§ 1. Симметрия в физике

§ 2. Переносы начала

§ 3. Вращения

§ 4. Векторы

§ 5. Векторная алгебра

§ 6. Законы Ньютона в векторной записи

§ 7. Скалярное произведение векторов

§ 1. Симметрия в физике

В этой главе мы вводим понятие, которое среди физиков известно под названием симме­трия законов физики. Слово «симметрия» употребляется здесь в несколько необычном смыс­ле, и поэтому нужно его определить. Как же определить симметрию какого-либо предмета? Когда мы говорим, что изображение симметрично, то этим мы хотим сказать, что одна его часть такая же, как другая. Профессор Герман Вейль дал такое определение симметрии: предмет симметричен, если его можно подвергнуть какой-либо операции, после которой он будет выглядеть как и вначале. Например, если мы повернем вазу на 180° вокруг вертикальной оси и она не изменит своего внешнего вида, то мы говорим, что обе стороны вазы симметричны. Мы будем понимать определение Вейля в более широком смысле и говорить о симметрии зако­нов физики.

Предположим, что где-то мы установили сложную машину со множеством зацеплений, с какими-то маховиками, шатунами и т. п. Предположим теперь, что в каком-то другом месте мы собрали такое же устройство, все час­ти которого являются точной копией частей прежней машины, причем сохранены все разме­ры и ориентация отдельных ее частей, все то же самое, только перенесено на некоторое рас­стояние. Затем мы запустим обе машины в оди­наковых условиях и посмотрим, будут ли они работать совершенно одинаково? Будут ли дви­жения отдельных частей одной машины повто­рять в точности соответствующие движения другой? Вообще говоря, ответ может быть от­рицательным, потому что мы можем ведь выбрать для второй машины неудачное место, скажем поставить ее так, что какие-то ее части будут при работе ударяться о стенку, тогда машина вовсе не будет работать.

Любая физическая идея требует здравого смысла при своем осуществлении, ведь это не чисто математические или абстракт­ные идеи. Нужно понимать, что мы имеем в виду, когда говорим, что при перенесении какого-либо устройства в другое место на­блюдаются те же явления. Под этим мы понимаем, что мы пере­двигаем все, что можно передвинуть. Если же при этом явление в чем-то изменяется, то мы предположим, что что-то послужило помехой, и займемся изучением причин. Если мы ничего не обнаружим, то объявим, что физические законы не обладают ожидаемой симметрией. Но если физические законы все-таки обладают симметрией, то мы найдем причину помех, во всяком случае мы надеемся найти ее. Осмотревшись, мы обнаружим, на­пример, что работе машины мешает стена. Основной вопрос со­стоит в следующем: если мы достаточно хорошо изучим наши устройства, если все основные источники сил имеются внутри аппарата и если на другое место передвинуть все, что следовало передвинуть, то будут ли законы меняться? Будет ли машина на новом месте работать так, как раньше?

Ясно, что мы хотим передвинуть само устройство и источ­ники основных влияний, а вовсе не все на свете — планеты, звезды и т. п., ибо если бы мы и совершили эту грандиозную работу, то наблюдали бы прежнее явление по той простой при­чине, что мы оказались бы на том же самом месте. Но мы и не можем передвинуть все на свете. Оказывается, что если передви­гать наше устройство более или менее разумно, то оно будет ра­ботать одинаково. Другими словами, если мы не будем вламы­ваться в стенку, будем знать происхождение внешних сил и постараемся, чтобы они были передвинуты вместе с машиной, то она будет работать на новом месте так же хорошо, как и прежде.

§ 2. Переносы начала

Мы ограничим наше рассмотрение законами механики, ко­торую достаточно хорошо изучили. В предыдущих главах мы установили, что законы механики можно свести к трем справед­ливым для любой частицы уравнениям:

Это означает, что существует такой способ измерения расстоя­ний х, у и z вдоль трех взаимно перпендикулярных осей и сил вдоль этих направлений, при котором определяемые уравнениями (11.1) законы верны. Расстояния должны отсчитываться от некоторого начала, но где следует расположить это начало? Ньютон сказал нам только, что такая точка, от которой можно начать отсчет, существует; может быть, это центр Вселенной, и при измерении расстояний от нее его законы верны. Но мы можем немедленно показать, что незачем искать центр Вселен­ной, ибо безразлично, какую точку взять за начало координат. Иными словами, предположим, что имеются два человека — Джо, который выбрал начало своей системы координат в какой-то точке, и Мик, который построил систему координат, парал­лельную первой, но принял за начало другую точку (фиг. 11.1), расположенную на расстоянии а по оси х в его системе.

