числа, как маленькие черные дыры. Возьмите любое число на плоскости. Для примера пусть это будет i / 2. Возведем его в квадрат, в куб, в четвертую степень, в пятую, шестую, седьмую степень… Продолжаем умножать. Числа медленно по спирали приближаются к нолю, как вода по трубе. Что произойдет с 2i? В точности противоположное. Возведем его в квадрат, в куб, в четвертую степень… Числа по спирали устремятся вовне (рис. 41). Однако на числовой сфере эти две кривые — дубликаты друг друга, они — зеркальные отражения (рис. 42). Такова судьба всех чисел на комплексной плоскости. Они неизбежно притягиваются к нолю или к бесконечности. Единственные числа, которые избегают этой участи, — те, что равноудалены от соперников, числа на экваторе, такие как 1, –1 и i. Эти числа, с одинаковой силой притягиваемые и нолем, и бесконечностью, вечно двигаются по спирали на экваторе и не могут вырваться. (Вы можете увидеть это на своем калькуляторе. Введите число — любое число. Возведите его в квадрат. Результат снова возведите в квадрат. Делайте это снова и снова. Последовательность быстро устремится к бесконечности или к нолю, если только вы изначально не ввели 1 или –1. Избавления нет.)

Рис. 41. Спиральное движение вовне и внутрь на плоскости

Рис. 42. На сфере — зеркальное отражение

 

Бесконечный ноль

Бесконечность больше не была тайной, она стала обыкновенным числом. Это был наколотый на булавку образец, приготовленный для изучения, и математики быстро взялись за анализ. Однако в самых глубинах бесконечности, угнездившись в огромном континууме чисел, все время появлялся ноль. Самое поразительное то, что сама бесконечность может быть нолем.

В прежние времена, до того как Риман увидел, что комплексная плоскость — на самом деле сфера, функции типа 1 / x ставили математиков в тупик. Когда x стремится к нолю, 1 / x делается все больше и больше и в конце концов просто взрывается и стремится к бесконечности. Риман сделал совершенно приемлемым приближение к бесконечности, поскольку бесконечность — это всего лишь точка на сфере, такая же, как любая другая точка; она больше не является чем-то, чего следует бояться. Математики начали анализировать и классифицировать точки, в которых функции взрываются: сингулярности, или особые точки.

Для кривой 1 / x сингулярностью является точка x = 0. Это очень простой вид сингулярности, которую математики называют полюсом. Существуют и другие виды сингулярности, например, для кривой sin (1 / x) точка x = 0 — существенно особая точка. Существенно особые точки — странные твари, рядом с сингулярностью такого сорта кривая делается абсолютно безумной. Она колеблется вверх и вниз все быстрее и быстрее по мере приближения к сингулярности, мечется от положительных значений к отрицательным и обратно. Даже в самой малой окрестности сингулярности кривая принимает почти все вообразимые значения снова и снова. Однако как бы странно эти функции не вели себя вблизи сингулярности, они больше не являлись тайной для математиков, которые учились вскрывать бесконечность.

Главным анатомом бесконечности был Георг Кантор. Хотя он в 1845 году родился в России, большую часть жизни Кантор провел в Германии. И именно в Германии — стране Гаусса и Римана — были открыты секреты бесконечности. К несчастью, Германия была также родиной Леопольда Кронекера, математика, который загнал Кантора в психиатрическую больницу.

В основе конфликта Кантора с Кронекером лежало представление о бесконечности, представление, которое может быть проиллюстрировано простой загадкой. Представьте себе большой стадион, полный людей. Вам нужно узнать, больше ли на стадионе мест, чем зрителей, или их число одинаково. Вы могли бы пересчитать людей и узнать, сколько имеется мест, и потом сравнить количества, однако это заняло бы много времени. Есть гораздо более разумный способ. Просто попросите всех присутствующих сесть. Если останутся незанятые места, значит, людей меньше, чем мест. Если какое-то количество людей останется стоять, значит, мест слишком мало. Если все места окажутся заняты и никто не останется стоять, то число зрителей и мест одинаково.

Кантор обобщил этот прием. Он сказал, что два числовых множества чисел имеют одинаковую мощность, если один набор «садится» на другой набор — по одному числу на одно число другого набора — и не остается излишка. Например, рассмотрим набор {1, 2, 3}; он имеет ту же мощность, что и {2, 4, 6}, потому что мы можем создать точный паттерн «рассадки»: все числа «сидят», и все «места» заняты.

