1, 2, 3, 4, 5… Это кажется так просто: прибавьте 1, и вы получите следующее число. Но, несмотря на эту простоту, без чисел мы оказались бы в полном неведении. Кто победил в противостоянии «Арсенал» – «Манчестер Юнайтед»? Мы не знаем. Выступление каждой команды характеризуется множеством чисел. Где-то в середине этой книги говорится о выигрыше в Британской национальной лотерее. А сама лотерея? Участие в ней было бы безнадежным без чисел. Поразительно, насколько существен язык чисел для нашего взаимодействия с миром.

Даже в животном царстве числа фундаментальны. Стаи животных принимают решение сражаться или обращаться в бегство, исходя из того, превосходят ли они численностью соперничающие стаи. Их инстинкт выживания связан с математическими способностями, но за очевидной простотой списка чисел лежит одна из величайших тайн математики.

2, 3, 5, 7, 11, 13… Это неделимые простые числа, кирпичики, из которых строятся все остальные числа, – кислород и водород в мире математики. Эти главные герои нашего рассказа подобны драгоценным камням, рассеянным в бесконечном пространстве чисел.

Однако, несмотря на свою важность, простые числа представляют одну из самых мучительных головоломок, с которыми мы столкнулись в нашем поиске знания. Нахождение простых чисел представляется совершенной тайной – по-видимому, нет волшебной формулы, которая бы позволила перейти от предыдущего к следующему. Они напоминают спрятанный клад – и ни у кого нет карты сокровищ.

В этой главе мы исследуем то, что знаем об этих особых числах. В ходе нашего путешествия мы выясним, как различные культуры пытались регистрировать и исследовать простые числа, как музыканты обыгрывали их синкопированный ритм. Мы узнаем, почему простые числа использовались в попытках связи с внеземными цивилизациями и как они помогают хранить секреты в интернете. В завершение главы я посвящу вас в математическую загадку, касающуюся простых чисел. Ее решение принесет вам миллион долларов. Но, прежде чем мы займемся одной из величайших головоломок математики, давайте начнем с одной из величайших числовых тайн нашеговремени.

 

Почему Бекхэм выбрал номер 23?

Переход Дэвида Бекхэма в 2003 г. в мадридский «Реал» сопровождался множеством предположений, почему он решил играть в футболке с номером 23. Многие находили этот выбор странным, ведь до того он играл под номером 7 и за сборную Англии, и за «Манчестер Юнайтед». Беда была в том, что в «Реале» футболку с этим номером носил Рауль, и испанец не собирался отдавать ее гламурному мальчику из Англии. Было выдвинуто множество теорий, чтобы объяснить выбор Бекхэма. Самой популярной из них была теория Майкла Джордана. Мадридский «Реал» хотел прорваться на американский рынок, чтобы продавать копии футболок огромному американскому населению. Но футбол (или «соккер», как они привыкли называть его) не слишком популярен в США. Американцы любят баскетбол или бейсбол, игры, которые могут завершаться со счетом 100: 98 и в которых всегда есть победитель. Они не видят смысла в состязании, которое длится 90 минут, но может закончиться со счетом 0: 0, когда нет ни голов, ни победителей. Согласно упомянутой теории, мадридский «Реал» провел исследование и выяснил, что со всей определенностью самым популярным баскетбольным игроком в мире был Майкл Джордан. Наиболее результативный игрок «Чикаго Буллз» на протяжении всей своей карьеры красовался с номером 23. Все, что требовалось «Реалу», – нанести номер 23 на спину футболки и скрестить пальцы на счастье, надеясь, что сработает волшебная ассоциация с Джорданом, которая поможет им прорваться на американский рынок.

Другие находили подобные домыслы слишком циничными, но сами предлагали более зловещую теорию. Юлий Цезарь был убит 23 ударами кинжала в спину. Был ли выбор Бекхэма для надписи на спине дурным предзнаменованием? Были и те, кто считал, что предпочтение Бекхэма было обусловлено его любовью к «Звездным войнам» (в первом фильме этой саги принцесса Лея была заключенной в блоке АА23). Или же Бекхэм был тайным членом секты дискордианистов? В этом современном культе почитается хаос, и он каббалистически одержим числом 23.

Но, как только я увидел номер Бекхэма, мне в голову пришло более приемлемое математическое обоснование. 23 – простое число. Число называется простым, если оно делится лишь на себя и на 1. Числа 17 и 23 – простые, ведь они не могут быть записаны в виде произведения меньших чисел, в то время как 15 не является простым: 15 = 3 × 5. Простые числа наиболее важны в математике, потому что все остальные целые числа получаются перемножением простых.

Возьмите, к примеру, число 105. Оно с очевидностью делится на 5, и мы можем записать 105 = 5 × 21. 5 – простое неделимое число, но 21 таковым не является: оно представимо в виде 3 × 7. Итак, мы можем записать 105 = 3 × 5 × 7. Мы дошли до предела, до простых чисел, из которых строится 105. Я могу поступить так с любым числом, ведь оно либо является простым и неделимым, либо оно не является простым и разбивается в произведение простых чисел.

Все числа строятся из простых. Подобно тому как молекулы состоят из атомов, например водорода, кислорода, натрия или хлора, числа строятся из простых чисел. В мире математики числа 2, 3, 5 аналогичны водороду, гелию и литию. Именно это делает их наиболее важными числами в математике. Но, безусловно, они были важны и для мадридского «Реала».

Рис. 1.01

Когда я начал более пристально изучать футбольную команду «Реал», у меня возникло подозрение, что у них на скамейке запасных был математик. Беглый анализ показал, что во время перехода Бекхэма все Galácticos, ключевые игроки мадридцев, играли в футболках с простыми числами: у Карлоса (фундамента обороны) был номер 3, у Зидана (бывшего душой игры в центре поля) – номер 5, у Рауля и Роналдо (на них строилось нападение «Реала») – номера 7 и 11.

Футбольная игра в простые числа

Скачайте PDF-файл для этой игры с веб-сайта «Тайн 4исел». Каждый из игроков вырезает из бумаги трех футболистов и пишет на их спинах три различных простых числа. Используйте для игры один из Платоновых футбольных мячей из главы 2 (с. 63).

Матч начинается с игрока команды 1. Цель игры состоит в том, чтобы пройти трех футболистов соперника. Соперник выбирает первого игрока, чтобы попытаться остановить футболиста команды 1. Затем подкидывается Платонов футбольный мяч, который служит игральной костью. На ней шесть граней: белые с числами 3, 5 и 7, а также черные с числами 3, 5 и 7. Выпавшее число на кости скажет найти остаток от деления номера вашего игрока и игрока соперника на 3, 5 или 7. Если выпало число с белой грани, то вам необходимо, чтобы ваш остаток был равен остатку соперника либо больше его. Если выпала черная грань, то требуется, чтобы остаток был равен остатку соперника либо меньше его.

Чтобы забить гол, необходимо пройти трех игроков соперника, а затем сыграть против случайного простого числа, выбранного вашим оппонентом. Если на каком-то из этапов вы уступаете сопернику, игра переходит к нему. Другая команда использует игрока, остановившего вашу команду, чтобы попытаться дойти до ваших ворот. Если при ударе по воротам (то есть игры против случайного простого числа) команда 1 промахивается, то в игру вступает любой выбранный игрок команды 2. Матч может играться определенное время либо до 3 забитых голов.

И пожалуй, было неизбежным, что Бекхэм получил простое число, к которому он впоследствии сильно привязался. Когда он перешел в «Лос-Анджелес Гэлакси», то настоял, чтобы у него было его простое число, чтобы оно помогло заинтересовать американскую публику этой прекрасной игрой.

Такие слова математика могут звучать совершенно иррационально, ведь предполагается, что его мышление должно быть логическим и аналитическим. Однако я также играю в футболке с простым числом за мою команду Recreativo Hackney. Так я ощущаю связь с человеком под номером 23. Моя команда, выступающая в Воскресной лиге, не такая большая, как «Реал». И у нас нет номера 23, поэтому я выбрал 17 – довольно хорошее простое число, как мы увидим позже. Но свой первый сезон наша команда отыграла не особенно хорошо. Мы играем в дивизионе 2 лондонской Супервоскресной лиги, и в том сезоне мы обосновались на самом дне. К счастью, это самый низкий дивизион в Лондоне, и наш единственно возможный путь – наверх. Но как улучшить наше положение в лиге? Быть может, «Реал» нашел рецепт и игра в футболках с простыми числами дает некоторое психологическое преимущество. Наверное, у слишком многих из нас были неправильные номера, вроде 8, 10 или 15. Я убедил команду поменять экипировку на следующий сезон, и все мы выходили с простыми числами: 2, 3, 5, 7 и так далее, вплоть до 43. Это преобразило нас. Мы перешли в дивизион 1, где быстро поняли, что простые числа могут помогать на протяжении лишь одного сезона. Мы вылетели обратно в дивизион 2. Сейчас мы находимся в поисках другой математической теории, чтобы улучшить наши шансы.

 

Должен ли вратарь мадридского «Реала» играть в футболке с номером 1?

Если ключевые игроки мадридского «Реала» щеголяют с простыми числами, какую футболку должен носить их вратарь? Или, если выразиться математически, является ли число 1 простым? Что же, и да и нет. (Это как раз такой тип математического вопроса, который нравится всем – оба ответа будут верны.) Двести лет назад таблицы простых чисел начинались с 1. В конце концов, оно неделимо, ведь единственное целое число, на которое оно делится, – это оно само. Но сегодня мы говорим, что 1 не является простым числом, ведь самое важное в свойствах простых чисел – то, что на их основе строятся другие числа. Если я умножу какое-либо число на простое число, то получу новое число. Хотя 1 не делится без остатка на другие целые числа, если я умножу число на 1, то получу то же самое число, с которого я стартовал. На этом основании мы исключаем 1 из списка простых чисел и начинаем его с 2.

Очевидно, мадридский «Реал» не первым раскрыл могущество простых чисел. Но у какой из культур был приоритет? У древних греков? Китайцев? Египтян? Как оказалось, в открытии простых чисел математиков опередило странное небольшое насекомое.

 

Почему американскому виду цикады нравится простое число 17?

В лесах Северной Америки живет вид цикады с очень необычным жизненным циклом. На протяжении 17 лет эти цикады прячутся под землей и почти ничем не проявляют себя, разве что присасываются к корням деревьев. Но затем, в мае 17-го года, они появляются на поверхности в огромных количествах и вторгаются в лес: их число на каждом акре (0,4 гектара) доходит до миллиона.

Цикады громко распевают, пытаясь привлечь пару. Все вместе они поднимают такой шум, что местные жители зачастую уезжают во время этого вторжения, повторяющегося раз в 17 лет. Боб Дилан услышал эту какофонию цикад, оккупировавших леса вокруг Принстона, когда получал почетную степень университета в 1970 г. Это вдохновило его на написание песни «День цикад» (Day of the Locusts).

Привлекшие самцов самки после оплодотворения откладывают около 600 яиц на поверхности. По прошествии 6 недель буйства все цикады умирают, и лес снова затихает на 17 лет. Вылупление следующего поколения цикад происходит в середине лета, личинки падают на лесную почву и погружаются в нее, пока не находят подходящий корень для питания. Затем они ждут следующие 17 лет до наступления очередного великого вторжения цикад.

То, что цикады могут отсчитать прошествие 17 лет, – совершенно замечательное достижение биологической инженерии. Случаи, когда какая-либо цикада появляется годом раньше или годом позже, крайне редки. Ежегодный цикл, которого придерживаются большинство животных и растений, обусловлен вариациями температуры и сменой времен года. И по-видимому, ничто в природе не учитывает то обстоятельство, что Земля совершила 17 оборотов вокруг Солнца, чтобы побудить этих цикад к появлению.

Для математика самая любопытная особенность состоит в выборе числа: ведь 17 – простое число. Является ли всего-навсего совпадением то, что цикады проводят под землей простое число лет? По-видимому, нет. Есть вид цикад, который скрывается под землей 13 лет, а также другой вид, с 7-летним циклом. Все это простые числа. Довольно удивительно, что если цикада с 17-летним циклом появляется слишком рано, то сдвиг уже будет не на год, а обычно на 4 года, тем самым происходит переключение на 13-летний цикл. Кажется, в простых числах есть что-то, способствующее всем этим разновидностям цикад. Но что же это?

Хотя ученые и не пришли к окончательным выводам, имеется математическая теория, которая объясняет склонность цикад к простым числам. Сперва несколько фактов. В лесу может быть только один выводок цикад, так что объяснение не касается совместного использования ресурсов несколькими выводками. Почти каждый год где-либо в Соединенных Штатах появляется выводок цикад с циклом, составляющим простое число лет. Но в 2009 и 2010 гг. цикад не было. Напротив, в 2011 г. на юго-востоке США было массивное нашествие цикад с 13-летним циклом. (Кстати, 2011 является простым числом, но все же я не думаю, что цикады настолько умны.)

Лучшая на сегодняшний день теория простых чисел, лежащих в основе цикла цикад, исходит из возможного существования хищника, который также периодически появляется в лесу. Появление хищника приходится на время нашествия цикад, и он пирует, поедая насекомых. Но тут в дело вступает естественный отбор, потому что цикады, которые регулируют свою жизнь, исходя из цикла, составляющего простое число лет, будут значительно реже сталкиваться с хищниками, чем цикады с жизненным циклом, не представляющим простое число.

Предположим, например, что хищники появляются каждые 6 лет. Цикады с 7-летним циклом будут совпадать с хищниками лишь раз в 42 года. В отличие от них цикады с 8-летним циклом будут появляться одновременно с хищниками каждые 24 года; у цикад же с 9-летним циклом совпадение будет еще чаще – каждые 18 лет.

Рис. 1.02. Взаимодействие на протяжении 100 лет между популяциями цикад с 7-летним жизненным циклом и хищников с 6-летним

Рис. 1.03. Взаимодействие на протяжении 100 лет между популяциями цикад с 9-летним жизненным циклом и хищников с 6-летним

В лесах Северной Америки было, по-видимому, настоящее соревнование, чтобы найти наибольшее простое число. Цикады настолько преуспели в этом, что хищники либо вымерли, либо переселились, оставив цикад с их странным жизненным циклом в простое число лет. Но, как мы вскоре увидим, не только цикады научились использовать синкопированный ритм простых чисел.

Цикады против хищников

Скачайте PDF-файл с веб-сайта «Тайн 4исел». Вырежьте хищников и два семейства цикад. Положите хищников на годы, кратные 6. Каждый игрок берет по семейству цикад. Возьмите три обычные игральные кости с шестью гранями. Сумма чисел, выпавших на трех игральных костях, определит, как часто появляется ваше семейство цикад. Так, если у вас выпало 8, поместите цикаду на каждое число, кратное 8. Но, если на данном месте уже есть хищник, вы не можете разместить там цикаду, например, не можете положить цикаду на 24, потому что это число уже занято хищником. Победителем будет игрок с наибольшим числом цикад на поле. Вы можете модифицировать игру, изменив периодичность, с которой появляется хищник, то есть вместо 6 выбрать другое число.

 

Отчего простые числа 17 и 29 являются ключом к концу времени?

Во время Второй мировой войны французский композитор Оливье Мессиан был заключенным в концентрационном лагере VIII-A. Среди его сотоварищей были кларнетист, виолончелист и скрипач. Он решил сочинить музыку для квартета – сам он собирался играть на фортепиано. Результатом было одно из величайших музыкальных произведений XX в.: Quatour pour la fin du temps – «Квартет на конец времени». Впервые оно было исполнено для заключенных и надзирателей в концлагере VIII-A. Мессиан играл на расшатанном пианино, которое нашлось в лагере. В первой части, названной «Литургия кристалла», Мессиан хотел создать ощущение нескончаемого времени. Для этого замысла ключевыми оказались простые числа 17 и 29. В то время как скрипка и кларнет обменивались музыкальными темами, представляющими пение птиц, виолончель и фортепиано придавали ритмическую структуру. Партия фортепиано представляет собой ритмическую последовательность из 17 нот, повторяющуюся снова и снова, а накладывающаяся на нее струнная партия содержит период из 29 нот. Поэтому, когда 17-нотный ритм начинается во второй раз, струнная последовательность приближается к двум третям. Результатом выбора простых чисел 17 и 29 является то, что совместная мелодия фортепиано и виолончели начинает повторяться в произведении лишь спустя 17 × 29 нот.

Именно эта постоянно меняющаяся музыка создает ощущение нескончаемости, к которому стремился Мессиан, – и он использует тот же трюк, что и цикады в их противостоянии с хищниками. Представьте, что цикады – это фортепиано, а хищники – виолончель. Различные простые числа 17 и 29 рассинхронизируют эти два инструмента, и произведение заканчивается до того, как музыка начинает повторяться.

Рис. 1.04. «Литургия кристалла» из «Квартета на конец времени» Мессиана. Первая вертикальная линия показывает окончание ритмической последовательности из 17 нот. Вторая линия обозначает конец 29-нотной гармонической последовательности

Мессиан был не единственным композитором, прибегавшим к простым числам в музыке. Использование простого числа было отличительной особенностью Альбана Берга. Как и Дэвид Бекхэм, Берг щеголял числом 23 – можно сказать, был одержим им. Например, в его «Лирической сюите» 23-тактная последовательность определяет структуру произведения в целом. Но также в нем представлен роман, который был у Берга с богатой замужней женщиной. Образ его любовницы создается 10-тактной последовательностью, которая переплетается с характеризующей Берга 23-тактной. Так комбинация математики и музыки воплощает его любовную связь.

Подобно использованию простых чисел Мессианом в «Квартете на конец времени», математика недавно была применена для создания произведения, которое хотя и не является нескончаемым, но повторится лишь спустя тысячу лет. Джем Файнер, один из основателей группы The Pogues, решил создать в лондонском Ист-Энде музыкальную инсталляцию, которая повторится лишь с началом следующего тысячелетия, в 3000 г.

Это произведение называется подобающим образом: Longplayer («Долгоиграющее»).

Сначала Файнер создал музыкальное произведение, в котором звучат тибетские поющие чаши и гонги разного размера. Длительность исходной музыки 2 минуты 20 секунд. Но, используя различные уловки, подобные мессиановским, Файнер растянул ее до 1000 лет. Шесть копий исходного произведения проигрываются одновременно, но с разной скоростью. Помимо этого, каждая из дорожек смещается через 20 секунд на заданный интервал. Величина этой сдвижки разная для разных дорожек. Математика используется именно для того, чтобы рассчитать такую величину смещения, чтобы музыка начала повторяться спустя 1000 лет.

Вы можете послушать Longplayer, если посетите http://longplayer.org .

Не только музыканты одержимы простыми числами: они, по-видимому, задевают струну, которая объединяет многих творцов в различных областях искусства. Писатель Марк Хэддон использовал только простые числа для нумерации глав в своем бестселлере «Загадочное ночное убийство собаки» (The Curious Incident of the Dog in the Night-Time). Рассказчик в этом романе – подросток Кристофер, страдающий синдромом Аспергера. Кристофер любит математический мир, потому что он подвластен разуму и его логика не таит в себе сюрпризов. В противоположность этому мир человеческих отношений настолько полон неопределенностей и алогичных поворотов, что Кристофер не может с ним справиться. Как он объясняет: «Я люблю простые числа… Я думаю, что простые числа напоминают жизнь. Они крайне логичны, но в их правилах невозможно разобраться, даже если вы проведете всю свою жизнь в размышлениях о них».

Простые числа даже поучаствовали в фильмах. В футуристическом триллере «Куб» семь персонажей заперты в лабиринте комнат, который напоминает сложный кубик Рубика. Форма каждой из комнат соответствует кубу, в котором есть шесть дверей, ведущих к последующим комнатам. Фильм начинается с того, что герои просыпаются и понимают, что оказались в лабиринте. У них нет ни малейшего представления, как они там оказались, но им необходимо выбраться наружу. Беда в том, что в некоторых комнатах их ожидают коварные ловушки. Героям необходимо каким-то образом предсказать до того, как они войдут в комнату, безопасна ли она. Иначе им будет уготована та или иная ужасная смерть: они могут быть сожжены заживо, облиты кислотой, разрезаны на крошечные кубики. Герои фильма выясняют это после того, как один из них был убит.

Среди действующих лиц есть знаток математики – Джоан, которая внезапно понимает, что числа у входа в каждую комнату определяют, находится ли за дверью ловушка. По всей видимости, если среди чисел у входа в комнату есть простое, то в ней таится опасность. «Ты – светлая голова», – говорит Джоан предводитель группы, услышав об этой математической дедукции. Однако выясняется, что оказавшимся в лабиринте нужно также опасаться степеней простых чисел, что превосходит возможности сообразительной Джоан. Вместо нее действующим лицам нужно надеяться на другого товарища по несчастью – аутистичного таланта. В конце только он выходит из лабиринта живым.

Как открыли цикады, знание математики является ключом к выживанию в этом мире. Любому учителю математики, столкнувшемуся с проблемами мотивации своих учеников, можно рекомендовать рассказ о кровавых смертях в «Кубе» в качестве действенной пропаганды, чтобы заставить подопечных учить простые числа.

 

Почему писатели-фантасты любят простые числа?

Когда писатели-фантасты хотят, чтобы инопланетяне вступили в общение с землянами, они сталкиваются с определенными проблемами. Предполагают ли авторы, что инопланетяне настолько умны, что стремительно обучаются местному языку? Или они изобрели искусный автоматический переводчик наподобие Babel Fish? А может, литераторы полагают, что каждый во Вселенной говорит по-английски?

Одно из решений, к которому прибегает ряд авторов, состоит в использовании языка математики – единственного по-настоящему универсального языка. Его первые слова, который должен знать каждый, своего рода строительные кирпичики речи, – простые числа. В романе Карла Сагана «Контакт» Элли Эрроуэй, участвующая в программе ПВЦ (поиск внеземных цивилизаций), обнаруживает сигнал. Она вскоре понимает, что это не фоновый шум, а последовательность импульсов, которые являются двоичным представлением чисел. Когда она переводит их в десятичную систему счисления, то моментально понимает закономерность: 59, 61, 67, 71 – все эти числа простые. Разумеется, в продолжении сигнала также содержатся простые числа, и они доходят до 907. Это не может быть делом случая, заключает она. Кто-то говорит «привет».

Многие математики полагают, что, даже если на другом конце Вселенной имеется другая биология, другая химия или даже другая физика, математика будет одной и той же. Изучающий учебник математики житель планеты, вращающейся вокруг Веги, будет по-прежнему считать числа 59 и 61 простыми. Ведь, как выразился знаменитый кембриджский математик Г. Х. Харди, эти числа являются простыми «не потому, что мы так считаем, и не потому, что наше сознание сформировалось тем или иным образом, а потому, что так устроена математическая действительность».

Знание о простых числах объединяет Вселенную, но все же интересно задаться вопросом, рассказывают ли истории, подобные этой, в других мирах. То, как мы изучали эти числа на протяжении тысячелетий, привело к открытию нами ряда важных истин в отношении простых чисел. На каждом этапе данного пути мы видим отчетливый след той или иной культурной перспективы, замечаем математические лейтмотивы, соответствующие историческому периоду. Может ли статься так, что у других культур во Вселенной имеются другие перспективы, делающие очевидными им теоремы, еще не открытые нами?

Карл Саган не был первым, кто предложил использовать простые числа как средство общения, и не будет последним. Простые числа даже использовались НАСА при попытках установить контакт с внеземными цивилизациями. В 1974 г. с радиотелескопа Аресибо в Пуэрто-Рико было отправлено послание в направлении шарового звездного скопления М13, выбранного по причине огромного числа звезд в нем. Это увеличивает вероятность, что оно будет получено каким-то разумным существом.

Рис. 1.05. Послание, отправленное радиотелескопом Аресибо, в направлении звездного скопления М13

Послание состояло из последовательности 0 и 1, кодирующих черные и белые пиксели рисунка. На реконструированном изображении показано двоичное представление чисел от 1 до 10, схема строения ДНК, описание нашей Солнечной системы и эскиз самого радиотелескопа Аресибо. Принимая во внимание, что во всем послании лишь 1679 пикселей, изображение не слишком-то детально. Но выбор числа 1679 был намеренным, потому что в нем содержится ключ к расположению пикселей. 1679 = 23 × 73, поэтому существует лишь два способа расположения пикселей в виде прямоугольника. Если их разместить в 23 ряда и 73 колонки, то получится хаотичный рисунок, но расположите их другим способом – в 73 ряда и 23 колонки, и получится правильный результат. Звездное скопление М13 находится от нас на расстоянии 25 000 световых лет, поэтому ответ придет не раньше чем через 50 000 лет!

Хотя простые числа универсальны, способ их записи сильно менялся на протяжении истории математики. Он культурно зависим, что сейчас и проиллюстрирует наше стремительное путешествие по планете.

 

Какое это простое число?

Рис. 1.06

Некоторые из первых математических вычислений в нашей истории были сделаны в Древнем Египте. Вот так египтяне записывали число 200 201. Уже около 6000 г. до н. э. люди начали отказываться от кочевой жизни и селиться в долине Нила. С развитием египетского общества у него возникла потребность в числах, чтобы вести учет налогов, измерять земельные участки и строить пирамиды. Как и для своего языка, египтяне использовали иероглифы для записи чисел. У них уже была развита числовая система, основанная на степенях 10, как и в той десятичной системе, которая используется нами. (Этот выбор основан не на каком-то особом математическом значении данного числа, а на том анатомическом факте, что у нас десять пальцев.) Но им еще нужно было изобрести позиционную систему, то есть такой способ записи чисел, когда положение каждой цифры соответствует той степени 10, которую она считает. Например, цифры 2 в числе 222 соответствуют различным величинам в зависимости от их места. Вместо этого египтяне предпочли создать новые символы для каждой степени 10:

Рис. 1.07. Древнеегипетские символы для степеней 10. 10 –это стилизованная пяточная кость, 100 –кольцо веревки, 1000 изображает лотос

200 201 может быть довольно кратко записано таким способом. Но лишь попытайтесь записать простое число 9 999 991 с помощью иероглифов: вам понадобится 55 символов. Хотя египтяне не осознавали важность простых чисел, у них была разработана довольно сложная математика, включающая – что неудивительно – формулу для объема пирамиды и понятие дробей. Но их числовая система была не очень-то изощренной – в отличие от системы, используемой их соседями, вавилонянами.

Рис. 1.08

Так древние вавилоняне записывали число 71. Вавилонская империя, подобно Египетской, была сосредоточена вблизи главной реки – Евфрата. С 1800 г. до н. э. вавилоняне контролировали значительную часть современных Ирака, Ирана и Сирии. Для расширения своей империи и управления ею им пришлось мастерски овладеть обращением с числами. Их записи велись на глиняных табличках, и писцы использовали деревянные палочки, или стилосы, чтобы делать отметки на сырой глине, которая потом высушивалась. Кончик стилоса имел форму клина, и вавилонское письмо теперь известно как клинопись.

Около 2000 г. до н. э. вавилоняне одними из первых пришли к идее использования позиционной системы счисления. Однако они использовали не основание 10, как египтяне, а 60. У них были различные символы для обозначения чисел от 1 до 59, а когда они доходили до 60, то начинали слева новый разряд «шестидесятков», подобно тому как мы ставим слева цифру 1 в разряде десятков, когда число становится больше 9. Итак, простое число, показанное выше, состоит из одного «шестидесятка» и символа, обозначающего 11, что вместе дает 71. У чисел от 1 до 9 имеется скрытая связь с десятичной системой, потому что они представляются горизонтальными линиями, но затем 10 представляется своим символом (рис. 1.09):

Рис. 1.09

Выбор основания 60 для системы счисления значительно более обоснован математически, чем 10. Ведь у числа 60 много делителей, что делает его удобным для проведения вычислений. Например, если у меня 60 бобов, я могу разделить их множеством способов:

60 = 30 × 2 = 20 × 3 = 15 × 4 = 12 × 5 = 10 × 6.

Рис. 1.10. Различные способы поделить 60 бобов

Как считать до 60 на пальцах

И сегодня у нас остаются следы вавилонской шестидесятеричной системы счисления. В минуте 60 секунд, а в часе 60 минут. В круге 360 = 6 × 60 градусов. Имеются свидетельства, что вавилоняне использовали пальцы для счета до 60, причем довольно изощренным способом.

Если исключить большой палец, то на каждом из четырех оставшихся пальцев руки по три фаланги. Поэтому большим пальцем вы можете указать на одну из 12 фаланг. Левая рука используется для счета до 12. Затем 4 пальца правой руки используются для обозначения количества дюжин. В общей сложности вы можете так досчитать до пяти дюжин (4 дюжины на правой руке плюс одна дюжина на левой), то есть до 60.

Например, чтобы обозначить простое число 29, вам требуется показать две дюжины на правой руке и на фалангу, обозначающую 5, на левой.

Рис. 1.11

Вавилоняне близко подошли к открытию очень важного числа в математике – ноля. Ведь у вас появится проблема, если вы захотите записать клинописью простое число 3607. Оно представляется как 60 «шестидесятков» (3600 или 60 в квадрате) плюс 7. Его можно было бы перепутать с другим простым числом 67, не будь специального символа для обозначения пустого разряда. Этот символ находится посередине рис. 1.12, на котором записано число 3607.

Рис. 1.12

Но вавилоняне не считали ноль отдельным числом. Для них это был лишь символ в позиционной системе, использующийся для обозначения того, что отсутствуют определенные степени 60. Математике пришлось ждать еще 2700 лет, пока в VII в. индийцы не ввели ноль как число и не исследовали его свойства. Вавилоняне не только придумали изощренный способ записи чисел, но и первыми научились решать квадратные уравнения, чему теперь учат всех детей в школе. У них также появились намеки на теорему Пифагора о прямоугольных треугольниках. Однако нет никаких свидетельств того, что вавилоняне ценили красоту простых чисел.

Какое это простое число?

Рис. 1.13

Центральноамериканская цивилизация майя находилась в своем расцвете с 200 по 900 г. Ее территория простиралась от Южной Мексики через Гватемалу до Сальвадора. У них была изощренная числовая система, разработанная для проведения сложных астрономических вычислений. Вот так они записали бы число 17. В отличие от египтян и вавилонян, основанием числовой системы у майя было 20. Они использовали точку для обозначения единицы, две точки – для двух, три точки – для трех. Подобно тюремному заключенному, отмечающему мелом дни на стене, они проводили черту через четыре точки, когда доходили до 5. Итак, черта соответствует пяти.

Эта система соответствует тому принципу, что наш мозг может быстро распознавать небольшие количества – мы легко различаем один, два, три или четыре предмета, – но далее положение становится все сложнее и сложнее. После того как майя доходили до 19 – трех черт, над которыми было четыре точки, – они начинали новую колонку, подсчитывавшую количество двадцаток. Следующая колонка должна была бы учитывать количество групп по 400 (20 × 20), но в причудливой системе майя она учитывала количество групп по 360 (20 × 18). Этот странный выбор связан с циклами в календаре майя. Один цикл состоит из 18 месяцев, в каждом из которых по 20 дней. (Таким образом, получается 360 дней. Чтобы получить 365 дней в году, они добавляли дополнительный месяц, в котором было 5 «плохих дней», считавшихся крайне несчастливыми.)

Интересно, что, как и у вавилонян, у майя был специальный символ для обозначения отсутствия определенных степеней 20. Каждый разряд в их числовой системе был связан с тем или иным богом, и оттого считалось непочтительным, что богу ничего не дано. Поэтому «ничто» обозначалось изображением ракушки. Создание этого символа было в равной мере обусловлено математическими и религиозными соображениями. Но, как и вавилоняне, майя не считали ноль самостоятельным числом.

Майя была нужна числовая система, способная считать очень большие числа, потому что их астрономические вычисления охватывали огромные временные циклы. Один цикл времени, измеряемый так называемым «длинным счетом», начался 11 августа 3114 г. до н. э., в нем пять разрядов, и он длится 20 × 20 × 20 × 18 × 20 дней. Это составляет 7890 лет. Значимой датой в календаре майя будет считаться 21 декабря 2012 г., которое соответствует 13.0.0.0.0. Подобно тому как дети на задних сиденьях машины ждут, когда одометр совершит полный круг, жители Гватемалы полны предвкушения наступающего события. Однако некоторые пророки конца света утверждают, что он придется на этот день.

Рис. 1.14

Хотя это скорее буквы, чем числа, именно так записывается число 13 на иврите. В еврейской традиции гематрии буквам алфавита даны числовые значения. Так, гимел – третья буква алфавита, а йод – десятая. Поэтому эта комбинация букв представляет число 13. В таблице 1.01 приведены числовые значения всех букв.

Люди, сведущие в каббале, любят игры с числовыми значениями различных слов и их интерпретациями. Например, числовое значение моего имени

такое же, как и у «славного человека», либо, альтернативно, у «ослов». Одно из объяснений того, что 666 считается числом зверя, состоит в том, что таково числовое значение имени Нерон, который был одним из самых жестоких римских императоров.

Таблица 1.01

Хотя простым числам не придавалось особого значения в еврейской культуре, таким значением обладали родственные им числа. Возьмите какое-либо число и найдите все числа (за исключением самого числа), на которые оно делится без остатка. В случае, когда сумма всех найденных делителей равна самому числу, оно называется совершенным. Первое совершенное число – это 6. Помимо самого числа 6 его делителями являются 1, 2 и 3. Сложите их вместе, и вы снова получите 6. Следующее совершенное число – это 28. Сумма его делителей 1, 2, 4, 7 и 14 опять-таки равна 28. Согласно иудаизму, мир был создан за 6 дней, а в лунном месяце еврейского календаря было 28 дней. Это привело к сложившемуся в еврейской культуре убеждению, что у совершенных чисел должно быть особое значение.

Вы можете найти число, отвечающее вашему имени, сложив значения, приведенные в таблице 1.01. Чтобы найти другие слова, отвечающие тому же числовому значению, что и ваше имя, посетите http://bit.ly/Heidrick .

Математические и религиозные свойства совершенных чисел также отмечались христианскими комментаторами. Святой Августин (354–430) написал в своем знаменитом труде «О граде Божьем»: «Шесть – совершенное число само по себе, а не потому, что Бог сотворил все сущее за шесть дней; скорее наоборот. Бог сотворил все сущее за шесть дней, потому что это число совершенно».

Весьма интригует то, что за совершенными числами скрываются простые. Каждое совершенное число соответствует простому числу специального вида, так называемому числу Мерсенна (подробнее о них далее в этой главе). К настоящему времени нам известны лишь 47 совершенных чисел. В самом большом из них 25 956 377 цифр. Четные совершенные числа всегда имеют вид 2N  – 1 (2N  – 1). Всякий раз, когда 2N  – 1 (2N  – 1) совершенно, 2N  – 1 является простым числом и наоборот. Мы до сих пор не знаем, существуют ли нечетные совершенные числа.

Какое это простое число?

Рис. 1.15

Вы могли бы подумать, что это 5, ведь рисунок определенно походит на 2 + 3. Тем не менее это вовсе не знак плюс, а китайский символ 10. Рисунок соответствует записи двух десятков и трех единиц, то есть 23.

В традиционном китайском письме не использовалась позиционная система, а был свой иероглиф для различных степеней 10. Но имелась и альтернативная система со счетными палочками. Эта система эволюционировала из счетной доски, в которой использовались бамбуковые палочки, и была позиционной. Каждый раз при достижении десяти начиналась новая колонка. Вот так записываются числа от 1 до 9 на счетных палочках:

Рис. 1.16

Во избежание путаницы через разряд (а именно для десятков, тысяч, сотен тысяч…) числа поворачивались, и палочки укладывались вертикально:

Рис. 1.17

В Древнем Китае даже было понятие отрицательного числа, оно представлялось счетными палочками другого цвета. Полагают, что использование черных и красных чернил в европейском бухгалтерском учете восходит к китайской практике использования черных и красных палочек. Любопытно, впрочем, что китайцы пользовались черными палочками для обозначения отрицательных чисел.

По-видимому, впервые простые числа получили свою важную роль именно в китайской культуре. В ней полагалось, что у каждого числа был свой род – у четных чисел женский, а у нечетных мужской. У некоторых нечетных чисел были замечены особенности. Например, если у вас 15 камней, то их можно выложить в аккуратный прямоугольник 3 на 5. Но 17 камней нельзя представить прямоугольником, а лишь выложить в прямую линию. Поэтому для китайцев простые числа были настоящими мачо. А у нечетных чисел, которые не были простыми, был ощутимый налет женственности.

Точка зрения древних китайцев была обусловлена тем важным свойством простых чисел, что кучку из простого числа камней нельзя разложить в аккуратный прямоугольник.

Ранее мы видели, что египтяне рисовали жаб для представления чисел, майя использовали точки и черточки, вавилоняне занимались клинописью, китайцы располагали палочки, а в еврейской культуре числа находились в соответствии с буквами алфавита. Хотя особую роль простых чисел поняли китайцы, первые шаги по раскрытию тайн этих загадочных чисел были сделаны в другой культуре – в древнегреческой.

 

Как древние греки использовали решето для приготовления простых чисел?

Древние греки открыли следующую систематическую процедуру, весьма эффективную для нахождения небольших простых чисел. Задача состоит в том, чтобы найти действенный метод по отбрасыванию всех чисел, не являющихся простыми. Запишем числа от 1 до 100. Начнем с вычеркивания числа 1. (Как я упоминал, хотя греки считали 1 простым числом, современная математика так не поступает.) Перейдем к следующему числу, к 2. Это первое простое число. Затем зачеркнем каждое второе число после 2. Это, по существу, устраняет все числа, кратные 2, то есть все четные числа за исключением 2. Математики любят шутить, что 2 – странное простое число, потому что лишь оно четное… Но, возможно, юмор – не самая сильная сторона математиков.

Рис. 1.18. Зачеркните каждое второе число после 2

Теперь перейдем к минимальному незачеркнутому числу, в нашем случае к 3, и систематически отбросим все остальные числа, кратные 3:

Рис. 1.19. Теперь зачеркните каждое третье число после 3

Поскольку 4 уже было отброшено, далее мы переходим к 5 и зачеркиваем каждое пятое число после 5. Мы повторяем далее эту процедуру и переходим к минимальному числу n, которое еще не было устранено, и вычеркиваем все числа, расположенные через n после него:

Рис. 1.20. Наконец у вас останутся все простые числа из интервала от 1 до 100

Эта процедура прекрасна тем, что она совершенно механическая и не требует размышлений. К примеру, простое ли число 91? Если вы используете данный метод, то не нужно думать. 91 будет зачеркнуто, когда вы отбрасываете числа, кратные 7, ведь 91 = 7 × 13. На числе 91 зачастую происходит ошибка, потому что мы не стремимся учить таблицу умножения 7 до 13.

Эта систематическая процедура служит хорошим примером алгоритма, метода решения задачи путем выполнения заданного набора инструкций – так, по существу, устроена компьютерная программа. Именно этот алгоритм был открыт две тысячи лет назад в одном из центров математической мысли своего времени – в Александрии, которая располагается на территории современного Египта. Тогда Александрия была форпостом великой Греческой империи и славилась одной из лучших библиотек мира. В III в. до н. э. библиотекарь Эратосфен и придумал эту раннюю компьютерную программу для нахождения простых чисел.

Она называется решетом Эратосфена, потому что всякий раз, когда вы просеиваете группу составных чисел, вы как бы используете решето, у которого расстояние между прутьями равно достигнутому вами простому числу. Сначала расстояние между прутьями равно 2, затем 3, потом 5 и т. д. Единственный недостаток этого метода: он быстро становится неэффективным, если вы ищете все бо́льшие и бо́льшие простые числа.

Эратосфен не только отсеивал простые числа и приглядывал за сотнями тысяч папирусных и пергаментных свитков в библиотеке, но и вычислил радиус Земли, а также расстояние от Земли до Солнца и Луны. По его расчету, Солнце находилось в 804 000 000 стадиев от Земли – хотя непонятно, каким именно стадием он пользовался, что делает трудной оценку точности его вычислений. Какой стадион подразумевали бы мы: «Уэмбли» или что-то поменьше, вроде «Лофтус Роуд»?

Кроме расчетов Солнечной системы, Эратосфен нанес Нил на карту и дал первое правильное объяснение его разливов: они были обусловлены сильными дождями в его удаленных верховьях в Эфиопии. Он даже создавал поэтические произведения. Но, несмотря на всю его активность, друзья дали ему прозвище Бета, потому что он ни в чем не преуспел по-настоящему. Говорили, что он уморил себя голодом после того, как ослеп в старческом возрасте.

Вы можете использовать какую-либо настольную игру с числовыми полями для приведения решета Эратосфена в действие. Возьмите спагетти и кладите их кусочки на исключаемые поля. Оставшиеся числа и будут простыми.

 

Много ли понадобится времени, чтобы написать список всех простых чисел?

Любому, кто захочет написать список всех простых чисел, придется писать его вечно, потому что их количество бесконечно. Почему же мы уверены, что никогда не дойдем до последнего простого числа, что за ним в списке будет следующее? Одно из величайших достижений человеческого разума состоит как раз в том, что с помощью небольшой последовательности логических шагов мы можем осознать бесконечность.

Первым, кто доказал нескончаемость простых чисел, был греческий математик Евклид, живший в Александрии. Он был учеником Платона, и время его деятельности также пришлось на III в. до н. э., хотя, по-видимому, он был на 50 лет старше библиотекаря Эратосфена.

Для того чтобы доказать бесконечность количества простых чисел, Евклид задался вопросом: может ли, напротив, множество простых чисел быть конечным? Конечный список простых чисел означал бы, что любое другое число может быть получено перемножением элементов этого конечного списка. Предположим, к примеру, что список простых чисел включает лишь три числа: 2, 3 и 5. Может ли любое число быть получено путем перемножения различных комбинаций 2, 3 и 5? Евклид придумал способ построения числа, которое не может быть получено таким путем. Он начал с перемножения списка простых чисел, что приводит к 30. Затем – и в этом была гениальная догадка – он добавил 1 к этому числу и получил 31. Ни одно из списка простых чисел, ни 2, ни 3, ни 5, не является его делителем. Всегда получается остаток 1.

Евклид знал, что все числа могут быть построены перемножением простых чисел – так что же можно сказать о 31? Так как оно не делится на 2, 3 или 5, должны быть другие простые числа, вне имеющегося списка, которые участвуют в построении 31. В действительности число 31 само является простым, так что Евклид создал «новое» простое число. Вы скажете, что в имеющийся список простых чисел нужно лишь добавить это «новое» число. Но, сколь бы ни был велик список, Евклид мог бы снова повторить свой прием – перемножить числа из списка и добавить 1. Каждый раз он получал бы число, которое при делении на любое число из списка давало бы остаток 1, значит, это новое число должно делиться на простые числа вне имеющегося списка. Таким образом Евклид доказал, что любой конечный список не может включать все простые числа. Следовательно, количество простых чисел должно быть бесконечным.

Хотя Евклид сумел показать, что простые числа никогда не заканчиваются, его доказательство не говорило, как найти простые числа. Можно было бы подумать, что, действуя в соответствии с указанной процедурой, мы будем генерировать новые простые числа. Ведь мы перемножили 2, 3 и 5, добавили 1 и получили новое простое число 31. Однако такая процедура срабатывает не всегда. Например, возьмите следующий список простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11 и 13. Перемножив их, мы получим 30 030, а добавив 1, придем к 30 031. Простые числа с 2 до 13 не являются делителями последнего числа, всякий раз при делении получается остаток 1. Тем не менее 30 031 не является простым числом, у него есть простые делители 59 и 509, которые не включены в наш список. В действительности математики до сих пор не знают, будет ли повторение процедуры перемножения конечного количества простых чисел и добавления 1 давать бесконечно много новых простых чисел.

Имеется видео, на котором моя футбольная команда в своей экипировке с простыми номерами объясняет, почему имеется бесконечно много простых чисел. Посетите http://bit.ly/Primenumbersfootball .

 

Почему вторые имена моих дочерей 41 и 43?

Если мы не можем занести простые числа в одну большую таблицу, то нельзя ли попытаться найти некую закономерность, которая помогла бы нам генерировать простые числа? Существует ли хитроумный способ, который позволит, глядя на имеющиеся простые числа, предсказать, где нужно искать следующее?

Вот те простые числа из интервала от 1 до 100, которые мы получили, используя решето Эратосфена:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Проблема простых чисел состоит в том, что бывает по-настоящему сложно понять, где окажется следующее из них; по-видимому, не существует каких-либо закономерностей в их последовательности, способных помочь нам в их поиске. На поверку они скорее напоминают набор номеров лотерейных билетов, а не строительные кирпичики математики. Это чем-то напоминает ожидание автобуса: крайне долго нет ни одного, но вдруг они идут один за другим с короткими интервалами. Такое поведение весьма характерно для случайных процессов, как мы увидим в главе 3.

За исключением 2 и 3, ближайшее расстояние между двумя простыми числами может быть равно 2, как между 17 и 19, либо 41 и 43, потому что число между каждой парой будет четным, следовательно, не простым. Такие пары крайне близких простых чисел называются простыми числами-близнецами. Из-за моей одержимости простыми числами мои дочери-двойняшки чуть не были названы 41 и 43. В конце концов, если Крис Мартин и Гвинет Пэлтроу назвали своего ребенка Яблоком, а Фрэнк Заппа своих дочерей – Лунный Модуль и Дива-кексик, то почему у меня не могут быть близняшки 41 и 43? Но жена не разделяла мой энтузиазм, поэтому эти числа стали «тайными» вторыми именами наших дочерей.

Хотя простые числа встречаются все реже и реже, когда вы углубляетесь во вселенную чисел, удивительно, насколько часто попадаются простые числа-близнецы. Например, после простого числа 1129 на протяжении 21 последующего числа нет ни одного простого, а затем неожиданно появляется пара 1151 и 1153. Когда вы проходите 102 701, вам необходимо преодолеть 59 составных чисел, а затем внезапно возникают простые числа-близнецы 102 761 и 102 763. В наибольших простых числах-близнецах, известных к началу 2009 г., 58 711 цифр. Если учесть, что число атомов в наблюдаемой Вселенной имеет 80 цифр, такие числа оказываются до нелепости большими.

Однако будут ли и затем встречаться близнецы? Благодаря доказательству Евклида мы знаем, что и дальше найдем бесконечно много простых чисел, но как насчет их пар? Пока еще никто не смог придумать хитроумное доказательство, подобное Евклидову, что простых чисел-близнецов бесконечно много.

Одно время казалось, что близнецы могут сыграть ключевую роль в раскрытии тайны простых чисел. В книге «Человек, который принял жену за шляпу» Оливер Сакс описывает случай из реальной жизни, когда два аутистичных близнеца, обладавших феноменальными способностями, использовали простые числа как тайный язык. Обыкновенно братья сидели в клинике Сакса и обменивались между собой большими числами. Сначала Сакса озадачил их диалог, но как-то вечером он сумел понять его секрет. Выучив одно простое число, он решил проверить свою догадку. На следующий день он решил присоединиться к близнецам, которые обменивались шестизначными числами. Сакс, воспользовавшись паузой, произнес семизначное число, что застало близнецов врасплох. Некоторое время они сидели в раздумьях, так как число выходило за пределы их привычного диапазона, но потом одновременно улыбнулись, как будто узнали старого друга.

За время, проведенное у Сакса, близнецы сумели достичь девятизначных простых чисел. Конечно, никто не нашел бы удивительным, обменивайся они нечетными числами или даже квадратами чисел. Поразительно было, что они использовали простые числа, которые настолько случайно распределены. Объяснение тому, что это у них получалось, возможно, крылось в другой способности братьев. Они часто появлялись на телевидении и впечатляли аудиторию своим умением определить, что, скажем, 23 октября 1901 г. было средой. Решение задачи о том, каким был день недели с названной датой, осуществляется с помощью модульной (модулярной) арифметики. Наверное, близнецы поняли, что модульная арифметика также играет ключевую роль в определении того, является ли число простым.

Возьмите какое-либо число, скажем, 17 и вычислите 217. Если остаток от деления полученного числа на 17 равен 2, то у вас будет хорошее свидетельство в пользу того, что число 17 является простым. Этот тест на простоту числа зачастую неверно приписывают китайцам. На самом деле французский математик XVII в. Пьер де Ферма доказал, что если остаток не равен 2, то число 17 наверняка не является простым. В более общем случае если вы хотите проверить, что число p не является простым, то вычислите 2p и разделите результат на p. Если остаток не равен 2, то число p не может быть простым. Некоторые люди допускали, что близнецы, обладая способностью определять дни недели, опирающейся на схожую технику нахождения остатков при делении на 7, вполне могли прибегать к данному тесту при нахождении простых чисел.

Сначала математики думали, что если у 2p остаток от деления на p равен 2, то число p должно быть простым. Но, как оказалось, этот тест не гарантирует простоты. Так, 341 = 34 × 11 не является простым, но тем не менее остаток 2341 от деления на 341 равен 2. Данный пример был открыт лишь в 1819 г., и, возможно, братья-близнецы знали, что требуется более изощренный тест, который исключил бы 341. Ферма выяснил, что в тесте можно не ограничиваться степенями 2. Он доказал, что если число p – простое, то для любого числа n, меньшего p, остаток от деления np на p равен n. Значит, если вы найдете какое-либо число n, для которого тест проваливается, то необходимо отбросить p как самозванца, не являющегося простым.

Например, остаток от деления 3341 на 341 равен не 3, а 168. Конечно, близнецы никак не могли прогонять тест, используя все числа, меньшие их кандидата на роль простого, – потребовалось бы слишком много времени. Однако, как оценил великий венгерский кудесник простых чисел Пал Эрдёш (хотя он не мог доказать это строго), шанс того, что число, меньшее 10150, пройдет тест Ферма один раз и не окажется простым, настолько низок, как 1 из 1043. Вероятно, для близнецов один прогон теста был достаточен, чтобы заявить о нахождении простого числа.

 

Игра в классики с простыми числами

В этой игре для двух участников знание простых чисел-близнецов может дать вам преимущество.

Запишите числа от 1 до 100 либо загрузите поле для игры в классики с веб-сайта «Тайн 4исел». Первый игрок берет фишку и кладет ее на простое число, отстоящее от квадрата 1 не более чем на 5 шагов. Затем фишку берет второй игрок, он должен положить ее на большее простое число, отстоящее от предыдущего положения фишки не более чем на 5 шагов. Далее снова делает ход первый игрок, ему необходимо переместить фишку на еще большее простое число, которое удалено не более чем на 5 шагов. Проигравшим считается тот участник, который не может сделать ход по правилам. Правила таковы: 1) фишку нельзя передвигать более чем на 5 шагов; 2) ее нужно класть на простое число; 3) нельзя ходить назад либо оставаться на месте.

Рис. 1.21. Пример игры в классики с простыми числами с максимальным перемещением в 5 шагов

На рис. 1.21 показан типичный сценарий. Игрок 1 проиграл, потому что игрок 2 положил фишку на 23, а среди пяти следующих за 23 числами нет простых. Мог ли игрок 1 сделать более удачный начальный ход? Если вы приглядитесь внимательнее, то поймете, что после того, как пройдено 5, выбора уже не остается. Кто бы ни положил фишку на 5, должен в итоге оказаться победителем, так как впоследствии он сможет переместить фишку с 19 до 23, оставив оппонента без хода. Так что начальный ход имеет решающее значение.

Но что будет, если мы немного изменим правила игры? Скажем, фишку разрешается передвигать максимум на семь шагов вперед. Игроки теперь смогут пройти дальше. В частности, они смогут пройти дальше 23, потому что 29 находится в шести шагах, то есть в пределах досягаемости. Будет ли теперь иметь значение начальный ход? И когда игра остановится? Если вы сыграете в нее, то обнаружите, что у вас теперь появится больший выбор, в особенности когда на пути появляются простые числа-близнецы.

