§ 1. Описание движения

§ 2. Скорость

§ 3. Скорость как производная

§ 4. Расстояние как интеграл

§ 5. Ускорение

§ 1. Описание движения

Чтобы найти законы, управляющие различ­ными изменениями, происходящими с течением времени, нужно сначала описать эти изменения и придумать какой-то способ их записи. Начнем с самого простого изменения, которое происхо­дит с телом,— с изменения его положения в пространстве, т. е. то, что мы называем движе­нием. Рассмотрим движущийся предмет, на который нанесена маленькая отметка; ее мы будем называть точкой. Неважно, будет ли это кончик радиатора автомобиля или центр падаю­щего шара. Мы будем пытаться описать тот факт, что она движется и как это происходит.

На первый взгляд это кажется совсем просто, однако в описании изменения есть много хит­ростей. Некоторые изменения описать труд­нее, нежели движение точки на твердом пред­мете. Например, как описать движение облака, которое не только медленно перемещается, но вдобавок еще изменяет свои очертания или испаряется? Или как описать капризы женского ума? Впрочем, поскольку изменения облака хотя бы в принципе можно описать с помощью движения всех отдельных молекул его состав­ляющих, то вполне возможно, что и измене­ния мыслей обусловлены тоже какими-то пере­мещениями атомов в мозгу, хотя мы еще не знаем простого способа их описания.

По этой причине мы начнем с движения точек. Пожалуй, еще можно считать эти точки атомами, но сначала, вероятно, лучше не гнаться за точностью, а просто представлять себе точку как какой-то маленький объект, ма­ленький по сравнению с тем расстоянием, кото­рое он проходит. Например, если говорят об автомобиле, прошедшем 100 км, то какая разница, имеется ли в виду его мотор или багажник. Конечно, небольшая разни­ца есть, но обычно мы просто говорим «автомобиль», и то, что он не является абсолютной точкой, не имеет значения. Для наших целей не нужна абсолютная точность. Ради простоты забудем на время также и о том, что наш мир трехмерный, а сконцент­рируем все свое внимание на движении в одном направлении (автомобиль движется по прямой дороге). Мы еще вернемся к понятию трех измерений, когда поймем, как описывается дви­жение в одном измерении. Вы, вероятно, скажете, что это три­виально. Действительно, это так. Как описать движение в од­ном измерении, скажем движение автомобиля. Это проще простого. Приведу один из многих возможных способов. Чтобы определить положение автомобиля в различные моменты вре­мени, мы измеряем расстояние его от начальной точки и запи­сываем наши наблюдения. В табл. 8.1 буква s означает расстоя­ние автомобиля от начальной точки в метрах, a t — время в ми­нутах. Первая строка — нулевое расстояние и нулевой момент времени. Автомобиль еще не начал двигаться.

Таблица 8.1 · расписание движения автомобиля

Через минуту пос­ле начала движения он проходит уже 380 м. Через две минуты он продолжает двигаться. Заметьте, что за вторую минуту он прошел большее расстояние, чем за первую,— автомобиль уско­ряет свое движение, но между третьей и четвертой минутами что-то произошло, более того, на пятой минуте он остановился. По-видимому, у светофора, потому что дальше он опять наби­рает скорость и к концу шестой минуты проходит 4050 м, к концу седьмой — 5550, а к концу восьмой — 7050. Но в течение девятой минуты опять происшествие — автомобиль про­шел всего лишь 450 м и остановился. Водитель нарушил прави­ла движения и был остановлен полицейским.

Это один способ описать движение. Есть и другой способ — графический. Если по горизонтали откладывать время, а по вер­тикали — расстояние, то получим кривую, подобную изобра­женной на фиг. 8.1.

Фиг. 8.1. График зависимости расстояния, пройденного маши­ной, от времени.

Из рисунка видно, что с увеличением вре­мени расстояние тоже увеличивается, сначала очень медленно, а затем все быстрее и быстрее. В районе четырех минут проис­ходит замедление, а затем расстояние опять увеличивается в те­чение нескольких минут, и, наконец, на девятой минуте машина останавливается. Все эти сведения можно получить прямо из графика, не используя таблицы. Конечно, для построения на­шего графика необходимо знать, где находится автомобиль не только каждую минуту, но и каждые полминуты, а может быть, и еще точнее. Кроме того, мы предполагаем, что машина где-то находится в любой момент времени.

