в которой обсуждаются два вывода теории относительности, вызывающие обычно максимальное недоумение

Эйнштейн (время, длина)

Как измерять длину движущихся тел, мы уже договорились в III главе. Напомним: «Длина движущегося тела есть расстояние между одновременно отмеченными положениями его начальной и конечной точек».

В классической физике длина движущегося тела, определенная таким образом, совпадала с длиной неподвижного тела, и все было хорошо. Еще и еще раз напомним:

1. До Эйнштейна вообще никто не задумывался, «как определяется длина движущихся тел». Но, по сути дела, каждый раз, измеряя длину или говоря о ней, молчаливо подразумевали, что она определяется именно так, как сказано выше.

2. Совпадение или несовпадение длин покоящегося и движущегося тела — это вопрос опыта, и никак нельзя утверждать заранее, что они должны совпадать.

Не следует навязывать природе наши взгляды и желания. В данной конкретной системе отсчета, где проводятся изменения, стержень неподвижный и стержень движущийся находятся в разных физических условиях, и нет никаких оснований ожидать, что длина не изменяется при движении. Так думали раньше, бессознательно обобщая эксперименты. Ведь в обычных опытах исключительно трудно наблюдать различие в длинах движущегося и неподвижного предмета, ибо достижимые скорости материальных тел неизмеримо меньше скорости света. Поэтому и не наблюдалось никакого изменения длины, а отсюда уверенность, что длина предмета абсолютна и неизменна независимо от того, из какой системы отсчета ее определяют.

Но… самый непосредственный анализ преобразований Лоренца показывает, что длина — величина относительная.

Действительно, длина стержня, движущегося со скоростью v, сокращается в направлении движения и определяется выражением:

где l0 — длина стержня, когда он находится в состоянии покоя[71]Вывод этого соотношения настолько прост, что его можно продемонстрировать.
Чтобы найти длину движущегося стержня, наблюдатель должен одновременно зафиксировать начальную и концевую точки x 1 и x 2 . Тогда ( x 2  –  x 1 ) и есть длина стержня l .
Чтобы найти связь между l и l 0 , следует, используя преобразования Лоренца, связать координаты ( x 1 1 и x 2 1 ) начальной и концевой точек в той системе, где он покоится, с соответствующими координатами x 1 и x 2 , определенными в той системе отсчета, где он движется:
FB2Library.Elements.ImageItem
Обратим внимание: в правой формуле стоит одно и то же время t 1 .
Это соответствует тому, что при определении длины движущегося стержня нужно одновременно фиксировать его начальную и концевую точки. Вычитая из нижней формулы верхнюю, получим:
FB2Library.Elements.ImageItem
Но ( x 2 1  –  x 1 1 ) =  l 0 — длина стержня, определенная в системе, где он покоится. А ( x 2  –  x 1 ) =  l — длина движущегося стержня.
Таким образом
FB2Library.Elements.ImageItem
, то есть длина, измеренная в той системе отсчета, в которой стержень покоится. Этот эффект и называется лоренцовым сокращением длины[72]Это название принято, поскольку в теории Лоренца (о ней упоминалось в главе XI) предполагалось, что длина тела, движущегося относительно эфира, сокращается; причем формула для сокращения такая же, как в теории относительности. Но физическое содержание формулы сокращения длины у Лоренца (как и всей его теории) совершенно отлично от содержания теории Эйнштейна. Например, в теории Лоренца имеет смысл говорить об абсолютной длине l 0 — длине тела, неподвижного относительно эфира.
.

Для космической ракеты — спутника Солнца — наблюдаемое с Земли сокращение длины равно:

Иначе говоря, ракета укоротилась примерно на 7 стомиллионных долей процента!

Конечно, нет ни малейшей возможности заметить такое сокращение. А космические ракеты — бесспорные чемпионы скорости, если говорить о макроскопических телах.

Поэтому не должно особенно удивлять, что длина тела считалась абсолютной величиной. Иное дело, когда скорости близки к световой. Но пока не начали исследовать элементарные частицы, с такими скоростями не сталкивались.

Вот, собственно, все, что следовало сказать о понятии длины в теории относительности. Однако релятивистская постановка проблемы настолько непривычна, что стоит специально обратить внимание на вопрос, который очень часто приходится слышать: сокращается ли длина на самом деле, или же лоренцово сокращение только кажущееся?

Этот вопрос связан с непониманием существа дела.

Если сказать, что лоренцово сокращение действительно объективно и реально, — это будет правильно. Но тогда может сложиться ошибочное представление, что существует какая-то выделенная система отсчета, в которой все тела имеют максимальную «истинную» длину, а во всех остальных системах она сокращается[73]Именно эту идею и развивал Лоренц в своей теории, полагая, что движение тел относительно неувлекаемого эфира вызывает сокращение длины.
. Ничего подобного, конечно, нет.

