Кембридж, 23 июня 1993 года

Это была самая важная лекция по математике столетия. Двести математиков сидели, как завороженные. Лишь четверть из них полностью понимала густую мешанину из греческих букв и алгебраических символов, которая покрывала доску. Остальные присутствовали только для того, чтобы стать очевидцами события, которое, как они надеялись, станет поистине историческим.

Слухи поползли накануне. По электронной почте распространилось сообщение, в котором высказывалось предположение, что намеченная на 23 июня 1993 года лекция может стать кульминацией в поисках доказательства Великой теоремы Ферма — самой знаменитой математической проблемы. Такого рода слух не был чем-то необычным. Великая теорема Ферма часто бывала темой разговоров за чашкой чая, и математики принимались рассуждать о том, кто мог бы найти доказательство. Иногда смутные беседы математиков в помещении для членов колледжей превращали догадки в слухи о якобы найденном доказательстве Великой теоремы Ферма, но из этих слухов никогда ничего не материализовалось.

На этот раз слух был иного рода. Один из аспирантов Кембриджского университета был настолько убежден в истинности сообщения, что решился поставить у букмекеров 10 фунтов стерлингов на то, что доказательство Великой теоремы Ферма будет найдено в течение недели. Но букмекеры сочли, что дело нечисто, и отказались принять заклад. Это был пятый студент, который обратился к ним с аналогичным предложением в тот день. Над поиском доказательства Великой теоремы Ферма лучшие умы бились на протяжении трех столетий, и теперь даже букмекеры начали подозревать, что доказательство скоро будет найдено.

Три доски оказались исписанными, и лектор сделал паузу. Текст с первой доски был стерт, и выкладки продолжились. Каждая строка вычислений становилась крохотной ступенькой, приближавшей к решению проблемы, но вот прошло тридцать минут, а лектор все еще не объявлял, что доказательство завершено. Профессора, заполнившие первые ряды, с нетерпением ожидали заключительной части лекции. Студенты, стоявшие сзади, поглядывали на преподавателей в надежде, что те подскажут, каким может оказаться окончательный «приговор». Присутствуют ли они при изложении полного доказательства Великой теоремы Ферма, или лектор излагает лишь общую схему некоего неполного рассуждения, призванного разрядить всеобщее напряженное ожидание подлинного доказательства.

Лектором был Эндрю Уайлс, сдержанный англичанин, эмигрировавший в 80-х годах в Америку и ставший профессором Принстонского университета, где он заслужил репутацию одного из наиболее одаренных математиков своего поколения. В последние годы Уайлс почти полностью исчез из ежегодного круга конференций и семинаров, и коллеги начали было думать, что Уайлс исчерпал свои возможности как математик. Выгореть дотла для молодых блестящих умов не такая уж редкость. Как заметил математик Альфред Адлер, «математическая жизнь ученого-математика коротка. После того, как ему исполнится лет 25–30, его работа редко становится продуктивнее. Если к этому возрасту мало что сделано, то и потом удается свершить не много».

«Молодые люди должны доказывать теоремы, пожилые — писать книги, — заметил Г.Г. Харди в своей книге «Апология математика». — Ни один математик не должен забывать о том, что математика в большей степени, чем какое-либо другое искусство или наука, — игра молодых людей. В качестве простого примера упомяну о том, что средний возраст избрания в Королевское общество ниже всего у математиков». Блестящий ученик самого Харди — Сриниваса Рамануджан был избран членом Королевского общества в возрасте тридцати одного года, успев совершить в более молодые годы ряд серьезных открытий. Несмотря на весьма слабое формальное образование, полученное им в родной деревне Кумбаконам в Южной Индии, Рамануджан сумел сформулировать теоремы и решить ряд проблем, не поддававшихся усилиям математиков на Западе. В математике опыт, который приходит с возрастом, менее важен, чем интуиция и смелость, свойственные юности. Когда Рамануджан представил Харди свои результаты, кембриджский профессор был настолько поражен, что предложил Рамануджану оставить работу младшего клерка в Южной Индии и переехать в Тринити-колледж, где тот мог бы общаться и взаимодействовать с некоторыми из самых выдающихся специалистов по теории чисел в мире. К сожалению, суровые зимы Восточной Англии оказались непосильным испытанием для Рамануджана. Он заболел туберкулезом и умер в возрасте тридцати трех лет.

Немало других математиков прожили столь же блестящую, но краткую жизнь в науке. В XIX веке норвежец Нильс Хенрик Абель внес свой величайший вклад в математику, когда ему исполнилось девятнадцать лет, и умер в нищете восемью годами позже также от туберкулеза. Шарль Эрмит сказал, что Абель «оставил математикам нечто такое, над чем им предстоит трудиться лет пятьсот», и не подлежит сомнению, что его открытия и поныне оказывают глубокое влияние на современную теорию чисел. Столь же одаренный современник Абеля Эварист Галуа сделал первостепенное открытие, будучи еще подростком, и умер в возрасте двадцати одного года.

Приведенные мной примеры предназначены не для того, чтобы читатель пришел к заключению, что математиков постигает кончина безвременная и трагическая. Я хочу подчеркнуть, что свои наиболее глубокие идеи математики выдвигают в юности, и, как сказал Харди, «я не знаю случая, когда бы серьезная математическая идея была высказана человеком старше пятидесяти». Достигнув среднего возраста, математики часто отходят на задний план и проводят остаток своих дней, занимаясь преподаванием или администрированием, но не математическими исследованиями. С Эндрю Уайлсом дело обстоит совсем иначе. Хотя он достиг почтенного сорокалетнего возраста, семь лет он работал над решением задачи в обстановке полной секретности, пытаясь найти решение единственной в своем роде величайшей проблемы в истории математики. В то время, как коллеги Уайлса подозревали, что математический дар его безвозвратно иссяк, он фантастически быстро продвигался к поставленной цели, изобретая новые методы и средства, которые теперь вознамерился открыть математическому сообществу. Его решение работать над проблемой в полной изоляции было весьма рискованной стратегией, неслыханной прежде в математическом мире.

Не обладая изобретениями, требующими патентования, математический факультет любого университета сопряжен с секретностью в меньшей степени, чем любой другой факультет. Сотрудники математического факультета наслаждаются открытым свободным обменом идей, как правило во время чаепитий, которые превратились в ежедневные ритуалы. Как следствие, все большее число статей публикуется в соавторстве или группами математиков, и слава делится на всех поровну. Но если профессор Уайлс действительно обнаружил полное и строгое доказательство Великой теоремы Ферма, то наиболее высоко ценимая награда в математике принадлежит ему, и только ему одному. Цена, которую он был вынужден уплатить за то, что вел свои исследования в тайне от коллег и ранее не обсуждал свои идеи и не проверял их на математическом сообществе, заключалась в высокой вероятности, что где-то в своих рассуждениях он допустил фундаментальную ошибку.

