§ 1. Работа падаю­щего тела

§ 2. Работа, выполняемая тяжестью

§ 3, Сложение энергий

§ 4. Поле тяготения больших тел

§ 1. Работа падающего тела

В гл. 4 мы разобрали вопрос о сохранении энергии. При этом законами Ньютона мы не пользовались. Интересно теперь посмотреть, как возникает сохранение энергии из-за того, что действуют эти законы. Для ясности мы начнем с самых простых примеров и постепенно будем их усложнять.

Простейший пример сохранения энергии — это тело, падающее вниз, т. е. тело, движущееся только в вертикальном направлении. Если оно меняет свою высоту под влиянием только тяже­сти, то из-за движения оно обладает кинети­ческой энергией Т (или к. э.) Кроме того, у него есть потенциальная энергия mgh (сокра­щенно U, или п. э.). Их сумма постоянна:

или

Т+U=const. (13.1)

Мы хотим показать, что это утверждение пра­вильно. Что значит доказать его правильность? Второй закон Ньютона говорит, как движется тело, как со временем изменяется его скорость (а именно, что в падении она растет пропорци­онально времени, а высота падения меняется как квадрат времени). Если поэтому отмерять высоту от нулевой точки (где тело покоилось), то не будет ничего странного в том, что она окажется равной квадрату скорости, умножен­ному на какие-то постоянные. Однако все же рассмотрим это повнимательней.

Попробуем вычислить прямо из второго закона Ньютона, как обязана меняться кинетическая энергия; мы продифференцируем кинетическую энергию по времени и потом применим за­кон Ньютона. Дифференцируя 1/2 mv2 по времени, получаем

потому что m считается постоянной. Но по второму закону Ньютона m(dv/dt)=F, так что

dT/dt=Fv. (13.3)

В общем случае получается F·v, но для нашего одномерного случая лучше оставить просто произведение силы на скорость.

Сила в нашем простом примере постоянна, равна —mg и направлена вниз (знак минус именно это и показывает), а ско­рость есть степень изменения положения по вертикали (высоты h) со временем. Поэтому степень изменения кинетической энер­гии равна —mg(dh/dt). Взгляните: что за чудо! Перед нами снова чья-то скорость изменения — скорость изменения со вре­менем величины mgh! Поэтому выходит, что с течением времени изменения в кинетической энергии и в величине mgh остаются равными и противоположными, так что их сумма остается не­изменной. Что и требовалось доказать.

Мы только что показали, пользуясь Вторым законом Нью­тона, что для постоянных сил энергия сохраняется, если только прибавлять потенциальную энергию mgh к кинетической 1 /2 mv2 . Исследуем этот вопрос дальше; посмотрим, можно ли его обобщить, можно ли еще продвинуться в его понимании. Действует ли этот закон только для свободно падающих тел или является более общим? Из того, что мы знаем о сохранении энергии, можно ожидать, что он будет верен для тела, движу­щегося из одной точки в другую по кривой без трения и под дей­ствием одной лишь тяжести (фиг. 13.1). Когда тело, начав дви­гаться с высоты Н, достигает высоты h, то опять должна быть верной та же формула, хотя бы скорость уже не была направле­на по вертикали. Нам надо понять, почему она все еще правильна. Проведем тот же анализ; отыщем скорость изменения кинетиче­ской энергии во времени. Опять будет получаться mv(dv/dt) — скорость изменения величины импульса, т. е. сила в направлении движения — касательная сила Ft . Итак,

Скорость—это скорость изменения расстояния вдоль кривой ds/dt, а касательная сила Ft теперь оказывается меньше mg в отношении, равном отношению расстояния ds вдоль пути к вер­тикальному расстоянию dh. Иными словами,

так что

(ds выпадает). И опять, как прежде, мы получили величину — mg(dh/dt), равную скорости изменения mgh.

Чтобы точно уяснить себе, как вообще соблюдается сохра­нение энергии в механике, рассмотрим сейчас некоторые полез­ные понятия.

Во-первых, рассмотрим скорость изменения кинетической энергий в общем трехмерном случае. Кинетическая энергия, когда движение имеет три измерения, равна

T =1/2m (v2 x +v2 y +v2 z ).

