На этот раз мы попали в совсем тяжелое положение. До геометрии Римана, чтобы понять текст книги, говоря формально, требовались сведения в объеме семи-восьми классов средней школы.

Еще можно было как-то пытаться более или менее связно передать суть доказательства непротиворечивости геометрии Лобачевского, а также идеи Римана. Теперь дело совсем плохо. Для того чтобы реально, на деле почувствовать содержание общей теории относительности, необходимо достаточно ясно представлять себе специальную теорию. А автор не имеет морального права требовать столь глубоких знаний от читателей и не имеет возможности подробно обсуждать специальную теорию.

Вообще говоря, самым честным выходом в подобной ситуации было бы просто не писать ничего. И соблазн, как вы понимаете, был весьма велик.

Но в этом случае от всей «симфонии» пятого постулата был бы отброшен торжественный, чисто бетховенский финал.

Я надеюсь, что столь эффектная фраза убедила читателей: подобное решение невозможно. Поэтому, честно предупредив, что дальнейшее еще более поверхностно и конспективно, чем предыдущее, перейдем к сути дела.

На идее «неевклидовости» пространства непосредственно строится общая теория относительности. И она наиболее интересна для нас. Поэтому постараемся совершенно не касаться содержания специальной теории относительности и вообще ни слова не говорить о ней… разве что кроме нескольких.

Геометрия после 1905 года. …Уже специальная теория относительности существенно изменила наши взгляды на геометрию. Начнем с того, что попытаемся уяснить связь геометрии и физики вообще, а также посмотреть, что изменилось в геометрии в результате создания специальной теории относительности.

До Эйнштейна существовала всеобщая и твердая уверенность, что в нашей реальной вселенной безраздельно царствует евклидова геометрия. Не было никаких оснований думать иначе. Теоретическая возможность: наш мир описывается какой-либо неевклидовой геометрией — оставалась чисто теоретической, а подозрения Лобачевского и Римана — не более чем умозрительными подозрениями. Положение было аналогично тому, как если бы вы заявили: «Формальной логике совершенно не противоречит предположение, что некто «X» марсианин».

«Допустим, — услышали бы вы в ответ, — но все эксперименты показывают, что «X» — житель Земли».

Так вот, после создания специальной теории появились первые реальные сомнения, что «проблема происхождения джентльмена «X» не так уж кристально ясна».

Прежде чем говорить что-либо о существе изменений в позиции физиков, необходимо забыть о том, что на протяжении долгого времени мы были в лагере математиков, и перекочуем в стойбище физиков.

Посмотрим, что такое геометрия для математиков и физиков.

Для математика, мы уже не раз заявляли это раньше, геометрия, по существу, являлась формальной игрой с Основными Понятиями и аксиомами, выбранными для этих Основных Понятий. Ему необходимо, чтобы эта «игра» удовлетворяла правилам формальной логики, и на этом этапе ему безразлично, может ли его геометрия претендовать на связь с тем реальным миром, где все мы живем, или нет.

Конечно, все были безоговорочно убеждены, что евклидова геометрия отражает свойства нашей вселенной. Но это считалось и само собой разумеющимся. Неким естественным свойством человеческого разума. Об опытном фундаменте геометрии как-то забыли. Более того, до работ Лобачевского две тысячи лет геометрию последовательно ограждали, очищали от связи с опытом, от «эмпирической основы».

Эйнштейн несколько ехидно, но очень точно заметил, что с аксиомами и Основными Понятиями происходил процесс, аналогичный превращению героев древности в богов. Вместо реальной основы возник «миф о геометрии» — некое смутное представление об аксиомах как о чем-то «неотъемлемо присущем человеческому сознанию, интуиции, духу». Понять смысл последних слов довольно трудно, возможно, потому, что он отсутствует. Но надо сказать, что гипноз абстрагирования был столь велик, что заворожил многих достаточно разумных людей. Среди них были и физики. Можно даже найти имена ученых, явно не лишенных некоторых способностей. Например, Исаак Ньютон.

Его Основные Понятия, открывающие «Начала натуральной философии», — принципиально ненаблюдаемые, непознаваемые.

«Абсолютное пространство» и «Абсолютное время» у Ньютона нечто «неотъемлемо присущее человеческому (а быть может, божественному) сознанию». В этой фразе нет и тени иронии. Она совершенно точно передает содержание понятий «абсолютное пространство» и «абсолютное время».

Так что превращение «героев в богов» не миновало и физику. Но если уж тянуть божественную аналогию дальше, то надо заметить, что ввиду своей некоторой «безалаберности» физики, теоретически признавая и исповедуя религию «абсолюта», практически не обращали на нее никакого внимания. Не делали никаких реальных выводов.

Первым пример подал сам Ньютон.

Сформулировав все свои законы механики для «абсолютов», он использовал их для решения совершенно конкретных реальных задач. Поскольку аксиоматика практически не мешала, на нее, по существу, не обращали внимания.

