§ 1. Принцип относительности

§ 2. Преобразование Лоренца

§ 3. Опыт Майкельсона — Морли

§ 4. Преобразование времени

§ 5. Лоренцево сокращение

§ 6. Одновремен­ность

§ 7. Четырехвекторы

§ 8. Релятивистская динамика

§ 9. Связь массы и энергии

§ 1. Принцип относительности

Свыше двухсот лет считалось, что урав­нения движения, провозглашенные Ньютоном, правильно описывают природу. Потом в них была обнаружена ошибка. Обнаружена и тут же исправлена. И заметил ошибку, и исправил ее в 1905 г. один и тот же человек — Эйн­штейн.

Второй закон Ньютона, выражаемый урав­нением

безмолвно предполагал, что m — величина постоянная. Но теперь мы знаем, что это не так, что масса тела возрастает со скоростью. В формуле, исправленной Эйнштейном, mпоявилась в таком виде:

Здесь «масса покоя» m0— это масса неподвиж­ного тела, а c — скорость света (примерно 3·105 км/сек).

Для кого теория нужна лишь для реше­ния задач, тому этой формулы будет вполне достаточно. Больше ничего от теории относи­тельности ему не понадобится; он просто вве­дет в законы Ньютона поправку на изменяе­мость массы. Из самой формулы очевидно, что рост массы в обычных условиях незначителен.

Даже если v — скорость спутника (около 8 км/сек), то и при этих условиях v/c =3/105; под­становка этой величины в формулу показывает, что поправка к массе составит не более одной двухмиллиардной части самой массы, что, пожалуй, заметить невозможно. На самом деле, правильность формулы подтверждена наблюдением движения разнообразных частиц, скорость которых практически вплотную подходила к скорости света. В обычных условиях рост массы незаметен; тем заме­чательней, что он сперва был обнаружен теоретически, а уж после открыт на опыте. Хотя для достаточно больших скоростей рост может быть как угодно велик, открыт он был не таким путем. Закон этот в момент своего открытия означал лишь едва заметное изменение в некоторых цифрах. Тем интереснее разоб­раться, как сочетание физического размышления и физиче­ского эксперимента вызвало его к жизни. Вклад в это дело внесло немалое число людей, но конечным итогом их деятель­ности явилось открытие Эйнштейна.

У Эйнштейна, собственно говоря, есть две теории относи­тельности. Мы будем здесь говорить только о специальной теории относительности, ведущей свое начало с 1905 г. В 1915 г. Эйнштейн выдвинул еще одну теорию, называемую общей теорией относительности. Она обобщает специальную теорию на случай тяготения; мы не будем ее здесь обсуждать.

Принцип относительности впервые высказал Ньютон в одном из следствий из Законов Движения: «Относительные движения друг по отношению к другу тел, заключенных в каком-либо пространстве, одинаковы, покоится ли это про­странство или движется равномерно и прямолинейно без вра­щения». Это означает, к примеру, что при свободном полете межпланетного корабля с постоянной скоростью все опыты, поставленные на этом корабле, все явления, наблюдаемые на нем, будут таковы, как будто он покоится (конечно, при ус­ловии, что наружу из корабля выходить не будут). В этом смысл принципа относительности. Мысль эта — довольно про­ста; вопрос только в том, верно ли, что во всех опытах, произ­водимых внутри движущейся системы, законы физики выглядят такими же, какими они были бы, если бы система стояла на одном месте. Давайте же сначала посмотрим, так ли выглядят законы Ньютона в движущейся системе. Для этого нам снова понадобится помощь наших молодых людей — Мика и Джо.

Пускай Мик отправился вдоль по оси х с постоянной ско­ростью u и измеряет свое положение в какой-то точке, показан­ной на фиг. 15.1. Он обозначает «x-расстояние» точки в своей системе координат как х'. Джо стоит на месте и измеряет по­ложение той же точки, обозначая ее x-координату в своей системе через х. Связь между координатами в двух системах ясна из рисунка. За время t начало системы Мика сдвинулось на ut, и если обе системы вначале совпадали, то

x'=x-ut, у'=у,

z'=z, t' =t. (15.2)

Если подставить эти преобразования координат в законы Нью­тона, то законы эти превращаются в такие же законы, но в штрихованной системе; это значит, что законы Ньютона имеют одинаковый вид в движущейся и в неподвижной системах; потому-то, проделав любые опыты по механике, и нельзя ска­зать, движется система или нет.

Принцип относительности применялся в механике уже издавна. Многие, в частности Гюйгенс, пользовались им для вывода законов столкновения биллиардных шаров почти так же, как мы в гл. 10 доказывали сохранение импульса.