На первый взгляд при столь большом количестве вариантов ваш первый ход не имеет значения. Но снова присмотритесь получше. Вы проигрываете, когда фишка соперника оказывается на 89, потому что следующее за ним простое число 97 находится в восьми шагах. Если вы проследите путь назад, то поймете, что ключевым оказывается число 67. Ведь вслед за ним нужно положить фишку либо на 71, либо на 73. Один из этих двух ходов оказывается выигрышным, а другой проигрышным, после выбора ходы будут предопределены. Если заставить соперника положить фишку на 67, то игра может быть выиграна, число 89 не так важно. Но как добиться этого?

Если вы продолжите возвращение назад по ходу игры, то поймете, что ключевым является решение после простого числа 37. От него вы можете перейти на одно из двух простых чисел-близнецов моих дочерей, 41 и 43. Тот, кто сделает ход на 43, может гарантированно выиграть игру. Итак, теперь все сводится к тому, что в игре побеждает участник, который заставит оппонента положить фишку на 37. Продолжение движения назад по ходу игры позволяет понять, что действительно существует начальный ход, позволяющий добиться выигрыша. Положите фишку на 5, и если вы будете принимать правильные решения, то гарантированно сумеете победить. Вы завершите игру, положив фишку на 89, а соперник не сможет сделать ход.

А если мы будем увеличивать максимально допустимый прыжок все больше и больше, будет ли игра всегда завершаться? Что будет, например, если мы позволим каждому игроку перемещаться максимум на 99 шагов? Можем ли мы быть уверены, что игра не затянется навечно, потому что на расстоянии до 99 шагов от простого числа может найтись следующее простое число? В конце концов, как мы знаем, существует бесконечно много простых чисел, так что вдруг удастся перепрыгивать от одного простого числа к следующему.

Но в действительности можно доказать, что игра завершится всегда. Каким бы вы ни сделали максимальный прыжок, всегда существует больший по длине интервал чисел, внутри которого нет ни одного простого. Давайте посмотрим, как найти 99 последовательных чисел, ни одно из которых не является простым. Возьмите число 100 × 99 × 98 × 97 × … × 3 × 2 × 1. Такое число записывается как 100! и называется факториалом 100. Мы воспользуемся следующим важным фактом: любое число от 1 до 100 является делителем 100!.

Теперь рассмотрим последовательные числа:

100! + 2, 100! + 3, 100! + 4, …, 100! + 98, 100! + 99, 100! + 100.

100! + 2 – составное число, потому что делится на 2. Аналогично делителем 100! + 3 будет 3 (100! делится на 3, если мы добавим к этому число 3, то результат будет по-прежнему делиться на 3). Действительно, все числа этой последовательности составные. Возьмите, к примеру, 100! + 53. Оно не является простым, потому что 100! делится на 53, а если мы прибавим 53, то результат будет по-прежнему делиться на 53. Мы нашли 99 последовательных чисел, ни одно из которых не является простым. Причина, по которой мы начали со 100! + 2, а не со 100! + 1, состоит в том, что наш простой метод позволяет лишь заключить, что 100! + 1 делится на 1, что не позволяет сказать, простое ли это число (в действительности оно не является таковым).

Итак, мы установили, что если максимальный прыжок равен 99, то наша игра в классики должна когда-нибудь закончиться. Но число 100! до нелепости большое. На самом деле игра в классики закончится задолго до него. Первое простое число, за которым следует 99 составных подряд, это 396 733.

Данная игра несомненно помогает понять, насколько случайным образом рассеяны простые числа во вселенной всех чисел. Но, даже если мы не в состоянии найти хитроумный способ, позволяющий перейти от одного простого числа к следующему, может быть, мы сумеем написать разумные формулы, которые выдают простые числа?

На следующем веб-сайте содержится информация о том, как завершится игра в классики при все большем и большем допустимом прыжке: http://bit.ly/Primehopscotch .

 

Можно ли использовать подсолнухи и кроликов в поиске простых чисел?

Сосчитайте количество лепестков подсолнуха. Часто такой подсчет дает 89, простое число. Количество одиннадцати поколений пар кроликов также 89. Может быть, кролики и цветы нашли секретную формулу для нахождения простых чисел? Не совсем. Им нравится 89 не оттого, что оно простое, а потому, что оно принадлежит к другим любимым числам природы – числам Фибоначчи. Итальянский математик Леонардо Пизанский, известный под прозвищем Фибоначчи, открыл эту важную последовательность чисел в 1202 г., когда пытался понять, как размножаются кролики (скорее не в математическом, а в биологическом аспекте).

Фибоначчи начал с того, что представил пару новорожденных кроликов – самца и самку. Будем считать этот месяц первым. Ко второму месяцу эти кролики достигают зрелости, они спариваются и рождают в третьем месяце новую пару. (Ради простоты в этом мысленном эксперименте предполагается, что каждый помет состоит из самца и самки.) В четвертом месяце первая взрослая пара производит на свет еще одну пару новорожденных кроликов, их первые дети достигли зрелости, так что теперь есть две пары взрослых кроликов и одна пара новорожденных. В пятом месяце каждая из пар взрослых кроликов производит потомство, а новорожденные кролики из четвертого месяца достигают зрелости. Итак, в пятом месяце у нас три пары взрослых кроликов и две пары новорожденных, что дает в общей сложности пять пар кроликов. Количество пар кроликов по месяцам дается следующей последовательностью:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

Рис. 1.22. Числа Фибоначчи оказываются ключом к определению роста численности кроликов

Учет размножающихся кроликов был настоящей головной болью, пока Фибоначчи не обнаружил простой способ определять эти числа. Чтобы записать следующий член в этой последовательности, вам просто нужно сложить два предыдущих числа. Большее из этих двух чисел – количество пар кроликов в предшествующем месяце, все они доживают до следующего месяца. Меньшее из этих двух чисел – количество пар взрослых кроликов, каждая из которых дополнительно производит на свет пару новорожденных кроликов. Так что количество пар кроликов в следующем месяце равно сумме в два предыдущих.

Некоторым читателям данная последовательность может быть знакома по роману Дэна Брауна «Код да Винчи». На ее основе был построен первый код, который герою пришлось взломать на пути к Святому Граалю.

Эти числа нравятся не только кроликам и Дэну Брауну. Количество лепестков у цветка часто оказывается числом Фибоначчи. У триллиума их три, у анютиных глазок пять, у некоторых видов дельфиниума восемь, у бархатцев 13, у цикория 21, у пиретрума 34, а у подсолнуха часто бывает 55 или даже 89 лепестков. У цветков некоторых растений количество лепестков оказывается удвоенным числом Фибоначчи. Это те растения, например некоторые лилии, у которых цветок состоит из двух копий. И если количество лепестков вашего цветка не соответствует числу Фибоначчи, значит, какой-то лепесток опал… Так математика умеет обходить исключения. (Я не хочу, чтобы меня завалили письмами разгневанные садоводы, поэтому соглашусь, что есть некоторое количество исключений, которые нельзя назвать вянущими цветами. Например, у седмичника часто оказывается семь лепестков. Ботаника не столь совершенна, как математика.)

Как и в цветках, вы можете найти числа Фибоначчи в чешуйках сосновых шишек и плодов ананаса. Разрежьте банан поперек, и вы увидите три сектора. Сделайте то же посередине яблока, и вы обнаружите пятиконечную звезду. А поступив так с хурмой, вы увидите восьмиконечную звезду. Везде, где происходит рост, – в поколениях ли кроликов, в строении подсолнухов или фруктов – всюду возникают числа Фибоначчи.

То, как растут раковины, также тесно связано с этими числами. Малютка-улитка начинает с небольшого квадратного домика размером 1 на 1. По мере своего роста она добавляет одну комнату к домику и продолжает повторять этот процесс. Так как улитке особо не на что опираться, она просто добавляет комнату, размер которой определяется размерами двух предыдущих комнат. Подобным образом последующее число Фибоначчи определяется суммой двух предыдущих чисел. Результатом такого роста будет простая, но красивая спираль.

Рис. 1.23. Как построить раковину, используя числа Фибоначчи

Вообще-то эти числа не должны называться в честь Фибоначчи, потому что не он первый столкнулся с ними. Они были открыты вовсе не математиками, а поэтами и музыкантами в средневековой Индии. Индийские поэты и музыканты стремились к исследованию всевозможных ритмических структур, получаемых комбинацией длинных и коротких ритмических единиц. Если долгий звук в два раза длиннее короткого звука, сколько различных метрических структур получится, когда задано общее количество тактов? Например, восемь тактов вы можете получить с помощью четырех долгих звуков или восьми коротких. Но между этими двумя предельными случаями имеется множество других комбинаций.

В VIII в. индийский писатель Вираханка решил справиться с задачей по определению количества возможных ритмических последовательностей. Он обнаружил, что по мере того, как растет число тактов, количество последовательностей ведет себя как 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… Он понял, как и Фибоначчи после него, что следующее число в последовательности равно сумме двух предыдущих чисел. Так что, если хотите знать количество возможных ритмов при восьми тактах, найдите восьмой член этой последовательности, а значит, сложите 13 и 21, что приводит к 34.

Возможно, математику, скрывающуюся за ритмами, проще понять, чем увеличение численности кроликов Фибоначчи. Чтобы, к примеру, получить все возможные ритмы при 8 тактах, нужно взять шеститактные ритмы, дополненные долгим звуком, и добавить к ним семитактные ритмы, дополненные коротким звуком.

Имеется интригующая связь между последовательностью Фибоначчи и главными героями этой главы, простыми числами. Взгляните на первые числа Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144… Каждое число Фибоначчи с номером p, где p – простое, также является простым числом. Скажем, 11 – простое число, а одиннадцатое число Фибоначчи, 89, также простое. Если бы это срабатывало всегда, у нас было бы замечательное подспорье в генерации все больших и больших простых чисел. К сожалению, это не так. Девятнадцатое число Фибоначчи 4181, и, хотя 19 – простое, 4181 – составное, оно равно 37 × 113. Никто из математиков еще не сумел доказать, является ли бесконечно много чисел Фибоначчи простыми числами. Это – одна из многих неразгаданных математических тайн, связанных с простыми числами.

 

Как использовать рис и шахматную доску для поиска простых чисел?

По легенде, шахматы были придуманы индийским математиком. Раджа был настолько благодарен математику за увлекательную игру, что предложил ему самому назвать свое вознаграждение. Изобретатель подумал минутку, а потом попросил, чтобы на первую клетку шахматной доски положили одно зерно риса, на вторую клетку – две рисинки, на третью – четыре, на четвертую – восемь, и так далее, чтобы на каждой последующей клетке было в два раза больше зерен, чем на предыдущей.

Раджа мгновенно согласился, пораженный тем, что математик был готов довольствоваться столь малым, – однако его ждало потрясение. Когда на доску начали класть рис, то зернышки на первых клетках были едва видны. Но на 16-ю клетку потребовалось около килограмма риса. Для двадцатой клетки его слуга прикатил тачку риса. До 64-й клетки, последней на доске, так и не дошли. Для этого общее количество рисинок должно было дойти до ошеломительного числа

18 446 744 073 709 551 615.

Пожелай мы повторить этот подвиг в центре Лондона, гора риса достигла бы окружающей город автомагистрали М25 и была бы настолько высокой, что покрыла бы все здания. Фактически, в этой горе оказалось бы больше риса, чем было выращено на всем земном шаре в предшествующем тысячелетии.

Рис. 1.24. Продолжение удвоения приводит к быстрому росту чисел

Неудивительно, что индийский раджа не сумел отдать математику обещанное вознаграждение и был вынужден вместо этого расстаться с половиной своего состояния. Таков один из способов обогатиться с помощью математики.

Но какое отношение имеет весь этот рис к поиску больших простых чисел? С того времени, как греки доказали, что простые числа продолжаются бесконечно, математики находились в непрестанном поиске умных формул, генерирующих все бо́льшие и бо́льшие простые числа. Одна из лучших таких формул была открыта французским монахом по имени Марен Мерсенн. Мерсенн был близким другом Пьера де Ферма и Рене Декарта, он служил своего рода интернет-хабом XVII в. Мерсенн состоял в переписке с учеными по всей Европе и делился идеями с теми, кто, на его взгляд, мог бы способствовать их дальнейшему развитию.

Его общение с Ферма привело к открытию мощной формулы для нахождения простых чисел. Секрет этой формулы спрятан в притче о рисе и шахматной доске. Когда вы считаете рисинки начиная с первой клетки, то сумма часто оказывается простым числом. Например, после первых трех клеток результат равен 1 + 2 + 4 = 7 рисинок, что является простым числом. Общее количество на пяти клетках будет 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 рисинка.

Мерсенн задался вопросом, не будет ли завершение подсчета рисинок на клетке, номер которой простой, также приводить к простому числу. Окажись так, появился бы способ получения все больших и больших простых чисел. Найдите, например, с помощью подсчета рисинок простое число, а затем перейдите к шахматной клетке, номер которой равен ему, и вы найдете еще большее простое число.

К несчастью для Мерсенна и математики, эта идея оказалась не совсем верной. Так, когда вы выберете 11-ю клетку на шахматной доске (этот номер соответствует простому числу), то с первой по эту клетку включительно будет 2047 рисинок. К сожалению, 2047 – составное число, оно равно 23 × 89. Но, хотя идея Мерсенна срабатывает не всегда, она привела к нахождению некоторых из самых больших известных простых чисел.

 

Книга Гиннесса простых чисел

Во время правления королевы Елизаветы I самым большим известным простым числом было количество рисинок на шахматной доске до девятнадцатой клетки включительно: 524 287. К тому моменту, когда лорд Нельсон сражался в Трафальгарской битве, рекордное простое число дошло до 31-й клетки: 2 147 483 647. Швейцарский математик Леонард Эйлер доказал в 1772-м, что это десятизначное число – простое. Оно удерживало первенство до 1867 г.

4 сентября 2006 г. рекорд перешел к числу, которое соответствует 32 582 657-й клетке, будь у нас достаточно большая шахматная доска. В этом новом простом числе более 9,8 миллиона цифр. Чтобы прочитать его вслух, потребовалось бы полтора месяца. Оно было найдено не каким-то гигантским суперкомпьютером, а математиком-любителем, который использовал программу, загруженную из интернета.

Замысел этой программы состоит в том, чтобы использовать компьютер во время его бездействия для проведения вычислений. В ней используется умная стратегия, которая была разработана для проверки того, являются ли числа Мерсенна простыми. Все же настольному компьютеру понадобилось несколько месяцев для проверки числа с 9,8 миллиона цифр. Но это намного быстрее методов, которые используются для тестирования того, является ли случайное число такого же размера простым. К 2009 г. более 10 тысяч человек присоединились к проекту по поиску простых чисел Мерсенна GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search).

Однако будьте начеку, этот поиск небезопасен. Один доброволец GIMPS работал в американской телефонной компании. Он решил привлечь к своему поиску простых чисел Мерсенна 2585 компьютеров компании. Вскоре у руководства возникли подозрения: компьютерам требовалось 5 минут, а не 5 секунд, чтобы выдавать телефонные номера. Когда в конечном счете ФБР сумело найти причину замедления, служащий признался: «Вся эта вычислительная мощь была слишком большим искушением для меня». Но телефонная компания не прониклась симпатией к научному поиску и уволила служащего.

Если вы хотите, чтобы ваш компьютер присоединился к GIMPS, загрузите программное обеспечение на сайте www.mersenne.org .

После сентября 2006 г. математики ждали затаив дыхание, что рекорд преодолеет барьер в 10 000 000 цифр. У предвкушения были не только академические причины: премия в $ 100 000 ждала того, кто первым преодолеет этот барьер. Деньги были выделены расположенным в Калифорнии Фондом электронных рубежей EFF (Electronic Frontier Foundation). Эта организация способствует сотрудничеству в киберпространстве и его развитию.

Понадобилось еще два года, чтобы рекорд пал. По жестокой прихоти судьбы с промежутком в несколько дней были найдены два простых числа-рекордсмена. Немецкий энтузиаст Ганс-Михаэль Элвених, занимавшийся любительским поиском простых чисел, решил, что он сорвал джекпот, когда его компьютер объявил 6 сентября 2008 г., что найдено новое простое число Мерсенна с 11 185 272 цифрами. Элвених представил результат жюри, но возбуждение сменилось отчаянием – его опередили на 14 дней. 23 августа компьютер Эдсона Смита, работавшего на математическом факультете Калифорнийского университета в Лос-Анджелесe (UCLA), нашел большее простое число с 12 978 189 цифрами. Обновление рекорда простых чисел не было в новинку для Калифорнийского университета. Математик Рафаэль Робинсон, работавший в UCLA, открыл пять простых чисел Мерсенна в 1950-х гг., и еще два были найдены Алексом Гурвицем в начале 1960-х.

Разработчики программы, используемой GIMPS, решили, что призовые деньги не должны просто быть отправлены счастливчику, получившему для проверки число Мерсенна. $ 5000 получили разработчики программного обеспечения, $ 20 000 были поделены между теми, кто обновлял рекорды после 1999 г., $ 25 000 пошли на благотворительность, а оставшиеся деньги достались Эдсону Смиту из Калифорнии.

Если вы по-прежнему хотите выиграть деньги посредством поиска простых чисел, не берите в голову, что отметка в 10 000 000 цифр уже пройдена. За каждое новое число Мерсенна будет выдан приз в $ 3000. Но, если вам нужны большие деньги, знайте, что $ 150 000 предлагается превзошедшему отметку в 100 миллионов цифр, а $ 200 000 получит тот, кто пересечет рубеж в миллиард цифр. Благодаря древним грекам мы знаем, что такие рекордные простые числа дожидаются, пока кто-нибудь обнаружит их. Вопрос лишь в том, насколько инфляция уничтожит призовые деньги, когда очередной рекордсмен подаст заявку на их получение.

Как написать число с 12 978 189 цифрами

Простое число Эдсона Смита феноменально велико. Чтобы записать его цифры в этой книге, понадобилось бы 3000 страниц. К счастью, небольшое математическое упражнение приводит к формуле, которая представляет это число значительно более кратким образом.

Полное число рисинок с 1 по N -ю клетку доски включительно определяется выражением

R  = 1 + 2 + 4 + 8 +… + 2 N  – 2  + 2 N  – 1 .

Прием для нахождения формулы для этого числа состоит в следующем. Перепишем R  = 2 R  –  R , данное преобразование настолько очевидно, что на первый взгляд кажется бесполезным. Каким же образом столь очевидное выражение может помочь в вычислении R ? В математике часто оказывается полезным взглянуть на вещи с несколько иной перспективы, после чего они могут самым неожиданным образом поменять свой вид.

Давайте сначала вычислим 2 R . Это лишь означает удвоение всех слагаемых в большой сумме. Но смысл преобразования в том, что удвоение числа рисинок на одной из клеток приводит к числу рисинок на следующей клетке. Итак,

2 R  = 2 + 4 + 8 + 16 +… + 2 N  – 1  + 2 N .

Следующий шаг состоит в вычитании R . Это выбьет из 2 R все члены, кроме последнего:

R  = 2 R  –  R  = (2 + 4 + 8 + 16 +… + 2 N  – 1  + 2 N ) –

– (1 + 2 + 4 + 8 +… + 2 N  – 2  + 2 N  – 1 ) =

= (2 + 4 + 8 + 16 +… + 2 N  – 1 ) +

+ 2 N  – 1 – (2 + 4 + 8+… + 2 N  – 2  + 2 N  – 1 ) =

= 2 N – 1.

Итак, полное число рисинок с 1-й по N -ю клетки шахматной доски равно 2 N  – 1, эта формула и отвечает за бьющие рекорд простые числа сегодняшнего дня. Удваивайте достаточное количество раз, затем отнимите 1, и вы можете надеяться, что наткнетесь на простое число Мерсенна. Так называются простые числа, полученные с помощью данной формулы. В ней нужно положить N  = 43 112 609, и вы получите простое число Эдсона Смита с его 12 978 189 цифрами.

 

Как драконова лапша пересекает Вселенную

Рис – вовсе не единственная еда, которая связана с мощью удвоения для получения простых чисел. Драконова лапша, или лагман, традиционно приготавливается растягиванием теста руками с последующим складыванием, что приводит к удвоению длины. Каждый раз, когда тесто растягивается, лапша становится длиннее и тоньше, но необходимо работать стремительно, потому что тесто быстро высыхает и распадается в крошево.

Повара по всей Азии соревнуются в удвоении длины лапши максимальное количество раз. В 2001 г. тайваньский повар Чанг Хан Ю сумел удвоить длину своего теста 14 раз за 2 минуты. В конце у него получилась настолько тонкая лапша, что она могла бы пройти сквозь игольное ушко. Могущество удвоения таково, что полученная лапша могла бы протянуться из ресторана господина Чанга в центре Тайбэя до окраины города. Когда она была нарезана, то получилось 16 384 куска лапши.

Эта сила удвоения очень быстро приводит к крайне большим числам. Например, если бы Чанг Хан Ю мог продолжить и удвоить длину своей лапши 46 раз, толщина лапши была бы порядка размера атома. Она была бы достаточно длинной, чтобы протянуться из Тайбэя до внешних пределов Солнечной системы. Удвоившись по длине 90 раз, лапша могла бы протянуться от одного края наблюдаемой Вселенной до другого. Чтобы ощутить, насколько велик сегодняшний рекордсмен простых чисел, открытый в 2008 г., представьте, что лапшу удвоили 43 112 609 раз и затем отняли один кусок лапши.

 

Насколько велик шанс, что ваш телефонный номер – простое число?

Одна из причуд, свойственных математикам, состоит в проверке того, является ли телефонный номер простым числом. Я недавно переехал в другой дом, и мне требовалось поменять телефонный номер. Мой предыдущий телефонный номер не был простым числом, а номер дома, 53, был. Я надеялся, что по новому адресу (номер 1, бывшее простое число) мне повезет больше.

Первый номер, который мне предложила телефонная компания, выглядел обещающе, но, когда я проверил его на компьютере, оказалось, что он делится на 7. «Я не уверен, что сумею запомнить этот номер… нет ли возможности получить другой?» Но следующий также был составным – он делился на 3. (Легкий способ проверки того, делится ли ваш номер на 3, состоит в следующем: нужно сложить вместе его цифры, если сумма делится на 3, то тем же свойством обладает и номер.) После трех последующих попыток терпение служащего телефонной компании лопнуло: «Сэр, боюсь, что я попросту присвою вам первый появившийся номер». И, увы, теперь он у меня четный. Вот это номер!

Итак, каковы были мои шансы получить простой телефонный номер? В нем восемь цифр. У восьмизначного числа приблизительно один шанс из семнадцати оказаться простым. Но как меняется эта вероятность с увеличением количества цифр? Например, имеется 25 простых чисел, меньших 100, что означает, что у числа с 1 или 2 цифрами один шанс из четырех оказаться простым. В среднем при счете от 1 до 100 каждое четвертое число будет простым. Но чем дальше вы считаете, тем реже становятся простые числа.

В приведенной таблице показано изменение вероятности:

Таблица 1.02

Простые числа становятся все реже и реже, но их уменьшение происходит регулярным образом. Каждый раз, когда я добавляю разряд, число во втором столбце увеличивается на 2,3. Первым, кто заметил это, был пятнадцатилетний мальчик. Его звали Карл Фридрих Гаусс (1777–1855), впоследствии он стал одним из величайших математиков.

Гаусс сделал свое открытие после того, как ему подарили на день рождения книгу с математическими таблицами. В конце ее был список простых чисел. Гаусс стал настолько одержим ими, что всю последующую жизнь он в свободное время вписывал в эту книгу новые результаты. Гаусс был математиком-экспериментатором, любившим играть с данными, и он верил, что та регулярная закономерность разрежения простых чисел будет продолжаться и дальше, как бы далеко вы ни углублялись во вселенную чисел.

Но как можно быть уверенным в том, что вы неожиданно не столкнетесь с чем-то странным, когда дойдете до рубежа чисел из 100 цифр или 1 000 000 цифр? Будет ли вероятность по-прежнему сводиться к добавлению 2,3 при появлении нового разряда, либо вероятности неожиданно начнут вести себя совершенно иначе? Гаусс предполагал, что закономерность не подвергнется изменению, но лишь в 1896 г. его убеждение получило обоснование. Два математика, Жак Адамар и Шарль де ла Валле Пуссен, независимо доказали то, что теперь называется теоремой о распределении простых чисел. Она состоит в продолжении этого разрежения простых чисел.

Открытие Гаусса привело к созданию весьма действенной модели, которая позволяет предсказать многое о поведении простых чисел. Все выглядит, словно природа кидает игральные кости для определения того, будет ли число простым. Все грани этих костей пусты, за исключением одной, где написано слово «ПРОСТОЕ»:

Рис. 1.25. Игральные кости природы

Подбросьте игральную кость, чтобы решить, станет ли число простым. Если внизу окажется подписанная грань, то оно станет простым, если пустая грань, то нет. Конечно, это всего-навсего эвристическая модель – вы не можете лишить число 100 его делителей посредством удачного броска игральной кости. Но данная модель дает числа, распределение которых, как полагают, крайне напоминает распределение простых чисел. Теорема о распределении простых чисел Гаусса говорит нам, сколько должно быть граней у игральной кости. Так, для числа с тремя цифрами нужно использовать кость с шестью гранями, или кубик с одной подписанной гранью. Для чисел с четырьмя цифрами возьмите кость с восемью гранями, октаэдр. Если же в числе пять цифр, используйте кость с 10,4 грани… Конечно, такая игральная кость сугубо теоретическая, ведь не может быть многогранника, у которого число граней 10,4.

 

В чем состоит задача на миллион долларов?

Вопрос на миллион долларов касается природы этих игральных костей: честные они или шулерские? Будут ли они распределять простые числа во вселенной всех чисел справедливо или же будут области с предвзятыми результатами, где простых чисел слишком много либо слишком мало? Эта задача называется гипотезой Римана. Бернхард Риман был студентом Гаусса в немецком городе Гёттингене. Он разработал крайне изощренный математический аппарат, позволяющий понять, каким образом эти кости распределяют простые числа. Используя специальную функцию, называемую дзета-функцией, особые числа, называемые компле́ксными, и проведя анализ, ошеломляющий по своему объему, Риман разработал математику, контролирующую падение этих игральных костей. Он полагал, основываясь на своем анализе, что игральные кости должны быть «честными», но не мог доказать этого. Доказать гипотезу Римана – ваша задача.

Другая интерпретация гипотезы Римана состоит в уподоблении простых чисел молекулам газа в комнате. Вы не можете знать в произвольном случае, где находится каждая из молекул, но физика утверждает, что молекулы будут довольно равномерно распределены по комнате. Невозможно такое, что в одном углу будет повышенная концентрация молекул, а в другом – полный вакуум. У гипотезы Римана схожие следствия применительно к простым числам. Она не может подсказать нам, где находится каждое из простых чисел, но гарантирует, что во вселенной чисел они распределены справедливым, пусть и случайным образом. Для математиков часто хватает такого вида гарантии, чтобы пуститься в навигацию по вселенной чисел с достаточной степенью уверенности. Тем не менее, пока не получен приз в миллион долларов, мы не вполне можем осознавать, как ведут себя простые числа, по мере того как наш счет уводит все глубже и глубже в нескончаемые просторы математического космоса.

 

Великий ученый XVII в. Галилео Галилей однажды написал:

Вселенная не может быть прочитана, пока мы не выучили язык и не ознакомились с буквами, из которых он состоит. Она написана на математическом языке, а буквами являются треугольники, круги и другие геометрические фигуры, без посредства которых понять одно-единственное слово не в человеческих силах. Несведущий в них блуждает в темном лабиринте [2] .

В этой главе представлен алфавит причудливых и замечательных форм природы: oт шестиконечной снежинки до спирали ДНК, от поворотной симметрии алмаза до сложной формы листка. Отчего пузыри безупречно сферичны? Как в живом теле появляются чрезвычайно сложные формы вроде человеческого легкого? Какая форма у нашей Вселенной? Математика лежит в основе понимания того, как и почему природа порождает подобное разнообразие форм. Она также наделяет нас возможностью создавать новые формы и способностью рассудить, в каком случае новые формы невозможны.

Не только математики интересуются формами: архитекторы, инженеры, ученые и художники – все хотят понять, как действуют формы природы. При этом они опираются на математику геометрии. Древнегреческий философ Платон поместил над входом в свою школу надпись: «Не знающий геометрии да не войдет сюда». В этой главе я постараюсь выдать вам пропуск к Платону, в мир математических форм. А в конце открою вам головоломку, решение которой оценивается в другой миллион долларов.

 

Почему пузыри сферичны?

Возьмите кусок проволоки и согните его в квадрат. Погрузите его в мыльный раствор, выньте и подуйте. Почему у пузыря, который выходит с другой стороны, не будет формы куба? А если проволока согнута в виде треугольника, почему не получается выдуть пирамидальный пузырь? Отчего, какой бы ни была форма рамки, пузырь получается безупречно сферичным? Ответ состоит в том, что природа ленива, а сфера для природы – самая легкая форма. Пузырь стремится приобрести такую форму, которая использует наименьшую энергию, а последняя пропорциональна площади поверхности. В пузыре содержится заданный объем воздуха, который не меняется при преобразованиях формы. А у сферы, содержащей заданное количество воздуха, – наименьшая площадь поверхности. Это делает ее энергетически выгодной, она использует меньше всего энергии.

Промышленники издавна стремились подражать способности природы делать совершенные сферы. Если вы изготавливаете шарикоподшипники или дробь для ружей, получение правильных сфер может быть вопросом жизни и смерти, поскольку небольшое отклонение от сферической формы может привести к поломке машины или разрыву ружья. 1783 год ознаменовался достижением водопроводчика Уильяма Уоттса из Бристоля, который понял, как воспользоваться предрасположенностью природы к сферам.

Когда жидкие капли расплавленного металла падают с верхушки высокой башни, то в своем падении они подобно пузырям приобретают сферическую форму поверхности. Уоттс заинтересовался тем, что будет, если внизу башни поставить чан с водой, – застынут ли капельки с сохранением идеальной формы при попадании в воду. Он решил проверить эту идею в собственном доме в Бристоле. Загвоздка была в том, что требовалась высота более трех этажей, чтобы дать каплям расплавленного свинца достаточное время для приобретения сферической формы.

Тогда Уоттс пристроил к своему дому еще три этажа и проделал в полах отверстия, чтобы свинец падал сквозь все здание. Соседи были слегка шокированы неожиданным появлением башни, хотя владелец и пытался придать ей готический флер, добавив сверху архитектурные украшения, как у замка. Эксперименты Уоттса оказались настолько успешны, что подобные башни стали появляться по всей Англии и Америке. Его башня по отливу дроби продолжала работать до 1968 г.

Рис. 2.01. Умное использование Уильямом Уоттсом свойств природы для производства дроби

Хотя природа и использует сферу столь часто, как мы можем быть уверены, что не существует какой-то более странной формы, которая окажется энергетически более эффективной, чем сфера? Великий греческий математик Архимед первым предположил, что у сферы на самом деле наименьшая площадь поверхности, когда содержащийся внутри объем фиксирован. Чтобы попытаться доказать это, Архимед начал с выведения формул для площади сферы и для объема, содержащегося в ней.

Вычисление объема, ограниченного изогнутой формой, представляло немалый вызов. Но Архимед применил хитрый прием: необходимо рассечь сферу параллельными разрезами на множество тонких слоев и затем приближенно заменить слои дисками. Он знал формулу для объема диска: нужно было умножить площадь круга на толщину диска. Сложив вместе объемы всех этих дисков разного размера, Архимед получил приближение для объема шара.

Рис. 2.02. Шар может быть приближен положенными друг на друга дисками разного размера

Затем последовала по-настоящему умная часть. Если он будет делать диски тоньше и тоньше, пока они не станут бесконечно тонкими, то их суммарный объем даст в точности объем шара. Это был один из первых случаев использования идеи бесконечности в математике. Подобная техника стала впоследствии основой математического анализа, развитого Исааком Ньютоном и Готфридом Лейбницем спустя почти две тысячи лет.

Архимед продолжал использовать этот метод для вычисления объемов, ограниченных различными формами. Особенно он был горд открытием того, что объем воздуха в цилиндре, высота которого равна диаметру вписанного в него шара, составляет половину объема шара. Он был так взволнован этим фактом, что завещал, чтобы на его надгробии были высечены цилиндр и шар.

Хотя Архимед нашел успешный метод для вычисления площади сферы и объема ограниченного ею шара, ему не хватило умения для доказательства предположения, что сфера – самая эффективная форма в природе. Поразительно, но лишь к 1884 г. математика была достаточно разработана для того, чтобы немец Герман Шварц сумел доказать, что не имеется таинственных форм, которые могут побить энергетическую эффективность сфер.

 

Как сделать самый круглый в мире футбольный мяч

Во многих видах спорта используются шары и сферические мячи: теннис, крикет, бильярд, футбол. Хотя природе с легкостью удаются сферы, людям изготавливать их особенно сложно. Это обусловлено тем, что в большинстве случаев мы вырезаем формы из плоских листов материала, которые впоследствии сшиваются либо подвергаются термосклейке. В некоторых состязаниях упор делается на трудности изготовления сфер. Крикетный мяч состоит из четырех кусков формованной кожи, которые сшиваются вместе, поэтому он не вполне сферический. Наличие шва может быть использовано боулерами, подающими мячи, чтобы мяч непредсказуемым образом отскакивал от поля.

В противоположность этому игрокам в настольный теннис необходимы идеально круглые мячи. Мячи изготавливаются склеиванием двух целлулоидных полусфер, но этот метод не слишком-то успешен: более 95 % изделий отбраковываются. Изготовители мячей для пинг-понга немало развлекаются, когда отсортировывают сферы от деформированных мячей. Специальное ружье запускает мячи в воздух, и неровные отклоняются влево либо вправо. Только идеальные сферы летят по прямой линии, и их собирают на другом конце стрельбища.

Рис. 2.03. Ранние дизайны футбольных мячей

Как же мы можем сделать совершенную сферу? При подготовке к чемпионату мира по футболу 2006 г. в Германии производители заявляли об изготовлении самого круглого футбольного мяча. Футбольные мячи часто получают путем сшивки нескольких кусков кожи. Многие из футбольных мячей, изготавливавшиеся на протяжении поколений, собираются из форм, которыми играли еще в древние времена. Чтобы узнать, как сделать самый симметричный футбольный мяч, исследуем сначала те «мячи», которые собираются из копий одного симметричного куска кожи. Эти копии расположены таким образом, чтобы у их объединения была симметричная форма, для чего в каждой вершине должно сходиться одинаковое количество граней. Данные формы были исследованы Платоном в диалоге «Тимей», написанном в 360 г. до н. э.

Каковы же различные возможности для Платоновых футбольных мячей? Меньше всего компонентов требуется для пирамиды с треугольным основанием, называемой тетраэдром. Он получается сшивкой четырех равносторонних треугольников, но результатом этого не будет хороший футбольный мяч, потому что у него слишком мало граней. Как мы увидим в главе 3, такая форма хотя и не подходила для футбольного поля, но была задействована в других играх Древнего мира.

Другой конфигурацией является куб, состоящий из шести квадратных граней. На первый взгляд эта форма кажется слишком стабильной для футбола, тем не менее эта структура послужила основой многим ранним футбольным мячам. Мяч для самого первого чемпионата мира 1930 г. состоял из 12 прямоугольных полосок кожи, сгруппированных в шесть пар и расположенных таким же образом, как при сборке куба. Один из таких мячей находится в экспозиции Национального музея футбола в Престоне, на севере Англии. Сейчас он ссохшийся и несимметричный. Другой весьма необычный футбольный мяч, также использовавшийся в 1930-х гг., опять-таки основывается на кубе и состоит из 6 хитро соединенных между собой кусков, каждый из которых имеет форму буквы Н.

Вы можете посетить веб-сайт «Тайн 4исел» и загрузить PDF-файлы с инструкциями по изготовлению пяти Платоновых футбольных мячей.

Но давайте вернемся к равносторонним треугольникам. Восемь из них могут быть расположены симметрично, составляя октаэдр. По существу, он представляет две соединенные между собой пирамиды с квадратными основаниями. После надлежащего объединения невозможно сказать, где был стык.

Чем больше граней, тем более круглыми становятся Платоновы футбольные мячи. Следующей после октаэдра формой является додекаэдр, состоящий из 12 пятиугольных граней. Это вызывает ассоциации с 12 месяцами года. Были найдены изготовленные в древности додекаэдры, на гранях которых вырезаны календари. Из всех Платоновых форм лучшим приближением к сферичному футбольному мячу служит икосаэдр, состоящий из 20 правильных треугольников.

Рис. 2.04. Платоновы тела ассоциировались со строительными кирпичиками природы

Платон полагал, что эти пять форм настолько фундаментальны, что связывал их с четырьмя стихиями, из которых строится весь мир: тетраэдр, обладающий самой заостренной формой, сопоставлялся с огнем, стабильный куб – с землей, октаэдр – с воздухом. Икосаэдр, имеющий самую округлую форму, олицетворял скользкую воду. Платон решил, что пятая форма, додекаэдр, представляла форму Вселенной.

Но как мы можем быть уверены, что Платон не упустил какую-то форму, шестой футбольный мяч? Другой греческий математик, Евклид, в кульминационной части одной из величайших когда-либо написанных математических книг доказал, что невозможно сшить вместе какую-то другую комбинацию, основанную на одной симметричной форме, чтобы получить шестой футбольный мяч и расширить список Платона.

Книга Евклида называется просто – «Начала»; возможно, она несет ответственность за становление аналитического искусства логического доказательства в математике. Сила математики в том, что она может гарантировать стопроцентную уверенность в свойствах мира. Доказательство Евклида говорит нам, что в отношении этих форм мы рассмотрели все возможности и что действительно исключены сюрпризы, которые мы могли упустить.

 

Как Архимед улучшил Платоновы футбольные мячи

А что будет, если попытаться сгладить некоторые углы у пяти Платоновых футбольных мячей? Если вы возьмете икосаэдр с 20 гранями и отсечете все углы, то есть надежда получить мяч, чья форма будет более близка к круглой. В каждой вершине икосаэдра сходятся пять треугольников, так что если вы срежете угол, то получите пятиугольник вместо вершины. А треугольник с тремя отсеченными углами превращается в шестиугольник. Получившийся многогранник называется усеченным икосаэдром. Именно эта форма используется для футбольных мячей с того времени, как она была представлена на чемпионате мира по футболу 1970 г. в Мексике. Но есть ли возможность сделать из набора симметричных кусков другие формы, которые еще лучше подойдут для футбольного мяча на следующем чемпионате мира?

В III в. до н. э. греческий математик Архимед вознамерился улучшить Платоновы тела. Он начал с изучения того, что произойдет, если вы используете два или более строительных кирпичика в качестве граней вашей формы. Составные части должны хорошо состыковываться, поэтому у их краев должны быть одинаковые длины. Таким образом вы добьетесь точного совпадения на границе. Архимед также хотел как можно большей симметричности, поэтому все вершины – углы, где сходятся грани, – должны выглядеть одинаково. Если в одной вершине сходятся два треугольника и два квадрата, то такая структура должна повторяться.

Мир геометрии всецело овладел сознанием Архимеда. Даже когда слуги отрывали упирающегося Архимеда от занятий математикой и уводили к ванне для омовения, он проводил время, рисуя геометрические формы на золе, либо наносил их маслом на свое обнаженное тело. Плутарх описывает, как «наслаждение от занятий геометрией уносило его так далеко, что он оказывался в состоянии исступленного восторга».

Во время этих геометрических трансов Архимеда и возникла полная классификация лучших форм для футбольных мячей: он придумал 13 других способов создания многогранников. Рукопись, в которой Архимед написал о своих формах, не дошла до нас. Лишь в трудах Паппа Александрийского, который жил пятью веками позже Архимеда, встречается письменное свидетельство об открытии этих 13 форм. Тем не менее они называются Архимедовыми телами.

Некоторые из них он создал, отрезая кусочки от Платоновых тел, словно сглаживая футбольный мяч. Например, отсеките четыре угла у тетраэдра. Тогда треугольные грани превращаются в шестиугольники, а на месте разрезов появляются четыре новых треугольника. Итак, четыре шестиугольника и четыре треугольника можно объединить и сделать то, что называется усеченным тетраэдром (рис. 2.05).

Рис. 2.05

Рис. 2.06

Действительно, семь из 13 Архимедовых тел могут быть получены отрезанием кусочков от Платоновых тел – среди этих многогранников и классический футбольный мяч из пятиугольников и шестиугольников. Но более примечательным было открытие некоторых других форм. Оказывается, возможно объединение 30 квадратов, 20 правильных шестиугольников и 12 правильных десятиугольников в симметричную форму, которая называется ромбоусеченный икосододекаэдр (рис. 2.06).

Именно одно из 13 Архимедовых тел послужило основой новому футбольному мячу Teamgeist, представленному на чемпионате мира 2006 г. в Германии. Этот мяч, слывущий самым круглым, состоит из 14 фигурных кусков, но структурно он соответствует усеченному октаэдру. Возьмите октаэдр, состоящий из восьми равносторонних треугольников, и обрежьте шесть его вершин. Восемь треугольников становятся шестиугольниками, а на месте шести вершин появляются квадраты (рис. 2.07).

Рис. 2.07

Вы можете посмотреть изображения всех 13 Архимедовых тел, если зайдете на http://bit.ly/Archimedean .

Возможно, будущие чемпионаты мира отличатся более экзотическими Архимедовыми футбольными мячами. Мои предпочтения связаны с плосконосым додекаэдром, состоящим из 92 симметричных компонентов: 12 правильных пятиугольников и 80 равносторонних треугольников (рис. 2.08).

Рис. 2.08

До самого последнего мгновения ум Архимеда был сосредоточен на математике. В 212 г. до н. э. римляне вторглись в его родной город Сиракузы. Но Архимед с головой углубился в рисование чертежей, которые помогли бы ему решить математическую головоломку, и совершенно не осознавал, что город пал. Когда к нему подбежал римский солдат с обнаженным мечом, Архимед умолял, чтобы тот позволил ему закончить вычисления. «Как я могу оставить свою работу в таком незавершенном состоянии?!» – вскричал он. Но солдат не был готов ожидать QED и зарубил Архимеда посередине доказательства теоремы.

 

Какую форму вы предпочитаете для чая?

Формы стали горячей темой не только у производителей футбольных мячей, но и у английских любителей чая. На протяжении поколений мы довольствовались простыми квадратиками, но теперь нация поголовно стремится заварить совершенную чашку чая, для чего окунает в нее круги, сферы и даже чайные пакетики в форме пирамидок.

Чайный пакетик был изобретен по ошибке нью-йоркским чаеторговцем Томасом Салливаном в начале XX в. Он разослал своим клиентам образцы чая в маленьких шелковых мешочках, но получатели, вместо того чтобы высыпать чай из мешочков, погружали их в воду целиком. Британцы убедились в необходимости радикального изменения своих привычек чаепития лишь в 1950-х гг. По оценкам нашего времени, около 100 миллионов пакетиков чая ежедневно погружаются в чашки с горячей водой в Великобритании.

Многие годы надежный квадратик позволял любителям чая приготовить свой напиток без хлопот, связанных с очищением и мытьем заварочных чайников. Квадрат – очень эффективная форма, такие пакетики легко делать, кроме того, нет излишних расходов упаковочного материала. PG Tips, ведущий производитель пакетированного чая, ежегодно на протяжении 50 лет штамповал миллиарды пакетиков на своих фабриках по всей стране.

Но в 1989 г. компания Tetley, его главный конкурент, сделала смелый шаг для передела рынка и представила круглые пакетики. Хотя такое изменение мало отличалось от эстетического ухищрения, оно сработало. Продажи новой формы взмыли вверх. В PG Tips понимали, что необходимо превзойти конкурента, для того чтобы удержать покупателей. Хотя круг и понравился клиентам, он по-прежнему оставался плоской, двумерной фигурой. Тогда команда PG Tips решила совершить скачок в третье измерение.

Разработчики PG Tips знали, что нам не хватает терпения, когда дело доходит до чая. В среднем пакетик находится в чашке лишь 20 секунд, а потом его вытаскивают. Если вы разрежете обычный двумерный пакет, который окунали на 20 секунд, то обнаружите, что чай посередине остался сухим: у него было недостаточно времени для контакта с водой. Команда PG Tips полагала, что трехмерный пакетик будет своего рода заварочным чайником в миниатюре, который даст возможность всем чайным листьям провзаимодействовать с водой. Был даже привлечен эксперт по теплотехнике из Имперского колледжа Лондона: он занимался расчетом компьютерных моделей, чтобы подтвердить уверенность в том, что третье измерение способно улучшить аромат чая.

Но затем в разработке пришла очередь следующего шага: а какая же форма? Были подготовлены различные трехмерные формы для тестирования потребителями. Эксперименты шли с цилиндрами и чайными пакетиками, напоминавшими китайские фонарики. Также испытывались правильные сферы. Сфера выглядит довольно привлекательно, ведь, как и в случае пузыря, это такая форма, которая при заданном объеме требует минимума материала для изготовления пакетика. Но сфера крайне неудобна для производства, особенно если вы стартуете с плоского листа муслина – всякий, кто пытался завернуть футбольный мяч на Рождество, может засвидетельствовать это.

Если дан плоский лист бумаги, то естественно рассмотреть трехмерные формы с плоскими гранями. В PG Tips начали с исследования тех форм, которые описали Платон и Архимед более двух тысяч лет назад. В отличие от производителей спортивного снаряжения, понявших, что футбольный мяч, сделанный из пятиугольников и шестиугольников, хорошо приближает сферу, изготовители чая заинтересовались формой на другом конце спектра. Хотя тетраэдр с четырьмя гранями (пирамида с треугольным основанием) охватывает наименьший объем при заданной площади поверхности, для его изготовления требуется минимальное количество граней. Невозможно объединить три плоские грани, чтобы создать трехмерную замкнутую форму.

В компании PG Tips, очевидно, были заинтересованы и в том, чтобы как можно меньше упаковочного материала шло в отход. Форма должна быть не только визуально привлекательна, но и эффективна. Сверх того, поскольку требовалось наладить снабжение нации, которая выпивает более 100 миллионов чашек в день, обязательным условием было, чтобы производство шло с большой скоростью. Недопустимо было заполнять чайные фабрики рабочими, сшивающими вместе четыре маленьких треугольничка, чтобы получилась пирамидка. Прорыв произошел, когда кто-то предложил замечательно красивый и элегантный способ производства чайного пакетика в виде пирамидки.

Подумайте, как делается пакетик с чипсами. Цилиндрическая трубка запечатывается швом снизу, наполняется чипсами, а затем сверху делается шов в том же направлении. Но посмотрите, что будет, если шов наверху делать не в том же направлении, а сначала повернуть пакетик на 90° и лишь потом запечатывать его. Неожиданно у вас в руках оказывается упаковка в виде тетраэдра. У тетраэдра шесть ребер: два из них совпадают со швами и четыре соединяют два шва, от конца каждого шва идут по два ребра к каждому из концов противоположного шва. Это замечательно эффективный способ изготовления пирамидок. Замените чипсы чаем, запечатывайте упаковку с поворотом, и у вас получатся пирамидальные чайные пакетики. Не будет лишнего расходования материала, а машина может запечатывать их со скоростью 2000 штук в минуту, достаточно быстро, чтобы удовлетворить спрос нации любителей чая. Эта машина была настолько инновационной, что попала в топ-лист 100 патентов, зарегистрированных в XX в.

После четырех лет разработки производство пирамидальных чайных пакетиков было запущено в 1996 г. Оно оказалось эффективным, а потребители сочли новую форму современной и стильной. Новая рекламная кампания оказалась долгожданной заменой труппы одетых обезьян, на которых PG Tips полагалась на протяжении ряда лет для поддержки своей продукции. Компания возвратила себе первое место по продажам чая в пакетиках.

Но в то время как тетраэдры позволили подчеркнуть вкус чая, за обликом другого Платонова тела скрывается нечто зловещее.

 

Почему вы можете умереть, если подхватите икосаэдр

В 1918 г. пандемия «испанского гриппа» погубила не менее 50 миллионов человек, что значительно превосходило число жертв Первой мировой войны. Из-за смертельных последствий многие ученые поставили перед собой задачу определить механизм данного опасного заболевания. Вскоре они поняли, что причиной были не бактерии, а нечто меньшее, недоступное для наблюдения в микроскопы того времени. Они назвали новых переносчиков «вирусами» – от латинского слова virus, обозначающего яд.

Раскрытие истинной природы вирусов стало возможно позднее, когда была разработана новая методика исследований, называемая рентгеновской дифрактометрией. Она позволила ученым разглядеть молекулярную структуру, лежащую в основе этих организмов, которые нанесли такой урон. Молекулу можно представить как набор шариков для пинг-понга, соединенных между собой палочками. Хотя это и является чрезмерным упрощением настоящей науки, в каждой химической лаборатории имеются коллекции шариков и палочек, чтобы помочь студентам и научным сотрудникам исследовать структуру молекулярного мира. Когда пучок рентгеновских лучей проходит через исследуемое вещество, то часть лучей рассеивается встреченными молекулами на различные углы. Это явление называется дифракцией рентгеновских лучей. Получающиеся изображения в чем-то схожи с тенями, которые образуются, если осветить упомянутые структуры из шариков и палочек.

Математика стала могучим союзником в сражении за расшифровку информации, содержащейся в этих тенях. Цель состоит в том, чтобы определить, какие трехмерные формы могли дать двумерные тени, полученные при рентгеновской дифракции. Довольно часто успех связан с нахождением оптимального угла, под которым нужно направить свет, чтобы раскрыть истинное молекулярное строение. Силуэт головы, получающийся, если кому-то направить свет прямо в лицо, содержит мало информации, разве что покажет, насколько торчат уши. Но профиль позволит сказать значительно больше. То же самое касается и молекул.

После того как Фрэнсис Крик и Джеймс Уотсон открыли структуру ДНК, они совместно с Дональдом Каспаром и Аароном Клугом обратили внимание на двумерные картинки, получающиеся при дифракции рентгеновских лучей на вирусах. К своему удивлению, они увидели изображения, полные симметрии. На первых картинках были видны точки, упорядоченные в треугольники. Это подразумевало, что у вирусов была трехмерная форма, которая переходит в себя при повороте на треть полного оборота: значит, имелась симметрия. Когда биологи заглянули в математический кабинет теней, они решили, что Платоновы тела были наилучшими кандидатами на форму вирусов.

Воображая формы

Представьте, что на рождественской елке висит украшение в форме кубика, причем веревочка прикреплена к одному из его углов. Если вы разрежете куб горизонтально между верхней и нижними точками, то получите два тела, у каждого из которых будет новая грань. Какова форма новой грани? Ответ приведен в конце главы.

Но проблема была в том, что у всех пяти Платоновых тел имеется ось симметрии третьего порядка, при повороте на треть полного оборота вокруг которой тело переходит в себя. Лишь когда биологи получили другие дифракционные изображения, возникла возможность более точно определить структуру вирусов. Неожиданно появились точки, сгруппированные в пятиугольники. Это позволило сфокусировать внимание на одном из более интересных Платоновых тел – на икосаэдре, у которого 20 треугольных граней, причем в каждой вершине сходятся пять граней.

Вирусы любят симметричные формы, потому что симметрия позволяет им лучше размножаться, что и делает вирусные заболевания настолько заразными. Именно это значит слово «вирулентный». Обычно люди считают симметрию эстетически привлекательной, идет ли речь о бриллианте, цветке или лице супермодели. Но симметрия не всегда так желанна. Некоторые из самых смертоносных вирусов по медицинской статистике, от гриппа до герпеса, от полиомиелита до вируса иммунодефицита человека, в своем строении используют форму икосаэдра.

 

Стабилен ли пекинский олимпийский плавательный комплекс?

