§ 1. Центр масс

§ 2. Вращение твердого тела

§ 3. Момент количества движения

§ 4. Закон сохранения момента количества движения

§ 1. Центр масс

В предыдущих главах мы изучали механику точек, или маленьких частиц, внутренняя структура которых нас совершенно не инте­ресовала. В последующих нескольких главах мы изучим применение законов Ньютона к более сложным вещам. Но ведь чем сложнее объект, тем он интереснее, и вы сами увидите, что явления, связанные с такими более сложны­ми объектами, поистине поразительны. Разу­меется все эти явления не содержат ничего большего, чем комбинации законов Ньютона, однако временами просто трудно поверить, что все это произошло из F=ma!

Что это за более сложные объекты, с кото­рыми мы будем иметь дело в дальнейшем? Это может быть течение воды, вращение галактик и т. д. Но сначала давайте разберемся с наи­более простым из сложных объектов—твердым телом. Этим термином мы будем называть мо­нолитный объект, который одновременно с из­менением положения может еще и вращаться как целое. Впрочем, даже такой простой объ­ект может двигаться достаточно сложно, поэто­му давайте сначала рассмотрим наиболее прос­той случай движения, когда тело крутится во­круг неподвижной оси, причем каждая точка этого тела движется в плоскости, перпендику­лярной к этой оси. Такое вращение тела во­круг неподвижной оси называется плоским, или двумерным. Позднее, когда мы обобщим наш результат на случай трех измерений, вы увидите, что вращение гораздо более хитрая штука, чем механика частицы, и без доста­точного опыта в двух измерениях понять трех­мерные вращения очень трудно.

К первой интересной теореме о движении сложного тела можно прийти следующим образом: попробуйте бросить какой-нибудь предмет, состоящий из множества скрепленных между собой кубиков и стержней. Вы знаете, конечно, что он полетит по параболе; это мы обнаружили еще, когда изучали движение точки. Однако теперь наш объект не точка. Он поворачивается, покачивается и все же летит по параболе; вы можете в этом убедиться. Какая, же точка тела описывает параболу? Ну разумеется, не угол кубика, потому что он поворачивается, не конец стержня, не его середина и не центр кубика. Но все-таки что-то движется по параболе, существует некий эффек­тивный «центр», который движется по параболе. Таким образом, первая теорема о сложных объектах говорит, что сущест­вует какая-то «средняя» точка, вполне определенная математи­чески, которая движется по параболе. Точка эта не обяза­тельно находится в самом теле, она может лежать и где-то вне его.

Это так называемая теорема о центре масс, и доказывается она следующим образом.

Любой объект можно рассматривать как множество малень­ких частичек, атомов, связанных различными силами. Пусть i обозначает номер одной из таких частиц (их страшно много, по­этому i может быть равно, например, 1023). Сила, действующая на i-ю частицу, равна массе, умноженной на ускорение этой частицы:

В последующих главах наши движущиеся объекты и все их части будут двигаться со скоростями, много меньшими, чем скорость света, и поэтому для всех величин мы будем рас­сматривать только нерелятивистское приближение. Масса при этих условиях будет постоянна, так что

Если теперь сложить все силы, действующие на частицы, т. е. сложить все Fi- со всеми значениями индекса, то в результате мы должны получить полную силу F. Складывая же правые части уравнения (18.2) для всех частиц и вспоминая, что про­изводная от суммы равна сумме производных, получаем

Поэтому полная сила равна второй производной от суммы произведений масс частиц на их положение.

Но полная сила, действующая на все частицы,— это то же самое, что и внешняя сила. Почему? Да потому что, какие бы силы ни действовали между частицами, пусть это будет притя­жение или отталкивание, или атомные силы, все равно, когда мы складываем их вместе и применяем Третий закон Ньютона, по которому силы действия и противодействия между любыми двумя частицами равны друг другу, то эти взаимные силы сокращаются друг с другом и в результате останутся только силы, действующие со стороны атомов, находящихся вне тела. Так что, если уравнение (18.3) представляет собой сумму по некоторому числу частиц, образующих наш объект, то внешняя сила, действующая на него, равна просто сумме всех сил, действующих на все частицы, образующие этот объект. Урав­нение (18.3) неплохо было бы записать в виде полной массы тела, умноженной на какое-то ускорение. Сделать это можно. Пусть М будет суммой масс всех частиц, т. е. полной массой тела. Если теперь определить вектор R как

то, поскольку М постоянна, уравнение (18.3) перейдет в

Таким образом, внешняя сила равна полной массе, умно­женной на ускорение некоторой точки R; эта точка и называ­ется центром масс тела. Она расположена где-то в «середине» тела — некое среднее r, в котором различные ri учитываются в зависимости от их важности, т. е. в зависимости от того, какую долю вносят они в полную массу.