В прошлом столетии в результате исследования явлений электричества, магнетизма и света интерес к принципу отно­сительности возрос. Максвелл подытожил в своих уравнениях электромагнитного поля многие тщательные исследования этих явлений. Его уравнения сводят воедино электричество, магнетизм, свет. Однако уравнения Максвелла, по-видимому, не подчиняются принципу относительности: если преобразо­вать их подстановкой (15.2), то их вид не останется прежним. Значит, в движущемся межпланетном корабле оптические и электрические явления не такие, как в неподвижном; их можно использовать для определения его скорости, в частности опре­делить и абсолютную скорость корабля, сделав подходящие электрические или оптические измерения. Одно из следствий уравнений Максвелла заключается в том, что если возмущение поля порождает свет, то эти электромагнитные волны распро­страняются во все стороны одинаково и с одинаковой ско­ростью с=300 000 км/сек. Другое следствие уравнений: если источник возмущения движется, то испускаемый свет все равно мчится сквозь пространство со скоростью с. Так же бывает и со звуком: скорость звуковых волн тоже не зависит от движения источника.

Эта независимость от движения источника света ставит интересный вопрос. Положим, что мы едем в автомашине со скоростью и, а свет от задних фар распространяется со ско­ростью с. Дифференцируя первую строчку в (15.2), получаем

Фиг. 15.1. Две системы коорди­нат, находящиеся в равномерном относительном движении вдоль оси х.

Это означает, что, в согласии с преобразованиями Галилея, видимая скорость света по измерениям, проведенным из авто­машины, будет не с, а с — и. Например, скорость автомашины 100 000 км/сек, а скорость света 300 000 км/сек, тогда свет от фар будет удаляться с быстротой 200 000 км/сек. Во всяком случае, измерив скорость света, испускаемого фарами (если только справедливы преобразования Галилея для света), можно узнать скорость автомашины. На этой идее основыва­лось множество опытов по определению скорости Земли, но ни один из них не удался: никакой скорости обнаружено не было. Вы скоро познакомитесь очень подробно с одним из таких опытов. Вы разберетесь, что в нем случилось и в чем было дело. Что-то неладное творилось в ту пору с уравнениями физики. Но что именно?

§ 2. Преобразование Лоренца

Когда стало ясно, что с уравнениями физики не все ладится, первым долгом подозрение пало на уравнения электродинамики Максвелла. Они только-только были написаны, им было всего 20 лет от роду; казалось почти естественным, что они неверны. Их принялись переписывать, видоизменять и подгонять к тому, чтобы оказался выполненным принцип относительности в галилеевой форме (15.2). При этом в уравнениях электро­динамики появились новые члены; они предсказывали новые электрические явления, но эксперимент никаких таких явлений не обнаружил, и пришлось отказаться от попыток изменить уравнения Максвелла. Постепенно всем становилось ясно, что максвелловы законы электродинамики абсолютно правильны, а загвоздка в чем-то другом.

Между тем Лоренц заметил одно замечательно любопыт­ное явление: когда он делал в уравнениях Максвелла под­становку

то форма уравнений после подстановки не менялась! Урав­нения (15.3) теперь называют преобразованием Лоренца. А Эйн­штейн, следуя мысли, впервые высказанной Пуанкаре, пред­положил, что все физические законы не должны меняться от преобразований Лоренца. Иными словами, надо менять не законы электродинамики, а законы механики. Но как же изменять законы Ньютона, чтобы они при преобразованиях Лоренца не менялись? Когда такая цель поставлена, то остается только переписать уравнения Ньютона так, чтобы выполнялись поставленные условия. Как оказалось, единственное, что нужно от них потребовать,— это, чтоб масса m в уравнениях Ньютона приобрела вид (15.1). Стоит внести это изменение, и наступает полная гармония между уравнениями Ньютона и Максвелла. Если вы теперь, желая согласовать измерения, проведенные Миком и Джо, используете преобразования Лоренца, то вы ни за что не узнаете, кто из них движется, ибо форма всех урав­нений в обеих системах координат будет одной и той же!

Интересно понять, что означает эта замена старых преобра­зований координат и времени на новые. Старые (галилеевы) кажутся очевидными, новые (лоренцевы) выглядят необычно. Как же это может быть, с логической и с экспериментальной точек зрения, что справедливы не старые преобразования, а новые? Чтобы разобраться в этом, мало изучить законы меха­ники, надо (как это и сделал Эйнштейн) проанализировать и наши представления о пространстве и времени, иначе этих преобразований не поймешь. В течение некоторого времени мы будем изучать эти представления и следствия из них. По­камест же стоит отметить, что такой анализ оказывается вполне оправданным — его результаты согласуются с данными опыта.