Однако это не так с набором {2, 4, 6, 8}, потому что 8 оказывается пустым «местом»:

Дело приобретает особенно интересный характер, когда у вас имеется бесконечное множество. Рассмотрим множество всех чисел {0, 1, 2, 3, 4, 5…}. Очевидно, что оно равномощно самому себе: можно каждое число просто «посадить» на самого себя.

Здесь нет никакой уловки. Каждое множество, очевидно, равно (и равномощно) самому себе. Но что случится, если мы начнем убирать числа из набора? Например, что будет, если мы уберем ноль? Как ни странно, устранение ноля совсем не изменит размер мощности множества. Несколько изменив «рассадку», мы можем обеспечить, чтобы у всех было место и все места были заняты.

Набор остался той же мощности, несмотря на то, что мы из него кое-что убрали. На самом деле из набора целых чисел мы можем убрать бесконечное количество элементов — можем исключить, например, нечетные числа — мощность множества останется неизменной. Все по-прежнему имеют места, и каждое место занято.

Это есть определение бесконечного: это нечто, что может оставаться той же мощности, даже если вы из него что-то вычтете.

Четные числа, нечетные числа, целые числа — все эти множества имеют одинаковую мощность, размер, которую Кантор обозначил как 0 (алеф-ноль, названный так по первой букве еврейского алфавита). Поскольку эти наборы имеют ту же мощность, что и множество натуральных чисел, любое множество мощности 0 называется счетным. (Конечно, на самом деле вы не можете их пересчитать, если не располагаете бесконечным временем.) Даже множество рациональных чисел — множество чисел, которые могут быть записаны как a / b для целых чисел a и b, — является счетным. Ловко отведя рациональным числам подобающие места, Кантор показал, что рациональные можно «рассадить» по стульям с натуральными номерами, то есть что они образуют множество размера 0 (см. Приложение D).

Однако, как было известно Пифагору, рациональные числа вовсе не заполняют все под солнцем. Рациональные и иррациональные числа в совокупности составляют так называемые вещественные числа. Кантор открыл, что множество вещественных чисел много больше множества рациональных чисел. Его доказательство было очень простым.

Представьте себе, что у вас имеется идеальный план «рассадки» вещественных чисел: каждое вещественное число имеет место, и каждое место занято. Это означает, что мы можем сделать список мест с указанием номера места одновременно с тем вещественным числом, которое на нем сидит. Например, наш список мог бы выглядеть примерно так:

Место . . . . . . . . . . Вещественное число

1 . . . . . . . . . . . . . . 3125123…

2 . . . . . . . . . . . . . . 7843133…

3 . . . . . . . . . . . . . . 9999999…

4 . . . . . . . . . . . . . . 6261000…

5 . . . . . . . . . . . . . . 3671123…

и т.д. . . . . . . . . . . .и т.д.

Уловка удалась, когда Кантор создал вещественное число, которого не было в списке.

Посмотрите на первую цифру первого числа в списке. В нашем примере это 3. Если бы наше новое число было равно первому числу в списке, его первой цифрой тоже было бы 3, но мы с легкостью можем воспрепятствовать этому. Давайте просто скажем, что наше новое число начинается с цифры 2. Поскольку первое число в списке начинается с 3, а новое число — с 2, мы знаем, что эти числа различны. (В строгом смысле слова это не так. Число 3,00000… равно числу 2,99999…, поскольку существует два способа записи многих рациональных чисел. Однако это мелочь, которую легко преодолеть. Для ясности мы проигнорируем это исключение.)

Теперь перейдем ко второму вещественному числу. Как мы можем быть уверенными в том, что наше новое число отличается от второго числа из списка? Что ж, мы уже определили первую цифру нашего нового числа, так что не можем повторить в точности ту же уловку, но можем сделать кое-что не хуже. Второе число нашего списка имеет вторую цифру 8. Если наше новое число имеет вторую цифру 7, мы можем убедиться, что наше новое число не совпадает со вторым числом из списка, поскольку их вторые цифры отличаются друг от друга. Значит, они не одинаковы. Мы продолжаем делать то же самое, двигаясь по списку: рассматриваем третью цифру третьего числа и меняем ее, рассматриваем четвертую цифру четвертого числа и меняем ее — и так далее.

