1. Классический анализ

В конце XIX — начале XX в. физика и естествознание в целом переживали трудный период в своем развитии. Новые открытия ученых-физиков не находили объяснения в рамках привычных представлений. Появились сомнения в объективной ценности научных знаний, вновь была поставлена под сомнение возможность объяснения пока непонятных явлений природы. Господствующей философией становится «физический идеализм» (махизм) с вытекающими из него представлениями о первичности сознания и вторичности материи.

Махизм имел и другой, социальный аспект. Подрыв веры в науку тормозил развитие общественного сознания людей. Отрицание объективной закономерности научных законов порождало пассивность, сковывало попытки разобраться в закономерностях развития общества и найти пути изменения существующего строя, основанного на эксплуатации трудящихся. Объективно махизм являлся идеологией господствующего класса, пытающегося новые научные открытия поставить себе на службу. Поэтому философское осмысление существа новых открытий в физике, защита от ревизии основных положений материалистической диалектики стали в эти годы необходимыми. В 1908 г. В. И. Ленин работает над книгой «Материализм и эмпириокритицизм», суть которой составляет защита научных открытий от нападок «новейших» псевдонаучных философских концепций. Книга вышла из печати в 1909 г. в период острейшей полемики вокруг новых открытий в физике.

В этой работе В. И.Ленин дает высокую оценку позиции, занимаемой Л. Больцманом в споре с махистами: «Из немецких физиков систематически боролся против махистского течения умерший в 1906 году Людвиг Больцман. Мы уже указывали, что “увлечению новыми гносеологическими догмами” он противопоставлял простое и ясное сведение махизма к солипсизму».

В подтверждение этого тезиса неоднократно В. И.Ленин приводит цитаты из научных работ Больцмана.

Например: «Теория есть “изображение” (или: снимок) с природы, с внешнего мира. Тем, кто говорит, что материя есть только комплекс чувственных ощущений, Больцман указывает, что тогда и другие люди суть только ощущения говорящего». В. И. Ленин отмечает, что ощущение есть субъективный образ объективного мира, что факт реальности сознания не дает права отождествлять сознание с материей, считать мысль материальной.

Разрабатывая учение о познаваемости мира, В. И. Ленин пишет, что новые открытия в физике никоим образом не подрывают основы материалистического мировоззрения. Развитие науки показало лишь ограниченный характер существующей до сих пор физической картины мира. «В теории познания, — пишет Ленин, — как и во всех других областях науки, следует рассуждать диалектически, т. е. не предполагать готовым и неизменным наше познание, а разбирать, каким образом из незнания является знание, каким образом неполное, неточное знание становится более полным и более точным». Поиск истины — это сложный и противоречивый процесс развития знания. Разрабатывая учение о познании как о процессе развития относительной истины в абсолютную, Ленин отмечал, что «…человеческое мышление по природе своей способно давать и дает нам абсолютную истину, которая складывается из суммы относительных истин. Каждая ступень в развитии науки прибавляет новые зерна в эту сумму абсолютной истины, но пределы истины каждого научного положения относительны, будучи то раздвигаемы, то суживаемы дальнейшим ростом знания». Подтверждением этого может служить научное творчество Л. Больцмана, неустанный процесс прибавления «новых знаний в сумму абсолютной истины». Как не хватало многим специалистам-физикам такой ясности диалектического мышления, этой классической формулировки существа процесса познания.

Говоря о «кризисе физики», В. И. Ленин пишет, что «…современная физика… идет к единственно верному методу и единственно верной философии естествознания не прямо, а зигзагами, не сознательно, а стихийно, не видя ясно своей “конечной цели”, а приближаясь к ней ощупью, шатаясь, иногда даже задом». Ленин подчеркивает, что несмотря на все усилия махистов, несмотря на идеалистические ошибки ученых естествознание не удастся свергнуть с материалистического пути. Принципы материализма прочно лежат в основе науки. Стихийные, философски не оформленные убеждения большинства естествоиспытателей в существовании объективной реальности, в объективной истинности познания В. И. Ленин называл естественно-историческим материализмом. К его сторонникам он с полным правом относил Л. Больцмана, отмечая, что «якобы “новую”, “феноменологическую” точку зрения Маха и К° этот физик вполне заслуженно третирует как старую нелепость философского субъективного идеализма».

Высокая оценка материалистической позиции Больцмана, данная В. И. Лениным, была первой победой великого физика, победой на трудном и, казалось бы, несвойственном ученому-теоретику поле борьбы — острой полемики по основным философским вопросам естествознания. Однако наука, как часть общей культуры общества, не может уйти от обсуждения этих коренных вопросов. Задолго до решения чисто физических проблем, связанных с творениями Л. Больцмана, В. И. Ленин показывает его правоту как философа. Книга В. И. Ленина «Материализм и эмпириокритицизм» и поныне вооружает ученых единственно верным научным мировоззрением — материалистической диалектикой.

 

2. Атомы существуют!

Как роковую несправедливость истории науки можно воспринимать то, что Л. Больцман не дожил до осуществления решающих опытов, неопровержимо доказавших реальность существования атомов, результаты которых были истолкованы на основании полученной им барометрической формулы (13). Два года отделили его смерть от полного признания его идей! Как это мало и как долго шел ученый к этому, как много сил затратил он в борьбе за признание их справедливости. Как не хватало Больцману в его ожесточенной дискуссии с представителями различных идеалистических группировок в физике именно этих принципиальных опытов, дающих исследователю столь желанное для него «счастье чувственного восприятия».

Название «решающие» дается таким опытам не случайно. Они подводят черту под множеством исследований того или иного явления, окончательно раскрывая его сущность. К таким опытам можно отнести эксперименты Г.Галилея по измерению ускорения свободного падения, опыты А. А Майкельсона, доказавшие отсутствие эфира, опыты Р. Милликена по определению заряда электрона и т. д. На основании этих опытов рождались новые физические теории — теория всемирного тяготения И. Ньютона, теория относительности А. Эйнштейна. Опыты Р. Милликена дали подтверждение того, что электричество имеет зернистую, дискретную структуру. Это было убедительным доказательством плодотворности атомистических представлений для физики. Опыты по доказательству существования атомов были выполнены в 1908 г. французским ученым Ж. Перреном, и, поскольку они имеют самое непосредственное отношение к теме книги, следует рассказать о них несколько подробнее.

