Наша математическая вселенная

Тегмарк Макс

Часть III. Шаг назад

 

 

Глава 9. Внутренняя, внешняя и консенсусная реальности

 

Не-е-ет! Мой чемодан! Уже началась посадка на самолёт из Бостона в Филадельфию, куда я летел помочь в съёмках документального фильма Би-би-си о Хью Эверетте, и тут я обнаружил, что у меня пропал чемодан. Я побежал обратно к пункту досмотра.

— Нет ли у вас забытого чёрного чемодана на колёсиках?

— Нет, — ответил охранник.

— Как же нет? Да вот же он, мой чемодан!

— Он не чёрный, — сказал охранник, — а сине-зелёный.

Прежде я не догадывался о степени своей цветовой слепоты, и было ужасно осознавать, как много допущений относительно реальности — например, о моём гардеробе — были ошибочны. Как вообще я могу доверять тому, что мои чувства сообщают о внешнем мире? И если я не могу доверять им, как можно надеяться получить хоть какие-нибудь надёжные знания о внешней реальности? В конце концов, всё, что я знаю о мире и своих ненадёжных чувствах, я выяснил посредством этих самых чувств. Я оказываюсь на шатком эпистемологическом фундаменте, как заключённый, который всю жизнь провёл в одиночной камере и все представления о внешнем мире почерпнул из рассказов своего стража. Или: как я могу доверять тому, что моё сознательное восприятие сообщает о мире, если я не понимаю, как устроено сознание?

До сих пор мы опирались на физический подход к исследованию внешней физической реальности, окидывая взглядом трансгалактический макрокосм и всматриваясь в субатомный микрокосм, где природа вещей раскрывается через их фундаментальные «строительные блоки», например элементарные частицы. Однако всё, о чём у нас есть непосредственное знание, — это квалиа, фундаментальные «строительные блоки» нашего сознательного восприятия, такие как краснота розы, звук литавр, запах бифштекса, вкус мандарина, боль от укола. Так не следует ли нам изучить сознание, прежде чем мы сможем полностью понять физику? Я долгое время отвечал «да», полагая, что мы ни за что не отыщем неуловимую «теорию всего» для внешней физической реальности, пока не поймём, как устроен искажающий ментальный «объектив», сквозь который мы её воспринимаем. Но моё мнение изменилось, и в этой короткой главе-интерлюдии я хочу рассказать, почему.

 

Внешняя и внутренняя реальности

Возможно, вы подумали: «О’кей, Макс, но ведь я не дальтоник. И я прямо сейчас собственными глазами смотрю на внешнюю реальность, и это паранойя какая-то — думать, будто она не такая, какой кажется». Но сделайте следующее.

Эксперимент № 1. Покрутите головой влево и вправо.

Эксперимент № 2. Подвигайте глазами влево и вправо, не двигая при этом головой.

Заметили в первый раз ощущение, будто внешняя реальность поворачивается? А во второй — что она остаётся неподвижной, несмотря на то, что глазные яблоки в обоих случаях поворачивались? Ваш мысленный взгляд видит не внешнюю реальность, а модель реальности, содержащуюся в мозге! Глядя на изображение, записанное вращающейся видеокамерой, вы сразу понимаете, что она движется, как в эксперименте № 1. Но ваши глаза сродни видеокамерам, и эксперимент № 2 демонстрирует, что ваше сознание не воспринимает формируемые на сетчатке изображения непосредственно. Как хорошо знают нейрофизиологи, информация, полученная сетчаткой, подвергается чрезвычайно сложной обработке и служит для постоянного обновления детализированной модели внешнего мира, которая поддерживается в мозге. Оглядитесь ещё раз, и вы заметите, что благодаря этой сложной системе обработки информации ваша модель реальности является трёхмерной, хотя первичные изображения на сетчатке двумерные.

У меня нет выключателя возле кровати, так что часто я оглядываю спальню и препятствия на полу, а затем выключаю свет и в темноте иду к постели. Попробуйте сами: отложите книгу, встаньте, осмотритесь, а затем сделайте несколько шагов с закрытыми глазами. Вы ведь можете «видеть» или «ощущать», как предметы меняют своё положение относительно вас? Это обновляется ваша модель реальности, на этот раз с использованием информации о движении ваших ног. Мозг постоянно обновляет модель реальности, используя любую информацию, которую может получить, включая звук, тактильные ощущения, запах и вкус.

Назовём эту модель внутренней реальностью: это способ, которым вы субъективно воспринимаете внешнюю реальность. Эта реальность внутренняя также и по ощущению, что она существует лишь внутри вас. Сознание будто смотрит на окружающий мир, тогда как в действительности оно смотрит только на модель реальности в вашей голове, которая, в свою очередь, непрерывно следит за тем, что происходит вне мозга, посредством сложных процессов, которые протекают бессознательно.

Чрезвычайно важно не смешивать внутреннюю реальность и внешнюю реальность. Внутренняя реальность моего мозга подобна приборной панели в моей машине: это удобная сводка самой полезной информации. Точно так же, как приборная панель сообщает мне о скорости, уровне топлива, температуре двигателя и других важных вещах, которые должен учитывать водитель, приборная доска (модель реальности) моего мозга сообщает о скорости и положении тела, уровне голода, температуре воздуха, выделяет находящиеся вокруг предметы и другие важные обстоятельства, которые должен учитывать оператор человеческого тела.

 

Правда, вся правда и ничего, кроме правды

Однажды мне пришлось обратиться в автосервис по поводу того, что на приборной панели зажёгся индикатор «Проверьте двигатель», хотя он был в порядке. Подобным образом, есть много причин, по которым модель реальности человека может испортиться и начать отличаться от истинной внешней реальности, вызывая иллюзии (неправильное восприятие вещей, которые существуют во внешней реальности), упущения (невосприятие вещей, которые во внешней реальности существуют), галлюцинации (восприятие вещей, которых во внешней реальности нет). Если мы клянёмся под присягой говорить правду, всю правду и ничего, кроме правды, то надо иметь в виду, что наше восприятие может нарушать все три этих обязательства из-за иллюзий, упущений и галлюцинаций.

Так что, говоря метафорически, в ситуации с индикатором «Проверьте двигатель» мой автомобиль галлюцинировал или испытывал фантомную боль. Недавно я обнаружил, что мой автомобиль также страдает от иллюзий: судя по показаниям спидометра, он всегда считает, что едет на 3 км/ч быстрее, чем на самом деле. Это не так уж плохо в сравнении с огромным списком открытых исследователями-когнитивистами человеческих иллюзий, которые затрагивают все наши чувства и искажают внутреннюю реальность. На рис. 9.1 показано два примера оптических иллюзий, в которых наша зрительная система создаёт внутреннюю реальность, отличную от внешней. Если бы у вас была цветная, а не чёрно-белая версия этого рисунка, вы увидели бы, что нижнее пятно на левой картинке кажется оранжевым, а верхнее — коричневатым. Во внешней реальности свет от обоих обладает одинаковыми свойствами и имеет длину волны около 600 нм. Если пятно испускает такой свет, оно должно казаться оранжевым. Почему оно выглядит коричневым? Вы когда-нибудь видели, чтобы лазерная указка давала коричневый луч? Нет, никогда, поскольку коричневого света не бывает! Коричневого цвета во внешней реальности не существует — это лишь то, что мы воспринимаем, когда видим приглушённый оранжевый свет на более тёмном фоне.