Плавательный комплекс, построенный к пекинской Олимпиаде, – необычайно красивое сооружение, в особенности когда включается ночная подсветка и он кажется прозрачной коробкой, наполненной пузырями. Проектировавшая его компания Arup стремилась к тому, чтобы совместить дух водных состязаний, проводимых внутри, с естественным и органичным внешним видом комплекса.

В компании начали с того, что принялись изучать формы, которыми можно замостить плоскость, наподобие квадратов, равносторонних треугольников и правильных шестиугольников. Но разработчики решили, что они слишком регулярны и не позволяют создать желаемый органичный вид. Тогда проектировщики решили изучить другие возможности, которые использует природа для упаковки многих предметов, например кристаллы и клеточные структуры в тканях растений. Во всех этих структурах встречаются примеры тех форм, которые, согласно открытию Архимеда, позволяют сделать хорошие футбольные мячи. Но команду Arup в особенности привлекло то, как множество пузырей группируется вместе и создает пену.

Поскольку лишь в 1884 г. было доказано, что сфера – самая эффективная форма для единичного пузыря, становится неудивительно, что слипание множества пузырей для образования пены поставило перед математиками нелегкие вопросы, которые мучают их по сегодняшний день. Если у вас два пузыря, содержащие одинаковый объем воздуха, какую форму они примут при объединении? Неизменное правило состоит в том, что пузыри ленивы и предпочитают формы с наименьшей площадью поверхности мыльной пленки. Поскольку у объединившихся пузырей есть общая граница, они могут трансформироваться так, чтобы не просто касаться в точке, а сделать меньше площадь поверхности.

Если вы выдуваете пузыри и два пузыря одинакового объема слипаются, их комбинация выглядит так (рис. 2.09):

Рис. 2.09

Рис. 2.10

Две неполные сферы пересекаются под углом 120°, кроме того, их разделяет плоская мембрана. Разумеется, это состояние стабильно, в противном случае природа не позволила бы сохранять его. Но вопрос в том, возможна ли другая форма, у которой еще меньше площадь поверхности и, соответственно, энергия, что сделало бы ее более эффективной? Вероятно, потребуется потратить энергию, чтобы вывести пузыри из данного стабильного состояния, но энергия нового результирующего состояния двух пузырей может быть еще ниже. Например, вдруг более эффективна причудливая конфигурация двух слипшихся пузырей, когда один из них принимает форму бублика и обертывается вокруг другого, поджимая тот до формы арахиса (рис. 2.10)?

О первом доказательстве того, что невозможно улучшить обычную конфигурацию слипшихся пузырей, было объявлено в 1995 г. Хотя математики не особенно любят прибегать к помощи компьютера, поскольку это вступает в противоречие с их понятиями красоты и элегантности, авторам пришлось воспользоваться им, чтобы проверить свои длинные численные расчеты, вовлеченные в доказательство.

Пять лет спустя было заявлено о доказательстве предположения о двойном пузыре, которое использовало лишь ручку и бумагу. В действительности было доказано более общее предположение: если объем заключенного воздуха неодинаков, то есть один пузырь меньше другого, то они слипаются таким образом, что разделяющая их мембрана уже не плоская, а выгибается в сторону большего пузыря. Эта мембрана является частью третьей сферы, она пересекается с двумя сферическими пузырями таким образом, что получающиеся углы между тремя мыльными пленками равны 120° (рис. 2.11 и 2.12).

Рис. 2.11

Рис. 2.12

По сути, это свойство 120° оказывается общим правилом для слипания мыльных пузырей. Впервые оно было открыто бельгийским ученым Жозефом Плато, родившимся в 1801 г. Когда Плато желал изучить влияние света на сетчатку, он полминуты смотрел на полуденный солнечный диск, из-за чего временно ослеп. К 40 годам он окончательно потерял зрение. Затем, опираясь на помощь родственников и коллег, он переключился на исследование формы пузырей.

Плато начал с того, что погружал в мыльный раствор разнообразные проволочные каркасы и исследовал получающиеся формы. Например, если ваш каркас сделан в форме куба, результатом будет 13 мембран внутри его, причем в центре образуется квадрат (рис. 2.13).

Рис. 2.13

Правда, это не совсем квадрат, его стороны несколько выпирают наружу. По мере того как Плато исследовал множество пленок, получающихся в разных каркасах, он начал формулировать набор правил для объединения пузырей. Первое из них состояло в том, что пленки всегда пересекаются тройками, образуя между собой углы в 120°. Край, образующийся при пересечении этих трех пленок, называется в его честь границей Плато. Второе правило касается пересечения этих границ. Границы Плато пересекаются четверками, образуя между собой угол в 109,47° (если точнее, arccos(−⅓)). Если вы возьмете тетраэдр и проведете из его центра масс линии к четырем вершинам, то получите конфигурацию четверки границ Плато в пене (рис. 2.14). Итак, выпирающие наружу стороны квадрата, находящегося в центре кубического проволочного каркаса, в действительности пересекаются под углом 109,47°.

Рис. 2.14

Полагается, что если какой-либо пузырь не подчиняется правилам Плато, то он нестабилен, следовательно, должна произойти перестройка конфигурации в стабильную, подчиняющуюся этим правилам. Лишь в 1976 г. Джин Тейлор окончательно доказала, что форма пузырьков в пене должна подчиняться правилам, установленным Плато. Ее работа говорит нам о том, как пузыри объединяются, но какова же фактическая форма пузырей в пене? Поскольку пузыри ленивы, появляется возможность ответить на этот вопрос, если найти формы пузырей в пене, каждая из которых охватывает заданный объем воздуха и при этом минимизирует площадь мыльной пленки.

Медоносные пчелы уже решили эту задачу в двух измерениях. Причина, по которой они сооружают соты, используя шестиугольники, состоит в том, что при этом требуется наименьшее количество воска при фиксированном количестве меда в каждой ячейке. Но опять-таки лишь благодаря недавнему прорыву удалось доказать теорему о медовых сотах: никакая другая двумерная структура не превзойдет шестиугольные соты по эффективности.

Тем не менее, когда мы переходим к трехмерным структурам, положение вещей становится менее очевидным. В 1887 г. знаменитый британский физик лорд Кельвин предположил, что один из Архимедовых футбольных мячей играет ключевую роль в минимизации площади поверхности в пене. В то время как шестиугольник является строительным кирпичиком при сооружении эффективных пчелиных сот, усеченный октаэдр определяет построение пены. Усеченный октаэдр получается срезанием шести углов обычного октаэдра:

Рис. 2.15

Правила, которые установил Плато для пересечения пузырей, показывают, что грани и ребра должны быть не плоскими, а изогнутыми. Например, стороны квадрата образуют угол 90°, но по второму правилу Плато это недопустимо. Вместо этого края квадрата должны немного выгибаться наружу, как в случае кубического проволочного каркаса, тогда между ними образуется необходимый угол 109,47°.

Рис. 2.16. Пена из усеченных октаэдров

Многие считали, что структура Кельвина является ответом на вопрос, как получить пену с минимальной поверхностной энергией, но никто не мог доказать этого. Но в 1993 г. Денис Уэйр и Роберт Фелан из Дублинского университета обнаружили две формы, которые при совместной упаковке превосходят структуру Кельвина на 0,3 % (пусть это послужит предупреждением тем, кто полагает, что доказательство в математике – напрасная трата времени).

Использованные ими формы не были в списке Архимеда. Гранями первой из них являются неправильные пятиугольники, они объединены в искаженный додекаэдр (пентагондодекаэдр). Вторая форма называется тетракаидекаэдр, ее грани – два удлиненных шестиугольника и 12 неправильных пятиугольников двух видов. Уэйр и Фелан выяснили, что они могут упаковать эти формы вместе, так что получится более эффективная пена, чем предложенная Кельвином. Опять-таки, чтобы удовлетворить правилам Плато, нужно немного искривить ребра и грани. Оказывается, довольно трудно проникнуть внутрь настоящей пены, чтобы посмотреть, что происходит на самом деле. Двое ученых проводили численные эксперименты, использовали компьютеры для моделирования пены и обнаружили новую структуру.

Рис. 2.17. Формы, которые нашли Уэйр и Фелан

Это – лучшее, на что способны пузыри? Мы не знаем. Мы считаем, что данная структура наиболее эффективна. Но ведь и Кельвин полагал, что нашел ответ.

Дизайнеры Arup в своем поиске интересных природных форм, напоминающих о состязаниях, проходящих в олимпийском плавательном комплексе, изучали туман, айсберги и волны. Они случайно натолкнулись на пену Уэйра – Фелана и поняли, что у нее был потенциал к созданию совершенно новых архитектурных форм. Чтобы избежать чрезмерной регулярности, решили разрезать пену под углом. Внешние стены «Водяного куба», как неформально называется плавательный центр, представляют ту структуру пузырей, которую вы увидите, если вставите лист стекла в пену под углом.

Хотя структура, созданная Arup, кажется вполне случайной, она начинает повторяться на протяжении здания. Тем не менее она вызывает именно то органичное ощущение, к которому стремились дизайнеры. Однако если вы получше приглядитесь, то заметите пузырь, который противоречит правилам Плато, ведь в его очертаниях заметны прямые углы вместо предписанных Плато 120° и 109,47°. Так стабилен ли «Водяной куб»? Будь он сделан из пузырей, ответом было бы «нет». Данный прямоугольный пузырь изменил бы свою форму, чтобы прийти в соответствие тем математическим правилам, которым должны подчиняться все пузыри. И все-таки у китайских властей нет повода для беспокойства. Насколько можно ожидать, «Водяной куб» будет стоять благодаря математике, которая была задействована при создании этого прекрасного сооружения.

Рис. 2.18. На поверхности олимпийского плавательного центра в Пекине есть нестабильный пузырь

Но не только Arup и китайские власти интересуются формой, которую приобретают пузыри, когда их прижимают друг к другу. Понимание строения пены помогает нам разобраться во многих других природных структурах, например в структуре органических клеток в шоколаде, взбитых сливках или в шапке над пинтой пива. Пена используется при тушении пожаров, в защите водных ресурсов от радиоактивных утечек и при переработке минералов. Интересуетесь ли вы борьбой с пожарами или тем, как добиться, чтобы пенная шапка над вашим «Гиннессом» не оседала слишком быстро, ключ к ответу определяется пониманием математической структуры пены.

 

Почему у снежинки шесть лучей?

Одним из первых, кто попытался дать математический ответ на этот вопрос, был астроном и математик XVII в. Иоганн Кеплер. Его понимание того, почему у снежинки шесть лучей, возникло после изучения плода граната. Зернышки граната начинают свой рост с маленьких шариков. Как знает любой продавец фруктов, наиболее эффективный способ заполнить пространство шарами состоит в расположении их слоями шестиугольников. Слои хорошо подгоняются друг к другу, когда каждый шар из последующего слоя находится между тремя шарами слоя под ним. Совместно эти четыре шара расположены так, что являются вершинами тетраэдра.

Кеплер предположил, что это самый эффективный способ заполнить пространство – другими словами, при таком размещении у промежутков между шарами будет минимальный объем. Но как можно быть уверенным, что не существует какого-то более сложного расположения шаров, способного улучшить данную упаковку шестиугольников? Гипотеза Кеплера, как стало называться его невинное утверждение, овладевала умами поколений математиков. Ее доказательство появилось в конце XX в., когда математики объединили свои силы с мощью компьютеров.

Но вернемся к плоду граната. По мере его роста зернышки начинают сдавливать друг друга, их поверхность превращается из сфер в формы, полностью заполняющие пространство. Каждое зернышко внутри плода находится в контакте с 12 другими, поэтому когда они сдавливают друг друга, получается форма с 12 гранями. Вы могли бы подумать, что она будет соответствовать додекаэдру с его 12 пятиугольными гранями, но додекаэдры нельзя сложить вместе, чтобы они заполнили все имеющееся пространство. Единственное Платоново тело, способное идеально состыковаться и заполнить пространство, – это куб. Вместо этого 12 граней зернышка граната приобретают форму ромба. Результирующий многогранник, называемый ромбододекаэдром, часто встречается в природе (рис. 2.19).

Рис. 2.19

Так, у кристалла граната 12 граней в форме ромба. Английское слово garnet, обозначающее минерал гранат, происходит от латинского названия растения гранат, ведь красные зернышки его плода также образуют формы с 12 ромбическими гранями.

Анализ ромбических граней зернышек граната вдохновил Кеплера начать исследование всевозможных симметричных форм, которые можно построить исходя из этой менее симметричной ромбической грани. Платон изучал формы, получающиеся из одной симметричной грани. Архимед пошел дальше и рассмотрел возможность двух или большего числа симметричных граней. Исследования Кеплера породили целую индустрию, посвященную различным формам, развивающим идеи Платона и Архимеда. Теперь у нас есть Каталановы тела и тела Кеплера – Пуансо, многогранники Джонсона и «шаткие» многогранники, зоноэдры – и множество других экзотических объектов.

Кеплер считал, что шестиугольники, определяющие то, как происходит совместная упаковка шаров, также обуславливают наличие шести лучей у снежинок. Его анализ лег в основу книги, которую он посвятил императорскому советнику Иоганну Маттею Вакеру фон Вакенфельсу и преподнес в качестве новогоднего подарка – что было прозорливым поступком со стороны ученого, всегда ищущего источники финансирования исследований. Кеплер полагал, что капли воды, замерзая в облаках и превращаясь в шарики, заполняют пространство подобно зернышкам граната. Его идея, хотя и была красивой, оказалась неверной. Подлинная причина шестилучевой формы снежинки связана с молекулярной структурой льда, которую было возможно исследовать лишь после изобретения рентгеноструктурного анализа в 1912 г.

Молекула воды состоит из одного атома кислорода и двух атомов водорода. Когда молекулы связываются вместе и образуют кристалл, каждый атом кислорода разделяет свои атомы водорода с соседними атомами кислорода и, в свою очередь, заимствует два дополнительных атома водорода у других молекул воды. Итак, в кристалле льда каждый атом кислорода соединен с четырьмя атомами водорода. В модели шариков и палочек четыре шарика, представляющие атомы водорода, расположены вокруг атома кислорода так, чтобы каждый атом водорода находился от трех других атомов водорода на как можно большем расстоянии. Математика дает решение, удовлетворяющее этому требованию, и оно состоит в том, что атомы водорода находятся в вершинах тетраэдра, Платоновой формы, состоящей из четырех равносторонних треугольников. При этом атом кислорода находится в центре тетраэдра (рис. 2.20).

Рис. 2.20

Получающаяся кристаллическая структура в чем-то соответствует укладке апельсинов продавцом фруктов, когда над тремя апельсинами одного слоя находится апельсин из следующего слоя. Но если вы приглядитесь к отдельному слою, будь то апельсины или кристалл льда, то всюду увидите шестиугольники. Именно они играют ключевую роль в форме снежинки. Итак, у Кеплера была верная интуиция – укладка апельсинов и шесть лучей снежинки действительно связаны, но, лишь когда мы сумели рассмотреть атомную структуру снега, мы поняли, где скрываются шестиугольники. При росте снежинки молекулы воды прикрепляются к вершинам шестиугольника, в результате чего у нее и образуются шесть лучей.

При переходе от молекулярного уровня к большим снежинкам начинает проявляться индивидуальность каждой из них. В то время как симметрия лежит в основе строения кристалла льда, другая важнейшая математическая форма контролирует эволюцию всех снежинок: фрактал.

 

Какова длина береговой линии Британии?

Чему равна длина британской береговой линии? 18 000 км? Или же 36 000? А может быть, еще больше? Как ни удивительно, ответ на этот вопрос вовсе не очевиден, и он связан с математической формой, открытой лишь в середине XX в.

Конечно, из-за приливов и отливов, происходящих дважды в день, длина британской береговой линии постоянно меняется. Но, даже если зафиксировать уровень воды, по-прежнему неясно, какова протяженность береговой линии. Тонкость состоит в том, с насколько малым масштабом вы измеряете длину побережья. Вы можете начать укладывать метровые линейки, одну за другой, и сосчитать, сколько их вам понадобится, чтобы обойти вокруг страны. Но использование жестких линеек упустит множество деталей меньшего масштаба.

Рис. 2.21. Измерение береговой линии Британии

Если вы используете длинный кусок веревки вместо жестких линеек, то сможете лучше отследить сложные формы на побережье. Измерение с помощью веревки даст значительно больший результат для береговой линии по сравнению с жесткими линейками. Но и у гибкости веревки есть предел – вам будут недоступны контуры на побережье сантиметрового масштаба. Если вы используете тонкую нитку, то сможете уловить еще больше деталей, и оценка длины береговой линии снова возрастет.

Согласно данным Картографического управления Великобритании, протяженность ее береговой линии составляет 17 819,88 км. Но измерьте эту длину с учетом более мелких деталей, и вы удвоите ее. В качестве иллюстрации того, насколько трудно точно установить географические длины, упомяну, что в 1961 г. Португалия заявила, что протяженность ее границы с Испанией составляет 1220 км, а по мнению Испании, она была лишь 990 км. Такую же степень расхождения можно найти у границы между Голландией и Бельгией. В общем случае – чем меньше страна, тем длиннее у нее получается граница…

Но можно ли положить предел этому процессу? Или же чем более мы отслеживаем детали, тем длиннее получается побережье? Чтобы показать, как такое возможно, давайте построим часть математической береговой линии. Для этого вам понадобится моток бечевки. Начните с того, что размотайте 1 метр бечевки и положите ее на пол.

Рис. 2.22

Но такая линия слишком прямая, чтобы быть береговой, поэтому давайте сделаем большой залив в этом прямом участке побережья. Размотайте еще бечевки – так, чтобы средняя треть заменялась двумя вдающимися отрезками той же длины:

Рис. 2.23

Но сколько бечевки потребовалось дополнительно размотать, чтобы сделать залив? Первая береговая линия состояла из трех отрезков по ⅓ м, в то время как новая линия состоит из четырех отрезков по ⅓ м. Итак, новая длина в 4/3 раза превосходит старую и составляет 4/3 м.

Но и новое побережье все еще слишком простое. Поэтому снова разделим каждый из меньших отрезков на три и заменим среднюю часть двумя сторонами той же длины. Вот какое у нас получится побережье:

Рис. 2.24

Какая у него длина? Что же, длина каждой из четырех частей была увеличена множителем 4/3. Итак, длина побережья теперь составляет 4/3 × 4/3 м =(4/3)² м.

Вы, наверное, догадались, как мы поступим дальше. Мы будем повторять процедуру разбиения прямых отрезков на три части и замены средней секции двумя линиями той же длины. Каждый раз, когда мы делаем это, происходит увеличение длины нашего побережья благодаря множителю 4/3. Повторение процедуры 100 раз приведет к удлинению береговой линии в (4/3)100 раз, и она превысит 3 миллиарда километров. Если распрямить эту бечевку, то она протянется от Земли до Сатурна.

Если бы мы могли поступить так бесконечно много раз, то получили бы бесконечно длинное побережье. Конечно, физика не позволяет нам уходить делением отрезков в бесконечно малые размеры, ограничивая нас планковской длиной. Это происходит потому, что, как считают физики, мы не можем измерить длины менее 10–35 м, не создав при этом черную дыру, которая поглотит измерительную аппаратуру. Но повторение нашего приема добавления все меньших и меньших заливов к нашей береговой линии после 74-го шага приведет к линиям, меньшим 10–35 м. Но математики – вовсе не физики: мы живем в мире, где отрезок можно разделить бесконечно много раз и при этом не исчезнуть в черной дыре.

Другой способ увидеть, что у береговой линий бесконечная длина, состоит в рассмотрении сегмента фрактала между точками А и B на рис. 2.25. Обозначим его длину L. Если мы увеличим этот сегмент побережья в три раза, то результатом будет точная копия всего побережья от А до Е. Тогда длина всей береговой линии будет 3L. С другой стороны, мы можем взять четыре копии меньшего сегмента и составить из них, располагая друг за другом, все побережье: от А до B, от B до C, от C до D и от D до E. С этой точки зрения длина всей береговой линии будет 4L, потому что для ее построения потребовались четыре копии меньшего сегмента. Но длина должна быть одинаковой, как бы мы ее ни измеряли. Каким же образом совместить 4 L = 3 L? Это уравнение может разрешить только L, равная либо нулю, либо бесконечности.

Рис. 2.25. Увеличьте меньший сегмент, идущий от A до B, в три раза, и вы получите больший фрактал. Но больший фрактал также можно получить, располагая друг за другом четыре копии меньшего сегмента

На самом деле бесконечная береговая линия, которую мы нарисовали, – это часть формы, называемой снежинкой Коха в честь ее изобретателя, шведского математика Хельге фон Коха. Он построил ее в начале XX в. (рис. 2.26).

Рис. 2.26

У этой математической формы слишком много симметрии, чтобы походить на настоящее побережье, она не выглядит слишком естественно или органично. Но вы можете добавить элемент случайности, касающийся того, идет ли добавляемая линия на сушу либо в море. И тогда все смотрится значительно убедительнее. Вот картинки (рис. 2.27), полученные той же самой процедурой, что и ранее, за одним исключением.

Рис. 2.27

Всякий раз перед добавлением линий вы бросаете монетку, чтобы решить, разместите ли вы их под удаляемой линией или над ней. Если объединить несколько подобных участков побережья вместе, то результат будет удивительно походить на средневековую карту Британии:

Рис. 2.28

Итак, если вам когда-либо зададут вопрос о длине береговой линии Британии, вы можете выбрать любой нравящийся вам ответ. Не о таких ли вопросах по математике мечтает каждый школьник?

 

Что общего у молнии, брокколи и фондового рынка?

В 1960 г. французского математика Бенуа Мандельброта пригласили выступить с докладом на экономическом факультете Гарвардского университета, чтобы рассказать о его недавней работе по распределению больших и малых доходов. Когда Мандельброт вошел в кабинет организатора выступления, то был немало озадачен, увидев, что те графики, которые он подготовил для своего рассказа, были нарисованы на доске. «Как вы сумели получить мои данные заранее?» – спросил он. Однако, как ни удивительно, нарисованные графики не имели никакого отношения к доходам, а представляли изменения цен на хлопок, которые анализировались на предыдущей лекции.

Это подобие пробудило любопытство Мандельброта и привело его к открытию, что у графиков различных несвязанных наборов экономических данных будет сходство в форме. Сверх того, формы будут сохраняться независимо от временного масштаба. Например, изменения цен на хлопок за восемь лет напоминают изменения за восемь недель, а последние сильно походят на изменения за восемь часов.

То же самое явление наблюдается и при измерении побережья Британии. Возьмите, например, изображения, приведенные ниже. На каждом из них показаны участки береговой линии Шотландии. Одно взято с карты масштаба 1: 1 000 000. Другие представляют значительно более детальные карты, масштаба 1: 50 000 и 1: 25 000 соответственно. Но удастся ли определить по изображению на карте ее масштаб? Сколь бы вы ни увеличивали или, напротив, ни уменьшали масштаб, у этих форм сохранится тот же уровень сложности. Подобное утверждение несправедливо в отношении всех форм. Если вы нарисуете волнистую линию и будете увеличивать какую-то ее часть, то с некоторого момента она будет выглядеть довольно просто. В отличие от этого береговая линия или графики Мандельброта при сколь угодно большом увеличении сохраняют сложность своей формы.

Рис. 2.29. Береговая линия Шотландии при разных увеличениях. Используются исходные карты масштаба 1: 1 000 000, 1: 50 000 и 1: 25 000 (слева направо)

Когда Мандельброт продолжил свои изыскания, он обнаружил, что эти странные формы, сохраняющие крайнюю сложность независимо от степени увеличения, с которой вы разглядываете их, встречаются во всей природе. Если вы отломите соцветие от цветной капусты и увеличите его, оно будет замечательно походить на исходную головку цветной капусты. Если вы поглядите на увеличенный участок извилистой молнии, то, вместо того чтобы быть прямым, он будет выглядеть как копия молнии в целом. Мандельброт назвал эти формы фракталами и отнес их к «геометрии природы», поскольку они представляют подлинно новый вид, осознанный в полной мере лишь в XX в.

У эволюции этих фрактальных форм в природе имеются практические причины. Фрактальное устройство человеческих легких означает, что, хотя они помещаются внутри ограниченного объема грудной клетки, их поверхностная площадь огромна, следовательно, они могут поглощать большое количество кислорода. То же относится и к другим органическим объектам. Папоротники, к примеру, стремятся увеличить свою освещенность солнцем, не занимая при этом слишком много места. Все это обусловлено способностью природы находить формы с величайшей эффективностью. Подобно тому как пузырь обнаружил, что сфера – это то, что лучше всего подходит его нуждам, живые организмы, напротив, пошли в другой конец спектра, выбрав фрактальные формы с бесконечной сложностью.

Поразительно, что, несмотря на эту бесконечную сложность фракталов, их можно генерировать с помощью очень простых математических правил. С первого взгляда крайне трудно поверить, что причудливость природного мира может быть основана на простой математике, но теория фракталов обнаружила, что даже самые сложные структуры природного мира могут быть созданы нехитрыми математическими формулами.

Рис. 2.30. Фрактальный папоротник

Рисунок 2.30 похож на папоротник, но в действительности это компьютерное изображение, полученное с помощью простого математического правила, напоминающего то, которое мы использовали, чтобы изготовить снежинку Коха. Компьютерная промышленность воспользовалась этой идеей для создания сложного естественного фона в компьютерных играх. Хотя у игровой приставки может быть весьма ограниченный объем дискового пространства, простое правило из математики фракталов помогает ей сгенерировать необычайно сложную окружающую среду.

 

Каким образом у формы может быть размерность 1,26?

Формы, с которыми математики сталкивались до того, как на сцену вышли фракталы, были одно-, дву– или трехмерными: одномерная линия, двумерный шестиугольник, трехмерный куб. Но одно из самых поразительных открытий в теории фракталов состояло в том, что размерность этих новых форм больше 1, но меньше 2. Если вы достаточно отважны, я предлагаю вам объяснение того, как у формы может быть размерность между 1 и 2.

Трюк состоит в том, чтобы предложить умный способ, позволяющий понять, почему линия одномерна, а квадрат двумерен. Представьте, что вы взяли прозрачный лист клетчатой бумаги, положили его на исследуемую форму и сосчитали, сколько квадратиков содержат часть формы. Затем возьмите лист клетчатой бумаги, стороны квадратиков которой в два раза меньше, чем у первоначальной.

Рис. 2.31. Как вычислить размерность фрактала, используя клетчатую бумагу. Размерность характеризует увеличение количества пикселей при уменьшении их размера

Если эта форма – линия, количество клеток на бумаге возрастает в 2 раза. Если форма – квадрат, то число клеток увеличится в 4 раза, или в 2². Каждый раз, когда мы уменьшаем размеры клеток на бумаге в 2 раза, число квадратиков, содержащих часть одномерной формы, увеличивается в 2 раза, в то время как для двумерной формы увеличение характеризуется множителем 2². Размерность соответствует степени 2.

Любопытно, что, если вы примените данную процедуру к фрактальной береговой линии, которую мы построили ранее в главе, то увеличение количества клеток при уменьшении их размеров в 2 раза описывается приблизительным множителем 21,26. Итак, с этой точки зрения у нас есть все основания сказать, что размерность равна 1,26. Таким образом, мы создали новое определение размерности.

Вместо клетчатой бумаги вы можете анализировать эти формы с помощью пикселей компьютерного дисплея. Пусть пиксель будет черным, если он содержит часть исследуемой формы, и белым в противном случае. При увеличении разрешения экрана размерность характеризует увеличение количества черных пикселей. Например, если вы переходите от разрешения 16 × 16 пикселей к разрешению 32 × 32, то для линии количество черных пикселей удваивается. Для квадрата увеличение количества черных пикселей описывается множителем 4, или 2². Для количества черных пикселей в компьютерном изображении снежинки Коха соответствующий множитель равен 21,26.

В каком-то смысле фрактальная размерность говорит нам, в какой мере эта бесконечная фрактальная линия стремится заполнить пространство, в котором она находится. Давайте построим несколько вариантов нашей фрактальной береговой линии, в которых мы будем делать угол между сторонами, добавляемыми к побережью, все меньше и меньше. При этом результат занимает все больше и больше пространства. Когда мы вычислим размерность каждой из береговых линий в этой последовательности, мы обнаружим, что она все ближе и ближе подходит к 2 (рис. 2.32).

Рис. 2.32. При изменении угла треугольника получающийся фрактал занимает все больше пространства, и его фрактальная размерность возрастает

Если проанализировать фрактальные размерности форм, встречающихся в природе, то обнаружатся некоторые интересные обстоятельства. Фрактальная размерность береговой линии Британии оценивается в 1,25, что довольно близко к показателю построенного нами математического побережья. Мы можем представить себе, что фрактальная размерность говорит нам, как быстро возрастает длина побережья, когда мы используем все более короткие линейки для ее измерения. Фрактальная размерность побережья Австралии оценивается в 1,13, что указывает в каком-то смысле на его менее сложную форму, чем у побережья Британии. Довольно поразительно, что фрактальная размерность береговой линии Южной Африки составляет лишь 1,04, это свидетельствует, что она весьма гладкая. Вероятно, самое фрактальное из всех побережий – у Норвегии с ее фьордами, оно характеризуется размерностью 1,52.

Рис. 2.33. Какова размерность береговой линии Британии?

Для предметов в трех измерениях мы также можем воспользоваться этим трюком, но клетчатую бумагу нужно заменить ячеистой структурой из кубиков. Нужно проследить, как изменяется количество кубиков, с которыми пересекается изучаемая форма, когда их размеры становятся все меньше и меньше. У цветной капусты при этом получается размерность 2,33, у листа бумаги, смятого в шар, будет 2,5, брокколи довольно замысловата с ее 2,66, и поразительно, что фрактальная размерность поверхности человеческого легкого равна 2,97.

 

Можно ли подделать Джексона Поллока?

Осенью 2006 г. картина, написанная художником XX в. Джексоном Поллоком, стала самой дорогой из когда-либо проданных. По сообщениям прессы, мексиканский финансист Дэвид Мартинес заплатил 140 миллионов долларов (что тогда соответствовало 75 миллионам фунтов) за картину с простым названием «№ 5, 1948».

Картина была создана с использованием фирменной техники Поллока – разбрызгивания краски по холсту. За свою манеру письма он был прозван «Джеком-оросителем». Критики были шокированы ценой, которая была уплачена за подобное произведение, заявляя: «Что же, я сам мог бы нарисовать такую картину!» На первый взгляд действительно кажется, что любой мог бы разбрызгать краску и надеяться стать миллионером. Но математики обнаружили, что Поллок действовал значительно тоньше, чем можно было бы подумать.

В 1999 г. группа математиков, возглавляемая Ричардом Тейлором из Орегонского университета, проанализировала картины Поллока и открыла, что используемая им прерывистая техника воссоздает фрактальные формы, столь возлюбленные природой. Увеличенные участки картин Поллока сильно напоминают полотна в целом и обладают характерной бесконечной сложностью фрактала. (Разумеется, все большее и большее увеличение в конечном счете приведет к отдельным пятнам краски, но это случится, лишь когда вы увеличите холст в 1000 раз.) Для анализа техники, развитой Поллоком, можно даже привлечь понятие фрактальной размерности.

Поллок начал создавать фрактальные полотна в 1943 г. Фрактальная размерность его ранних картин была в районе 1,45, близко к значениям норвежских фьордов, но при дальнейшем развитии техники фрактальная размерность стала ползти вверх, что свидетельствовало о растущей сложности его произведений. Для завершения одной из последних картин Поллока в технике разбрызгивания, «Синие столбы», потребовалось шесть месяцев. Ее фрактальная размерность равна 1,72.

Рис. 2.34. Фрактальная размерность картины возрастает, когда вы разбрызгиваете все больше краски

Психологи исследовали формы, которые люди находят эстетически привлекательными. Нас постоянно притягивают изображения с фрактальными размерностями между 1,3 и 1,5, что соответствует размерностям многих форм, встречающихся в природе. На самом деле у этого могут быть веские эволюционные причины. Вероятно, так устроен наш мозг, чтобы можно было приспособиться к джунглям вокруг нас. Либо, подобно тому как лучшая музыка находится где-то между крайностями скучных звуков, издаваемых лифтом, и случайным белым шумом, эти формы притягательны для нас, потому что их сложность находится между слишком регулярными и слишком случайными объектами.

Если Поллок создавал фракталы, то насколько трудно воспроизвести его технику? В 2001 г. один техасский коллекционер произведений искусства был немало обеспокоен тем, что на его «Поллоке» не было подписи либо даты. Тогда он обратился к математикам, которые ранее открыли фрактальную размерность, присущую стилю Поллока. Их исследование показало, что у данной картины не было специальных фрактальных свойств, характерных для работ Поллока, то есть она, вероятно, была подделкой. Пятью годами позже комиссия по аутентификации, созданная фондом Поллока – Краснер для вынесения заключения по оспариваемым работам, попросила Ричарда Тейлора и его команду применить фрактальный анализ к коллекции из 32 картин, недавно найденных в камере хранения, которые якобы принадлежали кисти Джексона Поллока. Согласно фрактальному анализу, все они также были подделками.

Это вовсе не значит, что полотна Поллока невозможно подделать, – Тейлор даже создал приспособление, названное им «Поллокайзером», которое рисует подлинно фрактальные картины. Баночки с краской, висевшие на веревках, приводились в движение катушкой индуктивности, запрограммированной на воспроизведение хаотического движения, в результате чего получались вполне убедительные «Поллоки». Поэтому, хотя математика и помогает разоблачать подделки, она способна также сама создавать изображения, которые будут убедительны даже для экспертов.

У фракталов, несомненно, странные формы, ведь их размерности, вроде 1,26 или 1,72, не являются целыми числами. Но мы, по крайней мере, способны нарисовать их изображения. Но теперь положение вещей станет еще более необычным, потому что нам предстоит сделать шаг в гиперпространство, чтобы исследовать формы, которые существуют вне нашего трехмерного мира.

 

Как видеть в четырех измерениях?

Я все еще помню возбуждение, охватившее меня в тот день, когда я впервые «увидел» в четырех измерениях благодаря выученному языку, который позволял создавать эти формы в сознании. Изобретенный Рене Декартом словарь, преобразующий формы в числа, дает нам возможность видеть в четырех измерениях. Декарт понял, что зачастую видимый мир крайне трудно подвергнуть точному описанию, и ему захотелось создать четкое математическое подспорье для этого.

Головоломка на рис. 2.35 показывает, что не всегда можно доверять глазам. Как говорил Декарт, чувственное ощущение обманчиво.

Рис. 2.35. После расположения фигур в другом порядке кажется, что их суммарная площадь уменьшилась на одну клетку

Хотя на второй картинке лишь переместили формы с первой картинки, создается ощущение, что общая площадь уменьшилась на одну клетку. Как такое возможно? Дело в том, что, хотя и кажется, будто гипотенузы двух треугольников выстраиваются в одну линию, на самом деле они направлены под несколько отличающимися углами. Этого достаточно, чтобы при ином расположении фигур показалось, что потеряна единица площади.

Чтобы обойти проблему чувственного восприятия, Декарт создал эффективный словарь, который переводит геометрию в числа. Сейчас мы с ним хорошо знакомы. Когда мы смотрим на расположение какого-то города на карте, мы определяем его с помощью двух чисел координатной сетки. Эти числа фиксируют положение города относительно точки на экваторе, находящейся точно к югу от лондонского района Гринвич. Они определяют смещение от этой точки в направлении север – юг и восток – запад.

Например, Декарт родился во французском городе под названием… Декарт (впрочем, при его рождении город назывался Ла-Э-ан-Турен), расположенном на 47° северной широты и 0,7° восточной долготы. В словаре Декарта его родной город можно описать двумя координатами следующим образом: (0,7; 47).

Мы можем использовать схожую процедуру и для описания математических форм. Например, если я хочу описать квадрат, используя Декартов словарь координат, то скажу, что это форма с вершинами, расположенными в точках (0; 0), (1; 0), (0; 1) и (1; 1). Каждая сторона квадрата определяется выбором двух вершин, отличающихся одной координатой. Так одна из сторон соединяет вершины (0; 1) и (1; 1).

Для плоского двумерного мира достаточно двух координат, чтобы задать положение любой точки, но если мы хотим дополнительно включить нашу высоту над уровнем моря, то понадобится третья координата. Она также необходима для описания трехмерного куба в терминах координат. Восемь вершин куба задаются координатами (0; 0; 0), (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1), (1; 1; 0), (1; 0; 1), (0; 1; 1) и, наконец, (1; 1; 1), которые соответствуют вершине, наиболее удаленной от первой.

Опять-таки, ребро проходит между двумя вершинами, отличающимися только одной координатой. Конечно, если вы взглянете на куб, то легко сосчитаете, сколько у него ребер. Но, если у вас нет куба или его зарисовки, вы можете сосчитать количество пар вершин, отличающихся одной координатой. Это нужно иметь в виду, когда мы переходим к формам, изображений которых у нас нет.

В словаре Декарта с одной стороны находятся формы и геометрия, с другой – числа и координаты. Беда в том, что иллюстративная сторона словаря не может идти далее трехмерных форм, потому что отсутствует четвертое физическое измерение, в котором мы могли бы видеть формы более высоких размерностей. Но красота словаря Декарта в том, что другая его сторона может продолжаться дальше и дальше. Чтобы описать четырехмерный объект, мы просто добавляем четвертую координату, которая фиксирует, насколько далеко мы заходим в этом новом направлении. И, хотя я не могу физически соорудить четырехмерный куб, я могу в точности описать его посредством чисел. У него 16 вершин: начинаясь с точки (0; 0; 0; 0), он доходит до точек (1; 0; 0; 0) и (0; 1; 0; 0) и простирается до самой удаленной точки (1; 1; 1; 1). Числа служат кодом для описания формы, и, пользуясь этим кодом, я могу исследовать данную форму без необходимости видеть ее физически.

Например, сколько ребер у этого четырехмерного куба? Каждому ребру соответствует пара точек, отличающихся одной координатой. Из каждой вершины выходят четыре ребра, отвечающие поочередному изменению одной из координат. Итак, у нас получается 16 × 4 ребер – или нет? Нет, потому что мы сосчитали каждое ребро дважды: один раз как исходящее из вершины на одном его конце и второй раз как исходящее из вершины на другом его конце. Значит, правильное выражение для количества ребер четырехмерного куба будет 16 × 4/2 = 32. И мы можем не останавливаться, а перейти в пять, шесть или даже большее число измерений и построить гиперкубы во всех этих мирах. Так, у гиперкуба в N измерениях будет 2N вершин. Из каждой вершины выходят N ребер, каждое из которых считается дважды. Поэтому у N-мерного куба будет N × 2N  – 1 ребер.

Математика наделяет вас шестым чувством, позволяя играть с этими формами, существующими за пределами нашей трехмерной Вселенной.

 

Где в Париже можно увидеть четырехмерный куб?

Чтобы отпраздновать двухсотлетие Великой французской революции, президент Франции Франсуа Миттеран дал заказ датскому архитектору Йохану Отто фон Спрекельсену на воздвижение чего-то особенного в Ла-Дефанс, деловом квартале Парижа. Строение должно было находиться на одной линии с другими знаковыми зданиями и памятниками Парижа – Лувром, Триумфальной аркой и Луксорским обелиском, что стало называться перспективой Миттерана.

Разумеется, архитектор не разочаровал. Он соорудил Большую арку (La Grande Arche), которая настолько огромна, что внутри ее поместились бы башни собора Парижской Богоматери. Вес Большой арки составляет ошеломительные 300 000 тонн. К несчастью, фон Спрекельсен умер за два года до завершения работ над сооружением, ставшим достопримечательностью Парижа. Но, возможно, не все парижане, которые видят Большую арку каждый день, осознают, что в действительности фон Спрекельсен воздвиг посреди их города четырехмерный куб.

Рис. 2.36. Большая арка в Париже является тенью четырехмерного куба

Впрочем, это не совсем четырехмерный куб, потому что мы живем в трехмерной Вселенной. Но подобно тому, как художники эпохи Возрождения отваживались на отображение трехмерных форм на плоском двумерном холсте, так и архитектор в Ла-Дефанс зафиксировал тень четырехмерного куба в нашей трехмерной Вселенной. Чтобы создать иллюзию того, что мы видим трехмерный куб, когда глядим на двумерное полотно, художник мог бы нарисовать меньший квадрат внутри большего квадрата и затем соединить их вершины для окончания картины куба. Опять-таки это не совсем куб, но изображение наделяет зрителя достаточной информацией: мы видим все ребра и можем представить куб. Фон Спрекельсен воспользовался той же идей, чтобы построить проекцию четырехмерного куба в трехмерном Париже, состоящую из меньшего куба внутри большего куба, причем их вершины соединены ребрами. Если вы посетите Большую арку и тщательно сосчитаете их, то у вас получатся те же 32 ребра, что и в предыдущем разделе, где мы использовали Декартовы координаты.

Всякий раз, когда я навещаю Большую арку, у меня возникает жутковатое чувство из-за воющего ветра, который стремится протащить вас через центр арки. Ветер стал настолько заметной проблемой, что дизайнерам пришлось сделать навес посреди арки для воспрепятствования потоку воздуха, словно строительство тени гиперкуба в Париже открыло портал в другое измерение.

Есть и другие способы представить четырехмерный куб в нашем трехмерном мире. Подумайте, как бы вы сделали трехмерный куб из куска двумерного картона. Сначала вы бы нарисовали шесть квадратов, объединенных в крестообразную форму, причем каждый из квадратов представляет грань куба. Затем вы свернете крестообразную форму в куб. Двумерная заготовка из картона называется разверткой трехмерной формы. Подобным образом в нашем трехмерном мире можно построить развертку, которую в четырех измерениях удалось бы сложить в четырехмерный куб.

Вы можете приняться за изготовление четырехмерного куба с того, что вырежете и сложите восемь трехмерных кубов. Они будут «гранями» вашего четырехмерного куба. Чтобы сделать его развертку, нужно соединить восемь кубов вместе. Сначала склейте в колонну первые четыре куба, один поверх другого. Теперь возьмите оставшиеся четыре куба и приклейте их к граням одного из четырех кубов в колонне. Ваш развернутый гиперкуб теперь должен выглядеть как два пересекающихся креста, что показано на рис. 2.37.

Рис. 2.37. Как сделать четырехмерный куб из восьми трехмерных кубов

Чтобы сложить развертку, вам необходимо начать с соединения верхнего и нижнего кубов в колонне. Следующим шагом стало бы соединение с нижним кубом обращенных наружу граней двух кубов, прикрепленных к противоположным сторонам колонны. Далее надо приклеить грани двух других боковых кубов к двум оставшимся граням нижнего куба. Разумеется, как только вы начнете сворачивать развертку, вы столкнетесь с проблемой: в нашем трехмерном пространстве не хватает места для выполнения этих действий. Вам необходимо четвертое измерение, чтобы собрать гиперкуб в соответствии с моим описанием.

Подобно тому как архитектора вдохновила тень четырехмерного куба, художник Сальвадор Дали был заинтригован идеей о развертке гиперкуба. На своей картине «Распятие, или Гиперкубическое тело» Дали изображает Христа распятым на трехмерной развертке четырехмерного куба. Для Дали понятие четвертого измерения как чего-то лежащего вне нашего материального мира, резонировало с представлением о духовном мире, находящемся вне нашей физической Вселенной. Его развернутый гиперкуб состоит из двух пересекающихся крестов, и картина наводит на мысль, что вознесение Христа на небо связано с попыткой сложить эту трехмерную структуру в дополнительном измерении, выходящем за пределы физической реальности.

Все наши попытки изобразить четырехмерную форму в трехмерной Вселенной не дадут полной картины, подобно тому как тень или силуэт в двумерном мире предоставляет лишь частичную информацию. Когда мы двигаем и поворачиваем предмет, тень изменяется, но мы никогда не видим все разом. Эта тема была подхвачена писателем Алексом Гарлендом в книге «Тессеракт» (другое название четырехмерного куба). Повествование передает взгляды различных персонажей на главные события, происходящие в преступном мире Манилы. Никакое отдельно взятое суждение не дает полной картины, но, сводя воедино все нити, что подобно разглядыванию множества различных теней, отбрасываемых предметом, читатель начинает понимать возможный сюжет. Но четвертое измерение важно не только для создания строений, картин и романов. Оно также может быть ключом к форме самой Вселенной.

 

Какова форма вселенной в видеоигре «Астероиды»?

В 1979 г. компьютерная компания Atari выпустила свою самую популярную видеоигру «Астероиды». Ее целью было подбить и уничтожить астероиды и летающие тарелки, одновременно уклоняясь от пролетающих астероидов и ответного огня летающих тарелок. Аркадная версия игры была настолько успешна, что в США потребовалось устанавливать в игровые автоматы бо́льшие контейнеры, чтобы вместить возросший поток 25-центовых монет.

Но с математической точки зрения интерес представляет геометрия игры: как только космический корабль пересекает верх экрана, он волшебным образом появляется внизу. Подобным образом при пересечении экрана слева космический корабль снова появляется на экране справа. Получается так, что наш космонавт заперт в двумерном мире, и вселенная целиком видна на экране. Хотя эта вселенная конечна, у нее нет границ. Поскольку космонавт никогда не доходит до края, он живет не внутри прямоугольника, а перемещается в более интересной вселенной. Можем ли мы понять, какова ее форма?

Если космонавт выходит с экрана наверху и снова появляется внизу, то эти части вселенной должны быть соединены. Представьте, что компьютерный экран сделан из гибкой резины, так что мы можем согнуть его и соединить верх с низом. Теперь мы видим, что, когда космонавт летит по экрану вертикально, он на самом деле кружится и кружится по цилиндру.

А что происходит в другом направлении? После того как космонавт исчезает с экрана слева, он снова появляется справа, поэтому два конца цилиндра также должны быть соединены. Если мы отметим точки, где они соединяются, то поймем, что цилиндр нужно согнуть и совместить его основания. Итак, в действительности наш космонавт живет на поверхности бублика, или на торе, как называем ее мы, математики.

С помощью этого куска резины я проиллюстрировал новый способ глядеть на формы, который появился в математике примерно сто лет назад. Для древних греков смысл геометрии (что буквально означает на греческом «измерение земли») состоял в определении углов и расстояний между точками. Но при анализе формы вселенной космонавта из игры «Астероиды» главными для нас были не расстояния, а то, как части формы соединены друг с другом. Этот новый взгляд на формы, когда разрешается сжимать и растягивать их, словно они сделаны из резины или пластилина, называется топологией.

Многие люди используют топологические карты каждый день. Узнаёте карту, показанную ниже? Это геометрическая карта лондонского метро, но она не слишком удобна для ориентирования, хотя и точна географически. Вместо нее лондонцы используют топологическую карту. Ее придумал Гарри Бек в 1933 г. – он сжимал и растягивал геометрическую карту, чтобы получить удобную в пользовании схему метро. Ее аналоги теперь распространены по всему миру.

Рис. 2.38. Геометрическая карта лондонского метро

Вопрос о том, можно ли развязать узел, также является топологическим, потому что при этом мы можем тянуть за веревки, но не разрезать их. Данный вопрос имеет фундаментальное значение для биологов и химиков, потому что человеческая ДНК стремится образовывать странные узлы. Некоторые болезни, например болезнь Альцгеймера, возможно, связаны с тем, как запутывается ДНК, и у математиков есть потенциал для разгадки их тайн.

В начале XX в. французский математик Анри Пуанкаре задался вопросом о том, сколько имеется топологически различных поверхностей. Это соответствует нахождению всех возможных форм, на которых мог бы жить наш двумерный космонавт из игры «Астероиды». Пуанкаре интересовался этими вселенными с топологической точки зрения, поэтому две вселенные должны считаться одинаковыми, если одну из них можно деформировать в другую непрерывным образом, не делая разрезов. Например, двумерная сфера топологически эквивалентна двумерной поверхности мяча для игры в регби, потому что одну можно преобразовать в другую. Но эта сферическая вселенная топологически отлична от тора, по которому летает двумерный космонавт, потому что сферу нельзя деформировать в бублик, не делая в ней разрезов или склеек. Но какие другие формы имеются?

Рис. 2.39. Первые четыре формы в топологической классификации двумерных поверхностей, предложенной Анри Пуанкаре

Пуанкаре сумел доказать, что, какой бы сложной ни была форма, ее всегда возможно деформировать непрерывным образом в одну из следующих форм: сферу, тор с одной дыркой, тор с двумя дырками либо тор с любым конечным числом дырок. С топологической точки зрения это полный список всех возможных вселенных для нашего двумерного космонавта. Именно количество дырок – которое математики называют родом поверхности – характеризует форму. Так, чайная чашка топологически эквивалентна бублику, потому что у них по одной дырке. У чайника же две дырки, одна в носике, а другая в ручке, и его можно преобразовать так, чтобы он выглядел как брецель с двумя дырками. Наверное, необходимы большие усилия, чтобы понять, почему форма на рис. 2.40, в которой также две дырки, может быть деформирована в брецель с двумя дырками. Кажется, что из-за зацепления бубликов потребуется разрезать форму, чтобы успешно деформировать ее, но это не так.

Рис. 2.40. Как расцепить два кольца, непрерывно деформируя их, но не делая разрезов?

В конце главы я объясню, как расцепить кольца, не разрезая.

 

Откуда мы знаем, что не живем на планете в форме бублика?

В древние времена люди полагали, что Земля плоская. Но, как только они начали путешествовать на большие расстояния, вопрос крупномасштабной формы Земли стал особенно важен. В плоском мире, как считалось, при достаточно долгом странствии можно дойти до края и упасть с него – если, разумеется, мир не бесконечный и тогда нельзя достичь края.

Во многих культурах начали осознавать, что Земля, скорее всего, изогнута и конечна. Самое очевидное предположение для ее формы, несомненно, шар, и несколько древних математиков сделали невероятно точные расчеты его размера, основываясь только на анализе того, как изменяется тень на протяжении дня. Но почему ученые могли быть уверены, что поверхность Земли не сложена в какую-то более интересную форму? Откуда они знали, что мы не живем, скажем, на поверхности гигантского бублика, подобно космонавту из «Астероидов», запертому в своей бубличной двумерной вселенной?

Чтобы найти ответ, отправимся в воображаемое путешествие в этих альтернативных мирах. Давайте поместим исследователя на поверхность планеты и скажем ему, что он находится либо на идеальной сфере, либо на идеальном бублике. Как он сумеет различить эти две возможности? Мы предложим ему взять ведерко белой краски и кисть и идти по прямой линии по поверхности планеты, отмечая свой путь. В конечном счете исследователь вернется на то место, с которого начал движение, прочертив при этом гигантский белый круг вокруг планеты.

Теперь мы дадим ему ведерко с черной краской и скажем идти в другом направлении. На сферической поверхности Земли, какое бы новое направление он ни выбрал, черный путь всегда пересечет белый путь до того, как исследователь вернется к старту. Помните, что он всегда путешествует по прямой линии на поверхности. Точкой, где два пути пересекутся, будет «полюс», противоположный точке, с которой исследователь начинает движение.

Рис. 2.41. Два пути на сфере пересекаются в двух местах

На поверхности планеты, имеющей форму бублика, положение вещей совсем другое. При путешествии с белой краской исследователь мог отправиться к внутренней части бублика, пройти через дырку и выйти на другой стороне. Но если при путешествии с черной краской он отправится по пути, образующему угол 90° с белым путем, то он пройдет вокруг дырки, не заходя внутрь ее. Итак, возможно совершить два путешествия, у которых пересечение происходит лишь в месте начала движения.

