Появление арабских цифр ознаменовало прогресс в вычислениях и новый виток эволюции науки. В XVII веке в ходе длительного процесса значительно изменились представления о Вселенной, а также метод и сама концепция западной науки. Этот период, который часто именуется революцией в науке, открыл путь к эпохе Просвещения, начавшейся в XVIII веке. Развитие человеческой мысли происходило очень быстрыми темпами. Появлялись новые методы исчисления, которые требовали новых, более мощных, сложных и точных инструментов. Расчеты, выполняемые вручную, неизбежно становятся источником ошибок. Чтобы избежать этого, ученые стремились свести к минимуму участие человека в расчетах, что стимулировало создание механических вычислительных машин. В период, охватывающий XVII, XVIII и XIX века, были сконструированы первые механические вычислительные машины.
XVII век
В 1617 году шотландский математик Джон Непер создал одну из первых вычислительных машин — абак, известный под названием «палочки Непера». Эта машина была столь эффективной, что в некоторых регионах она использовалась вплоть до начала XX века.
* * *
ДЖОН НЕПЕР (1550–1617)
Математик Джон Непер создал теорию логарифмов, которые он называл искусственными числами. В его честь были названы неперовы (натуральные) логарифмы. Он очень интересовался богословием: применив математические методы для толкования «Откровений» святого Иоанна Богослова, он вычислил, что конец света наступит в период с 1688 по 1700 год.
* * *
Палочки Непера представляют собой не что иное, как разновидность таблицы умножения. Это десять деревянных палочек квадратного сечения, пронумерованных от 0 до 9. На них отмечены девять промежутков, на которых записаны девять чисел, кратных данному. Разряды двузначных чисел разделены наклонной чертой, как показано на рисунке.
Современная реконструкция палочек Непера .
Чтобы продемонстрировать пример использования этого устройства, рассмотрим умножение числа 35672. Мы выбрали это число, чтобы показать применение всех строк таблицы. Нужно последовательно расположить палочки, соответствующие пяти цифрам этого числа, то есть сначала — палочку под номером 3, затем под номером 5, далее — 6, 7 и 2. Простое наблюдение за положением палочек позволяет увидеть, что в каждом ряду будут записаны результаты умножения 35 672 на все числа от 1 до 9.
Следовательно, чтобы умножить 35 672 на 4, нужно взять числа из четвертого ряда:
1/2 2/0 2/4 2/8 0/8.
Далее нужно сложить соседние числа пар, разделенные наклонной чертой:
1/2 + 2/0 + 2/4 + 2/8 + 0/8.
Получим:
1/4/2/6/8/8.
Таким образом, результат умножения 35672 на 4 равен 142688. Вы можете проверить его правильность вручную или на калькуляторе.
35 672·4 = 142 688.
Умножение 35 672 на 4 с помощью палочек Непера .
Умножение многозначных чисел выполняется аналогично современному способу: каждая цифра второго числа последовательно умножается на первое число, после чего полученные результаты складываются. Промежуточные результаты умножения получаются по уже описанной нами схеме. Следует отметить, что все необходимые промежуточные результаты находятся в одной и той же таблице. Например, чтобы умножить 35 672 на 436, нужно выполнить расчеты по описанной нами схеме в рядах 4, 3 и 6. Мы получим несколько чисел, которые нужно записать друг под другом так, чтобы диагональные линии оказались расположены в ряд.
При таком расположении чисел умножение 35 672 на 436 сводится к сложению промежуточных результатов, как показано ниже. Сначала записаны промежуточные результаты умножения, затем суммы пар чисел, разделенных диагональными чертами и, наконец, результат, полученный переносом значений в старший разряд там, где это необходимо.
Выполните эти действия на калькуляторе и убедитесь, что результат абсолютно верен:
35 672·436 = 15 552 992.
Заметьте, что числа в строках соответствуют промежуточным результатам, получаемым при известном нам способе умножения столбиком. Эти промежуточные результаты равны:
Однако палочки Непера использовались не только для умножения. Для деления одного большого числа на другое достаточно расположить палочки на столбцах, соответствующих цифрам делителя. В строках таблицы будут записаны числа, кратные делителю, которые помогут быстрее получить результат деления.
Джон Непер также является автором еще одного важного открытия — логарифмов. Этот шотландский математик обнаружил, что с их помощью можно свести сложные математические операции к более простым. Умножение сводилось к сложению, деление — к вычитанию, возведение в степень — к умножению, извлечение корней — к делению. Это чрезвычайно упростило выполнение сложных расчетов вручную и дало мощный толчок развитию математики.
log(a·b) = log (а) + log(b)
log(a/b) = log(a) — log(b)
log(a b ) = b·log(a).
Следовательно, для вычисления произведения а·Ь достаточно вычислить e log ( a ) + log ( b )
На основе логарифмов была создана логарифмическая линейка — еще одно важнейшее вычислительное устройство. Ее автором был британский математик Уильям Отред (1574–1660) , который впервые стал обозначать умножение знаком X, функции синуса и косинуса — sin и cos соответственно. Этот математик использовал устройство, разработанное Эдмундом Гантером, в котором применялась одна логарифмическая шкала (в логарифмической линейке используются две шкалы). Позднее, в 1859 году, француз Амадей Манхейм представил ряд улучшений, и логарифмическая линейка обрела современный вид.