Ради развлечения я иногда сравниваю, как одни и те же новости преподносятся на сайтах MSNBC, «Фокс ньюс», Би-би-си, «Аль-Джазира», «Правда» и других. Оказывается, что когда дело доходит до «правды, всей правды и ничего, кроме правды», чаще всего именно второе условие отвечает за большинство различий в отражении реальности — то, что они опускают. Я думаю, то же верно и в отношении наших собственных чувств. Хотя они могут порождать галлюцинации и иллюзии, но именно с тем, что они упускают, связана большая часть расхождений внутренней и внешней реальности. Моя зрительная система упускала разницу между чёрным и сине-зелёным чемоданом, но даже если вы не дальтоник, то всё равно упускаете большую долю информации, которую несёт свет. В начальной школе меня учили, что все цвета света можно получить, смешивая три основных цвета — красный, зелёный и синий, — я думал, что это число три говорит нам нечто важное о внешней реальности. Но я ошибался: оно говорит нам лишь об упущениях зрительной системы. А именно о том, что наша сетчатка имеет три типа клеток-колбочек, которые принимают тысячи чисел, характеризующих спектр света (рис. 2.5), но сохраняют лишь три числа, соответствующих средней интенсивности света в трёх диапазонах спектра.

Рис. 9.1. Оптические иллюзии. В левой части квадраты а и б имеют одинаковый оттенок серого, а два круглых пятна — одинаковый цвет. В правой части сконцентрируйтесь на чёрной точке и подвигайте головой вперёд-назад — вы увидите, что окружности поворачиваются.

Более того, свет с длиной волны за пределами узкого диапазона 400–700 нм вовсе не регистрируется нашей зрительной системой, и было настоящим шоком, когда искусственные детекторы обнаружили, что наша внешняя реальность гораздо богаче, чем мы себе представляли, и включает радиоволны, микроволны, рентгеновские и гамма-лучи. Зрение не единственное чувство, которое повинно в таких упущениях: мы не способны слышать ультразвуковой писк летучих мышей и дельфинов; мы нечувствительны к едва заметным запахам, которые доминируют во внутренней реальности собак, и т. д. Хотя животные некоторых видов воспринимают больше визуальной, слуховой, обонятельной, вкусовой и другой сенсорной информации, чем люди, они не знают о субатомном царстве, об усеянном галактиками космосе и о тёмной энергии с тёмной материей, из которых состоит 96 % внешней реальности (гл. 4).

 

Консенсусная реальность

В двух первых частях книги мы видели, что наш физический мир замечательно описывается математическими уравнениями, поддерживая в нас надежду, что однажды будут найдены уравнения «теории всего», идеально описывающей нашу внешнюю реальность во всех масштабах. Окончательным триумфом физики стала бы возможность начать с рассмотрения внешней реальности «сверху вниз» («с высоты птичьего полёта»), то есть в форме математического изучения уравнений (которые в идеале достаточно просты, чтобы уместиться на футболке), и вывести из них внутреннюю реальность, способ субъективного восприятия «снизу вверх» («с лягушачьей точки зрения»), то есть с позиции внутри внешней реальности. Чтобы добиться этого, нам необходимо полное понимание того, что такое сознание (а также иллюзии, упущения, галлюцинации и другие осложнения).

Однако между внешней и внутренней реальностями есть третья, промежуточная, консенсусная реальность (рис. 9.2). Это версия реальности, относительно которой согласны все мы, живые существа на Земле. Она включает трёхмерные положения и движения макроскопических объектов, другие обыденные свойства мира, для которых у нас есть общее описание в знакомых нам понятиях классической физики. В табл. 9.1 дана сводка всех описаний реальности и точек зрения, а также их взаимосвязей.

Рис. 9.2. Реальность можно рассматривать тремя взаимосвязанными способами: глядя «с высоты птичьего полёта», то есть в форме математического изучения описывающих её уравнений, глядя с субъективной («лягушачьей») точки зрения самосознающего наблюдателя, находящегося внутри неё, и глядя с промежуточной консенсусной позиции, с которой мы обычно описываем реальность друг другу (как классические объекты, движущиеся в трёхмерном пространстве, например). Поиски исчерпывающего понимания реальности удобно разбить на две части, которыми можно заниматься по отдельности: физика выясняет, как внешняя реальность связана с консенсусной реальностью (включая такие осложнения, как клонирование наблюдателя, проявляющееся как случайность, и быстрое движение, проявляющиеся в замедлении времени), а когнитивистика выясняет, как консенсусная реальность связана с внутренней реальностью (включая квалиа и такие осложнения, как иллюзии, упущения и галлюцинации).

Каждый имеет персональную внутреннюю реальность, воспринимаемую в субъективной перспективе собственной точки зрения, ориентации и состояния сознания и искажённую личными когнитивными особенностями: в вашей внутренней реальности сны — это подлинные события, а мир переворачивается вверх ногами, когда вы встаёте на голову. Напротив, консенсусная реальность — общая. Когда вы объясняете другу, как к вам идти, то прикладываете все силы к тому, чтобы превратить своё описание из такого, в каком используются понятия вашей внутренней реальности (например, «здесь» или «в направлении, куда я смотрю»), в общие для всех понятия консенсусной реальности (например, «дом 70 по улице Вассара» или «север»). Поскольку учёным надо быть точными и стремиться к количественному выражению, то, ссылаясь на нашу общую, консенсусную реальность, мы прикладываем исключительные усилия к тому, чтобы быть объективными: мы говорим, что свет имеет «длину волны 600 нм» вместо «оранжевого цвета» или что вещество содержит «молекулы CH3COOC5H11» вместо «банановый ароматизатор». Консенсусная реальность не свободна от некоторых общих иллюзий относительно внешней реальности, о чём мы подробно поговорим. Например, коты, летучие мыши и роботы также подвержены квантовой случайности и релятивистскому растяжению времени. Однако консенсусная реальность по определению избавлена от иллюзий, уникальных для биологического сознания, а значит, не зависит от особенностей функционирования человеческого сознания. Моя внутренняя реальность может испытывать недостаток восприятия сине-зелёного цвета. Она может быть чёрно-белой у тюленя и радужной у птицы, различающей четыре основных цвета, она может быть совсем иной у видящей поляризацию света пчелы, и у использующей сонар летучей мыши, и у слепого человека с более развитыми осязанием и слухом, и у новейшего робота-пылесоса. Однако все мы придём к согласию по вопросу о том, открыта ли дверь.

