§ 68 Хаос и закономерность

Наблюдая за всем, что происходит в окружающем нас мире, мы обнаруживаем в нём некоторые закономерности, позволяющие нам ориентироваться в пространстве и во времени. Первое означает, что мы можем прийти в желаемое место или найти нужный в данный момент предмет. Второе выражается в том, чтобы предсказывать будущее, например природные явления, последствия своих и чужих поступков и т. п. Сочетание таких закономерностей мы называем порядком . Если же найти нужное место или предсказать наступление событий затруднительно, мы говорим, что в данной обстановке или ситуации наблюдается беспорядок. Крайнюю степень беспорядка называют хаосом. Слово это взято из древнегреческой мифологии, где оно означало разверзнувшуюся бездну, беспредельную массу, из которой образовалось всё существующее. В современном понимании хаос обозначает беспорядок и неразбериху (рис. 186).

В этой главе нас будет интересовать вопрос о том, где и как в природе проявляется хаос и закономерность, возможно ли установить границу между ними и каким образом можно измерить степень порядка или, наоборот, хаоса. Начнём с того, что строго определить степень хаоса или порядка в тех случаях, когда речь идёт о человеческих поступках, часто бывает затруднительно. Представим себе, что для оформления библиотеки пригласили дизайнера. Тот оказался педантом и расставил книги в строгом порядке, т. е. расположил их по цветам корешков, а в пределах цветов ещё и по размеру. Получилось очень аккуратно, но вряд ли такой порядок устроит библиотекарей, им будет практически невозможно найти требуемую книгу. То, что оформителю кажется порядком, для пользователя будет полным хаосом. Говорят, что один профессор чуть не умер от сердечного приступа, когда уборщица, увидев жуткий «беспорядок» на его письменном столе, привела все книги и бумаги в идеальный «порядок», разложив их по аккуратным стопкам.

После этого профессор несколько дней не мог приступить к работе, поскольку был не в состоянии найти нужного материала. Ещё один пример: речь на незнакомом языке кажется нам хаотическим набором звуков, в то время как владеющий языком человек найдёт в ней строгий порядок и логику.

Поэтому мы пока не будем говорить о порядке и хаосе в индивидуальном человеческом восприятии, а познакомимся с тем, как эти понятия используют в науке, где они присутствуют в объективных природных явлениях, могут быть измерены и могут стать достоянием всего человечества.

Понятия порядка и хаоса тесно связаны с понятиями предопределённости и случайности. Порядок всегда связан с предопределённостью: чем больше порядка, тем больше вероятность обнаружить требующийся предмет или предсказать некое событие. Если же мы не имеем никаких представлений о стратегии этого поиска, то обнаружить или предсказать что-то можно только случайно, как говорится, «методом тыка». И здесь возникает принципиальный вопрос, волнующий мыслящих людей в течение многих веков: «Существуют ли в природе случайные процессы или случайным кажется нам только то, что мы не в состоянии пронаблюдать или измерить?»

Детерминизм.

После триумфального признания открытых Ньютоном законов механики казалось, что этот вопрос окончательно решён в пользу всеобщей предопределённости. Считалось, что в природе не существует случайных процессов, всё в мире предопределено или, выражаясь научным языком, детерминировано. Такая система взглядов носит название детерминизма (от лат. determino – определяю). Одним из наиболее ярких сторонников детерминизма был французский математик, физик и философ Пьер Симон Лаплас (1749–1827). Детерминизм строился на простом и кажущемся очевидным положении.

Рис. 186. Хаос и порядок

Если весь существующий мир состоит из атомов, движение которых полностью описывается законами Ньютона, то в любой момент это движение строго предопределено, и можно абсолютно точно сказать, где этот атом окажется через любой промежуток времени. А поскольку все происходящие в мире процессы являются не чем иным, как движением атомов, то всё будущее этого мира абсолютно предсказуемо. Более того, абсолютно ясным становится и прошлое, так как любое положение атома однозначно определяется его предыдущим положениям, а значит, двигаясь назад по цепочке событий, можно узнать всё прошлое Вселенной. Последователи Лапласа иллюстрировали его взгляды, вообразив мифическое существо, названное «демоном Лапласа». Если это существо знает положение и скорости движения всех частиц во Вселенной в данный момент и способно производить сразу огромное количество расчётов, то оно может знать все события, которые когда-либо произойдут во Вселенной, так же как и те, которые произошли в ней сколь угодно давно.

Из принципа детерминизма следовало, что время имеет обратимый характер: если в какой-то момент все атомы в мире поменяют направление, то все процессы должны пойти вспять, как на прокручиваемой в обратном направлении плёнке. Причём это произойдёт не только с физическими, но и с психическими и социальными процессами, так как, по мнению детерминистов, поведение человека полностью определяется движением атомов в его мозгу, а следовательно, полностью подчиняется законам механики.

Статистические закономерности.

Последующее развитие науки показало, что эта точка зрения неверна: случайность не является следствием недостатка наших знаний, а объективно существует в природе. Однако, даже если согласиться с точкой зрения детерминистов, понятно, что «демона Лапласа» не существует и предсказать траектории движения всех атомов вряд ли когда-нибудь удастся. Следует ли из этого, что невозможно найти какие-либо закономерности в поведении тех объектов, которые мы не можем непосредственно наблюдать? Можно ли сказать, что движения невидимых атомов и молекул абсолютно непредсказуемы, т. е. хаотичны? Разумеется, нет! Дело в том, что поведение таких ненаблюдаемых объектов во многих случаях подчиняется статистическим закономерностям . Мы не можем предсказать, как будет двигаться каждый конкретный объект, но мы можем предвидеть, как поведёт себя всё множество объектов в целом. Предположим, что в помещении включили вентилятор. Мы никогда не будем знать, с какой скоростью и в каком направлении полетит каждая молекула воздуха. Однако можно точно рассчитать, с какой скоростью при этом двинется воздушный поток, как будет зависеть эта скорость от скорости вращения вентилятора, а та, в свою очередь, от мощности мотора. Мы не знаем, какая температура воздуха будет в Москве 1 июля следующего года, но можем почти с полной уверенностью сказать, что она будет выше, чем 1 января.

Статистические закономерности являются такими же полноправными закономерностями, как и механические. На основе таких закономерностей можно установить строгие физические законы, объясняющие, например, электрические явления или состояния газов при определённых условиях. Несмотря на то что мы не можем непосредственно наблюдать электроны или молекулы газов, мы можем с абсолютной точностью предсказать, сколько их в среднем будет двигаться в определённом направлении или находиться в определённом объёме. Статистические закономерности в полной мере можно обнаружить в социально-экономических процессах, связанных с человеческим поведением, так как, по известному литературному выражению, «статистика знает всё». Если изменится цена какого-либо товара, можно вычислить, насколько вырастет или снизится объём его продаж, хотя нельзя конкретно выяснить, кто именно пойдёт, а кто не пойдёт его покупать. Многие сложные социальные процессы подчиняются статистическим закономерностям, хотя и не так точно, как физические. Существует статистика пассажиропотоков в городском транспорте, оценивающая среднее число пассажиров, едущих в определённом направлении в различное время суток, или статистика авиаперевозок в зависимости от времени года.