Рис. 2.42. На торе есть пути, пересекающиеся один раз

Проблема в том, что поверхность планеты, вообще говоря, не является идеальной сферой либо поверхностью идеального бублика – она искажена. По планете могут ударить метеориты и оставить вмятины, так что исследователь, путешествующий по прямой линии, дойдя до вмятины или нароста, изменит направление своего движения. В действительности вполне может быть такое, что исследователь, начав движение по прямой линии, никогда не вернется в точку старта. Поскольку формы с вмятинами представляют собой лишь слегка искаженные версии сферы или поверхности бублика, возможно, существуют другие способы различить их? Именно здесь проявляется сила топологического подхода, потому что для него не столь важен кратчайший путь между точками, а то, можно ли преобразовать один путь в другой.

Давайте теперь отправим нашего исследователя в путь с белой эластичной веревкой, которую он будет класть на поверхность за собой. Когда путешественник снова вернется к началу, он соединит концы веревки, так что получится петля вокруг планеты. Затем он пойдет в другом направлении с черной эластичной веревкой, пока не вернется к месту старта. Если планета представляет собой шар с несколькими пиками или провалами, то исследователь сможет, не разрезая веревки, переместить черную петлю поверх белой. Но, если у планеты форма бублика, такое не всегда возможно. Если черная веревка обернута вокруг планеты, заходя в дырку бублика, а белая веревка уложена по кругу, проходящему по внешнему краю бублика, то нельзя совместить черную и белую петли, не разрезая их. Итак, путешественник сможет сказать, есть ли в планете дыра, совершив несколько путешествий. Не покидая поверхности планеты, он выяснит, какова ее форма.

Вот два других, более курьезных способа сказать, находитесь ли вы на планете в форме шара или в форме бублика. Представьте, что обе планеты покрыты мехом. Исследователь на бублике сумеет так причесать его, что мех всюду будет лежать гладко. Например, зачесывая мех в дыру с одной стороны и из дыры с другой стороны. Но у исследователя на меховом шаре будут проблемы; как бы он ни старался, обязательно найдется место, где мех будет торчать.

Любопытно, что у этого обстоятельства имеется странное следствие для погоды на этих двух планетах. Можно представить, что направление меха характеризует то направление, в котором дует ветер в этих двух различных мирах. На шаре всегда найдется место, где не дует ветер (там, где торчит мех). Но на бублике ветер может дуть по всей планете.

Другое отличие этих двух планет состоит в картах, которые на них могут быть нарисованы. Поделите каждую из планет на разные страны и затем попытайтесь раскрасить карты так, чтобы любые две страны с общей границей были окрашены в разные цвета. Для сферической поверхности Земли вам всегда будет достаточно лишь четырех красок. Поглядите на фрагмент карты Европы, на то, как Люксембург втиснулся между Германией, Францией и Бельгией, – и становится понятно, что нужны как минимум четыре краски. Но удивительно именно то, что больше и не потребуется – не существует возможности перекроить границы в Европе так, чтобы заставить картографов покупать пятую краску. Но доказать это утверждение нелегко. Для этого математикам пришлось прибегнуть к помощи компьютера – он проверил несколько тысяч карт, чтобы удостовериться, что не существует какой-то патологической, для которой понадобится пятая краска. На рисование всего этого от руки ушло бы слишком много времени.

Рис. 2.43. Для того чтобы раскрасить карту Европы, понадобится четыре краски

А что же у картографов, живущих на планете в форме бублика, – сколько ведерок с краской потребуется им? Оказывается, существуют карты для поверхности бубличной планеты, для которых нужны семь красок. Вспомните, как для игры «Астероиды» мы сворачивали прямоугольный экран, чтобы изготовить бублик. Мы соединяли верх и низ, чтобы сделать цилиндр, а затем соединяли концы цилиндра и получали бублик. На рис. 2.44 представлена карта для поверхности бублика до проведения этих соединений. Для раскрашивания этой карты нужно семь красок.

Теперь, после того как мы совершили путешествие по математике пузырей и бубликов, фракталов и пены, мы готовы взяться за наиглавнейший вопрос математики формы.

Рис. 2.44. Сверните эту карту в форму бублика, для чего сначала совместите верх и низ, а потом соедините концы. Вы обнаружите, что вам понадобится семь красок, чтобы раскрасить ее

 

Какова форма нашей Вселенной?

Над этим вопросом человечество билось на протяжении тысячелетий. Древние греки полагали, что Вселенная ограничена небесной сферой (твердью), на внутренней поверхности которой нарисованы звезды. Эта сфера вращалась, совершая оборот за 24 часа, что объясняло движение звезд. Но эту модель нельзя признать удовлетворительной: если мы отправимся в космическое путешествие, то что же – в конечном счете налетим на стенку? А если так, то что находится по ту сторону стенки?

Исаак Ньютон одним из первых предположил, что у нашей Вселенной, возможно, нет границы – что она бесконечна. Сколь ни привлекательна идея бесконечной Вселенной, она не соотносится с современной теорией возникновения Вселенной при Большом взрыве и ее последующего расширения из концентрированного сгустка материи и энергии. Мы теперь считаем, что в пространстве находится лишь ограниченное количество материи. Но как Вселенная может быть конечна и при этом не иметь границы?

Эта проблема аналогична той, что стояла перед нашими исследователями мира, у которого конечная площадь поверхности, но нет ни краев, ни границ. Правда, вместо того чтобы быть прижатыми к двумерной поверхности, мы находимся внутри трехмерной Вселенной. Существует ли элегантный способ найти форму этой Вселенной и разрешить очевидный парадокс того, что у нее нет границ и при этом она конечна?

Потребовалось открытие четырехмерной геометрии форм в середине XIX в. для того, чтобы у нас появился возможный ответ. Математики поняли, что четвертое измерение дает им достаточно пространства, чтобы сложить нашу трехмерную Вселенную в формы, у которых конечный объем и при этом нет границ. Так же происходит с конечной по площади двумерной поверхностью Земли или поверхностью бублика, у которых нет краев.

Мы уже видели, как конечная двумерная вселенная в игре «Астероиды» в действительности является поверхностью трехмерного бублика. Но мы же трехмерные путешественники, которые могут перемещаться и в третьем измерении. Возможно, Вселенная, в которой мы живем, подобна вселенной из игры «Астероиды»? Начнем с того, что сделаем стоп-кадр Вселенной после Большого взрыва в тот момент, когда она расширилась до размера вашей спальни. Эта Вселенная размером со спальную комнату конечна по объему, но у нее нет границ – потому что различные части спальни соединены между собой довольно любопытным образом.

Представьте, что вы стоите в середине комнаты лицом к стене (я предполагаю, что у вашей спальни форма куба). Когда вы идете вперед, то не ударяетесь в стену перед вами, а проходите через стену, бывшую за вами. Сходным образом когда вы проходите через стену за вами, то появляетесь из стены впереди. Если вы поменяете направление на 90° и направитесь к стене слева, то, пройдя через нее, вы выйдете из стены справа (и наоборот). Итак, части вашей спальни соединены как в игре «Астероиды».

Но мы – трехмерные путешественники в пространстве, которые могут отправиться и в третьем направлении. Когда мы подлетаем к потолку, то не отскакиваем от него, а проходим сквозь него и выходим из пола. При путешествии в противоположном направлении мы проходим через пол и выходим из потолка.

При этом форма Вселенной соответствует поверхности четырехмерного бублика, или гипербублика. Но подобно тому, как космонавт, запертый в игре «Астероиды», не может выйти из своего двумерного мира, чтобы разглядеть, как свернута вселенная, мы не в состоянии увидеть этот гипербублик. И все же, используя язык математики, мы можем испытать его форму и исследовать его геометрию. К настоящему времени наша Вселенная заметно расширилась за пределы спальной комнаты, но, возможно, она по-прежнему устроена как поверхность гипербублика. Подумайте о свете, который распространяется по прямой линии от Солнца. Быть может, он не исчезает на бесконечности, а, образуя петлю, возвращается назад и попадает на Землю. Если это так, одна из наблюдаемых нами далеких звезд – это наше Солнце, потому что его свет распространялся по всему гипербублику и наконец пришел на Землю. Следовательно, мы можем видеть наше Солнце, когда оно было значительно моложе.

Это кажется невероятным, но представьте, что вы сидите в своей спальне, которая соответствует мини-бублику Вселенной, и зажигаете спичку. Когда вы глядите на стену перед собой, то видите пламя спички перед вами. Теперь обернитесь и посмотрите на противоположную стену. Вы снова увидите спичку, но теперь на несколько большем расстоянии, потому что свет от спички сначала идет к стене перед вами, а затем проходит через противоположную стену и попадает вам в глаз.

Возможно, мы живем не на гипербублике, а на поверхности четырехмерного футбольного мяча. Некоторые астрономы полагают, что мы могли бы жить в форме, которая напоминает додекаэдр с 12 гранями, где как в мини-вселенной размером со спальню, когда вы достигаете одной из граней додекаэдра, то возвращаетесь в вашу вселенную через противоположную грань. Вероятно, мы совершили полный круг и вернулись к той модели, которую Платон предложил две тысячи лет назад. Согласно ей наша Вселенная заключена внутрь стеклянного додекаэдра, к поверхности которого прикреплены звезды. Возможно, современная математика наполнила смыслом эту модель, ведь противоположные грани этой формы теперь соединены и более не представляют стеклянных перегородок вселенной.

Но какие другие формы могли бы быть у нашей Вселенной? Вспомните, как Пуанкаре провел классификацию всех возможных форм, которые могли бы быть у двумерных поверхностей, таких как поверхность нашей планеты. Поверхность может быть свернута как футбольный мяч, бублик, брецель с двумя дырками, с тремя дырками или с большим количеством дырок. Пуанкаре доказал, что какие бы другие формы вы ни постарались изготовить, их можно деформировать в сферу или брецель с дырками.

А что же можно сказать о нашей трехмерной Вселенной – какая форма может быть у нее? Эта задача на миллион долларов называется гипотезой Пуанкаре. Она особенна, потому что в 2002 г. появились новости о ее решении российским математиком Григорием Перельманом. Его доказательство гипотезы Пуанкаре было проверено многими математиками, и теперь признано, что он действительно расклассифицировал все возможные формы, которые могла бы принимать наша Вселенная. Это была первая решенная задача на миллион долларов, но, когда в июне 2010 г. Перельману предложили получить премию, он, к общему изумлению, отказался от нее. Для Перельмана приз был не в деньгах, но в найденном решении одной из величайших задач в истории математики. До того Перельман уже отказался от медали Филдса, математического эквивалента Нобелевской премии. В наш век погони за славой и материальным достатком такой поступок человека, которого вдохновляет доказательство теорем, а не получение призов, представляется невероятно благородным.

После того как математики признали доказательство Перельмана, можно утверждать, что они разобрались во всех возможных формах. Теперь дело за астрономами, наблюдающими за ночным небом: определить, какая из них лучше всего описывает неуловимую форму Вселенной.

 

Решения

Воображая формы

Разрез пересекает все шесть граней, и каждая грань добавляет ребро к образовавшейся новой грани. Эта форма должна быть симметрична, так что у вас получится шестиугольник.

Расцепление колец

Вот так можно расцепить два кольца, непрерывно деформируя их в тор с двумя дырками.

Рис. 2.45

 

Участие в играх является существенной частью человеческого опыта. Игры – это безопасный способ исследования ситуаций, происходящих в реальной жизни. «Монополия» – это микрокосм экономики, шахматы – поле сражения 8 × 8, покер – упражнение в оценке риска. Игры позволяют нам научиться предсказанию того, как при выполнении определенных правил будут развиваться события, и соответственному планированию своих действий. Благодаря им мы знакомимся со случайностями и непредсказуемостью, играющими столь большую роль в игре жизни, организуемой природой. От древних цивилизаций во всем мире нам досталось в наследство захватывающее разнообразие игр. Камешки, бросаемые в песок, палочки, подкидываемые в воздух, жетоны, вставляемые в прорези в деревянных колодках, соревнования с помощью рук и карт с изображениями на них… От древней игры манкала до «Монополии», от японской игры го до покерных столов Лас-Вегаса – в играх неизменно побеждает тот, кто лучше следует математическому, аналитическому подходу. В настоящей главе я покажу вам, как математика может быть секретным оружием к победной серии.

 

Как стать чемпионом мира по игре «Камень, ножницы, бумага»?

«Дзян-кэн-пон» в Японии. «Ро-шам-бо» в Калифорнии. «Кай-бай-бо» в Корее. «Чин-чон-ча» в Южной Африке. В игру «Камень, ножницы, бумага» играют по всему миру.

Правила очень просты. На счет «три» каждый игрок показывает рукой один из трех знаков: кулак, обозначающий камень, два разведенных пальца вместо ножниц или прямую ладонь, символизирующую бумагу. Камень побеждает ножницы, ножницы побеждают бумагу, и бумага побеждает камень. Если выпадают два одинаковых знака, то результат ничейный.

Логическое обоснование первых двух побед достаточно очевидно: камень затупляет ножницы, ножницы режут бумагу. Но почему камень проигрывает бумаге? Лист бумаги – не слишком-то хорошая защита от камня, запущенного в вас. Но возможно, эта условность дошла до нас из Древнего Китая. В те дни прошение, подаваемое императору, символизировалось камнем. Император указывал на то, принял или нет он прошение, посредством листа бумаги, помещаемого под камнем или над ним. Если камень был покрыт листом бумаги, то в прошении отказывалось, а подавший его проигрывал дело.

Происхождение этой игры довольно трудно проследить. Есть свидетельства, что в нее играли на Дальнем Востоке, она была распространена и у кельтских племен и, вероятно, даже у древних египтян, которые любили игры на пальцах. Но все эти цивилизации уступили первенство в изобретении этой игры разновидности ящериц, которая прибегала к ней в борьбе за выживание задолго до того, как Homo sapiens начал делать жесты.

На западном побережье Америки обитает вид ящериц Uta stansburiana, более известный как обыкновенная пятнистая ящерица. У самца этого вида три возможных окраса – оранжевый, синий и желтый, и у каждого из них различная тактика спаривания. Оранжевые ящерицы – самые сильные. Они нападают на синих ящериц и побеждают их. Синие ящерицы больше желтых и охотно вступают с ними в битвы, нанося соперникам поражения. Но, хотя желтые самцы меньше синих и оранжевых, они выглядят как самки, что сбивает с толку оранжевых самцов. Поэтому оранжевые самцы, всегда готовые вступить в бой, не замечают, как желтые ящерицы проскальзывают у них под носом и спариваются с самками. Иногда желтых ящериц называют «пронырами» из-за используемого ими нечестного приема для обмана оранжевых ящериц. Итак, оранжевая побеждает синюю, синяя побеждает желтую, а желтая побеждает оранжевую – мы видим эволюционную версию игры «Камень, ножницы, бумага».

Рис. 3.01

Эти ящерицы участвуют в игре, передавая при этом свои гены. Было бы интересно узнать, разработали ли они какую-то стратегию выигрыша. Оказывается, в их популяции имеется шестилетний цикл, в начале которого доминируют оранжевые ящерицы, потом желтые, затем синие, а потом снова оранжевые. Появляющаяся последовательность в точности такая же, как у людей, которые пытаются победить в этой игре, сражаясь один на один. Если соперник слишком часто выкидывает «камень», вы начинаете показывать «бумагу», но оппонент, видя то, как участившаяся «бумага» побеждает его «камень», переключится на «ножницы», чтобы пресечь бумажную серию. Вы подмечаете это изменение в поведении и снова переходите на «камень».

В своей основе умение побеждать в этой игре состоит в обнаружении закономерностей, что является выраженной математической особенностью. Если вы можете предсказать, как поступит ваш оппонент, исходя из сложившейся у него модели поведения, то вы готовы к победам. Проблема только в том, что вы не желаете, чтобы в вашей реакции было легко заметить ритм, иначе преимущество перейдет к оппоненту. Поэтому состязание обставлено массой психологических нюансов, когда каждый из соперников пытается заметить закономерности в игре оппонента и догадаться, как он мог бы поступить.

Игра «Камень, ножницы, бумага» недавно переросла рамки детских площадок и вышла на уровень международных соревнований. Каждый год чемпиона мира по «Камню, ножницам, бумаге» наряду с вожделенным титулом ожидает приз в $ 10 000. В списке славы доминировали участники из США, но в 2006 г. житель Северного Лондона Боб Купер по прозвищу Камень сумел сдержать свои нервы и завоевать звание. Как он готовился к турниру? «Несколько часов тяжелых тренировок перед зеркалом каждый день». Полагаю, что это помогает укрепить психологическую подготовку к противостоянию с оппонентом, намеревающимся читать ваши мысли. А каков секрет его успеха? Его прозвище подталкивает соперников к мысли, что он будет чаще обычного выкидывать «камень». Поэтому у Боба появляется возможность изрезать «ножницами» «бумагу», которую соперники готовят, чтобы обернуть его «камень». Но после того, как оппоненты догадываются о его уловке, Боб Купер использует математический подход.

С математической, а не психологической точки зрения лучшей стратегией было бы сделать ваш выбор совершенно случайным. Тогда вашему оппоненту будет не на что опираться, потому что в совершенно случайной череде событий то, что произошло ранее, никоим образом не влияет на последующее. Если я подкину монету десять раз, то первые девять бросков никоим образом не могут повлиять на исход последнего броска. Даже если у вас девять раз выпал орел, это не означает, что в десятый раз должна выпасть решка, чтобы навести баланс. У монеты нет памяти.

Стратегия, опирающаяся на рандомизацию, дает вам лишь равный шанс выиграть, потому что при этом игра «Камень, ножницы, бумага» ничем не отличается от подбрасывания монеты для определения победителя. Но, если мне приходится соперничать с чемпионом мира, я соглашусь на любую стратегию, дающую мне тот же шанс выиграть. Мне не приходит в голову много видов спорта, где можно придумать стратегию, дающую вам шанс пятьдесят на пятьдесят победить чемпиона мира. Может быть, спринт на 100 м? Я так не думаю.

Но как можно выбрать ряд исходов и быть совершенно уверенным, что он случаен и не характеризуется какой-то скрытой закономерностью? Это серьезная проблема: мы, люди, печально известны своей неспособностью выдать случайную последовательность – мы настолько склонны к закономерностям, что в любую нашу «случайную» последовательность просачивается структура. Вы можете загрузить PDF-файл с веб-сайта «Тайн 4исел», содержащий игральную кость «Камень, ножницы, бумага». Соберите игральную кость, которая поможет вам делать случайный выбор и победить в игре.

Ножницы и Сезанн

Игра «Камень, ножницы, бумага» использовалась для улаживания разногласий как в детских песочницах, так и на заседаниях директоров компаний. Был знаменитый случай, когда аукционные дома Sotheby’s и Christie’s решили выбрать, кому из них продавать коллекцию импрессионистских полотен Ван Гога и Сезанна, посредством единственного раунда «Камня, ножниц, бумаги». Каждый из аукционных домов должен был за выходные определиться со своим выбором. Sotheby’s нанял за немалые деньги команду аналитиков первого ранга, чтобы те предложили выигрышную стратегию. Аналитики пришли к выводу, что это игра случая и один выбор ничем не хуже другого. Поэтому они предложили «бумагу». А в Christie’s просто спросили одиннадцатилетнюю дочь одного из служащих, что бы сделала она. «Все полагают, что вы покажете “камень”, поэтому выбирают “бумагу”. Значит, нужно показать “ножницы”», – сказала она. Christie’s выиграл контракт на продажу. Сказанное лишь должно продемонстрировать вам, что математика не всегда дает преимущество.

 

Насколько вы сильны в случайности?

Интуиция зачастую подводит нас в отношении последствий случайности. Давайте я предложу вам пари. Я подкину монету 10 раз. Вы дадите мне £ 1, если случится так, что выпадут подряд три орла или три решки. Если такого не будет, я дам вам £ 2. Согласны ли вы на такое пари?

А если я повышу свою ставку до £ 4? Мне думается, что даже если вы не были уверены сначала, то примете пари теперь. В конце концов, насколько вероятно, что выпадет подряд три орла или три решки при десяти бросках монеты? Как это ни поразительно, такое происходит более чем в 82 % случаев. Поэтому, даже если я выплачиваю по £ 4 за три идущих подряд одинаковых исхода, я не останусь внакладе при достаточно долгой игре.

Точная вероятность того, что при десяти подбрасываниях монеты выпадет подряд три орла или три решки, равна 846/1024. Вот славные подробности того, как можно получить эту вероятность. Достаточно любопытно, что числа Фибоначчи, с которыми мы познакомились в главе 1, являются ключом к подсчету шансов – это еще одно свидетельство того, что они встречаются повсюду. Если я подброшу монету N раз, то имеется 2N различных исходов. Мы обозначим gN количество комбинаций, когда не встречается трех идущих подряд орлов или решек. С этими комбинациями вы выиграете пари. Мы можем сосчитать gN , воспользовавшись правилом для чисел Фибоначчи:

g N  =   g N – 1  +   g N – 2 .

Для приведения чисел в движение нужно только знать, что g1  = 2 и g2  = 4, потому что при одном или двух бросках монеты не может выпасть последовательность из трех орлов или трех решек, ведь мы еще не подкидывали монету три раза. Итак, gN принимает следующий вид:

2, 4, 6, 10, 16, 26, 42, 68, 110, 178…

Следовательно, имеется 1024 – 178 = 846 различных комбинаций после десяти подбрасываний монеты, в которых содержится последовательность из трех идущих подряд орлов или решек. Итак, вероятность выпадения такой последовательности равна 846/1024, и я выигрываю приблизительно в 82 % случаев.

Почему правило Фибоначчи оказывается ключом к вычислению gN ? Возьмите все возможные комбинации после N –  1 подбрасывания монеты, в которых нет идущих подряд трех орлов или трех решек. Мы обозначили их число gN –  1 . Теперь возьмем такую комбинацию после N бросков, что у броска N был противоположный исход броску N –  1. А сейчас возьмем все комбинации после N –  2 бросков, не содержащие трех идущих подряд орлов или решек. Их число равно gN –  2 . Пусть у бросков N –  1 и N был противоположный исход по сравнению с броском N –  2. Таким образом вы генерируете все возможные комбинации после N бросков, не содержащие трех идущих подряд орлов или решек.

 

Как выиграть в лотерею?

Этот вопрос чаще всего задают мне, когда я говорю, что провожу свою жизнь в играх с числами. Но, как и при подбрасывании монеты, числа, выпавшие в розыгрыше предыдущей недели, не могут повлиять на числа ближайшей субботы. В этом и состоит принцип случайности, но некоторых людей не убедить никогда.

Розыгрыши итальянской государственной лотереи проводятся два раза в неделю, они проходят в десяти городах страны. Участники выбирают числа от 1 до 90. В какой-то момент шар с номером 53 отказывался выпадать в Венеции на протяжении почти двух лет розыгрышей. Разумеется, после столь долгого отсутствия он наверняка выпадет на следующей неделе – так думали многие итальянцы. Одна женщина поставила все сбережения своей семьи на то, что выпадет шар с номером 53. Когда он снова не появился, женщина утопилась в море. Были и другие трагические случаи, например когда мужчина застрелил свою семью, а потом убил себя. У него образовался огромный долг после того, как он поставил на шар 53. Как оценивается, итальянцы вложили £ 2,4 миллиарда – в среднем £ 150 на семью – в ставки, что выпадет 53.

Были даже призывы к правительству запретить номер 53 в лотерее, чтобы положить конец общенациональной одержимости этим числом. Когда плотина наконец-то была прорвана, и 9 февраля 2005 г. шар 53 показался в розыгрыше, было выплачено £ 400 миллионов неназванному числу игроков. С неизбежностью нашлись те, кто обвинил правительство в подтасовке лотереи, чтобы не проводить огромные выплаты. Подобный слух циркулировал не впервые. В 1941 г. шар с номером 8 не появился после 201 розыгрыша в Риме. Многие полагали, что Муссолини подтасовал его невыпадение, чтобы направить ставки нации на шар номер 8 на финансирование итальянских военных расходов.

А теперь давайте проверим, насколько вы удачливы, и сыграем в нашу маленькую лотерею. Я не могу обещать вам миллионы фунтов, но зато участие в ней не будет вам стоить ничего. Чтобы сыграть в лотерею, сначала выберите 6 из 49 чисел билета (рис. 3.02).

Рис. 3.02. Лотерея «Тайн 4исел»

Выбрали числа? Чтобы посмотреть, оказались ли они выигрышными, зайдите на веб-сайт http://bit.ly/quickpick .

Чтобы проверить, выиграли ли вы, зайдите на веб-сайт, приведенный выше в тексте в рамке. Выберите 1 ticket, United Kindom and National Lottery (1 билет, Соединенное Королевство и Национальная лотерея), а затем щелкните «Pick Tickets» – «Вытянуть билеты». Если у вас нет доступа к интернету, то посмотрите на заранее выбранные шесть чисел в конце этой главы. Только не надо жульничать. Как и при решении математических головоломок, вы получите значительно большее удовольствие, если получите ответ сами, а не подглядите его.

Каков ваш шанс выбрать правильно все шесть чисел и выиграть в лотерею? Чтобы сосчитать вероятность, нужно найти число всех различных способов выбрать 6 чисел, назовем это число N. Тогда у вас будет 1 шанс из N выиграть в лотерею. Для разогрева давайте найдем число различных способов выбрать 2 числа. У вас есть 49 вариантов для вашего первого числа. Второе число вы можете выбрать 48 способами. Каждый выбор первого числа может сочетаться с одним из 48 оставшихся чисел. Итак, у вас имеется 49 × 48 различных пар чисел. Но постойте, ведь каждый выбор был сосчитан дважды. Например, если вы выбрали 27 в качестве вашего первого числа, а затем 23 в качестве второго, то получится то же самое, если вы выбрали 23 первым, а 27 вторым. Итак, возможных пар в 2 раза меньше, чем вы подумали сначала, что означает, что число пар, которые вы можете выбрать, равно ½ × 49 × 48.

Теперь перейдем к шести числам. Имеется 49 вариантов выбора первого числа, 48 второго, 47 третьего, 46 четвертого, 45 пятого и, наконец, 44 варианта выбора последнего числа. Что дает 49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44 комбинаций шести чисел. Однако мы опять учли каждую комбинацию более одного раза. Например, сколько раз мы сосчитали комбинацию 1, 2, 3, 4, 5, 6? Что же, мы могли выбрать в качестве первого любое из этих шести чисел (и выбрали, скажем, 5). Тогда у нас останется пять возможных способов выбрать второе число (скажем, 1), четыре варианта для следующего числа (скажем, 2), три для последующего (скажем, 6), два для предпоследнего числа (скажем, 4), а последнее число – единственное, которое осталось (в данном случае 3). Итак, имеется 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 различных способов выбрать шесть чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. То же самое относится к любой комбинации шести чисел. Значит, нам нужно разделить 49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44 на 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1, чтобы получить правильное число всех возможных вариантов заполнить наш лотерейный билет. И каков ответ? 13 983 816.

Это число определяет также ваш шанс выиграть, потому что оно дает число всех возможных комбинаций шаров при розыгрыше. Другими словами, ваш шанс выбрать правильную комбинацию среди всех возможных будет 1 из 13 983 816.

А какова вероятность того, что вы не угадали ни одно число? Мы можем найти ее тем же способом, как и ранее. Ваше первое число должно быть одним из 43 невыпавших, второе число – одним из остающихся 42 и т. д. Это дает 43 × 42 × 41 × 40 × 39 × 38 разных комбинаций. Но каждая из комбинаций была учтена 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 раз. Итак, число всех комбинаций, в которых нет ни одного правильного числа, равно 43 × 42 × 41 × 40 × 39 × 38, поделенному на 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1, или 6 096 454. Итак, у чуть менее чем половины всех возможных выборов нет ни одного выигрышного числа. Чтобы сосчитать ваш шанс не угадать ни одного числа, нужно разделить 6 096 454 на 13 983 816. Это приблизительно равно 0,436, другими словами, вероятность того, что вы не угадаете ничего, составляет 43,6 %.

Итак, у вас есть шанс 56,4 % угадать хотя бы одно число. А каков шанс, что у вас будет ровно два верных числа? Чтобы найти его, нужно сначала определить количество комбинаций с двумя верными числами. У вас есть выбор из шести для одного правильного числа и выбор из пяти для второго правильного числа. Получается 6 × 5, но это число опять нужно разделить на 2 в силу двойного учета. Для четырех неверных чисел у вас имеется 43 × 42 × 41 × 40 комбинаций, что нужно разделить на 4 × 3 × 2 × 1 из-за многократного учета. Значит, количество комбинаций, в которых верны ровно два числа, составляет

В таблице 3.01 приведены ваши шансы угадать правильно от 0 до шести чисел, все вероятности рассчитаны таким же способом. Чтобы представить эти числа в перспективе, отметим, что если вы будете покупать билет национальной лотереи каждую неделю, то примерно через год вы можете ожидать, что у одного из ваших билетов будут по крайней мере три правильных числа. Примерно через двадцать лет вы могли бы увидеть билет по крайней мере с четырьмя верными числами. Король Альфред, покупай он билет каждую неделю, смог бы к настоящему времени увидеть один билет с пятью выигравшими числами. А если бы первой мыслью, появившейся в голове первого Homo sapiens, была бы идея зайти в ближайший киоск и начать покупать один лотерейный билет каждую неделю, то к настоящему времени он мог бы выиграть один большой приз.

Таблица 3.01. Шанс правильно угадать от 0 до 6 номеров национальной лотереи

Почему числа любят собираться вместе

Ниже приведен способ расчета количества лотерейных билетов, у которых есть хотя бы два последовательных числа. Математики часто применяют хитроумный трюк, состоящий в решении противоположной задачи, это мы сейчас и сделаем. Сначала мы сосчитаем количество билетов без последовательных чисел, затем вычтем результат из полного числа возможных комбинаций, чтобы найти, у какого количества комбинаций будут последовательные числа.

Сначала выберите любые шесть чисел от 1 до 44 (заметьте, что разрешается выбирать именно до 44, а не до 49, вскоре вы поймете почему). Назовите ваш выбор чисел А (1), …, А (6), причем число А (1) – меньшее из выбранных, а А (6) – самое большое. Хотя числа А (1) и А (2) могут быть последовательными, числа А (1) и А (2) + 1 уже не будут таковыми. Так что, если вы возьмете шесть чисел A (1), A (2) + 1, A (3) + 2, A (4) + 3, A (5) + 4 и A (6) + 5, никакие два из них не будут последовательными. (Ограничение на выбор чисел до 44 теперь становится понятным, потому что если А (6) равно 44, то А (6) + 5 равняется 49.)

Используя этот трюк, вы можете сгенерировать все билеты без последовательных чисел. То есть вы просто выбираете шесть чисел от 1 до 44 и разрежаете их, увеличивая каждое из них. Значит, мы найдем число возможных комбинаций, в которых нет последовательных чисел, и оно будет таким же, как число возможных комбинаций по выбору шести чисел от 1 до 44. Последнее равно

Итак, полное количество билетов с последовательными числами будет

13 983 816 – 7 059 052 = 6 924 764.

Если вам когда-либо настолько повезет, что вы выиграете большой приз, вам не захочется, чтобы произошло то, что случилось в Великобритании 14 января 1995 г. Тогда шла лишь девятая неделя национальной лотереи, а джекпот превзошел немалую сумму в £ 16 миллионов. Когда шесть шаров выпали из лототрона, то победители наверняка прыгали у диванов и кричали от счастья. Но когда они пришли за выигрышем, то каждый из них обнаружил, что ему придется поделить джекпот с другими 132 обладателями счастливых билетов. Каждый из победителей получил пустяк в £ 122 510.

Но как получилось, что так много людей угадали правильную комбинацию? Дело заключается в том обстоятельстве, которое я отметил, когда мы рассматривали игру «Камень, ножницы, бумага»: мы, люди, печально известны своим неумением выбирать случайные числа. Нужно принять во внимание, что 14 миллионов человек играют в национальную лотерею, и многих из них притягивают схожие числа, например число удачи 7 либо дни рождений или юбилеев (что исключает числа 32–49). Также для выбора многих людей характерно то, что они стремятся распределить свои числа равномерно.

Вот выигравшие числа девятой недели лотереи:

Рис. 3.03

Такое равномерное распределение чисел не слишком-то характерно для случайных процессов: числа могут собираться вместе и отталкиваться с одинаковой вероятностью. Из 13 983 816 различных возможных комбинаций лотерейных билетов у 6 924 764 будут хотя бы два последовательных номера. Это составляет 49,5 %, что очень близко к половине всех комбинаций. Например, в предшествовавшую неделю выпали номера 21 и 22. А в последовавшую неделю были 30 и 31.

Однако не привязывайтесь слишком к последовательным числам. Вы могли бы решить, что комбинация 1, 2, 3, 4, 5, 6 будет умным выбором. В любом случае, как я надеюсь, к настоящему времени вы понимаете, что эта комбинация столь же вероятна, как и любая другая (то есть крайне маловероятна). Если вы сорвете джекпот с этой комбинацией, вы, наверное, рассчитываете получить выигрыш целиком. Но, оказывается, более 10 000 человек в Великобритании используют эту комбинацию каждую неделю – что лишь показывает, насколько разумно британское население. Единственная проблема состоит в том, что в случае выигрыша вам придется делиться джекпотом с другими 10 000 умными людьми.

 

Как обманывать в покере и показывать фокусы, используя задачу о простых числах на миллион долларов

Игроки-шулеры и фокусники тасуют карты не так, как прочие люди. Но после нескольких часов тренировки можно освоить прием, называемый совершенной тасовкой. При этом колода карт делится на две равные части, и потом карты из разных половин чередуются одна за другой. Если вы играете в покер, такая тасовка очень опасна.

Давайте представим, что четыре человека сидят за покерным столом: сдающий, его сообщник и два ничего не подозревающих игрока, которых сейчас облапошат. Сдающий кладет четырех тузов на верх колоды. После одной совершенной тасовки тузы разделены одной картой, после еще одной – тремя картами, что идеально подходит для того, чтобы сдающий раздал своему сообщнику четырех тузов.

Совершенная тасовка крайне эффективна и в руках фокусника, который может использовать ее интересное свойство. Если вы возьмете колоду из 52 карт и выполните совершенную тасовку 8 раз, то чудесным образом карты в колоде вернутся к своему первоначальному положению. Человеку со стороны кажется, что тасовка совершенно разупорядочивает колоду. В конце концов, восемь тасовок – более чем достаточно для среднестатистического игрока перед началом игры. Действительно, математики доказали, что для обычного игрока достаточно семи тасовок, чтобы колода полностью потеряла свою первоначальную структуру и стала случайной. Но совершенная тасовка – вовсе не обычная тасовка. Представьте, что колода карт в чем-то соответствует монете восьмиугольной формы и совершенная тасовка поворачивает ее на одну восьмую полного оборота. После восьми таких поворотов монета возвращается к своему первоначальному положению.

Но сколько раз потребуется сделать совершенную тасовку с колодой, в которой более 52 карт, чтобы они вернулись к своему первоначальному положению? Если вы добавите двух джокеров и начнете делать совершенные тасовки, то понадобится 52 манипуляции для полного оборота. Однако когда вы добавите еще десять карт и их станет 64, то потребуется сделать лишь шесть совершенных тасовок, чтобы карты в колоде возвратились к исходному положению. Так что же нам говорит математика о количестве совершенных тасовок, необходимых для того, чтобы карты в колоде из 2N карт (число должно быть четным) вернулись к исходному положению?

Пронумеруйте карты 0, 1, 2 и так далее вплоть до 2N – 1, и вы увидите, что совершенная тасовка, по существу, удваивает номер карты. Карта 1 (которая на самом деле является второй картой в колоде) становится картой 2. После еще одной совершенной тасовки она становится картой 4, затем картой 8. Математика будет проще, если мы припишем первой карте номер 0.

Но куда пойдут карты, находящиеся дальше в колоде? Чтобы разобраться в этом, представим часы с часовыми делениями от 1 до 2N – 1. Так, колода с 52 картами соответствует циферблату с делениями от 1 до 51. Если вы хотите знать, куда переместилась карта 32, то удвойте 32. Это означает, что вы стартуете с 32-го часа и отсчитываете 32 часа вперед, что приводит вас к 13 часам. Чтобы понять, сколько раз нужно сделать совершенную тасовку для возвращения всех карт к исходному положению, я должен понять, сколько раз я должен удвоить числа на циферблате для их возвращения к первоначальной позиции. В действительности я должен проследить за числом 1 и понять, сколько раз я должен удвоить его, чтобы вернуться к 1. Вот что происходит на циферблате с 51 часом при последовательном удвоении 1:

1 → 2 → 4 → 8 → 16 → 32 → 13 → 26 → 1

То, что срабатывает для 1, также будет срабатывать для всех остальных чисел. По существу, выполнение 8 совершенных тасовок соответствует умножению номеров карт на 28 = 256. Можно понять, что данная операция означает умножение номера на 1, то есть карта остается на своем месте.

Но как долго вам придется выполнять совершенные тасовки с колодой из 2N карт, чтобы те приняли первоначальное положение? Пьер де Ферма доказал, что если 2N – 1 является простым числом и вы будете продолжать удваивать числа на циферблате с 2N – 1 часом, то после 2N – 2 удвоений числа обязательно вернутся на прежнее место. Итак, для колоды из 54 карт, поскольку 54 – 1 = 53 является простым числом, 52 совершенных тасовок будет наверняка достаточно.

Однако в случае, когда 2N – 1 не является простым, нам понадобится несколько более сложная формула для расчета количества необходимых совершенных тасовок. Если 2N – 1 = p × q, где p и q – простые числа, то (p –  1) × (q – 1) совершенных тасовок будет заведомо достаточно, чтобы колода приняла свой прежний вид. Так, для колоды из 52 карт, поскольку 52–1 = 3 × 17, наверняка хватит (3–1) × (17–1) = 2 × 16 = 32 совершенных тасовок. Но в действительности вам достаточно совершить лишь 8 таких манипуляций. (В следующей главе я докажу этот фокус Ферма и объясню, что та же самая математика лежит в основе шифров, которые должны защищать секреты в интернете.)

Подсказка для покера

В популярной версии покера, называемой «техасский холдем», каждому игроку раздаются по две карты картинками вниз. Затем дилер поочередно выкладывает пять карт на стол картинками вверх. Вы должны собрать как можно лучшую комбинацию из пяти карт, выбирая из двух имеющихся у вас и пяти на столе, которая превзошла бы комбинации соперников. Если вам достались две последовательные карты (скажем, 7 треф и 8 пик), вы можете войти в азарт из-за возможности стрита (пяти последовательных карт любых мастей, например 6, 7, 8, 9, 10).

Стрит – весьма сильная комбинация. Поскольку ее вероятность довольно низка, вы можете счесть, что наличие у вас двух последовательных карт – достаточное основание для повышения ставок, потому что вы находитесь на пути к стриту. И вот сейчас вам надлежит вспомнить лотерейную подсказку. Два последовательных числа довольно часто выпадают в лотерее, то же относится и к покеру. Знаете ли вы, что в 15 % раздач техасского холдема имеются две последовательные карты? Однако чуть меньше трети из них дойдут до стрита, когда дилер выложит пять карт на столе.

Математический вопрос, который восходит к работе Гаусса двухсотлетней давности, состоит в следующем: существует ли бесконечно много чисел N, обладающих тем свойством, что колода из 2N карт на самом деле требует полного числа совершенных тасовок? Этот вопрос, как оказывается, связан с гипотезой Римана, задачей на миллион долларов о простых числах, завершающей главу 1. Если простые числа распределены так, как предсказывает гипотеза Римана, то будет бесконечное число колод карт, требующих максимального числа совершенных тасовок. Разумеется, нельзя сказать, что The Magic Circle и картежники по всему миру затаили дыхание в ожидании ответа. Но математикам любопытно знать, как простые числа могут быть связаны с вопросами тасовки карт. Не окажется удивительным, будь они связаны, – простые числа настолько фундаментальны в математике, что появляются в самых странных местах.

 

Математика в казино: удвоить или обанкротиться?

Вы в казино у колеса рулетки, и у вас 20 фишек. Вы решили, что попытаетесь удвоить свои деньги, прежде чем уйдете. Если вы поставите фишку на красное или черное, то удвоите ее, если угадаете правильно. Так в чем же состоит правильная стратегия – поставить все свои деньги на красное одним махом или же ставить поочередно одну фишку за другой, пока вы либо не проиграете свои деньги, либо получите 40 фишек?

Прежде чем анализировать эту задачу, вы должны уяснить, что каждый раз, когда делаете ставку, вы, по существу, платите казино небольшой взнос за игру. Это станет понятно, когда вы усредните данные по всем своим выигрышам и проигрышам. Если вы ставите на 17 черное и выпадает это число, то казино возвращает вам вашу фишку и дает в придачу 35. Если бы на колесе рулетки было 36 чисел, то игра была бы справедливой, поскольку 17 черное в среднем выпадало бы один раз из 36. Так что, будь у вас 36 фишек и продолжай вы ставить на 17, то за 36 вращений колеса вы в среднем проигрываете 35 раз и один раз выигрываете, в результате вы остаетесь с теми же 36 фишками, с которыми начали игру. Но на самом деле на европейской рулетке 37 чисел, на которые можно делать ставки (от 1 до 36 и 0, который ни черный, ни красный), но казино платит вам выигрыш, как будто на колесе 36 чисел.

Поскольку на колесе 37 чисел, каждый раз, когда вы ставите £ 1, казино зарабатывает 1/37 × £ 1, что приблизительно составляет 2,7 пенса. Время от времени казино приходится делать большие выплаты какому-то игроку, но в конечном счете оно будет зарабатывать деньги благодаря законам вероятности. А в США шансы игроков еще более неблагоприятны, поскольку там на колесе рулетки 38 чисел: от 1 до 36, а также 0 и 00. Мы уже видели, что ставка на одно число обходится вам в конечном счете в 2,7 пенса. Но вы не обязаны ставить на одно число: вы можете, например, делать ставки, что число будет красное или черное, четное или нечетное, или в диапазоне от 1 до 12. Ваши шансы можно рассчитать таким же способом: по существу, какую бы ставку вы ни делали, она обойдется вам в 2,7 пенса за вложенный £ 1.

Итак, что же вам делать, чтобы повысить ваш шанс удвоения денег? Начнем с того, что, поскольку вы платите за каждую игру, оптимальная стратегия состоит в том, чтобы играть как можно меньше раз. Есть вероятность 18/37, чуть меньше 50 %, что вы уйдете, удвоив свои деньги. Так что, пусть это и будет короткий визит в казино, наилучшая стратегия состоит в том, что поставить все свои деньги на красное одним махом. Вероятность удвоения денег, если вы будете ставить одну фишку за фишкой, составляет

и у вас получается шанс 25,3 %. Значит, вы уменьшаете ваши шансы в 2 раза, если будете ставить каждый раз одну фишку.

Но в каком казино и каким образом лучше всего играть в рулетку? Некоторые заведения при выпадении 0 применяют правило en prison и возвращают вам половину вашей ставки, если вы поставили на красное. По сути это означает, что ваши шансы более благоприятны – в рулетку в таком казино играть дешевле.

При достаточно долгой игре она обойдется вам в

что нужно сопоставить с 2,7 пенса, которые требуется заплатить за какую-либо другую ставку на столе. Итак, если казино использует правило en prison, то при достаточно долгой игре стоимость ставки на красное/черное составляет половину стоимости других ставок.

Вместо того чтобы вернуть назад половину вашей ставки при выпадении 0, казино может предложить вам другой вариант: вы заключаете вашу ставку en prison. Тогда крупье кладет на ставку фишку еn prison – и при выпадении красного при следующем розыгрыше вы получаете прощение и казино возвращает вам вашу ставку (но без какого-либо выигрыша). В ином случае вы теряете свою ставку. Поскольку вероятность того, что вы получите назад свои деньги, составляет 18/37 (чуть меньше 50 %), то вам будет лучше взять половину своих денег, если представится такая возможность, чем заключать вашу ставку в тюрьму и надеяться на выпадение красного.

Итак, очевидно, что обстоятельства складываются не в вашу пользу. Но существует ли какой-нибудь математический прием, чтобы обыграть казино? Вот идея стратегии, называемой мартингейлом. Начните с того, что поставьте одну фишку на красное. Если выпадет красное, вы вернете вашу фишку и в придачу к ней получите еще одну фишку. Если красное не выпадет, то поставьте в следующем раунде две фишки на красное. Если при розыгрыше выпадет красное, то вы вернете свои две фишки и плюс к ним еще две. Вы потеряли одну фишку при первой ставке, так что теперь ваш выигрыш составляет одну фишку. Если же и во второй раз не выпадет красное, то в следующий раз поставьте четыре фишки. Если выпадет красное, то вы получите четыре фишки сверх вашей ставки. Но вы уже проиграли одну фишку в первом раунде, две фишки во втором, поэтому ваш выигрыш составляет… одну фишку.

Данная система игровых ставок состоит в том, что вы каждый раз удваиваете их, пока не выпадет красное. Ваш итоговый выигрыш всегда будет составлять одну фишку, потому что, если красное выпадет в раунде N, то ваш выигрыш в данном раунде будет составлять 2N  – 1 фишек (поставленное вами количество), но в предыдущих N – 1 раунде вы потеряли L = 1 + 2 + 4 + 8 + … + 2N  – 2 фишек. Вот эффективный способ сосчитать, насколько велик ваш проигрыш L. Разумеется, L равен 2L – L. Но как можно переписать 2L?

2 L  = 2 × (1 + 2 + 4 + 8 + … + 2 N  – 2 ) = 2 + 4 + 8 + 16 … + 2 N  – 2  + 2 N  – 1

Теперь вычтем L  = 1 + 2 + 4 + 8 + … + 2 N  – 2 . Мы придем к

L  = 2 L  –  L  = (2 + 4 + 8 + 16 … + 2 N  – 2  + 2 N  – 1 ) – (1 + 2 + 4 + 8 + … + 2 N  – 2 ) = 2 N  – 1  – 1.

Все числа из первой пары скобок (кроме 2N  – 1 ) появляются во второй паре скобок, вот почему они исчезают из ответа! (Мы уже встречались с данным вычислением, когда складывали рисинки на шахматной доске в нашем поиске простых чисел в главе 1.) Итак, вы выиграли 2N  – 1 фишек, а проиграли 2N  – 1  – 1. Ваш итоговый выигрыш будет составлять одну фишку.

Конечно, это немного, но данная система ставок на первый взгляд гарантирует вам выигрыш – в конце концов, когда-то ведь должно выпасть красное, не так ли? Так почему же игроки не извлекают свою выгоду в казино, пользуясь этой стратегией? Одна проблема состоит в том, что вам необходимы бесконечно большие финансовые возможности, чтобы гарантировать выигрыш, потому что существует теоретическая возможность того, что всю ночь будет выпадать черное за черным. И, даже если у вас была целая гора фишек, повторяющееся удвоение вашей ставки может очень быстро исчерпать ваш запас (как и в случае рисинок). Кроме того, в большинстве казино устанавливается порог максимальной ставки, именно для того, чтобы не дать игрокам использовать эту стратегию. Например, если максимальная ставка составляет 1000 фишек, ваша стратегия даст сбой после десяти раундов, потому что в одиннадцатом вам нужно будет поставить 210 = 1024 фишки, что уже превосходит порог.

Но даже при наличии максимальной ставки многие игроки поддаются заблуждению, полагая, что если черное выпало восемь раз кряду, то вероятность того, что в следующий раз выпадет красное, должна возрасти. Конечно, шанс увидеть восемь черных кряду довольно невелик, он составляет 1 из 256. Но это никоим образом не увеличивает шанс того, что в следующем раунде выпадет красное: он по-прежнему будет пятьдесят на пятьдесят. Как и у подкидываемой монеты, у колеса рулетки нет памяти.

Если вы хотите сыграть в рулетку, то помните, что говорит математика вероятности: в конечном счете заведение всегда выигрывает – хотя мы увидим в главе 5, что существует возможность использовать другую математику, которая посодействует вам в получении миллионов. Если вы не любите покер или рулетку, то вам может подойти стол для крэпса. Как мы сейчас увидим, у игральных костей очень долгая история.

 

Сколько граней было у первых игральных костей?

Многие из наших игр зависят от случая. «Монополия», нарды, «Змейки и лесенки» и многие другие зависят от броска кубика, в соответствии с которым вы делаете определенное число шагов вашей фишкой. Первые игральные кости кидали древние вавилоняне и египтяне. Они использовали бабки – мелкие кости конечностей животных, например овец, – в качестве игральных костей. Кости, естественно, оказывались на одной из четырех сторон, но древние игроки вскоре поняли, что из-за несимметричного характера некоторые стороны выпадали чаще других, поэтому начали изготавливать игральные кости вручную, чтобы игра стала более справедливой. Как только они взялись за это, им пришлось исследовать многообразие трехмерных форм, у которых грани будут выпадать с равной вероятностью.

Поскольку отправной точкой игральных костей были бабки, не слишком удивительно, что некоторые из первых симметричных игральных костей изготавливались в форме тетраэдра с четырьмя треугольными гранями. В одной из первых известных нам настольных игр использовались такие пирамидальные кости.

Она называлась «Царской игрой Ура». Несколько ее игральных полей и пирамидальные кости были найдены британским археологом сэром Леонардом Вулли во время раскопок захоронений в древнем шумерском городе Уре (сейчас он находится на территории Южного Ирака). Гробницы относятся примерно к 2600 г. до н. э., игральные комплекты помещались туда, по всей вероятности, чтобы развлекать обитателей в их жизни после смерти. Замечательный образец этого комплекта представлен в экспозиции Британского музея в Лондоне. На игровом поле 20 клеток, по которым соперники, должно быть, перемещали свои фишки в соответствии с броском тетраэдрических игральных костей.

Правила этой игры оставались неизвестными вплоть до начала 1980-х гг., когда Ирвинг Финкель из Британского музея натолкнулся в его архиве на клинописную табличку, относящуюся к 177 г. до н. э. На обратной стороне таблички имелась зарисовка этой игры. Она была предшественником нард, каждый из игроков располагал определенным количеством фишек, которые он перемещал по полю. Но именно использовавшиеся игральные кости наиболее интересны с математической точки зрения.

Проблема, связанная с тетраэдрической игральной костью, в которой четыре треугольные грани, состоит в том, что при приземлении кость обращена вверх одной из своих вершин, а не гранью, как привычный для нас кубик. Чтобы пользоваться ими, два из четырех трехгранных углов помечались белыми точками.

Рис. 3.04. Тетраэдрические кости из «Царской игры Ура»

Игроки бросали несколько пирамидок, и счет соответствовал количеству белых точек наверху. Подкидывание таких костей математически эквивалентно подкидыванию нескольких монет и подсчету количества выпавших орлов.

Ход «Царской игры Ура» сильно зависит от случайного исхода броска костей. В противоположность этому нарды, ее потомок, предоставляют соперникам возможность проявить искусство и стратегию, а не только полагаться на удачу при броске. Но первоначальная игра не исчезла полностью: недавно было обнаружено, что евреи в городе Коччи на юге Индии до сих пор играют в вариант «Царской игры Ура», 5000 лет спустя после состязаний в Древнем Шумере.

 

Нашли ли «Подземелья и драконы» все игральные кости?

Одной из новинок «Подземелий и драконов» (Dungeons & Dragons), настольной ролевой игры в жанре фэнтези, появившейся в 1970-х гг., был впечатляющий набор игральных костей. Но открыли ли изобретатели игры все возможные игральные кости? Когда мы изучаем, из каких форм получились бы хорошие кости, мы снова возвращаемся к вопросу из главы 2. Если все грани игральной кости представляют собой одинаковую симметричную фигуру и эти грани соединены так, что все вершины и ребра выглядят одинаково, то эта кость является одной из пяти форм: тетраэдром, кубом, октаэдром, додекаэдром или икосаэдром – Платоновым телом (с. 63). Вы можете найти все эти кости в игральном наборе «Подземелий и драконов» (и в PDF-файле, который можно загрузить с веб-сайта «Тайн 4исел»), но у нескольких из этих костей значительно более древнее происхождение.