Вот почему я изменил свою точку зрения: хотя чрезвычайно интересно уяснить природу человеческого сознания, этого не требуется для фундаментальной физической теории, которая нуждается лишь в том, чтобы вывести из уравнений консенсусную реальность. Иными словами, то, что Дуглас Адамс называл главным вопросом жизни, Вселенной и всего такого, распадается на две части, которые можно рассматривать отдельно. Задачей физики предстаёт выведение консенсусной реальности из внешней реальности, а задачей когнитивистики — выведение внутренней реальности из консенсусной реальности. Это два великих вызова для третьего тысячелетия. Оба они по-своему пугающие, и я рад, что мне не надо иметь с ними дело одновременно.

Табл. 9.1. Ключевые термины, которые будут использоваться в дальнейшем.

 

Физика: связь внешней реальности с консенсусной

Консенсусная реальность сильно отличается от внутренней, и понимание связи между ними есть задача, соответствующая по сложности проникновению в природу сознания. Консенсусная реальность сильно отличается и от внешней реальности, и поэтому принципиально важно не путать их. На мой взгляд, история современной физики показывает, что в нескольких научных прорывах наибольшую сложность представляли не математические выкладки, а понимание того, как взаимосвязаны эти две реальности.

В 1905 году, когда Эйнштейн сформулировал специальную теорию относительности, многие из её ключевых уравнений уже были получены Хендриком Лоренцем и другими учёными. Однако чтобы увидеть связь математики с измерениями, потребовался гений Эйнштейна. Он понял, что длины и интервалы времени, появляющиеся в математическом описании внешней реальности, отличаются от тех, которые измеряются в консенсусной реальности, и что эти различия зависят от движения. Так, если самолёт пролетает над группой людей, то в их консенсусной реальности он будет короче, чем до взлёта, а его бортовой хронометр будет идти медленнее.

Десять лет спустя, когда Эйнштейн выдвинул общую теорию относительности, Бернхард Риман и другие учёные уже разработали ключевые элементы соответствующего математического формализма. Однако увенчать работу главным результатом вновь оказалось столь трудно, что потребовалось эйнштейновское озарение — понимание того, что искривлённому пространству в математическом описании внешней реальности в консенсусной реальности соответствует гравитация. Чтобы оценить, насколько это было трудно, представьте, что Исааку Ньютону на смертном одре явился джинн и предложил исполнить последнее желание. Ньютон решился:

— Пожалуйста, скажи мне, какими будут уравнения гравитации через триста лет.

Джинн записывает полную систему уравнений общей теории относительности и, будучи добрым джинном, объясняет, как выразить их в математических обозначениях того времени. Будет ли очевидно Ньютону, как интерпретировать это обобщение его собственной теории?

Трудность связывания внешней реальности с консенсусной взяла новый рекорд высоты с открытием квантовой механики. Это выразилось в продолжающихся по сей день спорах между физиками о том, как интерпретировать эту теорию, хотя прошло уже почти 100 лет. Внешняя реальность описывается гильбертовым пространством (гл. 8), в котором волновая функция меняется со временем детерминистическим образом, тогда как в консенсусной реальности события кажутся случайными, с распределением вероятности, которое можно с высокой точностью вычислить по волновой функции. Прошло более 30 лет после рождения квантовой механики, прежде чем Эверетт показал, как эти две реальности могут быть согласованы, и ещё 10 лет мир ждал открытия декогеренции, ключевого явления для примирения существования макросуперпозиций во внешней реальности с их отсутствием в консенсусной.

Сейчас главным вызовом для теоретической физики является объединение квантовой механики с гравитацией. Основываясь на приведённой последовательности исторических примеров, я предсказываю, что корректная математическая теория квантовой гравитации побьёт все прежние рекорды по сложности её интерпретации. Допустим, накануне следующей конференции по квантовой гравитации наш джинн залетит в лекционный зал и запишет на доске уравнения окончательной теории. Сможет ли кто-либо из участников понять то, что будет стёрто следующим утром? Я сомневаюсь.

Итак, направление наших поисков понимания реальности разделяется на два, которыми можно заниматься по отдельности: великим вызовом для когнитивистики является понимание связи консенсусной реальности с нашей внутренней реальностью, а великим вызовом для физики является понимание связи нашей консенсусной реальности с внешней реальностью. Обе задачи обескураживают своей трудностью. В консенсусной реальности камень кажется непроницаемым, твёрдым и неподвижным объектом, однако за исключением квадриллионной части своего объёма камень является пустым пространством между частицами, испытывающими постоянные вибрации. Наша консенсусная реальность кажется трёхмерной сценой, на которой во времени разворачиваются события, но эйнштейновская работа (гл. 11) говорит о том, что изменение — это иллюзия, время — не более чем четвёртое измерение неизменного пространства-времени (которое никогда не создавалось, никогда не уничтожается и содержит всю космическую историю, как DVD содержит фильм). Квантовый мир кажется случайным, но работа Эверетта говорит о том, что случайность также является иллюзией, просто способом, каким наше сознание отмечает, когда оно клонируется в расходящихся параллельных вселенных. Мир квантовой гравитации ощущается… — ну, здесь физикам остаётся ещё мно-о-ого работы.

Далее мы сконцентрируемся на поисках в области физики и доведём их до логического предела: на что, с учётом известного о консенсусной реальности, может быть похожа внешняя реальность? Какова её истинная природа?

 

Резюме

• Хотя существует лишь одна истинная реальность, есть несколько дополнительных точек зрения на неё.

• Во внутренней реальности нашего сознания единственная информация, которую мы имеем о внешней реальности — это небольшая выборка, доставляемая органами чувств.

• Эта информация подвергается сильным искажениям и, судя по всему, говорит о работе органов чувств и мозга ничуть не меньше, чем о внешней реальности.

• Математическое описание внешней реальности, открытое теоретической физикой, сильно отличается от того, как мы воспринимаем внешнюю реальность.

• На пути между внутренней и внешней реальностями лежит «консенсусная реальность» — общее описание физического мира, с которым согласны все самосознающие наблюдатели.

• «Главный вопрос жизни, Вселенной и всего такого» распадается на две части, исследуемые по отдельности. Задачей физических наук является вывод консенсусной реальности из внешней, а задачей когнитивистики — вывод внутренней реальности из консенсусной.

• Оставшаяся часть книги посвящена первой из этих двух задач.

 

Глава 10. Физическая и математическая реальности

 

Заканчивая пятничным утром в Принстоне разбирать электронные сообщения по поводу сочинения книги, ремонта микроволновки и полемики вокруг квантового суицида, я неожиданно нашёл в почтовом ящике настоящую жемчужину — письмо от одного из именитых профессоров, своего знакомого.

Дата: 4 декабря 1998, 07:17:42 EST

Тема: Письмо, которое было непросто написать

Уважаемый Макс!