Фиг. 11.1.Две параллельные координатные системы.

Когда Джо определяет положение произвольной точки в про­странстве, он находит три ее координаты: х, у и z (обычно мы опускаем ось z, ибо ее трудно изобразить на нашем чертеже). В системе Мика эта точка будет иметь другое значение х (чтобы отличить его, введем обозначение х') и, вообще говоря, другое значение у, хотя в нашем примере они численно равны. Таким образом, мы имеем

х'=х- а, у'=y, z'=z. (11.2)

Чтобы сделать наш анализ полным, нужно знать, какие силы измеряет Мик. Если сила действует вдоль произвольной линии, то под силой вдоль направления х мы понимаем некоторую часть общей силы, которая равна произведению величины силы на косинус угла между направлением силы и осью х. Легко ви­деть, что Мик получит те же проекции силы, какие получил Джо, т. е. мы имеем систему уравнений

Fx '' =Fx , Fy '' =Fy , Fz ' =Fz . (11.3)

Уравнения (11.2) и (11.3) определяют соотношения между ве­личинами, используемыми Джо и Миком.

Теперь поставим вопрос так: если Джо знает законы Нью­тона, то будут ли они верны, когда их попробует использовать Мик? Имеет ли значение выбор начала координат? Другими словами, предположим, что уравнения (11.1) верны, а (11.2) и (11.3) определяют соотношения между измеряемыми величи­нами; верно ли, что

Чтобы проверить эти уравнения, дважды продифференци­руем выражение для х по времени. Прежде всего

Предположим теперь, что начало системы координат, которой пользуется Мик, фиксировано (не движется) относительно си­стемы координат Джо, т. е. а постоянна и da/dt=0; таким об­разом, получаем

dx'/dt=dx/dt и, следовательно,

d2 x'/dt2 =d2 x/dt2 Если предположить, что измеряемые Джо и Миком массы равны, то уравнение (11.4а) принимает вид

Таким образом, произведения массы на ускорение одинаковы у обоих друзей. Можно получить и формулу для FX ' . Использо­вав (11.1), мы обнаружим

. Fx ' =Fx .

Следовательно, законы механики, с точки зрения Мика, точно такие же: он пишет законы Ньютона в других координа­тах, и эти законы оказываются верными. Это означает, что центра Вселенной нет и законы движения выглядят одина­ково, с какого бы места они ни наблюдались.

Верно и такое утверждение: если в каком-либо месте установить устройство с каким-то механизмом, то и в любом другом месте это устройство будет работать одинаково. Почему? Потому что любая машина, которую изучает Мик, подчиняется тем же уравнениям, которые описывают работу машины, контролируе­мой Джо. Поскольку уравнения, одинаковы, то и явления одни ' и те же. Таким образом, доказательство того, что аппарат в но­вом месте будет работать так же, как на прежнем, сводится к доказательству, что отнесенные к новой точке пространства уравнения воспроизводят себя. Поэтому мы говорим, что законы физики симметричны относительно перемещений в про­странстве, симметричны в том смысле, что законы не изменяются при перемещениях начала системы координат. Конечно, каж­дый интуитивно знает, что это верно, но интересно и полезно обсудить математику этого явления.