Лоренцово сокращение длины связано только с тем, что длина — относительная величина, зависящая от того, из какой системы отсчета ее определяют.

Спрашивать, действительно ли лоренцово сокращение, это то же самое, что спрашивать, движется ли в действительности измеряемый стержень?

Но если последний вопрос не вызывает недоумений, ибо относительность скорости очень привычна, то относительность длины часто пугает и трудно воспринимается.

По существу же, все дело в том, что очень тяжело менять привычки.

Иногда можно услышать даже, что, утверждая относительность длины, физики противоречат философскому материализму. Подобные заявления продиктованы непониманием как физики, так и философии и не заслуживали бы особого внимания, если бы не отражали все то же нежелание людей изменять привычные наглядные представления. К сожалению, однако, мир устроен таким образом, что приходится приложить известные умственные усилия, чтобы понять его структуру. Последнее философское замечание еще более относится к определению понятия времени.

Сразу сформулируем вывод.

Интервал времени между какими-то двумя событиями оказывается минимальным в той системе отсчета, где эти события произошли в одной точке.

Эта фраза может показаться несколько туманной, и потому используем традиционное оружие популярной литературы — простой пример.

В вагоне поезда Москва — Ленинград происходит одна за другой две световые вспышки.

Пусть по часам, установленным в поезде, промежуток времени между этими вспышками равен Δt0 — скажем, 10 часам.

В системе отсчета «поезд» вспышки произошли в одной точке, и «поездные» часы в том месте, где происходили вспышки, измеряют, естественно, время именно в этой системе отсчета.

Если моменты времени световых вспышек засекать в системе отсчета, «привязанной» к полотну железной дороги, причем опять по часам, находящимся в месте вспышек, то придется использовать двое часов, так как в этой системе вспышки происходят в разных точках (сегодня поезд в Москве, а завтра в Ленинграде!).

Если в момент первой вспышки часы в поезде показывали то же время, что и часы А на перроне Ленинградского вокзала в Москве, то в момент второй вспышки часы в поезде будут показывать меньшее время, чем синхронные с часами А[74]Двое часов, находящихся в разных точках и неподвижных в данной системе отсчета, синхронны, если они одновременно показывают одинаковое время. При этом понятие одновременности определяется именно относительно этой системы отсчета. Однако с точки зрения наблюдателя из другой системы отсчета эта пара часов не будет синхронна.
часы В на перроне Московского вокзала в Ленинграде.

Иначе говоря, если ход движущихся часов сравнивать с ходом нескольких неподвижных синхронных часов, то он будет отставать от хода покоящихся. В нашем примере «поездные» часы могут отстать на 1 час. И когда на В будет 9 часов утра, они покажут 8 часов.

Особо подчеркнем, что системы отсчета «поезд» и «полотно дороги» в разобранном примере находились в существенно неравноправных условиях. Одни часы в поезде сравнивались с двумя часами на платформе.

Если опыт видоизменить — вообразить очень длинный поезд, увешанный синхронными часами[75]В этом случае понятие одновременности, необходимое для определения синхронности часов, естественно, определяется в системе отсчета, связанной с поездом.
, и платформу с одними часами, — то окажется: при сравнении показаний перронных часов с показаниями «поездных» мы убедимся, что отстают часы перронные.

Поэтому нехорошо, очевидно, говорить: время в движущейся системе отсчета течет медленнее.

Такое утверждение противоречит принципу относительности. Все инерциальные системы отсчета совершенно равноправны, и, конечно, нельзя думать, что в одной системе время течет быстрее, чем в другой.

Когда говорят о лоренцовом сокращении времени, всегда имеют в виду только то утверждение, что было приведено выше[76]Ввиду большого значения этого положения стоит его повторить… Промежуток времени между двумя событиями минимален в той системе отсчета, где они произошли в одной точке пространства. Этот промежуток времени обозначают как Δτ и называют собственным временем. В любой другой инерциальной системе промежуток времени между этими событиями определяется через Δτ соотношением:
FB2Library.Elements.ImageItem
.

Полную равноправность понятия времени в разных инерциальных системах хорошо поясняет одна иллюстрация.

Представьте две ракеты с радиостанциями на борту. Пусть летчики снабжены физически идентичными часами. Пусть ракеты разлетаются с постоянной относительной скоростью v и каждую секунду по своим часам радиостанция каждой ракеты посылает радиосигналы.

Наблюдатель на ракете № 2, измеряя по своим часам интервалы между моментами приема радиосигналов, посланных ракетой № 1, обнаружит, что они несколько больше одной секунды. А именно:

каждый.