По своему замыслу Уайлс намеревался еще какое-то время поработать над проблемой Ферма, чтобы полностью проверить окончательный вариант своей рукописи. Но ему представилась уникальная возможность объявить о своем открытии в Институте сэра Исаака Ньютона, и Уайлс отбросил осторожность. Единственная цель существования этого Института состоит в том, чтобы собирать вместе на несколько недель самые выдающиеся умы мира и предоставлять им возможность проводить по своему усмотрению семинары по самым животрепещущим проблемам современной математики. Расположенное на задворках Кембриджского университета, вдали от студентов и разных помех, институтское здание спланировано и построено с таким расчетом, чтобы создать математикам все условия, позволяющие сосредоточиться на обсуждаемой проблеме и предпринять мозговой штурм. Внутри здания нет тупиков, в которых можно было бы затаиться. Все кабинеты выходят на форум. Предполагалось, что математики в основном будут собираться на форуме. Двери кабинетов рекомендуется держать открытыми. Передвигаясь по Институту, математик может не прерывать общения с коллегами. Доска висит даже в лифте, перемещающимся между тремя этажами. И по крайней мере одна доска есть в каждой комнате, не исключая ванных. В тот раз, о котором идет речь, в Институте Ньютона семинары шли под названием «L-функции и арифметика». Все наиболее выдающиеся специалисты мира по теории чисел собрались, чтобы обсудить проблемы, связанные со столь высокоспециализированной областью чистой математики, но только Уайлс понял, что L-функции могли бы дать ключ к доказательству Великой теоремы Ферма.

И хотя его очень привлекала возможность рассказать о своей работе столь выдающейся аудитории, все же главным, что заставило его объявить о своем открытии в Институте Ньютона, было то, что он находился в своем родном городе — Кембридже. Здесь Уайлс родился, вырос, здесь получила развитие его любовь к теории чисел, и именно в Кембридже он впервые столкнулся с проблемой, которой посвятил свою оставшуюся жизнь.

 

Проблема Ферма

В 1963 году, когда ему было всего десять лет, Эндрю Уайлс уже был очарован математикой. «В школе я любил решать задачи, я брал их домой и из каждой задачи придумывал новые. Но лучшую из задач, которые мне когда-либо попадались, я обнаружил в местной библиотеке».

Эндрю Уайлс в возрасте десяти лет, когда он впервые узнал о Великой теореме Ферма.

Однажды по дороге из школы домой Эндрю Уайлс решил заглянуть в библиотеку на Милтон-роуд. По сравнению с библиотеками университетских колледжей эта библиотека была довольно бедной, но выбор книг по занимательной математике в ней был богатым, и эти книги часто привлекали внимание Эндрю. Их страницы были до отказа заполнены всякого рода научными курьезами и задачами-головоломками, и на каждый вопрос существовал готовый ответ, заботливо помещенный где-нибудь в конце книги. Но на этот раз Эндрю выудил книгу, в которой речь шла лишь об одной-единственной задаче, и решение ее не приводилось.

Это была книга Эрика Темпла Белла «Великая проблема» об истории одной математической задачи, корни которой уходят в Древнюю Грецию. Своего полного расцвета эта проблема достигла в XVII веке. Именно тогда великий французский математик Пьер де Ферма без всякого умысла сформулировал ее так, что она стала вызовом всему остальному миру. Выдающиеся математики один за другим принимались за наследие Ферма и были вынуждены смиренно признать, что оно оказалось им не по силам. За триста лет никому не удалось решить эту проблему. Разумеется, в математике есть немало других нерешенных проблем, но проблема Ферма занимает среди них особое место своей обманчивой простотой. Тридцать лет спустя после того, как он впервые прочитал книгу Белла, Уайлс рассказал мне, что он ощутил при первой встрече с Великой теоремой Ферма. «Она выглядела такой простой, и все же великие умы в истории математики не смогли доказать ее. Передо мной была проблема, понятная мне, десятилетнему мальчику, и я почувствовал, что с того самого момента я никогда не смогу отступиться от этой проблемы. Я должен был решить ее».

Проблема выглядела столь простой потому, что в основе ее лежало математическое утверждение, которое всем известно, — теорема Пифагора: в любом прямоугольном треугольнике квадрат, построенный на гипотенузе, равен сумме квадратов, построенных на катетах.

Благодаря этому пифагорову заклинанию, теорема запечатлелась в мозгу миллионов, если не миллиардов, людей. Это — фундаментальная теорема, заучивать которую заставляют каждого школьника. Но несмотря на то, что теорема Пифагора доступна пониманию десятилетних, она является вдохновляющим началом проблемы, при решении которой потерпели фиаско величайшие умы в истории математики.

Пифагор с острова Самос был одной из наиболее влиятельных и тем не менее загадочных фигур в математике. Поскольку достоверных сообщений о его жизни и работе не сохранилось, его жизнь оказалась окутанной мифами и легендами, и историкам бывает трудно отделить факты от вымысла. Не подлежит сомнению, однако, что Пифагор развил идею о логике чисел и что именно ему мы обязаны первым золотым веком математики. Благодаря его гению, числа перестали использоваться только для счета и вычислений и были впервые оценены по достоинству. Пифагор изучал свойства определенных классов чисел, соотношения между ними и фигуры, которые образуют числа. Пифагор понял, что числа существуют независимо от материального мира, и поэтому на изучении чисел не сказывается неточность наших органов чувств. Это означало, что Пифагор обрел возможность открывать истины, независимые от чьего-либо мнения или предрассудка. Истины более абсолютные, чем любое предыдущее знание.

Пифагор жил в V веке до н. э., свои познания и умения в математике он приобрел, странствуя по Древнему Миру. По некоторым преданиям, Пифагор побывал в Индии и Британии, но, по более достоверным сведениям, он перенял многие математические методы и средства у вавилонян и египтян. И те, и другие древние народы вышли за пределы простого счета и могли выполнять сложные вычисления, позволявшие им создавать тонкие системы учета и возводить сложные здания. Правда, математику они рассматривали лишь как средство решения практических проблем; причиной открытий некоторых основных правил геометрии стала необходимость восстанавливать границы между земельными участками, оказавшимися смытыми при ежегодных разливах Нила. Само слово геометрия означает «землемерие».

Пифагор обратил внимание на то, что египтяне и вавилоняне проводили каждое вычисление по рецепту, которому можно было слепо следовать. Эти рецепты, апробированные не одним поколением, неизменно давали правильное решение, и никому и в голову не приходило усомниться в них или подвергнуть анализу логику, лежащую в их основе. Для египетской и вавилонской цивилизаций было важно, что вычисления «работают», а почему они работают, неважно.

После двадцати лет странствий Пифагор собрал и усвоил все математические правила, существовавшие в цивилизованном мире, и отплыл на родину — остров Самос в Эгейском море — с намерением основать школу, члены которой занимались бы изучением философии и в особенности исследованием собранных им математических правил. Пифагор хотел понять числа, а не только вслепую пользоваться ими. Он надеялся, что ему удастся найти достаточное количество свободно мыслящих учеников, которые помогут ему создать радикально новую философию, но за время его отсутствия тиран Поликрат превратил некогда вольный Самос в нетерпимое консервативное общество. Поликрат пригласил Пифагора ко двору, но философ понимал, что это был не более чем маневр с целью заставить его замолчать, и под благовидным предлогом отклонил предложенную честь. Пифагор покинул город и поселился в пещере, расположенной в отдаленной части острова, где он мог свободно предаваться размышлениям, не опасаясь преследований.