В любом случае, когда удаётся выявить детерминистские или статистические закономерности в каких-либо явлениях, эти явления можно объяснять, прогнозировать и во многих случаях регулировать, т. е. можно сказать, что в них существует определённый порядок. Если же таких закономерностей обнаружить не удаётся, поведение системы считается хаотическим, непредсказуемым и нерегулируемым. К числу таких процессов относится поведение людей во время паники, вызванной внезапно возникшей опасностью.

Не все процессы, которые кажутся нам хаотичными, на самом деле являются такими. Задачей исследователей, занимающихся как естествознанием, так и социально-экономическими науками, является выявление неизвестных закономерностей. Вся история науки является историей открытия закономерностей в явлениях, прежде казавшихся случайными, в результате чего наш мир становится более понятным и предсказуемым.

Проверьте свои знания

1. Почему понимание порядка может быть различным в представлении разных людей?

2. Что такое детерминизм?

3. Что должен знать «демон Лапласа» для того, чтобы с абсолютной точностью предсказать будущее?

4. Как называются процессы, в которых не существует ни детерминизма, ни статистических закономерностей?

Задания

1. Подберите эпиграф к данному параграфу.

2. Приведите примеры статистических закономерностей в жизни общества; в производственных или финансовых процессах.

3. Используя дополнительные источники информации, сравните теологический, космологический и антропологически-этический де терминизмы. В чём их сходство и различие? Какая связь существует между детерминизмом и хаосом?

 

§ 69 Симметрия

Одним из видов проявления порядка в природе является симметрия. В общем виде симметрию можно определить как повторяемость каких-либо объектов или явлений. Она широко распространена в природе и используется человеком в самых разнообразных его произведениях (рис. 187). Симметрию можно наблюдать как во времени, так и в пространстве. Многие явления, такие как положение Луны, Солнца и звёзд, будут повторяться через определённый отрезок времени. Природные события – листопад и раскрытие почек на деревьях, таяние снега или разливы рек, отлёт и возвращение перелётных птиц – также имеют периодичность, хотя она выполняется не с такой точностью, как при астрономических наблюдениях. Такая периодичность и создаёт тот порядок, благодаря которому мы можем предсказывать будущие события.

Временные повторы широко используются в музыке и поэзии. Хорошо известно понятие ритма в музыке, где оно означает соотношение длительности нот в их последовательности. Ритмические свойства стихотворения определяются поэтическим размером, в котором оно написано. Размер зависит от порядка чередования ударений в стихотворной строке.

Рис. 187. М. К. Эшер «Лебеди». В графике художника Морица Корнелиса Эшера заложены глубокие принципы симметрии. Эшер говорил: «Все мои произведения – это игры. Серьёзные игры. Всё, что я делаю, – это игра. Я пpосто пытаюсь сложить маленьких звеpушек вместе – я не нахожу, что это легко, но я получаю невеpоятное удовольствие, находя способ соединить их. Меня забавляют все вопpосы, которые возникают, когда я pаботаю. Эти вопpосы дразнят меня, и моё самое большое удовольствие – это понять, о чём они, а затем найти ответы на них. Потом я делаю оттиск, чтобы другие смогли разделить мою радость. Вы называете Это математикой?..»

Рис. 188. Радиальная симметрия: А – цветок; Б – снежинка; В – морская звезда

Рифма в поэтических произведениях также служит для придания им определённого ритма: через определённое число слогов происходит повторение звука или похожих сочетаний звуков.

Радиальная симметрия

Симметрия в пространстве может проявляться в повторении некоторых фигур через определённые промежутки длины. Этот приём часто используют в линейных орнаментах, обрамляющих стену или край покрывала. Для более сложных фигур как в природе, так и в искусственных предметах характерна радиальная, или лучевая, симметрия, которая проявляется в том, что при повороте изображения на определённый угол оно сохраняет свой прежний вид. Представим себе окружность с определённым радиусом. На какой бы угол мы её ни повернули, она всегда останется той же окружностью. Нанесём на эту окружность четыре точки на равном расстоянии друг от друга. Теперь, для того чтобы такая фигура сохранила свой вид, её надо повернуть на 90, 180, 270° или, естественно, на 360°. Если таких точек шесть, угол поворота должен быть кратным 60°. Такая симметрия наглядно проявляется в строении снежинок, многих цветков и некоторых животных, таких как актиния или морская звезда (рис. 188). Радиальной симметрией обладают также многие молекулы (например, бензола) и кристаллы.

Двусторонняя симметрия.

Большинство животных, включая человека, обладают двусторонней симметрией (рис. 189). При этом через объект можно провести прямую линию, которая будет делить его на две равные части. Эту линию называют осью симметрии . Если мы рассмотрим объекты с радиальной симметрией, то увидим, что они тоже обладают осями симметрии, но не одной, как в случае двусторонней симметрии, а несколькими. Например, в круге с четырьмя точками их будет две. Двусторонняя симметрия обладает одной интересной особенностью. Положите руки по обе стороны от прямой линии на равном расстоянии от неё. Вы увидите две руки, одинаковые по форме, но противоположные по положению, что можно заметить хотя бы по тому, что большие пальцы направлены в разные стороны (рис. 190). Таким образом, левая рука по положению соответствует не правой руке, а её отражению в зеркале. Поэтому такая симметрия называется также зеркальной. Посмотрите на себя в зеркало. Вы увидите точное собственное изображение с той только разницей, что право и лево поменяются местами. Если вы поднимете правую руку, ваш двойник в зеркале поднимет левую, и наоборот. Поднесите к зеркалу правую руку, и вы увидите, что она выглядит в точности так же, как левая рука без зеркала. Таким образом, оказывается, что ось симметрии делит объект не на две одинаковые части, а на части, представляющие собой зеркальное изображение друг друга.

Свойство зеркальной симметрии может проявляться и во времени. В этом качестве она часто используется в музыкальных произведениях. Самое простое представление о музыкальной зеркальной симметрии можно получить, если сыграть гамму в обычном и обратном направлении. Этот приём использовался в разных видах многими композиторами. Например, у Иоганна Себастьяна Баха в его произведении «Музыкальное приношение» используется «ракоходный канон», который исполняют две скрипки, одна из которых играет мелодию в порядке, противоположном другой.

Предметы с двусторонней симметрией обладают одной особенностью: как бы мы их ни сгибали и ни поворачивали, совместить их друг с другом невозможно. Попробуйте сделать это со своими руками и убедитесь, что ничего не получится. Если все пальцы будут направлены в одну сторону, то ладони – в разные. Если направить ладони в одну сторону, то большие пальцы окажутся направленными противоположно друг другу. Если же и ладони, и большие пальцы направить в одну сторону, то противоположно направленными станут все остальные пальцы. Таким образом, совместить в пространстве предмет с его зеркальным изображением невозможно.

Рис. 189. Двусторонняя симметрия цветка и человека

Рис. 190. Зеркальные изображения и оптическая изомерия молекул

Оптические изомеры.