§ 3. Вращения

Разобрав вопрос о перенесении начала координат, мы рас­смотрели первую задачу из серии более сложных теорем о сим­метрии физических законов. Следующая теорема утверждает, что и направления координатных осей можно выбрать произ­вольно. Другими словами, если мы сооружаем где-то какое-то устройство и наблюдаем, как оно работает, а затем по соседству соорудим аналогичное устройство, но расположим его под лю­бым углом относительно первого, то будет ли второе устройство работать так же, как и первое? Вообще говоря, нет, если это, например, старые часы-ходики, известные еще нашим дедам. Если маятник ходиков расположен отвесно, они будут вели­колепно идти, но если их повернуть так, чтобы маятник уперся в стенку, верного времени они уже не покажут. Значит, нашу теорему нельзя применить к маятнику, если забыть о силе, ко­торая заставляет его качаться. Если мы все-таки верим в симметрию физических законов относительно вращений, то мы должны сделать какие-то вполне определенные предполо­жения о работе ходиков, например что для их работы важен не только часовой механизм, но и что-то, лежащее за его преде­лами, что-то, что следует обнаружить. Можно также предска­зать, что ходики будут идти по-разному, если они попадут куда-то в другое место по отношению к загадочному пока ис­точнику асимметрии (может быть, это Земля). Так и есть на самом деле. Мы знаем, что ходики на искусственном спутнике, например, вообще остановятся, ибо там отсутствует эффектив­ная сила, а на Марсе скорость их хода будет совсем иной. Маят­никовые часы содержат, помимо механизма, еще нечто вне их. Осознав этот факт, мы увидим, что вместе с ходиками нам придется повернуть и Землю. Но нам, конечно, незачем беспо­коиться — сделать это очень легко. Мы просто подождем минуту или две, и Земля сама повернется, а ходики затикают уже в новом положении так же весело, как и раньше. Пока мы пово­рачиваемся в пространстве, измеряемые нами углы изменяются тоже; эти изменения не причиняют особых беспокойств, по­скольку в новых условиях мы чувствуем себя точно так же, как и в старых. Здесь может скрываться источник ошибки; верно, что в новом, повернутом относительно старого положении законы остаются прежними, но неверно то, что во вращающейся системе координат справедливы те же законы, что и в покоящей­ся. Если проделать достаточно тонкие опыты, то можно уста­новить, что Земля вращается, но ни один из этих опытов не скажет нам, что Земля повернулась. Другими словами, мы не можем при помощи этих опытов установить ориентацию Земли, но можем сказать, что ориентация изменяется.

Обсудим теперь влияние ориентации системы координат на физические законы. Давайте посмотрим, не будут ли нам снова полезны Мик и Джо. Чтобы избежать ненужных сложностей, предположим, что эти молодые люди находятся в одной точке пространства (мы уже показали, что их системы координат можно перемещать). Пусть оси системы координат Мика по­вернуты относительно системы координат Джо на угол q, Обе системы координат изображены на фиг. 11.2, где мы ограничи­лись двумя измерениями.

Фиг. 11.2. Две координатные системы, ориентированные по-раз­ному.

Произвольная точка Р снабжается координатами (х, у) в системе Джо и (х', у') в системе Мика. Как и в предыдущем случае, начнем с того, что выразим коор­динаты х' и у' через х, у и q. Для этого опустим из Р перпенди­куляры на все четыре координатные оси и проведем АВ пер­пендикулярно PQ. Из чертежа ясно, что х' можно представить как сумму двух отрезков вдоль оси х', а у'— как разность двух отрезков вдоль АВ. Длины этих отрезков выражаются через х, у и 6; мы добавляем еще уравнение для третьей координаты:

х'=хcosq+-уsinq,

y'=ycosq -xsinq, (11.5)

z'=z.

Теперь (мы поступали так и раньше) установим соотношения между силами, измеряемыми двумя наблюдателями. Предполо­жим, что сила F, имеющая (с точки зрения Джо) составляющие Fx и Fy , действует на расположенную в точке Р на фиг. 11.2 частицу массы m. Для простоты сдвинем обе системы коорди­нат так, что начала их переместятся в точку Р, как показано на фиг. 11.3. Мик скажет нам, что сила, по его мнению, имеет составляющие Fx ' и Fy ' вдоль его осей.

Фиг. 11.3, Составляющие сил в двух системах.

Составляющая Fx , как и Fy , имеет составляющие вдоль обеих осей х' и у'. Чтобы выра­зить Fx ' через Fx и Fy , сложим составляющие этих сил вдоль оси х'; точно таким же образом можно выразить и Fy ' через Fх и Fy . В результате получим

Fx .=Fx cosq+Fy smq,

Fy .=Fy cosq-Fx smq, (11.6)

Fz ' = Fz

Интересно отметить случайность, которая в дальнейшем ока­жется очень важной: формулы (11.5) и (11.6) для координат Р и составляющих F соответственно тождественны по форме. Как и раньше, предположим, что законы Ньютона справед­ливы в системе координат Джо и выражаются уравнениями (11.1). Снова возникает вопрос: может ли Мик пользоваться законами Ньютона, будут ли их предписания выполняться в повернутой системе координат? Другими словами, если пред­положить, что уравнения (11.5) и (11.6) дают связь между из­меряемыми величинами, то верно ли, что