Так что движение автомобиля выглядит все же сложно. Да­вайте рассмотрим что-нибудь попроще, с более простым законом движения: например, падающий шар. В табл. 8.2 даны значения времени в секундах и расстояния в метрах.

Таблица 8.2 · расписание движения падающего шара

За нулевой момент выберем момент начала падения. Через 1 сек после начала паде­ния шарик пролетает 5м, через 2 сек — 20 м, через 3 сек—45м. Если отложить эти числа на графике, то получим параболиче­скую кривую зависимости расстояния от времени для падающего тела (фиг. 8.2), которая описывается формулой

s=5t2. (8.1)

Фиг. 8.2. График зависимости расстояния, пройденного падающим шаром, от времени.

Эта формула позволяет вычислить расстояние для любого момента времени. Вы скажете, что для первого графика (см.фиг. 8.1) тоже должна быть какая-то формула. Действитель­но это так. Ее можно записать в таком абстрактном виде:

s=f(t) (8.2)

Это означает, что s — величина, зависящая от t, или, как гово­рят математики, s есть функция t. Однако мы не знаем, что это за функция, точнее, мы не можем записать ее через какие-то известные нам функции.

На этих двух примерах видно, что любое движение можно описать в общей и простой форме. Казалось бы, нет ничего хит­рого! Однако хитрости все же есть, и не одна! Во-первых, что мы понимаем под пространством и временем? Это, оказывается, очень глубокие философские вопросы, которые нужно вниматель­но проанализировать, что не так-то легко. Теория относитель­ности показывает, что понятия пространства и времени не так просты, как это кажется на первый взгляд. Впрочем, сейчас для начала нам не нужна такая скрупулезность в определении этих понятий. Возможно, вы скажете: «Странно, мне всегда го­ворили, что в науке все должно определяться точно». Это не так. Мы не можем определить точно все без исключения! Если бы мы пытались это сделать, то получилось бы нечто похожее на спор двух «философов», где один говорит: «Вы сами не знаете, о чем го­ворите»; а второй отвечает: «А что такое «знать»? Что такое «го­ворить»? Что такое «вы», наконец?» Ну и так до бесконечности. Так что для пользы дела лучше сначала условиться, что мы будем говорить хотя бы приблизительно об одних и тех же вещах. Сейчас вы достаточно много знаете о времени, но помните, что здесь есть некоторые тонкости, которые мы еще обсудим в дальнейшем.

Другая хитрость (мы уже упоминали о ней) — это правиль­но ли думать, что наблюдаемая нами движущаяся точка всегда находится в каком-то определенном месте (т. е. где-то лока­лизована). Разумеется, когда мы смотрим на нее, она находится в определенном месте; но можно ли это утверждать в те момен­ты, когда мы отвернулись. И вот оказывается, что при изучении движения атомов так думать нельзя. Невозможно посадить метку на атом и наблюдать за его движением. С этой тонкостью мы вплотную столкнемся в квантовой механике. Но сначала давай­те рассмотрим те проблемы, которые возникают до введения этих усложнений, а уж после этого учтем те поправки, на кото­рые нас вынуждают новейшие сведения о природе вещей. Итак, примем наиболее простую точку зрения о пространстве и вре­мени. Мы приблизительно понимаем, что означают эти понятия, а тот, кому доводилось управлять автомобилем, знает и что та­кое скорость.

§ 2. Скорость

Хотя мы примерно представляем себе, что такое «скорость», однако здесь есть одна очень важная тонкость. Заметьте, что древние греки так и не смогли до конца разобраться в проблеме скорости. Тонкость, о которой идет речь, дает себя знать, ког­да пытаешься точно определить, что же подразумевается под понятием «скорость». Этот вопрос был камнем преткновения для древних греков, и потребовалось открытие новой области математики, помимо геометрии и алгебры, которые были извест­ны и грекам, и арабам, и вавилонянам. Попробуйте-ка с помо­щью одной лишь алгебры решить следующую задачу. Воздуш­ный шар надувается таким образом, что его объем увеличивает­ся со скоростью 100 см3 /сек. С какой скоростью увеличивается его радиус, когда объем шара достигает 1000 см3? Задачи такого рода были неразрешимы для древних греков. Кроме того, их сбивали с толку многочисленные «парадоксы». Вот один из них, придуманный Зеноном, который хорошо показывает, насколько была сложна в то время проблема скорости движения. «Пред­положим,— говорит он, — что Ахиллес бегает в десять раз быстрее черепахи. Но тем не менее он никогда не перегонит ее. Действительно, пусть в начале состязания черепаха находилась в 100 метрах впереди Ахиллеса. Тогда ко времени, когда Ахиллес пробежит эти 100 метров, черепаха окажется в 10 метрах впереди него. Пробежав и эти 10 метров, Ахиллес увидит черепаху в 1 метре впереди себя. За то время, пока он пробежит этот метр черепаха пройдет 10 сантиметров и так далее ... до бесконечности. Следовательно, в любой момент черепаха будет впереди Ахиллеса, и он никогда не сможет перегнать ее». В чем здесь ошибка? Конечный интервал времени можно разделить на бесконечное число частей точно так же, как и конечный отрезок длины, если последовательно делить его пополам. Но бесконечное число этапов до того места, где Ахиллес поравняется с черепахой, вовсе не означает бесконечное количество времени. Этот пример хорошо показывает, с какими трудностями приходилось сталкиваться в проблеме определения скорости.