Одним из самых удивительных явлений природы является так называемое броуновское движение. Оно названо так в честь английского ботаника Р. Броуна, открывшего его в 1827 г. Наблюдая в микроскоп взвесь цветочной пыльцы в воде, он заметил, что мельчайшие частицы находятся в непрерывном движении. Траектории частиц были весьма причудливы (см. рис. 3). Движение частиц пыльцы носило ярко выраженный хаотический характер, причина происхождения этого движения была неясной. Многочисленные объяснения броуновского движения не выдерживали проверки временем. Например, сначала было выдвинуто предположение о том, что это движение присуще только частицам органического происхождения (пыльца) и что они движутся за счет присущей им некоей «жизненной силы». Но очень скоро было показано, что такое движение присуще вообще всем малым частицам, находящимся во взвешенном состоянии в жидкости. Броуновское движение пытались связать с дрожанием опор лабораторного стола, на котором находился микроскоп, с влиянием падающего на частицы света, с неравномерным нагревом жидкости, но все эти объяснения были отвергнуты как необоснованные.

Первой правильной догадкой, объясняющей происхождение броуновского движения, было высказанное в 1863 г. О.Винером предположение о том, что его следует связывать с внутренними движениями, присущими самой жидкости. В последующие годы ряд исследователей, в частности в 1888 г. Л. Гюи, показали, что причиной броуновского движения является тепловое движение молекул жидкости, приводящее к столкновению их со взвешенными в жидкости малыми частицами. Это объяснение имело принципиально важное значение для науки, ибо давало в руки исследователям первое наглядное свидетельство теплового движения частиц материи. Однако и оно еще долгое время было уязвимым, поскольку гипотезой являлось существование самих молекул. Достаточно было отрицать их реальность, как это делали Мах, Оствальд и другие, чтобы броуновское движение вновь превратилось в загадку.

У сторонников объяснения броуновского движения на основе теплового движения частиц жидкости, постулируемого молекулярно-кинетической теорией, вскоре нашлись и экспериментальные подтверждения этого. Было установлено, что интенсивность броуновского движения возрастает с увеличением температуры жидкости и с уменьшением массы взвешенных частиц. Постепенно складывалось объяснение явления. В случае большой поверхности взвешенной в жидкости частицы удары молекул о нее, являющиеся причиной движения, не производят никакого действия на взвешенное тело, так как в общем они равномерно толкают тело со всех сторон. При уменьшении массы тела (и, соответственно, его поверхности) удары молекул не уравновешиваются, на частицу со стороны жидкости будет действовать сила, которая по модулю и направлению хаотически меняется. Развитая теория допускала и экспериментальное подтверждение: как только мы докажем совпадение наблюдаемых на опыте отклонений и скоростей броуновских частиц с предсказаниями молекулярно-кинетической теории, мы докажем тем самым и справедливость самой молекулярной теории. Вырисовывались перспективы экспериментального доказательства существования молекул, т. е. подтверждение справедливости дела, которому посвятил всю свою жизнь Людвиг Больцман. Задача состояла теперь в разработке количественной теории броуновского движения.

Первую количественную теорию этого явления создал в 1905 г. А. Эйнштейн. Свой интерес к броуновскому движению он объяснял возможностью проверки справедливости (или ошибочности) молекулярно-кинетической теории. Примечателен подход Эйнштейна к решению задачи. Поскольку все имевшие место до него попытки определения средней скорости движения броуновских частиц были безрезультатны (средняя скорость резко менялась по модулю и направлению, не стремясь к какому-либо пределу при увеличении длительности наблюдений), Эйнштейн выбирает в качестве основной характеристики движения смещение броуновских частиц. Предположив далее, что движение взвешенных частиц полностью хаотично, используя статистику Максвелла — Больцмана, он получил среднее квадратичное смещение частиц вдоль оси x:

где R — универсальная газовая постоянная, t — время, Т — абсолютная температура, N A — постоянная Авогадро, η — коэффициент вязкости, r — радиус броуновской частицы. Поскольку все величины, входящие в эту формулу, определяются экспериментально, из анализа движения броуновских частиц можно вычислить постоянную Авогадро. Сравнение этого значения N A с данными, полученными из других опытов явилось бы в случае совпадения веским аргументом в пользу справедливости молекулярно-кинетической теории. «Если бы какому-либо исследователю удалось вскоре разрешить поднятые здесь важные для теории теплоты вопросы!» — восклицает Эйнштейн в одной из своих работ.

Прежде всего необходимо было проверить справедливость применения к движению броуновских частиц постулата Эйнштейна о полной хаотичности движения. Идею такой проверки предложил французский физик П. Ланжевен. Для этого надо было расположить в одной точке начало всех смещений броуновских частиц. Если их движение нерегулярно, т. е. подчиняется законам случайности, то концы смещений частиц должны располагаться вокруг их общего центра точно так же, как располагаются при стрельбе вокруг центра мишени попадания пуль. Ж. Перрен выполнил эти исследования. Он проводил в освещенной камере измерения последовательных положений одной и той же броуновской частицы через равные промежутки времени. После 500 измерений он выполнил предлагаемое Ланжевеном геометрическое построение и получил картину, изображенную на рис. 13. Основной постулат Эйнштейна о применимости статистических представлений к анализу движения броуновских частиц получил полное подтверждение. Вслед за этим Перрен и его сотрудники провели вычисления постоянной Авогадро. Рассчитанные ими значения Na совпали со значениями, полученными при использовании других методов, что также подтверждало справедливость теории Эйнштейна. Теперь можно было думать о постановке решающих опытов, называемых experimentum cruris (лат.), доказывающих реальность существования мельчайших структурных единиц материи — молекул и атомов.

Рис.13. Положение концов смешений броуновских частиц  

Эти опыты выполнили в 1906-1908 гг. Ж. Перрен со своими сотрудниками. Идея опытов проста. Анализируя предположения молекулярно-кинетической теории, Перрен пришел к выводу, что ее результаты применимы не только к молекулам жидкости, но и к броуновским частицам, которые можно рассматривать как большие молекулы. При этом распределение броуновских частиц по высоте должно описываться найденной Больцманом барометрической формулой (13) с заменой в ней массы молекул на массу броуновской частицы. Так как броуновские частицы можно непосредственно наблюдать в микроскоп, изучение их распределения по высоте должно было соответствовать этой формуле, т. е. подтвердить или опровергнуть выводы молекулярно-кинетической теории, дать решающие заключения о реальности существования молекул.

