Ферма, Гёдель и нечеткая математика

Мир чисел представляется спокойной, ясной и точной наукой (особенно после рассказа о поразительных открытиях астрофизики и космологии). Представляется очевидным, что сумма двух единиц всегда дает два, а законы геометрии, даже если они не всегда интуитивно понятны, всегда являются строгими и последовательными в рамках своих определений. Параллельные линии никогда не пересекаются, как нас учат еще в школе, а если и пересекаются, то лишь в точном соответствии с хитрыми (но обязательно внутренне согласованными!) законами, открытыми в XIX веке. К этому же, приятно ясному типу идей относится также самое популярное и знаменитое математическое достижение XX века – доказательство так называемой последней, или Великой, теоремы Ферма, относящейся к классической отрасли математики, известной под названием теории чисел. Существующее в настоящее время доказательство считается вполне достоверным и не требующим дополнений или пояснений, однако, к некоторому разочарованию читателя, следует сразу отметить, что оно, несмотря на всю популярность и известность теоремы, вовсе не является основным достижением математики XX столетия. Более того, главный математический результат прошлого века остается не только малоизвестным, но и весьма тревожным и даже трудно осознаваемым самими математиками.

***

В декабре 2000 г. произошло исключительно редкое событие. Любители мюзиклов в обзоре театральной жизни газеты «Нью-Йорк Тайме» прочитали удивительно точное и краткое описание выдающегося интеллектуального достижения в области чистой математики. В рецензии Вильбор-на Хэмптона было дословно сказано следующее: «…пьеса посвящена доказательству последней теоремы Ферма, над которой математики бьются уже почти 360 лет. Эта математическая загадка, предложенная Пьером де Ферма в начале XVII века, может быть сформулирована в виде утверждения, что уравнение вида хп + уп= z не имеет решений для любых целых и положительных чисел х,у и z при целых значениях п › 2». Рецензия Хэмптона была посвящена музыкальной постановке «Последнее танго Ферма», а легкомысленное название пьесы явно навеяно мюзиклами типа знаменитых «Кошек». Сам факт, что кто-то рискнул в конце XX века поставить на Бродвее пьесу, сюжет которой связан с математической теоремой, по-видимому, лучше всего свидетельствует об известности и необычности теоремы. Следует сразу отметить, что многие профессиональные математики считали теорему Ферма не столько недоказуемой, сколько не стоящей доказательства. Разумеется, в тексте пьесы постоянно встречались фразы типа «…таинственно, как доказательство теоремы Ферма…», рассчитанные на неосведомленного зрителя, но их не стоит даже комментировать.

Реальная история поисков решения задачи Ферма, разумеется, значительно сложнее сюжета бродвейского мюзикла, поскольку за несколько столетий в нее было вовлечено множество талантливых и ярких личностей, однако основная канва событий действительно может быть уложена в стандартную трехактную схему, характерную для голливудских фильмов: ученый находит доказательство, доказательство оказывается утерянным, его вновь обнаруживают после весьма сложных поисков. В настоящее время теорема считается доказанной (справедливости ради отметим, что доказательство является очень сложным и основано на математических открытиях XX века. Однако следует еще раз подчеркнуть, что это событие вовсе не стало важной вехой в истории самой математики, так что предлагаемые рассказ и обсуждение связаны лишь с ее необычной историей и исключительной популярностью.(Нельзя не упомянуть, что нездоровый интерес к доказательству теоремы со стороны любителей был в значительной степени подогрет объявленной в конце XIX века крупной международной денежной премией, которую отменили только после Первой мировой войны. – Прим. перев)

Пьер де Ферма (1601-1665 гг.) является, возможно, самым известным в истории ученым-любителем. Он был исключительно разносторонне одаренным и незаурядным человеком, счастливым отцом многочисленного семейства и известным юристом. Ферма много лет проработал в качестве парламентского советника во французском городе Тулузе и заслужил общее уважение своей принципиальностью и честностью. Одновременно он настолько серьезно и успешно занимался разнообразными научными изысканиями, что получил от современников прозвище Короля любителей. Ферма изучал и комментировал труды античных математиков, сумел (задолго до рождения Ньютона) обнаружить ряд закономерностей будущего интегрально-дифференциального исчисления и разработал основы целой области математики, известной в наши дни под названием теории чисел. (Пьер Ферма внес существенный вклад в развитие математики, но его главной заслугой в истории науки является установление так называемого вариационного принципа Ферма, ставшего основой геометрической оптики. – Прим. перев)