Это дает новое число 27800…, которое отличается от первого числа (их первые цифры не совпадают), от второго числа (их вторые цифры не совпадают), от третьего, четвертого, от пятого и т.д.

Перемещаясь подобным образом по диагонали, мы создаем новое число. Этот процесс обеспечивает отличие нового числа от всех чисел в списке. Оно отлично от всех чисел в списке, оно не может входить в список, но мы уже предположили, что наш список содержит все вещественные числа. В конце концов, это был полный список рассаженных чисел. Имеет место противоречие. Безупречный список «рассадки» существовать не может.

Вещественные числа составляют бо́льшую бесконечность, чем числа рациональные. Термин для бесконечности такого типа — 1 , это первая несчетная бесконечность. (Технически термин для бесконечности вещественной прямой — С, или бесконечность-континуум. Математики многие годы пытались определить, действительно ли мощность С — 1 . В 1963 году математик Пол Коэн разрешил эту загадку, так называемую континуум-гипотезу: она недоказуема и не недоказуема в силу теоремы неполноты Гёделя. Сегодня большинство математиков воспринимают континуум-гипотезу как верную, хотя при некоторых исследованиях не-Канторовых трансфинитных чисел она оказывается неверна.) В уме Кантора существовало бесконечное число бесконечностей, одна в другой — трансфинитных чисел. 0 меньше, чем 1 , которая, в свою очередь, меньше 2 , которая меньше 3 и т.д. На вершине цепи располагается предельная бесконечность, поглощающая все прочие, — Бог, бесконечность, не поддающаяся никакому пониманию.

К несчастью для Кантора, не все разделяли его видение Бога. Леопольд Кронекер был видным профессором Берлинского университета и одним из учителей Кантора. Кронекер верил в то, что Бог никогда не допустил бы существования такой гадости, как иррациональные числа и тем более бесконечно увеличивающегося числа бесконечностей, образующих нечто вроде матрешки. Целые числа символизировали чистоту Бога, в то время как иррациональные числа и другие странные разновидности чисел представляли собой скверну — измышления несовершенного человеческого ума. Худшими из них были Канторовы трансфинитные числа.

Возмущенный взглядами Кантора, Кронекер обрушил на него ядовитую критику и очень затруднил публикацию его работ. Когда Кантор в 1883 году претендовал на должность в Берлинском университете, ему было отказано. Пришлось удовольствоваться должностью профессора гораздо менее престижного университета в Галле. Вероятно, виноват в этом был влиятельный Кронекер. В том же году Кантор написал опровержение нападок Кронекера. Затем в 1884 году Кантор пережил первый нервный срыв, приведший к депрессии.

Слабым утешением для него послужило бы то, что его работы стали основой целой новой области математики: теории множеств. Используя теорию множеств, математики открыли не только числа, о которых мы ничего не знаем; они разработали неслыханные до того понятия — бесконечные бесконечности, которые можно складывать, вычитать, умножать и делить, как обычные числа. Кантор открыл целую новую вселенную чисел. Немецкий математик Давид Гильберт сказал о нем: «Никто не сможет изгнать нас из рая, созданного для нас Кантором». Однако для Кантора признание опоздало: весь остаток жизни он лечился в психиатрических больницах и в 1918 году умер в одной из них.

В битве между Кронекером и Кантором Кантор в конце концов победил. Его теория показала, что дорогие Кронекеру целые числа — и даже числа рациональные — это ничто. Они — бесконечный ноль.

Рациональных чисел бесконечно много, и между любыми двумя числами по вашему выбору, как бы близко друг к другу они ни располагались, все еще находится бесконечное множество рациональных чисел. Они повсюду. Однако канторовская иерархия бесконечностей говорила о другом: она показывала, как мало места рациональные числа занимают на числовой оси.

Для такого сложного подсчета требуется остроумная уловка. Измерить объекты неправильной формы очень трудно. Например, представьте себе, что у вас пятно на деревянном полу. Какую площадь занимает пятно? Это совсем не очевидно. Если пятно имеет форму круга, квадрата или треугольника, площадь легко вычислить: просто возьмите рулетку и измерьте радиус или высоту и основание. Однако не существует формулы для вычисления площади пятна в форме амебы. Впрочем, существует другой способ.

Возьмите прямоугольный коврик и положите его поверх пятна. Если коврик покрывает пятно полностью, значит, пятно меньше коврика; если площадь коврика — квадратный фут, то площадь пятна меньше квадратного фута.