Дифференцируя ее по времени, получаем три устрашающих члена:

Но ведь m(dvx /dt) — это сила Fx , действующая на тело в на­правлении х. Значит, в правой части формулы (13.4) стоит Fx vx +Fy vy +Fz vz . Призвав на помощь векторный анализ, вспоминаем, что это F·v. Итак,

dT/dt=F·v (13.5)

А можно это вывести и быстрей: если а и b — два вектора, зави­сящих от времени, то производная от a·b равна

Подставим сюда а=b=v:

Так как понятие кинетической энергии и вообще энергии очень важно, то различным величинам в этих уравнениях при­своены разные имена: l /z mv2 называется, как известно, кинети­ческой энергией; F·v называется мощностью: сила, действующая на тело, умноженная («скалярно») на скорость тела,— это мощность, сообщаемая телу этой силой. Получается великолеп­ная теорема: скорость изменения кинетической энергии тела рав­на мощности, затраченной силами, действующими на тело. Но для изучения сохранения энергии анализ следует продол­жить. Давайте оценим изменение кинетической энергии за очень короткое время dt. Умножив обе части уравнения (13.7) на dt, найдем, что изменение кинетической энергии равно силе, скалярно умноженной на дифференциал пройденного расстояния

dT=F ·ds. (13.8)

А интегрируя, получаем

(13.9)

Что это значит? Это значит, что, как бы и по какой бы кривой траектории ни двигалось тело под действием силы, все равно изменение в к. э. при переходе от одной точки кривой к другой равно интегралу от компоненты силы вдоль кривой, умножен­ной на дифференциал смещения ds (интегрирование от первой точки до второй). И у этого интеграла есть имя: его называют работой, совершенной силой над телом. Немедленно мы обнару­живаем, что мощность — это работа за секунду. И еще мы заме­чаем, что работу производит только составляющая силы вдоль направления движения. В нашем первом простом примере участ­вовали только вертикальные силы с одной-единственной состав­ляющей Fz, равной —mg. В этих обстоятельствах совершенно неважно, как тело движется, прямо вниз или по параболе, все равно от F·ds (которое можно написать как Fx dx+Fy dy+Fz dz) остается только F^dz = -mgdz, потому что прочие составляющие силы — нули. Значит, в этом случае

так что в потенциальную энергию входит только высота, с кото­рой тело падает.

Несколько слов о единицах. Так как сила измеряется в ньютонах, а для получения работы ее умножают на расстояние, то работу измеряют в единицах ньютон·метр, но большинство людей этого названия не любит, предпочитая название джоуль (дж). Это только другое слово, а единица та же. Итак, работу измеряют в джоулях. Мощность же — в джоулях в секунду; эту единицу называют ватт(вт). Если умножить ватты на вре­мя, то получим произведенную работу. Работу, которую местная энергосистема производит в наших квартирах (в техническом смысле), оценивается в ваттах, умноженных на время. Например, киловатт-час — это 1000 втX3600 сек, т. е. 3,6·106 дж.

Приведем еще несколько примеров работы и сохранения энергии. Рассмотрим тело, которое вначале имеет кинетическую энергию и быстро двигается, скользя по полу с трением. Оно останавливается. В начале кинетическая энергия не равна нулю, а в конце она равна нулю', существует работа, произ­веденная силами, потому что раз есть трение, то есть и составляющая силы в направлении, противоположном на­правлению движения, и энергия постепенно теряется. Теперь рассмотрим массу на конце маятника, который ка­чается в вертикальной плоскости в поле тяжести без тре­ния. Здесь наблюдается нечто другое, потому что, когда масса опускается, сила направлена тоже вниз, а когда подымается, сила направлена в обратную сторону, так что у F·dsна спуске и на подъеме разные знаки. В соответствующих точках спуска и подъема значения F·dsравны по величине, но противополож­ны по знаку, так что в итоге интеграл есть чистый нуль. Поэтому кинетическая энергия в конце спуска в точности такая же, какой она была в начале подъема; это и есть принцип сохранения энер­гии. (Заметьте, что в присутствии сил трения сохранение энер­гии на первый взгляд не выполняется. Значит, нужно искать другую форму энергии. И действительно, оказывается, что когда два тела трутся друг о друга, то возникает тепло, мы же сейчас делаем вид, что об этом не знаем.)

§ 2. Работа, выполняемая тяжестью

Теперь займемся задачей потруднее, когда силы уже не по­стоянны и не направлены вниз, как раньше. Мы рассмотрим, например, движение планеты вокруг Солнца или спутника во­круг Земли.

Сперва мы рассмотрим движение тела, которое падает из точ­ки 1 прямо на Солнце или на Землю (фиг. 13.2).

Фиг. 13.2. Падение малой массы m под

действием тяжести на боль­шую массу М.

