Зачем мы «издевались» над простым и изящным законом Ньютона 1/R2? Дело в том, что, обращаясь к реальным небесным объектам, мы замечаем их отличие от идеальных сфер. Форма Земли или Солнца лишь в первом приближении похожа на сферу. Мы знаем, что Земля по причине вращения сплюснута вдоль полярной оси: расстояние между её северным и южным полюсами на 43 км меньше, чем между противолежащими точками экватора. Из-за этого, к сожалению, теорема Ньютона в точности не выполняется, и Земля притягивает к себе не как помещённая в её центре массивная точка, а по более сложному закону. Приблизительно этот закон можно записать в форме, подобной форме ньютоновского закона:
Где IნI << 1 — маленькая добавочка, которая может быть положительной или отрицательной в зависимости от формы тела. Нарушается простота ньютоновского закона, а значит, нарушается и простота взаимного движения тел. Как мы видели, орбиты тел получаются незамкнутыми и гораздо более сложными, чем эллиптические.
Действительно, наблюдая движение планет и их спутников, астрономы обнаружили, что все небесные тела движутся не в точности по эллипсам, а скорее по «розеткам». Разумеется, это никого не удивило, поскольку, начиная с Ньютона, учёные ясно понимали, что простой эллипс, как и сама задача двух тел — лишь первое приближение к реальности. Приняв во внимание взаимное притяжение планет, обращающихся вокруг Солнца, удалось почти полностью объяснить форму их орбит. Орбиты спутников, близких к своим
планетам, в основном искажаются из-за несферичности планет, а на движение далёких спутников (в их числе — наша Луна) решающее влияние оказывает Солнце.
Используя законы Ньютона, астрономы XVIII—XIX веков достигли высочайшего искусства в предвычислении траекторий планет. Если наблюдаемое движение планеты отклонялось от расчётного, то виновника возмущений искали не в основах теории, а на небе — среди неоткрытых космических тел. Триумфом в этой работе стало теоретическое открытие планеты Нептун, которую «на кончике пера» обнаружили в 1846 году французский астроном У. Леверье и англичанин Дж. Адамс в поисках виновника возмущений в движении Урана.
Однако уже в XIX веке этой идиллии пришёл конец: когда точность астрономических расчётов возросла ещё немного, оказалось, что теория Ньютона не стыкуется с наблюдениями. По иронии судьбы, обнаружил это недавний триумфатор — Леверье, решивший после открытия Нептуна построить наиточнейшую теорию движения всех планет. Такую теорию он действительно построил, т. е. разработал аналитическую схему предвычисления положения планет; однако не всё в этой схеме получило физическое объяснение. Например, ближайшая к Солнцу планета Меркурий движется по довольно вытянутой эллиптической орбите, поворот оси которой легко заметить. Обычно астрономы выражают этот поворот как скорость углового перемещения перигелия — ближайшей к Солнцу точки орбиты. Наблюдения показывают, что перигелий Меркурия поворачивается на 574" в столетие. Леверье доказал, что поворот на 531" за 100 лет вызван влиянием других планет — в основном Венеры, Юпитера и Земли. Это 93% от наблюдаемого эффекта; казалось бы, можно радоваться. Но оставшиеся 43" в столетие не давали астрономам покоя; сказывалась профессиональная гордость за пресловутую астрономическую точность [6-8].
Кстати, попробуйте сами догадаться, в каком направлении происходит движение перигелия Меркурия под влиянием окружающих планет. Для этого представьте все планеты «размазанными» вдоль их орбит. Меркурий при этом оказывается внутри кольца. Вспомнив теорему Ньютона о гравитации внутри сферы, определите характер поля внутри кольца. Теперь вам не составит труда найти знак 8 и, следовательно, знак выражения n —2. Теперь посмотрите на рис. 3. Скажу по секрету, что перигелий Меркурия вращается в положительном направлении, т. е. в сторону движения самой планеты.
Обнаружив неувязку в движении Меркурия, Леверье решил, что ему вторично улыбнулась удача, как в случае с Нептуном. Он вычислил параметры неизвестной планеты, которая могла бы находиться внутри орбиты Меркурия и дополнительно возмущать его движение.
Позже эту гипотетическую планету назвали Вулканом. Её искали, но не нашли. Поэтому в конце XIX веке небесная механика встала перед парадоксом; ньютоновская физика прекрасно объясняет движение всех тел Солнечной системы, кроме Меркурия.
Чтобы спасти физику, было предложено множество оригинальных гипотез; самые горячие головы даже покушались «на святое» — на закон гравитации Ньютона, предлагая его немного модернизировать. Действительно, движение Меркурия удавалось объяснить, если принять п = 2,00000016. Но чувство прекрасного не позволяло физикам без отвращения смотреть на закон гравитации в такой форме;
К счастью, пришёл Эйнштейн и объяснил, что теория Ньютона — это лишь первое (и очень хорошее!) приближение к описанию природы, но, на самом деле, движение тел и их гравитационное взаимодействие устроены гораздо сложнее, чем это казалось до начала XX века.