Чтобы проверить эти уравнения, вычислим левые и правые части независимо, а затем сравним результаты. Чтобы вычис­лить левые части, умножим уравнения (11.5) на mи продиффе­ренцируем их дважды по времени, считая угол 9 постоянным. Это дает

Вычислим правые части уравнений (11.7), подставив (11.1] в уравнения (11.6). Получаем

Глядите! Правые части уравнений (11.8) и (11.9) тождест­венны; значит, если законы Ньютона верны в одной системе координат, то ими можно пользоваться и в другой системе. Эти рассуждения заставляют нас сделать некоторые важные выводы: во-первых, никто не может утверждать, что избранная им система координат единственна, она может быть, конечно, более удобной при решении частных задач. Например, удобно, но не обязательно взять направление силы тяжести за одну из осей координат. Во-вторых, это означает, что любой механизм, если только он является самостоятельным устройством и об­ладает всем необходимым для создания силы, будет работать одинаково, как бы его ни повернули.

§ 4. Векторы

Насколько нам известно сейчас, не только законы Ньютона, но и все физические законы обладают двумя свойствами, кото­рые называют инвариантностью (или симметрией) относительно перемещений и поворотов координатных осей. Эти свойства столь важны, что для учета их при изучении физических зако­нов была разработана специальная математическая техника.

Решение поставленных в предыдущих параграфах задач по­требовало довольно длинных расчетов. Чтобы свести их к ми­нимуму, изобретен могучий математический аппарат. Эта си­стема, называемая векторным анализом, определила название главы, хотя в ней, собственно говоря, речь идет о симметрии физических законов. Конечно, можно получить искомый ре­зультат, поступая так, как было описано раньше, но, чтобы облегчить и ускорить нашу задачу, мы применяем технику век­торного анализа.

Заметим, что в физике важно знать величины двух типов (на самом деле их больше двух, но давайте начнем с двух). Величины первого типа, например число картофелин в мешке, мы будем называть обыкновенными числами, или скалярами. Еще одним примером такой величины может служить темпе­ратура. Другие очень важные в физике величины имеют на­правление, это, например, скорость; мы должны задать не только быстроту перемещения тела, но и путь, по которому оно движется. Импульс и сила тоже имеют направление, как и смеще­ние: когда кто-нибудь делает шаг, можно сказать не только, как далеко он шагнул, но и куда он шагает, т. е. определить направление его движения.

Все величины, имеющие направление, подобно шагу в про­странстве, называются векторами.

Вектор определяется тремя числами. Чтобы описать шаг, скажем из начала координат в точку Р, определяемую коорди­натами х, у и z, мы фактически должны задать три числа. Но мы будем использовать для этой цели один-единственный матема­тический символ r, с которым нам чаще всего придется иметь дело в дальнейшем. Это не одно число: символ r задается тремя числами: х, у и z. Символ r означает три числа, но не только эти три числа, потому что при переходе к другой системе координат нужно заменить их числами х', у' и z'. Однако мы хотим как можно более упростить нашу математику и исполь­зуем один и тот же символ в качестве представителя трех чи­сел х, у, z и трех чисел х', у', z'. Точнее говоря, мы используем один и тот же символ в качестве представителя первого набора чисел в одной системе координат и делаем его представителем второго набора чисел, если захотим сменить систему коор­динат. Это удобно потому, что нам не придется изменять формы уравнений при переходе от одной системы координат к другой. Если мы записываем уравнения, используя координаты х, у и r, а затем меняем систему отсчета, то появляются координаты х', у' и z', но мы пишем просто r, условившись, что этот символ служит представителем х, у, z, если мы пользуемся первой системой отсчета, и х', у', z', если мы перешли к другой системе. Три числа, которые описывают векторную величину в заданной системе отсчета, называются составляющими (компонентами) вектора в направлении координатных осей системы отсчета. Иначе говоря, мы используем один символ для обозначения трех букв, и он соответствует наблюдению одного и того же объек­та с трех разных точек зрения. Произнося слова «один и тот же объект», мы обращаемся к нашей физической интуиции, которая говорит нам, что шаг в пространстве не зависит от того, какими составляющими мы его описываем. Итак, символ r представляет один и тот же объект независимо от того, как мы ориентируем оси системы отсчета.