Чтобы еще яснее представить себе эти трудности, вспомним старую шутку, которую вы наверняка слышали. Вы помните, что автомобиль, о котором мы говорили в начале этой лекции, был остановлен полицейским. Он подходит к машине и говорит: «Мадам (ибо за рулем была женщина), Вы нарушили правила уличного движения. Вы ехали со скоростью 90 километров в час». Женщина отвечает: «Простите, это невозможно. Как я могла делать 90 километров в час, если я еду всего лишь 7 ми­нут!» Как бы вы ответили на месте полицейского? Конечно, если вы действительно настоящий полицейский, то такими хитростя­ми вас не запутаешь. Вы бы твердо сказали: «Мадам, оправды­ваться будете перед судьей!» Но предположим, что у вас нет та­кого выхода. Вы хотите честно доказать нарушительнице ее вину и пытаетесь объяснить ей, что означает скорость 90 км/час. Как это сделать? Вы скажете: «Я имел в виду, мадам, что если бы вы продолжали ехать таким те образом, то через час Вы бы про­ехали 90 километров». «Да, но я ведь затормозила и остановила машину,— может ответить она,— так что теперь-то я уж никак не могла бы проехать 90 километров в час».

Аналогичная проблема возникает и в случае падающего шарика. Предположим, что мы хотим определить его скорость через 3 сек, если бы он двигался таким же образом. Но что озна­чает «двигался таким же образом»? Сохранял бы ускорение, двигался быстрее, что ли? Конечно, нет! Сохранял бы ту же са­мую скорость. Но ведь это как раз то, что мы пытаемся опреде­лить! Если бы шарик продолжал двигаться «таким же образом», то он падал бы так же, как падает. Так что нужно придумать что-то лучшее для определения скорости. Что же все-таки долж­но сохраняться? Нарушительница могла бы вам еще ответить и так: «Если бы я продолжала ехать, как ехала, еще час, то на­летела бы на стену в конце улицы!» В общем, как видите, поли­цейский оказался бы в очень трудном положении, пытаясь объяснить, что он имел в виду.

Многие физики думают, что единственным определением любого понятия является способ его измерения. Но тогда при объяснении вы должны прибегнуть к прибору, измеряющему скорость. «Смотрите,— скажете вы в этом случае, — ваш спи­дометр показывает 60». «Мой спидометр сломан и давно не ра­ботает»,— ответит она. Но достаточно ли этого, чтобы пове­рить, что машина не двигалась? Мы полагаем, что как-то нужно было бы определять скорость и без помощи спидометра. Только при этих условиях можно сказать, что спидометр не работает, что он сломан. Это было бы абсурдным, если бы скорость не имела смысла без спидометра. Очевидно, что понятие «скорость» не зависит от спидометра. Спидометр нужен только для того, чтобы измерять ее. Давайте посмотрим, нельзя ли придумать луч­шее определение понятия «скорость». Вы скажете: «Разумеется, мадам, если бы вы ехали таким же образом в течение часа, то налетели бы на стену, но за 1 секунду вы бы проехали 25 метров, так что вы делали 25 метров в секунду, и если бы продолжали ехать таким же образом, то в следующую секунду опять проехали бы 25 метров, а стена стоит гораздо дальше». «Но правила запрещают делать 90 километров в час, а не 25 мет­ров в секунду». «Да ведь это то же самое, что и 90 километ­ров в час»,— ответите вы. А если это то же самое, то к чему тог­да все длинные разговоры о 25 м/сек? В действительности же падающий шар не может двигаться одинаковым образом даже 1 сек, так как он постоянно ускоряется, и, следовательно, нуж­но определить скорость как-то точнее.