В этом смысле математики оказались значительно последовательней. Они уже полностью разобрались у себя со всей проблемой аксиоматики, когда физики только-только начали серьезно интересоваться основами своей науки — основами своих представлений о пространстве и времени.

Но зато они сразу продвинулись значительно дальше. Здесь заслуга почти безраздельно принадлежит одному человеку — Эйнштейну.

И примерно в это же время четко оформилось отношение физиков к геометрии. Бессознательно, интуитивно они считали всегда, что вся проблема взаимоотношений геометрии и физики довольно надуманна.

Теперь же позиция была обоснована совершенно строго.

Суть ее в следующем.

Основные Понятия геометрии — абстракция нашего представления о реальных физических предметах. Например: «Твердые тела со сделанными на них отметками при соблюдении некоторых предосторожностей реализуют геометрическое понятие отрезка, лучи света реализуют прямую линию».

Я процитировал сейчас Эйнштейна. Чуть дальше он пишет, что, не придерживаясь этой позиции практически, невозможно было бы подойти к теории относительности.

Но если так, то геометрия — просто одна из глав физики! Первая ее глава!

Пока от того, что мы сейчас сказали, мало что изменилось практически. Мы сбросили Аксиомы и Основные Понятия с пьедестала, свели геометрию к обобщению физических экспериментов, поняли, что справедливость либо несправедливость геометрии — вопрос опыта, но все конкретные утверждения остались неизменны.

А мы помним, что, по существу, и Гаусс, и Лобачевский, и Риман думали как-то похоже. Защищали позиции физика-практика.

Однако если последовательно развивать наши взгляды, то окажется, что мы уже сказали кое-что. И новое, и важное. Более того, наши взгляды неожиданно приводят к некоторым сомнениям в реальной осуществляемости геометрии. На этот раз атака развивается с совершенно новых позиций. Вот с каких.

Одна из основных глав любой геометрии — геометрическая теория измерения. Чтобы развивать геометрию, необходимо математически строго определить понятие длины. Это, естественно, было сделано геометрами. Их определение понятия длины основывается на двух «совершенно разных китах». Последние слова не только правильно передают суть, но и пленяют своей нелепостью, за что и удостоены кавычек.

Итак:

1. Необходим масштабный отрезок, длину которого принимают равной единице.

2. Нужен рецепт измерения, который в геометрии, грубо говоря, сводится к следующему. Надо прикладывать масштабный отрезок к измеряемому и смотреть, сколько раз он уложится. Полученное дробное число «раз» (случайно оно может оказаться и целым) и есть длина измеряемого отрезка.

Так можно измерить, скажем, длину сторон какого-нибудь треугольника. При этом мы молчаливо допускаем, что покоится этот треугольник относительно «масштабного отрезка» или же движется — результат не изменится. Но если мы сказали, что все геометрические объекты есть идеализация реальных физических тел, то слова, сказанные выше, перестают казаться столь ясными.

Если измеряемый треугольник движется относительно масштабного отрезка, наш рецепт измерения совершенно не годится. Если, находясь на платформе станции, мы пожелаем измерить ширину дверей проносящейся мимо электрички, мы не сможем «приложить к ним масштабный метр». Чтобы сделать это, нужно бежать с той же скоростью, что сама электричка (конечно, с масштабным метром в руках). Но в этом случае «масштаб» и «измеряемый объект» будут покоиться друг относительно друга, и мы вернемся к уже рассмотренному случаю.

А для измерения движущихся тел, очевидно, необходим какой-то новый рецепт.

Но если рецепт новый (неважно даже какой — лишь бы новый), то мы совершенно не гарантированы, что наша новая «длина» (в кавычках) совпадает с прежней.

Ведь, по существу, мы вводим совершенно новое понятие. С позиций формальной логики нет оснований ожидать, что оно совпадет с прежним.

Решить может только опыт.

Остановимся на мгновение.

Если вдуматься, то мы уже сказали очень неприятные для аксиом геометрии слова.

Мы утверждаем, что наши геометрические Понятия, вообще говоря, могут измениться, если реальные тела, геометрические свойства которых мы исследуем, движутся относительно нас.

«Что-то может измениться при этом», — говорим мы. И тем самым мы уже требуем, чтобы геометрическая система аксиом была пополнена новыми аксиомами чисто физической природы.

Последовательно углубляя наши взгляды, мы убедимся, что таких аксиом должно быть довольно много. Действительно: все наши отрезки (в том числе, конечно, и масштабный) — абстракция реальных твердых тел. Но тела, как известно, расширяются при нагревании, длина их меняется. Измеряя «холодным» и «горячим» масштабным отрезком, мы получим разные результаты.

Следовательно, для идеальной строгости (а мы ведь стремимся к ней) мы должны, например, ввести в геометрию и «постоянную температуру масштабного отрезка».

Однако на физические свойства влияет не только температура. Значит, необходимо оговорить все физические условия. И выходит, что только при соблюдении всех предосторожностей мы сможем надеяться, что аксиомы «чистой геометрии» правильно описывают нашу вселенную.