…Ваши безумные статьи не идут вам на пользу. Прежде всего, подавая их в хорошие журналы и имея несчастье добиться их публикации, вы губите их «забавную» сторону… Я редактор ведущего журнала… и ваша статья никогда бы у меня не прошла. Это, пожалуй, не так уж важно, за исключением того, что коллеги считают эти ваши личные особенности дурным знаком в плане перспектив… Вы должны понять, что если полностью не отделите эту деятельность от своих серьёзных исследований, возможно, вовсе её прекратив, и не перенесёте её в паб или другое подобное место, то можете поставить под угрозу своё будущее.

Меня словно окатили ледяной водой, но это был один из тех замечательных моментов, когда я понял, что поставил новый личный рекорд, и у меня появилась новая высота, которую надо попробовать взять. Когда я переслал письмо отцу, он ответил цитатой из Данте: segui il tuo corso et lascia dir le genti, то есть: «Следуй своей дорогой, и пусть люди говорят, что угодно».

Меня всегда забавляет, насколько сильно у физиков стадное чувство, притом что все мы на словах привержены нешаблонному мышлению и готовы отвергать авторитеты. Я заметил это ещё студентом: например, революционная эйнштейновская теория относительности не заслужила Нобелевской премии, сам Эйнштейн отвергал фридмановское открытие расширения Вселенной, а Хью Эверетт не смог получить постоянную работу в области физики. Иначе говоря, отвергались куда более важные открытия, чем те, которые я, реалистично глядя на вещи, могу надеяться совершить. Так что ещё в студенчестве я столкнулся с дилеммой: я полюбил физику именно за то, что был очарован её величайшими вопросами, но, похоже, что если я буду просто следовать зову сердца, то следующим местом моей работы станет «Макдоналдс».

Я не хотел выбирать между любовью и карьерой, так что разработал секретную стратегию, которая действует на удивление хорошо, позволяя мне заодно зарабатывать на пропитание. Я называю её «стратегией доктора Джекила и мистера Хайда». Джордано Бруно в 1600 году заживо сожгли за нетрадиционные взгляды (в числе которых убеждённость в бесконечности космоса), а Галилея приговорили к пожизненному домашнему аресту за то, что он доказывал обращение Земли вокруг Солнца. Современные санкции стали мягче. Если вы интересуетесь масштабными, философского характера вопросами, большинство физиков будет относиться к вам так же, как если бы вы увлекались компьютерными играми: чем заниматься после работы — ваше личное дело и ваше хобби не будут ставить вам в упрёк, если оно не отвлекает от дел и если вы не говорите о нём слишком много на работе. Так что, когда авторитетные фигуры спрашивают, чем я занимаюсь, я превращаюсь в респектабельного доктора Джекила и говорю, что работаю над мейнстримными вопросами космологии (вроде разобранных в гл. 4), включая многочисленные измерения, цифры и т. д. Но когда никто не смотрит, я превращаюсь в злого мистера Хайда и делаю то, что действительно хочу делать: ищу истинную природу реальности (гл. 6, 8 и большинство оставшихся глав этой книги). Чтобы не вызывать беспокойства, я написал у себя на сайте, что у меня есть «побочные интересы», и пошутил, что на каждые десять мейнстримных статей позволяю себе написать одну вздорную. Это было очень удобно, поскольку подсчётами никто, кроме меня, не занимался. Ко времени своей защиты в Беркли я напечатал восемь статей, но половину их написал мистер Хайд, так что в диссертации я их не упоминал. Мне очень нравился мой научный руководитель в Беркли Джо Силк, но я следил, чтобы он оказывался подальше от принтера, когда я печатал статьи мистера Хайда. Я показал их ему лишь после того, как он подписал мою диссертацию… Я продолжаю придерживаться этой стратегии: всякий раз, когда я ищу работу или обращаюсь за исследовательским грантом, я упоминаю лишь о работе доктора Джекила, а параллельно продолжаю исследовать «большие вопросы», которые поддерживают во мне огонь — в хорошем, а не в бруновском смысле.

Эта стратегия превзошла самые смелые мои ожидания, и я весьма благодарен судьбе за возможность работать в университете с замечательными коллегами и студентами, не переставая думать о том, что меня сильнее всего интересует. Но теперь я считаю, что я в долгу перед научным сообществом и пришло время платить по обязательствам. Если представить, что все исследовательские темы выстроены перед вами в шеренгу в метафорическом пространстве, то есть некая граница, отделяющая то, что является мейнстримной физикой, от того, что в неё не входит. У этой границы удивительное свойство: она постоянно смещается (рис. 10.1)! На некоторых участках она сжимается, оставляя теории от алхимии до астрологии за пределами мейнстрима. В других — расширяется, и идеи вроде теории относительности или микробной природы заболеваний переходят из области спекуляций меньшинства в общепризнанную науку. Я давно уверен, что есть области, в которых физики могут сделать ценный вклад, несмотря на то, что эти темы сначала кажутся чересчур философскими. Мой нынешний контракт достаточно продолжителен, чтобы у меня не было оснований от них отстраняться: я считаю, что сейчас мой моральный долг перед более молодыми учёными вывести мистера Хайда из академического чулана и внести свой вклад в изменение этих границ. Вот почему мы с Энтони Агирре основали Институт фундаментальных вопросов, о котором я упоминал в гл. 8 (http://fqxi.org). И поэтому я пишу эту книгу.

Рис. 10.1. Граница того, что считается мейнстримом, постоянно меняется.

Так какая же из моих статей вызвала столь острую реакцию: остановитесь — или сломаете карьеру? Чему столь далёкому от нынешней границы мейнстрима (рис. 10.1) была она посвящена, что этот профессор почувствовал необходимость вернуть меня в лоно науки? Она была о том, что наш физический мир — это гигантский математический объект. И в этой главе мы начнём его изучать.

 

Математика, везде математика

Каков же ответ на главный вопрос жизни, Вселенной и всего такого? В книге «Автостопом по Галактике» Дугласа Адамса выясняется, что ответ на этот вопрос — 42, однако самой сложной частью задачи оказалось отыскание самого вопроса. В действительности, хотя наши любознательные предки задавались глобальными вопросами, их поиски «теории всего» менялись вместе с ростом знаний. По мере того как древние греки заменяли мифологические объяснения механическими моделями Солнечной системы, их акценты в этих вопросах смещались с почему на как.

С тех пор сфера наших вопросов сократилась в одних областях и разрослась в других (рис. 10.1). Некоторые вопросы отброшены как наивные или ошибочные, вроде объяснения размеров планетных орбит исходя из первичных принципов (это было популярно в эпоху Возрождения). То же самое может случиться с модными нынче попытками предсказания количества тёмной энергии в космосе, если окажется, что её плотность в наших окрестностях является исторической случайностью (гл. 6). Тем не менее наша способность отвечать на другие вопросы превзошла самые смелые ожидания прежних поколений. Ньютон был бы поражён, узнав, что мы сумели определить возраст Вселенной с точностью до 1 % и узнали устройство микромира в достаточной мере, чтобы сконструировать «Айфон».