Рис.14. Уменьшение концентрации броуновских частиц с высотой

Эксперименты Перрена были весьма трудоемкими и требовали предельной тщательности. Ученый растер в воде желтую краску — гуммигут. Под микроскопом было видно, что в подкрашенной воде находится огромное число желтых шариков различных размеров, твердых и не слипающихся друг с другом. При длительном вращении на центрифуге Перрену удалось отделить порции шариков краски с одинаковыми по размеру зернами. Помещая каплю раствора с зернами гуммигута между двумя горизонтальными стеклами, Перрен наблюдал с помощью микроскопа явное уменьшение взвешенных частиц с высотой, предсказываемое молекулярно-кинетической теорией (см. рис. 8 б). Фокусируя микроскоп на отдельные слои, можно было сфотографировать, а затем подсчитать число частиц в каждом слое. На рис. 14 показаны такие фотографии.

Для выполнения количественных подсчетов Перрен взял четыре слоя, отстоящие друг от друга по вертикали на 5, 35, 65, 95 мкм. Число частиц в слое I, лежащем на высоте h1, в соответствии с формулой (13) равно

n 1 = n 0 exp (βmgh 1 ) = п 0 ехр(-3P h 1 /2E),

где Е — средняя кинетическая энергия броуновской частицы, P — ее вес. Аналогично для слоя II получим:

n 2 = п 0 ехр(-3P h 2 /2E).

Из отношения

n 1 /n 2 = exp[- 3 / 2 ∙P( h 1 - h 2 )/E]

нетрудно получить выражение для определения средней кинетической энергии броуновских частиц:

В последнем выражении n1 и n2 определяются экспериментально при непосредственном подсчете числа частиц, разность h 2 — h 1 измеряется по сдвигу микрометрического винта микроскопа. Вес броуновских частиц можно определить по формуле

где ρ0 — плотность воды. Радиус частиц r можно получить, измеряя их скорость падения в воде:

Непосредственно скорость падения отдельных частиц определить нельзя, так как они находятся в хаотическом броуновском движении. Перрен обходит эту трудность следующим способом: эмульсия, налитая в высокий и узкий сосуд, предварительно размешивалась, для того чтобы броуновские частицы распределились в нем равномерно по высоте. Скорость частиц v определялась по скорости оседания границы помутнения. Таким образом были найдены все необходимые для определения г величины, а затем была подсчитана и постоянная Авогадро.

Число зернышек краски в пяти слоях оказалось равным, по данным опытов Перрена, соответственно 100, 47, 22, 6 и 12. Ученый сравнил эти числа с распределением, даваемым формулой Больцмана (13): 100, 46, 23, 11 и 1. Там, где число броуновских частиц было велико (в нижних слоях эмульсии), совпадение теории с экспериментом было полным! Отклонение же числа частиц от теоретического значения при малом числе частиц не должно смущать читателей, ибо согласно законам теории вероятностей именно в области малых чисел отклонения числа частиц от средних значений могут быть значительными (подробнее о теории флуктуации мы поговорим в следующем параграфе).

Повторение опытов с частицами другой природы и другими жидкостями также подтверждали справедливость предсказаний молекулярно-кинетической теории. Эмоциональную атмосферу этих экспериментов передают слова Перрена о том, что он «испытал сильное волнение, когда после первых попыток… получил те же числа, к которым кинетическая теория приходила совершенно другим путем». «Становится весьма трудным отрицать объективную реальность молекул. Атомная теория торжествует, — пишет он в вышедшей в 1912 г. своей монографии “Атомы”, — многочисленные ее противники признают себя побежденными и один за другим отрекаются от того недоверия, которое представлялось им долгие годы законным».

Эксперименты Перрена завершили длившийся со времен Демокрита спор о строении вещества. Читатели этой книги знают, сколь упорным и долгим он был, сколько трудностей ожидало сторонников атомистической теории, независимо от рассматриваемого периода времени. Последней жертвой спора был Л. Больцман. Но эти труды были не напрасны. Они вооружили человечество знанием сокровенных тайн мироздания, дали человечеству ключ к разгадке новых и удивительных тайн природы. После опытов Перрена не признавать атомистику означало идти против очевидных фактов. Один из самых яростных противников атомистики и теории Больцмана В. Оствальд уже в 1908 г. пишет: «Совпадение броуновского движения с требованиями кинетической гипотезы дает право теперь самому осторожному ученому говорить об экспериментальном доказательстве атомистической теории материи. Таким образом, атомистическая теория возведена в ранг научной, прочно обоснованной теории!»

Впрочем, и Э. Мах также вынужден был впоследствии признать существование атомов. Его убедили в этом опыты, когда испускаемые при радиоактивном распаде α-лучи (позже было установлено, что ими являются двукратно ионизованные атомы гелия He++) можно было непосредственно наблюдать, так как при попадании на экран, покрытый сернистым цинком, они вызывали яркую вспышку. Этот прибор получил название спинтарископа. С. Мейер рассказывает: «Одним из самых волнующих воспоминаний останется для меня тот случай, когда Мах после демонстрирования спинтарископа вместо обычных незначительных упрямых возражений скромно заявил: “Теперь я верю в существование атомов”. Так в течение нескольких минут подверглось изменению целое мировоззрение!»

Вместе с признанием реальности существования атомов и молекул резко меняется отношение физиков ко всему созданному Л. Больцманом. Его труды объявляются классическими (рис. 15), а созданная им и другими исследователями кинетическая теория газов перестает быть только теорией газов — она становится кинетической теорией материи! Атомная теория побеждает окончательно. Ее значение для развития науки мне хотелось бы подчеркнуть с помощью слов американского физика-теоретика Р. Фейнмана: «Если бы в результате какой-то мировой катастрофы все накопленные научные знания оказались бы уничтоженными и к грядущим поколениям живых существ перешла бы только одна фраза, то какое утверждение, составленное из наименьшего количества слов, принесло бы наибольшую информацию? Я считаю, что это — атомная гипотеза».

Рис. 15. Труды Л. Больцмана  

 

3. Закономерность случайного

Исследования броуновского движения подтвердили справедливость основной идеи, положенной Л. Больцманом в основу всех его исследований — гипотезы об атомах. В физике произошло грандиозное событие — гипотеза перестала быть гипотезой, она стала теорией. Можно было смело идти по пути, намеченному великим теоретиком, развивать идеи, высказанные им, углублять задуманный им план переосмысления фундаментальных физических положений.