Будет ли в этих обстоятельствах сохраняться энергия? Единственное отличие от того, что было раньше, — что теперь сила не постоян­на, она меняется по мере падения. Мы знаем, что сила равна произведению GM/r2 на массу mпадающего тела. Конечно, и теперь кинетическая энергия при падении возрастает, как воз­растала и тогда, когда нас еще не волновало изменение силы с высотой. Вопрос только в том, можно ли отыскать иную, отлич­ную от mgh, формулу для потенциальной энергии, найти дру­гую функцию расстояния от Земли, чтобы для нее сохранение энергии не нарушалось.

Этот одномерный случай рассматривать легко, потому что мы знаем, что изменение кинетической энергии равно интегралу от начала движения до конца от силы —GMm/r2 по перемеще­нию dr

В формуле нет никакого косинуса, потому что сила и перемеще­ние направлены одинаково. Интегрировать dr/r2 легко; получает­ся (—1/г), так что

Перед нами другая формула для потенциальной энергии. Уравнение (13.12) говорит нам, что величина 1/2mv2 - GMm/r, вычисленная в точке 1, в точке 2 или в любой другой, остается постоянной.

У нас теперь есть формула для потенциальной энергии в поле тяготения для вертикального движения. Здесь возникает интересный вопрос: можно ли добиться вечного движения в поле тяготения? Поле-то меняется, в разных местах у него разная напряженность и разное направление. Нельзя ли взять беско­нечную ленту без трения и запустить ее, скажем, так: пусть она сперва поднимает тело из одной точки в другую, потом проводит его по дуге окружности в третью точку, опускает на неко­торый уровень, сдвигает по наклонному направлению и выводит на новый путь и т. п., так что по возвращении в началь­ную точку оказывается, что поле тяготения совершило неко­торую работу и кинетическая энергия тела возросла? Нельзя ли так начертить эту траекторию, чтобы, обойдя по ней, тело приобрело чуть-чуть больше скорости, чем имело вначале? Так получится вечное движение. Но ведь оно невозможно, значит, мы обязаны доказать, что такая траектория немыслима.

Фиг. 13.3. Замкнутый путь обхода в поле тяготения.

Мы должны доказать следующее предположение: раз трения нет, тело должно вернуться ни с меньшей, ни с большей скоростью, а как раз с такой, чтобы еще и еще делать круги по этому замк­нутому пути. Или, другими словами, вся работа, произведенная в движении по замкнутому пути, должна быть нулем для сил тяжести, потому что если бы она не была нулем, то можно было бы получить энергию за счет такого движения тела. (Если бы работа оказалась меньше нуля, так что скорость в конце обхода уменьшилась бы, то для получения энергии стоило бы только повернуть обратно; силы ведь зависят не от направления дви­жения, а только от положения. Если в одном направлении рабо­та получится с плюсом, то в обратном она будет с минусом; лю­бая ненулевая работа означает создание вечного двигателя.) Так что же, действительно ли работа равна нулю? Попробуем показать, что да. Сперва мы лишь на пальцах поясним, почему это так, а уж потом оформим математически. Положим, мы вы­думали траекторию, показанную на фиг. 13.3; масса падает от 1 к 2, поворачивает до 3, обратно поднимается к 4, затем через 5, 6, 7, 8 движется обратно к 1. Все линии идут либо по радиусу, либо по кругу с центром М. Какая работа совершается на таком пути? Между 1 и 2 она равна произведению GMm

на разность 1/r в этих точках:

От 2 до З сила в точности направлена поперек движения, и W23=0. От 3 к 4

Но ведь r2=r3, r4=r5, r6 =r7, r8 =r1 . Поэтому W=0.

Но возникает подозрение, не слишком ли эта кривая проста. А что даст настоящая траектория? Что ж, попробуем настоящую. Сразу же ясно, что ее можно достаточно точно пред­ставить как ряд зазубрин (фиг. 13.4) и поэтому... и т. д., что и требовалось доказать.

Фиг. 13.4. «Плавный» путь об­хода.

Показан увеличенный отрезок этого пути и близкая к нему траектория, состоящая из радиальных и круговых участков, а также один из зубцов этой траектории.