§ 3. Опыт Майкелъсона— Морли

Мы уже говорили, что в свое время были сделаны попытки определить абсолютную скорость движения Земли сквозь воображаемый «эфир», который, как думали тогда, пропиты­вает собой все пространство. Самый известный из таких опытов проделали в 1887 г. Майкельсон и Морли. Но только через 18 лет отрицательные результаты их опыта объяснил Эйнштейн.

Фиг. 15.2. Схема опыта Майкельсона — Морли.

Для опыта Майкельсона — Морли использовался прибор, схема которого показана на фиг. 15.2. Главные части при­бора: источник света А, посеребренная полупрозрачная стек­лянная пластинка В, два зеркала С и Е. Все это жестко укреп­ляется на тяжелой плите. Зеркала С и Е размещены были на одинаковом расстоянии L от пластинки В. Пластинка В рас­щепляет падающий пучок света на два, перпендикулярных один к другому; они направляются на зеркала и отражаются обратно на пластинку В. Пройдя снова сквозь пластинку В, оба пучка накладываются друг на друга (D и F). Если время прохождения света от В до Е и обратно равно времени про­хождения от В до С и обратно, то возникающие пучки D и F окажутся в фазе и усилятся взаимно; если же эти времена хоть немного отличаются, то в пучках возникает сдвиг по фазе и, как следствие,— интерференция. Если прибор в эфире «покоится», то времена в точности равны, а если он движется направо со скоростью и, то появится разница во времени. Давайте по­смотрим, почему.

Сначала подсчитаем время прохождения света от В к Е и обратно. Пусть время «туда» равно t1? а время «обратно» равно t2 . Но пока свет движется от В до зеркала, сам прибор уйдет на расстояние ut1,так что свету придется пройти путь L+-ut1 со скоростью с. Этот путь можно поэтому обозначить и как ct1 ; следовательно,

(этот результат становится очевидным, если учесть, что ско­рость света по отношению к прибору есть с — и; тогда как раз время равно длине L, деленной на с — и). Точно так же можно рассчитать и t2 . За это время пластинка В приблизится на расстояние ut2 , так что свету на обратном пути придется пройти только L-utz . Тогда

Общее же время равно

удобнее это записать в виде

А теперь подсчитаем, сколько времени t3 свет будет идти от пластинки В до зеркала С. Как и прежде, за время t3 зеркало С сдвинется направо на расстояние ut3 (до положения С'), а свет пройдет по гипотенузе ВС' расстояние ct3 . Из

прямоугольного треугольника следует

или

откуда

При обратной прогулке от точки С' свету приходится пройти то же расстояние; это видно из симметрии рисунка. Значит, и время возвращения то же (t3 ), а общее время равно 2t3 . Мы запишем его в виде

Теперь мы можем сравнить оба времени. Числители в (15.4) и (15.5) одинаковы — это время распространения света в по­коящемся приборе. В знаменателях член u2 /с2 мал, если только и много меньше c. Знаменатели эти показывают, насколько изме­няется время из-за движения прибора. Заметьте, что эти из­менения неодинаковы — время прохождения света до С и обратно чуть меньше времени прохождения до Е и обратно. Они не совпадают, даже если расстояния от зеркал до В оди­наковы. Остается только точно измерить эту разницу.

Здесь возникает одна техническая тонкость: а что если длины L не точно равны между собой? Ведь точного равенства все равно никогда не добьешься. В этом случае надо просто повернуть прибор на 90°, расположив ВС по движению, a BE — поперек. Различие в длинах тогда перестает играть роль, и остается только наблюдать за сдвигом интерференционных полос при повороте прибора.

Во время опыта Майкельсон и Морли расположили прибор так, что отрезок BE оказался параллельным движению Земли по орбите (в определенный час дня и ночи). Орбитальная ско­рость равна примерно 30 км/сек, и «снос эфира» в определенные часы дня или ночи и в определенное время года должен до­стигать этой величины. Прибор был достаточно чувствителен, чтобы заметить такое явление. Но никакого различия во вре­менах обнаружено не было — скорость движения Земли сквозь эфир оказалось невозможно обнаружить. Результат опыта был нулевой.