Одним из фундаментальных результатов, полученных Больцманом, была вероятностная трактовка термодинамических процессов, в частности второго закона термодинамики. Многим ученым было трудно поверить в то, что этот фундаментальный закон может нарушаться, допускать исключения. И все же Больцман оказался правым и в этом предвидении. Уже в 1912 г. ученик Больцмана польский физик М. Смолуховский выступает на одном из физических съездов с докладом, само название которого является примечательным: «Доступные наблюдению молекулярные явления, противоречащие обычной термодинамике», в котором говорит: «Лет десять тому назад было бы большим риском отзываться здесь с таким неуважением о традиционном понимании термодинамики. Однако в настоящее время, во-первых, мы уже не относимся с таким почтением к догмам и, во-вторых, произошел огромный сдвиг в оценке значения кинетической атомистики и термодинамики». За этими словами стояли исследования как самого М. Смолуховского, так и других ученых, развивающие и углубляющие намеченные Больцманом контуры новой теории — статистической физики.

Неоднократно на страницах нашей книги мы говорили о противоречии между обратимостью механических процессов и необратимостью тепловых. Эта необратимость состоит в закономерном переходе любой термодинамической системы из первоначального неравновесного состояния в равновесное. Казалось бы, что в этом нет ничего удивительного, каждый знает, что, когда мы под влиянием тех или иных жизненных коллизий начинаем нервничать, это состояние стресса рано или поздно проходит. (Я не имею в виду случаи патологии.) Однако вопрос можно поставить и несколько глубже: что является первопричиной начального «возбужденного» неравновесного состояния? В нашем примере — это жизненные коллизии, а в случае физической системы? Это может быть воздействие извне. Тогда что же удивительного в том, что при прекращении этого воздействия система приходит в равновесие? Однако существует еще одна, принципиально важная причина, вызывающая отклонение системы от равновесного состояния, на которую впервые обратил внимание Больцман. Речь идет о допускаемых теорией вероятности и статистической теорией мгновенных случайных отклонениях системы от равновесного состояния, называемых флуктуациями. Если молекулярно-кинетическая трактовка верна, то вследствие вероятностного характера процессов в системе, хаотичности движения молекул мы вправе ожидать, например, отклонения числа молекул в данном месте сосуда от средних значений, предсказываемых статистикой. Исследование этих флуктуации открывает широкие возможности для подтверждения статистической теории и определения границ применимости второго закона термодинамики. Этим проблемам посвятил свою научную жизнь М. Смолуховский. Его труды явились подтверждением справедливости больцмановских идей.

Смолуховский подвергает глубокому анализу само понятие «необратимость». Вспомним, что Больцман рассчитывал время возвращения молекулярной системы в первоначальное состояние и указывал, что в силу громадного числа частиц в системе это время настолько велико (по сравнению с человеческой жизнью!), что вероятность возврата можно практически считать равной нулю. Смолуховский развивает и конкретизирует эту мысль. «Представляется ли нам какой-либо процесс обратимым или необратимым, а это ведь является основным пунктом всего вопроса, зависит не от рода процесса, а только от начального состояния и продолжительности наблюдения», — пишет он. Решающим в критерии обратимости является отношение времени «обращения» и наблюдения. Можно привести простые расчеты, иллюстрирующие это.

Пусть в начальный момент времени N молекул газа равномерно заполняют весь предоставленный им сосуд. Вычислим, за какое время они в результате своего движения могут собраться лишь в левой половине сосуда с вероятностью, равной 0,9. Естественно, что вероятность того, что при одном измерении одна из молекул окажется в левой половине, равна 1/2, две молекулы — (1/2)2, а вероятность нахождения N молекул в левой половине при одном измерении равна (1/2)N. Вероятность того, что при одном измерении в левой половине сосуда не окажется N молекул, равна, очевидно, 1 — (1/2)N, а при n измерениях — [1 - (1/2)N]n. Тогда вероятность того, что после n измерений N молекул окажется в левой половине сосуда, равна

Так как w по условию равно 0,9, то

а так как число молекул N велико, то

ln (1 - 1/2 N ) ≈ -1/2 N и n = 2 N .

Если измерения проводить через каждые Δt с, то N молекул с вероятностью 0,9 окажутся в левой половине сосуда через время τ = nΔt.

Пусть Δt = 1 с, тогда τ = 2 N . Видно, что время возвращения чрезвычайно быстро растет с увеличением числа частиц, участвующих в процессе. Например, если N = 5, то τ = 32 с (процесс явно обратим в силу своей наблюдаемости), если N = 100, τ = 1032 с, а при реальных значениях N = 1019 (число Лошмидта), время сбора всех частиц в левой половине сосуда с указанной вероятностью велико, оно равно (210)19. Очевидно, что такой процесс мы никогда не сможем наблюдать, он представляется нам существенно необратимым. Причину необратимости тепловых процессов Смолуховский видит именно в этом: «Это свойственно только людям, и то только потому, что они сами случайно имеют размеры, много больше, чем размеры молекул. Если бы люди имели размеры порядка микромира и при этом обладали еще разумом, то они не смогли бы открыть второе начало». Понятие необратимости перестало висеть дамокловым мечом над физическими исследованиями, наоборот, оно приобрело благодаря этим глубоким исследованиям новое звучание, новые краски, давшие этому понятию неожиданную физическую прелесть.

М. Смолуховский утверждает, что предсказываемые статистической теорией флуктуации плотности должны быть связаны с конкретными физическими явлениями. Он анализирует опыты шведского ученого Т. Сведберга, который экспериментально определил относительную частоту появления в поле зрения сильного микроскопа числа броуновских частиц, отличающегося от равновесного. Результаты совпали с предсказаниями теории. Вскоре Смолуховский объясняет и другое физическое явление, столь часто наблюдаемое всеми нами, а именно голубой цвет неба, который вызван рассеиванием света на флуктуациях плотности в верхних слоях атмосферы (вспомните об отклонениях числа частиц от теоретических значений в верхних слоях в исследованиях Перрена).

Статистика убедительно доказывает свою правоту. Случайность объективно присуща природе, она закономерна. Закономерно также появление новых форм жизни на Земле (эволюция) в результате случайных изменений (мутаций). Разрешается великий спор о причинах развития, длившийся еще с древнегреческих времен.