Эта особенность играет большую роль во многих природных явлениях. Особенно интересно она проявляется в биохимических процессах. Представим себе молекулу органического вещества, состоящую из четырёх атомов (см. рис. 190). Расположим атомы A, B и C в вершинах треугольника, а атом D на прямой, перпендикулярной к плоскости этого треугольника. Если смотреть со стороны точки D так, чтобы точка А была перед нами, то возможны два варианта: либо В будет справа, а С – слева, либо наоборот. Эти два варианта обладают зеркальной симметрией и не могут быть совместимыми посредством каких угодно поворотов. Следовательно, молекулы одного и того же вещества могут существовать в двух вариантах, условно называемых «правым» и «левым». Химические свойства «правых» и «левых» молекул абсолютно одинаковы, а физические различаются. Основное различие состоит в том, что их растворы по-разному пропускают свет. Поэтому каждый из двух видов строения молекулы называется оптическим изомером. Один вид называют D-изомером, а другой – L-изомером. Например, все аминокислоты в организме представлены L-изомерами, а все углеводы – D-изомерами. Противоположные изомеры не усваиваются клеткой и даже могут быть для неё вредными. Такое разделение появилось вместе с возникновением жизни на Земле и не менялось в течение всего процесса эволюции.

Проверьте свои знания

1. Как проявляется симметрия во времени в природных и общественных процессах? Какое свойство живого отражает симметрию во времени?

2. Что такое радиальная симметрия? Приведите примеры.

3. Объясните, почему двустороннюю симметрию иначе называют зеркальной.

4. Опираясь на знания, полученные в курсе биологии, объясните, с чем связано возникновение двусторонней симметрии в животном мире. В чём особенность живых организмов, обладающих радиальной симметрией?.

5. В каких системах нарушается равноправие D– и L-изомеров химических веществ?

Задания

1. Подберите эпиграф к данному параграфу.

2. Используя дополнительную литературу и ресурсы Интернета, подготовьте сообщение или презентацию на тему «Симметрия в природе и искусстве».

 

§ 7 Cистемы и системный подход

Редукционизм и холизм.

Развитие науки и проведение исследований в самых разнообразных областях человеческого познания привели к выводу, что в природе, помимо строгих физических законов, существуют и иные, не менее значимые закономерности, без учёта которых знания о существующем в природе порядке остаются неполными. Как мы уже могли убедиться, основой научного подхода является представление о том, что, детально изучив свойства элементов, составляющих некий целостный объект, и силы взаимодействия между этими элементами, мы можем получить полное знание об исследуемом объекте. Такое представление называют элементаризимом или редукционизмом (от лат. reductio – возвращение, приведение обратно). Однако среди некоторых мыслителей существовал и противоположный подход, сформулированный ещё Аристотелем и заключающийся в том, что целое не может быть просто суммой своих частей, оно содержит в себе нечто большее, несводимое к свойствам отдельных частей. Высказывались мнения о том, что целое и является главным во всяком объекте, а его элементы подчиняются свойствам этого целого. Такой подход получил название холизма (от греч. holos – целое).

Теория систем.

Попытки примирить эти два представления, каждое из которых имело свои достоинства и недостатки, привели к возникновению системного подхода и основанных на нём системных исследований. Впервые идея о системном подходе к исследованию самых разнообразных явлений – от механических до социально-экономических – была высказана русским врачом, философом и революционером Александром Александровичем Богдановым (1873–1928). Главная идея его книги «Тектология или всеобщая организационная наука» заключалась в том, что к изучению любого явления надо подходить с точки зрения его организации. Богданов полагал, что законы организации систем едины для любых объектов. Самые разнородные явления объединяются общими структурными связями и закономерностями.

Однако идеи Богданова не получили широкой известности, и в 30—40-х гг. XX в. австрийский биолог Людвиг фон Берталанфи (1901–1972) предложил свои, во многом схожие с позицией Богданова принципы, которые он обозначил как «Общая теория систем». На основе этих принципов был разработан системный подход к исследованию самых разнообразных процессов и явлений. В рамках системного подхода любой объект (система) рассматривается как совокупность элементов (подсистем), которые находятся в постоянном взаимодействии друг с другом и с внешней средой. Существует много определений понятия «система». Приведём одно из них.

«Система – существующая как единое целое совокупность взаимосвязанных и взаимодействующих элементов, в которой функционирование каждого элемента подчинено необходимости сохранения целого».

При этом любой реально существующий в природе объект может рассматриваться и как система, состоящая из взаимодействующих частей, и как часть более общей и сложной системы. Если рассматривать, например, человека, то с точки зрения социологии, истории или экономики он может рассматриваться как часть или элемент сложной этнической и социально-экономической системы (рис. 191). Физиолог же будет рассматривать его как сложную систему, состоящую из взаимодействующих частей, которые представлены органами и тканями. Но каждый орган, ткань и даже каждая клетка, в свою очередь, также может рассматриваться как система. Например, элементами клетки являются мембраны, органоиды и биологически активные молекулы.

Таким образом, между системами не существует чёткой границы, и вопрос о том, что именно считать системой и её элементами, каждый раз решается исследователем в соответствии с поставленной им задачей. Уильям Росс Эшби, один из создателей кибернетики – науки, основанной на тех же принципах, что и теория систем, говорил, что возможных событий в мире гораздо больше, чем тех, которые реально осуществляются.

Рис. 191. Человека можно рассматривать и как часть системы, и как сложную систему, состоящую из множества других систем

Поэтому каждый наблюдатель может учесть лишь малую часть всех возможностей.

«Следовательно, любая система, подчиняющаяся определённым требованиям, может быть представлена таким образом, что она будет обнаруживать разнообразие произвольно определённых «частей» просто за счёт изменения точки зрения наблюдателя».

Поэтому существует даже такое определение системы:

«Система есть то, что рассматривается как система».

Внешние и внутренние системы.

Нужно обратить внимание на одно важное обстоятельство. Часто словом «система» обозначают два различных понятия. Существуют, например, системы, созданные для классификации каких-либо объектов. Типичным примером является классификация живого мира, предложенная Карлом Линнеем и в общих чертах сохранившаяся до нашего времени. Точно так же можно создать систематику минералов, небесных тел или чего-либо ещё. Такие системы создаются человеком для того, чтобы ему было удобно ориентироваться в природных явлениях. Реально в природе они не существуют. Представители одного отряда животных могут обитать на разных континентах, никогда не вступая во взаимодействие. Поэтому такие системы часто называют внешними, так как создающий их человек является по отношению к ним внешним фактором.

Другие системы реально существуют в природе, независимо от точки зрения наблюдателя. К ним относятся организмы, природные сообщества или государства. Такие системы называют внутренними, потому что они организуются самостоятельно. Важно, что если во внешних системах элементы выбираются по принципу сходства, то во внутренних, наоборот, необходимо их разнообразие, потому что каждый элемент занимает особое место и выполняет специфическую роль при взаимодействии с другими элементами. В действительности, однако, существует много систем, сочетающих в себе признаки внешних и внутренних. Например, биологический вид может служить элементом внешней системы, если его представители обитают на разных территориях и не взаимодействуют, либо элементом внутренней системы, если принадлежащие к нему организмы живут вместе и образуют популяцию.