Теория Эйнштейна и сплюснутость Солнца
Вместо мелких поправок к ньютоновской теории Эйнштейн принёс с собой нечто совершенно новое, то, что мы сейчас называем общей теорией относительности (ОТО). К сожалению, эта теория очень сложна, и её нельзя представить в такой же замечательной форме, как ньютонову механику. Но зато она правильно описывает притяжение и движение тел. Когда на основе ОТО было вычислено движение Меркурия, в частности, поворот его эллиптической орбиты, то теория сошлась с наблюдениями с такой точностью, какую только могут дать современные астрономы. Даже значительно меньший эффект — поворот эллиптической орбиты Земли всего на 4" в столетие — весьма точно объясняется в рамках ОТО [9].
Однако скучно жить без проблем, поэтому в замечательном согласии эйнштейновской физики с астрономическими наблюдениями тоже был усмотрен парадокс. Суть его в том, что все расчёты, как по Ньютону, так и по Эйнштейну, проводились для сферического Солнца, как будто бы вся его масса в центре. А ведь Солнце вращается, поэтому сферическим оно быть не может. Мы в телескоп наблюдаем вращение его поверхности, которая делает один оборот за 25,4 сут. Если с таким же периодом вращаются и недра Солнца, то фигура его должна быть сплюснутой с относительной разностью экваториального и полярного радиусов Δr/r ≈ 10-5. Но, вообще говоря, внутренности
Солнца могут вращаться совсем не так, как поверхность; в астрономии этому есть немало примеров.
Ещё в 1960-е годы американский физик Роберт Дикке — один из создателей конкурирующей с ОТО релятивистской теории (скалярно-тензорная теория Бранса—Дикке) — обратил внимание на то, что формулы Эйнштейна используются для расчёта движения планет в предположении, что Солнце — шар, хотя это, очевидно, не так. А надо сказать, что даже для точечных и шарообразных тел вести расчёты на языке общей теории относительности — довольно трудоёмкое дело. Поэтому в первых расчётах, основанных на теории Эйнштейна, для облегчения вычислений все тела считались точками или шарами. А Дикке понял: раз Солнце вращается, значит нужно принять это во внимание и всё пересчитать заново! В 1960-е годы технические трудности релятивистских расчётов уже были преодолимы: появились компьютеры. Но нужно было точно знать, какова форма Солнца и как оно вращается. Теория Эйнштейна утверждает, что на силе притяжения объекта сказывается не только отличие его формы от идеального шара, но и характер вращения: даже у двух идеальных шаров тяготение будет разным, если один из них неподвижен, а другой вращается. Гравитационное поле вращающегося тела в рамках ОТО имеет «вихревой» компонент: оно не только притягивает соседнее тело, но и раскручивает его вокруг себя.
Рис. 4. Формы вращающихся тел. Указаны последовательности фигур равновесия несжимаемых, «жидких» тел (сплошные линии) и сжимаемых, газовых тел (пунктир). Оси вращения у всех фигур на рисунке расположены вертикально.
В 1969 году Роберт Дикке измерил форму Солнца и определил его сплюснутость Δr/r ≈ 10-5 Для медленно вращающегося Солнца это непомерно большая сплюснутость, но Дикке указал, что недра Солнца могут вращаться значительно быстрее поверхности. Если основная масса нашей звезды совершает оборот менее чем за 2 сут., то центробежная сила деформирует её именно так, как показали измерения Дикке [10]. В окрестности сплюснутого Солнца закон притяжения,
как мы знаем, отличается от 1 , причём не только в эйнштейновской, но и в ньютоновской теории. Если учесть классический вклад «солнечной фигуры» в движение перигелия Меркурия, то остающаяся релятивистская поправка уже не совпадает в точности с предсказанием ОТО, а скорее подтверждает (как вы уже, наверное, догадались) теорию гравитации Бранса—Дикке.
Правда, проведённые позже другими исследователями измерения фигуры Солнца не подтвердили его сильную сплюснутость. До конца эта проблема не решена до сих пор. Уже многие годы над ней работают астрономы и физики: одни изучают Солнце, измеряют скорость его вращения и степень сплюснутости, другие рассчитывают движение планет вокруг вращающейся и сжатой звезды. Обе эти задачи чрезвычайно интересны.
