Уравнение маятника

Рассмотрим движения хорошо известного математического маятника, т. е. небольшого грузика с массой m, подвешенного на абсолютно жесткой, нерастяжимой проволочке длины l; массу проволочки будем считать пренебрежимо малой. Обычно изучают малые колебания и поэтому говорят о грузике на нитке, но мы хотим изучать любые движения и потому подвесим наш жесткий маятник на хорошо смазанной оси в точке О' так, чтобы он мог свободно вращаться, а не только качаться вблизи положения равновесия. Угол φ, измеряемый в радианах, отсчитывается от нижнего положения против часовой стрелки (рис. 4.1). Полный оборот соответствует φ = 2π, два оборота — 4π и т. д. Движению по часовой стрелке соответствует уменьшение угла φ. для полного оборота по часовой стрелке φ = -2π и т. д. Для определенности будем считать, что в момент времени t = 0 маятник отклонен на нулевой угол, φ(0) = 0. В качестве координаты грузика можно взять угол φ или же алгебраическое значение длины дуги s = φ • l.

В каждой точке А движение происходит в направлении касательной к окружности под действием тангенциальной (направленной по касательной) составляющей силы тяжести. Как ясно из рисунка, эта составляющая равна (с учетом нашего выбора положительного направления движения). Скорость движения грузика по окружности равна v = s' = lφ', где s' и φ' обозначают производные по времени t. Пользуясь тем, что малые смещения грузика направлены по касательной к окружности, точно так же определим тангенциальное (т. е. по направлению дуги окружности) ускорение а = v' == s" = lφ", где s" и φ" — вторые производные по времени. Второй закон Ньютона для движения грузика можно написать в виде ma = , или окончательно

Соотношение (4.1), выражающее угловое ускорение грузика φ" через его положение φ(t) в тот же самый момент времени, называют дифференциальным уравнением движения грузика. Решить его значит найти такую зависимость угла φ от времени t, для которой в каждый момент выполнено соотношение (4.1).

Дифференциальное уравнение описывает все возможные движения маятника. Чтобы найти какое-то конкретное движение, надо еще добавить некоторые дополнительные условия. Например, если задать положение и скорость грузика в начальный момент времени, то движение будет полностью определено. Как сказал бы математик, существует единственное решение дифференциального уравнения (4.1), удовлетворяющее начальным условиям φ(0) = φ0, φ'(0) = φ'0, (φ0 и φ'0 могут быть любыми).

Это уравнение, очевидно, нелинейно. Даже если известны какие-то два его решения φ1(t) и φ2(t), новое решение их сложением не получишь. Ясно также, что умножение решения на число с 1 не дает нового решения: вторая производная от сφ1 равна сφ"1, а . Правда, есть простой случай, когда φ1 + φ2 тоже есть решение, но, к сожалению, этот случай не интересен, так как дает просто разное описание состояния покоящегося маятника. Действительно, уравнение имеет простые решения φ =  ... Первая серия соответствует устойчивому положению равновесия маятника внизу (минимум потенциальной энергии). Грузик покоится, его скорость, ускорение и действующая на него сила равны нулю. А вторая серия — это неустойчивое положение равновесия в крайней верхней точке (максимум потенциальной энергии). Если грузик чуть-чуть отклонится от этого положения, то он придет в движение. Так как в реальном физическом мире всегда остаются какие-то малые неконтролируемые воздействия на грузик («возмущения»), долго находиться в этом состоянии он не может.

 

Малые колебания маятника

Чтобы подступиться к решению нелегкой задачи о движениях маятника, рассмотрим сначала малые колебания, когда угол настолько мал, что можно положить sin φ  φ. Уравнение теперь становится линейным (это и есть линеаризация!):

, и можно угадать (или вспомнить!) его решение φ = φM (ω0t) *), которое равно нулю при t = 0. Благодаря линейности уравнения максимальное значение угла φM формально может быть произвольным числом, но мы, конечно, должны помнить, что при больших значениях φM наше приближение не годится. Поэтому число φM должно быть таким, что sin φM   φM .

*) для этого достаточно вспомнить правило дифференцирования тригонометрических функций. Ниже это движение будет построено другим, геометрическим способом.

Этим решением, разумеется, не исчерпывается все множество решений. Мы заранее предположили, что φ(0) = 0, и этим отбросили, например, решение φ = cos (ω0t), которое тоже легко угадать. Пользуясь линейностью, теперь можно найти и общее решение, складывая sin (ω0t) и cos (ω0t), умноженные на произвольные амплитуды. Ясно, что этим способом получается любое колебание, так как первое решение позволяет получить любое значение скорости в начальный момент, а второе — задать любое начальное положение.

Самое общее малое колебание можно получить и другим способом, понимание которого очень полезно. Заметим, что движение  φ = φ M sin(ω 0 t ) можно наблюдать, пустив другие часы отсчитывать время в момент t 0 (по старым часам). При новом отсчете времени то же самое движение будет выглядеть как φ = φ M sin[ω 0 (t + t 0 ) ].

Нетрудно проверить, что это решение при любых t 0 удовлетворяет уравнению 4.1. Отсюда следует, что если движение φ = φ M sin(ω 0 t ) возможно, то и движение φ = φ M sin[ω 0 (t + t 0 ) ] также возможно. А это движение уже самое общее, поскольку подбором φ M и t 0 можно задать любые начальные значения скорости и положения.

Решение уравнения для малых колебаний можно найти совсем простым способом. Достаточно вспомнить геометрическое определение тригонометрических функций и закон движения материальной точки по окружности. Пусть точка М движется по окружности единичного радиуса с постоянной скоростью V = ω 0 (рис. 4.2). Скорость V направлена по касательной, и ее проекция на ось Оу равна ω 0 cos α , где α = ω 0 t (радиан). Точка S совершает гармоническое движение, длина отрезка ( OS ) = sin ω 0 t , и ее скорость v равна проекции скорости V на ось Оу , т. е. v = ω 0 cos(ω 0 t) . Полное ускорение α направлено к центру и равно  #image_46.jpg (радиус окружности равен 1). Ускорение точки S равно проекции ускорения а на ось Оу , т. е. #image_47.jpg . Таким образом, ускорение точки  S равно #image_48.jpg . Если взять ( OS ) = φ, получим φ" = #image_49.jpg . Обозначив #image_50.jpg , находим, что φ = sin(ω 0 t ) есть решение линейного уравнения для малых колебаний маятника. Заодно вспомним, что период колебаний Т совпадает с временем полного оборота точки М по окружности, т. е. равен  #image_45.jpg .

 

Маятник Галилея

Эта формула, хорошо известная из школьного курса физики, была впервые найдена Гюйгенсом *). С точностью до числового множителя она, по-видимому, была известна уже Галилею. История ее открытия интересно и подробно описана в упоминавшейся в книге С. Г. Гиндикина, но с одним утверждением, сделанным в ней, можно поспорить. Там сказано (с. 39): «Галилей обнаруживает связь между длиной маятника и частотой его колебаний: квадраты периодов колебаний относятся как длины. Вивиани пишет, что Галилей получил этот результат, «руководствуясь геометрией и своей новой наукой о движении», но никто не знает, каким мог быть теоретический вывод. Быть может, все же Галилей подметил закономерность экспериментально?» Принять это предположение было бы несправедливостью по отношению к Галилею. На опыте он лишь подметил зависимость периода от длины, но закон пропорциональности периода квадратному корню из длины нашел с помощью довольно остроумных рассуждений, которые представляют не только исторический интерес.

*) Гюйгенс получил ее другим способом, основанным на открытом им свойстве изохронности колебаний циклоидального маятника, а рассуждения, приведенные выше, использовал для определения ускорения точки, движущейся по окружности (о циклоидальном маятнике см. в книге: Гиндикин С. Г. Рассказы о физиках и математиках. — 2-e изд. — М.: Наука, 1984. Библиотечка «Квант», вып. 14).

Основным для Галилея был найденный опытным путем закон равной продолжительности качаний маятников одинаковой длины, или изохронизм их колебаний (от греч. «изос» — равный, «хронос» — время). Для дальнейших рассуждений он использовал открытый им закон свободного падения и связь движения по наклонной плоскости со свободным падением. Если слегка модернизировать рассуждения Галилея, как это сделал Л. И. Мандельштам в своих замечательных «Лекциях по колебаниям», прочитанных в 1930 г., то можно даже получить формулу, похожую на формулу Гюйгенса.

Заменим движение грузика по дуге АО из состояния покоя свободным движением по хорде АО (рис. 4.3). Тогда время t, затраченное на это падение, равно времени свободного падения из О" в О . Это следует из известного Галилею факта, что ускорение движения по катету прямоугольного треугольника относится к g, как длина ОА относится к длине ( OO" ) = 2 l (сообразите, почему). Так как #image_51.jpg , то четверть периода колебаний равна #image_52.jpg , а полный период #image_53.jpg . Галилей рассуждал несколько иначе и ограничился утверждением о пропорциональности времен скатывания по хорде АО и движения маятника по дуге ОА времени свободного падения по вертикали О"О , откуда он и вывел пропорциональность этого времени квадратному корню из длины маятника.

Подлинное рассуждение Галилея легко понять из рис. 4.4. Время скатывания грузика по наклонной плоскости ОА 1 А 2 пропорционально квадратному корню из длины (( OA 1 ) для первого маятника и ( ОА 2 ) для второго). Эти длины ОА 1  и ОА 2 пропорциональны длинам маятников ( O 1 O ) = l 1 и ( O 2 O ) = l 2 . С учетом закона свободного падения отсюда следует, что Т пропорционально #image_54.jpg  для подобных колебаний (т. е. с одинаковым максимальным углом отклонения φ).

Используя изохронность, доказываем, что это верно для любых колебаний.

Для малых колебаний рассуждения Галилея совершенно правильны. Малые колебания действительно изохронны. Как мы теперь понимаем, изохронность прямо следует из линейности. Действительно, если колебание с единичной амплитудой определяется функцией φ = sin (ω0t), то колебание с амплитудой φM , в силу линейности, можно найти простым умножением на φM . Это и значит, что период остается неизменным. Остальная часть рассуждения Галилея особенно интересна тем, что в ней содержится намек на использование соображений о подобном поведении подобных систем. В ясном виде принцип подобия впервые сформулировали Ньютон и Гук. Это настолько полезная вещь, что стоит сделать небольшое отступление.

 

О подобии и размерностях

Принцип подобия Ньютона—Гука оставался в забвении более ста лет, пока его не возродил Фурье в упоминавшейся выше работе «Аналитическая теория теплоты». Он ввел очень важные понятия размерности физической величины и принцип однородности по размерностям. Измерение всех механических величин сводится к измерению нескольких основных, в качестве которых обычно берут длину (размерность L), время (размерность Т) и массу (размерность М). Остальные величины назовем «производными».

Так, измерение площади сводится к измерению длин. Чтобы измерить площадь прямоугольника S, мы измеряем длины его сторон и перемножаем их. Если обе стороны умножить на одно и то же число с, то площадь умножится на с2 . Это означает, что размерность площади равна квадрату размерности длины, и этот факт можно записать с помощью «формулы размерности» [S] = L2. Формула размерности для S говорит нам, что площади любых фигур умножаются на одно число с2, если все линейные размеры умножить на с (например, при фотоувеличении). Если бы мы не знали, как вычислить площадь круга радиуса R, то из формулы размерности получили бы, что S = cR2, где c — некоторое число, о котором формула размерности ничего не говорит. Измерив c для какого-нибудь круга, мы с помощью формулы размерности будем знать, как вычислить площадь любого круга.

Точно так же, исходя из определения скорости равномерного движения v = (x2 - x1)/(t2 - t1), можно написать для нее формулу размерности [v] = LT-1. Она просто означает, что при увеличении всех расстояний в cL раз и всех промежутков времени в cТ раз скорость умножится на число cL/cT. Обычно когда записываются формулы для физических величин, они всегда сопровождаются указанием на единицы измерения (S [см2], v [см • с-1] и т. д.). Это указание одновременно дает нам и размерность величины. Так как ускорение измеряется, скажем, в см • c-2, то формула размерности для ускорения есть, очевидно, [α] = LT-2.

Аналогично легко найти формулы размерности для силы [F] = MLT-2, для энергии [Е] = ML2T-2 и для других производных величин. Показатели степеней в формулах размерности называются показателями размерности. С ними можно обращаться, как с обычными показателями степени.

Например, возьмем формулу «сила = масса × ускорение». Если увеличить все линейные размеры в cL раз, промежутки времени в cT раз и массы в сM раз, то ускорение увеличится в cL/c2T раз, а сила в сMcL/c2T раз. Это мы и запишем с помощью формулы для силы. Очевидно, что ее можно получить и так: [F] = М [а] = MLT-2, т. е. с формулами размерности можно обращаться, как с обычными формулами.

Принцип однородности по размерностям требует чтобы обе части равенства, выражающего физический закон, имели одинаковые формулы размерности. Это правило хорошо известно и используется для проверки правильности полученных при вычислениях соотношений. Если мы, например, вычисляли объем какой-то сложной фигуры и получили для него выражение, измеряемое в квадратных сантиметрах (размерность L2), то нужно искать ошибку в вычислениях. Особенно интересно, однако, обратное применение этого принципа для получения самих формул.

Получим, например, закон Галилея для свободного падения тела. Пройденный за время падения t путь s может зависеть еще от массы тела m и от действующей на него силы mg. Мы можем предположить поэтому, что s = ktdmb(mg)с, где d, b, с, k — некоторые числа. Формула размерности для правой части есть TdMb+c[αс] = Mb+cTd-2cLс. Формула размерности для левой части [s] = L. Приравнивая показатели размерности, находим с = 1, d - 2с = 0, b + с = 0, т. е. d = 2, b = -1, так что s = kgt2 , где k — неизвестное число. Его уже нельзя определить из соображений подобия и размерности.

Найдем формулу Гюйгенса для линейных колебаний маятника. Период Т может зависеть от длины l, массы грузика m и действующей на грузик силы f, т. е. Т = dm a f b l c . Отсюда находим уравнение размерностей [Т] = M α +bLb+cT-2b, т. е. а + b = 0, b + с = 0, -2b = 1. для периодов колебаний получаем формулу

При f = mg получается формула Гюйгенса, но с неизвестным множителем d.

Интересно, что этим способом мы получили более общую формулу для периода колебаний, которая годится не только для маятника в поле силы тяжести. Например, если грузик имеет электрический заряд q и помещен в однородное и постоянное электрическое поле Е между обкладками конденсатора, то на него действует сила f = mg + qE. Зная формулу Гюйгенса, мы определяем d и для маятника в электрическом поле сразу находим период колебаний 

Конечно, таким простым способом можно получить полный ответ далеко не всегда. Рассмотрим нелинейные колебания маятника в поле силы тяжести. Теперь зависимостью периода от амплитуды, как мы сделали это выше, пренебречь нельзя. Небольшое размышление показывает, что наши рассуждения остаются верными, но d нельзя считать просто числом — d оказывается функцией безразмерного выражения, зависящего от амплитуды колебания, например, от отношения длины дуги sM = lφM к длине маятника l. Таким образом, для периода произвольных колебаний получаем 

Так как при малых значениях φM должно быть d   1, то функция d(φM) удовлетворяет условию d(φM) → 1 при φM → 0.

Легко сообразить, что d(φM)  1. Действительно, [sin φ] [φ] и возвращающая сила для нелинейного маятника всегда меньше, чем для линейного маятника. Нелинейная сила дает меньшее ускорение грузику на всем пути, а значит, период нелинейного колебания всегда больше периода линейного колебания. Это отличие возрастает с ростом амплитуды φM. Можно доказать, что d(φM) возрастает с ростом φM и что период неограниченно возрастает, если φM → π.

Итак, совсем простые средства позволяют довольно много узнать о свойствах очень непростой системы. Здесь, однако, уместно сделать предостережение. То, что маятник непростой прибор, по-видимому, ясно. Недаром он послужил Галилею, Гюйгенсу и Ньютону одним из основных инструментов, с помощью которых они открыли законы механики. Хорошо послужит он и в наших попытках разобраться с нелинейными явлениями.

А вот простота принципа подобия и соображений размерностей несколько обманчива. Это довольно «сильный» принцип, но его применение требует очень хорошего понимания физической сущности явления, к изучению которого он применяется, а общих правил как достичь такого понимания — нет *). Применение принципа подобия в более сложных задачах — это в какой-то мере искусство. Потому-то так долго и не понимали это открытие Ньютона, а когда поняли, то начались бесконечные споры о его смысле, возможностях применения в тех или иных задачах и даже о его полезности. Эти споры не вполне затихли и сегодня. До сих пор современно звучат слова, сказанные 70 лет назад большим знатоком и пропагандистом анализа размерностей Рэлеем: «Меня часто удивляет, что даже весьма крупные ученые уделяют столь незначительное внимание великому принципу подобия. Нередко случается, что результаты кропотливых исследований преподносятся как новые «законы», которые на самом деле можно было бы получить в течение нескольких минут». К сожалению, мы не сможем уделить этому принципу достаточно внимания и рекомендуем читателю самостоятельно тренироваться в открытии с его помощью простых физических законов. 

*) Подумайте, почему в живой природе нет подобия. Может ли существовать в точности подобный человеку великан, все размеры которого в 10 раз больше размеров среднего человека!