Но надо еще посмотреть, действительно ли работа обхода вокруг маленького треугольника тоже равна нулю. Увеличим один из треугольников (см. фиг. 13.4). Равны ли работы по пути от а к b и от b к с работе, совершаемой, когда идешь напрямик от а к с? Пусть сила действует в каком-то направлении. Расположим треугольник так, чтобы у его катета bc было как раз такое направление. Предположим также, что сам треугольник так мал, что сила всюду на нем постоянна. Какова работа на отрезке ас? Она равна

(поскольку сила постоянна). Теперь определим работу на двух катетах. На вертикальном катете ab сила перпендикулярна к ds, так что работа равна нулю. На горизонтальном катете bc

Мы убеждаемся таким образом, что работа обхода по бокам ма­ленького треугольника такая же, как и по склону, потому что scosq равно х. Мы уже показали прежде, что работа при дви­жении по зазубринам (как на фиг. 13.3) равна нулю, а теперь видим, что производимая работа одинакова, независимо от того, движемся ли мы по зазубринам или срезаем путь между ними (если только зазубрины малы, но ведь ничто не мешает сделать их такими); поэтому работа обхода по любому замкну­тому пути в поле тяготения равна нулю.

Это очень примечательный результат. Благодаря ему нам становятся известны такие подробности о движении планет, о которых мы раньше и не догадывались. Выясняется, что когда планета вертится вокруг Солнца одна, без спутников и в отсут­ствие каких-либо других сил, то квадрат ее скорости минус некоторая константа, деленная на расстояние до Солнца, вдоль орбиты не меняется. Например, чем ближе планета к Солнцу, тем быстрее она движется. Но насколько быстрее? А вот на­сколько: если вместо движения вокруг Солнца вы толкнете ее к Солнцу с той же скоростью и подождете, пока она не упадет на нужное расстояние, то приобретенная скорость будет как раз такой, какой планета обладает на этой орбите, потому что полу­чился просто другой пример сложного пути обхода. Если пла­нета вернется по такому пути обратно, ее кинетическая энергия окажется прежней. Поэтому независимо от того, движется ли она по настоящей невозмущенной орбите или же по сложному пути (но без трения), кинетическая энергия в момент возвраще­ния на орбиту оказывается как раз такой, какой нужно.

Значит, когда мы проводим численный анализ движения пла­неты по орбите (как мы делали раньше), мы можем проверить, не сделали ли заметных ошибок при расчете этой постоянной величины, энергии, на каждом шаге; она не должна менять­ся. Для орбиты, приведенной в табл. 9.2 (стр. 170), энергия меняется примерно на 1,5% с начала движения до конца. Почему? То ли потому, что в численном методе мы пользова­лись конечными приращениями, то ли из-за мелких погрешнос­тей в арифметике.

Рассмотрим энергию в другой задаче: задаче о массе, подве­шенной на пружине. Когда отклоняют массу от положения рав­новесия, сила, восстанавливающая ее положение, пропорцио­нальна смещению. Можно ли в этих условиях вывести закон сохранения энергии? Да; потому что работа, совершаемая этой силой, равна

Значит, у массы, подвешенной на пружине, сумма кинетической энергии ее колебаний и

1 /2 kx2 постоянна. Посмотрим, как это происходит. Оттянем массу вниз; она неподвижна и скорость ее равна нулю, но х не равно нулю, теперь величина х максималь­на, так что имеется и некоторый запас энергии (потенциальной). Отпустим теперь массу: начнется какой-то процесс (в детали мы не вникаем), но в любое мгновение кинетическая плюс потен­циальная энергии будут постоянны. Например, когда масса проходит через точку первоначального равновесия, то х=0, но тогда значение v2 наибольшее, и чем больше величина x2, тем меньше v2 и т. д. Значит, во время колебаний соблюдается равновесие между величинами x2 и r2. Мы получили, таким обра­зом, новое правило: потенциальная энергия пружины равна l /2 kx2 , если сила равна -kx.

§ 3. Сложение энергий

Перейдем теперь к более общему случаю и рассмотрим, что произойдет, если тел много. Предположим, что имеется несколь­ко тел; пронумеруем их: i = l, 2, 3, ... и пусть все они притяги­вают друг друга. Что тогда произойдет? Можно доказать, что если сложить кинетические энергии всех тел и добавить сюда сумму (по всем парам частиц) их взаимных потенциальных энер­гий тяготения —GMm/rij , то все вместе даст постоянную:

Как же это доказать? Мы продифференцируем обе стороны по времени и докажем, что получится нуль. При дифференцирова­нии 1/2тi v2 i мы получим производные скорости — силы [как в (13.5)], а потом эти силы заменим их величиной, известной нам

из закона тяготения, и увидим в конце концов, что останется как раз производная по времени от

Начинаем доказательство. Производная кинетической энергии по времени есть

Производная по времени от потенциальной энергии есть

но

так что

потому что rij=-rji, хотя rij=r} i . Итак,

Теперь внимательно посмотрим, что значит

и означает, что iпринимает по порядку

все значения i=1, 2, 3,..., и для каждого i индекс j принимает все значения, кроме i. Если, например, i = 3, то j принимает зна­чения 1, 2, 4, ....