Предположим теперь, что существует другая направленная величина, например сила — еще одна величина, которую можно определить, задав связанные с ней три числа. Эти три числа переходят при изменении системы координат в другие три числа по строго определенным математическим правилам. Эти правила должны быть теми же самыми, которые определяли пере­ход тройки чисел х, у, z в х' , у', z'. Другими словами, вектор — это величина, определяемая тремя числами, которые преобра­зуются при изменениях системы координат так же, как состав­ляющие шага в пространстве. Уравнение типа

F = r

справедливо в любой системе координат, если оно верно хотя бы в одной из них. Оно заменяет нам три уравнения

Fx =x, Fy =y, Fz =z или соответственно

Fх ' =х' ,Fу' =у' ,Fz ' =z'.

Тот факт, что физические соотношения между какими-либо ве­личинами можно выразить в виде векторных уравнений, говорит о том, что эти соотношения верны в любой системе координат. Вот почему понятие вектора очень удобно в физике.

Давайте теперь рассмотрим некоторые свойства векторов. В качестве примера «вектора» можно указать скорость, импульс, силу и ускорение. Часто бывает удобно изобразить вектор в виде стрелки, указывающей направление действия. Но почему же можно представить силу стрелкой? Да потому, что она пре­образуется по тем же законам, что и «шаг в пространстве». Именно поэтому можно представить силу в виде чертежа, как если бы это изображалось перемещение, причем выберем та­кой масштаб, чтобы единица силы, например ньютон, соответ­ствовала некоторой длине. Проделав такую процедуру однажды, мы всегда сможем изображать силы в виде отрезков, потому что уравнение типа

F=kr

(где k — некоторая постоянная) имеет вполне определенный смысл. Возможность представлять силу отрезком сулит нам большие выгоды, потому что, изобразив отрезок или стрелку, можно не заботиться о координатных осях. При этом, конечно, всегда можно быстро подсчитать, как изменяются составляющие вектора при поворотах осей, потому что дело сводится к про­стому геометрическому построению.

§ 5. Векторная алгебра

Теперь мы должны описать законы, или правила, 'регули­рующие возможные сочетания различных векторов. Прежде всего мы изучим сумму двух векторов. Пусть векторы а и b задаются в какой-нибудь системе координат составляющими ах , ay , az и bx , by ,bz . Предположим, что кому-то пришло в голову составить три числа ах +bx , ay +by , аг +bz . Получим ли мы в результате вектор? Вы можете сказать: «Разумеется, ведь это три числа, а три числа образуют вектор». Нет, вектор обра­зуют не любые три числа! Чтобы задать вектор, мы должны связать заданные нам три числа с координатной системой так, чтобы при повороте координатных осей эти числа «поворачива­лись» относительно друг друга и «перемешивались» по описан­ным ранее правилам. Таким образом, мы должны выяснить, во что превращаются числа ах +bх , аy +by , az +bг , если известно, что при изменении системы координат числа ах , ау , az переходят в а'х , а'у , a'z , а bх , bу , bг переходят в b'x , b'y , b'г? Получим ли мы после поворота координатных осей числа а'х +b'x , a'y +b'y , a'z +b'z ? Ответ, конечно, будет утвердительным, потому что наше основное уравнение (11:5) определяет так называемое линейное преобразование. Если мы применим это преобразование к ах и bх и вычислим ах +bx то окажется, что преобразованное ах +bх есть то же самое, что и ах +bх . «Складывая» векторы а и b по только что описанному правилу, мы получаем новый вектор c. Мы запишем это так:

с=а +b.

Вектор с обладает интересным свойством:

с=b+а;

это легко проверить, написав составляющие вектора с. Кроме того,

а+(b+с)=(а+b) + с.

Векторы можно складывать в любом порядке.

Каков геометрический смысл а+b? Как будет выглядеть вектор с, если мы, скажем, изобразим а и b с помощью стре­лок? Ответ на этот вопрос дает фиг. 11.4.

Фиг.11.4. Сложение векторов.

Мы видим, что приба­вить составляющие вектора b к составляющим вектора а проще всего, приложив соответствующим образом прямоугольник, определяемый составляющими b, к такому же прямоугольнику, определяемому составляющими а. Поскольку а и b хорошо подогнаны к своим прямоугольникам, то это все равно, что поставить вектор b «ногами» на «голову» вектору а. Стрелка, сое­диняющая «ноги» вектора а и «голову» вектора b, и будет век­тором с. Можно поступить иначе: поставить «ноги» а на «голову» b. Вспомнив геометрические свойства параллелограмма, можно убедиться в том, что мы снова получим тот же вектор с. Заметим, что, ставя векторы друг на друга, мы складываем их без помощи координатных осей.