Портрет Уильяма Отреда , который считается изобретателем логарифмической линейки.
Логарифмические линейки не использовались для сложения и вычитания. Они были более удобны для умножения и деления и применялись преимущественно для выполнения именно этих операций. Более поздние версии позволяли вычислять значения корней, тригонометрических функций, степеней и логарифмов. Однако следует заметить, что точность логарифмической линейки была ограниченной: как правило, использовались три значащие цифры. Однако с помощью более точных линеек, имевших больший размер, достигалась более высокая точность. Требовалось обращать внимание на порядки величин, так как при использовании логарифмической линейки они не учитывались. Логарифмические линейки применялись в качестве средства научных расчетов до 1970-х годов, пока их не вытеснили карманные электронные калькуляторы.
Модель логарифмической линейки 1960-х годов. Этим вычислительным устройствам вскоре пришли на смену калькуляторы.
Первые калькуляторы
Первый электронный карманный калькулятор появился в 1972 году. Это была знаменитая модель Hewlett-Packard НР-35. Пока что мы рассказывали об эволюции исчисления и средствах его автоматизации, то есть о развитии теоретической базы, на основе которой в итоге был создан карманный калькулятор и впоследствии множество других устройств, без которых мы не можем сегодня представить нашу жизнь.
Однако эта теория принесла первые плоды не в XX веке, а намного раньше. Первый калькулятор в истории был создан еще в XVII веке. Его изобретение стало логичным продолжением развития механических вычислительных устройств, о которых мы только что рассказали. Это устройство, получившее название «часы для счета», создал Вильгельм Шиккард (1592–1635) в Тюбингене в 1623 году.
Немецкая марка с изображением «часов для счета» Вильгельма Шиккарда .
С помощью первого в мире калькулятора можно было выполнять четыре основных арифметических действия. Сложение и вычитание выполнялись полностью механически, в отличие от умножения и деления: в этом случае оператору приходилось выполнять промежуточные действия самому. Детали машины напоминали палочки Непера, перенос значений в старший разряд осуществлялся механически при помощи зубчатых колес: когда колесо, соответствовавшее единицам, совершало полный оборот, колесо, обозначавшее десятки, сдвигалось на одно деление. Подобные механизмы использовались в Европе как минимум с XVI века при создании шагомеров, служивших для измерения пройденного пути. Древнейший из известных нам шагомеров был создан французом Жаном Фернелем в 1525 году.
Калькулятор Шиккарда не оказал большого влияния на вычисления: его изобретатель стал жертвой одной из эпидемий, бушевавших в Европе в те годы. Изобретение затерялось и было вновь найдено лишь в XX веке. О нем стало известно из переписки Шиккарда с Иоганном Кеплером, с которым тот сотрудничал. В своих письмах он приводит многочисленные эскизы своего изобретения. Благодаря им стало возможным воссоздать машину и убедиться, что она действительно работала. В одном из писем Кеплер подтверждает, что попросил экземпляр калькулятора у своего друга и коллеги Шиккарда.
«Паскалина», калькулятор, изобретенный Блезом Паскалем, стал первой широко известной вычислительной машиной. Этот гениальный философ и математик представил свое изобретение публике в 1642 году, когда ему было всего 19 лет. Созданная Паскалем машина была схожа с изобретением Вильгельма Шиккарда: когда колесо, соответствовавшее меньшему разряду, совершало полный оборот, колесо, соответствовавшее следующему разряду, поворачивалось на одно деление. К сожалению, подобное устройство было источником различных проблем, поскольку зубчатые колеса не всегда сцеплялись правильно.
«Паскалина», изобретенная Блезом Паскалем .
Было доказано, что Паскаль создал свою машину независимо от Вильгельма Шиккарда. «Паскалина» была проще, и с ее помощью можно было выполнять только сложение и вычитание. Первая версия работала с пятизначными числами (машина Шиккарда с шестизначными), в последующих версиях число разрядов было увеличено. Некоторые калькуляторы поступили в продажу, но их высокая цена отпугнула покупателей и не принесла семье Паскаля существенной прибыли. «Паскалина» стала всего лишь игрушкой, символом статуса для зажиточных людей Франции и других стран Европы. Паскаль в течение 10 лет улучшал свое изобретение и создал 50 различных версий.
Несмотря на ограничения и сбои в работе, эти машины имели огромное значение. С их появлением всю Европу охватила жажда изобретательства, математики и инженеры один за другим принялись создавать новые и новые механические калькуляторы. Некоторые из них были более совершенными, чем «Паскалина», другие были еще проще. Англичанин Сэмюэль Морленд (1625–1695) , например, создал вычислительную машину, адаптированную к британской денежной системе с пенни, шиллингами и фунтами, которая отличалась от десятичной. В отличие от «Паскалины», его калькулятор не мог переносить значения в старший разряд автоматически. В нем присутствовали отдельные колеса для значении, перенесенных в каждый разряд, которые требовалось учитывать вручную. Машина Морленда была примечательна своими размерами: она свободно помещалась в карман.
