В начале Средневековья образование в Европе держалось на трудах и авторитете поздних римских авторов, в частности Боэция. Образование в средневековых университетах следовало модели, введенной в V веке философом Марцианом Капеллой, автором трактата De Nuptiis Philologiae et Mercurio («О браке Филологии и Меркурия»), также известного как De septem disciplinis («О семи дисциплинах»), в котором он впервые разделил науки на тривиум и квадривиум.

Культурное наследие римлян ощущалось и в том, как производились вычисления, так как по-прежнему использовались римские цифры. Арабские цифры вводились медленно, этот процесс сопровождался горячими спорами и диспутами и длился в течение всего Средневековья. Тем не менее в Средние века также были совершены важные открытия, сыгравшие определяющую роль в развитии науки последующих эпох. Так, следует упомянуть логическую систему Раймунда Луллия, которая оказала большое влияние на работы Лейбница XVII века.

Боэций и ритмомахия

Ритмомахия — игра, напоминавшая шахматы, которая была широко известна в Средние века. Она была придумана в середине XI века в монастырях на юге Германии и достигла наивысшей популярности в XVI веке. Затем наступил период упадка, когда игра была полностью забыта. Ритмомахия была лишь игрой, однако она представляет особый интерес для исследователей, поскольку периоды роста ее популярности соответствуют этапам расцвета математики.

Основным математическим трудом Средневековья была «Арифметика» Боэция, носившая латинское название De Institutione Arithmeticae. Структура «Арифметики» очень отличалась от современных математических работ. В некотором роде ее можно считать возвратом к наследию Древней Греции. Боэций изложил в ней свои идеи об отношениях между числами, в особенности о пропорциях, а также определил множество понятий (в этом его работа схожа с «Началами» Евклида). Однако он не ввел понятия доказательств и предложений, известные еще в далекие времена Древней Греции. Ритмомахия стала своеобразным спасательным кругом: она использовалась для того, чтобы обучать студентов понятиям и отношениям из книг Боэция.

* * *

ТРИВИУМ И КВАДРИВИУМ

Понятие «тривиум» появилось в VIII–IX веках, после того как широкое распространение получил его «старший брат» квадривиум. Тривиум состоял из грамматики, логики и риторики и являлся введением в свободные искусства и квадривиум, который считался более сложным. Этот предрассудок отчасти сохранился до наших дней, так как словом «тривиальный» мы называем нечто простое и понятное.

Квадривиум состоял из арифметики, геометрии, астрономии и музыки, которые вкупе с тривиумом образовывали семь свободных искусств. В V–VI веках Боэций привел их в систему, однако само понятие свободных искусств упоминается уже в пифагорейских текстах.

Иллюстрация из книги «Сад наслаждений»  Гэррады Ландсбергской , посвященная семи свободным искусствам. «Сад наслаждений» был написан в образовательных целях в конце XII века.

БОЭЦИЙ (480–524)

Аниций Манлий Торкват Северин Боэций был христианским философом из знатной семьи, к которой принадлежали несколько императоров. Наиболее известной его работой является De Consolatione Philosophiae («Утешение философией»»), написанная во время тюремного заключения. Боэций рассуждает о неравенстве в мире, следуя за Платоном. Он перевел множество греческих трудов на латынь, чтобы сделать греко-латинскую культуру доступной будущим поколениям. Крах западной Римской империи наступил за четыре года до его рождения, когда последний император Ромул Август был смещен Одоакром, предводителем германского племени.

Многие переводы Боэция были не дословными и содержали многочисленные комментарии. Так, De Institutione Arithmeticae Libri II , которая задумывалась как перевод «Введения в арифметику»» Никомаха Герасского, изобилует материалом, принадлежащим самому Боэцию. Переводы Боэция широко использовались в средневековой Европе.

Боэций в заключении. Миниатюра из «Утешения философией», издание XIV века.