Предположим, что мы умножили вектор а на число а. Что нужно понимать под таким произведением? Договоримся по­нимать под этим вектор с компонентами аах , аау , aaz . Дока­жите сами, что это действительно вектор.

Рассмотрим теперь вычитание векторов. Можно определить вычитание тем же способом, что и сложение, но вместо того, чтобы складывать, будем вычитать составляющие. Можно также определить вычитание как сложение с отрицательным вектором -b=(-1)b. Результат будет тот же.

Вычитание векторов показано на фиг. 11.5.

Фиг.11,5. Вычитание векторов.

На этом черте­же изображено

d=а-b=а+(-b); заметим также, что, зная векторы а и b, разность а-b можно легко найти из эквивалентного соотношения а=b+d. Таким образом найти раз­ность векторов даже легче, чем сумму: просто нужно провести вектор, соединяющий b и а, и вы получите а-b!

Перейдем теперь к скорости. Почему скорость есть вектор? Если координаты точки равны х, у, z, то скорость ее равна dx/dt, dy/dt, dz/dt. Вектор это или не вектор? Дифференцируя выражение (11.5), можно найти закон преобразования dx'ldt. Видно, что величины dx/dt, dy/dt преобразуются по тому же закону, что и х и у. Таким образом, скорость есть вектор. Вы­ражение для скорости можно записать очень интересно:

v=dr/dt.

Постараемся нагляднее представить себе, что такое ско­рость и почему она вектор. Далеко ли продвинется частица за малое время Dt? Ответ: на Dr, т. е. если частица находится «здесь» в первое мгновение, а «там» — во второе, то векторная разность положений частицы равна вектору Dr=r2-r1. расположенному вдоль направления движения. Как это выглядит, показано на фиг. 11.6. Если разделить этот вектор на промежуток времени Dt = t2 -t1 , то мы получим вектор «средней скорости».

Иначе говоря, под вектором скорости мы понимаем предел разности радиус-векторов, соответствующих моментам t+Dt и t, деленной на Dt при Dt, стремящемся к нулю:

Скорость есть вектор постольку, поскольку она равна разности двух векторов. Это верно также и потому, что составляющие этого вектора равны dx/dt, dy/dt, dz/dt. Подумав над тем, что сейчас было проделано, мы придем к выводу, что, продиффе­ренцировав любой вектор по времени, мы снова получим какой-то новый вектор. Таким образом, имеется несколько способов получать новые векторы: 1) умножая вектор на постоянное число; 2) дифференцируя вектор по времени; 3) складывая два вектора или вычитая.

§ 6. Законы Ньютона в векторной записи

Чтобы записать законы Ньютона в векторной форме, мы должны поучиться еще кое-чему и определить вектор ускоре­ния. Этот вектор равен производной по времени вектора скоро­сти, причем легко показать, что его составляющие равны вто­рым производным х, у и z no t:

После этого законы Ньютона можно записать таким образом: или ma = F, (11.13)

m(d2r/dt2)=F (11.14)

Фиг. 11.6. Перемещение частиц за малое время Dt=t2-t1,.

Теперь задача о доказательстве инвариантности законов Нью­тона относительно вращений сводится к следующему: нужно доказать, что а (ускорение) есть вектор; это мы уже сделали. Затем нужно доказать, что F (сила) есть вектор; это мы предпола­гаем. Следовательно, если сила есть вектор, то уравнение (11.13) будет выглядеть одинаково во всех системах координат, ибо нам известно, что ускорение тоже вектор. Запись уравнений в виде, не содержащем явно х, у, z, привлекательна тем, что нам нет необходимости выписывать три уравнения каждый раз, ког­да мы хотим написать законы Ньютона или другие законы фи­зики. Мы записываем то, что выглядит как один закон, хотя фактически, конечно, это три закона для каждой оси системы координат, потому что любое векторное уравнение содержит в себе утверждение, что все составляющие равны.