Это растягивание времени между двумя последовательными приемами сигналов определяется эффектом Допплера[77]Воспользуемся случаем, чтобы напомнить некоторые моменты релятивистской теории эффекта Допплера для электромагнитных волн. На первый взгляд она не очень отличается от классической, и нет оснований говорить о каких-то «удивительных» выводах.
Снова, если источник и приемник двигаются навстречу друг другу, воспринимаемая приемником частота больше, чем если бы они покоились. И так же, как и раньше, если источник и приемник удаляются — воспринимаемая частота меньше. Все это очень напоминает выводы классической теории.
Но есть одно важнейшее отличие. Ясно, что если отброшен неувлекаемый эфир и для электромагнитных явлений справедлив принцип относительности, то не имеет смысла различать два разных случая: 1) источник движется, скажем, навстречу приемнику, а приемник покоится и 2) приемник движется навстречу источнику, а источник покоится. Как только отброшена «абсолютная система отсчета», такое различие теряет всякое содержание.
Изменение частоты определяется только относительной скоростью источника и приемника.
Если быть совсем точным, то надо добавить — той составляющей относительной скорости, что направлена по прямой, проходящей через две точки — «приемник» и «источник».
Не так уж важно, как именно изменяется формула для воспринимаемой частоты по сравнению с классической.
Существенно, что теория эффекта Допплера очень тесно связана с одним из самых поразительных выводов Эйнштейна — замедлением ритма движущихся часов. Поэтому, как уже сообщалось ранее, экспериментальную проверку своей формулы для эффекта Допплера Эйнштейн считал важнейшим опытом для проверки всей теории. Опыт великолепно подтвердил выводы Эйнштейна; причем любопытно, что сами экспериментаторы не понимали и не принимали его теории.
.

Если теперь наблюдатель в ракете № 2 произведет несложный расчет, он заключит, что по его часам n-й сигнал был отправлен в момент времени

секунд.

(Расчет воспроизводить не будем и поверим, что здесь нет ошибки.)

Но поскольку по часам ракеты № 1 n-й сигнал был послан в момент t n N  = n секунд, наблюдатель в ракете № 2 заявит, что часы ракеты № 1 отстают.

Действительно, между отправлением первого и n-го сигналов с ракеты № 1 по часам ракеты № 2 прошло   секунд, а по часам ракеты № 1 меньше, всего n секунд.

Но ведь вся задача сформулирована совершенно симметрично, и ракета № 1 ничем не лучше ракеты № 2. Поэтому ясно, что в нашем рассуждении можно спокойно переменить номера ракет. И с теми же основаниями наблюдатель в ракете № 1 будет утверждать, что отстают часы ракеты № 2.

Кто же прав?

Оба.

Чтобы это несколько необычное утверждение стало понятнее, надо только уточнить, что подразумевает наблюдатель ракеты № 1, определяя время отправления n-го сигнала с ракеты № 2 по своим часам.

Это время по самому своему смыслу есть не что иное, как показания часов, синхронных с часами ракеты № 1 и находящихся в той точке, где в момент отправления n-го сигнала была ракета № 2.

По сравнению с показаниями этих часов часы ракеты № 2 будут показывать меньшее время — отставать. Точно так же, утверждая, что отстают часы ракеты № 1, наблюдатель в ракете № 2 мысленно «вешает» часы, синхронные со своими, в точку, где находится ракета № 1.

Мы снова приходим к старому выводу. Отстают те часы, которые сравниваются с показаниями нескольких синхронных между собой часов другой инерциальной системы.

В таком виде это заявление выглядит несколько формально, но по смыслу оно совпадает с основным утверждением об измерении промежутка времени между двумя событиями. Интервал времени минимален в той системе отсчета, где события произошли в одной точке[78]Математический вывод лоренцова сокращения времени так же, как и длины, очень прост. Рассмотрим две системы отсчета, К и К 1 , относительная скорость которых направлена вдоль оси X .
В системе, где вспышки произошли в одной точке, квадрат интервала между вспышками равен с 2 Δτ 2 , так как Δ x — расстояние между точками, где произошли вспышки, — равно нулю. В системе, где вспышки случились в разных точках, квадрат интервала равен с 2 Δ t 2  – Δ x 2 .
Поскольку интервал между событиями остается неизменным при переходе от одной системы к другой, то с 2 Δτ 2  =  с 2 Δ t 2  – Δ x 2 , или
FB2Library.Elements.ImageItem
но так как Δ x / Δ t  =  V (относительной скорости систем отсчета), то
FB2Library.Elements.ImageItem
.

Однако, честно признаемся, изменение ритма часов воспринимается тяжелее, чем лоренцово сокращение длины. Это вызвано, вероятно, отчасти тем, что вообще труднее воспринять понятие времени, а отчасти «необратимостью» эффекта. Что именно подразумевается под «необратимостью», лучше всего пояснить, вспомнив о длине.