Кибернетика – наука о принципах управления

Приблизительно в то же время, что и теория систем Берталанфи, т. е. в 40-х гг. ХХ в., возникла родственная ей наука, которая в математическом виде исследовала общие принципы управления. Она получила название кибернетика (от греч. hypernetike – искусство управления). Кибернетика – это наука об общих закономерностях процессов управления в различных системах, включая машины, живые организмы или общество. Само название было предложено в 1948 г. американским математиком Норбертом Винером (1894–1964) (рис. 192), которого называют отцом кибернетики. От общей теории систем кибернетика отличается большей математической и технической направленностью, её главными задачами являются математическое моделирование регуляторных процессов и создание автоматов, имитирующих работу живых организмов вплоть до искусственного интеллекта. Кибернетика изучает различные виды управляющих систем. Для того чтобы система могла чем– либо управлять, она должна быть, во-первых, достаточно сложной, а во-вторых, динамической, т. е. способной к постоянному изменению. Поэтому говорят, что предметом кибернетики является исследование сложных динамических систем. При этом кибернетику не интересуют конкретные физические, химические или биологические основы протекающих процессов – одни и те же приёмы и методы используются для описания закономерностей, которые обнаруживаются в механизмах, живой клетке, мозгу или в обществе.

Рис. 192. Норберт Винер

Для решения поставленных кибернетикой задач требовался огромный объём математических вычислений. Поэтому развитие кибернетики сопряжено с появлением и бурным развитием электронно-вычислительной техники, которая одновременно и использовала достижения этой науки, и способствовала решению её новых задач. Появление и усовершенствование электронно-вычислительных машин сделало возможным практическое применение системного подхода и основанного на нём системного анализа сложных природных и социальных объектов. Кибернетика, так же как и теория систем, тесно связана с относительно новыми науками – теорией информации и синергетикой, с которыми вы познакомитесь позже.

Проверьте свои знания

1. Что означают понятия редукционизма и холизма?

2. На каких принципах строится системный подход?

3. Что такое «внешние» и «внутренние» системы?

4. Что означает слово «кибернетика»? Что является предметом исследований в кибернетике?

Задания

1. Подберите эпиграф к данному параграфу.

2. Приведите пример какой-либо природной или искусственной системы. Опишите входящие в неё элементы, их взаимодействие и свойства этой системы как целого.

 

§ 71 Методы исследования систем

Методы исследования систем зависят от величины систем, их сложности и степени точности установления связей между элементами системы. В простейшем случае, если система состоит из небольшого числа элементов, между каждой их парой могут быть установлены связи. Если такая связь существует, то это значит, что между элементами существуют какие-то отношения. Представим себе систему из трёх девушек, которых зовут Даша, Маша и Катя. При этом Даша знакома и с Машей, и с Катей, а Маша и Катя между собой не знакомы. Изобразим эту систему (рис. 193).

То, что представлено на рисунке, называют графом. Граф – это фигура, состоящая из точек и линий, соединяющих некоторые точки.

Рис. 193. Граф, иллюстрирующий взаимоотношения между Машей, Катей и Дашей

Точки называют вершинами графа, а линии – рёбрами. Если между всеми элементами системы установлены связи, то каждая вершина соединена рёбрами с любой другой. Такой граф называют полным. В нашей группе из трёх девушек полный граф получится, если Маша познакомится с Катей. Если же, напротив, Даша куда-нибудь уедет и перестанет общаться как с Машей, так и с Катей, то в графе не останется ни одного ребра, и он станет пустым.

Пока мы установили только наличие отношений между девушками, но не выяснили, какие это отношения. Предположим, что все три девушки знакомы между собой, но Даша дружит и с Машей, и с Катей, однако при этом Маша Катю недолюбливает. Чтобы изобразить эти отношения в виде графа, надо сделать так, чтобы рёбра имели положительный или отрицательный смысл. Для этого можно поставить над ними знак «+» или «-» или, как это часто делается, положительную связь изобразить в виде сплошной линии, а отрицательную – в виде пунктира.

Таким способом мы определили характер отношений между членами группы, однако в некоторых случаях этого бывает недостаточно. Иногда требуется выяснить не только наличие и знак связи, но и направление, в котором один элемент системы влияет на другой. Можно найти много примеров, когда один из элементов влияет на состояние другого, но тот не оказывает никакого действия на первый. Учитель может научить школьника химии, но ученик вряд ли что-нибудь добавит к знаниям учителя по этому предмету. Погода влияет на урожай свёклы, но урожай свёклы никак не влияет на погоду. В этом случае мы изобразим рёбра графа не просто чёрточками, а стрелками, показывающими, в каком направлении оказывается влияние. Такой граф называют организованным графом или сокращенно орграфом . В этом случае влияние также может быть положительным или отрицательным, что обозначается знаками около стрелок или типом линии, с помощью которой они изображаются.

Типы обратных связей

Во многих случаях элементы в каждой паре оказывают взаимное влияние друг на друга. Такое отношение называют обратной связью и изображают на графе двумя противоположно направленными стрелками. В зависимости от характера воздействия, т. е. от знаков, которые приписываются этим стрелкам, можно выделить три типа обратных связей.

Отрицательная обратная связь, или плюс-минус взаимодействие, обеспечивает стабильность системы, невозможность выхода её состояния за определённые пределы. Мы уже рассматривали пример отрицательной обратной связи в § 9, где говорили об экологических моделях. Представьте себе систему из двух элементов A и B, которые связаны таким образом, что A усиливает B, а B ослабляет A. Что будет, если состояние одного из элементов немного изменится? Допустим, что величина A увеличилась. За этим тотчас же последует увеличение B. Но это увеличение вызовет снижение A, и в результате система останется в прежнем состоянии или, как в случае лис и зайцев, будет совершать колебания около некоего среднего значения. Поэтому такой тип взаимодействия называют также стабилизирующей обратной связью . Отрицательная обратная связь часто встречается в природных биологических процессах и широко применяется в разнообразных технических приспособлениях. Простым известным примером может быть устройство сливного бачка, где поступающая вода поднимает поплавок, который прекращает дальнейшее поступление воды.

Отрицательная обратная связь имеет огромное значение для устойчивости природных и технических систем. Но легко понять, что, если бы все системы были абсолютно устойчивы, было бы невозможно никакое развитие. Изменения в системах обеспечиваются ещё двумя типами обратных связей. Одну из них называют положительной обратной связью . Она состоит в том, что оба элемента в паре усиливают друг друга. Если вывести такую систему из равновесия, немного усилив элемент A, то элемент B тоже усилится, что приведёт к дальнейшему увеличению A и т. д. В результате оба элемента будут постоянно возрастать до возможного в этих условиях предела. Такая ситуация часто возникает в группе людей и приводит к разрастанию возникшего скандала или паники. Если же нарушение равновесия выразится в уменьшении A, то это приведёт к уменьшению B, и процесс будет продолжаться до тех пор, пока оба элемента не достигнут своих минимальных значений. Такую картину можно наблюдать в экологических системах, где между двумя видами живых организмов существуют симбиотические отношения, т. е. отношения взаимопомощи (рис. 194).

Третий тип обратной связи называют антагонистической связью , она выражается в подавлении каждым элементом своего партнёра. Если один из элементов случайно усилится, то это приведёт к ослаблению второго элемента и вслед за этим – к дальнейшему усилению первого. Процесс будет продолжаться до тех пор, пока один элемент не достигнет максимального, а второй – минимального значения. Примером может служить экологическая ситуация, когда два вида находятся в конкурентных отношениях.

Чёрный ящик.

Существует, однако, множество систем, в которых мы не можем установить точных связей между элементами потому, что эти связи очень сложны, или потому, что элементов очень много и за ними невозможно пронаблюдать. Для изучения таких систем используют другие методы исследования.