Успехи теории флуктуации возрождают интерес к космологической теории Больцмана, выдвинутой им в противовес теории «тепловой смерти» Вселенной. Эти споры не утихают и до сих пор, что само по себе доказывает плодотворность выдвинутой Больцманом идеи. И хотя довольно скоро обнаружились слабые места развиваемой им теории, заключающиеся в том, что вероятность такой гигантской флуктуации, как нахождение видимой части Вселенной в неравновесном состоянии, ничтожно мала, с некоторыми дополнениями теория Больцмана обсуждается и сейчас. Выдвинуты и другие точки зрения, основанные на учете гравитационного взаимодействия между телами, но также опровергающие теорию «тепловой смерти».

 

4. «Статистика знает все»

Теоретические и экспериментальные работы дали убедительные доказательства справедливости применения статистических представлений к анализу ряда физических явлений. Теперь можно смело говорить, что победу в остром и принципиальном споре одержал Больцман. Однако значение сделанного им не ограничивается рамками только теории газов. Духу великого теоретика было свойственно стремление к широкому обобщению полученных результатов. В этом плане можно выделить его работы, в которых он разрабатывал основы применения статистики не только к идеальному одноатомному газу, но и к реальным газам, молекулы которых обладают сложной структурой и имеют внутренние движения, и к капельно-жидким и твердым телам. Еще в 27-летнем возрасте Больцман опубликовал работу «Некоторые общие положения о тепловом равновесии», в которой предлагал метод нахождения средних значений для определенных механических систем. Эта работа вызвала интерес у Максвелла, опубликовавшего в 1879 г. исследование «О теореме Больцмана о среднем распределении энергии в системе материальных точек». К сожалению, Больцман не стал разрабатывать этот вопрос в общем виде, а посвятил основное время решению проблемы второго начала термодинамики. Систематическое развитие статистическая физика получила в трудах американского физика-теоретика Д. У. Гйббса, который опубликовал в 1902 г. фундаментальный труд «Основные принципы статистической механики, излагаемые со специальным применением к рациональному обоснованию термодинамики».

В книге Шббса статистическая физика представлена как особый раздел физических наук, изучающий свойства систем, состоящих из огромного числа частиц. Шббс выделяет заслуги Больцмана и Максвелла в этом вопросе. Он указывает, что своим рождением статистическая физика обязана молекулярно-кинетической теории вещества, но в то же время видит возможности гораздо большего применения ее методов, поскольку все окружающие нас тела являются макроскопическими собраниями большого числа частиц (атомов, молекул). Характерно, что, зная о полемике между Больцманом и его противниками, Гиббс осторожно замечает: «Тот, кто основывает свою работу на гипотезах, касающихся строения материи, стоит на ненадежном фундаменте. Затруднения этого рода удержали автора от попыток объяснения тайн природы и заставили его удовлетвориться более скромной задачей вывода некоторых более очевидных положений, относящихся к статистической отрасли механики. При этом здесь уже не может быть ошибки с точки зрения согласия гипотез с фактами природы, ибо в этом отношении ничего и не предполагается». Гиббс разрабатывает общую статистическую теорию, не прибегая к специальным гипотезам относительно природы частиц. Тем не менее он неявно все же использует атомистические представления. Интересно отметить, что в 1902-1905 гг. А. Эйнштейн получил ряд результатов, практически совпадающих с выводами Гиббса, с работой которого он в то время еще не был знаком. В то же время Эйнштейн был убежденным сторонником атомистической гипотезы.

В результате работ Больцмана, Максвелла и Гиббса статистическая физика к началу XX столетия была уже достаточно разработана. Результаты применения этой теории к анализу конкретных физических явлений не заставили себя ждать.

В 1900 г. немецкий физик П. Друде, пытаясь объяснить природу проводимости металлов, предложил гипотезу о наличии в металлах свободных электронов (в дальнейшем она нашла подтверждение). Логичным следствием из этой гипотезы было предположение о том, что свойства совокупности электронов можно описывать аналогично описанию свойств идеального газа, т. е. применять статистику. Друде применил к анализу электронных свойств металлов разработанные в молекулярно-кинетической теории понятия длины свободного пробега, тепловой скорости электронов и т.д. и нашел объяснение целому ряду фактов, связанных с проводимостью металлов. Электронная теория получила дальнейшее развитие в трудах голландского ученого X. А. Лоренца. В своем классическом труде «Теория электронов» он без всяких сомнений вводит атомистические представления в теорию Максвелла. Статистическая теория постепенно проникает в область электричества, завоевывая там одну позицию за другой.

В 1905 г. французский физик П.Ланжевен применил статистику Максвелла — Больцмана к анализу совершенно другого физического явления — магнетизма. Он исходил из того, что каждая молекула (атом) обладает магнитным моментом. Если бы все они были ориентированы параллельно друг другу, то вещество обладало бы значительным магнитным моментом. Осуществлению этого на практике мешает тепловое движение молекул. Ланжевену удалось найти теоретическое объяснение ряду экспериментальных явлений, относящихся к магнитным свойствам тел. Статистическая теория магнетизма в дальнейшем была уточнена и расширена П. Вейсом. П.Дебай применил статистику для объяснения поляризации диэлектриков.

Статистические методы с определенной модификацией в дальнейшем были применены и к анализу твердого и жидкого состояний вещества. Здесь выдающиеся результаты были получены в трудах советских ученых Я. И. Френкеля и H. H. Боголюбова. Ныне статистические методы широко используются при анализе различных явлений природы.

 

5. Свет новых далей

Мы расскажем здесь о том, как непосредственное участие Больцмана в решении одной крупнейшей физической проблемы привело впоследствии к рождению новой физики — физики XX столетия, физики микромира, или, как ее называют, квантовой механики. Это потребовало полного отказа от представлений классической физики, которую Больцман так успешно развивал и защищал. Открытие произошло под влиянием достигнутого и сделанного Больцманом.

Речь пойдет о проблеме, до сих пор лишь бегло упоминавшейся на страницах этой книги, а именно о проблеме теплового излучения. Вы знаете, что нагретые тела излучают энергию. Это может быть тепло хорошо протопленной печи, свечение спирали электрической плитки, свет, испускаемый лампой накаливания, тепловое излучение Солнца, в недрах которого температура достигает миллионов градусов. Хорошо известно также, что различные тела обладают способностью в большей или меньшей степени поглощать свет. Например, оконное стекло почти не поглощает света, но стоит сдвинуть шторы, как в комнате становится сумрачно — свет поглощается материалом штор. Сильно поглощающие свет тела кажутся нам черными, примером такого тела является сажа. Ученые-физики не могли пройти мимо проблемы изучения и объяснения закономерностей излучательной и поглощательной способностей различных тел.