Пифагор был настолько одинок, что в конце концов был вынужден подкупить юношу, чтобы тот согласился стать его учеником. Кем был этот юноша, неизвестно, но некоторые историки высказывают предположение, что его также звали Пифагором и что позднее именно он прославился тем, что посоветовал атлетам есть мясо, чтобы улучшить свои спортивные результаты. Пифагор-учитель платил своему ученику по три обола за каждый урок, который тот посещал. По прошествии нескольких недель он заметил, что упорное нежелание юноши учиться превратилось в любовь к знанию. Чтобы испытать своего ученика, Пифагор сделал вид, что не в состоянии платить ему и что уроки придется прекратить. В ответ ученик предложил сам оплачивать уроки, но просил покинуть колонию.

Пифагор отправился в южную Италию, бывшую тогда частью Древней Греции, и поселился в Кротоне, где ему посчастливилось найти идеального покровителя в лице Мило, самого богатого человека в Кротоне и одного из сильнейших людей в истории. Хотя слава Пифагора как мудреца с острова Самос распространилась по всей Греции, слава Мило была еще больше. Мило был сложен, как Геркулес, и двенадцать раз завоевывал титул чемпиона Олимпийских и Пифийских игр. Помимо занятий атлетикой Мило высоко ценил философию и математику и занимался их изучением. Он предоставил Пифагору достаточно большую часть своего дома для того, чтобы тот мог основать школу. Так самый творчески мысливший разум и самое мощное тело стали партнерами.

Чувствуя себя в безопасности в своем новом доме, Пифагор основал пифагорейское братство — группу из шестисот последователей, способных не только понять его учения, но и добавить к ним новые идеи и доказательства. Вступая в братство, каждый последователь Пифагора должен был пожертвовать в общий фонд все свое состояние. Каждый, кто покидал братство, получал сумму вдвое большую, чем первоначальное пожертвование, и в память о нем воздвигалась надгробная плита. Пифагорейское братство было эгалитарной школой, и среди учащихся были не только мужчины, но и несколько женщин. Любимой ученицей Пифагора была дочь Мило — прекрасная Теано. Несмотря на большую разницу в возрасте Пифагор и Теано в конце концов поженились.

Вскоре после основания братства Пифагор придумал слово «философ» и тем самым провозгласил цели школы. Во время Олимпийских игр Леон, правитель Флиуса, спросил Пифагора, как бы тот охарактеризовал себя. Пифагор ответил: «Я философ», но Леону не приходилось прежде слышать этого слова, и он попросил Пифагора объяснить, что оно означает.

«Жизнь, правитель Леон, можно уподобить происходящим сейчас Олимпийским играм: в собравшейся здесь огромной толпе одних привлекает выгода, которую они надеются извлечь, других — надежды и честолюбивые замыслы, они надеются обрести известность и славу. Но есть среди них немного и таких, кто пришел сюда, чтобы увидеть и понять все, что здесь происходит.

То же самое относится и к жизни. Одни обуяны любовью к благосостоянию, другие слепо следуют безумной лихорадочной жажде власти и господства, но лучший из людей посвящает себя познанию смысла и цели самой жизни. Он стремится раскрыть тайны природы. Такого человека я называю философом, ибо хотя ни один человек не может постичь всю мудрость мира, он может любить мудрость как ключ к тайнам природы».

Хотя многие знали о намерениях Пифагора, никто за пределами братства не знал, чем именно занимаются Пифагор и его ученики. Каждый член школы приносил торжественную клятву никогда, ни под каким видом, не разглашать посторонним математические открытия братства. Даже после смерти Пифагора один из членов братства был утоплен за то, что он нарушил клятву, — публично заявил об открытии нового правильного тела, додекаэдра, ограниченного двенадцатью правильными пятиугольниками. Множество мифов о странных ритуалах, совершавшихся членами братства, и немногочисленность надежных сведений об их математических достижениях — следствие той доведенной до предела таинственности, которой окружали себя пифагорейцы.

Достоверно известно, что Пифагор установил этос, изменивший ход развития математики. По существу пифагорейское братство было религиозным сообществом, и одним из идолов, которым поклонялись пифагорейцы, было Число. Пифагорейцы полагали, что постигая соотношения между числами, они смогут раскрыть духовные тайны Вселенной и тем самым приблизиться к богам. Особое внимание члены братства уделяли натуральным числам (1, 2, 3…) и дробям. Натуральные числа вместе с дробями (отношениями этих чисел) на языке профессиональных математиков принято называть рациональными числами. Среди бесконечного множества чисел пифагорейцы высматривали те, которые имеют особое значение. Среди наиболее значимых для них чисел были так называемые «совершенные» числа.

По мнению Пифагора, совершенство числа зависит от его делителей (т. е. тех чисел, которые делят без остатка исходное число). Например, делителями числа 12 являются 1, 2, 3, 4, и 6. Если сумма делителей числа больше самого числа, то такое число называется «избыточным». Например, 12 — избыточное число, так как сумма его делителей равна 16.

С другой стороны, если сумма делителей числа меньше самого числа, то такое число называется «недостаточным». Например, 10 — недостаточное число, так как сумма его делителей (1, 2 и 5) равна лишь 8.

Числа, сумма делителей которых в точности равна самому числу, пифагорейцы считали особенно важными. Такие числа они называли совершенными. Например, число 6 имеет делителями 1, 2 и 3 и, следовательно, совершенно, так как 1+2+3 = 6. Следующее совершенное число равно 28, так как

1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Совершенный характер чисел 6 и 28, имевший столь большое математическое значение для пифагорейцев, был признан и другими культурами, обратившими внимание на то, что Луна совершает оборот вокруг Земли каждые 28 дней, и утверждавшими, что Бог сотворил мир за 6 дней.

В сочинении «Град Божий» Св. Августин высказал мысль о том, что хотя Бог мог сотворить мир в одно мгновенье, Он предпочел сотворить его за 6 дней, дабы поразмыслить над совершенством мира. По мнению Св. Августина, число 6 совершенно не потому, что Бог избрал его, а потому, что совершенство внутренне присуще природе этого числа. «Число 6 совершенно само по себе, а не потому, что Господь сотворил все сущее за 6 дней; скорее наоборот, Бог сотворил все сущее за 6 дней потому, что это число совершенно. И оно оставалось бы совершенным, даже если бы не было сотворения за 6 дней».

По мере того, как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются все реже. Третье совершенное число 496, четвертое — 8 128, пятое — 33 550 336, шестое — 8 589 869 056. Пифагор заметил, что совершенные числа не только равны сумме своих делителей, но и обладают некоторыми другими изящными свойствами. Например, совершенные числа всегда равны сумме нескольких последовательных натуральных чисел. В самом деле,

6 = 1 + 2 + 3,

28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7,

496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + … + 30 + 31,

8128 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + … + 126 + 127.