Время от времени Пьер Ферма озадачивал других математиков XVII века, рассылая им различные задачи, зачастую настолько сложные, что некоторые из адресатов (например, английские математики) часто считали его послания просто шуточными. Однако, насколько нам сейчас известно, о своей знаменитой теореме Ферма никому ничего не сообщал. Вся история теоремы началась с того, что он сделал на полях изданного в 1637 году латинского перевода математического древнегреческого трактата «Арифметика» Диофанта следующую запись: «Я нашел поистине чудесное доказательство этого утверждения, но за недостатком места не могу его привести здесь». Эта фраза стала одной из самых знаменитых в истории математики, хотя позднее историкам науки не удалось найти никаких следов общей формулировки теоремы или ее общего доказательства (если оно, конечно, действительно существовало). Задача стала известной лишь после того, как сын Ферма Клемент-Самуэль обнаружил запись на полях книги и включил ее в посмертное издание трудов своего отца.

Проблему удобнее всего описать, начав с теоремы Пифагора, которую большинство читателей должны помнить из школьного курса геометрии. Она названа в честь древнегреческого философа, сформулировавшего ее в VI веке до нашей эры, хотя, похоже, была известна еще 6 000 лет назад в древнем Вавилоне. В соответствии с ней, сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы (а2 + Ь2 = с). Поразительные открытия XX века опровергли множество ранее существовавших теорий в самых разных науках (физика, астрономия, геология и т. д.), но теорема Пифагора может быть отнесена к вечным, незыблемым истинам, и каждый может проверить ее и вновь убедиться, что при указанных условиях а2 + Ь2 = с2. Тройки чисел, удовлетворяющих этому условию и выражающих эту геометрическую идею, в математике принято называть просто пифагоровыми числами. Читатель может запомнить простейшую комбинацию – если катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4, то длина его гипотенузы равна 5 (поскольку З2 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52).

Мы знаем, что в математике и физике существуют и другие, более сложные виды геометрий, но и для них справедливы численные соотношения теоремы Пифагора. В теории чисел не имеют значения ни скорость движения космического аппарата, ни квантовая неопределенность в поведении электронов человеческого мозга, занятого решением этой задачи, так что независимо от всех физических обстоятельств и соображений соотношение а + b2 = с остается справедливым для некоторых комбинаций положительных целых чисел (такие числа называют натуральными).

По-видимому, размышляя о незыблемости этой великой теоремы, Ферма случайно задал себе простой и даже напрашивающийся вопрос: если математическое соотношение справедливо для квадратов некоторых натуральных чисел, то должно ли оно выполняться для кубов и/или более высоких степеней каких-либо чисел? Существует ли, например, комбинация вида а9 + b9 = с9? Другими словами, справедлива ли теорема Пифагора вообще, в виде аn+ bn= сn для некоторых комбинациё чисел при п › 2?

Нам остается лишь поверить, что юрист Ферма сразу вынес свой вердикт и нашел безапелляционный ответ «Jamaisl». Никогда! Никоим образом! Ни одно положительное целое число (от 3 до о о) не может быть показателем степени, образующим пифагоровы числа. Единственным доказательством этого утверждения остается пометка самого Ферма на полях книги: «Я нашел поистине чудесное доказательство…», но почти никто из математиков не верит в то, что Ферма действительно мог его получить. В течение нескольких десятков лет после упомянутой публикации нескольким выдающимся ученым удалось доказать теорему Ферму для некоторых групп натуральных чисел (иногда эти группы были весьма внушительны по объему), но общее доказательство, справедливое сразу для всех положительных целых чисел, оставалось недоступным, так что число самых талантливых математиков, вовлекаемых в странное и необычное соревнование, постоянно увеличивается.

Как и полагается легенде, теорема обрела собственную историю. Сам Ферма доказал справедливость теоремы только для п = 4. Знаменитый математик, теолог и астроном Леонард Эйлер в начале XVIII века доказал теорему для п = 3, а уже к концу века удалось «покорить» числа п = 5 и п =7. В начале XIX века молодая француженка Софи Жермен смогла доказать справедливость теоремы для всех натуральных чисел, меньших 100 (в соответствии с обычаями своего времени она пользовалась при переписке мужским псевдонимом). Драматическим обстоятельствам ее жизни и выдающегося математического таланта была посвящена еще одна связанная с теоремой Ферма «математическая» постановка на Бродвее, названная «Доказательство», которая даже удостоилась весьма почетной премии Дэвида Осборна.