Я считаю шутку Дугласа Адамса про 42 очень удачной, поскольку математика играет исключительную роль во всех этих успехах. Та идея, что Вселенная в некотором смысле является математической, восходит по меньшей мере к пифагорейцам и породила многовековую дискуссию физиков и философов. Галилей утверждал, что Вселенная — это «величественная книга», написанная на языке математики. Лауреат Нобелевской премии по физике Юджин Вигнер в 60-х годах XX века настаивал, что «невероятная эффективность математики в естественных науках» нуждается в объяснении.

Фигуры, паттерны и уравнения

Мы переходим к рассмотрению по-настоящему радикального объяснения. Однако прежде необходимо уточнить, что именно мы пытаемся объяснить. Пожалуйста, оторвитесь на несколько секунд от чтения и оглядитесь. Где вся эта математика, которой мы собираемся заниматься? Разве математика — это не наука о числах? Вероятно, вам на глаза попадётся несколько чисел, например пагинация в этой книге, но это лишь символы, изобретённые и изображённые людьми, так что вряд ли они отражают математическую сущность Вселенной в каком-либо глубоком смысле.

Из-за нашей системы образования многие приравнивают математику к арифметике. Но математика, как и физика, пришла к постановке более глубоких вопросов. Например, в приведённой выше цитате Галилей говорит о геометрических фигурах вроде окружностей и треугольников как о математических. Видите ли вы вокруг себя геометрические узоры или фигуры? (Дизайн вроде прямоугольной формы книги не в счёт.) Но попробуйте бросить камешек и посмотрите, какую красивую форму придаёт природа его траектории! Галилей сделал замечательное открытие (рис. 10.2): траектория любых предметов имеет одинаковую форму, называемую перевёрнутой параболой. Более того, форму этой параболы можно описать простым уравнением: x = y2, где x — горизонтальное положение, y — вертикальное положение (высота). В зависимости от начальной скорости и направления эта форма может растягиваться и по вертикали, и по горизонтали, однако она всегда остаётся параболой.

Когда мы наблюдаем, как объекты движутся по орбитам в космосе, мы открываем другую повторяющуюся форму, показанную на рис. 10.3 — эллипс. Уравнение x2 + y2 = 1 описывает точки, лежащие на окружности, а эллипс — это просто растянутая окружность. В зависимости от начальной скорости, направления движущегося по орбите объекта и массы, вокруг которой он движется, форма этой орбиты может оказываться растянутой или наклонённой, однако всегда остаётся эллипсом. Более того, оконечность сильно вытянутого эллипса почти точно совпадает с параболой, так что все эти траектории — просто части эллипсов.

Рис. 10.2. Когда вы что-нибудь подбрасываете, траектория полёта предмета всегда имеет форму перевёрнутой параболы, если только он с чем-нибудь не столкнётся в полёте и если можно пренебречь сопротивлением воздуха.

Рис. 10.3. Когда один объект обращается по орбите вокруг другого под действием гравитации, его орбита всегда имеет одну форму, эллипс, который представляет собой просто окружность, растянутую в одном направлении (так будет, если нет источников трения и если мы игнорируем эйнштейновские поправки к ньютоновской теории гравитации, которые обычно ничтожны, если мы не рядом с чёрной дырой). Орбита остаётся эллипсом для самых разных объектов: и для кометы, обращающейся вокруг Солнца (слева), и для белого карлика — мёртвой звезды, обращающейся вокруг Сириуса A, ярчайшей звезды нашего неба, и для звезды, обращающийся вокруг гигантской чёрной дыры в центре Галактики (справа), которая в миллион раз массивнее Солнца. (Рисунок справа воспроизводится с разрешения Рейнхарда Гензеля и Райнера Шедела.)

Рис. 10.4. Подобно тому, как изобразительное искусство и поэзия могут выразить многое с помощью немногих символов, так и физика способна сделать это с помощью уравнений. Слева направо и сверху вниз на этих шедеврах описаны: электромагнетизм, околосветовое движение, гравитация, квантовая механика и расширение Вселенной. Мы ещё не нашли уравнений единой «теории всего».

Постепенно люди открыли в природе множество других повторяющихся форм и паттернов, охватывающих не только движение и гравитацию, но и такие разные области, как электричество, магнетизм, свет, теплота, химия, радиоактивность и субатомные частицы. Эти паттерны складываются в законы физики. Как и форму эллипса, эти законы можно описать, применяя математические уравнения (рис. 10.4). Почему?

Числа

Уравнения — не единственный скрытый в природе намёк на математику: есть также числа. Я говорю не о творениях рук человеческих, вроде пагинации в этой книге, а о числах, которые выражают фундаментальные свойства нашей физической реальности. Сколько карандашей вы сможете расположить так, чтобы все они были перпендикулярны (под углом 90°) друг другу? Три: их можно разместить, например, вдоль трёх стыков стен и пола в углу вашей комнаты. Откуда взялось число 3? Мы называем его размерностью пространства, но почему существует именно 3 измерения, а не 2, 4 или 42? Почему в нашей Вселенной существует (насколько мы можем судить) ровно шесть типов кварков? Есть много других «встроенных» в природу целых чисел (гл. 7), которые описывают, какого типа элементарные частицы существуют.

И, вдобавок к математическим гостинцам, существуют закодированные в природе величины, которые не являются целыми числами и требуют для записи дробных значений. Согласно моим подсчётам, природа закодировала 32 таких фундаментальных числа. Относится ли к ним число, которое появляется на индикаторе весов, когда вы встаёте на них после ванны? Нет, оно не в счёт, поскольку является мерой чего-либо (вашей массы), что день ото дня изменяется, а значит, не является фундаментальным свойством нашей Вселенной. Что можно сказать о массе протона (1,672 622 × 10–27 кг) или о массе электрона (9,109 382 × 10–31 кг), которые кажутся неизменными во времени? Они также не в счёт, поскольку измеряются в килограммах, а это произвольная единица массы, придуманная людьми. Но если вы разделите одно из этих двух чисел на другое, получится нечто поистине фундаментальное: протон примерно в 1836,15 267 раз массивнее электрона. Значение 1836,15 267 — безразмерное число, подобное π или √2, в том смысле, что его значение не зависит ни от каких человеческих единиц измерения, вроде граммов, метров, секунд или вольт. Почему это значение так близко к 1836? Почему не 2013? Или не 42? Простой ответ состоит в том, что мы этого не знаем. Но, думаю, в принципе мы можем вывести и это число, и все остальные когда-либо измеренные фундаментальные постоянные природы, всего из 32 чисел, перечисленных в табл. 10.1.

Табл. 10.1. Каждое фундаментальное свойство природы, когда-либо подвергнутое измерению, можно вычислить на основе 32 чисел — по крайней мере в принципе. Некоторые из них измерены с очень высокой точностью, тогда как другие экспериментально ещё не определены. Точный смысл этих чисел не имеет значения для нашего изложения, но если вы заинтересовались, то найдёте объяснения в моей статье (http://arxiv.org/abs/astro-ph/0 511 774). Вот только чем определяются значения этих чисел?