Пифагор забавлялся совершенными числами, но не довольствовался одним лишь коллекционированием таких чисел. Он мечтал открыть их более глубокое значение. Одно из его открытий состояло в том, что совершенство чисел тесно связано с «двоичностью». Числа 4=2·2, 8=2·2·2, 16=2·2·2·2 и т. д. называются степенями числа 2 и могут быть представлены в виде 2n , где n означает число перемноженных двоек. Все степени числа 2 чуть-чуть «не достают» до того, чтобы стать совершенными, так как сумма их делителей всегда на единицу меньше самого числа. Иначе говоря, все степени двойки слегка недостаточны:

22 = 2·2 = 4, делители 1, 2, сумма 3,

23 = 2·2·2 = 8, делители 1, 2, 4, сумма 7,

24 = 2·2·2·2 = 16, делители 1, 2, 4, 8, сумма 15,

25 = 2·2·2·2·2 = 32, делители 1, 2, 4, 8, 16, сумма 31.

 Двумя столетиями спустя Евклид уточнил замеченную Пифагором взаимосвязь между двоичностью и совершенством. Евклид открыл, что совершенные числа всегда кратны двум числам, одно из которых равно степени числа 2, а другое на единицу меньше следующей степени числа 2:

6 = 21·(22 — 1),

28 = 22·(23 — 1),

496 = 24·(25 — 1),

8128 = 26·(27 — 1).

Современные компьютеры позволили продолжить поиск совершенных чисел и обнаружить чудовищно большие экземпляры таких чисел, например, 2216090·(2216091 — 1). Это число содержит более 130 000 цифр и подчиняется правилу Евклида.

Пифагор восхищался разнообразием структуры и свойствами совершенных чисел и с почтением относился к их тонкости и коварству. На первый взгляд, совершенство — свойство, сравнительно простое для понимания. Тем не менее, древние греки так и не сумели постичь некоторые фундаментальные особенности совершенных чисел. Так, хотя они знали множество слегка недостаточных чисел (т. е. чисел сумма делителей которых на единицу меньше самого числа), им не удалось найти слегка избыточное число (т. е. число сумма делителей которого на единицу больше самого числа). Они не сумели также доказать, что таких чисел не существует.

Хотя никакого практического значения эта задача не имела, ее решение могло бы прояснить природу совершенных чисел, и поэтому она заслуживала изучения. Такого рода загадки интриговали пифагорейское братство, и спустя две с половиной тысячи лет математики все еще не могут доказать, что слегка избыточные числа не существуют.

 

Всё сущее есть число

Помимо изучения соотношений между числами Пифагора интересовала взаимосвязь между числами и природой. Он понимал, что природные явления подчиняются законам, а эти законы описываются математическими соотношениями. Одним из первых открытий Пифагора стало фундаментальное соотношение между гармонией в музыке и гармонией чисел.

Самым важным инструментом в древнегреческой музыке был тетрахорд, или четырехструнная лира. И до Пифагора музыканты ценили те ноты, которые при совместном звучании создавали приятный эффект, и настраивали свои лиры так, чтобы при пощипывании двух струн возникала гармония. Но музыканты не понимали, почему те или иные сочетания нот гармоничны, и не обладали объективной системой для настройки своих инструментов. Лиры они настраивали только по слуху, пока не устанавливалось гармоническое звучание струн, — с помощью процесса, который Платон называл пыткой настроечных колков.

Ямвлих, ученый, живший в IV веке и написавший девять книг о пифагорейском братстве, рассказывает о том, как Пифагор пришел к открытию принципов, лежащих в основе музыкальной гармонии.

«Однажды Пифагор был глубоко погружен в размышления о том, как бы изобрести механическое устройство для слуха, которое было бы надежным и незамысловатым. Такое устройство было бы подобно циркулям, линейкам и оптическим инструментам, измышленным для зрения… Божественная удача распорядилась так, что Пифагор проходил как-то раз мимо кузницы, в которой работали кузнецы, и услышал удары молотков о железо, производивших во всех комбинациях, кроме одной, разнообразные гармонические звуки».

Как рассказывает далее Ямвлих, Пифагор, сгорая от нетерпения, вбежал в кузницу, чтобы выяснить, как возникает гармония молотов. Он заметил, что большинство молотов, если ими ударить одновременно, порождают гармоническое звучание, но одна комбинация молотов всегда порождала неприятное звучание. Рассмотрев хорошенько молоты, Пифагор понял, что те, которые издавали гармоническое звучание, находились в простом математическом отношении: их массы образовывали друг с другом простые отношения, или дроби. Иначе говоря, молоты, вес которых составляет половину, две трети или три четверти веса какого-то определенного веса, порождают гармонические звучания. С другой стороны, молот, порождающий дисгармонию (если ударить им одновременно с любым из других молотов), имеет вес, не образующий простого отношения с весом любого из других молотов.

Пифагор открыл, что простые отношения чисел отвечают за гармонию в музыке. Ученые усомнились в правдивости истории, рассказанной Ямвлихом о Пифагоре. Более достоверно известно, что Пифагор применил свою новую теорию музыкальных отношений к лире, рассматривая свойства одной струны. Если просто ущипнуть струну, то возникает стандартная нота, или тон, который создается всей длиной колеблющейся струны. Зажав струну в определенных точках, можно породить другие колебания и тоны, как показано на рис. 1. Важно то, что гармонические тона возникают только при зажиме струны в определенных точках.

Например, зажав струну точно посередине и затем ущипнув ее, мы получим тон октавой выше в гармоническом созвучии с первоначальном тоном. Если струну зажать на расстоянии одной трети, четверти или пятой длины от конца, то получатся другие гармонические тона. Но стоит зажать струну в точке, отстоящей от конца на расстоянии, не образующем простую дробь с длиной струны, как издаваемый струной звук не будет гармонировать с другими тонами.

 Рис. 1. Свободно колеблющаяся открытая струна издает основной тон. Если точно посредине струны создать узел колебания, то издаваемая струной нота станет на октаву выше и будет гармонировать с исходной нотой. Другие гармоники мы получим, перемещая узел в другие положения, соответствующие простым дробям (например, трети, четвертой или пятой части) от полной длины струны

Пифагор впервые открыл математическое правило, которому подчиняется физическое явление, и показал тем самым, что между математикой и физикой существует фундаментальная взаимосвязь. Со времени этого открытия ученые стали заниматься поиском математических правил, которым, судя по всему, подчиняется каждый физический процесс в отдельности, и обнаружили, что числа возникают во всех явлениях природы.

Например, некоторое число входит в закономерность, которой подчиняются длины рек. Профессор Ханс-Хенрик Стоун, специалист по физике Земли из Кембриджского университета, вычислил отношение между истинной длиной реки от истока до устья и расстоянием «по прямой», как могла бы лететь птица. И хотя это отношение варьируется от реки к реке, его среднее значение лишь немногим больше 3, т. е. истинная длина реки примерно в 3 раза больше расстояния от источников до устья по прямой.

В действительности это отношение примерно равно 3,14, что близко к значению числа π — отношению длины окружности к ее диаметру. Число π первоначально возникло в геометрии окружностей, но появляется снова и снова при самых различных обстоятельствах во многих разделах науки.