Самые блестящие математики занимались теоремой Ферма в течение трех веков, но можно с уверенностью заявить, что никому из них не удалось обнаружить то гипотетическое доказательство, которое, возможно, мгновенно угадал Ферма, когда записал на полях книги свою фразу о «…поистине чудесном доказательстве».

Английский математик Эндрю Уайлс позднее вспоминал, как он в десятилетнем возрасте впервые познакомился с теоремой Ферма по книжке из сельской библиотеки: «…она казалась удивительно простой…, но в книге утверждалось, что ее никто не может доказать в течение 300 лет. Мне сразу захотелось найти решение». Проблема выглядит исключительно простой: поскольку число 2 ничем, собственно, не выделяется в бесконечном ряду других натуральных чисел, совершенно непонятно, почему только это значение может создавать пифагоровы триады чисел. Долгое время (включая и время, затраченное на серьезную академическую деятельность) жизнь не позволяла Уайлсу заняться доказательством полюбившейся теоремы постоянно и целенаправленно. Одна из причин, кстати, состояла в том, что ни один серьезный студент-математик не мог себе даже позволить открыто заявить коллегам об интересе к считавшейся давно недоказуемой теореме Ферма (представьте себе, как отнесутся сегодня астрофизики к аспиранту, который захочет доказать им, что красного смещения не существует). Поэтому Уайлс сначала весьма благоразумно защитил в Кембридже докторскую диссертацию на классическую тему «применение теории чисел для анализа эллиптических кривых», перебрался в Принстонский университет (США) и лишь затем объявил о своем желании всерьез заняться проблемами и задачами, связанными с теоремой Ферма.

Когда в XIX веке известный венгерский математик Янош Бойяи (1802-1860) решил посвятить свою деятельность проверке постулата Евклида о параллельных прямых, его отец (тоже известный математик Фаркаш Бойяи) прислал сыну письмо с предостережением, которое давно вошло во многие книги по истории математики: «… Ради Бога, прекрати заниматься этой задачей,…она может занять тебя целиком, погубить здоровье, лишить мысленного покоя и жизненного счастья…». Опасности такого рода не испугали Уайлса в начале его исследований, а удача приходит, как известно, только к тем, кто рискует. Поэтому не стоит удивляться, что однажды в случайном разговоре с коллегой он узнал, что кто-то обнаружил связь между мучившей его с детства теоремой Ферма и одним из новейших математических открытий. Новость поразила и обрадовала Уайлса, который позднее написал: «…я вдруг почувствовал свое преимущество в том, что занимаюсь проблемой, которую все остальные либо игнорируют, либо считают неразрешимой». Дальнейшая история проблемы изложена в нескольких известных книгах (отметим лишь «Великую теорему Ферма» Саймона Сингха и «Последнюю теорему Ферма» Амира Д. Акцеля), где подробно описано, как профессор Принстон-ского университета «ушел в подполье», сумел за короткое время, буквально скрываясь от коллег, объединить целый ряд сложных математических результатов (до этого казавшихся всем разобщенными) и довести доказательство теоремы Ферма до блестящего конца. Позднее Уайлс так объяснял свое поведение: «…наличие многочисленных зрителей лишь отвлекает от работы, тем более что я давно знал, какой ажиотаж возникает при одном лишь упоминании теоремы Ферма».

***

Используя голливудский жаргон, можно сказать, что в 1954 г. два молодых японских математика Горо Симура и Ютака Танияма буквально «спелись» в библиотеке Токийского университета, заказав одновременно одну и ту же статью из немецкого математического журнала. Позднее они стали знаменитыми, разработав так называемую «гипотезу Таниямы-Симуры», а некоторая театральность и мелодраматичность их встречи позднее откликнулись трагической судьбой самого Таниямы (изящно сложенный и известный богемным поведением Танияма покончил с собой в 1958 г., вслед за самоубийством своей невесты).

Этим двум великолепным математикам удалось развить теорию так называемых модулярных форм, т. е. некоторых симметричных объектов в четырехмерном пространстве-времени, открытых еще в XIX веке и имеющих самые разнообразные виды и размеры. Их нельзя изобразить или представить в привычном трехмерном пространстве, что, естественно, не мешает проведению тщательного математического описания. Такие формы могут быть представлены в виде «решеток», массивов или рядов, члены которых зависят от характеристических параметров, причемчисло последних может изменяться от нуля до бесконечности. Предложенных кратких и несложных объяснений читателю должно хватить для понимания общих результатов, которыми японские математики ошеломили всех своих коллег.