Не пугайтесь названий в таблице: они не имеют отношения к тому, чем мы здесь занимаемся. Суть в том, что в нашей Вселенной есть нечто сугубо математическое, и чем пристальнее мы всматриваемся, тем, похоже, больше математики видим. Что касается природных констант, то имеются сотни тысяч безразмерных чисел, измеренных в разных областях физики: от отношения масс элементарных частиц до отношений характерных длин волн света, испускаемого различными молекулами. С помощью компьютеров, достаточно мощных, чтобы решать уравнения, описывающие законы природы, все до одного эти числа, по-видимому, могут быть определены на основе приведённых в табл. 10.1. Некоторые вычисления и измерения крайне сложны, и их до сих пор не удалось выполнить, а когда удастся, то, возможно, числа в теории и эксперименте не совпадут. Такого рода расхождения не раз случались в прошлом и, как правило, разрешались одним из трёх способов:

1. Кто-нибудь находил ошибку в эксперименте.

2. Кто-нибудь находил ошибку в вычислениях.

3. Кто-нибудь находил ошибку в наших законах физики.

В последнем случае обычно удавалось найти более фундаментальные законы физики — как тогда, когда замена ньютоновских уравнений для гравитации эйнштейновскими позволила объяснить, почему Меркурий обращается вокруг Солнца не по идеальному эллипсу. Во всех случаях ощущение, что в природе есть нечто математическое, лишь усиливалось.

Если вы откроете ещё более точные законы физики, то это может либо сделать число параметров менее 32 (табл. 10.1), позволив вычислить некоторые из этих величин по другим, содержащимся в таблице, — либо увеличить их число за счёт добавления новых величин (относящихся, скажем, к массам новых типов частиц, которые, возможно, будут открыты на Большом адронном коллайдере).

 

Дополнительные улики

Что делать со всеми этими намёками на присутствие математики в нашем физическом мире? Большинство физиков привыкло, что природа по некоей причине описывается математикой, по крайней мере приближённо, и признают это как факт. В книге «Является ли Бог математиком?» астрофизик Марио Ливио заключает, что «учёные выбрали, над какими проблемами им работать, с учётом того, чтобы эти проблемы можно было решать математическими методами». Но я убеждён, что причина глубже.

Во-первых, почему математика так успешно описывает природу? Я согласен с Вигнером: это требует объяснения. Во-вторых, на страницах этой книги мы постоянно сталкиваемся с уликами, указывающими на то, что математика не просто описывает природу. В некоторых отношениях природа является математической:

1. В гл. 2–4 мы видели, что сама ткань нашего физического мира, его пространство, является чисто математическим объектом в том смысле, что все неотъемлемые свойства пространства — число измерений, кривизна и топология — являются математическими.

2. В гл. 7 мы видели, что «начинка» нашего физического мира состоит из элементарных частиц, которые, в свою очередь, являются чисто математическими объектами в том смысле, что все их неотъемлемые свойства (приведённые в табл. 7.1 числа, например заряд, спин, лептонное число) являются математическими.

3. В гл. 8 мы видели, что существует нечто, возможно, даже более фундаментальное, чем наше трёхмерное пространство с частицами в нём — это волновая функция и бесконечномерное гильбертово пространство, в котором она обитает. Частицы могут создаваться и уничтожаться, а также находиться в нескольких местах одновременно, однако была и всегда будет лишь одна волновая функция, движущаяся по гильбертову пространству в соответствии с уравнением Шрёдингера. И волновая функция, и гильбертово пространство являются чисто математическими объектами.

Что всё это означает? Позвольте поделиться своим пониманием, и посмотрим, будет ли оно иметь для вас больше смысла, чем для профессора, сказавшего, что это похоронит мою карьеру.

 

Гипотеза математической Вселенной

К моменту получения университетского диплома я был захвачен всеми этими математическими уликами. Однажды вечером в 1990 году в Беркли я со своим другом Биллом Пуарье рассуждал о фундаментальной природе реальности. Внезапно мне пришло в голову, что наша реальность не просто описывается математикой, но и является математикой в очень специфическом смысле. Не какие-то её аспекты, а вся целиком, включая нас самих. Эта идея кажется безумной, так что, изложив её Биллу, я много лет размышлял, прежде чем написать первую статью о ней.

Прежде чем погружаться в детали, вот логическая структура, к которой я прибегаю, размышляя об этом. Во-первых, есть две гипотезы. Первая, гипотеза внешней реальности (ГВР), кажется безобидной:

Существует внешняя физическая реальность, совершенно независимая от людей.

Вторая, гипотеза математической Вселенной (ГМВ), выглядит куда радикальнее:

Наша внешняя физическая реальность является математической структурой.

Во-вторых, у меня есть доказательство того, что при достаточно широком определении математической структуры из первой гипотезы вытекает вторая.

Первое моё допущение, гипотеза внешней реальности, не вызывает серьёзных споров: я уверен, что большинство физиков согласно с этой старой идеей. Метафизические солипсисты открыто её отвергают, а сторонники копенгагенской интерпретации квантовой механики могут отвергать её на том основании, что не существует реальности без наблюдения. В предположении, что внешняя реальность существует, цель физических теорий состоит в описании того, как она устроена. Наши наиболее успешные теории, например общая теория относительности и квантовая механика, описывают лишь часть этой реальности: гравитацию или, скажем, поведение субатомных частиц. Но Святой Грааль теоретической физики — это «теория всего», исчерпывающее описание реальности.

 

Уменьшение нормы разрешённого багажа

Мой персональный поиск этой теории начинается с радикального рассуждения о том, на что она имеет право быть похожей. Если мы признаём, что реальность существует независимо от людей, то чтобы её описание было полным, оно должно также быть корректно определённым для нечеловеческих существ — скажем, инопланетян или суперкомпьютеров, — которые не знакомы с человеческими понятиями. Иначе говоря, такое описание должно выражаться в форме, лишённой всякого человеческого «багажа» вроде понятий «частица», «наблюдение» и других слов естественного языка.

При этом все физические теории, которым меня учили, содержат две компоненты: математические уравнения и «багаж» — слова, объясняющие, как эти уравнения связаны с тем, что мы наблюдаем и интуитивно понимаем. Выводя из теории следствия, мы придумываем для них новые понятия и слова, например протоны, атомы, молекулы, клетки, звёзды, поскольку ими удобно пользоваться. Важно помнить, однако, что эти понятия придуманы людьми. В принципе, всё может быть вычислено без «багажа». Гипотетический идеальный суперкомпьютер способен вычислить, как состояние Вселенной изменяется во времени, без «человеческой» интерпретации, просто рассчитывая, как будут двигаться все частицы или как будет изменяться волновая функция.