Одним из исследователей этой проблемы был немецкий физик Г. Кирхгоф, в лаборатории которого в свое время проходил стажировку и Л. Больцман. Кирхгоф еще в 1859 г. установил следующее правило: когда какая-либо физическая система приходит в тепловое равновесие, поглощаемая телом энергия и отдаваемая им в форме излучения становятся равны друг другу. Математически закон Кирхгофа записывается в следующем виде:

E(ν,T)/A(υ,T) = ε(ν,T),

где E(ν,T) — излучательная способность тела, зависящая от частоты излучения v и от температуры Т, A(v,T) — поглощательная способность тела, ε(ν,T) — введенная Кирхгофом универсальная, единая для всех тел функция.

Кирхгоф ввел в физику чрезвычайно важное понятие абсолютно черного тела, т. е. тела, поглощающего всю падающую на него энергию независимо от частоты излучения. Для такого тела

A(ν,T) = 1.

В природе таких тел нет, но в качестве аналога абсолютно черного тела можно использовать полость с небольшим отверстием, внутренние стенки которого хорошо проводят теплоту (рис. 16). В таком ящике излучение, попадающее внутрь полости, испытывает многократные отражения от стенок и в конце концов полностью поглощается. Кирхгоф обратил внимание на то, что для абсолютно черного тела А(у, Т) = 1 и функция ε(ν,T) приобретает физический смысл его излучательной способности. Найти явный вид этой функции в виде математического соотношения (формулы) — значило решить одну из задач физики излучения, поскольку функция ε(ν,T) едина для всех тел.

Рис.16. Модель абсолютно черного тела

Рис.17. Распределение энергии в спектре излучения абсолютно черного тела [5]  

Идею экспериментального определения функции ε(ν,T) предложил сам Кирхгоф. Из небольшого отверстия в стенке полости абсолютно черного тела надо вывести излучение, а затем разложить его в частотный спектр. Преодолев экспериментальные трудности, физики к началу XX в. уже знали экспериментальную зависимость ε(ν,T) (рис. 17).

Однако получить теоретическую формулу, совпадающую с полученными экспериментальными данными, долгое время никому не удавалось. С точки зрения истории развития физики эти трудности легко объяснить. Излучение долгое время представляло для ученых новый и трудный для изучения объект. Со времен Максвелла физики знали, что излучение имеет электромагнитную природу, но найти теоретический подход к описанию свойств излучения было непросто. Характерно, что для теоретического обоснования экспериментально полученного закона излучения абсолютно черного тела применялись термодинамические методы и принципы. Еще Кирхгоф применял для доказательства своего закона термодинамическое правило, согласно которому достигнутое в изолированной системе равновесие сохраняется сколь угодно долго и не может быть нарушено теплообменом между частями системы. Следовательно, излучающее тело можно представлять заключенным в оболочку постоянной температуры и непроницаемую для излучения. В результате теплообмена тело принимает температуру оболочки.

Важное место в исследованиях теплового излучения занимают труды учителя Больцмана Й. Стефана. По мере развития кинетической теории газов в середине XIX столетия резко возрос интерес к проверке развитой Д. Максвеллом теории теплопроводности газов. Стефан экспериментально установил полное соответствие опытных данных с предсказаниями теории, что справедливо рассматривалось тогда как один из важных аргументов в пользу справедливости молекулярно-кинетической теории. Логичным продолжением этих работ явилось опубликованное Й. Стефаном в 1874 г. исследование «О связи между тепловым излучением и температурой», где он, обратив внимание на имеющиеся в то время несовпадения экспериментальных результатов различных авторов, устанавливает, что полное количество теплоты Q, излучаемой с единицы поверхности в единицу времени, пропорционально четвертой степени температуры (закон Стефана):

Q ~ T 4 .

Этот закон позволял уже судить и о виде функции Кирхгофа.

Закон Стефана в течение десяти лет был обоснован только экспериментально. Его теоретический вывод дал в 1884 г. Л. Больцман. Прекрасно зная электромагнитную теорию Максвелла и глубоко веря в ее справедливость, Больцман воспользовался предсказываемым теорией выводом о существовании давления электромагнитного излучения, что, кстати, еще не было подтверждено экспериментально и поэтому оспаривалось многими учеными. (Существование светового давления экспериментально доказал русский ученый П.Н. Лебедев в 1899 г.) Больцман дал очень короткий и изящный вывод закона Стефана. Физики многих поколений рассматривали этот вывод как образец теоретической физики. Позже М. Лауэ оценил его как «триумф электромагнитной теории света». После теоретического обоснования закон Стефана стал называться законом Стефана — Больцмана:

Q = σT 4 . (15)

Постоянная

σ = 5,67∙10 -8 Вт/м 2 ∙K

и получила название постоянной Стефана — Больцмана.

Первую попытку определения теоретическим путем вида функции Кирхгофа предпринял русский физик В. А. Михельсон в 1887 г. Для этого ему необходимо было предположить определенный механизм возникновения излучения. По мнению Михельсона, излучение обязано своим происхождением колебаниям атомов излучающего тела, которые распределены по скоростям в соответствии с законом Максвелла — Больцмана. Идеи статистики впервые применяются к теоретическому анализу совершенно другого физического явления — теплового излучения. Качественно полученная Михельсоном зависимость ε(ν,T) соответствовала эксперименту, однако в дальнейшем было установлено наличие в работе Михельсона некоторых недостаточно обоснованных предположений.

Поиски функции Кирхгофа продолжались. Немецкий физик В. Вин распространил понятия энтропии и температуры непосредственно на тепловое излучение и, развивая идеи Михельсона, уточнил вывод функции Кирхгофа. По его мнению, излучение происходит от газовых молекул, «движущихся по законам вероятности». Полученная Вином зависимость имела вид

ε(ν,T) = (C 2 /λ 5 )∙exp(-C 1 /λT),

где C1 и С2 — некоторые постоянные.

Однако экспериментальная проверка полученного Вином соотношения показала, что оно описывает экспериментальные данные только в области коротких длин волн, но резко расходится с опытом при больших значениях ν.

