Итак, вернемся в наш ХХ в. И обратимся к новым работам и новым идеям. Большинство новых идей, относящихся к солитонам, зародилось в умах физиков-теоретиков. С некоторыми такими идеями мы теперь познакомимся.

 

Что такое теоретическая физика

До сих пор мы говорили о физиках или математиках. Кто же такие физики-теоретики? Это, очевидно, люди, которые занимаются теоретической физикой. Тогда что такое теоретическая физика? Я. И. Френкель как-то определил предмет теоретической физики так: «Физическая теория подобна костюму, сшитому для природы. Хорошая теория подобна хорошо сшитому костюму, а плохая — тришкиному кафтану. Физик-теоретик подобен портному». В этом определении, конечно, чувствуется влияние Козьмы Пруткова, и в другом месте Френкель дал более серьезное определение профессии физика-теоретика: «...если отрицательной характеристикой физика-теоретика является неумение ставить физические эксперименты, то положительной... является широкая энциклопедичность в вопросах физики, соединенная с достаточной математической вооруженностью. В зависимости от соотношения между этими двумя факторами физик-теоретик может приближаться по своему профилю либо к физику-экспериментатору, либо к математику. Последних обычно относят к специалистам по математической физике».

Это деление достаточно условно, но если принять его, можно сказать, что физик-теоретик осмысливает добытые на опыте факты, рисует на них, говоря словами Френкеля, «карикатуру» и пытается облачить эту карикатуру в некий «математический костюм». Иными словами, он переводит с невнятного языка природы на точный и ясный язык математики. Коль скоро эта задача решена, теория переходит во владения математической физики для окончательной отделки и извлечения многочисленных полезных следствий.

Другая, не менее важная задача физика-теоретика — «допрашивать природу» (Ф. Бэкон), ставить новые задачи перед экспериментаторами. Ясно, что разумный вопрос можно поставить только в том случае, если есть какая-то теория или хотя бы правдоподобная гипотеза.

«Природа с красоты своей покрова снять не позволяет. И ты машинами не вынудишь у ней, чего твой дух не угадает». Так когда-то сказал об отношениях между природой и допрашивающим ее человеком философ и поэт Владимир Соловьев (1853—1900), окончивший физико-математический факультет Московского университета.

Поэты вообще склонны подчеркивать трудности общения с природой — «равнодушная природа» (А. С. Пушкин), «природа-сфинкс» (Ф. И. Тютчев). Подход физика-теоретика можно назвать более практическим. Берясь за какую-либо проблему, он сначала пытается понять, на что похожа эта новая проблема, ищет аналогии с тем, что уже известно и изучено. Здесь очень пригодится как широкая энциклопедичность, так и математическая вооруженность. Как мы уже видели, часто это приводит к успеху. Однако бывает, что этого недостаточно, и нужно угадать нечто необычное, сделать какой-то «нелогичный» скачок.

Желание понять, как это ни парадоксально, является лишь выражением нашего консерватизма, нашего нежелания допустить существование чего-то такого, что не укладывается в знакомую схему... Вот почему прогресс науки часто обязан радикально настроенным теоретикам, ломающим старые схемы и открывающим путь к новым фактам...» Это высказывание Я. И. Френкеля относится не только к физике, но и к другим наукам, не только к большим научным проблемам, но и к скромным малым задачам. Многим, наверное, знакомо чувство внезапного «озарения», когда что-то не поддававшееся умственным усилиям вдруг стало совершенно ясным. О таком скачке и идет речь.

Один из моих друзей определил практика как человека,

ничего не понимающего в теории, а теоретика — как

мечтателя, вообще не понимающего ничего.

Л. Больцман

Отделение теоретической физики от общей или экспериментальной физики произошло на грани XIX—XX вв., когда появились первые курсы теоретической физики. Один из первых физиков-теоретиков Дж. К. Максвелл вовсе не считал себя и, пожалуй, и не был — чистым теоретиком *). В его «Трактате об электричестве и магнетизме» мирно сосуществуют опыт, механические модели и весьма математизированная теория. Может быть поэтому его труд смогли прочесть и полностью понять лишь немногие избранные, которые и извлекли из него самое существенное — новую теорию. Возможно, в этот момент и совершилось окончательное отделение теоретической физики и родилась профессия физика-теоретика. Людвиг Больцман, который первым глубоко понял Максвелла, — классический образец чистого теоретика **).

*) На доме в Эдинбурге, в котором он родился, помещена мемориальная доска: «Джеймс Кларк Максвелл, естествоиспытатель. Родился здесь 13 июня 1831 г.»

**) Впрочем, Л. Больцман был не совсем чужд практики. Известно, например, что он сконструировал для своей жены электрическую швейную машину. Отметим, что теоретик нашего времени Я. И. Френкель испытывал большие затруднения, если надо было заменять электрические пробки.

В нашей стране теоретическая физика сформировалась несколько позже, в основном усилиями нескольких ученых, родившихся в последнее десятилетие прошлого века, и молодых, ярких талантов, вступивших в науку примерно на десятилетие позже. Все эти люди были очень талантливыми и очень разными. Одни вошли в науку очень быстро. Путь других, особенно старшего поколения, был более долгим и сложным, но всех объединяла бескорыстная увлеченность, одержимость наукой. В результате уже 50 лет назад в нашей стране сложилась сильная, самостоятельная и признанная во всем мире теоретическая физика. Большинство теоретиков работали в тесном контакте с такими же талантливыми и увлеченными экспериментаторами и инженерами, круг их интересов был необычайно широк. Если попытаться в нескольких словах выразить основное настроение физиков в эту эпоху «бури и натиска», то можно сказать, что для них, как и для их предшественников, о которых мы говорили в первой главе, девизом было: «Все можно понять, объяснить, изобрести, сделать, нет ничего невозможного».

 

Идеи Я. И. Френкеля

Яков Ильич Френкель (1894—1952) занимает свое особое место в созвездии неповторимых талантов этой эпохи. «Как музыкант уже по первым тактам узнает Моцарта, Бетховена, Шуберта, так и математик по нескольким страницам отличит своего Коши, Гаусса, Якоби, Гельмгольца» (Л. Больцман). Точно так же физик-теоретик легко узнает «почерк» Френкеля, Фока, Боголюбова, Ландау. Особенность Френкеля как теоретика — применение очень простых и оригинальных моделей при использовании минимального математического аппарата. Говорят, что Ландау как-то пошутил: «Фок любую задачу сводит к уравнениям с частными производными, я — к обыкновенным дифференциальным уравнениям, а Френкель — к алгебраическим».

Любовь к моделям и аналогиям, чрезвычайно острая наблюдательность, склонность к объяснению не только физических опытов, но и явлений окружающего нас мира несомненно роднят Френкеля с естествоиспытателями XIX в. С таким же детским любопытством он наблюдал и старался объяснить явления окружающего мира. 

По воспоминаниям В. Я. Френкеля *) идеи многих работ Я. И. Френкеля возникали из таких наблюдений: «Иногда такого рода наблюдения Яков Ильич проводил и дома. Вспоминается, как он подошел к электроплитке, на которой в алюминиевом тазу грелась вода. Дно таза было буквально усеяно мелкими пузырьками, и Яков Ильич, присев на корточки, внимательно следил, как они всплывают, отрываясь от дна, как вода начинает закипать. Или за ужином, придвинув к себе стакан крепкого чая, наблюдал за пленкой на поверхности чая, которая периодически покрывалась какими-то извилистыми трещинами, вдруг, как по команде, разбегавшимися в разные стороны. Объектами таких наблюдений бывала и лаборатория природы: структура дна на мелях Рижского залива с характерными волнистыми узорами... Иногда в этой упорядоченной структуре намечались дефекты, обрывы, напоминающие картинки дислокаций».

*) Многие из приведенных здесь высказываний Я. И. Френкеля заимствованы из книги: Френкель В. Я. «Яков Ильич Френкель». — М.; Л.: Наука, 1966.

Работы Френкеля часто были связаны с наблюдениями явлений природы — облаков, молний, вихрей и водоворотов... Некоторым такое пристрастие к «пузырькам и каплям» казалось смешным и несовременным в век квантовой физики. Однако время показало, что многие модели Френкеля чрезвычайно живучи и плодотворны. Он обладал даром увидеть новое и неожиданное в самых, казалось бы, знакомых и общеизвестных явлениях и сам очень ясно сознавал эту устремленность в будущее: «Познавая законы природы, мы должны научиться видеть не столько старое в новом, сколько новое в старом».

Хотя круг интересов Якова Ильича был невероятно широк — от шаровой молнии до распадов атомного ядра все волновало его ум и порождало в нем новые идеи — наибольших успехов добился он в теории твердых тел и теории жидкостей. Здесь он высказал несколько основных идей. Лауреат Нобелевской премии профессор Невилл Мотт, возглавлявший, между прочим, в течение многих лет Кавендишскую лабораторию (после Максвелла, Рэлея, Дж. Дж. Томсона, Резерфорда и Л. Брэгга), сказал о вкладе в физику твердого тела Я. И. Френкеля так: «Я. Френкель был одним из основоположников физики твердого тела... В Англии каждый студент-физик знает «о дефектах по Френкелю»... — это узел в кристаллической решетке, оставленный атомом или ионом... и блуждающий по кристаллу... Эта идея вообще одна из фундаментальных идей в физике...»

В ней самое важное для нас — мысль о том, что «пустое место», «дырка» в решетке, может перемещаться по кристаллу подобно частице *)! Этот вывод высказан уже в работе 1926 г.: «Принимая во внимание подвижность дырок, можно рассматривать их как своего рода «отрицательные атомы...»

*) См. книгу: Бокштейн, Б. С. Атомы блуждают по кристаллу. — М.: Наука, 1984. — Библиотечка «Квант», вып. 28.

Представление о дырке как частице оказалось исключительно плодотворным. Вскоре понятие о дырке в «море» заполненных состояний было применено П. Дираком для создания теории антиэлектронов, т. е. позитронов. Фундаментальную роль играет идея о «дырках» и в теории полупроводников. Конечно, вполне оценить значение такой простой, но парадоксальной идеи о «дырках» в свое время было не так-то просто. Лишь дальнейшие исследования выявили всю ее глубину. Такой же была судьба и многих других идей Френкеля, в том числе и модели Френкеля — Конторовой.

 

Атомная модель движущейся дислокации

по Френкелю и Конторовой

Солитон, или дислокация ФК, — это особого рода дефект в кристаллической структуре твердого тела. Если стремиться к точности, то лучше сказать, что это модель такого дефекта в простейшей мыслимой модели (карикатуре) твердого тела. Забегая вперед, сразу скажем, что эта карикатура очень удачная и позволяет качественно понять многие свойства реальных твердых тел.

Предельный случай дислокации (от лат. dislocatio — смещение) — это «дырка» в кристаллической решетке. Как уже говорилось, такая дырка может перемещаться по кристаллу. Перемещение затрудняется тем, что для переброса какого-нибудь соседнего атома на пустое место нужно сначала его достаточно сильно «раскачать», чтобы он мог оторваться от окружающих его атомов. Гораздо легче перемещается дефект, в котором атомы вокруг «дырки» также смещены. Такой дефект и есть дислокация.

Совсем простую модель дислокации можно сделать так. Представим себе периодическую последовательность горок и ложбинок (см. рис. 6.1, α). Пусть в ложбинках лежат шарики, связанные упругими пружинками. Эти шарики изображают слой «атомов», а пружинки изображают силы, связывающие атомы этого слоя друг с другом. Атомы, изображенные шариками, на самом деле взаимодействуют с атомами другого слоя, изображенными крестиками. Вместо сил взаимодействия верхнего слоя с нижним мы построили горки, изображающие это взаимодействие. Атомы нижнего слоя считаются неподвижными.

Ясно, что в этой системе не может быть просто «дырки», т. е. не может случиться так, чтобы одна ямка была пустой, а во всех остальных атомы лежали бы на дне. Вместо этого равновесие может установиться в состоянии, изображенном на рис. 6.1, б. Это и есть дислокации Френкеля — Конторовой. Если в центре каждой ямки отложить по вертикальной оси смещение каждого атома (рис. 6.1, в), то ясно видно, что огибающая кривая напоминает график движения маятника, соответствующего сепаратрисе (рис. 4.10) *). Чуть позже мы убедимся, что слово «напоминает» можно заменить на «совпадает», если дислокация простирается на расстояние, много большее расстояния между атомами.

В предельном случае, когда пружинки очень мягкие, дислокация ФК превращается в «дырку» по Френкелю.

*) Такие движения называют «асимптотическими», имея в виду, что график движения приближается к прямой, соответствующей положению равновесия, подобно тому как гипербола приближается к своей асимптоте.

На рис. 6.1, б и в изображена дислокация, в которой вблизи точки О «меньше» атомов, чем в недеформированном состоянии (рис. 6.1, α). Может случиться так, что вместо этого образуется «сгущение» атомов, как изображено на рис. 6.1, г и д. График смещений атомов в такой дислокации также соответствует асимптотическому движению маятника, но в обратном направлении. В предельном случае мягких пружин получается состояние, в котором одна ямка содержит лишний атом.

На самом деле понятие дефекта по Френкелю включает пару — дырку и ячейку с лишним атомом. Их можно считать как бы «частицей» и «античастицей», родившимися в тот момент, когда один из атомов перескочил в соседнюю ячейку. Эта пара может разойтись, и тогда можно говорить отдельно о «дырке» или «сгущении». Точно так же и распределенные дефекты-дислокации могут порождаться и уничтожаться парами. Дислокацию разрежения условимся называть «положительной» или просто дислокацией. Дислокацию сгущения назовем «отрицательной» или антидислокацией.

Дислокация, размер которой значительно превышает шаг решетки α, свободно перемещается. Чтобы сдвинуть всю дислокацию на расстояние α, нужно сместить каждый атом на относительно малую длину; при этом нужно затратить совсем немного энергии. Таким образом, дислокации могут перемещаться по кристаллу как частицы, не изменяя свою форму. Разумеется, это относится к идеальным системам, когда все горбики и ямы одинаковы, а грузики и пружинки также не отличаются друг от друга. Если, однако, один горбик заметно выше других, то ясно, что дислокация будет как бы «отталкиваться» от него и сможет проскочить эту неоднородность только при достаточно большой скорости движения. Наоборот, более низкий, чем другие, горбик будет «притягивать» к себе дислокации. К похожим эффектам могут привести и неоднородности в пружинах и массах гpyзиков.

Немного поразмыслив, можно понять, что одна дислокация действует на другую как неоднородность. Точнее, две положительные или две отрицательные дислокации как бы «отталкиваются» друг от круга, а положительная и отрицательная — «притягиваются». Притяжение дислокации и антидислокации — вещь довольно очевидная, так как в дислокации пружины растянуты, а в антидислокации сжаты. Столь же очевидна причина отталкивания «одноименных» дислокаций. Психологически легче понять, как отталкиваются две антидислокации, в которых пружинки сжаты. Однако дислокации отталкиваются точно так же.

Из всего, что пока было сказано, вовсе не очевидно, что такие равновесные конфигурации, как показанные на рис. 6.1, б или г, существуют. Могло бы случиться и так, что при всяком отклонении грузиков от равновесных положений по цепочке просто бегут волны. Именно так обстоит дело в обычной ньютоновой цепочке (рис. 5.1), в струне и в других одномерных системах. На самом деле точно так же «распадаются» на волны и все достаточно малые начальные отклонения в модели ФК. Все дело здесь именно в «достаточной малости». Действующие на грузики силы тяжести и натяжения пружин могут уравновешиваться только при больших смещениях атомов. Если каким-то способом создать вначале достаточно большое смещение атомов, скажем, перебросить один или несколько атомов в соседние ямки, то в результате по цепочке побегут волны сжатия и разрежения. Оказывается, что когда мелкие волны убегут далеко, останется некоторое количество дислокаций и антидислокаций, которые сравнительно медленно движутся или покоятся.

Таким образом, любое начальное возмущение «распадается» на бегущие волны и несколько дислокаций и антидислокаций. Их форма не зависит от начального возмущения, а определяется лишь параметрами модели (массами грузиков, жесткостью пружин, формой волнистой поверхности).

 

Взаимодействие дислокаций

Без достаточно сложных математических расчетов невозможно понять, что будет происходить с двумя дислокациями, сталкивающимися друг с другом. Точное решение уравнений показывает, что одноименные дислокации взаимодействуют точно так же, как солитоны Рассела, т. е. подобно сталкивающимся мячам (см. рис. 2.4). Попробуем если и не понять, то хотя бы описать, что происходит, когда на покоящуюся антидислокацию налетает другая антидислокация. Обе дислокации во время «соударения» несколько деформируются. За время их соприкосновения кинетическая энергия налетевшей дислокации перейдет к первоначально покоившейся, которая и начнет двигаться вперед, сохраняя свою форму. В общем, можно сказать, что дислокация подобна мячу. Главное здесь то, что дислокация сохраняет форму. Ее легче сдвинуть, чем деформировать.

На самом деле, как мы скоро увидим, дислокация не деформируется лишь при малой скорости ее движения, много меньшей скорости распространения продольной звуковой волны по цепочке атомов. В общем случае все продольные (по оси, соответствующей направлению движения) размеры дислокации уменьшаются, т. e. где v — скорость дислокации,  v 0 — скорость распространения звука. Зависимость энергии движущейся дислокации от скорости дается формулой . Как формула для размеров дислокации, так и формула для энергии аналогичны соответствующим формулам специальной теории относительности *). C учетом всего, что мы узнали о дислокациях, можно сказать, что дислокация подобна элементарной частице. В довершение этой поразительной аналогии, имеются еще и «античастицы» — антидислокации.

*) Нелишне подчеркнуть, что эта аналогия чисто математическая. В теории относительности написанные формулы имеют совершенно другой физический смысл. К тому же, для реальных дислокаций они выполняются лишь приближенно.

Как же происходит столкновение дислокации с антидислокацией? Когда антидислокация (антисолитон)  налетает слева на покоящуюся дислокацию D (солитон), то сжатые в пружины распрямляются, из в D пробегает волна сжатия, которая превращает D в , и наоборот. Все эти события происходят очень быстро, так как передача энергии от к D и распространение волны сжатия, превращающей D в и в D, происходят со скоростью звука. Если начальная скорость налетающего солитона намного меньше скорости звука, то оба солитона не успеют заметно изменить свою форму и разлетятся, как мячи. В результате налетевший антисолитон превратился в солитон D и остановился несколько левее положения первоначально покоившегося солитона D. Тот, в свою очередь, превратился в антисолитон и летит направо, занимая положение немного правее того, которое занимал бы налетающий антисолитон, если бы не было столкновения. Таким образом, мы совершенно ясно видим, что ничего похожего на прохождение одного солитона «сквозь другой» не происходит. Только на первый взгляд может показаться, что солитоны ведут себя как импульсы в струне, движение которых мы изучали в гл. 5.

На примере дислокации особенно ясно видно, что солитон подобен частице. Его движение при слабом взаимодействии с другими солитонами, в основном, определяется законами механики. Нужно только учитывать, что солитоны способны при этом деформироваться и «перекрашиваться» — «положительный герой», сталкиваясь с «отрицательным», сам становится «отрицательным», и наоборот.

До сих пор слова «положительная» и «отрицательная» дислокации были просто некоторыми фигуральными выражениями. Замечательно, что им можно придать буквальный смысл, приписав дислокациям соответствующие заряды. В положительной дислокации общий эффект смещения атомов такой же, как при образовании дырки. Если бы атомы нижнего неподвижного ряда были электрически заряжены положительно, а верхнего отрицательно, то дислокация, как и дырка, переносила бы положительный электрический заряд. Независимо от того, заряжены или не заряжены атомы, припишем дислокации (как и дырке) заряд +1. Тогда антидислокации надо приписать заряд -1. Если есть несколько дислокаций и антидислокаций, то алгебраическая сумма их зарядов будет сохраняться, что бы с ними ни происходило (докажите это утверждение!). Конечно, выбор для зарядов дислокаций значений +1 — дело соглашения. Ясно также, что сравнивать заряды дислокаций можно лишь в одной и той же решетке. В отличие от настоящих частиц, дислокации не существуют вне породившей их среды, и понятие заряда имеет смысл лишь для определенной, заданной решетки.

Читатель, несомненно, уже уловил, куда завело нас исследование совсем простой модели. У нас есть частицы и античастицы, которые могут порождаться и уничтожаться парами. Есть сохраняющиеся заряды, причем одноименные заряды отталкиваются, а разноименные притягиваются. Есть и нечто похожее на электромагнитные волны. Это, как вы уже, конечно, догадались, бегущие волны с малой амплитудой колебаний грузиков, когда грузики колеблются вблизи своих положений равновесия. Иначе говоря, это просто звуковые волны *), распространяющиеся в нашей «среде» из грузиков и пружин.

*) В отличие от обычных звуковых волн, эти волны сильно диспергируют при больших значениях λ. Как и для волн на глубокой воде, их фазовая скорость v растет с ростом λ. Позже мы получим соответствующую дисперсионную формулу, а пока этим отличием можно пренебречь.

В общем, мы создали целый мир. Конечно, это довольно простой мир. Трудно себе представить, чтобы из таких элементарных частиц могли бы возникнуть, скажем, мыслящие существа. Одномерность этого «мира» сильно ограничивает возможности образования достаточно сложных структур (не случайно мы с вами трехмерны!). Тем не менее не нужно и недооценивать возможности этой простой модели. В конце этой книги мы познакомимся с некоторыми идеями применения подобных одномерных систем, а в следующем разделе увидим, что даже в самом простом «мире» может существовать очень своеобразный «атом», построенный из дислокации и антидислокации.

 

«Живой» солитонный атом

Естественно думать, что дислокация D и антидислокация  могут притянуться и образовать некоторую связанную, неразлучную пару, нечто вроде атома водорода (или, скорее, «атома» позитрония, т. е. атома водорода, в котором протон заменен на позитрон). Тут, однако, сразу возникает непростой вопрос: а не уничтожат ли дислокация и антидислокация друг друга? С атомом водорода такая катастрофа невозможна, так как протон и электрон не являются античастицами друг для друга. Наоборот, жизнь пары из электрона и позитрона в позитронии довольно короткая. Электрон и позитрон в конце концов сливаются друг с другом (т. е. аннигилируют) и превращаются в фотоны. Вообще говоря, такая судьба грозит и солитонному атому. Однако в «непрерывной» модели Френкеля и Конторовой, о которой речь пойдет ниже, могут образоваться солитонные атомы, живущие бесконечно долго! Эти атомы устроены довольно хитро, и без математики их не получишь. Однако описать их очень просто.

Допустим, в начальный момент слева стоит солитон D, а справа около него — антисолитон . Смещения атомов изображены на рис. 6.2, α, где по вертикальной оси отложено смещение в единицах расстояния α, т. е. у/α. Нa оси х изображены также реальные смещения атомов. Справа атомы сгущены, а слева разрежены. Теперь ясно, что налево пойдет волна сгущения, и через некоторое время получится картинка, изображенная на рис. 6.2, б. Все происходит так же, как при столкновении движущегося солитона с покоящимся антисолитоном, но теперь нет запаса кинетической энергии, который позволил бы им оторваться. В результате образуется стоящее на месте пульсирующее состояние.

Его называют бризером (от англ. breath — дышать, одно из значений слова breather — живое существо), или бионом, (живая частица»). Бризер внешне выглядит как стоячая волна. Странно в этой волне то, что ее ничто не удерживает на краях. Можете ли вы представить подобную вещь на поверхности воды? Конечно, нет. К сожалению, на воде таких удивительных «живых существ» действительно не бывает.

Другая удивительная особенность этой стоячей волны состоит в том, что она тоже ведет себя как частица! Бризер может равномерно двигаться. Он ускоряется или замедляется вблизи неоднородностей. При столкновениях с солитонами или другими бризерами он также ведет себя как частица. С другой стороны, в бризере наглядно проявляется волновая природа солитонов. Бризер нельзя описать просто как две частицы D и , связанные пружинкой. «Внутри» него действительно пульсирует стоячая волна сжатий и разрежений «среды».

Здесь, похоже, внимательный читатель не может уже сдержать желания задать автору несколько вопросов.

 

Диалог читателя с автором

Ч и т а т е л ь. Мне трудно уследить за скачками Вашей мысли. Вы довольно долго убеждали меня, что солитон — частица. Теперь скажите, что я должен думать о бризере? Это ведь явно стоячая волна, хотя и не совсем обычная. В то же время, если я правильно понял, бризер тоже настоящий солитон, такой же, как солитон Рассела или дислокация Френкеля. Что же все-таки солитон — частица или волна?

А в т о р. Если сказать кратко, то солитон — не частица и не волна. Солитон — это солитон, новый объект физического мира. Однако многие солитоны рождаются «из волн» и наследуют некоторые свойства волн. Для понимания многих свойств солитонов помнить об их волновом происхождении не только полезно, но порой и необходимо. С другой стороны, солитоны движутся и сталкиваются как частицы, но частицы эти, как мы видели, очень необычные. Дислокация, например, имеет конечный размер, но ее нельзя разбить на меньшие части, она неделима.

Ч и т а т е л ь. Но это совершенно непонятно! Дислокация, в конце концов, состоит из грузиков и пружин. Где же тут неделимость?

А в т о р. Я позволю себе ответить на вопрос вопросом. Помните ли Вы улыбку Чеширского Кота из знаменитой книги Льюиса Кэрролла? *).

«...первым исчез кончик его хвоста, а последней — улыбка; она долго парила в воздухе, когда все остальное уже пропало. — Д-да! — подумала Алиса. — Видала я котов без улыбок, но улыбка без кота! Такого я в жизни еще не встречала».

*) Кэрролл Л. Приключения Алисы в Стране Чудес: Пер. с англ. — М.: Книга, 1982.

Так вот, грузики и пружинки — это кот, а дислокация — его улыбка. Ясно, что улыбка относится к состоянию кота, но она не состоит из кота, и она, конечно, «неделима» — либо она есть, либо ее нет! Когда я говорю о дислокации как о солитоне, я как раз и имею в виду «улыбку без кота». Дело здесь не только в том, что одни и те же солитоны, описываемые совершенно одинаковыми математическими уравнениями, могут существовать в самых различных средах. Самое интересное, что можно действительно изучать и, видимо, наблюдать улыбку без кота!

Ч и т а т е л ь. Извините, но я опять Вас перебью. Я, конечно, не думаю, что Вы имеете в виду что-нибудь сверхъестественное. Но в таком случае Вы, по видимому, хотите сказать о радио, телевидении, голографии и тому подобном. Мне это все объяснять не надо. Вполне понятно, что можно закодировать и кота, и его улыбку, и нашу беседу, и многое другое в электромагнитные волны, и все это сможет существовать само по себе, в вакууме. Это ясно. Мне кажется, что ничто не препятствует и существованию «электромагнитных солитонов». Если это возможно, то Ваша мысль мне совершенно понятна. В конце концов, и сами электромагнитные волны — тоже «улыбка без кота».

А в т о р. Эта беседа начинает мне нравиться все больше. Вы уже объясняете мне, что я собирался сказать! Хотя я, честно говоря, не думал о телевидении и голографии, но вот с электромагнитными волнами Вы попали почти «в десятку». После того как из физики было изгнано представление об эфире, электромагнитные волны действительно стали «улыбкой без кота». Современная теория пошла дальше. В ней и другие элементарные частицы, например электроны, тоже описываются полями, во многом подобными электромагнитному полю. Есть, конечно, и существенные отличия между этими полями, и самое главное для нас — в законе дисперсии. Электромагнитные волны распространяются в пустоте без дисперсии. Скорость группы волн (фотона) равна скорости распространения волн, т. е. скорости света. Волны, описывающее электроны, должны быть устроены так, чтобы группы этих волн (электроны) могли двигаться с любой скоростью, меньшей скорости света. Волны, из которых мы строили дислокации, как раз удовлетворяют этому требованию, только роль скорости света играет скорость звука. Я скоро это покажу, а сейчас только замечу, что эта дисперсия никак не связана с дискретностью цепочки. Вы можете, как это делалось в предыдущей главе, перейти к пределу непрерывной среды, а затем вообще забыть о среде, оставив одно поле.

Ч и т а т е л ь. Мне не совсем понятно, что у Вас останется.

А в т о р. Останется поле, которое в простейшем случае характеризуется функцией у (t, х), описывающей отклонение от равновесия каждой точки среды. Точка зрения теории поля состоит в том, что материальной среды, по которой распространяются волны, нет, а эта функция описывает само распределение вещества, например электронов.