* * *

Со временем были вновь обретены более сложные труды греческих авторов, и в математике стал преобладать средневековый стиль. К сожалению, с уходом от греческого наследия исчезла и сама игра. Уже Лейбниц, великие открытия которого основывались на достижениях средневековой математики, лишь слышал о ней, но ее правила были ему неизвестны.

В математике Боэция числа могут быть равными (aequalis) или неравными (inaequalis). Равенство нельзя разделить на категории, так как это понятие неделимо. Однако можно классифицировать различные виды неравенства. К первой категории (maioris) относились случаи, когда некое число было больше данного, ко второй (minoris) — случаи, когда некое число было меньше данного. Эти категории делились на пять подкатегорий в зависимости от типа отношения между числами. Первая категория содержала кратные (multiplex), сверхчастичные (superparticularis), сверхчастные (superpartiens), кратно-сверхчастные (multiplex superparticularis) и кратно-сверхчастичные (multiplex superpartiens) числа. Вторая категория делилась на подкратные (submultiplex), подсверхчастичные (subsuperparticularis), подсверхчастные (subsuperpartiens), подкратно-сверхчастные (submultiplex superparticularis) и подкратно-сверхчастичные (submultiplex superpartiens).

Как можно убедиться, игра, подобная ритмомахии, значительно помогала прояснить систему Боэция. Для этого позднеримского автора кратным числом было такое, в котором первое число укладывалось n раз. Таким образом, вводились двойные, тройные, четверные числа и так далее. Например, 8 — четверное число для 2.

Число называлось сверхчастичным, если содержало другое число и его часть. Например, 9 — сверхчастичное число для 6, так как 9 = 6 + (1/2)·6. Сверхчастное число содержит другое число и несколько его частей. Например, 9 — сверхчастное для 7, так как 9 = 7 + (2/7)·7. Кратно-сверхчастичные числа содержат другое число несколько раз и одну его часть, кратно-сверхчастные содержат другое число несколько раз и несколько его частей. Например, 15 — кратно-сверхчастичное для 6, так как оно равняется 6 + 6 + (1/2)·6, а 16 — кратно-сверхчастное для 7, так как равняется 7 + 7 + (2/7)·7.

Боэций в своей книге также определял три типа средних величин. Первая из них — среднее арифметическое, определяемое как m = (а + Ь)/2. Его основное свойство заключается в том, что интервалы между ним и данными числами одинаковы. Вторая — среднее геометрическое, определяемое как m = √(а·b). Его основное свойство заключается в том, что а относится к m точно так же, как m относится к Ь. Иными словами, а/m = m/b. Третья средняя величина — среднее гармоническое: m = 1/((1/а + 1/Ь)/2), или, что аналогично, m = 2аЬ/(а + Ь).

Как ритмомахия помогала разобраться в этом нагромождении отношений между числами? Очевидно, путем их использования в увлекательной игре. Игра велась на доске шириной 8 и длиной 16 клеток (длина доски могла отличаться). Каждому игроку выдавались 24 фишки с числами, которые были кратными, сверхчастными и сверхчастичными для данных чисел. Игроки использовали математические операции, чтобы снимать с доски фишки противника. Например, если фишка с номером 4 располагалась в 9 клетках от фишки с номером 36, то фишка с номером 36 оказывалась взятой (так как 36 = 4·9). Если фишки с номерами 4 и 8 располагались по бокам от фишки с номером 12, последняя оказывалась взятой (так как 12 = 4 + 8).

Кроме того, в условиях окончания игры фигурировали три средние величины, введенные Боэцием. Например, если одному из игроков удавалось расположить подряд фишки с номерами 2, 4, 6, при этом между ними располагалась фишка противника, это означало конец партии. Почему? Потому что 4 — среднее арифметическое 2 и 6.

* * *

СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ В АРИФМЕТИКЕ БОЭЦИЯ

«Древним было хорошо известно, что существуют три средние величины: арифметическая, геометрическая и гармоническая. Они же рассматривались в науке Пифагора, Платона и Аристотеля.