Мы подробно обсудим эту важную теорему несколько позд­нее, а сейчас остановимся на двух примерах. Пусть на тело не действуют никакие внешние силы, скажем, оно плавает где-то в пустом пространстве. Оно может делать все, что ему угодно: крутиться, покачиваться, изгибаться, но при этом его центр масс, эта искусственно выделенная нами математическая точка, должен двигаться, с постоянной скоростью. В частности, если вначале этот центр покоился, то он так и будет покоиться все время. Поэтому если мы возьмем какой-то космический корабль со всеми его пассажирами, вычислим его центр масс и обна­ружим, что он стоит на месте, то можно быть уверенным, что центр масс так и останется на месте, если только на корабль не будут воздействовать какие-то внешние силы. Сам корабль, конечно, может немного перемещаться, но это потому, что пассажиры внутри корабля ходят взад и вперед. Так, если все пассажиры одновременно перейдут в носовую часть, то корабль немного подастся назад, чтобы среднее положение всех масс осталось в точности на том же самом месте.

Означает ли это, что в результате неподвижности центра масс ракета не может двигаться вперед? Конечно, нет, но, чтобы продвинуть вперед интересующую нас часть ракеты, мы что-то должны выбросить назад. Иными словами, если вна­чале ракета покоилась, а затем выбросила из сопла некоторое количество газа, то газ этот полетит назад, а сама ракета по­летит при этом вперед, однако центр масс останется точно на том же месте, где он был и раньше. Так что в ракете интере­сующая нас часть продвинется вперед за счет другой, которая улетит назад.

Второе замечание относительно движения центра масс. Его можно рассматривать отдельно от всех «внутренних» дви­жений тела и, следовательно, его можно не учитывать при изучении вращения. Собственно поэтому мы начали изучать вращения с центра масс.

§ 2. Вращение твердого тела

Поговорим теперь о вращении. Как известно, обычные предметы не вращаются просто так: они колеблются, вибри­руют, изгибаются. Поэтому, чтобы упростить рассуждения, рассмотрим движение несуществующего идеального объекта, который мы назвали твердым телом. В таком объекте связи между атомами столь сильны, что те небольшие силы, которые необходимы, чтоб привести его в движение, не могут деформи­ровать тело. Форма его все время остается одной и той же. Если мы хотим изучить движение такого тела и условимся не принимать во внимание движение его центра масс, то ему остается лишь вращаться. Вот это вращение мы и должны описать. Каким образом? Предположим, что в теле существует какая-то воображаемая неподвижная линия (она может про­ходить через центр масс, а может и не проходить); вокруг этой линии, как вокруг оси, вращается наше тело. Но как все-таки определить, что такое вращение? Сделать это совсем просто. Отметив какую-то точку на теле, где угодно, только не на оси, и зная, куда она перешла через некоторый промежуток времени, мы точно можем сказать, в каком положении находится тело. Единственное, что нужно знать для описания положения точки, - это угол. Таким образом, изучение вращения заключается в изучении изменения угла со временем.

Чтобы описать вращение, измерим угол, на который пово­рачивается тело. Разумеется, речь идет не об угле между двумя точками внутри самого тела или на теле, а об угловом изме­нении положения всего тела как целого от одного момента вре­мени до другого.

Сначала давайте разберемся с кинематикой вращения. Изменение угла со временем очень похоже на изменение по­ложения при одномерном движении; для плоского вращения мы можем говорить об угловом положении и угловой скорости. Между этими двумя движениями — плоским вращением и одномерным перемещением — существует очень интересная связь: почти каждая величина в одном случае имеет свой аналог в другом. Прежде всего угол q, указывающий, насколько повернулось тело, соответствует пройденному точкой расстоя­нию s. Угловая скорость w=dq/dt, которая показывает, с какой быстротой изменяется угол, соответствует обычной скорости v=ds/dt, описывающей быстроту изменения положения. Если угол измеряется в радианах, то угловая скорость w равна какому-то числу радиан в секунду. Чем больше угловая ско­рость, тем быстрее вращается объект и тем быстрее изменяется угол. Если продифференцировать угловую скорость по вре­мени, то получим величину a=dw/dt, которую мы будем на­зывать угловым ускорением. Оно может служить аналогом обычного ускорения.