Но теперь мы, кажется, находимся на правильном пути, ко­торый приводит нас вот к чему. Если бы машина продолжала двигаться таким же образом следующую тысячную долю часа, то она прошла бы тысячную долю 90 км. Другими словами, нет никакой необходимости ехать целый час с той же быстротой, достаточно какого-то момента. Это означает, что за какой-то момент времени машина проходит такое же расстояние, как я идущая с постоянной скоростью 90 км/час. Наши рассуждении о 25 м/сек, возможно, и правильные; мы отмечаем, сколько ма­шина прошла в следующую секунду, и если получается расстоя­ние 25 м, то это означает, что скорость достигает 90 км/час.

Другими словами, можно определить скорость следующим об­разом. Определяем расстояние, которое было пройдено за очень малый отрезок времени, и, разделив его на этот отрезок времени, получаем скорость. Однако этот отрезок должен быть как мож­но меньше, и чем меньше, тем лучше, потому что в этот период могут произойти снова изменения. Смешно, например, для па­дающего тела в качестве такого отрезка принять час. Принять в качестве отрезка секунду, может быть, удобно для автомобиля, так как за секунду его скорость изменяется не слишком силь­но, но этот отрезок велик для падающего тела. Таким образом, чтобы вычислить скорость более точно, нужно брать все меньшие и меньшие интервалы времени. Если на миллионную долю се­кунды мы разделим расстояние, которое было пройдено в течение этого времени, то получим расстояние в секунду, т.е. как раз то, что мы понимаем под скоростью. Именно это нужно было сказать нашей нарушительнице, т. е. дать то определение; скорости, которое мы и будем использовать.

Такое определение содержит некую новую идею, которая была недоступна грекам в ее общей форме.

Она заключается в том, чтобы малые расстояния разделить на соответствующие малые отрезки времени и посмотреть, что произойдет с частным, если отрезок времени брать все меньше и меньше (иными словами, брать предел отношения пройденно­го расстояния к интервалу времени при неограниченном уменьшении последнего). Впервые эта идея была высказана незави­симо Ньютоном и Лейбницем и явилась основой новой области математики — дифференциального исчисления. Оно возникло в связи с описанием движения, и первым его приложением был ответ на вопрос: «Что означает 90 км/час?»

Попытаемся теперь точнее определить скорость. Пусть за некоторое малое время e машина или какое-то другое тело про­шли малое расстояние х; тогда скорость v определяется как

v=x/e,

причем точность будет тем больше, чем меньше e. Математики записывают это следующим образом:

(8.3)

т. е. скорость есть предел отношения х/eпри e, стремящемся к нулю. Для нашей машины-нарушительницы невозможно точно вычислить скорость, так как таблица неполная. Ее положение известно нам только через интервалы 1 мин. Приближенно, конечно, можно сказать, что в течение седьмой минуты, например, она шла со средней скоростью 90 км/час, однако о ее ско­рости в конце шестой минуты ничего сказать невозможно. Мо­жет быть, она ускорялась и скорость с 40 км/час в начале шестой минуты возросла до 90 км/час в конце ее, а может быть, она дви­галась иначе. Мы не знаем этого точно, так как у нас нет деталь­ной записи ее движения между шестой и седьмой минутами. Только когда таблица будет пополнена бесконечным числом данных, из нее можно будет действительно вычислить скорость. Если, однако, нам известна полная математическая формула, как, например, в случае падающего тела [уравнение (8.1)], то можно подсчитать скорость. Ведь по формуле можно найти положение тела в любой момент времени.

В качестве примера давайте найдем скорость падающего шара через 5 сек после начала падения. Один способ — это по­смотреть по табл. 8.2, что происходило с шариком на пятой се­кунде. В течение этой секунды он прошел 45 м, так что, каза­лось бы, он падал со скоростью 45 м/сек. Однако это неверно, поскольку скорость его все время изменялась. Конечно, в сред­нем в течение этой секунды она составляла 45 м/сек, но в дейст­вительности шар ускорялся и в конце пятой секунды падал быстрее 45 м/сек. Наша задача состоит в том, чтобы опре­делить скорость точно. Сделаем это следующим образом. Нам известно, где шарик находился через 5 сек. За 5 сек он прошел расстояние 125 м. К моменту 5,1 сек общее расстояние, которое прошел шарик, составит, согласно уравнению (8.1), 130,05 м. Таким образом, за дополнительную десятую долю секунды он проходит 5,05 м. А поскольку 5,05м за 0,1 сек то же самое, что и 50,5 м/сек, то это и будет его скорость. Однако это все еще не совсем точно. Для нас совершенно неважно, будет ли это скорость в момент 5 сек, или в момент 5,1 сек, или где-то по­средине. Наша задача вычислить скорость точно через 5 сек, а этого мы пока не сделали. Придется улучшить точность и взять теперь на тысячную долю больше 5 сек, т. е. момент 5,001 сек, Полное расстояние, пройденное за это время, составляет

s=5·5,0012 = 5·25,010001=125,050005 м.