Это было загадочно. Это настораживало. Первую плодо­творную идею, как выйти из тупика, выдвинул Лоренц. Он допустил, что все материальные тела при движении сжимаются, но только в направлении движения. Таким образом, если длина покоящегося тела есть L0 , то длина тела, движущегося

со скоростью и (назовем ее L\\, где значок \\ показывает, что движение происходит вдоль длины тела), дается формулой

Lll=L0Ц(1-u2/c2). (15.6)

Если эту формулу применить к интерферометру Майкельсона — Морли, то расстояние от В до С останется прежним, а расстояние от В до E укоротится до LЦ(1-u2/с2). Таким об­разом, уравнение (15.5) не изменится, но L в уравнении (15.4) изменится в соответствии с (15.6). В результате мы получим

Сравнивая это с (15.5), мы видим, что теперь t1 +t2 =2t3 . Стало быть, если прибор действительно сокращается так, как мы предположили, то становится понятным, почему опыт Майкельсона — Морли никакого эффекта не дал.

Хотя гипотеза сокращения успешно объясняла отрица­тельный итог опыта, она сама оказалась беззащитной перед обвинением, что ее единственная цель — избавиться от труд­ностей в объяснении опыта. Она была чересчур искусственной. Однако сходные трудности возникали и в других опытах по обнаружению эфирного ветра. В конце концов стало казаться, что природа вступила в «заговор» против человека, что она прибегла к конспирации и то и дело вводит какие-то новые явления, чтобы свести к нулю каждое явление, с помощью которого человек пытается измерить и.

И наконец, было признано (на это указал Пуанкаре), что полная конспирация — это и есть закон природы! Пуанкаре предположил, что в природе есть закон, заключающийся в том, что нельзя обнаружить эфирный ветер никаким способом, т. е. абсолютную скорость обнаружить невозможно.

§ 4. Преобразование времени

При проверке, согласуется ли идея о сокращении расстоя­ний с фактами, обнаруженными в других опытах, оказывается, что все действительно согласуется, если только считать, что время тоже преобразуется и притом так, как это высказано в уравнении (15.3). По этой-то причине время t3, которое затратит свет на путешествие от В к С и обратно, оказывается неодина­ковым, если его вычисляет человек, делающий этот опыт в движущемся межпланетном корабле, или же неподвижный наблюдатель, который следит со стороны за этим кораблем. Для первого время t3 равно просто 2L/c, а для второго оно равно 2L/cЦ(1-u2/с2) [уравнение (15.5)]. Иными словами, если вы со стороны наблюдаете, как космонавт закуривает папиросу, вам кажется, что он делает это медленнее, нежели обычно, хотя сам он считает, что все происходит в нормальном темпе. Стало быть, не только длины должны сокращаться, но и приборы для измерения времени («часы») должны замедлить свой ход. Иначе говоря, когда часы на космическом корабле отсчи­тывают, по мнению космонавта, 1 сек, то, по мнению стороннего

! наблюдателя, пройдет 1/Ц(1-u2/с2) сек.

Замедление хода часов в движущейся системе — явление весьма своеобразное, и его стоит пояснить. Чтобы понять его, давайте проследим, что бывает с часовым механизмом, когда часы движутся. Так как это довольно сложно, то лучше часы выбрать попроще. Пусть это будет стержень (метровой длины) с зеркалами на обоих концах. Если пустить световой сигнал между зеркалами, то он будет без конца бегать туда-сюда, а часы будут тикать каждый раз, как только свет достигнет нижнего конца. Конструкция довольно глупая, но в принципе такие часы возможны. И вот мы изготовим двое таких часов со стержнями равной длины и синхронизуем их ход, пустив их одновременно; ясно, что они всегда будут идти одинаково: ведь длина стержней одна и та же, а скорость света с — тоже. Дадим одни часы космонавту; пусть он возьмет их с собой на межпланетный корабль и поставит их поперек направления движения, тогда длина стержня не изменится. Да, но откуда ' мы знаем, что поперечная длина не меняется? Наблюдатель может договориться с космонавтом, что на высоте у в тот мо­мент, когда стержни поравняются, каждый сделает другому на его стержне метку. Из симметрии следует, что отметки придутся на те же самые координаты у и y', в противном случае одна метка окажется ниже или выше другой и, сравнив их,

можно будет сказать, кто из них двигался на самом деле. Так что же происходит в движущихся часах? Входя на борт корабля, космонавт убедился, что это вполне приличные стан­дартные часы и ничего особенного в их поведении на корабле он не заметил. Если бы он что-то заметил, то сразу понял бы, что он движется; если хоть что-то меняется в результате движения, то ясно, что он движется. Принцип же относи­тельности утверждает, что в равномерно движущейся системе это невозможно; стало быть, в часах никаких изменений не произошло. С другой стороны, когда внешний наблюда­тель взглянет на пролетающие мимо часы, он увидит, что свет, перебегая от зеркала к зеркалу, на самом деле движется зигзагами, потому что стержень все время перемещается боком. Мы уже анализировали такое зигзагообразное дви­жение в связи с опытом Майкельсона — Морли. Когда за заданное время стержень сдвинется на расстояние, пропорциональное u(фиг. 15.3), то расстояние, пройденное за то же время светом, будет пропорционально с, и поэтому расстоя­ние по вертикали пропорционально Ц(с2 -и2 ).