А сейчас нас волнует только это.

Вообще говоря, эта работа во всех деталях не проделана до сих пор. Вероятно, она не слишком нужна, хотя возможно, что она остро необходима. По крайней мере два раза оказалось, что уточнение физических условий, в которых строится геометрия мира, полностью изменило наше представление о природе.

Первый раз это было при появлении специальной теории относительности. Оказалось, что длина движущегося отрезка совсем не то, что длина покоящегося.

Сейчас мы не будем подробно анализировать, как все это вышло. Мы удовлетворимся только общими замечаниями.

1. Нас не шокирует, что длина движущегося отрезка оказалась отличной от длины покоящегося отрезка. Мы понимаем, что определение длины движущихся тел связано с новым рецептом измерения, а значит, строго говоря, это новое понятие. И оно не обязано совпадать со старым.

Мы понимаем также, что так или иначе, но понятие это вводить надо. Ибо сейчас мы не просто играем в логическую игру, а создаем инструмент для исследования реального мира. Наши понятия должны хорошо и полно описывать этот мир. Они лишь для этого и существуют.

И появляются они как результат исследования реального физического мира. Но в мире существуют движущиеся тела. Надо уметь их описывать.

2. Оказалось, что логично и хорошо определить «длину движущегося тела», не использовав понятия Времени, — невозможно.

Это несколько настораживает нас.

Настораживает в первую очередь потому, что в геометрию проникает новое важнейшее понятие — Время. До сих пор геометрия была связана только с Пространством.

«Впрочем, — продолжаем мы рассуждать, — быть может, все обойдется хорошо. Если длина движущихся отрезков точно совпадет с длиной покоящихся, то, по существу, ничего не изменится.

Тогда реально, на деле, понятие Времени никак не будет связано с понятием Пространства.

Вот если эксперимент покажет, что длина движущегося отрезка — другая, если окажется, что она зависит от скорости масштабного отрезка, например, сокращается по закону  ,

где v — скорость движущегося отрезка, а с — скорость света… Если скорость, а через нее и время войдут в геометрию… тогда нам придется сказать: время и пространство связаны. Тогда в геометрии нельзя будет изучать пространство независимо от времени.

Проницательные читатели, вероятно, уже привыкли к тому, что детективно предположительные рассуждения автор проводит каждый раз, когда то, что подается под соусом гипотезы, есть истина.

Действительно, Эйнштейн показал, что все наши многозначительные «если» сбылись.

Длина движущихся тел действительно зависела от скорости: время вошло в геометрию, свойства времени оказались зависимы от свойств пространства, и все наши старые представления о вселенной и геометрии оказались на поверку лишь довольно наивным приближением. Только если мы ограничиваемся изучением тех случаев, когда относительные скорости объектов невелики, лишь тогда старые наши представления работают хорошо, и мы можем рассматривать пространство независимо от времени, а время независимо от пространства.

В этом случае для исследования пространства без всяких изменений прекрасно подходит старая, верная геометрия Евклида. И тогда можно считать, что свойства пространства не зависят от времени.

Эта идеология возникла в 1905 году как результат появления специальной теории относительности.

Теория Эйнштейна, помимо всего прочего, так поражала своей внутренней логикой, своим изяществом, что уже через три-четыре года все ведущие физики-теоретики стали ее преданными энтузиастами-поклонниками. Тогда-то (в 1909 году) Макс Планк и восклицал: «Едва ли надо говорить, что новый — эйнштейновский — подход к понятию времени требует от физика высочайшей способности к абстракции и огромной силы воображения.

По своей смелости эта теория превосходит все, что было достигнуто до сего времени…

По сравнению с ней неевклидова геометрия — просто детская игра. Тем не менее в противоположность неевклидовой геометрии, применения которой до сих пор могут серьезно рассматриваться лишь в чистой математике, принцип относительности имеет все основания претендовать на реальное физическое значение.

По своей глубине и последствиям переворот, вызванный принципом относительности… можно сравнить только с тем переворотом, который был произведен… Коперником».

Планк писал правильно, но он не знал, что это только начало.

Итак, вместе со специальной теорией относительности возникает и входит в физику понятие четырехмерного пространства — времени. Но трехмерное пространство по-прежнему описывается геометрией Евклида. Правда, в том же 1909 году был обнаружен очень занятный факт. Выяснилось, что закон сложения скоростей в специальной теории относительности в точности совпадает с законом сложения векторов в пространстве Лобачевского.

То есть формальное пространство релятивистских скоростей есть пространство Лобачевского. Но это было как будто чисто формальное совпадение. Ни тогда, ни сейчас в этой аналогии не был вскрыт глубокий физический смысл.

Дальше же были еще более сенсационные и неожиданные события.

Физика и геометрия (после 1916 года). Планка винить и не следует. Потому что, если нужен пример наиболее неожиданного открытия в истории науки, то это общая теория относительности.