Следовательно, в последнюю тысячную долю секунды шарик проходит 0,050005 м, и если разделить это число на 0,001 сек, то получим скорость 50,005 м/сек. Это уже очень близко, но все же еще не точно. Однако теперь уже ясно, как поступить, чтобы найти скорость точно. Удобнее решать эту задачу в несколько более общем виде. Пусть требуется найти скорость в некоторый момент времени t0 (например, 5 сек). Расстояние, которое прой­дено к моменту t0 (назовем его s0), будет 5t20(в нашем случае 125 м). Чтобы определить расстояние, мы задавали вопрос: где окажется тело спустя время t0 + (небольшой добавок), или t0+e? Новое положение тела будет 5(t0+e)2=5t20+10t0e+5e2. (Это расстояние больше того расстояния, которое шарик прошел за t0 сек, т. в. больше 5t20.)Назовем это расстояние s0+ (не­большой добавок), или s0+x. Если теперь вычесть из него рас­стояние, пройденное к моменту t0 , то получим х — то дополни­тельное расстояние, которое шарик прошел за добавочное вре­мя e, т. е. x=10t0e+5e2. Так что в первом приближении ско­рость будет равна

v=x/e=10t0+5e. (8.4)

Теперь мы уже знаем, что нужно делать, чтобы получить ско­рость точно в момент t0 : нужно брать отрезок e все меньше и меньше, т. е. устремлять его к нулю. Таким путем из уравне­ния (8.4) получим

v (в момент t0)=10t0,

В нашей задаче t0=5 сек, следовательно, скорость равна v=10·5=50 м/сек. Это и есть нужный ответ. Раньше, когда e бралось равным 0,1 и 0,001 сек, получалась несколько большая величина, чем 50 м/сек, но теперь мы видим, что в действитель­ности она в точности равна 50 м/сек.

§ 3. Скорость как производная

Процедура, которую мы только что выполнили, настолько часто встречается в математике, что для величин e и x: было придумано специальное обозначение: e обозначается как Dt, а х — как Ds. Величина Dt означает «небольшой добавок к t», причем подразумевается, что этот добавок можно делать мень­ше. Значок D ни в коем случае не означает умножение на какую-то величину, точно так же как sinq не означает s·i·n·q. Это просто некоторый добавок ко времени, причем значок D напоми­нает нам о его особом характере. Ну, а если D не множитель, то его нельзя сократить в отношении Ds/Dt. Это все равно, что в выражении sinq/sin2q сократить все буквы и получить 1/2. В этих новых обозначениях скорость равна пределу отношения Ds/Dt при Dt, стремящемся к нулю, т. е.

(8.5)

Это по существу формула (8.3), но теперь яснее видно, что здесь все изменяется, а, кроме того, она напоминает, какие именно ве­личины изменяются.

Существует еще один закон, который выполняется с хоро­шей точностью. Он гласит: изменение расстояния равно скоро­сти, умноженной на интервал времени, за которое это изменение произошло, т. е. Ds=vDt. Это правило строго справедливо толь­ко тогда, когда скорость не изменяется в течение интервала Dt, а это, вообще говоря, происходит, только когда Dt доста­точно мало. В таких случаях обычно пишут ds=vdt, где под dt подразумевают интервал времени Dt при условии, что он сколь угодно мал. Если интервал Dt достаточно велик, то скорость за это время может измениться и выражение Ds = vDt будет уже приближенным. Однако если мы пишем dt, то при этом подра­зумевается, что интервал времени неограниченно мал и в этом смысле выражение ds=vdt точное. В новых обозначениях вы­ражение (8.5) имеет вид