Разгоним стержень относительно какой-либо инерциальной системы до скорости, близкой к скорости света, а затем затормозим его. Предположим, что при малых ускорениях по-прежнему справедливы формулы специальной теории относительности. Тогда наблюдатель, покоящийся в нашей системе, измеряя в процессе движения длину стержня, должен получить примерно такой график.

В начальный момент длина стержня равна nl0, затем с ростом скорости она постепенно уменьшается. Когда скорость достигает максимального значения v и стержень двигается по инерции, длина его остается некоторое время постоянной. Потом по мере торможения она монотонно растет, возвращаясь к прежнему значению l0. После окончания движения стержень «забывает», что он двигался. Его длина остается неизменной.

Со временем положение иное.

Если «разогнать» часы С (например, поставив в некую фантастическую ракету) и заставить их некоторое время двигаться со скоростью v, а потом затормозить, то после остановки они не будут показывать то время, что часы В, синхронные с А и находящиеся «на остановке».

Часы С отстанут от В. В этом случае обратимой величиной оказывается ритм часов. После путешествия часы С будут идти так же, как до полета (синхронно с А и В). Но время путешествия, которое они отмерят, будет меньше времени, измеренного по часам А и В. При этом мы снова предположим, что, если часы двигались с не очень большим ускорением, можно с хорошей степенью точности определять измерение их ритма в каждый данный момент, используя формулы специальной теории. То есть:

Вообще-то как задача определения длины ускоренно движущегося тела, так и вопрос о ходе времени на этом теле не могут быть решены с помощью специальной теории относительности.

Специальная теория рассматривает только инерциальные системы, и поэтому в наших рассуждениях выводы специальной теории, строго говоря, незаконно распространялись на более общие случаи.

Однако общепринято считать: если ускорения в некоем определенном смысле малы[79]Эта фраза сформулирована так учено потому, что мы не в состоянии углубляться в детальный анализ, а слова «ускорения малы» (или «велики») сами по себе еще ничего не значат. Необходимо дать критерий, указать точное математическое условие малости ускорений. Критерия мы приводить не будем, но, имея его в виду, осторожно пишем: ускорения малы «в некоем определенном смысле».
, это можно делать.

Впрочем, некоторые ученые возражают против такого вывода, считая использование специальной теории незаконным. Но мы будем слепо следовать за большинством.

Еще раз повторим: сейчас обсуждается проблема, строго говоря, «не подсудная» специальной теории. Полное решение вопроса может быть получено только в общей теории относительности.

И еще одно и весьма важное замечание. Мы поверили, что, сравнивая ход своих часов с ускоренно двигающимися часами, наблюдатель в инерциальной системе отсчета с хорошей точностью может использовать формулу, приведенную чуть выше, или, иными словами, воспользоваться специальной теорией относительности.

Поверим теперь, что, решая аналогичную задачу, наблюдатель, связанный с ускоренно движущимися часами (наблюдатель в неинерциальной системе отсчета), вообще не имеет права использовать формулы специальной теории. Поверим, что это незаконно.

А теперь сообщим, в чем состоит так называемый «парадокс часов».

Парадокс заключается в следующем. Развезем с относительной скоростью, близкой к скорости света, в разные точки пространства двое часов, а затем свезем их вместе.

С точки зрения наблюдателя А двигались часы В, их ритм замедлился, и при встрече В будут отставать.

Но наблюдатель В волен рассуждать точно так же. Он скажет, что двигались часы А и отставать должны они.

После путешествия часы А и В оказываются в одной точке. Разность их показаний — величина абсолютная, и потому прав может быть лишь один из двух.

После нашего вступления ответ очевиден. Тот из наблюдателей, чьи часы испытывали действие ускорений (пусть это был наблюдатель В), «не имеет права» использовать специальную теорию относительности. Если он не знает общей теории, то вообще не может ничего сказать о ритме часов А. Но зато наблюдатель А вправе как приближение использовать специальную теорию (если ускорения часов В не слишком велики). Он заключит (и будет прав), что отстанут часы В, причем как именно — можно вычислить.

Если ускорения В «велики», то, используя только специальную теорию, вообще ничего определенного нельзя сказать. Но если прибегнуть к общей теории относительности, можно показать, что В должны отставать от А.

И наконец, если ускорялись и В и A, весь вопрос следует адресовать к общей теории, так как в этом случае могут осуществляться самые разные варианты.

Так что ответ на кажущийся парадокс скрыт в неравноправии двух часов: А и B. Если они разъехались, а затем встретились, то хотя бы одни часы испытали действие ускорений[80]Наше рассуждение, конечно, дает лишь качественное объяснение парадокса с часами. Надо сказать, что по поводу конкретного вычисления разности хода часов А и В к моменту встречи существуют разные мнения. Здесь, а также в последней главе, где мы снова вспомним о парадоксе с часами, мы следуем тому мнению, которое можно считать общепринятым.
.