Например, в 2003 г. на аукционе Christie’s была продана стеклянная игральная кость с двадцатью гранями, относящаяся к римским временам. Ее грани были покрыты странными символами, наводящими на мысль, что она скорее использовалась для предсказания судьбы, чем для игры. Икосаэдр лежит в основе одного из самых популярных в наши дни приспособлений для предсказания судьбы: магического шара 8 (Magic 8 Ball). Внутри шара, наполненного жидкостью, плавает икосаэдр с нанесенными на грани ответами на ваши вопросы. Вы задаете вопрос, трясете шар и, когда икосаэдр приближается к поверхности шара, читаете ответ. Диапазон ответов простирается от «бесспорно» до «даже не думай».

Если же вам нужны всего лишь честные игральные кости, то не нужно быть придирчивым из-за расположения граней. Например, в «Подземельях и драконах» есть игральная кость, представляющая собой две пирамиды с пятиугольными основаниями, соединенными друг с другом. Эта игральная кость имеет одинаковый шанс 1 из 10 приземлиться на любую из ее десяти треугольных граней. Она не является Платоновым телом, потому что вершина у макушки каждой из пирамид отличается от остальных вершин: в ней сходятся пять треугольников, в то время как в вершинах на соединенных основаниях сходится по четыре треугольника. Тем не менее данная игральная кость справедлива: она с равной вероятностью приземляется на каждую из своих десяти граней.

Математики исследовали, из каких других форм получатся честные игральные кости. Относительно недавно было доказано, что если у игральной кости по-прежнему остается какая-то симметрия, то в дополнение к Платоновым телам имеется 20 других форм плюс пять бесконечных семейств игральных костей.

Рис. 3.05. Симметричные формы, из которых получаются хорошие игральные кости

13 из этих дополнительных 20 форм связаны с теми, из которых выходят замечательные футбольные мячи, – Архимедовыми телами из главы 2. Напомним, что грани Архимедовых тел симметричны, но могут быть разной формы. Из них получаются хорошие мячи, но они не совсем подходят для игральных костей. У классического футбольного мяча 32 грани: 12 пятиугольников и 20 шестиугольников. Не получится ли честная игральная кость, если просто написать на этих гранях числа от 1 до 32? Проблема состоит в том, что каждый пятиугольник имеет вероятность быть избранным приблизительно 1,98 %, в то время как каждый шестиугольник – приблизительно 3,81 %. Лишь в последнее десятилетие математики вывели точную формулу для вероятности того, что у игральной кости при ее приземлении наверху окажется какой-либо из пятиугольников. Впечатляющий геометрический расчет привел к следующему устрашающему ответу:

где r = ½ [2+sin²(π/5)] –1/2.

Архимедовы тела сами по себе не будут честными игральными костями, но их можно использовать для построения различных форм, которые предоставят на выбор азартных людей новые игральные кости. Ключевым является понимание того, что, хотя в Архимедовом теле грани могут быть разными, вершины в нем одинаковы. Далее используется прием под названием дуальность, переводящий вершины в грани и наоборот. Чтобы представить, какой будет грань у дуального (двойственного) многогранника, вообразите листы картона, помещенные в каждой вершине, затем нужно проследить за пересечением различных листов. Каждый лист картона должен быть ориентирован так, что он перпендикулярен линии, проходящей из центра формы в данную вершину. Например, дуальным многогранником к додекаэдру будет икосаэдр (рис. 3.06).

Рис. 3.06

Процедура применения этого приема к Архимедовым телам приводит к 13 новым игральным костям. У классического футбольного мяча 60 вершин, и у игральной кости, получающейся при замене каждой вершины гранью, будет 60 граней, каждая из которых имеет форму не равностороннего, а равнобедренного треугольника (то есть только две стороны равны). Хотя этот многогранник, дуальный к классическому футбольному мячу, и не является Платоновым телом, каждая его грань имеет равный шанс 1 из 60 выпасть после подбрасывания, поэтому он будет честной игральной костью. Его техническое название пентакисдодекаэдр (рис. 3.07).

Рис. 3.07

Любое из Архимедовых тел может быть сходным образом использовано для создания новой игральной кости. Наверное, самым впечатляющим является гекзакисикосаэдр. Поразительно, что даже с его 120 гранями, каждая из которых представляет неравносторонний прямоугольный треугольник, он будет другой честной игральной костью.

Бесконечные семейства игральных костей получаются благодаря обобщению идеи слепления вместе двух пирамид, основания которых могут иметь какое угодно число ребер. Хотя математики сумели разобраться во всем диапазоне честных игральных костей, у которых имеется симметрия, несимметричные формы, из которых получаются честные кости, по-прежнему окутаны тайной. Например, если я возьму октаэдр и обрежу немного одну вершину, а также противоположную ей вершину, то появятся две новые грани. Если я подкину эту форму, маловероятно, что она приземлится на одну из этих новых граней. Однако, если я отрежу бо́льшие куски от двух вершин, одна из двух новых граней скорее окажется внизу, чем восемь остающихся граней. Значит, должно быть некое промежуточное положение, когда при обрезании двух углов каждая из двух новых граней и первоначальных восьми будет выпадать с равной вероятностью, что создаст честную игральную кость с десятью гранями.

У этой формы не будет какой-либо приятной симметрии, как у игральных костей, получающихся из Архимедовых футбольных мячей, но она также будет честной игральной костью. Как свидетельство того, что у математики нет ответов на все вопросы, упомяну, что мы все еще не провели классификацию форм, которые представляют собой честные игральные кости, полученные подобным образом.

 

Как математика помогает выиграть в «Монополию»

«Монополия» кажется довольно случайной игрой. Вы подкидываете два кубика и мчитесь по игровому полю на машине либо расхаживаете в цилиндре. Где-то вы покупаете собственность, а где-то строите отели. То и дело вы можете занять второе место в конкурсе красоты благодаря карте из благотворительного фонда города, либо вам приходится раскошелиться на £ 20 за «вождение в пьяном виде». Всякий раз, когда вы проходите поле GO, вы пополняете свои карманы на £ 200. И каким же образом математика может дать вам преимущество в такой игре?

На каком поле участники чаще всего оказываются в ходе игры? Будет ли им поле GO, где вы стартуете, либо находящаяся от него по диагонали «Бесплатная автостоянка», а может быть, Оксфорд-стрит или район Мейфэр в лондонском издании «Монополии»? Но на самом деле ответом будет поле «Тюрьма». Почему? Что же, вы можете подкинуть кубики и оказаться на поле «Просто посетить» (Just Visiting) либо очутиться на расположенном от него по диагонали поле, где полицейский скажет вам «Отправиться в тюрьму». Вам также может не повезти, и доставшаяся случайная карта предпишет отправиться прямиком в тюрьму. И это отнюдь не все возможности оказаться в заключении. Если вы выбросите дубль, то опять-таки нужно отправляться туда. Если вы выбросите три дубля подряд, то вас вовсе не наградят за это впечатляющее достижение в кидании игральных костей, а накажут тюремным сроком на три хода.

В результате этих обстоятельств игрок в среднем оказывается на поле «Тюрьма» в три раза чаще, чем на большинстве других полей игрового поля. Пока это не слишком-то помогает, ведь «Тюрьму» нельзя купить. Но именно сейчас математика выдвигается вперед: где игроки скорее всего окажутся после срока в тюрьме? Ответ определяется наиболее вероятным броском костей.

На каждом кубике может с равной вероятностью выпасть любая из шести граней. Когда у нас имеется две игральных кости, то получается 6 × 6 различных возможных бросков, у каждого из которых будет одинаковая вероятность. Но когда вы проанализируете различные варианты получения заданного общего счета, то поймете, что счет 2 или 12 маловероятен, потому что любая из этих комбинаций получается лишь одним способом. В то же время счет 7 можно получить шестью способами (рис. 3.08).

Рис. 3.08

Итак, получается шанс 6 из 36, или 1 из 6, выбросить 7, а счет 6 или 8 будет следующим по вероятности. Выброшенный счет 7 приведет вас из тюрьмы на поле благотворительного фонда города, который вы не можете купить. Но соседствующие с ним оранжевые поля собственности (Боу-стрит и Мальборо-стрит в лондонской версии игры) являются следующими по вероятности остановками.

Если вам повезет, и вы окажетесь в этой оранжевой области собственности, то нужно будет купить ее и застроить отелями. Тогда вы сможете спокойно собирать плату за проживание с ваших соперников, когда бросок игральных костей выведет их из тюрьмы прямиком в ваше логово.

 

Телевикторина «Тайн 4исел»

Это игра для двух участников. Возьмите 20 конвертов и пронумеруйте их от 1 до 20. Игрок 1 записывает 20 различных сумм денег на листках бумаги и кладет их по одному в каждый конверт. Затем игрок 2 открывает какой-либо конверт и видит внутри денежную сумму. Он может либо принять эту сумму, либо выбрать другой конверт. Если он выбирает другой конверт, то не может возвращаться и претендовать на предыдущий приз.

Игрок 2 продолжает открывать конверты, пока не удовольствуется призом. Затем игрок 1 оглашает все призы. Игрок 2 получает 20 очков, если он набрал максимальную денежную сумму из имеющихся. Его результат равен 19 очкам, если он выбрал вторую по величине сумму, и т. д.

Теперь все конверты опустошаются, и игрок 2 записывает 20 различных денежных сумм на листках бумаги и кладет их по одному в каждый конверт. Теперь настала очередь игрока 1 попытаться получить наибольший денежный приз. Когда он останавливается на каком-либо из конвертов, то получает очки таким же образом, как и игрок 2. Победителем будет тот, у кого больше очков. Разумеется, это вовсе не означает большее количество денег. Счет идет именно по очкам.

Интригующий аспект этой игры состоит в том, что вы не знаете, каков диапазон призов: максимальный приз может быть и £ 1, и £ 1 000 000. Вопрос состоит в том, существует ли математическая стратегия, позволяющая повысить ваши шансы выигрыша. Да, такая стратегия существует. Она состоит в секретной формуле, зависящей от е, только не психоделического, а математического толка. Число e = 2,71828…, наверное, одно из самых знаменитых чисел во всей математике, уступающее лавры первенства только энигматичному π. Это число возникает всякий раз, когда оказывается важной концепция роста. Например, оно тесно связано с тем, как на вашем банковском счете накапливаются проценты.

Представьте, что вы хотите инвестировать £ 1 и изучаете процентные ставки, предлагаемые различными банками, и их условия. Один из банков предлагает 100 % годовых, выплачиваемых по истечении года. В результате ваша инвестиция возрастет до £ 2. Неплохо, но другой банк предлагает ставку 50 % за полгода, выплачиваемую два раза в год. Тогда через полгода у вас будет £ 1,50, а через год £ 1,50 + £ 0,75 = £ 2,25. Таким образом, условия второго банка лучше, чем первого. А третий банк предлагает 33,3 % за четыре месяца, выплачиваемые три раза в год. Это приведет к £ (1,333)³ = £ 2,37 через двенадцать месяцев. Если вы разбиваете год на все меньшие и меньшие интервалы, эта капитализация процентов становится все более выгодной вам.

К настоящему времени, как я надеюсь, математик внутри вас понял, что вам выгоднее всего было бы обратиться в «Банк бесконечности», который разделяет год на бесконечно малые промежутки времени. В этом банке у вас будет максимально достижимый баланс. Хотя баланс и увеличивается при все большем разделении года, он не будет бесконечным, а будет стремиться к этому волшебному числу e = 2,71828… Как и у π, у е имеется бесконечное десятичное разложение (обозначаемое «…»), которое никогда не повторяется. Оказывается, что е играет ключевую роль в том, чтобы помочь вам победить в викторине «Тайн 4исел».

Математический анализ этой игры предлагает вам сначала вычислить 1/е, что приблизительно составляет 0,37. Теперь вам нужно открыть 37 % конвертов, или около семи из них. Продолжайте открывать конверты, но остановитесь, как только дойдете до денежной суммы, превосходящей все, открытые до нее. Математика оценивает, что в одном случае из трех вы получите максимальный денежный приз. Данная стратегия полезна не только при участии в телевикторине «Тайн 4исел». Для принятия многих решений в нашей жизни можно также руководствоваться ею.

Вы помните вашего первого бойфренда или подругу? Наверное, вы считали их замечательными. Вероятно, у вас были романтические мечты провести всю жизнь вместе. Но потом возникло мучительное чувство, что вы заслуживаете большего. Беда в том, что если вы разорвете отношения с партнером, то пути назад уже не будет. Так в какой момент имеет смысл прекратить дальнейшие поиски и принять то, что у вас имеется? Поиск квартиры является другим классическим примером. Сколько раз получается так, что уже первая просмотренная квартира кажется вам замечательной, но потом представляется необходимым увидеть больше вариантов до заключения договора, хотя при этом вы рискуете упустить первую замечательную квартиру?

Поразительно, но та же математика, которая помогает победить в телевикторине «Тайн 4исел», может дать вам наилучшие шансы при поиске партнера или квартиры. Предположим, что вы начинаете ходить на свидания в возрасте 16 лет и при этом поставили перед собой цель найти любовь своей жизни до пятидесятилетнего возраста. Также предположим, что вы меняете партнеров с постоянной частотой. Математика говорит, что вам стоит сначала изучить окружение в течение 37 % времени, которые вы отвели себе, то есть приблизительно до 28 лет. Затем вы должны остановиться на партнере, который лучше всех, с кем вы встречались до него или нее. Для одного из трех человек это гарантирует, что он найдет наилучшего возможного партнера. Но ни в коем случае не проговоритесь любви вашей жизни о принятой стратегии!

 

Как выиграть в шоколадно-перечную рулетку?

Даже если вы знаете математику, игры вроде «Монополии» или телевикторины «Тайн 4исел» все же опираются на случай. Но теперь я предложу вам простую игру для двух участников, которая иллюстрирует то, как математика может гарантировать вам победу. Возьмите 13 шоколадных батончиков и стручок жгучего перца и сложите их в кучку на столе. Каждый игрок по очереди берет один, два или три предмета из кучки. Цель игры состоит в том, чтобы заставить вашего соперника взять стручок перца.

Рис. 3.09. Шоколадно-перечная рулетка

Существует стратегия, приводящая к победе, если вы ходите первым. Она состоит в том, что, сколько бы батончиков ни взял соперник, вы берете из горки столько батончиков, чтобы в данном раунде вы вместе взяли четыре штуки. Например, если ваш оппонент берет три батончика, вы берете один. Если же он берет два, вы также берете два.

Прием состоит в том, что можно расположить батончики шоколада в ряды по четыре штуки (делайте это в голове, иначе вы раскроете свои карты). Вначале имеется 13 батончиков, то есть получается три ряда по четыре плюс один батончик (а также, разумеется, перец). Так что ваш первый ход должен состоять в том, чтобы взять этот одиночный батончик. После этого действуйте по рецепту, приведенному выше: в ответ на ход вашего соперника возьмите столько батончиков, чтобы вместе вы брали четыре. После трех раундов на столе останется только стручок перца, и вашему сопернику придется взять его.

Рис. 3.10. Как расположить шоколад, чтобы гарантировать победу

Стратегия опирается на то, что вы ходите первым. Если первым ходит ваш оппонент, то единственной его ошибки будет достаточно, чтобы вы вернули себе выигрышную позицию. Например, если он возьмет больше одного батончика при первом ходе, он станет расходовать батончики из первого ряда из четырех штук. Тогда вы, как и ранее, возьмите остаток этого ряда.

Вы можете модифицировать игру, начав ее с другого количества батончиков или изменив максимальное число батончиков, которое разрешается брать за один ход. Та же математика, состоящая в разделении батончиков на группы, позволит вам придумать выигрышную стратегию.

Существует другой вариант этой игры, называемый «Ним». Для нахождения гарантированной выигрышной стратегии в «Ним» необходим более изощренный математический анализ. На сей раз на столе находятся четыре кучки. В первой кучке – пять шоколадных батончиков, во второй – четыре, в третьей – три, наконец, в четвертой находится только стручок перца. Теперь вам разрешается брать сколько угодно батончиков, но только из одной кучки. Например, вы могли бы взять все пять шоколадных батончиков из первой кучки либо только один из третьей. Вы проиграете, если вашей единственной возможностью будет взять стручок перца.

Таблица 3.02. Запись чисел в двоичной системе

Чтобы выиграть эту игру, нужно уметь переводить числа из десятичной в двоичную систему счисления. Мы считаем десятками, потому что у нас десять пальцев. После того как вы дошли до 9, вы начинаете новый разряд в записи чисел и пишете 10, чтобы указать, что в этом числе один десяток и ноль единиц. Но компьютеры любят считать двойками, что мы называем двоичной, или бинарной, системой. Каждый разряд в записи числа в двоичном виде соответствует степени 2, а не степени 10. Например, двоичное число 101 подразумевает 1 набор 22, 0 наборов 21 и 1 единицу (20). Итак, 101 – это двоичный вид числа 4 + 1 = 5. В таблице приведено несколько первых чисел, записанные в двоичном виде.

Чтобы выиграть в игру «Ним», нужно перевести число батончиков в каждой кучке в двоичный вид. Тогда получится, что в первой кучке 101 батончик, во второй 100, а в третьей 11. Записывая последнее число как 011 и располагая эти числа в трех строках поверх друг друга, мы приходим к

Заметьте, что в первом столбце содержится четное число единиц, во втором нечетное и в третьем четное. Выигрышная стратегия заключается в том, чтобы при каждом ходе убирать столько батончиков из одной из кучек, чтобы в каждом столбце получалось четное число единиц. Итак, в данном случае возьмите два батончика из третьей кучки, чтобы их число уменьшилось до 001.

Почему это поможет вам выиграть? Что же, каждый раз ваш соперник будет вынужден оставлять как минимум один столбец с нечетным числом 1. Вы последующим ходом возьмете столько батончиков, чтобы снова сделать число 1 во всех столбцах четным. Поскольку число батончиков постоянно уменьшается, в какой-то момент их не останется, так что в трех кучках будет 000, 000 и 000 батончиков. Кто сделает приводящий к этому ход? Ваш соперник всегда оставляет нечетное число 1 хотя бы в одной из кучек, поэтому этот ход сделаете вы. И оппоненту не останется ничего иного, как взять стручок перца.

Эта стратегия сработает независимо от числа батончиков в кучках. Вы даже можете увеличить количество кучек.

 

Почему магические квадраты играют ключевую роль в облегчении деторождения, предотвращении наводнений и победе в играх?

Умение взглянуть на проблему с разных сторон оказывается очень полезным, когда дело доходит до математики. Может оказаться так, что решение тяжелой головоломки неожиданно станет очевидным, если вы посмотрите на нее под другим углом. Искусство состоит в том, чтобы найти, как правильно рассматривать задачу. Иллюстрацией этому служит игра, обсуждаемая ниже. На первый взгляд довольно трудно следить за ее ходом, но если рассмотреть эту игру иначе, все становится довольно просто. Вы можете загрузить файл с веб-сайта «Тайн 4исел» и вырезать реквизит, необходимый для игры.

У каждого из участников есть пустое блюдо для торта, на которое помещается 15 кусков. Цель игры состоит в том, чтобы первым заполнить свое блюдо ровно тремя секторами из имеющихся девяти секторов разных размеров. Наименьший сектор содержит лишь один кусок, а наибольший – девять кусков. Соперники по очереди выбирают один из секторов.

Цель состоит в том, чтобы получить три числа от 1 до 9, которые в сумме дают 15, одновременно с этим нужно следить за тем, что делает ваш соперник, и расстроить его планы. Так, если ваш оппонент взял сектора с 3 и 8 кусками, необходимо не дать ему набрать 15, взяв сектор с 4 кусками. Если сектор, который вы присмотрели, уже был взят, требуется отыскать другой способ прийти к 15, используя взятые куски и остающиеся. Но заполнять блюдо нужно ровно тремя секторами – использование секторов с 9 и 6 кусками не будет считаться победой, как и заполнение блюда четырьмя секторами с 1, 2, 4 и 8 кусками.

Рис. 3.11. Подберите три сектора, чтобы заполнить ваше блюдо для торта, опередив при этом соперника

Вскоре после начала игры становится довольно трудно уследить за различными способами, которыми вы и ваш соперник можете заполнить блюда. Но игра становится значительно проще, когда вы поймете, что, по существу, играете в замаскированную классическую игру крестики-нолики. Вместо обычной сетки 3 × 3, на которую вы помещаете 0 и Х, стараясь расположить три в линию до вашего соперника, это состязание разыгрывается на магическом квадрате:

Таблица 3.03

Самый простой магический квадрат подразумевает размещение чисел от 1 до 9 на сетке 3 × 3 таким образом, что сумма чисел во всех столбцах, строках и на диагоналях равна 15. Это расположение представляет все возможные способы получить 15 сложением 3 различных чисел от 1 до 9. Если представить игру с кусками тортов как расстановку крестиков и ноликов на магическом квадрате, становится понятно, что победителем будет тот, кто первым расположит три в линию, ведь у него будут три числа, которые в сумме дают 15.

По легенде, первый магический квадрат появился в 2000 г. до н. э. Он был нанесен на спину черепахи, которая выползла из реки Ло в Китае. Река сильно разлилась, и император Ю повелел совершить несколько жертвоприношений, чтобы умилостивить речного бога. В ответ речной бог послал на сушу черепаху, расположение чисел на панцире которой должно было помочь императору контролировать реку. Когда это расположение было понято, китайские математики начали составлять все бо́льшие и бо́льшие квадраты с такими же свойствами. Полагалось, что эти квадраты обладают магической силой, и их стали часто использовать для предсказаний. Самым впечатляющим достижением китайских математиков был магический квадрат 9 × 9.

Имеются свидетельства о том, что эти квадраты были ввезены в Индию китайскими торговцами, которые имели дело не только с пряностями, но и с математическими идеями. То, как числа переставляются в этих квадратах, сильно резонировало с индуистскими верованиями о реинкарнации, и в Индии эти квадраты использовались в самых разнообразных целях: от составления парфюмерных рецептов до помощи при деторождении. Магические квадраты были также популярны в средневековой исламской культуре. Ее значительно более систематический подход к математике привел к нескольким изощренным способам составления магических квадратов, кульминацией чего стало открытие впечатляющего магического квадрата 15 × 15 в XIII столетии.

Одно из первых появлений магических квадратов в Европе засвидетельствовано на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия», где изображен квадрат 4 × 4.

Рис. 3.12. Магический квадрат Альбрехта Дюрера

Числа от 1 до 16 расположены в нем так, что их сумма по всем столбцам, строкам и диагоналям равна 34. Кроме того, сумма чисел в каждом из четырех квадрантов (квадратов 2 × 2, на которые может быть разбит больший квадрат) и в центральном квадрате 2 × 2 также равна 34. Дюрер даже расположил два числа посередине нижнего ряда, указывающих на год создания гравюры: 1514. А два крайних числа в нижнем ряду соответствуют инициалам художника.

Магические квадраты разного размера традиционно сопоставлялись с различными планетами Солнечной системы. Классический квадрат 3 × 3 соответствовал Сатурну, квадрат 4 × 4 в «Меланхолии» – Юпитеру, а самый большой квадрат 9 × 9 приписывался Луне. Было выдвинуто предположение, что использование Дюрером этого квадрата отражало его мистическое убеждение, что жизнерадостность Юпитера может противостоять тому чувству меланхолии, которым наполнена гравюра.

Другой знаменитый магический квадрат можно найти у входа в пышно украшенный храм Святого Семейства (Temple Expiatori de la Sagrada Família), до сих пор не достроенную церковь в Барселоне, проект которой был разработан Антонио Гауди. Магическим числом этого квадрата размером 4 × 4 является 33, столько лет было Христу при его распятии. Этот квадрат не совсем удовлетворителен, в отличие от квадрата Дюрера, потому что числа 14 и 10 встречаются в нем два раза за счет 4 и 16.

Хотя магические квадраты скорее являются математическим курьезом, с ними связана задача, которую математики до сих пор не смогли решить. По существу, имеется один магический квадрат размером 3 × 3. (Выражение «по существу» означает, что квадрат, полученный в результате вращения первоначального квадрата или операции отражения, примененной к нему, не будет считаться другим.) В 1693 г. француз Бернар Френикль де Бесси перечислил все 880 возможных магических квадратов размером 4 × 4, а в 1973 г. Рихард Шрёппель использовал компьютерную программу и рассчитал число магических квадратов размером 5 × 5. Их оказалось 275 305 224. Помимо этого у нас имеются лишь оценки для числа магических квадратов размером 6 × 6 и более того. Математики все еще находятся в поисках формулы, которая дала бы точные числа.

 

Кто изобрел судоку?

Дух судоку можно найти в головоломке, выросшей из математического увлечения магическими квадратами. Возьмите фигурные карты (валетов, дам, королей и тузов) из стандартной колоды карт и расположите их на сетке 4 × 4 так, чтобы ни в одном ряду и ни в одном столбце не было карт одной и той же масти или достоинства. Эту задачу впервые предложил в 1694 г. французский математик Жак Озанам, поэтому его можно было бы считать изобретателем судоку.

Математиком, несомненно заразившимся этой задачей, был Леонард Эйлер. В 1779 г., за несколько лет до смерти, Эйлер предложил другой вариант задачи. Пусть имеется шесть полков, униформа которых разного цвета, например красная, синяя, желтая, зеленая, оранжевая и фиолетовая. В каждом из полков имеется шесть военнослужащих различного звания, скажем полковник, майор, капитан, лейтенант, капрал и рядовой. Задача состоит в расположении военных на сетке 6 × 6 так, чтобы ни в одной шеренге и ни в одной колонне не было военных одинакового звания или цвета униформы. Эйлер задал этот вопрос для сетки 6 × 6, поскольку считал, что невозможно удовлетворительно расположить 36 военных. Лишь в 1901 г. французский математик-любитель Гастон Тарри доказал, что Эйлер был прав.

Эйлер также полагал, что эту головоломку невозможно решить для сетки размером 10 × 10, 14 × 14, 18 × 18 и т. д., если каждый раз прибавлять 4. Но это оказалось неверно. В 1960 г. три математика с помощью компьютера показали, что удается разместить военных 10 разных званий из 10 полков на сетке размером 10 × 10 вопреки убеждению Эйлера. Они не остановились на достигнутом и полностью опровергли гипотезу Эйлера, доказав, что сетка размером 6 × 6 представляет единственный случай, когда такое расположение невозможно.

Если вы хотите испытать себя в решении головоломки Эйлера на сетке 5 × 5, то загрузите соответствующий файл с веб-сайта «Тайн 4исел», вырежьте военных пяти званий из пяти полков. Проверьте, сумеете ли вы разместить их на сетке 5 × 5, чтобы ни в одной шеренге и ни в одной колонне не было военных из одного полка или одного звания. Эти магические квадраты иногда называют греко-латинскими квадратами. Возьмите первые n букв из латинского и греческого алфавитов и составьте все n × n возможных пар из латинских и греческих букв. Теперь расположите эти пары на сетке n × n, чтобы ни в одной строке и ни в одном столбце не было одинаковых латинских или греческих букв.

Жизнь в квадрате

Французский писатель Жорж Перек использовал греко-латинский квадрат размером 10 × 10 для придания структуры своему роману «Жизнь, способ употребления», изданному в 1978 г. В книге 99 глав, каждая из них соответствует комнате в парижском многоквартирном доме в десять этажей, на каждом из которых по десять комнат (комната под номером 66 не посещается). Каждая из комнат соответствует позиции в греко-латинском квадрате 10 × 10. Но при этом Перек использует не 10 греческих и 10 латинских букв, а, скажем, 20 авторов, разделенных на два списка по 10 человек. Когда он писал главу про какую-то комнату, то следил за тем, какие авторы приписаны ей, чтобы в ходе повествования использовать отрывки из их произведений. Например, в главе 50 греко-латинский квадрат Перека предписывает ему цитировать Гюстава Флобера и Итало Кальвино. Но в схему вовлечены не только писатели. В общей сложности Перек использует 21 различный греко-латинский квадрат, каждый из них наполняется благодаря двум спискам по 10 пунктов. Эти списки варьируются от мебели, художественного стиля и периода в истории до положений тел, принимаемых обитателями комнат.

Судоку несколько отличается от головоломки Эйлера о военных. В его классической форме вам необходимо разместить девять наборов чисел от 1 до 9 на сетке 9 × 9 так, чтобы ни в одной строке, столбце или квадранте 3 × 3 никакое число не встречалось два раза. Несколько чисел уже нанесены на сетку, и требуется заполнить пустые места. Не верьте тем, кто заявляет, что для решения этих головоломок не требуется математика. Они имеют в виду, что не требуется совершать арифметических действий – судоку, по существу, является логической задачей. Но тот же вид логического рассуждения, которое приводит вас к заключению, что в нижнем правом углу может быть только 3, встречается повсюду и в математике.

С судоку связаны несколько интересных математических вопросов. Один из них: сколькими различными способами можно расположить числа на сетке 9 × 9, чтобы удовлетворить правилам судоку? (Опять-таки под различными мы имеем в виду «существенно» различные: мы считаем два расположения одинаковыми, если одно из них переходит в другое вследствие простой симметрии, например перестановки строк.) Ответ был найден в 2006 г. Эдом Расселом и Фрэзером Джарвисом: 5 472 730 538. Этого вполне достаточно, чтобы газеты продолжали выходить еще какое-то время.

Однако другая математическая задача, связанная с этими головоломками, не была решена полностью. Какое минимальное количество чисел должно быть вначале нанесено на сетку, чтобы судоку решалось только одним способом? Понятно, что если этих чисел будет мало – скажем, 3, то головоломку можно будет решить многими способами, имеющейся вначале информации будет недостаточно для однозначного решения. Считается, что необходимо по крайней мере 17 чисел, чтобы судоку решалось только одним способом. Этот вопрос выходит за рамки головоломок, решаемых на досуге. У математики, лежащей в основе судоку, имеются важные следствия для кодов с коррекцией ошибок, с которыми мы познакомимся в следующей главе.

 

Как математика может вам помочь попасть в Книгу рекордов Гиннесса?

Имеется множество безумных способов попасть в Книгу рекордов Гиннесса. Итальянский бухгалтер Микеле Сантелиа оказался там, напечатав 64 книги на языке оригинала в обратном порядке (3 361 851 слово, 19 549 382 символа). Среди них были Одиссея, «Макбет», латинская Библия (Вульгата) и Книга рекордов Гиннесса за 2002 г. Кен Эдвардс из Глоссопа, графство Дербишир, является обладателем мирового рекорда по скорости поедания тараканов – 36 за одну минуту. А американцу Ашрите Фурману понадобилось 12 часов 27 минут, чтобы пропрыгать на пого-стике («кузнечике») рекордное расстояние 37,18 км. У него также рекорд по самому большому количеству рекордов! Но поможет ли математика в ваших попытках оказаться в зале славы Гиннесса?

Одним из соревнований, за которым Книга рекордов следит с 1961 г., является посещение всех станций лондонского метро за самое короткое время. Оно называется «Вызовом подземки» (Tube Challenge), и рекорд на конец 2009 г. составлял 6 часов 44 минуты 16 секунд. Он был установлен Мартином Хэзелом, Стивом Уилсоном и Энди Джеймсом 14 декабря того же года. Кто-то может сказать, что это мучительная гонка, но если вы хотите попытаться побить их рекорд, то математический анализ карты метро может дать вам преимущество в нахождении самого короткого маршрута, гарантированно включающего все станции метро хотя бы один раз.

«Вызов подземки» не является первым в своем роде. Он представляет более сложный вариант игры, популярной в прусском городе Кёнигсберг в XVIII в. В центре города находится остров, омываемый двумя рукавами реки Прегель, далее река течет на запад и впадает в Балтийское море. В XVIII в. через Прегель было перекинуто семь мостов, и горожане заполняли свой воскресный досуг тем, что пытались пройти по всем по ним, побывав на каждом мосту только один раз. В отличие от «Вызова подземки» главное при этом не скорость, а то, возможен ли такой маршрут вообще. Как ни старались жители Кёнигсберга, они не могли решить эту задачу. Была ли эта миссия на самом деле невыполнима, или все же имелся путь, не найденный горожанами, который проходил по семи мостам по одному разу?

Проблема была окончательно решена Леонардом Эйлером, швейцарским математиком, работавшим в Петербургской академии наук в 800 км к северо-востоку от Кёнигсберга (ранее обсуждалась его задача о греко-латинских квадратах). Эйлер совершил важнейший концептуальный скачок. Он понял, что фактические размеры города были совершенно не важны: значимо было то, как мосты соединялись друг с другом (тот же принцип применяется при составлении топологической карты лондонского метро). Каждый из четырех участков земли, соединяемых мостами Кёнигсберга, может быть сжат в точку, называемую вершиной. Мостам при этом соответствуют линии, соединяющие вершины. В результате получается карта мостов Кёнигсберга, несколько напоминающая значительно упрощенную карту лондонского метро (рис. 3.13).

Рис. 3.13

Задача о прохождении мостов сводится к тому, возможно ли начертить эту карту, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по одной и той же линии дважды (одним росчерком). Благодаря новой математической перспективе Эйлер сумел понять, что невозможно пройти по всем семи мостам, побывав на каждом из них только один раз.

Но почему же это невозможно? При рисовании карты каждая вершина, которую вы посетили в середине путешествия, должна иметь одну входящую и одну выходящую линию. Если вы оказываетесь в этой вершине снова, значит, вы пришли в нее по новому «мосту» и так же должны выйти из нее через новый «мост». Значит, в каждой вершине должно сходиться четное число линий, за исключением начала и конца путешествия.

Если мы поглядим на план семи мостов Кёнигсберга, то увидим, что в каждой из его четырех вершин сходится нечетное число линий – и это говорит нам, что не существует маршрута по городу, проходящего по каждому из мостов только один раз. Эйлер пошел в своем анализе дальше. Если на карте имеется ровно две вершины с нечетным числом линий, такую карту можно нарисовать одним росчерком. Чтобы сделать это, нужно начать рисование с одной из точек с нечетным числом линий, а закончить его в другой вершине с нечетным числом линий.

Рис. 3.14. Теорема Эйлера утверждает, что эту карту можно нарисовать одним росчерком

Существует второй вид карт, который можно обойти по пути, называемому математиками наших дней Эйлеровым: такой, в каждой вершине которого сходится четное число линий. На подобной карте можно начать рисование в любой вершине, потому что путь должен начаться и закончиться в одной и той же вершине, чтобы получилась замкнутая петля. Хотя у вас и могут быть сложности с нахождением нужного пути, теорема Эйлера говорит вам, что, если карта принадлежит к одному из двух описанных мной типов, такой путь должен иметься. Такова сила математики: довольно часто она говорит вам о существовании чего-то, не прибегая к фактическому построению.

Чтобы доказать существование пути, воспользуемся классическим оружием из математического арсенала – индукцией. Она чем-то напоминает способ, посредством которого я борюсь со страхом высоты при подъеме на высокие лестницы или спуске по веревке с вершины водопада: делая раз за разом маленький шажок.

Начните с предположения, что вы умеете рисовать все карты с определенным числом ребер одним росчерком. А теперь представьте, что вам дана карта, у которой на одно ребро больше, чем было до того. Как можно понять, что вы по-прежнему сумеете нарисовать эту новую карту?

Давайте предположим, что у этой карты в двух вершинах сходится нечетное число ребер. Назовем эти вершины A и В. Трюк состоит в том, чтобы удалить одно из ребер, исходящих из вершин с нечетным числом ребер. Давайте удалим ребро, соединяющее B с другой вершиной С. На этой новой карте с одним удаленным ребром по-прежнему только две вершины, в которых сходится нечетное количество ребер: A и C. (Вершина B теперь характеризуется четным числом ребер, потому что мы только что удалили одну исходящую из нее линию; у вершины C теперь нечетное число, потому что мы удалили линию, соединяющую ее с В.) У этой новой карты достаточно малое число ребер, и мы можем ее нарисовать одним росчерком, начиная с вершины А и заканчивая в вершине С. Бо́льшую карту также нетрудно нарисовать: просто соедините С и В, добавив ребро, которое мы устранили ранее. Бинго!

Для полноты нам необходимо проанализировать еще несколько случаев. Например, что будет, если из B исходит только одна линия, которая соединяет ее с А, так что вершины А и С совпадают? Но мы можем видеть, что в основе доказательства существования Эйлерова пути лежит красивая идея продвижения шаг за шагом. Подобно тому как я методично поднимаюсь вверх по лестнице, я могу воспользоваться данным приемом для сколь угодно большой карты.

Чтобы увидеть мощь теоремы Эйлера, скажите вашему другу нарисовать настолько сложную карту, насколько он пожелает. Затем просто сосчитайте количество точек, где сходится нечетное число линий, и благодаря теореме Эйлера вы можете тут же сказать, удастся ли нарисовать эту карту одним росчерком.

Я недавно совершил паломничество в Кёнигсберг, который был переименован в Калининград после Второй мировой войны. Город неузнаваемо изменился со времен Эйлера – он был разрушен бомбардировками союзников. Однако три довоенных моста по-прежнему на месте: Деревянный мост (Holzbrücke), Медовый мост (Honigbrücke) и Высокий мост (Hohebrücke). Два моста исчезли полностью: Потроховой мост (Köttelbrücke) и Кузнечный мост (Schmiedebrücke). Оставшиеся мосты – Зеленый мост (Grünebrücke) и Лавочный мост (Krämerbrücke) – также были разрушены во время войны, но были перестроены и стали частью гигантской автострады с четырьмя полосами движения, проходящей через город.

Новый железнодорожный мост, по которому также могут ходить пешеходы, соединяет два берега Прегеля к западу от города. Также новый пешеходный Юбилейный мост, построенный на опорах разрушенного Императорского моста, позволил мне перейти реку подобно старому Высокому мосту. Я всегда думаю как математик и первым делом задался вопросом, можно ли совершить путешествие по сегодняшним мостам в духе игры XVIII в.

Рис. 3.15. Мосты Кёнигсберга XVIII в.

Рис. 3.16. Мосты Калининграда XXI в.

Математический анализ Эйлера подсказал мне, что если есть ровно два места, от которых отходит нечетное число мостов, то существует Эйлеров путь: вы начинаете движение в одном месте с нечетным числом и заканчиваете движение во втором. Посмотрев на план мостов сегодняшнего Калининграда, я обнаружил, что такой маршрут действительно возможен.

История мостов Кёнигсберга важна потому, что она дала математикам новый взгляд на геометрию и пространство. В этой новой перспективе важны не расстояния и углы, а то, как формы соединены друг с другом. Так зародилась топология, одна из наиболее влиятельных ветвей математики последнего столетия, которая рассматривалась в главе 2. Задача о мостах Кёнигсберга способствовала возникновению математики, лежащей в основе поисковых систем интернета вроде Google. Они стремятся как можно к более эффективной навигации по Сети. Задача о мостах также может быть полезна при планировании посещения станций лондонского метро, если у вас возникло искушение дать свой ответ на «Вызов подземки».

 

Как премьер-лига может принести вам «математический миллион»?

В середине сезона ваша команда томится в нижней половине турнирной таблицы, и вы хотите понять, остались ли у нее математические шансы стать чемпионом. Интересно, что математика, лежащая в основе попыток ответа на данный вопрос, напрямую связана с задачей на миллион долларов этой главы.

Чтобы разобраться, возможно ли это математически, вы начинаете с предположения, что ваша команда выиграет все оставшиеся матчи. Это даст ей три очка за каждую игру. Проблемы начинаются, когда вы пытаетесь проследить за необходимым распределением всех остальных очков в турнирной таблице. Вы желаете достаточного количества проигрышей командам, находящимся выше, чтобы ваша команда обошла их. Но не получится так, чтобы все проигрывали, ведь другие команды играют и между собой. Значит, вам необходимо найти правильный способ распределения очков в оставшихся матчах и надеяться, что одна из допустимых комбинаций выведет вас наверх таблицы. Наверняка должен быть более элегантный способ определить, существует ли такая выигрышная комбинация.

Вам необходимо найти хитроумный прием наподобие того, который использовал Эйлер для рисования карт, – он означал бы, что вам не требуется разбирать все возможные сценарии результатов предстоящих матчей. К несчастью, в настоящее время мы не знаем, существует ли такой прием. Миллион долларов получит первый человек, который либо найдет этот прием, либо докажет, что у этой задачи есть некоторая неотъемлемая сложность, из-за которой полный перебор является единственной возможностью решить задачу.

Любопытно, что до 1981 г. существовала эффективная программа, которой вы могли воспользоваться в середине сезона для проверки того, остается ли у вашей команды шанс выиграть премьер-лигу. До 1981 г. команде присуждались лишь два очка за победу, и эти же два очка делились между соперниками в случае ничьей. Это очень существенно с математической точки зрения, поскольку означает, что полное число очков, разыгранных в сезоне, фиксированно. Например, в лиге с 20 командами, такой как премьер-лига, каждая команда играет 38 матчей (один матч дома и один матч на выезде против каждой из остальных 19 команд). Итак, получается 20 × 38 матчей… за исключением того, что я учел каждый матч дважды. Ведь матч «Арсенала» против «Манчестер Юнайтед» – это также матч «Манчестер Юнайтед» против «Арсенала». Итак, в общей сложности получается 10 × 38 = 380 матчей. Система подсчета очков, применявшаяся до 1981 г., означала, что полное количество очков в конце сезона будет равняться 2 × 380 = 760, и эти очки будут распределены между 20 командами. Это обстоятельство было ключевым для эффективной программы, которой можно было воспользоваться в середине сезона, чтобы понять, остался ли у вашей команды шанс выиграть титул.

В 1981 г. все изменилось математически. Когда за победу даются три очка и в общей сложности два очка за ничью (по одному каждой из команд), нельзя сказать заранее, каким будет полное количество очков в конце сезона. Если каждый матч завершится вничью, то полное количество очков будет снова 760. Но если в каждом матче будет победитель, то полное количество очков будет 1140. Это изменение сделало задачу о премьер-лиге трудноразрешимой.

Имеется множество иных вариантов задачи о премьер-лиге, за которые можно взяться, если вы не футбольный болельщик. Классический вариант называется задачей коммивояжера. В качестве примера такой задачи разберитесь со следующим: вы коммивояжер, и вам необходимо посетить 10 клиентов, причем все они находятся в разных городах. Эти города соединены дорогами, как показано на приведенной карте, – но топлива у вас хватит лишь на 238 миль.

Рис. 3.17. Пример задачи коммивояжера. Можете ли вы найти маршрут протяженностью 238 миль или менее, который проходит через все точки на карте и возвращается в начальную точку?

Расстояние между городами задается числом на дороге, соединяющей их. Можете ли вы найти маршрут, позволяющий вам посетить всех 10 клиентов и затем вернуться домой на имеющемся топливе? (Решение приведено в конце главы.) В данной версии задачи миллион предлагается тому, кто найдет общий алгоритм или напишет компьютерную программу, которая выдаст кратчайший путь для любой задаваемой карты и будет при этом существенно быстрее перебора всех вариантов. Число возможных маршрутов экспоненциально растет с ростом числа городов, поэтому поиск методом полного перебора вскоре становится практически невозможен. Или же вы сумеете доказать, что такой быстрой программы не может быть?

Среди математиков преобладает мнение, что задачи этого вида имеют встроенную сложность, что означает отсутствие какого-то умного способа для поиска решения. Я обычно называю эти задачи иголкой в стоге сена, потому что, по существу, имеется много возможных решений, и вы стараетесь найти особенное из них. Техническое название для них – NP-полные задачи.

Как только вы нашли иголку, легко проверить, что она является требуемым результатом, – это одна из ключевых характеристик данных головоломок. Например, вы понимаете, что задача решена, как только вы нашли маршрут на карте, не превосходящий 238 миль. Подобным образом, если вы находите нужную комбинацию результатов на остаток футбольного сезона, вы мгновенно видите, что у вашей команды еще остается математическая возможность стать чемпионами. Задачами класса P в математике называют те, для которых существуют эффективные программы по поиску решения. Задача на миллион долларов может быть сформулирована так: являются ли NP-полные задачи в действительности задачами класса P? Математики говорят об этом как о соотношении классов P и NP.

Имеется другое любопытное свойство, связывающее все NP-полные задачи. Если вы найдете эффективную программу для одной из задач, это будет означать существование таких программ для всех остальных задач. Например, если вам удастся написать умную программу, которая будет выдавать коммивояжеру кратчайший путь, ее можно будет переделать в эффективную программу проверки того, может ли еще ваша команда стать чемпионом. Чтобы дать пример того, как это может сработать, рассмотрим две задачи из класса «иголка в стоге сена», или NP-полных задач, которые кажутся совершенно разными.

Задача о дипломатичном званом обеде

Вы хотите пригласить ваших друзей на званый обед, но некоторые из них на дух не переносят друг друга и вы не хотите, чтобы два врага оказались в одной комнате. Тогда вы решили организовать три обеда и пригласить на них разных людей. Сумеете ли вы написать приглашения так, что два врага не окажутся за одним столом?

Задача о раскраске карты тремя цветами

В главе 2 мы узнали, что карту всегда можно раскрасить с помощью четырех цветов. Но существует ли эффективный прием, позволяющий сказать, что для заданной карты можно обойтись тремя красками?

Но как решение задачи о трех красках может помочь вам в задаче о званом обеде? Давайте предположим, что вы записали имена своих друзей и соединили линиями пары людей, которые ненавидят друг друга:

Рис. 3.18. Линией соединены люди, которых нельзя пригласить на один обед

Чтобы решить, на какой из обедов вы должны пригласить того или иного друга, вы могли бы начать раскрашивать овалы вокруг имен разными цветами, причем разные цвета соответствуют разным званым обедам. Следовательно, решение о том, состоится ли обед, определяется тем, удастся ли раскрасить рисунок выше так, что никакие два имени, соединенные линией, не были бы окрашены в один цвет. Но посмотрите, что произойдет, если вы замените имена друзей чем-то другим (рис. 3.19).

Рис. 3.19. Линией соединены страны, имеющие общую границу

Ваши друзья, которые не любят друг друга, стали европейскими странами, и линии, соединяющие их, обозначают наличие общей границы. Задача о том, на какую из трех вечеринок пригласить того или иного друга, стала задачей о выборе одного из трех цветов для раскраски той или иной страны на карте Европы. Вопросы об организации званых обедов и раскраски карты тремя цветами являются различными версиями одного и того же вопроса, так что, если вы найдете эффективный способ решения одной из NP-полных задач, вы придете к решению их всех! Предлагаю вам на выбор несколько разных задач, на которых вы можете попробовать свои силы с целью выигрыша миллиона.

Сапер

Это компьютерная игра для одного участника, которая имеется в каждом установочном комплекте операционной системы Microsoft. Цель игры состоит в том, чтобы очистить сетку от мин. Если вы щелкаете по квадратику на сетке, и там нет мины, то появляется число, показывающее, во скольких квадратиках вокруг данного есть мины. Если же вы щелкаете по мине… то взлетаете на воздух. Но саперный вызов на миллион долларов предлагает вам сделать несколько иное. Следующий рисунок не может появиться в настоящей игре, потому что никакое расположение мин не может дать такие числа (рис. 3.20). Число 1 означает, что лишь в одном из неоткрытых квадратиков есть мина, а число 2 означает, что заминированы оба.

Рис. 3.20

Но что можно сказать о следующем рисунке – можно ли увидеть такой в настоящей игре?

Рис. 3.21

Существует ли возможность разместить мины так, чтобы появились эти числа? Или же данный рисунок никоим образом не может возникнуть в настоящей игре, потому что не существует расположения мин, совместимого с этими числами? Ваша задача состоит в том, чтобы разработать эффективную программу, которая сумеет дать ответ на этот вопрос для какой угодно картинки.

Задача об упаковке

Вы руководите фирмой по переезду. Все ваши упаковочные ящики имеют одинаковую ширину и высоту, совпадающие с внутренними размерами вашего грузовика (ну, или чуть меньше этих размеров, так, чтобы их можно было разместить внутри). Но длина ящиков разная. Длина вашего грузовика 150 футов, а у имеющихся ящиков следующие длины: 16, 27, 37, 42, 52, 59, 65 и 95 футов.

Рис. 3.22. Упаковка коробок является математически сложной задачей

Можете ли вы найти комбинацию ящиков, которая наполнит грузовик самым эффективным способом? Вы должны найти алгоритм, определяющий для любого заданного числа N и набора меньших чисел n(1), n(2), …, n(r), существует ли набор меньших чисел, складывающийся в большее число.

Судоку

Нахождение эффективной программы для решения сколь угодно больших головоломок судоку является NP-полной задачей. Иногда судоку бывают настолько убийственны, что приходится делать некоторые предположения и потом исследовать логические последствия этих предположений. Не представляется возможным существование какого-то эффективного способа делать эти предположения, иначе чем перебирать различные наборы предположений, пока не получится последовательный ответ.

Такого рода задачи не являются просто играми: они возникают в бизнесе и промышленности, когда компаниям необходимо найти самое эффективное решение какой-то практической проблемы. Незанятое пространство или перерасход топлива влекут денежные потери, и менеджерам часто приходится решать одну из этих NP-задач. В телекоммуникационной промышленности даже используются коды, дешифровка которых зависит от того, удается ли найти иголку в стоге сена. Поэтому не только математики или заядлые игроки заинтересованы в решении этой задачи на миллион долларов.

Будь то математический анализ футбольных игр или организация званых приемов, раскрашивание карт или расчистка минных полей – задача на миллион долларов из этой главы появляется в столь разнообразных обличьях, что вы наверняка сумеете найти привлекательный для себя вариант. Но имейте в виду следующее: эта задача может казаться забавной и игровой, тем не менее она – одна из самых трудных задач на миллион долларов. Математики полагают, что во всех этих задачах имеется некая существенная сложность, из-за чего может не найтись эффективной программы для их решения. К сожалению, всегда оказывается труднее показать, почему что-то не существует, чем показать его существование. Но, по крайней мере, для вас может быть забавно попытаться получить миллион этой главы.

 

Решения

Лотерея «Тайн 4исел»

Выигрышные номера: 2, 3, 5, 7, 17, 42.

Задача коммивояжера

Вот маршрут протяженностью 238 миль:

Рис. 3.23

15 + 55 + 28 + 12 + 24 + 35 + 25 + 17 + 4 + 5 + 18 = 238

 

С того самого времени, когда люди научились общаться друг с другом, они находили все более и более инфернальные способы скрывать сообщения от своих врагов. Возможно, вы, подобно да Винчи, использовали собственный код для ведения дневника, чтобы ваши брат или сестра не могли прочесть его. Но коды используются не только для сохранения тайн: они также гарантируют, что информация передается без ошибок. И мы можем использовать математику для создания новых искусных способов, обеспечивающих то, что полученное сообщение совпадает с отправленным. Это жизненно важно в наш век электронного обмена информацией.

Код представляет собой систематический способ расположения набора символов, передающего определенное значение. Как только вы начнете искать коды, вы обнаружите, что они окружают нас повсюду: штрихкоды находятся на всем, что мы покупаем, коды позволяют нам хранить музыку на MP3-плеерах и просматривать информацию в интернете. Даже эта книга написана кодом: английский язык – это попросту код, использующий 26 букв алфавита, а наши «допустимые кодовые слова» собраны в Оксфордском словаре английского языка. Коды содержатся даже в наших телах – ДНК представляет собой код для воспроизведения живых существ. ДНК состоит из четырех органических химических веществ, называемых основаниями: аденина, гуанина, цитозина и тимина, для краткости обозначаемых A, G, C и Т.