В качестве упражнения найдите методом размерностей ускорение точки, движущейся равномерно по окружности, и определите период малых колебаний тяжелой невязкой жидкости (например, ртути) в U-образной трубке. Некоторые другие примеры встретятся позже, а сейчас настало время вспомнить еще более великий принцип.

 

Сохранение энергии

Кинетическая энергия грузика, подвешенного на нити и совершающего малые колебания, равна 1/2mv2 = 1/2ml2(φ')2, а потенциальную энергию легко найти с помощью рис. 4.5.

Так как (ОА) = 2l sin(φ/2), то (ОН) = 2l sin2(φ/2), и потенциальная энергия равна 2mgl sin2 (φ/2). Полная энергия Е = 1/2ml2(φ') + 2mgl sin2(φ/2).

Удобно намного преобразовать это соотношение, сделав все его члены безразмерными:

(φ')2/ω02 + 4 sin2 (φ/2) = 2Е/mω02 l2 . (4.3)

В правой части здесь написано отношение полной энергии маятника к кинетической энергии точки с массой m, равномерно вращающейся по окружности радиуса l с периодом . Обозначим эту энергию буквой Е0, так что правая часть равна отношению Е/Е0. Если амплитуда качаний φM мала, то sin(φ/2)  φ/2, и закон сохранения энергии (4.3) имеет совсем простой вид

(φ')2/ω02 + φ2 Е/Е0, Е0 = 1/2mω02 l2. (4.4)

Полную энергию удобно выразить через амплитуду φM. В крайней точке, где φ = φM, угловая скорость равна нулю. Из уравнения (4.3) поэтому следует, что

Е/Е0 = 4 sin2(φM/2) φM2,

где приближенное равенство, как всегда, относится к малым колебаниям.

С законом сохранения энергии связаны два новых способа наглядного графического изображения движений и других механических систем. Обычный способ — это изображение зависимости φ(t). Например, график простого гармонического колебания φ = φMsin(ω0t) позволяет наглядно представить положение грузика в разные моменты времени (рис. 4.6).

С помощью этого графика можно также найти скорость грузика в любой заданный момент. Она определяется углом наклона касательной BА к кривой в точке А с координатами (t, φ(t)), т. е. φ' = tg α. На графике, однако, не видно, как распределяется полная энергия при движении и как она связана с амплитудой. Для наглядного представления изменения кинетической и потенциальной энергий грузика нарисуем энергетическую диаграмму.

Нарисуем зависимость потенциальной энергии грузика U(φ) от его положения. В формуле (4.4) потенциальную энергию представляет слагаемое φ2, а кинетическую Т — слагаемое (φ')2/ω02. На графике удобнее откладывать отношения U/Е0, Т/Е0, Е/Е0.

Отложим по горизонтальной оси отрезок ОА, длина которого равна φ(t), а в направлении вертикальной оси отложим отрезок (АА2) = Е/Е0, причем (АА1) = U/Е0, (А1А2) = Т/Е0 (рис. 4.7, б). Так как полная энергия постоянна, то точка А2 при изменении t будет двигаться по прямолинейному отрезку А2М, а точка А' — по параболе (U(φ)/Е0) = φ2. На энергетической диаграмме видно, как перераспределяется полная энергия между кинетической и потенциальной составляющими при различных значениях φ и как амплитуда связана с полной энергией. Если нарисовать над энергетической диаграммой график φ(t) (рис. 4.7, α), то можно наглядно увидеть зависимость кинетической и потенциальной энергии от времени. Когда маятник движется из нижнего положения к крайнему правому, где φ = φM, изображающая точка А2 движется направо до точки М, а затем возвращается налево. Как при этом меняются кинетическая и потенциальная энергия, видно достаточно ясно, но скорость определять не очень удобно (нужно вычислять квадратный корень из длины отрезка А1А2). Чтобы следить также и за положением и скоростью грузика, удобно представить движение еще одним способом.

Нарисуем под нашими двумя диаграммами еще одну, на которой по оси абсцисс по-прежнему будем откладывать значения φ, а по оси ординат отложим значения φ'/ω0 в тот же момент времени (рис. 4.7, в). Тогда при движении грузика точка А3 будет описывать окружность с радиусом, равным φM = . Это видно из уравнения (4.4), так как (ОА) = φ(t) и (АА3) = φ'(t)/ω0. В случае простого гармонического колебания (ОА) = φMsin(ω0t), (АА3) = φMcos(ω0t), и ясно, что точка А3 вращается по окружности равномерно.

В этом месте внимательный, но нетерпеливый читатель воскликнет: «Но ведь это же очевидно! С этого начиналось описание гармонического колебания. Более того, мы вернулись просто к определению тригонометрических функций. Всем известно, что если точка равномерно движется по окружности единичного радиуса с угловой скоростью ω0, то ее проекции на прямые, проходящие через центр, определяют тригонометрические функции. В данном случае сразу ясно, что (ОА) = φMsin(ω0t)».

Все это, конечно, верно. Но дело в том, что нарисовать зависимость скорости φ' от положения φ можно, не только не решая уравнения маятника, но даже и забыв о его существовании. Достаточно знать закон сохранения энергии и выражение для энергии через координату и скорость, а это можно сделать не только для малых качаний маятника и не только для маятника! Пользуясь диаграммой зависимости скорости от положения, можно, наоборот, приближенно найти, как меняется положение точки со временем.

Диаграмму, на которой изображена зависимость скорости от координаты при различных значениях энергии, называют фазовой диаграммой. «Фаза» здесь означает состояние частицы, определяемое ее координатой и скоростью.

По фазовой диаграмме можно приближенно найти и график движения. Читателю полезно обдумать, как это сделать.

 

Язык фазовых диаграмм

Основная ценность всего этого длинного, не самого простого и не самого красивого способа решения задачи о малых колебаниях маятника состоит, конечно, в том, что этим же способом можно изучить любые колебания. При этом на новом языке «большие» (нелинейные) колебания выглядят ненамного сложнее малых. Иными словами, новый язык лучше приспособлен для решения сложных задач, и его нужно изучать. Свободное владение языком означает, что при чтении вам не нужно переводить с него на родной. Поначалу этого достичь нелегко, и приходится заниматься переводом. С течением времени, попрактиковавшись в применениях этого языка, вы вдруг замечаете, что начинаете на нем думать, и необходимость в переводе возникает все реже и реже.

Чем же отличается новый язык от обычного? Главное, разумеется, не в том, что мы изобразили движение другим способом, а в том, что мы сумели совсем по-новому подойти к проблеме. Действительно, нарисовать фазовую диаграмму можно, не решая никаких дифференциальных уравнений. Изобразив на одном и том же графике в плоскости (φ, φ'/ω0) кривые, соответствующие разным значениям энергии, легко сразу находить максимальные значения отклонения маятника и его скорости. Нетрудно также составить общее представление о характере движения с данной энергией. Чтобы понять, как движется маятник, вовсе не нужно знать его точное положение в любой момент времени, гораздо важнее знать общий характер его движений, который и дается фазовой диаграммой. К тому же любое конкретное движение можно восстановить по известной зависимости φ' от φ при данной энергии, которая называется фазовой траекторией. Нетрудно указать приближенный способ восстановления обычной траектории по фазовой траектории, но соответствующее вычисление можно сделать сколь угодно точным, затратив соответственно большее время. Для ЭВМ решение любой такой конкретной задачи вообще не проблема.

Язык фазовых диаграмм и фазовых траекторий — очень современный, и систематически применять его начали сравнительно недавно. Закон сохранения энергии применялся значительно раньше. В особенно ясной форме это сделал знаменитый немецкий математик Карл Вейерштрасс (1815—1897) *). Он рассматривал выражение для энергии (4.3) как дифференциальное уравнение для функции φ(t) и выражал его решения с помощью так называемых эллиптических функций, теории которых он, после Абеля и Якоби, придал законченный современный вид. Обобщения этой глубокой математической теории и сегодня применяются математиками и физиками для решения сложных нелинейных уравнений и играют очень важную роль в математической теории солитонов. Мы с сожалением должны пройти мимо этих прекрасных зданий, построенных математиками. Для описания их конструкций требуется слишком сложный математический язык. К счастью, основные свойства движений маятника и других не очень сложных систем можно описать на более простом и наглядном языке фазовых диаграмм и фазовых траекторий.

*) См. о нем в книге: Замечательные ученые. — М.: Наука, 1980. — Библиотечка «Квант», вып. 9, в очерке о Софье Васильевне Ковалевской, талант которой он высоко ценил.

Впервые для этих целей его применил в 1885 г. французский математик, преподаватель Политехнической школы **) в Париже Анри Леоте (1847—1916). Он в основном занимался различными проблемами механики и использовал фазовые диаграммы для изучения работы некоторых автоматических регуляторов. Леоте не пытался создать какую-либо общую математическую теорию, и его подход к фазовым диаграммам был, скорее, физическим. Он не знал, что за три года до этого были уже заложены основы более общей математической теории. В 1882 г. 28-летний французский математик Анри Пуанкаре (1854—1912) начал публиковать серию работ под названием «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями», в которых он разработал качественный и геометрический подход к изучению решений дифференциальных уравнений.

Этот подход радикально отличался от принятых в то время представлений о том, что значит решить дифференциальное уравнение. Сам Пуанкаре это очень ясно понимал: «Итак, необходимо изучать функции, определенные дифференциальными уравнениями, сами по себе, не пытаясь сводить их к более простым функциям. Полное изучение функций состоит из двух частей: 1) качественной (так сказать), или геометрического изучения кривой, определенной функцией; 2) количественной, или вычисления значений функций... Так же для изучения алгебраической кривой начинают с того, что строят эту кривую, как говорят в курсах элементарной математики, т. е. находят, какие ветви кривой замкнуты, какие бесконечны и т. д. После этого качественного изучения кривой можно найти некоторое число отдельных точек.

**) Самое знаменитое высшее учебное заведение Франции того времени. В Политехнической школе учились Ампер, Араго, Френель, Пуассон, Коши и другие известные ученые, в том числе Леоте и Пуанкаре.

Естественно, что именно с качественной стороны должна начинаться теория всякой функции, и вот почему в первую очередь возникает следующая задача: построить кривые, определяемые дифференциальным уравнением. Это качественное изучение; когда оно будет проделано полностью, то принесет самую большую пользу численному анализу функций... Впрочем, это качественное изучение и само по себе будет иметь первостепенный интерес. Различные и чрезвычайно важные вопросы анализа и механики могут быть сведены к нему».

В наше время такие взгляды кажутся совершенно естественными, почти сами собой разумеющимися. Однако сто лет назад эти идеи выглядели слишком необычными и не могли быть сразу усвоены и признаны. Мешало этому усвоению также и сильное отклонение интуитивных, геометрических рассуждений Пуанкаре от принятых тогда канонов математической строгости доказательств — многие утверждения не были доказаны, а некоторые, как выяснилось впоследствии, оказались ошибочными. Тем не менее по мере того, как росла слава Пуанкаре, которого по праву считают величайшим французским математиком второй половины прошлого века *), его труды и идеи привлекали все большее внимание. Лет через двадцать-тридцать (!) начали появляться исследования, в которых качественная теория Пуанкаре получила развитие и строгое обоснование. Развитие этой теории продолжается и в наше время, и в любой книге, посвященной нелинейным дифференциальным уравнениям или нелинейным колебаниям, можно найти многократное упоминание его имени и ссылки на его работы.

*) Подобно Эйлеру и Гауссу он охватывал своими работами почти все основные направления в современной ему математике и физике. Будучи профессором Сорбонны, с 1881 г. до своей преждевременной смерти он каждый год читал лекции по новому предмету!

Иной была судьба Леоте. Связь его исследования с идеями Пуанкаре не была замечена ни самим Леоте, ни Пуанкаре, ни кем-либо другим, а статья Леоте была полностью забыта. Другие его труды по теории машин и механизмов, по различным приложениям математического анализа были высоко оценены, и он стал с 1890 г. членом Парижской академии наук. Но эта работа пребывала в забвении, пока о ней не вспомнил замечательный советский физик Александр Александрович Андронов (1901—1952). Он был учеником Леонида Исааковича Мандельштама (1879—1944) и под его влиянием занялся проблемами нелинейных колебаний. Еще будучи аспирантом Мандельштама, он «открыл» для себя труды Пуанкаре и сразу понял, что разработанный в них математический язык наиболее подходит для решения увлекших его проблем. Мандельштам эту идею чрезвычайно одобрил и поддержал, и в результате выросло целое направление, в дальнейшем детально разработанное уже Андроновым и его учениками (в особенности надо упомянуть А. А. Витта) и обогатившее не только физику и технику, но и саму качественную теорию дифференциальных уравнений. Как говорил Пуанкаре: «Физика не может обойтись без математики, которая представляет ей единственный язык, на котором она может говорить.

Отсюда взаимные и беспрестанные услуги, которые оказывают друг другу чистый анализ и физика. Замечательная вещь — работы аналитиков — были тем более плодотворны для физиков, чем более культивировались исключительно ради своей красоты. Взамен физика, ставя новые задачи, была столь же полезна математикам, как модель для художника».

Хотя эти слова замечательно точно и ясно описывают связь математики с физикой вообще и теории колебаний с теорией дифференциальных уравнений в частности, все-таки сразу видно, что они сказаны математиком. Физик никогда не согласится даже сравнить свою науку с моделью для математики, наоборот, он будет говорить о математических моделях тех или иных сложных физических явлений. Наиболее важная часть работы физика — найти подходящую математическую модель, описывающую наиболее важные черты исследованного физического явления. Следующий этап — изучение модели — по характеру более близок к работе «чистого» математика. Но и здесь физик остается физиком. Пути решения математических задач ему часто подсказывает физическая интуиция, а постановка этих задач просто «диктуется» физикой. Не математическая красота, а желание как можно точнее и глубже понять реальные физические явления определяет для физики и само представление о том, что значит решить математическую задачу. Так что афоризм Пуанкаре — это «правда, только правда, ничего кроме правды», но не «вся правда».

Чтобы не забывать об этом, приведем слова Л. И. Мандельштама о связи физики с математикой в теории колебаний: «Конечно, поскольку вы имеете дело с уравнениями, главным образом дифференциальными, то с некоторой точки зрения все это — математика. Но не в этом главное. Прежде всего потому, что именно физика учит нас, как допрашивать дифференциальные уравнения. В теории колебаний математический образ... имеет чрезвычайно наглядное, не только геометрическое, но и физическое содержание. Иначе говоря, в подкрепление к анализу вы здесь имеете не только геометрическую, но и физическую интуицию. Причем эта наглядность и интуиция может быть весьма разветвленной и богатой и может опираться на радиотехнический, электротехнический, оптический и тому подобный материал».

До сих пор мы говорили в основном о качественных методах изучения нелинейных колебаний. Однако качественное исследование решает половину задачи, да к тому же оно и не всегда возможно. Для физики, астрономии, механики этого мало — необходимо уметь рассчитывать движения системы, производить вычисления. Сегодня в этом очень помогают ЭВМ, но даже и они далеко не всегда могут справиться со сложными задачами, возникающими при изучении реальных систем.

Методы расчета движений сложных систем начали разрабатываться в XVIII в. и предназначались главным образом для вычисления планетных орбит. Если пренебречь притяжением планет друг к другу, а учитывать лишь их притяжение к Солнцу, то задача решается легко. Однако если попытаться рассчитать, скажем, движение Луны, то сразу обнаружится, что сделать это чрезвычайно трудно — нужно учитывать силы, действующие между тремя телами — Солнцем, Землей и Луной.

Первыми начали решать подобные задачи Д'Аламбер и Эйлер, которые и предложили идею так называемого метода возмущений. Она заключалась в том, чтобы выделить самые сильные взаимодействия, определяющие главные особенности движения, а остальными, малыми взаимодействиями (их называют возмущениями) сначала пренебречь. Если движения такой упрощенной системы («невозмущенные» движения ) удается рассчитать, то затем можно вычислить поправки, т. е. найти «возмущенное» движение.

Идеи Д'Аламбера и Эйлера подробно разработали Лагранж, Лаплас и Пуассон. В частности, Пуассон заметил, что этой идеей можно воспользоваться для расчета малых колебаний нелинейного маятника. При этом невозмущенными считаются колебания линейного маятника (sin φ заменяется на φ), а возмущение определяется нелинейными поправками к возвращающей силе. Метод Пуассона позволил получить хорошее приближение, если возмущение достаточно мало, а интервал времени, на котором нам нужно знать движение, не слишком велик (первая успешная попытка получить приближенные решения на сколь угодно большом интервале времени принадлежит Остроградскому).

Примерно по такой же схеме велись вычисления в небесной механике (невозмущенное движение — это движение по кеплеровым эллиптическим орбитам). Лагранж и особенно Лаплас выполнили большие и трудоемкие вычисления возмущенных движений планет, на основании которых можно было определить точные положения планет в далеком прошлом и будущем. Применяя их методы, Адамс и Леверье впоследствии обнаружили отклонение орбиты Урана от рассчитанных значений и объяснили это явление возмущающим влиянием новой, неизвестной планеты Нептун.

В дальнейшем А. Пуанкаре и замечательный русский математик Александр Михайлович Ляпунов (1857—1918) чрезвычайно усовершенствовали и обобщили методы возмущений. Хотя они в основном интересовались задачами небесной механики, созданные ими методы оказались столь общими, что их легко было приспособить к решению совсем других нелинейных задач физики и техники. Когда примерно 50 лет назад Мандельштам и Андронов начали применять методы Ляпунова и Пуанкаре в нелинейной радиофизике, они были немало поражены тем, сколь эффективны методы небесной механики при расчете, например, работы лампового генератора. С тех пор область применения этих методов постоянно расширялась.