Теперь нам следует связать динамику вращения с дина­микой частиц, из которых сделано тело, т. е. выяснить, как движется каждая данная частица, если угловая скорость со­ставляет столько-то радиан в секунду. Для этого давайте возьмем какую-то частицу, расположенную на расстоянии r от оси, и будем, как обычно, говорить, что в данный момент времени она находится в определенном положении Р(х, у) (фиг. 18.1).

Фиг. 18.1. Кинематика двумер­ного вращения.

Через промежуток времени Dt тело целиком по­вернется на угол Dq, а вместе с ним повернется и наша частица. Хотя расстояние от нее до оси вращения О остается тем же самым, она уже переместится в другую точку, Q. Первое, что хотелось бы знать, это насколько изменятся расстояния х и y. Если обозначить через rдлину ОР, то длина PQ будет равна rDq (просто по определению угла). Тогда изменение расстояния х будет равно проекции rDq на ось х

Dz=-PQsinq =-гDqy/r=-y/Dq. (18.6)

Аналогично,

Dy=xDq. (18.7)

Если тело вращается с угловой скоростью w, то, деля обе части равенства (18.6) и (18.7) на Dt, найдем компоненты скорости частицы

vx =-wx и vy =wy.(18.8)

Если же нам требуется абсолютная величина скорости, то мы просто пишем

Не удивительно, что абсолютная величина скорости получи­лась равной wr; это же очевидно; ведь полное пройденное рас­стояние равно rDq, а поэтому расстояние, пройденное за 1 сек, будет rDq/Dt, или rw.

Перейдем теперь к рассмотрению динамики вращения. Здесь следует ввести новое понятие — силу. Давайте посмотрим, нельзя ли изобрести нечто, играющее ту же роль, что и сила в линейном движении. Это нечто мы будем называть моментом силы, или просто моментом. Обычно под силой мы понимаем нечто, заставляющее покоящееся тело двигаться, а то, что заставляет тело вращаться, есть «вращающая», или «крутящая», сила; ее мы называем моментом. Таким образом, качественно момент силы — это кручение; но что такое момент силы коли­чественно? Количественную теорию момента можно получить, изучая работу, затраченную на поворот тела. Этот подход очень хорош и для определения силы: если мы знаем, какая требуется работа, чтобы совершить данное перемещение, то знаем и силу. Чтобы продолжить соответствие между угловыми и линейными величинами, мы должны приравнять работу, которая производится при повороте тела на какой-то угол, к произведению момента на этот угол. Другими словами, при таком определении момента теорема о работе имеет абсолютный аналог: работа есть сила на перемещение, или момент на угол. Это сразу говорит нам, что такое момент количественно. Рас­смотрим, например, твердое тело, вращающееся вокруг оси, на которое действуют различные силы. Сконцентрируем сначала наше внимание на одной силе, приложенной к некоторой точке (х, у). Какую работу мы затрачиваем, поворачивая тело на некоторый малый угол Dq? Нетрудно понять, что она равна

DW=FxDx+FyDy. (18.10)

Теперь нужно только подставить выражения (18.6) и (18.7) для Dx; и Dy и получить

DW=(xFy-yFx) Dq, (18.11)

т. е. работа, которую мы проделали, равна углу, на который было повернуто тело, умноженному на какую-то странную комбинацию сил и расстояний. Эта «странная комбинация» и есть момент. Таким образом, определяя изменение работы как момент, умноженный на угол поворота, мы получаем формулу, выражающую момент через силы. (Это понятно. По­скольку момент не является полностью новым понятием, не зависящим от механики Ньютона, то он должен определенным образом выражаться через силу.)

Пусть теперь на тело действует несколько сил. Тогда ра­бота, производимая этими силами, равна сумме работ от каж­дой силы, так что DW будет иметь вид суммы множества членов: по одному для каждой из сил, однако каждый из них пропор­ционален Dq. Эту величину Dq можно вынести за скобку и получить, что работа равна сумме моментов от всех действу­ющих сил, умноженной на Dq. Эту сумму можно назвать пол­ным моментом сил и обозначить t. Как видите, моменты скла­дываются по обычным законам алгебры, однако, как вы узнаете после, это происходит из-за того, что мы ограничиваемся только плоскими вращениями. Эта ситуация напоминает одномерное движение, в котором силы просто складываются алгебраически; ведь все они в этом случае действуют вдоль одной и той же прямой. В трехмерном пространстве все более сложно. Таким образом, для двумерного вращения

Нужно только помнить, что это справедливо лишь для вра­щения вокруг одной оси. Если брать различные оси, то все хi и yiизменятся, соответственно изменяются (обычно) и величины моментов.