Рис. 194. Опыление цветков пчёлами – пример симбиотических взаимоотношений

На заре кибернетики появилось и широко использовалось понятие чёрного ящика, под которым понималась система, слишком сложная для непосредственного изучения, но для которой можно установить связь между её входами и выходами. Для этого надо наблюдать, что воздействует на систему, или искусственно воздействовать на неё, одновременно следя за ответной реакцией, т. е. зная, что есть «на входе», следить за результатами «на выходе» системы.

В некоторых случаях можно установить однозначную связь между состоянием входов (воздействия) и состоянием выходов (реакции) при том, что мы не можем в точности знать, как ведёт себя каждый из элементов системы. Но ведь мы убеждены в том, что результат определяется именно этими элементами. Как же нам описать их поведение? Не имея возможности точно определить характеристики этих элементов, мы можем оценить их приблизительно, с какой-то степенью допуска. Здесь мы опять сталкиваемся с проблемой отношения детерминизма и случайности. Если мы не можем установить, как ведёт себя в точности молекула в сосуде с газом, муравей в муравейнике или человек в государстве, мы должны считать это поведение в большей или меньшей степени случайным. Но что означает «в большей или меньшей»? Как измерить случайность? Для этого существует понятие математической вероятности, с которым мы познакомимся в следующем параграфе.

Проверьте свои знания

1. Что такое граф? Что такое вершины и рёбра графа? Что такое «полный» и «пустой» граф?

2. Какой граф называется организованным?

3. Какие типы взаимодействия между элементами существуют при отрицательной, положительной и антагонистической обратных связях?

4. Что такое метод чёрного ящика?

Задания

1. Приведите примеры взаимоотношений организмов в природе, основанных на положительной обратной связи.

2. Приведите примеры систем с отрицательной, положительной и антагонистической обратными связями. Начертите организованные графы, в которых обозначьте типы связей между элементами.

3. Существует группа людей, состоящая из восьми человек. Участники этой группы А, Б и В образуют первую подгруппу, а участники Г, Д и Е – вторую. Члены каждой подгруппы дружат между собой, но не любят членов другой подгруппы. Участники Ж и З находятся во взаимных дружеских отношениях и не вмешиваются в отношения участников этих двух подгрупп. Наконец, в группе имеется участник И, который умудряется дружить со всеми членами коллектива. Нарисуйте граф, иллюстрирующий отношения в группе.

 

§ 72 Вероятность

В жизни нам часто приходится сталкиваться с наблюдениями или испытаниями, результаты которых невозможно предвидеть, потому что они зависят от различных обстоятельств, которые мы не знаем или не можем учесть. Часто мы говорим, что некое событие скорее всего произойдёт или, наоборот, что его наступление маловероятно. «Вряд ли завтра будет дождь» или «Скорее всего, мы на следующей неделе поедем на дачу». Что стоит за этими высказываниями и можно ли их выразить в строгой математической форме? Идея о том, что можно как-то измерить значения событий, которые ещё не произошли, но в принципе могут произойти, возникла, как ни странно, в связи с изучением закономерностей выигрышей в азартных играх, таких как карты или кости (рис. 195). Невозможно предсказать, какая карта будет вынута из перетасованной колоды или сколько очков окажется на верхней грани упавшей кости. Однако можно заметить, что если мы будем много раз вытаскивать карты, то туз бубен появится почти точно столько же раз, сколько и тройка треф. Количество выпавших шестёрок на кости будет почти точно такой же, как и количество единиц.

Рис. 195. Изучение закономерностей выигрышей в азартных играх привело к мысли, что можно измерить вероятность ещё не наступившего события

В этих случаях говорят, что все карты колоды или все грани кубика имеют равную вероятность быть вынутыми или выброшенными.

Назовём событие, которое в настоящее время нас интересует, благоприятным. Например, таким событием будет выпадение шестёрки на игральной кости. Если мы будем бросать кость много раз, то увидим, что отношение числа благоприятных событий к общему числу событий, т. е. ко всем результатам бросания кости, будет оставаться постоянным. (В данном случае оно будет равно 1/6.) Это отношение называют вероятностью наступления благоприятного события. Для того чтобы правильно определить вероятность, требуется провести очень много испытаний. Если мы бросим кость один раз, то число благоприятных событий может быть только нулём или единицей. Если бросить кость два раза, то очень возможно, что шестёрка не выпадет ни разу, хотя вполне может случиться, что она окажется сверху в обоих случаях. Поэтому вероятностью, строго говоря, надо называть предел отношения благоприятных событий к общему числу событий, когда общее число событий стремится к бесконечности. Ввиду того что число благоприятных событий не может быть меньше нуля и больше числа всех событий, вероятность представляет собой число, которое может принимать значения от 0 до 1. В математике вероятность обычно выражается буквой р, так что 0 ≤ р ≤ 1. Событие, вероятность которого равна нулю, называются невозможным, а то, вероятность которого равна единице, – достоверным.

Такой способ определения вероятности называют эмпирическим, он требует проведения большого числа испытаний или наблюдений. В некоторых случаях без него невозможно оценить вероятность того или иного события. Например, для того чтобы узнать вероятность того, что 1 июня следующего года будет солнечный день, необходимо взять результаты метеорологических наблюдений для 1 июня за многие десятки лет, найти, сколько раз в этот день была ясная погода, и разделить это число на количество лет, в течение которых проводились наблюдения.

Однако во многих случаях вероятность события можно определить, не проводя испытаний, на основе только теоретических рассуждений. У нас нет никаких оснований думать, что шестёрка, как и любое другое число очков, будет выпадать чаще других. Поэтому можно заранее утверждать, что вероятности выпадения всех шести возможных вариантов равны между собой и, следовательно, равны 1/6. Если мы вытаскиваем наугад карту из полной колоды, то вероятность того, что она будет червовой, равна j, точно такой же, как и для любой другой масти. Если мы много раз будем вынимать по карте (назовём это действие испытанием), а затем каждый раз возвращать её обратно и перетасовывать колоду, то результат достаточного количества испытаний будет такой: 1/4 червей, 1/4 бубен, 1/4 треф и 1/4 пик. Если же результат окажется иным, то это будет означать, что масти в колоде находятся не в равном количестве, т. е. что колода «неправильная».

Рис. 196. Урна с шарами (пояснения в тексте)

Точно так же, если на игральной кости какое-то число будет выпадать чаще или реже, чем в одной шестой случаев, мы можем быть уверенными, что кость бракованная. Если все возможные события имеют одинаковые вероятности, их называют равновероятными. Если число таких событий равно N, то вероятность каждого из них равна 1/N.

Однако далеко не всегда мы имеем дело с равновероятными событиями, можно даже сказать, что чаще бывает наоборот. Рассмотрим простой пример. У нас есть ящик (в теории вероятности он называется урной), в котором находится 10 тщательно перемешанных шаров, из которых 5 белых, 3 чёрных и 2 красных (рис. 196). Вынем наугад один шар. Спрашивается, какова вероятность извлечь шар определённого цвета? Очевидно, что мы имеем 5 шансов из 10 вынуть белый шар, 3 – чёрный и 2 – красный, т. е. вероятности вынуть белый, чёрный и красный шар равны, соответственно, 0,5, 0,3 и 0,2. События, заключающиеся в извлечении белого, чёрного или красного шара, называют несовместимыми, так как невозможно, чтобы вынутый шар был одновременно белым и красным.

