§ 1 Порядок и беспорядок в строении веществ

Как вам известно, все вещества состоят из молекул, атомов или ионов. При этом атомы или ионы в кристаллах некоторых веществ могут быть соединены прочными связями и образовывать жёсткие неизменяемые структуры со строго установленным порядком. Атомы или молекулы других веществ могут свободно перемещаться в пространстве, взаимодействуя с другими атомами или молекулами только тогда, когда случайно с ними столкнутся. В зависимости от типа взаимодействия молекул или атомов вещества могут находиться в определённом агрегатном состоянии. Существует три основных агрегатных состояния вещества – твёрдое, жидкое и газообразное. Иногда их называют также фазовыми состояниями.

Твёрдые тела

Твёрдые тела образованы веществами, находящимися в твёрдом агрегатном состоянии. Они обладают формой, не растекаются и не разлетаются по объёму окружающего их сосуда (рис. 1). Их атомы или молекулы сохраняют своё положение относительно других атомов или молекул благодаря межмолекулярным взаимодействиям. Наибольший порядок расположения атомов существует в кристаллических твёрдых телах: зная, где находится один атом, можно с большой точностью определить, где находится такой же другой. Атомы или молекулы в кристаллах располагаются в вершинах многогранников, образуя правильную структуру, которую называют кристаллической решёткой.

Иногда одни и те же элементы могут образовывать кристаллические решётки различной формы, что существенно сказывается на свойствах вещества. Например, алмаз и графит состоят только из атомов углерода. Различие их свойств обусловлено отличиями в строении их кристаллических решёток (см. рис. 131, учебник 10 класс). Самое известное и распространённое кристаллическое вещество – это лёд.

Другим видом твёрдых тел являются аморфные. Точки равновесия, вокруг которых колеблются составляющие их молекулы, расположены беспорядочно. Аморфные тела не имеют упорядоченной кристаллической структуры и ведут себя подобно очень вязким жидкостям. Примерами таких тел может служить стекло, а также различные смолы и клеи.

Жидкост

Другим агрегатным состоянием вещества является жидкое состояние. В отличие от твёрдых тел, жидкости не имеют постоянной формы, а принимают форму сосуда, в котором они находятся. Однако объём жидкости, как бы её ни разливали и не переливали из одного сосуда в другой, остаётся постоянным. Также этот объём не зависит от того, под каким давлением находится жидкость. Поэтому говорят, что жидкости несжимаемы. Между молекулами жидкости существует притяжение, достаточно сильное для того, чтобы удерживать их на близком расстоянии, но недостаточное для образования жёсткой структуры. Жидкости могут служить растворителями для многих веществ. Самым распространённым растворителем в природе является вода – в ней растворяются многие органические и неорганические вещества. Если в жидкости ничего не растворено и она представляет собой однородное химическое вещество, её называют чистой жидкостью. В противном случае она называется смесью.

Рис. 1. Агрегатные состояния воды (газообразное, жидкое, твёрдое) и связи молекул в различных агрегатных состояниях

Смеси могут существовать в виде растворов (если растворённое вещество присутствует в виде отдельных молекул или ионов) или взвесей (если в растворителе находятся более крупные частицы). Примером раствора может служить морская вода, а примером взвеси – молоко, состоящее из воды и мельчайших капель жира.

Газы

Наконец, существует агрегатное состояние, при котором молекулы почти никак не связаны между собой и находятся в хаотическом движении. Иногда они сталкиваются и при этом резко меняют направление своего движения.

Рис. 2. Плазма

Вещества, находящиеся в этом состоянии, называют газами, а само состояние – газообразным. Газ не способен сохранять ни свою форму, ни свой объём, который может значительно меняться при малейшем изменении температуры или давления. Находясь в сосуде, газ не образует поверхности, как это делает жидкость, а стремится заполнить весь сосуд целиком (см. рис. 1).

Плазма

Наконец, существует ещё один вид вещества, который иногда рассматривают как частный случай газообразного, но часто выделяют в особое, четвёртое, агрегатное состояние, называемое плазмой. Плазма представляет собой ионизированный газ, в котором часть электронов покидает оболочки своих атомов и оказывается в свободном состоянии. Плазма, таким образом, состоит из свободно передвигающихся электрических зарядов (электронов) и ионов, поэтому является проводящей средой и в гораздо большей степени взаимодействует с электрическими и магнитными полями, чем вещества в других агрегатных состояниях. По современным представлениям в состоянии плазмы находится около 99,9 % всего вещества Вселенной. Из плазмы состоят все звёзды, и даже межзвёздное пространство, в котором носятся мельчайшие электрически заряженные частицы пыли, тоже можно считать плазмой, хотя и очень разреженной.

Рис. 3. Огни святого Эльма (гравюра XIX в.)

Из хорошо известных нам явлений примером плазмы, смешанной с раскалённым газом, является огонь (рис. 2). Другой вид плазмы – это молнии, образующиеся в ионизированной атмосфере при возникновении электрического поля из-за неравномерного скопления положительных и отрицательных зарядов. Плазмой является также коронный разряд, имеющий вид светящихся пучков или кисточек на острых концах высоких предметов, таких как мачты кораблей, башни, высокие деревья или вершины скал. Такой разряд возникает, если напряжённость электрического поля в атмосфере достигает очень большой величины, что чаще всего бывает во время грозы или при её приближении. Он получил название огней святого Эльма от имени католического покровителя моряков (рис. 3). Моряки считали, что эти огни предвещают успех в плавании, а в случае опасности – спасение. Плазма составляет также значительную часть ионосферы – верхней части атмосферы. Таким образом, в отсутствие электрического воздействия плазма представляет собой хаотически движущиеся заряженные частицы, а в электрическом поле она приобретает направленное движение, как, например, разряд молнии.

Рассматривая четыре агрегатных состояния вещества, принятые в современной физике, можно заметить, что древние греки были не очень далеки от истины, считая, что все вещества состоят из четырёх первоэлементов – земли, воды, воздуха и огня. Теперь, когда мы знаем, что Земля является, по сути, твёрдым телом, вода – жидкостью, воздух – газом, а огонь – плазмой, мы уже не можем уверенно утверждать, что представления древнегреческих философов, включая Аристотеля, были слишком наивны.

Проверьте свои знания

1. Каким фактором определяется агрегатное состояние вещества?

2. Сравните кристаллические и аморфные твёрдые тела.

3. Опишите взаимодействие молекул в жидкости.

4. Приведите примеры естественных явлений, основу которых составляет плазма.

Задания

Исследуйте, как ведут себя кристаллические и аморфные вещества при нагревании. Для этого положите в морозильную камеру холодильника сосуд с водой и кусок парафина. Когда их температура сравняется и вода замёрзнет, достаньте предметы из холодильника и оставьте при комнатной температуре. Отметьте, что происходит с водой и парафином в процессе их нагревания.

 

§ 2 Теплота и температура

При изменении температуры или давления вещества могут менять своё агрегатное состояние. В качестве наиболее наглядного примера можно рассмотреть изменения агрегатного состояния воды. Как известно, при температуре ниже 0 °C вода находится в твёрдом состоянии, т. е. представляет собой лёд. При такой температуре она не может находиться в жидком состоянии, но может ли находиться в газообразном? Казалось бы, на этот вопрос напрашивается отрицательный ответ. Однако это не так. Все хозяйки знают, что бельё, вывешенное на балконе или во дворе, даже при сильном морозе со временем высыхает. Это происходит потому, что, несмотря на то что молекулы воды довольно прочно удерживаются в кристаллах льда, время от времени им удаётся оторваться и покинуть свою льдину. Оторвавшиеся молекулы образуют водяной пар, который всегда присутствует вокруг куска льда, хотя в морозную погоду его количество весьма невелико.

Когда температура достигает 0 °C, вода скачкообразно переходит в жидкое состояние. Этот процесс называют плавлением. Тепловая энергия, которую в это время поглощает вода, целиком расходуется на разрушение кристаллической решётки льда, поэтому до той поры, пока лёд полностью не растает, его температура повышаться не будет. Такую теплоту называют теплотой плавления, она поглощается без изменения температуры. Когда вся вода перейдёт в жидкое состояние, дальнейшее её нагревание будет сопровождаться ростом температуры. При этом из жидкой воды, так же как и изо льда, будет постоянно вылетать часть молекул. Для того чтобы молекула покинула жидкую среду, требуется затратить энергию. На испарение воды расходуется энергия в виде тепла, теряя которую вода остывает. Все знают, что при одной и той же температуре воздуха сухая одежда греет гораздо лучше, чем мокрая. Это известно и природе, которая для защиты организмов от перегрева создала механизм выделения пота. Теплота, расходуемая на испарение пота, забирается у организма и не даёт ему перегреться.

Когда температура воды достигнет 100 °C, начнётся её кипение, т. е. резкий переход в газообразное состояние. Если при более низкой температуре вода испаряется только с поверхности, то при кипении испарение происходит по всему объёму, что мы наблюдаем в виде постоянно образующихся, всплывающих и лопающихся пузырьков. Поступающую при этом к воде теплоту называют теплотой парообразования. Она будет целиком расходоваться на превращение воды в пар без изменения её температуры.

Лёд плавится (т. е. тает) при температуре 0 °C, а вода кипит при температуре 100 °C, только если процесс протекает при нормальном атмосферном давлении (760 мм рт. ст.). Если давление будет выше, то температуры плавления и кипения повысятся, а если ниже, то соответственно снизятся. Находясь в горах, сложно приготовить пищу, так как температура кипения воды будет ниже 100 °C. Наоборот, в специальных аппаратах – автоклавах, где создаётся высокое давление, вода может кипеть при температуре 110 °C и выше. При этом погибают те бактерии, для которых температура 100 °C не является смертельной. Это позволяет производить консервы в пищевой промышленности и эффективно стерилизовать медицинские принадлежности.

Так как для плавления и испарения вещества требуется затратить энергию, следовательно, при прочих равных условиях газообразное состояние вещества обладает большей энергией, чем жидкое, а жидкое – большей энергией, чем твёрдое. Таким образом, при переходе вещества из газообразного состояния в жидкое (конденсации) энергия должна выделяться. То же самое будет наблюдаться при застывании (кристаллизации) вещества. Количество теплоты, выделяемое веществом во время конденсации и кристаллизации, в точности равно тому, которое расходуется на их испарение и соответственно на плавление. Это следует из закона сохранения энергии.

Такой процесс, заключающийся в резких переходах из одного агрегатного состояния в другое при изменении температуры, характерен для кристаллических веществ, к которым относится, в частности, вода. Аморфные тела меняют своё состояние постепенно. При низкой температуре они могут выглядеть как твёрдые тела, а в процессе её повышения происходит их постепенное размягчение, в результате которого они сначала начинают вести себя как вязкие жидкости, а при очень высоких температурах и вовсе становятся жидкостями. В качестве примера можно рассмотреть стекло, которое при обычных температурах является настолько твёрдым, что его можно принять за кристаллическое тело. Однако при нагревании оно постепенно становится всё мягче, приобретает пластичность, а затем и текучесть, что и используется в стеклодувном производстве, где из разогретого мягкого стекла изготавливают предметы любой желаемой формы (рис. 4).

Всем известно, что при нагревании тела расширяются. Это происходит потому, что при увеличении температуры молекулы веществ становятся подвижнее, им сложнее удерживаться в тесной близости друг к другу. При этом твёрдые тела увеличиваются в размерах не очень сильно, жидкости – больше, а газы даже при небольшом изменении температуры значительно меняют свой объём.

Рис. 4. Стеклодув может придать стеклянному изделию самую причудливую форму

С другой стороны, мы знаем, что, для того чтобы что-либо нагреть, надо затратить энергию. Эта энергия может передаваться непосредственно в виде некоторого количества теплоты, например, когда мы ставим кастрюлю на огонь. Теплота самым тесным образом связана с энергией – чем горячее тело, чем выше его температура, тем больше энергии в нём содержится. Но что это за энергия? Она не может быть ни электрической, ни химической, так как оба эти вида энергии превращаются в тепловую только при определённых условиях. Что же она собой представляет?

В XVII – начале XVIII в. большинство учёных считали, что теплота определяется движением молекул. Роберт Бойль писал в 1652 г.: «То, что теплота заключается в некотором движении малых частиц тела, уже достаточно ясно». Но во второй половине XVIII в. стала популярной так называемая субстанциональная теория, согласно которой носителем теплоты является специальное вещество – теплород, обладающее такими удивительными свойствами, как невесомость и способность проникать во все вещества, одновременно расширяя их. Но эта теория просуществовала недолго, была поставлена под сомнение ещё в конце XVIII в. М. В. Ломоносовым и окончательно опровергнута в начале XIX в. английскими учёными Б. Румфордом и Г. Дэви. Проведённые ими эксперименты показали, что нагревание тел может происходить в результате трения, т. е. механическое движение может переходить в теплоту (рис. 5). Но если при этом не происходит никаких химических превращений, то логично предположить, что механическое движение так и остаётся механическим движением, но движутся в этом случае молекулы нагреваемого вещества. Таким образом, было установлено, что содержащаяся в каком-либо физическом теле тепловая энергия представляет собой не что иное, как суммарную кинетическую энергию составляющих тело молекул.

Рис. 5. Добывание огня трением

Теперь выясним, что представляет собой физическая величина, которую называют температурой. Из курса физики вам известно, что температура характеризует среднюю кинетическую энергию движения молекул. Чем больше средняя кинетическая энергия молекул тела, тем больше их скорость и выше температура тела.

Проверьте свои знания

1. Что такое теплота плавления и теплота парообразования? На какие процессы расходуется их энергия?

2. Как зависит температура плавления льда и испарения воды от атмосферного давления?

3. Почему при нагревании тела расширяются?

4. Какая точка зрения на природу теплоты была распространена в XVIII в.?

5. Что представляет собой тепловая энергия с молекулярной точки зрения?

6. Что характеризует температура тела?

Задания

1. Приведите примеры, иллюстрирующие нагревание предметов в результате трения.

2. Используя дополнительную литературу и ресурсы Интернета, выясните, что такое сварка трением. В чём преимущество этого типа сварки?

3. Прочитайте эпиграф к параграфу. Объясните, существует ли взаимосвязь между «земноводностью» нашей планеты и относительно стабильным температурным режимом на её поверхности.

 

§ 3 Идеальный газ и его законы

Изучение тепловых явлений в жидкостях и твёрдых телах часто вызывает затруднения. В этих системах молекулы постоянно взаимодействуют и достаточно прочно удерживаются друг возле друга. Гораздо проще обстоит дело с газами, где молекулы свободно перемещаются и пробегают большие расстояния, а их взаимодействия ограничены только случайными столкновениями. Конечно, в реальных газах приходится учитывать возможную ионизацию и возникающие в результате неё силы электрического притяжения и отталкивания, а также размеры и массу молекул. Однако метод научного абстрагирования оказал науке неоценимую пользу. В своё время Галилей предложил не учитывать влияние трения, затем физики согласились не принимать во внимание размеры тел в уравнениях механики, сводя все их перемещения к движению «материальных точек». Аналогично была создана и модель идеального газа.