С другой стороны, в (13.16) S означает, что каждая пара i и j встречается лишь однажды. Скажем, частицы 1 и 3 дают только один член в сумме. Чтобы отметить это, можно договориться, что i принимает значения 1, 2, 3, ..., а j для каждого i — только значения, большие чем i Если, скажем, i=3, то j равно 4, 5, 6, .... Но вспомним, что каждая пара i, j дает два слагаемых в сумме, одно с vi, а другое с vj , и что оба эти члена выглядят так же, как член в уравнении (13.14) [но только в последнем в сумму входят все значения i и j (кроме i=j)]. В уравнениях (13.16) и (13.15) член за членом совпадут по величине. Знаки их, однако, будут противоположны, так что производная по времени от суммы потенциальной и кинетической энергий действительно равна нулю. Итак, мы видим, что и в системе многих тел кинети­ческая энергия составляется из суммы энергий отдельных тел и что потенциальная энергия тоже состоит из взаимных потен­циальных энергий пар частиц. Почему она складывается из энер­гий пар? Это можно уяснить себе следующим образом: положим, мы хотим найти всю работу, которую нужно совершить, чтобы развести тела на определенные расстояния друг от друга. Мож­но это сделать не за один раз, а постепенно, доставляя их одно за другим из бесконечности, где на них никакие силы не влияли. Сперва мы приведем тело 1, на что работы не потребуется, потому что, пока нет других тел, силы отсутствуют. Доставка тела 2 потребует работы W12 =-Gm1 m2 /ri 2 . И вот теперь самый суще­ственный момент: мы доставляем тело 3 в точку 3. В любой мо­мент сила, действующая на 3, слагается из двух частей: из си­лы, действующей со стороны 1, и силы со стороны 2. Значит, и вся произведенная работа равна сумме работ каждой из сил, потому что раз F3 разбивается на сумму сил

F3= F13+F2

то работа равна

Стало быть, вся работа равна сумме работ, произведенных про­тив силы 1 и против силы 2, как если бы они действовали неза­висимо. Продолжая рассуждать таким образом, мы увидим, что полная работа, которую необходимо выполнить, чтобы собрать данную конфигурацию тел, в точности равна значению (13.14) для потенциальной энергии. Именно из-за того, что тяготение подчиняется принципу наложения сил, можно потенциальную энергию представить в виде суммы по всем парам частиц.

§ 4. Поле тяготения больших тел

Теперь рассчитаем поля, встречающиеся во многих физиче­ских задачах, когда речь идет о распределении масс. Мы пока не рассматривали распределения масс, а занимались только отдель­ными частицами. Но интересно рассчитать и поля, образуемые более чем одной частицей. Для начала найдем силу притяжения со стороны плоского пласта вещества бесконечной протяженности. Сила притяжения единичной массы в данной точке Р (фиг. 13.5), конечно, направлена к плоскости. Расстояние от точки до пло­скости есть a, а масса единицы площади этой плоскости есть m., где m=m/4pa2 — поверхностная плотность массы. (Вообще пло­щадь поверхности шарового пояса пропорциональна его вы­соте.) Поэтому потенциальная энергия притяжения массы dm есть

Но мы видим, что

Значит,

2rdr=-2Rdx,

или

Поэтому

и получается

Стало быть, для тонкого слоя потенциальная энергия массы m', внешней по отношению к слою, такова, как если бы масса слоя собралась в его центре. Землю же можно представить в виде ряда таких слоев, и притяжение каждого из слоев зависит только от его массы; сложив их, получим всю массу планеты; значит, и вся Земля действует так, словно все ее вещество находится в ее центре!

Но посмотрим, что произойдет, если точка Р окажется внутри слоя. Проделывая те же расчеты вплоть до интегрирования, мы получим разность двух значений r, но уже в другой форме: (a+R)-(а-R)=2R (двойное расстояние от Р до центра). Дру­гими словами, теперь W становится равной W=-Gmm'/a, что не зависит от R, т. е. точка Р всюду внутри сферы обладает одной и той же энергией тяготения. А значит, на нее не дей­ствует никакая сила, и не нужно никакой работы, чтобы двигать ее внутри. Когда потенциальная энергия тела всюду, в любой точке внутри сферы, одинакова, то на тело не действует никакая сила. Внутри сферы тело не испытывает действия сил, сила действует только снаружи.

*Энергия в единицах табл. 9.2 есть Ѕ(v 2 x +v 2 y )-1/r