Фиг. 15.3. Опыт со «световыми часами».

а, — «световые часы» покоятся в си­стеме S '; б—те же часы движутся через систему S; в — диагональ, по которой движется пучок света в движущихся «световых часах».

Значит, свету понадобится больше времени, чтобы пройти движущийся стержень из конца в конец,— больше, чем когда стержень неподвижен. Поэтому кажущийся промежуток вре­мени между тиканьями движущихся часов удлинится в той же пропорции, во сколько гипотенуза треугольника длиннее катета (из-за этого в формуле и появляется корень). Из рисунка также видно, что чем и больше, тем сильнее видимое замедление хода часов. И не только такие часы начнут отставать, но (если только теория относительности правильна!) любые часы, ос­нованные на любом принципе, также должны отстать, причем в том же отношении. За это можно поручиться, не проделывая дальнейшего анализа. Почему?

Чтобы ответить и на этот вопрос, положим, что у нас есть еще двое часов, целиком сходных между собой, скажем, с зубчатками и камнями, или основанных на радиоактивном распаде, или еще каких-нибудь. Опять согласуем их ход с нашими первыми часами. Пусть, пока свет прогуляется до конца и обратно, известив о своем прибытии тиканьем, за это время новая модель завершит свой цикл и тоже воз­вестит об этом какой-нибудь вспышкой, звонком или любым иным сигналом. Захватим с собой на космический корабль новую модель часов. Может быть, эти часы уже не отстанут, а будут идти так же, как их неподвижный двойник. Ах, нет! Если они разойдутся с первой моделью (которая тоже нахо­дится на корабле), то человек сможет использовать этот раз­нобой между показаниями обоих часов, чтобы определить скорость корабля. А ведь считается, что скорость узнать не­мыслимо. Смотрите, как ловко! Нам не нужно ничего знать о механизме работы новых часов, не нужно знать, что именно в них замедляется, мы просто знаем, что, какова бы ни была причина, ход часов будет выглядеть замедленным, и притом в любых часах одинаково.

Что же выходит? Если все движущиеся часы замедляют свой ход, если любой способ измерения времени приводит к замедленному темпу течения времени, нам остается только сказать, что само время, в определенном смысле, кажется на движущемся корабле замедленным. На корабле все: и пульс космонавта, и быстрота его соображения, и время, потребное для зажигания папиросы, и период возмужания и постарения — все это должно замедлиться в одинаковой степени, ибо иначе можно будет узнать, что корабль движется. Биологи и медики иногда говорят, что у них нет уверенности в том, что раковая опухоль будет в космическом корабле развиваться дольше.

Однако с точки зрения современного физика это случится почти наверняка; в противном случае можно было бы по бы­строте развития опухоли судить о скорости корабля!

Очень интересным примером замедления времени при дви­жении снабжают нас мю-мезоны (мюоны) — частицы, которые в среднем через 2,2·10-6 сек самопроизвольно распадаются. Они приходят на Землю с космическими лучами, но могут быть созданы и искусственно в лаборатории. Часть космических мюонов распадается еще на большой высоте, а остальные — только после того, как остановятся в веществе. Ясно, что при таком кратком времени жизни мюон не может пройти больше 600 м, даже если он будет двигаться со скоростью света. Но хотя мюоны возникают на верхних границах атмосферы, при­мерно на высоте 10 км и выше, их все-таки обнаруживают в земных лабораториях среди космических лучей. Как это может быть? Ответ состоит в том, что разные мюоны летят с различными скоростями, иногда довольно близкими к скорости света. С их собственной точки зрения они живут всего лишь око­ло 2 мксек, с нашей же — их жизненный путь несравненно более долог, достаточно долог, чтобы достигнуть поверхности Земли. Их жизнь удлиняется в 1/Ц(1-u2 /c2 )раз. Среднее время жизни мюонов разных скоростей было точно измерено, причем полу­ченное значение хорошо согласуется с формулой.