Тот факт, что ускорение — это скорость изменения вектора скорости, помогает найти ускорение в любых, казалось бы, трудных обстоятельствах. Предположим, например, что части­ца, двигаясь по какой-то сложной кривой (фиг. 11.7), имеет в момент t1скорость v1, а несколько позже, в момент t2,скорость v2. Чему равно ускорение? Ответ: ускорение равно разности скоростей, деленной на малый промежуток времени; значит, нужно знать разность скоростей. Как же найти эту разность? Чтобы найти разность двух векторов, проведем вектор через концы векторов v2 и v1, иначе говоря, начертим вектор D в ка­честве разности этих двух векторов. Верно? Нет! Мы можем поступать так только тогда, когда начала векторов расположе­ны в одной точке! Вычитать векторы, приложенные к разным точкам, бессмысленно. Остерегайтесь этого! Чтобы вычесть векторы, нужно начертить другую схему. На фиг. 11. 8 векторы v1 и v2 перенесены параллельно и равны их двойникам, изоб­раженным на фиг. 11.7.

Фиг. 11 .7. Криволинейная траек­тория.

Фиг. 11.8, Диаграмма для вычисления ускорения.

Теперь можно поговорить об ускорении. Ускорение, конечно, просто равно Dv/Dt. Интересно заметить, что разность скоростей можно разделить на две части: можно представить себе, что ускорение состоит из двух составляющих: Dv║ — вектора, параллельного касательной к пути, и вектора Dv┴, перпендикулярного к этой касательной. Эти векторы пока­заны на фиг. 11.8. Касательное к пути ускорение равно, есте­ственно, лишь изменению длины вектора, т. е. изменению вели­чины скорости v:

a║=dv/dt. (11.15)

Другую, поперечную составляющую ускорения легко вычис­лить, взглянув на фиг. 11.7 и 11.8. За короткое время Dt изме­нение угла между v1 и v2 равно малому углу Dq. Если величина скорости равна v, то

Dv┴=vDq, а ускорение а равно

а┴=v(dq/dt).

Теперь нам нужно знать Dq/Dt. Эту величину можно найти так: если в данный момент кривую можно приблизительно заменить окружностью радиусом R, то, поскольку за время Dt частица пройдет расстояние s=vDt,изменение угла равно

Dq=v(Dt/R) или Dq/Dt=v/R.

Таким образом, как мы уже установили ранее,

a=v2/R. (11.16)

§ 7. Скалярное произведение векторов

Давайте еще немного займемся свойствами векторов. Легко понять, что длина шага в пространстве одинакова во всех ко­ординатных системах. Следовательно, если какому-то шагу r соответствуют составляющие х, у, z в одной системе координат и составляющие х', у', z' в другой системе, то расстояние r= |r| одно и то же в обеих системах. Сначала мы, конечно, долж­ны ввести два расстояния

а затем проверить, что эти обе величины равны. Чтобы не во­зиться с квадратным корнем, будем сравнивать квадраты рас­стояний. Мы должны, таким образом, показать, что

x2 +у2 + z2 =x'2 +у'2 + г'2 . (11.17)

Подставив в это уравнение определяемые соотношением (11.5) значения ж', у', z', мы увидим, что это действительно так. Зна­чит, кроме уже изученных нами векторных уравнений, суще­ствуют еще какие-то соотношения, верные в любой системе ко­ординат.

Незаметно мы получили новый тип величин. Мы можем по­строить функцию х, у и z, называемую скалярной функцией,— величину, которая не имеет направления, и одинакова в обеих системах координат. Из вектора можно построить скаляр. Хорошо бы найти общее правило для этого построения. Соб­ственно говоря, мы уже нашли это правило: надо возвести в квадрат каждую из составляющих вектора и сложить их. Опре­делим теперь новую величину, которую обозначим а·а. Это не вектор, а скаляр; это число, одинаковое во всех координатных системах и определяемое как сумма квадратов трех составляю­щих вектора:

a·a=a2x+ a2y+a2z. (11.18)

Вы спросите: «В какой системе координат?» Но раз это число не зависит от системы координат, то ответ одинаков в любой системе координат. Мы имеем дело с новым видом величины, с инвариантом, или скаляром, полученным «возведением вектора в квадрат». Если теперь определить, исходя из векторов а и b, величину

a·b=ax bx +ay by + az bz , (11.19)

то можно убедиться, что эта величина совпадает в штрихованной и нештрихованной системах координат. Чтобы доказать это, заметим, что это верно для величин а·а, b·b и с·с, где с=а+b. Сумма квадратов (ax +bx )2 +(ay +by )2 +(az +bz)2 —ин­вариант:

(аx +bx )2 +(аy +by )2+(аz+bг )2 = (аx'+bx')2 + (ay'+bу ' )2 +(az ,+bz')2. (11.20) Раскроем скобки в обеих сторонах этого уравнения. Перекрест­ные произведения дадут нам выражения типа (11.19), а суммы квадратов составляющих а и b — выражения (11.18). Инва­риантность слагаемых типа (11.18) приводит к инвариантности перекрестных произведений типа (11.19).