<…> Назовем величину средней арифметической, когда разности между тремя членами или любым другим их числом одинаковы. <…> Теперь объясним среднюю геометрическую, которую лучше было бы назвать средней пропорциональной, так как в ней рассматриваются пропорции.

Поскольку здесь всегда рассматриваются равные пропорции… например 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, или тройная пропорция 1, 3, 9, 27, 81, равно как можно установить четверное, пятерное или любое другое отношение. <…> Среди других средних гармоническая не строится ни с помощью разностей, ни с помощью равных пропорций. Вместо этого средняя гармоническая есть та, в которой составляется наибольшее с наименьшим (частное) и сравнивается (или приравнивается) разность наибольшего со средним и разница среднего с наименьшим. Например, 4, 5, 6 или 2, 3, 6. 6 превосходит 4 на свою третью часть (то есть на 2), 4 превосходит 3 на свою четвертую часть (на 1), 6 превосходит 3 на свою половину (на 3), 3 превосходит 2 на свою третью часть (на единицу)».

* * *

Гравюра 1554 года, на которой изображена доска для ритмомахии.

* * *

ОБНОВЛЕННЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ БОЭЦИЯ

Определения, данные Боэцием среднему арифметическому, среднему геометрическому и среднему гармоническому, можно выразить в современной нотации. Рассмотрим три величины: а , b и с . Предположим, что а — наибольшая величина, b — средняя, с — меньшая, то есть выполняется неравенство а > b > с . Можно предположить, что b — среднее арифметическое, среднее геометрическое или среднее гармоническое двух других величин. Среднее арифметическое обладает следующим свойством: разность между соседними членами неизменна, то есть а — Ь = Ь — с . Это выполняется в случае, когда Ь  = ( а + с )/2, что нетрудно вывести из предыдущего равенства.

Среднее геометрическое обладает следующим свойством: соотношение соседних членов неизменно, то есть а / b  = Ь / с . Это равенство подразумевает, что ас  = bb , следовательно, b = √( а · с ).

Среднее гармоническое, согласно Боэцию, обладает следующим свойством: соотношение между наибольшей и наименьшей величиной равно соотношению разности большей и средней величины и разности средней и меньшей величины. На языке математики это определение выглядит так: а / с  = ( а — b )/( b — с ). Из этого равенства можно получить следующее равенство: а ( Ь — с ) = с ( а — Ь ), откуда следует ab — ас  = са — сЬ , или, что аналогично, ab + сЬ  = 2 ас . Выразим b  из последнего равенства и получим b  = 2 ас /( а +  с ). Эта формула позволяет получить среднее гармоническое а и с , хотя чаще используется следующее выражение: b  = 2/(1/ а +1/ с ). Это выражение можно получить из предыдущего делением числителя и знаменателя на ас .

* * *

Раймунд Луллий

В своем труде Ars Magna et Ultima («Великое искусство») Раймунд Луллий представил свою логическую систему доказательства истинности. Целью ее создания было объективно доказать мусульманам превосходство христианской религии. Иными словами, он создал логику для доказательства своих рассуждений. Одним из его открытий являются так называемые круги: на этих кругах были записаны понятия, при вращении кругов образовывались различные комбинации, то есть высказывания, которые Луллий считал истинными.

Пример круга из «Великого искусства» Раймунда Луллия.

Новизна логики Луллия состояла в ее направленности на изучение свойств понятий. Следовательно, ее можно считать синтетической логикой, в то время как в ту эпоху доминировала аналитическая логика. Эта новая точка зрения заинтересовала таких мыслителей, как Джордано Бруно (1548–1600) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716), которые позднее использовали философские идеи Луллия. Лейбниц применил их в своем выдающемся трактате «Рассуждения о комбинаторном искусстве», опубликованном в 1666 году. По сути, логика Луллия сохранилась до наших дней, так как именно на ней основаны логические системы, лежащие в основе многочисленных современных вычислительных машин.