Триста лет основы теории гравитации пребывали в состоянии абсолютного покоя. Ньютон дал закон. И это было все. По существу, в фундаменте всех расчетов движения небесных тел — всех бесчисленных томов тонких, изящных и великолепных исследований по небесной механике была одна формула:

F = γ(m 1 m 2 )/r 2 .

То есть сила притяжения двух любых тел во вселенной пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

А γ — размерная постоянная величина, равная 6,66 · 10 –8 дин см 2 г –2 .

Я с великим трудом удерживаюсь от соблазна более основательно порассуждать о законе всемирного тяготения. Это очень приятно. Но пусть восторжествует сдержанность.

Необходимо заметить только, что нет более нелепого занятия, чем воспевать «простоту» идей Ньютона.

Простота — лишь в аналитической форме закона. Но эта «наивная» формула суммирует несколько совершенно неочевидных тонких и — более того — на первый взгляд странных физических предположений. Поэтому нужен был Ньютон, чтобы она появилась. И прошло более ста лет, прежде чем закон тяготения был принят безоговорочно. Причем протестовали не какие-нибудь невежи и темные обскуранты, но крупнейшие и талантливейшие ученые того времени. Так что слова о «простоте» можно лишь с некоторым основанием отнести к великолепной гармоничности природы. К красоте и изяществу основных ее законов.

Ньютон сказал, как действует тяготение.

Почему оно проявляет себя именно так — не было сказано ни слова.

К началу XX столетия внутренне с этим почти примирились. Точно так же, глядя на отполированную годами лакированную мебель, трудно представить, что в сердцевине скрыта грубая, неотделанная древесина.

Впрочем, попытки дать какой-либо механизм закона тяготения бывали, но все они неизменно и быстро заканчивались полной неудачей.

К тому же у физиков в периоды расцвета науки всегда хватало конкретных первоочередных задач, а в периоды упадка и затишья не хватало энтузиазма и моральной энергии, чтобы рисковать исследовать столь кардинальную и почти заведомо безнадежную проблему.

И если для начала нужен был Ньютон, то для продолжения был необходим интеллект, возможно, большего масштаба.

Короче, следует, вероятно, согласиться с самим Эйнштейном, что без него теория тяготения не была бы создана, быть может, до наших дней.

В науке (как, впрочем, и в искусстве) роль гениального человека, пожалуй, больше, чем в других областях. Один человек может сделать больше, чем сотни мощных исследовательских коллективов. Решает не количество, а качество.

Итак, с 1905 по 1916 год Эйнштейн исследовал проблему тяготения. В 1916 году работа была окончательно оформлена. Он занимался еще в эти годы многими другими вещами и как-то мимоходом получил фундаментальнейшие результаты в теории твердых тел. Но на первом месте для него все это время была общая теория относительности. Да и дальше, до самой смерти, она оставалась задачей его жизни.

Конечно, прежде чем что-то говорить о самой теории относительности, мы, следуя уже выработанной традиции, начнем с общих рассуждений и заодно вспомним несколько анекдотов. Когда речь идет об Эйнштейне и его работах, это почти необходимо, потому что… Впрочем, не будем забегать вперед.

Если позволено, я начну со статьи одного змеелова в журнале «Охота», которая бог весть как попала мне на глаза.

Как, вероятно, сделал бы всякий, я с живейшим интересом начал читать, хотя вряд ли пошел бы дальше заглавия, иди речь об отлове сусликов. Автор, на счету которого около 1500 змей, сообщал, в частности, в самом начале, что ни разу змея не нападала первой и атакующей стороной всегда был он.

Это было поразительно, и я прочитал все. Это была культурная, серьезная и профессионально хорошая статья. Змеелов анализировал различные специальные проблемы, подчеркивал всячески значение добычи змеиного яда для хозяйства нашей страны, резко критиковал положение в настоящее время, и, что особенно интересно, чувствовалось, что относится он ко всем разновидностям ядовитых зверей как к очень полезным и едва ли не симпатичным божьим созданиям.

Проблема повышения удоя, что ли, яда у среднеазиатской кобры или какого-нибудь Палласова щитомордика обсуждалась так же, как если бы речь шла о холмогорских коровах. По аналогии приходится вспомнить блестящую характеристику замечательного индусского математика, специалиста в области теории чисел, — «каждое положительное число было его личным другом». Надеюсь, параллель не будет распространена на целые числа и пресмыкающихся.

Начиналась же статья утверждением, что сенсационные заметки, непрерывно появляющиеся в печати, приносят значительно больше вреда, чем пользы. Он приводил несколько анекдотических ошибок журналистов. Он был совершенно справедливо, насколько я понял, обижен за свое дело. И он очень хотел, чтобы вместо «романтических ужасов» люди получили реальное представление о довольно сложной, утомительной и, вероятно, порой скучной профессии змеелова.

Я вспомнил эту историю не только, чтобы развлечь читателей.

На самом себе я убедился тогда, насколько искаженные и нереальные представления иногда создаем мы обо всем, с чем не соприкасаемся непосредственно.

И к сожалению, очень часто специфика профессии ученого (особенно физика) воспринимается совершенно адекватно работе змеелова.