Ч и т а т е л ь. Нет, давайте лучше вернемся к солитонам в какой-нибудь среде. К этому я уже привык. А то, что от электрона осталась только функция, я так сразу не могу переварить. Это чересчур абстрактно.

А в т о р. Беда не в том, что это абстрактно, к этому нужно только привыкнуть: хуже, что для электрона эта картина, строго говоря, неправильна. Если Вы рассматриваете электромагнитное поле, то все эти представления имеют смысл как в обычной классической теории прошлого века, так и в квантовой теории. Поле же, описывающее электроны, имеет смысл только в квантовой теории. Но и там при описании взаимодействия электронов и фотонов возникают большие трудности. Эти трудности еще удалось как-то преодолеть, но вот не менее важную частицу, протон, таким способом, на языке теории поля, совсем не удалось описать. Поэтому и возникла замечательная мысль — а не является ли протон солитоном какого-нибудь поля?

Ч и т а т е л ь. Нет, давайте все же закончим наш разговор. Кое-что я, пожалуй, уловил. Вы хотите, чтобы я рассматривал отклонения частиц в модели Френкеля как поле у (t, х), похожее на электромагнитное поле. Тогда периодические волны небольшой амплитуды будут подобны электромагнитным волнам, а дислокации будут частицами... X-м?... Какими частицами?... Не фотонами же?

А в т о р. Что Вас смутило? Конечно, это не фотоны! Вы же знаете, что фотоны движутся со скоростью света. Вы можете представлять себе фотон просто как группу волн. В пустоте скорость этой группы совпадает с фазовой, ну и так далее...

Ч и т а т е л ь. Тогда, может быть, дислокации подобны электронам или протонам? У них ведь и заряд есть, и античастицы, и атом из них можно составить?.. Нет, это просто здорово! Из одного и того же материала делается все — и фотоны, и электроны... Постойте, постойте! Вы говорили, что эти волны сильно диспергируют. Значит, они не могут быть фотонами!

А в т о р. Вы хотите понять все чересчур буквально. Конечно, эти волны не совсем похожи на электромагнитные. Если хотите более точную аналогию, то волны в модели Френкеля — Конторовой описывают мезоны, а дислокации — протоны.

Ч и т а т е л ь. А что такое мезон? Я слышал про π-мезон и μ-мезон. Вы их имеете в виду?

А в т о р. Во-первых, μ-мезон вовсе не мезон, а лептон. Он входит в одно семейство с электроном и нейтрино. Это имя он получил случайно, теперь его называют мюоном. Он почти ничем не отличается от электрона, только в 207 раз тяжелее. А вот π-мезон действительно относится к семейству мезонов. В каком-то смысле его можно считать аналогом фотона. Если электромагнитное поле необходимо для того, чтобы связать электроны и протоны в атомы, то поле π-мезонов необходимо, чтобы протоны и нейтроны связывались в атомные ядра. Правда, дело здесь обстоит гораздо сложнее...

Ч и т а т е л ь. Нет-нет! Довольно сложностей! Скажите только, почему Ваши «мезонные волны» должны обязательно диспергировать? И потом, все-таки не понятно, какое отношение имеют эти волны к мезонам. Мезоны ведь частицы?

А в т о р. Отвечу сначала на второй вопрос. Правда, точный ответ на него возможен лишь в квантовой теории. Мезон — это квант мезонного поля, точно так же, как фотон — квант электромагнитного поля. Если это непонятно, то можете себе представлять фотон как группу электромагнитных волн, а мезон как группу «мезонных волн». Тогда Вы сразу получаете ответ на первый вопрос: дисперсия нужна для того, чтобы групповая скорость отличалась от фазовой. Фотон — это частица с нулевой массой, скорость такой частицы всегда равна скорости света. Мезон — частица с конечной массой (π-мезон примерно в 270 раз тяжелее электрона), и закон дисперсии должен быть таким, что группа волн движется как частица с такой массой. Учтите только, что этот ответ неполный, а по существу даже и неправильный. Правильный ответ можно дать только в квантовой теории.

Для понимания соотношения между полем и солитоном, напротив, не требуется никакой квантовой теории, и я постараюсь больше не вспоминать ни о каких квантах. Давайте действительно вернемся к солитонам. Я покажу, как основные свойства солитона Френкеля можно получить на точном языке математики. При этом Вы увидите, что все опять сводится к движению маятников, точнее, к асимптотическим движениям маятника (вспомните рис. 4.14). Надеюсь, Вы еще не забыли, что это такое?

Ч и т а т е л ь. Признаться, я не очень внимательно прочел главу о маятнике. Она мне показалась слишком длинной. К тому же я не понимаю, как Вы хотите связать дислокацию с маятником. Понятно, что каждую частицу в ямке можно считать маятником. Однако когда дислокация стоит на месте, грузики неподвижны, речь, по-моему, может идти не о колебаниях, а о равновесии маятников, связанных пружинами... Впрочем, если дислокация движется, то грузики действительно ведут себя как маятники, делающие одно полное колебание. Только почему оно асимптотическое?

А в т о р. Я мог бы ответить на этот вопрос, но давайте лучше сначала уточним модель и напишем некоторые формулы.

Признаюсь, что я пока немного обманывал Вас, выдавая за модель Френкеля — Конторовой более наглядную, но и более сложную систему. Теперь займемся настоящей моделью Френкеля — Конторовой.

Если Вы хотите по-настоящему понять, как устроен хотя бы один солитон, попробуйте разобраться в следующих двух параграфах, возвращаясь время от времени к формулам, описывающим маятник и движения грузиков в пружинной модели. Если у Вас нет желания заниматься этой работой, можно бегло просмотреть эти параграфы. Советую все же постараться понять, что изображено на рис. 6.3 и 6.4 и обратить внимание на закон дисперсии волн в модели Френкеля — Конторовой.

 

Дислокации и маятники

В настоящей модели ФК атомы, естественно, движутся по прямой (ось х) и все силы, действующие на них, направлены также по оси х. Действие соседних атомов верхнего слоя представим, как всегда, пружинами, а действие атомов нижнего слоя («подкладки») описывается периодической синусоидальной силой

f(х) = -f0 sin (2πx/α).

Как и в предыдущей главе, обозначим отклонение n-го атома от положения равновесия функцией y n (t) = x n (t) - nα, где x n (t) — координата n-го атома. Со стороны «подкладки» на n-й атом действует сила

Пружины действуют на n-й атом с силой, равной

k (y n+1 - y n ) - k (y n - y n-1 ).

Уравнение движения n-го атома поэтому принимает вид

Если f0 = 0, то мы получаем уравнение (5.8), уже изученное раньше.

Итак мы получили уравнение (6.1), соответствующее модели Френкеля — Конторовой. Сейчас мы найдем решение этого уравнения, описывающее движущуюся дислокацию. Читателя, разобравшегося в предыдущей главе, уже не смущает что это не одно уравнение, а бесконечная система уравнений. Мы знаем что движущаяся дислокация подобна волне, бегущей по цепочке маятников, в которой каждый маятник с некоторым запаздыванием точно повторяет все движения предыдущего. Время этого запаздывания Δt определяется скоростью перемещения волны v = α/Δt. Таким образом (вспомните рис. 5.7)

Смещения y n (t + Δt) можно найти, считая движение атома от момента t - Δt до момента t + Δt равномерно ускоренным. Тогда, как мы уже писали,

Подставляя это в уравнение (6.1), получаем замечательно простое уравнение

Присмотримся к этому уравнению повнимательнее. Если отвлечься от обозначений, то видно, что оно почти совпадает с уравнением маятника, о котором так много говорилось в гл. 4. Когда периодической силы не было, т. е. f0 = 0, мы должны были положить m = k (Δt)2, откуда и определили скорость распространения звука в свободной цепочке:

Теперь квадратная скобка не равна нулю. Перепишем ее в виде

Теперь ясно, что при медленном движении дислокации, когда v v0, квадратная скобка отрицательна, а определенная нами эффективная масса m•, зависящая от скорости v, положительна.

Легко свести уравнение (6.2) к уравнению маятника (4.1). Вспомним, что sin (π + φ) = -sin φ, и положим 2π(y n /α) = π + φn , т. е. будем измерять отклонение атома от положения равновесия «углом» φn . Если атом остался на месте, то y n = 0 и φn = -π. Если он смещается вправо, то угол φn возрастает и при y n = α принимает значение +π. Таким образом, переходу атома со дна одной «ямки» на дно другой соответствует асимптотическое движение «маятника». При таком изменении обозначений уравнение движения (6.2) можно записать в виде (проверьте это!)

Движение «маятника» по сепаратрисе, когда φn (t) изменяется от -π до +π, мы уже определили раньше (вспомним формулу (4.9) и рис. 4.10). Напишем эту формулу еще раз:

Так как маятники качаются с запаздыванием, мы выбрали свое начало отсчета времени t n для каждого из маятников. Поскольку смещение атомов от ячейки к ячейке распространяется со скоростью v = α/Δt, надо взять t n = nΔt. Тогда φ1(t) = φ0(t - Δt), и вообще φn (t) = φ0(t - nΔt).

Выразим теперь t n через скорость дислокации, т. е. t n = nα•(Δt/α) = nα/v, и заменим nα на х. Будем писать соответственно φn (t) = φ(t, х), где х = nα. Тогда функцию φ(t, х), описывающую движущуюся дислокацию, можно записать в виде

φ(t, х) = π - 4 arctg [e - ω( t - x/v ) ].

Эта функция определяет форму дислокации в любой момент времени:

y n (t) = α/2 + (α/2π) φ (t, nα).

Удобно записать показатель экспоненты в форме (х - vt)/l v , где l v = v/ω. Вспоминая определения «частоты» ω и «массы» m• (см. формулы (6.4) и (6.3)), после простых преобразований получаем

В этом выражении для величины l0 под корнем написана безразмерная величина, равная отношению неких двух энергий. Выясним смысл этих энергий. Вспоминая, что v0 = , представим mv02 как kα2. Эта величина пропорциональна энергии, необходимой для растяжения пружины на величину порядка α. В знаменателе стоит произведение силы f0 на расстояние α, что, очевидно, пропорционально работе, которую надо затратить на преодоление барьера, отделяющего одну ямку от другой. Таким образом, l0 увеличивается при увеличении жесткости пружин и уменьшении силы со стороны «подкладки», привязывающей атомы к определенным местам. В дальнейшем будем считать, что упругая энергия kα2 значительно превосходит f0α, и, таким образом, величина l0 α.

Теперь посмотрим на окончательное выражение для функции φ(t, х), описывающей дислокацию

Эта функция представлена на рис. 6.3, б. На рис. 6.3, α изображена кривая зависимости φ от х в момент t = 0. Вдали от центра дислокации, расположенного в точке х = 0, атомы расположены вблизи положений равновесия, т. е. φ π или φ  -π. Атомы находятся далеко от положений равновесия лишь на расстояниях l v от центра. Мы можем поэтому называть l v полушириной дислокации или просто ее размером:

Если скорость дислокации равна нулю, то ее размер l v = l 0 зависит лишь от характеристик решетки. Размер равномерно движущейся дислокации t v с увеличением скорости уменьшается, причем это уменьшение определяется формулой

напоминающей преобразование длины при переходе в движущуюся систему координат в специальной теории относительности, только вместо скорости света с

в ней стоит скорость звука v0. Эту аналогию с теорией относительности можно провести достаточно далеко. Можно показать, что энергия Е и импульс р движущейся дислокации также выражаются формулами «теории относительности»

Таким образом, быстро движущиеся дислокации подчиняются не механике Ньютона, а механике специальной теории относительности. При малой скорости движения дислокации (v2/v02   1) можно пользоваться обычной нерелятивистской теорией.

Эта модель, вероятно, очень понравилась бы Джозефу Лармору (1857—1942), считавшему частицы чем-то вроде дислокаций в эфире. Правда, его теория намного сложнее, но суть дела именно такая. С интересом отнесся бы к этой модели и Пуанкаре. В своем докладе «Новая механика» (1909 г.) он говорил: «Инерцией обладает не материя, а эфир; он один оказывает сопротивление движению, так что можно было бы сказать: нет материи, есть только дыры в эфире». В конце этой книги мы познакомимся с некоторыми современными идеями, связывающими элементарные частицы с солитонами некоторых нелинейных полей, играющих в какой-то степени роль эфира.

 

Во что превратились звуковые волны

Итак, мы уже поняли, что солитоны перемещаются со скоростями, меньшими v0. А как же с обычными звуковыми волнами — могут ли они распространяться в среде, смоделированной Френкелем и Конторовой?

Возвратимся к уравнению (6.2). Даже для волн очень малой амплитуды его правую часть отбросить нельзя. Можно только приближенно заменить ее на -2πf0(y n /α). Тогда сразу видно, что y n (t) будет изменяться по синусоидальному закону, если величина «эффективной массы» m• отрицательна. При положительной эффективной массе никаких колебаний y n (t) не получится (вспомните гл. 4!). Предположим поэтому, что m•  0. Тогда из формулы (6.3) следует, что скорость распространения волны v должна быть больше v0, т. е. больше чем в свободной цепочке атомов! Не противоречит ли это только что сделанным вычислениям? Конечно, нет. Скорость v — это фазовая скорость волны, и мы сейчас увидим, что скорость группы волн оказывается всегда меньше v0.

Итак, подставим в формулу (6.2) соотношение (6.3) и заменим sin [2π (y n /α)] на 2π (y n /α). Для у n (t) получаем тогда уравнение малых (линейных) колебаний

Решения этого уравнения, например

у n (t) = у n (t n ) соs [ω(t - t n )],

описывают, как и раньше, бегущие волны. Вспоминая рассуждения, приведенные при выводе формулы (6.5), представим волну смещения атомов в виде

у(t, х) = у0 соs [ω(t - x/v)].

Зависимость круговой частоты волны ω от фазовой скорости определяется формулой (6.8). Из условия связи длины волны с частотой и скоростью, т. е. из обычного соотношения λ = v/ = 2πv/ω, легко находим зависимость фазовой скорости от длины волны:

Упражнение : получите формулы (6.8), (6.9), воспользовавшись формулами (6.2), (6.3). Найдите групповую скорость и из формулы (5.23).

О т в е т:

Зависимость скорости v от длины волны λ изображается хорошо изученной нами кривой — гиперболой. Обозначив v/v0 = X и λ/λ0 = Y, можно записать уравнение (6.9) в более знакомом и приятном виде как Y2 - Х2 = 1. Как мы уже убедились в гл.4, точки этой кривой можно находить с помощью циркуля и линейки. Это построение выполнено на рис. 6.4, где

введены обозначения X1 = λ1/λ0 , Y1 = v1/v0, 1/Y1 = u1/v0, λ1 — интересующее нас значение длины волны, v1 — соответствующее значение фазовой скорости, определяемое формулой (6.9), а u1 = v02/v1 — значение групповой скорости.

Упражнение : выполните построение рис. 6.4. Покажите, что координаты точки А 1 подчиняются соотношению (6.9), координаты точки С 1 равны ω 0 /ω 1 и u 1 / v 0 = v 0 / v 1 , где ω 1 — значение ω, соответствующее заданному значению λ = λ 1 .

Полученный нами закон дисперсии очень часто встречается в самых разных физических явлениях, и стоит потратить некоторое время, чтобы как следует понять его. Особенно полезно представить его с помощью дисперсионной формулы

которая легко получается заменой в формуле (6.9) отношения v/v0 на (λω/λ0ω0).

Отсюда сразу видно замечательное свойство этого закона дисперсии — частота распространяющихся по цепочке волн всегда выше частоты ω0, с которой колебался бы каждый атом цепочки вблизи своего положения равновесия, если бы он находился только под действием «подкладки». Физически очевидно, что частота ω0 достигается при очень большой длине волны, когда соседние атомы смещаются без изменения относительно расстояния (как твердое тело). При этом пружины настолько слабо деформируются, что их как бы и нет.

Другое свойство закона дисперсии (6.9) роднит его с гравитационными волнами на глубокой воде. Мы видим, что фазовая скорость v(λ) увеличивается с увеличением длины волны. Правда, эта зависимость несколько иная — скорость очень длинных волн на воде пропорциональна , а скорость волн смещения пропорциональна λ (при λ λ0). Тем не менее можно считать, что природа прохождения дисперсии в обоих случаях качественно сходна. Во всяком случае, найденная нами дисперсия волн смещения в атомной цепочке не связана с ее дискретной структурой, которая может проявиться лишь при очень малых длинах волн, порядка постоянной решетки α.

При выводе закона дисперсии мы, в сущности, с самого начала пренебрегали дискретной структурой, предполагая, что α   λ и α   λ0. Нетрудно проверить, что λ0 = 2πl0 (проверьте!). Поэтому при α  λ0 будет также выполнено условие α  l0, т. е. размер дислокации l0 должен быть большим по сравнению с межатомным расстоянием. Отсюда ясно, что дефект по Френкелю, размер которого примерно равен α, нельзя описать с помощью изложенной здесь теории. Если, однако, не гнаться за точностью, то можно считать дефект по Френкелю просто дислокацией малого размера l0, сравнимого с α. Описание при этом будет качественно правильным.

Если это не вполне понятно, нужно вспомнить начало предыдущей главы, где описаны колебания системы из двух и трех грузиков, соединенных пружинками. Эти колебания соответствуют стоячим волнам сплошной резинки (рис. 5.4 и 5.5), но только нельзя рассматривать волны с длиной, меньшей 2 α . Более точное описание дефекта по Френкелю можно найти с помощью исходного уравнения (6.1). Если пружины очень мягкие, т. е. если kα  f 0 , то существует равновесное состояние, в котором один из атомов смещен примерно на α , а все остальные смещены мало (попробуйте это проверить самостоятельно!). Это и есть дефект по Френкелю.

Раз уж мы вспомнили переход от цепочки атомов к сплошной среде, стоит написать, во что превратится при таком переходе основное уравнение (6.1). Как и при выводе уравнения Д'Аламбера, можно считать, что второй член в правой части перейдет в kα 2 y" . Переходя от y ( t , х ) к φ( t , х ) (вспомните вывод уравнений (6.4), (6.5), найдем в результате, что

Если  ω 0 = 0, то из этого уравнения получается уравнение Д'Аламбера.

К уравнению (6.11) приклеилось странное название — уравнение «синус-Гордона» . Происхождение этого жаргонного наименования связано с тем, что при значениях φ, мало отличающихся от π, т. е. φ = π + ψ, где оно переходит в уравнение

Это, а если говорить совсем точно, несколько более общее уравнение было предложено в 1926 г. Э. Шрёдингером, О. Клейном, В. Гордоном и В. А. Фоком, и обычно физики для краткости называют его уравнением Клейна — Гордона . Подобное стремление к укорочению названий породило и сочетание «синус-Гордона».

На самом деле уравнение (6.12) было известно уже в прошлом веке и называлось уравнением струны в упругой среде (действие упругой среды на каждый кусочек струны описывается членом  в правой части уравнения). Уравнение (6.11) также встречалось математикам в конце прошлого века. Оно появилось в связи с исследованиями по геометрии Лобачевского *) и было известно лишь геометрам. Достаточно полное изучение решений уравнения (6.11) было выполнено лишь в 1936 г. немецким математиком Р. Штойервальдом. Он нашел решения, соответствующие (на нашем с вами языке) одному солитону, двум солитонам и бризеру. Эти результаты до самого последнего времени были известны лишь немногим специалистам по геометрии и не оказали никакого влияния на развитие науки о солитонах. Для физики уравнение «синус-Гордона» было открыто Френкелем и Конторовой, и они же нашли его солитонное решение. Связать эти открытия с их именами естественно и справедливо, хотя наиболее удивительные свойства модели ФК были обнаружены позднее другими исследователями. Как сказал Больцман: «Еще почти никогда... не бывало, чтобы та самая голова, которая впервые натолкнулась на ту или иную новую идею, до конца исчерпала бы ее».

*) Любому решению этого уравнения соответствует некоторая поверхность, на которой выполняются аксиомы геометрии Лобачевского. Такие реализации геометрии Лобачевского сыграли основную роль в признании его идей.

 

Как увидеть дислокации?

Всякий знает, что металлы сами по себе довольно «мягкие» или, лучше сказать, пластичные. Речь идет о «совершенном» металле, который имеет простую, не искаженную примесями и дефектами кристаллическую структуру. Кристаллическая решетка большинства металлов построена из одинаковых «кубиков». Вдоль плоскостей этих «кубиков» кристалл легко можно сдвинуть. Если вы сложите стопкой монеты, то небольшим боковым усилием легко сдвинете ее. Точно так же легко сдвигается по некоторым плоскостям идеальный кристалл. Такой сдвиг происходит совсем легко, если приложенное усилие создает дислокации, которые бегут одна за другой. Вам не нужно сдвигать сразу много атомов, а достаточно образовать дислокацию, для чего требуется небольшое усилие. По этой причине чистые, правильные кристаллы многих металлов очень мягкие. Однако бывает, что куски одной и той же на вид проволоки гнутся совсем не одинаково. Эти куски одинаковы лишь внешне, а внутренняя структура у них совсем разная. Те, которые гнутся плохо, подверглись обработке: вероятно, их уже сгибали. Возможно, вы замечали, что проволоку часто легче согнуть, чем разогнуть. А причина тому — дислокации. При сгибании в кристалле неизбежно образуется большое число дислокаций. Расстояния между атомами при этом практически не изменяются, но кристалл в одних направлениях растягивается, а в других — сжимается. Обратимся к рис. 6.5: линии изображают, конечно, довольно схематично, правильные ряды атомов кристалла, а их обрывы — это дислокации.

Если при сгибании образуется очень много дислокаций, они начинают «мешать» друг другу. Точнее говоря, кристалл становится настолько несовершенным, что дислокации по нему уже не смогут распространяться свободно. Если вспомнить модель, с которой мы начинали, то можно сказать, что правильно чередующиеся ямки становятся довольно нерегулярными.

Образуются широкие холмы и овраги, за которые дислокации «зацепляются». Чтобы разогнуть кристалл, вам приходится перемещать уже огромные коллективы атомов, а не «передислоцировать» их небольшие группки. Вот и выходит, что разогнуть совсем не то, что согнуть! Между прочим, то же самое — образование большого числа перепутанных дислокаций и других дефектов — происходит при ковке металлов. Можно сильно уменьшить число дислокаций, которые образовались при сгибании и разгибании проволоки, если «отжечь» проволоку. После отжига она снова станет совсем мягкой. Вы можете удивить своих менее просвещенных друзей простым фокусом — «я пятаки могу ломать». Прокалите достаточно толстую проволоку в огне газовой горелки. Остыв, она останется мягкой, и из нее легко можно сделать кольцо на палец или браслет на запястье, в зависимости от толщины проволоки. Предложите затем доверчивому зрителю разогнуть это кольцо!..

Почему кольцо стало таким неподатливым? Дело в том, что при сильном нагревании дислокации «распутываются», атомы, в основном, становятся на свои места и проволока смягчается. После сгибания структура проволоки становится, как сказал Лукреций Кар, «крючковатой»...

Здесь могут возникнуть два вопроса. Во-первых, почему должны обязательно образовываться дислокации, а не просто дефекты по Френкелю? Во-вторых, можно ли увидеть сами дислокации, а не делать умозаключения об их существовании?

Попробуем сначала разобраться с первым вопросом. В реальных кристаллах на создание дислокации нужно затратить меньше энергии, чем на образование одного дефекта по Френкелю. Энергия покоящегося дефекта примерно равна kα2, а энергия покоящейся дислокации равна

Не приводя вывода этой формулы, напомним только, что m0 — это эффективная масса покоящейся дислокации. Энергию движущейся дислокации можно найти с помощью (6.7).

Теперь ясно, что если размер дислокации l0 много больше постоянной решетки α, то для создания одиночного дефекта Френкеля требуется примерно во столько же раз большее количество энергии, поскольку . Это дает ответ на первый вопрос.

Ответ на второй вопрос дали замечательные эксперименты, выполненные в Кавендишской и в других лабораториях лет тридцать назад. С помощью электронного микроскопа удалось буквально увидеть картину, изображенную на рис. 6.5. Больше того, удалось даже снять кинофильм с большим числом движущихся дислокаций, которые, по выражению первых его зрителей, «суетились, как мыши». Возможно, что внимательное изучение подобных фильмов позволило бы увидеть столкновения дислокаций и даже бризеры.

Замечательную модель кристалла, позволяющую увидеть дислокации невооруженным глазом, придумали Л. Брэгг и Дж. Най. В этой модели двумерный кристалл делается из мыльных пузырьков. Лучше всего прочесть саму работу Брэгга и Ная и посмотреть полученные ими фотографии дислокаций. Работа написана очень просто и занимательно, перевод ее на русский язык помещен в Приложении ко второму тому «Фейнмановских лекций по физике» (М.: Мир, 1966). Модель Брэгга — Ная описана также в «Опытах в домашней лаборатории». На рис. 77 этой книги можно ясно увидеть три френкелевских дислокации. Одна на средней фотографии и две на нижней. Чтобы их разглядеть, надо рассматривать плоскость страницы под малым углом, при этом должны быть ясно видны параллельные ряды «атомов». В месте расположения дислокаций эти линии «перебиваются», и ясно видна френкелевская структура дислокаций.

 

Настольные солитоны

Простую реализацию модели Френкеля — Конторовой можно изготовить из нашего скрепочного устройства (вспомните рис. 5.2). Прикрепите к концам скрепок грузики из пластилина — и прибор готов! Если резинка достаточно близка к идеальной, то наше устройство есть не что иное, как набор маятников в поле силы тяжести, упруго связанных друг с другом благодаря закручиванию резинки. После всех наших занятий с маятниками совсем не трудно понять, что будет происходить со скрепками, и написать уравнения, описывающие их движения.

Читатель, вероятно, уже догадался, что эти уравнения совершенно подобны уравнениям (6.1). Чтобы их написать, удобно идеализировать скрепки, заменив их грузиками с массой m на невесомых твердых стерженьках длины l. Эта упрощенная модель изображена на рис. 6.6. Закручивание резинки, на которой подвешены маятники, создает момент упругой силы, действующей на маятник. Этот момент зависит от углов закручивания соседних маятников. Очевидно, что момент, действующий на n-й маятник, можно записать в виде K(φn+ 1 - φn )-K(φn - φn- 1 ). Закончить это небольшое исследование предоставим читателю.

Упражнение : получите уравнение типа уравнения (6.1), описывающее движение маятников. Найдите максимальную скорость (скорость «звука») и длину солитона.

О т в е т:

Конечно, на таком примитивном устройстве можно увидеть немногое. В лучшем случае удастся изучить движение одного солитона и дисперсию волн малой амплитуды. На рис. 6.6 схематически изображены отклонения маятников, соответствующие одному солитону, т. е. угол закручивания изменяется от 0 до 2π. Из-за большого затухания, вызванного трением в резинке, солитон довольно быстро останавливается.

Более совершенный «генератор солитонов», основанный на том же принципе, можно сделать из гвоздей и пружин. Основная идея должна быть понятна из рис. 6.7.

Маятники насаживаются на хорошо натянутую фортепианную струну диаметром  1 мм. Необходимо, чтобы трение при вращении держателя D на струне было как можно меньше. В приборе, который был построен в 1969 г. А. Скоттом (примерные параметры его и приведены на рис. 6.7), длина солитона была  5 см, а v0 50 см/с. На своем приборе А. Скотт наблюдал столкновения солитона с солитоном и антисолитоном, зависимость размера солитона от скорости, дисперсию волн и другие закономерности и явления.

В общем, частная и в какой-то степени общественная жизнь солитонов вполне доступна наблюдению невооруженным глазом. Ясно, что она была столь же доступна наблюдению и в 1869 г. Только, как мы знаем, она тогда никого не интересовала. Общая идея солитона родилась в наше время, и солитон — дитя середины ХХ в. Нам пора вернуться в него, но сначала надо сказать еще несколько слов о «ручном» солитоне и о некоторых других солитонах, похожих на солитоны Френкеля.