Эта модель предполагает, что потенциальной энергией молекул можно пренебречь по сравнению с их кинетической энергией. Между молекулами не действуют силы притяжения или отталкивания, а их случайные соударения являются абсолютно упругими. Таким образом, траектория движения каждой молекулы не зависит от движения других молекул. Кроме того, эти молекулы достаточно малы и симметричны, поэтому можно не принимать во внимание их вращение вокруг своей оси. Использование такой модели позволило сформулировать фундаментальные законы, которые во многих случаях достаточно точно объясняют свойства реальных газов.

Законы идеального газа

Три «газовых закона» устанавливают связь между объёмом, давлением и температурой определённой массы газа. Они названы в честь их первооткрывателей законами Бойля – Мариотта, Гей-Люссака и Шарля и являются частными по отношению к уравнению состояния идеального газа.

Предположим, что в сосуде находится некоторое количество газа. Данное количество, т. е. суммарную массу всех молекул газа, будем считать постоянным. Это означает, что сосуд является закрытой системой,т. е. газ не выходит из него и не входит в него. Тогда состояние газа можно в полной мере определить с помощью трёх характеристик: занимаемого им объёма, его температуры и давления, которое он оказывает на стенки сосуда. Что такое объём, понятно без дополнительных объяснений. Температура, как мы уже знаем, зависит от средней кинетической энергии всех находящихся в сосуде молекул газа. А что такое давление? Находящиеся в свободном движении молекулы газа время от времени ударяются о стенки сосуда, передавая им свои импульсы. Как вам уже известно, частное от деления изменения импульса на время, в течение которого он действует, представляет собой силу. Таким образом, находящийся в сосуде газ действует на стенки сосуда с некоторой силой. Очевидно, что эта сила пропорциональна площади стенки, так как чем больше площадь, тем больше молекул имеют шанс удариться о неё за единицу времени. Отношение действующей на стенку силы к площади этой стенки, т. е. силу, действующую на единицу площади, называют давлением.

Теперь представим себе довольно простой опыт. Возьмём наполненный воздухом сосуд, одна из стенок которого может быть подвижной. Назовём её поршнем. Поршень должен очень плотно прилегать к стенкам сосуда для того, чтобы избежать утечки воздуха. А для того чтобы не учитывать веса поршня, его надо расположить в вертикальной плоскости. В начале опыта температура и давление в сосуде и в окружающем воздухе одинаковы. Это значит, что за каждый промежуток времени число и сила ударов молекул по поршню с его внутренней стороны будут в среднем такие же, как и с внешней. А если силы давления на поршень с обеих сторон равны, то поршень будет находиться в равновесии, т. е. оставаться на месте. Конечно, он будет совершать небольшие колебания, потому что в какой-то момент в него может случайно ударить изнутри немного больше молекул, чем снаружи, и наоборот. Такие случайные отклонения от равновесия называют флуктуациями. Но поскольку число молекул, ударяющихся в каждый момент о поршень, огромно, такие небольшие отклонения от среднего значения практически невозможно обнаружить.

Теперь приложим к поршню с внешней стороны силу, т. е. начнём толкать его внутрь сосуда. Посмотрим, что произойдёт с заключённым в сосуде газом. Поршень будет перемещаться внутрь сосуда, уменьшая его объём и площадь его стенок. Так как число молекул в сосуде не изменилось, а поверхность стала меньше, то на каждый квадратный сантиметр этой поверхности будет приходиться больше ударов молекул. Следовательно, давление газа в сосуде будет возрастать. Но это ещё не всё. Молекулы, ударяющиеся в движущийся навстречу им поршень, будут отскакивать от него с большей скоростью, чем при ударе о неподвижный. Поэтому скорость молекул в сосуде будет увеличиваться, а, следовательно, температура в нём будет расти. Быстрые молекулы будут ударять в стенки сосуда с большей силой, а это будет служить дополнительной причиной возрастания давления.

Рис. 6. Изотермическое сжатие газа

Таким образом, в рассматриваемом процессе участвуют три взаимозависимых фактора – объём, давление и температура. В этом взаимодействии не так просто разобраться, поэтому авторы законов идеального газа начали с того, что сравнивали их попарно.

Изменение давления и объёма. Попробуем сначала сжимать газ в сосуде таким образом, чтобы температура его при этом не менялась. Это можно сделать, если стенки сосуда хорошо проводят теплоту, а поршень будет двигаться очень медленно. Тогда температура внутри сосуда будет выравниваться с температурой внешней среды и оставаться постоянной. Такой процесс называют изотермическим сжатием (от греч. «изос» – одинаковый и «термо» – температура, теплота). В этом случае увеличение давления будет вызвано только увеличением частоты ударов молекул о стенки сосуда, но не их силой, и поэтому будет пропорционально уменьшению объёма (рис. 6). Эта закономерность отражена в законе Бойля – Мариотта.

Рис. 7. Изобарическое расширение газа

Изменение объёма и температуры. Теперь посмотрим, как будут связаны между собой объём и температура, если давление останется неизменным. Для этого будем нагревать газ в сосуде с движущимся поршнем. При нагревании кинетическая энергия молекул возрастёт, и вместе с ней возрастёт сила их ударов о поршень. Поскольку теперь на поршень изнутри действует большая сила, чем снаружи, он начнёт выталкиваться из сосуда. Давление в сосуде при этом будет оставаться постоянным, так как усиление ударов молекул компенсируется уменьшением частоты ударов из-за увеличения объёма, а следовательно, и поверхности сосуда (рис. 7). Такой процесс называют изобарическим расширением (от греч. «барос» – тяжесть). Можно также провести изобарическое сжатие. Для этого газ в сосуде надо охладить. Тогда его молекулы будут двигаться медленнее и сила давления наружного воздуха заставит поршень двигаться внутрь сосуда. Давление внутри сосуда при этом, как и прежде, меняться не будет. В этих случаях изменение объёма окажется пропорциональным изменению температуры, что и утверждает закон Гей-Люссака.

Изменение температуры и давления. Выясним, как связаны температура и давление в том случае, когда объём газа остаётся неизменным. Для этого надо закрепить поршень так, чтобы он не мог двигаться, и нагреть сосуд с газом. Поверхность сосуда, а следовательно, и частота ударов молекул о неё меняться не будут, но сила ударов возрастёт из-за увеличения кинетической энергии молекул. В этом случае давление будет увеличиваться пропорционально увеличению температуры, как и утверждает закон Шарля.

Закон состояния идеального газа

А теперь вернёмся к нашему первому опыту, где происходило одновременно изменение объёма, температуры и давления. Эти три величины связывает между собой закон состояния идеального газа, который утверждает, что отношение произведения объёма на давление к абсолютной температуре всегда остаётся постоянным:

pV/T = const,

где p – давление, V – объём сосуда, T – абсолютная температура.

В заключение ещё раз напомним, что все описанные здесь закономерности применимы только к идеальному газу. В реальных газах они соблюдаются с определённым приближением и иногда становятся неверными, особенно в тех случаях, когда, например, температура и давление приобретают очень большие значения.

Проверьте свои знания

1. Что представляет собой модель идеального газа?

2. От каких характеристик молекул газа зависит давление на стенки сосуда, в котором он находится?

3. Используя рисунки 6 и 7, расскажите, какие процессы происходят при сжатии газа в закрытом сосуде.

4. Что такое изотермическое и изобарическое расширение?

Задания

Проведите исследование. Для этого возьмите пластиковую бутылку из-под любого напитка. Плотно заверните крышку и поместите бутылку в морозильную камеру. Стенки бутылки сожмутся, и объём её уменьшится. Немного нарушьте герметизацию бутылки, слегка отвернув крышку. Вы услышите, как внутрь бутылки входит струя воздуха, а её объём увеличивается. Теперь снимите крышку с бутылки, заткните её комком ваты и поместите в горячую воду. Через некоторое время комок ваты вылетит из бутылки. Объясните все свои наблюдения с точки зрения теплового поведения молекул газа.

 

§ 4 Энергия и работа

Вода как источник энергии

Древние изобретатели старались отыскать в природе дополнительные источники энергии. Первым таким источником стала вода. Люди обратили внимание на её мощные потоки и придумали, как извлечь пользу из этого движения. Так появилось водяное колесо, которое изначально было предназначено для орошения полей. Сначала в воду опускали колесо с черпаками и вращали его вручную, поднимая воду на поверхность, но вскоре догадались, что если к колесу приделать лопатки, то текущая вода сама будет вращать его и доставлять воду наверх. Вскоре на основе водяного колеса были созданы водяные мельницы (рис. 8), которые сначала использовали для помола зерна, а начиная с XIII в. – для изготовления бумаги, ковки железа, резки брёвен и многих других работ, а впоследствии и для выработки электроэнергии. В тех местах, где течение рек и ручьёв было недостаточно быстрым, стали создавать плотины, с высоты которых вода падала с большой скоростью. Несмотря на очевидную выгоду водяных мельниц, их работа вызывала у людей непонимание и боязнь, считалось, что в их окрестностях обитают русалки и водяные, а мельников подозревали в преступных связях с нечистой силой.

Ветер как источник энергии

Вторым источником дополнительной энергии для человека стал ветер. Мощность ветра меньше, чем мощность падающей воды, да и дует он не всегда, зато он не привязан к рекам и может использоваться в любом месте. О том, что сила ветра может вызывать полезное движение, было известно очень давно, ещё со времени изобретения парусов. Примерно в VII в. люди из засушливых степей Азии, видевшие, как работают водяные мельницы, но не имевшие собственных водных источников, изобрели ветряные мельницы, которые могли вращать жернова. Из жёрнова выходил вертикальный вал с парусами, который поворачивался, когда дул ветер. С помощью таких мельниц можно было молоть зерно, а также качать воду из– под земли. Впоследствии ветряные мельницы сделали вращающимися, для того чтобы «ловить» ветер, когда он меняет своё направление (рис. 9).

Энергия, запасённая в органических веществах

Самый главный источник энергии долгое время оставался неосвоенным. Конечно, им пользовались очень широко, но не для производства механической работы. Речь идёт о химической энергии, запасённой в таких органических веществах, как древесина, торф или каменный уголь, и способной легко превращаться в энергию тепловую. Уже далёкие предки человека были знакомы с этой энергией, когда научились использовать, а затем и добывать огонь.

Рис. 8. Водяная мельница

Все знали, что в процессе горения образуется огромное количество теплоты, но проходили десятки тысяч лет, а эту энергию использовали только для обогрева, освещения и приготовления пищи.

Рис. 9. Ветряные мельницы

Зачем нужны источники энергии

Прежде чем мы познакомимся с историей появления тепловых машин и с их устройством, задумаемся над одной проблемой. А зачем вообще для совершения работы требуются какие-либо источники энергии, ведь энергии всегда и везде достаточно? Мы уже говорили о законе сохранения энергии и знаем, что она не может никуда исчезнуть. Мы говорим, что для совершения работы требуется затратить энергию. Но что означает слово «затратить»? Ведь количество энергии после совершения этой работы останется таким же, как и было, иначе будет нарушен закон её сохранения.

Вернёмся к водяным и ветряным мельницам. Откуда берётся энергия, необходимая для того, чтобы их жернова вращались? Конечно, она складывается из кинетических энергий воды или ветра, но легко понять, что для приведения в движение мельничных жерновов этого недостаточно. Опустим водяное колесо в стоячий пруд и убедимся в том, что, хотя молекулы воды в нём непрерывно движутся, колесо вращаться не будет. Для того чтобы оно стало вращаться, необходимо, чтобы его окружала текущая вода. То же самое относится и к ветряным мельницам, а заодно и к парусам. В безветренную погоду ни жернова, ни корабль двигаться не будут, хотя о них каждое мгновение ударяются миллиарды миллиардов молекул, несущих в сумме огромную кинетическую энергию. Причина этого заключается в том, что, хотя давление воды или воздуха, оказываемое на лопасть водяного колеса, крыло ветряной мельницы или парус, может быть очень большим, оно одинаково со всех сторон. Все удары молекул уравновешиваются, и механизм остаётся неподвижным. Для того чтобы он пришёл в движение, требуется, чтобы в каждый момент времени об одну сторону его лопасти ударялось больше молекул, чем о другую, что и происходит, если вода или воздух движутся в постоянном направлении.

Таким образом, для того чтобы энергия могла совершать работу, её количество должно быть неодинаковым в различных местах. Молекулы газа или жидкости будут двигаться в различных направлениях по– разному, если между определенными точками в пространстве существует какая-либо разница. Вода течёт, потому что её уровень в различных участках русла неодинаков. Ветер дует, когда между различными местами существует перепад давлений. Песок или зерно, использовавшиеся в машинах Герона, приводили в движение различные предметы потому, что они изначально находились на разной высоте, т. е. обладали разной потенциальной энергией.

Рис. 10. Г. Гельмгольц

Если энергия в разных местах системы неодинакова, то такая система может совершить работу. В этом случае говорят, что система обладает свободной энергией. Если же энергия во всех частях системы одинакова и даже очень велика, она не сможет выполнить работу. Такую бесполезную энергию называют связанной. Понятия свободной и связанной энергии предложил в 1881 г. выдающийся немецкий физик, физиолог и психолог Герман Гельмгольц (1821–1894) (рис. 10). Когда в изолированной системе совершается работа, общая энергия этой системы не меняется, но часть её переходит из свободного состояния в связанное и, таким образом, обесценивается. С этим обстоятельством столкнулись создатели первых тепловых машин.

Проверьте свои знания

1. Как в прошлые века люди использовали энергию воды и воздуха для решения практических задач?

2. Что требуется для того, чтобы машины, приводимые в действие водой или воздухом, могли работать?

3. Что такое свободная и связанная энергия?

4. Что происходит с энергией в процессе совершения работы?

Задания

Проведите исследование. Для этого возьмите пластинку из негорючего материала, лучше всего металлическую, и укрепите её на стойке так, чтобы она могла свободно вращаться. Поместите под одной половиной пластинки газовую горелку. От пламени горелки будет подниматься тёплый воздух, который будет заставлять пластинку вращаться. Теперь поместите точно такую же горелку симметрично под второй половиной пластинки. При этом поступающая на пластинку энергия увеличится вдвое, но вращение прекратится. Объясните, почему это произошло.

 

§ 5 Теплота и работа

О том, что при определённых условиях теплота может приводить что– либо в движение, люди догадывались давно. Мы уже упоминали в 10 классе об эолипиле Герона, который мог вращаться под действием силы пара, вырывающегося из его отверстий. Однако в течение долгого времени процесс преобразования теплоты в механическую работу не находил практического применения. Первые тепловые машины появились в начале XVIII в., а их широкое применение началось после того, как в 60—80-х гг. этого же века британский инженер Джеймс Уатт (1736–1819) запатентовал несколько вариантов парового двигателя экономичной конструкции(рис. 11). Впоследствии, в XIX в., появились и другие виды двигателей, в том числе паровые турбины и двигатель внутреннего сгорания, который используется в современных автомобилях. Устройство этих двигателей вам уже знакомо из курса физики. Рассмотрим основной принцип работы тепловых машин, изучение которого привело к грандиозным открытиям в естествознании.

Принцип работы тепловых машин

В основе работы всех тепловых машин лежит один общий принцип. Существует источник теплоты, который называют нагревателем. Нагреватель передаёт эту теплоту веществу, называемому рабочим телом. Обычно в качестве рабочего тела используют какой-либо газ, чаще всего воздух или водяной пар. Кинетическая энергия молекул рабочего тела увеличивается, однако этого недостаточно для того, чтобы машина могла совершить полезную работу, например поднять груз или повернуть колесо. Мы знаем, что совершать такую работу может только свободная энергия, а для того, чтобы энергия была свободной, требуется, чтобы в разных местах машины количество её было неодинаковым.

Рис. 11. Двухцилиндровая паровая машина, XIX в. (Музей индустриальной культуры. Нюрнберг) (автор фото В. Муратов)

Поэтому рабочее тело должно соприкасаться с более холодной областью, которую называют холодильником. В этом случае движение молекул рабочего тела будет направлено преимущественно от нагревателя к холодильнику, возникнет их поток, который и сможет совершить полезную работу.

Рассмотрим самую простую тепловую машину – эолипил Герона. Нагревателем в нём служит огонь, холодильником – окружающий воздух, а рабочим телом – водяной пар. В сосуде, где образуется пар, скорость его молекул гораздо больше, а давление выше, чем в окружающей атмосфере, поэтому основная часть молекул движется «к выходу». До тех пор пока в машине образуется пар, его струи будут вырываться из отверстий эолипила, приводя его во вращение. По этому же принципу работают турбины, которые, по сути, представляют собой усовершенствованное изобретение Герона. Паровой двигатель и двигатель внутреннего сгорания устроены сложнее, в них поступление теплоты от нагревателя и отдача её холодильнику могут не совпадать во времени, но принцип передачи теплоты остаётся тем же.

История создания термодинамики

С начала XIX в. усилия многих исследователей были направлены на то, чтобы понять принцип действия тепловых машин и усовершенствовать их конструкцию. Это привело к созданию одного из важнейших разделов современной физики – термодинамики. Само слово «термодинамика» означает «движение теплоты», однако, как вы увидите дальше, область применения её законов выходит далеко за рамки конструирования тепловых машин и даже вообще за рамки физики.

Первым исследователем, зародившим своими работами термодинамику, был французский инженер Сади Карно (1796–1832) (рис. 12). Тяжело переживая поражение наполеоновской Франции, он стремился к усовершенствованию технической мощи своей страны. С этой целью он начал искать возможности усовершенствования паровых машин. Результаты своих изысканий Карно опубликовал в 1824 г. в книге «Размышления о движущей силе огня». Интересно, что к открытию новых научных принципов Карно привели ошибочные представления. Дело в том, что он придерживался теории теплорода, т. е. предполагал, что теплота является веществом и поэтому подчиняется известному в то время закону сохранения вещества. Он считал, что суммарное количество теплоты всегда сохраняется, а её движение от горячего тела к холодному аналогично потоку воды, текущему с высоты вниз. Выводы Карно оказались правильными, потому что действительно имеет место сохранение, но не вещества, а энергии, о которой в его времена ещё ничего не знали.

Рис. 12. С. Карно

Для того чтобы отделить в рассуждениях Карно истину от ложных концепций, потребовались исследования, которые были проведены учёными следующего поколения. Одним из исследователей, внёсших наибольший вклад в развитие термодинамики, был Джеймс Прескотт Джоуль (1818–1889), в честь которого названа единица измерения энергии. Проведённые им эксперименты подтвердили, что теплота в физических процессах не сохраняется. Путём точных измерений Джоуль количественно показал, каким образом работа переходит в теплоту, и вычислил механический эквивалент теплоты. Он также определил количество теплоты, которая выделяется при прохождении электрического тока через проводник (закон Джоуля – Ленца). Работы Джоуля показали, что теплота не является особым веществом, и послужили основой для введения в физику понятия энергии и открытию закона её сохранения.

Другому британцу, Уильяму Томсону (1824–1907), более известному под именем лорда Кельвина, удалось объединить, казалось бы, противоречащие друг другу представления Карно и Джоуля. Он предположил, что за результатами их экспериментов скрываются два закона природы и что кроме вещества в физических процессах сохраняется ещё одна физическая величина, которая впоследствии получила название энергии. В результате исследований Кельвина фактически родилась термодинамика. В его честь названа единица измерения абсолютной температуры.

К числу создателей термодинамики следует причислить и Рудольфа Клаузиуса (1822–1888), который не только уточнил выводы Карно и отказался от теории теплорода, но и попытался объяснить природу теплоты на основе поведения частиц, из которых состоит вещество. Тем самым он, c одной стороны, вернулся к представлениям XVII в., но на новой основе, а с другой – заложил основу современного подхода к термодинамике.

Ключевую роль в термодинамике играет закон сохранения и превращения энергии, который был обоснован и сформулирован в 1842 г. немецким врачом Юлиусом Робертом Майером (1814–1878), а в 1847 г. в более строгой и детальной форме – Г. Гельмгольцем. Интересно, что к мысли о сохранении энергии оба исследователя пришли, проводя опыты не на физических, а на биологических объектах.

Проверьте свои знания

1. Какие три составные части обязательно входят в состав тепловой машины?

2. В чём заключается значение исследований Джоуля?

3. Кто обосновал и сформулировал закон сохранения энергии?

Задания

Прочитайте эпиграф к параграфу. Почему, по мнению Вальтера Нернста, карпы «находятся в термодинамическом равновесии с окружающей средой»? Каких ещё животных мог бы разводить автор третьего начала термодинамики, чтобы не «обогревать на свои деньги мировое пространство»?

 

§ 6 Законы термодинамики

Термодинамика строится на нескольких основных законах, называемых началами термодинамики. Из трёх существующих начал термодинамики мы познакомимся с двумя. Первое начало термодинамики представляет собой по существу уже известный нам закон сохранения энергии. Сегодня понятие энергии прочно вошло в нашу жизнь, и нам очень трудно представить, какие интеллектуальные усилия потребовались создателям термодинамики для того, чтобы сформулировать это понятие. Впрочем, тему сохранения энергии мы уже обсуждали раньше и не будем к ней возвращаться, а сосредоточим своё внимание на вопросе свободной и связанной энергии.

Эти понятия рассматривают в связи со вторым началом термодинамики, которое определяет необратимость происходящих в природе естественных процессов. Второе начало имеет много формулировок, одной из которых, самой простой и доступной пониманию, является формулировка, предложенная Р. Клаузиусом: «Невозможен самопроизвольный переход теплоты от менее нагретого тела к более нагретому». Проявление этого закона в повседневной жизни достаточно очевидно. Если поставить на стол чайник с кипятком, то вода в нём будет остывать, отдавая тепло окружающему воздуху, который при этом будет немного нагреваться. Передача теплоты будет продолжаться до тех пор, пока температуры воды в чайнике и воздуха в комнате не сравняются, после чего теплообмен прекратится. Однако невозможно представить, чтобы вода в чайнике закипела только за счёт того, что окружающий воздух немного охладился. При этом второе начало не утверждает, что переход теплоты от более холодного тела к более нагретому вообще невозможен, оно говорит только о том, что этот процесс не может происходить самопроизвольно. Возьмём обычный домашний холодильник. Его работа заключается именно в том, что он забирает теплоту из внутренней камеры и отдаёт её более тёплому окружающему воздуху. Но для того, чтобы это сделать, он должен получать энергию из внешнего источника – электрической сети. Перестаньте подавать в холодильник электроэнергию, и, как бы ни хороша была его теплоизоляция, рано или поздно температура в его камере сравняется с температурой воздуха в комнате.

Представим себе, что существует тепловая машина, состоящая из нагревателя, холодильника и рабочего тела. Машина является изолированной системой, т. е. ниоткуда не получает энергию и не отдаёт её внешней среде. Теплота переходит от нагревателя к холодильнику, заставляя рабочее тело совершать работу. Но в процессе этой работы количество теплоты в нагревателе, а следовательно, и его температура уменьшаются, а в холодильнике соответственно увеличиваются. Когда они сравняются, теплообмен прекратится, и работа в машине станет невозможна. Куда израсходовалась энергия, с помощью которой совершалась работа? Поскольку система изолирована, она никуда не могла исчезнуть, её количество осталось прежним, но она перешла из свободного состояния в связанное. Почему так получилось?

Рис. 13. Тепловая электростанция

Потому что в системе исчезла разница температур. Средняя кинетическая энергия молекул рабочего тела осталась прежней, но, поскольку температуры нагревателя и холодильника сравнялись, в движении молекул исчезла всякая направленность, оно стало беспорядочным, хаотичным. А между хаотичностью движения молекул и связанностью энергии существует прямая связь. Для того чтобы обладать свободной энергией, молекулы должны двигаться преимущественно в одном направлении, а для этого между частями системы должно существовать какое-либо различие. Чем больше это различие, тем эффективнее работает машина. При любом процессе часть свободной энергии передаётся окружающим молекулам и вызывает их хаотическое тепловое движение. Поэтому вся имеющаяся в машине свободная энергия не может быть превращена в полезную работу – часть её перейдёт в беспорядочное движение молекул и будет навсегда потеряна для практических целей. Степень этой потери определяется коэффициентом полезного действия (КПД) машины, который выражает отношение полезной работы к затраченной энергии. Этот коэффициент, даже теоретически, в идеальных машинах, не может достичь 100 %, а в реально существующих механизмах он значительно меньше. Так, КПД современных тепловых электростанций и двигателей внутреннего сгорания не превышает 50 % (рис. 13). В самых эффективных из существующих двигателей – мощных динамомашинах (генераторах), где электрическая энергия производится непосредственно из механической и где почти не происходит тепловых потерь, КПД может достигать 95 % (рис. 14).

Поэтому второе начало термодинамики в формулировке Кельвина выглядит так: «Невозможен процесс, единственный результат которого состоял бы в поглощении теплоты от нагревателя и полного преобразования этой теплоты в работу».

Рис. 14. Генератор постоянного тока (Музей электрических станций. Джорджтаун, Вашингтон) (автор фото Дж. Мейбл)

Теплоту невозможно просто отобрать у нагревателя, какое-то её количество надо обязательно передать холодильнику. А это значит, что холодильник должен получить свою долю энергии и именно на эту долю энергии уменьшится совершаемая работа. Из этого ни в коем случае не следует, что невозможен обратный процесс – полное преобразование других видов энергии в теплоту. При торможении автомобиля его кинетическая энергия полностью переходит в теплоту, что проявляется в нагревании покрышек, тормозных колодок и дороги при скольжении на тормозном пути. Однако заставить автомобиль двигаться, охладив все эти разогретые предметы, невозможно. Процесс рассеивания энергии протекает только в одном направлении. Таким образом, второе начало термодинамики утверждает, что в природе существует фундаментальная асимметрия: все природные процессы приводят к увеличению теплового движения молекул, т. е. к постепенному переходу энергии из свободного состояния в связанное. Обратный самопроизвольный процесс невозможен, и, для того чтобы увеличить в системе запас свободной энергии, требуется подвести её откуда-либо извне, допустим, из некой системы X, т. е. совершить над нашей системой работу. Однако в процессе извлечения работы из системы Х часть её свободной энергии превратится в энергию хаотического движения молекул, т. е. опять станет связанной энергией. В результате суммарная свободная энергия нашей системы и системы Х уменьшится, а их общая связанная энергия возрастёт. Мы можем добавлять последовательно новые источники свободной энергии – «систему Y», «систему Z» и т. д. – результат будет тот же: суммарная свободная энергия этих систем будет уменьшаться, а их связанная энергия – возрастать. Поэтому можно сказать, что второе начало термодинамики утверждает, что все природные процессы постепенно переходят из упорядоченного состояния к хаотическому.

Если первое начало термодинамики, или закон сохранения энергии, запрещает существование вечных двигателей первого рода, то второе – доказывает невозможность существования вечных двигателей второго рода. Идея вечных двигателей второго рода строится на том, чтобы забирать теплоту у холодных объектов и с её помощью согревать более тёплые объекты. Например, почему бы не отапливать дома, отнимая какое-то количество теплоты у атмосферы? Температура воздуха на улице при этом снизится на доли градуса, зато в жилище станет заметно теплее. Почему не использовать теплоту, содержащуюся в Мировом океане? При его огромных размерах можно будет снабжать всё человечество теплом, снизив температуру воды всего на несколько десятых градуса. Закону сохранения энергии такие идеи не противоречат: общее количество энергии останется постоянным, мы просто переведём часть связанной энергии в свободную. Ведь если бы удалось запустить такой процесс, то потом можно было бы пустить его в обратном порядке, используя нагретый в доме воздух в качестве нагревателя, а остуженный воздух атмосферы – в качестве холодильника. При этом мы могли бы получить работу, как это и делается во всех тепловых машинах. Когда же температуры внутри и снаружи вернутся к своим первоначальным значениям, мы снова начнём откачивать тепло из холодной атмосферы, затем будем бесконечно повторять этот процесс, получая работу «из ничего». Однако все эти проекты потерпели неудачу, так как наталкивались на непреодолимость второго начала термодинамики, согласно которому свободная энергия не может увеличиваться исключительно за счёт уменьшения связанной.

Проверьте свои знания

1. Сформулируйте первое и второе начала термодинамики.

2. Что такое коэффициент полезного действия? Объясните, почему его величина никогда не может достичь 100 %.

3. Что такое вечный двигатель второго рода? Какое начало термодинамики запрещает его существование?

Задания

Объясните с точки зрения законов термодинамики, почему в жарком климате Средней Азии коренное население традиционно предпочитало тёплые халаты лёгкой одежде и горячий чай прохладительным напиткам.

 

§ 7 Энтропия

Мы убедились в том, что в естественных природных процессах постоянно происходит переход свободной энергии в связанную, а степень хаотичности движения молекул постоянно возрастает. По-видимому, требуется найти величину, которая бы позволила измерить соотношение обоих видов энергии и служить мерой её необратимого рассеивания. Такая величина была введена в 1865 г. Р. Клаузиусом и названа энтропией (от греч. «энтропиа» – внутреннее движение) (рис. 15).

Рис. 15. Р. Клаузиус

Клаузиус определил изменение энтропии как отношение изменения общей теплоты в системе к её абсолютной температуре:

∆S = ∆Q/T.

Следовательно, по мере поступления в систему теплоты её энтропия будет возрастать, а по мере потери теплоты – уменьшаться. Но из формулы следует, что степень изменения энтропии зависит ещё и от температуры, при которой происходит этот процесс. Рассмотрим, как изменится энтропия при отдаче или получении теплоты внутри системы.

Возьмём два одинаковых предмета, например кирпича, температура одного из которых равна T 1 , а второго – T 2 , причём T 1 > T 2 , т. е. первый кирпич горячее второго. Приведём их в тепловой контакт, т. е. позволим им свободно обмениваться между собой теплотой. При этом система в целом останется изолированной. Если внешняя теплота в систему не поступает и своей теплоты система не теряет, то суммарное количество теплоты в ней остаётся постоянным. Что же будет происходить в такой системе? Очевидно, что через некоторое время горячий кирпич отдаст холодному какое-то количество теплоты ∆Q, а холодный ровно столько же её получит. Поскольку горячий кирпич теплоту потеряет, мы будем считать эту теплоту отрицательной (-∆Q), а теплоту, полученную холодным кирпичом, – положительной. Посмотрим, как изменится значение энтропии при такой теплопередаче. Горячий кирпич отдал теплоту в количестве ∆Q. Следовательно, его энтропия уменьшилась на величину ∆Q/T1 . А холодный кирпич получил то же количество теплоты, и его энтропия увеличилась на величину ∆Q/T 2 . Но T 1 > T 2 , и, следовательно, уменьшение энтропии горячего кирпича по абсолютной величине оказывается меньше, чем увеличение энтропии холодного кирпича. Получается, что естественный процесс передачи теплоты от более нагретого тела менее нагретому сопровождается ростом энтропии. До тех пор пока горячее тело будет остывать, а холодное за его счёт нагреваться, энтропия изолированной системы будет расти. В конце концов, температуры обоих тел сравняются, и процесс теплопередачи прекратится. В этом случае ∆Q = 0 и ∆S = 0, т. е. количество энтропии будет оставаться постоянным. Поскольку передача теплоты от менее нагретого тела более нагретому невозможна, изменение энтропии никогда не может быть отрицательным. Следовательно, ∆S ≥ 0, т. е. энтропия в изолированных системах никогда не уменьшается, что также можно считать одной из формулировок второго начала термодинамики. Это же положение можно выразить и так: «Все природные процессы сопровождаются увеличением энтропии».

В предыдущем параграфе мы говорили о том, что все самопроизвольные процессы сопровождаются выравниванием температуры в различных частях системы и переходом части свободной энергии в связанную энергию. Теперь мы видим, что этот процесс неизбежно сопровождается возрастанием некой физической величины, которую называют энтропией. Отсюда можно сделать вывод, что именно энтропия является мерой связанной, не способной совершать работу энергии. Математически это утверждение выражают уравнением Гиббса – Гельмгольца:

U = F + TS,

где U – полная внутренняя энергия, которой обладает система, F – свободная энергия этой системы, а TS – её связанная энергия, которая, как мы видим, равна произведению абсолютной температуры системы на её энтропию.

Это уравнение объединяет первое и второе начала термодинамики. Из него следует, что вся энергия, которой обладает система, не может быть превращена в работу. Работу можно совершать только за счёт затраты свободной энергии, а она, как следует из уравнения Гиббса – Гельмгольца, меньше, чем полная энергия системы:

F = U – TS.

Чем больше энтропия системы, тем меньше доля свободной энергии в полной энергии этой системы, тем меньшую работу она может совершать. Если система изолирована и в ней протекают самопроизвольные процессы, то в соответствии с первым началом термодинамики её полная энергия не меняется. Однако в соответствии со вторым началом её свободная энергия постепенно превращается в связанную.

В связи с этим возникает проблема, которая в течение многих лет волновала не только физиков, но и писателей-фантастов. Вселенная, как предполагают, является изолированной системой. А так как второе начало термодинамики утверждает, что в изолированных системах энтропия непрерывно возрастает, пока не достигнет максимума, то и энтропия Вселенной должна постоянно возрастать. Следовательно, когда-нибудь вся свободная энергия Вселенной перейдёт в связанную, температуры всех тел в ней выравняются, и никакую работу в ней совершить уже будет невозможно. Этот «конец света» Р. Клаузиус назвал «тепловой смертью Вселенной». Несмотря на то что тепловая смерть ожидалась не ранее чем через несколько миллиардов лет, многих это ожидание стало всерьёз беспокоить. Предпринимались многочисленные попытки опровергнуть гипотезу тепловой смерти, но все они казались не очень убедительными, и беспокойство в обществе сохранялось. Однако последние исследования показывают, что эта гипотеза неверна, потому что Клаузиус и его последователи не принимали во внимание многие существующие во Вселенной факторы, и прежде всего наличие гравитации.

Вернёмся к вопросу о том, что же всё-таки представляет собой энтропия. Только что мы убедились в том, что увеличение энтропии сопровождается выравниванием температуры в различных частях системы. Однако запас свободной энергии в системе может сохраняться даже в том случае, когда значения температуры во всех её участках равны. Это может быть в случае, когда внутри сосуда, содержащего какой-либо газ, дует ветер. С молекулярной точки зрения это означает, что, хотя средние скорости движения молекул во всех частях сосуда равны по модулю, направление движения этих молекул неодинаково вдоль различных координат. Если ветер дует преимущественно вдоль оси X, то это означает, что средняя скорость движения молекул вдоль этой оси больше, чем вдоль осей Y и Z.

Рис. 16. Л. Больцман

Но если скорости различаются, то энтропия в системе не максимальна, и в ней можно совершить какую-либо работу. Например, можно установить вертушку, которая будет вращаться под действием ветра и производить электрическую энергию. Значит, для того чтобы энтропия стала действительно максимальной, а вся имеющаяся в системе энергия – связанной, необходимо, чтобы не только средние скорости всех молекул были бы одинаковы по абсолютному значению во всех участках системы, но и все направления движения этих молекул были равновероятны.

Такое движение молекул называют беспорядочным или хаотичным. Следовательно, энтропия может служить мерой хаотичности движения молекул или мерой беспорядка в их движении. Такое статистическое обоснование энтропии предложил австрийский физик Людвиг Больцман (1844–1906), заложивший начало науки, которую называют статистической физикой (рис. 16). Однако впоследствии выяснилось, что понятие энтропии выходит далеко за рамки термодинамики и является одним из наиболее фундаментальных в исследовании окружающего нас мира.

Проверьте свои знания

1. С какой целью было введено понятие энтропии?

2. Как изменяется энтропия при протекании самопроизвольных процессов?

3. Что обозначают буквы в уравнении Гиббса – Гельмгольца:

U = F + TS?

4. Что такое «тепловая смерть Вселенной»? Вспомните, встречали ли вы какие-либо научно-популярные статьи на эту тему.

5. Что измеряется энтропией на молекулярном уровне?

Задания

Прочитайте и обсудите в классе научно-фантастический рассказ Айзека Азимова «Последний вопрос», посвящённый «тепловой смерти Вселенной».

 

§ 8 Энтропия и вероятность

Итак, что же можно измерить с помощью энтропии? Если бы всё сводилось только к движению молекул и тепловым процессам, понятие энтропии не получило бы такого широкого распространения и популярности и не вышло бы за границы термодинамики.

Энтропию можно использовать при изучении самых различных явлений, а не только тех, которые сводятся к кинетической энергии молекул. Что же именно может характеризовать энтропия в универсальной картине мира? Очевидно, то же самое, что и в термодинамике, – степень беспорядка и хаоса.

Предположим, что у нас имеется некоторое число ячеек, в которые можно помещать одинаковые предметы в любом количестве.

Рис. 17. Схема возможных распределений шариков по ячейкам

В самом простом случае будем иметь дело всего с двумя ячейками и с четырьмя шариками, которые можно произвольно раскладывать по этим ячейкам. Обозначим ячейки как А и Б, а шарики пронумеруем – 1, 2, 3 и 4. Как можно распределить четыре шарика по двум ячейкам? На первом этапе мы не будем принимать во внимание номера шариков, а просто посмотрим, сколько их в каждой ячейке (рис. 17).

Легко убедиться в том, что существует пять вариантов расположения шариков. Обозначим их как состояния I, II, III, IV и V. Теперь обратим внимание на номера шариков и будем учитывать не только, сколько шариков находится в каждой ячейке, но и какие именно шарики там находятся. Мы увидим, что для каждого из состояний существует разное число способов размещения шариков. Состояние I можно осуществить единственным способом, поместив все четыре шарика в ячейку А. Состояние II допускает четыре способа распределения: в ячейке Б может оказаться любой из четырёх шариков. Состояние III (рис. 18) можно реализовать шестью способами. Наконец, состояния IV и V можно осуществить с помощью соответственно четырёх и одного вариантов, так же как и состояния II и I.

А теперь сравним вероятности того, что при случайном перемешивании шариков реализуется какое-либо из пяти возможных макросостояний. Вспомним сведения, которые мы получили ранее. Вероятность события определяется отношением числа благоприятных событий к общему числу возможных событий. В данном случае общее число событий равно 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16, т. е. четыре шарика можно распределить по двум ячейкам шестнадцатью способами. Поскольку состояния I и V можно реализовать единственным способом, вероятность того, что все шарики окажутся в ячейке А, так же как и вероятность того, что все они попадут в ячейку Б, будет равна 1∕16. Вероятность того, что в ячейке А (или Б) окажется один шарик, а остальные попадут в другую ячейку, равна 4/16. Вероятность же того, что шарики расположатся равномерно, по два в каждой ячейке, составит 6/16. Можно подсчитать эти вероятности для любого числа ячеек и для любого числа шариков (или молекул), и всякий раз мы будем убеждаться в том, что чем равномернее распределены предметы по ячейкам, тем вероятнее такое распределение. В этом нетрудно убедиться на любом примере. Насыплем в стакан с водой немного сахарного песка.

Сначала наибольшая концентрация сахарного сиропа будет возле дна стакана, но со временем сахар растворится, и концентрация выравняется по всему объёму.

Рис. 18. Реализация состояния III

Представить, что молекулы сахара самопроизвольно соберутся в некоторой части сосуда, практически невозможно, потому что вероятность такого события ничтожно мала.

Таким образом, вероятность состояния с равномерным распределением оказывается наибольшей по сравнению со всеми другими возможными состояниями, и все естественные процессы направлены в сторону достижения этого наиболее вероятного состояния. Но мы также знаем, что в результате всех природных процессов происходит увеличение энтропии. Напрашивается вывод, что между вероятностью существования данного состояния и энтропией должна существовать связь. Эта связь действительно существует, и впервые её охарактеризовал Л. Больцман. Он имел в виду термодинамические процессы, а мы будем рассуждать в рамках наших ячеек и шариков.

Будем называть, как это сделал Больцман, наши состояния I–V макросостояниями. Макросостояние определяется тем, сколько шариков находится в данной ячейке, и не интересуется тем, какие шарики там находятся. В противоположность этому микросостояние определяется тем, какие именно шарики в какой ячейке находятся. Понятно, что, для того чтобы определить микросостояние, требуется более глубокое и внимательное изучение (например, цифры на шариках могут быть едва заметными), поэтому оно так и называется. Разным макросостояниям соответствует различное число микросостояний. Чем более равномерным является распределение шариков по ячейкам, тем больше вероятность такого макросостояния и тем больше микросостояний ему соответствует. Но для такого состояния характерна и наибольшая энтропия. Из этого Больцман сделал вывод, что энтропию данного макросостояния можно измерить числом микросостояний, которым оно определяется. Более точно, энтропия пропорциональна логарифму этого числа. В физике энтропию принято обозначать буквой S, поэтому формулу, выведенную Больцманом, можно представить так:

S = klog W,

где k – коэффициент пропорциональности, а W – число микросостояний, соответствующих данному макросостоянию.

Состояние I, так же как и состояние V, определяется единственным микросостоянием. Так как логарифм единицы по любому основанию равен нулю, то и энтропия этих состояний равна нулю. Это значит, что в этих состояниях существует абсолютный порядок. Число микросостояний, которые определяют макросостояния I и IV, равно четырём, а значит, энтропия каждого из них равна log 4. Величина этого логарифма зависит от того, какое основание для логарифмирования мы выберем. Вообще говоря, основание может быть любым, так как в зависимости от этого изменится только коэффициент пропорциональности. Но по причинам, о которых вы узнаете в дальнейшем, нам будет удобно выбрать основание 2. Тогда энтропия макросостояний I и IV будет равна двум. Самым «беспорядочным» из наших макросостояний будет состояние III, которое может осуществиться шестью микросостояниями. Следовательно, энтропия этого, наиболее вероятного, состояния равна логарифму 6 по основанию 2, что составляет приблизительно 2,6.

Проверьте свои знания

1. Что такое макро– и микросостояние?

2. Чему равна энтропия макросостояния, которое обеспечивается единственным микросостоянием?

3. Почему макросостояние, при котором число шариков в каждой ячейке одинаково, оказывается наиболее вероятным?

4. Какие у создателей статистической физики были основания сопоставить вероятность состояния с его энтропией?

Задания

Предположим, что у нас имеется 6 шариков, которые могут быть распределены по двум ячейкам.

A. Составьте таблицу, в которой будут указаны все возможные макросостояния.

Б. Составьте таблицу, в которой будут указаны все микросостояния для каждого макросостояния.

B. Найдите вероятность каждого макросостояния.

 

§ 9 Информация

Любое живое существо постоянно передаёт во внешний мир какие-то сигналы, а также получает сигналы из окружающей его среды.

Рис. 19. К. Шеннон

Человеку свойственна непрерывная познавательная деятельность, в течение жизни он постоянно узнаёт что-то новое и что-то в устной или письменной форме сообщает другим людям. Мы постоянно передаём окружающим и получаем от них знаки и сообщения, содержащие сведения о мыслях, чувствах, мнениях или желаниях. Мир этих сообщений и способов их передачи кажется необъятным, не поддающимся никакому строгому формальному описанию, тем более в математической форме.

Тем не менее в первой половине XX в. встал вопрос о необходимости введения количественной характеристики для передаваемых и принимаемых сообщений. Эта количественная характеристика вскоре получила название информация. Официально создателем теории информации считается американский инженер и математик Клод Шеннон (1916–2001), опубликовавший свою работу в этой области в 1948 г., хотя ещё в начале XX в.  у него были предшественники (рис. 19). Работая в компании «Белл», Шеннон занимался процессами передачи сообщений, а во время Второй мировой войны много времени уделял процедуре шифрования (рис. 20). Перед исследователями, занимавшимися проблемами связи, стоял вопрос, как передать полезное сообщение с максимальной точностью и минимальными затратами. Для этого требовалось знать, сколько информации попало к потребителю и сколько её потерялось в процессе передачи. Поэтому количество информации необходимо было измерить.

Как можно измерить информацию? Прежде всего, надо уяснить, что информация – это не характеристика сообщения, а характеристика отношения между сообщением и его потребителем. Одно и то же сообщение может содержать огромную информацию для одного потребителя и нулевую – для другого, например для человека, незнакомого с языком, на котором передано это сообщение.

Логично предположить, что количество содержащейся в сообщении информации зависит от того, насколько это сообщение было неожиданным. Ведь если мы заранее знали всё, о чём нам сообщили, то никакой информации нам это сообщение не дало. Но как измерить степень неожиданности строгой количественной мерой? Допустим, получив сообщение, мы не узнали ничего нового. Это означает, что результат был известен нам и до сообщения и мы могли предугадать его с вероятностью, равной единице. Значит, единичной вероятности соответствует нулевая информация. Но если мы не были уверены в правильном ответе на интересующий нас вопрос, мы вместе с точным ответом получаем и какую-то информацию. Определить её количество можно, если представить себе, что такое самый простой вопрос. Очевидно, это такой вопрос, на который можно ответить либо «да», либо «нет».

Рис. 2 0. Лаборатория «Белл» в Мюррей Хилл (Нью-Джерси, США), работая в которой в 1948 г. Клод Шеннон опубликовал статью «A Mathematical Theory of Communication», одну из основополагающих работ по теории информации.

Если мы не имеем заранее никаких предположений, то, независимо от того, каким будет ответ, мы получаем одно и то же количество информации. Это количество представляет собой единицу информации и называется бит.

В том случае, когда ответ нельзя получить сразу, требуется задавать дополнительные вопросы. Самой эффективной для спрашивающего будет такая стратегия, когда он задаёт вопросы с возможными ответами «да» или «нет», причём вероятности получить тот или иной ответ кажутся ему одинаковыми. На этом строится широко известная игра в угадывание известного человека или кого-нибудь из присутствующих. Угадывающий мысленно разбивает ответы на две, как ему кажется, равновероятные части и задаёт вопрос, ответ на который может быть положительным или отрицательным. Каждый раз он получает информацию, равную одному биту. Количество полученной при угадывании информации равно числу вопросов, которые пришлось задать игроку. Искусство угадывания зависит от того, каким образом должен быть поставлен вопрос. Приведём один из возможных примеров такой игры. Допустим, требуется угадать Исаака Ньютона. Можно представить, что игра проходит следующим образом.

1. «Это государственный деятель?» – «Нет!» – 2. «Занимался искусством?» – «Нет!» – 3. «Занимался наукой?» – «Да!» – 4. «Биологией?» – «Нет!» – 5. «Физикой?» – «Да!» (Теперь можно угадывать либо по времени, в котором жил этот учёный, либо по его национальности. Первый вариант представляется более простым, так как большинство известных нам учёных жили либо в XIX, либо в XX в. Поэтому можно поставить следующие вопросы.) – 6. «Живёт в наше время?» – «Нет!» – 7. «Жил в прошлом веке?» – «Нет!» (Значит, он жил либо в XIX в., либо раньше.) – 8. «Жил в девятнадцатом веке?» – «Нет!» (Значит, этот человек либо из Древней Греции, либо из XVI–XVIII вв., уточним.) – 9. «Жил после пятнадцатого века?» – «Да!» (Большинство учёных этого времени жили в Англии, Италии или во Франции, поэтому попробуем угадывать по национальности.) – 10. «Англичанин?» – «Да!» (Повезло! Из всех англичан, занимавшихся в это время наукой, самым известным был Ньютон. Теперь можно попробовать угадать напрямую.) – 11. «Ньютон?» – «Да!!!» Ответ найден. Для этого потребовалось задать одиннадцать вопросов. Значит, мы получили одиннадцать бит информации? Не совсем так. Дело в том, что при таком угадывании многое зависит от интуиции и везения. Если бы мы начали угадывать национальность не с Англии, а сначала поинтересовались бы, не является ли он итальянцем, а потом – французом, нам пришлось бы задать на два вопроса больше. Наоборот, если бы мы не стали уточнять, какой именно наукой занимался учёный, а продолжали бы интересоваться, в какое время он жил, мы могли бы сэкономить два вопроса. Таким образом, оценка полученной информации, равная 11 битам, является очень приблизительной.

Как уже говорилось, количество содержащейся в сообщении информации неодинаково для каждого получателя этого сообщения и зависит от его предварительного знания. Поэтому объективно можно определить только максимальное количество этой информации, предполагая, что получатель заранее не имеет никаких знаний по этому вопросу. Предположим, что нам сказали, что Юпитер является самой большой планетой Солнечной системы. Какая информация содержится в этом сообщении? Для того, кто это знал заранее, – никакой. Для того, кто предполагал, но сомневался, – определённое количество, точно оценить которое трудно. Поэтому вычислим максимальную информацию, которую получает человек, не имеющий никакого понятия о планетах, и знает только их названия и то, что всего их имеется восемь. Сколько вопросов он должен задать, чтобы узнать, какая из этих планет самая большая? Для удобства он располагает все планеты в алфавитном порядке: Венера, Земля, Марс, Меркурий, Нептун, Сатурн, Уран, Юпитер. Можно попробовать, конечно, просто перечислять планеты в этом порядке, но такой способ угадывания будет неудачным потому, что придётся задать семь вопросов и получить на все ответ «нет», пока мы не доберёмся до самой большой, но последней по алфавиту планеты. Поэтому правильнее будет поступить так: разделить все планеты на две равные группы и спросить, принадлежит ли самая большая к одной из них. Поскольку наш персонаж ничего не знает о планетах, кроме их названий, он может спросить: «Буква, с которой начинается название этой планеты, стоит в алфавите до Н?» – и получить отрицательный ответ. Вторым вопросом будет «Находится ли эта буква после С?». Ответом будет «да». Теперь осталось только выяснить, Уран это или Юпитер, с помощью одного вопроса. Таким образом, человеку, абсолютно несведущему в данной области, достаточно задать три вопроса, чтобы получить верный ответ. Следовательно, информация, содержащаяся в сообщении «Юпитер – самая большая планета Солнечной системы», равна 3 битам.

Предположим теперь, что в тексте наугад выбрана одна из 32 букв кириллицы (не будем учитывать «ё»). Как должен поступить человек, не знающий языка, чтобы, действуя наугад, узнать эту букву? Очевидно, он должен сначала выяснить, в какой половине алфавита находится эта буква. Затем он должен разбить эту половину, состоящую из 16 букв, на две восьмёрки и задать соответствующий вопрос. С помощью третьего вопроса он определит четвёрку, с помощью четвёртого – пару букв и, наконец, в результате пятого вопроса он узнает загаданную букву. Следовательно, информация, указывающая на определённую букву тридцатидвухбуквенного алфавита, равна 5 битам.

Проверьте свои знания

1. Может ли информация полностью определяться сообщением?

2. В каком случае сообщение не содержит информации?

3. Какое сообщение содержит 1 бит информации?

4. В каком случае и для какого получателя информация, содержащаяся в сообщении, оказывается наибольшей?

5. Где в биологии используется подобное пошаговое (повопросное) движение с двумя возможными вариантами ответов («да»/«нет»)?

Задания

Попросите вашего одноклассника загадать кого-нибудь из ваших общих знакомых. Задавая вопросы, на которые он может отвечать «да» или «нет», определите, кого он загадал. Оцените в битах объём полученной вами информации.

 

§ 10 Информация, вероятность и энтропия

Попытаемся найти закономерность в проведённых выше вычислениях. Рассматривая примеры угадывания, мы неоднократно обращали ваше внимание на то, что все возможные варианты были для угадывающего равновероятными. Следовательно, вероятность правильности каждого ответа была равна единице, разделённой на число возможных вариантов. То есть чем больше вариантов, тем меньше вероятность справедливости каждого из них и тем больше вопросов надо задать, чтобы узнать правильный ответ. Мы уже видели, что, для того чтобы выяснить, какой из двух возможных вариантов правилен, надо задать один вопрос, при восьми вариантах – три вопроса, а при тридцати двух – пять вопросов. Если немного подумать, то нетрудно будет сообразить, что при четырёх вариантах достаточно задать два вопроса, при 16 – четыре, а при 64 – шесть. Для большей ясности составим таблицу (табл. 1).

Чем меньше вероятность правильного ответа, тем большую информацию мы получаем, выяснив его. То есть количество информации зависит от «невероятности» полученного сообщения. Чем невероятнее, чем удивительнее кажутся полученные сведения, тем больше информации в них содержится. А эта «невероятность» равна числу возможных вариантов, об истинности которых нам ничего не известно. Теперь остаётся найти формулу для этой зависимости. Посмотрев на таблицу, мы убедимся в том, что число вариантов во всех случаях равно двойке, возведённой в степень, равную полученной информации:

N = 2 J .

Следовательно, информация равна степени, в которую надо возвести 2 для того, чтобы получить N, т. е.

J = log 2 N.

Эта величина называется логарифмом N по основанию 2 или двоичным логарифмом числа N.

Конечно, число возможных вариантов правильного ответа необязательно должно быть целой степенью числа 2. Это не должно нас смущать, потому что количество информации необязательно должно выражаться целым числом.

Таблица 1

Зависимость количества полученной информации от вероятности правильности ответа

Например, если число вариантов равно пятидесяти, то, когда мы узнаем единственный правильный ответ, полученная информация будет равна степени, в которую надо возвести двойку для того, чтобы получить число 50. Нетрудно выяснить, что эта информация будет равна с точностью до третьего знака 5,644 бита.

Полученная формула информации практически в точности соответствует формуле Больцмана для энтропии (§ 8). Напрашивается предположение, что между энтропией и информацией существует большое сходство.

Рассмотрим этот вопрос подробнее. От чего зависит максимальная информация, которую можно получить, установив абсолютно точный ответ на поставленный вопрос? Чем более неопределённым было наше знание, чем меньше была вероятность угадать правильный ответ, тем большую информацию содержит сообщение, из которого мы этот ответ узнаем. По сути, наибольшая информация, которую мы можем получить из сообщения, равна количеству нашего первоначального незнания правильного ответа. Это первоначальное незнание можно измерить энтропией по той же формуле, по которой измеряется информация. Обозначив энтропию буквой Н, получаем:

H = log 2 N.

Мы видим, что формула такой энтропии совпадает с формулой Больцмана и, так же как и она, выражает степень беспорядка. Только если в термодинамике речь шла о беспорядке в расположении и движении молекул, то в теории информации этот беспорядок характеризует степень нашего незнания, неосведомлённости в данном вопросе, хаотичность и беспорядочность в поиске выбора верного ответа. Энтропия по существу представляет собой отрицательную информацию, и её точно так же можно измерять в битах.

Когда мы получаем сообщение, содержащее неизвестную прежде информацию, энтропия нашего незнания уменьшается. Величина этого уменьшения как раз и определяет количество полученной информации. Если до получения сообщения энтропия как мера нашего незнания была H0, а после его получения стала H1, то содержащаяся в сообщении информация будет равна H0 – H1.

Большая часть экзаменационных тестовых заданий построена так, что требуется выбрать один правильный ответ из четырёх предложенных. Если вам ничего не известно по заданному вопросу и у вас нет никаких предположений о верности любого из вариантов, то энтропия задания для вас равна двоичному логарифму четырёх, т. е. 2. Когда вы узнаете точный ответ, энтропия станет равной нулю, и вы получите два бита информации. Теперь представим себе более сложный вид теста. Предлагается пять вариантов ответов и сообщается, что три из них верны. Количество способов, которыми можно выбрать три варианта из пяти, равно десяти. Энтропия этого задания, следовательно, составляет для вас log2 10, что приблизительно равно 3,3. Как видно, эта энтропия выше, чем в предыдущем случае, и решение этого теста содержит больше информации. Узнав точный ответ, вы получите 3,3 бита. Допустим, что какая-то «добрая душа» подсказала вам, что варианты ответов А и В верны. Если предположить, что вы доверяете этой подсказке, сколько бит информации вы получили? Для этого надо выяснить, какой стала для вас энтропия теста после получения подсказки. Вам теперь известно, что единственный оставшийся правильный ответ надо выбрать из вариантов Б, Г и Д, а следовательно, энтропия равна log2 3, что равняется примерно 1,6. Подсчитаем убыль энтропии, которая будет равна количеству содержащейся в подсказке информации. До получения подсказки энтропия задания была Н0 = 3,3 бита. После её получения она составила H1 = 1,6 бита. Отсюда получаем, что подсказка содержит 3,3 – 1,6 = 1,7 бита информации. Но пока вы продолжаете думать над тестом, другая «добрая душа» подсказывает, что ответ Д неверен. Сколько информации содержится в этом сообщении? Вы теперь не знаете ответа только на варианты Б и Г, один из которых верен, а другой – нет, и вероятность правильности любого ответа равна 1/2. Значит, оставшаяся энтропия теста составляет для вас 1 бит, в то время как до получения второй подсказки она равнялась 1,6 бита. А это означает, что последняя подсказка содержала 0,6 бит информации.

Проверьте свои знания

1. Какая связь существует между полученной информацией и числом необходимых вопросов, которые требуется задать для получения точного ответа?

2. Что измеряется энтропией в теории информации?

3. Как связано изменение энтропии с полученной информацией?

Задания

1. На экзамене задан вопрос: «Какая из планет Солнечной системы находится ближе всех к Солнцу?» Названия планет экзаменуемому известны, но об их положении он ничего не знает. Какова энтропия экзаменуемого по этому вопросу? Какое количество информации он получит, узнав, что это Меркурий?

2. Экзаменуемому подсказывают, что ближайшая к Солнцу планета – это не Земля и не Марс. Сколько информации содержит эта подсказка?

 

§ 11 Свойства информации и двоичная система счисления

Свойства информации

Мы рассмотрели случаи, когда вероятности всех возможных исходов представляются одинаковыми. Но так бывает далеко не всегда. Очень часто один вариант представляется нам более вероятным, а другой – менее вероятным. Какова будет энтропия в этом случае? К. Шеннон вывел формулу, которая позволяет вычислить энтропию при этом условии. Предположим, что имеется всего два варианта. Вам сегодня надо сдавать экзамен, на котором могут задать 10 вопросов, из которых 9 вы знаете блестяще, а по одному совсем не подготовились. Вероятность удачной сдачи экзамена равна, таким образом, 9/10, а провала соответственно 1/10. В назначенное время вы приходите на экзамен и получаете вопрос. Этот вопрос может либо обрадовать вас, либо расстроить. Какой будет информация в том и другом случае? Мы знаем, что информация тем больше, чем сильнее вы удивитесь, узнав результат. Естественно, удивление, а значит и полученная информация, будет больше, если вам достанется «неудачный» вопрос. Поскольку информация равна двоичному логарифму вероятности того, что полученный вопрос будет «удачным» или «неудачным», взятому с обратным знаком, то в первом случае Jудачи = -1og2 9/10 = 0,15, а во втором JНеудачи = -1og2 1∕l0 = 0,33 Как видно, информация, полученная в случае маловероятной «неудачи», более чем в два раза выше той, которую мы получим в случае гораздо более вероятной «удачи». Теперь с учётом всего, что нам известно, подумаем, какова была для нас энтропия, касающаяся исхода экзамена. Мы знали, что, скорее всего (с вероятностью 0,9), получим небольшую информацию, но в одном случае из десяти можем получить (в нашем случае, к сожалению) информацию, значительно большую. Это означает, что, чем большей окажется информация, тем меньше её вероятность, т. е. тем реже мы будем её получать. На этом и основана формула Шеннона для энтропии. Она выражает среднюю информацию, которую мы будем получать, если повторять испытание многократно. Для двух вариантов результата она выглядит так:

H = – (Р удачи • lоg 2 P удачи + P неудачи • lоg 2 Р неудачи).

Вычислим энтропию для нашего примера со сдачей экзамена. Вероятность успешной сдачи составляет 0,9, а её двоичный логарифм равен -0,15.

Вероятность провала равна 0,1, а её логарифм по основанию 2 соответствует -0,33. Значит, энтропия равна:

Н = – [0,9 (-0,15) + 0,1 • (-0,33)] ≈ 0,17.

Эта величина выражается в битах и означает степень нашей неосведомлённости по поводу результата экзамена.

Предположим теперь, что мы имеем дело с неизвестным учащимся, про степень подготовки которого мы абсолютно ничего не знаем. Как мы оценим вероятность его успеха или провала? Логично предположить, что надо считать и ту и другую равными 0,5, как говорится, «пятьдесят на пятьдесят». Просто у нас нет никаких оснований считать иначе. Какова будет энтропия в этом случае? Как нам известно, в случае равновероятных исходов энтропия равна двоичному логарифму их количества. Таких исходов у нас два – либо сдаст, либо не сдаст. Значит, в этом случае степень нашего незнания результата экзамена равна 1 биту, что значительно больше, чем в предыдущем случае. Почему так получилось? Потому что про второго экзаменуемого нам не было ничего известно, в то время как в отношении себя мы знали, насколько различаются вероятности успешной или неуспешной сдачи экзамена. Это знание вероятностей и снизило энтропию. На сколько? Очевидно, на величину разницы энтропий для двух различных случаев, т. е. на 1 – 0,17 = 0,83 бита. Формула Шеннона показывает, что чем больше степень нашего незнания, тем большей получается величина энтропии.

В реальной жизни при выборе решения мы почти всегда исходим из того, что обладаем некоторой предварительной информацией по этому вопросу. Эта информация снижает исходную энтропию выбора. Например, нам пришлось задать всего одиннадцать вопросов для того, чтобы узнать, что загадан именно Ньютон. Предварительная информация перед угадыванием заключалась в том, что задуманным должен быть человек, скорее всего известный как загадывающему, так и отгадывающему. Вряд ли игрок имел в виду младшего сына любимого раба римского сенатора Информациуса, жившего во II в. до н. э. Сколько на Земле жило достаточно общеизвестных людей? Надо думать, что не более нескольких тысяч. Если для отгадывания Ньютона нам пришлось задать одиннадцать вопросов, значит, полученная информация составила 11 бит, а количество возможных вариантов выбора было равно 211 = 2048. Вряд ли количество известных всем знаменитостей намного больше этого числа. Ну, допустим, что играющие – очень эрудированные люди и знают в пять раз больше знаменитых людей, т. е. около десяти тысяч человек. В этом случае для угадывания им будет достаточно задать не более четырнадцати вопросов, так как логарифм 10 000 по основанию 2 равен приблизительно 13,3.

А что будет в том случае, если мы не имеем никакой предварительной информации? Допустим, что мы имеем дело с авантюристом, который всё-таки загадает младшего сына любимого раба. Вы думаете, что для отгадывания надо будет задать невероятно большое число вопросов? Вовсе нет. Количество всех людей, живших на Земле в обозримый исторический период, вряд ли превышает 10 млрд. А двоичный логарифм этого числа равен 29,9. Так что, задав всего 30 вопросов, вы можете угадать любого человека из всех когда-либо живших. Разумеется, для этого требуется умение правильно задавать вопросы.

В этом заключается одна из особенностей информации – её количество растёт значительно медленнее, чем число вариантов выбора. Это связано с тем, что информация представляет собой логарифм числа выборов, а логарифмическая функция обладает такой особенностью, что при увеличении аргумента во столько-то раз её значение изменяется на столько же единиц. То есть, по мере того как широта выбора растёт в геометрической прогрессии, информация растёт в арифметической прогрессии.

Двоичная система

Это свойство информации многих очень удивляет, но именно оно представляет огромную ценность для создания компьютеров, где используют так называемую двоичную систему кодирования информации. С помощью только двух цифр – 0 и 1 – выражают любое число. В десятичной системе, которую мы обычно используем, – десять цифр от 0 до 9. Следующее число пишется как 10, что означает один полный десяток и ноль цифр второго десятка. Затем мы увеличиваем число единиц во втором десятке, пока не дойдём до 19. Число 20 говорит нам, что имеется два полных десятка и ни одного числа третьего десятка. Так продолжается до тех пор, пока счёт не достигнет 99. После этого мы добавляем ещё один разряд – сотни, т. е. квадраты десяток. Число 145 означает, что в нём содержится одна сотня, четыре десятка второй сотни и пять единиц пятого десятка второй сотни. Далее мы продолжаем счёт, вводя, когда потребуется, третьи, четвёртые и дальнейшие степени десяти.

В двоичной системе нет цифр, означающих числа, большие единицы. Поэтому уже для обозначения двойки нам приходится использовать число 10, которое означает: «одна полная двойка и ноль чисел во второй двойке». Далее идёт число 3, которое пишется как 11: «одна полная двойка и одно число второй двойки». Следующим числом будет 4, а это квадрат двойки. Значит, и писать его надо так, как в десятичной системе пишется квадрат десятки, т. е. 100. Теперь посмотрим, как можно изобразить любое число в двоичной системе. Допустим, мы хотим это сделать для тех же ста сорока пяти. Сначала надо узнать, сколько в этом числе содержится целых степеней двойки. Находим, что 27 равно 128, что меньше 145, а 28 – уже 256, что превышает это число. Значит, сто сорок пять равно двум в седьмой степени (27), что записывается как единица с семью нулями (10 000 000), плюс 17 (145 – 128). Выразим 17 в двоичной системе: 16, т. е. 24 (записывается как единица с четырьмя нулями – 10 000), плюс 1. После этого посмотрим, как выглядит число 145 в двоичной системе. Для этого надо сложить все числа, которые мы получали в процессе вычисления: 10 000 000, 10 000 и 1. Следовательно, выражая это число в двоичной системе, мы получаем: 10 000 000 + 10 000 + 1 = 10 010 001.

Казалось бы, такая система слишком громоздка и неудобна для записи и вычислений. Но она является незаменимой в создании электронных устройств и вычислительной техники. Все электронные устройства состоят из отдельных элементов. Чем меньше значений может принимать каждый элемент, тем проще изготовить такие элементы. Две цифры двоичной системы могут быть легко представлены многими физическими явлениями: есть ток – нет тока, температура выше заданной – температура ниже заданной и т. п. Кроме того, чем меньше число возможных состояний элемента, тем надёжнее и быстрее он может работать. К тому же техническим устройствам значительно проще выполнять арифметические вычисления, используя двоичную систему. Например, для того чтобы сложить числа 12 и 36, надо закодировать в памяти машины значения четырёх цифр, в то время как в двоичной системе эта операция выглядит так: (23 + 22) + + (25 + 22) = 1000 + 100 + 100 000 + 100. Поставьте себя на место машины, и вы поймёте, что такую операцию выполнить значительно проще.

Поскольку в двоичной системе существует всего две цифры, то при решении какой-либо задачи требуется на каждом шагу рассуждения или вычисления выбирать один из двух одинаковых вариантов, т. е. тратить информацию, равную одному биту. А так как количество возможных вариантов решения возрастает значительно быстрее, чем число сделанных шагов, то, используя сравнительно небольшое количество двоичных действий, можно осуществить выбор из огромного числа разнообразных решений или комбинаций. Именно на этом принципе строится работа современных компьютеров.

Проверьте свои знания

1. Как зависит энтропия незнания ответа на какой-либо вопрос от того, насколько равны вероятности всех возможных ответов на него?

2. Как изменяется величина информации с ростом числа возможных ответов на интересующий нас вопрос?

3. Чем различается написание чисел в десятичной и двоичной системах?

Задания

1. Подсчитайте, сколько вопросов, допускающих ответы «да» или «нет», требуется задать для того, чтобы установить одного из жителей города с населением 65 тыс. человек.

2. Выразите номер этого параграфа в двоичной системе.

 

§ 12 Ценность и избыточность информации

Используя уравнения теории информации, мы можем вычислить, какое количество информации содержится в полученном сообщении. Но оценив значение информации в нашей жизни и в окружающем нас мире, мы увидим, что это количество далеко не всегда определяет важность, ценность или полезность этого сообщения. Предположим, вы претендуете на престижное место работы или на место для обучения в известном университете. После предварительного отбора вы становитесь одним из двух претендентов на это место, причём шансы у обоих приблизительно равны. Вы переживаете и не даёте себе покоя в течение нескольких дней и наконец получаете сообщение, в котором говорится, что вы приняты. Это сообщение радикально меняет вашу жизнь, вашему счастью нет предела… А сейчас задумайтесь, сколько информации оно вам принесло. Всего один бит. Теперь представьте себе, что вы уронили монету и, перед тем как её поднять, заметили, что она лежит цифрой кверху. Это наблюдение принесло вам один бит информации, т. е. ровно столько же, сколько в предыдущем случае.

Но согласитесь, что оценка и последствия двух этих событий между собой несоизмеримы.

Поэтому в современной информатике помимо количества информации рассматривается её ценность. Ценность информации зависит от цели, которую преследует получатель этой информации. Если цель наверняка достижима, то можно определить ценность информации в соответствии с тем, насколько она уменьшает усилия или время, требуемые для достижения этой цели. Такой ценностью обладает информация, содержащаяся в поисковых системах, справочниках и каталогах. Если же достижение цели необязательно, то, для того чтобы определить ценность информации, можно воспользоваться такой формулой:

V = (P – p)/(1 – p).

В этой формуле V означает ценность информации, p – вероятность достижения цели до получения информации, а P – после её получения. Если после того, как вы получили сообщение, вы наверняка достигнете цели, то P = 1 и ценность полученной информации равна единице, т. е. своему наибольшему значению. Если же после этого сообщения вероятность достижения цели не изменилась, то P = p и ценность сообщения равна нулю.

Ценность информации далеко не всегда зависит от её количества. Предположим, что вам предложено решить тестовое задание, где из четырёх возможных ответов требуется выбрать один верный. Узнав ответ, вы получите информацию, величина которой равна 2 битам, а ценность – единице. Если же вам предложат выбор из шестнадцати вариантов, то в этом случае правильный ответ принесёт вам 4 бита, а ценность полученной информации останется прежней, так как и в том и в другом случае вы в результате достигаете поставленной цели – справиться с заданием. Информацию, которая не содержит никакой ценности, называют шумом. Одна и та же информация может обладать различной ценностью. Так, если по телевизору передают репортаж о спортивном состязании, то для зрителя, интересующегося спортом и болеющего за одну из играющих команд, получаемая информация представляет огромную ценность, тогда как для его соседа, думающего о чём-либо другом или читающего книгу, репортаж представляется шумом.

Важной характеристикой информации служит её избыточность. Избыточная информация присутствует практически в любом тексте. Изначально избыточность текста появляется из-за того, что вероятность встречаемости букв в алфавите русского, как и любого другого, языка неодинакова. Если проанализировать встречаемость различных букв в русском тексте, то мы увидим, что в половине случаев мы обнаружим буквы О, Е, А, И, Т, Р или Н, и меньше 5 % придётся на долю букв Ю, Ж, Х, Щ, Ф, Ш, Э, Ц, И, Ъ. С учётом неравномерной встречаемости букв энтропия алфавита русского языка равна не 5 битам, а всего 4,39 бита. Отношение максимальной энтропии к реальной и определяет её избыточность.

В действительности избыточность языка оказывается ещё большей из-за того, что в языке существуют устойчивые пары или тройки сочетаний букв, вероятность появления которых значительно больше, чем у других сочетаний. Если учесть вероятность появления различных сочетаний двух букв, то энтропия становится равной 3,52, а при учёте вероятности сочетаний трёх букв – 3,05 бит/букву. Благодаря этому часто даже при потере значительной части букв текст удаётся восстановить, т. е. извлечь из него всю изначально содержащуюся информацию. Классический пример можно найти в книге Жюля Верна «Дети капитана Гранта». В записке, которую извлекли из желудка акулы, было смыто морской водой 170 букв из 250. Паганель не смог полностью расшифровать испорченный текст, но ему удалось извлечь из него достаточно информации, чтобы после нескольких попыток найти потерявшуюся экспедицию. Тексты с меньшим числом потерянных знаков часто можно восстановить полностью.

Допустим, вам встретилось слово, в котором есть такое сочетание: «Б, затем утерянный знак, затем Ф». Восстановить это испорченное слово будет не так уж трудно. Скорее всего, в голову придёт что-то съедобное: «бифштекс», «ростбиф», «бефстроганов» или «буфет»; может быть, вспомните ещё «буфер», а вот дальше у вас начнутся затруднения. Набор будет очень ограничен ещё из-за того, что буква «Ф» в русском языке встречается очень редко, практически только в словах, заимствованных из других языков. Но и при более простых сочетаниях восстановить текст нетрудно в том случае, когда небольшая его часть утрачена. Особенно просто это сделать с текстом, в котором содержатся знакомые, часто употребляемые выражения. Сможете ли вы, например, прочитать такое объявление:

«До..лни…ь.ые к.н.уль.а..и п. м…ма..ке .у..т пр.в..ить.я в. …рник .осл. пя..г. ур..а»?

Из этого объявления «выпала» почти половина знаков, и тем не менее нетрудно восстановить его полный текст.

Различные виды текстов обладают различным количеством избыточной информации. Если вспомнить, что мерой величины информации служит её неожиданность, то часто можно услышать или прочесть в сети тексты, содержащие практически нулевую информацию. Вот типичный пример:

– Привет!

– Привет!

– Ну как ты?

– Нормально. А ты?

– И я нормально.

– Ну, хорошо. А я вот иду, смотрю, ты тут стоишь.

– Ну да. Ну что, пока?

– Пока. Ну, я пошла.

Часто большой избыточной информацией обладают художественные, особенно поэтические тексты. У некоторых поэтов-авангардистов встречаются тексты, абсолютно лишённые какого-либо смысла, где вся информация основана только на грамматических связях. Вот отрывок из произведения русского поэта начала прошлого века Велимира Хлебникова:

«Хатославль песен певучего слога, старомилы, шкурники, баромилые годы, брюхомолы, особая порода самобожеств, пузомолы, брюховеры, смежни зарёю главной, мозговеры».

Каждая ситуация, каждый текст требуют своего уровня избыточной информации. Преимуществом избытка информации может быть либо эстетическое качество художественного произведения, либо его лучшее понимание. Если бы тексты не содержали избыточной информации, их восстановление после повреждения стало бы невозможным.

Рис. 21. Сообщения, не содержащие избыточной информации

Поэтому в тех случаях, когда цена ошибки в понимании текста может быть слишком высокой, используют сообщения с большой избыточной информацией. К ним относятся, например, переговоры авиадиспетчеров. С другой стороны, избыточная информация требует большего времени для своего восприятия и большего количества знаков для передачи сообщения. Поэтому в тех случаях, когда сообщение требует конкретных, обязательных действий, оно не содержит или почти не содержит избыточной информации. Таковы, например, указатели «Прохода нет», «Посторонним вход воспрещён», «Высокое напряжение» и т. п. (рис. 21).

Проверьте свои знания

1. От чего зависит ценность полученной информации?

2. Как называется информация, не несущая никакой ценности?

3. С чем связана избыточность информации языка?

4. В каких случаях большая избыточность текста оказывается полезной? Приведите примеры помимо тех, что указаны в параграфе.

Задания

1. Придумайте примеры высказываний с минимальной и избыточной информацией.

2. Оцените значение информации о современном обществе. Раскройте смысл высказывания премьер-министра Великобритании Уинстона Черчилля «Кто владеет информацией, тот владеет миром».

 

§ 13 Самоорганизующиеся системы

Вернёмся к вопросам, связанным с термодинамикой и термодинамическими системами. Мы знаем, что в том случае, когда система изолирована от внешней среды, в ней либо не происходит никаких процессов, либо происходят процессы, сопровождающиеся ростом энтропии и увеличением хаоса. Именно такие системы изучает классическая термодинамика. Но в действительности нам почти никогда не приходится иметь дело с изолированными системами. Все живые организмы – это открытые системы, которые постоянно поглощают и выделяют вещество и энергию. Неживые системы тоже в большинстве своём являются открытыми – энергия, приходящая от Солнца, нагревает моря или скалы, что приводит к испарению воды и изменениям скорости некоторых химических реакций (рис. 22). Представим себе систему, которая поглощает из некоторой области окружающей среды вещество или энергию и одновременно отдаёт это вещество или энергию в другую область окружающей среды. Тогда мы говорим, что через систему проходит поток вещества или энергии. Например, если предмет подогревать с одной стороны и одновременно охлаждать с другой, то через него будет непрерывно проходить поток теплоты.

Рис. 22. Перистые облака являются примером самоорганизующейся системы в неживой природе

Река представляет собой поток воды, постоянно переносимый от высоко расположенного истока к находящемуся ниже устью. Открытые системы не находятся в равновесии с окружающей средой, потому что в случае равновесия не будет существовать входящих и выходящих потоков. Такие системы называют неравновесными, а науку, которая их изучает, называют термодинамикой неравновесных систем. Впервые разработкой теории таких систем занялся в начале 30-х гг. XX в. норвежско-американский физик Ларс Онзагер (1903–1976), а наибольший вклад в её развитие внёс бельгийский физик и химик российского происхождения Илья Романович Пригожин (1917–2003)(рис. 23).

Рис. 23. И. Р. Пригожин

Когда значения физических величин в системе не очень отличаются от тех, которые существуют в окружающей среде, говорят, что система находится близко к равновесию. В этом случае проходящие через неё потоки будут прямо пропорциональны вызывающей их причине. А причина, как вам уже известно, заключается в том, что между участками системы и окружающей её среды существуют определённые различия: электрические заряды движутся благодаря разности потенциалов источника тока, ветер дует из-за перепада давления в разных участках атмосферы и т. д. Если такие различия не слишком велики, то скорости потоков пропорциональны силе действующих факторов. Примерами могут служить закон Ома, где сила тока пропорциональна разности потенциалов, или закон, согласно которому скорость передачи теплоты от горячего тела к холодному пропорциональна разности их температур. Если все входящие в систему потоки равны всем выходящим потокам, то говорят, что система находится в стационарном состоянии. Наглядным примером стационарного состояния служит бассейн, в который за единицу времени поступает столько же воды, сколько из него вытекает. Уровень воды в этом бассейне всегда будет оставаться постоянным, хотя бассейн, несомненно, является открытой системой и постоянно обменивается веществом (водой) с окружающей средой. Очень важно, что потоки в таких системах обладают очень большой устойчивостью. Если их течение будет временно нарушено каким-либо случайным воздействием (например, в медленно текущую реку бросить камень), то через непродолжительное время порядок будет восстановлен (равномерное движение воды в реке будет продолжаться).

Однако в том случае, когда различия, вызывающие потоки, становятся слишком велики, т. е. когда системы становятся сильно неравновесными, такая пропорциональность исчезает, а вместе с ней исчезает и устойчивость равномерного движения потоков.

Рис. 24. Горный поток (А) и равнинная река (Б)

Сравним поверхность воды в медленно текущей равнинной реке и в мчащемся горном потоке (рис. 24). В первом случае скорость течения невелика, и все слои воды движутся почти параллельно друг другу. На поверхности воды не обнаруживается никаких выпуклостей и впадин. Такое течение называют ламинарным. Если же мы посмотрим на горный поток, то увидим на его поверхности сложный рисунок с поворотами, завихрениями и другими признаками неравномерности течения. Причём такой рисунок будет довольно устойчивым и будет сохранять свой вид в течение долгого времени, несмотря на то что через этот участок ежесекундно проносится огромное количество воды. Это значит, что траектории этих слоёв воды подчиняются не простому закону «двигайся сверху вниз», а каким-то более сложным правилам, которые организуют эти траектории. Это означает, что в потоке возникает самоорганизация.

В лабораторных условиях можно наблюдать поразительный пример движения масла, приводящего к спонтанной самоорганизации. Такой опыт можно провести даже на собственной кухне. Возьмите сковороду с плоским дном, налейте в неё немного масла, смешанного с каким-нибудь порошком для того, чтобы было заметно движение жидкости, и поставьте её на слабый огонь. Нижний слой масла будет разогреваться в первую очередь, возникнет разница температур между дном и поверхностью масла и движение масла от дна к поверхности. Охладившись на поверхности, остывшие участки масла будут опускаться вниз.

Рис. 25. Ячейки Бенара и схема их образования

Вначале это движение будет хаотичным. Но когда различие температур в глубоком и поверхностном слое достигнет определённого уровня, движение участков масла станет согласованным. Мы увидим, как на поверхности жидкости образуются правильные шестиугольные ячейки, в середине которых частицы порошка движутся вверх, а по краям, т. е. на местах соприкосновения этих ячеек, – вниз. Эти ячейки называются ячейками Бенара, по имени впервые описавшего их исследователя (рис. 25). С точки зрения термодинамики Больцмана вероятность такого упорядоченного состояния почти равна нулю. И всё же самоорганизация происходит!

В чём причина такого странного и даже невероятного явления? Проще ответить на этот вопрос, используя вместо традиционного для физики слова «причина» непринятое для этой науки понятие «цель». Тогда вопрос надо поставить так: зачем это происходит? Очевидно, что такое упорядоченное движение молекул обеспечивает более эффективную теплопередачу, так как молекулы не сталкиваются друг с другом, т. е. «не путаются друг у друга под ногами». Воспользуемся аналогией, предложенной Г. Хакеном, о котором мы ещё будем упоминать в дальнейшем (рис. 26). «Представим себе бассейн, в котором люди плавают из одного конца в другой. Если пловцов очень много, то они будут постоянно оказываться друг у друга на пути. Чтобы избежать подобной сутолоки в открытых бассейнах, переполненных желающими искупаться в жаркий день, некоторые смотрители запускают пловцов по кругу, так что они теперь мешают друг другу гораздо меньше. Коллективное движение по кругу «предписано» пловцам смотрителем бассейна, однако не исключено, что они и сами могли додуматься до чего-то подобного: сначала, возможно, в этом участвовали всего несколько человек, но со временем к ним присоединились бы и другие – те, кому эта идея понравилась бы и такой способ плавания оказался бы удобнее. Так, в конце концов, может возникнуть коллективное движение; поскольку это происходит при отсутствии внешнего организатора, можно говорить о самоорганизации. Пример с жидкостью показывает, что и Природа поступает точно так же».

Рис. 26. Бассейны с хаотично плавающими людьми (А) и людьми, плавающими по кругу (Б)

Каким же образом происходит самоорганизация движения молекул? Считается, что это происходит в результате того, что в хаотическом движении молекул могут случайно возникать «микроупорядоченности». Большая их часть оказывается бесполезной и быстро разрушается. Однако если движение случайно сложившейся группы молекул оказывается более выгодным, то к этой группе начинают присоединяться другие молекулы. Упорядоченный процесс разрастается и в конце концов захватывает всю систему.

Для того чтобы быть самоорганизующимися, физические структуры должны постоянно поглощать и выделять, т. е. пропускать через себя, большое количество энергии. Такие структуры называют диссипативными (от «диссипация» – рассеивание), потому что они поглощают и рассеивают энергию. В следующем параграфе мы рассмотрим устройство лазеров – одной из используемых в практике диссипативных систем.

Проверьте свои знания

1. Сравните изолированные и открытые системы. Какие из них более распространены в природе?

2. Приведите пример системы, через которую проходит поток вещества и энергии.

3. Дайте определение стационарного состояния открытой системы.

4. Чем отличается движение воды в горном потоке от её течения в равнинной реке?

5. Используя рисунок 25, объясните, как происходит образование ячеек Бенара.

6. Что такое диссипативные структуры?

Задания

Используя материал параграфа, организуйте и проведите работу по получению ячеек Бенара. Сфотографируйте или снимите на видео результат вашего эксперимента.

 

§ 14 Лазеры как неравновесные самоорганизующиеся системы

Принцип работы лазера

Типичным примером системы, поглощающей и рассеивающей большое количество энергии и способной в результате этого к самоорганизации, служат лазеры – устройства, широко используемые в самых различных областях человеческой деятельности. Само слово «лазер» образовано в результате сокращения его английского названия light amplification by stimulated emission of radiation – усиление света посредством вынужденного излучения. Другое название лазера – оптический квантовый генератор. Рассмотрим в общих чертах принцип его устройства. Для этого вспомним, что говорилось ранее о природе света. Квант света (фотон) испускается атомом в том случае, когда электрон переходит с верхней орбиты, обладающей высокой энергией, на нижнюю, энергия которой меньше. От разницы между энергиями верхней и нижней орбит зависит энергия фотона, которая проявляется в частоте излучения. Если систему «накачивать» электрической, химической или какой-либо другой энергией, электроны в атомах будут переходить на более высокие орбиты, а затем, спускаясь обратно, излучать кванты света.

В лазерах используют расположенные друг против друга зеркала, которые заставляют свет двигаться строго вдоль оси трубки. Световые волны принуждают возбуждённые атомы к монохроматическому излучению (от греч. «моно» – один и «хрома» – цвет).

Лазерное излучение обладает ещё одной важной особенностью. Посмотрим на рисунок (рис. 27). Все лучи света, направление которых не перпендикулярно плоскости зеркал, довольно быстро покидают активную среду лазера. Поэтому синхронизованное излучение испускается только в одном направлении в виде тонкого луча, в котором сконцентрирована вся световая энергия, генерируемая лазером. Понятно, что мощность такого излучения огромна. Некоторые лазеры испускают энергию не непрерывно, а в виде чрезвычайно коротких импульсов, длительность которых может быть меньше, чем 10-15 с, т. е. миллионной миллиардной доли секунды.

Рис. 27. Схема устройства и работы лазера

Сосредоточение всей энергии в таком коротком импульсе многократно увеличивает его мощность.

Работу лазера можно пояснить с помощью такой аналогии. Представьте себе большой зал, заполненный людьми, некое подобие дискотеки, только без музыки. Присутствующие пришли потанцевать, но так как никакой внешний ритм не задаётся, то каждый топает и подпрыгивает, как ему вздумается. Вдруг несколько человек, находящихся в разных концах зала, находят удачный, как им кажется, ритм и начинают поддерживать его с помощью ног или голоса. Ближайшие соседи этот ритм подхватывают, и образуется несколько групп, танцующих каждая в своём ритме. Но раздающиеся одновременно ритмы сбивают, и вот уже какая-то группа меняет свой ритм на ритм соседей. Он становится более мощным, чем остальные, и постепенно все присутствующие вовлекаются в этот ритм, и он один начинает греметь и господствовать по всему залу.

Применение лазеров

Мощное монохроматическое излучение лазера открывает широчайшие перспективы для своего использования в науке, промышленности, бытовой технике, медицине и других сферах человеческой деятельности. С помощью лазерного луча можно, например, точно измерить расстояние между двумя объектами. Приборы для измерения таких расстояний называют лазерными дальномерами. Они посылают короткие лазерные импульсы в сторону интересующего нас объекта. Дойдя до него, излучение отражается и возвращается назад. Измеряя время, которое затрачивает луч на путь до отражателя и обратно, и зная точное значение скорости света, можно рассчитать расстояние между лазером и отражающим объектом. Таким способом было определено точное расстояние от Земли до Луны. Во время полётов на Луну на её поверхности были установлены специальные отражатели. С Земли при помощи телескопа посылали сфокусированный лазерный луч и измеряли время, которое он затрачивает на путь до лунной поверхности и обратно. Благодаря такому исследованию параметры орбиты Луны стали известны с точностью до нескольких сантиметров.

С самого начала создания лазеров возникла мысль о возможности их применения в военных целях. Помимо собственно поражающего действия лазера, его можно использовать для точного наведения оружия на цель. Если маленький лазер прикрепить к стволу пистолета или винтовки, его луч высветит крохотное пятнышко на цели. Стрелок видит это пятнышко и понимает, куда именно направлен его ствол. Иногда лазерный луч используют для того, чтобы ввести противника в заблуждение. Луч, нацеленный на танк или самолёт, создаёт у противника впечатление, что на него направлено высокоточное оружие, и заставляет его отступить.

Широко распространено использование лазеров в промышленности, где их излучение используют для резки и закалки материалов, нанесения на них всякого рода покрытий и напылений, а также для разметки и гравировки.

Рис. 28. Лазеры в медицине

В медицине с помощью лазеров проводят сложные хирургические операции (рис. 28).

Например, тонкий луч аргонового лазера свободно проходит через прозрачное стекловидное тело глаза и оказывает воздействие непосредственно на его светочувствительную оболочку – сетчатку. Это позволяет проводить внутриглазные операции, требующие особой точности.

Самыми распространёнными устройствами, в которых используется лазерное излучение, являются компакт-диски для записи текстов, музыки и изображений (рис. 29).

Рис. 29. Компакт-диск

Первые диски появились в середине 80-х гг. прошлого века и получили название CD-ROM. Их информационная ёмкость по тем временам казалась огромной, но вскоре, когда возникла потребность в записи видеофильмов и больших игровых программ, они стали вытесняться дисками DVD, которые могут хранить значительно большее количество информации.

Принцип устройства лазерного диска можно в общих чертах описать так. На диске имеются дорожки, содержащие микроскопические выступы и углубления. Углубления называются питами (от англ. pit – ямка, впадина). Закодированная на диске информация определяется чередованием питов и промежутков между ними. Можно придать питу значение 0, а промежутку – значение 1 и получить информацию, закодированную в виде чисел двоичной системы. А мы знаем, что с помощью двоичного кода можно сохранить любое количество информации, не важно, будет она текстовой, звуковой или рисуночной. При считывании информации лазерный луч направляется на поверхность вращающегося компакт-диска, а отражённый свет попадает в принимающее устройство, где вызывает слабые электрические импульсы. Свет, идущий от углублений, оказывается более слабым, чем отражённый от плоских участков. Таким образом, двигаясь вдоль дорожки, система считывания «видит» последовательность тёмных и светлых участков.

Рис. 30. Лазерное шоу.