Например, появление числа π в отношении истинной длины реки от истоков до устья к расстоянию от ее истоков до устья по прямой — результат борьбы между порядком и хаосом. Эйнштейн первым высказал предположение о том, что реки имеют тенденцию ко все более извилистому руслу, так как малейшее искривление русла приводит к ускорению течения у «наружного» берега, что в свою очередь приводит к ускорению эрозии берега и увеличению крутизны поворота. Чем круче поворот, тем быстрее течение у «наружного» берега; чем быстрее течение, тем сильнее эрозия; чем сильнее эрозия, тем круче поворот реки, и т. д.

Однако, существует в природе процесс, который укрощает хаос: увеличение извилистости русла приводит к появлению петель и, наконец, к «короткому замыканию» русла: река спрямляет русло, а замкнутая петля, оставшаяся в стороне от русла, становится старицей. Баланс между этими двумя противоположными факторами приводит к близкому к π среднему значению отношения истинной длины реки и расстоянием между истоками и устьем по прямой. Отношение равное π чаще всего встречается у рек, текущих по равнинам с очень слабым уклоном. Таковы, например, реки Бразилии и Сибири.

Пифагор понял, что всюду, от гармонии в музыке до планетных орбит, скрыты числа, и это открытие позволило ему сформулировать афоризм: «Все сущее есть Число». Постигая смысл и значение математики, Пифагор разрабатывал язык, который позволил бы и ему самому, и другим описывать природу Вселенной. С тех пор каждое существенное продвижение в математике давало ученым словарь, необходимый для лучшего объяснения явлений в окружающем мире. Не будет преувеличением сказать, что успехи математики порождали коренные сдвиги в естествознании.

Исаак Ньютон был не только открывателем закона всемирного тяготения, но и выдающимся математиком. Его величайшим вкладом в математику стало создание математического анализа — дифференциального и интегрального исчисления. Позднее физики использовали язык математического анализа для более точного описания закона всемирного тяготения и решения задач, связанных с гравитацией. Созданная Ньютоном классическая теория гравитации пережила века и уступила место общей теории относительности Альберта Эйнштейна, давшего новое, более подробное объяснение гравитации. Идеи самого Эйнштейна стали возможными только благодаря новым математическим понятиям, позволившим ему развить более изощренный язык для своих более сложных (по сравнению с ньютоновскими) научных идей. Современная интерпретация гравитации также стала возможной под влиянием последних достижений математики. Новейшие квантовые теории гравитации связаны с успехами математической теории струн, в которой геометрические и топологические свойства трубок наилучшим образом объясняют силы природы.

Из всех взаимосвязей между числами и природой, изученных членами пифагорейского братства, наиболее важным стало соотношение, которое ныне носит имя основателя братства. Теорема Пифагора дает нам соотношение, которое выполняется для всех прямоугольных треугольников и, следовательно, определяет прямой угол. В свою очередь, прямой угол определяет перпендикуляр, т. е. отношение вертикали к горизонтали, а в конечном счете — отношение между тремя измерениями нашего мира. Математика — через прямой угол — определяет самую структуру пространства, в котором мы живем. Это очень глубокая мысль.

Между тем, формулировка теоремы Пифагора сравнительно проста. Действительно, чтобы понять ее, нужно прежде всего измерить длину двух более коротких сторон (x и y), — так называемых катетов, — прямоугольного треугольника, и каждую из полученных длин возвести в квадрат (x2 и y2). Затем нужно сложить квадраты длин (x2 + y2). Для треугольника, изображенного на рис. 2, сумма равна 25.

  x = 3, y = 4, z = 5

x 2 + y 2 = z 2

9 + 16 = 25

Рис. 2

 Теперь вы можете измерить длину наибольшей стороны z — так называемой гипотенузы — и возвести полученное число в квадрат. Самое замечательное заключается в том, что число z2 совпадает с вычисленной вами ранее суммой, т. е. 52 = 25. Иначе говоря, в любом прямоугольном треугольнике квадрат, построенный на гипотенузе, равен сумме квадратов, построенных на катетах.

Иными словами (точнее, символами), теорема Пифагора утверждает, что

x 2 + y 2 = z 2

Ясно, что это соотношение выполняется для треугольника на рис. 2, но суть теоремы Пифагора в том, что это равенство остается в силе для любого прямоугольного треугольника, какой вы только можете себе представить. Это — универсальный закон математики, и вы можете положиться на него всякий раз, когда вам доведется встретить треугольник, содержащий прямой угол. И обратно, стоит вам встретить треугольник, удовлетворяющий теореме Пифагора, как вы можете быть абсолютно уверенными в том, что перед вами прямоугольный треугольник.

Уместно заметить, что, хотя теорема, о которой идет речь, навсегда связана с именем Пифагора, китайцы и вавилоняне использовали ее на тысячу лет раньше. Однако ни китайские, ни вавилонские геометры не знали, что эта теорема выполняется для любого прямоугольного треугольника. Теорема, получившая впоследствии название теоремы Пифагора, оказалась верной для любого прямоугольника, на котором китайцы и вавилоняне могли ее проверить, но они не знали, как показать, что она будет справедлива для всех тех прямоугольных треугольников, которые они не подвергли проверке. Причина, по которой теорему стали называть теоремой Пифагора, заключается в том, что именно он доказал ее универсальную истинность.

Но каким образом Пифагор узнал, что его теорема верна для любого прямоугольного треугольника? Он не мог надеяться на то, что ему удастся проверить бесконечно много разнообразнейших прямоугольных треугольников, и тем не менее Пифагор сумел обрести уверенность «на все сто процентов» в том, что его теорема — абсолютная истина. Причина его уверенности — в понятии математического доказательства. Поиск математического доказательства — это поиск знания, более точного, чем знание, накопленное какой-нибудь другой научной дисциплиной. Жажда постичь абсолютную истину с помощью метода доказательства двигала математиками на протяжении двух с половиной тысяч лет.

 

Абсолютное доказательство

История Великой теоремы Ферма — это история поиска недостающего доказательства. Математическое доказательство гораздо мощнее и строже, чем представление о доказательстве, которым мы пользуемся в нашем повседневном языке, и даже чем то представление о доказательстве, которого придерживаются физики или химики. Понимание различия между естественнонаучным и математическим доказательствами имеет решающее значение для осознания того, чем занимается каждый математик со времен Пифагора.

Классическое математическое доказательство начинается с серии аксиом — утверждений, которые можно предположить истинными или истинность которых самоочевидна. Затем с помощью логических рассуждений, шаг за шагом, можно прийти к заключению. Если аксиомы истинны, а логика безупречна, то заключение безупречно. Этим заключением и является теорема.

Математические теоремы опираются на такой логический процесс и, доказанные однажды, они остаются истинными до скончания веков. Математические доказательства абсолютны. Чтобы по достоинству оценить значительность абсолютных доказательств, их следует сравнить с их «бедным родственником» — естественнонаучным доказательством, принятым, например, в физике.