Хотя надо сказать, что несколько опасливый, но благожелательный в общем интерес к науке продиктован, как правило, хорошими чувствами.

И более всех от сенсаций претерпели теория относительности и, конечно, сам Эйнштейн.

Его счастье, что он мог относиться к непрестанной шумихе вокруг своего имени — шумихе, которая не оставляла его с 1919 года, — со спокойной и безразличной иронией. И можно лишь возносить благодарственные молитвы, что вся эта реклама практически никак не повлияла на его характер.

Но вокруг теории относительности, как общей, так и специальной, было нагромождено столько нелепостей, что становится даже несколько неловко.

Впрочем, в одном виноваты и физики.

Много лет, даже в профессиональных кругах, считалось да, пожалуй, считается и сейчас, что идеи теории относительности очень сложны.

Особенно если речь идет об общей теории.

Это было совершенно естественно в первые годы после появления работ Эйнштейна. Иначе не бывает. На протяжении этой книги можно было, я надеюсь, увидеть, с каким исключительным, невероятным напряжением воспринимали поначалу совершенно элементарную, если судить непредвзято, идею Лобачевского.

Но прошло уже сорок лет со времени создания общей и шестьдесят с появления специальной теории относительности. Давно уже пора поставить все на свои места и признать, что основы механики Ньютона, во всяком случае, более туманны, а возможно, и более сложны, чем основы теории относительности.

Кстати, из самых общих соображений ясно, что иного положения вообще не могло быть. И тут и там речь идет об одном и том же — об основополагающих идеях относительно пространства и времени.

А чем дальше мы проникаем в суть, тем яснее, проще и стройней наши представления.

При создании общей теории Эйнштейн шел, как он сам говорил, от одного «детского» и «наивного» вопроса, который занимал его начиная со школьных лет:

«Что происходит в падающем лифте?»

После этого понадобилось одиннадцать лет напряженной работы, несколько десятков ошибочных вариантов, обещавших вначале успех, несколько первых нащупывающих ответ работ и к 1916 году — решение.

Но тогда не было получено полностью исчерпывающего, завершающего проблему результата, как, скажем, закон Ньютона. Работа далеко не была завершена. Но основы действительно были созданы.

Примерно так обстояло дело.

А вот как выглядит внешняя сторона в представлении двух людей, которых невозможно заподозрить ни в малейшем желании исказить правду.

Цитирую воспоминания Чаплина:

«Вечером за столом миссис Эйнштейн рассказала мне о том памятном утре, когда родилась идея теории относительности.

«Профессор, как обычно, спустился к завтраку в халате, но почти не прикоснулся к еде. Я подумала, что он плохо себя чувствует, и спросила, в чем дело.

«Дорогая моя, — сказал он, — у меня явилась замечательная мысль». Выпив кофе, он сел за рояль и начал играть. Время от времени он прекращал игру, делал несколько заметок на бумаге и снова повторял: «Это замечательная, великолепная мысль!»

«Ради бога, скажи, в чем дело», — взмолилась я.

«Это очень сложно, — ответил он, — мне необходимо все продумать». Профессор еще с полчаса продолжал играть и делать заметки, — рассказывала миссис Эйнштейн, — затем поднялся к себе, попросив, чтобы его не беспокоили, и две недели не покидал кабинета. Я даже еду посылала ему наверх. Только по вечерам он ненадолго выходил погулять и снова возвращался к работе. Наконец, очень побледневший за эти дни, он спустился в гостиную. «Вот», — сказал он мне устало, кладя на стол два исписанных листка. Это была его теория относительности».

Вероятно, что-то очень похожее на весь этот эпизод имело место в действительности. Возможно, он точен буквально. И Чаплин, конечно, писал так, как он все воспринял. Но это ничего не меняет. Если это правда, то лишь крохотная ее частица.

Бессознательно, вероятно, даже независимо от сознания, Чаплин воспринял весь рассказ как кинорежиссер. И вот перед нами набросок, бесспорно, очень эффектного, но, увы, неглубокого сценария.

А теперь я займусь тем самым, что столь сурово и усердно предавал анафеме.

Очень поверхностно и потому неизбежно искаженно буду рассказывать об общей теории относительности и ее взаимоотношениях с геометрией.

Руководящих идей у Эйнштейна было две. Одна на первый взгляд вообще не имеет отношения к геометрии. Это вопрос о лифте. Или, иначе, вопрос о равенстве инертной и гравитационной масс. И это единственный экспериментальный факт, на основе которого была создана вся теория.

Ничего более поразительного история науки не знает.

Приходится пояснить, что такое инертная и гравитационная массы.

Второй закон Ньютона известен всем.

Я, правда, подозреваю, что истинное понимание и этого и остальных законов и вообще основ классической механики отсутствует у большинства читателей. К сожалению, школьные программы таковы, что, кроме нескольких чисто формальных манипуляций с законами Ньютона, от учеников ничего не требуется.