* * *
БЛЕЗ ПАСКАЛЬ (1623–1662)
Французский математик, физик, философ и богослов Блез Паскаль вместе с Чарльзом Бэббиджем считается отцом современных компьютеров. Паскаль был вундеркиндом: уже в И лет он написал небольшой трактат о звуках вибрирующих тел и самостоятельно доказал, что сумма углов треугольника равна сумме двух прямых углов. В 12 лет он изучил труды Евклида и начал посещать собрания, на которых присутствовали лучшие математики и другие ученые Европы: Роберваль, Дезарг, сам Декарт. Паскаль создал свои фундаментальные труды по проективной геометрии, когда ему было всего 16 лет. Прочитав рукопись, Декарт не мог поверить, что ее автор — подросток. Паскаль был математиком и физиком первой величины, а его открытия ярко сияют на звездном небе современной науки.
* * *
В книге The Description and Use of two Arithmetick Instruments , изданной в Лондоне в 1673 году, описывается вычислительная машина, изобретенная Сэмюэлем Морлендом .
Калькулятор, созданный Готфридом Лейбницем, был намного более совершенным по сравнению с машиной Паскаля, так как с его помощью можно было автоматически выполнять умножение. До этого умножение с помощью калькуляторов было трудоемким и требовало выполнения промежуточных вычислений вручную. Однако вновь возникала извечная проблема: машины становились все сложнее и сложнее и в итоге переставали работать вовсе. Точность деталей была недостаточной, чтобы обеспечить требуемую надежность. Но несмотря на это, усовершенствования, представленные Лейбницем, оказали большое влияние на последующие изобретения. Среди них выделяются два нововведения: зубчатый механизм Лейбница (цилиндр, удерживавший зубчатые колеса на определенных расстояниях друг от друга) и передвижная каретка. Улучшения, необходимые для того, чтобы эти изобретения стали по-настоящему надежными, внес француз Шарль Ксавье Тома де Кольмар в 1822 году, когда изобрел и начал серийный выпуск арифмометра.
Однако вклад Лейбница не ограничивался одним лишь созданием неточного вычислительного калькулятора. Намного более важным был его труд о двоичной системе счисления, лежащей в основе современной информатики. Эту систему счисления до него изучал англичанин Томас Хэрриот (1560–1621) , однако результаты его работы не были опубликованы. В следующей таблице приведена запись чисел от 0 до 15 в двоичной системе.
Устройство арифмометра Шарля Ксавье Тома де Кольмара (вверху) и калькулятора, изобретенного Гэтфридом Лейбницем .
Лейбниц внес важный вклад не только в развитие систем счисления. Этот немецкий философ также является автором значимых трудов по логике. Его работы в этой области были опубликованы посмертно, так как, по всей видимости, Лейбниц был не вполне доволен ими. Заглавие одной из его работ, Post tot logicas nondum Logica qualem desidero scripta est, можно перевести как «После стольких логик та логика, что я сочинил, еще не была написана». Он работал над созданием логического исчисления, которое можно было бы применять к любым научным высказываниям.
В одной из своих работ Лейбниц писал:
«Если нам это удастся, то, когда возникнет противоречие, необходимости в споре между двумя философами будет не более чем между двумя математиками. Будет достаточно взять перья и абак и сказать друг другу: произведем вычисления».
* * *
ГОТФРИД ВИЛЬГЕЛЬМ ЛЕЙБНИЦ (1646–1716)
Немецкий мыслитель Готфрид Вильгельм Лейбниц вместе с Декартом и Спинозой входит в тройку великих рационалистов XVII века. Он был математиком, логиком, философом, геологом, историком и экспертом в юриспруденции. Он также внес огромный вклад в технологию и предвосхитил появление многих понятий в биологии, медицине, психологии и даже информатике. Независимо от Ньютона он создал анализ бесконечно малых. Введенные им обозначения используются и сейчас.
Составить полный перечень его открытий невозможно, поскольку до сих пор не издано полное собрание всех его сочинений, разбросанных по дневникам, письмам и рукописям, некоторые из которых никогда не публиковались. Лейбниц установил соответствие между двоичной системой счисления и сотворением мира: в его математическом представлении космоса, напоминавшем пифагорейское, ноль обозначал пустоту, единица — Бога.
* * *
В этой работе прослеживается влияние Раймунда Луллия: при написании «Рассуждения о комбинаторном искусстве» (Dissertatio de Arte Combinatoria) Лейбниц вдохновлялся его «Великим искусством». Для Лейбница даже приближение к божественному знанию должно было достигаться исключительно путем комбинирования основных понятий. Эти основные понятия, которым невозможно дать определение, должны были выражаться на языке математики. На их основе с помощью четких дедуктивных правил должны были выводиться различные истинные высказывания.
Лейбниц считал, что между логикой, математикой и метафизикой существует тесная взаимосвязь. Он был убежден, что его метафизика полностью математическая и что истинную метафизику сложно отличить от истинной логики.