При использовании ковриков меньшего размера аппроксимация делается лучше и лучше. Предположим, что пятно покрывается пятью ковриками размером в одну восьмую квадратного фута. Значит, площадь пятна не больше пяти восьмых квадратного фута, что меньше нашей оценки при помощи коврика в один квадратный фут. По мере того как вы берете все меньшие и меньшие коврики, покрытие делается все лучше и лучше, и их общая площадь все больше приближается к истинному размеру пятна. На самом деле вы можете определить площадь пятна как предел площади ковриков, когда площадь каждого из них стремится к нолю (рис. 43).

Рис. 43. Покрытие пятна ковриками

Проделаем то же самое с рациональными числами, но на этот раз наши коврики — это наборы чисел. Например, число 2,5 «покрывается» ковриком, который включает, скажем, все числа между 2 и 3: это коврик размера 1. Использование такого рода коврика для покрытия рациональных чисел имеет некоторые весьма странные последствия, как показал Кантор с помощью своей карты «рассадки». Карта «рассадки» охватывает все рациональные числа — соотносит каждое из них с его «местом», так что их можно пересчитать одно за другим по порядку, основываясь на номере их «места». Возьмите первое попавшееся рациональное число и поместите его на числовую ось. Накройте его ковриком размера 1. Этим ковриком будет накрыто множество других чисел, но об этом мы можем не беспокоиться. Пока накрыто наше первое число, все в порядке.

Теперь возьмем второе число. Накроем его ковриком размера 1/2. Возьмем третье число и накроем его ковриком размера 1/4 и т. д. Продолжая процесс до бесконечности, поскольку каждое рациональное число присутствует на карте «рассадки», получим, что каждое рациональное число покрыто ковриком. Какова же суммарная площадь ковриков? Это наша старая приятельница, ахиллесова сумма. Складывая площади ковриков, мы получим сумму 1 + 1/2 + 1/4+ 1/8 + … + 1/2 n , которая стремится к 2, когда n стремится к бесконечности. Таким образом, мы можем накрыть бесконечное множество рациональных чисел на числовой оси набором ковриков, общая площадь которых равна 2. Это означает, что все рациональные числа оси можно загнать на отрезок длиной меньше двух единиц пространства.

Как мы поступали в случае пятна, сделаем размеры ковриков еще меньше, чтобы получить лучшую аппроксимацию. Если вместо того, чтобы начинать с коврика размера 1, начать с коврика размером в 1/2 , то общая сумма площадей окажется равной 1. Значит, рациональные числа в сумме занимают меньше одной единицы пространства. Если мы начнем с первого коврика размера 1/1000 , все коврики займут меньше 1/500 единицы пространства, и все рациональные числа уместятся меньше чем на 1/500 единицы пространства. Если мы начнем с коврика размером в один атом, мы сможем накрыть все рациональные числа на числовой оси ковриками, которые в сумме имеют площадь меньшую, чем атом. Однако даже такие крохотные коврики, что могут все вместе уместиться в одном атоме, накроют все рациональные числа (рис. 44).

Рис. 44. Покрытие рациональных чисел

Мы можем брать какие угодно малые коврики, мы можем накрыть все рациональные числа ковриками, в сумме имеющими площадь в половину атома, в нейтрон или в кварк — столь малыми, какие только можем вообразить.

Так каков же тогда размер совокупности рациональных чисел? Мы определили размер как предел — сумму площадей ковриков, размер каждой из которых стремится к нолю.

Однако одновременно мы видели, что по мере уменьшения ковриков сумма покрывающих площадей делается все меньше и меньше, меньше атома, кварка или миллионной доли кварка — и при этом покрывает все рациональные числа. Каков предел величины, без остановки делающейся все меньше и меньше? Ноль.

Каков размер совокупности рациональных чисел? Они не занимают никакого пространства. Эту концепцию трудно воспринять, однако она истинна.

Несмотря на то, что рациональные числа находятся повсюду на числовой оси, они совсем не занимают места. Если бы мы кинули дротик в числовую ось, он никогда не попал бы в рациональное число. Никогда. И хотя рациональные числа не занимают места, этого нельзя сказать об иррациональных, потому что для них нельзя составить карты «рассадки» и пересчитать их по одному: всегда останутся неохваченные. Кронекер ненавидел иррациональные числа, но они занимают все место на числовой оси.

Бесконечность рациональных чисел — всего лишь ноль.