Примерно в то же время Николай Митрофанович Крылов (1879—1955) и Николай Николаевич Боголюбов разработали новые методы теории возмущений в нелинейной механике, позволяющие описывать не только периодические, но и гораздо более сложные движения нелинейных систем. Эти методы были применены Н. Н. Боголюбовым к описанию хаотических движений в системах, состоящих из очень большого числа частиц. В последние годы, в особенности под влиянием идей А. Н. Колмогорова и В. И. Арнольда, началось объединение качественных и количественных методов исследования нелинейных систем. Все это привело к замечательному расцвету нелинейной механики, которая теперь с успехом применяется в самых разных науках и сыграла огромную роль в развитии теории солитонов.

Продолжим разбор движений маятника, следуя по пути, подсказываемому физической и отчасти геометрической интуицией. Ясно, что фазовые траектории можно нарисовать для движения маятников с любой энергией. Совокупность всех возможных фазовых траекторий составляет фазовый портрет. По этому портрету легко получить наглядное представление о всевозможных движениях.

 

Фазовый портрет

Чтобы научиться рисовать и без труда понимать фазовые портреты, рассмотрим сначала совсем простые задачи. Пусть точка равномерно движется по прямой и в начальный момент t = 0 ее координата s равна нулю, так что s = v 0 t . График этого движения — прямая линия с наклоном, пропорциональным скорости (рис. 4.8, α).

Если на вертикальной оси графика 1 см соответствует 1 с времени, а 1 см по горизонтали соответствует 1 см пути, то скорость, очевидно, равна tg α см/с. Дальше мы не будем упоминать об этом соглашении и с производными величинами будем обращаться точно так же (на оси скорости 1 см соответствует скорость 1 см/с и т. д.). Отрицательным значениям угла отвечают движения в отрицательном направлении по оси Os (рис. 4.8, б).

Нетрудно нарисовать любую фазовую траекторию. Это просто прямые, параллельные горизонтальной оси Os и пересекающие вертикальную ось в точке, соответствующей значению скорости, равному v0. Когда скорость положительна, изображающая точка А пробегает фазовую траекторию слева направо, при отрицательной скорости — в обратном направлении. Если s = s0 + v0t, то график движения не проходит через точку О, но фазовая траектория такого движения совпадает с фазовой траекторией движения s = v0t. Это, конечно, легко проверить, но на самом деле это должно быть очевидным, так как фазовые траектории не зависят от момента t0, в котором мы начинаем отсчет времени.

Если точка покоится, то на графике движения ей соответствует прямая, параллельная оси времени, т. е. s = s0 и α = 0. На фазовой диаграмме этой прямой соответствует точка s = s0 на оси Os, т. е. точка (s, v) = (s0, 0). При разных значениях s0 эти точки заполняют всю ось Os. Каждую точку оси Os нужно рассматривать как отдельную фазовую траекторию.

Таким образом, фазовые траектории точки, движущейся равномерно по прямой, — это прямые, параллельные оси Os, а также точки оси Os. Через каждую точку фазовой плоскости (s, v) проходит только одна фазовая траектория, если договориться, что выбор начала отсчета времени t0 несуществен (т. е. важно лишь, какую кривую пробегает изображающая точка). Чтобы больше не возвращаться к этому, можно, как это делалось и раньше, условиться, что s = 0 при t = 0, а остальные движения получать сдвигом начала отсчета времени.

В качестве упражнения постройте фазовые диаграммы равномерно ускоренных движений грузика, падающего с высоты h или подбрасываемого вверх. Точка О на фазовой диаграмме представляет фазовую траекторию лежащего на земле грузика. Вообще, такие точки на фазовых диаграммах называются точками покоя. В самом нижнем положении наш грузик покоится устойчиво, иными словами, точка на фазовой диаграмме — устойчивая точка покоя. Если грузик слегка подбросить, он вернется назад. Дальнейшее движение грузика зависит от его устройства как реальной физической системы. Если грузик — модель упругого мячика, падающего на асфальт, то он будет отскакивать, пока вся его энергия не перейдет в тепло (попробуйте нарисовать фазовые траектории этих движений). Если же уронить на пол кусочек пластилина, то он останется в нижнем положении (какова фазовая траектория в этом случае?).

Точки покоя на фазовом портрете равномерно движущегося грузика, наоборот, неустойчивы. Если сообщить грузику небольшой импульс, то он начнет равномерно двигаться и в конце концов уйдет сколь угодно далеко от исходного положения. На фазовом портрете это будет выглядеть так, что точка (s0, 0) «перепрыгнет» на близкую фазовую траекторию и уйдет по ней сколь угодно далеко. В реальной системе (скажем, шайба на льду) этому помешает трение, но при очень малом трении шайба все равно улетит далеко, а при достаточном заметном трении нужно уже рисовать другой фазовый портрет, так как фазовые траектории не будут прямыми, параллельными оси Os (подумайте, как они могут выглядеть).

 

Фазовый портрет маятника

Набросав все эскизы, попробуем теперь нарисовать портрет маятника. Чтобы облегчить эту задачу, изобразим сначала его движения на энергетической диаграмме (рис. 4.9). Вспомним, что связь между угловой скоростью φ' и углом отклонения φ определяется выражением для энергии (4.3), которое перепишем еще раз:

(φ')2/ω02 + 4 sin2 φ/2 = Е/E0, E0 = 1/2mω02 l2.

Если энергия равна нулю, то маятник покоится; график его движения — ось Ot, изображающая точка на энергетической диаграмме и на фазовой диаграмме — точка O.

Если Е/E0  4, то существует максимальное значение угла отклонения φM  π. Так как должно выполняться неравенство Е/E0 - 4 sin2 φ/2  0, то угол φ не может достигать значения π. Мы знаем, что при этом маятник колеблется между значениями угла отклонения -φM и +φM. Движение это периодическое, хотя оно уже не описывается простой синусоидой и формула Гюйгенса не применима. (Вместо нее следует использовать более сложную формулу (4.2).) Графику этого движения (кривая 1 на рис. 4.9) соответствует на энергетической диаграмме движение по кривой 1 до крайней точки A1, где кинетическая энергия и скорость равны нулю, а затем в обратном направлении до A'1, где точка «отражается» и снова движется в положительном направлении. Как и в случае гармонического движения, на фазовой диаграмме изображающая точка движется по замкнутой кривой «овальной» формы. Ее легко построить с помощью уравнения (4.3), выразив φ' через φ. Если амплитуда φM мала, то этот «овал» превращается в окружность, соответствующую синусоиде на графике движения.

При достаточно большой энергии, когда Е/E0 4, и даже при максимальном значении потенциальной энергии 4 sin2 (φ/2) (при φ = π потенциальная энергия равна 4) кинетическая энергия (φ')2/ω02 не равна нулю, и маятник проскакивает верхнюю точку. Теперь он совершает не колебательное, а вращательное движение.

Это движение не равномерно, внизу скорость маятника максимальна, а в верхнем положении минимальна. На наших графиках это движение изображается кривыми 3. Если маятник вращается против часовой стрелки, значение угла φ неограниченно возрастает с ростом времени (фазовая траектория 3). Если он вращается по часовой стрелке, то значение угла неограниченно уменьшается (фазовая траектория 3).

Наиболее интересно для нас движение с энергией Е, в точности равной 4Е0. В этом случае закон сохранения энергии дает простое соотношение

Если маятник находится в верхнем положении, т. е. φ = π или φ = -π, то его скорость равна нулю, и он может пребывать в состоянии покоя. График такого движения: φ(t) = π при всех t, или φ(t) = -π при всех t. На фазовой плоскости точки φ = π, φ' = 0 и φ = -π, φ' = 0 — это точки покоя (или точки равновесия). Ясно, что эти точки равновесия, в отличие от нижней точки равновесия маятника, неустойчивы. Если чуть-чуть увеличить полную энергию, скажем, резким движением слегка толкнуть маятник, то он начнет совершать вращательное движение. Если уменьшить полную энергию, скажем, медленно сдвинуть и отпустить маятник, то он начнет совершать колебательные движения с амплитудой, близкой к π. В обоих случаях он далеко уходит от положения равновесия. Если бы мы проделали то же самое в нижнем положении равновесия, то ясно, что маятник начал бы колебаться около этого положения с небольшой амплитудой. Точка φ = 0, φ' = 0 на фазовой плоскости — устойчивая точка покоя.

При Е = 4Е0 возможно и другое движение маятника. Пусть при t = 0 угловая скорость φ' равна 2ω0. Тогда из формулы (4.3) следует, что Е/E0 = 4, и маятник движется к верхней точке так, что его скорость в положении φ равна

 φ' = 2ω0cos φ/2 . (4.6) 

Чем ближе φ к π, тем меньше скорость. Если угол отклонения очень близок к π, то удобно обозначить малый угол отклонения π - φ через 2α. Тогда cos (φ/2) = cos (π/2 - α) = sin α  α. Скорость изменения угла φ равна, очевидно, -2α'. Поэтому между α' и α при малом значении угла α есть простое соотношение

α'  -ω0α, (4.7)

которое следует из (4.6) при малом значении π - φ.

В уравнении (4.7) можно узнать уравнение, описывающее радиоактивный распад, если считать α(t) массой нераспавшегося к моменту времени t радиоактивного вещества. Решение уравнения радиоактивного распада хорошо известно:

α(t) = α0е - ω 0 t .

Здесь α0 — начальное количество вещества, α(0) = α0, основание натуральных логарифмов е = 2,718281828... В Приложении показано, как получить это решение чисто геометрически. Здесь нам важно лишь то, что оно при возрастании t быстро убывает, но никогда не обращается в нуль. Это означает, что маятник ни за какое конечное время не придет в верхнее положение равновесия. Для понимания качественного характера движения нам больше ничего и не нужно. Можно сразу нарисовать приблизительный вид графика движения с энергией Е= 4Е0. Правда, наши рассуждения относились лишь к положительным значениям времени t, но левую часть кривой легко построить, вспомнив, что маятник качается совершенно симметрично относительно нижнего положения (для сравнения тонкой кривой изображено колебательное движение с энергией, меньшей  4Е0). Эта симметрия приводит к тому, что энергетическая и фазовая диаграммы симметричны относительно вертикальной оси. Если в какой-то момент t маятник находится в положении φ(t), то в момент -t он находился в положении φ(-t) = -φ(t) (напомним, что время отсчитывается так, что в момент t = 0 маятник находится в нижнем положении, см. рис. 4.10).

Фазовая диаграмма симметрична и относительно горизонтальной оси. Это значит, что всякому качанию слева направо, когда φ возрастает, соответствует точно такое же качание справа налево. График такого движения изображается кривой, симметричной относительно вертикальной оси (эти кривые изображены на рис. 4.10 штриховой линией).

Итак, мы нарисовали полный фазовый портрет маятника (рис. 4.9). Важную роль играют на нем кривые 2 и которые отделяют фазовые траектории колебательных движений (кривая 1) от фазовых траекторий вращательных движений (кривые 3, 3) и называются сепаратрисами (от лат. seрaro — отделять). Эти кривые и соответствующие им графики движения играют, как мы скоро увидим, большую роль в теории солитонов. Форма солитона Френкеля и Конторовой (как и многих других солитонов) определяется кривой, совпадающей с графиком движения, соответствующим сепаратрисе.

 

«Солитонное» решение

уравнения маятника

Общие решения нелинейного уравнения маятника можно выразить через так называемые эллиптические функции Якоби (мы их уже упоминали, когда говорили о форме нелинейных волн, (рис. 2.2).

Замечательно, однако, что движение, соответствующее сепаратрисе фазовой диаграммы, можно записать с помощью элементарных функций. Геометрический вывод этого решения приведен в Приложении, где показано, что для решения φ(t), обращающегося в нуль при t = 0, выполнено простое соотношение

Общее решение уравнения (4.6) можно получить отсюда сдвигом начала отсчета времени, т. е. заменой в формуле (4.8) t на t0. Чтобы хорошо понять это решение, выразим φ непосредственно через t:

График этой функции легко построить, вспомнив, как выглядят графики показательной функции и aгctg (рис. 4.11, 4.12). Когда t растет от - до + , α убывает от + до 0.

При этом aгctg α пробегает значения от π/2 до 0, а φ меняется от -π до +π. Таким образом, написанное решение соответствует сепаратрисе, идущей из точки -π в точку +π.

Вспоминая, что φ удовлетворяет уравнению (4.6), после несложных тригонометрических преобразований можно найти, что

Здесь мы ввели в употребление так называемый гиперболический косинус

ch(ω0t) = 1/2(eω 0 t + е-ω 0 t ),

часто встречающийся в теории солитонов. (Геометрическое определение этой и других гиперболических функций можно найти в Приложении.) Легко построить график этой функции (рис. 4.13).

Теперь легко получить графики φ(t) и φ'(t), описывающие особое движение маятника (рис. 4.14). Эти две замечательные и простые функции стоит как следует изучить и запомнить.

 

Движения маятника и «ручной» солитон

Качественный характер изученных нами движений маятника полезно изучить на простых опытах. Проще всего сделать это с помощью обычного велосипедного колеса. Перевернув велосипед, можно сделать из переднего колеса неплохой маятник, способный совершать колебательные и вращательные движения. Для этого прикрепим на ободе кусочек пластилина или какой-либо иной грузик. Если колесо не сбалансировано, лучше его сначала сбалансировать, так чтобы оно могло покоиться в любом положении. Внешняя сила, действующая на колесо, определяется только дополнительным грузиком, а в движении участвует вся его масса.

Чтобы оценить период движения колеса, приближенно заменим его однородным тонким обручем с радиусом, примерно равным расстоянию l от центра до внутренней части обода, и с массой, примерно равной массе всего колеса М. Приложенная сила равна -mg sin φ, а ее момент равен mgl sin φ, где m — масса дополнительного грузика, а φ — угол отклонения его от вертикали, отсчитываемый точно так же, как и для обычного маятника. Мысленно разделим обруч на n одинаковых маленьких частей. Если к каждой приложить силу -(1/n) mg sin φ, направленную по касательной к обручу, то приложенный полный момент силы равен -mgl sin φ, так что такое «разделение» внешней силы допустимо. Для каждой маленькой части легко написать уравнение движения

поскольку все части движутся как целое и их ускорения одинаковы. Таким образом, мы получили уравнение, совпадающее с уравнением движения обычного маятника φ" = -ω02 sin φ, но теперь ω02 = mg/Ml. Этот вывод не зависит от сделанных приближений, приближенным получилось лишь выражение для ω02 (в точной формуле вместо Ml надо подставить I/l, где I — момент инерции колеса; для обруча I = Ml 2 ).

На этом простом приборе можно изучить все движения, которые были рассмотрены выше. Нужно только помнить, что трение приводит к затуханию колебаний, закон сохранения энергии становится приближенным и фазовый портрет маятника при наличии трения существенно изменяется (попробуйте показать, что для линейного маятника с трением окружности на фазовой плоскости переходят в спирали, накручивающиеся на точку φ = 0, φ' = 0).

На велосипедном колесе легко установить изохронность малых и неизохронность больших колебаний. Нетрудно также найти зависимость периода колебаний от амплитуды и установить качественный характер любых движений.

Однако построить экспериментальные графики движений не очень просто. Самый удобный способ — сделать киносъемку движений колеса, но это уже достаточно дорогостоящий опыт. Замечательно, что зависимость угла от времени для самых разных движений можно определить на опыте с помощью очень простой системы, которая, на первый взгляд, не имеет ничего общего с маятником.

Возьмем тонкую и достаточно длинную стальную проволочку. Она должна легко гнуться без заметной остаточной деформации. Если ее положить на стол и слегка сжать на концах, она примет форму полусинусоиды, как указано в верхней части рис. 4.15.

Проведем касательные к получившейся кривой и будем отсчитывать угол φ, как указано на рисунке. Длину дуги s на кривой будем отсчитывать от точки О, причем слева s  0, а справа s 0. Если на проволочке сделать петельку, как указано в нижней части рис. 4.15, то угол будет принимать значения от -π до +π, если считать проволочку бесконечно длинной. При этом зависимость φ от s описывается формулой (4.9), в которой вместо t надо подставить s, а ω0 определяется силой F, действующей на проволочку. Если проволочка бесконечно длинная, то петелька может располагаться в любом месте, она может свободно перемещаться вдоль проволочки. Эта петелька и есть простейшая модель солитона. Назовем этот солитон «ручным».

С движением маятника связаны любые формы изгиба проволочки. Каждой зависимости φ(s) от s можно поставить в соответствие некоторое движение маятника. Эта замечательная аналогия называется аналогией Кирхгофа в честь открывшего ее знаменитого немецкого физика Густава Кирхгофа (1824—1887) *). На самом деле он нашел гораздо более широкую аналогию между состояниями деформированных упругих тел и движениями твердого тела. К сожалению, о ней сегодня совершенно незаслуженно забыли. Мы немного поговорим о ней после того, как познакомимся с солитоном Френкеля.

*) Формы изгиба упругой проволочки первым изучил Леонард Эйлер. Их называют «эластиками Эйлера».