Новые выражения для вычисления числа π
В течение XVII века различные исследователи предпринимали попытки вычислить значение π с помощью бесконечных рядов, следуя путем, который наметил Франсуа Виет. Одним из них был англичанин Джон Валлис (1616–1703) из Оксфордского университета. В своей книге «Арифметика бесконечного», опубликованной в 1633 году, Валлис описал различные выражения для вычисления интегралов и, взяв их за основу, получил следующее выражение для числа π:
Математик и философ Уильям Броункер (1620–1684) , основатель и первый президент Лондонского королевского общества, путем преобразования этого выражения в 1658 году получил следующую формулу:
Следующее выражение, известное в Европе, было открыто за ее пределами. Речь идет о формуле Мадхавы из Сангамаграма. Лейбниц повторно открыл ее в 1671 году, использовав разложение в ряд для функции арктангенса, полученное Джеймсом Грегори. Она выглядит так:
π/4 = 1–1/3 + 1/5 — 1/7 + … + (-1)n /(2n + 1) + …
и выводится из следующего разложения в ряд для арктангенса:
arctgx = х — (x3)/3 + (х5)/5 — (х7)/7 + …
XVIII век
XVIII век остался в истории веком Просвещения. Целью этой книги ни в коей мере не является критика Просвещения, однако нет сомнений в том, что в XVIII веке не было сделано значимых открытий в области исчисления и счета. Возможно, в XVII веке был совершен столь крупный прорыв в науке, что в последующем столетии ученые занимались исключительно изучением уже открытого ранее. Как бы то ни было, вычисления, логика и расчеты числа 71 в этот период следовали по пути, очерченному в XVII веке.
Вычисление числа π в XVIII веке
В XVIII веке было предложено несколько новых выражений для вычисления числа π. Первое из них получил астроном Джон Мэчин (1680–1751) . Оно использовалось для вычисления π в течение нескольких веков, в том числе при компьютерных вычислениях. Использовав формулу Грегори, Лейбница и Мадхавы, Мэчин обнаружил, что угол, арктангенс которого равен 1/5, можно выразить так:
α = arctg(1/5) = (1/5) — ((1/5)3)/3 + ((1/5)5)/5 — ((1/5)7)/7 +…
На основе арктангенса угла (4α — π/4) он составил ряд, позволяющий вычислить число π, в котором используется функция, обратная котангенсу. В отличие от предыдущих, этот ряд сходился быстрее. С его помощью этому английскому математику удалось верно вычислить 100 знаков числа π. Этот ряд соответствовал следующему выражению:
π/4 = 4·arctg(1/5) — arctg(1/239).
Это выражение можно представить в виде следующего ряда:
Леонард Эйлер также внес вклад в исследование рядов, позволяющих вычислить число π. С помощью одной из своих формул ему удалось вычислить 20 знаков π менее чем за полчаса.
* * *
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР (1707–1783)
Швейцарский математик и физик Леонард Эйлер прожил большую часть жизни в России и Германии. Он считается ведущим математиком XVIII века и одним из крупнейших математиков всех времен. Он совершил важнейшие открытия в области анализа бесконечно малых и теории графов, а также ввел множество терминов и обозначений современной математики, особенно в области анализа, в частности обозначение функции. Он также совершил важные открытия в механике, гидродинамике, оптике и астрономии. Он был невероятно плодовитым ученым: полное собрание его сочинений насчитывает от 60 до 80 томов.
ЗНАК π
Обозначение числа к греческой буквой пи ввел Леонард Эйлер в своей книге «Введение в анализ бесконечных», изданной в 1748 году. Он использовал первую букву греческого слова periphereia — «окружность». Эйлер ввел и другие популярные обозначения, которые используются в современной математике. Он стал обозначать основание натурального логарифма буквой е , квадратный корень из минус единицы — буквой i , сумму ряда — знаком Σ , конечную разность — знаком Δ .
Логика
В XVIII веке не было совершено значимых открытий в логике, однако нет никаких сомнений, что Кант, который хоть не внес прямого вклада в эту дисциплину, тем не менее способствовал ее дальнейшему развитию. По сути, на основе идей Канта позднее сформировался логический позитивизм, а также аналитическая философия. Позднее Фреге, Гильберт, Рассел и Гёдель внесли огромный вклад в логику.
Немецкий философ Иммануил Кант (1724–1804) заложил фундамент трех основных свойств современной логики: различие между понятием и объектом, первенство высказывания как основной единицы логического анализа и понятие логики как средства изучения структуры логических систем, а не только подтверждения отдельных умозаключений.
Иммануил Кант , преподававший логику и метафизику в университете родного Кёнигсберга, является одним из величайших мыслителей в истории философии. Его работы охватывают множество разнообразных дисциплин, в частности право и эстетику. Особую важность имеют его труды по логике.
* * *
РАЗЛИЧИЕ МЕЖДУ ПОНЯТИЕМ И ОБЪЕКТОМ
Готлоб Фреге (1848–1925) установил, что любое предложение или высказывание содержит выражение, обозначающее объект, и предикат, обозначающий понятие. Например, в высказывании «Сократ является философом», «Сократ» — это объект, понятие «являться философом» — предикат. Эта точка зрения существенно отличалась от принятой ранее, согласно которой высказывание рассматривалось как два термина, соединенных глаголом «являться». Новый взгляд на отношение «понятие — объект» стало основным для понимания теории множеств и отношения принадлежности элемента ко множеству.