В этой главе я покажу вам, как математика использовалась для создания и взлома некоторых из самых хитроумных имеющихся кодов, как она позволяет нам безопасно и эффективно передавать информацию и дает возможность делать все, от фотографирования планет с космических аппаратов до покупок на eBay. И в конце главы я объясню, как прорыв в решении одной из задач на миллион долларов мог бы также помочь вам во взломе кодов.

 

Как использовать яйцо для отправки секретного сообщения

В XVI в. итальянец Джованни Порта открыл, что вы можете написать скрытое послание на сваренном вкрутую яйце с помощью чернил, которые получаются при растворении унции квасцов в пинте уксуса. Чернила проникают сквозь скорлупу и оставляют след на белке внутри. После написания нужно смыть текст со скорлупы, а на белке он остается. Какой совершенный прием для отправки тайных посланий! Чтобы взломать код, требуется разбить яйцо! И это только один из многих умопомрачительных способов, придуманных людьми, чтобы скрывать секретные сообщения.

В 499 г. до н. э. тиран по имени Гистией захотел послать тайное сообщение своему племяннику Аристагору, чтобы побудить его к восстанию против персидского царя. Гистией находился в Сузах, на территории современного Ирана, а его племянник был дома в Милете, который теперь принадлежит Турции. Но как же передать послание племяннику, чтобы персидские власти не перехватили его? Гистией придумал хитрый план. Он повелел своему верному слуге обрить голову и вытатуировал сообщение на его голой голове. Когда волосы отросли снова, Гистией отправил слугу к племяннику. Как только слуга приехал в Милет, племянник обрил ему голову, прочел послание и начал восстание против правившего персидского царя.

В то время как племяннику требовалось лишь обрить голову гонца, мы можем испытать определенную жалость к получателям сообщений, посланных по древнему китайскому методу. Послание писалось на куске шелка, который потом туго заматывался в шарик и покрывался воском. Гонец глотал этот шарик, и процедура извлечения послания была не особенно приятной.

Более изощренный способ прятать сообщения был развит спартанцами в V в. до н. э. Они использовали специальный деревянный цилиндр, называемый «скитала». Вокруг него по спирали наматывалась узкая полоска пергамента. Затем секретное сообщение писалось на ней вдоль оси цилиндра. После того как полоска разматывалась, послание походило на тарабарщину. Требовалось намотать полоску на скиталу с такими же размерами, чтобы буквы снова правильно выстроились.

Эти методы отправки секретных сообщений являются скорее примерами стеганографии, искусства тайнописи, чем кодирования (криптографии). Но сколь изощренны ни были они, когда послание перехватывалось, секреты всплывали наружу. Поэтому люди начали задумываться о том, как скрыть смысл сообщения, даже если оно было перехвачено.

 

Как взломать шифр Камасутры подсчетом

B OBDFSOBDLNLBC, ILXS B QBLCDSV MV B QMSD, LE B OBXSV MH QBDDSVCE.

LH FLE QBDDSVCE BVS OMVS QSVOBCSCD DFBC DFSLVE, LD LE ASNBGES DFSJ BVS OBTS ZLDF LTSBE. DFS OBDFSOBDLNLBC’E QBDDSVCE, ILXS DFS QBLCDSV’E MV DFS QMSD’E OGED AS ASBGDLHGI; DFS LTSBE ILXS DFS NMIMGVE MV DFS ZMVTE, OGED HLD DMUSDFSV LC B FBVOMCLMGE ZBJ. ASBGDJ LE DFS HLVED DSED: DFSVS LE CM QSVOBCSCD QIBNS LC DFS ZMVIT HMV GUIJ OBDFSOBDLNE.

Походит на галиматью, но на самом деле это послание, написанное с использованием одного из самых популярных способов кодирования. Он называется шифром подстановки и состоит в замене каждой буквы алфавита какой-либо другой буквой: так, a может стать P, t может стать C и т. д. (Я использовал строчные буквы для незашифрованного сообщения – оно называется в криптографии открытым текстом – и прописные буквы для зашифрованного текста, или шифротекста.) Если отправитель и получатель сообщения заранее договорились об используемом шифре подстановки, то получатель сможет дешифровать послания, но всем остальным они будут казаться бессмысленными строками абракадабры.

Самая простая версия этих шифров называется сдвигом Цезаря – в честь Юлия Цезаря, который пользовался им для связи со своими военачальниками во время Галльских войн. Принцип его действия состоит в сдвиге каждой буквы на одинаковое число позиций в алфавите. Например, при сдвиге на 3 a становится D, b становится E и т. д. Вы можете загрузить с веб-сайта «Тайн 4исел» соответствующий файл и вырезать шифровальное колесо для создания этих простых сдвигов Цезаря.

Сдвижка на постоянное число позиций дает вам лишь 25 возможных шифров, так что, если вы понимаете, что сообщение было закодировано с помощью одного из них, становится совсем просто расшифровать его. Существует и лучший способ закодировать сообщение: вместо простого постоянного сдвига всех букв можно перемешать их и разрешить замену любой буквы произвольной другой буквой. Эта методика шифрования сообщений была предложена за несколько веков до Юлия Цезаря, удивительно, что она изложена не в военном руководстве, а в Камасутре. Хотя этот древний трактат на санскрите обычно ассоциируется с описанием плотских удовольствий, в нем описывается и несколько других искусств, которыми должна овладеть женщина: от заклинаний и игры в шахматы до переплетного дела и плотничества. А 45-я глава посвящена искусству тайных сообщений, и объясняется, насколько совершенен может быть шифр подстановки для сокрытия подробностей любовных связей.

В то время как имеется лишь 25 сдвигов Цезаря, число возможных шифров становится заметно больше, когда мы позволяем заменять любую букву любой другой. У нас есть 26 возможностей для того, что будет использовано вместо a, для каждой из этих возможностей имеется выбор из 25 букв для буквы b (одна буква уже была использована для кодирования a). Итак, имеется 26 × 25 различных способов зашифровать буквы a и b. Если мы продолжим выбирать другие буквы для оставшегося алфавита, то найдем, что имеется

26 × 25 × 24 × 23 × 22 × 21 × 20 × 19 × 18 × 17 × 16 × 15 × 14 × 13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

различных шифров Камасутры. Как мы видели на с. 40, это число обозначается 26!. Только нужно не забыть вычесть 1 из этого числа, потому что имеется вариант, когда А соответствует а, B соответствует b и так далее вплоть до Z, соответствующего z, что не является шифром. Когда мы вычислим 26! и вычтем 1, то придем к общему числу

403 291 461 126 605 635 583 999 999

различных шифров – более четырехсот миллионов миллиардов миллиардов возможностей.

Отрывок в начале данного раздела был закодирован с помощью одного из этих шифров. Чтобы дать вам представление о числе возможных перестановок, замечу, что напиши я закодированный отрывок с использованием всех различных шифров, то лист бумаги вышел бы за пределы Млечного Пути, нашей Галактики. Компьютер, проверяющий по одному шифру в секунду с момента Большого взрыва, который произошел 13 миллиардов лет назад, к настоящему времени выполнил бы лишь часть работы по проверке всех шифров – и при этом очень малую часть.

Поэтому кажется, что взломать этот шифр невозможно. Разве удастся выяснить, каким из этого огромного количества возможных шифров воспользовался я, чтобы закодировать мое послание? Как это ни поразительно, существует способ сделать это, причем он применяет очень простой раздел математики – подсчет.

Таблица 4.01. Частота употребления букв в обычном английском языке, округленная к ближайшему целому процентному значению. С помощью этой информации можно приступить к взламыванию сообщений, в которых использовался шифр подстановки

Впервые криптоанализ, как называется наука о взламывании кода, был разработан арабами во время правления династии Аббасидов. Многогранный ученый IX в. Якуб аль-Кинди отметил, что в написанном тексте некоторые буквы появляются снова и снова, в то время как другие используются редко, как показано выше. Это то, что хорошо знакомо игрокам в скрэббл: за букву E, как за самую распространенную, дается лишь 1 очко, в то время как Z оценивается в 10 очков. В письменных текстах у каждой буквы есть выраженная «индивидуальность» – то, как часто она появляется и в каких комбинациях с другими буквами. Ключевым в анализе аль-Кинди является понимание того, что индивидуальность буквы сохраняется при ее замене другим символом.

Итак, давайте начнем взламывать шифр, который использовался при кодировании текста в начале данного раздела. В таблице 4.02 приведена частота употребления каждой из букв, использованных в зашифрованном тексте.

Таблица 4.02. Частотное распределение букв в зашифрованном тексте

Из таблицы мы видим, что буква S встречается с частотой 13 %, это превосходит любую другую букву в шифротексте. Поэтому есть немалый шанс, что данная буква использовалась для кодирования e. (Разумеется, вам приходится надеяться, что я не выбрал для кодирования отрывок из романа Жоржа Перека «Исчезание», на всем протяжении которого не встречается буква e.) Следующей по употребительности буквой шифротекста, с частотой 12 %, является D. На втором месте по употребительности в английском языке находится буква t, поэтому она будет хорошим предположением для соответствия D. Третьей по частоте в шифротексте является буква B, которая используется в 10 % случаев, есть немалая вероятность, что она заменяет третью по употребительности букву английского языка а.

Давайте подставим эти буквы в текст и посмотрим, что у нас получилось:

a OatFeOatLNLaC, ILXe a QaLCteV MV a QMet, LE a OaXeV MH QatteVCE.

LH FLE QatteVCE aVe OMVe QeVOaCeCt tFaC tFeLVE, Lt LE AeNaGEe tFeJ aVe OaTe ZLtF LTeaE. tFe OatFeOatLNLaC’E QatteVCE, ILXe tFe QaLCteV’E MV tFe QMet’E OGEt Ae AeaGtLHGI; tFe LTeaE ILXe tFe NMIMGVE MV tFe ZMVTE, OGEt HLt tMUetFeV LC a FaVOMCLMGE ZaJ. AeaGtJ LE tFe HLVEt teEt: tFeVe LE CM QeVOaCeCt QIaNe LC tFe ZMVIT HMV GUIJ OatFeOatLNE.

Вы можете сказать, что текст по-прежнему выглядит как тарабарщина, но то обстоятельство, что буква а встречается сама по себе несколько раз, говорит нам, что, вероятно, мы декодировали ее правильно. (Конечно, могло оказаться так, что B заменяет i, в таком случае нам пришлось бы вернуться назад и попытаться еще раз.) Также мы замечаем, что довольно часто сталкиваемся со словом tFe, и можно быть уверенным, что это слово the. На самом деле буква F занимает 6 % шифротекста, а в английском языке буква h встречается в 6 % случаев.

Также мы видим слово Lt, в котором была декодирована лишь вторая буква. Есть лишь два слова из двух букв, заканчивающиеся на t: at и it. Мы уже декодировали а, значит, наверняка L нужно декодировать как i, и наша таблица частотного распределения подтверждает это. L появляется в шифротексте с частотой 8 %, и i встречается в английском языке с частотой 7 % – довольно близкое совпадение. Подобный анализ не является точной наукой, мы должны проявлять достаточную гибкость при использовании этой техники. Но чем длиннее текст, тем лучше будут подстраиваться частоты.

Давайте подставим две наши новые декодировки:

a OatheOatiNiaC, IiXe a QaiCteV MV a QMet, iE a OaXeV MH QatteVCE.

iH hiE QatteVCE aVe OMVe QeVOaCeCt thaC theiVE, it iE AeNaGEe theJ aVe OaTe Zith iTeaE. the OatheOatiNiaC’E QatteVCE, IiXe the QaiCteV’E MV the QMet’E OGEt Ae AeaGtiHGI; the iTeaE IiXe the NMIMGVE MV the ZMVTE, OGEt Hit tMUetheV iC a haVOMCiMGE ZaJ. AeaGtJ iE the HiVEt teEt: theVe iE CM QeVOaCeCt QIaNe iC the ZMVIT HMV GUIJ OatheOatiNE.

Постепенно начинает вырисовываться сообщение в целом. Я предоставляю вам возможность довести дешифровку до конца, декодированный текст приведен в конце главы на случай, если вам захочется проверить, сделано ли все правильно. Дам лишь следующую подсказку: это пара моих любимых отрывков из «Апологии математика», написанной кембриджским ученым Г. Х. Харди. Я прочитал эту книгу, когда учился в школе, она повлияла, наряду с другими обстоятельствами, на мое решение стать математиком.

Простой арифметический прием подсчета букв означает, что любое сообщение, закодированное с помощью шифра подстановки, нельзя сделать секретным. Мария I, королева Шотландии, узнала это на собственном опыте. Она обменивалась посланиями, содержащими планы по убийству королевы Елизаветы I, с другим заговорщиком, Энтони Бабингтоном, при этом буквы в них заменялись странными символами (рис. 4.01).

Рис. 4.01. Шифр Бабингтона

На первый взгляд сообщения, посланные Марией, казались непроницаемыми, но при дворе Елизаветы был один из главных европейских знатоков по взламыванию шифров – Томас Фелиппес. Он не был привлекательным человеком, что ясно из следующего описания: «Малорослый, во всем худосочный, подслеповатый, с темно-золотистыми волосами на голове и светло-золотистой бородой, с оспинами на лице». Многие люди считали, что Фелиппес наверняка был в сговоре с дьяволом, раз обладал способностью понимать такие иероглифы, но он использовал тот же прием частотного анализа. Он взломал код, Мария была арестована и предана суду. Расшифрованные письма были тем свидетельством, которое в конечном счете привело королеву к смертной казни за участие в заговоре.

 

Как математики способствовали победе во Второй мировой войне

Когда стало понятно, что шифру подстановки присуща эта уязвимость, криптографы начали придумывать более изощренные способы кодирования, чтобы отразить атаки, использующие подсчет букв. Одна идея состояла в варьировании шифра подстановки. Вместо того чтобы использовать лишь один шифр подстановки для всего текста, вы можете поочередно использовать два различных шифра. Таким образом, если вы, к примеру, кодируете слово beef, то буквы е в нем будут закодированы по-разному, поскольку к первой из них применяется один шифр, а ко второй – другой. Может оказаться, что beef будет закодирована как PORK. Чем более безопасным вы желаете сделать ваше сообщение, тем больше различных шифров нужно использовать в нем.

Если вам необходимо взломать шифр Камасутры, то для анализа частоты употребления различных букв в закодированном тексте может оказаться полезной следующая веб-страница: http://simonsingh.net .

Конечно, в криптографии требуется приходить к компромиссу между надежностью шифра и легкостью его использования. В самом надежном виде шифра, называемом одноразовым блокнотом, используется свой шифр подстановки для каждой из букв сообщения. Его почти невозможно взломать, потому что нет совершенно никакого намека, как браться за шифротекст. Этот вид шифра также неудобен и громоздок, ведь приходится использовать свой шифр подстановки для каждой из букв сообщения.

Французский дипломат XVI в. Блез де Виженер считал, что для воспрепятствования частотному анализу будет достаточно переключаться между несколькими шифрами подстановки. Хотя шифр Виженера, как он стал известен, на самом деле является значительно более надежной формой кодирования, его все же можно взломать. Британский математик Чарльз Бэббидж в конечном счете нашел метод, позволяющий сделать это. Бэббидж по праву считается дедушкой компьютерного века: он был убежден, что машины можно использовать для автоматических вычислений, а в лондонском Музее науки можно увидеть реконструкцию его «Разностной машины» – механического аппарата для проведения вычислений. Именно систематический подход к решению задач способствовал тому, что в 1854 г. у него появилась идея, как взломать шифр Виженера.

Метод Бэббиджа задействует важное математическое умение – распознавание закономерностей. Первое, что вам необходимо выяснить, – между сколькими различными шифрами подстановки происходит переключение. Поскольку слово the, как правило, многократно встречается в любом открытом тексте, нужно попытаться заметить повторы одной и той же трехбуквенной последовательности, это может послужить ключом к определению количества шифров подстановки. Например, вы замечаете частые повторы последовательности AWR, причем количество разделяющих символов между различными употреблениями AWR кратно четырем. Это будет хорошим указанием на то, что используется четыре шифра.

Как только у вас есть эта информация, вы можете разбить шифротекст на четыре группы. В первую группу входит первая буква, пятая буква, девятая буква и т. д. Во вторую группу включены вторая буква, шестая буква, десятая буква и т. д. Для каждой из этих четырех групп использовался один шифр подстановки. Так что вы можете применить частотный анализ поочередно к четырем группам и взломать шифр.

После взлома шифра Виженера начался поиск нового способа надежно кодировать сообщения. Когда в 1920-х гг. в Германии была разработана шифровальная машина «Энигма», многие сочли, что было создано совершенное кодирование, которое невозможно взломать.

Принцип работы машины «Энигма» основан на переключении на другой шифр замены всякий раз после кодирования буквы. Так, если бы я захотел зашифровать последовательность аааааа (вероятно, она могла бы означать, что у меня приступ боли), то каждая буква а была бы закодирована по-своему. Элегантность машины «Энигма» заключалась в том, что смена одного шифра другим происходила автоматически и крайне эффективно. Сообщение печаталось на клавиатуре. Над ней находился другой набор букв, называемый «ламповой панелью», загоравшаяся буква отображала то, как кодировалась вводимая буква. Электрическое соединение клавиатуры с ламповой панелью происходило не напрямую, а через три вращающихся диска (ротора), в каждом из которых содержался клубок проводов.

Можно понять принцип работы машины «Энигма», если представить большой цилиндр, составленный из трех вращающихся барабанов. На верхнем основании цилиндра вблизи края расположены 26 отверстий, помеченных буквами алфавита. Чтобы закодировать букву, вы роняете шар в отверстие, соответствующее данной букве. Шар падает в первый барабан, у которого 26 отверстий вдоль обода наверху и 26 отверстий вдоль обода внизу. Верхние и нижние отверстия соединены трубками, которые не ведут напрямую от верхних отверстий к нижним, а извиваются сложным образом. В результате шар, попадающий наверху в барабан, выйдет внизу совершенно в другом положении. Средний и нижний барабан устроены схожим образом, но трубки, соединяющие их верхние и нижние отверстия, проложены по-своему. Когда шар падает из отверстия на дне третьего барабана, он попадает в конечную часть устройства, где 26 отверстий опять-таки помечены буквами алфавита.

Рис. 4.02. Принцип работы шифровальной машины «Энигма»: опустите шар в отверстие наверху, соответствующее кодируемой букве. Барабаны вращаются после каждого кодирования, поэтому буквы всякий раз шифруются по-разному

Если бы устройство оставалось в таком же положении, то его действие сводилось бы к усложненному воспроизведению шифра подстановки. Но гениальность конструкции «Энигмы» состоит в том, что всякий раз, когда шар проходит через цилиндр, первый барабан поворачивается на 1/26 оборота. Поэтому, когда опускается следующий шар, первый барабан пошлет его совершенно по другому пути. Например, в первый раз буква а могла быть закодирована как С, но после того, как первый барабан повернулся на одну позицию, шар, брошенный в отверстие а, выйдет внизу в другом месте. Вот так и действовала машина «Энигма»: после кодирования первой буквы первый вращающийся диск поворачивался на одну позицию.

Вращение дисков в каком-то смысле соответствует одометру: после того как первый диск поворачивается на все 26 позиций и возвращается в начальное положение, он поворачивает второй диск на 1/26 оборота. Итак, имеется 26 × 26 × 26 различных способов шифровать буквы. Кроме того, оператор «Энигмы» мог менять порядок расположения дисков, что сводится к умножению количества возможных шифров подстановки на 6 (или 3! различных способов расположения трех дисков).

У каждого оператора была шифровальная книга, которая предписывала ему, в какое положение в начале того или иного дня нужно приводить три диска для кодирования сообщений. Получатель сообщения декодировал его, используя те же настройки из шифровальной книги. По мере усовершенствования «Энигмы» были введены дополнительные усложнения, что в конечном счете привело более чем к 158 миллионам миллионов миллионов различных способов установки машины.

В 1931 г. специалисты французской разведки сумели получить инструкцию по использованию шифровальной машины и пришли в ужас. Казалось, не существует никакой возможности понять из перехватываемого сообщения, в какое положение устанавливались диски для кодирования в тот день. А это было совершенно необходимо для дешифровки сообщения. Но у Франции было соглашение с Польшей по обмену разведывательной информацией, и угроза немецкого вторжения оказала стимулирующее воздействие на умственную деятельность поляков.

Польские математики поняли, что каждая из установок дисков характеризовалась своими особенностями в закодированных сообщениях, и этими закономерностями можно было воспользоваться для декодирования сообщений. Если, к примеру, оператор печатал а, то в зависимости от установки дисков эта буква кодировалась, скажем, как D. Затем первый диск поворачивался на одну позицию. Если оператор еще раз нажимал а и она кодировалась как Z, то в каком-то смысле связь D с Z определяется установкой дисков.

Мы могли бы исследовать это с помощью нашего приспособления. Устанавливая барабаны в требуемое положение и опуская по очереди в каждое из отверстий два шара, мы могли бы составить полный набор взаимосвязей, который мог бы выглядеть следующим образом (см. таблицу 4.03).

Таблица 4.03

Каждая буква появляется в каждой строке один, и только один, раз, потому что каждая строка соответствует одному шифру подстановки.

Как поляки использовали эти взаимосвязи? В любой день все немецкие операторы «Энигмы» должны были использовать одну и ту же установку дисков, которая была записана в их шифровальной книге. Затем они выбирали свое собственное расположение дисков и посылали данные о нем, используя исходную установку дисков из шифровальной книги. Для надежности им было рекомендовано передавать сведения о выбранной установке дважды, что было, в противоположность надежности, фатальной ошибкой. Это давало полякам ключ к тому, какая установка дисков использовалась в машине «Энигма» в тот день.

Группа математиков, находившаяся в особняке Блетчли-парк, который расположен на полпути между Оксфордом и Кембриджем, изучала закономерности, подмеченные математиками в Польше, и нашла способ автоматизировать поиск настроек. При этом использовалась электронно-механическая машина под названием «Бомба». Говорят, что эти математики сократили Вторую мировую войну на два года и спасли бессчетное количество жизней. А построенные ими машины положили начало компьютерам, на которые мы полагаемся в наши дни.

Для онлайн-моделирования работы машины «Энигма» воспользуйтесь ссылкой http://bit.ly/BletchleyPark . С веб-сайта «Тайн 4исел» вы можете загрузить PDF-файл с инструкциями, как сделать собственную машину «Энигма».

 

Передача сообщения на расстояние

Независимо от того, закодировано ваше послание или нет, вам необходимо найти способ передать его из одного места в другое. Во многих культурах, от китайцев до американских индейцев, использовались дымовые сигналы как средство сообщения на большие расстояния. Говорят, что с помощью костров, разводившихся в башнях Великой Китайской стены, можно было передать послание на 500 км за несколько часов.

Визуальные коды, основанные на флагах, восходят к 1684 г., когда Роберт Гук, один из самых знаменитых ученых ХVII в., представил эту идею Лондонскому Королевскому обществу. Изобретение телескопа сделало возможным передавать оптические сигналы на большие расстояния, но Гука подстегнуло то, что привело к многим техническим достижениям, – война. В предшествовавшем году Вена чуть не была захвачена турецкой армией, в то время как вся Европа не знала об этой опасности. Внезапно стало крайне необходимым придумать способ быстрой передачи сообщений на большие расстояния.

Гук предложил возвести в Европе сеть башен. Если какая-то из них передавала сообщение, то все башни, находившиеся в поле видимости, повторяли его – это было двумерной версией того, как послания отправлялись вдоль Великой Китайской стены. Метод передачи сообщений не был особенно изощренным – большие специальные знаки поднимались наверх посредством веревок. Данное предложение Гука не было осуществлено, и до практического воплощения схожей идеи прошло сто лет.

В 1791 г. братья Клод и Игнас Шаппы построили систему башен, чтобы предоставить французскому революционному правительству быструю связь (хотя одна из башен была атакована толпой, решившей, что ею пользовались роялисты для заговора). Идея была основана на системе знаков, которой пользовались братья в детстве для передачи сообщений между общежитиями в школе со строгими порядками, где они обучались. Клод и Игнас экспериментировали с множеством различных способов визуальной передачи сообщений. В конце они остановились на деревянных планках, фиксировавшихся под разными углами, которые мог легко различить человеческий глаз.

Рис. 4.03. Код братьев Шапп передавался с помощью шарнирно скрепленных деревянных планок

Братья разработали код для подвижной системы шарнирно скрепленных деревянных планок, чтобы обозначать различные буквы или некоторые слова. Основная поперечина могла быть установлена под четырьмя различными углами, в то время как у каждой из двух меньших планок было семь различных положений, что в общей сложности предоставляло возможность передавать 7 × 7 × 4 = 196 различных символов. Хотя часть кода использовалась для передачи публичных сообщений, 92 символа, объединенные в пары, представляли секретный код, что давало 92 × 92 = 8464 различных слова и фразы.

Рис. 4.04. Представление букв и цифр в коммуникационной системе братьев Шапп

Во время первого испытания 2 марта 1791 г. братья Шапп успешно передали сообщение «Если преуспеете, то покроете себя славой» на расстояние в 10 миль (160 км). Правительство было весьма впечатлено предложением братьев, и через четыре года во Франции была воздвигнута система башен и планок, протянувшаяся через всю страну. В 1794 г. одна из линий башен успешно передала менее чем за час на расстояние в 143 мили (230 км) сообщение о том, что французы отвоевали у австрийцев город Конде-сюр-л’Эско. К сожалению, успех не привел к славе вопреки предсказанию первого сообщения. Клод Шапп впал в такую депрессию от слухов, будто он украл многое из существовавшей у военных семафорной системы, что утопился в колодце.

Но вскоре деревянные планки на верхушках башен стали вытесняться флагами, их же стали использовать моряки для обмена сообщениями на море, ведь требовалось только помахать ими, находясь в поле видимости других судов. Наверное, самое знаменитое кодированное сообщение, которое было послано кораблям посредством флагов, изображено на рис. 4.05. Оно было передано 21 октября 1805 г. в 11:45.

Рис. 4.05. Знаменитое послание адмирала Нельсона «Англия ждет, что каждый выполнит свой долг»

Это сообщение Горацио Нельсон поднял на флагмане Королевского флота «Виктория» перед началом решающего Трафальгарского сражения. В британском флоте использовался секретный код, автором которого был другой адмирал, сэр Хоум Попхэм. Кодовые словари имелись на каждом из кораблей Королевского флота, эти книги были начинены свинцом, так что в случае захвата судна кодовый словарь можно было выбросить за борт, чтобы врагу не достался британский секретный шифр.

Код был основан на комбинациях десяти различных флагов, причем каждый из них представлял одну из цифр от 0 до 9. Флаги поднимались на мачты корабля тройками, таким образом обозначая число от 000 до 999. Получатель сообщения глядел в свой кодовый словарь, чтобы понять, какое из слов было зашифровано. England (Англия) кодировалась числом 253, а для слова every (каждый) использовалось число 261. Некоторых слов, к примеру duty (долг), не было в словаре, и их нужно было набрать флагами, зарезервированными для отдельных букв. Первоначально Нельсон хотел послать сообщение «Англия верит, что каждый выполнит свой долг», имея в виду, что Англия была уверена. Но сигнальный офицер, лейтенант Джон Паско, не мог найти слова confides (верит) в кодовом словаре. Вместо того чтобы набирать его по буквам, он вежливо предложил Нельсону употребить имевшееся в словаре слово expects (ждет), как более уместное.

Использование флагов было вытеснено на обочину в связи с развитием телекоммуникаций, но и в нашем современном мире моряки обучаются семафорной азбуке, в которой букве сопоставляется положение рук с флажками. У каждой руки при этом имеется восемь различных положений, что приводит к 8 × 8 = 64 возможным символам.

Рис. 4.06. Семафорная азбука

Чтобы узнать, как выглядит то или иное сообщение на семафоре, посетите сайт http://bit.ly/Scoutsemaphore  или воспользуйтесь смартфоном и сосканируйте QR-код.

NUJV!

The Beatles на обложке своего альбома Help! , очевидно, используют семафор, чтобы объявить название. Но, если вы декодируете показываемые ими семафорные знаки, то получится не HELP, a NUJV (рис. 4.07). Роберт Фримен, в голову которому пришла идея о семафоре на обложке, объяснял: «Когда дело дошло до фотографирования, то расположение рук с правильными буквами выглядело не слишком хорошо. Поэтому мы решили импровизировать, и остановились на визуально оптимальном положении рук». На самом деле они должны были показывать так (рис. 4.08):

Рис. 4.07

Рис. 4.08

Как мы увидим, The Beatles – вовсе не единственный ансамбль, неправильно использовавший код на обложке альбома.

Рис. 4.09. Знаете ли вы, что пацифистский символ, использующийся Движением за ядерное разоружение, на самом деле задействует семафорную азбуку? Он представляет буквы N и D (Nuclear Disarmament, ядерное разоружение), объединенные в один символ

 

Какое сообщение закодировано в Симфонии № 5 Бетховена?

Начало Симфонии № 5 Бетховена – три короткие ноты, за которыми следует длинная, – одно из самых знаменитых в истории музыки. Но почему радиостанция Би-би-си начинала каждый выпуск новостей во время Второй мировой войны с известного мотива Бетховена? Ответ состоит в том, что в нем содержалось закодированное сообщение. Этот новый код опирался на технику, умевшую посылать сигналы по проводам в виде последовательности электромагнитных импульсов.

Одним из первых людей, экспериментировавших с этим видом связи, был Карл Фридрих Гаусс. С его исследованиями по простым числам мы познакомились в главе 1. Но Гаусс интересовался не только математикой, но и физикой, включая развивавшуюся область электромагнетизма. Он и физик Вильгельм Вебер протянули километр провода от лаборатории Вебера в Гёттингене до обсерватории, где жил Гаусс, чтобы посылать сообщения друг другу.

Для этого им потребовалось разработать код. В приемной части аппаратуры имелся горизонтально расположенный постоянный магнит, к которому была прикреплена стрелка. Вокруг магнита была намотана проволочная катушка, и под действием импульсов тока, менявших направление, магнит сдвигался влево или вправо. Гаусс и Вебер придумали код, в котором буквы соответствовали комбинациям левых и правых смещений магнита (см. таблицу 4.04).

Таблица 4.04. Код Гаусса – Вебера

Вебер был настолько воодушевлен потенциалом их открытия, что пророчески заявил:

Когда земной шар будет покрыт сетью железных дорог и телеграфных проводов, эта сеть будет служить человечеству подобно тому, как нервная система служит телу. Она будет использоваться и как средство транспорта, и как средство распространения идей и ощущений со скоростью света.

Для реализации потенциала электромагнетизма по передаче сообщений было предложено множество различных кодов. Однако код, разработанный американцем Сэмюэлом Морзе в 1838 г., был настолько успешен, что вытеснил все остальные. Подобно схеме Гаусса – Вебера, в нем каждая буква превращалась в комбинацию длинных и коротких импульсов электричества – тире и точек.

Рис. 4.10. Код Морзе

Логика, которой руководствовался Морзе при создании кода, в чем-то соответствует частотному анализу, используемому дешифровщиками для того, чтобы взломать шифр подстановки. Наиболее употребительные буквы английского алфавита – e и t, поэтому имеет смысл использовать максимально короткие последовательности для их кодирования. Поэтому e представляется точкой, коротким импульсом электричества, а t – тире, длинным импульсом. Для менее употребительных букв задействуются более длительные последовательности. Так, z соответствует тире-тире-точка-точка.

С помощью кода Морзе мы можем расшифровать сообщение, спрятанное в Симфонии № 5 Бетховена. Если мы интерпретируем драматичное начало этого произведения как код Морзе, то соотнесем последовательность точка-точка-точка-тире с буквой v, которой Би-би-си символизировала победу (victory).

Разумеется, Бетховен не собирался прятать в своей музыке сообщения на морзянке, ведь он умер до того, как она была изобретена. Но другие композиторы использовали ее ритмическую структуру, чтобы придать дополнительный смысл своим произведениям. Мелодия, сопровождающая знаменитый детективный сериал «Инспектор Морс» (Inspector Morse), совершенно оправданно начинается с ритмической последовательности, воспроизводящей фамилию детектива на коде Морзе:

Рис. 4.11. Код Морса

В некоторых сериях композитор даже вплел посредством морзянки имя убийцы в побочную музыкальную тему, хотя порою в партитурах встречается и ложный след.

Несмотря на то что код Морзе крайне широко использовался, причем не только композиторами, но и телеграфными операторами по всему миру, в нем имеется врожденная проблема. Если вы приняли точку, за которой следует тире, то как нужно декодировать эту последовательность? С одной стороны, она отвечает букве a, с другой стороны, это может быть буква e, за которой следует t. В результате математики предложили иной вид кода, использующий последовательности 0 и 1, который лучше подходит для восприятия машинами.

 

Как называется третий альбом группы Coldplay?

Когда фанаты устремились за покупкой третьего альбома группы Coldplay, выпущенного в 2005 г., они были сильно заинтригованы рисунком на обложке, пытаясь постичь его смысл. На нем были изображены расположенные на сетке разноцветные прямоугольники. В чем же заключалось значение картинки? Оказалось, она представляла название альбома, написанное с помощью одного из первых двоичных кодов, предложенного в 1870 г. французским инженером Эмилем Бодо. Цвета на рисунке не имели значения: смысл был лишь в том, что каждый прямоугольник представлял 1, а каждый пропуск нужно было истолковать как 0.

Немецкий математик XVII в. Готфрид Лейбниц одним из первых осознал приспособленность нулей и единиц к эффективному хранению информации. Он почерпнул эту идею из китайской «И цзин» – «Книги перемен», где исследуется динамический баланс противоположностей. В ней имелись 64 графических символа, называемые гексаграммами, каждый из которых представляет ту или иную ситуацию с точки зрения ее развития. Именно они побудили Лейбница создать двоичную математику (с ней мы познакомились в предыдущей главе, когда изучали выигрышную стратегию «Ним»). Каждая гексаграмма представляет стопку из шести горизонтальных линий, причем любая из линий либо цельная, либо прерванная посередине. В «И цзин» объясняется, как эти символы могут использоваться для гадания, в котором также совершаются подбрасывания монеток и веточек.

Например, если у прорицателя выпадет гексаграмма, изображенная на рис. 4.12, то она будет означать «тяжбу».

Но если линии сложатся иным образом и цельные поменяются с прерванными (рис. 4.13), то получится «поражение света».

Рис. 4.12

Рис. 4.13

Однако Лейбница больше заинтересовало то обстоятельство, что, как отметил Шао Юн, китайский философ XI в., каждому символу может быть приписано число. Если вы будете обозначать единицей сплошную линию, а нулем прерванную, то первая гексаграмма при чтении сверху вниз даст вам 111010. В числах, записанных в десятичной системе, каждый разряд соответствует степени 10, и число в этом разряде говорит вам, сколько этих степеней десяти нужно взять. Так, 234 обозначает 4 единицы, 3 десятка и 2 сотни.

Но Лейбниц и Шао Юн работали не в десятичной, а в двоичной системе, где каждый разряд соответствовал степени 2. Число 111010 в двоичной системе обозначает отсутствие единиц, одну двойку, отсутствие четверки, одну восьмерку, один набор из 16 и один набор из 32. При сложении мы получим 2 + 8 + 16 + 32 = 58. Красота двоичной записи заключается в том, что для представления любого числа нужны лишь два символа, вместо десяти в десятичной системе. Два (десятичных) набора по 16 становятся одним набором следующей степени 2, то есть 32.

Лейбниц понял, что этот способ представления чисел становится крайне действенным, если вы хотите автоматизировать вычисления. Правила сложения двоичных чисел крайне просты. В каждом разряде 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1 и 0 + 0 = 0. Четвертая возможность заключается в 1 + 1 = 0, что сопровождается эффектом домино – 1 переносится и прибавляется к следующему разряду слева. Например, когда мы прибавляем 1000 к 111010, то видим каскад перемещений 1 к высшим разрядам:

1000 + 111010 = 10000 + 110010 = 100000 + 100010 = 1000000 + 000010 = 1000010.

Лейбниц сконструировал великолепные механические калькуляторы. В одном из них использовались шарики для обозначения 1, а отсутствие шарика представляло 0, так что процесс сложения напоминал фантастическую машину для пинбола. Лейбниц полагал, что «не пристало одаренному человеку тратить, подобно рабу, часы на вычислительный труд, который можно надежно доверить любому лицу при использовании машин». Я думаю, что большинство математиков согласятся с этим.

Люди начали обозначать цепочками 0 и 1 не только числа, но и буквы. Хотя человеческому роду код Морзе представлялся мощным инструментом для коммуникации, машины были менее приспособлены к улавливанию тонких различий между точками и тире, прописывающими буквы, и пониманию того, когда закончилась предыдущая буква и началась следующая.

Рис. 4.14. Реконструкция двоичного калькулятора Лейбница

В 1874 г. Эмиль Бодо предложил кодировать каждую букву алфавита цепочкой из пяти нулей и единиц. Благодаря одинаковой длине обозначений всех букв стало совершенно очевидно, где заканчивалась предыдущая буква и начиналась следующая. Использование пяти 0 и 1 позволило Бодо представить в общей сложности 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 различных символа. Буква Х соответствовала цепочке 10111, а Y обозначалась как 10101. Это было огромным прорывом, потому что сообщения теперь могли кодироваться на бумажной ленте, на которой перфорировались отверстия для обозначения 1, а отсутствие отверстия соответствовало 0. Машина могла считывать эту ленту и посылать сигнал по проводному соединению с высокой скоростью, а на другом конце телетайп автоматически распечатывал сообщение.

Со временем код Бодо был вытеснен на обочину огромным разнообразием других кодов, использующих ту же идею представления всего, от текста до звуковых волн, от jpeg-изображений до видеофайлов, с помощью 0 и 1. Каждый раз, когда вы заходите на iTunes и скачиваете трек Coldplay, ваш компьютер подвергается натиску огромной армии 0 и 1, которые декодируются вашим MP3-проигрывателем. Внутри этих чисел содержатся указания, предписывающие, как вибрировать вашим колонкам или наушникам, чтобы вы могли услышать сладкий голос Криса Мартина. Наверное, то обстоятельство, что в наш цифровой век музыка представляет поток 0 и 1, и вдохновило на создание обложки третьего альбома Coldplay.

Но ключом к пониманию секретного сообщения, погруженного в рисунок на обложке, служит исходный код Бодо. Узор может быть разделен на четыре столбца с пятью блоками в каждом столбце. Окрашенные блоки нужно интерпретировать как 1, а пропуски – как 0. Поскольку порою трудно сказать, какой край ленты должен быть сверху, машина перфорирует тонкую линию, отделяющую два верхних блока от трех нижних. Вот почему на рисунке обложки видна линия, разделяющая серые и цветные блоки.

Рис. 4.15. На обложке третьего альбома группы Coldplay используется код Бодо

Блоки первого столбца обложки чередуются как цветной-пустой-цветной-цветной-цветной, что переводится в 10111, а это код Бодо для Х. Последний столбец становится кодом Бодо для Y. Два средних столбца чуть интереснее. Пять нулей и единиц дают возможность закодировать 32 символа, но очень часто требуется большее, поскольку имеются числа, знаки пунктуации и другие символы, которые также хотелось бы передать. Чтобы удовлетворить этим требованиям, Бодо нашел хитрый способ расширить допустимый диапазон. Вспомните, как на клавиатуре нажимается Shift для доступа ко всему набору символов при использовании тех же клавиш, и Бодо использовал одну из цепочек из 5 нулей и единиц в качестве эквивалента Shift. Итак, если вам встретится 11011, то следующая цепочка будет относиться к расширенному набору символов.

Этот веб-сайт позволит вам создать собственные обложки альбомов в стиле Coldplay: http://bit.ly/Coldcod .

Второй столбец на обложке как раз и представляет клавишу Shift для кода Бодо. Чтобы декодировать последовательность пустой-пустой-пустой-цветной-цветной третьего столбца, нужно обратиться к расширенному набору символов, показанному на схеме ниже. И уверен, что большинство людей ожидает увидеть символ &. Но 00011 обозначает не &, а цифру 9. Итак, настоящим названием третьего альбома Coldplay, изображенным с помощью кода Бодо, будет X9Y, а не X&Y. Подшутила ли группа Coldplay над нами? Возможно, нет. Ведь код Бодо для 9 и & различается лишь на один блок, и, скорее всего, на рисунке допущена ошибка, которая наглядно иллюстрирует проблему с многими из этих кодов: трудно сказать, совершен ли промах. Именно в детектировании подобных ошибок математика кодов в полной мере проявляет себя.

Рис. 4.16. Код Бодо

 

Какое из этих чисел будет кодом книги: 0521447712 или 0521095788?

Я уверен, что вы видели ISBN, Международный стандартный книжный номер (International Standard Book Number), на обложке каждой книги. Его 10 цифр однозначно идентифицируют книгу, а также сообщают о стране происхождения и об издательстве. Но это отнюдь не все, что делает код. В ISBN также встроено немного магии.

Скажем, я хочу заказать книгу и знаю ее ISBN. Я печатаю номер, но из-за спешки допускаю ошибку. Вы могли бы подумать, что у меня окажется не та книга, но этого не произойдет, потому что у ISBN есть поразительное свойство: эти номера могут детектировать ошибки внутри самих себя. Давайте я покажу, как это получается.

Вот подлинные ISBN некоторых моих любимых книг:

Таблица 4.05

Под каждой цифрой я привел результат умножения на ее порядковый номер в коде. Так, в первом ISBN 0 умножается на 1, 5 на 2, 2 на 3 и т. д. Затем я сложил все новые числа и написал полученную сумму в конце строки. Вы заметили особенность чисел, приготовленных по этому рецепту из ISBN? А вот результат вычислений с использованием некоторых других настоящих ISBN: 264, 99, 253.

Вы подметили закономерность? Расчет всегда приводит к числу, которое делится на 11. Это не чудесное совпадение, а следствие искусного математического замысла. Информация о книге содержится только в первых девяти цифрах. А десятая цифра добавляется в ISBN таким образом, чтобы результат вычислений по данному рецепту был кратен 11. Вы могли заметить, что у некоторых книг на последней позиции находится Х вместо арабской цифры. Например, у другой моей любимой книги следующий ISBN: 080501246X. X просто обозначает 10 (вспомните римские числа). В этом случае потребовалось дописать 10 в конец ISBN, чтобы результат вычисления делился на 11.

Ошибись я в одной из цифр при вводе ISBN, вычисление привело бы к результату, который не делится на 11. В таком случае компьютер будет знать, что я допустил ошибку, и мне будет предложено ввести ISBN еще раз. Даже если я переставлю местами две цифры – а люди часто допускают подобную ошибку, когда набирают номер, – то компьютер не даст команду послать мне неверную книгу, а попросит меня ввести правильный ISBN. Придумано довольно умно. Теперь вы можете проверить номера в заголовке этого раздела, чтобы определить, какой из них является настоящим ISBN, а какой – самозванцем.

Поскольку книги продолжают издаваться в больших количествах, номера ISBN начали заканчиваться. Поэтому было решено, что с 1 января 2007 г. в ISBN будет 13 цифр. 12 из них по-прежнему идентифицируют книгу, издателя и страну происхождения, а тринадцатая будет отслеживать, не вкрались ли ошибки. Но ключевым для номера ISBN теперь является делимость на 10, а не на 11. Найдите номер ISBN этой книги. В нем 13 цифр. Сложите 2, 4, 6, 8, 10 и 12-ю цифру, а сумму умножьте на 3. Теперь прибавьте к промежуточному результату все остальные цифры. Итоговый результат будет делиться на 10. Если же вы сделали ошибку при записи номера ISBN, то у вас, скорее всего, получится число, которое не делится на 10.

 

Как использовать коды для чтения мыслей

Для того чтобы показать этот фокус, вам понадобится 36 монет. Дайте вашему ничего не подозревающему другу 25 монет и попросите его расположить их на сетке 5 × 5 со случайным распределением орлов и решек. Он, к примеру, мог бы расположить монеты так:

Таблица 4.06

Потом вы говорите: «Через минуту я попрошу тебя перевернуть одну из монет, после чего я прочитаю твои мысли и скажу, какую именно ты перевернул. Ты можешь решить, что я могу запомнить порядок 25 монет, поэтому давай сделаем мою задачу еще более сложной и увеличим квадрат».

Затем вы добавляете монеты, создав дополнительный ряд и столбец, так что получается сетка 6 × 6. На первый взгляд вы распределяете орлы и решки случайно… хотя на самом деле это вовсе не так. Вы считаете, сколько решек имеется в каждом ряду и каждом столбце начиная с первого столбца. Если в первом столбце нечетное число решек, то положите дополнительную монету в первом столбце решкой вверх. Если же число решек четно (0 считается четным числом), то положите дополнительную монету в конец первого столбца вверх орлом.

Сделайте то же с каждым столбцом и затем добавьте монету в конец каждого ряда, используя прежний критерий. Теперь в правом нижнем углу появится ячейка, которую необходимо заполнить для завершения квадрата. Положите монету вверх орлом или решкой в зависимости от того, четное или нечетное число решек в столбце над этим углом. Интересно, что это также зафиксирует четность или нечетность числа решек в дополнительном нижнем ряду. Вы можете доказать, что это всегда так? Прием состоит в том, чтобы заметить, что это число говорит вам, четно или нечетно количество решек во всей сетке 5 × 5.

Как бы то ни было, сетка теперь будет выглядеть следующим образом:

Таблица 4.07

И вы готовы показать фокус. Повернитесь спиной и попросите вашего друга перевернуть какую-либо монету. Когда это сделано, снова повернитесь лицом к монетам. Сосредоточьтесь на сетке и объявите, что вы намерены прочитать мысли друга и идентифицировать перевернутую монету.

Разумеется, вы вовсе не читаете мысли вашего друга. Вы возвращаетесь к исходному квадрату 5 × 5 и считаете орлы и решки в каждом ряду и столбце. Вы проверяете четность числа решек и сопоставляете ее с добавленным вами орлом или решкой, указывающими на четность в каждом столбце или ряду. Если ваш друг перевернул одну из монет на сетке 5 × 5, то будет один ряд и один столбец, где показания добавленных вами монет будут неправильными. Посмотрите на место пересечения этих ряда и столбца – лежащая там монета и была перевернута.

Теперь вы, скорее всего, сумеете определить, какая монета была перевернута на данной сетке:

Таблица 4.08

В первом столбце сетки 5 × 5 четное число решек, но добавленная вами монета лежит решкой вверх, указывая, что изначально там было нечетное число решек. Итак, монета, перевернутая вашим другом, находится в первом столбце. Перейдем теперь к рядам. Во втором ряду наблюдается рассогласование: там нечетное число решек, но ваша «контрольная цифра» говорит, что должно быть четное число. Теперь вы можете прочесть мысли вашего друга и возвестить: «Ты перевернул монету в первом столбце, во втором ряду». Вас ждет взрыв аплодисментов впечатленной публики.

Но что будет, если ваш друг перевернул одну из добавленных вами монет? Никаких проблем. Теперь нижний правый угол будет неправильно указывать на четность последнего ряда или последнего столбца. Если он не соответствует последнему ряду, то вы будете знать, что изменение произошло в последнем ряду. Поэтому вы можете проверить поочередно столбец за столбцом, чтобы понять, где произошло рассогласование. Если вы обнаружите, что несоответствие имеется в шестом столбце, значит, ваш друг перевернул монету в нижнем правом углу.

Вот опять та же сетка, где была перевернута одна из добавленных вами монет. Вы можете идентифицировать ее?

Таблица 4.09

Она находится в верхнем правом углу. Орел в нижнем правом углу говорит вам, что выше его в нижнем столбце должно быть четное число решек, но оно оказалось нечетным. Теперь выполните проверку по рядам. В первом ряду имеется рассогласование, поскольку орел в конце ряда говорит, что должно быть четное число решек слева от него. Но их нечетное число, из чего следует, что была перевернута монета в верхнем правом углу.

Подобные приемы лежат в основе так называемого кода с коррекцией ошибок, применяемого компьютерами для исправления ошибок, которые могли вкрасться в сообщения при их передаче. Замените орлы и решки на нули и единицы, и внезапно сетка становится цифровым сообщением. Например, каждый столбец в сетке 5 × 5, первоначально выложенной для показа фокуса, мог бы представлять букву в коде Бодо. Тогда сетка 5 × 5 стала бы сообщением длиной в пять букв. Дополнительные строки и столбцы добавляются компьютером для отслеживания ошибок.

Следовательно, пожелай мы отправить кодированное сообщение о третьем альбоме Coldplay, можно воспользоваться тем же приемом, что и ранее, примененным к сетке 5 × 4. Это даст возможность понять, где и когда вкрадываются ошибки. Вот как должно выглядеть название альбома, если цветные блоки заменить на 1, а пропуски на 0:

Таблица 4.10

Теперь добавим дополнительную строку и столбец с нулями и единицами, чтобы обозначить, четное или нечетное количество единиц имеется в каждой из строк и столбцов:

Таблица 4.11

Теперь представим, что при передаче сообщения произошла ошибка, и одно из чисел изменилось. В результате графический дизайнер получил вот что:

Таблица 4.12

Проверяя контрольные цифры в последнем столбце и строке, дизайнер может заметить ошибку. В данном случае имеется несоответствие во второй строке и в третьем столбце.

Подобные коды с коррекцией ошибок используются повсюду, от CD-дисков до связи с космическими аппаратами. Вы знаете, как бывает при разговоре по телефону, когда вы не можете разобрать все, что говорит ваш собеседник. При связи компьютеров друг с другом могут возникнуть схожие проблемы. Но использование умной математики позволило нам предложить такие варианты кодирования данных, которые помогают избавиться от этих сбоев. Именно так поступило агентство НАСА, когда космический аппарат «Вояджер-2» выслал первые фотографии Сатурна. Использование кодов с коррекцией ошибок позволило специалистам НАСА превратить неразборчивые изображения в кристально четкие.

 

Как честно кидать монету через интернет

Коды с коррекцией ошибок позволяют четко передавать информацию. Но зачастую мы хотим воспользоваться нашими компьютерами, чтобы поделиться секретными сведениями. Мария, королева Шотландии, лорд Нельсон или кто-либо другой, вознамерившийся обмениваться секретными сообщениями, должен был сначала встретиться со своим агентом, чтобы договориться о коде, который будут использовать обе стороны. Но в наш компьютерный век у нас то и дело появляется необходимость послать секретные сведения. При совершении покупок онлайн мы щелкаем по веб-сайтам и посылаем данные своих кредитных карт людям, с которыми никогда не встречались. Совершение сделок через интернет было бы невозможно со старой криптографией, когда требовалась первоначальная встреча с глазу на глаз. К счастью, у математики есть решение.

Чтобы объяснить его идею, давайте начнем с простого сценария. Я собираюсь играть в шахматы через интернет. Я живу в Лондоне, а мой соперник – в Токио. Мы хотим бросить монету, чтобы решить, кто будет ходить первым. «Орел или решка?» – спрашиваю я у своего соперника по электронной почте. «Орел», – отвечает он. Я подбрасываю монету и пишу: «Решка. Я начинаю». Существует ли возможность удостовериться, что я не сжульничал?

Как это ни поразительно, вы можете честно бросать монету через интернет. Такая возможность появляется благодаря математике простых чисел. Все простые числа нечетны за исключением 2 (это странное простое число, ведь лишь оно четно). Если мы разделим одно из этих нечетных простых чисел на 4, то получим в остатке 1 или 3. Например, остаток от деления 17 на 4 равен 1, а при делении 23 на 4 в остатке получается 3.