 

Заключительные замечания

Мы заканчиваем самую трудную главу в этой книге, главное содержание которой — основные идеи теории нелинейных колебаний, изложенные на простейших, но не тривиальных примерах. Читателю, желающему понять, как устроены солитоны, необходимо ясно представить себе линейные и нелинейные колебания маятника. Особенно хорошо нужно понять энергетические соотношения и движения, фазовые траектории которых сепаратрисы (формулы (4.9), (4.10) и рис. 4.14). Эти решения позволят нам понять с помощью простых аналогий очень важные солитоны. Один из примеров — ручной солитон, который связан с асимптотическим движением маятника аналогией Кирхгофа. 

Метод физических аналогий и моделей, которым с таким успехом пользовались великие физики прошлого века, и сегодня сохраняет ценность. Особенно плодотворен он в теории колебаний, волн и солитонов, где одни и те же уравнения описывают множество совершенно различных систем. Можно высказать некоторые общие принципы получения таких аналогий. Пусть состояния двух систем определяются одинаковым числом переменных, или, как говорят, обобщенных координат (например, угол φ для маятника, заряд конденсатора Q в колебательном контуре и т. д.). Предположим, что энергии этих систем Е1 и Е2 сохраняются и что посредством некоторого переобозначения обобщенных координат и параметров, характеризующих системы (массы, емкости, индуктивности и т. д.), можно сделать величины Е1 и Е2 одинаковыми функциями координат (с точностью до постоянного множителя). Тогда ясно, что системы полностью аналогичны и между их «движениями», каков бы ни был их смысл, можно установить полное соответствие.

Правда, здесь есть некоторые тонкости. Например, новые обобщенные координаты, от которых энергии зависят одинаково, могут изменяться в разных пределах. Более существенная тонкость связана с тем, что для систем разной природы нас могут интересовать разные задачи. Если между системами имеется точная аналогия, то их обобщенные координаты удовлетворяют одинаковым уравнениям движения. (Собственно, это и есть определение точной аналогии, просто иногда удобнее иметь дело с энергией.) Однако мы знаем, что для определения конкретного движения нужно задать некоторые дополнительные условия, например, начальные значения координат и скоростей.

Рассмотрим с этой точки зрения аналогию Кирхгофа. Выше упоминалось о точном соответствии между движением маятника и формой изгиба упругой проволочки (эластика Эйлера). В следующей главе будет показано, что для определения эластики Эйлера нужно решить уравнение маятника φ" = -ω02 sin φ. Однако в этом случае задача ставится совсем не так, как в теории маятника. Аналог времени здесь — длина дуги эластики s, а длина проволочки l фиксирована, так что -1/2l  s  1/2l. Нам нужно найти форму проволочки, т. е. φ(s) при заданной внешней силе F. Как мы увидим ниже, величина ω02 пропорциональна F. Если пользоваться аналогией с маятником, то нужно решить довольно странную задачу: найти все возможные движения маятника от «момента» -1/2l до «момента» +1/2l и изучить зависимость этих движений от ω02. Для эластики естественно возникают и другие задачи, например, как найти ее наиболее устойчивую форму, т. е. форму, для которой запасенная в проволочке упругая энергия минимальна. Эти задачи существенно сложнее задач, обычно решаемых в теории маятника, и знакомство с аналогичными, но более просто определяемыми движениями маятника очень помогает при их решении.

Полезны не только точные, но и приближенные аналогии. Типичный пример приближенной аналогии — соотношение между обычным и циклоидальным маятником. Приближенной аналогией следует пользоваться с большей осторожностью, чем точной. Например, при достаточно больших амплитудах колебания обычного и циклоидального маятника становятся качественно различными. Более удачна качественная аналогия между маятником и грузиком на кривой у = α [1 - cos (х/Ь)] в поле силы тяжести, направленной по оси у (грузик в желобе). Введя обозначение φ = х/Ь, можно проверить, что малые колебания грузика вблизи точки φ = 0 соответствуют малым колебаниям маятника с длиной l = b 2 /α и что для этих двух систем фазовые портреты качественно сходны. На математическом языке можно сказать, что они топологически эквивалентны *). Простой пример такой эквивалентности — изображение нашего лица в кривом зеркале «комнаты смеха».

*) Топологически эквивалентные фазовые портреты легко получить, нарисовав какой-нибудь фазовый портрет на резиновой пленке. Любой портрет, который получается растягиванием пленки без разрывов, топологически эквивалентен исходному. При этом замкнутые кривые остаются замкнутыми, непересекающиеся кривые остаются непересекающимися и т. д.

Топологическую эквивалентность фазовых портретов можно было бы положить в основу определения качественной эквивалентности. Однако с этим связана еще одна тонкость. Все изучаемые в физике модели реальных систем описывают их реальное поведение лишь с какой-то степенью точности. Любая математическая модель физического явления получается упрощением, или идеализацией, реальной системы. Чем сложнее система, тем серьезнее эти упрощения.

Как говорил Я. И. Френкель, «физик-теоретик... подобен художнику-карикатуристу, который должен воспроизвести оригинал не во всех деталях, подобно фотографическому аппарату, но упростить и схематизировать его таким образом, чтобы выявить и подчеркнуть наиболее характерные черты. Фотографической точности можно — и следует — требовать лишь от теоретического описания простейших систем. Хорошая теория сложных систем должна представлять лишь хорошую «карикатуру» на эти системы, утрирующую те свойства их, которые являются наиболее типическими, и умышленно игнорирующую все остальные — несущественные свойства... Хорошая карикатура на какого-либо человека не может существенно улучшиться от более аккуратного и точного изображения нехарактерных деталей его лица и фигуры» *). Так вот, основная тонкость состоит как раз в том, чтобы выделить эти наиболее характерные черты.

*) Чтобы вполне оценить это высказывание, надо знать, что Я. И. Френкель с детства и до конца жизни помимо физики увлекался живописью. Выполненные им портреты друзей и знакомых обычно передают наиболее существенные черты оригинала, хотя и не являются карикатурами. Может быть, лучше вспомнить не о карикатурах, а о рисунках Пушкина или Пикассо, которые несколькими штрихами удивительно точно передают внутреннюю сущность изображаемого человека.

Без отбрасывания несущественных подробностей вообще нельзя было бы найти физические законы. Первым это понял Галилей, который и считается основателем современного научного метода в физике. Яркий пример силы метода «окарикатуривания» явления — открытие Галилеем закона инерции, который обычно называют первым законом Ньютона (сам Ньютон приписывал первые два «закона Ньютона» Галилею). Первая часть закона инерции Галилея была известна уже великому философу древности Аристотелю из Стагира (384—322 гг. до н. э.): «ни одно тело не переходит из состояния покоя в состояние движения без действия какой-либо силы». Представить себе, что равномерное и прямолинейное движение может происходить без действия какой-либо силы (в этом смысле состояние покоя эквивалентно состоянию равномерного прямолинейного движения), ни Аристотель, ни его последователи не могли. Увидеть это на опыте нельзя, как невозможно и доказать логическими рассуждениями. Поэтому открытие Галилеем закона инерции и связанного с ним принципа относительности — одно из величайших достижений человеческого интеллекта и воображения, а работу, которая привела к этому открытию, справедливо сравнить не с работой карикатуриста, но с творческим порывом поэта: «сотри случайные черты — и ты увидишь: мир прекрасен» (А. Блок).

Приближенное представление об идеальном движении дает скольжение конькобежца по льду (автору, правда, неизвестно, знал ли Галилей, что такое коньки). Можно представить себе, что действие силы тяжести уравновешивается реакцией со стороны льда (видимо, у Галилея было об этом некоторое представление). Чтобы получить теперь картину идеального состояния равномерного и прямолинейного движения, необходимо еще мысленно исключить силы трения. Галилей сумел сделать этот последний шаг, хотя он и не изучал силы трения на опыте.

Ясное понятие о сопротивлении среды, о силах трения впервые появилось в «Началах» Ньютона, который наблюдал качания маятника в сопротивляющейся среде. Он рассмотрел влияние силы трения, пропорциональной скорости тела, квадрату скорости тела, а также постоянную силу трения. В шестом разделе второй книги «Начал» Ньютон доказывает несколько теорем о качаниях маятника в сопротивляющейся среде. Замечательна своей простотой и очень важна теорема 21: «Качания маятников по циклоиде в среде, оказывающей сопротивление, пропорциональное скорости, изохронны» (попробуйте доказать эту теорему).

С помощью полученных теорем Ньютон попытался на опыте определить зависимость силы сопротивления от скорости: «Я подвесил к прочному крюку на тонкой нити деревянный шар, вес коего был 57 7/22 римский унций *) и диаметр 6 7/8 английских дюйма, так что расстояние между крюком и центром качания шара было 10½ фута: на нити я отметил точку на расстоянии в 10 футов 1 дюйм от центра подвеса, и против этой точки я установил линейку, разделенную на дюймы, по которой я и замечал длины дуг, описываемых маятником. Затем я сосчитал число размахов, после которого маятник утрачивал восьмую часть величины своего размаха...». Сравнивая результаты наблюдений с доказанными теоремами, Ньютон пришел к выводу, что «сопротивление шара, когда он движется быстрее, пропорционально квадрату скорости, когда же медленнее, то немного более, нежели первой ее степени».

*) Римская унция равна примерно 31,1 г.

Опыты Ньютона были повторены в 1915 г. по предложению А. Н. Крылова, в переводе которого мы цитировали «Начала». Хотя методика Ньютона была заметно улучшена, его качественные результаты подтвердились. Однако, пользуясь столь несовершенными методами, трудно было установить количественные законы трения при движении тел в жидкостях и газах. Основные законы трения качения и скольжения твердых тел были установлены на опыте почти через сто лет после выхода в свет «Начал» работами Шарля Огюстена Кулона (1736—1806), наиболее известного открытием закона притяжения электрических зарядов, сделанного независимо от Кавендиша, по обыкновению, не опубликовавшего свои результаты. Чем все это интересно и важно? Наиболее важно, что идеализация явления привела к установлению общих законов. После того как законы установлены, можно выделить и понять «внешние силы», которые приводят к видимому нарушению этих законов. В результате — совершенно новый уровень понимания явлений: «Познай, где свет, — поймешь, где тьма!» (А. Блок).

Интересен также ход мыслей Ньютона. Изложение его, конечно, несовременно, и за деталями рассуждений следить трудно, но общий подход к проблеме не отличается от подхода современного физика. В современных курсах теоретической физики трение вводят, руководствуясь практически такими же соображениями, какими пользовался Ньютон, только обычно ограничиваются трением, пропорциональным скорости, чтобы не слишком сильно «испортить» общие законы. Силы трения здесь действительно выглядят «случайными чертами», которые нужно «стереть». Галилей и Ньютон оставили нам образцы такой работы мысли, выявляющей скрытую красоту законов природы.

Следуя их примеру, мы без стеснения отбросили силы трения при анализе нелинейных колебаний. Оправдано ли это? Может показаться, что нарисованный нами портрет маятника — лишь скверная карикатура реального маятника.

Действительно, что произойдет с портретом на рис. 4.9, если включить даже очень малую силу трения? Замкнутые линии 1, соответствующие колебательному движению, разорвутся и превратятся в спирали, накручивающиеся на точку O . Сепаратриса 2 оторвется от точки (π, 0) и тоже начнет накручиваться на O . Сепаратриса #image_82.jpg  оторвется от точки (-π, 0) и т. д. (рис. 4.16). Короче, портрет маятника с трением топологически не эквивалентен портрету маятника без трения. Так что же? Выходит, трение нельзя признать случайной и нехарактерной чертой движений маятника? Не будем спешить с ответом.

Поразмыслив еще немного, можно увидеть, что рисование портрета «идеального» маятника все же не было пустым занятием. Во-первых, при малом трении фазовые траектории реального маятника достаточно близки к идеальным. Во-вторых, и это самое главное, при описании солитонов нам встретится уравнение маятника без всяких добавок, подобных силам трения. Иными словами, для теории солитонов важна аналогия не с реальным, а с идеальным маятником. Как мы скоро увидим, солитон Френкеля — Конторовой, как ручной солитон и многие другие, описывается асимптотическими движениями маятника, фазовые траектории которых — сепаратрисы 2 и #image_82.jpg . Поэтому с точки зрения теории солитонов трение в реальном маятнике, действительно, нехарактерно и случайно, а портрет идеального маятника — очень удачная карикатура. Добавление «нехарактерной детали» — трения — не только не улучшает ее, но катастрофически портит, уничтожая самое важное.

Наконец, последнее замечание. Для описания движений маятников было использовано некоторое количество математики. Необходимо ли это? Если бы нас интересовали лишь движения реальных маятников, можно было бы обойтись законом сохранения энергии, простыми геометрическими соображениями и здравым смыслом, почерпнутым из простых наблюдений. Для понимания наиболее интересных асимптотических движений этого, однако, мало, и знание математического языка хотя бы в объеме этой главы реально необходимо. О мере, в какой оно необходимо, хорошо сказал Л. И. Мандельштам в «Лекциях по колебаниям». Изложив «без всякой математики» простую картину описания колебаний грузика в желобе на языке сохранения энергии, он продолжает: «В такой простой картине все следует из наглядности. Зачем же мы проделали в прошлый раз ряд математических выводов? Дело в том, что «житейские» разговоры, в сущности, грешат в одном месте. Пусть кинетическая энергия грузика меньше максимальной потенциальной. Мы знаем, что в таком случае грузик должен остановиться. Но уверены ли мы, что он дойдет до точки остановки за конечное время? Ведь только при этом условии можно говорить о периодическом движении с конечным периодом. А что будет в случае лимитационного движения *)? Может быть, и в этом случае частица доходит до крайнего положения за конечное время? Здесь наглядные рассуждения ничего не дают, а необходимо математическое исследование. Без него вы не получите серьезного ответа. Начинающему часто кажется: к чему вся эта математика? Ему кажется, что «и так все ясно». Но в действительности какой-нибудь пункт при этом может остаться неясным. Иметь меру требуемой математической строгости — самое трудное для физика. Правильнее будет сказать так: ему необходимо уметь определять эту меру». Будем надеяться, что нам это удалось, и попробуем в том же духе подойти к изучению волн.

*) Это то же самое, что движение по сепаратрисе (см. (4.9)).

 

Наглядный образ волн на поверхности воды всем хорошо известен, однако эти волны представляют собой очень сложное явление, и для первого знакомства лучше найти хорошую «карикатуру». Именно так поступил Ньютон, предложивший простую модель распространения звуковой волны. Основная идея Ньютона сводилась к тому, что при распространении волны каждая частица среды колеблется подобно маятнику и движение каждой частицы влияет на движение всех окружающих ее частиц (ближайших соседей).

Дальнейшее упрощение состоит в том, что частицы, которые могут двигаться и одновременно деформироваться, Ньютон заменяет массивными грузиками, соединенными упругими пружинками, лишенными массы. Тогда кинетическая энергия частицы среды сосредоточена на грузиках, а потенциальная энергия упругой деформации частицы запасается в пружинах. (Рассуждения Ньютона здесь, конечно, модернизированы, но ход его мыслей передается достаточно точно.) Даже после этих серьезных упрощений модель реальной трехмерной среды еще слишком сложна. Следующий шаг приводит к задаче, которая решается точно.

 

Волны в цепочке связанных частиц

Рассмотрим цепочку одинаковых частиц с массой m, соединенных упругими пружинками и движущихся по прямой. Физики называют эту систему моделью одномерного кристалла. Условимся поэтому называть частицы «атомами». Кавычки напоминают о том, что эти «атомы» пока не имеют никакого отношения к реальным физическим атомам. В дальнейшем мы их опускаем.

Пусть длина каждой пружинки в недеформированном состоянии равна α. Тогда покоящиеся атомы, перенумерованные, как указано на рис. 5.1, будут располагаться в точках с координатами nα, т. е. равновесное положение n-гo атома определяется координатой x0n = nα. Допустим теперь, что атомы отклонены от равновесного положения, так что координата n-гo атома равна х n (верхнее положение). Обозначим отклонение атома от равновесного положения буквой y n = х n - х 0 n = х n - nα и отложим отрезки y n над соответствующими точками x0n = nα.

Соединив их плавной кривой, получим график, изображающий отклонения атомов от положений равновесия.

Плавная кривая получится, конечно, не всегда. Если отклонения каких-нибудь соседних атомов отличаются достаточно сильно, то у кривой будут резкие изломы. Мы поэтому предположим, что наклон графика отклонений очень медленно меняется, Т. е. разность двух последовательных углов α n  по модулю много меньше самих углов.

При этом получится плавная кривая, мало изменяющаяся на расстоянии α, и наша модель будет достаточно точно воспроизводить смещения частицы в непрерывной (сплошной) среде. Другими словами, если мы хотим на модели воспроизвести распространение волны в сплошной среде (упругая волна в стержне, звуковая волна в органной трубе, волна на скрипичной струне и т. д.), нужно брать частички малыми и располагать их на малых расстояниях друг от друга. Сверх этого, длина волны λ должна быть много больше расстояния между атомами.

Картину распространения волн в такой цепочке можно изучить на очень простом устройстве, для изготовления которого нужна хорошая и достаточно длинная плоская резиновая лента и большие скрепки (см. рис. 5.2). Разумеется, эта система гораздо сложнее, чем идеальная одномерная цепочка, и к тому же очень несовершенна.

Главный ее недостаток — большие потери на трение в резине. Достоинство ее — небольшая скорость распространения волн. Это позволяет наблюдать бегущие по цепочке волны невооруженным глазом. Скорость распространения возбуждений можно изменять, утяжеляя скрепки. Интуитивно ясно, что с увеличением массы скрепок эта скорость должна уменьшаться.