 

Другие близкие родственники дислокаций

по математической линии

Покоящийся «ручной» солитон, или солитон Эйлера, тоже описывается, как уже говорилось в гл. 3, уравнением маятника. Только роль времени играет длина дуги. Показать это совсем не сложно, если взять дискретную модель проволоки, сделанную из твердых стерженьков, соединенных пружинными шарнирами (вспомните, как устроены бельевые прищепки). Рассмотрим несколько секций этой модели проволоки, изображенных на рис. 6.8. Проволока растягивается силой F. Применяя третий закон Ньютона к каждому стерженьку длины α, легко понять, что на него действует пара сил F, момент которой равен Fα sin φn . Пружинные шарниры стремятся выпрямить «проволочку». Полный закручивающий момент, действующий на n-й стерженек, можно представить в виде К (φn +1 - 2φn + φn -1 ). Равновесие устанавливается, если этот момент равен нулю. Переходя, как обычно, к пределу непрерывной проволочки, т. е. считая длину стерженька малой, получим уравнение маятника

Здесь, как всегда, функция φ(s) получена переходом φn → φ(nα) → φ(s), штрихи обозначают дифференцирование по длине дуги s.

Величина l0 имеет размерность длины, так как [К] = [F] · [L]. Как мы сейчас увидим, l0 — это размер ручного солитона. Предполагается, конечно, что при уменьшении α жесткость пружин возрастает так, чтобы величина Кα оставалась конечной.

Форма солитона описывается хорошо знакомым выражением

φ(s) = π - 4 arctg (е- s / l 0).

На первый взгляд кажется, что нарисовать эту кривую не так-то просто. Действительно, здесь s — длина дуги, а φ(s) — угол наклона касательной к оси х, так что совсем неясно, как изобразить реальную кривую у(х), а не график зависимости φ от s. Оказывается, однако, что можно довольно просто построить кривую у(х) по точкам, пользуясь лишь циркулем и линейкой. Это построение изображено на рис. 6.9. Основано оно на том, что точка кривой Эйлера, имеющая на ней «координату» s, лежит на окружности в плоскости (х, у) с радиусом 2l0 и центром на оси х с координатой s. Математически это можно записать следующим образом:

[х(s) - s)]2 + [у(s)]2 = 4l02.

Если найдена, скажем, точка А2, лежащая на окружности с радиусом l0 и центром в точке — 2α, то для отыскания точки А3 построим окружность с центром в точке — 3α (α — малая длина) и найдем точку пересечения с ней малой окружности радиуса α с центром в точке А2, которая и оказывается точкой А3. Точно так же строятся остальные точки А4, А5, ... Чем меньше Δs = α, тем ближе будет построенная по точкам ломаная кривая к гладкой кривой Эйлера.

Если построение выполнено достаточно точно, угол самопересечения кривой будет равен примерно 110°. На рис. 6.9 мы взяли l0 = 1. От l0 зависит не форма, а лишь общий размер кривой, так как все они подобны. Солитон с размером l0  1 получается увеличением всех размеров нарисованного солитона в l0 раз (преобразование подобия, или «фотоувеличение»). Это замечательное свойство ручного солитона легко увидеть на опыте. Если же угол сильно отклоняется от 110° или заметно меняется при уменьшении размера петли, когда вы увеличиваете силу натяжения F, ваша проволочка не годится для наблюдения солитона, надо подыскать другую.

Если вы хорошо разобрались с выводом формул (4.9) и (4.10) для асимптотического движения маятника, то вам нетрудно будет понять и происхождение рис. 6.9. Представьте себе только, что φ — угол отклонения маятника, а s — время. Тогда рассуждения, которые были приведены в гл. 4, можно просто повторять, заменив t на s и ω0 на 1/l0.

Попробуем теперь разобраться, почему ручной солитон может двигаться. В опытах он обычно останавливается примерно на середине проволочки. Дело в том, что проволочка, во-первых, далеко не идеальная, а, во-вторых, слишком короткая. Неидеальность означает, что в ней всегда есть остаточные деформации, которые мешают солитону двигаться. Но даже если эти деформации очень малы, солитон отталкивается от краев и останавливается посредине. Само это доказывает, что он может двигаться, иначе бы он застревал где попало. На рис. 6.9 изображен кусок солитона, сдвинувшегося на расстояние α. Легко увидеть, что каждая точка проволоки при движении солитона (сама проволока закреплена неподвижно, бежит только «волна!») движется по нарисованным окружностям. В частности, точка с «координатой» s = 0 движется по окружности с центром в точке O. Это движение, однако, не равномерно, оно замедляется по мере приближения точки к оси Ох. Вы видите, что в движении ручного солитона проявляется замечательное сходство с волной на глубокой воде, в которой частички жидкости также движутся по окружностям!

Мы, однако, так и не ответили на вопрос, почему все-таки солитон будет двигаться, а не стоять на середине проволочки. Представьте себе, что проволочка бесконечна. Тогда все положения солитона на ней совершенно эквивалентны. Отсюда и следует, что он может медленно перемещаться, не меняя форму. В нашем же случае, когда проволочка имеет конечный размер, хорошо как раз то, что ручной солитон может находиться в покое и его можно хорошенько рассмотреть.

Можно также рассмотреть, что два солитона отталкиваются друг от друга, хотя процесс столкновения солитонов увидеть, скорее всего, невозможно. Зато на ручной модели солитона замечательно ясно видна его «неуничтожаемость», а также истинная природа сохранения «заряда» солитонов.

На бесконечной проволочке нельзя создать солитон (если проволочка остается в одной плоскости) и нельзя его уничтожить. Точно так же нельзя уничтожить, оставляя проволочку в одной плоскости, два и большее число солитонов (рис. 6.10, α: «протаскивание» проволочки под ней самой не требует вывода «бесконечно тонкой» проволочки из плоскости). Наоборот, пару из солитона и антисолитона (рис. 6.10, б) легко сделать и уничтожить, оставляя проволочку в одной плоскости. Легче это проверить, взяв кусок шпагата, который не сопротивляется изгибу. Если попробовать таким же способом «развязать» узелки, изображенные на рис. 6.10, α, то получится двойной узелок (рис. 6.10, в), который никакими ухищрениями нельзя «развязать», не выводя проволочку из плоскости. Подобные и более сложные узлы образуются, например, когда запутывается длинная леска на спиннинге. Те, кто сталкивался с такой неприятностью, знают, что для распутывания лески ее ни в коем случае нельзя тянуть, а надо терпеливо и аккуратно крутить узелки в трехмерном пространстве.

Все это дает право назвать ручной солитон топологическим, а определенный нами «солитонный заряд» естественно — топологическим зарядом. Как известно *), топология изучает свойства фигур, сохраняющихся при их непрерывных деформациях. С топологической точки зрения проволочка с узлами, изображенными на рис. 6.10, б, эквивалентна проволочке без узлов, а проволочка с узлами, показанными на рис. 6.10, α, не эквивалентна. Заряд солитонов, причина сохранения которого коренится в топологических свойствах солитонов, позволяет дать количественную характеристику этому соотношению эквивалентности. То же самое можно сказать и о других солитонах, описываемых уравнением Френкеля — Конторовой. Внешне они выглядят по-разному, но их математическое устройство одинаково. Одинакова, следовательно, и их топологическая сущность, нужно только уметь их сравнивать. Например, установив соответствие между углом наклона касательной к ручному солитону и углом отклонения маятников при их солитонном движении (длине дуги s соответствует в этом случае расстояние по оси, на которой подвешены маятники), мы можем полностью отождествить оба солитона, по крайней мере, в состоянии покоя.

*) См., например, книгу: Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — Библиотечка «Квант», вып. 21.

 

Магнитные солитоны

Солитоны, очень похожие на дислокации, можно найти в очень многих физических системах. О некоторых из них будет коротко рассказано в самом конце книги, а здесь стоит сказать несколько слов о магнитных солитонах. Они изучались сначала независимо от дислокаций, и их родство с дислокациями было замечено очень не скоро.

Речь идет о намагничивании ферромагнетиков, например, железа. Они намагничиваются с большой легкостью из-за того, что в них могут образовываться солитоны. Понять это можно на очень простой модели. Представим себе, что на рис. 6.6 вместо маятников вращаются магнитики. Они находятся не в поле силы тяжести, а в некотором «кристаллическом» поле, которое устроено так, что энергия отдельно взятого магнитика минимальна, когда он находится в вертикальном положении (т. е. φ = 0 или φ =  π). Это поле аналогично полю окружающих атомов в случае дислокаций. Простейшая модель получится, если момент силы кристаллического поля, стремящегося выстроить магнитики, пропорциональна sin 2φ. Направления вверх и вниз называются направлениями легчайшего намагничивания. Обычно они связаны с осями симметрии кристаллической решетки.

Если соседние магнитики никак не связаны, то наш кристалл намагничивается только во внешнем магнитном поле. Для того чтобы он сохранил намагниченность при выключении поля, нужны еще силы между соседними магнитиками, подобные тем, которые создаются в механических моделях пружинками или резинками. Действие этих сил могло бы обеспечить удержание магнитиков в одном направлении, скажем, в верхнем. Природу таких сил удалось понять только после создания квантовой механики. Она была выяснена в 1928 г. Я. И. Френкелем и одним из творцов современной квантовой теории Вернером Гейзенбергом. Для понимания магнитного солитона разбираться в происхождении этих сил не нужно, достаточно знать, что в ферромагнетике они действуют наподобие пружин или резинок.

В результате магнитики проявляют сильно выраженный коллективизм. Скажем, если один из них находится между двумя другими, смотрящими вверх, то он тоже будет стремиться смотреть вверх. Коллективу магнитиков энергетически выгодно смотреть либо вверх, либо вниз. Однако мы забыли еще об одном обстоятельстве. Такой коллектив будет создавать свое собственное магнитное поле, и, помимо энергии взаимодействия магнитиков друг с другом и с кристаллическим полем, нужно учесть еще энергию этого поля. Полная энергия, т. е. энергия нашего коллектива вместе с энергией его магнитного поля, будет минимальной, если коллектив разобьется на группы. В одних члены группы смотрят вниз, а в других — вверх. Эти группы называются доменами (от фр. domaine — область).

Границы между доменами, в которых индивидуальные магнитики постепенно меняют направление ориентации с верхнего на нижнее, называются доменными стенками. Они-то и являются магнитными солитонами, совершенно подобными дислокациям и механическим солитонам. Как и дислокации, доменные стенки могут свободно перемещаться по кристаллу, если, конечно, им не мешают несовершенства кристаллической решетки или другие доменные стенки. Ненамагниченный кристалл состоит из большого числа доменов, направления намагниченности которых противоположны. Если поместить кристалл в магнитное поле, то стенки приходят в движение. В результате размеры доменов, магнитики которых направлены вдоль поля, увеличатся, а размеры остальных соответственно уменьшатся. При выключении поля стенки двигаются назад, но если их движению что-то мешает, то возникает «остаточная намагниченность». Это настолько похоже на описанный выше механизм пластической деформации, что термины «мягкое» и «жесткое» (магнитно) железо должны быть понятны сами собой.

Чтобы оценить число и размеры доменов в ненамагниченном, мягком железе, надо знать величины магнитной энергии и энергии доменной стенки. Для оценок достаточно знать, что объемная плотность магнитной энергии полностью намагниченного однородного кристалла равна примерно 0,1 Дж/см3, а поверхностная плотность энергии доменной стенки — примерно 10-7 Дж/см2. Полная энергия будет минимальной, когда магнитная энергия каждого домена и энергия его стенок будут примерно равными. Если взять кубик объемом примерно 1 см3 , то легко видеть, что это осуществится, когда он разбит примерно на тысячу плоских доменов. Тогда энергия всех стенок и энергия магнитного поля равны примерно 10-4 Дж. Один домен распространяется на несколько десятков тысяч межатомных расстояний, а ширина доменной стенки в несколько сот раз больше размера атомов (т. е. порядка 10-5 см) *). Таким образом, расстояния между стенками достаточно велики и толщина их также заметно больше размеров дислокаций. Поэтому наблюдать доменные стенки несколько легче.

*) Из этих оценок следует, что при описании магнитных солитонов можно пренебречь атомной структурой, т. е. перейти к непрерывной модели. Другое интересное следствие состоит в том, что достаточно малые частицы, размером меньше 10 -4 см, не могут содержать в себе стенок и составляют один домен.

Идея наблюдения очень проста. Тонко измельченный порошок магнитного материала (частицы размера 10-4—10-5 см) насыпают на гладко отполированную поверхность кристалла. Если эта поверхность проходит через ось легчайшего намагничения, то магнитное поле будет «вылезать» на поверхность только вблизи доменных стенок и порошок будет собираться в этих местах (рис. 6.11).

(Таким же образом выглядят домены в тонкой магнитной пленке, например в магнитофонной ленте.) Такие опыты были выполнены в 1931 г. Ф. Биттером.

Наблюдения эти не были случайными. Идея о существовании доменов была высказана еще в 1907 г. французским физиком Пьером Вейссом (1865—1940). Причины дробления на домены были впервые выяснены Я. И. Френкелем и Я. Г. Дорфманом в 1930 г. Они же оценили размеры доменов. После наблюдения доменов американский физик Феликс Блох высказал мысль, что стенки должны быть довольно толстыми, и оценил их толщину. Очень общая и точная теория, позволяющая описывать всевозможные домены и стенки, была создана в 1935 г. Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшицем.

Уравнения Ландау и Лифшица до сих пор используются для получения многочисленных новых солитонов. Ландау и Лифшиц не только нашли структуру описанной нами доменной стенки, но и описали движение стенки под действием слабого внешнего магнитного поля, т. е., по существу, медленное движение солитонов.

Солитонная природа стенок была, однако, выяснена гораздо позже, лет через пятнадцать-двадцать. Сначала никто просто не заметил, что движение стенки похоже на движение частицы. Вероятно, это было связано с тем, что уравнения Ландау — Лифшица, в общем, намного сложнее уравнения Френкеля — Конторовой. Не удивительно, что доменные стенки долго жили своей жизнью, независимой от жизни других солитонов.

Любопытно, что доменные стенки наблюдались еще сто лет назад, но не в реальных магнетиках, а в простой модели, состоящей из взаимодействующих маленьких магнитиков.

Идею о том, что магнетизм связан с молекулярными магнитиками, впервые высказал Френель в письме к Амперу, который и рассчитал поведение газа из таких магнитиков. В. Вебер первым догадался, что нужно привязать эти магнитики, сделав их маятниками. Идею Вебера подхватил и к 1890 г. весьма последовательно разработал в стройную теорию шотландский физик Джеймс Юинг (1855—1935).

Для нас наиболее интересно, что он делал опыты с моделью, состоящей из решетки большого числа очень маленьких стрелок компасов, взаимодействующих между собой. На этой плоской модели магнитного кристалла, подобной пузырьковой модели Брэгга и Ная, он наблюдал образование доменов и даже перемещение их границ.

Эксперименты и теория Юинга оказали большое влияние на Вейсса, но потом были забыты. Теория Юинга была вытеснена квантовой теорией и оставлена вполне заслуженно. Модель же Юинга интересна и сегодня.

Наша одномерная модель магнитного солитона — это просто разновидность, частный случай модели Юинга. Будем надеяться, что ее рано или поздно извлекут из забвения.

На этом придется покончить с солитонами Френкеля и доменными стенками. Это семейство столь многочисленно и так быстро растет, что трудно даже просто перечислить входящие в него солитоны. Доменные стенки, видимо, встречаются на всех уровнях организации Вселенной. Во всяком случае физики-теоретики изучают сегодня «стенки» от самого малого масштаба в теории элементарных частиц до самого огромного — в теории расширяющейся Вселенной.

 

Если наши потомки лет через сто попробуют, как это делали мы с вами, понять, что было главным в науке и технике сто лет назад, на одно из первых мест они, несомненно, поставят вычислительные машины. В наше время осуществились самые смелые мечты Бэббеджа. Сегодня Максвеллу или Кельвину не пришлось бы тратить силы на безрадостный вычислительный труд, эту работу за них проделали бы ЭВМ. Однако вычислительные машины уже сейчас делают гораздо больше того, о чем могли осмелиться мечтать даже эти великие люди, и в ближайшем будущем их возможности станут поистине фантастическими.

Бэббедж, Максвелл и Кельвин представляли себе, что вычислительная машина будет в основном применяться для выполнения операций с числами — составления таблиц функций, численного интегрирования, численного решения дифференциальных уравнений. Конечно, современные ЭВМ способны все это делать, и притом с такой скоростью и точностью, которая в прошлом веке не могла и пригрезиться. Но помимо этого ЭВМ сегодня могут производить операции с символами, или, как говорят, аналитические расчеты. Иными словами, их можно «научить» алгебре, тригонометрии, дифференциальному и интегральному исчислению, так что они смогут решить все математические задачи, которые нам встретились в предыдущих главах. При этом они не только дадут нам аналитические решения, описывающие, скажем, форму солитона, но и построят графики, сделают кинофильм о движении солитонов и т. д. Это пока возможно лишь для достаточно простых моделей. В более сложных случаях машина будет действовать «по старинке», численным методом. Однако скорость и качество ее работы таковы, что она способна найти решение многих сложных задач, ранее совершенно недоступных даже огромным коллективам людей, и представить это решение в наглядном и понятном нам виде таблиц, графиков, рисунков или кинофильмов.

Уже эти новые возможности начинают сильно менять характер работы физика-теоретика или математика. В первую очередь изменяется само понятие о том, что значит решить задачу. Если, скажем, мы хотим изучить движение двух грузиков, связанных пружинками, нам достаточно получить уравнение (5.1), а все остальное предоставить машине. С такой же легкостью ЭВМ разберется и с движением пяти, десяти или ста грузиков... Так что же, мы с вами понапрасну теряли время на задачи, с которыми лучше справится ЭВМ? Вовсе нет! Для нас грузики и пружины не были самоцелью. Они представляли собой простые механические модели гораздо более сложных физических систем. Кроме того, нас интересовали не движения отдельных грузиков, а качественное поведение системы в целом. Мы старались выявить такие закономерности в движениях грузиков, которые позволили бы нам получить ясную, легко охватываемую нашей интуицией, физическую картину всех явлений. Уяснив эту картину, мы смогли затем разобраться в гораздо более сложных вещах, к которым мы иначе и не смогли бы подступиться. Здесь работали наше воображение, интуиция и, если хотите, чувство качества, которых машины, увы, пока лишены.

Речь идет не столько о «пяти чувствах», сколько о личности человека, отражающей как историю всего человечества, так и неповторимые отдельные особенности индивидуальности. Но, казалось бы, наука — это коллективное творчество, и можно усомниться в том, играют ли такую уж большую роль сугубо личные качества в работе ученого. На это нет простого ответа, и в предыдущих главах много говорилось о сложном характере отношений между творческой личностью и творческим коллективом в науке. Она, безусловно, не могла бы существовать без коллективной работы многих ученых. Но наука быстро выродилась бы и в том случае, если бы в ней перестали появляться «одинокие охотники», люди, способные находить совершенно новые, оригинальные пути. Вспомните хотя бы о тех ученых, с идеями которых мы познакомились. Кстати, они сами много размышляли на эти темы. Вот, например, что говорил Максвелл о роли эмоций в научном исследовании:

«Есть люди, которые могут полностью понять любое выраженное в символической форме соотношение или закон как соотношение между абстрактными величинами... Другие получают большее удовлетворение, следуя за геометрическими формами, которые они чертят на бумаге или строят в пустом пространстве перед собой. Иные же не удовлетворяются до тех пор, пока не перенесутся в созданную ими обстановку со всеми своими физическими силами. Узнав, с какой скоростью проносится в пространстве планета, они испытывают от этого чувство восхитительного возбуждения. Вычисляя силы, с которыми притягивают друг друга небесные тела, они чувствуют, как напрягаются от усилия их собственные мышцы. Для этих людей слова «импульс», «энергия», «масса» не сводятся к абстрактным выражениям результатов научного исследования. Эти слова имеют для них глубокий смысл и волнуют их душу, как воспоминания детства».

Можно, конечно, вообразить, что машины будущего смогут в какой-то степени уподобиться людям первой или второй категории. Но чтобы они могли научиться воспринимать научные идеи так же эмоционально, как Максвелл (к «иным же», несомненно, относится он сам!), этого, пожалуй, не станет утверждать даже самый безоглядный пропагандист «искусственного интеллекта». Впрочем, оставим разговор о том, чего машины не могут, и вернемся к тому, чем они реально помогают нам уже сегодня. Отвлечемся пока от захватывающей перспективы создания «искусственного интеллекта», который сможет соперничать с человеком в научном творчестве, и посмотрим, как человек может плодотворно сотрудничать с ЭВМ.

 

Может ли человек «дружить» с ЭВМ

Вопрос этот сильно запоздал, ибо ответ на него слишком очевиден. Не только может, но эта «дружба» развивается столь бурно, что уже сейчас появились, например, физики-теоретики, которые буквально не могут жить без ЭВМ. Некоторые даже на время забросили свои физические задачи, чтобы вернуться к ним после того, как в общении с ЭВМ они добьются от нее лучшего понимания этих задач. Так что для некоторых это уже не «дружба», а настоящий серьезный «роман» с ЭВМ! Если машина — всего лишь добросовестный вычислитель, всего лишь честный исполнитель воли ее патрона, которого буднично называют «пользователем», то как понять эту страсть?

Дело, конечно, не только в том, что машина выполняет для нас расчеты, на которые не хватило бы никаких человеческих сил. Главное, она может подсказать нам совершенно новые возможности, заложенные в математических моделях физической реальности, и тем подтолкнуть нас к открытию новых фактов и к созданию новых идей. Машина сама не удивляется и не восхищается, но она может удивить и восхитить нас! Эта мысль была, несомненно, чужда даже наиболее проницательным ученым прошлого века. В своем описании аналитической машины Бэббеджа леди Лавлейс писала: «Аналитическая машина не претендует на то, чтобы создавать что-то действительно новое. Машина может выполнить все то, что мы умеем ей предписать». С этим был вполне согласен Бэббедж, и точно так же, очевидно, думали Максвелл и Кельвин.

Совсем иначе смотрели на эту проблему основатели теории современных ЭВМ Джон фон Нейман (1903—1957) и Алан Тьюринг (1912—1954) *). В своей знаменитой статье «может ли машина мыслить?» (1952 г.) Тьюринг, склонявшийся к положительному ответу на этот вопрос, писал: «...меня машины удивляют очень часто... Мнение, что машины не могут чем-либо удивить человека, основывается, как я полагаю, на одном заблуждении, которому в особенности подвержены математики и философы. Я имею в виду предположение о том, что коль скоро какой-то факт стал достоянием разума, тотчас же достоянием разума становятся все следствия из этого факта. Во многих случаях это предположение может оказаться весьма полезным, но слишком часто забывают, что оно ложно».

*) Эти математики не только разрабатывали теорию, но и непосредственно участвовали в строительстве первых в мире автоматических ЭВМ с хранимой программой, предлагая новые математические и инженерные идеи.

Такой же вопрос, только в более конкретной форме, ставит фон Нейман в 1946 г.: «Какие стороны чистой и прикладной математики можно развить, используя крупные автоматические вычислительные машины?» Ответ он дает очень точный. «Известные нам сегодня аналитические методы представляются непригодными для решения проблем, возникающих в связи с нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных, а в действительности — для решения практически всех видов нелинейных задач математики. Это в особенности ярко проявляется в динамике жидкости. В этой области были решены в аналитическом виде лишь самые простые задачи... Прогресс в математическом анализе сегодня застопорился практически по всему фронту нелинейных проблем... и лишь по-настоящему эффективные быстродействующие вычислительные устройства... могут дать нашей интуиции указания, необходимые для действительного прогресса во всех областях математики...»

Там же фон Нейман подчеркивает, что большинство этих трудных и даже неприступных математических задач родилось в физике и до сих пор физические эксперименты в какой-то мере давали подсказки нашей интуиции. Однако возможности физических экспериментов ограничены, а их истолкование часто очень затруднено и неоднозначно. В реальной жизни редко удается сделать идеальную карикатуру на явление, всегда остается слишком много лишних деталей. То ли дело — «поставить эксперимент» на вычислительной машине! Здесь мы вольны взять идеальную математическую модель изучаемого явления и вместо экспериментов рассчитывать ее поведение в разных условиях. После того как самые яркие, интересные явления будут обнаружены, можно «испортить» модель, приблизив ее к физической реальности. Такой подход к решению физических (да и математических) задач называют по-разному: «численным моделированием», «машинным или численным экспериментом». Дело не в названии. Важна идея экспериментального подхода к решению математических задач, когда мы не просто выполняем численный расчет в общем понятного нам явления, а пытаемся подсмотреть нечто совсем новое, неизвестное в подстроенных нами условиях.

Наверное, стоит пояснить суть машинного эксперимента на знакомом примере. Допустим, мы изучаем дислокации в модели Френкеля — Конторовой и у нас возникла туманная пока идея, что небольшие сгущения или разрежения атомов могут двигаться по цепочке, примерно как импульсы в натянутой струне. Мы заложим в машину программу решения уравнения Френкеля — Конторовой при различных начальных условиях. Скажем, такой-то кусок цепочки атомов сдвинут на такое-то расстояние, а затем отпущен. Машина вычислит нам дальнейшие события в цепочке, а современная ЭВМ может представить результат в виде набора рисунков, изображающих состояние цепочки в последовательные моменты времени, или даже изготовит для нас кинофильм, в котором события будут развиваться с удобной для человеческого восприятия скоростью (т. е. в удобном масштабе времени). Рассматривая эти картинки или фильмы, мы могли бы обнаружить рождение солитонов из довольно нерегулярных первоначальных возбуждений — «рождение солитонов из пены», столкновение солитонов и антисолитонов, образование бризеров, — в общем, всю солитонную физику.

Примерно так и произошло второе рождение солитонов, только не столь просто и быстро. Настоящий машинный эксперимент, в котором ищется что-то действительно новое, во многих отношениях не проще, чем реальный физический эксперимент. Он требует хорошего оборудования — ЭВМ плюс всякие дополнительные устройства для обработки и наглядного изображения информации. Его обычно выполняет целый коллектив ученых: математики, вычислители-программисты, физики. Надежную работу ЭВМ обеспечивает коллектив обслуживающих ее инженеров и техников. Все это очень сложно, и может возникнуть вопрос: «А удастся ли таким способом обнаружить что-то действительно неожиданное?»

Во-первых, вы можете рассчитывать получить одно, а на деле выйдет совсем другое. «Ищешь Индию — найдешь Америку!» Так получилось и с солитоном. Сначала, как мы увидим, о солитонах вовсе никто и не думал, искали ответ на вопросы, не имеющие к ним никакого отношения.

Во-вторых, и это самое замечательное, невероятно быстрое развитие технологии вычислительных машин привело к тому, что в недалеком будущем ЭВМ станет нашим постоянным спутником, с которым можно будет не расставаться буквально ни на час. Уже сегодня существуют машины, умеющие делать больше, чем те, которые удивляли Тьюринга и фон Неймана, но умещающиеся на письменном столе или даже в портфеле. Программы для такой машины можно записывать на обычный кассетный магнитофон, а полученные ею результаты (числа, таблицы, графики) — читать на экране обычного телевизора. С нею можно играть в интересные игры или решать с ее помощью труднейшие задачи. С такой машиной каждый может попытаться стать Фарадеем или хотя бы Эрстедом в машинном эксперименте.

Трудно сказать, интересны ли были бы такие опыты Фарадею или Эрстеду. Скорее всего, они показались бы им чересчур абстрактными, лишенными жизни. Но вот Эйлер или Гayсс наверняка пришли бы в восторг. Они сами были феноменальными вычислителями, а идея численного эксперимента была им близка и понятна. В сущности, Эйлер и ввел понятие о численном эксперименте в математике: «Покажется немало парадоксальным приписывать большое значение наблюдениям даже в той части математических наук, которую обычно называют чистой математикой, ибо существует распространенное убеждение, что наблюдения ограничиваются физическими объектами, которые воздействуют на наши чувства. Поскольку мы уверены, что числа принадлежат одному лишь чистому разуму, нам очень трудно представить себе пользу наблюдений и квазиэкспериментов при изучении природы чисел. В действительности же... известные сегодня свойства чисел были, по большей части, открыты путем наблюдения...»

Эйлер делал «квазиэксперименты» своими руками. Возможно, что перенапряжение, вызванное огромной вычислительной работой, и довело его до слепоты. Если бы у него была хотя бы карманная ЭВМ, он бы, конечно, экспериментировал с числами на ней, и кто знает, сколько «наблюдений» он сумел бы сделать! Современные ученые, в общем, стараются не упускать эти возможности, однако нужно сказать, что новые отрасли науки — «экспериментальная» математика, «вычислительная» физика и т. п. — пока не получили всеобщего признания.