Между тем — это я готов повторять до бесконечности — до конца понять основы классической физики — означает одновременно почти полностью подготовить себя к восприятию, например, теории относительности. Потому что, как только понятия пространства, времени, силы и массы перестанут существовать как туманные, чисто интуитивно ощущаемые объекты, как только станет ясен их точный смысл, та или иная физическая теория предстанет как следствие определенной системы аксиом. Выбор же аксиом определяется экспериментом.

Автор должен признаться, что сейчас затронуто его больное место, и если уж здесь для нас невозможен сколько-нибудь ясный анализ основных понятий физики, настоятельно рекомендует найти его в соответствующих книгах.

А сейчас предположим, что второй закон Ньютона не только известен, но и понятен всем.

Коэффициент пропорциональности между силой и ускорением m — это масса — определяет инертность данного тела. Мы и будем далее обозначать ее масса инертная — m инерт .

Закон всемирного тяготения Ньютона относится к гравитационному взаимодействию тел.

Заранее, априори, нет абсолютно никаких оснований, нет ни малейшего намека, что формула, определяющая силу взаимодействия, должна как-то зависеть от инертной массы. Для классической физики это куда более неожиданный и необъяснимый факт, чем, например, зависимость числа свадеб во Владивостоке от погоды у берегов Антарктики.

Во втором случае легко протянуть логическую цепочку: на Владивосток базируется китобойная флотилия.

В случае же тяжелой и инертной масс ясности не было до Эйнштейна.

Был удивительный экспериментальный факт. Все, и первым Ньютон, конечно, отмечают удивительное совпадение. И до начала XX столетия было поставлено много экспериментов. Последние из них — опыты Этвеша поразительны по своей точности. Идея всех опытов предельно проста, и мы сейчас ее разберем. Запишем закон тяготения.

Из осторожности массы будем писать так — m тяж — масса тяжелая.

Потому что мы не знаем, есть ли эти массы то же, что и m инерт . Мы хотим найти, каким опытом можно это проверить. Итак:

F = γ(m 1тяж m 2тяж )/r 2 .

Рассмотрим теперь конкретный случай свободного падения тела на землю.

Сила, заставляющая тело падать, — сила гравитационного взаимодействия — сила тяготения.

С другой стороны, если нам известно ускорение и инертная масса падающего тела, например маленького шарика, мы можем найти эту силу при помощи второго закона Ньютона. Итак, есть два равенства;

1) F = γ(m тяж M тяж )/r 2 .

M тяж — здесь «тяжелая» масса Земли, а r2 — расстояние от нашего шарика до центра Земли. Еще Ньютон установил: массивный шар притягивает с такой силой, как если бы вся его масса была сосредоточена в центре. Это была уже чисто математическая задача.

2)  F  =  m инерт  ·  g ,

где g — ускорение свободного падения.

Объединяя их, получаем:

g m инерт /m тяж  = γ M тяж /r 2 .

Если m инерт  = m тяж для всех мыслимых тел; если они равны у стали, у дерева, у газов, у жидкостей, у радиоактивных элементов, у полимеров, вообще у всего, что можно вообразить, то g = γ M/r2.

Иначе говоря, ускорение земного тяготения одинаково для всех тел.

Первым это установил еще Галилей. И равенство инертной и тяжелой масс, как мы уже говорили, было твердо установлено десятками опытов.

После появления специальной теории, когда стало ясно, что всякая энергия обладает инертной массой, были специально поставлены опыты с радиоактивными веществами.

Оказалось, что равенство инертной и тяжелой масс выполняется и для них. То есть энергия обладает и тяжелой массой, точно такой же, как инертная. Короче, тождественное равенство инертной и тяжелой масс было точно установлено опытами. Но одно дело знать, а другое понимать. Ответить: почему они равны? — и хотел Эйнштейн.

Вероятно, пока что не очень ясно, какое отношение все это может иметь к геометрии.

Тем не менее единственный этот экспериментальный факт плюс специальная теория относительности, плюс еще одно требование чисто теоретического характера привели Эйнштейна к полному изменению наших представлений о геометрии вселенной — к общей теории.

Мы глухо упомянули о каком-то еще одном требовании. Можно даже сформулировать его. Это как говорят: «требование общей ковариантности законов природы», или, по-другому — «требование физической эквивалентности всех систем отсчета».

Но я отчетливо сознаю, что эти слова ровно ничего не прояснили, и привожу их лишь для некоего успокоения собственной совести.

Проследить сколько-нибудь серьезно, как создавалась общая теория относительности, — задача, непосильная для нас сейчас просто из-за недостатка времени. Создавать же видимость объяснения (это, кстати, всегда сделать легко) довольно недостойно. Я прошу только поверить на слово, что «эквивалентность систем отсчета» — требование, продиктованное в значительной степени эстетикой. Внутренняя логика, красота физической теории вообще были для Эйнштейна одним из самых серьезных доводов в ее пользу.