Если скрепки закреплены на ленте в их центрах тяжести, так что сила тяжести не создает дополнительного вращательного момента, действующего на скрепки, то эта система вполне аналогична линейной цепочке. При этом угол φn аналогичен отклонению y n , а роль массы грузика играет момент инерции скрепки.

Вместо возвращающей упругой силы нужно рассматривать момент упругой силы, возникающий при скручивании резинки. Короче, аналогия здесь такая же, как аналогия колебаний грузика на пружинке и крутильных колебаний.

Еще одно существенное отличие нашей грубой модели от идеальной бесконечной цепочки связано с отражением волн от границ. Это происходит примерно так, как указано на рис. 5.3, где изображены графики отклонений грузиков или скрепок в последовательные моменты времени. Горбику соответствует смещение грузиков в положительном направлении оси х, впадине — в отрицательном. Когда горбик подходит к стенке, крайняя, закрепленная пружина начинает тянуть крайний грузик влево, он тянет соседние грузики, и в результате направо побежит впадина.

Если вместо продольных движений грузиков изучать их поперечные движения (в направлении оси у в плоскости ху), то графики рис. 5.3 изображают форму поперечного импульса в цепочке. Наблюдать такие импульсы и волны можно с помощью мягкой и достаточно длинной резиновой трубки. Проделать соответствующие простые опыты несложно, и читатель может проявить здесь фантазию и изобретательность.

В резиновой трубке или ленте, закрепленных на концах, легко возбуждать стоячие волны. Особенно легко возбуждается колебание, в котором нетрудно узнать «полусинусоиду». При этом все точки колеблются в одинаковой фазе, и амплитуда колебаний максимальна в середине («пучность» стоячей волны). Длина такой стоячей волны равна удвоенной длине ленты *). Труднее возбудить колебание, в котором остается в покое середина («узел» стоячей волны). На всей ленте при этом укладывается «период синусоиды», и длина волны равна длине ленты. Чтобы возбудить такое колебание, нужно оттянуть ленты в противоположные стороны на равных расстояниях от краев, удерживая середину в покое. Легче наблюдать такую волну на приборчике со скрепками. Возбудив какие-либо колебания в этой цепочке (лучше всего это делать быстрым, легким щелчком по скрепке), можно просто остановить среднюю скрепку. При этом «выживет» колебание, в котором средняя скрепка покоится.

*) Ниже мы увидим, что синусоидальную стоячую волну можно представить в виде суммы двух одинаковых волн, бегущих в противоположных направлениях. Длина стоячей волны, по определению, совпадает с длиной этих бегущих волн.

Стоячие волны разных типов, в которых на всей длине ленты укладывается разное число N полуволн, называются нормальными модами колебаний (или просто модами; это слово происходит от латинского modus, т. е. образ, способ). Моды с малыми значениями N называются низшими, а с большими — высшими. Моду с N = 1 естественно называть основной, она возбуждается легче всего. При произвольном начальном возбуждении нашей системы возбуждаются разные моды, однако высшие моды не только труднее возбуждаются, но и быстрее затухают из-за трения. Потому-то их и труднее наблюдать.

Понять, что такое моды и как они себя ведут, проще всего на модели одномерной цепочки конечной длины с закрепленными концами. Сначала посмотрим, как колеблется простейшая цепочка из двух атомов. Пусть их равновесные положения равны x01 = α и x02 = 2α, а крайние пружинки закреплены в точках x00 = 0 и x03 = 3α (см. рис. 5.1). Легко составить уравнения движения атомов.

Прежде чем это сделать, введем одно небольшое новшество в обозначениях. До сих пор нам приходилось иметь дело лишь с производными по времени, и мы их обозначали штрихом. При изучении колебаний в распределенных системах встречаются не только производные по времени, с помощью которых записываются скорости и ускорения отдельных частичек, но и производные по координате. Они характеризуют изменение отклонения при переходе от одной частицы к другой в один и тот же момент времени. Поэтому условимся обозначать производную по времени не штрихом, а точкой, а штрих сохраним для производной по координате. Теперь мы будем обозначать скорость n-гo грузика как , а его ускорение — как .

Уравнения движения грузиков можно тогда написать в виде

Действительно, сила, с которой левая пружина тянет первый грузик, равна произведению модуля упругости k на удлинение пружины y1, и при y1  0 эта сила направлена в отрицательном направлении оси х. Так получается член ky1 *). Удлинение правой пружины равно (y2 - y1), и она тянет грузик с силой k(y2 - y1). Это дает второй член в правой части первого уравнения. Точно так же находим силу, действующую на второй грузик.

*) Предполагается, что упругие свойства пружины соответствуют закону Гука. Нелинейность зависимости силы отклонения вводится с помощью других, дополнительных источников силы.

На первый взгляд может показаться, что решить эти уравнения очень сложно. Однако они линейны, а это значит, что достаточно найти лишь некоторый запас решений. Их линейные комбинации, возможно, и дадут самое общее решение.

Для начала попробуем получить хоть какие-нибудь решения. В этом нам поможет физическая интуиция. Действительно, вслед за Ньютоном мы представляем себе простейшую бегущую волну как процесс распространения гармонического колебания от одной частицы к другой. Тогда стоячая волна — это просто установившиеся колебания всех частичек с разными амплитудами. Сделаем простейшее предположение: допустим, что все частицы колеблются гармонически и притом с одинаковой частотой ω, и посмотрим, что отсюда следует.

Для гармонических колебаний ускорение пропорционально отклонению, т. е. = -ω2y1 и   = -ω2y 2 . Подставляя это в уравнения (5.1), получаем простую линейную систему уравнений для y1 и y2:

Здесь ω02 = k/m, а ω — не определенная пока частота наших гипотетических колебаний.

Ясно, что у этой системы уравнений относительно неизвестных y1 и y2 есть неинтересное решение y1 = y2 = 0. Пусть y1  0. Тогда, выражения y2 через y1 из первого уравнения и подставляя полученное выражение во второе уравнение, найдем, что должно выполняться условие

Так как y1 0, то выражение в квадратных скобках должно быть равно нулю *). Решая квадратное уравнение для ω2, определяем два возможных значения частоты

*) Если хотя бы в один момент времени y 1    0, то множитель в квадратных скобках, не зависящий от времени, должен обращаться в нуль.

Если ω = ω1, то из уравнений (5.2) следует, что y2 = y1. Если ω = ω2, то y2 = -y1. Вспомним теперь, что y1 и y2 подчиняются уравнениям = -ω2y n , которые определяют их гармоническую зависимость от времени. При ω = ω1 = ω0 можно поэтому записать решение в виде

y1 = y2 = А1 cos [ω1 (t - t1)], (5.5а)

а при ω = ω2 =   — в виде

y1 = -y2 = А2 cos [ω2 (t - t2)]. (5.5б)

Здесь A1 и А2 — произвольные амплитуды, а t1 и t2 — произвольные значения времени, определяющие фазу колебаний.

Эти два решения и дают две возможные моды колебаний нашей простейшей системы (рис. 5.4).

Они соответствуют двум нашим модам колебаний резинки, изображенным на рисунке штриховыми линиями. Конечно, это соответствие несколько условно, но, согласитесь, от карикатуры, сделанной двумя точками, нельзя требовать большего! Теперь можно снова воспользоваться линейностью уравнений (5.1) и написать решение в виде суммы решений (5.5а) и (5.5б):

Это движение уже не сводится к простому гармоническому колебанию каждой из частиц. В общем случае, т. е. при произвольных значениях А1, А2, t1, t2, движение системы не будет даже периодическим.

Упражнение : рассмотрите простой случай, когда А 1 = А 2 = 1, t 1 = t 2 = 0, и покажите, что из-за несоизмеримости частот ω 1  и ω 2 не существует такого значения Т , при котором y 1 ( Т ) = y 1 (0), y 2 ( Т ) = y 2 (0). Это и означает, что такое движение не может быть периодическим.

Ясно, что формулы (5.6) дают самое общее движение. Начальное состояние определяется координатами и скоростями частиц, т. е. значениями y1(0), y2(0), . Формулы (5.6) и их производные по времени позволяют найти неизвестные константы А1, А2, t1, t2 через начальные координаты и скорости.

Замечательно, что нам удалось не только найти самое общее движение, но и разложить его на сумму самых простых из известных нам движений.

Конечно, в такой простой задаче то же самое можно было бы сделать и более простым способом. Например, если сложить и вычесть уравнения (5.1), то легко получить два независимых уравнения для (y1 + y2) и (y1 - y2), которые сразу решаются и приводят к формулам (5.6).

Однако наш чуть более длинный способ решения имеет преимущество — он легко обобщается на случай цепочки с любым числом частиц.

В качестве упражнения найдите частоты трех мод колебаний цепочки, состоящей из трех частиц. Для частот должен получиться результат:  #image_99.jpg #image_100.jpg . Сами моды выглядят, как показано на рис. 5.5. Точный смысл этого рисунка (как и рис. 5.4) состоит в том, что моду с номером М можно представить в виде

При заданном М = 1, 2, 3 индекс n пробегает три значения: n = 1, 2, 3, т. е.  #image_102.jpg задает отклонение n-гo грузика в М -й моде. В случае двух частиц отклонения для двух мод можно написать в аналогичном виде

где М = 1, 2 и n = 1, 2.

Общую закономерность теперь нетрудно уловить и она наглядно ясна — нарисованные штрихами синусоиды соответствуют стоячим волнам. Легко также догадаться, что в цепочке из N частиц моду с номером М надо искать в виде

Уравнение движения для n-гo атома составляется точно так же, как уравнения (5.1), т. е.

Это уравнение годится и для крайних атомов — первого и N-гo. Нужно только вспомнить, что крайние пружинки закреплены, т. е. у0 = yN +1 = 0. Эти условия для предполагаемых решений (5.7) уже выполнены. Теперь должно быть ясно, как довести решение до конца. Надо подставить выражение (5.7) в уравнение (5.8) и заменить на -ω2M y n (М). После несложных преобразований тригонометрических функций получится соотношение для ω2M , при выполнении которого все уравнения (5.8) удовлетворяются; это выражение мы приведем без вывода

Эта зависимость частоты от номера моды изображена на рис. 5.6. Для мод с малыми номерами (низкочастотных и длинноволновых) частота пропорциональна номеру моды. Для высокочастотных мод (коротковолновых) частота выходит на предельное значение 2ω0.

Формула (5.9) определяет спектр частот собственных колебаний (мод) цепочки. Не удивительно, что в цепочке из N частиц имеется ровно N собственных частот. Нетрудно понять и происхождение предельной частоты. Если один из грузиков колеблется слишком быстро, то соседние не успевают реагировать на его движение, и возбуждение не сможет распространяться вдоль цепочки. Этот вывод легко проверить, проделав простые опыты.

Читателю стоит потратить некоторое время, чтобы самостоятельно разобраться в этих результатах. Затраченные усилия полностью окупаются. После уравнений Галилея — Ньютона и принципа сохранения энергии разложение произвольного движения на моды, или нормальные колебания, представляет собой, возможно, самой фундаментальный результат физики. Его обобщения и приложения, от простых механических задач до современных проблем физики элементарных частиц, просто невозможно перечислить.

 

Отступление в историю.

Семья Бернулли и волны

Эти простые наблюдения отвлекли нас от первоначальной задачи Ньютона — вычисления скорости распространения волны. Скоро мы к ней вернемся, а сейчас сделаем небольшое отступление в историю. Хотя Ньютон привел лишь решение задачи о вычислении скорости бегущей волны, он, конечно, размышлял и о стоячих волнах. В самом конце того раздела «Начал», в котором определяется скорость распространения звука, он очень коротко говорит об основной частоте тона органных труб и высказывает догадку, что длина стоячей звуковой волны в трубе, открытой на одном конце, равна учетверенной длине трубы. Представления о других возможных модах, равно как и ясного понятия о стоячих волнах вообще, у Ньютона нет.

Полная теория колебания в одномерной цепочке была построена Иоганном Бернулли (1667—1748) и его сыном Даниилом Бернулли (1700—1782). Вместе с братом Иоганна Якобом Бернулли (1654—1705) они — наиболее выдающиеся представители знаменитой династии швейцарских ученых. Семья Бернулли эмигрировала из Антверпена в ХVI в. спасаясь от жестокостей испанских завоевателей, и в конце концов осела в Базеле. Якоб и Иоганн Бернулли были учениками Лейбница и стали крупнейшими математиками своего времени. Под руководством Иоганна Бернулли изучали математику его сын Даниил и Леонард Эйлер. Семья Бернулли была тесно связана с Россией. В 1725 г. Даниил уехал в Петербург, где оставался до 1733 г. В следующем году за ним последовал и Эйлер, который провел в России почти полжизни. Бернулли и Эйлер опубликовали многие свои сочинения в трудах Петербургской академии наук и были ее членами.

Существование нормальных мод было установлено отцом и сыном Бернулли, а возможность разложения произвольного движения цепочки по нормальным модам (принцип суперпозиции, или принцип сложения колебаний) была открыта Даниилом Бернулли. Он был самым выдающимся физиком в семье Бернулли; наиболее знамениты его достижения в гидродинамике, кинетической теории газов и в теории колебаний. Надо отметить, что принцип суперпозиции, с помощью которого мы так просто изучили общее движение цепочки по легко определяемым нормальным модам, был признан и вошел в науку не сразу. В числе его противников были даже Эйлер и Лагранж. В своих исследованиях они очень близко подошли к открытию этого принципа, но имели достаточно серьезные основания сомневаться в его справедливости, о которых будет сказано чуть позже.

Впоследствии одномерную цепочку в связи с распространением звуковых волн в газах, жидкостях и твердых телах изучали Лагранж и Коши. Особенно полную теорию цепочек, состоящих из атомов разных сортов, разработал в конце прошлого века Кельвин. Он применил свою теорию к распространению световых волн в твердых телах и нашел простое объяснение явления дисперсии света *), открытого в середине XVII в. чешским ученым Яном Маркусом Марци и вновь открытого Ньютоном, не знавшим о работах Марци (вспомним о знаменитом опыте Ньютона по разложению солнечного света в спектр с помощью призм). Замечательная и глубокая работа Кельвина не была полностью понята и оценена современниками, а его модель была возрождена уже в двадцатом веке, когда начали изучать кристаллические решетки, состоящие из реальных атомов.

*) Слово «дисперсия» означает в переводе с латинского рассеяние, разброс. В оптике дисперсией обычно называют явление зависимости показателя преломления от частоты или длины волны. В общей теории волн дисперсию связывают с зависимостью скорости волны от ее длины, а соотношение между частотой и длиной волны называют дисперсионной формулой. Дисперсия очень важна в теории солитонов, и мы изучим ее подробно.

 

Волны Д'Аламбера и споры вокруг них

После исследований Бернулли по одномерным цепочкам Эйлер начал изучать колебания и струны, не пытаясь представить ее с помощью простой модели, а считая ее сплошной средой. При этом движение струны определено, если известно ее отклонение от положения равновесия у (t, х) как функция координаты х и времени. В уравнение, описывающее движение струны, входят, как мы увидим, не только производные по времени , но и производные по координате у". Такие уравнения называются уравнениями с частными производными. Их систематическое изучение, которое продолжается и в наши дни, было начато Эйлером. Движения струны описываются очень простым уравнением, с которым мы познакомимся чуть позже. Опираясь на исследования Эйлера, знаменитый французский математик и энциклопедист *) Жан ле Рон Д'Аламбер (1717—1783) нашел в 1748 г. его решение

у (t, х) = f (х - vt) + g (х + vt) , (5. 10)

в котором f и g могут быть произвольными функциями.

*) Вместе с Дени Дидро он возглавил работу над монументальной «Энциклопедией наук, искусств и ремесел», 33 тома которой вышли в свет с 1751 по 1777 гг. Это была первая в мире энциклопедия в современном смысле слова.

Это замечательное решение, которое называется решением Д'Аламбера (или волной Д'Аламбера), описывает все возможные движения струны при соответствующем выборе функций f и g **). Например, если g = 0, то решение Д'Аламбера дает волну, бегущую по оси х направо со скоростью v. Скорость v не произвольна, а определенным образом зависит от упругости и силы натяжения струны (характер этой зависимости сейчас нам не важен).

**) Так как решение Д'Аламбера описывает любые волны, которые могут распространяться по струне, то, зная это решение, можно вообще забыть об уравнении. Точно так же для описания всех возможных движений точечной частицы, на которую не действуют внешние силы, достаточно знать галилеев закон движения  x =  x 0 + vt , забыв об уравнении Ньютона.

Если положить f (х) = sin (2πх/λ), то получим синусоидальную бегущую волну

Записывая эту волну в более привычном виде

находим обычное соотношение между частотой и длиной волны: . Общее решение (5.10) описывает и движение волнового импульса, изображенного на рис. 5.3. Описывает оно и стоячие волны. Например, если взять

f (х) = g (х) = ½ sin (2πх/λ),

то легко найти, что

у (t, х) = sin (2πх/λ) cos (2πvt).

В общем случае, если заданы начальные значения отклонений и скоростей всех точек струны, т. е. значения у и  при t = 0 и всех значениях х, то можно найти вид функций f и g при всех значениях аргументов и тем самым определить все дальнейшее движение струны. Точно так же по начальным отклонениям и скоростям двух грузиков определялись неизвестные параметры А1, А2, t1, t2 в формуле (5.6); только теперь вместо неизвестных параметров определяются неизвестные функции f и g.