В физике гипотеза выдвигается для объяснения какого-нибудь физического явления. Если наблюдения за явлением хорошо согласуются с гипотезой, то это свидетельствует в ее пользу, или, как принято говорить, подкрепляет выдвинутую гипотезу. Кроме того, гипотеза должна не только описывать известные процессы, но и предсказывать исход других процессов.

Для проверки предсказательной силы гипотезы могут проводиться эксперименты, и если они оказываются успешными, то это еще сильнее подкрепляет гипотезу. В конце концов, количество данных, свидетельствующих в пользу гипотезы, может оказаться достаточно большим, и гипотезу принимают в качестве физической теории.

Однако физическая теория никогда не может быть доказана на уровне, столь же абсолютном, как тот, на котором принято доказывать математические теоремы: на основе имеющихся данных физическую теорию можно считать обоснованной лишь с большей или меньшей вероятностью. Так называемое физическое, или, более общо, естественнонаучное доказательство, основано на наблюдениях и данных, доставляемых нашими органами чувств. И те, и другие обманчивы и дают лишь приближение к истине. Как заметил Бертран Рассел: «Хотя это может показаться парадоксом, все точные науки пронизаны идеей приближения».

Даже наиболее широко признанные естественнонаучные «доказательства» неизменно содержат в себе небольшой элемент сомнения. Иногда сомнение становится меньше; но оно никогда не исчезает полностью. Иногда выясняется, что предложенное доказательство неверно. Слабость физического доказательства приводит к научным революциям, во время которых на смену одной теории, считавшейся «верной» приходит другая теория, которая может быть всего лишь уточнением прежней теории, а может полностью противоречить ей.

Например, в поиске фундаментальных частиц материи каждое поколение физиков «перепахивало» или, по крайней мере, уточняло и усовершенствовало теорию своих предшественников. Современный этап поиска мельчайших «кирпичиков», из которых построена Вселенная, начался в первые годы XIX века, когда в результате серии экспериментов Джон Дальтон пришел к гипотезе о том, что все в мире состоит из отдельных атомов и что эти атомы — мельчайшие частицы материи.

В конце XIX века Дж. Дж. Томсон открыл электрон — первую известную субатомную частицу, и атом перестал быть мельчайшей частицей материи.

В начале XX века физики построили «полную» теорию атома: вокруг ядра, состоящего из протонов и нейронов, обращаются электроны. Протоны, нейроны и электроны были горделиво провозглашены физиками полным набором ингредиентов, из которых состоит Вселенная. Затем анализ космических лучей обнаружил существование других элементарных частиц — пионов и мюонов. Еще больший переворот в физике произошел в 1932 году, когда было открыто антивещество — существование антипротонов, антинейтронов, антиэлектронов и т. д. К тому времени физики, занимавшиеся изучением элементарных частиц, не могли с уверенностью сказать, сколько существует различных частиц, но по крайней мере утверждали, что обнаруженные частицы действительно элементарны, т. е. неделимы. Так продолжалось до 60-х годов, когда появилось понятие кварка. Протон, так же, как нейтрон, пион и мюон, оказался состоящим из кварков, несущих электрический заряд, равный дробной части заряда электрона. Мораль всей этой истории в том, что физики непрестанно меняют свою картину мира, а иногда даже стирают ее совсем и начинают рисовать с самого начала. В следующем десятилетии самое представление о частице как о точечном объекте может претерпеть замену на представление о частицах как о струнах — тех самых струнах, которые, возможно, послужат наилучшему объяснению гравитации. Согласно теории струн, трубки длиной в одну миллиардную миллиардной миллиардной миллиардной метра (такие маленькие, что они кажутся точками) могут совершать различные колебания, и каждое такое колебание порождает определенную частицу. Такое представление аналогично открытию Пифагора, обнаружившего, что одна струна лиры может порождать различные ноты в зависимости от того, как она колеблется.

Писатель-фантаст и футуролог Артур Кларк писал, что если какой-нибудь знаменитый профессор утверждает, будто нечто несомненно истинно, то весьма вероятно, что на следующий день это нечто окажется ложным. Физическое доказательство ненадежно и шатко. В то же время математическое доказательство абсолютно и лишено и тени сомненья. Пифагор умер в полной уверенности, что его теорема, бывшая истиной в 500 году до н. э., останется истинной навсегда.

Физика живет, словно подчиняясь решению суда. Теория считается верной, если имеется достаточное количество данных, «неопровержимо» подтверждающих ее предсказания. Иное дело — математика. Она не полагается на данные, полученные в результате могущих оказаться ошибочными экспериментов, а строит свои заключения на основе «железной», т. е. не знающей ошибок, логики. Примером различия между физическим и математическим подходом может служить задача о шахматной доске с выпиленными угловыми полями (рис. 3).

Рис. 3

Перед нами шахматная доска, от которой два противоположных угловых поля отпилили так, что осталось только 62 поля. Возьмем 31 кость домино таких размеров, что каждая кость накрывает ровно два шахматных поля. Вопрос: можно ли разложить 31 кость домино на шахматной доске так, что все 62 поля окажутся покрытыми домино? К решению задачи существуют два подхода.

1) Физический подход

Физик пытается решить задачу экспериментально и, перепробовав с дюжину различных вариантов размещения домино на шахматной доске обнаруживает, что все они заканчиваются неудачей.

В конце концов физик приходит к убеждению, что в его распоряжении достаточно данных, позволяющих утверждать, что покрыть шахматную доску с двумя выпиленными по диагонали угловыми полями невозможно. Однако физик не может быть до конца уверен в том, что это действительно так, потому что может найтись некоторое расположение домино на шахматной доске, которое не было им экспериментально обнаружено, но именно оно и дает решение задачи. Различных же вариантов расположения домино существует не один миллион, и экспериментально проверить всегда можно лишь малую их толику. Что же касается заключения задачи, то это — теория, основанная на эксперименте, и физику не остается ничего другого, как жить под угрозой, что в один «прекрасный» день эта теория может оказаться отвергнутой.

2) Математический подход

Математик стремится решить задачу, выстраивая цепочку логических аргументов, приводящую к заключению, вне всяких сомнений правильному и остающемуся безупречным навсегда. Одна из таких цепочек логических аргументов выглядит следующим образом.

- Оба угловых поля, выпиленные из доски, — белые. Следовательно на доске остались 32 черных поля и только 30 белых поля.

- Каждое домино покрывает два смежных поля, а смежные поля всегда отличаются по цвету, т. е. одно поле черное, а другое — белое.

- Следовательно, независимо от расположения домино на шахматной доске, первые 30 костей, выложенных на доску, должны покрыть 30 белых и 30 черных полей.

- Это означает, что при любом раскладе всегда останется одна домино и два непокрытых черных поля.

- Но любая кость домино покрывает на шахматной доске два смежных поля, а смежные поля всегда отличаются по цвету. Два оставшихся непокрытыми поля одного цвета, и поэтому накрыть их одной костью домино невозможно. Следовательно, покрыть эту доску 31 костью домино невозможно!