Возможно, он порой даже переоценивал удельный вес подобных доводов. Но он полагал, что законы вселенной в принципе должны быть очень естественны и логичны, а теоретики часто уродливо искажают их, воспринимая то, что есть на самом деле, как бы в кривом зеркале. Можно, конечно, критиковать его образ мыслей. Вообще нет таких вещей, у которых нельзя было бы найти слабых мест; но то, что для него подобный стиль мышления был хорош, доказывают его результаты. Итак:

«Теория гравитационных полей, построенная на основе теории относительности, носит название общей теории относительности. Она была создана Эйнштейном (и окончательно сформулирована им в 1916 году) и является, пожалуй, самой красивой из существующих физических теорий. Замечательно, что она была построена Эйнштейном чисто дедуктивным путем и лишь в дальнейшем была подтверждена астрономическими наблюдениями». Эта фраза взята из лучшего в современной мировой литературе капитального курса теоретической физики Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица — и это единственное место из всех шести томов, где авторы открыто проявляют эмоции.

Мне кажется, этот факт достаточно красноречив, но при желании можно найти много аналогичных.

Пора вернуться к апокрифам.

На вопрос девятилетнего сына: «Папа, почему, собственно, ты так знаменит?» — Эйнштейн вполне серьезно объяснил: «Видишь ли, когда слепой жук ползет по поверхности шара, он не замечает, что пройденный им путь изогнут. Я же, напротив, имел счастье это заметить».

Эту фразу часто цитируют. Не следует, естественно, полагать, что она исчерпывает содержание общей теории.

Но, очевидно, сам Эйнштейн считал, что основной результат его работы — коренное изменение наших представлений о геометрии вселенной.

Уже говорилось, что после появления специальной теории погибло представление о независимости геометрических свойств пространства от времени.

Время вошло в геометрию.

Но свойства времени влияли лишь на геометрию движущихся тел.

Для тел, находящихся в покое, оставалась справедливой геометрия Евклида.

В общей теории относительности появился новый физический фактор, определяющий геометрию.

Старый результат — перепутывание и взаимная зависимость свойств пространства и времени, естественно, сохранился. Но этого мало. Оказалось, что геометрические свойства мира в данной точке в данный момент времени определяются гравитационным полем в этой точке.

Очевидно, предыдущая фраза мало что прояснила. Попробуем поэтому сначала сказать несколько более строгих слов, а потом привести предельно грубую, но проясняющую нечто аналогию.

В общей теории относительности мир описывается геометрией Римана.

При этом, когда говорится о «мире» и о его «геометрии», все время подразумевается четырехмерный мир. Время неразрывно запутано с геометрическими свойствами пространства.

Как помните, у Гаусса и Римана определяющей характеристикой была кривизна пространства в данной точке.

А также другая «внутренняя характеристика пространства» — свойства кратчайших (геодезических) линий.

Эти линии физически определяются траекторией, по которой будет двигаться материальная точка, свободная от действия сил.

Согласно Эйнштейну, и кривизна в данной точке и свойства геодезических линий определяются тем, каково гравитационное поле. Тяготение в общей теории относительности занимает исключительное место.

Можно грубо сказать: оно «самое главное» из всех взаимодействий.

Оно определяет геометрию вселенной.

Впрочем, можно сказать и по-другому. Тяготение определяется геометрией.

Как ни говорить, оказалось, что геометрические свойства мира определяются распределением тяготеющих масс.

Еще раз повторим, что, говоря о геометрических свойствах, мы все время подразумеваем четырехмерный мир. Так что на «обычном языке» надо было бы сказать так:

Геометрические свойства и свойства времени полностью определяются распределением масс во вселенной.

И подобно тому как для малых участков двумерной искривленной поверхности приближенно выполнялась геометрия плоскости, малые участки четырехмерного мира можно приближенно рассматривать как области, где кривизна равна нулю.

Это означает физически, что в малых пространственно-временных областях можно исключить гравитационное поле и перейти к специальной теории относительности.

По Эйнштейну, геометрические свойства у пространства и времени появляются лишь тогда, когда во вселенной есть материальные тела.

Вот очень грубый и неизбежно искаженный слепок идей общей теории относительности.

Во всей истории ее возникновения замечательны по меньшей мере два обстоятельства.

1. Эйнштейн поначалу даже не был знаком с идеями Римана. Он хотел объяснить равенство инертной и тяжелой массы, а по пути выяснил, что геометрия Римана — необходимая математическая форма для описания его чисто физических соображений.

2. Общая теория — единственный, вероятно, пример физической теории, созданной чисто умозрительно. В основе всей теории был лишь один экспериментальный факт.

Сейчас общая теория имеет уже несколько экспериментальных подтверждений, причем совсем недавно удалось ее проверить в лабораторных условиях.

Теперь — обещанная аналогия.

Представьте себе туго натянутое полотно. Это плоскость. Геодезические линии на ней — прямые. Кривизна равна нулю. Свободная материальная точка будет на такой поверхности двигаться по прямой. Для нас это аналог пространства — времени специальной теории относительности. Бросим теперь в середину камень. Вблизи него полотно продавится. Форма исказится. Геодезические линии уже не будут прямыми. Материальная точка при движении на такой поверхности даже при отсутствии сил будет отклоняться от прямой.