Мы еще не раз встретимся с конкретными применениями решения Д'Аламбера, а сейчас лишь отметим, что именно оно и вынудило Эйлера и Лагранжа отказаться от принципа суперпозиции Даниила Бернулли. Действительно, согласно этому принципу общее движение струны можно было бы представить как сумму (суперпозицию) гармонических синусоидальных движений, а это означало бы, что произвольную функцию можно представить в виде суммы тригонометрических функций. Такая возможность казалась Эйлеру и Лагранжу совершенно невероятной. Поэтому они придерживались мнения, что принцип суперпозиции хорош для систем из конечного числа материальных точек, но неприменим к таким «сплошным» объектам, как струна.

Разрешить многолетние споры вокруг этой проблемы сумел лишь Фурье в 1807 г., который показал, что произвольную функцию, определенную на конечном отрезке, действительно можно представить в виде бесконечной суммы тригонометрических функций. Это обобщение разложения на моды носит название ряда Фурье. Любопытно, что при доказательстве своей фундаментальной теоремы Фурье в наибольшей степени опирался на исследования Эйлера и Лагранжа. Отрицание Лагранжем принципа суперпозиции кажется тем более удивительным, что именно он первым ясно установил связь между колебаниями цепочки частиц и движениями струны.

Пора, видимо, написать это уравнение *). До сих пор оно было чем-то вроде таинственного персонажа в пьесе, которого все боятся, но никто не видел, и можно подумать, что это уравнение окажется очень сложным. На самом деле несложно догадаться, что уравнение должно быть очень простым, если у него так просто выглядит общее решение. В чем же состоит необычайная простота решения Д'Аламбера? Она заключается в том, что решение выражено через произвольные функции f и g, но каждая из них реально зависит не от координаты и времени, а от простейшей их линейной комбинации. Мы можем просто нарисовать графики функций f(x) и g(x) и двигать их равномерно в противоположных направлениях оси х. Сумма таких функций и будет в каждый момент времени изображать решение Д'Аламбера.

*) для понимания дальнейшего знать это уравнение полезно, но не обязательно. Вполне достаточно освоиться с бегущими волнами Д'Аламбера (5.10).

Это легко описать математически. Сначала найдем уравнение для волны, бегущей направо. Вспоминая определение производной получаем

Выбирая Δx = -vΔt, находим, что . Точно так же можно убедиться, что . Эти уравнения описывают волны, которые могут распространяться лишь в одну сторону. Такие уравнения полезны, если мы хотим описать распространение волны горения или нервного импульса. Для того чтобы найти уравнение, описывающее волны, бегущие в двух направлениях, проще всего поступить так. Заметим, что f и f' также зависят только от х - vt, и поэтому обе функции удовлетворяют тому же уравнению, что и f. Исключив смешанную производную f', легко найти, что . Точно так же убеждаемся, что . Так как операция дифференцирования линейна, то отсюда следует, что у = f + g удовлетворяет уравнению

Это и есть волновое уравнение Д'Аламбера. Мы получили его не из физической модели, а просто показали, что сумма любых двух функций f (х - vt) и g (x + vt) удовлетворяет этому уравнению. Ссылаясь на авторитет Д'Аламбера, мы утверждаем и обратное: всякую функцию у (t, х), производные которой по времени и координате удовлетворяют соотношению (5.11), можно представить как сумму двух таких функций.

Это простое уравнение и его обобщения на случай функций, зависящих от нескольких координат, играют такую же роль в физике непрерывных систем, как уравнение движения простого линейного маятника в механике материальной точки (в новых обозначениях оно записывается в виде ). Удивительно, что переход от одной точки к такому бесконечно более сложному объекту, как струна, «состоящая» из бесконечного числа точек, привел к столь простой теории. Удивительно также необычайное число приложений волнового уравнения — от волн в «океанах воды, воздуха и эфира», как сказал бы Рассел, — до волн, описывающих элементарные частицы.

В наше время волновое уравнение стало настолько привычным, что его эффективности никто уже не удивляется. Однако если попытаться мысленно охватить все, что было сделано с помощью этого уравнения, вообразить, какое богатство явлений природы скрывается за столь простой формулой, то эпитеты «удивительное» или «необычайное» не покажутся не уместными. Один выдающийся современный физик как-то написал популярную статью «О непостижимой эффективности математики в естественных науках». В эффективности волнового уравнения, конечно, есть что-то непостижимое, что бы ни говорили люди, которые умеют объяснить все. 

 

О дискретном и непрерывном

Вернемся, однако, к «суровой прозе», воплощенной в уравнении (5.8). Оно связано не с близкой музам струной, а с прозаическими «грузиками на пружинках», да и выглядит куда менее элегантно, чем волновое уравнение. Тем не менее эти уравнения тесно связаны друг с другом. Это не удивительно, если наша (т. е. ньютонова) «грузопружинная» модель может дать разумное приближенное описание волн в сплошных средах. Первым это установил в 1754 г. все тот же неутомимый Лагранж, но окончательной ясности добился лишь Коши (1830 г.).

Он показал, каким образом можно найти движение струны по начальным значениям отклонений и скоростей точек струны (в математике эта задача и называется задачей Коши). Он также связал решения волнового уравнения, полученные методами Д'Аламбера и Фурье, доказав полную справедливость принципа суперпозиции, и даже попытался объяснить дисперсию света в веществе, считая, что свет возбуждает упругие волны с очень высокой частотой. Коши очень ясно показал, что при длинах волн, много больших расстояний между частицами в цепочке, скорость распространения волн в цепочке не зависит от длины волны, т. е. нет дисперсии. Для коротких же волн скорость зависит от длины волны и может заметно изменяться. Это полностью справедливо для упругих волн, но дисперсию световых волн объясняет лишь качественно. Более точную модель дисперсии света нашел, как уже упоминалось, Кельвин.

Понимание связи между ньютоновской дискретной средой (от лат. discгetus — прерывистый, разделенный) и эйлеровой непрерывной средой очень важно, так как в разных случаях удобно переходить от дискретного языка к непрерывному и обратно.

Например, если изучаются упругие волны в кристаллах, то обычно можно забыть об их атомной структуре и считать кристалл просто непрерывной упругой средой. Атомная структура скажется на том, что упругие свойства кристалла будут разными в разных направлениях. Мы, однако, пойдем намеченным путем, так как у нас есть надежные уравнения (5.8), описывающие движения каждой точки дискретной системы.

Предположим для определенности, что грузопружинная модель, изображенная на рис. 5.1, должна приближенно воспроизводить продольные колебания и волны в упругом стержне. Точно так же можно рассмотреть звуковые волны в трубе, поперечные колебания струны и т. п. Идея перехода к непрерывной среде ясна: нужно уменьшать массы грузиков и длины пружинок так, чтобы средняя линейная плотность (т. е. масса на единицу длины ρ1 = m/α) и упругость пружины оставались постоянными.

Сначала надо немного точнее определить, что такое упругость пружины. В правой части уравнения (5.8) написана сила, действующая на n-й грузик при растяжении n-й пружины с длиной α на величину Δl: F = k (yn+1 - yn) = kΔl. Значение коэффициента k должно подбираться так, чтобы стержень и пружинная система одинаковой длины растягивались на одну и ту же величину под действием одной и той же силы.

Удлинения стержня и пружины пропорциональны их длине. Например, если пружинка удлиняется на Δl, то обе ее половинки удлиняются на Δl/2. Это значит, что коэффициент k для пружинки длиной α/2 равен просто 2k. Поэтому, записав силу F = kΔl в виде F = kα(Δl/α), мы получим характеристику упругости пружины, не зависящую от ее длины: для пружины любой длины α величина kα = К одна и та же. Для стержня любой длины l также будет верно соотношение  F = К(Δl/l). Значение К определяется только упругостью стержня и не зависит от его длины.

Уравнение (5.8) легко переписать так, чтобы оно зависело лишь от ρ 1 = m / α и  К = kα , а не от  m и k . После этого можно показать, что для волн, длина которых много больше α , можно при достаточно малых значениях α описать распространение волн в стержне уравнением Д'Аламбера

Движение каждой частицы стержня определяется, если известно решение у ( t, х ) этого уравнения: у n ( t ) = y (t, x = nα ). Скорость распространения упругих волн по стержню очевидно равна #image_122.jpg . В качестве упражнения попробуйте «вывести» уравнение (5.12) из уравнения (5.8).

Скорость распространения волн по цепочке можно найти, и не прибегая к уравнению Д'Аламбера. Если по цепочке бежит волна неизменной формы со скоростью v, то она перемещается на расстояние α за время  Δt = α/v.

Отсюда следует, что yn-1(t) = yn(t + Δt) и yn+1(t) = yn(t - Δt) (рис. 5.7). Если рассматривать yn(t) как график движения некоторой точки, то (t) будет скоростью, а (t) — ускорением точки. Приближенно считая движение от момента t - Δt до момента t + Δt равномерно ускоренным, можно написать

Подставляя полученные таким способом выражения для yn-1(t) и yn+1(t) в уравнение (5.8), находим, что [m - k(Δt)2] (t) = 0. Отсюда следует, что (Δt)2 = m/k (предполагается, конечно, что в какой-нибудь момент времени   0). Для скорости волны v = α/Δt находим поэтому выражение

Чтобы найти скорость распространения упругих волн (т. е. скорость звука) в реальных твердых телах, надо еще немного преобразовать формулу . В таком виде она, на первый взгляд, зависит не только от вещества, из которого изготовлен стержень, но и от его поперечного сечения S. Действительно, линейная плотность равна произведению обычной объемной плотности ρ на поперечное сечение: ρ1 = ρ • S. Однако упругая постоянная К численно равна силе, необходимой для увеличения длины стержня в два раза (F = К (Δl/l) = К, если Δl = l; при реальном измерении К, естественно, рассматривается лишь малое относительное удлинение Δl/l и К определяется как отношение силы F к вызванному ею относительному удлинению). Ясно, что эта сила пропорциональна площади S, и поэтому К = Е • S, где величина Е уже не зависит от S, а определяется лишь материалом, из которого сделан стержень.

Эту постоянную Е называют модулем Юнга. Значения модуля Юнга и объемной плотности для различных материалов измерены на опыте, и их можно найти в справочниках. Например, для стали ρ = 7,8 г / см3, Е  2,1 • 1012 г/(см • с2). Выражая ρ1 и К через ρ и Е, находим скорость звука в стали v =   5 км/с. Это неплохо согласуется с прямыми измерениями.

Подумайте, как их можно было бы осуществить. Ясно, что легче измерять не скорость, а длину волны  . При 10 кГц получаем λ 50 см.

 

Как измерили скорость звука

До конца XVIII в. думали, что звук в твердых телах передается мгновенно. Первое измерение скорости звука в твердых телах по отношению к скорости в воздухе выполнил в 1797 г. немецкий ученый Эрнст Хладни (1756—1827). Он же провел первые точные и тщательные измерения скорости звука в различных газах, пользуясь для этой цели органными трубами. Хладни получил юридическое образование, а естественные науки изучал самостоятельно. Под влиянием чтения сочинений Бернулли и Эйлера он заинтересовался акустикой и начал изучать звучащие пластинки, в результате чего открыл прославившие его «звуковые фигуры» *). Фигуры Хладни образуются на посыпанных песком колеблющихся пластинках (песок собирается в узлах стоячих волн).

*) Первым сумел сделать звуковые колебания «видимыми» Галилей. Он поместил бокал в воду так, чтобы края его немного выступали над поверхностью. При возбуждении в бокале звуковых колебаний около него на поверхности образуется радиальная рябь поверхностных волн.

Хладни также открыл продольные и вращательные колебания в стержнях, открыл и изучил многие акустические колебательные явления, изобрел несколько музыкальных инструментов, на которых сам играл. Его опыты, всегда отличавшиеся изобретательностью и остроумием, заложили основы экспериментальной акустики, и ему принадлежит первое систематическое изложение акустики, выпущенное в свет в 1802 г. Под впечатлением обаяния личности Хладни, его лекций и опытов, Наполеон выделил 6000 франков для перевода его «Акустики» на французский язык.

Скорость распространения звуковых волн можно оценить и просто из соображений размерности. Так как механизм распространения волн нам уже достаточно понятен, нетрудно сообразить, что скорость звука в стержне зависит лишь от модуля Юнга Е, плотности ρ и, может быть, от длины волны λ: v = d•ЕаρЬλс. Так как [Е] = ML-1Т-2, [ρ] = ML-3, [λ] = L и [v] = LТ-1, то а = -b = 1/2, с = 0, т. е. v = d , где d — неизвестное число (как показано выше, из формулы (5.14) следует, что d = 1).

Любопытно, что простые соображения размерности показали, что скорость звука не может быть пропорциональна какой-нибудь степени. Это значит, что дисперсию (т. е. зависимость скорости от длины волны) из простых соображений размерности получить нельзя. Заметим также, что мы не учли зависимость v от амплитуды колебаний. Это представляется разумным для малых амплитуд, когда эффектами нелинейности можно пренебречь (ср. с формулой (4.1)).

При отсутствии дисперсии из соображений размерности следует независимость скорости звука от амплитуды. Проверьте это, предположив, что в формуле размерности для v показатель с = 0, но введя зависимость от амплитуды.

Точно так же можно оценить скорость звука в жидкостях, например в воде. Только в этом случае вместо модуля Юнга надо взять модуль объемной упругости жидкости К . Он определяется соотношением Δ p = K (Δ V/V ), где Δ p — приращение давления, необходимое для того, чтобы уменьшить объем V на величину Δ V . Эта формула совершенно аналогична соотношению F/S = E (Δ l/l ) для стержня, и мы сразу можем найти скорость звука в жидкостях: #image_130.jpg . для воды ρ = 1 г/см 3 , К   2,13•10 10 г/(cм•c 2 ), так что v  1460 м/с. Заметьте, что скорость звука зависит от плотности, а значит, несколько меняется с температурой.

Между прочим, до начала XIX в. распространение звука в жидкостях считалось невозможным. Хладни придерживался противоположного мнения, но попыток измерить скорость звука в жидкостях не делал. Первое измерение было выполнено в год смерти Хладни швейцарскими учеными Жаном Колладоном и Жаном Штурмом, получившими значение v = 1435 м/с при температуре 8 0С.

Читатель легко найдет и скорость распространения поперечных волн в натянутой струне. В этом случае возвращающая сила пропорциональна силе натяжения струны F, и при малом изгибе и растяжении струны не зависит от ее упругости. Предполагая, что v = dFaρlЬ, где ρl — линейная плотность струны, покажите, что ; из опыта и из более полной теории следует, что d = 1. Это соотношение в равной степени применимо к металлической струне, нитке и рыболовной леске.

Опыты удобнее всего делать с леской. Изменяя ее натяжение, можно менять частоту основного тона, который можно отождествить с одной из нот, извлекаемых на фортепиано. Нота «ля» первой октавы обычно настраивается с помощью камертона на частоту  = 440 Гц. Частоты , соответствующие другим нотам, определяются соотношением log( / ) = (n/12)log2. Для «ля» во второй октаве n = 12 и частота равна 2 . При ходе от  на октаву ниже n = -12 и частота равна /2.

Определяя частоты с помощью фортепиано или другого музыкального инструмента, можно найти скорость распространения волны по формуле v = λ , так как длина волны основной моды для струны с закрепленными концами равна удвоенной длине струны. Пользуясь этой простой идеей, Хладни и определил на опыте скорости звука в газах и твердых телах, только частоты он определял не на фортепиано, а на монохорде. Хорда в переводе с древнегреческого — струна, и монохорд можно назвать «однострунником». Это просто струна на резонаторе, длину звучащей части которой можно менять. Монохорд, вероятно, изобрел Пифагор. Он же первым открыл простые соотношения между музыкальными интервалами.

Легко найти и скорость звука в газах. Аналог модуля упругости в этом случае — давление. Действительно, из закона Бойля—Мариотта pV = const следует, что V•Δp + p•ΔV = 0, т. е. Δp = -p(ΔV/V). Подставляя в формулу для скорости звука в жидкости вместо модуля объемной упругости давление, находим . Эту формулу получил Ньютон, который пользовался описанной в начале этой главы дискретной моделью. Рассуждения Ньютона были весьма сложны и стали понятны лишь после работ Бернулли, Эйлера и Лагранжа. Лагранж писал: «эта теория одними почиталась за непонятную, другие находят ее противоречивой, в сущности же, если она и обладает каким недостатком, то тем, что она слишком частная, но вместе с тем она содержит зачаток истинной теории, открытой лишь в последнее время при помощи анализа».

Кроме того, величина v, полученная Ньютоном, сильно расходилась с наблюдаемым значением *). Это было известно Ньютону, но его объяснение этого расхождения нельзя признать ни понятным, ни убедительным. Эта трудность только усилилась после опытов Хладни, который выяснил, что формула Ньютона сильно расходится с опытом и для других газов. Bычислим по формуле Ньютона скорость v для воздуха. Так как р/ρ = гT, где г — газовая постоянная, а Т — температура, то для воздуха при Т = 273 К = 0 0С получаем v  280 м/с вместо 332 м/с.

*) Первое точное измерение скорости звука в воздухе было сделано в коллективной работе членов Парижской академии наук в 1738 г. Измерялось время, за которое звук пушечного выстрела проходит 30 км. Чтобы исключить влияние ветра, выстрелы производились одновременно из двух пушек, удаленных друг от друга на 30 км.