Приведенное выше доказательство показывает, что шахматную доску с двумя выпиленными по диагонали угловыми полями невозможно покрыть домино при любом расположении костей. Аналогичным образом, Пифагор создал доказательство, из которого следует, что любой прямоугольный треугольник удовлетворяет его теореме. Для Пифагора понятие математического доказательства было священным, и именно математическое доказательство позволило пифагорейскому братству открыть так много. Большинство современных доказательств невероятно сложны, и разобраться в них неспециалисту просто не по силам. В случае теоремы Пифагора ход рассуждений, к счастью, достаточно прост и опирается только на математику, которую изучают в средней школе. Доказательство теоремы Пифагора изложено в Приложении 1.

Доказательство Пифагора неопровержимо. Оно показывает, что теорема Пифагора выполняется для любого прямоугольного треугольника во Вселенной. Открытие это так потрясло Пифагора, что он в благодарность принес в жертву богам сто быков. Оно стало вехой в развитии математики и одним из самых важных прорывов в истории цивилизации. Значение этого открытия было двояким.

Во-первых, оно позволило сформулировать представление о том, что такое доказательство. Доказанный математический результат обладает более глубокой истинностью, чем любая другая истина, поскольку получен шаг за шагом с помощью логических рассуждений. Хотя философ Фалес Милетский еще до работ Пифагора использовал несколько простых геометрических доказательств, Пифагор развил идею математического доказательства гораздо дальше и сумел доказать более хитроумные математические утверждения.

Во-вторых, теорема Пифагора устанавливает связь между абстрактным математическим методом и чем-то осязаемым. Пифагор показал, что математическая истина приложима к физическому миру и служит его логическим основанием. Математика дает физике строгое начало, а затем, к этому незыблемому основанию физики добавляются наблюдения и измерения, отягощенные ошибками.

 

Бесконечное количество пифагоровых троек

Пифагорейцы своим страстным поиском истины с помощью доказательства вдохнули в математику живительную силу. Вести о достигнутых ими успехах распространились по всему Древнему Миру, хотя подробности своих открытий пифагорейцы хранили в строгой тайне. От желающих проникнуть в святилище знания не было отбоя, но только самые блестящие умы могли рассчитывать на прием в братство. Один из тех, кому ответили отказом, был кандидат по имени Силон. Он затаил обиду на унизительный отказ и спустя двадцать лет взял реванш.

Во время шестьдесят седьмой Олимпиады (510 год до н. э.) в соседнем городе Сибарисе произошло восстание. Телис, победоносный лидер восстания, начал варварскую кампанию преследования сторонников прежнего правительства, которая заставила многих из них искать убежища в Кротоне. Телис потребовал, чтобы предателей вернули в Сибарис, чтобы те понесли наказание, но по призыву Мило и Пифагора жители Кротона выступили против тирана в защиту беглецов. Телис пришел в ярость и, быстро собрав армию численностью в 300000 воинов, пошел маршем на Кротон, оборону которого возглавил Мило, собравший под своим началом 100000 вооруженных жителей города. На семидесятый день войны защитники Кротона под предводительством Мило одержали победу. В качестве возмездия Мило приказал повернуть воды реки Кратис так, чтобы они затопили Сибарис и разрушили город.

Война окончилась, но Кротон бурлил: жители спорили о том, как по справедливости разделить военные трофеи. Опасаясь, что земли достанутся пифагорейской элите, рядовые жители Кротона начали ворчать. Недовольство все более возрастало, так как пифагорейское братство продолжало удерживать в тайне свои открытия, но никаких действий жители Кротона не предпринимали до тех пор, пока в дело не вмешался Силон. Сыграв на страхах, умопомешательстве и зависти толпы, Силон возглавил ее и повел, чтобы разрушить самую блестящую математическую школу, которую когда-либо знал мир. Дом Мило и соседняя школа были окружены. Все двери были закрыты и забаррикадированы, чтобы те, кто находились внутри, не могли спастись, а затем оба здания были подожжены. Мило сумел вырваться из ада и убежать, а Пифагор вместе со своими многочисленными учениками был убит.

Математика потеряла своего первого героя, но пифагорейский дух не был сокрушен. Числа и математические истины бессмертны. Пифагор показал, что математика в большей степени, чем какая-нибудь другая научная дисциплина, лишена субъективности. Его ученикам и последователям не был нужен учитель, чтобы решить, верна ли та или иная теория. Истинность математической теории не зависит от чьего бы то ни было мнения. Арбитром вместо мнения стала логичность математической конструкции. Величайшим вкладом Пифагора в цивилизацию стал способ достижения истины, не подвластный ошибочности человеческого суждения. После нападения Силона и смерти своего отца-основателя, пифагорейцы покинули Кротон и разбрелись по другим городам Древней Греции.

Но преследования продолжались, и в конце концов многие пифагорейцы были вынуждены поселиться на чужбине. Вынужденная эмиграция способствовала тому, что пифагорейцы распространили свое математическое учение по всему Древнему Миру. Ученики и последователи Пифагора основали новые школы и обучили своих учеников методу логического доказательства. Помимо известного им доказательства теоремы Пифагора они поведали миру секрет нахождения так называемых пифагоровых троек.

Пифагоровы тройки представляют собой комбинации из трех целых чисел, удовлетворяющих соотношению Пифагора x2 + y2 = z2. Например, соотношение Пифагора выполняется при x=3, y=4 и z=5:

З 2 + 4 2 = 5 2 , 9 + 16 = 25

Другой способ получения пифагоровых троек — перестройка квадратов. Если взять квадрат 3×3, состоящий из 9 квадратных плиток, и квадрат 4×4, состоящий из 16 плиток, то все эти плитки можно расположить по-новому, так, чтобы они образовывали квадрат 5×5, состоящий из 25 плиток (рис. 4).

+

=

З 2 + 4 2 = 5 2

 9 + 16 = 25

Рис. 4

Пифагорейцы мечтали найти и другие пифагорейские тройки, другие квадраты, из которых можно было бы сложить третий квадрат больших размеров. Еще одна пифагорова тройка: x=5, y=12 и z=13:

5 2 + 12 2 = 13 2 , 15 + 144 = 169 .

Приведем пифагорову тройку из больших чисел: x=99, y=4900 и z=4901. По мере того, как числа возрастают, пифагоровы тройки встречаются все реже и находить их становится все труднее и труднее. Пифагорейцы изобрели метод отыскания таких троек и, пользуясь им, доказали, что пифагоровых троек существует бесконечно много.

 

От теоремы Пифагора до Великой теоремы Ферма

О теореме Пифагора и бесконечном числе пифагоровых троек шла речь в книге Э.Т. Белла «Великая проблема» — той самой библиотечной книге, которая привлекла внимание Эндрю Уайлса. И хотя пифагорейцы достигли почти полного понимания пифагорейских троек, Уайлс скоро обнаружил, что у невинного на первый взгляд уравнения x2 + y2 = z2 имеется и темная сторона — в книге Белла давалось описание математического чудовища.