А между тем, пока неверующие сопротивляются, а равнодушные привыкают, люди, влюбленные в ЭВМ, активно сними сотрудничают и отыскивают новые тропинки в неисследованные земли. Самая первая такая тропинка и привела в страну, где живут солитоны. Как ни странно, на эту тропинку вывели поиски природы образования хаоса в физических системах. Странно это потому, что солитоны — одинокие существа, склонные к чрезвычайно упорядоченному образу жизни, а хаос — это крайняя степень беспорядка. Какая же цепь связала солитоны с хаосом? Прежде чем ответить на этот вопрос, придется сделать небольшое отступление.

 

Многоликий хаос

Мы, люди XX в., не любим беспорядка, и слово «хаос» для нас почти ругательное. Примерно такой смысл вкладывает в него Борис Пастернак. Поэт же прошлого века, Федор Иванович Тютчев, вкладывает в это слово совсем иной смысл. Чуть раньше он называет его «древним» и «родимым». Он, конечно, имеет в виду хаос древних греков — некое первичное состояние мира, все порождающее и все поглощающее, или «первоматерию». На современном языке такой хаос больше всего похож на состояние нашей Вселенной в первые мгновения после «Большого взрыва». Одна из глубоких проблем современной космологии — понять, как из этого хаотического состояния образовалась современная упорядоченная Вселенная с ее галактиками и звездами. На некоторых этапах развития вселенной солитоны, видимо, помогали ей упорядочиваться. Мы уже вскользь упоминали об этом, когда познакомились со спиральными рукавами галактик.

Другой тип беспорядочного движения хорошо известен каждому из наблюдений над течением воды. Проще всего увидеть рождение хаотического движения воды, если двигать какой-нибудь предмет плохо обтекаемой формы. Уже при небольшой скорости движения возникают вихри. При очень большой скорости может возникнуть так называемый турбулентный след, подобный тому, который наблюдается за кормой быстро движущегося корабля. В области следа частицы воды движутся совершенно беспорядочно, хаотически. Такие движения жидкости впервые начали изучать Кельвин, Буссинеск, Рейнольдс и Рэлей. Термин «турбулентность» ввел в обиход Кельвин, произведя его от латинского «turbulentus» (беспокойный, беспорядочный). Первые опыты по изучению турбулентного движения воды в обыкновенных водопроводных трубах выполнил Рейнольдс в 1883 г.

Турбулентность — очень сложное явление, точнее, комплекс явлений. Наблюдается много разных типов турбулентности, по-разному беспорядочных. Простых же математических моделей турбулентных движений долго не удавалось найти. Такие модели появились лишь недавно, и в их изучении основную роль играют машинные эксперименты. Это не удивительно, так как турбулентность тоже тесно связана с нелинейностью, и к ней в полной мере относятся приведенные выше слова фон Неймана.

Если у вас есть простая вычислительная машинка, вы можете изучить самую простую модель турбулентного движения. Эта модель поразительно проста, и тем не менее она воспроизводит характерные черты очень сложных и широко распространенных явлений образования хаоса. Существует целый класс подобных моделей, на мы приведем здесь одну. Для ее изучения нужно знать три арифметических операции!

Представьте себе ученую «блоху», владеющую всеми тремя действиями арифметики и прыгающую не просто так, а по определенному закону. Если она в момент времени t n  = n · Δt (n = 0, 1, 2, 3, ...) сидит в точке x n на оси x, то в следующий момент tn+ 1 = (n + 1) Δt она перепрыгивает в точку xn+ 1 = b - x n 2, где b — некоторое выбранное число, свое для каждой блохи (назовем ее, скажем, «постоянной блохи»). Пусть блоха начинает движение из некоторой точки отрезка -2  x  +2. Наша задача — определить, куда она может убежать за большое время, т. е. представить себе, каким может быть x n при больших значениях n.

Как ни проста эта задача на вид, вам едва ли удастся найти ее решение без помощи микрокалькулятора. Однако прежде чем приступить к экспериментам, стоит немного подумать, чего от них можно ожидать. Рассмотрим кривую AA0A1 (рис. 7.1), соответствующую уравнению x2 + x = b. Если x n стремится к некоторому пределу, то предельное значение будет лежать на этой кривой.

Численные эксперименты, однако, показывают, что только блохи, для которых точки с координатами (x0, b) лежат внутри фигуры A0B1B1'A0' (кривая A0'A0 получается зеркальным отражением относительно оси Ob), приближаются к кривой A0А1. При этом на ветвь A0A они никогда не попадают, а если их постоянные b и начальные координаты x0 таковы, что точка (x0, b) лежит в заштрихованной области, то такие блохи убегают на бесконечность. Судьба наших ученых блох с постоянной b 0,75 полностью определена. Что бы они ни делали, они либо погибают «в бесконечности», либо притягиваются к точкам на кривой A0А1, где мы их легко ловим. Почти столь же печальна судьба блох, у которых (x0, b) лежит в области B1B2B2'B1'. Они в конце концов попадают на кривую A2A1A2', и при достаточно большом n перескакивают на каждом шаге с A1A2' на A1A2 и обратно. Уравнение этой кривой тоже легко определить, воспользовавшись тем, что в пределе больших n после двух последовательных скачков, блоха оказывается вблизи той же ветви, т. е. x2+ n   x n . Отсюда находим xn+ 2 = b - (b - x n 2)2 и в пределе, когда xn+ 2   xn  x, находим для x уравнение (b - x2)2 - (b - x) = 0. Легко проверить, что левая часть этого уравнения равна произведению двух множителей: (x2 + x - b) и (x2 - x + 1 - b). Обращение в нуль первого множителя дает кривую AA0A1, а второго — кривую A2A1A2'.

До сих пор мы могли бы более или менее точно предсказать, что будет происходить. При увеличении «блошиной» постоянной все, однако, быстро усложняется. Кривые, которые их притягивают, продолжают раздваиваться, и при b 1,5 скачки становятся почти непредсказуемыми, беспорядочными. На рисунке этому соответствует зачерненная область. Например, если блоха начинает движение на отрезке B3B3', то она притянется к отрезку C3C3'. Предельные значения ее координат плотно заполняют этот отрезок (на самом деле, как показывают дальнейшие эксперименты, устройство зачерненного притягивающего множества гораздо сложнее, читатель может попробовать изучить его в экспериментах).

Притягивающее множество в научной литературе называют аттрактором. Например, аттрактор маятника с трением состоит из единственной точки нижнего положения равновесия. Аттрактор раскачиваемых качелей — периодическое движение, при котором потери на трение точно компенсируются энергией, затрачиваемой на раскачивание. Аттрактор нашей блошиной модели имеет весьма сложную структуру. При b 1,5 движение блохи периодическое — она регулярно перескакивает с одной ветки на другую. На линиях B1B1' характер движения меняется скачком, так как число ветвей удваивается. Это очень типичное для нелинейных систем явление называется бифуркацией (от слова bifurcate — раздваиваться, разветвляться). При увеличении b наша система переходит через последовательность бифуркаций в область хаотического движения (для блохи хаос означает свободу; увеличивая свою постоянную, она может перейти из «царства необходимости» в «царство свободы»).

Любопытно, что в этом царстве свободы время от времени (точнее, при некоторых значениях b) возникают «островки необходимости» — движение вновь становится периодическим. Однако если при b 1,5 период равен 2n , то в этих островках он равен 3, 5, 7 и т. д.

Вся эта картина соотношения между периодическими и хаотическими движениями — удвоение периода, переход к хаотическому движению, появление островков периодичности — типична для многих физических систем. Притягивающее множество, на котором движение хаотично, называют «странным аттрактором».

Внимательный читатель, который не поленился самостоятельно выполнить численные эксперименты с блошиной моделью, мог бы обнаружить замечательную закономерность в бифуркациях. Обозначим величины блошиной постоянной в точках бифуркаций буквами b n , так что b1 = -0,25, b2 = 0,75 и т. д. Оказывается, что при больших значениях n разности этих чисел образуют геометрическую прогрессию. Точнее, выполнено соотношение

(b n+ 1 - b n )/(b n - b n- 1 ) → 1/δ, δ = 4,6692 ...

Эту замечательную закономерность открыл американский физик Митчел Фейгенбаум в 1975 г. Он изучал на карманной вычислительной машинке модель, очень похожую на изученную нами. Обнаружив эту закономерность, он стал исследовать другие отображения и вскоре понял, что открыл новый закон природы. Убедить в этом других ученых, оказалось не так-то просто, два-три года журналы не принимали его статьи. Однако в наше время есть много других способов обнародовать свое открытие, например научные конференции, и вскоре исследование бифуркаций и хаоса стало одной из наиболее модных научных тем. Число называется теперь постоянной Фейгенбаума, а найденная им закономерность в распределении бифуркаций — законом подобия Фейгенбаума.

Изучению таких моделей посвящается сейчас немало серьезных научных работ, и блошиная модель заимствована из современного физического журнала. Это, конечно, только первый шаг на пути к пониманию турбулентности, но похоже, что он выведет на дорогу, двигаясь по которой можно будет полностью разобраться в природе этого сложного явления. «Так о великих вещах помогают составить понятье малые вещи, пути намечая для их достиженья» (Лукреций Кар).

Турбулентное поведение может возникать даже в простых физических системах. Раньше физиков в основном интересовал хаос несколько иного происхождения — молекулярный хаос, возникающий в системах из очень большого числа взаимодействующих друг с другом частиц. Уже Д. Бернулли и Ломоносов понимали, что тепловые явления объясняются беспорядочным движением молекул. Однако только после работ Клаузиуса, Максвелла и Больцмана это представление превратилось в настоящую физическую теорию.

В этой теории природа происхождения совершенно беспорядочных движений молекул приписывалась очень частому столкновению молекул между собой. При столкновениях они обмениваются энергией, и молекулы в основном имеют энергии, близкие к среднему значению, одинаковому для всех молекул (тепловой энергии). Легко понять, что молекулы воздуха при комнатной температуре действительно должны двигаться совершенно хаотично. В 1 л воздуха содержится n = NА/22,4 л 3·1022 молекул (NА — постоянная Авогадро). Их средняя скорость v равна (где R — газовая постоянная), т. е. около 200 км/ч! Среднее расстояние l, которое молекула пробегает без столкновений, легко оценить с помощью соображений размерности. Оно очевидно зависит от размера молекул d и от числа молекул в единице объема и равно примерно l 1/(d2n), т. е. l 10-5 см. Поэтому в 1 с молекула испытывает примерно v/l 1010 столкновений!

В таких условиях, конечно, нет никакого смысла следить за движением отдельной молекулы. Все они находятся в равном положении, можно говорить лишь об их средней скорости и средней энергии, которые и определяют давление и температуру газа. Что, однако, произойдет, если уменьшать число молекул в единице объема или понижать температуру? Столкновения будут становиться все реже и реже, а в конце концов движение может потерять неупорядоченный характер.

До какого предела движение останется хаотическим и можно пользоваться для описания его состояния такими усредненными характеристиками, как давление и температура? Ни Максвелл, ни Больцман не знали ответа на этот вопрос, да и сейчас, сто лет спустя, мы не умеем на него ответить. Возможно, что на столь общий вопрос и нет единственного ответа. Естественно попробовать сузить вопрос.

Что происходит при понижении температуры? При достаточно низкой температуре газ превратится в твердое тело. Рассмотрим поэтому движение частиц в кристалле. Сделаем еще одно упрощение и возьмем одномерный кристалл, который мы привыкли заменять моделью грузиков, связанных пружинками. Вот тут-то и выявляется в совершенно обнаженном виде самая суть вопроса. При достаточно низкой температуре грузики (молекулы) колеблются около своих положений равновесия, и беспорядок выражается в том, что фазы их колебаний распределены совершенно хаотически. Амплитуды колебаний и максимальные скорости также должны беспорядочно изменяться, но в среднем они должны быть одинаковы для каждого грузика. Возможен ли такой молекулярный беспорядок в модели грузиков?

Ответ на это, на первый взгляд, отрицательный. Вспомним линейную теорию движений грузиков, с которыми мы познакомились в гл. 4. Мы выяснили, что все движения системы из N грузиков представляют собой сумму N мод. Если бы при этом вначале была одна гармоника с частотой , то через время Т1 = 1/ наша система возвратилась бы в начальное состояние.

Если возбуждены все N независимых мод, то такое возвращение произойдет за время Т N = 1/ , где — минимальная частота...

Ч и т а т е л ь. Постойте! А не нужно ли нам учесть трение?

А в т о р. Вы забыли, что мы имеем дело с молекулами, а не с реальными грузиками и пружинками! С молекулярной точки зрения, трение — это просто перераспределение энергии — переход энергии упорядоченного движения в энергию хаотического теплового движения. Если пренебречь внутренней структурой молекул и их взаимодействием с окружающей средой, то ни о каком трении говорить нельзя.

Ч и т а т е л ь. Я, может быть, неточно выразился. Я хотел сказать, что модель, в которой моды не зависят друг от друга, лишь приближенная. На самом деле они как-то связаны друг с другом?

А в т о р. Конечно, связаны, и естественно предположить, что взаимодействие одной гармоники с остальными будет приводить к потере ею энергии, т. е. действовать подобно трению. Тогда упорядоченное движение одной гармоники будет переходить в хаотическое движение остальных.

Итак, независимость мод связана с линейностью сил, связывающих грузики. Если нарушить линейность (скажем, пружины не подчиняются закону Гука), то можно ожидать, что движения грузиков станут хаотичными, по крайней мере в том случае, когда число грузиков N достаточно велико. Примерно так думало большинство физиков, в том числе и Энрико Ферми. Впрочем, возможно, что у Ферми были кое-какие сомнения на этот счет. Вероятно, его интересовало также, сколь большим должно быть число N. Достаточно ли велико N = 100 или же надо взять N = 1 000 000? *) К сожалению, Ферми не успел получить ответа на этот вопрос. Так или иначе, но первый серьезный вопрос, который он решил задать ЭВМ, был вопрос об установлении теплового равновесия в цепочке грузиков и нелинейных пружин. Результат машинного эксперимента оказался совершенно неожиданным.

*) В конце 50-x годов были выполнены компьютерные расчеты поведения 100 твердых шаров в кубическом ящике, размер которого примерно в 100 раз больше диаметра шаров. Оказалось, что столкновения между шарами довольно быстро приводят к хаотическому (максвелловскому) распределению их скоростей. Для хаотизации оказалось достаточно 150—200 столкновений.

 

ЭВМ удивляет Энрико Ферми

Энрико Ферми был одним из величайших физиков нашего века — теоретиком и экспериментатором. Его имя навсегда связано с открытием и освоением ядерной энергии, исследованием элементарных частиц и со многими другими областями физики. Менее известно, что он многие годы серьезно интересовался различными нелинейными явлениями, а незадолго до смерти заинтересовался турбулентностью и выполнил несколько работ по гидродинамике. Одна из них сделана совместно с фон Нейманом, и, возможно, что не без влияния фон Неймана Ферми начал думать об освоении неизвестных земель «нелинейной физики» с помощью экспериментов на ЭВМ.

Прежде чем рассказывать об этих экспериментах, надо все же сказать хоть несколько слов о Ферми и фон Неймане, этих двух великих ученых, заложивших основы для многих крупнейших достижений науки и техники ХХ в. В их судьбах можно проследить поразительные параллели. Ферми родился двумя годами раньше фон Неймана, а прожили они до обидного мало, оба ушли из жизни в 53 года, в тот момент, когда были полны новых замыслов. И Ферми, и фон Нейман были одарены от природы необычайными способностями к научной работе и, сверх того, абсолютной памятью.

Способности фон Неймана в математике и лингвистике проявились необычайно рано. Известно, что в возрасте 6 лет он любил обмениваться с отцом шутками на древнегреческом языке, а впоследствии свободно говорил и писал на нескольких языках. Известным его хобби было изучение истории, в особенности культуры Византии. Говорят, что в этой области он был первоклассным специалистом. Естественно, что о таком человеке рассказывали множество историй и легенд.

Стоит привести одну подлинную историю, рассказанную Г. Голдстайном, много лет знавшим фон Неймана и работавшим вместе с ним над созданием одной из первых в мире ЭВМ. Молодой ученый обратился к фон Нейману с просьбой помочь найти долго не дававшееся ему доказательство придуманной им теоремы. Нейман немедленно, не задумываясь, дал это доказательство и записал его на доске. Через неделю юноша подошел к нему на приеме, еженедельно устраивавшемся Нейманом для друзей и сотрудников, и, смущаясь, сказал, что не может вспомнить доказательство. В ответ Нейман тут же, в заполненной гостями комнате, почти слово в слово повторил доказательство!

Столь же легендарной личностью был Ферми. Инженер Адольф Амидей, снабжавший пятнадцатилетнего Ферми книгами по математике, вспоминает, что «...Энрико достаточно было прочесть книгу один раз, чтобы знать ее в совершенстве. Когда он возвращал прочитанную книгу Дини по математическому анализу, я предложил ему оставить ее у себя, чтобы он мог заглядывать в нее. Ответ Ферми был поразительным: — Благодарю Вас, в этом нет нужды, я уверен, что запомнил все необходимое. Вообще, несколько лет спустя я буду понимать ее основные идеи еще более отчетливо, и если мне понадобится какая-нибудь формула, я легко выведу ее». Многочисленные свидетельства учеников и сотрудников Ферми подтверждают, что юный Энрико вполне объективно оценивал свои уникальные способности.

Встреча двух универсальных гениев — физика и математика — произошла в Америке, куда оба уехали, не пожелав оставаться под властью фашистских режимов. Ученик и сотрудник Ферми Эмилио Ceгpe, открывший вместе с О. Чемберленом и другими антипротон (1955 г.), рассказывает: «Ферми был чем-то вроде оракула, к которому любой физик мог обратиться за помощью. Мне помнится, как он и фон Нейман обсуждали гидродинамические задачи. Это было похоже на соревнование у доски в кабинете Ферми — кто первым решит поставленную задачу (первым обычно оказывался фон Нейман, который умел фантастически быстро считать). Однажды я прервал такое обсуждение, так как первоклассный знаток электроники из моей группы не мог справиться с новой и очень трудной задачей. Дело было срочное, и мы в отчаянии заглянули к Ферми. Примерно за 20 минут он придумал схему, которая могла решить вопрос... Другим оракулом лаборатории был фон Нейман. Однажды один известный физик-экспериментатор и я целый день безуспешно ломали голову над задачей, для решения которой нужно было взять некий интеграл. Поставивший нас в тупик интеграл был написан на доске, когда мы увидели идущего по коридору фон Неймана. «Не можете ли Вы помочь нам с этим интегралом?» — спросили мы у него. Фон Нейман глянул на доску и продиктовал ответ. Мы совершенно остолбенели. Подобные примеры можно было бы приводить без конца. Оба оракула относились друг к другу с дружбой и восхищением, а общий интерес к компьютерам укреплял эту дружбу. Ферми был знатоком численных расчетов и сразу же обратил внимание на перспективы использования быстродействующих ЭВМ. Он затратил много времени на освоение ЭВМ и много работал на них. Выдающаяся роль фон Неймана в разработке ЭВМ, без сомнения, общеизвестна».

Работа, о которой мы собираемся рассказать, была сделана в лабораториях Лос-Аламоса, возникших в связи с атомным проектом. Впоследствии эти лаборатории стали также одним из главных центров изучения нелинейных явлений, в частности хаоса. Не случайно, что Фейгенбаум сделал свое открытие будучи сотрудником этих лабораторий. Даже самым оригинальным и независимым умам для работы необходима определенная атмосфера. Что такое эта «атмосфера», определить очень трудно, еще труднее ее создать. В Лос-Аламосе такая атмосфера была, и работа Фейгенбаума появилась не на пустом месте.

Но вернемся к задаче, поставленной Ферми перед ЭВМ. Вместе с математиками Станиславом Уламом и Джоном Пастой он в 1952 г. задумал выполнить обширные машинные эксперименты по исследованию нелинейных задач. Первой из них и была задача о порождении теплового хаоса в цепочке грузиков с нелинейными пружинками. Как вспоминал С. Улам: «Ферми часто говорил, что будущие фундаментальные физические теории будут, вероятно, основаны на нелинейных уравнениях, и поэтому было бы полезно попрактиковаться в математике, необходимой для понимания нелинейных систем. План состоял в том, чтобы начать с простейшей, по возможности, физической модели... затем постепенно увеличивать сложность и общность решаемых на машине задач... Решение всех этих задач послужило бы подготовкой к установлению, в конце концов, модели движений системы, в которой должны были бы наблюдаться «перемешивание» и «турбулентность»... За одно лето Ферми весьма быстро научился программировать задачи для ЭВМ и мог не только спланировать общую схему расчета, но и самостоятельно провести подробное программирование всей задачи. Результаты вычислений, проведенных на старой машине МАНИАК, оказались интересными и весьма неожиданными для Ферми. По его мнению, они явились некоторым откровением». Машина сумела настолько удивить Ферми, что он, уже будучи смертельно больным, интересовался продолжением расчетов и говорил, что эта одна из самых важных задач, с которыми он когда-либо встречался. Что же так поразило Ферми?

Ферми, Паста и Улам предложили машине рассчитать колебания системы из 32 грузиков, связанных пружинками, которые при растяжении их на Δl создают возвращающую силу kΔl + α(Δl)2. При этом нелинейная поправка α(Δl)2 считалась малой по сравнению с основной, линейной силой kΔl. Таким образом, машина должна была решать систему из 32 уравнений, подобных уравнениям (4.8), но с добавленными в правой части нелинейными силами α [(x i +1 - x i )2 - (x i - xi- 1 )2]. Так как эти добавки малы, то можно следить не за движением отдельных частиц, а за изменением синусоидальных мод линейных уравнений, получающихся при α = 0. При α   0 моды перестают быть независимыми, и энергия медленно (по сравнению с их периодами) перекачивается из одной моды в другую.

Рассмотрим движение из начального состояния, в котором возбуждена одна 1-я мода (обозначим ее период буквой Т). Сначала действительно начинается перекачивание энергии в другие моды. Однако никакой хаотичности в этом не наблюдается (см. рис. 7.2). При t 20 Т возбуждена в основном 3-я мода. Затем начинает «солировать» 2-я мода (при t 28 Т). При t  44 Т энергия оказывается сосредоточена в 3-й моде, и при t 56 Т снова возвращается к 1-й. Более высокие моды возбуждаются мало, максимальная энергия 4-й моды меньше половины энергии первой (т. е. полной энергии), а 5-я мода может получить не более шестой части полной энергии. На рис. 7.2 изображены вычисленные отклонения грузиков в различные моменты времени (масштаб по оси y для удобства сильно увеличен).

Может быть, это случайность? Нет, при увеличении числа грузиков, при изменении α, при изменении самой формы нелинейной силы (скажем, β(Δl)3 вместо α(Δl)2) это явление сохраняется. Моды не сливаются в общий беспорядочный хор, а выделяют несколько солистов, которые выступают по очереди, остальные им аккомпанируют. Когда возвращается первый солист, все начинается сначала! Время возвращения Тв (в нашем случае Тв 56 Т) зависит от числа N, от вида нелинейности, но солирование низших мод и возвращение при Т = Тв наблюдалось всегда.

Полученный результат можно наглядно изобразить простой музыкальной пьесой (см. рис. 7.3).

Здесь «записаны» моды, которые последовательно звучат на струне, соответствующей нашей системе грузиков. Каждой моде соответствует нота: 1-й — нижнее «до», 2-й — «до» октавой выше и т. д. *). Изображенные нотами моды звучат в отдельные моменты, только громкость мы изобразили длительностью звучания ноты. В два раза более громкая нота звучит у нас в два раза дольше и т. д. На рис. 7.3 представлена только половина «пьесы», далее происходит возвращение к начальному «до» в обратном порядке.

*) Нижнее «до» большой октавы имеет частоту примерно 64 Гц. Будем просто считать, что параметры нелинейной системы грузиков подобраны так, что частота 1-й моды равна 64 Гц.

Итак, вместо ожидаемой какофонии, когда одновременно звучат с одинаковой силой все моды, получается примитивная, но вполне музыкальная пьеса. Нелинейная система ведет себя действительно совершенно неожиданно. На начальное возбуждение она отвечает целой пьесой. Если возбудить систему иначе, скажем, начать со 2-й моды, получится другая пьеска. Не «струна», а небольшой композитор-автомат! Кстати, к современным ЭВМ нетрудно присоединить устройства, которые будут преобразовывать движения струны в такие музыкальные пьесы. Они будут звучать гораздо интересней, чем пьеса, изображенная здесь, так как все переходы от одного аккорда в другой происходят непрерывно, а кроме того, есть небольшая примесь высших мод, которая даст богатый тембр...

Признаемся, что музыкальная аналогия не приходила в голову авторам рассказанной замечательной работы, однако их результат удивителен и без всяких аналогий. Удивил он и нескольких других физиков и математиков, которые начали методично разбираться, в чем тут дело. Особенно заинтересовались явлением Ферми — Пасты — Улама американские физики Мартин Крускал и Норман Забуски, которые познакомились с ним «из первых рук». Они продолжили машинные эксперименты и, кроме того, начали размышлять, не похожа ли нелинейная струна на что-нибудь знакомое. Сначала они просто повторяли численные эксперименты Ферми — Пасты — Улама (мы будем, как это принято, пользоваться сокращением ФПУ). Потом попробовали изучить движения непрерывной струны, в которую переходит цепочка ФПУ при неограниченном увеличении числа грузиков и уменьшении расстояний между ними. После многих проб и ошибок они пришли к удивительному результату — наилучшее описание движений такой нелинейной струны при достаточно малых отклонениях ее от положения равновесия дается уравнением Кортевега — де Фриза!

 

Возвращение солитона Рассела

Вы, конечно, помните, что Кортевег и де Фриз получили свое уравнение при попытке найти точное математическое описание солитона Рассела с небольшой амплитудой. Теперь выясняется, что то же самое уравнение может описывать совершенно другие физические явления. Это, конечно, не случайно. Уравнение КдФ годится для математического описания самых разных нелинейных волн. На самом деле это простейшее уравнение для любых слабо нелинейных и слабо диспергирующих волн.

Если оба эти эффекта (нелинейность и дисперсия) настолько малы, что ими можно пренебречь, то уравнение КдФ описывает волны произвольной формы, бегущие в одном направлении. Иными словами, форма волны y (t, х) задается произвольной функцией у (t, х) = f (x - v0t). Для волн на мелкой воде v0 = , где h — глубина. Напомним, что воду можно считать мелкой, если минимальная длина синусоидальных волн (λ), входящих в разложение Фурье функции f, во много раз превышает глубину h. Чтобы не думать о разложении Фурье, можно просто считать, что волна имеет синусоидальную форму.

Если теперь допустить, что имеется малая дисперсия, т. е. что фазовая скорость v синусоидальной волны немного зависит от λ, то простейшая зависимость будет иметь вид (ср. с формулами (5.17), (5.21))

где α — некоторое число, а v0 = . Для уравнения КдФ, описывающего волны на мелкой воде, α = 2/3π2. Однако для волн в других средах значение α будет другим, а величина h, имеющая размерность длины, будет иметь совсем иной смысл.

В гл. 5 мы уже сравнивали дисперсию длинных волн на мелкой воде и в цепочке упруго связанных атомов (формулы (5.21) и (5.17)) и убедились, что зависимость фазовой скорости от λ имеет при больших значениях λ один и тот же вид. Достаточно заменить h на 1/2α, где α — расстояние между атомами, и из закона дисперсии волн на воде получится закон дисперсии длинных волн в цепочке атомов. Зная этот удивительный факт, совсем не трудно додуматься и до того, что в других физических системах закон дисперсии длинных волн может быть таким же. Однако такая мысль многие десятилетия никому не приходила в голову. Может быть, это произошло потому, что волнами на воде и в кристаллах интересовались разные исследователи, может быть, по другим причинам... Во всяком случае, ясная идея о существовании такого универсального закона дисперсии длинных волн сформировалась совсем недавно, уже в эпоху общего увлечения солитонами.

Чтобы теперь понять — как устроены волны КдФ, нужно ввести простейшую мыслимую нелинейность. Мы знаем, что скорость линейных диспергирующих волн не зависит от амплитуды, а зависит лишь от длины волны. Скорость же распространения нелинейных волн зависит и от амплитуды. Самая простая зависимость — линейная, когда рост скорости прямо пропорционален увеличению амплитуды. Именно она и реализуется для волн КдФ, а будучи самой простой, естественно, встречается и во многих других физических системах. Забуски и Крускал обнаружили, что такая нелинейность хорошо описывает нелинейные взаимодействия атомов в решетке. Еще раньше, в 1958 г., советский физик Р. З. Сагдеев подметил аналогию между некоторыми волнами в плазме и волнами на мелкой воде и показал, что в плазме также могут распространяться уединенные волны. Плазмой в это время уже занимались многие физики, и это наблюдение не осталось незамеченным. Вскоре удалось показать, что эти волны в плазме также можно описывать с помощью КдФ-уравнения. Это решило судьбу КдФ-уравнения, которое было извлечено из забвения и стало известно широкому кругу физиков и математиков. Знаменитым оно стало после того, как 3абуски и Крускал выяснили, что оно описывает солитоны, которые не изменяются после столкновения друг с другом, и что можно найти его самое общее решение. Это удалось в 1967 г. американским ученым Гарднеру, Грину, Крускалу и Миуре. От их работы обычно отсчитывают начало бурного развития науки о солитонах.