Теперь представим себе, что нас интересует вероятность того, что вынутый шар будет либо белым, либо красным. Поскольку в урне имеется 7 шаров, удовлетворяющих нашему требованию, то и вероятность такого события будет равна 0,7. Но 0,7 = 0,5 + 0,2. Отсюда следует вывод: вероятность того, что произойдёт какое-либо из несовместимых событий, равна сумме вероятностей этих событий. Допустим, мы хотим узнать вероятность того, что брошенная кость покажет число очков, делящееся на 3. Этому условию соответствуют 3 и 6 очков. Так как вероятность выпадения каждого из них равна 1/6, то интересующая нас вероятность будет равна1/6+1/6=1/3

Теперь определим вероятность того, что интересующее нас событие не произойдёт. В примере с урной мы хотим знать вероятность того, что вынутый шар не будет красным. Очевидно, что здесь мы имеет дело с двумя несовместимыми событиями: шар будет либо красным, либо не красным. Вероятность первого события равна 0,2, а вероятность второго 0,5 + 0,3 = 0,8. Значит, с вероятностью 0,8 мы вынем из урны не красный шар. Обратим внимание на то, что сумма вероятностей всех возможных несовместимых событий равна 1. Это вполне очевидно, так как ясно, что какое-нибудь событие из всего набора возможных произойдёт наверняка. Этот факт достоверен, а потому его вероятность равна 1. Но вероятность того, что какое-нибудь из всех возможных событий произойдёт, равна сумме их вероятностей и, следовательно, эта сумма вероятностей равна 1. Отсюда следует, что вероятность того, что какое-то событие не наступит, равна 1 минус вероятность того, что оно наступит, потому что либо то, либо другое произойдёт наверняка: р(А) + р(неА) = 1.

Для того чтобы всё это лучше понять, решим простую задачу. Через остановку проходят автобусы трёх маршрутов. Известно, что по первому маршруту курсирует 15 автобусов, по второму – 20, а по третьему – 25. Вам нужен автобус второго маршрута. Какова вероятность того, что первый пришедший автобус вас не устроит?

Для того чтобы облегчить решение, прибегнем к аналогии с задачей о шарах в урне. Условия нашей задачи равносильны тем, когда в урне находится 15 белых шаров, 20 чёрных и 25 красных. Итого 60 шаров. Какова вероятность того, что первым будет вынут не чёрный шар? Вероятность вынуть белый шар (первый маршрут) равна р(Б1) = 15/60 = = 3/12. Вероятность вынуть чёрный шар (ваш второй маршрут) равна р(Ч2) = 20/ 60 = 4/12. Вероятность же вынуть красный шар (третий маршрут) равна р(К3) = 25/60 = 5/12. Если вероятность того, что первый маршрут окажется вашим, р(Ч2) = 4/12, то вероятность противоположного события, т. е. того, что вам не повезёт, должна быть равна 1 – 4/12 = = 8/12. Проверим. Если автобус оказался не вашим, значит, он принадлежит либо первому, либо третьему маршруту. Вероятность того, что придёт один из них р(Б1 или К3) равна р(Б1) + р(К3) = 3/12 + 5/12 = 8/12, что и совпадает с полученным нами результатом.

Проверьте свои знания

1. От чего зависит точность определения эмпирической вероятности благоприятного события?

2. Чему равна вероятность каждого из равновероятных событий, если общее число таких событий равно N?

3. Какие события называются несовместимыми? Какова вероятность того, что наступит хотя бы одно из двух несовместимых событий, вероятности которых равны P и Q? Чему равна вероятность того, что событие с вероятностью Р не наступит?

Задания

1. Подберите эпиграф к данному параграфу.

2. В урне находится 4 белых, 6 чёрных и 2 красных шара. Определите вероятность того, что:

• вынутый шар будет чёрным;

• вынутый шар будет чёрным или зелёным;

• вынутый шар не будет зелёным.

3. Обсудите в классе, какова взаимосвязь между понятиями «вероятность» и «риск».

4. Вспомните примеры из истории или литературных произведений, где участник (герой), оценивая вероятность наступления определённых событий, принимает решение и оказывается в выигрыше.

 

§ 73 Условная вероятность и случайные процессы

Представим теперь, что нас интересует наступление двух различных событий. Предположим, что детская конноспортивная школа состоит из двух секций: выездки и конкура. Выездкой занимается 15 девушек и 5 юношей, а конкуром – 10 девушек и 20 юношей. Какова вероятность того, что первый встреченный нами в школе ученик будет заниматься конкуром? Условимся считать встречу с членом секции конкура благоприятным событием. Вообще же событием будем считать встречу с любым из занимающихся в этой спортивной школе учеников. Тогда общее число возможных событий равно 15 + 5 + 10 + 20 = 50. Число благоприятных событий равно 30. Следовательно, интересующая нас вероятность равна 30/50 = 0,6. Теперь предположим, что, зайдя в школу, мы встретили девушку. Какова вероятность того, что она занимается конкуром? Очевидно, что вероятность равна отношению числа девушек, занимающихся конкуром, к общему числу девушек в школе, т. е. 10/25 = 0,4. Мы видим, что эта вероятность меньше предыдущей. Откуда взялась эта разница? В первом случае мы знали только число учеников, занимающихся конкуром или выездкой. Теперь у нас появились дополнительные сведения: оказалось, что встреченный ученик, вернее ученица, женского пола. Таким образом, величина 0,4 означает вероятность того, что первый встреченный нами человек занимается конкуром при условии, что он женского пола. Такую вероятность называют условной, и она может отличаться от ранее вычисленной вероятности. Таким способом можно вычислить и другие вероятности, выбирая различные условия. Какова безусловная вероятность встретить в конноспортивной школе юношу? Очевидно, 0,5, так как ровно половину из всех учеников составляют юноши. А какова вероятность встретить юношу при условии, что он занимается в секции выездки? Поскольку из 25 юношей, занимающихся в конноспортивной школе, только 5 занимаются выездкой, то вероятность такого события равна 5/25 = 0,2.

Если вероятность события А не изменяется в зависимости от того, наступило событие В или нет, то события А и В называют независимыми. Например, вероятность того, что завтра будет дождь, никак не связана с тем, какую оценку вы получили по естествознанию. Если события А и В независимы, то вероятность того, что наступит и то и другое, равна произведению вероятностей этих событий. Например, мы хотим определить вероятность того, что завтра одновременно произойдут два приятных события, оба из которых являются случайными и независимыми: не состоится урок по естествознанию и в буфет привезут особенно вкусные пирожные. Мы знаем, что урок отменяют в среднем один раз из десяти, а пирожные завозят в среднем один раз в три дня. Выражение «в среднем» означает, что мы не знаем точно, в какой день не состоится урок или привезут пирожные. Мы знаем только, что 10 из 100 уроков обычно по той или иной причине отменяют, а в течение 30 учебных дней интересующие нас пирожные привозят 10 раз. Возможна, например, такая ситуация, когда подряд 3 урока не состоятся из-за болезни учителя, потом в течение месяца не будет отменён ни один, а затем 4 занятия подряд будет пропущено из-за карантина и т. д. Точно так же пирожные могут привозить 3 дня подряд, потом 10 дней не привезти ни разу, а затем снова 2 дня подряд, опять неделю ни разу и т. д. В этом случае и говорят, что отмена урока или доставка пирожных являются случайными событиями. Мы не знаем точно, наступит ли то или иное событие, но можем определить его вероятность. Мы знаем, что вероятность того, что завтра не будет естествознания, равна 1/10, а вероятность полакомиться пирожным – 1/3. Значит, вероятность того, что завтра повезёт сразу в двух событиях, равна 1/10 •1/3 = 1/30.