В уравнение Пифагора входят три числа x, y и z, все три числа входят в квадрате (например, x2 = x·x):

x 2 + y 2 = z 2

Но в той же книге Белла приводилось и уравнение, очень похожее на уравнение Пифагора, но отличающееся от него тем, что все числа входят в кубе (например, x3 = x·x·x). Так называемая степень переменной x в этом уравнении равна не 2, а 3:

x 3 + y 3 = z 3

Найти целочисленные решения уравнения Пифагора, т. е. пифагоровы тройки, было сравнительно легко, но стоит лишь степени измениться с 2 на 3 (т. е. заменить квадраты кубами), как решение уравнения, столь похожего на уравнения Пифагора, в целых числах, по-видимому, становится невозможным. Поколения математиков исписывали страницу за страницей в своих блокнотах в тщетной надежде найти решение уравнения в целых числах.

При решении исходного «квадратного» уравнения плитки, из которых состояли два квадрата, требовалось расположить так, чтобы они образовывали третий квадрат более крупных размеров. В случае решения «кубического» уравнения из кубиков, образующих два куба, требуется составить третий куб более крупных размеров. Ясно, что независимо от того, какие два куба выбраны в качестве исходного, из образующих их кубиков можно сложить либо третий куб, причем несколько кубиков останутся «лишними», либо неполный (недостроенный) куб. Ближайшим к идеальному кубу будет такая кладка, в которой один кубик останется лишним или окажется недостающим. Например, если мы начнем с кубов 63 и 83 то, рассыпав их на кубики, сможем сложим из них кладку, в которой всего лишь одного кубика не хватит до полного куба 93 (рис. 5).

+

=

6 3 + 8 3 = 9 3 - 1

216 + 512 = 729 - 1

Рис. 5

Найти три целых числа, которые в точности удовлетворяют кубическому уравнению, по-видимому, невозможно. Иначе говоря, по-видимому, у уравнения

x 3 + y 3 = z 3

не существует целочисленных решений. Более того, если степень повысить с 3 (куба) до любого большего целого числа (т. е. до 4, 5, 6…), то найти целочисленное решение такого уравнения, по-видимому, также невозможно. Иначе говоря, у более общего уравнения

x n + y n = z n ,

где n больше 2, решения в целых числах не существует. Всего лишь изменив 2 в уравнении Пифагора на любое целое число бóльшее 2, мы вместо сравнительно легко решаемого уравнения получаем задачу умопомрачительной сложности. Великий математик XVII века француз Пьер де Ферма сделал удивительное заключение: он утверждал, что знает, почему никому не удавалось найти решение общего уравнения в целых числах. По его словам, причина заключалась в том, что такого решения не существует.

Ферма был одним из наиболее блестящих и загадочных математиков в истории. Как и всякий другой, он не мог проверить бесконечно много чисел, но был абсолютно уверен в том, что не существует тройки целых чисел, которая удовлетворяла бы общему уравнению, так как его уверенность опиралась на доказательство. Подобно Пифагору, которому вовсе не требовалось проверить все мыслимые треугольники, чтобы убедиться в правильности своей теоремы, у Ферма не было необходимости перепробовать все мыслимые тройки целых чисел, чтобы убедиться в справедливости его теоремы.

Прочитав всю книгу Э.Т. Белла от корки до корки, Уайлс узнал, как Ферма был восхищен теоремой Пифагора и ее доказательством, и как сам постепенно увлекся изучением «испорченного» уравнения Пифагора. Прочитав о том, как Ферма провозгласил, что даже если математики всего мира потратят целую вечность, чтобы найти решение уравнения, носящего ныне его имя, в целых числах, то и тогда им не удастся найти ни одного решения. Уайлс в нетерпении перевернул несколько страниц, предвкушая удовольствие от разбора доказательства Великой теоремы Ферма, но тщетно: доказательства не было. Не было его не только в книге Э.Т. Белла, но и нигде. В конце книги говорилось, что найденное Ферма доказательство давно утеряно. Никаких указаний, намеков или догадок относительно того, как можно было бы восстановить доказательство или построить его заново не было. Уайлс был заинтригован, разъярен и озадачен. По крайней мере, он находился в хорошей компании.

Более 300 лет многие из крупнейших математиков пытались вновь открыть утерянное доказательство Ферма, но тщетно. С неудачей очередного поколения следующее поколение испытывало все большее разочарование и решимость. В 1742 году, почти через сто лет после смерти Ферма, швейцарский математик Леонард Эйлер обратился к своему другу Клеро с просьбой поискать в доме Ферма, не осталось ли где-нибудь клочка бумаги с жизненно важным фрагментом доказательства. Но никому никогда не удалось найти ни малейшего намека относительно того, каким могло быть доказательство Ферма. В гл. 2 мы узнаем более подробно о загадочной фигуре Пьера де Ферма, и о том, как было утеряно доказательство. А пока мы ограничимся лишь тем, что скажем: Великая теорема Ферма, проблема, над решением которой математики ломали головы на протяжении столетий, захватила воображение юного Эндрю Уайлса.

Десятилетний мальчик в библиотеке на Милтон-роуд не мог оторвать взгляда от самой знаменитой проблемы математики. Обычно при решении математической задачи понять уравнение означает половину дела. Но формулировка теоремы Ферма очень проста: требуется доказать, что уравнение x n + y n = z n не имеет решения в целых числах при n больше 2. Эндрю не смущало, что самые блестящие умы на Земле потерпели фиаско, пытаясь заново открыть доказательство Ферма. Уайлс немедленно принялся за работу, пытаясь с помощью всей премудрости, которую он только мог извлечь из учебников математики, восстановить утраченное доказательство. А что если ему удастся сделать то, что не удалось никому, кроме Ферма? Обнаружить то, что все проглядели? Уайлс мечтал потрясти мир.

И через тридцать лет Эндрю Уайлсу действительно удалось осуществить задуманное. В аудитории Института сэра Исаака Ньютона он, покрыв всю доску вычислениями и с трудом сдерживая торжество, обернулся лицом к аудитории. Его лекция достигла кульминации, и аудитория сознавала, что наступил великий момент. Один или двое из присутствовавших тайком пронесли на лекцию фотоаппараты, и заключительные замечания Уайлса сопровождались вспышками яркого света.

Держа мел в руке, Уайлс в последний раз повернулся к доске. Последние несколько строк, и доказательство завершено. Впервые за триста лет вызов, брошенный Ферма, получил достойный ответ. Еще несколько камер под блеск вспышек запечатлели исторический момент. Уайлс написал формулировку Великой теоремы Ферма, повернулся к аудитории и сказал: «Думаю, мне следует на этом остановиться».

23 июня 1993 года Уайлс выступил с лекцией в Институте сэра Исаака Ньютона в Кембридже. На снимке вы видите Уайлса через мгновенье после того, как он объявил о найденном им доказательстве Великой теоремы Ферма

Двести математиков вскочили в едином порыве и зааплодировали. Аплодировали все, даже те, кто встретил весть о полученном результате кривой ухмылкой недоверия. Так три десятилетия спустя Уайлс поверил в то, что ему удалось осуществить свою мечту, и после семи лет работы в полной изоляции решился обнародовать итоги своих тайных вычислений. Но пока радость переполняла собравшихся в Институте Ньютона, трагедия уже была готова разразиться. И Уайлс, радуясь вместе со всеми, кто собрался в аудитории, еще не знал о тех злоключениях, которые не замедлили вскоре последовать.