XIX век: некоторые приемы вычислений
Первым коммерчески успешным калькулятором был арифмометр, созданный французом Шарлем Ксавье Тома де Кольмаром (1785–1870) . Он успешно продавался не только во Франции, но и в других странах. Конкуренты не дремали, и через несколько лет было создано несколько альтернативных моделей. Наиболее заметными были калькулятор «Арифморель» еще одного француза Тимолеона Мореля (1842), калькулятор с зубчатыми колесами, созданный американцем Фрэнком Болдуином (1872), который независимо от него также был разработан шведом Вильгодтом Однером (1874), жившим в Санкт-Петербурге, а также круговой калькулятор англичанина Джозефа Эдмондсона (1885). Все эти машины использовались даже в первые годы XX века.
Устройство «Арифмореля» — калькулятора, созданного Тимолеоном Морелем .
Начиная с машины Мореля в калькуляторах помимо основных арифметических операций появилась возможность вычисления квадратных корней. Квадратные корни вычислялись на основании следующего разложения в ряд для функции х2:
1 + 3 + 5 + … + (2х — 1) = х2.
Для данного числа n, которое является полным квадратом, квадратный корень из n можно получить последовательным вычитанием из него чисел 1, 3, 5, пока результат вычитания не станет равен нулю. Число выполненных операций вычитания будет равно квадратному корню исходного числа. Допустим, мы хотим вычислить квадратный корень из 100. Нужно последовательно вычесть из него 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19. Так как мы вычли из 100 десять чисел, квадратный корень из 100 равен 10.
Если n не является полным квадратом, результатом последнего вычитания будет отрицательное число. Число выполненных операций вычитания будет приближенно равно истинному значению квадратного корня. Чтобы получить искомое значение с точностью до нескольких десятичных знаков, вышеуказанный процесс нужно повторить. При этом для каждого нового десятичного знака исходное число следует умножить на 100 в следующей степени. Например, умножим 2 на 100, чтобы вычислить квадратный корень из 200 и получить один знак после запятой. Имеем:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 =
= 196 < 200 < 225 =
= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29.
Заметим, что в верхнем ряду складывается 14 слагаемых, в нижнем — 15.
Следовательно, квадратный корень из 200 находится между 14 и 15, корень из 2 — между 1,4 и 1,5.
В XIX веке были совершены открытия, которые подготовили почву для развития современных информационных технологий. В 1835 году американский физик Джозеф Генри, известный работами по электромагнетизму, изобрел электромеханическое реле.
Еще одно открытие — появление цифровой клавиатуры — предвосхитило основу интерфейса будущих компьютеров. До этого в калькуляторах использовались особые способы ввода множителей, что также требовало особой подготовки в области вычислений. Открытие клавиатуры сделало калькуляторы доступными для всех.
С массовым внедрением промышленных решений автоматические вычисления стали идти параллельным курсом с автоматизацией текстильной промышленности.
Француз Базиль Бушон уже в 1725 году создал перфорированную ленту для программирования ткацкого станка, на которой содержалась информация об узорах на ткани. Лента помещалась в станок, и постепенно получалась ткань с заданным узором. Несколько лет спустя, в 1728 году, помощник Бутона Жан-Батист Фалькон усовершенствовал его систему и заменил ленту перфорированными картами. В 1803 году Жозеф Мари Жаккар (1752–1834) создал знаменитый автоматический станок Жаккара на основе системы инженера Жака де Вокансона, в которой использовались карты и вращающийся барабан. Автоматический станок Вокансона, созданный в 1740 году, работал под управлением одного оператора. Система, в которой использовались перфокарты, наиболее эффективная на тот момент, непрерывно развивалась и позднее стала применяться в компьютерах XX века. Статистик Герман Холлерит (1860–1929) использовал перфокарты для кодирования результатов переписи населения США 1890 года. Холлерит был первым, кому удалось обработать информацию автоматически, поэтому он считается создателем информатики (это слово образовано слиянием слов «информация» и «автоматика»).
Перфокарты в станке Жаккара , представленном в Музее науки и промышленности в Манчестере.
Чарльз Бэббидж
Английский философ, математик, изобретатель и инженер Чарльз Бэббидж, считающийся изобретателем вычислительных машин, — один из самых выдающихся и противоречивых героев нашей истории. Он родился на окраине Лондона предположительно в 1791 году; достоверно известна лишь дата его крещения — 6 января 1792 года, в церкви Сент-Мэри в Ньюингтоне. Он изучал математику и химию — сначала в Кембриджском Тринити-колледже, куда поступил в 1810 году, затем в менее крупном и престижном колледже Петерхаус (1812). Считается, что Бэббидж сменил колледж потому, что двое его близких друзей по Тринити-колледжу Джон Гершель и Джордж Пикок превосходили его в учебе, а в Петерхаусе он стал первым учеником. В 1814 году он получил степень бакалавра, в 1817 — степень магистра математики.
Потрет Чарльза Бэббиджа кисти Сэмюэля Лоренса .
В 1812 году Бэббидж, Гершель и Пикок с коллегами под руководством профессора Роберта Вудхауза основали Аналитическое общество. Их целью было распространение аналитического исчисления Лейбница и противостояние анализу Ньютона.