Жидкие тела вращения
Раз уж мы заговорили о вращающихся телах, о том, что их притяжение значительно сложнее, чем у точечных масс, поговорим же и о том, во что превращаются вращающиеся тела, если их раскручивать всё быстрее и быстрее. На рис. 4 показана довольно любопытная последовательность фигур равновесия самогравитирующих тел. Странным словом «самогравитирующее» обозначают тот факт, что тело подвержено только действию собственной силы тяжести, которой противостоит внутреннее изотропное давление. Рисунок построен в координатах “квадрат безразмерного углового момента j — квадрат безразмерной угловой скорости w”:
где М, р, J и Ω — масса, плотность, момент импульса и угловая скорость вращения тела. Линии на рисунке показывают решения уравнений равновесия, т. е. указывают, с какой угловой скоростью будет стационарно вращаться тело, обладающее определённым моментом импульса. Сплошными линиями указаны решения для жидких тел. Почему жидких? Это удобная абстракция: идеальная жидкость под давлением не меняет свою плотность, но при изменении вращения меняет форму: поверхность жидкости всегда перпендикулярна сумме всех действующих на неё сил (включая центробежные). При этом уравнения равновесия решаются сравнительно легко (р = const), а некоторые космические тела, например, планеты, действительно можно считать жидкими, поскольку их плотность слабо меняется с глубиной. Но для нормальных звёзд эта абстракция уже не подходит: плотность их вещества очень сильно меняется от центра к поверхности. Поэтому для них рассчитана последовательность фигур сжимаемых тел (фигуры Джинса).
Сначала представим себе совсем не вращающееся жидкое тело, обладающее гравитацией. Разумеется, оно шарообразно. Начнём раскручивать тело, сообщая ему всё больший угловой момент. При этом угловая скорость тела начинает расти, а его фигура становится всё более и более сплюснутым эллипсоидом вращения, который по традиции называют сфероидом Маклорена. Эволюционируя вдоль последовательности Маклорена, тело достигает точки максимума угловой скорости. При дальнейшем увеличении углового момента наш эллипсоид настолько уплощается, что начинает быстро возрастать его момент инерции (за счёт удаления массы от оси вращения), а угловая скорость вращения при этом уменьшается. Тело становится всё более плоским и похожим на диск.
Вам может показаться, что в приложении к космическим телам наше исследование лишено смысла: где это видано, чтобы кто-то раскручивал планету или звезду. Замечу, что иногда бывают ситуации, когда взаимодействие двух близких тел (например, планеты и её спутника) приводит к существенному изменению их момента импульса. Но чаще тела действительно сохраняют свой момент, однако заметно изменяют свою плотность. Например, в ходе формирования звезды из разреженного облака её размер уменьшается почти в миллион раз, а плотность возрастает в ~ 1017 раз! Математически это эквивалентно росту j. Докажите сами, что и движение вдоль последовательности Маклорена при этом происходит от шара к диску. Продолжим наш мысленный эксперимент.
На рисунке мы видим, что от последовательности фигур Маклорена в двух точках, называемых точками бифуркации, отходят новые кривые. Это также последовательности фигур равновесия, которые были открыты позже, чем сфероид Маклорена. Если мы сообщим телу момент импульса чуть больший, чем у первой точки бифуркации, и немножко возмутим его форму, оно может скачком превратиться из «тыквообразного» сфероида Маклорена в «дынеобразный» эллипсоид Якоби, т. е. станет не сплюснутым, а вытянутым и будет устойчиво вращаться вокруг оси, перпендикулярной направлению этой вытянутости. Если раскручивать тело сильнее, то оно будет становиться всё более вытянутым, пока не превратится в длинную спицу.
Вторая точка бифуркации на кривой Маклорена связана с превращением диска в кольцо. При определённом моменте выше критического диск становится неустойчивым: за счёт центробежных сил вещество из его серединки может в какой-то момент отскочить к периферии, и получится кольцо. Казалось бы, это математическая экзотика, но совсем недавно в космосе, среди формирующихся звёзд были обнаружены именно такие объекты.
На линии Якоби мы также видим точку бифуркации. У сильно вытянутого эллипсоида при моменте импульса больше некоторого критического вещество может из центра отойти к краям, создав в центре «перемычку», аналогичную дырке в кольце. Получается гантелеобразная фигура — гантель Пуанкаре.
Почти каждая из представленных здесь фигур носит имя известного математика или физика. Видите, как просто можно прославить своё имя в науке: достаточно найти новую фигуру равновесия вращающегося тела. Советую попробовать. Впрочем, пробовали уже многие: на рисунке представлены далеко не все возможные формы вращающихся жидких тел; но вы уже видите, насколько сложны могут быть эти формы. А ведь любая из них может быть присуща как планете, так и звезде; а это значит, что их соседи-спутники будут взаимодействовать не с материальной точкой, а например, вот с такой бешено вращающейся гантелью. Представляете, какая интересная задача для математика — исследовать движение спутника такой гантели?