Отвлечемся теперь на минуту и заметим, что предыдущий способ введения момента дает очень важный результат для тела, находящегося в равновесии: если сбалансированы все силы, действующие на объект, и перемещающие и вращающие, то нужно, чтобы не только полная сила была равна нулю, но и полный момент, так как при малом перемещении объекта, находящегося в равновесии, никакой работы не производится. Следовательно, из того, что DW=tDq=0, можно заключить, что сумма всех моментов должна быть равна нулю. Таким образом, для равновесия необходимо выполнение двух условий: а) сумма всех сил равна нулю и б) сумма всех моментов тоже равна нулю. Попробуйте доказать сами, что в двумерном случае достаточно равенства нулю суммы моментов сил отно­сительно какой-либо одной оси.

Вернемся теперь к случаю одной силы, действующей на тело, и попытаемся выяснить, что же геометрически означает странное выражение xFy -yFx . На фиг. 18.2 вы видите силу F, приложенную в точке Р.

Фиг. 18.2. Вращающий момент, создаваемый силой.

Когда тело поворачивается на малый угол Dq, то естественно, что произведенная при этом работа равна составляющей в направлении перемещения, умноженной на величину перемещения. Иначе говоря, работает только тангенциальная составляющая силы, которая умножается на расстояние rDq. Поэтому момент равен тангенциальной со­ставляющей силы (перпендикулярной к радиусу), умноженной на радиус. Это хорошо согласуется с нашим первоначальным понятием момента, потому что полностью радиальная сила не может крутить тело. Крутящее действие силы, очевидно, происходит только от той ее части, которая не тянет тело от центра. Она и называется тангенциальной составляющей, Ясно, кроме того, что данная сила закручивает тело тем сильнее, чем дальше от центра она приложена. Попробуйте раскрутить тело давлением прямо на его ось! Таким образом, тот факт, что момент силы пропорционален как радиальному расстоянию, так и тангенциальной составляющей силы, имеет свой смысл,

Существует еще третье, очень интересное выражение для момента силы. Как вы только что узнали, момент силы равен силе, умноженной на радиус и на синус угла а (см. фиг. 18.2), Если теперь продолжить линию действия силы и провести прямую, перпендикулярную к ней, то нетрудно видеть, что длина OS (она часто называется плечом силы) во столько раз короче радиуса, во сколько тангенциальная составляющая силы меньше полной ее величины. Поэтому можно записать, что момент равен произведению величины силы на длину ее плеча.

Мы не знаем точно, откуда произошел термин «момент силы» — по-видимому, от латинского movimentum, что означает способность силы двигать объект (используя какой-либо рычаг), тем более заметную, чем длинней плечо силы. Кстати, в математике слово «момент» означает усреднение с весом, в ка­честве которого взято расстояние до оси.

§ 3. Момент количества движения

Хотя до сих пор мы рассматривали только специальный слу­чай твердого тела, свойства момента и его математическое выра­жение интересны даже тогда, когда тело не твердое. Можно доказать очень интересную теорему: подобно тому как внешняя сила равна скорости изменения величины р, которая называется пол­ным импульсом системы частиц, так и момент силы равен ско­рости изменения некоторой величины L, называемой моментом количества движения, или угловым моментом группы частиц. Чтобы доказать это, рассмотрим систему частиц, на которую действуют силы, и посмотрим, что произойдет с системой в результате действия вращающих моментов, созданных этими силами. Для начала давайте возьмем только одну частицу. Такая частица с массой mи осью О изображена на фиг. 18.3.

Фиг. 18.3. Движение частиц относительно оси вращения С

Она не обязательно должна вращаться по окружности вокруг оси О, а может двигаться и по эллипсу, подобно планете вокруг Солнца, или по какой-нибудь другой кривой. Главное то, что она движется, что на нее действует сила, которая ускоряет ее в соответствии с обычными законами: x-компонента силы равна массе, умноженной на x-компоненту ускорения, и т. д. Но по­смотрим теперь, как действует момент силы. Он, как вы знаете, равен xFy -yFx , а х- и у-компоненты силы в свою очередь рав­ны массе, умноженной соответственно на х- и y-компоненту ускорения, так что

Хотя сразу и не видно, что это выражение является производ­ной от какой-то простой величины, но на самом деле оно равно производной от xm(dy/dt)-ym(dx/dt). Действительно,