Величина ds/dt называется «производной s no t» (такое название напоминает о том, что изменяется), а сложный про­цесс нахождения производной называется, кроме того, диффе­ренцированием. Если же ds и dt появляются отдельно, а не в виде отношения ds/dt, то они носят названия дифференциалов. Чтобы получше познакомить вас с новой терминологией, скажу еще, что в предыдущем параграфе мы нашли производную от функции 5t2 , или просто производную от 5t2 . Она оказалась равной 10t. Когда вы больше привыкнете к новым словам, вам станет более понятна сама мысль. Для тренировки давайте най­дем производную более сложной функции. Рассмотрим выра­жение s=At3 +Bt+C, которое может описывать движение точ­ки. Буквы А, В, С, так же как и в обычном квадратном уравне­нии, обозначают постоянные числа. Нам нужно найти скорость движения, описываемого этой формулой в любой момент времени t. Рассмотрим для этого момент t+Dt, причем к s прибавится некоторая добавка Ds, и найдем, как выражается Ds через Dt. Поскольку

s+Ds=A(t+Dt)2+В (t+Dt)+С =At3+Bt+С+ЗAt2Dt+ВDt+3At (Dt)2+A(Dt)3

а

s=At3 +Bt+C,

то Ds=3At2Dt+BDt+3At(Dt)2+A(Dt)3.

Но нам нужна не сама величина Ds, а отношение Ds/Dt. После деления на Dt получим выражение

Ds/Dt= 3Ats +В+3At(Dt)+A(Dt)3, которое после устремления Dt к нулю превратится в

Ds/Dt=3'At2+B.

В этом состоит процесс взятия производной, или дифференциро­вания функций. На самом деле он несколько легче, чем это ка­жется на первый взгляд. Заметьте, что если в разложениях, по­добных предыдущим, встречаются члены, пропорциональные (Dt)2 или (Dt)3 или еще более высоким степеням, то их можно сразу вычеркнуть, поскольку они все равно обратятся в нуль, когда в конце мы будем Dt устремлять к нулю. После небольшой тренировки вы сразу будете видеть, что нужно оставлять, а что сразу отбрасывать. Существует много правил и формул для дифференцирования различных видов функций. Их можно либо запомнить, либо пользоваться специальными таблицами. Небольшой список таких правил приводится в табл. 8,3.

Таблица 8.3 · некоторые производные

s, u, v, w — произвольные функции;

а, b, с, n — произвольные постоянные.

§ 4. Расстояние как интеграл

Обсудим теперь обратную проблему. Пусть вместо таблицы расстояний нам дана таблица скоростей в различные моменты времени, начиная с нуля. В табл. 8.4 представлена зависимость скорости падающего шара от времени. Аналогичную таблицу можно составить и для машины, если записывать показания спидометра через каждую минуту или полминуты. Но можно ли, зная скорость машины в любой момент времени, вычислить расстояние, которое ею было пройдено?

Таблица 8.4 · скорость падающего шара

Эта задача обратна той, которую мы только что рассмотрели. Как же решить ее, если скорость машины непостоянна, если она то ускоряется до 90 км/час, то замедляется, затем где-то останавливается у свето­фора и т.д.? Сделать это нетрудно. Нужно использовать ту же идею и выражать полное расстояние через бесконечно малые его части. Пусть в первую секунду скорость будет v1 , тогда по формуле Ds= v1Dtможно вычислить расстояние, пройденное за эту секунду. В следующую секунду скорость будет несколько другой, хотя, может быть, и близкой к первоначальной, а расстояние, пройденное машиной за вторую секунду, будет равно новой скорости, умноженной на интервал времени (1 сек). Этот процесс можно продолжить дальше, до самого конца пути. В ре­зультате мы получим много маленьких отрезков, которые в сум­ме дадут весь путь. Таким образом, путь является суммой ско­ростей, умноженных на отдельные интервалы времени, или s = SvDt,где греческая буква S (сигма) означает сумми­рование. Точнее, это будет сумма скоростей в некоторые мо­менты времени, скажем ti , умноженные на Dt:

(8.6)

причем каждый последующий момент ti +1 находится по пра­вилу ti+1=ti+Dt. Но расстояние, полученное этим методом, не будет точным, поскольку скорость за время Dtвсе же изменяет­ся. Выход из этого положения заключается в том, чтобы брать все меньшие и меньшие интервалы Dt, т. е. разбивать время дви­жения на все большее число все меньших отрезков. В конце концов мы придем к следующему, теперь уже точному выра­жению для пройденного пути:

(8.7)