Правильное объяснение этому расхождению нашел Лаплас, заметивший, что при прохождении звуковой волны температура воздуха в местах сгущения и разрежения различна, и законом Бойля—Мариотта пользоваться нельзя. Вместо этого Лаплас предположил, что изменения состояния газа в звуковой волне происходят столь быстро, что тепло не успевает передаваться от нагревшихся сжатых участков к охладившимся разреженным, т. е. процесс происходит адиабатически **). Правильность его объяснения оспаривалась еще лет тридцать. Тем не менее общая теория волновых процессов уже в начале века твердо стояла на ногах и быстро завоевывала новые области для своих приложений.

**) См. книгу: Смородинский Я. А. Температура. — 2-e изд.— М.: Наука, 1987. — Библиотечка «Квант», вып. 12.

Особенно важно это было для волновой теории света. В работах Френеля волновая теория была настолько основательно разработана, что успешно объясняла не только явления, известные до ее победы, но и подсказывала новые. Единственная неудача постигла волновую теорию в объяснении явлений дисперсии света. Как и в теории звука, в оптике Френеля скорость волны могла изменяться в разных средах, но зависимости скорости от длины волны в одной среде не получалось. Пуассон даже после описанных в ч. 1 опытов сомневался в правильности теории Френеля. Его главное возражение как раз было связано с проблемой дисперсии. В ответе Пуассону Френель указал на молекулярную структуру вещества как на возможный источник дисперсии. К сожалению, ранняя смерть не позволила Френелю развить эту идею, но ее подхватил Коши.

 

Дисперсия волн в цепочке атомов

Связь дисперсии с атомной структурой проще всего понять в нашей пружинной модели. Хотя при этом речь идет о звуковых, а не о световых волнах, суть дела одна и та же. Эту мысль и развил Коши. Найдем вслед за ним дисперсионную формулу для волн в цепочке «атомов», соединенных пружинками. Вспомнив то, что мы знаем о связи дискретной цепочки со сплошным стержнем, попробуем сразу написать решение всех уравнений (5.8) в виде бегущей волны ( ):

Если, как это делалось раньше, заменить nα на х и yn(t) на yn(t, х), то получится знакомая синусоидальная бегущая волна. Ее скорость v определяется из условия постоянства фазы (ωt - 2πх/λ). Поэтому скорость v называют фазовой скоростью. Если двигаться со скоростью v, то волна будет казаться неподвижной.

Так как = -ω2yn, то из (5.8) следует простое уравнение

С помощью известной формулы для преобразования суммы синусов двух углов в произведение легко найти, что для синусоидальной волны yn+1 + yn-1 = .

Подставляя это в уравнение (5.15), легко увидеть, что оно выполнено сразу для всех n, если

Это и есть дисперсионная формула Коши. Если длина волны много больше расстояния между атомами, т. е. , то sin (πα/λ) πα/λ и ω  2πω0(α/λ). При этом дисперсия исчезает, так как скорость не зависит от λ: v (λ) = ωλ/2π αω0 = = v. Этот результат мы уже получили раньше при переходе к «непрерывному» пределу (см. формулу (5.14)). Если длина волны сравнима с расстоянием между атомами, то скорость зависит от λ:

С уменьшением λ она уменьшается. Заметим, что нет смысла рассматривать длины волн, меньшие 2α. Понять это легко, если вспомнить, что наблюдать мы можем лишь движения частиц, а не мысленно проведенные через их отклонения синусоиды (см. рис. 5.5). С учетом этого ограничения скорость убывает при уменьшении длины волны от значения v до значения (2v/π).

Дисперсионную формулу (5.16) можно получить и из найденного нами раньше выражения для частот стоячих волн в цепочке конечной длины l (см. (5.9)). Для этого заметим, что длина волны в моде с номером М равна λМ = 2(N + 1)α/М = 2l/М, где М = 1, ..., N. Дисперсии не было бы, если бы соответствующие частоты ωМ были пропорциональны М. Как мы знаем, такой пропорциональности для больших М нет. Отсюда и возникает зависимость скорости v от λ при малых длинах волн и больших частотах. Выражая правую часть формулы (5.9) через λМ , получаем соотношение Коши (5.16) между ωМ и λМ .

Плавные синусоидальные кривые, огибающие стоячие волны (5.7), можно получить, заменив в формуле (5.7) nα на х:

Это выражение описывает и стоячие волны в упругом стержне. При этом λМ принимает значения λМ = 2l/M, где M может неограниченно возрастать (М = 1, 2, 3, ...). Значения частот получаются из дисперсионной формулы (5.16), если заменить в ней sin (πα/λ) на πα/λ (вспомните, что в пределе непрерывной среды α → 0):

Аналогичные формулы читатель легко напишет для частот собственных колебаний струн, воздуха в органных трубах и т. д.

 

Как «услышать» разложение Фурье?

Можно проверить, что функции y M (t, х) в формуле (5.18) удовлетворяют волновому уравнению. Линейные комбинации таких решений также являются решениями. Этот способ решения волнового уравнения открыл еще Даниил Бернулли (метод Бернулли), но лишь Фурье сумел с полной ясностью доказать, что так можно получить самое общее решение и что в этом смысле метод Бернулли равносилен методу Д'Аламбера. Разложение произвольного колебания струны в сумму мод (5.18) и другие подобные разложения (например, разложение бегущей волны на сумму синусоидальных бегущих волн) называются разложениями Фурье. Если периодическая функция f(х) с периодом 2l (т. е. f(х + 2l) = f(х) при любом х) представлена в виде суммы

то легко проверить, что д'аламберова волна (5.10) при g(х) = f(х) представляется в виде суммы мод (5.18), в которой следует положить ωM = 2πv/λM .

Обычно амплитуды А M быстро убывают с ростом номера моды М. Рассмотрим, например, движение струны, оттянутой в средней точке и после этого отпущенной. Так возбуждаются колебания струн щипковых инструментов. При этом «звучат» все моды *), но их амплитуды быстро убывают с ростом частоты. Ухо воспринимает как высоту звука частоту, соответствующую низшей (основной) моде, а примесь высших мод определяет тембр. Звуки, вызванные очень высокими модами, не воспринимаются по двум причинам. Во-первых, их амплитуда мала. Во-вторых, ухо просто «не слышит» частоты больше 20 кГц (это, кстати, объясняет бедность тембра высоких звуков.)

*) Синусоидальные моды часто называют гармониками, что особенно естественно, если речь идет о музыке. Мы называем гармониками только синусоидальные бегущие волны, так что разложение Фурье для стоячей волны — это разложение на нормальные моды, а для бегущей — разложение на гармоники.

Таким образом, о высших модах часто можно просто забыть и с легким сердцем пользоваться разложением Фурье с конечным и даже небольшим числом членов. Разложение бегущей волны на простые гармоники с полным основанием можно рассматривать не просто как математическое изобретение, а как физический процесс, который наблюдается постоянно. Этот процесс называется гармоническим анализом, а проборы, которые его осуществляют, называют гармоническими анализаторами. Они откликаются (резонируют) **) на гармоники, частота которых близка к одной из собственных частот (т. е. к частоте одной из мод). Таким образом можно выяснить частотный состав произвольного колебания. Простейшие анализаторы звука — монохорд или же просто струны любого музыкального инструмента. При достаточной силе звука они начинают дрожать и даже звучать, если среди набора частот (или, как говорят, в спектре частот) падающей на них звуковой волны есть достаточно сильная составляющая, частота которой совпадает с их собственной частотой.

**) От лат. sonare — звучать, resonare — звучать в ответ, откликаться. Отсюда же «соната».

Как мы знаем, в среде без дисперсии волна с небольшой амплитудой распространяется, не изменяя формы. На языке разложения на гармоники это связано с тем, что все ее простые гармонические составляющие распространяются с одинаковой скоростью. Это можно сказать не только об обычных периодических волнах, но и об импульсах, подобных изображенным на рис. 5.3. Как показал Фурье, такие импульсы тоже можно разложить в ряд по гармоникам. Только при этом в разложении Фурье будут содержаться гармоники с неограниченно возрастающей длиной волны.

В среде с дисперсией импульс тоже можно представить в виде суммы гармоник, но теперь его форма будет изменяться со временем, так как разные гармоники движутся с разными скоростями. Например, горбик, бегущий по дискретной цепочке (рис. 5.3) можно разложить в сумму синусоидальных волн. Однако с течением времени длинноволновые гармоники будут обгонять коротковолновые, и горбик начнет расплываться. Его передняя часть (фронт) постепенно будет становиться более пологой. Для звуковых волн, воспринимаемых человеческим ухом, это обычно совершенно несущественно. Их длины настолько велики, что дисперсия коротких волн, определяемая формулой (5.17), не успевает проявиться.

 

Несколько слов о дисперсии света

Для световых волн в веществе наша модель не годится. Если попробовать все же применить ее к объяснению преломления световых волн, как это делал Коши, то расстояние между «атомами» получается несуразно большим, порядка 0,1 мкм.

Упражнение : попробуйте получить эту оценку. Напомним, что показатель преломления n (λ) = c/v (λ) (с — скорость света в вакууме) увеличивается для прозрачного стекла лишь на 1 % при переходе от красной части спектра к фиолетовой. В то же время длина волны уменьшается почти в два раза.

Так или иначе, но возможность объяснения явления дисперсии была работами Коши установлена, и его теория качественно объясняла, почему показатель преломления увеличивается при уменьшении длины волны. Коши, а вслед за ним и Буссинеск, уточнивший его теорию дисперсии, представляли зависимость v от λ в виде: , где и b зависят от свойств среды.

Впоследствии (1862—1872 гг.) было, однако, открыто и исследовано явление «аномальной дисперсии», которое никак нельзя было объяснить теорией Коши *). Оказалось, что вблизи частот, на которых вещество сильно поглощает свет, его показатель преломления зависит от длины волны очень сильно. Может даже наблюдаться уменьшение n (λ) с уменьшением λ — отсюда и термин «аномальная», т. е. необычная дисперсия.

*) См. книгу: Тарасов Л. В., Тарасова А. Н. Беседы о преломлении света. — М.: Наука, 1982. — Библиотечка «Квант», вып. 18.

Явление аномальной дисперсии было открыто французским физиком Франсуа Ле Ру (1832—1907), наблюдавшим преломление и поглощение света призмой, наполненной парами йода. Сначала он не заметил, что синяя и фиолетовая полосы идут в неправильном порядке, и лишь через два года, в 1862 г., обратил на это внимание. Серьезное исследование аномальной дисперсии началось лишь десять лет спустя.

Замечательно простое объяснение аномальной дисперсии предложил немецкий физик В. Зельмейер (1871 г.). Он предположил, что в молекулах вещества возможны «внутренние» колебания с собственной частотой ωе — «молекулярный маятник» *) и что поглощение происходит вследствие резонансного возбуждения этих колебаний, т. е. когда частота падающего света ω близка к частоте колебаний молекул. Отсюда Зельмейер нашел аномальную зависимость показателя преломления от частоты при частоте, близкой к ωе .

Теория Зельмейера, описывающая взаимодействие волн с «резонирующей» средой, была разработана более полно и уточнена в работах Кельвина, Гельмгольца, Лоренца, Друде и других. Кельвин предложил простую модель распространения света в веществе. Он предположил, что к тяжелым грузикам ньютоновой модели (рис. 5.1) прикреплены упругими пружинками очень легкие грузики. Тогда поглощение и дисперсия света определяются взаимодействием световой волны с этими легкими грузиками. Лоренц и Друде поняли, что их надо отождествить со связанными электронами, и разработали довольно убедительную теорию поглощения и дисперсии, объясняющую основные опытные факты.

В заключение этой короткой экскурсии в оптику надо отметить, что точное описание дисперсии в действительности требует применения квантовой теории. Это было сделано в первой половине нашего века, но основная идея объяснения этого любопытного и важного явления родилась, как мы видели, очень давно. Обо всей этой истории можно было бы написать увлекательную повесть, но нас давно ждут солитоны.

*) Двумя годами ранее подобную модель рассмотрел Максвелл, который не опубликовал свои результаты.

 

Дисперсия волн на воде

Дисперсия играет огромную роль в жизни солитонов. Поэтому нам нужно познакомиться и с другими ее видами. Особенно ярко проявляются зависимость скорости распространения волн от их длины для волн на поверхности воды. Это было известно уже Ньютону. Теорема 37 третьей книги «Начал» гласит: «Скорость волн пропорциональна корню квадратному из длины их». После этого Ньютон в задаче 10 вычисляет скорость волны, сопоставляя вертикальным колебаниям частиц воды качания маятника с длиной l = ¼λ. За время одного качания Т волна сдвигается на расстояние λ, откуда v = (λ/Т) =  . Хотя это лишь приближенное соотношение, приближение получилось довольно неплохое. Правильное выражение с учетом кругового движения частиц воды есть v = . Сразу заметим, что с такой скоростью распространяются волны лишь на «глубокой воде», когда глубина h много больше длины волны. В противоположном предельном случае «мелкой воды», когда h #image_151.jpg  λ, скорость волны зависит лишь от глубины: v = .

С точностью до числовых множителей эти формулы можно получить из соображений размерности и простых физических представлений о природе распространения волны. Скорость v может зависеть от g, λ, h, а также от плотности жидкости ρ и от амплитуды волны. Так как размерность массы содержится только в ρ, то сразу ясно, что скорость не зависит от плотности. (Это можно также понять, просто вспомнив, что возвращающая сила, действующая на частичку воды, пропорциональна ее массе. В уравнении движения Ньютона эта масса сокращается, как и в случае маятника.)

Простейшие наблюдения указывают на то, что скорость не зависит от амплитуды. Положив поэтому v = dg α λbh c и сравнивая размерности левой и правой частей, находим

v = d #image_152.jpg (h/ λ)c .

Здесь показатель с и число d соображениями размерности не определяются. Однако мы знаем, что при распространении колебаний в движение вовлекаются лишь слои воды, расположенные на глубине, меньшей длины волны (амплитуду считаем малой). Это значит, что при достаточно большом расстоянии h от поверхности до дна величина h не играет никакой роли, т. е. надо положить с = 0. В противоположном предельном случае, когда h  λ, скорость не должна зависеть от длины волны λ, так как размеры траекторий совершающих колебания частиц воды не могут превышать h (сравните с длинной волной в цепочке атомов). Мы заключаем, что для мелкой воды надо взять с = ½.

В точной теории можно получить формулу, пригодную при любом соотношении между h и λ. Из нее следует, что при возрастании длины волны скорость сначала растет, но при λ  2πh этот рост замедляется и скорость приближается к максимальному, или «критическому» значению vк = . Полезно познакомиться с приближенными выражениями для скорости в пределе коротких и длинных волн

Зависимость скорости от длины волны для длинных волн на мелкой воде удивительно напоминает соотношение между v и λ для длинных волн в решетке атомов. Действительно, воспользовавшись тем, что при малых α можно приближенно положить sin α #image_13.jpg α - αЗ/6, легко получить приближение для соотношения (5.17) при λ  α:

Отсюда ясно, что дисперсия волн на мелкой воде такая же, как для волн в решетке атомов, причем, глубина h играет роль расстояния между атомами.

Термин «мелкая вода» весьма условен. Для длинных волн, возникающих при землетрясениях в океане, средняя глубина океана (около 5 км) уже оказывается достаточно малой, можно сказать, что для них океан мелкий. Такие волны, известные под названием «цунами», можно считать весьма типичными и чрезвычайно опасными солитонами. Мы познакомимся с ними в следующей части, а сейчас только отметим, что диапазон реально наблюдаемых скоростей волн очень велик. В океане при длине волны  5 км это v =   800 км/ч. В кювете для обработки фотографий при глубине 0,5 см — примерно 20 см/с. Такую скорость легко измерить, достаточно резко толкнуть кювету, чтобы по ней побежало микроцунами. Легко создать и условия, при которых нужно пользоваться «глубоководной» формулой для скорости. Любознательный читатель может проделать множество несложных опытов, запасясь секундомером и терпением. При проверке «глубоководной» формулы необходимо учесть, что при малых (меньше 5 см) длинах волн начинают сказываться силы поверхностного натяжения, которыми мы до сих пор пренебрегали.

Чтобы понять роль поверхностного натяжения, предположим, что влиянием силы тяжести можно пренебречь. Тогда возвращающая сила определяется только поверхностным натяжением. Какой будет скорость таких волн? Обратимся к испытанному средству — размерностям. Поверхностное натяжение определяют энергией, которую нужно затратить для увеличения площади поверхности на единицу. Эту величину обозначают буквой Т (от англ. tension — натяжение). Для чистой воды Т  0,072 Дж/м2. Кроме величины Т длина волны может зависеть от плотности ρ и от длины волны λ. Амплитуду будем считать столь малой, а глубину столь большой, что зависимостью скорости от этих величин можно пренебречь. Действуя по обычной схеме, находим, что v2 = 2πТ/ρλ. Коэффициент 2π размерностями, конечно, не определяется, мы его взяли из точной теории, разработанной Кельвином (1871 г.). Волны поверхностного натяжения, или капиллярные волны (напомним, что натяжение вызывает подъем жидкостей по капиллярам), бегут быстрее при меньшей длине волны. Иными словами, если воспользоваться оптической терминологией, их дисперсия аномальна.