Предположим, что траектория баскетбольного мяча на рис. 10.2 — это один из тех блестящих бросков, которые приносят победу в самый момент звучания финальной сирены, и после игры вы хотите описать другу, как это было. Поскольку мяч состоит из элементарных частиц (кварков и электронов), вы можете описать его движения без всяких упоминаний о баскетбольном мяче:

• Частица № 1 движется по параболе.

• Частица № 2 движется по параболе.

• …

• Частица № 138 314 159 265 358 979 323 846 264 движется по параболе.

Это, однако, неудобно, поскольку время, которое понадобится для произнесения всего этого, превосходит возраст самой Вселенной. Это может быть и избыточно, поскольку все частицы получают толчок вместе и движутся как единое целое. Вот почему люди изобрели слово «мяч»: чтобы ссылаться на эту сущность и экономить время, описывая её движение как целого. Мяч изготовили люди, но дело обстоит подобным же образом и в случае составных объектов естественного происхождения — молекул, камней, звёзд и т. д.: придумывать для них слова удобно и ради экономии времени, и в качестве так называемых сокращающих абстракций, делающих понимание мира проще. Но при всей их полезности такие слова являются необязательным «багажом»: например, я неоднократно использовал в этой книге слово «звезда», однако вы можете в принципе заменить его определением звезды через её составляющие, скажем таким: «гравитационно связанный сгусток около 1057 атомов, часть которых вступает в термоядерные реакции». Иными словами, в природе есть множество сущностей, которым так и тянет дать название. Наверняка почти каждое человеческое сообщество имеет в языке слово для обозначения звезды, часто придуманное независимо и отражающее местные культурные и лингвистические традиции. Предполагаю, что и большинство внеземных цивилизаций в далёких планетных системах также изобрело название или символ для звезды, даже если они не пользуются для коммуникации звуками.

Другой замечательный факт: нередко можно математически предсказать существование таких заслуживающих имени сущностей, опираясь на уравнения, управляющие их частями. На этом пути можно предсказать всю «легоподобную» иерархию структур (гл. 7), от элементарных частиц до атомов с молекулами, а также все объекты на каждом уровне, которым люди дали запоминающиеся имена. Например, если вы решаете уравнение Шрёдингера для пяти или менее кварков, то оказывается, что есть лишь два способа, которыми они могут быть достаточно стабильно организованы: либо как сгустки из двух верхних кварков и одного нижнего, либо как сгустки из двух нижних кварков и одного верхнего. Люди ради удобства добавили в свой «багаж» названия для сгустков этих двух типов: протоны и нейтроны. Аналогично, если применить уравнение Шрёдингера к таким сгусткам, оказывается, что существует лишь 257 способов, которыми они могут быть устойчиво объединены друг с другом. Мы добавили в «багаж» название для этих протон-нейтронных ансамблей — атомные ядра, и придумали названия для каждого их типа: водород, гелий и т. д. Уравнение Шрёдингера также позволяет вычислить все способы соединения атомов в более крупные объекты, но на этот раз стабильных объектов оказывается настолько много, что всем им давать имена неудобно. Поэтому мы именуем только важные классы таких объектов (молекулы, кристаллы и т. д.) и наиболее распространённые или интересные объекты в каждом классе (вода, графит, алмаз).

Я рассматриваю такие составные объекты как эмерджентные в том смысле, что они возникают как решения уравнений, описывающих более фундаментальные объекты. Их эмерджентность — трудноуловимое свойство, поскольку исторически научный прогресс по большей части шёл в противоположном направлении. Так, люди узнали о звёздах прежде, чем поняли, что они состоят из атомов; узнали об атомах прежде, чем поняли, что они состоят из электронов, протонов и нейтронов; узнали о нейтронах прежде, чем открыли кварки. Для каждого эмерджентного объекта, который для нас важен, люди собрали «багаж» в форме новых понятий.

Того же характера эмерджентность и накопление человеческого «багажа» видны на рис. 10.5. Я привожу грубую схему организации научных теорий в генеалогическое древо, в котором каждая теория может быть выведена (по крайней мере в принципе) из более фундаментальных. Все эти теории имеют две составляющие: математические уравнения, а также слова, которые объясняют, как уравнения связаны с тем, что мы наблюдаем. Например, квантовая механика, как её обычно излагают в учебниках, содержит обе компоненты (гл. 8): математическую, такую как уравнение Шрёдингера, и записанные на естественном языке фундаментальные постулаты вроде утверждения о коллапсе волновой функции. На каждом уровне иерархии теорий вводятся новые понятия (протоны, атомы, клетки, организмы, культуры и т. д.), потому что они удобны и охватывают суть того, что происходит, без обращения к вышестоящей, более фундаментальной теории. Все эти понятия вводят люди: в принципе, всё может быть выведено из фундаментальной теории на вершине древа, хотя такой крайний редукционизм на практике обычно бесполезен. Грубо говоря, по мере движения вниз по древу количество слов увеличивается, а уравнений — уменьшается, едва не достигая нуля в таких предельно прикладных сферах, как медицина или социология. Напротив, теории, близкие к вершине, сильно математизированы, и физики с трудом описывают понятия в доступном обывателю виде, если это вообще возможно.

Рис. 10.5. Теории можно выстроить в «фамильное древо», где каждая из них может быть выведена, по крайней мере в принципе, из более фундаментальных. Например, специальную теорию относительности можно получить из общей теории относительности в приближении, при котором ньютоновская гравитационная постоянная G равна нулю. Классическая механика выводится из специальной теории относительности в приближении бесконечности скорости света c. Гидродинамика со всеми её понятиями, например плотностью и давлением, вытекает из классической физики столкновений частиц. Однако случаев, когда переходы по стрелкам хорошо понятны, меньшинство. Вывод биологии из химии или психологии из биологии на практике кажется недостижимым. Лишь отдельные, приближённые аспекты таких дисциплин математизированы, и, вероятно, все математические модели, имеющиеся сейчас в физике, также являются аппроксимациями отдельных аспектов реальности.

Высшая цель физики — найти то, что в шутку называют теорией всего (ТВ), из которой может быть выведено всё остальное. Ей предстоит занять место большого вопросительного знака наверху древа теорий. Здесь чего-то недостаёт (гл. 7): у нас нет целостной теории, объединяющей гравитацию и квантовую механику. ТВ стала бы полным описанием внешней физической реальности, существование которой предполагается в гипотезе внешней реальности. Выше я показал, что полное описание должно быть свободно от любого «багажа», то есть не должно содержать никаких понятий. Иными словами, оно должно быть чисто математической теорией без объяснений или «постулатов», как в учебниках по квантовой механике (математики прекрасно справляются — и часто этим гордятся — с изучением абстрактных математических структур, которые не имеют никакого внутреннего смысла или связи с физическими понятиями). Так что бесконечно разумный математик должен быть способен вывести всё древо теорий на рис. 10.5 лишь из этих уравнений, извлекая из них свойства физической реальности, которую они описывают, свойства её обитателей, их восприятие мира и даже слова, которые они придумывают. Эта чисто математическая «теория всего» потенциально может оказаться достаточно простой для описания с помощью уравнений, которые уместятся на футболке.