Математики придумали для этого предела, как и для диф­ференциала, специальный символ. Значок D превращается в d, напоминая о том, что интервал времени сколь угодно мал, а знак суммирования превращается в ∫ — искаженное большое S, первая буква латинского слова «Summa». Этот значок назван интегралом. Таким образом, мы пишем

s=∫v(t)dt, (8.8)

где v(t) — скорость в момент t. Сама же операция суммирования этих членов называется интегрированием. Она противополож­на операции дифференцирования в том смысле, что производная этого интеграла равна v(t), так что один оператор (d/dt) «уничто­жает» другой (∫). Это дает возможность получать фор­мулы для интегралов путем обращения формул для дифферен­циалов: интеграл от функции, стоящей в правой колонке табл.8.3, будет равен функции, стоящей в левой колонке. Диф­ференцируя все виды функций, вы сами можете составить таблицу интегралов.

Любая функция, заданная в аналитическом виде, т. е. вы­ражающаяся через комбинацию известных нам функций, диф­ференцируется очень просто — вся операция выполняется чис­то алгебраически, и в результате мы всегда получаем какую-то известную функцию. Однако интеграл не от всякой функции можно записать в аналитическом виде. Разумеется, для каж­дого частного интеграла всегда сначала пытаются найти такую функцию, которая, будучи продифференцирована, давала бы функцию, стоящую после знака интеграла (она называется подынтегральной). Однако это не всегда удается сделать. В та­ких случаях интеграл вычисляют просто суммированием, т. е. вычисляют суммы типа (8.6) со все меньшими и меньшими ин­тервалами, пока не получат результат с достаточной точностью.

§ 5. Ускорение

Следующий шаг на пути к уравнениям движения — это вве­дение величины, которая связана с изменением скорости дви­жения. Естественно спросить: а как изменяется скорость дви­жения? В предыдущих главах мы рассматривали случай, когда действующая сила приводила к изменению скорости. Бывают легковые машины, которые набирают с места за 10 сек скорость 90 км/час. Зная это, мы можем определить, как изменяется скорость, но только в среднем. Займемся следующим более сложным вопросом: как узнать быстроту изменения скорости. Другими словами, на сколько метров в секунду изменяется скорость за 1 сек. Мы уже установили, что скорость падающего тела изменяется со временем по формуле v=9,8t (см. табл. 8.4), а теперь хотим выяснить, насколько она изменяется за 1 сек. Эта величина называется ускорением.

Таким образом, ускорение определяется как быстрота изме­нения скорости. Всем сказанным ранее мы уже достаточно под­готовлены к тому, чтобы сразу записать ускорение в виде производной от скорости, точно так же как скорость записы­вается в виде производной от расстояния. Если теперь продиф­ференцировать формулу v=9,8 t, то получим ускорение падаю­щего тела

a=dv/dt=9,8. (8.9)

(При дифференцировании этого выражения использовался ре­зультат, полученный нами раньше. Мы видели, что производная от Bt равна просто В (постоянной). Если же выбрать эту по­стоянную равной 9,8, то сразу находим, что производная от 9,8 t равна 9,8.) Это означает, что скорость падающего тела по­стоянно возрастает на 9,8 м/сек за каждую секунду. Этот же результат можно получить и из табл. 8.4. Как видите, в случае падающего тела все получается довольно просто, но ускорение, вообще говоря, непостоянно. Оно получилось постоянным толь­ко потому, что постоянна сила, действующая на падающее тело, а по закону Ньютона ускорение должно быть пропорциональ­но силе.

В качестве следующего примера найдем ускорение в той задаче, с которой мы уже имели дело при изучении скорости:

s=At3 +Bt+C.

Для скорости v—ds/dt мы получили формулу

v=3At2 +B.

Так как ускорение — это производная скорости по времени, то для того, чтобы найти его значение, нужно продифференци­ровать эту формулу. Вспомним теперь одно из правил табл. 8.3, а именно что производная суммы равна сумме производных. Чтобы продифференцировать первый из этих членов, мы не будем проделывать всю длинную процедуру, которую делали раньше, а просто напомним, что такой квадратичный член встречался нам при дифференцировании функции 5t2, причем в результате коэффициент удваивался, a t2 превращалось в t. Вы можете сами убедиться в том, что то же самое произойдет и сейчас. Таким образом, производная от ЗAt2 будет равна 6Аt. Перейдем теперь к дифференцированию второго слагаемого. По одному из правил табл. 8.3 производная от постоянной бу­дет нулем, следовательно, этот член не даст в ускорение ника­кого вклада. Окончательный результат: a=dv/dt=6At.