Величина а·b называется скалярным произведением двух векторов а и b и имеет много интересных и полезных свойств. Например, легко доказать, что

а· (b+c)=а·b+а·с. (11.21)

Есть еще очень простой геометрический способ вычисления а·b, при котором не надо определять составляющих а и b; просто а·b есть произведение длин векторов а и b на ко­синус угла между ними. Почему? Предположим, что мы выбрали такую систему координат, в которой вектор а направлен вдоль оси х; в этом случае вектор а имеет единственную ненулевую составляющую ах , которая равна длине вектора а. Таким обра­зом, уравнение (11.19) сводится в этом случае к a ·b =ax bx , что равно произведению длины вектора а на составляющую векто­ра b по направлению а, которая в свою очередь равна bcosq, т. е.

а·b=abcosq.

Таким образом, в этой частной системе координат мы дока­зали, что a·b равно произведению длин векторов а и b на коси­нус угла между ними 9. Но если это верно в одной системе коор­динат, то это верно и во всех системах, потому что а·b не зависит от выбора системы координат.

Что хорошего может дать нам эта новая величина? Нужно ли физику скалярное произведение? Да, оно необходимо ему постоянно. Например, в гл. 4 мы назвали кинетической энер­гией величину 1 /2 mv2 , но если частица движется в простран­стве, то нужно возвести в квадрат отдельно составляющие ско­рости х, у и z, так что формулу для кинетической энергии можно записать в виде

к.э.=1 /2 m(v ·v )=1 /2 m(v2 x + v2 y +v2 z ). (11.22)

Энергия не имеет направления. Импульс же направление имеет, это — вектор, и он равен произведению массы на вектор ско­рости.

Другим примером скалярного произведения может служить работа, произведенная силой при перемещении какого-нибудь предмета с одного места на другое. Мы еще не дали определения работы, она равна изменению энергии, прибавке в весе, после того как сила F поработает вдоль пути s:

Работа=F·s. (11.23)

Иногда целесообразно говорить о составляющей вдоль опре­деленного направления (например, вдоль вертикали, потому что это направление силы тяжести). Для этого удобно ввести еди­ничный вектор вдоль интересующего нас направления. Под еди­ничным вектором мы будем понимать вектор, скалярное про­изведение которого на себя равно единице. Пусть это будет вектор i; тогда i·i=l. Скалярное произведение i·a равно acosq, т. е. оно равно составляющей вектора а вдоль направле­ния i. Это наилучший способ получить составляющую вектора. Поступая так, мы можем найти все составляющие вектора и получить забавную формулу.

Предположим, что нам задана какая-то система координат х, у и z. Введем три вектора: i — единичный вектор вдоль оси х,

j — единичный вектор вдоль оси y и к — единичный вектор вдоль оси z. Ясно, что i·i=l. Чему же равно произведение i·j? Если угол между векторами прямой, то их скалярное произве­дение равно нулю. Таким образом,

i·i=1,

i·j = 0, j·j=1, (11.24) i·k=0, j·k=0, k·k=l.

Используя эти свойства векторов i, j, k, можно записать любой вектор а в виде

a=ax ·i + ay ·j + az ·k . (11.25)

Таким образом, можно от составляющих вектора легко перейти к самому вектору.

Мы изучили далеко не все свойства векторов. Однако, прежде чем углубиться в этот вопрос, научимся сперва применять обсужденные сейчас идеи в физике. И тогда, когда мы хорошо овладеем основным материалом, будет легче продвинуться даль­ше, не впадая в ошибки. Позднее мы увидим, что удобно опре­делить еще одно произведение двух векторов, которое назы­вается векторным произведением и записывается в виде аXb. Однако обсуждение этого вопроса лучше отложить до следующей главы.

* В книгах вектор обозначается полужирной буквой; в рукописях же используется стрелка: