Лобачевский, как известно, заменил пятый постулат Евклида на утверждение, что через точку, находящуюся вне прямой, можно провести не менее двух параллельных ей линий. В результате прежние теоремы пришлось переделать, а некоторые совсем отбросить, и получилась новая геометрия. Итальянский математик Бельтрами показал, что на так называемых псевдосферических поверхностях верна не планиметрия Евклида, а планиметрия Лобачевского. Впоследствии математики пришли к убеждению, что и пространство Лобачевского тоже возможно.

Однако от этого геометрия Евклида не пострадала. Гильберт даже несколько уточнил систему её аксиом, чтобы она была получше обоснована.

Так получилось, что две взаимно исключающие друг друга геометрии признаны истинными. Этим нарушается один из четырёх основных законов логики – закон противоречия. Немецкий математик Риман совсем отбросил пятый постулат и заявил, что параллельных прямых вообще не бывает. Исходя из этого, он создал свою геометрию, которую тоже признали истинной, а физики указали, что гравитационное поле как раз и создаёт ту положительную кривизну пространства, благодаря которой осуществляется геометрия Римана.

И существование параллельных прямых, и их несуществование одинаково истинно. Так получается потому, что речь идёт о нереальных вещах. Параллельность или непараллельность обнаруживается при бесконечном продолжении линий, а все действия человека строго конечны. В математике подразумевается, будто люди могут знать, что происходит в бесконечности, но на самом деле бесконечность для них недоступна. О том, что там происходит, можно лишь условиться. И условиться можно по-разному. В результате для различных случаев больше подойдёт то одна, то другая, то третья из этих условностей. Геометрия – это вывод из условности, которая составлена так, чтобы быть более подходящей при некоторых обстоятельствах. В таком случае в геометрии не должно быть никаких доказательств, потому что условности не доказывают. Их принимают.

В арифметике доказательств нет. Там есть только правила. Но теоремы геометрии часто бывают неочевидными и нуждаются в пояснениях. Например, предложение 10 из ХII книги Евклида: “Всякий конус есть третья часть цилиндра, имеющего с ним то же самое основание и одинаковую высоту”. Здесь недостаточно заметна связь одного с другим, и такую связь необходимо показать. Причём показать надо не как-нибудь, а ясно и убедительно. От этого зависит мнение других людей о математике и отношение к математикам. Чем более достоверно и неопровержимо будут выглядеть математические утверждения, тем прочнее будет профессиональный престиж математиков и выше их самооценка.

Математики, как и другие люди, не могут воспринимать своё дело абсолютно беспристрастно. Они посвящают ему всю жизнь, оно даёт им соответствующее положение в обществе, от него зависит их материальная обеспеченность и в значительной степени радость бытия. Труды и жертвы они вкладывают сюда большие, а потому имеют право на уверенность, что и само это дело достаточно великое. Нередко употребляющиеся выражения “величественное здание науки” или даже “храм науки” относятся и к математике как к одной из наук. При этом любое мнение, которое способно ослабить такое уважительное впечатление, должно вызывать настороженность, как несправедливое отношение к тому, что создано самоотверженным трудом многих людей. Слава неопровержимой обоснованности и абсолютной достоверности, приобретённая математикой, должна не подрываться, а наоборот, укрепляться и усиливаться. Этого требует профессиональная гордость математиков и чувство симпатии у любителей математики.

В юриспруденции голословное обвинение не считается доказанным. Одни лишь слова, как бы логично они ни были соединены – это не доказательство. И в повседневной жизни одни лишь разговоры без дел и фактов вызывают скептическое отношение. Но по-другому получается в тех случаях, когда человек что-нибудь объясняет. Правдоподобные и логичные объяснения обвиняемого заступают место истины до тех пор, пока не будут опровергнуты. А если их так и не удастся опровергнуть, то они влекут за собой те же последствия, что и истина.

Математические доказательства представляют собой словесные рассуждения. Но как пояснения они логичны, правдоподобны и могут считаться истинными. Только название “пояснение” для них не применяется и вместо него уже давно укоренилось слово “доказательство”. Оно производит более лестное для профессиональной гордости впечатление и больше способствует укреплению престижа математики, чем слово “пояснение”.

Кроме термина “пояснение” предлагался ещё термин “довод”. Михаил Пселл, который считается сведущим в математике, рассказывая о своём образовании, писал [81, с.81]:

«Освоив учение о числах и познакомившись с доводами геометрии, которые иногда называют доказательствами, я посвятил себя музыке и астрономии и другим близким им наукам…»

В окружающем мире имеется такое огромное количество различных предметов, их качеств, свойств и состояний, что человек не в силах учитывать даже заметную часть этого разнообразия. Выход из такого положения состоит в том, чтобы отвлечься от несущественных для данного дела различий. Приходится условно признавать, что вроде бы сходные предметы или свойства тождественны между собой и их можно обозначить одним словом. В результате получаются общие понятия, благодаря которым несметное количество различных предметов обозначается сравнительно небольшим количеством слов. И без такого отождествления ориентироваться в огромном разнообразии окружающего мира вряд ли возможно. А к предметам, объединённым общим понятием, можно прилагать правила арифметики.

Поскольку общие понятия и классификации – это условности, в любом научном знании и в любом словесном выражении мысли содержится элемент условности. “Мысль изреченная есть ложь”, – писал Тютчев, и это не только верно, но иначе и быть не может. Мысль вынуждена всё выражать в обеднённом и сокращённом виде. Это одно из естественных проявлений ограниченности человеческого существа и человечества в целом. А условности, с помощью которых достигается такое сокращение, являются исходными фактами для математических теорий.

В физике и химии новые теории создаются как опровержение прежних воззрений. Они показывают, что старые теории были неверными или неточными и потому должны быть отброшены. По-другому получается в математике. Какие бы новые открытия в ней ни делали, старое остаётся неприкосновенным. Теорема Пифагора или арифметические правила древних вавилонян в настоящее время считаются не менее истинными, чем когда они появились. Математику можно изучать по сочинениям, написанным в далёком прошлом, и это даст сведения, приложимые к самым новейшим научным достижениям. Получается же так потому, что математические теории исходят из условностей. Если люди условились считать какие-то предметы тождественными, то независимо от времени, места и научных познаний, к этому случаю можно применять арифметические действия. А если люди согласны считать кучу песка конусом или шаровым сегментом, то к этой куче можно прилагать соответствующие формулы. Спорить и опровергать здесь приходится лишь то, что куча похожа именно на такую условную форму, а не на другую, или что в таком-то случае полезно считать одинаковыми именно такие предметы, а не другие. Но геометрических формул или арифметических правил эти споры не касаются. Условность неопровержима, потому что она стоит вне истинности и ложности. А неопровержимость создаёт впечатление аподиктической достоверности, которая и была приписана математике.

Точность математики тоже условна. Если из дюжины яблок отобрать пять подгнивших, или пять самых спелых, или пять самых крупных, то остаток во всех этих случаях будет различным. Но те же действия, записанные в числах 12-5=7, дают один и тот же безукоризненно точный результат. Достигается же это за счёт неточности, которая содержится в самом понятии числа, подразумевающем тождественность всех своих единиц, хотя такая тождественность нереальна.

Математика продолжает ту разработку условностей, которая начинается образованием общих понятий. Но прежде чем применять к чему-нибудь полезные условности, необходимо в достаточной степени изучить реальное положение дел в этой области. В таком изучении математика не может заменить другие науки. Проникая почти везде, она выполняет подсобную задачу – упрощает то, что можно упростить с помощью условностей. Это помогает и познанию, и производству, но не может заменить самого познания или производства.