Всё это неуклонно ведёт нас к вопросу: действительно ли можно найти такое описание внешней реальности, в котором не было бы никакого «багажа»? Если да, то описание объектов нашей внешней реальности и взаимосвязей между ними было бы совершенно абстрактным, а любые слова или символы стали бы не более чем метками без какого-либо априорно подразумеваемого смысла. Свойства же всех таких сущностей исчерпывались бы их связями между собой.

Математические структуры

Для ответа на этот вопрос необходимо присмотреться к математике. Для современного логика математическая структура — это в точности следующее: набор абстрактных сущностей с отношениями между ними. Возьмём, например, целые числа или геометрические объекты, вроде любимого пифагорейцами додекаэдра. Это совершенно не похоже на первоначальное восприятие математики большинством из нас — как садистской формы наказания или набора трюков для манипулирования числами. Математика, развиваясь, стала, подобно физике, задаваться более широкими вопросами.

Современная математика — это формальное исследование структур, которые можно определить чисто абстрактным способом, без человеческого «багажа». Считайте математические символы просто метками без внутреннего содержания. Неважно, пишете ли вы «два плюс два равно четыре», 2 + 2 = 4 или dos más dos es igual a cuatro. Обозначения, используемые для указания сущностей и их взаимосвязей, не имеют значения; целые числа обладают лишь теми свойствами, которые связывают их между собой. То есть мы не изобретаем математические структуры: мы открываем их, а изобретаем лишь обозначения для их описания. Если другая цивилизация заинтересуется трёхмерными фигурами, состоящими лишь из одинаковых плоских граней, она может открыть пять форм, представленных на рис. 7.2, которые мы, земляне, называем платоновыми телами. Инопланетяне могут придумать для них собственные названия, но не смогут изобрести шестую фигуру — её просто не существует.

Итак, два основных вывода:

1. Из гипотезы внешней реальности вытекает, что «теория всего» (полное описание нашей внешней физической реальности) не содержит «багажа».

2. Нечто, имеющее описание, совершенно свободное от «багажа», — это не что иное, как математическая структура.

Из этих тезисов, взятых вместе, вытекает гипотеза математической Вселенной, то есть утверждение о том, что внешняя физическая реальность, описываемая посредством «теории всего», является математической структурой. Итак, если вы верите во внешнюю реальность, независимую от людей, то вы должны поверить и в то, что наша физическая реальность является математической структурой. Ничто больше не имеет свободного от «багажа» описания. Иными словами, мы живём в гигантском математическом объекте — гораздо более сложном, чем додекаэдр, и, вероятно, даже гораздо более сложном, чем объекты с пугающими названиями вроде многообразий Калаби — Яу, тензорных расслоений или гильбертовых пространств, которые появляются в передовых современных физических теориях. Всё в нашем мире чисто математическое — включая нас самих.

 

Что такое математическая структура?

«Подожди-ка!» — обычно восклицает мой друг Джастин Бендих, когда физическое утверждение наводит на важный вопрос, на который нет ответа. А гипотеза математической Вселенной поднимает сразу три таких вопроса:

1. Что в точности является математической структурой?

2. Как именно наш физический мир может быть математической структурой?

3. Даёт ли это утверждение какие-либо проверяемые предсказания?

Мы займёмся вторым из этих вопросов в гл. 11, а третьим — в гл. 12. Начнём мы с первого и вернёмся к нему в гл. 12.

 

«Багаж» и эквивалентные описания

Итак, люди пополняют свои описания «багажом». Теперь взглянем с другой стороны: как математическая абстракция может избавлять от «багажа», «обнажая» вещи до самой их сути. Рассмотрим конкретную последовательность шахматных ходов, известную как Бессмертная партия. В ней белые впечатляюще жертвуют обеими ладьями, слоном и ферзём, чтобы поставить мат тремя оставшимися лёгкими фигурами (рис. 10.6). Здесь, на Земле, эта партия впервые была сыграна в 1851 году Адольфом Андерсеном и Лионелем Кизерицким. Её ежегодно воспроизводят в итальянском городке Маростика живые игроки, одетые шахматными фигурами, и она регулярно повторяется множеством любителей шахмат по всему миру. Некоторые игроки (включая моего брата Пера, его сына Симона и моего сына Александра; рис. 10.6) пользуются деревянными фигурами, другие — фигурами из мрамора или пластмассы. Некоторые доски выкрашены в коричневый и бежевый цвета, другие в чёрный и белый, а некоторые являются виртуальными, нарисованными с помощью трёхмерной или двумерной компьютерной графики (рис. 10.6). И всё же в некотором смысле ни одна из этих деталей не важна: когда любители шахмат называют Бессмертную партию красивой, они имеют в виду не привлекательность игроков, доски или фигур, а более умозрительную сущность, которую можно назвать абстракцией партии или последовательностью ходов.

Рис. 10.6. Абстрактная партия в шахматы не зависит от цвета или формы фигур, от того, описываются ли ходы движениями фигур на физически существующей доске, на стилизованном компьютерном изображении или с применением алгебраической шахматной нотации — это всё равно та же партия. Аналогично математическая структура не зависит от символов, которые используются для её описания.

Рассмотрим подробнее, как мы описываем абстрактные сущности. Прежде всего описание должно быть конкретным, так что нужно изобрести объекты, слова, символы, соответствующие абстрактной идее. Так, в Соединённых Штатах шахматную фигуру, которая ходит по диагонали, мы называем bishop («епископ»). Во-вторых, очевидно, что это название произвольно и другие были бы ничуть его не хуже. В самом деле, эта фигура называется fou («дурак») по-французски, strelec («стрелок») по-словацки, löpare («бегун») по-шведски, fil («слон») по-персидски. Можно, однако, согласовать уникальность Бессмертной партии с множественностью её возможных описаний, используя сильную идею эквивалентности:

1. Мы определим, что имеется в виду под эквивалентностью двух описаний.

2. Мы будем говорить, что если два описания эквивалентны, то они описывают одну и ту же вещь.

Любые слова, понятия или символы, которые появляются в некоторых, но не во всех эквивалентных описаниях, очевидно, являются необязательными, а значит, относятся к «багажу». Но если мы хотим определить сущность Бессмертной партии, сколько «багажа» мы можем выбросить? Очевидно, много: компьютеры способны играть в шахматы, не имея никакого представления о человеческом языке или понятиях вроде цвета, текстуры, размеров и названий фигур. Чтобы до конца понять, как далеко мы можем зайти, необходимо дать более строгое определение эквивалентности:

Два описания эквивалентны, если между ними существует соответствие, которое сохраняет все отношения.

В шахматах используются абстрактные сущности (фигуры и поля на доске) и отношения ме