Гипотеза Таниямы-Симуры заключалась в том, что такие модулярные формы, представляющие собой, строго говоря, довольно редкий тип объектов, имеют отношение к одной из самых старых и тщательно изученных областей математики, а именно к теории эллиптических кривых, и описывают эти кривые уравнениями, с которых вот уже сотни лет студенты начинают изучение высшей математики. Не имея никаких доказательств и полагаясь в основном лишь на интуицию Таниямы, они предположили, что каждому набору эллиптических уравнений должен соответствовать, подобно отражению в зеркале, некий набор или ряд модулярных форм. Другими словами, каждая конкретная модулярная форма, заданная на комплексной плоскости в гиперболическом четырехмерном пространстве, содержит в себе набор всех решений какой-то конкретной системы эллиптических уравнений.

Из этого логически вытекало, что любое эллиптическое уравнение должно входить в состав какой-то модулярной формы, в противном случае уравнение не имело бы права на существование. Честно говоря, математическая общественность встретила гипотезу с удивлением, недоумением и явной подозрительностью. Интуитивно казалось, что это предположение, названное позднее предположением Таниямы-Вейля-Симуры, вследствие разгоревшейся дискуссии о приоритете, действительно может стать ключом к доказательству теоремы Ферма, однако долгое время никому не удавалось доказать само утверждение и связать его строгим образом с теоремой. Ситуация изменилась лишь в 1984 г., когда немецкому математику Герхарду Фрею удалось найти преобразование любой тройки пифагоровых чисел в соответствующее эллиптическое уравнение. При этом Фрей полагал, что теорема Ферма является неверной, т. е. полученное Фреем уравнение было прямо противоположно по смыслу утверждению Ферма. Если это эллиптическое уравнение было точным, то ему, по идее Таниямы-Симуры, должна была соответствовать некоторая модулярная форма, что и опровергало теорему Ферма (разумеется, при условии справедливости самой гипотезы японских математиков!). Именно это рассуждение вызывало интерес Уайлса и позволило ему связать воедино все результаты.

Для удобства читателя мы перечислим основные положения. Ферма утверждал, что не существует чисел п › 2, образующих пифагоровы тройки чисел, и он может доказать это каким-то удивительно простым способом. Японский математический дуэт предположил, что каждому эллиптическому уравнению соответствует эквивалентная модулярная форма. Фрей, считая теорему Ферма неверной, т. е. допуская наличие чисел п › 2, образующих пифагоровы триады, получил некое эллиптическое уравнение и эквивалентную ему модулярную форму. Таким образом, проблема сводилась к оценке и проверке полученного эллиптического уравнения, которому соответствовала так называемая кривая Фрея.

К этому моменту в дискуссию по поводу теоремы Ферма неожиданно подключился математик Кен Рибет. По иронии судьбы, именно он когда-то упомянул в разговоре с Уайлсом работу Фрея. До этого Рибет не воспринимал результаты Фрея серьезно и, более того, вообще относился к теореме Ферма без уважения, считая, что ее доказательство «не имеет никакого реального значения». Однако после 1985 г. он тоже «заразился» этой проблемой, сумел детально проанализировать странную кривую, полученную Фреем, и уже в 1987 г. доказал, что соответствующее эллиптическое уравнение в действительности не являлось модулярным. Таким образом, вновь возникла исходная ситуация – если гипотеза японских математиков корректна, то теорема Ферма также справедлива. Для полноты картины отметим, что в доказательствах и спорах участвовало множество дополнительных персонажей, а выкладки на каждом этапе занимали сотни страниц, заполненных сложнейшими формулами. Однако все это еще не позволяло ученым опровергнуть, найти или просто приблизиться к решению, которое когда-то нашел (если это действительно имело место) великий математик-любитель Ферма.

***

Узнав о работах Рибета, Уайлс включился в «гонку» весьма серьезно и посвятил этой задаче следующие шесть лет своей жизни. Вскоре ему стало ясно, что предположение Таниямы-Симуры является недостаточно корректным, и на самом деле модулярными являются не все эллиптические уравнения и кривые, а лишь некоторые их наборы. Однако проблема продолжала казаться неразрешимой, несмотря на множество блестящих новых достижений как самого Уайлса, так и других математиков.