Наиболее значимым достижением общества стал перевод с французского книги Сильвестра Франсуа Лакруа Traite de calcul differentiel et integral («Трактат о дифференциальном и интегральном исчислении», 1816), а также введение Пикоком нотации Лейбница на некоторых экзаменах (1817). Трехтомный труд Лакруа, переведенный Бэббиджем, Гершелем и Пикоком, получил широкое распространение в Англии. В 1819 году общество стало называться Кембриджским философским обществом.
В год окончания университета (1814) Бэббидж женился на Джорджиане Витмор. У них было восемь детей. Когда его отец, жена и ребенок умерли в 1827 году, Бэббидж получил в наследство недвижимость и солидную сумму, однако чувствовал себя совершенно разбитым и подавленным. По совету врача он на год отправился в путешествие по Европе. По возвращении он занял должность профессора Кембриджского университета, ранее принадлежавшую Ньютону. Однако он счел жалование невысоким и появлялся в университете, только когда требовалось оценить кандидатов на премию Смита, которая вручалась лучшему студенту Кембриджа.
Чарльз Бэббидж вошел в историю как создатель механических вычислительных машин. Первой из них была разностная машина (Difference Engine), которую он создал для вычисления значений многочленов. Принцип ее действия был основан на использовании конечных разностей, что позволило избежать умножения и деления. Изготовление машины было начато в 1822 году при поддержке британского правительства, однако этот проект так и не был завершен. Работы над машиной остановились в 1834 году, когда было прекращено финансирование проекта.
Изображение разностной машины Чарльза Бэббиджа , опубликованное в журнале Harper's Magazine в декабре 1864 года.
Некоторые исследователи считают, что машина Бэббиджа не могла быть закончена из-за существовавших на тот момент технических ограничений. Однако швед Георг Шутц (1785–1873) и его сын Эдвард, прочитав статью о разностной машине Бэббиджа, создали свой вариант этой машины и представили его в 1843 году.
Позднее, в 1851 году, при поддержке Шведской академии наук они построили машину большего размера, способную выполнять вычисления с точностью до 15 знаков после запятой и печатать результаты расчетов.
В отличие от Чарльза Бэббиджа, который не смог завершить работу над своей машиной, Шутц создал полностью рабочий экземпляр. В 1991 году в лондонском Музее науки был воссоздан первый прототип машины Бэббиджа с использованием технологий того времени. Также был воссоздан второй прототип, который в настоящее время хранится в Музее компьютерной истории в городе Маунтин-Вью (штат Калифорния, США). Машина Бэббиджа позволяла выполнять расчеты с точностью до 31 знака, вычислять значения многочленов седьмой степени и имела размеры 2,4 X 2,1 X 0,9 м. Размеры машины Шутца составляли 54 X 86 X 65 см, однако она была способна вычислять значения многочленов всего лишь третьей степени с точностью до 15 знаков. В 2000 году в лондонском Музее науки также была построена печатная машина, спроектированная Бэббиджем для своей вычислительной машины.
Оставив работу над разностной машиной в 1834 году, Бэббидж занялся новым устройством, которое он назвал аналитической машиной (Analytical Engine). Аналитическая машина стала ближайшим предком современных компьютеров. С помощью разностной машины можно было вычислять лишь значения многочленов, в то время как аналитическая задумывалась как устройство широкого применения, способное вычислять значения произвольных функций. Источником энергии для новой машины Бэббиджа служил паровой двигатель, ввод информации выполнялся с помощью перфокарт, вывод — с помощью печатной машины и устройства для нанесения перфорации на перфокарты. В памяти машины могло храниться до тысячи 50-значных чисел. Она также содержала арифметическое устройство для выполнения четырех основных действий, которое Бэббидж назвал мельницей (the mill).
Для программирования машины использовался особый язык, ставший прообразом современных языков программирования. Помимо базовых инструкций этот язык содержал операторы циклов, условные операторы и инструкции для хранения данных. С формальной математической точки зрения машина Бэббиджа была эквивалентна машине Тьюринга, появившейся век спустя.
Бэббидж работал над машиной совместно с Адой Лавлейс, дочерью лорда Байрона. Ее вклад был по достоинству оценен позднее, и теперь Ада Лавлейс считается первым программистом в истории. Она предвидела, что в будущем компьютеры будут использоваться не только для численных расчетов, в то время как Бэббидж уделял основное внимание именно им.
* * *
АДА БАЙРОН, ГРАФИНЯ ЛАВЛЕЙС (1815–1852)
Ада Августа Байрон была единственной дочерью лорда Байрона и Анабеллы Милбэнк. Девочка не знала отца, так как родители разошлись за месяц до ее рождения, и лорд Байрон навсегда покинул Англию. Она была болезненным ребенком (слабое здоровье она унаследовала от отца), поэтому обучалась на дому. Особое внимание при этом уделялось математике и другим наукам. Ее обучали известные преподаватели: Уильям Френд, Уильям Кинг, Мэри Сомервилл и Огастес де Морган. Учителя считали, что девочка сможет стать исследователем первой величины. Мэри Сомервилл представила ее Чарльзу Бэббиджу. В знак признания ее заслуг по созданию языков программирования Министерство обороны США назвало в ее честь язык программирования Ада.