Впрочем, чем дальше от камня, тем меньше искривление. И на бесконечности наше полотно снова плоское. Вот это искривленное полотно и есть грубая модель пространства — времени в присутствии тяготеющих масс.

И теперь последний вопрос. Какова же реальная геометрия нашего мира?

Эксперимент показывает, что по крайней мере в нашей части вселенной кривизна пространства — времени положительна.

Впрочем, это снова очень грубая фраза. Вопрос об истинной геометрии вселенной — вопрос весьма и весьма ядовитый. И здесь физики неизбежно вынуждены фантазировать. Это область, где царствуют гипотезы.

Формально же говоря, вся проблема заключается всего лишь в определении коэффициентов в формуле, определяющей квадрат расстояния в четырехмерном мире: пространство + время. Всего лишь!

На сегодняшний день придумано даже несколько моделей миров. Несколько гипотетических вселенных.

Но в какой мы живем на самом деле, пока неизвестно. Слишком ничтожен (каких-то жалких десять миллиардов световых лет) тот участок вселенной, что доступен нашим телескопам.

Причем локальная геометрия пространства — времени, конечно, меняется от точки к точке. Меняется весьма прихотливо вблизи гравитационных масс.

Привлекая неизбежную аналогию, можно сопоставить наше положение с жителем горного района Земли, пытающегося при помощи геодезических наблюдений установить, что поверхность всей Земли — сфера. При этом область его наблюдений очень и очень ограниченна. Каких-нибудь несколько километров. Очевидно, наш физик окажется в малоприятном положении.

Если даже он сможет установить по своим измерениям, что в среднем радиус кривизны его участка поверхности 6400 километров (примерный радиус Земли), у него не будет стопроцентной уверенности, что в других недоступных ему участках поверхность планеты имеет ту же кривизну. И неизбежно он окажется на том самом пути, который столь усердно предавал анафеме Исаак Ньютон. Он начнет выдвигать гипотезы.

Это и есть удел реальных физиков, когда их спрашивают о геометрии мира в целом.

Здесь я снова предпочитаю остановиться, потому что более интересное и интригующее место найти невозможно.

Сейчас мы оказались перед проблемами, при мысли о которых каждый думающий человек невольно испытывает холодок на коже. И о таких вещах стоит говорить со вкусом и подробно. Либо же не говорить вовсе.

А нам, пожалуй, пора подвести некоторые итоги, а также выполнить неприятное: сообщить по крайней мере об одном главном недостатке всей этой книги.

Два главнейших итога были непосредственным следствием неевклидовой геометрии.

Первое — создание аксиоматики и в дальнейшем математической логики. Это было сделано Гильбертом — мы уже называли его имя. У нас о ней рассказано очень грубо и неточно. Особенно это относится к проблеме полноты аксиом. Сделать лучше можно было, но, к сожалению, лишь существенно затянув наш разговор. Во всяком случае, когда писалась книга, автор не представлял, как можно коротко, точно и понятно рассказать об аксиоматике.

Итак, об аксиоматике было сказано очень мало. И неточно. Единственное, что мне остается в утешение, — небольшая реклама.

Весь круг вопросов, связанных с аксиоматикой, поражает своим изяществом. Даже сама постановка многих проблем порой неожиданна до невероятности. Особенно это относится к проблеме полноты.

Я снова ничего не буду говорить по существу, но для иллюстрации просто сообщу об одном результате. Уже в тридцатые годы нашего века была доказана следующая теорема.

Пусть у вас имеется некоторая логическая система. Базис ее — Основные Понятия и аксиомы. Например, евклидова геометрия. Если эта логическая система «достаточно мощная» (что это значит — мы, естественно, уточнять не будем), то всегда могут быть сформулированы такие теоремы, которые в рамках этой системы нельзя ни доказать, ни опровергнуть.

На первый взгляд кажется, что дело в нехватке аксиом. Но суть не в этом. Сколько бы аксиом ни брать в основу, как бы ни дополнять нашу систему, странные утверждения, о которых нельзя высказать ничего определенного, все равно останутся.

После того как была доказана эта удивительная теорема, вся проблема непротиворечивости стала выглядеть по-иному.

Но обо всем этом мы умолчали. Так же как и о совершенно уж неожиданном применении математической логики в практике. Имеются в виду, конечно, электронно-вычислительные машины.

Чуть больше, хотя тоже, конечно, очень мало, мы говорили о второй линии развития. О линии, которая проходит через риманову геометрию к общей теории относительности.

И тут совершенно необходимо добавить лишь одно. Вся история развития неевклидовой геометрии, быть может, наиболее яркий пример неожиданных поворотов в развитии науки.

Казалось бы, предельно абстрактные, умозрительные, сугубо теоретические размышления математиков удивительным образом оказались исключительно важны не только для физиков, но и для инженеров.