Как мы узнали в главе 1, две тысячи лет назад древние греки доказали, что существует бесконечно много простых чисел. Но существует ли бесконечно много тех из них, которые дают при делении на 4 остаток 1, или бесконечно много дающих остаток 3? Это один из тех вопросов, которые Пьер де Ферма поставил перед математиками 350 лет назад, однако ответ был дан лишь в XIX в. немецким математиком Густавом Лежёном Дирихле. Используя очень сложный математический аппарат, он сумел доказать, что половина простых чисел дает остаток 1, а другая половина 3 – никакой из остатков не оказывается предпочтительнее. Впрочем, не совсем легко понять, что математики имеют в виду под половиной, когда речь идет о бесконечном множестве. Но, по существу, это означает, что если вы возьмете простые числа, меньшие заданного большого числа, то почти в точности половина из них даст при делении на 4 остаток 1.

Итак, остаток 1 или 3 при делении простого числа на 4 не более «предвзят», чем выпадение орла или решки при подкидывании честной монеты. Для изучения нашей задачи по бросанию монеты давайте отождествим орлы с простыми числами, дающими остаток 1 при делении на 4, а с решками мы отождествим простые числа, дающие остаток 3. А теперь последует искусный математический пассаж. Если я возьму два простых числа, скажем 17 и 41, оба из которых относятся к орлам – они дают остаток 1 при делении на 4, – и перемножу их, то произведение также будет характеризоваться остатком 1 при делении на 4. Например, 41 × 17 = 697 = 174 × 4 + 1. Если же я возьму два простых числа, скажем 23 и 43, оба из набора решек – они дают остаток 3 при делении на 4… то получится не то, чего вы могли бы ожидать. У произведения этих двух чисел при делении на 4 также будет остаток 1: в данном случае 23 × 43 = 989 = 247 × 4 + 1. Итак, произведение простых чисел не дает намека на то, взяты ли сомножители из набора орлов или из набора решек. Этим свойством мы можем воспользоваться, чтобы играть в «орла или решку по интернету».

Если я подброшу монету и выпадет орел, я выберу два простых числа из набора орлов и перемножу их. Если выпадет решка, я выберу два простых числа из набора решек и перемножу их. После того как я подкинул свою монету и сделал вычисления, я посылаю ответ моему сопернику в Токио. Оказалось, что он равен 6497. Поскольку ответ при делении на 4 всегда дает остаток 1, мой соперник не может, не зная простых чисел, сказать, выбрал ли я их из набора орлов или же из набора решек. Теперь он может сказать «орел» или «решка».

Чтобы мой соперник убедился, что он выиграл или проиграл, мне достаточно будет выслать ему два выбранных мною простых числа. В данном случае ими были 89 и 73, два простых числа из набора орлов. Поскольку никакие другие числа при перемножении не дадут 6497, то я предоставил ему достаточно информации, чтобы доказать, что я не жульничал. С другой стороны, я не предоставил ему достаточно информации, чтобы мой соперник мог жульничать.

На самом деле это не совсем верно. Если соперник сумеет разложить 6497 на простые множители 89 и 73, то он поймет, что нужно сказать «орел». Но, если я буду выбирать достаточно большие простые числа (много-много бо́льшие двузначных чисел), то будет почти невозможно даже с современными вычислительными возможностями разложить произведение на простые множители. Схожий принцип используется в кодах, которые защищают номера кредитных карт, посылаемые через интернет.

Легкое задание

Я бросил монету, выбрал два простых числа из набора орлов или из набора решек и перемножил их. У меня получилось число 13 068 221. Что выпало? Орел или решка? Постарайтесь найти ответ без компьютера (решение приведено в конце главы).

Трудное задание

А что скажете, если получилось число

5 759 602 149 240 247 876 857 994 004 081 295 363 338

151 725 852 938 901 132 472 828 171 992 873 665 524 051

005 072 817 707 778 665 601 229 693?

На этот раз можно использовать компьютер.

 

Почему разложение чисел означает взлом кода?

Боб – администратор веб-сайта, продающего футболки в Англии. Элис живет в Сиднее, и она намеревается купить футболку на сайте и при этом послать данные своей кредитной карты так, чтобы никто другой не смог увидеть их. Боб размещает специальное кодовое число на своем веб-сайте, скажем 126 619. Это кодовое число чем-то напоминает ключ, который запирает сообщение Элис и делает его защищенным. Поэтому, когда Элис посещает веб-сайт, она получает копию кодирующего ключа, опубликованного Бобом, и использует его, чтобы «запереть» свою кредитную карту.

В реальности компьютер Элис совершает специальное математическое вычисление, использующее этот ключ, 126 619, и номер ее кредитной карты. Теперь этот номер зашифрован и может быть послан открытым образом через интернет на веб-сайт Боба. (Детали упомянутого вычисления приведены в следующем разделе.) Но постойте, разве при этом не возникнет проблема? Предположим, я хакер. Тогда что помешает мне посетить веб-сайт Боба, получить копию кодирующего ключа и расшифровать сообщение? Однако кодирование в интернете устроено довольно интригующе: вам нужен другой ключ, чтобы отпереть дверь, а этот отпирающий ключ хранится в большом секрете в офисе Боба.

Декодирующий ключ представляет собой два простых числа, которые при умножении дают то самое число 126 619. В действительности Боб выбирает два простых числа 127 и 997, чтобы изготовить свой кодирующий ключ. Именно с помощью этих двух простых чисел Боб дешифрует то математическое вычисление, которое совершил компьютер Элис, чтобы закодировать номер ее кредитной карты. Боб поместил кодирующий ключ 126 619 на своем веб-сайте, но хранит в тайне декодирующие простые числа 127 и 997.

Если я смогу найти два простых числа, которые при умножении дают 126 619, я сумею получить доступ к номерам кредитных карт, посылаемым на веб-сайт Боба. Но 126 619 – достаточно небольшое число, чтобы я мог делить его на одно число за другим. Так, потратив не слишком много времени, я нашел бы два простых числа 127 и 997. Однако вы не сможете воспользоваться этим приемом на настоящих веб-сайтах, потому что их ключи основаны на значительно бо́льших числах – они настолько велики, что найти пару простых чисел методом проб и ошибок почти невозможно. Математики, придумавшие эти коды, были настолько уверены в их надежности, что на протяжении многих лет предлагали приз $ 200 000 тому, кто сможет найти два простых множителя следующего числа из 617 цифр:

25 195 908 475 657 893 494 027 183 240 048 398 571 429

282 126 204 032 027 777 137 836 043 662 020 707 595 556

264 018 525 880 784 406 918 290 641 249 515 082 189 298

559 149 176 184 502 808 489 120 072 844 992 687 392 807

287 776 735 971 418 347 270 261 896 375 014 971 824 691

165 077 613 379 859 095 700 097 330 459 748 808 428 401

797 429 100 642 458 691 817 195 118 746 121 515 172 654

632 282 216 869 987 549 182 422 433 637 259 085 141 865

462 043 576 798 423 387 184 774 447 920 739 934 236 584

823 824 281 198 163 815 010 674 810 451 660 377 306 056

201 619 676 256 133 844 143 603 833 904 414 952 634 432

190 114 657 544 454 178 424 020 924 616 515 723 350 778

707 749 817 125 772 467 962 926 386 356 373 289 912 154

831 438 167 899 885 040 445 364 023 527 381 951 378 636

564 391 212 010 397 122 822 120 720 357.

Если вы попытаетесь взломать это число из 617 цифр, поочередно пробуя одно простое число за другим, вы переберете больше чисел, чем имеется атомов во Вселенной, до того, как доберетесь до множителей. Неудивительно, что никто не подал заявку на приз, и в 2007 г. данное предложение было снято.

Эти коды, основанные на простых числах, не только не поддаются взлому, но и обладают довольно инновационным свойством, которое решило проблему, преследовавшую все предыдущие коды. Ведь обычные коды были подобны ключу, который используется как для того, чтобы запереть дверь, так и для того, чтобы открыть ее. А изобретенные коды для интернета схожи с замком нового образца: он запирается одним ключом, а отпирается другим. Это позволяет веб-сайту свободно раздавать ключи для запирания сообщений, в то время как другой ключ, позволяющий отпирать их, хранится в большой тайне. Если вы достаточно отважны, изучите славные детали того, как на самом деле работает кодирование в интернете. Мы начнем с того, что познакомимся с любопытным калькулятором.

 

Что такое часовой калькулятор?

Передовые коды, которые используются в интернете, на самом деле опираются на математическое изобретение, которому сотни лет, сделанному, когда никто и не мечтал об интернете. Я имею в виду часовой калькулятор. В следующем разделе мы узнаем, как часовые калькуляторы используются при кодировании в интернете, но сначала давайте познакомимся с принципом их работы. Сперва рассмотрим случай 12-часового циферблата. Мы все знакомы со сложением на таких часах – мы понимаем, что через четыре часа после 9 будет 1 час. Это то же самое, что сложение чисел с последующим нахождением остатка при делении суммы на 12. Данное действие можно записать так:

4 + 9 = 1 (modulo 12).

Мы пишем «modulo 12», потому что 12 – это модуль, точка, после которой числа стартуют снова. Мы можем находить подобные суммы и на часах с другим количеством часовых делений, не ограничиваясь двенадцатью. Так, в случае 10 часов на циферблате:

9 + 4 = 3 (modulo 10).

А как умножаются числа на часовом калькуляторе? Умножение сводится к прибавлению определенное количество раз. Например, 4 × 9 означает, что нужно взять четыре девятки и сложить их вместе. Где окажется стрелка на 12-часовом циферблате после сложения четырех девяток? 9 + 9 – то же самое, что 6 часов. Каждый раз, когда мы прибавляем последующую девятку, часовая стрелка движется назад на 3 часа. В конце она окажется на 12 часах. Поскольку 0 – крайне важное число в математике, мы далее будем называть это положение, которое заканчивает круг и начинает следующий, 0 часов. Итак, у нас получится странный на вид ответ:

4 × 9 = 0 (modulo 12).

А как будет происходить возведение какого-либо числа в степень? Давайте рассмотрим 94, что означает перемножение четырех девяток. Мы только что научились делать модульное умножение, поэтому должны легко справиться и с этим. Поскольку числа становятся большими, будет легче взять остаток от деления на 12, чем следить за числами на часах. Начнем с 9 × 9, что равняется 81. Каков будет остаток при делении на 12, другими словами, чему соответствует 81 час на циферблате? Оказывается, остаток равен снова 9. Сколько бы мы ни перемножали 9, всякий раз мы опять придем к 9:

9 × 9 = 9 × 9 × 9 = 9 × 9 × 9 × 9 = 9 4  = 9 (modulo 12).

Ответ на часовом калькуляторе можно получить, сделав вычисления на обычном калькуляторе и затем взяв остаток от деления на число часовых делений. Но сила часового калькулятора состоит в том, что часто вам вовсе не требуется совершать вычисление на обычном калькуляторе. Вы можете найти, чему равно 799, на 12-часовом калькуляторе? Подсказка: сначала вычислите 7 × 7, а потом снова умножьте результат на 7. Вы видите закономерность?

Ферма сделал фундаментальное открытие о вычислениях на калькуляторе, у которого имеется простое число часовых делений. Обозначим его, к примеру, p. Ферма обнаружил, что если вы возьмете какое-то число с циферблата и возведете его в степень p, то придете к тому же числу, с которого стартовали. Это утверждение сейчас называется малой теоремой Ферма, в отличие от его знаменитой Великой теоремы.

В таблице 4.13 приведены некоторые вычисления на калькуляторах с простым и составным числом часов.

Таблица 4.13

Поскольку число 5 – простое, при возведении 2 в пятую степень на 5-часовом калькуляторе получится снова 2. Итак, 25 =2 (modulo 5). Магия будет гарантированно работать, если на калькуляторе простое число часов. Она может не удаться, если вы возьмете калькулятор с составным числом часов. Например, 6 – составное число, и на 6-часовом калькуляторе 26оказывается равным не 2, а 4.

По мере того как стрелка перемещается по часам, начинает проступать закономерность. Поскольку после p – 1 шагов мы гарантированно возвращаемся в то место, с которого стартовали, последовательность начинает повторяться через p – 1 шаг. Порою последовательность повторяется несколько раз на протяжении p – 1 шагов. Вот что мы увидим на циферблате с 13 часами, когда будем возводить 3 в последовательные степени 3¹, 3² и так далее вплоть до 3¹³:

3, 9, 1, 3, 9, 1, 3, 9, 1, 3, 9, 1, 3.

Стрелка не посещает все деления на часах, тем не менее по-прежнему имеется повторяющаяся закономерность, которая приводит стрелку назад к 3 часам после перемножения тринадцати троек.

Мы уже сталкивались с похожей математикой в главе 3, когда рассматривали жульнический прием совершенных тасовок в покере. Там мы варьировали число карт в колоде и задавались вопросом, сколько совершенных тасовок необходимо сделать, чтобы карты возвратились к первоначальному расположению. В колоде с 2N картами порою необходимо выполнить все 2N – 2 совершенных тасовок, но бывает, их требуется сделать значительно меньше. Если в колоде 52 карты, то после всего лишь 8 совершенных тасовок они вернутся к исходному расположению. Но колода с 54 картами требует 52 совершенных тасовок.

Ферма никогда не излагал в полной мере свои рассуждения, поэтому он оставил в виде задания для будущих поколений математиков объяснение своего открытия, что магия всегда срабатывает для часов с простым числом делений. В конечном счете доказательство было найдено Леонардом Эйлером.

Малая теорема Ферма

Ниже приведено объяснение малой теоремы Ферма. Теорема утверждает, что в случае циферблата с простым числом p часовых делений

A p  =   A (modulo p ).

Для понимания доказательства нужны усилия, но не специальные знания: чтобы вы могли проследить его, требуется лишь сосредоточенность.

В качестве первого шага рассмотрим простой случай. Если A  = 0, то теорема верна, потому что сколько бы раз мы ни умножили 0 на себя, все равно получится 0. Поэтому давайте предположим, что А не равно нулю. Мы намереваемся показать, что произведение p  – 1 множителя А равно 1. Этого достаточно для доказательства теоремы, поскольку умножение 1 на А возвратит нас к А .

Теперь давайте составим список всех часов на циферблате за исключением 0. В этом списке p  – 1 элемент:

1, 2, …, p  – 1.

Теперь умножим каждое число в этом списке на А и получим

А  × 1, А  × 2, …, А  × ( p   – 1) (modulo p ).

Позвольте мне показать, что часы в этом списке будут теми же, что и в первоначальном списке 1, 2, …, p  – 1, хотя они будут расположены в другом порядке. Если бы это было не так, то либо одно из произведений равнялось бы 0, либо какие-то два произведения были равны друг другу. Не может произойти что-либо другое, поскольку на циферблате имеется лишь p часов.

Предположим, что А  ×  n и А  ×  m дают один и тот же ответ на нашем p -часовом циферблате, где n и m лежат между 1 и p  – 1 (я покажу, почему это означает, что n  =  m ). Итак, А  ×  n  –  А  ×  m  =  А  × ( n  –  m ) равно нулю на часовом калькуляторе, то есть А  × ( n  –  m ) на обычном калькуляторе делится на p .

Ключевым в следующем шаге доказательства будет использование того факта, что p  – простое число. Подобно химической молекуле, число А  × ( n  –  m ) построено из произведения атомов (простых чисел), составляющих А , и простых чисел, составляющих n – m . Но число p  – простое, атом арифметики, и его нельзя расщепить далее. Поскольку А  × ( n – m ) делится на p , это число должно быть одним из атомов, использованных при построении А  × ( n  –  m ), ведь каждое число однозначно разлагается на простые множители. Но А не делится на p без остатка, поэтому p должно входить в список атомов, использованных при построении n  –  m . Другими словами, n  –  m делится на p . Но что это означает? Это означает, что n и m соответствуют одному и тому же времени на нашем p -часовом циферблате. Вы можете использовать схожую аргументацию, чтобы показать, что А  ×  n не может быть нулем часов, если ни А , ни n не равны нулю часов.

Заметьте, что крайне важно то, что на циферблате простое число часов. Мы уже видели, что 4 × 9 равняется нулю на 12-часовом калькуляторе, хотя ни 4, ни 9 не равно нулю.

Теперь у нас есть два списка – 1, 2, …, p  – 1 и А  × 1, А  × 2, …, А  × ( p  – 1), – составленные из одних и тех же чисел, хотя и расположенных в разном порядке. Теперь мы можем воспользоваться эффектным трюком, который, вероятно, открыл сам Ферма. Если мы перемножим все числа в каждом из списков, то получим один и тот же ответ, потому что порядок перемножения не имеет значения. Первый список даст нам 1 × 2 × … × ( p –  1), что мы можем записать как ( p –  1)!. Второй список приводит к p –  1 множителю А и опять-таки произведению чисел от 1 до p –  1. После небольшой перестановки мы можем переписать это как ( p –  1)!×  А p  – 1 . И эти два ответа равны на нашем часовом калькуляторе:

(p – 1)! = ( p – 1)! ×   А p  – 1 (modulo p ).

Из этого следует, что ( p –  1)! × (1 –  А p  – 1 ) делится на p , и мы можем использовать тот же трюк, что и ранее. Никакое из чисел 1, 2, …, p  – 1 не делится на p , значит, ( p –  1)! не может делиться на p . Единственная возможность состоит в том, что 1 –  А p  – 1 делится на p . А это приводит к тому, что вычисление А p  – 1 на часовом калькуляторе всегда будет давать ответ 1 – предложением объяснить данный результат Ферма и раззадорил математиков.

В этой аргументации есть несколько интересных ингредиентов. Разумеется, немаловажно то обстоятельство, что если A  ×  B делится без остатка на простое число p , то либо А , либо B должно также делиться на данное простое число. Это следует из специального свойства простых чисел. Но мне представляется красивым взгляд на список 1, 2, …, p  – 1 с двух различных перспектив. Для меня это образец умения рассматривать задачу с разных сторон.

 

Как использовать часы для отправки секретных сообщений через интернет

Мы теперь почти готовы показать, как эти часы применяются для обмена секретными сообщениями в интернете.

Когда вы покупаете что-либо на веб-сайте, номер кредитной карты кодируется вашим компьютером, который использует публичный часовой калькулятор данного веб-сайта. Итак, веб-сайт должен сообщить вашему компьютеру, сколько часов на его калькуляторе. Это первое из двух чисел, которые получает ваш компьютер. Давайте назовем его N. В нашем примере с веб-сайтом футболок, администратором которого был Боб, это число равнялось 126 619. Также для совершения вычисления вашему компьютеру требуется второе кодирующее число, которое мы назовем Е. Номер вашей кредитной карты C кодируется путем возведения его в степень Е, причем вычисления совершаются N-часовым калькулятором. Таким образом, получается закодированное число CE (modulo N), и именно его ваш компьютер посылает на веб-сайт.

Но как же веб-сайт декодирует это число? И снова магия простых чисел играет в этом ключевую роль. Давайте предположим, что N – простое число (позже мы увидим, что это не слишком подходит для надежного шифрования, зато данное предположение помогает понять, куда мы направляемся). Если мы перемножим числа CE достаточное количество раз, то чудесным образом снова появится число С. Но сколько множителей (D), каждый из которых представляет CE , мы должны взять? Другими словами, когда (CE )D  = C на p-часовом калькуляторе?

Конечно, последнее равенство выполнится, если E × D = p. Но p – простое число, поэтому такого числа D не может быть. Однако если мы продолжим перемножать С, то найдется другая точка, где мы гарантированно получим в ответе С. В следующий раз номер кредитной карты появится, когда мы возведем его в степень 2(p –  1) + 1. Он появится снова при возведении в степень 3(p –  1) + 1. Значит, чтобы найти декодирующее число, нам необходимо найти такое D, что E × D = 1 (modulo (p –  1)). Такое уравнение значительно легче решить. Но проблема в том, что Е и p – открытые числа, поэтому хакер также может легко найти декодирующее число D. Для безопасной процедуры мы можем воспользоваться открытием, которое сделал Эйлер о часах, на которых p × q, a не просто p часовых делений (p и q – простые числа).

Если вы возьмете время С на циферблате, где имеется p × q часов, то через сколько шагов последовательность C, C × C, C × C × C, … начнет повторяться? Эйлер обнаружил, что это произойдет через (p –  1) × (q – 1) шагов. Итак, чтобы вернуться к первоначальному времени, нужно возвести C в степень (p –  1) × (q – 1) + 1, или k × (p –  1) × (q – 1) + 1, где k – число повторений последовательности.

Теперь мы знаем, что для того, чтобы декодировать сообщение CE на часах с p × q часовыми делениями, нам требуется найти такое декодирующее число D, что E × D = 1 (modulo (p – 1) × (q – 1)). Итак, нам необходимо делать вычисления на секретном часовом калькуляторе с (p –  1) × (q – 1) часами. Хакер знает только числа N и Е, и он должен найти секретные простые числа p и q, чтобы получить секретный часовый калькулятор. Следовательно, взлом кодов интернета сводится к разложению числа N на простые множители. А как мы видели в разделе о подкидывании монеты через интернет, это фактически невозможно, когда числа достаточно большие.

Давайте посмотрим на коды интернета в действии, но для очень небольших p и q. Тогда нам легко будет проследить за происходящим. Пусть Боб выбрал для своего веб-сайта футболок простые числа 3 и 11, так что открытый часовой калькулятор, с помощью которого покупатели кодируют номера своих кредитных карт, имеет 33 часа. Боб хранит в тайне простые числа 3 и 11, потому что они являются ключом к декодированию сообщений. Но Боб не делает секрета из числа 33, ведь это число часов на открытом часовом калькуляторе. Вторая порция информации, которая доступна на веб-сайте Боба, – кодирующее число Е. Пусть оно равно 7. Каждый, кто покупает футболку на веб-сайте Боба, делает одно и то же: возводит номер своей кредитной карты в 7-ю степень на 33-часовом калькуляторе.

Сайт Боба посещает покупатель, который был одним из самых первых получателей кредитных карт, и ее номер равен 2. Возведите 2 в 7-ю степень на 33-часовом калькуляторе, что равно 29.

Вот умный способ вычислить 27 на 33-часовом калькуляторе. Мы начинаем с перемножения 2: 22 = 4, 23 = 8, 24 = 16, 25 = 32. Когда мы переходим к более высоким степеням 2, стрелка на циферблате движется дальше и дальше, и, когда мы возводим 2 в 6-ю степень, она совершает более чем оборот. Можно применить следующий небольшой трюк, из-за которого стрелка словно меняет направление движения, вместо того чтобы вращаться и дальше по часовой. Мы просто говорим, что 32 часа на нашем 33-часовом калькуляторе это –1 час. Потом, когда мы делаем два последующих умножения на 2, то получаем –4 часа, или 29 часов. Благодаря этому приему нам не требуется возводить 2 в 7-ю степень, что равно 128, и затем находить остаток при делении на 33. Для очень больших чисел подобный метод экономии неоценим для компьютерных вычислений, когда нужно сделать все как можно быстрее.

Рис. 4.17. Вычисление степеней 2 на 33-часовом калькуляторе

Но как мы можем быть уверены, что 29, закодированное число покупателя, надежно защищено? В конце концов, хакер может перехватить это число, когда оно путешествует по интернету. Также он может легко найти открытый ключ Боба, состоящий из 33-часового калькулятора и инструкции возвести номер кредитной карты в 7-ю степень. Все, что необходимо хакеру, чтобы взломать код, – найти число, 7-я степень которого, вычисленная на 33-часовом калькуляторе, равна 29.

Нет необходимости говорить, что это совсем нелегко. Даже при обычной арифметике, когда можно возвести число в квадрат на клапане конверта, значительно труднее совершить обратное действие и извлечь квадратный корень. При вычислении степеней на часовом калькуляторе появляется дополнительное усложнение. Очень скоро вы теряете из вида число, с которого стартовали, потому что величина ответа совершенно теряет связь с этим числом.

В нашем примере числа достаточно малы, чтобы хакер мог попытаться, пробуя различные изменения, найти ответ. Но на практике веб-сайты используют часовые калькуляторы, у которых в числе часовых делений более 100 цифр, поэтому метод перебора становится невозможным. Вы также можете задаться вопросом, каким же образом компания, ведущая продажи в интернете, извлекает номер кредитной карты покупателя, если настолько трудно решить эту задачу на 33-часовом калькуляторе?

Обобщение малой теоремы Ферма, найденное Эйлером, гарантирует существование магического декодирующего числа D. Боб может найти произведение D множителей, каждый из которых равен закодированному номеру кредитной карты, и восстановить исходный номер кредитной карты. Но вы можете определить число D, только если знаете секретные простые числа p и q. Знание этих простых чисел становится ключом к раскрытию кодов интернета, потому что вам требуется решить следующую задачу на секретном часовом калькуляторе:

E  ×   D  = 1 (modulo ( p –  1) × ( q  – 1)).

Когда мы подставим наши числа, то придем к уравнению

7 ×   D  = 1 (modulo 2 × 10).

Значит, вопрос состоит в нахождении числа, которое при умножении на 7 дает результат, который при делении на 20 дает остаток 1. D = 3 подойдет, потому что 7 × 3 = 21 = 1 (modulo 20).

И, если мы возведем закодированный номер кредитной карты в третью степень, вновь появится исходный номер:

29³ = 2 (modulo 33).

Возможность восстановления номера кредитной карты из закодированного сообщения зависит от знания секретных простых чисел p и q. Поэтому любому, кто захочет взломать коды из интернета, необходимо найти способ разложить число N на простые множители. Каждый раз, когда вы покупаете книгу онлайн или скачиваете музыкальный трек, вы используете магию простых чисел для защиты вашей кредитной карты.

 

Вопрос на миллион долларов

Те, кто придумывает коды, всегда стараются опережать взломщиков. Математики постоянно придумывают все более изощренные способы отправки секретных сообщений на случай, если когда-либо будет взломан код, основанный на простых числах. Для защиты траекторий полета самолетов уже используется новый вид кодирования, называемый эллиптической криптографией (для краткости ЭК). Приз в миллион долларов данной главы связан с пониманием математики эллиптических кривых, лежащих в основе этих новых кодов.

Существует множество различных эллиптических кривых, но все они описываются уравнениями вида y² = x³ + ax + b. Каждая кривая соответствует различным значениям a и b: например, а = 0 и b = –2 задают y² = x³ – 2.

Это уравнение определяет кривую, которую я могу нарисовать на миллиметровке, как показано ниже, путем нахождения последовательности точек (x, y). Я ввожу значение х, рассчитываю выражение x³ – 2 и беру из него квадратный корень, чтобы найти соответствующее значение y. Так, если x = 3, мы получим x³ – 2 = 27 – 2 = 25. Чтобы получить y, мне нужно взять квадратный корень из 25, поскольку y² = x³ – 2. Итак, y равен 5 или –5 (потому что минус при умножении на минус дает плюс, всегда имеется два квадратных корня). Получившийся график симметричен относительно горизонтальной оси, потому что у каждого квадратного корня выше ее есть зеркальный отрицательный корень. Пока мы нашли две точки: (3, 5) и (3, –5).

Рис. 4.18. График эллиптической кривой

Эти точки на эллиптической кривой особенно приятны, потому что и х, и у являются целыми числами. Можете ли вы найти другие такие точки? Давайте попробуем подставить x = 2. Тогда x³ – 2 = 8–2 = 6, так что y = √6 или – √6. В первом примере у 25 был целочисленный квадратный корень, но квадратный корень из 6 не так хорош. Древние греки доказали, что не существует дроби (не говоря уже о целом числе), которая при возведении в квадрат дает 6. √6 записывается в виде десятичного числа, дробная часть которого уходит в бесконечность без появления повторяющейся последовательности:

√6 = 2,449489742783178…

Вопрос на миллион долларов связан с нахождением точек на этой кривой, где и x, и y являются целыми числами или дробями. В большинстве случаев такого не происходит, потому что, когда вы подставляете х, получающееся y не будет целым числом или даже дробью, потому что у большинства чисел нет красивого квадратного корня. Нам повезло найти красивые точки (3, 5) и (3, –5) на кривой, но будут ли другие такие точки?

Древние греки нашли красивое геометрическое построение, показывающее, как получить другие точки (x, y), где и х, и y являются дробями, если вы нашли одну такую точку. Проведите прямую линию, которая слегка касается кривой в первой найденной точке – линия не должна пересекать кривую в этой точке, а проходить под правильным углом, чтобы лишь чуть скользнуть по ней, как показано на графике ниже. Мы называем такую прямую линию касательной к кривой в данной точке. Продолжая прямую, мы найдем ее пересечение с кривой в новой точке. Удивительное открытие состоит в том, что обе координаты новой точки будут дробями.

Рис. 4.19. Как найти другие точки на эллиптической кривой, координаты которых будут дробями

Например, если мы проведем касательную к эллиптической кривой y² = x³ – 2 в точке (x, y) = (3, 5), то найдем, что она пересекает кривую в новой точке (x, y) = (129/100, 383/1000), где обе координаты являются дробями. Мы можем провести касательную и в новой точке, в результате получится еще одна точка, где х и y будут дробями:

Без этого геометрического построения было бы нелегко обнаружить, что подстановка дроби

приведет к у, который также будет дробью.

В данном случае мы можем повторять проведение касательных и получить на эллиптической кривой бесконечно много точек с координатами (x, y), задаваемыми дробями. Если вы нашли такую точку (x1, y1) на эллиптической кривой общего вида y² = x³ – ax + b, то подстановка

и

даст вам другую точку на кривой, где x2 и y2 также будут дробями.

Эта процедура генерирует для нашей кривой y² = x³ – 2 бесконечно много точек с координатами, являющимися дробями. Но есть такие эллиптические кривые, для которых невозможно получить бесконечно много точек с этим свойством. Рассмотрите, например, кривую, задаваемую уравнением

y ² =  x ³ – 43 x  + 166.

Оказывается, что на этой кривой имеется лишь конечное число точек, у которых x и y являются целыми числами или дробями:

( x , y ) = (3, 8), (3, –8), (–5, 16), (–5, –16), (11, 32), (11, –32).

Фактически у всех этих точек целочисленные координаты. Применение геометрического построения или алгебраической подстановки для получения других точек с дробными координатами лишь снова выдаст одну из этих шести точек.

Вопрос на миллион долларов, называемый гипотезой Бёрча – Свиннертон-Дайера, состоит в том, возможно ли сказать, на какой эллиптической кривой будет бесконечно много точек, обе координаты которых являются целыми числами либо дробями.

Вы могли бы заявить: какое нам дело? Что же, это касается нас всех, потому что математика эллиптических кривых сейчас используется в мобильных телефонах и смарт-картах для защиты наших секретов, а также в системах управления воздушным движением для обеспечения нашей безопасности. С помощью этого нового вида кодирования номер вашей кредитной карты либо сообщение конвертируется умной математикой в точки на эллиптической кривой. Чтобы зашифровать сообщение, математика перемещает точки, используя геометрические построения вроде того, которое мы описали ранее, когда обсуждали генерацию новых точек.

Обращение этой геометрической процедуры требует математических действий, которые пока неподвластны нам. Но, если вы решите задачу на миллион долларов данной главы, у вас окажется подспорье для взлома этих кодов. Если вы взломаете их, вам, вероятно, не нужно будет беспокоиться о миллионе долларов, потому что вы станете самым могущественным хакером на планете.

 

Решения

Декодированный шифр подстановки

A mathematician, like a painter or a poet, is a maker of patterns.

If his patterns are more permanent than theirs, it is because they are made with ideas. The mathematician’s patterns, like the painter’s or the poet’s, must be beautiful; the ideas like the colours or the words, must fit together in a harmonious way. Beauty is the first test: there is no permanent place in the world for ugly mathematics.

Шифр таков:

Таблица 4.14

Легкое задание

Выпал орел. 13 068 221 = 3613 × 3617. И 3613, и 3617 – простые числа, которые дают остаток 1 при делении на 4. Существует возможность быстро разложить исходное число на множители, используя прием, найденный Ферма. Если вы возведете 3615 в квадрат, то получите 13 068 225, что на 4 больше, чем 13 068 221. 4 также является квадратом целого числа. Используйте немного алгебры, сообщающей вам, что a² – b² = (a + b) × (a – b). Вы получите:

13 068 221 = 3615² – 2² = (3615 + 2) × (3615 – 2) = 3613 × 3617.

 

Будь возможным путешествие во времени, стало бы легко предсказывать будущее – я просто вернулся бы из следующего года и рассказал вам, что произойдет. К сожалению, мы пока не умеем путешествовать во времени, а многие из тех способов, с помощью которых люди якобы предсказывают будущее, вроде составления гороскопов или рассматривания хрустального шара, являются абсолютной чепухой. Если вы действительно хотите знать, что произойдет завтра, в следующем году или в далеком будущем следующего тысячелетия, вашим лучшим подспорьем станет математика.

Математика может предсказать, как долго будет гореть Солнце и столкнется ли с Землей тот или иной астероид. Тем не менее даже математикам оказывается трудно спрогнозировать некоторые вещи. Например, у нас есть уравнения, описывающие погоду, рост населения и турбулентный след за футбольным мячом, движущимся в воздухе. Однако мы не знаем, как решить многие из этих уравнений. Приз в миллион долларов последней главы достанется тому, кто сумеет разобраться с уравнениями турбулентности и предсказать, что произойдет далее.

Умение математиков заглядывать в будущее наделило тех, кто понимает язык чисел, огромным могуществом. От астрономов древних времен, способных предсказать движения планет в ночном небе, до сегодняшних управляющих хедж-фондами, прогнозирующих изменения цен на фондовом рынке, – все они использовали математику, чтобы постичь будущее. Сила математики признавалась святым Августином, предупреждавшим:

Остерегайтесь математиков и всех прочих, делающих пустые пророчества. Существует опасность того, что математики уже заключили договор с дьяволом, чтобы затемнить дух и обречь человека на узы адские.

Правда, что некоторые разделы современной математики дьявольски трудны, но занимающиеся ею вовсе не стремятся держать нас во тьме неведения, а находятся в постоянном поиске новых идей, способных пролить свет на будущие события.

 

Как математика спасла Тинтина

В созданной Эрже книге комиксов «Храм Солнца» молодой бельгийский репортер Тинтин попадает в плен к племени инков после того, как очутился внутри храма Солнца. Инки приговаривают Тинтина и его друзей – капитана Хэддока и профессора Турнесоля – к смертной казни путем сожжения на костре. Индейцы собирались разжечь огонь с помощью увеличительного стекла, фокусирующего лучи Солнца. Но Тинтину было позволено выбрать время их смерти. Может ли Тинтин воспользоваться этой последней милостью, чтобы спасти себя и своих друзей?

Тинтин выполнил математический расчет и понял, что через несколько дней на этой части Земли должно произойти солнечное затмение, поэтому он решил выбрать время казни, совпадающее с затмением. (На самом деле вычисления сделал кто-то другой, Тинтин увидел предсказание в газетной вырезке.) За несколько мгновений до начала затмения Тинтин воскликнул: «Бог Солнца не услышит ваши молитвы! O великое Солнце, если ты желаешь, чтобы мы жили дальше, дай нам знак!» Как предсказала математика, Солнце исчезло, и повергнутое в ужас племя освободило Тинтина и его друзей.

Математика – это наука улавливания закономерностей, вот почему она наделяет нас возможностью заглянуть в будущее. Первые астрономы, наблюдающие за ночным небом, вскоре поняли, что движение Луны, Солнца и планет повторяется. Многие культуры воспользовались этими небесными закономерностями, чтобы вести счет времени. Однако имеется множество разнообразных календарей, потому что в своем небесном танце Луна и Солнце подчиняются умопомрачительному синкопированному ритму. Но все эти календари объединяет роль математики, с помощью которой постигаются циклы Луны и Солнца, используемые для измерения времени. Весьма любопытно и значение числа 19 для определения того, когда празднуются переходящие праздники, такие как Пасха.

Фундаментальная единица времени, общая для всех этих календарей, – сутки, в которых 24 часа. Но это не то время, которое требуется Земле для совершения одного оборота вокруг своей оси, – на это уходит чуть меньше, 23 часа 56 минут 4 секунды (звездные сутки). Если бы мы использовали этот чуть более короткий промежуток времени в качестве суток, у наших часов и Солнца наступала бы все большая рассинхронизация, и наконец эта ежедневная разность в 3 минуты 56 секунд накопилась бы так, что полдень наступил бы в полночь. Поэтому в целях хронометрии мы определяем сутки – или солнечные сутки, если использовать правильный термин, – как время, по прошествии которого Солнце возвращается в ту же позицию на небе для наблюдателя, находящегося в фиксированном месте на поверхности Земли. После одного оборота вокруг своей оси Земля проходит примерно 1/365 часть своей орбиты вокруг Солнца, поэтому требуется еще приблизительно 1/365 часть оборота, или 1/365 суток по времени – около 3 минут 56 секунд, – чтобы Солнце вернулось в прежнюю точку на небосводе.

Если быть более точным, Земля проходит свою орбиту вокруг Солнца за 365,2422 солнечных суток. Григорианский календарь, используемый в большинстве стран, основан на хорошем приближении этого цикла. Поскольку 0,2422 – это почти четверть, прибавляя каждый четвертый год к календарю один день, мы приходим к хорошему согласованию с движением Земли по орбите вокруг Солнца. Однако необходимы дальнейшие коррекции, ведь 0,2422 не совсем 0,25: каждый год, кратный 100, не является високосным, а раз в четыреста лет мы пропускаем пропуск и сохраняем високосный год (так было в 2000 г.).

А в исламском календаре вместо этого используются циклы Луны. В нем основной единицей является лунный месяц, а год состоит из 12 таких месяцев. Лунный месяц, начало которого определяется новолунием в Мекке, состоит из приблизительно 29,53 суток. Поэтому лунный год на 11 дней короче, чем солнечный год. Если разделить 365 на 11, то получится приблизительно 33, поэтому месяц Рамадан совершает цикл по солнечному году за 33 года. Вот почему происходит смещение Рамадана, если пользоваться григорианским календарем.

Еврейский и китайский календари объединяют движение Земли по орбите вокруг Солнца и циклы лунной орбиты вокруг Земли. Они достигают этого прибавлением високосного месяца, что в грубом приближении происходит каждый третий год. Ключом к расчетам является волшебное число 19. 19 солнечных лет (= 19 × 365,2422 суток) почти в точности равны 235 лунным месяцам (= 235 × 29,53). В китайском календаре имеется 7 високосных лет в каждом 19-летнем цикле, чтобы синхронизировать лунный и солнечный календари.

Число 19, наверное, было важным и в вычислениях Тинтина, потому что последовательность затмений Луны и Солнца также повторяется через 19 лет. Этот эпизод «Храма Солнца» основывается на знаменитом случае в истории, когда мореплаватель Христофор Колумб воспользовался лунным (а не солнечным) затмением, чтобы спасти свой экипаж, оказавшийся в трудном положении на Ямайке в 1503 г. Местные жители сначала были настроены дружелюбно, но затем стали враждебны и отказывались снабдить Колумба и его экипаж продовольствием. Над его людьми нависла угроза голода, и Колумб придумал хитрый план. Он обратился к альманаху – книге, содержавшей предсказания приливов, лунных циклов и положений звезд, которые моряки использовали для навигации, – и обнаружил, что 29 февраля 1504 г. должно состояться лунное затмение. Колумб созвал местных жителей за три дня до события и высказал угрозу: если они не обеспечат моряков провизией, то он заставит Луну исчезнуть.

Когда произойдет следующее затмение?

Если вы знаете, когда настанет какое-либо затмение, то можете воспользоваться математическими уравнениями, чтобы определить время другого из них. Вычисления зависят от двух важных чисел. Первое из них – 29,5306, длительность синодического месяца в сутках, обозначим это число как S. Синодический месяц представляет среднее время, за которое Луна обходит вокруг Земли и возвращается к прежнему положению по отношению к Солнцу. Он совпадает со средним временем между двумя новолуниями.

Другое число (D) – драконический месяц, в котором 27,2122 суток. Плоскость орбиты Луны вокруг Земли немного наклонена по отношению к плоскости орбиты Земли вокруг Солнца (эклиптики). Две точки пересечения лунной орбиты с плоскостью эклиптики называются узлами лунной орбиты и показаны на рисунке ниже.

Рис. 5.01. Орбита Луны пересекает плоскость эклиптики в двух точках, называемых восходящим и нисходящим узлом

Драконический месяц – это среднее время, за которое Луна, начиная движение с одного из узлов, проходит другой и возвращается в прежний узел.

Предположим, вы нашли пару целых чисел A и B , таких, что A  ×  S очень близко к B  ×  D . Тогда знайте, что через A  ×  S  ≈  B  ×  D дней после увиденного затмения будет другое затмение. И будет еще одно затмение спустя последующие A  ×  S  ≈  B  ×  D дней. Эта последовательность затмений будет продолжаться какое-то время, но затем, поскольку уравнение не выполняется точно, затмения станут все менее впечатляющими. Наконец Солнце, Луна и Земля уже не будут расположены должным образом, что будет означать окончание данного цикла затмений.

Вот пример: A  = 223 синодических месяца очень близки B  = 242 драконическим месяцам, поэтому спустя каждые 223 × 29,5306 ≈ 242 × 27,2122 дней после затмения будет происходить другое, почти идентичное затмение. Этот период составляет приблизительно 6585⅓ суток, или 18 лет 11 дней и 8 часов. Сдвиг на 8 часов означает, что последующие два затмения будут видны с других территорий на поверхности Земли. Но третье из последующих затмений будет наблюдаться в том же самом месте. Поэтому повторное затмение будет происходить через 3 раза по 18 лет 11 дней и 8 часов, или приблизительно 19 756 суток.

К примеру, полное лунное затмение, наблюдавшееся в Северной Америке 21 декабря 2010 г., было повтором затмения, которое видели европейцы 9 декабря 1992 г. В предпоследний раз оно случилось в Америке 18 ноября 1956 г. Конечно, между этими датами были и другие затмения, но они принадлежали к другим циклам затмений, происходящим наряду с рассчитанным нами. Математика поможет вам вычислить дату следующего затмения в каждом из циклов.

Запасы не были принесены – местные жители не поверили, что Колумб мог заставить Луну исчезнуть. Но вечером 29 февраля, когда Луна поднялась над горизонтом, они заметили, что кусочек ее уже был выщерблен. По словам сына Колумба, Фердинанда, постепенное исчезновение Луны с ночного неба повергло туземцев в ужас, после чего «с громким завыванием и причитаниями, со всех сторон они устремились к кораблям, нагруженные продовольствием, умоляя адмирала походатайствовать перед своим богом от их имени». Основываясь на точном расчете, Колумб совместил время своего прощения местных жителей с постепенным возвращением Луны. Возможно, этот рассказ апокрифичен, или приукрашен испанцами для усиления контраста между образованными европейскими завоевателями и несведущими туземцами. Но своей сущностью он демонстрирует могущество математики.

Сила математики в части предсказания событий в ночном небе основывается на улавливании повторяющихся закономерностей. Но как мы можем предугадать что-либо новое? Рассказ о том, как использовать уравнения математики, чтобы заглянуть в будущее, начинается с предсказания поведения простых предметов, таких как футбольный мяч.

 

Что первым долетит до земли, если я уроню перышко и футбольный мяч?

Разумеется, футбольный мяч. Не нужно быть математиком мирового уровня, чтобы предсказать это. Но что будет, если я уроню два футбольных мяча одинакового диаметра, один из которых наполнен свинцом, а другой воздухом? Первой мыслью большинства людей будет то, что мяч со свинцом первым коснется земли. Именно так полагал Аристотель, один из величайших мыслителей всех времен.

Своим апокрифическим экспериментом итальянский ученый Галилео Галилей показал, что интуитивный ответ совершенно неверен. Галилей работал в Пизе, где находится всемирно известная падающая башня. Нет удобнее места, чтобы одновременно уронить два предмета, а стоящий внизу ученик посмотрел, какой из них приземлится первым. Галилей доказал, что Аристотель ошибался: оба мяча, хотя они и разной массы, ударятся о землю одновременно.

Галилей понял, что масса предмета не имела значения. Перо падало медленнее, чем мяч, из-за сопротивления воздуха, и, если удастся устранить воздух, перо и мяч упадут за одно время. Найдется и место, где можно проверить эту теорию, – поверхность безвоздушной Луны. В 1971 г. командир экипажа корабля «Аполлон-15» Дэвид Скотт воспроизвел эксперимент Галилея на поверхности Луны, одновременно уронив геологический молоток и перо сокола. Они падали значительно медленнее, чем на Земле, из-за меньшего гравитационного притяжения Луны, но оба предмета упали на поверхность одновременно, как и предсказывал Галилей.

Как позднее сказал диспетчер из Центра управления полетом, этот результат «был обнадеживающим, особенно если учесть, что за экспериментом наблюдало огромное количество зрителей, а успешное возвращение экипажа домой критическим образом зависело от истинности испытуемой теории». Это безусловно верно: космические полеты было бы невозможно планировать без математических уравнений, предсказывающих траекторию полета космического корабля, на который действует притяжение Земли, Солнца, Луны и планет, а также тяга его двигателей.

Воспроизведенный агентством НАСА эксперимент Галилея на поверхности Луны можно увидеть, пройдя по ссылке http://bit.ly/Galileoprediction .

После того как Галилей обнаружил, что масса падающего объекта не влияет на его скорость, он заинтересовался, можно ли предсказать, за какое время тело долетит до земли. Но предметы падали настолько быстро с вершины Пизанской башни, что не удавалось точно засечь время, поэтому Галилей решил скатывать шары по наклонной плоскости, чтобы увидеть, как изменяется их скорость. Он обнаружил, что если скатывающийся шар проходил 1 меру длины за 1 секунду, то за 2 секунды он проходил 4 меры длины, а за 3 секунды – 9 мер. После этого Галилей мог предсказать, что за 4 секунды шар должен преодолеть 16 мер длины, – другими словами, расстояние, проходимое падающим телом, пропорционально квадрату времени падения. Если воспользоваться математической символикой,

d  = ½ gt ² ,

где d – проходимое расстояние, а t – время падения. Множитель g, отвечающий ускорению, обусловленному гравитацией, говорил Галилею о том, насколько менялась скорость падающего предмета за каждую секунду. Если уронить футбольный мяч с вершины Пизанской падающей башни, то через 1 секунду его скорость будет g, через 2 секунды 2g и т. д. Формула Галилея была одним из первых примеров того, как математическое уравнение может быть использовано для описания природы, что впоследствии будет называться законом физики.

Такое применение математики революционизировало методику нашего понимания мира. До того люди использовали повседневный язык для описания природы, что бывает довольно расплывчатым – вы могли бы сообщить, что какой-то предмет падает, но не могли бы сказать, когда он приземлится. Посредством языка математики люди могут не только более точно описывать природу, но и предсказывать, как она будет себя вести в будущем.

Когда Галилей разобрался с тем, что происходит с падающим мячом, его следующим шагом стало предсказание того, что случится, когда мяч пинают.

 

Почему Уэйн Руни решает квадратное уравнение всякий раз, когда забивает гол с лета?

«Бекхэм подает со штрафного, Руни идеально рассчитал время для нанесения удара с лета… Гол!!!»

Но как Руни сделал это? Вы могли бы считать иначе, но Руни должен быть необычайно хорош в математике, чтобы уметь забивать подобные голы. Каждый раз, когда он замыкает удар со штрафного, исполненный Бекхэмом, Руни подсознательно решает одно из уравнений, придуманных Галилеем, чтобы понять, где очутится мяч.

Уравнения подобны рецептам. Возьмите ингредиенты, смешайте их определенным образом, и на выходе получится результат. Чтобы составить уравнение, которое будет решать Руни, Галилею нужны следующие ингредиенты: горизонтальная скорость летящего мяча u, его вертикальная скорость v, после того как он оторвался от ноги Бекхэма, а также влияние гравитации, которое обобщается числом g, говорящим, насколько изменяется вертикальная скорость мяча с каждой секундой. Величина g зависит от того, на какой планете вы играете в футбол; на Земле гравитация увеличивает скорость на 9,8 м/с за секунду. Уравнение Галилея тогда сообщает Руни высоту футбольного мяча в любой точке, отсчитывая от того места, где был исполнен штрафной. Например, если расстояние от мяча в горизонтальном направлении до того места, где Бекхэм ударил по нему, составляет x метров, то его высота будет y метров. При этом у задается уравнением

Рецепт представляет набор математических инструкций по обработке всех этих чисел, результатом чего является высота мяча в определенной точке его траектории.

Для того чтобы Руни мог выяснить, как далеко он должен стоять от места штрафного для удара с лета по мячу ногой или головой, он должен провести расчет в обратном направлении и решить уравнение на x. Предположим, он решил ударить по мячу головой. Рост Руни составляет примерно 1,80 м, так что мяч должен быть на высоте y = 1,80 м, если Уэйн хочет ударить по нему без прыжка. Он знает, каковы u, v и g. Давайте выберем некоторые приблизительные числа:

u  = 20, v  = 10, g  = 10.

Для тех из вас, кто беспокоится из-за единиц измерения, замечу, что скорости u и v измеряются в метрах в секунду (м/с), а ускорение g – в метрах в секунду в квадрате (м/с²).

Единственное, чего не знает Руни, – на каком расстоянии от Бекхэма он должен стоять, чтобы правильно перехватить мяч. Но в уравнении закодирована эта информация, правда, она не столь очевидна. Уравнение говорит, что Руни должен стоять от Бекхэма в х метрах, где число х таково, что выполняется равенство:

Немного прихорошив это выражение, мы придем к

x ² – 40 x  + 144 = 0.

Уравнение такого вида должно казаться знакомым – мы все учили в школе, как решать квадратные уравнения. Можно представить, что в нем закодировано истинное значение х.

Поразительно, что первыми людьми, которые начали решать уравнения вроде этого, были древние вавилоняне. Их квадратные уравнения не описывали траектории полета футбольных мячей, но возникли при измерении земельных участков вокруг Евфрата. Квадратное уравнение возникает, когда мы пытаемся узнать какую-либо величину, которая до того была умножена сама на себя. Мы называем эту процедуру возведением в квадрат, потому что она определяет площадь квадрата. Именно в контексте вычисления площадей земельных участков были впервые сформулированы квадратные уравнения.

Вот типичная задача. Если площадь прямоугольного поля 55 квадратных единиц, а одна сторона короче другой на 6 единиц, какова длина большей стороны прямоугольника? Если мы обозначим бо́льшую сторону x, то условие задачи говорит нам, что x × (x – 6) = 55, или, делая упрощения:

x ² – 6 x  – 55 = 0.

Но как выполнить декодирование этого математического шифра?

Вавилоняне придумали изящный метод для решения этой задачи: они рассекали прямоугольник и перекладывали его части так, чтобы получился квадрат, а с этой формой легче обращаться. Мы можем разделить наше прямоугольное поле на участки так, как сделали бы вавилонские писцы тысячи лет назад (рис. 5.02).

Начните с того, что отрежьте маленький прямоугольник размером 3 × (x – 6) единиц от края прямоугольника и поместите его снизу. Общая площадь не изменилась, поменялась лишь форма. Она почти представляет собой квадрат, не хватает лишь маленького квадратика размером 3 × 3 в углу. Если мы добавим этот маленький квадратик, то площадь формы увеличится на 9 единиц. Следовательно, площадь получившегося большого квадрата есть 55 + 9 = 64. Теперь нам предстоит решить простую задачу по извлечению квадратного корня из 64. Так мы находим, что длина стороны квадрата равна 8. Но эта же длина равна x – 3, поэтому x – 3 = 8, то есть x = 11. Хотя мы лишь перемещали воображаемые земельные участки, за этой процедурой лежит общий метод декодирования таинственных квадратных уравнений.

После того как в IX столетии в Ираке была создана алгебра, можно было написать формулу, воспроизводящую вавилонский метод. Алгебра была развита возглавлявшим «Дом мудрости» в Багдаде человеком по имени Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми. «Дом мудрости» был ведущим интеллектуальным центром своего времени, в него стремились ученые со всего мира для изучения астрономии, медицины, химии, зоологии, географии, алхимии, астрологии и математики. Мусульманские ученые собирали древние тексты и перевели многие из них, по существу, сохранив эти произведения для последующих поколений – без данного посредничества мы могли бы никогда не узнать о древних культурах Греции, Египта, Вавилона и Индии. Однако ученые «Дома мудрости» не довольствовались одними переводами чужих трудов по математике. Они хотели создать собственную математику и всячески способствовать продвижению этого предмета.