Оказывается, таким образом, что момент силы равен скорости изменения со временем некоторой величины! Давайте обратим внимание на эту величину и прежде всего дадим ей имя. Она будет называться моментом количества движения, или угловым моментом, и обозначаться буквой L

Хотя во всех наших рассмотрениях мы не принимали в рас­чет теорию относительности, тем не менее второе выражение для L верно и при учете ее. Итак, мы нашли, что у обычного импульса также существует вращательный аналог — угловой момент, который связан с компонентами импульса точно так же, как и момент силы связан с компонентами силы! Так что если мы хотим вычислить момент количества движения отно­сительно какой-то оси, то должны взять тангенциальную сос­тавляющую импульса и умножить ее на радиус. Другими сло­вами, угловой момент показывает, насколько быстро движется частица вокруг какого-то центра, ведь он учитывает только тангенциальную часть импульса. Более того, чем дальше от центра удалена линия, по которой направлен импульс, тем больше будет угловой момент. Точно так же, поскольку гео­метрия в этом случае та же, что и в случае момента силы, су­ществует плечо импульса (оно, разумеется, не совпадает с плечом силы, действующей на частицу), которое равно расстоя­нию линии импульса от оси. Таким образом, угловой момент равен просто величине импульса, умноженного на его плечо. Точно так же, как и для момента силы, для углового момента мы можем написать следующие три формулы:

L=хрy -урх =rpтанг =р·Плечо импульса. (18.17)

Момент количества движения, как и момент силы, зависит от положения оси, относительно которой он вычисляется.

Прежде чем перейти к рассмотрению более чем одной части­цы, применим полученные выше результаты к движению пла­неты вокруг Солнца. В каком направлении действует сила? Конечно, по направлению к Солнцу. А какой при этом будет момент силы? Разумеется, все зависит от того, в каком месте мы выберем ось, однако результат получится совсем простым, если в качестве точки вращения выбрать само Солнце. Посколь­ку момент силы равен силе, умноженной на ее плечо, или ком­поненте силы, перпендикулярной к радиусу r, умноженной на r, то в этом случае нет никакой тангенциальной составляющей силы, а поэтому момент силы относительно оси, проходящей через Солнце, равен нулю. Следовательно, момент количества движения должен оставаться постоянным. Давайте-ка посмот­рим, что это означает. Произведение тангенциальной компонен­ты скорости на массу и радиус, будучи моментом количества движения, должно оставаться постоянным, потому что скорость его изменения есть момент силы, который в нашем случае равен нулю. Это означает, что остается постоянным произведение тангенциальной компоненты скорости на радиус, поскольку масса-то уж, конечно, не изменяется. Но такая величина, ха­рактеризующая движение планеты, уже вычислялась нами раньше. Предположим, что мы взяли маленький промежуток времени Dt. Какое расстояние пройдет планета при своем дви­жении из точки Р в точку Q (фиг. 18.3)? Как велика площадь той области, которую «заметает» прямая, соединяющая пла­нету с Солнцем? Пренебрегая площадью QQ'P, которая очень мала по сравнению с OPQ, находим, что площадь этой области равна половине основания PQ, умноженного на высоту OR. Другими словами, «заметенная» площадь равна половине про­изведения скорости на ее плечо. Так что скорость изменения этой площади пропорциональна моменту количества движения, который остается постоянным. Итак, мы получим, что закон Кеплера о равных площадях за равные промежутки времени является просто словесным описанием закона сохранения мо­мента количества движения, когда моменты внешних сил от­сутствуют.

§ 4. Закон сохранения момента количества движения

Посмотрим теперь, что получается в случае большого коли­чества частиц, т. е. когда тело состоит из множества частичек со множеством сил, действующих между ними и извне. Разуме­ется, мы уже знаем, что момент силы, действующий на любую i-ю частицу (т. е. произведение силы, действующей на i-ю час­тицу, на ее плечо), равен скорости изменения момента количе­ства движения этой частицы, а момент количества движения i-й частицы в свою очередь равен произведению импульса час­тицы на его плечо. Допустим теперь, что мы сложили моменты сил ti- всех частиц и назвали это полным моментом сил t. Эта величина должна быть равна скорости изменения суммы момен­тов количества движения всех частиц Li . Эту сумму можно принять за определение новой величины, которую мы назовем полным моментом количества движения L. Точно так же, как импульс тела равен сумме импульсов составляющих его частиц, момент количества движения тела тоже равен сумме моментов составляющих его частиц. Таким образом, скорость изменения полного момента количества движения L равна полному мо­менту сил