Условная вероятность имеет большое значение в тех случаях, когда надо предсказывать будущие события или рассчитывать протекание каких-либо процессов, не зная в точности, какие случайные факторы могут вмешаться в ход этого процесса. В природе существуют процессы, ход которых не может быть нарушен случайными вмешательствами. Если выпустить из руки камень, то можно точно предсказать, когда и в каком именно месте он упадёт на пол. Вернее, это можно сделать почти точно, так как возможно, хотя и крайне маловероятно, что в течение той доли секунды, когда камень падает, произойдёт, например, землетрясение. Можно встретить процессы, где результат в принципе предопределён, но возможность вмешательства случайности достаточно велика. Например, мы имеем сложный редуктор с системой зубчатых передач, где вращение передаётся от одной шестерёнки к другой, от неё – к следующей, и так много раз. Такой процесс в принципе строго предопределён и полностью подчиняется законам механики. Однако не исключены случаи, когда один зубчик в какой-либо шестерёнке сотрётся или в механизм попадёт песчинка, в результате чего точность механизма будет нарушена. Существуют, однако, такие процессы, в которых последовательность событий зависит от множества причин, которые невозможно учесть.

Рис. 197. Схема разветвления дорог (пояснения в тексте)

Такие процессы называют случайными или вероятностными.

Рассмотрим простой пример случайного процесса (рис. 197). Путешественник хочет пройти из пункта А в пункт Б. Из пункта А выходят три дороги: одна ведёт в пункт Б, вторая – в тупик, а третья через некоторое время раздваивается так, что одна ветвь ведёт в тупик, а вторая в пункт Б. У путешественника нет карты, и на каждой развилке он выбирает дальнейший путь случайно, считая все варианты равновероятными. Спрашивается, какова вероятность того, что он попадёт в пункт Б, ни разу не зайдя в тупик?

Вероятность того, что путешественник выйдет из пункта А по каждой из трёх дорог, равна 1/3. Если он пойдет по первой дороге, он сразу же попадёт в нужное место, т. е. с вероятностью 1/3 он сразу попадёт в пункт Б. Вероятность пойти по второй дороге тоже равна 1/3, но в этом случае он попадает на развилку, где ему приходится выбирать с равной вероятностью между правильной дорогой и путём в тупик. Вероятность выбора правильной дороги на развилке составляет 1/2.

Выбор направления в пункте А никак не влияет на выбор направления на развилке, т. е. эти события независимы. Вспомним, что вероятность того, что наступят оба независимых события, т. е. что путешественник вначале выберет вторую дорогу, а затем дорогу в пункт Б, равна произведению вероятностей обоих событий. Следовательно, вероятность того, что путешественник попадёт в пункт Б этим путём, равна 1∕3 •1∕2 = 1∕6. Вычислим вероятность того, что путешественник вообще попадёт в пункт Б. Понятно, что если он выберет третью дорогу, то эта вероятность равна нулю, и этот вариант можно не учитывать. Следовательно, есть только два варианта попасть в нужное место: пойти или по первой, или по второй дороге. Выбор либо первой, либо второй дороги – несовместимые события, ведь нельзя пойти сразу по двум дорогам. Поэтому вероятность того, что путешественник попадёт в пункт Б по любому из этих путей, не зайдя в тупик, равна сумме вероятностей для каждого пути, т. е. 1∕3 + 1∕6 =3/6= 1∕2. Вероятность противоположного события (попасть в тупик) равна 1 – 1∕2 = 1∕2. Таким образом путешественник имеет равные шансы попасть в пункт Б или зайти в тупик.

При моделировании природных или социально-экономических процессов и при разработке систем автоматического управления используют подобного рода цепи, состоящие из множества шагов (развилок). Если известны вероятности выбора каждого из вариантов на разных ступенях процесса, то конечный результат часто удаётся предсказать с поразительной точностью.

Проверьте свои знания

1. В каком случае события А и В называются независимыми?

2. Чему равна вероятность наступления сразу двух независимых событий, если вероятность наступления каждого равна соответственно P и Q?

3. Что такое условная вероятность?

4. Что такое вероятностные процессы?

Задания

1. Подберите эпиграф к данному параграфу.

2. Ученик полагает, что вероятность успешной сдачи им зачёта по естествознанию равна 0,6, а по истории – 0,8. Какова, по его мнению, вероятность того, что он успешно сдаст оба зачёта? Какова вероятность того, что он не сдаст ни одного из двух зачётов?

3. В первой урне находится 4 белых и 8 чёрных шаров, а во второй – 12 белых и 8 чёрных. Какова вероятность вынуть белый шар, если брать его наугад из первой попавшейся урны? Какова вероятность того же события при условии, что шар вынимается из второй урны?

4. Приведите примеры географических и научных открытий, которые произошли случайно, вопреки запланированному.

5. Порой в нашей жизни происходят некие случайные события, которые влияют на нашу судьбу. История знает множество подобных примеров. Вот один из них. Известный французский парфюмер Франсуа Коти вопреки строгим правилам первым начал добавлять в духи помимо естественных компонентов ещё и синтетические материалы. В результате они были настолько новаторскими, что ни один магазин не хотел рисковать. Но однажды, во время визита в очередной универмаг, Коти случайно уронил флакон со своими духами, и тот разлетелся вдребезги. Воздух наполнился ароматом, и посетители стали требовать именно эти духи. Аромат был тут же принят, и за несколько дней разошлось 500 флаконов. Так парфюмерный шедевр Коти произвёл настоящую революцию.

Были ли в вашей жизни или в жизни ваших близких подобные счастливые случайности?

6. Джоан Роулинг написала первую книгу о Гарри Поттере, будучи нищей матерью-одиночкой. Спасаясь от глубокой депрессии, она выдумала мир волшебников, который помогал ей забыть о собственных злоключениях. Первые 18 издательств отказались печатать книгу, но 19-е всё-таки решило узнать мнение детей – те были в восторге! А Джоан Роулинг стала известна во всём мире. Всегда ли малая вероятность события означает, что следует отказаться от попыток его реализации? Сделайте выводы.

 

§ 74 Статистические методы в естественных и гуманитарных науках

В § 8 мы уже говорили о том, какую роль играют математические методы в обработке результатов научных экспериментов и наблюдений. В этом параграфе мы познакомимся с ними подробнее на основе тех представлений, которые мы получили, знакомясь с понятием вероятности.