Мы не знаем, почему мезон распадается и каков его внут­ренний механизм, но зато мы знаем, что его поведение удов­летворяет принципу относительности. Тем и полезен этот принцип — он позволяет делать предсказания даже о тех вещах, о которых другим путем мы мало чего узнаем. К при­меру, еще не имея никакого представления о причинах распада мезона, мы все же можем предсказать, что если его скорость со­ставит 9/10 скорости света, то кажущаяся продолжительность отведенного ему срока жизни будет равна 2,2 · 10-6/Ц(1-92/102) сек. И это предсказание оправдывается. Правда, неплохо?

§ 5. Лоренцево сокращение

Теперь мы вернемся к преобразованию Лоренца (15.3) и попытаемся лучше понять связь между системами координат (х, у, z, t) и (х', у', z', t'). Будем называть их системами S и S', или соответственно системами Джо и Мика. Мы уже отметили, что первое уравнение основывается на предположении Лоренца о том, что по направлению х все тела сжимаются. Как же можно доказать, что такое сокращение действительно бывает? Мы уже понимаем, что в опыте Майкельсона — Морли по принципу относительности поперечное плечо ВС не может сократиться; в то же время нулевой результат опыта требует,

чтобы времена были равны. Чтобы получился такой результат, приходится допустить, что продольное плечо BE кажется сжатым в отношении Ц(1-и2 /с2 ). Что означает это сокращение на языке Джо и Мика? Положим, что Мик, двигаясь с системой S' в направлении х', измеряет метровой линейкой координату х' в некоторой точке. Он прикладывает линейку х' раз и ду­мает, что расстояние равно х' метрам. С точки же зрения Джо, (в системе S) линейка у Мика в руках укорочена, а «на самом деле» отмеренное им расстояние равно x'Ц(1-u2 /с2 ) метров. Поэтому если система S' удалилась от системы S на расстояние ut, то наблюдатель в системе S должен сказать, что эта точка (в его координатах) удалена от начала на x=x'Ц(1-u2 /c2 )+ut, или

Это и есть первое уравнение из преобразований Лоренца.

§ 6. Одновременность

Подобным же образом из-за различия в масштабах времени появляется и знаменатель в уравнении (15.Зг) в преобразо­ваниях Лоренца. Самое интересное в этом уравнении — это новый и неожиданный член в числителе, член ux/с2 . В чем его смысл? Внимательно вдумавшись в положение вещей, можно понять, что события, происходящие, по мнению Мика (на­блюдателя в системе S'), в разных местах одновременно, с точки зрения Джо (в системе S), вовсе не одновременны. Когда одно событие случилось в точке x1 в момент t0 , а другое — в точке х2 в тот же момент t0 , то соответствующие моменты t1 и t2 отличаются на

Это явление можно назвать «нарушением одновременности удаленных событий». Чтобы пояснить его, рассмотрим сле­дующий опыт.

Пусть человек, движущийся в космическом корабле (система S'), установил в двух концах корабля часы. Он хочет знать, одинаково ли они идут. Как синхронизовать ход часов? Это можно сделать по-разному. Вот один из способов, он почти не требует вычислений. Расположимся как раз где-то посредине между часами. Из этой точки пошлем в обе стороны световые сигналы. Они будут двигаться в обоих направлениях с оди­наковой скоростью и достигнут обоих часов в одно и то же время. Вот этот-то одновременный приход сигналов и можно применить для согласования хода. Положим, что человек в S' таким способом согласует ход часов. Посмотрим, согласится ли наблюдатель в системе S, что эти часы идут одинаково. Космонавт в системе S' имеет право верить, что их ход оди­наков; ведь он не знает, что он движется. Но наблюдатель в системе S сразу рассудит, что раз корабль движется, то часы на носу корабля удалились от светового сигнала и свету при­шлось пройти больше половины длины корабля, прежде чем он достиг часов; часы на корме, наоборот, двигались к све­товому сигналу — значит, его путь сократился. Поэтому сигнал сперва дошел до часов на корме, хотя космонавту в системе S' показалось, что сигналы достигли обоих часов одновременно. Итак, выходит, что когда космонавт считает, что события в двух местах корабля произошли одновременно (при одном и том же значении t'в его системе координат), то в другой системе координат одинаковым t' отвечают разные значения t!