* * *
Они начали сотрудничать, когда Бэббидж попросил Аду Байрон перевести с французского текст Луиджи Менабреа об аналитической машине, написанный вскоре после выступления Бэббиджа в Турине, куда его пригласил математик Джованни Плана. Ада дополнила статью Менабреа примечаниями, которые по объему превысили исходный текст. В знаменитом примечании G помимо других важнейших открытий описывается алгоритм вычисления чисел Бернулли на языке программирования машины Бэббиджа с помощью двух циклов. Так было доказано, что машина Бэббиджа может иметь самое широкое применение. Это была первая в мире компьютерная программа. Ада также описала алгоритмы вычисления тригонометрических функций, в которых использовались переменные.
* * *
БУДУЩЕЕ, ОПИСАННОЕ В ПРИМЕЧАНИИ G
В примечании G Ада Лавлейс выразила уверенность, что не только машина Бэббиджа, но и сам новый способ обработки информации произведут революцию в науке: «Аналитическая машина не претендует на то, чтобы дать начало чему-либо. Она способна выполнить всё, что мы сможем приказать ей. Она может произвести анализ, но не способна предугадать ни истинность высказываний, ни взаимосвязь между ними. Она способна помогать нам, делая доступнее то, что нам уже известно. Изначально эффект от ее использования будет получен преимущественно в этой области, однако весьма вероятно, что она окажет косвенное и взаимное влияние на саму науку. Распространение и сочетание истин и формул анализа, которое возможно будет выполнить при помощи машины, прольет свет на взаимосвязи и природу множества научных материй, которые станет возможно изучить более глубоко. Возможно, это косвенный и несколько спекулятивный результат этого открытия, но нет сомнений, что эта новая форма записи математических истин и работы с ними открывает новые перспективы, пусть и в теории. Во всех областях человеческой власти и познания помимо основной цели всегда сочетаются различные побочные воздействия».
* * *
Некоторые исследователи высказывают сомнения относительно того, кто был автором примечания G. Быть может, это был сам Бэббидж? Как бы то ни было, бесспорно, Ада обладала обширными знаниями математики и была знакома с принципом действия аналитической машины. Она настолько тесно сотрудничала с ее изобретателем, что ее вклад в разработку аналитической машины трудно переоценить.
Ада превосходно разбиралась в устройстве станка Жаккара, и некоторые авторы считают, что именно она подсказала Бэббиджу, что для ввода программ и данных в аналитическую машину можно использовать перфокарты. Ада сформулировала понятия инструкций, циклов и подпрограмм, которые известны каждому, кто знаком с языками программирования. За ее талант и знания математики Бэббидж называл ее «повелительницей чисел» (the Enchantress of Numbers).
Аналитическая машина также не была сконструирована полностью, на этот раз из-за возникших финансовых, политических и юридических проблем. Были разработаны лишь некоторые компоненты, в частности элементы арифметического устройства и системы печати. Ни память, ни программируемые компоненты созданы не были.
Компьютеры, сопоставимые по логическому устройству с этой машиной, были созданы лишь 100 лет спустя. Аналитическая машина была забыта всеми, за исключением некоторых изобретателей, на которых оказали влияние важнейшие понятия, сформулированные Бэббиджем в ходе работы над ней.
В 1903 году ирландский бухгалтер Перси Ладгейт спроектировал машину, схожую с машиной Бэббиджа, в которой на смену паровому двигателю пришел электромотор. Испанский инженер, математик и автор множества изобретений Леонардо Торрес Кеведо использовал идеи Бэббиджа при создании автоматической шахматной машины в 1911 году. Его машина была способна играть с человеком окончание шахматной партии с королем и ладьей против короля. Машина действовала не совсем точно, но всегда ставила мат за минимально возможное число ходов, неизменно одерживая победу в партии.
Позднее, в 1930-е годы, американский ученый Вэнивар Буш создал цифровой электрический компьютер и несколько машин для решения дифференциальных уравнений. Даже в первом электромеханическом компьютере Harvard Mark I, который был создан в период с 1939 по 1943 год американским инженером Говардом Хатауэем Эйкеном при поддержке IBM, 760000 зубчатых колес и 800 километров проводов были расположены по схеме, предложенной Бэббиджем.
Если бы аналитическая машина Бэббиджа была построена, в ней было бы 30 метров в длину, 10 метров в ширину и 4,5 метра в высоту. Сложение выполнялось бы за 3 секунды, умножение — от 2 до 4 минут, не считая времени, затраченного на ввод данных в арифметическое устройство — это заняло бы еще 2,5 секунды.
Чарльз Бэббидж также известен благодаря многим другим открытиям. Он взломал шифр Виженера (вариант шифра Цезаря), разработал приспособление, сбрасывающее посторонние предметы с путей перед локомотивом, а также сформулировал экономический «принцип Бэббиджа». Он также создал современную почтовую систему и был первым, кто указал, что ширина колец на спиле дерева зависит от погодных условий, что позволило изучить климат прошлых лет.