Мы будем рассматривать системы, состоящие из достаточно большого числа элементов. Что такое «достаточно большое»? Это зависит от того, какая система исследуется. Иногда число элементов может быть действительно огромным, как, например, число молекул в физических экспериментах, где оно составляет миллиарды миллиардов. Иногда, например в социальных исследованиях, оно может иметь величину порядка нескольких тысяч, а в некоторых случаях, таких как психологические исследования, может быть равным всего нескольким десяткам. Однако независимо от того, какой порядок имеет число исследуемых элементов системы, во всех этих случаях применяют методы математической статистики, которые строятся на общих математических принципах. Слово «статистика» происходит от того же корня, что и штат. Вначале оно обозначало описание экономического или политического состояния государства или города. Впоследствии этот термин стал использоваться в более широком смысле и, в соответствии с одним из определений, обозначать представление результатов в наиболее сжатой форме.

Потребность в использовании статистики и её методов возникает при исследовании таких систем, где требуется выявить свойства целого на основании поведения его частей или элементов. При этом это поведение либо в принципе не наблюдаемо, как, например, поведение отдельных молекул в газах, либо обладает очень большим разнообразием. Последнее встречается в социологических и психологических исследованиях, где на основании самых различных предпочтений, суждений и поступков отдельных людей требуется сделать выводы, касающиеся всей группы или сообщества. Точно такая же ситуация часто возникает в биологии, когда каждое отдельное животное или растение проявляет во время эксперимента или наблюдения самые различные свойства, на основе которых надо описать всю группу этих организмов в целом.

В этот раз мы будем исследовать не размножение бактерий, как в § 8, а способность людей к решению определённого типа задач. Предположим, что психолог разработал систему тренинга, которая, как он думает, повышает успешность этого решения. Психолог выдвигает гипотезу, что разработанная им система тренинга эффективна. Но это только гипотеза, и она нуждается в проверке. Каким образом нужно грамотно провести эту проверку? Для этого надо создать две группы испытуемых, одна из которых будет контрольной, а другая – экспериментальной. Важно, чтобы эти группы в среднем ничем не различались между собой. В этом случае говорят, что они должны быть выравнены по всем основным свойствам, которые могут характеризовать человека. Это значит, что в них должен быть равным средний возраст испытуемых, уровень их образования, одинаковое соотношение мужчин и женщин и т. д. Если это условие не будет соблюдено, то всегда можно будет сказать, что на успешность решения задач повлиял не тренинг, а какое-то другое различие между группами. Создав такие группы, психолог начинает проводить тренинг. Испытуемые экспериментальной группы периодически (допустим, через день) приходят на занятия и проводят там определённое время (допустим, полтора часа). Для того чтобы эксперимент был убедительным, испытуемые контрольной группы также должны через день приходить в то же помещение на полтора часа, но вместо тренинга заниматься там чем-либо другим, например слушать музыку или читать журнал.

Таблица 7

Оформление результатов эксперимента

Когда требуемое количество занятий проведено, психолог приступает к проверке эффективности своего метода, т. е. даёт испытуемым обеих групп определённое количество задач и определяет, со сколькими из них справился каждый участник эксперимента. Предположим, что задач было 10, а испытуемых по 15 в каждой группе. Полученные результаты выглядят так (табл. 7).

Для того чтобы сравнить результаты, полученные в группах, надо сначала вычислить средний результат в каждой группе. Для этой цели обычно берётся среднее арифметическое значение, которое вычисляется как сумма всех полученных значений, делённая на число испытуемых. В таблице среднее арифметическое обозначено в последнем столбце буквой М. Мы видим, что среднее количество решённых задач в экспериментальной группе больше, чем в контрольной. Однако это различие невелико, и вполне возможно, что оно получилось чисто случайно. Представьте себе, что мы случайным образом разделили 30 человек на две группы и, ничего с ними не делая, провели в каждой из групп испытание. Мы всегда получим какое-нибудь различие просто за счёт того, что способность к решению задач у всех испытуемых разная. Но в этом случае полученное различие будет объясняться случайными причинами. Как убедиться в том, что полученные психологом в эксперименте результаты не случайны, а действительно подтверждают эффективность разработанного им тренинга? Для этого существуют методы математической статистики, которые позволяют вычислить вероятность того, что полученные различия не случайны. Если эта вероятность окажется достаточно большой, то будут все основания считать, что разработанный тренинг действительно увеличивает способность к решению задач этого типа. В большинстве научных исследований принято, что такая вероятность должна быть не менее 0,95, тогда вероятность ошибки равна 1 – 0,95 = 0,05. Это значит, что в одном из двадцати случаев мы будем ошибочно считать, что наш метод действенен, в то время как на самом деле различия между группами являются чисто случайными. Ещё более уверенный вывод мы можем сделать, если окажется, что вероятность того, что полученные различия окажутся не случайными, будет равна 0,99 или 0,999. Тогда мы будем ошибаться всего в одном случае из ста или из тысячи. В противном случае вероятность ошибки слишком велика, поэтому говорят, что полученные различия не являются достоверными. Именно такой результат и получил наш психолог в своём исследовании. Его тренинг не дал достоверных результатов.

Но можно ли на этом основании утверждать, что разработанный психологом тренинг бесполезен? Нельзя, потому что для того, чтобы решить этот вопрос, требуется провести большее число испытаний. Вероятность определяется тем точнее, чем больше испытаний или наблюдений мы проводим.

Когда вероятность какого-либо события установлена на основании большого числа испытаний, она позволяет делать правильные прогнозы. Допустим, что проведён опрос среди жителей города, касающийся того, верят ли они рекламе стирального порошка. Из тысячи опрошенных мужчин и женщин различного возраста 428 ответили утвердительно. На этом основании можно сделать вывод, что вероятность того, что какой-то человек доверяет рекламе, равна приблизительно 0,43. Если в городе живёт 1 млн жителей, то 430 тыс. из них поверят рекламе. При правильном расчёте ошибка будет небольшой, и на этом основании рекламодатель может решить, выгодно ли ему платить за размещение своей рекламы.

Проверьте свои знания

1. В каких случаях требуется использование методов математической статистики?

2. Как вычисляется среднее арифметическое значение?

3. Вероятность чего определяется в результате статистической обработки экспериментальных данных?

4. От чего зависит точность прогноза, сделанного на основе статистической обработки данных?

Задания

1. Подберите эпиграф к данному параграфу.

2. Опираясь на полученные на уроках истории знания, приведите примеры использования статистики и её методов в древних государствах.

3. Объясните, как методы математической статистики применяются в современных демографических исследованиях.

4. Существует такое понятие, как «печальная статистика». Какое значение вкладывается в это словосочетание? Какие примеры из этой области вам известны? Как, по вашему мнению, можно изменить в лучшую сторону данную ситуацию?

Ваша будущая профессия

1. Докажите, что знание методов математической статистики необходимо не только специалистам, но и любому современному человеку.

2. Используя дополнительные источники информации, выясните, чем занимаются и где работают врачи-кибернетики.

3. Используя дополнительную литературу и ресурсы Интернета, выясните, что является областью деятельности актуариев.

4. Статистик – профессия, которая требует от специалиста высокой работоспособности, развитого аналитического мышления, математических способностей, хорошей памяти, способности к концентрации внимания в течение длительного времени. Статистики работают в банках и больницах, компаниях сотовой связи и телевизионных компаниях, страховых компаниях и магазинах, электронной торговле и исследовательских центрах. Напишите краткое эссе о том, какую именно работу выполняют статистики в этих сферах.