Выведем еще две полезные формулы, которые получаются интегрированием. Если тело из состояния покоя движется с постоянным ускорением g, то его скорость v в любой момент времени t будет равна

v=gt,

а расстояние, пройденное им к этому моменту времени,

s=1 /2 gt2 .

Заметим еще, что поскольку скорость — это ds/dt, а ускоре­ние — производная скорости по времени, то можно написать

Так что теперь мы знаем, как записывается вторая произ­водная.

Существует, конечно, и обратная связь между ускорением и расстоянием, которая просто следует из того, что a=dv/dt. Поскольку расстояние является интегралом от скорости, то оно может быть найдено двойным интегрированием ускорения.

Все предыдущее рассмотрение было посвящено движению в одном измерении, а теперь мы коротко остановимся на движе­нии в пространстве трех измерений. Рассмотрим движение частицы Р в трехмерном пространстве. Эта глава началась с об­суждения одномерного движения легковой машины, а именно с вопроса, на каком расстоянии от начала движения находится машина в различные моменты времени. Затем мы обсуждали связь между скоростью и изменением расстояния со временем и связь между ускорением и изменением скорости. Давайте в той же последовательности разберем движение в трех измерениях. Проще, однако, начать с более наглядного двумерного случая, а уж потом обобщить его на случай трех измерений. Нарисуем две пересекающиеся под прямым углом линии (оси координат) и будем задавать положение частицы в любой момент времени расстояниями от нее до каждой из осей. Таким образом, положе­ние частицы задается двумя числами (координатами) х и у, каж­дое из которых является соответственно расстоянием до оси у и до оси х (фиг. 8.3). Теперь мы можем описать движение, составляя, например, таблицу, в которой эти две коорди­наты заданы как функции времени. (Обобщение на трех­мерный случай требует введения еще одной оси, перпендикулярной двум первым, и измерения еще одной координаты г. Однако теперь расстояния берутся не до осей, а до координат­ных плоскостей.) Как определить скорость частицы? Для этого мы сначала найдем составляющие скорости по каждому направ­лению, или ее компоненты. Горизонтальная составляющая ско­рости, или x-компонента, будет равна производной по времени от координаты х, т. е.

vx=dx/dt (8.11)

а вертикальная составляющая, или y-компонента, равна

vy=dy/dt (8.12)

В случае трех измерений необходимо еще добавить

vz=dz/dt. (8.13)

Как, зная компоненты скорости, определить полную ско­рость в направлении движения? Рассмотрим в двумерном случае два последовательных положения частицы, разделенных корот­ким интервалом времени Dt = t2-t1и расстоянием Ds. Из фиг. 8.3 видно, что

(Значок » соответствует выражению «приблизительно равно».)

Фиг. 8.3. Описание движения тела на плоскости и вычисление его скорости.

Средняя скорость в течение интервала Dt получается простым делением: Ds/Dt. Чтобы найти точную скорость в момент t, нужно, как это уже делалось в начале главы, устремить Dt к нулю. В результате оказывается, что

В трехмерном случае точно таким же способом можно полу­чить

Ускорения мы определяем таким же образом, как и скорости: x-компонента ускорения ах определяется как производная от x-компоненты скорости vx (т. е. ax =d2 x/dt2 — вторая производ­ная по времени) и т. д.

Давайте рассмотрим еще один интересный пример смешан­ного движения на плоскости. Пусть шарик движется в горизон­тальном направлении с постоянной скоростью u и в то же время падает вертикально вниз с постоянным ускорением g. Что это за движение? Так как vx =dxldt=u и, следовательно, скорость vx постоянна, то

x=ut, (8.17)

а поскольку ускорение движения вниз постоянно и равно -g, то координата у падающего шара дается формулой

y= -1 /2 gt2 . (8.18)

Какую же кривую описывает наш шарик, т. е. какая связь между координатами x и y? Из уравнения (8.18), согласно (8.17), можно исключить время, поскольку t=x/u, после чего находим

y=-(g/2u2)x2 (8.19)

Эту связь между координатами х и у можно рассматривать как уравнение траектории движения шарика. Если изобразить ее графически, то получим кривую, которая называется параболой (фиг. 8.4).

Фиг. 8.4. Парабола, которую описывает падающее тело, бро­шенное с горизонтальной началь­ной скоростью.

Так что любое свободно падающее тело, будучи бро­шенным в некотором направлении, движется по параболе.