В 1993 г. Уайлс взял в сотрудники еще одного специалиста по теории чисел из Принстона, славящегося своей надежностью в работе и молчаливостью Ника Каца (про таких людей Линдон Джонсон сказал когда-то свою знаменитую фразу о друзьях, с которыми «не страшно отправиться даже в преисподнюю!»). Выбор объяснялся тем, что Уайлс, почувствовав возможность успеха, начал тщательно скрывать от всех свою увлеченность теоремой Ферма. Позднее, ближе к концу исследований (но на тех же условиях полной конспирации), к ним присоединился еще один коллега. Ради справедливости следует особо отметить, что Уайлс работал в одиночку, пользуясь лишь собственной интуицией, а помощники требовались ему лишь для проверки результатов и технических заданий.

Случайная публикация в математическом журнале навела Уайлса на мысль, что доказательство модулярности эллиптических кривых может быть обобщено на некоторые другие классы кривых, что сразу позволило ему объединить в единое целое множество уравнений и утверждений, связанных с гипотезой Таниямы-Симуры и с теоремой Ферма, в конечном счете. Уайлс показал, что существование кривой Фрея в ее исходном варианте не противоречит теореме Ферма и ее можно включить в класс эллиптических уравнений, обладающих модулярной формой (напомним, что именно невозможность существования кривой Фрея служила опровержением теоремы Ферма). Для выписывания всех относящихся к делу выкладок Уайлсу понадобилось около 200 страниц, но он мог считать свою задачу выполненной. Позднее он писал, что «доказательство последней теоремы вызвало грустное чувство, так как многие из нас уже привыкли к существованию проблемы и рассматривали ее решение скорее в качестве несбыточной мечты, чем конкретной цели».

Триумф Уайлса, состоявшийся в июне 1993 г., когда о нем сообщали броские газетные заголовки и ведущие информационные агентства всего мира, был омрачен целым рядом обстоятельств. Прежде всего само доказательство оказалось столь сложным и долгим, что потребовало серии трехдневных лекций на семинаре в Кембриджском университете (штат Массачусетс). Число слушателей возросло от нескольких десятков на первой лекции до битком забитого зала на последней, поскольку математикам вскоре стало ясно, что хочет доказать докладчик. Терпение слушателей было вознаграждено, так как лысый, очкастый сорокалетний математик закончил свое многодневное выступление фразой, похожей на финал бетховенской симфонии: «Это утверждение означает доказательство справедливости последней теоремы Ферма, и на этом я заканчиваю свое выступление». Несколько дней подряд выпуски теленовостей демонстрировали сцену напряженного молчания зала и последовавшую за ней бурю оваций.

К огромному сожалению Уайлса, торжество длилось всего несколько месяцев, после чего ему оставалось лишь воскликнуть, подобно Юлию Цезарю, известную фразу: «И ты, Брут?». Его верный друг и соратник Марк Кац, который лично занимался тщательной проверкой всех выкладок, вдруг обнаружил в расчетах грубую ошибку, что стало сигналом для начала травли и критики со стороны многих других видных математиков (по законам театра, это можно рассматривать как второй акт драмы). Оказалось, что Уайлс ошибся и не «загнал» в свое доказательство все мыслимые эллиптические уравнения, которые могут быть связаны с теоремой Ферма и предположением Таниямы-Симуры. Естественно, это было тяжелым ударом для Уайлса, который вновь стал отшельником, поддерживавшим связь с большинством людей только по электронной почте. В результате напряженной работы ему удалось через некоторое время исправить злосчастную ошибку (читатель не должен упрощенно понимать ситуацию, поскольку работы Уайлса относятся к столь сложным проблемам, что понять и оценить их могут лишь несколько ведущих математиков мира). Окончательное доказательство теоремы было опубликовано в мае 1995 года без всякой помпы в виде скромной статьи в специальном журнале. В последнем акте Уайлс оказался победителем и сейчас по справедливости входит в руководство Комиссии известного конкурса «Задачи тысячелетия», которая предлагает призы в миллион долларов за решение любой задачи из списка семи классических проблем математики.