Эти неудачи нисколько не останавливают исследователей. Английский физик Д. Рэлей делает очередную попытку найти теоретическим путем выражение для ε(λ,T). В основу своего расчета он положил доказанный Больцманом вывод о равномерном распределении энергии по степеням свободы, хотя правомерность применения этого принципа к тепловому излучению и оспаривалась рядом физиков. Предложенная им картина установления теплового равновесия в полости абсолютно черного тела была принципиально иной, а именно: он полагал, что при отражении излучения от стенок полости внутри нее возникает система стоячих волн (рис. 18). Естественно, что при этом в области малых длин волн (высоких частот) должно сосредотачиваться бесконечно большое количество энергии. Вывод Рэлея впоследствии был уточнен другим английским физиком Д. Джинсом, и полученное соотношение стало называться законом Рэлея — Джинса. Аналогичное выражение, но исходя из идеи возникновения электромагнитного излучения при столкновениях электронов с атомами металла, получил X. А. Лоренц. Однако и сравнение формулы Рэлея — Джинса с экспериментальными данными было также неутешительным. Формула была верна в области длинных волн, но не подтверждалась опытными данными для коротких (рис. 17). Постепенно становилось ясным, что классическая физика была не в состоянии решить проблему излучения абсолютно черного тела. В теории теплового излучения сложилась ситуация, которую П. Эренфест выразительно назвал «ультрафиолетовой катастрофой».

Рис.18. Механизм образования стоячих волн в плоскости абсолютно черного тела  

Решение проблемы излучения абсолютно черного тела нашел М. Планк. Отметим, что участие Больцмана в поисках Планка было столь большим, что по всей видимости позволяет назвать его соавтором решения.

Планк приступил к решению проблемы в 1897 г. В это время он был уже хорошо известен своими исследованиями в области термодинамики, но отнюдь не являлся сторонником идей Больцмана о вероятностном, статистическом характере второго начала термодинамики. Это было причиной негативного отношения Больцмана к Планку, поскольку последний, как он сам признавался, придавал «принципу возрастания энтропии применимость во всех без исключения случаях». Именно с этих позиций Планк пытался решить проблему излучения абсолютно черного тела. Его основная идея заключалась в том, чтобы чисто термодинамическим путем объяснить переход к равновесному состоянию системы излучателей (в принципе, их можно связать с атомами), взаимодействующей с электромагнитным излучением замкнутой полости. Это означало бы признание необратимого характера этого взаимодействия.

Много позже в своей работе «Научная автобиография» Планк напишет, что предположение о необратимости «вызвало энергичное возражение со стороны искушенного в этом вопросе Больцмана, который доказал, что по законам классической механики каждый из рассматриваемых мною процессов может протекать также в строго противоположном направлении». Больцман указывал Планку, что в уравнениях электродинамики нет ничего такого, что исключало бы обратные процессы. Больцмановская критика была конструктивной, великий физик подсказывал Планку пути выхода из тупика. Он их видел в привлечении к анализу излучения гипотез статистического характера. Приведем замечательные слова Больцмана: «Так же как и в теории газов, можно и в излучение ввести вероятное состояние, при котором волны не упорядочены, а различным образом взаимодействуют между собой». Больцман смело переносит идеи молекулярно-кинетической теории на процессы электромагнитного излучения. Планк в конце концов добился успеха именно на этом пути.

Но способ, которым шел Планк к успеху, был весьма необычным для теоретика. В 1900 г. он докладывает немецкому физическому обществу работу «Об одном улучшении спектрального закона Вина», в которой он «сконструировал совершенно произвольное выражение для энтропии и получил следующую двухконстантную формулу излучения:

которая, как можно видеть, значительно лучше соответствует опубликованным опытным данным». Этот доклад не вызвал особенного интереса у слушателей, поскольку путь получения новой формулы был совершенно неубедителен. Планк и сам сознавал это.

«Если бы даже формула излучения оказалась совершенно точной, — пишет он, — то она имела бы очень ограниченное значение, исключительно как удачно подобранное интерполяционное выражение. Поэтому я со дня установления этой формулы поставил себе задачей сообщить ей реальное физическое значение. Этот вопрос привел меня к изучению зависимости между энтропией и вероятностью, т. е. к больцмановскому ходу мыслей (выделено мной. — О. С). После нескольких недель наиболее напряженной за всю мою жизнь работы потемки прояснились и передо мной забрезжил свет новых далей».

Еще раз можно отметить направляющую роль Больцмана в прозрении Планка. Об этом же пишет в своей книге «По тропам науки» французский физик Л. де Бройль, вспоминая, что, когда Планк сообщил Больцману о своих первоначальных и неудачных попытках найти формулу излучения, тот ответил ему, что правильную теорию теплового излучения нельзя построить без введения в процессы излучения ранее неизвестного элемента прерывности (дискретности) излучения.

Планк придал реальность этой идее Больцмана, и скоро обнаружилась поразительная плодотворность перенесения атомистических представлений в теорию излучения. Планк ввел так называемую гипотезу естественного излучения, аналогично гипотезе молекулярного хаоса. Ее сутью является то, что отдельные волны, из которых состоит электромагнитное излучение, полностью некогерентны, или, что одно и то же, отдельные излучатели настолько удалены друг от друга, что они непосредственно не взаимодействуют между собой. Мерой энтропии построенной таким образом системы будет, следуя Больцману, число всевозможных «электромагнитно-различных» размещений энергии между излучателями системы. Но для того чтобы вычислить число этих размещений, Планк обязан был предположить, что полная энергия системы складывается из конечного числа элементарных порций энергии, которые он назвал квантами. Нетрудно видеть, что Планк повторяет путь Больцмана, предложенный в работе «Об отношении второго начала механической теории теплоты и исчисления вероятностей в соответствии с теоремами о тепловом равновесии» (1877), однако результат, полученный им, был совершенно иным.

В этой работе Больцман ввел предположение о дискретности энергии молекул лишь как вспомогательный математический прием, как «полезную фикцию». Значение минимальной порции энергии е в окончательные результаты не вошло, так как в ходе расчета Больцман устремлял ее к нулю. Больцман не вкладывал физического смысла в допущение о дискретности энергий молекул, а рассматривал это лишь как способ быстрого решения поставленной перед собой задачи. И все же Планк использует полученный в этой работе результат для определения вероятности состояния системы излучателей, поскольку «в гипотезах, лежащих в основании электромагнитной теории излучения, мы не имеем абстрактно никакого отправного пункта для суждения о такой вероятности». Планк, как и ранее Больцман, рассматривает распределение энергии конечными порциями — квантами — не как свойство самого излучения, а как результат взаимодействия излучения с веществом.