В области философии и богословия, которые он также не обошел стороной, ему не удалось достичь столь значимых успехов. Он был очень верующим человеком и в 1837 году опубликовал «Девятый трактат Бриджуотера» (Ninth Bridgewater Treatise), последовавший за восемью трактатами по богословию, издание которых было оплачено из наследства преподобного Фрэнсиса Генри, графа Бриджуотерского. Бэббидж пытался доказать существование Бога с позиций математики. Он писал, что Бог как высший законодатель создал законы или программы, согласно которым различные виды живых существ появлялись тогда, когда это было необходимо, и не вмешивался в земные дела напрямую. Он также доказывал возможность происхождения чудес с математической точки зрения, использовав методы теории вероятности. Его работы были написаны в то же время, что и труды Чарльза Дарвина (1809–1882) .
Логика и Джордж Буль
В 1847 году была опубликована книга «Математический анализ логики» (Mathematical Analysis of Logic) Джорджа Буля, в которой была представлена булева алгебра — попытка применить методы алгебры к логике первого порядка. В настоящее время булева алгебра в общем виде используется при проектировании электрических схем, однако изначально открытия Буля были признаны только узкими специалистами. Лишь в XX веке была понята их важность и возможность применения в информатике.
Большая заслуга в этом принадлежит американскому математику и инженеру Клоду Шеннону (1916–2001), который считается создателем теории информации. Шеннон познакомился с работой Буля на занятиях по философии в Мичиганском университете, и в 1937 году защитил магистерскую диссертацию в Массачусетском технологическом институте (MIT), показав, что булеву алгебру можно использовать для оптимизации электрических цепей. В 1935 году независимо от Шеннона логик Виктор Шестаков (1907–1987) из Московского государственного университета также использовал булеву алгебру в этих же целях.
Булева алгебра оказалась столь полезной в информатике потому, что она описывает идеальный сценарий с точки зрения двоичной логики. В ней используются только нули и единицы, основными операциями являются И, ИЛИ и НЕ, то есть конъюнкция (бинарная операция, обозначаемая 
), дизъюнкция (бинарная операция, обозначаемая 
) и отрицание (унарная операция, обозначаемая ¬). Эти логические операции определяются с помощью следующих таблиц истинности.
Другие привычные операции, например импликация (операция, схожая с конструкцией «если… то»), выражаются через три основные операции, представленные выше: (х — > у) = ¬ х
y, Кроме того, в виде комбинации этих операций можно представить любую другую логическую функцию. Так называемый закон де Моргана гласит, что существует всего две основные логические операции. Например, это могут быть дизъюнкция и отрицание, с помощью которых также можно выразить операцию конъюнкции.
* * *
ДЖОРДЖ БУЛЬ (1815–1864)
Британский математик и философ Джордж Буль создал алгебру, которая стала основой современной вычислительной техники. Именно поэтому он считается одним из основателей информатики. Его важнейшими математическими трудами являются Treatise on Differential Equations («Трактат о дифференциальных уравнениях»), опубликованный в 1859 году, и его продолжение Treatise on the Calculus of Finite Differences («Трактат о конечных разностях»), вышедший в 1860 году. Свою систему правил для математической записи и упрощения логических и философских задач, аргументы которых могут принимать только два значения (истина или ложь), он изложил в труде «Исследование законов мышления, на которых основываются математические теории логики и вероятностей» ( An Investigation of the Laws of Thought, on Which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities ).
* * *
Аксиоматика булевой алгебры строится на основе свойств. Говоря неформальным языком, эти свойства являются необходимыми и достаточными для составления таблиц истинности логических операций.
Число π в XIX веке
В середине XVIII века, точнее в 1761 году, немецкий математик, физик, астроном и философ французского происхождения Иоганн Ламберт (1728–1777) показал, что число π и его квадрат π2 являются иррациональными числами. Тем самым была доказана невозможность вычислить их «точное» значение. Лишь 120 лет спустя работы по вычислению значения π снова обрели важность. В 1882 году математик Фердинанд Линдеман (1852–1939) доказал, что число π является трансцендентным. Это означало, что задача о квадратуре круга нерешаема с помощью циркуля и линейки.
Некоторые задачи, касающиеся числа π, до сих пор остаются открытыми, в частности задача о нормальности π. Иррациональное число является нормальным, если вероятность появления числовых последовательностей равной длины в его записи одинакова. Например, все цифры от 0 до 9 фигурируют в записи нормального с одинаковой вероятностью, равной 1/10, все последовательности из двух цифр — с вероятностью 1/100 и так далее. Нормальность числа π все еще не доказана, однако считается, что π действительно является нормальным. Были подсчитаны частоты, с которыми в его записи появляются различные цифры. В конце XX века американский математик Дэвид Бэйли проанализировал первые 29360000 знаков π. Рассмотрев последовательности длиной до 6 цифр включительно, он не обнаружил никаких признаков неравномерности. Различия в частотах оказались минимальными и не имели статистической значимости. Приведем в качестве примера частоты, с которыми в записи π появляются цифры от 0 до 9.
* * *
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ЧИСЛА
Число называется алгебраическим, если оно является корнем многочлена одной переменной с целыми коэффициентами. Все целые и рациональные числа, а также некоторые иррациональные, являются алгебраическими. Наиболее известное из алгебраических иррациональных чисел — √2. Это число является корнем многочлена х 2 — 2 = 0. Множество алгебраических чисел является счетным. Трансцендентное же число не является корнем многочлена с целыми коэффициентами. Самыми известными трансцендентными числами являются π и е .