§ 7. Четырехвекторы

Что еще можно обнаружить в преобразованиях Лоренца? Любопытно, что в них преобразование х и t по форме похоже на преобразование хну, изученное нами в гл. 11, когда мы говорили о вращении координат. Тогда мы получили

т. е. новое х' перемешивает старые х и y, а у' тоже их переме­шивает. Подобным же образом в преобразовании Лоренца новое х' есть смесь старых х и t, а новое t' — смесь t и х. Зна­чит, преобразование Лоренца похоже на вращение, но «вра­щение» в пространстве и времени. Это весьма странное поня­тие. Проверить аналогию с вращением можно, вычислив ве­личину

В этом уравнении три первых члена в каждой стороне пред­ставляют собой в трехмерной геометрии квадрат расстояния между точкой и началом координат (сферу). Он не меняется (остается инвариантным), несмотря на вращение осей коор­динат. Аналогично, уравнение (15.9) свидетельствует о том, что существует определенная комбинация координат и вре­мени, которая остается инвариантной при преобразовании Лоренца, Значит, имеется полная аналогия с вращением; аналогия эта такого рода, что векторы, т. е. величины, составленные из «компонент», преобразуемых так же, как и коорди­наты, оказываются полезными и в теории относительности.

Итак, мы расширим понятие вектора. Пока он у нас мог иметь только пространственные компоненты. Теперь включим в это понятие и временную компоненту, т. е. мы ожидаем, что существуют векторы с четырьмя компонентами: три из них похожи на компоненты обычного вектора, а к ним привязана четвертая — аналог времени.

В следующих главах мы проанализируем это понятие. Мы увидим, что если идеи этого параграфа приложить к импульсу, то преобразование даст три пространственные составляющие, подобные обычным компонентам импульса, и четвертую ком­поненту — временную часть (которая есть не что иное, как энергия).

§ 8. Релятивистская динамика

Теперь мы готовы к тому, чтобы с более общей точки зрения исследовать, как преобразования Лоренца изменяют законы механики. [До сих пор мы только объясняли, как изменяются длины и времена, но не объяснили, как получить измененную формулу для т, уравнение (15.1). Это будет сделано в следу­ющей главе.] Изучение следствий формулы Эйнштейна для массы m в механике Ньютона мы начнем с закона силы. Сила есть быстрота изменения импульса, т. е.

F=d(mv)/dt

Импульс по-прежнему равен mv, но теперь

Это законы Ньютона в записи Эйнштейна. При этом видоиз­менении, если действие и противодействие по-прежнему равны (может, не в каждый момент, но по крайней мере после усред­нения по времени), то, как и раньше, импульс должен со­храняться, но сохраняющейся величиной является не старое mv при постоянном m, а выражение (15.10) с переменной мас­сой. С таким изменением в формуле для импульса сохранение импульса по-прежнему будет существовать.

Посмотрим теперь, как импульс зависит от скорости. В нью­тоновой механике он ей пропорционален. В релятивистской механике в большом интервале скоростей (много меньших с) они также примерно пропорциональны [см. (15.10)], потому что корень мало отличается от единицы. Но когда v почти равно с, то корень почти равен нулю и импульс поэтому бес­предельно растет.

Что бывает, когда на тело долгое время воздействует по­стоянная сила? В механике Ньютона скорость тела беспрерывно будет возрастать и может превысить даже скорость света. В релятивистской же механике это невозможно. В теории относительности беспрерывно растет не скорость тела, а его импульс, и рост этот сказывается не на скорости, а на массе тела. Со временем ускорение, т. е. изменения в скорости, прак­тически исчезает, но импульс продолжает расти. Поскольку сила приводит к очень малым изменениям в скорости тела, мы, естественно, считаем, что у тела громадная инерция. Но как раз это самое и утверждает релятивистская формула (15.10) для массы тела; она говорит, что инерция крайне велика, когда v почти равно с. Разберем пример. Чтобы откло­нить быстрые электроны в синхротроне Калифорнийского Технологического института, необходимо магнитное поле, в 2000 раз более сильное, чем следует из законов Ньютона. Иными словами, масса электронов в синхротроне в 2000 раз больше их нормальной массы, достигая массы протона! Если m в 2000 раз больше m0, то 1-v2/с2 равно 1/4 000 000, или v от­личается от с на 1/8 000 000, т.е. скорость электронов вплотную подходит к скорости света. Если электроны и свет одновре­менно отправятся в соседнюю лабораторию (находящуюся, скажем, в 200 м), то кто явится первым? Ясное дело, свет: он всегда движется быстрее. Но насколько быстрее? Трудно сказать, насколько раньше во времени, но зато можно ска­зать, на какое расстояние отстанут электроны: на 1/30 мм, т. е. на 1/3 толщины этого листка бумаги! Масса электронов в этих состязаниях чудовищна, а скорость не выше скорости света.