Энергию кванта Планк положил пропорциональной частоте излучения:

ε = hν,

где h — введенная им новая постоянная. Полученная в этом предположении формула в точности совпадала с полученным им же ранее выражением. Формула также прекрасно совпадала с экспериментальными данными, и из данных опыта Планк вычисляет значение h:

h = 6,62∙10 -34 Дж∙с.

Постоянная h начала свой путь в физике, ныне же она входит в число универсальных физических постоянных и носит название постоянной Планка.

В ходе теоретических исследований Планк совершенно строго получил формулу Больцмана (14), связывающую энтропию и вероятность, и вычислил значение входящего в нее коэффициента пропорциональности k:

S = klnw, где к = 1,38- 10~ 23 Дж-К -1 . (16)

Он же предложил называть постоянную к постоянной Больцмана, хотя, по его убеждению, «Больцман никогда не вводил этой константы и вообще не заботился об определении ее численного значения». Можно понять всю глубину уважения Планка к великому теоретику. Теперь константа Больцмана к занимает почетное место в ряду универсальных физических постоянных. Например, средняя кинетическая энергия частиц Е связана с температурой T соотношением

Е = 3 / 2 kТ.

Положение с признанием формулы Планка еще долгое время нельзя было назвать удовлетворительным. Несмотря на полное совпадение с экспериментом, ученых смущало то, что теоретические предпосылки, положенные в основу ее вывода, были в полном противоречии с классической физикой. Согласно классическим представлениям, обмен энергией между веществом и электромагнитным излучением мог происходить с непрерывным изменением энергии. Планковская гипотеза превращала этот обмен в прерывный, дискретный процесс. Энергия изменяется только порциями, квантами ε = hν. Именно поэтому вывод Планка был прохладно встречен большинством физиков. Сразу же и безоговорочно приветствовал успех Планка один лишь Больцман! Позже Планк писал, что ему доставило большое моральное удовлетворение то, что, ознакомившись с расчетами, Больцман выразил одобрение его гипотезы. Все же понятию о квантах энергии предстояло долгое время завоевывать себе признание.

Планк очень болезненно переживал предлагаемый им отказ от привычных классических представлений об обмене энергией. «Когда подумаешь о полном экспериментальном подтверждении, — пишет он, — которое получила электродинамика Максвелла в самых тонких явлениях интерференции, когда подумаешь о невероятных трудностях, которые повлек бы за собой отказ от нее для всей теории электрических и магнитных явлений, то испытываешь какое-то отвращение, когда сразу же разрушаешь ее основы». Много раз он тщетно пытался ввести постоянную h в рамки классической физики. В период между 1900 и 1905 гг. гипотеза Планка о существовании квантов энергии практически не обсуждалась физиками.

Первым ученым, который применил гипотезу Планка к анализу других физических явлений и показал ее плодотворность для физики, был А. Эйнштейн. В то же время он пошел значительно дальше Планка в осмыслении его гипотезы. Анализируя явление фотоэффекта (испускания электронов металлами под действием света), ученые долгое время не могли найти объяснение, почему энергия фотоэлектронов не уменьшается при удалении от металлической пластинки источника света (рис. 19).

Рис.19. Схема исследования фотоэффекта  

Если придерживаться волновой теории света, то при удалении источника уменьшается плотность энергии, падающей на пластинку, следовательно, можно ожидать и уменьшение энергии испускаемых электронов. Однако русский ученый А. Г. Столетов экспериментально установил, что энергия фотоэлектронов зависит не от интенсивности света, а лишь от частоты излучения ν. Удивительно простым, но находящимся в резком противоречии с классическими представлениями о волновой природе света было объяснение фотоэффекта А. Эйнштейном в 1905 г. Согласно его теории, источник света испускает кванты света определенной частоты — фотоны с энергией ε = hν, которые после испускания ведут себя как самостоятельные физические объекты. Естественно, что при этом их энергия никоим образом не зависит от удаления их от источника света. Эйнштейновское уравнение фотоэмиссии вскоре успешно прошло экспериментальную проверку. В физику вошло принципиально новое представление о квантах света — фотонах.

Быстрое экспериментальное и теоретическое подтверждение квантовой гипотезы показало ее исключительную плодотворность. Эти успехи можно несомненно рассматривать как триумф развиваемых Больцманом статистических идей. Вероятностные представления вскоре проникают в новые области физики — физику атомов и элементарных частиц. Вероятностный, статистический подход является единственно возможным для описания поведения каждой отдельной микрочастицы. Без преувеличения можно сказать, что лицо современной физики определяет именно статистическая физика.

* * *

Развитие физики блестяще подтвердило справедливость научных идей Людвига Больцмана. Нашли убедительные экспериментальные подтверждения представления об атомистическом строении материи. Глубоко прав был современник Больцмана А. Зоммерфельд, когда писал, что «квантовая теория была бы настоящим полем деятельности для атомистически устроенного больцмановского интеллекта».

С годами росло понимание величия вклада, сделанного Больцманом в развитие физики. В 1933 г. Вена взяла под свое попечительство его могилу на центральном кладбище. Ее украшает беломраморный бюст Больцмана, на постаменте выгравирована формула, впервые полученная им и являющаяся его высшим творческим достижением:

S = k∙ln w.

Вспоминая об изумительных по глубине мысли творениях великого физика, о его неимоверно трудной борьбе за признание справедливости созданного им, вспоминая о чистом и светлом образе рыцаря науки и ее труженика, закончим книгу о Людвиге Больцмане его же словами:

«Благодарю же тебя, дорогая тень, за то, что ты вела меня. Как легко было двигаться по крутым тропам науки при твоей заботливой поддержке. Вернись отгула, где ты пребываешь среди стольких великих душ, ты, один из величайших. Воистину, отдаленнейшие потомки наши отдадут дань восхищения великим мужам, которых породило наше столетие. Если что-либо может быть уподоблено этому восхищению, то разве лишь величайшее изумление — как то же самое столетие не смогло освободиться от такого изобилия смешного педантизма, бессмыслицы и глупых суеверий!»

Памятник Л. Больцману на центральном венском кладбище

* * *