Миниатюра из книги «Великое искусство» Раймунда Луллия .

* * *

АНАЛИТИЧЕСКАЯ И СИНТЕТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА

Философ Иммануил Кант (1724–1804) объяснил различие между синтетической и аналитической логикой в своей книге «Критика чистого разума». Его суть в том, что в аналитической логике предикат входит в содержание субъекта, а в синтетической логике не входит. Например, высказывание «у каждого треугольника три стороны» является аналитическим, поскольку наличие трех сторон является неотъемлемым свойством треугольника, заключенном в самом его определении. В противном случае высказывание является синтетическим. Например, таким высказыванием будет «некоторые преподаватели ставят много неудовлетворительных оценок на экзаменах».

В 1951 году американский философ  Уиллард Ван Орман Куайн (1908–2000) , учитель Ноама Хомского, взял на себя смелость заново поднять вопрос о различии между аналитической и синтетической логикой.

* * *

Раймунд Луллий был автором и других понятий, лежащих в основе современной науки. Он также разработал систему проведения выборов, которая изначально предназначалась для распределения церковных должностей. Эта система была впервые описана в романе «Бланкерна» на примере выборов настоятельницы монастыря, а затем изложена в более формальном виде в книгах Ars Electionis и Artifitium Electionis Personarum. Его идеи оказали огромное влияние на философа и богослова Николая Кузанского (1401–1464) , который считается основателем немецкой философии. По сути, системы, предложенные Луллием и Николаем Кузанским, стали основой современных избирательных систем: система Луллия удовлетворяет критериям системы Кондорсе, созданной в 1785 году, а на системе Кузанского строится правило Борда, впервые изложенное в 1770 году. Цель всех этих систем голосования — определить кандидата, которому отдает предпочтение группа людей, зная предпочтения отдельных избирателей.

Появление арабских цифр

Система счисления, которую мы используем сегодня, попала в Европу из Индии через северную Африку усилиями мусульман. Это объясняет, почему эти цифры называются арабскими. Эту систему счисления определил и развил персидский мудрец Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми.

Герберт Орильякский, который был избран папой римским под именем Сильвестра II, сыграл в этом процессе решающую роль, так как именно он способствовал повторному распространению абака в Европе и использованию арабских цифр. Абак Герберта Орильякского был обновленным вариантом римского абака. В нем использовались девять символов для обозначения цифр, нулю соответствовал пустой столбец. В Европе он стал использоваться повсеместно в XI веке, однако абак с арабскими цифрами не заменил абак с римскими цифрами: он рассматривался как средство для вычислений, а римские цифры считались единственно возможной формой записи результатов.

Вне всяких сомнений, решающую роль в распространении арабских цифр сыграл Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми. Его основной труд — «Ал-китаб ал мухтасар фи хисаб ал-джабр ва-л-му кабала» («Книга о восполнении и противопоставлении»). Этот труд предшествовал трактату «О началах индийской арифметики» Кушьяра ибн Лаббана, и его важность намного выше. К сожалению, не сохранилось ни одного арабского издания книги ибн Лаббана, которая известна нам лишь благодаря более поздним переводам на латынь, выполненным в XII и XIII веке. О важности труда аль-Хорезми можно судить уже по его названию: от слов «ал-джабр» произошло слово «алгебра», от имени автора — понятие «алгоритм».

Помимо трактата по алгебре он также создал труд по арифметике под названием «Китаб аль-джама валь-тафрик» («Книга об индийской арифметике»), в котором подробно описал индийскую позиционную систему счисления по основанию 10 и методы выполнения основных арифметических операций. По одной из версий, аль-Хорезми первым использовал ноль для обозначения пустого разряда. Переводы его труда на латынь распространились по всей Европе и на протяжении нескольких веков широко использовались в университетах под названием Algoritmi de Numero Indorum.