С непривычки может показаться, что полный момент сил — ужас­но сложная штука. Ведь нужно учитывать все внутренние и внешние силы. Однако если мы вспомним, что по закону Ньютона силы действия и противодействия не только равны, но и (что особенно важно!) действуют по одной и той же прямой в противоположных направлениях (неважно, говорил ли об этом сам Ньютон или нет, неявно он подразумевал это), то два мо­мента внутренних сил между двумя взаимодействующими час­тицами должны быть равны друг другу и направлены противо­положно, поскольку для любой оси плечи их будут одинаковы. Поэтому все внутренние моменты сил взаимно сокращаются и получается замечательная теорема: скорость изменения момента количества движения относительно любой оси равна моменту внешних сил относительно этой же оси!

Итак, мы получили в руки мощную теорему о движении боль­шого коллектива частиц, которая позволяет нам изучать общие свойства движения, не зная деталей его внутреннего механизма, Эта теорема верна для любого набора частиц, независимо от того, образуют ли они твердое тело или нет.

Особенно важным частным случаем этой теоремы является закон сохранения, момента количества движения, который гла­сит: если на систему частиц не действуют никакие внешние моменты сил, то ее момент количества движения остается пос­тоянным.

Рассмотрим один очень важный частный случай набора частиц, когда они образуют твердое тело, т. е. объект, который всегда имеет определенную форму и геометрический размер и может только крутиться вокруг какой-то оси. Любая часть такого объекта в любой момент времени расположена одинако­вым образом относительно других его частей. Попытаемся те­перь найти полный момент количества движения твердого тела. Если масса i-й частицы его равна mi, а положение ее (xi yi ,), то задача сводится к определению момента количества движения этой частицы, поскольку полный момент количества движения равен сумме моментов количества движения всех таких частиц, образующих тело. Для движущейся по окружности точки мо­мент количества движения равен, конечно, произведению ее мас­сы на скорость и на расстояние до оси вращения, а скорость в свою очередь равна угловой скорости, умноженной на рас­стояние до оси:

Li=miviri=mir2iw. (18.20)

Суммируя li для всех частиц, получаем

L=Iw, (18.21)

где

Это выражение очень похоже на формулу для импульса, который равен произведению массы на скорость. Скорость при этом заменяется на угловую скорость, а масса, как видите, заменяется на некоторую новую величину, называемую мо­ментом инерции I. Вот что играет роль массы при вращении! Уравнения (18.21) и (18.22) говорят нам, что инерция вращения тела зависит не только от масс составляющих его частичек, но и от того, насколько далеко расположены они от оси. Так что если мы имеем два тела равной массы, но в одном из них массы расположены дальше от оси, то его инерция вращения будет больше. Это легко продемонстрировать на устройстве, изобра­женном на фиг. 18.4.

Фиг. 18.4. Зависимость «инерции вращения» от плеча масс.

Масса Mв этом устройстве не может па­дать слишком быстро, потому что она должна крутить тяжелый стержень. Расположим сначала массы mоколо оси вращения, причем грузик Mбудет как-то ускоряться. Однако после того, как мы изменим момент инерции, расположив массы mгораздо дальше от оси, мы увидим, что грузик Mускоряется гораздо медленнее, чем прежде. Происходит это вследствие возрастания инертности вращения, которая составляет физический смысл момента инерции — суммы произведений всех масс на квадраты их расстояний от оси вращения.

Между массой и моментом инерции имеется существенная разница, которая проявляется удивительным образом. Дело в том, что масса объекта обычно не изменяется, тогда как момент инерции легко изменить. Представьте себе, что вы встали на стол, который может вращаться без трения, и держите в вытянутых руках гантели, а сами медленно вращаетесь. Можно легко из­менить момент инерции, согнув руки; при этом наша масса останется той же самой. Когда мы проделаем все это, то закон сохранения момента количества движения будет творить чуде­са, произойдет нечто удивительное. Если моменты внешних сил равны нулю, то момент количества движения равен моменту инерции I1, умноженному на угловую скорость ш1, т. е. ваш момент количества движения равен I1w1. Согнув затем руки, вы тем самым уменьшили момент инерции до величины I2. Но поскольку из-за закона сохранения момента количества движения произведение Iw должно остаться тем же самым, то I1w1 должно быть равно I2 w2 . Так что если вы уменьшили момент инерции, то ваша угловая скорость в результате этого должна возрасти.