Выглядит уравнение КдФ совсем не страшно. Форма волны y ( t, х ) в момент времени t должна подчиняться соотношению

Здесь точкой обозначена производная по времени при фиксированном значении координаты х , а штрихом — производная по координате в заданный момент времени t . Если нарисовать зависимость профиля волны у от координаты, то этот график будет двигаться и деформироваться с течением времени. При этом у определяет наклон касательной к графику в точке х в момент t , а #image_113.jpg — скорость движения точки графика у ( t, х ) по направлению оси у . Если в некоторый момент времени t нам известна зависимость у от х (в том числе и производные у' , y'' , у''' ), то уравнение позволяет найти скорости #image_113.jpg всех точек графика, так что можно приближенно определить его вид в следующий момент t + Δ t :

Решить такое уравнение — значит по начальному графику у (0, х ) найти вид графика y ( t, х ) в любой последующий момент времени. Точное решение этой очень непростой математической задачи оказалось одним из наиболее замечательных достижений математики, которое стало возможным благодаря тесному и плодотворному сотрудничеству физиков, математиков и использованию ЭВМ.

Нетрудно понять, что КдФ-уравнение описывает лишь волны, распространяющиеся в одном направлении вдоль оси х . Заметим сначала, что эффекты дисперсии определяются членом #image_204.jpg у" , а нелинейные эффекты — членом #image_204.jpg у 2 . Если ими пренебречь, то получится совсем простое уравнение #image_113.jpg + v 0 y' = 0, которое мы обсуждали в гл. 5. Как оказалось, самое общее решение этого уравнения — любая функция от х - v 0 t , т. е. у ( t, х ) = f (х - v 0 t ). Чтобы найти зависимость у от х в любой момент времени, достаточно нарисовать график функции у = f ( х ) и двигать его со скоростью v 0 ( v 0 #image_30.jpg 0) в положительном направлении оси х. Чтобы описать волну, бегущую в противоположном направлении, нужно взять другой знак перед v 0 .

Как вы помните, уравнение Д'Аламбера не зависело от знака  v 0 и описывало волны, бегущие в обоих направлениях. Уравнение для дислокаций также обладало этим свойством. Почему же КдФ-уравнение не обладает этим свойством, в то время как волны на поверхности ручья от брошенного камня бегут в обоих направлениях *)?

*) Кортевег и де Фриз вывели свое уравнение из уравнения Буссинеска, которое больше похоже на уравнение Д'Аламбера и описывает волны, бегущие в обоих направлениях. Уравнение Буссинеска, однако, сложнее, чем КдФ-уравнение.

Ответ на этот вопрос на самом деле очень простой. Если нас не интересует начальный момент, когда от брошенного в ручей камня начинают разбегаться две волны, то мы можем отдельно изучать одну и другую. Если эффекты нелинейности и дисперсии достаточно малы, то обе волны убегут на большое расстояние друг от друга за столь малое время, что эти эффекты не успеют сказаться, и в дальнейшем можно следить за судьбой одной из волн, забыв о существовании другой. Именно поэтому можно описывать эволюцию обеих волн одинаковым по виду уравнением с разными знаками перед v 0 . (В случае дислокаций, когда эффекты нелинейности и дисперсии всегда велики, так поступить нельзя!)

Эта идея, в сущности очень простая, привела к огромному упрощению, которое позволило Кортевегy и де Фризу правильно понять природу солитона Рассела, а спустя 70 лет привело к созданию полной математической теории солитонов. С точки зрения физиков, теория солитонов на основе КдФ-уравнения кажется наиболее понятной, так как в ней наглядно видно, каким образом уравновешивание эффектов нелинейности и дисперсии приводит к образованию устойчивой уединенной волны. Мы больше не будем касаться математики солитонов, она достаточно сложна, а посмотрим на устройство солитона глазами физика.

Итак, если нет ни дисперсии, ни нелинейности, по поверхности могут распространяться импульсы любой формы, но это не солитоны. Всегда имеющиеся в физической системе малые эффекты дисперсии и трения вскоре исказят первоначальный импульс до неузнаваемости. Посмотрим, как влияет на него нелинейность. Заметим, что КдФ-уравнение с выброшенным последним членом, ответственным за дисперсию, можно решить точно. Метод решения был известен еще Лагранжу, однако его первые применения к реальным нелинейным волнам связаны с именем знаменитого немецкого математика Георга Фридриха Бернхарда Римана (1826—1866).

Пусть на поверхности воды образовался горбик, изображенный на рис. 7.4, кривая 1. Дальнейшая судьба этого горбика определяется тем, что скорость каждой точки графика зависит от ее высоты.

Для волн КдФ эта зависимость простейшая:

Быстрее всех движется вершина горбика. Ее скорость равна

а скорость переднего фронта горбика, где у = 0, равна v0. Поэтому в некоторый следующий момент времени передняя часть горбика станет более крутой (кривая 2), а с течением времени произойдет «опрокидывание» волны (кривая 3), которое уже нельзя описать на этом простом языке. Такое опрокидывание волн все мы много раз видели, когда наблюдали прибой на берегу моря или на речной отмели.

Не так легко, и притом небезопасно, наблюдать другое явление, вызванное описанным увеличением крутизны фронта волны. Если приливная волна из моря входит в устье реки, то может образоваться волна в виде высокой, крутой ступеньки (рис. 7.5), которую называют бором.

Бор — один из примеров ударной волны. Хорошо знакомый нам пример ударной волны — взрывной звук, который слышен, когда реактивный самолет проходит звуковой барьер. Более идиллический пример — щелчок пастушьего кнута.

Ударные волны были открыты Риманом в 1860 г. Он, однако, сомневался в возможности их наблюдения, в то время как Рассел уже заметил, что скорость распространения звука от пушечного выстрела больше, чем обычно измеряемая скорость звука в воздухе («звук пушечного выстрела доносится быстрее, чем команда открыть огонь»). Здесь Рассел действительно подметил одно из важных свойств ударной волны. Например, скорость движения бора равна vБ =  Так как h1 h0, то и бор бежит быстрее, чем любая небольшая волна на поверхности воды с глубинами h0 или h1. Увеличение крутизны фронта волны и ее опрокидывание превращает гигантский, но безвредный океанский солитон в страшное стихийное бедствие — цунами.

Ударная волна в воздухе — очень сложное явление. На фронте ударной волны резким скачком возрастают давление, температура и плотность. Однако плотность не увеличивается выше определенного предела, тогда как давление и температура могут быть огромными. Например, при скачке давления в 100 атмосфер температура фронта волны достигает 3500 градусов. При такой температуре в молекулах возбуждаются сильные внутренние колебания и часть молекул кислорода даже распадается на атомы, возникают химические реакции. При более высокой температуре возникает очень сильное свечение. Апокалиптическое явление ударной волны (огненный шар «ярче тысячи солнц») печально известно из описаний ядерного взрыва, когда температура выше 10 000 градусов, а давление достигает 1000 атмосфер. Не дай нам Бог увидеть эту ударную волну!

Колоссальная ударная волна образовалась при падении знаменитого тунгусского метеорита (30 июня 1908 г.)*). Перед его падением в течение нескольких секунд был виден ослепительно яркий огненный шар, в момент падения раздался оглушительный взрыв, который слышали на расстоянии больше тысячи километров. Воздушная взрывная волна была зарегистрирована даже в Англии! По современным оценкам примерно такую волну вызывает ядерный взрыв в несколько Мегатонн. Однако тунгусская ударная волна не была вызвана ядерным взрывом. Она того же происхождения, что и ударные волны, возникающие при переходе самолетом «звукового барьера». Иными словами, она была вызвана движением небесного тела в атмосфере со сверхзвуковой скоростью. Может быть, это была комета или ее кусок.

*) В конце 40-x — начале 50-x годов лекции о «загадке Тунгусского метеорита» были столь же популярны, как и лекции на тему: «Есть ли жизнь на Марсе?»

Возникновением ударной волны объясняется свечение метеоров (болиды). Светящаяся ударная волна появляется и при торможении спутников в атмосфере. Кстати, в этом случае ударная волна очень полезна — кинетическая энергия спутника уходит на ее образование, и спутник тормозится — ударная волна работает, как парашют. В популярной брошюре А. С. Компанейца «Ударные волны» (М.: ГИФМЛ, 1963), по которой интересующийся читатель может получить более полное представление об ударных волнах, рассказано о случае чудесного спасения советского военного летчика в годы второй мировой войны. Его парашют не раскрылся, и гибель казалась неизбежной. Однако в последний момент как раз под ним взорвалась авиационная бомба. Ударная волна этого взрыва затормозила его падение и спасла жизнь.

К сожалению, большинство исследований ударных волн связано с современным оружием и, откровенно говоря, автору не хочется писать об этом. Вернемся лучше к нашим мирным солитонам.

Посмотрим теперь, как дисперсия вместе с нелинейностью приводят к образованию солитона. Наш первоначальный горбик (кривая 1, рис. 7.4) можно представить в виде суммы гармоник. Длина волны основной гармоники примерно равна удвоенной ширине горбика. Длины волн высших гармоник, сложение которых с основной приводит к образованию горбика конечной ширины, больше длины основной, а значит, они бегут вперед с большей скоростью. В результате увеличение крутизны переднего фронта, вызванное нелинейностью, смягчается, а при определенной форме и скорости горбика может полностью скомпенсироваться этим эффектом. Тогда-то и получается солитон. Если первоначальный горбик достаточно высокий, то он сначала может распасться на несколько горбиков, которые породят несколько солитонов. Если он очень низкий, то он просто расползется вследствие дисперсии.

Соотношение между эффектами дисперсии и нелинейности можно выразить с помощью простой формулы. Прежде чем написать ее, посмотрим на точное решение КдФ-уравнения, описывающее солитон,

Здесь v = v0 [1 + (y0/2h)], а величина l определяется из соотношения

Это условие и выражает равновесие между эффектами нелинейности и дисперсии в солитоне. Хотя параметр S был известен уже Стоксу, его значение для теории солитонов было выяснено лишь в наше время.

Происхождение условия (7.2) можно понять, если вспомнить, что нелинейность увеличивает скорость движения вершины горбика на величину порядка v0y0/h, а дисперсия замедляет ее движение на величину порядка v0h2/l2 (напомним, что положение вершины горбика определяется основной гармоникой, длина волны которой примерно равна 4l). Эффекты нелинейности и дисперсии компенсируются, если эти добавки к скорости примерно равны, что и приводит к условию (7.2).

Если величина параметра S заметно больше единицы, то для достаточно плавного горбика высотой y0 и шириной 2l основную роль будут играть эффекты нелинейности. Он будет деформироваться и скорее всего распадется на несколько солитонов. Если S 1, то преобладает дисперсия, и горбик постепенно «расплывается». При S  1 горбик по форме близок к солитону. Если его скорость близка к скорости солитона, то он слегка деформируется и через некоторое время превратится в настоящий солитон, форма которого определяется формулой (7.1).

Для читателя, не вполне освоившегося с гиперболическими функциями, напомним, что ch х принимает наименьшее значение при х = 0, ch (0) = 1. При возрастании  функция ch х монотонно возрастает, так что ch2 (1) 2,4. Таким образом, вершина солитона расположена в точке х = vt, а величину 2l можно считать его «шириной», на которой в основном сосредоточена переносимая им энергия. Часть солитона, расположенную на большом расстоянии от центра, иногда называют «хвостом» солитона. Центральную часть естественно называть «головой». В «голове» сосредоточено почти 90 % жидкости, поднятой солитоном над поверхностью.

В ч. I мы привели выражение для скорости солитона Рассела , на первый взгляд не совпадающее с полученным для точного решения КдФ-уравнения. На самом деле величина скорости солитона v = [1 + (y0/2h)] не противоречит формуле Рассела. Нужно вспомнить только о сделанном предположении, что амплитуда y0 мала. Поэтому y0/h малая величина и

Вернемся теперь к численному эксперименту Забуски и Крускала с КдФ-уравнением. Приступая к нему, они уже были хорошо знакомы с солитонными решения (7.1) и с нелинейными периодическими волнами. Однако они довольно плохо представляли, как могут образовываться солитоны, и совершенно не знали, что произойдет, если солитоны столкнутся. Считалось, что солитоны либо распадутся при таком соударении, либо, в крайнем случае, могут образовать новый солитон, испустив некоторое количество нелинейных волн. Они поставили задачу примерно так же, как и Ферми, Паста и Улам. Задавали некоторое простое начальное возмущение поверхности воды у (0, х) и наблюдали, что с ним происходило с течением времени (на самом деле они изучали волны не в воде, а в плазме, но это совершенно несущественно, коль скоро использовалось одно и то же уравнение КдФ). Для того чтобы ЭВМ могла справиться с задачей, нужно, конечно, изучать этот процесс не на всей бесконечной оси Ох, а на некотором конечном участке О  #image_80.jpg х   L. Чтобы не думать о том, что происходит на границе, проще всего замкнуть этот отрезок, т. е. решать задачу на окружности.

Проследим за эволюцией простой гармонической волны у (0, х) = cos (2πх/L), рассчитанной ЭВМ. Начальная форма поверхности изображена на рис. 7.6 штрихпунктирой линией.

Через некоторое время Т эффекты нелинейности приводят к тому, что образуется характерная ступенька (штриховая линия). Спустя время 2,5 Т эта ступенька порождает последовательность солитонов (сплошная линия), которые перенумерованы в порядке убывания их амплитуд. Все они движутся направо, причем солитон, пересекающий правую границу, тут же появляется слева: вспомним, что они движутся по окружности, и точки х = 0, х = L соответствуют одной и той же точке этой окружности (как «концы» экватора на карте земного шара). Первый солитон движется быстрее всех остальных. Он догоняет их и последовательно сталкивается с ними. Примерный график движения его вершины изображен на рис. 7.7. Ступеньки соответствуют столкновениям с другими солитонами. Видно, что после столкновения он сохраняет скорость, но как бы ускоряется в самый момент столкновения. Это явление было объяснено в гл. 2 по аналогии со столкновениями упругих мячей.

Все эти результаты, полученные ЭВМ, удивили не только авторов работы, но и всех, кто с ними познакомился. Особенно большое впечатление произвел сделанный ЭВМ кинофильм, в котором можно было увидеть, как рождаются солитоны, как они сталкиваются друг с другом и что при этом с ними происходит.

Этот первый кинофильм из жизни солитонов был черно-белый и неозвученный. С тех пор было снято много таких фильмов, в том числе цветных и звуковых. Если бы удалось устроить фестиваль фильмов о солитонах, то на нем можно было бы, вероятно, узнать о солитонах больше, чем из нескольких книг, подобных этой. В недалеком будущем с развитием и удешевлением ЭВМ и видеозаписи изготовление видеофильмов во многих случаях заменит писание статей и книг. Но пока продолжим наше повествование в надежде, что заинтересованный читатель в конце концов сумеет посмотреть такие фильмы или даже сделать их самостоятельно...

На самом деле, наш рассказ подходит к естественному концу. После основополагающих работ 1965—1967 гг. усилиями многих физиков и математиков СССР, США, Японии и других стран была разработана математическая теория солитонов, составившая новый раздел математической физики. Невозможно рассказывать о дальнейшей истории солитонов, не касаясь идей и результатов этой теории. В то же время рассказать о ней, пользуясь тем скудным математическим языком, которым мы здесь ограничены, тоже невозможно.

Также обречена была бы на неудачу попытка описать все найденные за последние двадцать лет физические приложения идеи солитона. Трудно назвать область современной физики, в которой сегодня не изучались бы солитоны и солитоноподобные объекты. Поэтому простая экскурсия по «зоологическому саду» физических солитонов неизбежно превратится в долгое и нелегкое путешествие по всей современной физике.

Итак, «о том, что очень близко, мы лучше умолчим». Однако ставить точку пока рано! Нам еще нужно проследить за судьбой еще нескольких идей, зародившихся в прошлом веке, и описанных в гл. 3. Попутно, конечно, мы познакомимся с несколькими новыми применениями солитонов, однако это будет лишь беглое знакомство, не ждите от него многого. Оно будет похоже на быструю автомобильную экскурсию по Москве: «Справа мы видим здание Большого театра, построенное в 1824 г. по проекту Бове и Михайлова, слева — здание Малого театра и памятник Островскому работы Андреева, впереди — гостиница «Метрополь» с керамическим панно «Принцесса Греза» по рисунку Врубеля...». Примерно в таком стиле будет и наш рассказ...

Сначала, однако, завершим наш рассказ о численном эксперименте Ферми, Пасты и Улама. На самом деле Ферми, Пасте и Уламу просто «повезло». Если бы они смогли проследить за судьбой своей цепочки достаточно долго, они увидели бы, что возвращение к начальному состоянию постепенно становится все менее и менее точным и в конце концов устанавливается хаос.

Другое дело — описываемая КдФ-уравнением «струна» 3абуски и Крускала. В ней возвращение должно наблюдаться в принципе неограниченно долго. Оговорка «в принципе» связана с тем, что в реальном численном эксперименте происходит накопление ошибок и возвращение тоже перестает быть точным. Если бы вычисления производились абсолютно точно, то мы увидели бы, что солитоны, изображенные на рис. 7.6, много раз столкнувшись, в конце концов снова собрались бы в синусоидальную волну. После этого все началось бы сначала!

Физические системы, которые рано или поздно возвращаются в начальное состояние, называют интегрируемыми. К ним относятся все системы, в которых существуют настоящие солитоны. Простейший пример интегрируемой системы — маятник. Однако если есть трение, то свойство интегрируемости теряется и маятник не возвращается в начальное состояние. Если трение очень мало, то маятник с хорошим приближением можно считать интегрируемой системой и он возвращается в первоначальное состояние достаточно много раз. Точно так же цепочка Ферми — Пасты — Улама интегрируема лишь приближенно, даже если пренебречь трением и вычислительными ошибками. Существуют, однако, и точно интегрируемые цепочки атомов. В 1967 г. японский физик М. Тода показал, что если сила, действующая на атом со стороны его соседей, равна

то цепочка будет интегрируемой и в ней существуют солитоны, совершенно подобные солитонам КдФ.

Но отправимся в нашу беглую экскурсию!

 

Океанические солитоны:

цунами *), «девятый вал»

28 декабря 1908 г. на юге Италии произошло землетрясение, в результате которого погибло 82 тыс. человек. Страшные разрушения были вызваны также поднятой им гигантской волной, которая была описана М. Горьким: «...Поднялась к небу волна высоты неизмеримой, закрыла грудью половину неба и, качая белым хребтом, согнулась, переломилась, упала на берег и страшной тяжестью своею... смыла весь берег». Горький описал здесь цунами. Японское слово «цунами» обозначает просто «большую волну в гавани». Цунами чаще всего образуется, когда достаточно крупный, но безвредный в открытом океане солитон выбрасывается на берег. Не все цунами вызваны солитонами, но, по мнению специалистов, большинство цунами — солитонного происхождения.

*) Основные сведения о цунами заимствованы из книги: Пелиновский Е. Н. Нелинейная динамика волн цунами. — Горький: ИПФ АН СССР, 1982.

Чаще всего солитон в открытом океане образуется при землетрясении океанского дна. Длина его может достигать 500 км, но даже для относительно короткого солитона длиной 10 км океан можно считать мелким. Высота солитона в океане обычно невелика, не больше 10 м, и такую плавную волну трудно даже заметить. Среднюю скорость солитона вдали от берега легко вычислить по формуле v = . При h 1 км получаем v 100 м/с. При изменении рельефа дна эта скорость меняется в пределах от 50 до 700 км/ч. При подходе к берегу солитон замедляет движение, становится короче и выше.

Чтобы это увидеть, достаточно вспомнить соотношение (7.2) и учесть, что энергия солитона остается постоянной. Так как энергия солитона пропорциональна y 0 2 l , то условие ее постоянства удобно выразить, введя еще один параметр L с размерностью длины: L 3  = y 0 2 l . Из (7.2) при S #image_13.jpg 1 из этого соотношения легко найти, что y 0 #image_13.jpg L 2 / h , а l   #image_13.jpg h 2 / L . Для океанских солитонов значение L обычно равно нескольким десяткам метров. Эти простые соотношения, конечно, пригодны, пока L #image_204.jpg h . При L #image_35.jpg h высота солитона y 0 сравнивается с глубиной h , и нелинейность уже нельзя считать малой. Начинаются нелинейные процессы обрушивания волны, последняя стадия которых и описана Горьким.

Больше всех страдают от цунами, вызванных землетрясениями, Япония и Чили. Одно из самых сильных цунами обрушилось на Японию в 1896 г. Высота волны, обрушившейся на берег, достигла 30 м, погибло около 30 тыс. человек. Среди тех, кто читал о леденящих душу подробностях этого бедствия, наверняка были и немногочисленные читатели недавно полученного номера журнала со статьей Кортевега и де Фриза. Никому из них, однако, не пришла в голову мысль, что прочитанная ими сугубо математическая работа имеет самое прямое отношение к беде, постигшей жителей Японии. Солитонная теория цунами возникла лишь три четверти века спустя.

Самые важные проблемы, которые изучаются сегодня теорией цунами, это условия образования начальной волны и ее эволюция при подходе к берегу. Движение солитона в океане можно довольно неплохо рассчитать с помощью общей теории, но условия его рождения и его разрушительное действие очень сильно зависят от местных условий. Один и тот же солитон будет вести себя совершенно по-разному на открытом пологом берегу, в гавани или в устье реки (в последнем случае цунами часто порождает бор). Рождение солитона может быть вызвано разными причинами  — землетрясением, взрывом вулкана или «искусственным» взрывом в воде, обвалом или оползнем берега. Например, взрыв вулкана Кракатау в 1883 г. привел к образованию на берегах Индонезии цунами с высотой до 45 м. Жертвами этой катастрофы стали 36 тыс. человек. Специалисты считают, что энергия этого взрыва была равна энергии взрыва сотен тысяч атомных бомб, подобных сброшенной на Хиросиму. Между прочим, существует гипотеза, что цунами, вызванное взрывом вулкана в Эгейском море, погубило 3,5 тыс. лет назад легендарную Атлантиду.

Ясно, что для предсказания цунами и оценки их разрушительной силы нужно выполнить еще много экспериментов на лабораторных моделях и расчетов на ЭВМ математических моделей цунами. Этим занимаются многие коллективы ученых, особенно в странах, которым угрожает это бедствие (в нашей стране цунами иногда «посещает» Камчатку и Курильские острова). В недалеком будущем, когда расчеты цунами смогут делать самые мощные и самые быстродействующие ЭВМ («суперкомпьютеры»), бедственные последствия набегов солитонов можно будет свести к минимуму.

Между прочим, известны случаи, когда «микроцунами» возникали от движения корабля. В начале века, когда стали появляться быстроходные военные суда, их капитаны время от времени сталкивались со «спутной волной», которая образуется при движении судна со скоростью, близкой к . Оторвавшаяся от судна спутная волна и солитон Рассела это одно и то же. Отличие лишь в том, что в мелком канале спутная волна возникает при небольшой скорости движения *). Если судно, образовавшее спутную волну, внезапно замедлит ход или если глубина внезапно изменится, спутная волна оторвется от судна и, отправившись в самостоятельное путешествие, может наделать бед. Один такой несчастный случай, произошедший в 1912 г. в Финском заливе, расследовал академик А. Н. Крылов. Он подробно описал его в своих интереснейших воспоминаниях. К сожалению, Крылов не знал о работах Рассела и Кортевега и де Фриза; подробно изучив это явление, он ограничился лишь выработкой практических рекомендаций для капитанов.

*) Рассел приписывает первое наблюдение отрыва баржи от спутной волны при увеличении скорости и вызванное этим уменьшение сопротивления движению баржи «Уильяму Хаустону, эсквайру», который, однако, осознал лишь «коммерческое значение этого факта для компании канала, с которой он был связан». Научное значение этого явления первым понял Рассел.

В океане рождаются и путешествуют самые разные солитоны. Безгранично разнообразный и сложный океан — естественная «среда обитания» для них. Некоторые океанские солитоны неплохо изучены, о существовании иных мы, может быть, пока и не подозреваем. Волны и солитоны могут возникать не только на поверхности воды, но и в глубине. Океанские глубины очень неоднородны, в них существуют слои воды с разной температурой, плотностью, соленостью. Зачастую граница между этими слоями оказывается довольно резкой. Она, как говорят, образует поверхность раздела. По такой поверхности, как и по поверхности раздела воды и воздуха, тоже путешествуют волны и солитоны, которые могут оказаться довольно опасными. Не исключено, что подобные солитоны ответственны за случаи загадочных аварий подводных лодок.

Перейдем теперь к солитону, который был на глазах у людей с незапамятных времен, но в науку проник совсем недавно. Речь идет о группах («стаях») волн, вызванных ветром на глубокой воде (рис. 7.8).

Нельзя сказать, что ученые совсем не пытались выяснить, почему волны собираются в такие стаи, но к реальному ответу на этот вопрос удалось приблизиться лишь после того, как в 1967 г. Т. Бенжамен и Дж. Фейр показали теоретическими расчетами и опытами, что простая периодическая волна на глубокой воде неустойчива. Иными словами, она склонна разбиваться на группы волн. Уравнения, описывающие такие группы, в следующем году нашел В. Е. Захаров, а вскоре было доказано, что они обладают всеми свойствами настоящих солитонов. Эти солитоны составляют новую разновидность, с которой мы еще не встречались. Они внешне похожи на модулированные радиоволны или оптические импульсы. Однако электромагнитные группы волн могут распространяться в пустоте без искажений, а группы волн на глубокой воде очень быстро расплылись бы из-за сильной дисперсии (v = ), если бы этому не препятствовала нелинейность.

И эти солитоны имеют непростую историю. Физики сталкивались с такими солитонами в нелинейной оптике, а уравнения, описывающие их, еще раньше изучались в теориях сверхтекучести и сверхпроводимости.

Солитон, изображенный на рис. 7.8, обычно называют «солитоном огибающей», мы будем также называть его «групповым» солитоном. Название это напоминает о том, что привычную солитонную форму имеет штриховая линия, огибающая верхушки волн. Сами эти волны движутся с иной скоростью, чем их огибающая, так что под ней идет бурная жизнь. Волны, на которых «сидит» солитон, приблизительно монохроматичны. Форма огибающей описывается выражением

причем размер солитона 2l определяется его амплитудой y0, а скорость v от амплитуды не зависит. Этим «групповые» солитоны существенно отличаются от солитонов Рассела — КдФ, а в остальном они весьма сходны. Обычно под огибающей может спрятаться не более 14—20 волн, причем средняя — самая высокая. Это и объясняет давно известное морякам правило, что самая высокая волна в группе седьмая — десятая (отсюда и «девятый вал»). Солитоны c большим числом гребней несущей волны неустойчивы и распадаются на меньшие.

На этом мы и закончим знакомство с океанскими волнами и солитонами. То, что было рассказано, разумеется, лишь карикатура, но эта карикатура позволила нам разглядеть очень важные и простые явления. Волны в реальном океане гораздо более сложны, многообразны и хаотичны *).

*) О реальных морских волнах можно прочесть в популярной книге: Кадомцев Б. Е., Рыдник В. И. Волны вокруг нас. — М.: Знание, 1981.

Нам хотелось бы рассказать еще о нескольких солитонах, но сначала подведем предварительные итоги, вспомним самые главные свойства истинных солитонов.

 

Три солитона

В «клубе многоликих солитонов», многие из которых уже успели стать знаменитыми, выделяются три наиболее важных типа настоящих солитонов. Это солитоны КдФ, ФК и «групповые». Они замечательны своими математическими свойствами, поддаются точному и строгому математическому описанию и имеют наибольшее число физических воплощений. Между ними много общего, но есть и существенные отличия.