* * *

ГЕРБЕРТ ОРИЛЬЯКСКИЙ (946-1003)

Будущий папа римский Сильвестр II оставил монастырь Святого Герольда в Орильяке и последовал за графом Барселоны Боррелем II в монастырь Святой Марии в Риполь, где три года изучал математику. Он также совершил путешествия в Кордобу и Севилью, где обучался математике и астрономии у арабов, и убедился в превосходстве применяемой ими системы счисления.

Герберт Орильякский был автором множества трудов по математике и астрономии, посвященных прежде всего квадривиуму, то есть предназначенных для студентов, а не ученых мужей. Его работы включены в том 139 «Латинской патрологии» ( Patrologia Latina ) — собрания сочинений латиноязычных христианских авторов от Тертуллиана  (160–220) до Иннокентия III (1160–1216) . Помимо введения абака Герберт Орильякский также воссоздал армиллярную сферу, чтобы помочь изучающим астрономию.

Статуя папы Сильвестра II во французской префектуре Орильяк.

МУХАММЕД ИБН МУСА АЛЬ-ХОРЕЗМИ (ОК. 783 — ОК. 850)

О жизни Мухаммеда ибн Мусы аль-Хорезми достоверно известно немногое, ведутся споры даже о точном месте его рождения. Математик, астроном и географ аль-Хорезми считается создателем алгебры и современной системы счисления. Он учился, а затем работал в Доме мудрости в Багдаде — научном учреждении, по масштабу сопоставимом с Александрийской библиотекой. В Доме мудрости составлялись и переводились на арабский язык важнейшие научные и философские труды греков и индийцев. Там же располагалась современная обсерватория. Аль-Хорезми был автором множества трудов, многие из которых сыграли фундаментальную роль в развитии науки, а также написал трактат по политической истории. Благодаря широте своих знаний он считается одним из величайших мудрецов древности.

Марка СССР, посвященная Мухаммеду ибн Мусе аль-Хорезми , выпущенная в 1983 году.

* * *

Распространение арабских цифр

Введение арабских цифр в Европе было медленным и непростым и, разумеется, сопровождалось полемикой. Во Флоренции их использование было запрещено, так как арабские цифры якобы позволяли легко фальсифицировать бухгалтерский баланс. В течение нескольких веков не утихали споры между «абацистами» и «алгоритмистами». В итоге последние одержали победу, но это произошло лишь в середине XVI века.

Абацисты были сторонниками римских цифр, которые было удобнее использовать на абаках. Алгоритмисты, в свою очередь, выступали за использование арабских цифр: они не очень подходили для вычислений на абаке, но были более удобны при расчетах на бумаге. Сторонники арабских цифр вошли в историю как алгоритмисты, так как вычисления на бумаге являются алгоритмическими, то есть выполняются по определенным алгоритмам. Авторы, принадлежащие к этим группировкам, создавали трактаты о правильном использовании абака и выполнении вычислений с помощью карандаша и бумаги (или же на пергаменте, или грифельной доске) соответственно. В текстах абацистов нулю не уделялось особого внимания, а основными операциями считались умножение и деление. В их работах также описывались двенадцатеричные дроби. Алгоритмисты, что логично, особо подчеркивали полезность нуля, рассматривали намного больше действий (сложение, вычитание, умножение, деление, умножение и деление на два, вычисление корней) и заостряли внимание на шестидесятеричных дробях.

В итоге как всегда всё решили деньги. В Италии чаша весов стала склоняться в сторону алгоритмистов, и мало-помалу становилось понятно, что арабские цифры намного удобнее для торговли, так как они значительно упрощали расчеты на бумаге.