На чем еще скажется релятивистский рост массы? Рас­смотрим движение молекул газа в баллоне. Если газ нагреть, скорость молекул возрастет, а вместе с нею и их масса. Газ станет тяжелее. Насколько?

Разлагая т0 /Ц(1-v2 /c2 )=m0 (1-v2 /с2)-1/2 в ряд по формуле бинома Ньютона, можно найти приближенно рост массы при малых скоростях. Получается

Из формулы ясно, что при малых v ряд быстро сходится и первых двух-трех членов здесь вполне достаточно. Значит, можно написать

где второй член и выражает рост массы за счет повышения скорости. Когда растет температура, v2 растет в равной мере, значит, увеличение массы пропорционально повышению тем­пературы. Но 1/2т0 v2 — это кинетическая энергия в старомод­ном, ньютоновом смысле этого слова. Значит, можно сказать, что прирост массы газа равен приросту кинетической энергии, деленной на с2, т. е. Dm=D(к.э.)/с2.

§ 9. Связь массы и энергии

Это наблюдение навело Эйнштейна на мысль, что массу тела можно выразить проще, чем по формуле (15.1), если сказать, что масса равна полному содержанию энергии в теле, деленному на с2. Если (15.11) помножить на с2, получается

mc2=m0с2+1/2m0 v2 +... . (15.12)

Здесь левая часть дает полную энергию тела, а в последнем члене справа мы узнаем обычную кинетическую энергию. Эйнштейн осмыслил первый член справа (очень большое по­стоянное число т0 с2 ) как часть полной энергии тела, а именно как его внутреннюю энергию, или «энергию покоя».

К каким следствиям мы придем, если вслед за Эйнштейном предположим, что энергия тела всегда равна тс2 ? Тогда мы сможем вывести формулу (15.1) зависимости массы от скорости, ту самую, которую до сих пор мы принимали на веру. Пусть тело сперва покоится, обладая энергией т0 с2 . Затем мы при­кладываем к телу силу, которая сдвигает его с места и постав­ляет ему кинетическую энергию; раз энергия примется воз­растать, то начнет расти и масса (это все заложено в первона­чальном предположении). Пока сила действует, энергия и масса продолжают расти. Мы уже видели (см. гл. 13), что быстрота роста энергии со временем равна произведению силы на скорость

de/dt=F·v. (15.13)

Кроме того, F =d(mv )/dt [см. гл. 9, уравнение (9.1)]. Связав все это с определением Е и подставив в (15.13), получим

Мы хотим решить это уравнение относительно m. Для этого помножим обе части на 2m. Уравнение обратится в

Теперь нам нужно избавиться от производных, т. е. проин­тегрировать обе части равенства. В величине (2m) dm/dt можно узнать производную по времени от m2 , а в (2mv)·d(mv)/dt— производную по времени от (mv)2. Значит, (15.15) совпадает с

Когда производные двух величин равны, то сами величины могут отличаться не больше чем на константу С. Это позво­ляет написать

m2с2=m2v2+C. (15.17)

Определим теперь константу С явно. Так как уравнение (15.17) должно выполняться при любых скоростях, то можно взять v=0 и обозначить в этом случае массу через m0 . Подстановка этих чисел в (15.17) дает

m20c2=0+С.

Это значение С теперь можно подставить в уравнение (15.17). Оно принимает вид

m2c2=m2v2+m20c2. (15.18)

Разделим на с2 и перенесем члены с m в левую часть

m2(1-v2/c2)=m20,

откуда

А это и есть формула (15.1), т. е. как раз то, что необходимо, чтобы в уравнении (15.12) было соответствие между массой и энергией.

В обычных условиях изменения в энергии приводят к очень малым изменениям в массе: почти никогда не удается из дан­ного количества вещества извлечь много энергии; но в атомной бомбе с энергией взрыва, эквивалентной 20 000 тонн трини­тротолуола, весь пепел, осевший после взрыва, на 1 г легче первоначального количества расщепляющегося материала. Это потому, что выделилась энергия, которая имела массу 1 г, в согласии с формулой DE=D(mc2). Вывод об эквивалент­ности массы и энергии прекрасно подтвердился в опытах по аннигиляции материи — превращению вещества в энергию. Электрон с позитроном могут взаимодействовать в покое, имея каждый массу покоя m0 . При сближении они исчезают, а вместо них излучаются два g-луча, каждый опять с энергией т0 с2 . Этот опыт прямо сообщает нам о величине энергии, свя­занной с существованием массы покоя у частицы.

* Правда, видимый свет проиграет гонку из-за преломления в воз­духе. А g-излучение ее, несомненно, выиграет.

* Выпуск 1