Солитоны Рассела — КдФ рождаются в физических системах, в которых волны слабо нелинейны и слабо диспергируют. Если первоначальный импульс распался на некоторое число солитонов, то все они бегут в одном и том же направлении со скоростями, пропорциональными их высотам, а ширина каждого солитона обратно пропорциональна квадратному корню из его высоты. При столкновениях солитоны обмениваются энергией подобно упругим мячам.

Отвлекаясь от несущественных деталей, можно сказать, что примерно так же ведут себя и другие истинные солитоны. Солитон огибающей это плавно модулированная монохроматическая волна в слабо нелинейных и сильно диспергирующих средах. Его ширина обратно пропорциональна амплитуде, но скорость от амплитуды не зависит. Форма КдФ-солитона и его скорость определяются условиями компенсации эффектов нелинейности и дисперсии. Для «группового» солитона о такой компенсации можно говорить лишь условно, во всяком случае наглядно все это довольно трудно представить. На самом деле групповой солитон очень сложный, необычный и непривычный объект, и на качественном физическом языке его поведение пока до конца не понято.

В некоторых случаях КдФ-солитоны и групповые солитоны можно считать частицами, которые подчиняются обычным законам движения ньютоновой механики. Так можно поступать, если одиночный солитон движется в слабо неоднородной среде, в которой эффекты затухания, вызванного трением, достаточно малы. При столкновениях с другими солитонами или с резкими неоднородностями среды становится существенным внутреннее устройство солитона. Даже при столкновениях с малой неоднородностью среды (например, с небольшим местным изменением глубины дна) солитон не только ускоряется или замедляется, но и слегка деформируется. Однако, проскочив неоднородность, он восстанавливает прежнюю форму и скорость, так что его движение можно приближенно описать как движение частицы, встретившей на своем пути слабо притягивающий или отталкивающий центр.

Более существенное воздействие оказывает на эти солитоны трение. КдФ-солитон под действием трения постепенно замедляет движение, одновременно уменьшая высоту и расплываясь. Эта деградация солитона происходит по экспоненциальному закону — скорость и амплитуда убывают пропорционально ехр(-t/τ), а ширина растет пропорционально ехр(t/2τ). Время распада (или время жизни) солитона τ обратно пропорционально силе трения. При малом трении солитон хотя и деформируется, но достаточно долго остается солитоном. При большом трении само понятие солитона теряет смысл. Столь же бренно существование группового солитона. Правда, в первом приближении его скорость остается неизменной, но амплитуда убывает как ехр(-t/τ), а ширина растет как ехр(t/τ).

Таким образом, как солитоны Рассела, так и «групповые» солитоны затухают со временем. Тем более поражает удивительная устойчивость, почти «нетленность» третьего солитона. Солитон Френкеля — Конторовой (или ФК-солитон) под действием небольшого трения лишь замедляется и в конце концов остановится. Остановившись, он может жить практически «вечно». Например, дислокация будет существовать, пока существует и неизменен кристалл.

ФК-солитон наиболее «нелинейный» из трех солитонов, причем нелинейность в его уравнении особая (sin φ), и как раз особым характером этой нелинейности объясняется исключительная устойчивость ФК-солитона. Как мы обнаружили в предыдущей главе, эта устойчивость имеет топологическую природу; по этой причине ФК-солитон и называют топологическим солитоном.

Если в уравнении ФК (6.11) заменить sin φ на -2(φ - φ 2 ), то можно получить уединенные волны, очень похожие на ФК-солитоны:

Они, однако, не обладают свойствами истинного солитона. Будучи типологически устойчивыми, они при столкновениях друг с другом все же не сохраняют индивидуальности и могут разрушиться, передав свою энергию периодическим нелинейным волнам. Если вместо sin φ в уравнении ФК взять 2(φ - φ З ), то получившееся уравнение описывает уединенные волны типа КдФ, которые также не имеют свойств настоящих солитонов. Из этого не следует, что такие солитоноподобные объекты не интересны для физики. Наоборот, эти ближайшие родственники солитонов также приняты в солитонный клуб, и их очень внимательно изучают.

Клуб солитонов непрерывно пополняется новыми членами, и в их многоликой толпе сегодня трудно ориентироваться даже специалистам. Выручают лишь тесные родственные связи между солитонами разных типов. Даже столь несхожие три главных солитона при ближайшем знакомстве оказываются «родственниками по математической линии». Их родственные отношения скрыты за довольно сложной и глубокой математикой, но догадаться об их существовании можно хотя бы по тому, что их «профили» очень похожи. Форма всех трех солитонов определяется одной и той же функцией — гиперболическим косинусом (для ФК-солитона это, на первый взгляд, неверно, но нужно вспомнить, что производная его профиля φ(t, х) по координате действительно обратно пропорциональна гиперболическому конусу). Более завуалирована связь между бризерами и групповыми солитонами. Оказывается, что бризер с малой амплитудой подчиняется такому же уравнению, как и группа волн на глубокой воде.

Еще более эффективно эта связь проявляется в явлении самонаведенной прозрачности, связанном с существованием оптических солитонов. Поглощение света в веществе обычно обусловлено возбуждением атомов вещества световой волной. При этом электроны перебрасываются из состояния с энергией E0 в состояние с более высокой энергией Е1. Если частота света ν такова, что энергия фотонов hv близка к разности Е1 - E0, то поглощение будет особенно сильным (резонансное поглощение). Для упрощения представим себе, что у атомов есть только два таких уровня. Это, конечно, карикатура, но суть явления она передает правильно.

Будем теперь пропускать через вещество короткие импульсы длительностью, скажем, 10-10 с и с несущей частотой 1015 Гц (эта частота как раз и соответствует условию резонанса). Оказывается, что при достаточно большой амплитуде импульсов среда внезапно становится прозрачной для них! Что происходит? Приблизительно вот что. Передний фронт импульса перебрасывает электроны на верхний уровень и ослабляется, а задний фронт возвращает их в прежнее состояние, причем возникающее при этом излучение возвращается импульсу. В то же время скорость импульса и его форма «подстраиваются» так, что все эти процессы происходят совершенно синхронно (рис. 7.9). Оказывается, что форму импульса можно найти, решив уравнение, по существу совпадающее с уравнением ФК, хотя этот импульс представляет собой типичный групповой солитон (модулированная волна). В частности, его скорость и ширина зависят от амплитуды.

Естественно использовать подобные оптические солитоны для передачи информации по оптическим волокнам. Выгоды такого способа — большая скорость передачи очень большого количества информации (за счет малой длительности импульса), малый расход энергии и высокая надежность. В недалеком будущем нам с вами, вероятно, представится возможность пользоваться таким «солитонным телеграфом»!

 

Солитонный телеграф

В то время когда были написаны слова о солитонном телеграфе (в конце 1984 г.), японский физик, сотрудник лабораторий Белла в США Акира Xacегaвa опубликовал подробные численные расчеты распространения солитонов в оптических волокнах и показал, что оптические солитоны могут пробегать тысячи километров без серьезного искажения их формы. Весной 1988 г. этот вывод был полностью подтвержден на опыте сотрудниками лабораторий Белла Л. Молленауэром и К. Смитом, которым удалось четко детектировать солитоны, пробежавшие более четырех тысяч километров. Эти солитоны несколько отличаются от других оптических солитонов, и сам «солитонный телеграф» основан на несколько необычной идее применения солитона. Мы сейчас с ней познакомимся, но начнем несколько издалека.

Как только (лет 1З назад) появились световоды достаточно хорошего качества, естественно возникла идея применить их для передачи информации оптическими импульсами. Из-за малой длины световых волн можно передавать гораздо большие объемы информации. Такой способ передачи оказывается также весьма дешевым. В результате оптические системы передачи замечательно быстро начали входить в жизнь. В середине этого десятилетия оптическая связь была установлена между крупнейшими городами Японии, а в США — между Бостоном, Нью-Йорком и Вашингтоном. Прокладываются линии между восточным и западным побережьями США. В 1988 г. начинает работать трансатлантическая оптическая связь. Планируется прокладка кабеля через Тихий океан. Одно волокно пропускает сотни мегабит в секунду. Кабель, состоящий из многих волокон, может пропускать несколько гигабит. Это очень хорошо. Однако потенциальные возможности пропускной способности оптических волокон несоизмеримо выше! Что же ограничивает оптический телеграф?

В любом, даже самом качественном световоде сигнал постепенно слабеет и расплывается. Поэтому через каждые 50—100 км ставится приемник, который образует оптические сигналы в электронные (детектирует), усиливает их, вновь превращает в оптические и посылает дальше. Такие электронные регенераторы могут пропускать до одного гигабита в секунду, тогда как пропускная способность световода могла бы быть раз в сто больше. Кроме этого, использование многих регенераторов увеличивает возможность ошибок и отказов. Короче говоря, нужно что-то более простое и фундаментальное.

Естественно, мысль обращается к оптическим солитонам. Если в световоде распространяется достаточно мощный импульс, созданный лазером, то начинает проявляться зависимость показателя преломления от амплитуды импульса. Эта зависимость определяется поляризацией молекул электрическим полем светового импульса. Зависимость показателя преломления света от внешнего электрического поля была открыта еще в 1875 г. шотландским физиком Джоном Керром (1824—1907) и называется эффектом Керра. Добавка к показателю преломления пропорциональна квадрату напряженности электрического поля. Чтобы наблюдать этот эффект, нужно создать сильное электрическое поле (примерно десять тысяч вольт/см). Так как в волнах света, испускаемых обычными источниками, напряженность электрического поля не превышает сотни вольт/см, то эти волны не могут заметно поляризовать молекулы, и нелинейностью показателя преломления всегда можно пренебречь. Другое дело — лазерный свет. Напряженность электрического поля в нем может достигать ста миллионов вольт/см, а это уже сравнимо с электрическими полями внутри молекул.

Такая зависимость показателя преломления приводит к замечательному явлению — самофокусировке лазерного луча. Обычно световой луч в стекле постепенно расширяется. Однако достаточно мощный лазерный луч в некоторых видах стекол может, наоборот, сфокусироваться в тонкую ниточку. Качественно это объясняется тем, что показатель преломления оказывается наибольшим на оси пучка света и, согласно обычному закону преломления, боковые лучи будут искривляться и «притягиваться» к оси. Точная теория этого явления, однако, довольно сложна, и впервые была построена В. И. Захаровым и А. Б. Шабатом в работе «Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах» (1971 г.). Распространение света в нелинейной среде описывается так называемым нелинейным уравнением Шрёдингера, точно такому же уравнению удовлетворяют солитоны огибающей, описанные выше. Отсюда сразу следует, что в нелинейной среде могут распространяться такие же солитоны.

В 1973 г. А. Xacегaва и Ф. Тапперт применили нелинейное уравнение Шрёдингера к распространению лазерного света в световоде и нашли условия, при которых их можно было бы наблюдать. В 1980 г. эти солитоны наблюдали Л. Молленауэр, Р. Столен и Дж. Гордон. В их опытах солитоны пробегали почти километр без заметного искажения формы. Однако если мы хотим, чтобы солитонные сигналы можно было бы принимать на очень больших расстояниях, нужно как-то компенсировать потерю их энергии. Заметим, что скорость солитонов не зависит от их энергии, но высота уменьшается, а ширина увеличивается (их произведение постоянно).

В самых лучших на сегодня световодах потери составляют примерно пять процентов на километр. Поэтому энергия солитона на расстоянии L км будет равна Е0е - 0,05 L , где Е0 — начальная энергия солитона (вспомните закон радиоактивного распада, только здесь роль времени играет расстояние). На расстоянии L = 20 км энергия уменьшится в е  2,72 раз.

Обсуждались разные способы компенсации этих потерь. Самый простой состоит в том, что в световод примерно через каждые сорок километров впускается лазерная подсветка. Частота и мощность подсвечивающих лазеров подбираются так, чтобы молекулы световода могли отбирать часть энергии подсвечивающего луча, а затем быстро отдавать ее солитону. Это напоминает механизм самонаведенной прозрачности, но здесь молекулы возбуждаются внешним источником, а не самим солитоном, так что возможна подкачка энергии.

Этот механизм усиления солитонов тесно связан с эффектом комбинационного рассеяния света в веществе, открытым в 1928 г. индийскими физиками Ч. Раманом и К. Кришнаном и, независимо от них, Л. И. Мандельштамом и Г. С. Лансбергом. Его часто называют просто эффектом Рамана, что, конечно, исторически несправедливо. Суть эффекта состоит в том, что при рассеянии света его спектральный состав изменяется. Говоря словами Л. И. Мандельштама: «Мы здесь... имеем не что иное, как модуляцию падающей волны собственными колебаниями молекул... так же, как спектр обычного телефонного передатчика несет в себе весь ваш разговор..., так и спектр рассеянного света несет то, что молекула говорит о себе. Изучая его, вы изучаете свойства молекулы, вы изучаете ее строение».

Мы не можем входить в детали, но для понимания солитонного телеграфа это и не нужно. Достаточно понимать, что при посредничестве молекул световода солитон может получать энергию от подсвечивающего лазера, и все можно устроить так, что эта энергия полностью скомпенсирует потери. Это и позволяет солитонам проходить большие расстояния, сохраняя индивидуальность. Конечно, существуют и ограничения, связанные с тем, что случайные взаимодействия солитонов с молекулами световода несколько меняют его скорость. Поэтому на очень больших расстояниях (несколько тысяч километров) могут начаться сбои: скажем, один импульс догонит другой. Ограничения на скорость передачи информации солитонными импульсами вызваны тем, что сам импульс нельзя сделать слишком коротким и что между импульсами необходимо оставлять достаточно большой зазор. Можно рассчитывать на минимальную длительность импульса 1 пикосекунды (т. е. 10-12 с). Если отправлять импульсы не чаще, чем через 10 пикосекунд, то один бит информации передавался бы за 10 пикосекунд, т. е. скорость передачи информации 1011 бит/ч = 100 гигабит/с. Видимо, это максимум того, на что реально можно рассчитывать, но это очень неплохо, в сто раз лучше, чем в обычной волоконной связи. Кроме того, солитонная связь должна быть куда более надежной (не нужна регенерация!) и более дешевой.

В опытах, с которых был начат этот рассказ, было показано, что все теоретические ожидания и предсказания оказались правильными. Удалось передать солитоны на расстоянии больше 4000 км без существенного искажения их формы. Теперь практическая реализация проекта солитонного телеграфа не за горами. Вероятно, в середине следующего десятилетия он заработает! Это будет первый пример реального применения солитонов в технике, подобного телеграфу, телефону, радио. Возможно и применение этих солитонов в ЭВМ с оптическими элементами памяти и оптическими линиями связи.

Вся эта история интересна еще и тем, что она позволяет проследить весь путь от рождения идеи до ее технической реализации. После фундаментальной работы Захарова и Шабата (1971 г.) довольно быстро (1973 г.) возникла идея получить оптические солитоны в волокнах. Как раз в это время научились делать хорошие волокна, а лазеры уже давно стали привычным инструментом физиков. В этом же 1973 г. сформировалась идея об использовании комбинационного рассеяния для усиления импульсов в световодах В 1980 г. удалось наблюдать солитоны, а еще через три года сформировалась мысль соединить одно с другим — применить комбинационное рассеяние к «усилению» солитонов. После пяти лет расчетов и экспериментов были, наконец, выполнены опыты, доказавшие возможность технической реализации солитонной передачи информации. Теперь в дело включатся технологи, инженеры, бизнесмены. Схематически можно представить этот путь от чистой идеи до ее материального воплощения примерно так:

Если чего-то в этой схеме не хватает, реализация идеи сильно задерживается. Судьба оптического солитона очень счастливая. Он родился вовремя и лет 25 от роду начнет самостоятельную жизнь в обществе, принося пользу людям.

 

Нервный импульс — «элементарная частица» мысли

Основные идеи о том, как образуется и как распространяется импульс электрического напряжения по нервным волокнам, были высказаны уже в начале нашего века. Они, однако, не были достаточно подкреплены опытами на живых нервных волокнах. Одна из основных причин этого состояла в том, что диаметр волокон очень мал: у млекопитающих — не больше 20 мкм, у лягушки самые толстые волокна имеют толщину 50 мкм.

Настоящее изучение структуры нервных волокон и распространения по ним электрических импульсов началось только с 1936 г., когда были найдены гигантские нервные волокна у кальмаров и каракатиц. Диаметр волокон у этих необычных существ доходит до 1 мм, и это уникальное свойство их нервной системы сослужило большую службу науке.

Скорость распространения нервного импульса с увеличением толщины d центральной части волокна увеличивается. Однако это увеличение очень медленное, примерно пропорциональное Чтобы выжить в тяжелых условиях, надо, чтобы сигнал опасности передавался по соответствующему нерву как можно быстрее. Простейший способ — увеличение толщины волокон. По-видимому, каракатицы в процессе эволюции выжили вследствие того, что как-то сумели в десятки раз увеличить толщину этого жизненно важного нерва. Однако эволюция «изобрела» еще и другой, более совершенный способ увеличения скорости нервного импульса, который и был «принят на вооружение» остальными животными. У высших животных, а также и у нас с вами многие нервные волокна заключены в изолирующую оболочку. Это дает тот же эффект, что и увеличение толщины. Скорость импульса в толстом нервном волокне каракатицы равна 25 м/с, а в волокнах млекопитающих, которые в 50 раз тоньше, она может достигать 100 м/с.

Итак, благодаря тому что каракатицы выжили в процессе эволюции, к середине столетия были установлены все основные факты, необходимые для создания обоснованной теории прохождения импульса по нервному волокну. В 1952 г. английские физиологи А. Ходжкин и А. Хаксли в серии блестящих работ построили теорию, которая получила общее признание (в 1963 г. им была присуждена Нобелевская премия по медицине). Детали устройства нервного волокна и подробности теории для нас несущественны. Познакомимся лишь с самыми главными фактами и идеями.

На многочисленных опытах было твердо установлено, что форма и скорость импульса не зависят от величины раздражения нерва. Если раздражение очень сильное, то выпускается подряд целая «очередь», или «залп», импульсов. Если оно очень слабое, то импульс по нерву вообще не пойдет, минимальная сила раздражения называется «пороговой». Все это очень напоминает распад большого горба на поверхности воды на солитоны. Разница только в том, что импульсы нервного возбуждения совершенно одинаковы и распространяются друг за другом с одинаковой скоростью. Простота и целесообразность такого устройства передачи информации по живому организму, конечно, изумительны. Каждый импульс переносит одну единицу информации, и «приемным устройствам», о которых мы не будем здесь говорить, достаточно только считать, сколько таких «элементарных частиц» информации поступило и за какое время.

Как же действует этот удивительный механизм, превращающий беспорядочные и многообразные раздражения, поступающие от внешнего мира, в стройные последовательности строго одинаковых уединенных волн? Нервный импульс распространяется совсем не так, как электрический ток по проводам. Нервное волокно слишком плохой проводник! «Тонкое нервное волокно длиной 1 м имеет примерно такое же электрическое сопротивление, как медная проволока 22-го калибра при длине 1,6•1010 км, что почти в 10 раз больше расстояния между Землей и Сатурном. Инженер-электрик был бы в большом затруднении, если бы его попросили установить связь в Солнечной системе, используя обычный кабель» (А. Ходжкин).

Простейшее волокно состоит из сердцевины, заключенной в оболочку (мембрану) и погруженной в наружную плазму (рис. 7.10).

Внутренняя и наружная плазмы сильно отличаются по составу. Снаружи плазма содержит избыток ионов натрия (Na+) и хлора (Cl-), образовавшихся при диссоциации обычной поваренной соли NaCl. Внутри больше ионов калия (К+) и отрицательно заряженных ионов органических молекул. Мембрана проницаема для ионов Na+, К+ и Cl-, но не пропускает большие органические молекулы. В спокойном состоянии все процессы проникновения ионов через мембрану уравновешены так, что внутренняя часть волокна содержит избыток отрицательных ионов, и электрическое напряжение между внутренней и внешней плазмами равно примерно 50 мВ. При раздражении нерва достаточно большим внешним импульсом мембрана начинает пропускать внутрь ионы Na+ и в месте раздражения напряжение быстро меняется на противоположное. В этот процесс вовлекаются соседние участки мембраны, так что начинает распространяться импульс напряжения, изображенный в правой части рис. 7.10. После прохождения импульса быстро восстанавливается прежнее спокойное состояние. Таким образом, по нервному волокну распространяется не электрический ток, а некоторая электрохимическая реакция, которая и порождает бегущий импульс напряжения.

Импульс может образоваться и распространяться только потому, что в этом устройстве существует нелинейный элемент, который подавляет малые отклонения от нормального состояния и усиливает большие. Если бы не было никаких нелинейных эффектов, то передний фронт импульса (АВ на рис. 7.11) начал бы расплываться, подобно тому как расползается чернильная капля в воде.

Оба эти процесса имеют аналогичную природу и описываются одним и тем же уравнением диффузии (от лат. diffundo — рассеивать). В случае нервного импульса основной процесс — это диффузия ионов через мембрану. Если равновесие нарушено, диффузия быстро выравнивает концентрации. При этом фронт импульса становится все более пологим, высота его уменьшается, и он в конце концов исчезает. Нелинейная зависимость проницаемости мембраны от величины импульса приводит к тому, что более высокая часть импульса поднимается, а более низкая опускается (стрелки на рис. 7.13). Если нелинейность полностью уравновешивает диффузию, фронт импульса может просто сдвинуться вперед, не изменяя формы (А'B'). Так образуется уединенная волна нервного импульса.

В реальном нерве для поддержания движения импульса необходимо все время добавлять немного энергии, но эта энергия очень мала, «утомить» нерв довольно трудно. Важно, что из-за «самоорганизованности» импульса эти добавки не искажают форму и не изменяют скорость импульса (в точности как в часах, где передача энергии маятнику от пружины не изменяет период колебаний).

У нелинейной диффузии тоже есть своя интересная история. В 19З7 г. А. Н. Колмогоров, И. Г. Петровский и Н. С. Пискунов опубликовали замечательную математическую работу (между прочим, также связанную с биологической проблемой). Они показали, что нелинейность может уравновесить диффузию и что в результате может появиться бегущая уединенная волна с постоянной скоростью и формой. По сути дела, была открыта и изучена простейшая математическая модель нервного импульса, но, к сожалению, никто этого не понял. Нельзя сказать, что эта работа вообще не была замечена. Год спустя Я. Б. Зельдович и Д. А. Франк-Каменецкий применили ее результаты к теории горения (вспомните свечу и бикфордов шнур!), но настоящее понимание уединенной волны нелинейной диффузии пришло лишь двадцать-тридцать лет спустя.

Уединенная волна горения движется довольно медленно. Например, если поджечь с одного конца горючий газ в длинной трубке, то по ней побежит волна горения. Обычно скорость ее довольно мала, раз в десять меньше скорости звука в газе. Однако если поджечь газ мощной искрой (ни в коем случае не пытайтесь делать такие эксперименты, это очень опасно!), то может произойти взрыв (детонация). На самом деле этот взрыв представляет собой ударную волну горения, и скорость ее очень велика, в несколько раз больше скорости звука. Основы теории ударных волн горения (их еще называют взрывными или детонационными волнами) заложил в 1939 г. Я. Б. Зельдович. Он показал, что скорость фронта взрывной волны относительно продуктов горения в точности равна скорости звука. Полная скорость взрывной волны поэтому превышает скорость звука и определяется в конечном счете количеством тепла, выделяемым при химической реакции горения. Таким образом, взрывная волна, как и уединенная волна горения, имеет вполне определенную скорость. Этим она существенно отличается от обычных ударных волн, которые могут распространяться с различными скоростями и постепенно затухают.

Ч и т а т е л ь: Интересно, а бывают ли ударные нервные импульсы?

А в т о р: Я не слышал ни о чем таком и, не будучи специалистом в этой области, не могу дать более определенный ответ. Могу только сослаться на мои собственные наблюдения, подтверждаемые и другими людьми. В минуту смертельной опасности, возможно, включается какой-то более быстрый механизм передачи информации. Возникает ощущение, что время «растягивается», и успеваешь сделать, казалось бы, невозможное. Это довольно необычное и сильное переживание: «есть упоение в бою и бездны мрачной на краю». Каков механизм этого «ускорения» реакций, я не знаю. Может быть, что-то подобное происходит в момент перехода в иной, лучший мир (то, что врачи буднично называют «терминальным состоянием»). Об этом можно было бы много по рассуждать, но честнее последовать совету Талмуда: «Приучай уста твои говорить как можно чаще: я не знаю».

Как ни жаль, но придется на этом остановиться. Изучением элементарной «частицы мысли» сегодня занимаются биологи, физики, математики, химики, инженеры... Инженеры? Да, не удивляйтесь, инженерам-электрикам, о которых говорил Ходжкин, это тоже интересно! Были придуманы разные электрические модели нервного волокна, и они, вероятно, пригодятся если не для установления связи в Солнечной системе, так для чего-нибудь еще, скажем, для ЭВМ... В общем, работа идет большая, и конца ей пока не видно. Выяснение природы импульса — это, разумеется, только начало, да и здесь далеко не все понятно. А дальше надо разбираться, как он принимается, как преобразуется в действия мышц *) или в другие импульсы, как, в конце концов, эти «частицы мысли» связаны с нашими действительными чувствами и мыслями... Современная наука уже начинает подбирать ключи к ответам на эти вопросы. А началось все с уединенной волны!

*) Возможно, что в механизме сокращения мышц солитоны также играют важную роль. Солитоновая модель этого механизма предложена А. С. Давыдовым с сотрудниками.

 

Вездесущие вихри

До сих пор мы действительно шагали по одной черте. Все солитоны и уединенные волны, с которыми мы познакомились, по сути дела, одномерны (т. е. N = 1!). Это, как вы помните, означает, что существенна зависимость лишь от одной координаты. Так, волну, набегающую на морской берег, можно приближенно считать одномерной. Волны, расходящиеся от брошенного в воду камня, двумерны, а свет электрической лампочки распространяется трехмерными электромагнитными волнами. В современной физике элементарных частиц изучают и волны в пространствах большего числа измерений. Не удивительно, что физики и математики прилагают большие усилия для обнаружения и изучения солитонов и солитоноподобных объектов в «N измереньях». Точно вычисляемых настоящих многомерных солитонов пока немного. Наиболее подробно изучены солитоны, порожденные двумерными волнами, подобными волнам КдФ. Такие волны были впервые изучены в 1970 г. Б. Б. Кадомцевым и В. И. Петвиашвили, а через насколько лет удалось найти два типа двумерных солитонных решений полученного ими уравнения. Одно описывает столкновение обычных «одномерных» солитонов, налетающих друг на друга под углом (более простая задача — отражение солитона на поверхности воды, набегающего под углом на стенку набережной) *). Второе соответствует действительно двумерным солитонам, которые убывают по всем направлениям от вершины (если одномерный солитон подобен горному хребту, то двумерный — это просто одинокий холмик).

*) Такое отражение солитонов впервые наблюдал и описал Рассел.

Позднее были обнаружены двумерные обобщения «групповых» солитонов на поверхности воды, но нам более интересны солитоны, связанные с вихрями. Что значит «связанные» с вихрями? Эта связь двойственна. С одной стороны, там, где есть вихри, могут возникать настоящие солитоны. С другой стороны, сами вихри и более сложные объекты, построенные из вихрей, можно рассматривать как многомерные солитоноподобные образования. Посмотрим сначала на примеры простых солитонов, образующихся на вихрях.

Вокруг вихрей воронки в ванне часто можно увидеть бегущие спиральные волны, природа которых близка к природе открытых Россом спиральных рукавов галактики (рис. 3.8). Только в этом случае средой для волн является межзвездный газ, и рукава связаны с его уплотнениями. По-видимому, эти уплотнения играют существенную роль в образовании звезд из галактического газа. Детали происходящих при этом сложных процессов пока не вполне ясны, но можно предположить, что гигантские уединенные волны плотности, близкие родственники таких знакомых и доступных спиральных волн вокруг вихря в ванне, составляют основу, подмостки, на которых разыгрывается грандиозное космическое действо рождения звезд...

Зоркий глаз поэта не только увидел еще один солитон, живущий на вихре, но и подметил дaлеко идущую аналоrию с атмосферными вихрями. Вы, конечно, обратили внимание на эпитет «змеистый» и сравнение с «вьюном». Они дают очень точное качественное описание волн и солитонов на ножке вихря. Нам остается только спросить: а почему волны на вихревой нити извиваются змеей, вьюном, а не распространяются, как по упругой резинке?

Ответ на этот вопрос мы, в сущности, уже знаем. Точнее, нам известно, что вихревое кольцо движется перпендикулярно своей плоскости, причем скорость кольца тем больше, чем меньше его радиус. Помня об этом, можно поверить, что при изгибе вихревой нити они будут двигаться перпендикулярно к плоскости, в которой происходит изгиб, и что скорость этого движения увеличивается при увеличении изгиба. Теперь нетрудно понять, что всякий изгиб вихревой нити будет вызывать ее закручивание «вьюном», т. е. по спирали. Солитон, образующийся на вихревой нити, и есть такая спираль, можно назвать его «спиральным солитоном». Если смотреть на него сверху, вдоль первоначального направления нити, то мы увидим картину, изображенную на рис. 7.12.

Это — проекция на плоскость ху; часть нити, лежащая ниже этой плоскости, нарисована штриховой линией. Координаты спирали на плоскости ху определяются очень просто: r = r0/ch(φ/φ0). Координату z каждой точки кривой также найти несложно, нам достаточно знать, что z приблизительно пропорционально φ/φ0.

На рис. 7.12 изображена моментальная «фотография» проекции спирального солитона на плоскость ху. На самом деле солитон равномерно движется вдоль оси z, а его проекция на плоскость ху равномерно вращается. Скорость движения вдоль оси z обратно пропорциональна «амплитуде» солитона r0, подобно тому как скорость вихревого кольца обратно пропорциональна его диаметру. Некоторое представление о форме спирального солитона можно получить, если на телефонном шнуре сложить петельку в виде солитонов Эйлера и потом растягивать ее, одновременно стараясь перекрутить провод. Такая кривая будет моделью лишь для центральной части солитона. Спиральный солитон в действительности все время как бы обвивается вокруг равновесного положения нити. Этот солитон можно назвать одним из самых простых воплощений группового солитона. Амплитуда самой высокой «волны» равна r0, амплитуда следующей r1 и т. д., а кривую r(φ)= r0/ch(φ/φ0) можно считать «огибающей» этих «волн».

В более крупном масштабе спиральный солитон наблюдался на смерчах (в Северной Америке, где они появляются особенно часто, их называют торнадо). Смерч образуется из вихря, который зарождается в глубине ливневой тучи. Один конец вихря опускается в виде «хобота», под влиянием которого закручивается вихрь на поверхности земли или воды. Все вместе образует гигантский медленно движущийся вертикальный столб. Смерч захватывает и уносит в облако разные мелкие предметы, которые потом могут выпадать вместе с дождем (известны, например, «рыбные» дожди). Хотя он сам движется медленно, внутри него воздух вращается с огромной скоростью, скорость ветра в смерче может достигать 300 км/ч! «Ножка» такого смерча часто совершает плавные спиральные колебания. Возможно, что подобные спиральные колебания, аналогичные солитонам на тонкой вихревой нити, приводят и к самому выходу вихря из облака.

Более безобидные, точнее, совсем безобидные солитоны образуются на границах вихревых областей. Представим себе плоское течение воды, в котором образовалась вихревая область радиуса R (рис. 7.13). Если измерить мгновенную скорость жидкости в каждой точке этой области (в системе покоя ее центра), то она будет равна ωr. Это значит, что если жидкость вдруг отвердеет, то получившееся твердое тело будет вращаться с угловой скоростью ω, где ω = 2π/Т, а T — период вращения.

Простое рассуждение показывает, что несмотря на это, каждая капля жидкости внутри вихревой области вращается. Рассмотрим движение небольшого кружка с радиусом Δr, (рис. 7.13). Центр его О' движется со скоростью ωr, самая дальняя от центра О точка — со скоростью ω(r + Δr), а ближайшая к центру О точка — со скоростью ω(r - Δr). Если мы поместимся в точку О', т. е. в мгновенную систему покоя кружка, то обнаружим, что кружок вращается с угловой скоростью ω. В этом смысле все точки вихревой области равноправны, и говорят, что в круге радиуса R — жидкость находится в состоянии однородного вихревого движения.

Так вот, на границе между этой областью и остальной жидкостью, где движение безвихревое, могут существовать волны и солитоны, которые причудливым образом меняют форму вихревой области. На рис. 7.13 такое изменение границы области изображено штриховой линией. Так как солитон движется вдоль границы, то будет казаться, что вихревая область вращается. Наблюдать такие солитоны нелегко, но в численных экспериментах на ЭВМ действительно были обнаружены вращающиеся вихревые области разной формы. В общем, солитоны столь любят вихри, что можно без преувеличения сказать: вглядитесь в вихри попристальнее и непременно найдете солитон!

В то же время и сами вихри можно во многих случаях считать солитонами или, по крайней мере, солитоноподобными. Вспомним о паре вихрей (овале) Кельвина. Внешне он настолько похож на солитон, что естественно попытаться посмотреть, что с ними произойдет при столкновении. Для математики прошлого века эта задача была совершенно непосильной, да и в наше время с помощью карандаша и бумаги ее не решить. Пока ответ на этот вопрос был найден только в численных экспериментах, выполненных одним из «отцов» современной теории солитонов Норманом Забуски. Результат одного из таких экспериментов схематически изображен на рис. 7.14. Большой и более быстрый вихрь 1 догоняет более слабый вихрь 2 (а). При ударе он разбивает его на части (б), но они потом воссоединяются и в конечном счете выходят из столкновения почти не изменившимися (в). Слово «почти» относится к тому, что вблизи второго вихря появились дополнительные маленькие вихри. Видно, что вихревые состояния Кельвина очень похожи по настоящие солитоны, насколько похожи — покажет будущее.

К сожалению, все движения в жидкости всегда связаны с трением, и поэтому вихри в обычных жидкостях затухают, если вихревое движение не поддерживается притоком энергии извне. Существуют, однако, замечательные жидкости, в которых трение при определенных условиях исчезает! Проницательный читатель, конечно, догадался, что автор имеет в виду явления сверхтекучести и сверхпроводимости.

В 1938 г. Петр Леонидович Капица (1894—1984) обнаружил, что при температуре ниже Тк 2,19 К вязкость жидкого гелия внезапно падает по меньшей мере в миллион раз. Он высказал смелую гипотезу, что вязкость не просто мала, но вообще отсутствует, и назвал это явление сверхтекучестью (примерно в то же время некоторые эффекты сверхтекучести жидкого гелия наблюдал также английский физик Джон Аллен). В серии замечательно остроумных опытов Капица за короткое время выяснил необычайные свойства сверхтекучего гелия, которые в 1941 г. объяснил Лев Давидович Ландау (1908—1968).

По теории Ландау, гелий при температуре, меньшей Тк, состоит из смеси двух жидкостей — нормальной (вязкой, не сверхтекучей) и сверхтекучей без трения. Если температура стремится к нулю, то вся жидкость становится сверхтекучей. Движения сверхтекучей компоненты подобны движениям идеальной жидкости Эйлера, но есть и важные отличия, вызванные тем, что явление сверхтекучести имеет квантовую природу. Чтобы подчеркнуть это, сверхтекучую жидкость называют квантовой.

Микроскопическая квантовая теория сверхтекучести была построена в 1947 г. Н. Н. Боголюбовым, работа которого впоследствии легла и в основу теории сверхпроводимости, предложенной в 1957 г. американскими физиками Дж. Бардином, Л. Купером и Дж. Шриффером. Упрощенно можно себе представлять, что сверхпроводимость, т. е. исчезновение электрического сопротивления у некоторых металлов вблизи абсолютного нуля температуры, вызвана сверхтекучестью «электронной жидкости».

Об «электронной жидкости» можно говорить лишь весьма условно. На самом деле эта «жидкость» состоит из пар электронов, образующих нечто вроде атомов *). Хотя два электрона отталкиваются электрическими силами, между ними есть притяжение за счет их взаимодействия с кристаллической решеткой. Если притяжение достаточно сильное, то образуются «атомы» из двух электронов, называемые куперовскими парами (идею о существовании таких «атомов» в сверхпроводниках впервые высказал в 1956 г. молодой американский физик Леон Купер). До того как появились куперовские пары, все попытки теоретического объяснения сверхпроводимости были безуспешными. Эта идея открыла путь к полному решению загадки сверхпроводимости.

*) Эти «атомы» вне сверхпроводника не существуют и не являются обычными частицами, их называют квазичастицами. Впрочем, и сами электроны в металле также являются квазичастицами, их свойства довольно сильно отличаются от свойств свободных электронов.

Автор присутствовал на заседании руководимого Л. Д. Ландау теоретического семинара, на котором Н. Н. Боголюбов рассказывал о своем варианте теории сверхпроводимости, полученном независимо от Бардина, Купера и Шриффера. Он вспоминал, что несколько раз пытался применить свои методы, успешно сработавшие в теории сверхтекучести, и к объяснению сверхпроводимости, но сверхпроводимость не получалась, чего-то не хватало. Как только ему стала известна работа Купера, он нашел свои старые расчеты, ввел пары и очень быстро получил решение проблемы.

Читатель, желающий подробнее ознакомиться с этими замечательными явлениями, может обратиться к книге В. С. Эдельмана «Вблизи абсолютного нуля» (М.: Наука, 1983. Библиотечка «Квант», вып. 26). Здесь мы скажем только несколько слов о вихрях, многие интересные свойства которых были открыты американским физиком Р. Фейнманом. Вихри в сверхтекучем гелии устроены примерно так же, как в идеальной жидкости Эйлера. Самое важное отличие состоит в том, что «сила» отдельного вихря квантована! Точный смысл этого утверждения состоит в следующем. Если в сверхтекучем гелии есть прямолинейная вихревая нить OO' (рис. 7.15), т. е. вихревое движение сосредоточено внутри очень тонкой трубки, то вне этой трубки на расстоянии r от нити скорость жидкости равна v = /2πr *). Здесь = nh/mHe, а n — целое число (h — постоянная Планка, mНе — масса атома гелия). В обычной жидкости скорость вокруг вихревой нити распределена по такому же закону, но сила вихря может быть любой. Квантование силы вихря — одно из проявлений квантовых свойств сверхтекучих жидкостей.

*) Там, где скорость распределена по такому закону, движение не вихревое. Это можно доказать точно так жe, как мы доказали, что при v = ω r движение вихревое.

Подобные вихри могут возникать и в некоторых сверхпроводниках. Так как «электронная жидкость» переносит заряд, то при ее движении возникает электрический ток, а следовательно, и магнитное поле. С вихрем в сверхпроводнике поэтому должно быть связано магнитное поле, сосредоточенное в трубке, окружающей нить OO' на рис. 7.15. Хорошо известно, однако, что магнитное поле не может проникнуть в толщу сверхпроводника, так как в идеальной жидкости сверхпроводящих электронов магнитное поле мгновенно наводит токи, которые полностью его компенсируют. Если же увеличивать магнитное поле, то при достаточно большом его значении сверхпроводимость просто разрушится. Так ведут себя классические сверхпроводники (олово, алюминий, свинец и др.), которые называют сверхпроводниками первого рода.

Существуют, однако, сверхпроводники второго рода (например ниобий), которые реагируют на приложенное к ним магнитное поле иначе. Достаточно сильное магнитное поле может проникнуть в сверхпроводник второго рода, но только в виде вихревых нитей. Магнитное поле как бы «просверливает» себе отверстия в толще сверхпроводящей жидкости. Вблизи вихря, где магнитное поле максимально, остается только нормальная электронная жидкость, а в сверхпроводящей жидкости циркулируют незатухающие токи, не выпускающие поле за пределы трубки. Из-за того что электронная жидкость заряжена, вихрь в сверхпроводнике несколько отличается от вихря в жидком гелии — скорости сверхпроводящих электронов убывают при увеличении r быстрее, чем скорости сверхтекучих атомов гелия. Подобно вихрю в гелии, вихрь в сверхпроводнике квантован: произведение среднего значения магнитного поля в трубке (Η) на площадь трубки (ΔS) равно n•hc/2e, где n — целое число, с — скорость света, е — заряд электрона. Величину Ф0 = hc/2e называют квантом магнитного потока.

Необычное поведение магнитного поля в сверхпроводниках второго рода было открыто Львом Васильевичем Шубниковым (1901—1945) еще в 1937 г. Однако причины этого поведения долгое время оставались непонятными, пока в 1950 г. В. Л. Гинзбург и Л. Д. Ландау не построили общую теорию сверхпроводников второго рода. Два года спустя А. А. Абрикосов ввел на ее основе представление о вихрях, которое показалось сначала чересчур смелым. Почти десятилетие понадобилось физикам для того, чтобы осознать, какой замечательный новый объект вошел в их науку, а многие возможности, заложенные в абрикосовских вихрях и их многочисленных «родственниках», не раскрыты и до сих пор.

Внешне вихри не очень похожи на классические, настоящие солитоны. Тем не менее между ними существует глубокая родственная связь. Наиболее ярко эта связь проявляется для вихрей в так называемом джозефсоновском переходе. Вихри в джозефсоновском переходе столь интересны, что с ними стоит познакомиться поближе. Они являются самыми настоящими солитонами и при ближайшем рассмотрении оказываются очень похожими на дислокации.

 

Эффект Джозефсона

Сначала познакомимся с простейшим джозефсоновским контактом, который с математической точки зрения совпадает с хорошо знакомым нам маятником. Представим себе, что в месте небольшого контакта между двумя сверхпроводниками оставлен очень тонкий ( 10-7 см) изолирующий слой (обычно этот слой состоит из окисла сверхпроводящего металла). Оказывается, что через столь тонкий слой сверхпроводящая электронная жидкость может просачиваться и через контакт может протекать сверхпроводящий ток. В кольце с таким контактом, как и в однородном сверхпроводящем кольце, могут циркулировать незатухающие токи.

Это явление было предсказано в 1962 г. двадцатидвухлетним английским физиком Брайаном Джозефсоном, заканчивавшим Кембриджский университет. Тему исследования предложил известный американский физик Филип Андерсон, постоянный сотрудник лабораторий Белла, приглашенный в то время в Кембриджский университет. В работе Джозефсона, занимавшей в журнале две страницы, был предсказан целый букет эффектов. Исчезновение сопротивления джозефсоновского контакта было спустя девять месяцев подтверждено в тщательных опытах Ф. Андерсона и Дж. Роуэлла.

Для большинства физиков открытие эффекта Джозефсона было полной неожиданностью, но у него есть очень поучительная предыстория. В 1932 году немецкие физики В. Мейсснер и Р. Хольм показали, что сопротивление небольшого контакта между двумя металлами исчезает, когда оба металла переходят в сверхпроводящее состояние. Выходит, что один из эффектов Джозефсона наблюдался за тридцать лет до его предсказания, но этого никто не заметил! Почему же это произошло? Год спустя Мейсснер и Р. Окceнфельд обнаружили выталкивание магнитного поля из сверхпроводников (эффект Мейсснера), и эта работа, в отличие от предыдущей, вызвала огромный всеобщий интерес. Дело, видимо, в том, что из открытия Мейсснера и Хольма, которое никому не удалось объяснить теоретически, не вытекало никаких новых следствий, оно осталось совершенно изолированным, подобно солитону Рассела. Открытие же эффекта Мейсснера резко изменило принятые в то время представления о сверхпроводимости. Оказалось, что явление сверхпроводимости не сводится просто к исчезновению сопротивления, что сверхпроводник это не просто идеальный проводник, а нечто совсем иное.

Для того чтобы описать явление Мейсснера, пришлось несколько изменить уравнения Максвелла для сверхпроводников. Это сделали в 1935 r. братья Фриц и Гейнц Лондоны *). Они добавили к уравнениям Максвелла уравнение, описывающее магнитное поле внутри сверхпроводника (уравнение Лондонов), из которого следовало, что магнитное поле проникает в сверхпроводник на глубину λL = 10-5—10-6 см. Величина λL — очень важная характеристика сверхпроводника, она называется лондоновской глубиной проникновения магнитного поля (толщина магнитной трубки в сверхпроводнике второго рода равна примерно λL ). Вскоре стало ясно, что сверхпроводимость без квантовой механики не объяснить. Также выяснилось, что сверхпроводящая электронная жидкость имеет особую природу, является квантовой жидкостью. В 1950 г. Ф. Лондон на основе идеи о квантовой жидкости предсказал квантование магнитного потока в сверхпроводниках.

*) Они родились, выросли и стали учеными в Германии, но с приходом фашистов к власти эмигрировали в Англию.

Как мы уже говорили, судьба открытия Мейсснера и Хольма была совсем иной. Сам Мейсснер продолжал интересоваться явлением сверхпроводимости контакта между двумя металлами. В 1952 r. его студентка И. Дитрих повторила его опыты. Она исследовала зависимость «критического тока» (максимального тока, при котором контакт остается сверхпроводящим) и обнаружила, что он уменьшается с увеличением температуры. Однако и эти эксперименты не привлекли внимания и были забыты.

Тем временем развитие науки шло своими неисповедимыми путями. В 1957 г. японский физик Лео Эсаки, работавший тогда в лабораториях компании «Сони», обнаружил туннельный эффект в полупроводниках и построил первый туннельный диод. Это усилило интерес к другим туннельным явлениям. В 1958 г. норвежский инженер Айвар Живер, работавший в США, решил заняться физикой и начал изучать различные туннельные явления. В 1960 г. он наблюдал туннелирование нормальных электронов между двумя сверхпроводниками, разделенными изолятором или нормальным металлом. Это наблюдение было очень важным для подтверждения точной квантовой теории сверхпроводимости. В его опытах сопротивление контакта возрастало. Хотя в некоторых случаях он наблюдал исчезновение сопротивления, этот эффект его не заинтересовал, так как он объяснял его закоротками между сверхпроводниками. Любопытно, что Мейсснер и Хольм наблюдали и эффект Живера, но их, наоборот, интересовало лишь исчезновение сопротивления!

Джозефсон ничего не знал о старых наблюдениях одного из эффектов Джозефсона. Он просто честно решил теоретическую задачу о туннелировании сверхпроводящих электронов через изолирующий слой, нашел основные формулы, описывающие это явление, понял, какие другие явления при этом могут еще возникать и как их можно было бы наблюдать. Микроскопическая теория эффектов Джозефсона вскоре была разработана Андерсоном и другими теоретиками.

Чтобы понять эффекты Джозефсона, необходимо хоть немного познакомиться с представлениями о сверхпроводящей электронной жидкости. Как уже говорилось, эта «жидкость» квантовая, и для ее хорошего понимания необходимо знать квантовую механику. Нам будет достаточно понимать, что электронная жидкость на математическом языке есть некая волна, у которой есть амплитуда и фаза (эти волны на самом деле должны быть не вещественными, а комплексными, но для нас это не столь существенно). Амплитуда определяет плотность сверхпроводящих электронов. Мы о ней забудем, считая просто, что в обоих сверхпроводниках эти плотности одинаковы. Фаза определяет всевозможные интерференционные эффекты. Если складываются волны с одинаковыми фазами, амплитуда увеличивается; если фазы сдвинуты, амплитуда уменьшается, она минимальна при противоположных фазах.

Посмотрим, что происходит с этими волнами в джозефсоновском переходе. На рис. 7.16, а показаны волны в одинаковой фазе.

Сильно ослабленная левая (правая) волна попадает в правый (левый) сверхпроводник. При сложении основной и просочившейся волн справа и слева получается одна и та же высота волны. Если волны справа и слева сдвинуты по фазе на π/2, то, как видно из рис. 7.16, б, амплитуда справа уменьшается, а слева увеличивается. Это означает, что равновесие сверхпроводящих электронов нарушится, они начнут просачиваться и через переход пойдет ток. Ясно теперь, что этот ток зависит от разности фаз волновых функций справа и слева. Так как изменение фазы на 2π очевидно несущественно, то ток I должен быть периодической функцией разности фаз φ = φ1 - φ2. Простейшее, что приходит в голову, это

I = I с sin (φ1 - φ2),

где I c — максимальный (критический) ток Джозефсона. Расчет Джозефсона, основанный на квантовой механике, дал именно этот результат. (Подчеркнем, что наше рассуждение только иллюстрирует происхождение этой формулы, не надо относиться к нему слишком серьезно.)

Но Джозефсон получил еще одно очень важное соотношение. Если разность фаз меняется с течением времени, то между левой и правой частями появляется электрическое поле (разность потенциалов). Мы не будем пытаться получить это соотношение «псевдоквантовыми» рассуждениями, а приведем лишь результат. Разность потенциалов V пропорциональна скорости изменения разности фаз, φ = ΔφΔt, т. е.

V = (Ф0/2πс) ,

где Ф0 — определенный выше квант магнитного потока, а с — скорость света в вакууме. Появление этого коэффициента пропорциональности не случайно и еще раз напоминает нам, что эффект Джозефсона имеет квантовую природу. (Это соотношение легко получить с помощью соображений размерности, однако для этого необходимо хорошо понимать размерности электрических и магнитных величин.)

Из двух соотношений Джозефсона сразу следуют два основных эффекта. Во-первых, ток может течь через переход даже при отсутствии на нем напряжения (V = 0). Во-вторых, если поддерживать постоянное напряжение, то в переходе возникнут высокочастотные колебания, частота которых определяется по второй формуле Джозефсона. Этот эффект, называемый джозефсоновской генерацией, впервые наблюдали И. К. Янсон, В. М. Свистунов и И. Д. Дмитренко.

Джозефсоновскую генерацию можно понять достаточно наглядно, используя лишь минимум квантовых представлений. Когда под действием приложенного к контакту постоянного электрического напряжения V куперовские пары просачиваются через изолирующий барьер, они приобретают энергию 2eV. Однако по другую сторону барьера энергия пар должна быть прежней. Лишняя энергия сбрасывается в виде фотона с энергией hv = 2eV. Этот же результат следует и из второй формулы Джозефсона. Джозефсоновский ток будет периодической функцией времени t, если фаза φ пропорциональна t. Полагая φ = 2πvt и вспоминая определение кванта магнитного потока, сразу находим из второй формулы Джозефсона, что V = hv/2e.

Возможен, конечно, и обратный процесс — джозефсоновское поглощение. Таким образом, джозефсоновский контакт можно использовать как генератор электромагнитных волн или как приемник (эти генераторы и приемники могут работать в диапазонах частот, не достижимых другими методами). Широкое применение получил и первый эффект Джозефсона, его используют для измерения чрезвычайно малых магнитных полей и токов.

 

Солитоны в длинных джозефсоновских переходах

Выше упоминалось, что джозефсоновский контакт математически эквивалентен маятнику. Чтобы понять это, вспомним, что у контакта есть определенная емкость C. При переменном напряжении через контакт протекает максвелловский ток смещения Iм = CV. Так как через изолирующий слой могут просачиваться не только куперовские пары, но и нормальные электроны, то у контакта есть некоторое сопротивление R: соответствующий «нормальный» ток равен I N = V/R. Короче, электрическую схему контакта можно представить в виде рис. 7.17.

Полный ток, текущий через контакт, равен сумме джозефсоновского тока, тока смещения и нормального тока. Выражая все эти точки через φ, легко найти уравнение, описывающее зависимость фазы φ от времени.

Читатель может без труда получить это уравнение самостоятельно:

Здесь j c  и j пропорциональны токам Iс и I. Это уравнение в точности совпадает с уравнением маятника, на который действует внешняя «сила» j и «сила трения»  Все, что мы знаем о движениях маятника, полностью применимо и к джозефсоновскому контакту.

Нетрудно понять, как построить цепочку из джозефсоновских контактов, совершенно аналогичную цепочке связанных маятников. Ее электрическая схема изображена на рис. 7.18.

Индуктивность соединения двух контактов, L, играет в этой цепочке ту же роль, что и пружина, соединяющая два соседних маятника. Солитону соответствует решение, в котором фаза вдоль цепочки меняется на 2π.

Реально солитоны наблюдают, конечно, не в такой системе. Рассмотрим две длинные и узкие сверхпроводящие пластины, между которыми имеется тонкий изолирующий слой (окисел) (рис. 7.19).

Каждый кусочек этого «сэндвича» образует джозефсоновский контакт. Все вместе они образуют систему, эквивалентную только что описанной цепочке связанных контактов. Однако непрерывная система, которую мы будем называть длинным джозефсоновским переходом (или ДДП), во многих отношениях проще и нагляднее дискретной цепочки. На рис. 7.19 изображено некое распределение магнитного поля в ДДП (стрелки) и соответствующие джозефсоновские токи (кружочки). Вспоминая, что магнитное поле не может проникать в сверхпроводник, легко понять, что поле направлено по оси у и сосредоточено в изолирующем слое. Можно показать, что величина этого магнитного поля равна Ф0φ'(х, t), где φ(х, t) — распределение фазы вдоль перехода (0 х #image_35.jpg l ) в момент t. Из второй формулы Джозефсона следует, что величина электрического поля, которое всегда направлено по оси z, равна (х, t).

Если фаза вдоль перехода изменяется от 0 до 2π, то в переходе «сидит» солитон. Он может двигаться вдоль перехода, перенося квант магнитного потока. Существуют и многосолитонные состояния, переносящие целое число квантов потока. Их движения описываются уравнением «синус-Гордона». При отражении от края перехода солитон переворачивается, т. е. магнитное поле изменяет знак. Возникающий при этом импульс тока можно измерить; это не очень просто, но такие эксперименты делаются. Так как джозефсоновский солитон подобен солитону Френкеля, он «неразрушим» (число квантов потока, аналогичное «заряду» дислокаций, сохраняется). «Трение», связанное с туннелированием нормальных электронов, не изменяет его форму, а лишь замедляет его движение. Если нет внешней «силы» (напряжения, создаваемого внешним источником, подключенным к сверхпроводникам), солитон в конце концов остановится. Если изолирующий слой сделать неоднородным, то солитоны будут «цепляться» за неоднородности, и чтобы сдвинуть их, придется приложить достаточно большое внешнее напряжение. Таким образом, солитоны можно накапливать и пересылать вдоль перехода: естественно было бы попытаться использовать их для записи и передачи информации в системе большого числа связанных между собой ДДП.

Какую совершенную нервную систему можно было бы сделать, используя эти солитоны в качестве элементарных частиц мысли! Размеры этих солитонов могут быть довольно невелики, меньше 0,1 мм, а время, необходимое для их образования, фантастически мало, не более 10-10 с. Нервная система, построенная из джозефсоновских переходов, была бы довольно компактной и действовала бы с чудовищной скоростью. Умерим, впрочем, энтузиазм. Для создания подобной «нервной системы», если это вообще возможно, нужно пройти долгий и трудный путь. А пока ученые пытаются заставить джозефсоновские солитоны работать в ЭВМ. Это тоже непростая задача, но можно надеяться, что о таких ЭВМ мы с вами скоро услышим.

Для работы в ЭВМ можно приспособить и другие солитоны. Например, вихри в сверхпроводниках второго рода можно использовать в качестве ячеек памяти. Подобное применение уже нашли некоторые магнитные солитоны. В гл. 6 мы познакомились с простейшими представителями этого семейства. Существуют и более сложные дву- и трехмерные магнитные солитоны, напоминающие вихри в жидкостях, только роль линии тока в них играют линии, по которым выстраиваются элементарные магнитики. Такие образования дают наглядную модель солитонов, связанных с элементарными частицами, на которые мы бросим лишь беглый взгляд.

 

Элементарные частицы и солитоны

Современная наука выявила это единство на очень глубоком уровне. По нашим сегодняшним представлениям наблюдаемое вещество Вселенной состоит из фотонов, лептонов (электроны, мюоны, нейтрино) и кварков. Помимо электромагнитных взаимодействий, переносчиками которых служат фотоны, существуют сильные взаимодействия, связывающие кварки в барионы (протоны, нейтроны и пр.) и в мезоны, а также слабые взаимодействия, ответственные, например, за радиоактивный распад нейтрона. Все эти взаимодействия описываются единой теорией, глубоко обобщающей теорию Максвелла. Вместо векторов обычных электрического и магнитного полей Е , В в ней действуют несколько подобных векторных полей E i и B i , волны которых по своей природе сильно нелинейны *). Эта нелинейность неизбежно приводит к тому, что солитоны должны играть существенную роль в устройстве Вселенной.

*) Первое такое обобщение теории Максвелла было сделано Ч. Янгом и Р. Миллсом в 1954 г. Все подобные теории называют поэтому теориями Янга — Миллса. Подчеркнем, что нелинейность столь же глубоко заложена в природе полей Янгa — Миллса, как и в природе волн на воде.

Наиболее привлекательной представляется идея, что элементарные частицы и есть солитоны или солитоноподобные объекты. Эта идея имеет богатую историю. Мы уже упоминали о вихревых атомах Кельвина. В начале нашего века предлагались более реалистические солитоноподобные модели для электрона. В 1912 г. немецкий физик Густав Ми (1868—1957) нашел замечательное обобщение теории Максвелла, в котором обычные электромагнитные волны нелинейны, а электрон появляется как солитоноподобная частица малого, но конечного размера, в которой запасена конечная электромагнитная энергия. В 1934 г. теорию Ми возродил и усовершенствовал Макс Борн (1882—1970), один из создателей квантовой теории. Теорией Борна активно интересовался Я. И. Френкель и многие другие исследователи. Теории Ми и Борна не потеряли привлекательности и в наши дни. Хотя мы и понимаем, что к реальному электрону они имеют мало отношения, их ценность в том, что они заставляют уйти с проторенных дорог и будят фантазию, которая нам так необходима при освоении «нелинейной физики».

В неменьшей степени эти слова относятся и к работам, которым посвятил почти тридцать последних лет своей жизни Эйнштейн, пытавшийся объединить теорию Максвелла и свою теорию тяготения (общую теорию относительности) и найти в такой объединенной теории естественное место для электрона. Современникам казалось, что, занимаясь этими проблемами, он безнадежно отстал от науки своего времени. Теперь-то мы видим, что Эйнштейн скорее забежал вперед...

Один из недостатков всех этих предварительных попыток «солитонизации» элементарных частиц состоял в том, что они не учитывали требований квантовой теории. Другой проистекал из скудости знаний об устройстве реального мира. Достаточно реалистические солитонные модели элементарных частиц (особенную известность получила теория В. Гейзенберга) начали появляться в 50-е годы. Однако и они не привели к серьезному успеху, хотя и дали богатую пищу воображению.

Парадоксальную и, на первый взгляд, «безумную» идею высказал английский физик-теоретик Тони Скирм (1922—1987). Он изучал нелинейные взаимодействия полей, описывающих мезоны. В отличие от упомянутых в начале обобщенных максвелловских (векторных) полей E i , B i , мезонные поля задаются обычными (невекторными) функциями φi (t, х). Изучая нелинейные взаимодействия этих полей, Скирм обнаружил, что они могут образовывать солитоны, и высказал смелую гипотезу, что их надо отождествить с наблюдаемыми нами протонами и нейтронами. Эта гипотеза противоречила всем устоявшимся представлениям о протонах и нейтронах и должна была «отлежаться» почти двадцать лет до того, как о ней снова вспомнили. Сегодня, когда пишутся эти строки, усовершенствованная солитонная модель протона увлекает многих физиков-теоретиков.

Теория Скирма показалась безумной потому, что протон не может состоять из мезонов. Это противоречило бы сохранению момента импульса, а также сохранению барионного заряда, равного +1 для протона и нейтрона и 0 для мезонов. Однако солитон нельзя считать состоящим из мезонов, точно так же как дислокацию нельзя составить из упругих волн, бегущих по кристаллу. Кстати, барионный заряд истолковывается по Скирму как сохраняющийся солитонный заряд. К этой идее Скирм пришел, когда до предела упростил свою модель, сделав ее одномерной. В результате получилась модель Френкеля-Конторовой, которую он исследовал, ничего не зная о работах своих предшественников.

Из доклада Т. Скирма, прочитанного в конце 1984 г. на конференции, посвященной теории «скирмионов»:

«У меня было три мотива для разработки модели такого типа: объединение, проблема перенормировок и то, что я назвал бы «проблема фермионов». Первый достаточно очевиден. Объединение того или иного сорта всегда было целью теоретической физики. ...мне всегда казалось, что вместо двух типов фундаментальных частиц — бозонов и фермионов — хорошо было бы иметь только один. По некоторым причинам я не любил фермионы и думал, что было бы забавно посмотреть, не могу ли я получить все из теории самодействующего бозонного поля!»

«Две другие «проблемы», конечно, более современны и возникли в контексте квантовой теории поля; однако, обдумывая их, я обратил внимание на то, что они уже встречались в истории физики раньше, хотя и в совершенно другом обличье. В особенности интересно было познакомиться со взглядами сэра Уильяма Томсона (впоследствии лорда Кельвина)». «Кельвину была чрезвычайно антипатична идея бесконечно твердых точечно-подобных атомов».

Далее Скирм излагает идеи Кельвина о вихревых атомах. Хотя эти идеи и не оказали прямого влияния на разработку им теории скирмионов, преемственность мотивации и идеологии кажется достаточно очевидной.

Судьба протона, а вместе с ней судьба всей нашей Вселенной, возможно, зависят от еще одного замечательного солитона, предсказываемого единой теорией взаимодействий, с которой мы начали этот заключительный рассказ. Помимо других удивительных свойств, этот солитон несет на себе магнитный заряд, и его называют магнитным монополем. Хорошо известно, что теория Фарадея-Максвелла не допускает существования изолированного магнитного заряда, существуют лишь магнитные диполи. С течением времени это убеждение приобрело силу предрассудка, пробить брешь в котором удалось лишь в 1931 г. Это сделал знаменитый английский физик Поль Дирак (1902—1984), тот самый, который предсказал антиэлектроны (позитроны) и многое другое. Говоря словами его работы, «...квантовая механика в действительности не противоречит существованию магнитных полюсов. Напротив... естественным образом... неизбежно приводит к волновым уравнениям, которые имеют единственную физическую интерпретацию — движение электрона в поле изолированного магнитного полюса... С этой точки зрения было бы удивительно, если бы Природа не использовала этой возможности»! Самое интересное следствие рассуждений Дирака состояло в том, что магнитный заряд g монополя не может быть произвольным, а должен быть равен целому кратному величины hc/4πe, где е — заряд электрона. Вспомнив определение кванта магнитного потока (который появился лишь двадцать лет спустя!), нетрудно заметить, что элементарный магнитный заряд равен Ф0/2π. Из рассуждений Дирака следовало также, что электрические заряды должны квантоваться, т. е. быть кратными элементарному электрическому заряду!

Очень немногие физики того времени сумели оценить эту удивительную работу. Трудность была не только в том, что магнитных зарядов никто не видел, но и в том, что поле магнитного заряда было устроено не совсем так, как поле электрического заряда. Полной симметрии между электричеством и магнетизмом не получалось. Так или иначе, в течение почти сорока лет монополь Дирака привлекал очень мало внимания физиков, повторяя судьбу солитона Рассела. Перелом произошел, когда в 1974 г. советский физик А. М. Поляков и голландский физик Г. т'Хоофт независимо показали, что в некоторых теориях Янгa — Миллса существуют солитоны с магнитным зарядом. В отличие от точечного монополя Дирака, монополь Полякова—т'Хоофта имеет конечные размеры и непростое топологическое устройство. В этом смысле его можно назвать многомерным и весьма рафинированным потомком простенького солитона Френкеля. Пока ни одного монополя никому увидеть не удалось, однако сложное устройство магнитных монополей и серьезное влияние, которое их существование может оказать на судьбу всей Вселенной, привлекают к ним общее внимание.

Не так давно молодой советский физик В. А. Рубаков показал, что протон, приблизившийся к монополю, быстро распадается. Современные единые теории взаимодействий допускают, вообще говоря, распад протона, требующий несохранения барионного заряда, но ставят очень высокую границу для среднего времени жизни — больше 1030 лет. (За 1000 лет Земля могла бы потерять благодаря таким распадам примерно 6 г своей массы.) Тем не менее вблизи монополя протон распался бы практически мгновенно. Наше счастье, что сейчас монополей во Вселенной мало, а может быть, и вовсе нет!

 

Единые теории и струны

Последние четыре года были временем развития необычайно смелых идей в теории элементарных частиц. Казалось, вот-вот будет создана теория, объясняющая, из чего и как построен наш мир. Эти надежды пока не оправдались, но выполненная физиками-теоретиками работа открыла совершенно новые перспективы, и возможно, что на пороге нового тысячелетия какая-то черновая, предварительная теория будет создана. Весьма вероятно, что в этой теории важную роль будут играть солитоны.

Чтобы хотя бы кратко объяснить новые идеи теоретиков, попытаемся в очень сжатом (и заведомо неполном и неточном) виде описать, что сегодня известно о частицах и их взаимодействиях. Для Ньютона мир состоял из частиц, между которыми действовали силы тяготения. Этот мир был очень простым и упорядоченным, до совершенства его довел Лаплас в своей «Системе мира». Мир Максвелла намного сложнее. Во-первых, в систему мира вторгся хаос (вспомним максвелловское распределение скоростей молекул в газе). Но главное все же в том, что появилось электромагнитное поле. Колоссальное достижение Максвелла, объединившего в одной стройной системе электрические и магнитные взаимодействия, привело его к большим затруднениям при попытке понять природу электрических зарядов. Уравнения оказались совершенно симметричными относительно электрического и магнитного полей, но несимметричными относительно источников этих полей. Можно было бы попытаться ввести магнитные заряды, но Максвелл, подобно Ньютону, не был склонен к «измышлению гипотез», которые нельзя проверить на опыте. Кроме того, ему не нравилась идея о точечных зарядах.

Вернул частицы в теорию Г. А. Лоренц в своей «Теории электронов». Лоренцеву варианту теории электромагнитных явлений была суждена долгая жизнь. Теория электронов привела к созданию теории относительности. Ее применение к атомам породило квантовую механику, а впоследствии и квантовую электродинамику (в которой квантованию подвергались не только уровни энергии атомов, но и само электромагнитное поле). Даже квантование электронного поля (электроны и позитроны — кванты этого поля) не потребовало принципиальных изменений в картине мира Максвелла—Лоренца. Атомы состоят из ядер и электронов, связанных электромагнитными взаимодействиями. Силы, связывающие атомы в молекулы, также удалось объяснить в рамках квантовой механики.

Правда, атомные ядра оказались более сложными объектами, чем точечные, бесструктурные (элементарные) электроны, но постепенно выяснилось, что они состоят из протонов и нейтронов, которые также можно считать элементарными. Эта простая и стройная картина осложнялась тем обстоятельством, что электромагнитные силы не могли связать нейтроны и протоны в ядрах. Все попытки найти объяснение ядерных сил, «не измышляя» гипотез, неизменно терпели неудачу, и в 1935 г. молодой японский физик Хидеки Юкава сделал смелый шаг — он предположил, что существует переносчик ядерного взаимодействия, который он называл мезоном. Мезон был открыт на опыте лишь в 1947 г., но стройная концепция Юкавы, объяснявшая важнейшие факты физики атомного ядра, быстро завоевала признание. Появилось новое, ядерное взаимодействие, в сто-тысячу раз более сильное, чем электромагнитное и действующее на очень малых расстояниях, порядка 10-13 см. (Радиус действия сил, переносимых частицей с массой m, равен комптоновской длине волны /mс, масса мезона Юкавы, обычно называемого π-мезоном, равна 2,5·10-25 г.)

В 1934 г. Э. Ферми ввел в теорию еще одно взаимодействие, ответственное за радиоактивный распад нейтрона. Оно намного слабее электромагнитного и его радиус действия меньше 10-15 см. Первоначально это взаимодействие мыслилось как «контактное», с нулевым радиусом действия. Постепенно, однако, выяснилось, что при нулевом радиусе действия в теории неизбежно возникают внутренние противоречия и теоретики начали размышлять о возможных переносчиках слабого взаимодействия — «слабых» мезонах с большой массой, определяющей малый радиус действия слабых сил. Тем временем количество элементарных частиц, открытых на ускорителях, быстро возрастало. Увеличивалось и число разнообразных процессов с их участием. Однако во всех процессах просматривались важные закономерности.

Все процессы удавалось разделить на три группы: сильные, слабые и электромагнитные. Существенное различие между ними проявлялось не только в силе и радиусе взаимодействия, но и в том, что электромагнитные и слабые взаимодействия оказались «универсальными» в том смысле, что между различными процессами взаимодействий и взаимных превращений частиц удавалось находить простые соотношении (симметрии). Между сильными процессами также существовали некоторые соотношения симметрии, но они, как правило, были разрушены до такой степени, что об универсальности не было и речи. Возникла таким образом, гипотеза, что слабое взаимодействие устроено подобно электромагнитному, но только «слабые фотоны» — их назвали W-мезонами (W — от англ. weak, т. е. слабый) — весьма массивны (чтобы объяснить короткодействие слабых сил) и электрически заряжены. Позднее для объяснения универсальности пришлось добавить и нейтральный «слабый фотон», но это многим не нравилось, так как для объяснения наблюдаемых данных можно было обойтись заряженными W-мезонами. Несмотря на некоторые теоретические трудности таких теорий слабого взаимодействия, они получили довольно широкое признание.

Сложнее обстояло дело с сильными взаимодействиями. Их также пытались устроить наподобие электромагнитных взаимодействий, но с «сильными фотонами» (массивными и заряженными), однако это не привело к успеху до тех пор, пока М. Гелл-Манн и Г. Цвейг не изобрели кварки. Слово «изобрели» по отношению к кваркам вполне уместно, так как они не наблюдались на опыте, и существуют весьма серьезные основания думать, что они вообще ненаблюдаемы, никогда не появляются в свободном состоянии. Сначала думали, что кварки просто настолько массивны, что их нельзя получить на современных ускорителях. Позднее, однако, была предложена теория сильного взаимодействия, весьма похожая на электродинамику, но более сложная, в которой силы, связывающие кварки, при их удалении друг от друга настолько быстро нарастают, что кварки никогда не могут разлететься. В этой теории кварки и мезоны переносящие взаимодействие (их называют глюонами, от английского слова glue, т. е. клей), обладают неким новым зарядом, который назвали «цветом» (в связи с тем, что этот заряд может принимать три различных значения). Глюоны, подобно фотонам, не имеют массы, но сильно взаимодействуют между собой. По этой причине описывающие их уравнения нелинейны, это — уже упоминавшиеся уравнения Янга—Миллса. Теория кварков и глюонов называется квантовой хромодинамикой (КХД). Строго говоря, невозможность наблюдения кварков и глюонов пока не доказана, но весьма правдоподобна, мы обсудим это чуть позже.

Из-за того что «слабые» мезоны массивны, слабое взаимодействие казалось не очень похожим на электромагнитное. Тем не менее С. Вайнбергу, Ш. Глэшоу и А. Саламу удалось объединить его с электромагнитным с помощью все той же теории Янга—Миллса. Теория объединенного электромагнитно-слабого взаимодействия блестяще подтвердилась — в экспериментах на ускорителях были открыты заряженные и нейтральные «слабые фотоны». Заряженные называют W-бозонами, а нейтральные — это Z-бозон и фотон (термин «бозон» напоминает, что эти частицы не состоят из кварков, мезонами обычно теперь называют связанные состояния кварков и антикварков). В этой теории естественно объясняется интенсивность, радиус действия и другие свойства слабого взаимодействия. При этом на малых расстояниях, меньших комптоновской длины волны W- и Z-бозонов, 10-16 см, слабое и электромагнитное взаимодействия неразличимы, а на больших расстояниях «выживает» лишь электродинамика Максвелла—Лоренца.

Естественно возникла мысль, что на еще меньших расстояниях возможно объединение всех трех взаимодействий. Оказалось, однако, что эти расстояния не просто малы, а фантастически малы, меньше 10-28 см. Проникнуть на столь малые расстояния с помощью ускорителей невозможно. Доступны проверке лишь некоторые следствия таких теорий, например упоминавшееся выше предсказание распада протона и объяснение происхождения электромагнитно-слабого взаимодействия. В этих теориях, называемых теориями Великого объединения (ТВО), предсказываются также весьма необычные гигантские солитоны — космические струны, представляющие собой тонкие вихревые трубки, длина которых сравнима с размером галактики. Эти трубки похожи на абрикосовские вихри, но внутри них сосредоточены другие поля.

Некоторые предсказания ТВО оправдались; ясно, что теоретическая мысль движется в правильном направлении. Однако в ТВО есть много внутренних проблем, а главное, совершенно в стороне осталось гравитационное взаимодействие, без которого система мира не может быть полной. Во всех описанных теориях, объединенных в ТВО, вещество существует в виде фермионов (кварки, лептоны), а взаимодействие переносится бозонами Янга—Миллса (глюоны, W- и Z-бозоны). Теория же гравитации устроена совершенно по-другому, так как переносчики гравитационного взаимодействия не похожи на бозоны Янга—Миллса (понять это можно, вспомнив, что не существует гравитационного заряда, а значит, и столь любимой фантастами антигравитации). На первый взгляд, никакой возможности включить в единую схему гравитацию не видно. Однако теоретики ХХ в. не менее изобретательны, чем их великие предшественники. Возможный выход из, по-видимому, без выходной ситуации нашелся.

Еще в начале этого столетия знакомый нам Дж. Дж. Томсон пытался построить довольно необычную модель взаимодействия электронов. По его мысли, между движущимися элементарными зарядами вытягивается нить, внутри которой сосредоточено электрическое и магнитное поле. Вне этой нити электромагнитное поле равно нулю. Нить может колебаться и вытягиваться, энергия передается колебаниями нити. Он и его последователи безуспешно пытались найти соответствующие решения уравнений Максвелла. Сегодня ясно, почему это не удалось. В сущности, была сделана попытка получить абрикосовский вихрь в вакууме. Но для образования такого вихря «вакуум» должен обладать весьма сложными свойствами, он должен быть похож на сверхпроводник второго рода для электрических и магнитных зарядов.

Идеи Томсона были, естественно, забыты. Возродились они лишь лет двадцать назад в связи с попытками объяснить устройство мезонов из кварков и загадочный факт их «невылетания» из мезонов (приношу извинения за столь неблагозвучный термин, но перевод общепринятого английского термина «confinement» вызывает слишком неприятные ассоциации). По современным представлениям между квapками протягивается довольно тонкая трубка (диаметр ее 10-13 см, внутри которой сосредоточено поле глюонов. При удалении кварков друг от друга эта трубка сохраняет толщину и вытягивается. В результате энергия взаимодействия кварков оказывается пропорциональной расстоянию между ними, а сила притяжения постоянна. Это и должно давать объяснение явления невылетания.

Представим теперь себе, что трубка очень тонкая и что она при движении кварков может только растягиваться и испытывать поперечные колебания (подобно фортепианной струне). Конечно, это весьма сильное предположение, которое очень трудно, если вообще возможно, обосновать. Например, вовсе не очевидно, что по поверхности трубки не будут распространяться волны, похожие на пульсирующие движения удава, заглатывающего кролика. Короче, вряд ли кто-нибудь сегодня смог бы серьезно обосновать представление о струне, связывающей кварки, исходя из точных уравнений квантовой хромодинамики. Тем не менее, если все же принять такую идею, из нее можно вывести интересные следствия. В частности, становится понятной удивительно простая структура спектра масс многочисленных мезонов (линейная зависимость квадрата массы семейств мезонов с одинаковыми квантовыми числами от их спинов). На языке струны можно наглядно представить и взаимные превращения (распады) мезонов. При растягивании струна может разорваться, в результате чего образуются две (или более) новые струны с кварками на концах. Эта простая картинка позволяет понять некоторые закономерности распадов мезонов. К сожалению, столь же простого описания барионов, состоящих из трех кварков (протон, нейтрон и другие), струнная модель не дает. Хотя представление о струне, связывающей кварки, оказалось полезным для понимания физики сильных взаимодействий, оно в лучшем случае является лишь очень грубым приближением. Для точного и полного описания мира сильно взаимодействующих частиц (адронов) необходимо пользоваться КХД.

Кроме того, в процессе работы теоретиков над струнами выяснилось еще одно обстоятельство, которое напрочь закрывало возможность их применения к реальному миру адронов. Дело в том, что адронная струна должна быть «релятивистской» (удовлетворять требованиям специальной теории относительности) и «квантовой» (описываться на языке квантовой механики). Оказалось, что эти требования невозможно совместить в нашем обычном четырехмерном пространстве-времени. Внутренне непротиворечивая теория возможна лишь в 26-мерном пространстве-времени! Правда, изобретательные молодые теоретики Джон Шварц, Андре Неве и Пьер Рамон придумали более хитрую струну, существующую в 10-мерном пространстве-времени. В отличие от обычной струны, которую называют бозонной (или струной Намбу—Гото), по струне Неве—Шварца—Рамона распределены некие элементарные «магнитики» (вспомните нашу простую резинку со скрепками), которые «съедают» 16 лишних измерений, но большего достичь не удалось. Развитие теории этой струны привело к очень интересному открытию симметрий между бозонами и фермионами (эта совершенно новая и необычная симметрия называется суперсимметрией; хотя экспериментаторам пока не удалось обнаружить ее следов в реальном мире, многие теоретики успешно применяют ее в чисто теоретических исследованиях), но адронную струну это не спасало. По этим причинам к середине 70-х годов интерес физиков к струнной модели адронов ослабел, и лишь немногие энтузиасты продолжали размышлять о струнах, этих новых для физики, загадочных объектах.

Эти размышления вскоре вывели теоретиков на совершенно иные взгляды на струны. Одним из следствий теории струны было предсказание безмассовых частиц со спином 2. Это состояние возникает для струны, замкнувшейся в колечко. Образование таких замкнутых струн в квантовой теории совершенно неизбежно, а среди адронов частиц с нулевой массой и спином 2, безусловно, нет. Что же делать с этим предсказанием? Предоставим слово Джону Шварцу.

«В 1974—1975 гг. я работал с Джоэлем Шерком в Калтехе *). Мы были поражены тем фактом, что струнные теории никак не поддавались нашим многочисленным попыткам сдвинуть массы к другим значениям. В частности, в секторе замкнутых струн ...неизбежно появлялось безмассовое состояние со спином 2. В какой-то момент нам пришло в голову (не помню, кто сказал это первый — Джоэль или я), что, возможно, это состояние есть просто гравитон. Это невинное замечание привело к глубоким последствиям: это означало, что мы обсуждаем не адроны; это означало, что естественный масштаб длины для струн равен 10-33 см (Планковская длина), а не 10-13 см... Самое главное следствие состояло в том, что возникала возможность построить квантовую теорию гравитации! Как только мы осознали, что мы имеем дело с гравитацией, наше отношение к лишним измерениям пространства резко изменилось. Мы поняли, что вполне разумно отнестись к ним серьезно как к реальным и физическим размерностям пространства (как того и требует теория), но истолковывать и в духе Калуцы—Клейна».

*) Знаменитый Калифорнийский Технологический Институт в г. Пасадина, США; в нем работал Ричард Фейнман, и продолжает работать Мюррей Гелл-Манн. — Примеч. авт.

Дадим необходимые пояснения. Уже давно было известно, что квантами гравитационного поля являются безмассовые частицы со спином 2. Известно было также, что на известных путях построить последовательную теорию квантовой гравитации никому не удалось и вряд ли удастся. Не видно было и путей к объединению гравитации с электрослабыми и сильными взаимодействиями, в которых переносчики взаимодействия, бозоны Янга—Миллса, имеют спин равный 1. Наконец, несколько слов об идеях Калуцы—Клейна.

В 1919 г. немецкий физик-теоретик Теодор Калуца (1885—1954), работавший в Кенигсбергском университете, сделал первую попытку объединения гравитационных и электромагнитных взаимодействий. Он применил идеи общей теории относительности к расширенному, пятимерному миру, включив электромагнитные потенциалы теории Максвелла в число гравитационных потенциалов пятимерного мира. Отличие электромагнитных потенциалов от гравитационных возникало благодаря предположению о независимости физических величин от пятой координаты (так что пятая координата — это в чистом виде улыбка Чеширского Кота). Это обстоятельство, конечно, делало теорию Калуцы довольно формальной и непривлекательной для физиков. Тем не менее она вызвала достаточно большой интерес.

Оскар Клейн (1894—1977) попытался уточнить теорию Калуцы и разработать какие-то физические следствия (1926 г.). В том же 1926 г. были опубликованы еще две работы, связанные с идеями Калуцы. Ленинградский физик Георгий Александрович Мандель независимо от Калуцы также пришел к идее пятимерного обобщения теории тяготения и разработал пятимерную теорию значительно дальше Калуцы. Опираясь на работу Манделя, Владимир Александрович Фок (1898—1974) проделал примерно такую же работу, как и Клейн. Было бы поэтому справедливо называть теорию Калуцы—Клейна теорией Калуцы—Манделя—Клейна—Фока или же просто теорией Калуцы.

К сожалению, во всех упомянутых прекрасных работах физический смысл пятой координаты так и не прояснился; она оставалась чисто формальной «вещью в себе». Современное понимание идей Калуцы восходит к работе А. Эйнштейна и П. Бергмана «Обобщение теории электричества Калуцы» (1938 г.), которые предположили, что пятое измерение «свернуто в колечко» очень малого радиуса. Иными словами, если бы мы попробовали пойти вдоль пятого направления, то очень быстро вернулись бы в исходную точку (чтобы понять это нагляднее, представьте себе поверхность цилиндра с координатной сеткой из прямых параллельных его оси и перпендикулярных им окружностей; примерно о таких колечках идет речь). В современных теориях рассматривают большее число свернутых измерений, это позволяет описать не только электромагнитное поле, но и поля Янга-Миллса. Ясно, однако, что радиус этих колечек должен быть не просто малым, а фантастически, невообразимо малым. Наиболее разумная оценка этого радиуса 10-30 см или, скорее, 10-ЗЗ см. Столь малые расстояния недоступны прямому экспериментальному исследованию, могут быть лишь косвенные проверки предсказаний теорий с такой фундаментальной длиной. Основным же критерием правильности подобных теорий должна быть внутренняя непротиворечивость, математическая красота.

Из всех имеющихся на сегодня идей лишь идея струны кажется способной в конце концов привести к построению к объединенной, общей теории всех взаимодействий, естественно включающей в себя и гравитационное взаимодействие. За последние четыре года усилиями многих теоретиков удалось существенно продвинуться в этом направлении. Из многих полученных ими замечательных результатов, выделим лишь один, имеющий прямое отношение к теме этой книги. В современной теории струн реализовалась мечта лорда Кельвина о чисто топологическом истолковании зарядов элементарных частиц (для него — «атомов»). Если лишние измерения замкнуты, то струна может несколько раз обвиваться «вокруг них» (подобно нитке на катушке). Оказывается, что разные способы такого «обвивания» соответствуют различным внутренним квантовым числам частиц. С этой точки зрения частицы (кварки, лептоны и т. д.) — это просто разные состояния замкнутой струны, как это и представлял себе лорд Кельвин. На этом мы, пожалуй, и остановимся. Теория струн вещь не законченная, на мой взгляд, работа над ней только начинается. Впереди много проблем, наберемся терпения и подождем лет десять-пятнадцать.

Попробуем схематически изобразить современное представление о структуре мира. На рис. 7.20 схематически указано, как, параллельно с объединением взаимодействий, происходило изменение представлений о фундаментальных частицах, составляющих вещество (от «корпускул» до кварков и лептонов).

Дуализм «частица-взаимодействие» — один из лейтмотивов физики, и в разные периоды на первый план выдвигалось либо одно либо другое понятие. Например, для Декарта и Максвелла главным в картине мира было взаимодействие, а для Ньютона и Лоренца — частицы. Впрочем, эти глубокие мыслители были весьма осторожны и сами не проводили резкой грани между частицами и взаимодействиями. Существовало также и стремление к единой теории частиц и взаимодействий (от Руджера Бошковича до Эйнштейна). По мере того как открывались переносчики взаимодействий, грань между частицами и взаимодействиями становилась все более зыбкой. Сейчас, после того как суперсимметрия объединяет в единые мультиплеты фермионы (традиционные частицы) и бозоны (традиционные агенты взаимодействий), мы более подготовлены к мысли, что по-настоящему фундаментальная теория устройства Вселенной должна быть единой теорией всех взаимодействий и всех частиц, из которых построено вещество. По-видимому, понятия частиц и взаимодействий как отдельных структурных элементов реальности потеряют смысл и должны быть заменены новыми структурными единицами, порождающими знакомые нам частицы и взаимодействия лишь в некотором приближении. Возможно, что такой структурной единицей окажется струна, а живущие на ней солитоны порождают многообразие известных и пока неизвестных нам частиц, из которых в конечном счете составлено невероятное многообразие удивительного мира, в котором мы живем.

* * *

На этом кончается наше путешествие. В таких случаях обычно принято писать заключение, делать выводы, подводить итоги. В книге о солитоне делать это, по-моему, рано. Солитон еще слишком молод и открыл нам лишь малую часть своих дарований. Да и может ли быть какой-нибудь конец у истории о бесконечно разнообразном детище бесконечной и изменчивой Природы... Продолжение?.. Да, продолжение истории обязательно будет! Только для этого понадобится работа молодого читателя этой книги, будущего создателя дерзких новых идей.