Энтузиазм итальянцев по отношению к арабским цифрам постепенно охватил остальные страны Европы: новые методы вычислений в 1200 году были введены в Германии, примерно в 1275 году — во Франции, а в 1300 году достигли берегов Англии. Человеком, который способствовал распространению арабских цифр и произвел революцию в математике, был Леонардо Пизанский, намного более известный как Фибоначчи. В «Книге абака» Фибоначчи продемонстрировал возможности применения арифметики в торговле и представил арабские цифры, а также алгоритмы вычислений с ними. В предисловии прямо говорилось, что целью автора было показать полезность арабских цифр и способствовать их всеобщему применению в Италии.

«Книга абака» была первой написанной в Европе книгой, где использовались арабские цифры. «Книга абака» стала первым среди математических трудов, которые приобрели особую популярность в период с XIV до середины XVI века. В них шла речь об использовании арифметики в торговле и о решении соответствующих задач. Популярность этой арифметики связывают с распространением школ абака, особенно в Италии. В 1340 году во Флоренции насчитывалось шесть школ абака, в которых обучалось 1200 учеников (весьма значительное количество, если учесть, что все население города в то время составляло 100 000 человек). В этих школах, в частности в школе Галигаи во Флоренции, о которой упоминается во множестве документов, дети 10–11 лет обучались основам арифметики в течение двух-трех лет. Как правило, ученики поступали в школы абака, окончив грамматические школы, где их обучали чтению и письму, начиная с пяти-семи лет. Выпускники школ абака в возрасте 13–14 лет становились подмастерьями в мастерских, банках и так далее. Лишь немногие не спешили начинать работать и занимались изучением классических трудов.

* * *

ЛЕОНАРДО ПИЗАНСКИЙ (1170–1250)

Леонардо Пизанский, Фибоначчи, был сыном Гильермо Боначчи — итальянского торговца из алжирского города Беджая. Его имя, по одной из версий, означало figlio di Bonacci — «сын Боначчи». Леонардо вместе с отцом обучился арабской системе счисления и арифметическим действиям. Позднее, желая расширить знания, он совершил путешествие в Египет, Сирию и Византию, где подробно изучил арабскую математику. В своих трудах он излагает все, что узнал в этих путешествиях. Помимо важной «Книги абака» он также написал «Книгу квадратов» ( Liber Quadratorum , 1225), посвященную алгебре, «Практику геометрии» ( Practice Geometriae , 1223) и многие другие.

* * *

Школы абака и использование арифметики в торговле оказали заметное влияние на развитие математики той эпохи. К авторам книг и преподавателям школ часто обращались для решения практических задач. Так, Джованни ди Бартоло, преподаватель академии абака во Флоренции, помог выполнить расчеты для постройки купола собора в 1420 году. Тем не менее практическая математика развивалась независимо от теоретической, которую изучали в университетах. Преподаватели школ абака и университетские преподаватели практически не пересекались.

Большинство университетов следовало классическим традициям: в них изучали арифметику Боэция и римские цифры.

Страница из «Книги абака» Фибоначчи .

Распространение арабских цифр также было связано с деятельностью других учреждений, имевших отношение к торговле. Стали появляться учебники по средневековой торговле, в которых излагались правила арифметики, как в итальянском трактате Pratice della mercatura. Наиболее известными из них были Libro di divisamenti di apesi e di misure di mercantie Франческо Бальдуччи Пеголотти, опубликованный в первой половине XIV века, а также труды Антонио да Уццано (1442) и Джорджио Чиарини (1438).

Книги по арифметике торговли были очень популярны, но стоили дорого и были недоступны студентам. В школах абака обычно имелось несколько экземпляров подобных книг. Считается, что они использовались в качестве справочников в торговых домах и служили в некотором роде сводами законов и правил торговли. Первой в истории печатной книгой по математике был учебник по арифметике в торговле, изданный в итальянском городе Тревизо в 1478 году. Второе место в этом списке занимает Summa de Tart d’aritmetica Франсеска Сен-Клемана, опубликованная в Барселоне на каталанском языке в 1482 году. Эта книга была первым учебником по математике, отпечатанным на Пиренейском полуострове. Rechenbuch Ульриха Вагнера, опубликованный в Бамберге (Бавария) в 1483 году, занимает третье место.