Рассказ о теореме Ферма можно завершить следующими двумя комментариями. Во-первых, подчеркнем еще раз, что Уайлс решил задачу XVII века, пользуясь методами, результатами и целыми разделами математики следующих столетий (кстати, сам Уайлс откровенно называл свое решение доказательством XX века), так что практически невозможно представить, что рассуждения самого Ферма хоть в чем-то напоминали аргументы Уайлса, Таниямы, Фрея или Рибета. Мы знаем лишь то, что Ферма оказался прав, но никогда не узнаем, по-видимому, существовало ли его доказательство в действительности и насколько оно было точным. Во-вторых, проблема поиска доказательств теоремы Ферма не является особо важной для развития и истории самой математики вообще. Уайлс всего лишь получил решение весьма конкретной задачи из области теории чисел и подтвердил незыблемость и силу законов абстрактной логики.

Курт Гёдель

Между тем, в начале XX века одному блестящему молодому ученому (его, по-видимому, можно назвать последним истинным гением в истории математики) удалось почти небрежно сделать сверхценное открытие, которое буквально повергло в шок не только математиков и философов, но и специалистов всех наук, связанных с интеллектуальной деятельностью. Открытие оказалось настолько важным и поразительным, что в него осмелились поверить лишь очень немногие ученые, обладающие высокорациональным и смелым складом ума.

Дело в том, что Курт Гёдель сумел доказать, что никакое человеческое знание не может быть сформулировано в какой-либо понятной, полной и непротиворечивой форме! К нему почти с полным правом может быть применена характеристика, которую когда-то литературный критик Джон Джей Чепмен дал творчеству великого поэта Ральфа Уолдо Эмерсона: «Великие люди часто вступают в конфликт со своим временем, опровергая его законы и доказывая их лживость».

В 1931 г., когда Австрия и ее столица Вена уже жили в тревожном ожидании фашизма, 25-летний Курт Гёдель сумел показать, что в научных и математических доказательствах всегда реально существуют «провалы» и «белые пятна». Задолго до этого многие философы и лингвисты (к их числу следует отнести, прежде всего, великого Людвига Виттген-штейна) чувствовали и пытались угадать или определить законы, ограничивающие способность человеческого языка описывать реальность, однако именно Гёделю удалось большее – он сумел показать, что такие ограничения существуют и внутри языка самой математики.

По складу характера Гёдель относился к тем, кого называют «не от мира сего». С ранней юности он отличался ипохондрией, чудаковатостью и нестандартностью поведения. Например, шокируя добропорядочную буржуазную семью, Гёдель женился на своей давнишней подруге Адель, которая не только уже была замужем, но и работала танцовщицей в ночном клубе. Некую странность более высокого порядка можно усмотреть и в том, что Гёдель, приступая к своей главной работе, стремился найти основы математики, а вовсе не обрушить их. Исследования логики привели его к отрицанию логики.

Еще в XIX веке математику сотрясали драматические события, когда под сомнение были взяты аксиомы евклидовой геометрии, казавшейся совершенно незыблемой и бесспорной (по учебнику Евклида человечество изучало геометрию около 2000 лет подряд, начиная с античности). Каждый из нас со школьных лет помнит, что параллельные прямые никогда не пересекаются и могут быть продолжены до бесконечности. В более строгой форме эта аксиома Евклида утверждает, что «через точку, не принадлежащую прямой, но лежащую в одной плоскости с ней, можно провести лишь одну прямую, параллельную первой». Мы говорим, естественно, об абстрактных геометрических понятиях и поэтому совершенно не касаемся проблем, связанных с истинной природой пространства-времени или другими физическими теориями.

Математики XIX века обобщили принципы геометрии и многое изменили в нашем восприятии, в результате чего стало возможным проведение нескольких параллельных прямых через одну точку, слияние этих прямых на бесконечности и многие другие, ранее немыслимые операции. Иными словами, в новой геометрии параллельные прямые просто перестали существовать.

Однако можно вспомнить, что геометрия Евклида имеет не только практическое значение, но связана и с так называемым «здравым смыслом», поскольку она создает некую последовательную, непротиворечивую и самосогласованную (эти определения являются исключительно важными для логического анализа) систему понятий. Особо следует отметить, что теоремы всех пяти томов курса геометрии Евклида не содержат ни одного противоречивого утверждения. Проблема для математики, в самом общем смысле, заключалась в том, что так называемые неевклидовы геометрии (независимо от их практической и познавательной ценности) также являются самосогласованными системами, что чрезвычайно удивляло и раздражало всех ученых с математическим складом ума. Действительно, представлялось поразительным, что явно бессмысленные построения могут быть сведены в логически безупречную и самосогласованную систему доказательств!