После фотоприёмника электрический сигнал проходит через усилитель и преобразуется в цифровую информацию, которая впоследствии перекодируется в звук или изображение. Для записи информации на диск используют обратный процесс. Более сильный лазерный луч, направленный на диск, «выжигает» на нём микроскопический участок поверхности. В дальнейшем при проигрывании «выжженные» и «невыжженные» участки будут по-разному отражать падающие на них лазерные лучи, и мы получим уже описанную картину. При стирании информации пробегающий лазерный луч уничтожает питы и выравнивает поверхность диска.

Разноцветные лучи лазера используют также в оформлении праздников и красочных представлений (рис. 30).

Проверьте свои знания

1. Объясните, почему движение электронов в лазере более упорядочено, чем в газоразрядной трубке.

2. Почему лазерное излучение обладает огромной энергией?

3. Что такое монохроматическое излучение? Почему излучение лазера является монохроматическим?

4. Приведите примеры использования лазера в практических целях.

5. Опишите принцип работы лазерных звуко– и светозаписывающих устройств.

Задания

Используя дополнительные источники информации, подготовьте сообщение или презентацию об использовании лазеров.

 

§ 15 Синергетика – наука о самоорганизации

Возможно, вы уже обратили внимание на то, что, рассказывая о физико-химических ячейках Бенара и об устройстве лазеров, мы прибегали к аналогиям, касающимся поведения человеческих коллективов. Во второй половине XX в. среди некоторых исследователей, работавших в различных областях науки, стало складываться мнение, что самые разнообразные природные процессы – от физико-химических до астрономических и социальных – имеют сходные черты. В результате возникло новое научное направление, которое один из его основателей, немецкий физик-теоретик Герман Хакен (род. 1927), назвал синергетикой, что в переводе с греческого языка означает «совместное действие». Для появления этой новой науки существовали многочисленные предпосылки.

По мере развития науки углублённое исследование конкретных частных процессов привело к предположению, что в природе должны существовать какие-то общие закономерности, лежащие в основе самых разнообразных явлений. Впервые обоснования таких закономерностей появились в термодинамике неравновесных процессов, когда было показано, как из хаотического движения отдельных частиц могут спонтанно возникать организованные структуры. Книга И. Пригожина и И. Стенгерс, где изложены основные положения новой науки, носит именно такое название – «Порядок из хаоса». Новые научные данные, казалось бы, противоречили как классической механике, где поведение любой частицы предопределяется силами притяжения и отталкивания, так и классической термодинамике, согласно которой порядок в природе постоянно стремится превратиться в хаос, а обратный процесс невозможен, потому что крайне маловероятен. Надо сразу оговориться, что это противоречие кажущееся. На самом деле самоорганизация существует только в открытых неравновесных системах, в то время как термодинамика имела дело с изолированными равновесными системами. Поэтому новые данные не противоречили классическим представлениям, но важно, что они из них и не вытекали.

В связи с этим Пригожин предложил обратить внимание на другой вопрос, долгое время не рассматривавшийся классической физикой: каким образом происходит образование и эволюция сложных структур? Физика всегда изучала уже существующие структуры и не уделяла должного внимания их возникновению. Напомним, что в классической механике время считалось абсолютно обратимым. Термодинамика ввела понятие «стрелы времени», но эта стрела была направлена только в одну сторону – в сторону увеличения энтропии и нарастания хаоса. Теперь выяснилось, что время может обладать не только разрушительными, но и конструктивными свойствами.

Собственно говоря, процесс эволюционного совершенствования был известен людям давно. Уже с XVIII в. широко обсуждались темы, связанные как с зарождением и развитием отдельных организмов, так и с глобальными эволюционными процессами в живой природе и в человеческом обществе. Но все эти процессы относились только к живым системам, которые хотя и не противоречили законам физики, но рассматривались как бы в стороне от них.

С идеей создания новой науки синергетики выступил в 70-х гг. прошлого века Г. Хакен. О том, каким образом у него возникла эта идея, он рассказывает так:

«…Я задал вопрос: «Имеет ли самоорганизация общие законы?» и предложил изучать этот вопрос внутри новой дисциплины, которую я назвал синергетикой. Слово «синергетика» пришло из греческого языка и означает науку о сотрудничестве, кооперации. Вопрос, существуют ли в ней общие законы или принципы, казался несколько удивительным и возможно даже шокирующим, потому что допускалось, что части системы могут быть совершенно различного характера, в диапазоне, скажем, от молекул в жидкости до человеческих индивидуумов в обществе. Мы рассматриваем системы, которые могут формировать пространственные, временные или функциональные структуры. Эти структуры формируются непосредственно самими системами без какого-либо вмешательства извне. Такие структуры конечно же формируются в процессе развития растений или животных, но их можно найти и в неодушевлённом мире физики и химии. Мы сфокусировали своё исследование систем на таких ситуациях, где качественные изменения системы происходят в макроскопических масштабах».

Согласно синергетике, развитие открытой неравновесной системы начинается с небольших случайных отклонений – флуктуаций. Если такие отклонения оказываются близки в пространстве и времени, они могут усиливать друг друга с помощью положительной обратной связи (§ 67). Может возникнуть структура, которая растёт и развивается за счёт положительных обратных связей между её элементами. Одновременно в результате других флуктуаций могут возникать и другие структуры, которые связаны с первой антагонистической связью и поэтому конкурируют с ней.

Параметр порядка

Одним из основных в синергетике является понятие параметра порядка. Параметр порядка, или управляющий параметр, – это фактор, который организует структуру и придаёт ей относительную устойчивость. Важно, что эта организация проявляется на уровне целой системы, в то время как каждый её элемент в принципе свободен в выборе своего поведения. Представим себе улицу, по которой в час пик движется множество людей. Если на этой улице находится станция метро или остановка автобуса, то основное движение будет направлено именно к ним. При этом каждый человек может идти как ему угодно: он может вспомнить, что забыл что-то купить, и повернуть назад к магазину, может встретить знакомого и остановиться поговорить с ним и т. д. Но в целом движение основной массы людей будет направлено к одной точке, которая и будет в данном случае служить параметром порядка (рис. 31).

Со временем и под влиянием различных причин параметры порядка могут меняться. Это изменение в значительной степени зависит от конкуренции различных параметров. Давайте представим себе такой опыт.

Рис. 31. Люди, собирающиеся вокруг сцены, являются примером самоорганизующейся системы

Возьмём стакан с плоским дном. Большая часть дна сделана из твёрдого материала, но в одном участке это дно будет изготовлено из мягкого пластика, способного деформироваться под действием силы. Насыпем в стакан достаточно тяжёлые шарики, например дробь, и будем его периодически встряхивать. Вначале дробь распределяется равномерно по всему дну стакана. Но постепенно мягкая часть будет продавливаться, и в неё будет скатываться больше дробин, чем их останется на плоской части. Под действием веса этих дробин лунка будет углубляться, и в неё будет попадать ещё больше дробин, пока, наконец, лунка не станет очень глубокой, и тогда в ней окажутся все дробины.

Рис. 32. Процесс образования продавливания в эластичном дне сосуда

Теперь допустим, что на дне стакана имеется два таких растяжимых участка. В обоих будут продавливаться лунки. Но если после очередного встряхивания в правой лунке окажется чуть больше дробин, чем в левой, то правая лунка станет глубже, чем левая, и при следующем встряхивании в неё уже закономерно попадёт больше дробин, в результате чего она станет ещё глубже (рис. 32). В конце концов правая лунка станет настолько глубже левой, что все дробины, или по крайней мере подавляющее большинство окажутся в ней. Но мы знаем, что обе лунки ничем не различаются. От чего же зависит результат, который покажет, какая из них станет «победителем»? Очевидно, что этот результат определяется чистой случайностью, небольшой флуктуацией при одном из первых встряхиваний стакана, и именно эта флуктуация определяет, какой из двух параметров порядка окажется победителем, т. е. в каком из двух изначально одинаковых мягких участков дна стакана окажется подавляющее большинство дробин.

Проверьте свои знания

1. Что означает понятие «синергетика»?

2. Объясните, почему существование самоорганизации не противоречит второму началу термодинамики.

3. Что такое параметр порядка? Приведите примеры параметров порядка из собственной жизни.

4. Что синергетика считает начальной причиной возникновения самоорганизации?

Задания

1. Придумайте и предложите опыт, отличный от описанного в параграфе, демонстрирующий конкуренцию разных параметров порядка.

2. Приведите примеры конкуренции параметров порядка из реальной жизни. Обсудите их с одноклассниками.

 

§ 16 Области применения синергетики

Большой интерес к синергетике объясняется тем, что её принципы применимы для описания самых разнообразных систем и происходящих в них процессов – от относительно простых химических реакций до развития общества. Мы рассмотрим несколько примеров, взятых из различных областей человеческого знания.

Напомним, что впервые идеи синергетики появились на основе термодинамики неравновесных процессов, разработанной И. Р. Пригожиным.

Рис. 33. Реакция Белоусова – Жаботинского

В частности, Пригожиным была создана химическая модель, в которой в результате происходящих в химической системе реакций концентрации составляющих её веществ изменяются согласно строгим колебательным закономерностям. Такой периодический химический процесс Пригожин назвал химическими часами, а сама модель получила название «брюсселятора», так как её автор жил и работал в Брюсселе. Одной из самых известных химических реакций, где происходят строгие и хорошо наблюдаемые периодические процессы, является реакция Белоусова – Жаботинского (рис. 33). Раствор со строгой периодичностью меняет свой цвет, становясь попеременно то красным, то синим. Оказалось также, что при таких реакциях периодичность возникает не только во времени, но и в пространстве. Как говорил сам В. П. Белоусов, «колба становится похожей на зебру». Если же смесь реагирующих веществ налить тонким слоем в плоский сосуд, то в ней образуются причудливые фигуры – концентрические окружности, спирали и «вихри», распространяющиеся со скоростью около 1 мм/мин (рис. 34). Результаты этих исследований поначалу казались настолько неожиданными и несовместимыми с представлениями классической термодинамики, что научные журналы отказывались их печатать.

А теперь вспомним, что говорилось о закономерностях периодического колебания численности лис и зайцев. Тогда мы утверждали, что точно такие же закономерности можно наблюдать в некоторых химических процессах. Теперь вы в этом убедились.

Вернёмся ещё раз к проблеме, касающейся процессов, которые Пригожин называет возникновением порядка из флуктуаций.

Рис. 34. Некоторые конфигурации, возникающие при реакции Белоусова – Жаботинского в тонком слое в чашке Петри

Мы уже отмечали сходство возникновения ячеек Бенара, движения пловцов в бассейне и продавливания дробинами углублений в дне стакана. Познакомимся ещё с одним примером, который приводит тот же Пригожин и который касается на этот раз поведения животных.

Термиты способны строить огромные и сложные земляные сооружения – термитники (рис. 35). В строительстве принимает участие огромное количество насекомых, и движения их кажутся такими слаженными, что некоторые учёные говорили о существовании «коллективного разума» термитов. Однако при детальном исследовании было показано, что для проявления такого «коллективного разума» требуется очень мало информации. Вначале термиты совершенно беспорядочно разбрасывают комочки земли, но каждый комочек пропитан гормоном, привлекающим других термитов. Через некоторое время в результате случайной флуктуации в каком-то месте плотность комочков окажется большей, чем по соседству. Теперь к этому месту будет стремиться большее количество термитов, и флуктуация будет нарастать, так как концентрация гормона в этом месте будет продолжать увеличиваться. Так воздвигается одна из опор будущего термитника. Другие опоры возникнут в местах, определяемых радиусом распространения запаха гормона, т. е. примерно на одинаковых расстояниях друг от друга. Так происходит закладка основания термитника.

Организующую роль параметров порядка можно наблюдать и в человеческом обществе. В качестве таких параметров могут выступать язык, культура, законы, принятые нормы поведения и общественное мнение. Тут, как и в других случаях синергетики, выявляется интересная взаимная связь между управляющим параметром, который определяется целостностью системы и частями этой системы. По выражению Хакена,

«параметр порядка действует подобно кукольнику, который задаёт танец марионеток, но решающее различие между кукольником и параметром порядка заключается в том, что отдельные части, в свою очередь, сами генерируют параметр порядка своим коллективным поведением» .

Рис. 35. Термитник

При изменении внешних условий, т. е. при каком-либо воздействии на систему, параметры порядка реагируют гораздо медленнее, чем части системы. Кроме того, часто, как, например, в человеческом обществе, параметры порядка существуют гораздо дольше, чем отдельные элементы системы. Очевидно, что продолжительность жизни человека значительно меньше, чем время существования государства, языка или культуры.

Определённые установившиеся параметры порядка могут в течение некоторого времени способствовать сохранению устойчивости управляемой системы. Но постепенно в результате изменения либо внешних условий, либо состояния и структуры элементов системы и характера их взаимодействий регулирующая роль управляющего параметра ослабевает, и система переходит в неустойчивое состояние. В этом случае система может или разрушиться, или изменить управляющие параметры, возможно даже отвергнуть некоторые из них.

Как и прежде, мы обратим внимание на тот факт, что такие закономерности присущи уже химическим реакциям. Если в сосуд, где протекает реакция, постепенно добавлять какое-то вещество, то до определённого времени эта реакция протекает по закономерной устойчивой траектории, т. е. количество продуктов реакции в каждый момент её протекания вполне предсказуемо. Но когда концентрация этих продуктов достигает определённого уровня, состояние химической системы становится неустойчивым, и она должна резко измениться. Такое состояние в синергетике называется точкой бифуркации. В этой точке концентрация одного из входящих в смесь веществ должна либо резко возрасти, либо резко снизиться.

Рис. 36. Многообразие структур снежинок

Часто невозможно предугадать, какой именно из этих двух вариантов осуществится, потому что результат зависит от случайной флуктуации, которая произойдёт в момент «выбора».

В физике тоже можно найти состояния, которые можно определить как точки бифуркации. Одним из примеров такого состояния служит образование снежинок. При охлаждении водяного пара молекулы воды внезапно образуют кристаллические структуры. При этом все снежинки представляют собой шестигранники, но форма этих шестигранников может быть совершенно различной и зависит от случайных процессов, которые происходят в начале образования снежинки (рис. 36).

На этом мы пока закончим знакомство с основными принципами синергетики, но поскольку эта наука оказывается применимой в самых различных областях человеческого знания, мы в дальнейшем ещё будем к ней обращаться при изучении биологических проблем.

Проверьте свои знания

1. Опишите процесс построения термитника.

2. Что можно считать параметрами порядка в человеческом обществе?

3. Что такое точка бифуркации? Какой фактор определяет, как пойдёт дальнейшее развитие системы после прохождения точки бифуркации?

Задания

Придумайте самостоятельно пример самоорганизации и точки бифуркации в какой-либо физической, биологической или социальной системе. Обоснуйте свой выбор. Обсудите в классе этот и другие примеры, предложенные вашими одноклассниками.

Ваша будущая профессия

Попробуйте смоделировать ситуации, в которых возможно применение знаний, полученных при изучении этой главы.