* * *

МАТЕМАТИКА ПЕРЕХОДНОГО ПЕРИОДА

После публикации «Книги абака» наступил переходный период, ознаменовавшийся сменой парадигмы. Исследователи предприняли попытку классифицировать и упорядочить неизмеримое множество книг и трудов, опубликованных в этот период. Выделяют четыре типа книг.

• Теоретические трактаты, авторы которых следовали по пути Боэция.

• Учебники по арифметике, где описывались приемы вычислений с помощью абака.

• Книги, где описывались алгоритмы действий с арабскими цифрами и способы вычислений на бумаге. Основывались на работах аль-Хорезми.

• Работы, в которых описывались системы счисления для составления церковных календарей.

КНИГОПЕЧАТАНИЕ

Изобретателем книгопечатания подвижными литерами считается Иоганн Гутенберг (1398–1468) , который примерно в 1450 году в немецком городе Майнц создал машину для книгопечатания.

Первые книги были напечатаны в 1449–1450 годах, а в 1454–1455 годах он завершил печать знаменитой 42-строчной Библии (имеется в виду число строк на странице). Общее число страниц составляло 1282, книга делилась на несколько томов (как правило, на два). До настоящего времени сохранились 48 копий Библии Гутенберга. Их стоимость на момент печати равнялась зарплате среднего служащего за три года. Хотя книгопечатание подвижными литерами имело огромное значение (благодаря ему стало возможным издание книг в больших объемах, что привело к одной из величайших культурных революций в истории человечества), Иоганн Гутенберг умер в полной нищете.

Страница Библии Гутенберга .

* * *

Гравюра из «Жемчужины философии» (1508) Грегора Рейша , на которой изображены  Боэций и  Пифагор , состязающиеся в вычислениях. За ними сверху наблюдает Арифметика. Обратите внимание: Боэций (слева) использует арабские цифры, Пифагор производит расчеты с помощью абака.

Доказательством важности математических текстов по арифметике в торговле служит тот факт, что важнейший труд Евклида «Начала» был отпечатан лишь в 1482 году на латинском языке под названием Elementa Geometriae. «Арифметика» Боэция была отпечатана в 1488 году. Первой печатной книгой по алгебре стала «Сумма арифметики, геометрии, дробей, пропорций и пропорциональности» (La primera algebra impresa fue la Summa de Arithmetica, Geometrica, Geometria, Proportion! et Proportionalita) Луки Пачоли, опубликованная в Венеции в 1494 году.

В течение всего XVI века печаталось множество текстов с пояснениями и комментариями к этой книге. Они пользовались большой популярностью, так как труд Пачоли был достаточно сложен для понимания. Несмотря на всю важность этих работ, большинство книг того времени было посвящено арифметике в торговле.

Портрет математика Луки Пачоли кисти Якопо де Варбари , выполненный около 1496 года.

* * *

ЗАДАЧА ПО АРИФМЕТИКЕ В ТОРГОВЛЕ

Манускрипт под номером 102 (A. III 27), хранящийся в муниципальной библиотеке итальянского города Сиены, — один из четырех манускриптов, посвященных арифметике, опубликованных до 1500 года, которые сохранились до наших дней. В нем упоминается следующая задача: «Если хочешь знать о человеке, сколько денег в его кармане, поступай так: предположи, что у него 4, скажи ему удвоить их число, и получишь 8, затем добавить 5 и получишь 13, затем умножить всё на 5 и получишь 65, добавить 10 и получишь 75, затем умножить на 10 и получишь 750. Теперь вычти 350 и получишь 400, что соответствует 4, и каждая сотня соответствует числу, посему 400 будет 4».