Рис. 5.02. Решение квадратного уравнения путем дополнения до квадрата

Интеллектуальное любопытство активно поощрялось в первые столетия мусульманской империи. Коран учил, что мирское знание приближало людей к знанию священному. Фактически религиозная практика требовала математических навыков, потому что праведным мусульманам было необходимо рассчитывать время молитв и определять направление к Мекке для должного совершения ритуалов. Алгебра аль-Хорезми революционизировала математику. Алгебра – это язык, объясняющий закономерности поведения чисел, грамматика которого лежит в основе их взаимодействия. Алгебра чем-то подобна коду для создания исполняемой программы, она будет работать, какие бы числа вы ни ввели. Хотя древние вавилоняне придумали искусный способ решения квадратных уравнений частного вида, именно алгебраическая формулировка аль-Хорезми в конечном счете привела к выражению, которое может быть использовано для решения любого квадратного уравнения. Всякий раз, когда у вас есть квадратное уравнение ax² + bx + c = 0, где a, b и c – некоторые числа, показанное геометрическое жонглирование может быть преобразовано в формулу, на одной стороне которой находится х, а на другой стороне – рецепт объединения чисел a, b и c:

Именно эта формула позволяет Руни разобраться с уравнением, контролирующим полет мяча, и определить, на каком удалении он должен стоять. Когда мы покинули его, он понимал, что должен стоять на расстоянии х метров от места штрафного, где

x ² – 40   x  + 144 = 0.

Используя алгебру, он может вычислить, что должен стоять в 36 м от Бекхэма, чтобы перехватить мяч ударом головы.

Но как он сделал это? Что же, в квадратном уравнении, контролирующем штрафной удар в исполнении Бекхэма, a = 1, b = –40 и c = 144. Поэтому формула для решения этого уравнения говорит нам, что дистанция между Руни и Бекхэмом должна быть

Интересно, что, поскольку –32 также является квадратным корнем из 1024, у нас получается и другое решение: х = 4 м. Это решение отвечает восходящему участку траектории мяча; но Руни будет ждать, пока мяч не начнет опускаться. Потому что помимо положительного квадратного корня всегда имеется отрицательный, данная формула всегда дает нам два решения квадратного уравнения. Чтобы обозначить это, в ней часто пишут знак ± вместо + перед символом квадратного корня.

Конечно, Руни использует значительно более интуитивный подход, не требующий от него совершать вычисления в уме на протяжении 90 минут. Но это обстоятельство демонстрирует, что человеческий мозг почти запрограммирован эволюцией для совершения хороших предсказаний.

 

Почему бумеранг возвращается назад?

С вращающимися предметами происходят странные явления. Когда вы наносите по футбольному мячу нецентральный удар, он, закручиваясь, отклоняется вбок. Когда вы подкидываете теннисную ракетку, она всякий раз приходит во вращение, прежде чем вы ловите ее. Кажется, что закрученный гироскоп бросает вызов гравитации, удерживая горизонтальное положение. Но классическим примером странного поведения вращающихся предметов является возвращение бумеранга.

Динамика вращающихся предметов очень сложна, она сбивала с толку поколения ученых. Но теперь мы понимаем, что возвращение бумеранга назад обусловлено двумя разными факторами. Первый из них связан с подъемной силой крыла самолета, а второй называется гироскопическим эффектом. Математические уравнения позволяют нам объяснить и в конечном счете предсказать, как геометрия крыла генерирует силу, толкающую его вверх, противодействуя силе гравитации, которая тянет самолет вниз. Крыльям самолета придается такая форма, чтобы воздух обтекал их быстрее сверху и медленнее снизу. Воздух сверху сдавливается и быстрее проталкивается по крылу. По такому же принципу вода течет через трубу: в месте сужения трубы вода течет быстрее.

Одно из основных уравнений гидромеханики, уравнение Бернулли, говорит нам, что бо́льшая скорость воздуха над крылом приводит к меньшему давлению, а меньшая скорость воздуха под крылом приводит к большему давлению. Разность давлений под крылом и над ним создает силу, которая поднимает самолет.

Если вы внимательно рассмотрите бумеранг, то увидите, что каждое его плечо по форме напоминает крыло самолета, благодаря этому бумеранг поворачивает в сторону. Для возвращения бумеранга после броска вам нужно запустить его из вертикального положения таким образом (снова представьте самолет), чтобы правое крыло было наверху, а левое крыло внизу. Та же самая сила, которая приподнимает самолет, теперь будет толкать бумеранг влево.

Но у происходящего есть более тонкие моменты. Веди себя бумеранг как самолет, сила, действующая на плечи, просто повернула бы его влево и он бы не вернулся. Бумеранг возвращается назад оттого, что при запуске ему придается вращение, и благодаря гироскопическому эффекту сила, толкающая его влево, постоянно меняет направление. В результате бумеранг описывает дугу окружности.

Когда я бросаю бумеранг, его верхняя часть вращается вперед, а нижняя – назад. Верхняя часть подобна крылу самолета, быстрее движущемуся относительно воздуха, и более высокая скорость должна приводить к большей подъемной силе. Но, действуя на бумеранг, запущенный из вертикального положения, эта сила будет приводить к его крену, и верхняя часть будет наклоняться к горизонтальному положению.

Но здесь на сцену выходит гироскопический эффект. Когда вы ставите вращающийся гироскоп на подставку в вертикальном положении, он ведет себя подобно юле. Но, если вы наклоняете его так, что ось вращения образует некоторый угол с вертикалью, происходит то, что называется прецессией: ось вращения сама начинает вращаться. Именно это происходит с закрученным бумерангом. Его ось вращения – это воображаемая линия, проходящая через центр бумеранга, вращение данной оси приводит к тому, что бумеранг движется по дуге окружности.

Рис. 5.03. Геометрия сил и скоростей бумеранга. Сила F обусловлена подъемной силой, V – скорость, с которой движется центр бумеранга, R – радиус его траектории и W – скорость прецессии

Любой человек, бросавший бумеранг, знает, что не так-то просто заставить его вернуться назад. Вам требуется запустить его таким образом, чтобы скорость V, с которой он вылетает из вашей руки, и угловая скорость S, характеризующая частоту его вращения, были связаны соотношением:

a  ×  S = √(2)  V.

Здесь а – радиус бумеранга, расстояние от его кончика до оси симметрии. Закручивая сильнее вашу кисть при броске, вы можете увеличить S и добиться, чтобы соотношение выполнялось.

Рис. 5.04. Верхушка бумеранга A движется быстрее, чем его низ B, благодаря вращению

Угол наклона бумеранга зависит от разности скоростей вверху и внизу бумеранга. Верхушка движется со скоростью V + aS, в то время как низ перемещается медленнее, со скоростью V – aS, где угловая скорость S определяет частоту вращения бумеранга вокруг центра (см. рис. 5.04). Поэтому вы можете варьировать наклон бумеранга, изменяя скорости V и S, результатом чего будет изменение скорости прецессии бумеранга при его движении с линейной скоростью V. Если ваш бумеранг не хочет возвращаться назад, вам необходимо освоить кистевое движение, придающее ему правильную угловую скорость S по отношению к линейной скорости V. Соотношение выше поможет вам отладить бросок.

После того как вы освоили искусство броска с возвращением бумеранга, можно поставить вопрос, будет ли он двигаться по дуге большего радиуса, если запускать его с большей скоростью? Математические преобразования позволяют вывести уравнение, задающее радиус траектории бумеранга. И опять уравнение напоминает рецепт, в котором берутся различные ингредиенты, определяющие бумеранг и условия его полета. Эти ингредиенты смешиваются, и на выходе получается радиус. Вот список ингредиентов:

J , момент инерции бумеранга. Он характеризует то, насколько трудно закрутить бумеранг; чем тяжелее бумеранг, тем больше J . Момент инерции также зависит от формы бумеранга;

ρ, плотность воздуха, в котором летит бумеранг;

C L , коэффициент подъемной силы, – число, определяющее подъемную силу, действующую на бумеранг. Зависит от его формы;

π , число 3,14159…;

а , радиус бумеранга.

Радиус траектории бумеранга R определяется перемешиванием данных ингредиентов по следующему рецепту:

Из этого уравнения мы видим, что радиус траектории бумеранга не изменится, если мы будем бросать его сильнее, потому что скорость не входит в число ингредиентов приведенного рецепта. Но что произойдет, если мы сделаем бумеранг тяжелее, прилепив какое-то количество клейкой массы к концам его плеч-крыльев? Уравнение позволяет нам предсказать, что утяжеление массы увеличит момент инерции J, что, в свою очередь, приведет к возрастанию радиуса R. Итак, более тяжелый бумеранг будет лететь по окружности большего радиуса. Это полезно знать при запуске бумерангов в ограниченном пространстве!

С веб-сайта «Тайн 4исел» вы можете загрузить PDF-файл с инструкциями по изготовлению бумеранга.

Как заставить яйцо бросить вызов гравитации?

Возьмите яйцо, сваренное вкрутую. Положите его на стол и приведите во вращение. Яйцо примет вертикальное положение, словно бросая вызов законам гравитации. Не менее удивительно и то, что этот фокус не удастся с сырым яйцом.

Лишь в 2002 г. математики нашли объяснение этого поведения. Энергия вращательного движения преобразуется под действием силы трения поверхности стола в потенциальную энергию, и центр тяжести яйца приподнимается. Если у стола слишком малое либо слишком большое трение, то такого не произойдет. У сырого яйца часть вращательной энергии поглощается жидким содержимым, и остается недостаточно энергии для приподнимания центра тяжести.

 

Почему маятники не столь предсказуемы, как может показаться на первый взгляд?

И снова Галилео Галилей, мастер применения математики в целях предсказаний, первым раскрыл секрет движения маятника.

Как говорят, в возрасте семнадцати лет он присутствовал на мессе в кафедральном соборе Пизы. Галилей заскучал и стал разглядывать потолок, а потом его внимание привлекла люстра, которая плавно раскачивалась из-за ветра, гулявшего по зданию.

Галилей решил определить время, за которое люстра совершала колебание из стороны в сторону. У него не было наручных или карманных часов (они еще не были изобретены), поэтому он решил измерять время с помощью своего пульса. Великое открытие, совершенное Галилеем, состояло в том, что время колебания существенно не зависело от его размаха. Другими словами, время колебания существенно не изменится, если вы увеличите или уменьшите максимальный угол отклонения. (Я использовал слово «существенно» для указания на то, что при более тщательном исследовании положение вещей несколько усложнится.) Когда ветер дул сильнее, люстра описывала бо́льшую дугу, но на колебание уходило то же самое время, как и в случае, когда ветер ослабевал и люстра еле двигалась.

Это открытие было крайне важным, его результатом стало применение качающегося маятника для измерения времени. Когда вы даете ход маятниковым часам, не нужно беспокоиться о том, насколько далеко в сторону вы отводите маятник, особенно если учесть, что размах колебаний уменьшится с течением времени. Но от чего же зависит время совершения одного полного колебания, называемое периодом колебаний? Как изменится период колебаний, если увеличится масса либо возрастет длина маятника?

Как мы можем догадаться по экспериментам Галилея на Пизанской башне, более тяжелый маятник не будет перемещаться быстрее, поэтому период колебаний маятника не будет зависеть от его массы. В противоположность этому, увеличение длины маятника оказывает влияние на период колебаний. Он удваивается при увеличении длины в четыре раза. Увеличьте длину в 9 раз, и период утроится; если длина возрастет в 16 раз, период станет в четыре раза больше.

Опять-таки это предсказание можно отобразить с помощью уравнения. Период колебаний T возрастает прямо пропорционально квадратному корню из длины маятника L:

По существу, это другой способ написания уравнения, составленного Галилеем для мячей, падающих с Пизанской башни: g снова обозначает ускорение, обусловленное гравитацией. Причина написания знака приближенного равенства ≈ в противоположность знаку равенства = и моего предыдущего употребления слова «существенно» состоит в том, что данное выражение является хорошим приближением для периода колебаний. Пока размах колебаний не слишком большой, данной формулой можно пользоваться для предсказания поведения маятника. Но, если максимальный угол отклонения становится большим – например, маятник начинает движение почти из вертикального положения, – математика становится заметно сложнее. Теперь максимальный угол отклонения начинает оказывать влияние на период колебаний, чего Галилей не заметил, потому что люстра в кафедральном соборе не могла отклоняться настолько сильно. Мы также не наблюдаем данный эффект в напольных часах, потому что размах колебаний их маятника довольно мал.

Математика, необходимая для вывода уравнения, правильно предсказывающего поведение маятника с большим углом колебания, заметно выходит за пределы школьной программы. Ниже приведено начало этой формулы. На самом деле у нее бесконечное число слагаемых, которые вносят вклад в поведение маятника. θ0 – это выраженный в радианах начальный угол, образуемый маятником с вертикалью.

Но это ничто по сравнению с задачей предсказания поведения слегка модифицированного маятника. Вместо одного жесткого стержня, раскачивающегося вправо-влево, представьте, что к нижней части первого маятника шарнирным образом прикреплен второй. Поэтому конструкция в целом несколько напоминает ногу, верхняя и нижняя части которой соединяются в колене. Предсказать поведение этого двойного маятника крайне трудно. И дело не в том, что уравнения становятся существенно сложнее, а в том, что их решения крайне непредсказуемы: результат может быть совсем другим при ничтожном изменении начального положения маятника. Двойной маятник служит ярким примером математического явления, называемого хаосом. Но двойной маятник – не просто забавная настольная игрушка. Математика, лежащая в основе его поведения, имеет важные последствия для ответа на вопрос, который может повлиять на будущее всего человечества.

Сайт http://bit.ly/Myphysicslab  – один из многих, где представлена компьютерная модель двойного маятника.

Постарайтесь предсказать, каким будет следующий проход нижней части относительно верхней части маятника – по часовой стрелке или против часовой? Это почти невозможно.

Чтобы изготовить ваш собственный маятник, посетите http://bit.ly/DoublePendulum .

 

Не разлетится ли Солнечная система?

С того времени, как Галилей первым исследовал падающие шары и раскачивающиеся маятники, математики сформулировали сотни тысяч уравнений, которые предсказывают поведение природы. Эти уравнения образуют фундамент современной науки, они известны как законы природы. Математика наделила нас возможностью создать сложный технический мир современности. Инженеры опираются на уравнения для проверки того, что мосты не упадут, а самолеты полетят в воздухе. Из того, как развивался наш рассказ до сих пор, вы можете заключить, что предсказание будущего всегда будет легким. Отнюдь нет, настолько просто будет не всегда – как открыл французский математик Анри Пуанкаре.

В 1885 г. король Швеции и Норвегии Оскар II предложил премию в 2500 крон тому, кто сможет математически установить раз и навсегда, что либо Солнечная система и дальше будет вращаться как заведенная, либо в какой-то момент времени Земля может оторваться от Солнца и улететь в космос. Пуанкаре счел, что сумеет найти ответ, и начал исследование.

Один из классических приемов, используемых математиками, когда они начинают анализировать сложные задачи, состоит в упрощении изучаемой системы. Они надеются, что это облегчит нахождение решения задачи в целом. Вместо того чтобы исследовать все планеты Солнечной системы, Пуанкаре начал с рассмотрения задачи всего лишь двух тел. Исаак Ньютон уже доказал, что их орбиты будут стабильны: два тела будут двигаться по эллиптическим орбитам вокруг общего центра масс, что будет вечно повторяться.

Рис. 5.05

Начиная с этой отправной точки Пуанкаре стал изучать, что будет происходить при добавлении последующих планет в систему. Но проблемы возникают уже тогда, когда необходимо описать три тела, например Землю, Луну и Солнце. Вопрос о том, стабильны ли их траектории, становится крайне сложным – настолько, что он привел в тупик даже великого Ньютона. Трудность обусловлена тем, что теперь необходимо объединить в рецепте 18 ингредиентов: точные координаты каждого из тел в трех измерениях и их скорости в этих измерениях. Сам Ньютон написал, что «одновременное рассмотрение столь многих причин движения с целью определить движения на основе точных законов, допускающих легкий расчет, если я не ошибаюсь, выходит за пределы возможностей человеческого ума».

Но Пуанкаре не был обескуражен. Он добился значительного продвижения путем ряда последовательных приближений для описания орбит. Он считал, что совершение округления крайне небольших изменений в положениях планет, появившихся в его вычислениях, не повлияет существенно на окончательный ответ. Хотя Пуанкаре не сумел решить задачу полностью, его идеи были настолько изощренны, что ему присудили премию короля Оскара. Однако, когда статья Пуанкаре готовилась к публикации, один из редакторов не сумел проследить за математическими выкладками Пуанкаре и задал вопрос. Не мог бы Пуанкаре доказать предположение, что небольшие изменения в положениях планет приведут лишь к небольшим изменениям в их предсказанных орбитах?

Когда Пуанкаре пытался оправдать сделанное допущение, он неожиданно понял, что совершил ошибку. В противоположность его суждению даже небольшое изменение начальных условий – исходных положений и скоростей трех тел – могло привести к существенно различным орбитам. Его упрощения не работали. Пуанкаре связался с редакторами и попытался остановить выход статьи, потому что публикация ошибочных результатов в честь короля привела бы к скандалу. Статья уже была напечатана, но большинство экземпляров было собрано и уничтожено.

Все это походило на гигантский конфуз. Но, как часто бывает в математике, если что-то идет наперекосяк, обнаружение причины произошедшего может привести к интересным открытиям. Пуанкаре написал вторую, более развернутую статью, в которой обосновал свое мнение, что крайне небольшие изменения могут привести к внезапному распаду внешне стабильной системы. Открытие, совершенное благодаря его ошибке, привело Пуанкаре к одной из важнейших математических концепций последнего столетия: теории хаоса.

Пуанкаре обнаружил, что даже в ньютоновской Вселенной, казалось бы работающей как часы, простые уравнения могут привести к необычайно сложным результатам. И это вовсе не математика случайности или вероятности. Мы имеем дело с системой, которую математики называют детерминированной: она контролируется строгими математическими уравнениями, и, если фиксировать какие-либо начальные условия, всякий раз будет получаться один и тот же результат. Хаотическая система по-прежнему является детерминированной, но крайне небольшое изменение начальных условий может привести к существенно отличному результату.

Позвольте представить небольшой по масштабу пример, который служит хорошей моделью Солнечной системы. Мы поместим на пол три магнита: черный, белый и серый. Над магнитами мы подвесим магнитный маятник, который может свободно колебаться в любом направлении. Этот маятник будет притягиваться всеми тремя магнитами, и он будет раскачиваться между ними, пока не примет какое-то стабильное положение. Снизу к маятнику прикреплен небольшой контейнер с краской, которая капает и оставляет след. Мы приведем маятник в движение, он будет раскачиваться, а капающая краска отметит его путь. Таким образом мы пытаемся смоделировать астероид, который проносится сквозь Солнечную систему и испытывает притяжение трех планет. В конце концов он столкнется с одной из них.

Это крайне необычно, но почти невозможно повторить эксперимент и получить тот же самый след краски. Сколь усердно вы ни будете стараться привести маятник в то же самое положение и качнуть в прежнем направлении, краска будет прочерчивать совершенно другой след, и в конечном счете маятник может оказаться у любого из трех магнитов. На рис. 5.06 показаны три траектории, начинающиеся почти одинаковым образом, но завершающиеся у разных магнитов.

Уравнения, контролирующие движения маятника, являются хаотическими: крайне небольшое изменение начального положения может самым драматичным образом повлиять на конечный результат. Это характерный признак хаоса.

Рис. 5.06. Самое небольшое изменение начального положения маятника может привести к его движению по совершенно другой траектории между тремя магнитами (которые отмечены небольшими кружками – белым, серым и черным)

Мы также можем воспользоваться компьютерным моделированием, чтобы создать изображение, показывающее, к какому из трех магнитов притянется маятник. Магниты находятся в центре больших областей соответствующего цвета, каждая из которых имеет форму вазы. Если маятник начнет движение, находясь над черной областью, он в конечном счете остановится у черного магнита. Аналогично, при начальном положении над серой или белой областью маятник прекратит движение у серого или белого магнита соответственно. На изображении видны области, в которых небольшое изменение начального положения маятника не повлияет существенно на результат. Так, если маятник начнет свое движение у черного магнита, он скорее всего и завершит там свое путешествие. Но также заметны другие области, в которых цвета быстро меняются на небольших расстояниях.

Рис. 5.07. Компьютерное моделирование, иллюстрирующее поведение маятника, движущегося над тремя магнитами

Это пример той формы, которая столь возлюблена природой, – фрактала. Фракталы отображают геометрию хаоса, и если вы рассмотрите какую-то из этих областей с бо́льшим увеличением, то увидите тот же уровень сложности (с чем мы уже встречались на с. 90). Именно эта сложность делает движение маятника столь труднопредсказуемым, хотя описывающие его уравнения довольно просты.

А как быть, если на кону не конечное положение раскачивающегося маятника, а будущее Солнечной системы? Возможно, небольшое возмущение, вызванное случайным астероидом, приведет к небольшим, но достаточным изменениям, чтобы Солнечная система разлетелась в разные стороны. По-видимому, что-то подобное приключилось в планетной системе солнцеподобной звезды ипсилон Андромеды. Астрономы считают, что странное поведение существующих планет является свидетельством катастрофы, во время которой одна из исходных планет, вращающихся вокруг звезды, была выброшена наружу из-за какого-то возмущения первоначально стабильных орбит. Может ли такое произойти и с нашей планетой?

Для собственного успокоения ученые недавно провели расчеты на суперкомпьютерах, чтобы найти ответ на вопрос, перед которым капитулировал Пуанкаре: существует ли угроза, что Земля улетит от Солнца? Они проследили эволюцию имеющихся орбит планет вперед и назад по времени. К счастью, вычисления показали, что с вероятностью 99 % планеты продолжат бесперебойное вращение по своим орбитам на протяжении 5 миллиардов лет (к тому времени наша звезда станет красным гигантом и поглотит внутренние планеты Солнечной системы). Все же остается однопроцентная вероятность более интересного конечного результата – по крайней мере, с математической точки зрения.

Оказывается, что у внутренних каменистых планет – Меркурия, Венеры, Земли и Марса – менее стабильные орбиты, чем у газовых гигантов – Юпитера, Сатурна, Урана и Нептуна. Если бы эти большие планеты были предоставлены сами себе, у них было бы замечательно стабильное будущее. Однако именно у крошечного Меркурия есть потенциал разнести Солнечную систему вдребезги.

В компьютерном моделировании были замечены странные резонансы, возникающие между Меркурием и Юпитером. Они могут привести к тому, что орбита Меркурия будет пересекать орбиту ближайшей к нему планеты, Венеры. Это может подготовить условия для потенциально убийственного столкновения между Венерой и Меркурием, что способно привести к развалу Солнечной системы. Но произойдет ли это на самом деле? Мы не знаем. Хаос делает предсказание будущего крайне трудным.

 

Как бабочка может погубить тысячи людей?

Не только Солнечная система подвержена хаосу. Черты хаотического поведения есть у многих природных явлений, будь то возникновение волн-убийц в океане, динамика фондового рынка или биение сердца. Но хаотической системой, сильнее всего влияющей на жизнь каждого, является погода. Вопрос «будет ли Земля вращаться вокруг Солнца через миллиард лет?» не относится к числу первоочередных. Мы желаем знать, будет ли тепло и солнечно на следующей неделе, а также изменится ли существенно климат за последующие 20 лет по сравнению с его нынешним состоянием.

У предсказания погоды всегда был налет колдовства, хотя некоторые из народных примет, относящихся к погоде, оказались верными. «Красный закат – радость пастуха» срабатывает, потому что лучи солнца окрашиваются красным, проходя через большие области ясного неба к западу от пастбища. Поскольку погодные системы в Европе, как правило, приходят с запада, это служит указанием на хорошую погоду в ближайшие дни.

В наши дни метеорологи используют в своей работе множество различных данных, от измерений на морских метеостанциях до изображений и информации, передаваемых со спутников. Также у них есть точные уравнения для описания того, как сталкивающиеся воздушные массы в атмосфере взаимодействуют и создают облака, ветер и осадки. Если у нас есть математические уравнения, контролирующие погоду, их, наверное, было бы просто объединить с метеоданными и провести вычисления на компьютере, чтобы определить, какой будет погода на следующей неделе.

Увы, даже при содействии современных суперкомпьютеров прогноз на две недели вперед по-прежнему ненадежен. Мы не в силах предсказать во всех деталях, какой будет погода сегодня, не говоря уже о более отдаленном будущем. Даже лучшие метеостанции дают показания с ограниченной точностью. Мы никогда не сможем знать достоверную скорость каждой молекулы в воздухе, истинную температуру в каждой точке пространства и точное распределение давления по всей планете, а даже небольшая вариация этих характеристик может привести к сильно отличающимся прогнозам погоды. Это породило понятие «эффект бабочки»: бабочка, машущая крыльями, создает лишь небольшие изменения в атмосфере, но в конечном счете они могут привести к торнадо или урагану на другом конце планеты, уносящему жизни и вызывающему многомиллионные разрушения.

По этой причине метеорологи рассчитывают одновременно несколько прогнозов погоды, каждый из которых отличается небольшими вариациями измерений, полученных со спутников и метеостанций по всему миру. Иногда все эти вычисления ведут к одинаковым результатам, и тогда метеорологи могут быть вполне уверены, что верно предсказывают погоду – хотя она и хаотична – на одну-две недели. Но, если в некоторых расчетах результаты совершенно различны, синоптики понимают, что никоим образом не могут достоверно предсказать погоду даже на несколько дней.

Вспомните наш хаотический маятник, раскачивающийся между тремя магнитами. Согласно компьютерному изображению, существуют области, где маленькие изменения начального положения не приводят к тому, что маятник завершает свое движение у другого магнита. То же самое происходит с погодой. Представьте, что большая черная область на рисунке соответствует погоде в пустыне: там всегда будет жарко, сколь усердно ни махала бы бабочка крыльями. То же можно сказать и про Арктику, соответствующую большой белой области. Но погода в Великобритании соответствует той области изображения, где краски быстро меняются на малом масштабе, то есть небольшие изменения положения маятника приводят к разным результатам.

Знай мы точные положения и скорости всех частиц во Вселенной, мы могли бы достоверно предсказывать будущее. Однако проблема состоит в том, что немного ошибочное определение этих начальных условий может привести к совершенно иному будущему. Вселенная может быть уподоблена часовому механизму, но мы никогда не будем знать положения шестеренок достаточно точно, чтобы воспользоваться ее детерминированной природой.

 

Орел или решка?

Европейский футбольный чемпионат 1968 г. проходил до введения правила о пробитии пенальти для выявления победителя матча, завершившегося вничью. Поскольку матч между сборными Италии и Советского Союза был безголевым даже после дополнительного времени, была брошена монета для определения того, какая из команд выйдет в финал. С римских времен всеми признавалось, что монета была честным способом решения спора. В конце концов, невозможно предсказать, какой стороной выпадет монета, вращающаяся в воздухе. Или это не так?

Теоретически говоря, если вы точно знаете положение монеты, скорость ее вращения и время падения, вы можете рассчитать, как она приземлится. Но, подобно погоде, не приведет ли крошечное изменение одного из этих факторов к противоположному исходу? Перси Диаконис, математик из Стэнфордского университета в Калифорнии, решил проверить, так ли непредсказуемо подкидывание монеты, как мы думаем. Если условия при каждом броске монеты одинаковы, то, согласно математике, всякий раз будет тот же исход. Но не скрываются ли в подкидываемой монете характерные черты хаоса? Что, если при небольшой вариации начальных условий эти вариации к моменту падения усиливаются настолько, что становится невозможно предсказать, выпадет орел или решка?

С помощью друзей-инженеров Диаконис построил механическую машину по подкидыванию монет, которая могла воспроизводить условия броска снова и снова. Разумеется, от случая к случаю имеются незначительные отличия, но приведут ли они к другому исходу, как было у маятника, раскачивающегося между тремя магнитами? Диаконис обнаружил, что всякий раз, когда он повторял эксперимент со своим механическим подкидывателем, монета выпадала одной и той же стороной. Затем он натренировался и сам бросать монету идентичным образом, в результате у него могли выпасть 10 орлов подряд. Если вы решаете судьбу чего-то броском монеты, удостоверьтесь, что ее не подкидывает человек, подобный Перси Диаконису.

Но что можно сказать о самых обычных людях, которые заметно меняют бросок монеты от случая к случаю? Диаконис задался вопросом, может ли в данных условиях быть предпочтение в выпадении сторон? Чтобы приступить к математическому исследованию, ему понадобился эксперт по вращающимся предметам. Он понял, что нашел нужного человека, когда познакомился с Ричардом Монтгомери. Последний прославился тем, что доказал теорему о падающей кошке – он объяснил способность кошек приземляться на лапы независимо от положения, в котором они были в начале падения. Вместе со статистиком Сьюзен Холмс они показали, что вращающаяся монета, запускаемая щелчком большого пальца, предпочтительно выпадает вверх определенной стороной.

Чтобы преобразовать теорию в фактические числа, исследователям пришлось тщательно проанализировать, как вращающаяся монета движется в воздухе. С помощью высокоскоростной цифровой видеокамеры, способной делать 10 000 кадров в секунду, они запечатлели движение монеты и использовали полученные данные в своей теоретической модели. То, что они обнаружили, может показаться неожиданным: при надлежащем броске монеты одна из сторон выпадает с бо́льшим предпочтением. Это предпочтение невелико: в 51 % случаев после приземления наверху оказывается та же самая сторона, которая была наверху при подкидывании монеты. Причина, видимо, связана с той же самой физикой, которая управляет движением бумеранга или гироскопа. Оказывается, что вращающаяся монета также прецессирует подобно гироскопу и чуть больше времени наверху при полете находится та сторона, которая была верхней при запуске монеты. Эта разница в вероятности несущественна для одного броска, но может быть очень значительной в длинной серии бросков.

Есть организации, которые, безусловно, заинтересованы в длинных сериях. Это казино. Их доход напрямую связан с вероятностями за большой промежуток времени. Они полагаются на то, что вы будете ошибаться в предсказании исхода при каждом броске игральной кости или запуске рулетки. Но как и при подкидывании монеты: если вы знаете начальные положения колеса рулетки и шарика, а также их стартовые скорости, вы, теоретически говоря, можете применить ньютоновскую физику, чтобы определить, куда упадет шарик. Если колесо будет стартовать из одного и того же положения с той же самой скоростью, а крупье каждый раз будет по-одинаковому запускать шарик, то он должен упасть на то же самое место. Однако и здесь возникает та проблема, которую открыл Пуанкаре: даже совсем небольшое изменение начальных положений и скоростей колеса рулетки и шарика может иметь самые драматические последствия для результата. То же относится и к игральной кости.

Но это вовсе не означает, что математика не может помочь вам сузить диапазон конечных положений шарика. Вы можете внимательно проследить за тем, как шарик совершает несколько оборотов вокруг колеса рулетки, прежде чем сделать вашу ставку. Поэтому у вас появляется возможность проанализировать траекторию шарика и предсказать конечный пункт его маршрута. Трое восточноевропейцев – венгерка, описанная как «изящная и красивая», и двое «элегантных» сербских мужчин – сумели сделать это. Они использовали математику, чтобы сорвать крупный куш за столом для рулетки в лондонском казино «Риц» в марте 2004 г.

Используя лазерный сканер, спрятанный внутри мобильного телефона, который был соединен беспроводным способом с компьютером, они фиксировали вращение колеса рулетки по отношению к шарику во время первых двух оборотов. Компьютер предсказывал область из шести номеров, куда должен был упасть шарик. Во время третьего оборота колеса рулетки игроки делали ставки. Увеличив шанс своего выигрыша с 1 из 37 до 1 из 6, троица ставила на все 6 номеров из области, предсказанной компьютером. В первый вечер их доход составил £ 100 000. Во второй вечер они выиграли ошеломляющие £ 1,2 миллиона. Хотя игроки были арестованы, а потом находились под залогом на протяжении 9 месяцев, в конечном счете их освободили от судебного преследования и позволили сохранить выигранные деньги. Команды юристов пришли к выводу, что они никоим образом не вмешивались во вращение колеса и шарика.

Игроки поняли, что, хотя за столом для игры в рулетку царит хаос, небольшое изменение начальных условий колеса и шарика не всегда радикально меняет результат. Именно на это опираются метеорологи, когда предсказывают погоду. Порою при прогоне компьютерных моделей они обнаруживают, что некоторое изменение сегодняшних погодных условий не имеет драматических последствий для прогноза погоды. Компьютер тех игроков делал то же самое: он просчитывал тысячи различных сценариев, чтобы определить, где может очутиться шарик. Компьютер не мог точно предсказать положение шарика, но области из шести номеров было вполне достаточно, чтобы превратить изначально проигрышное положение игроков в выигрышное.

Исходя из прочитанного, вы могли бы решить, что задачи природы делятся на простые и предсказуемые, вроде шара, падающего с вершины Пизанской башни, и хаотические и труднопредсказуемые, вроде поведения погоды. Однако нельзя сказать, что граница между этими типами задач четко проведена. Иногда какая-то система характеризуется легко просчитываемым и предсказуемым поведением, но при совсем незначительном изменении одного из параметров становится хаотической.

 

Кто убил всех леммингов?

Несколько десятилетий назад натуралисты заметили, что каждые четыре года количество леммингов резко уменьшается. Получила широкое распространение теория, что раз в несколько сезонов эти арктические грызуны поднимаются на высокую отвесную скалу и прыгают с края навстречу смерти. В 1958 г. подразделение естествознания компании Walt Disney Productions сняло получивший многие премии фильм «Белая пустошь». В этом фильме были кадры массового самоубийства леммингов, которые выглядели настолько убедительно, что слово «лемминг» стало употребляться для обозначения любого, кто безропотно следует за большинством, даже если их действия потенциально катастрофичны. Поведение этих животных привело к появлению видеоигры, цель которой была в спасении леммингов, идущих бездумным маршем к краю отвесной скалы.

Чтобы увидеть отрывок из «Белой пустоши», пройдите по ссылке http://bit.ly/Whitewilderness .

В 1980-х гг. стало известно, что съемочная группа «Белой пустоши» сфальсифицировала эти кадры. Согласно документальному фильму канадского телевидения, лемминги, которые были специально закуплены для съемок, отказывались прыгать с края скалы – поэтому члены съемочной группы «побуждали» их к этому. Но если внезапное уменьшение численности леммингов каждые четыре года обусловлено не массовым самоубийством, то какова же причина?

Рис. 5.08

Оказывается, что математика снова может дать нам ответ. Простое уравнение скажет, сколько будет леммингов от сезона к сезону. Мы начнем с предположения о том, что из-за воздействия условий и факторов окружающей среды, таких как пищевые ресурсы и хищники, существует максимально допустимая численность леммингов. Назовем ее N. Обозначим за L количество леммингов, выживших с предшествовавшего сезона, и пусть после рождения потомства численность леммингов в новом сезоне увеличивается до K. Часть этих K леммингов не доживет до конца сезона. Доля умерших леммингов составляет L/N, а именно количество леммингов, выживших с предыдущего сезона, поделенное на максимально допустимую численность леммингов. Итак, K × L/N леммингов умирает, и в конце данного сезона остается в живых

леммингов. Чтобы упростить наши расчеты, положим максимальную численность N = 100.

Хотя данное уравнение выглядит просто, у него есть удивительные последствия. Давайте начнем с того, что изучим случай, когда число леммингов удваивается весной, то есть K = 2 L. Из них 2L × L/100 не выживут. Предположим, что в конце первого сезона было 30 леммингов. Тогда уравнение предсказывает нам, что к концу второго сезона будет 60 – (60 × 30/100) = 42 лемминга. Их численность будет возрастать, пока в конце четвертого сезона не станет 50 леммингов.

С этого момента численность леммингов, выживающих к концу каждого из сезонов, будет постоянной и составит 50. Удивительно и то, что, каково бы ни было исходное количество леммингов в начале первого сезона, численность леммингов к концу каждого из последующего сезонов будет приближаться к половине максимальной численности, и на этом значении она стабилизируется. Итак, когда будет достигнута численность в 50 леммингов, их количество удвоится и составит 100 весной следующего сезона, но к концу следующего сезона 100 × 50/100 = 50 умрут, и к концу следующего сезона останется снова 50 леммингов (рис. 5.09).

Рис. 5.09. Количество леммингов удваивается каждой весной, но их численность стабилизируется на постоянном значении независимо от того, сколько леммингов было вначале. На графике показана численность леммингов в конце соответствующего сезона

Но что произойдет, если лемминги будут более плодовиты? Когда количество леммингов чуть более чем утраивается весной, их численность не стабилизируется, а скачет между двумя значениями. Если к концу какого-то сезона численность выживших леммингов возрастает, то к концу следующего сезона она падает.

Рис. 5.10. Если количество леммингов утраивается весной, их численность начинает осциллировать

Когда лемминги становятся еще более плодовиты, их численность начинает флуктуировать странным образом. Если возрастание количества леммингов весной описывается множителем 3,5, численность леммингов осциллирует между четырьмя значениями, и эта закономерность повторяется каждые четыре года. (Точный множитель, при котором впервые появляются четыре значения, есть 1 + 6, что приблизительно равно 3,449.) В этом случае мы и обнаруживаем, что в одном сезоне из четырех происходит существенное падение количества леммингов, но не в силу решения совместно покончить с жизнью, а из-за математики.

Рис. 5.11. Когда количество леммингов весной возрастает в 3,5 раза, их численность осциллирует между четырьмя различными значениями

Но по-настоящему интересное изменение динамики численности леммингов происходит, когда увеличение их количества весной описывается множителем, превышающим 3,5699. Тогда их численность от года к году меняется скачками без видимого ритма и причины. Хотя уравнение, определяющее численность леммингов, довольно простое, оно начало выдавать хаотические результаты. Измените исходное количество леммингов, и динамика их численности будет совсем другой. После того как превзойден порог начала хаоса 3,5699, почти невозможно предсказать, как будет варьироваться численность. Мы видим, что уравнение, контролирующее численность леммингов, сначала приводило к совершенно предсказуемым результатам, но с небольшим увеличением плодовитости леммингов внезапно разразился хаос.

Рис. 5.12. Когда увеличение количества леммингов весной описывается множителем 3,5699 или более, изменение их численности становится хаотическим

Правила игры в рыбьи формулы

Это игра для двух участников. Загрузите PDF-файл с веб-сайта «Тайн 4исел» и вырежьте десять рыб и аквариум. В игре исследуется то, как количество рыб меняется на протяжении десяти сезонов. Каждая из вырезанных рыб соответствует одному сезону, и на ее боку имеется пустое поле, куда вы можете вписать число рыб в аквариуме в этом сезоне. В условиях аквариума поддерживается жизнь не более чем 12 рыб. Рыба, дожившая до следующего года, приносит потомство, а потом с определенной вероятностью умирает.

Подкиньте две игральные кости. Число рыб, исходно имеющихся в аквариуме, равно сумме выпавших очков минус один (поэтому данное число лежит в диапазоне от 1 до 11). Назовем это число N 0 . Первый игрок выбирает число K от 1 до 50. С его помощью определяется количество потомков у каждой рыбы. Если первоначально имелось N 0 рыб, то в первом году вследствие появления потомства их становится ( K /10) ×  N 0 . То есть количество рыб умножается на K /10, этот множитель лежит в интервале от 0,1 до 5.

Не все рыбы доживают до следующего года. Если в конце предыдущего года было N рыб, то к концу следующего их будет

Комбинация с первым слагаемым в круглых скобках соответствует приведенному приросту количества рыб из-за рождения, а комбинация со вторым слагаемым – убыли рыб из-за смертности. Нужно округлить число, определяемое данной формулой, чтобы в аквариуме было целое число рыб (4,5 округляется до 5).

Пусть аквариум содержится на протяжении 10 лет. Счет первого игрока равен сумме количества рыб в конце нечетных лет, а счет второго игрока равен сумме количества рыб в конце четных лет.

То есть, если в конце года с номером i имеется N i рыб:

счет игрока 1: N 1  +  N 3  +  N 5  +  N 7  +  N 9 ,

счет игрока 2: N 2  +  N 4  +  N 6  +  N 8  +  N 10 .

Делая отметки на боках вырезанных фигурок, вы можете вести учет численности рыб от года к году. Если в какой-то момент все рыбы умирают, игрок 1, выбравший множитель K , проигрывает автоматически.

Вот пример одной из игр. На игральных костях выпало 4. Поэтому сначала в аквариуме было 3 рыбы, N 0  = 3. Игрок 1 выбирает K  = 20. Следовательно, количество рыб в конце первого года

Количество рыб в конце второго года

А в конце третьего года их

Количество рыб теперь стабилизировалось, потому что 6 будет повторяться при подстановке в формулу. Итак,

счет игрока 1: 5 + 6 + 6 + 6 + 6 = 29 рыб,

счет игрока 2: 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30 рыб.

Игрок 2 побеждает. Посмотрите, что произойдет при изменении множителя K . Поскольку мы округляли числа, в этой игре нет всех тонкостей хаотической модели, которая убила леммингов.

Если вы хотите воспользоваться онлайн-моделированием этой игры, пройдите по ссылке http://bit.ly/Tanksim .

В данной версии моделирования количество рыб в аквариуме также округляется до целого числа, но дробная часть числа подставляется в формулу для расчета количества рыб в следующем году. Например, если вы положите K  = 27 и N 0  = 3:

N 1  = 6,075, округляется до 6 рыб

N 2  = 8,09873, округляется до 8 рыб

N 3  = 7,10895, округляется до 7 рыб

N 4  = 7,8233, округляется до 8 рыб

N 5  = 7,352, округляется до 7 рыб

N 6  = 7,68872, округляется до 8 рыб

N 7  = 7,45835, округляется до 7 рыб

N 8  = 7,62147, округляется до 8 рыб

N 9  = 7,50844, округляется до 8 рыб

N 10  = 7,58804, округляется до 8 рыб

Счет игрока 1: 6 + 7 + 7 + 7 + 8 = 35 рыб,

счет игрока 2: 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 40 рыб.

 

Как делать обводящие прострелы, словно Бекхэм, или закручивать подобно Карлосу

Дэвид Бекхэм и Роберто Карлос выполнили за футбольную карьеру немало удивительнейших штрафных ударов, которые, казалось, противоречили законам физики. Вероятно, самым поразительным был удар, нанесенный Карлосом в матче Бразилии против Франции в 1997 г. Штрафной был назначен в 30 м от ворот. Большинство футболистов просто отдали бы пас партнеру, чтобы продолжить атаку. Но не Роберто Карлос. Он поставил мяч на газон и отступил назад, готовясь к удару.

Французский вратарь Фабьен Бартез выстроил оборонительную стенку, хотя он и не думал всерьез, что Карлос намеревается послать мяч непосредственно в его ворота. И действительно, когда Карлос разбежался и нанес удар, казалось, что мяч пролетит далеко от цели. Зрители в стороне от ворот начали нагибаться, ожидая, что мяч попадет в толпу. Неожиданно, в последние мгновения, мяч свернул влево и залетел в сетку французских ворот. Бартез не мог поверить своим глазам. Он не шевельнулся. «Как ему такое удалось?» – казалось, думал он.

Но удар Карлоса отнюдь не противоречил законам физики, при его исполнении была учтена наука движущихся футбольных мячей. Эффект вращения может приводить к самому невероятному поведению предметов. Если вы ударите по мячу, не придавая ему вращения, то он в своем движении как бы прочертит параболу на фиксированном двумерном листе бумаги. Но, если вы закрутите мяч, неожиданно геометрия его движения становится трехмерной. Он не только будет подниматься и опускаться, но и отклоняться влево или вправо.

Но что же толкает мяч, летящий в воздухе, влево или вправо? Возникающая сила обусловлена эффектом Магнуса, названным в честь немецкого физика Генриха Магнуса, который в 1852 г. первым объяснил воздействие вращения на мячи. (Немцы всегда были хороши в футболе.) Эффект схож с появлением силы, действующей на самолетное крыло. Как я объяснил на с. 254, разность скоростей потока воздуха над и под крылом приводит к уменьшению давления над крылом и его повышению под ним, вследствие чего возникает сила, толкающая крыло вверх.

Для отклонения мяча в полете влево Карлос нанес такой удар, чтобы левая сторона вращалась к нему (ось вращения вертикальна и проходит через центр мяча). Закрученность мяча затем, по существу, приводила к тому, что воздух быстрее обтекал мяч слева, уменьшая давление, – то же самое происходит над самолетным крылом. Давление на другой стороне мяча, напротив, возросло, потому что скорость воздуха там была меньше, ведь та сторона закручивалась навстречу потоку воздуха. Результатом увеличенного давления справа была сила, толкавшая мяч влево, которая в конечном счете и занесла мяч в сетку ворот.

Тот же принцип используется для того, чтобы заставить мяч для гольфа лететь дальше, чем предсказывается уравнениями, сформулированными Галилеем. Но на сей раз ось вращения горизонтальна и перпендикулярна скорости мяча. Когда клюшка наносит удар по мячу, лежащему на колышке, его нижняя часть закручивается в направлении полета. Это снижает скорость обтекающего воздуха и в силу эффекта Бернулли увеличивает давление под мячом. Так и создается направленная вверх сила, противодействующая гравитации, словно обусловленная вращением рука помощи подхватывает мяч и несет как можно дальше.

Но мы еще не включили в наше рассмотрение один ингредиент: сопротивление воздуха. Именно оно позволяет объяснить, почему мяч, запущенный Карлосом, отклонился влево настолько поздно. Как и в случае подъемов и спадов численности леммингов, секрет волшебного трюка Карлоса связан с переходом от хаотического поведения к регулярному. Поток воздуха за мячом может быть либо хаотическим, либо регулярным. Хаотический поток воздуха называется турбулентным. Он возникает, когда мяч движется очень быстро. Регулярный поток воздуха называется ламинарным, он реализуется при меньших скоростях. Переключение с одного вида потока на другой зависит от типа мяча.

Вы можете сами довольно легко увидеть эти виды воздушных потоков, реализующиеся при разных скоростях. Идите спокойно по прямой линии, держа в руках флаг (или полосу ткани) так, чтобы он находился за вами, и посмотрите, как он колышется. Теперь сделайте то же самое со значительно большей скоростью. Вы можете либо высунуть флаг за окно машины, либо бежать с максимальной скоростью навстречу ветру. Теперь флаг будет сильно биться из стороны в сторону. Причиной изменения является то, что воздух, обтекающий какой-либо предмет, например флаг, ведет себя по-разному при разных скоростях. При малых скоростях поток воздуха легко предсказуем, но при больших скоростях он становится заметно хаотичнее.

Но как влияет на летящий футбольный мяч переключение с турбулентного обтекания на ламинарное? Оказывается, что в турбулентном случае воздух оказывает меньшее сопротивление футбольному мячу. Поэтому, когда мяч движется быстро, его вращение не оказывает существенного влияния на изменение его скорости, словно эффект Магнуса уменьшен на этом участке траектории. Но, когда мяч замедляется и проходит точку переключения, турбулентное обтекание уступает место ламинарному, приводящему к значительно большему сопротивлению. При этом переходе сопротивление воздуха возрастает на 150 %. Теперь начинает сильнее сказываться и вращение мяча, неожиданно мяч более заметно отклоняется в сторону. Дополнительное сопротивление также увеличивает подъемную силу, приводя к усилению эффекта Магнуса, и мяч все заметнее толкается в сторону.

Рис. 5.13. Хаотическая турбулентность приводит к меньшему сопротивлению среды, чем регулярное обтекание, называемое ламинарным

Роберто Карлосу требовалось выполнить штрафной не слишком близко к воротам, чтобы он мог нанести удар достаточно сильно для осуществления турбулентного обтекания и чтобы при этом у мяча было время замедлиться, не покидая поля. Когда мяч летит после удара со скоростью 110 км/ч, поток воздуха вокруг него хаотичен, но примерно в середине траектории он замедляется и турбулентность исчезает. Включается торможение, проявляется воздействие вращения мяча, и Бартез капитулирует.

Но данная математика влияет не только на футбол. Наши путешествия также подвержены хаосу, в особенности в воздухе. Большинство людей связывают слово «турбулентность» с просьбой пристегнуть ремни, поскольку они входят в зону, где хаотические потоки воздуха будут их кидать в разные стороны. Самолеты движутся значительно быстрее футбольных мячей, и хаотический поток воздуха, обтекающий их крылья, – турбулентный поток – увеличивает лобовое сопротивление самолета, что приводит к большему расходу топлива и дополнительным затратам.

По результатам одного исследования, снижение турбулентного сопротивления на 10 % могло бы увеличить размер прибыли авиакомпаний на 40 %. Авиаконструкторы всегда ищут способы изменить текстуру поверхности крыла, чтобы поток воздуха стал менее хаотическим. Одна идея состояла в том, чтобы сделать на крыле крошечные параллельные бороздки, расположенные так же плотно, как бороздки на грампластинке. Другое предложение заключалось в нанесении на поверхность крыла миниатюрных зубчиков, называемых дентикулами. Интересно, что кожа акулы покрыта естественными дентикулами, что демонстрирует приоритет природы над инженерами в открытии способа снизить сопротивление среды.

Хотя она изучалась крайне интенсивно, турбулентность, возникающая при движении мяча или крыла самолета, по-прежнему остается одной из самых больших тайн математики. Есть хорошая новость: мы сумели написать уравнения, определяющие поведение воздуха или жидкости. Плохая новость состоит в том, что никто не знает, как их решать! Эти уравнения важны не только для личностей вроде Бекхэма и Карлоса. Многим нужно решать их: синоптикам – чтобы предсказывать воздушные потоки в атмосфере, врачам – чтобы понимать кровообращение в теле, а астрофизикам – чтобы разобраться в эволюции звезд в галактиках. Все эти явления контролируются одной и той же математикой. В настоящее время метеорологи, конструкторы и другие пользуются лишь приближенными методами, но, поскольку за этими уравнениями прячется хаос, небольшая ошибка может сильно повлиять на результат – и предсказания будут совершенно ошибочны.

Эти уравнения называются уравнениями Навье – Стокса в честь сформулировавших их двух математиков XIX в. Их нельзя назвать простыми. Распространенная форма записи этих уравнений выглядит так:

Если вам незнакомы некоторые из символов в этих уравнениях, не печальтесь – немногие люди понимают их! Но для тех, кто сведущ в языке математики, эти уравнения играют ключевую роль в предсказании будущего. Они настолько важны, что первому человеку, решившему их, будет вручена премия в миллион долларов.

Великий немецкий ученый Вернер Гейзенберг, один из создателей квантовой физики, однажды сказал:

Когда я предстану перед Богом, то задам ему два вопроса: почему относительность? И почему турбулентность? Полагаю, на первый вопрос у него найдется ответ.

Когда Роберто Карлоса спросили, как он раскрыл секрет настолько феноменальных обводящих ударов, он ответил:

Я работал над точностью моих штрафных ударов с детства. После каждой тренировки я оставался еще на час, чтобы поупражняться в выполнении штрафных. Как и во всем остальном: чем больше боли и пота, тем больше достижений.

Думаю, то же самое относится и к математике. Чем труднее задача, тем больше будет удовлетворение, когда вы справитесь с ней. Если занятия математикой станут невыносимо тяжелы, вспомните слова Роберто Карлоса: «Чем больше боли и пота, тем больше достижений». И, когда вы окончательно решите одну из величайших математических загадок всех времен, каждый будет думать подобно Бартезу, глядящему на мяч в сетке своих ворот: «Как ему такое удалось?!»