Наличие поверхностного натяжения приводит, как показал Кельвин, к очень интересному следствию — волны на глубокой воде не могут распространяться с очень малой скоростью, иными словами, существует нижняя граница для v (λ). Это можно понять с помощью довольно простых рассуждений. Легко подметить, что квадрат скорости волны пропорционален возвращающей силе (коэффициенту упругости k для пружин, натяжению F для струны и т. д.).

Если на частичку воды действуют одновременно две возвращающие силы — тяжести и поверхностного натяжения, то надо просто сложить их.

При этом скорость волны с учетом обеих сил определяется выражением

График зависимости v от λ изображен на рис. 5.8. Скорость v(λ) минимальна, когда сила тяжести уравновешивается поверхностным натяжением, т. е. когда оба слагаемых в написанном выражении для v2 равны. Из этого условия находим λмин = 2π для чистой воды λмин 17 мм. При λ  =  λмин  скорость равна vмин =  23 см/с. Формулу v2(λ) можно переписать в более приятной для глаза и удобной для вычислений форме

Капиллярные волны в виде мелкой ряби на поверхности воды хорошо всем знакомы. Их можно наблюдать в тазу, наполненном водой, пуская с небольшой высоты капли воды из пипетки. При увеличении высоты длина волны возникающих волн увеличивается. Можно убедиться, что короткие волны чисто капиллярные, а длинные — нет. Для этого добавьте в воду немного мыла. Поверхностное натяжение уменьшится, а с ним уменьшится и скорость коротких волн. Скорость же длинных волн останется прежней.

 

С какой скоростью бежит стая волн

В опытах наблюдаются, конечно, не бесконечные синусоидальные волны, а группы или, как сказал бы Рассел, стайки волн. Первые систематические наблюдения групп волн и были сделаны Pacceлом. Он заметил, что скорость перемещения стайки в целом меньше, чем скорость отдельных волн. При наблюдении кажется, что волны продвигаются сквозь группу, как бы исчезая на передней ее границе. Это явление объяснил в 1876 г. Стокс, который и ввел понятие групповой скорости *). Год спустя к этой проблеме вернулся Рэлей. Он нашел, как групповая скорость зависит от дисперсии, и получил формулу, которую мы сейчас выведем.

*) Впервые это понятие для волн в дискретной решетке ввел Гамильтон, рассказавший о своей работе на заседании Ирландской академии в 1839 г. и опубликовавший два кратких сообщения. В его бумагах, найденных и опубликованных 100 лет спустя, содержалась очень подробно разработанная теория групповой скорости таких волн.

Мы воспроизведем в упрощенном виде рассуждения Рэлея, приведенные в его книге «Теория звука», первой и одной из лучших книг по общей теории колебаний и волн **). Сначала предельно упростим задачу и рассмотрим две волны одинаковой амплитуды, но слегка различной длины, распространяющиеся в одном и том же направлении. Рэлей, естественно, рассматривает синусоидальные волны, а мы для наглядности заменим синусоиды пилообразными волнами. Сумма двух таких волн легко определяется графически, как это сделано на рис. 5.9. Мы видим довольно четко выраженную стайку волн с вершиной А. Если обе волны, из которых образована эта стайка, распространяются с одной и той же скоростью, то вершина, разумеется, бежит с той же скоростью. Предположим теперь, что волны разной длины бегут с разной скоростью, т. е. имеется дисперсия. Пусть, например, v1 = v(λ1)  v2 = v(λ2). Что мы увидим в этом случае? Нарисуем графики движения первой и второй волн (рис. 5.10). Нетрудно понять, что в момент t0 мы снова увидим стайку волн первоначальной формы, но с вершиной в точке x0. Как видно на рисунке, АВ = λ1, ВC = v1t0, откуда v1t0 - x0 = λ1. Назовем u = x0/t0 групповой скоростью и заметим, что (λ2 - λ1)/t0 = v2 - v1 (это тоже ясно видно, из рисунка).

**) Современники Рэлея не сумели вполне оценить, что с появлением этой книги зародилось общее учение о колебаниях и волнах. Даже Гельмгольц, которому книга очень понравилась, считал, что это просто очень хорошая книга по акустике.

Учитывая, что разности длин волн, Δλ = λ2 - λ1, и разности скоростей, Δv = v2 - v1, малы, легко понять, что

где мы заменили v1 и λ1 на среднюю скорость v = ½(v1 + v2) и среднюю длину волны λ = ½(λ1 + λ2). Это и есть соотношение Рэлея, связывающее групповую скорость со скоростью гармонической волны (последнюю обычно называют фазовой скоростью). Смысл этой простой формулы состоит в том, что скорость группы, в которой средняя длина волн входящих в нее гармоник близка к λ, определяется производной фазовой скорости v(λ) по λ при значении λ, равном средней длине волны группы.

Групповую скорость легко определять по графику функции  v (λ) (рис. 5.8). Пусть средняя длина волны группы равна λ 2 . Проведем из точки O 2 касательную до пересечения с осью у . Точка пересечения и дает групповую скорость, которая в этом случае меньше фазовой. Упражнение: докажите, что при λ #image_154.jpg  λ мин из формул (5.22) и (5.23) следует, что u #image_13.jpg  v /2. Попробуйте проверить это соотношение наблюдениями. Точно такое построение можно выполнить и для длин волн, меньших λ мин . При λ = λ мин фазовая и групповая скорости, как видно из рисунка, совпадают.

Нетрудно убедиться, что для изученных нами волн на воде групповая скорость u всегда положительна, т. е. группы бегут в ту же сторону, что и волны. Однако если наклон графика v(λ) достаточно большой, то групповая скорость могла бы стать отрицательной. В этом нет ничего сверхъестественного или парадоксального. Просто основная волна длины λ (в радиотехнике ее называют несущей) бежит направо, а вершина огибающей ее кривой, обозначенной на рис. 5.9 штриховой линией (в радиотехнике ее называют модулирующей), бежит налево. Это произойдет, если при λ = λ2 будет выполнено условие tg α v(λ2)/λ2 (см. ΔO2O'2u(λ2) на рис. 5.8). Так как tg α = v'(λ2), то заключаем, что групповая скорость отрицательна, если группа образована волнами со средней длиной, удовлетворяющей условию v'(λ)  v (λ)/λ.

Для длинных гравитационных волн на воде все это мог бы понять еще Ньютон, но реально понадобилось двести лет, чтобы выяснить, как много содержит в себе простое утверждение «скорость волн пропорциональна корню квадратному из их длин». Ньютон, считавший свет потоком частиц, не мог связать изученную им дисперсию света с зависимостью скорости волн на воде от их длины. Лишь через полтораста лет эта связь была замечена, и только к концу прошлого века стало окончательно ясно, что дисперсия, как и другие волновые явления (интерференция, дифракция), проявляется в любых волновых процессах. Понятие о дисперсии и групповой скорости получило после этого многочисленные применения в других областях физики — в оптике, радиофизике, квантовой теории и т. д. Тем не менее реальное использование понятия о групповой скорости и сегодня может вызвать трудности. 

Очень ясно и как всегда образно сказал о тонкости понятия групповой скорости Л. И. Мандельштам в курсе лекций 1944 г., который он уже не смог закончить. «Скорость — понятие, возникшее при описании движения частицы. Оно является совершенно ясным и имеет смысл при том условии, что существует возможность отождествления частицы, т. е. в любой точке пространства мы можем утверждать, что это та же самая частица. При распространении волны мы имеем дело с перемещением не частицы, а состояния. Чтобы говорить о скорости, нужно иметь возможность и средства для отождествления состояния. В среде без дисперсии... всякое возмущение распространяется без изменения формы, поэтому возможность отождествления здесь очевидна. Но в среде с дисперсией возмущение по мере распространения деформируется, и здесь уже нельзя без дальнейшего обсуждения сказать, чему равна скорость. Нужно сначала определить, что мы в каждом таком случае будем называть скоростью распространения. Например, для движения облака нет однозначного понятия скорости. Это может быть и скорость края облака. Примерно так же обстоит дело и со скоростью возмущения.

То, что было найдено нами, относится к скорости распространения «переменной амплитуды», и эта скорость (групповая) имеет смысл только при условии неизменности группы при ее перемещении. В диспергирующей среде такой неизменности нет *), но при выполнении условий, о которых мы говорили (достаточно медленное изменение амплитуды, т. е. малое ее изменение на длине волны, и достаточно пологий ход дисперсии), деформация группы также происходит медленно, и тогда для не слишком больших расстояний понятие групповой скорости приближенно описывает распространение группы. Во всяком случае всегда, когда есть дисперсия, понятие скорости теряет однозначность. Можно по-разному определить скорость, и одно из определений... это — групповая скорость».

*) Здесь Мандельштам подразумевает, что группа изолирована от других, вроде солитона. Последовательности групп, рассмотренные нами (по Рэлею), сохраняют свою форму.

При определении скорости отдельного свободно бегущего солитона никакой неоднозначности нет. Солитон — не облако! Солитон, в отличие от группы волн в диспергирующей среде, сохраняет форму, и его скорость можно определить точно так же, как скорость обычной частицы (пока он не сталкивается с другими солитонами или с препятствиями). Что же происходит с гармониками, на которые можно разложить солитон? О таком разложении можно говорить лишь приближенно, пока нелинейность, приводящая к взаимодействию между гармониками, достаточно мала. Если при этом мала и дисперсия, то может случиться, что энергия «перекачивается» от гармоник, бегущих с большей скоростью, к более медленным гармоникам. Если такая перекачка уравновешивает деформацию, вызванную дисперсией, то может возникнуть солитон. Примерно так можно представлять себе солитон Рассела и некоторые другие солитоны.

 

Сколько энергии в волне

Прежде чем окончательно заняться солитонами, мы должны ответить на еще один вопрос. Что такое энергия волн и что с ней происходит при распространении волн или групп волн? Как находить энергию волны, легко понять на модели грузиков и пружин. Энергия складывается из кинетической энергии грузиков и потенциальной энергии пружин. Для каждой заданной волны эту энергию нетрудно вычислить. Если речь идет о периодической волне, то энергией ее естественно называть полную энергию, сосредоточенную на одном ее периоде, т. е. для синусоидальной волны на ее длине. Энергия волнового импульса, энергия ограниченной группы волн или энергия солитона определяется как энергия возбужденной части среды. В этом случае предполагается, что возбуждение быстро убывает на больших расстояниях от «центра» импульса или группы, так что полная энергия конечна (не обращается в бесконечность).

Вычислим для примера энергию длинной волны в пружинной модели Ньютона (рис. 5.1). Она составлена из кинетической энергии грузика Т и потенциальной энергии пружин U, которые легко вычислить. Кинетическая энергия n-го грузика равна . Если по цепочке бежит волна с амплитудой А и длиной λ, то

Энергия, приходящаяся на длину волны, не зависит от момента, в который мы ее вычисляем. Вычислим поэтому энергию в момент t = 0. Так как λ α, то можно положить λ, = Nα, где N — большое целое число. Тогда кинетическая энергия n-го грузика равна

а энергия N грузиков, приходящихся на длину λ, равна сумме этих энергий. Сумму легко вычислить, вспомнив формулу для косинуса двойного угла, из которой следует, что 2cos2(2πn/N) = 1 + соs(4πn/N). Так как сумма членов соs(4πn/N) равна нулю (докажите!), то для кинетической энергии находим

где ρ1 = m/α — линейная плотность цепочки.

Точно так же можно вычислить сумму потенциальных энергий пружин k (yn+1 - yn)2/2, хотя вычисление немного сложнее. Оставив это вычисление читателю в качестве упражнения, заметим, что результат получится очень простой: потенциальная энергия U равна кинетической. Это верно для всех бегущих синусоидальных волн, в которых частицы среды качаются как линейные маятники. На самом деле для бегущей синусоидальной волны можно доказать и большее: кинетическая и потенциальная энергии равны не только в среднем *), но и для каждого отдельного грузика в каждый момент времени. Для дискретной модели это верно приближенно, при достаточно большом значении N = λ/α. В непрерывном пределе это утверждение становится точным.

*) Имеется в виду усреднение по времени (за период) или по длине (на длине волны). Для бегущей волны эти средние равны.

В нормальных модах стоячей волны кинетическая и потенциальная энергии всей системы равны только в среднем по времени. Это можно проверить, воспользовавшись найденным нами раньше решением (5.7) (вспомните, что 2cos 2 (2ω M t) = 1 + соs(2ω M t), а среднее значение cos(2ω M t) за период равно нулю). В остальном энергия стоячей волны определяется точно так же, как и энергия бегущей волны. Разумеется, можно определить энергию периодических бегущих и стоячих волн произвольной формы, хотя простыми формулами этого не опишешь.

Полезно представить себе, как выглядит выражение для энергии волны в «непрерывном» пределе, когда из цепочки грузиков получается упругий стержень. Полная энергия волны в малом кусочке стержня длины Δ х равна

Здесь первый член соответствует кинетической энергии грузика, а второй — потенциальной энергии пружинок. Суммируя вклады малых кусочков, можно найти полную энергию куска волны, группы волн или солитона. Если на частицы действует какая-то внешняя сила (электрическое поле, поле силы тяжести и т. д.), нужно добавить к ΔЕ соответствующую величину потенциальной энергии.

Как видим, энергия, запасенная в волне, определяется просто. Сложнее обстоит дело с переносом энергии волной, и об этой проблеме долго не утихали споры, отголоски которых докатились и до наших дней. Первое ясное решение задачи о переносе энергии в упругих средах дал Н. А. Умов в 1874 г. Однако его работа была опубликована отдельной брошюрой в Одессе и долгие годы оставалась незамеченной. Независимо от Умова английский физик Осборн Рейнольдс (1842—1912), наиболее известный своими работами по гидродинамике, рассмотрел под влиянием Рэлея вопрос о том, как переносится энергия волнами в жидкости (1877 г.). Он связал перенос энергии с давлением бегущей волны, вычислил это давление и показал, что энергия распространяется не с фазовой скоростью, а с групповой. Эта мысль была подхвачена Джоном Пойнтингом (1852—1914), который нашел уравнения переноса энергий электромагнитного поля. Из них, в частности, следовало, что электромагнитная волна также должна оказывать давление. Многим, в том числе и знаменитому Кельвину, показалось, что это доказывает несостоятельность теории Максвелла. Все разъяснилось лишь после опытов Лебедева. Для нас, знающих, что свет состоит из фотонов, представление о переносе энергии электромагнитным полем и о световом давлении кажется самоочевидным. Однако на языке теории волн, распространяющихся в среде, все выглядело сложнее, так как понятие об энергии, как и понятие о скорости, тоже заимствовано из теории частиц.

В последней лекции Л. И. Мандельштама, прочитанной за месяц до смерти, подробно разбирается и этот вопрос. Природа затруднения связана с тем, что рассматривается бесконечная синусоидальная волна, которую «можно представить моделью, состоящей из набора одинаковых, не связанных друг с другом маятников (Рейнольдс). В этой цепочке маятников можно создать такую последовательность фаз, что форма колебаний будет в точности соответствовать бегущей синусоидальной волне, однако никакой передачи энергии здесь не происходит. В произвольном объеме, через который проходит синусоидальная волна, энергия будет оставаться все время постоянной». Затруднение исчезает, если вспомнить, что всякая физическая волна не бесконечна в пространстве, а представляет собой группу волн. Любая такая группа переносит энергию, и скорость распространения энергии, очевидно, равна групповой скорости *). Эффектным следствием этого является возможность движения энергии и фазы волны в противоположные стороны при отрицательной групповой скорости. Ничего парадоксального в этом нет, просто фазовая скорость еще ничего не говорит о потоке энергии.

*) По этой причине Гамильтон называл групповую скорость «скоростью, которой свет побеждает тьму».

В случае свободно бегущего солитона вообще нет никакой проблемы с энергией. Солитон ведет себя как частица, и его энергия всегда при нем.

В этом он подобен группе волн, однако, чтобы в дальнейшем не было недоразумений еще раз напомним, что сходство это чисто внешнее. Рассмотрим два импульса, бегущих навстречу друг другу по струне Д'Аламбера. В момент t = 0 они расположены в точках -x0 и х0 (рис. 5.11). Через время t = х0/v они сольются в точке О, причем форма суммарного импульса определяется простым сложением функций, описывающих каждый импульс. В момент t2 = 2х0/v они поменялись местами и бегут в разные стороны.

На первый взгляд это столкновение двух импульсов похоже на столкновение солитонов. Однако, в отличие от солитонов, импульсы действительно свободно прошли друг через друга, никак не взаимодействуя. Каждый импульс движется так, как если бы другого просто не было. Кроме того, форма этих импульсов может быть любой, а скорость всегда одна и та же и равна скорости распространения волны по струне. Наоборот, скорость солитонов может быть более или менее произвольной, но форма его вполне определенная. Она может зависеть, а может и не зависеть от скорости, но подбирается солитоном как бы «самостоятельно», тогда как форма импульса в струне полностью определяется начальным возбуждением (щипком, ударом). Наконец, и это самое главное, обычный импульс может существовать только в идеальной струне. Малейшая дисперсия постепенно «размоет» его, нелинейность исказит его форму до неузнаваемости, не говоря уже о «стирающем влиянии» трения. Солитоны же существуют благодаря нелинейности, приспосабливаются к дисперсии и остаются солитонами даже под действием трения, только постепенно «ослабевают» и «умирают». Сколь же удивительны те солитоны, которые не может разрушить даже сила трения! Этим стойким солитонам и посвящается следующая глава.