* * *

Простые и десятичные дроби

Когда арабские цифры попали на Запад, изначально с их помощью записывались только целые числа. Дробные числа по-прежнему записывались в шестидесятеричной системе счисления, как в древней Вавилонии. Кушьяр ибн Лаббан в своей книге «О началах индийской арифметики» обозначает дробные числа как градусы: 1/60 он называет минутой (daqa’iq), 1/(602) — секундой (thawani), 1/(603) — терцией (thawalith), 1/(604) — квартой (rawabf) и так далее. Уже тогда они обозначались теми же символами, которые используются и сейчас: градусы обозначались знаком °, минуты — ', секунды — ", терции — "' так далее.

Лишь в XVI веке Симон Стевин написал трактат, в котором подчеркивалась важность десятичной нотации, в том числе для записи дробей. Он обратился к властям и начал кампанию по распространению этой системы. До Стевина десятичная нотация уже применялась для записи дробей, однако использовалась не повсеместно. Персидский математик и астроном Гияс ад-Дин ал-Каши (1380–1429) , один из руководителей Самаркандской обсерватории, использовал эту нотацию за 100 лет до Стевина в своих трудах по тригонометрии и при вычислении числа 71. Ал-Каши также был известен так называемый треугольник Паскаля (таблица Тартальи).

* * *

СИМОН СТЕВИН

Фламандский математик, инженер, физик и семиолог Симон Стевин (1548–1620) в 1585 году опубликовал книгу DeThiende  («Десятая»). В этой книге объяснялась десятичная нотация и способы вычисления расчетов в этой нотации. Стевин первым признал существование отрицательных чисел, полученных им при решении задач. Он также создал алгоритм нахождения наибольшего общего делителя двух многочленов. Он писал все труды на голландском языке, чтобы их могли понять ремесленники. Его книги были написаны очень просто и пользовались большой популярностью, что способствовало распространению десятичной системы счисления.

* * *

Число π

Как мы уже упоминали, персидский математик ал-Каши занимался вычислением числа π. В то время как Цзу Чунчжи вычислил значение π, использовав правильный многоугольник с 12288 = 3·212 сторонами, ал-Каши использовал многоугольник с числом сторон, равным 805306368 = 3·228, и верно вычислил 14 знаков π. Это произошло в 1430 году.

Математики ал-Каши и Людольф ван Цейлен вычислили новые, ранее неизвестные знаки числа π .

Профессор Лейденского университета Людольф ван Цейлен последовал путем ал-Каши и в 1596 году вычислил 20 верных знаков Я, использовав многоугольник с 515396075520 = 60·233 сторонами. Позднее, в 1615 году, он вычислил 35 верных знаков, использовав многоугольник с числом сторон, равным 4611686018427387904 = 262.

Метод вычисления числа Я с помощью многоугольников позволял получить точные результаты, однако многие математики считали, что существуют более эффективные алгоритмы. Они рассматривали возможность вычисления π как суммы или произведения бесконечного числа членов. Первым европейским математиком, который нашел подобное выражение, был Франсуа Виет, один из создателей современной алгебры. Тем не менее ему был неизвестен ряд, полученный Мадхавой из Сангамаграма, о котором мы упоминали в предыдущей главе. Выражение, полученное Виетом, представляло собой произведение бесконечного числа членов, в котором использовался квадратный корень из 2. Это выражение было не слишком удобно, однако оно открыло новый путь к вычислению множества знаков π.

Впервые в истории математики число π было выражено в виде произведения бесконечного числа членов. Это произведение выглядело следующим образом:

* * *

ФРАНСУА ВИЕТ (1540–1603)

Виет был адвокатом, государственным чиновником, но прежде всего авторитетным математиком, который первым стал обозначать члены уравнений буквами. Он славился блестящим умением взламывать шифры с помощью статистических методов. Ему удалось расшифровать переписку испанских агентов, что позволило французам получить преимущество в войне с Испанией. Незадолго до смерти он написал статью по криптографии, где изложил методы шифрования своего времени и алгоритмы их взлома.