Пытаясь разобраться в возникшей ситуации, многие ведущие математики вдруг задумались о проблемах и судьбе своей родной науки, и это беспокойство прекрасно передает высказывание одного из крупнейших немецких специалистов начала XX века: «Логика является гигиеной математической науки, позволяющей сохранять ее идеи здоровыми и сильными». Можно ли было ожидать, что математика в целом окажется столь же увечной и беззащитной, как геометрия?

Читатель может догадаться, что после работ Гёделя ответ оказался неутешительным для математики!

***

Возвращаясь к мыслителям и философам Древней Греции, напомним, что Аристотель создал дедуктивную логику в форме силлогизмов, т. е. утверждений типа: если все х имеют свойство у, а некое z относится к х, то z также обладает свойством;;. Один из самых известных силлогизмов применительно конкретно к Гёделю можно сформулировать в виде:

Все люди смертны (первая посылка).

Гёдель – человек (вторая посылка).

Гёдель – умрет (вывод).

(Российский читатель может вспомнить, что в повести Л. Н. Толстого «Смерть Ивана Ильича» с воспоминания об этом силлогизме главный герой начинает осознавать неотвратимость собственной смерти и размышлять о смысле жизни. – Прим. Перев)

Большинство людей рассуждают именно так, даже не вдумываясь в тонкости логики, что и является основой здравого смысла. Мы все понимаем, что логические размышления позволяют получать правильные выводы из правильных посылок, однако следует напомнить, что те же древние греки обнаружили один существенный недостаток дедуктивной логики, а именно: она «буксует» в некоторых довольно простых ситуациях (этот дефект является малозаметным и безвредным в обыденной речевой практике). Древнегреческие философы сформулировали и один из самых известных парадоксов такого типа: «Эпименид утверждает, что критяне лжецы». Фокус этой простой фразы состоял в том, что Эпименид сам был критянином, так что,если он прав, то критяне лгут и, следовательно, он… говорит правду и т. д. Не стоит ломать голову над этим высказыванием, поскольку оно действительно не может быть проанализировано логически. Другой, более современный вариант этого же парадокса выглядит следующим образом: «Назовем деревенским парикмахером человека, бреющего тех жителей деревни, которые не бреются сами. Кто бреет самого парикмахера?».

Знаменитый английский математик и философ Бертран Рассел (известный, кстати, своими чудачествами) долгое время занимался такими парадоксами и даже придумал им интересную форму, предложив написать на двух сторонах одного листа бумаги следующую фразу: «Утверждение, написанное на обороте этого листа, ошибочно» (лист бумаги с таким утверждением на обоеих сторонах можно переворачивать бесконечно). Позднее Рассел писал в автобиографии: «…конечно, взрослому человеку не стоило тратить время на такие тривиальные шутки, но что мне оставалось делать?» Рассел стремился продемонстрировать, что некоторые, весьма простые утверждения не могут быть оценены с точки зрения формальной логики.

В 1900 г. великий немецкий математик Давид Гильберт опубликовал обращение к коллегам, где перечислил 23 проблемы, от решения которых, по его мнению, зависело все будущее развитие этой науки. Основная и принципиальная позиция Гильберта сводилась к тому, что математика должна быть исчерпывающей (т. е. способной ответить на все связанные с ней вопросы) и внутренне согласованной наукой (т. е. в ней не должно быть утверждений, на которые можно одновременно дать и положительный, и отрицательный ответы). Упомянутые Расселом «тривиальные шутки» приводят нас к той же проблеме: можно ли утверждать, что математические рассуждения являются полностью и всегда справедливыми? В математике нет места никаким лжецам-критянам с их двусмысленными загадками, допускающими неоднозначные или странные ответы.

Гильберт выразил эту идею с предельной ясностью и четкостью: каждая конкретная математическая задача должна иметь ясное решение, которое должно содержать либо точный ответ на поставленный вопрос, либо строгое доказательство невозможности получения такого ответа». Иными словами, если несколько аксиом объединены в некую формальную математическую систему, то такая система обязана быть согласованной (в противном случае она теряет логический смысл).

Гильберта, разумеется, весьма беспокоила проблема возникновения «новых», странных геометрий (он включил ее в свой список под вторым номером), однако в целом великий математик был настроен достаточно оптимистично и разделял естественную для большинства людей уверенность в том, что на каждый математический вопрос рано или поздно может и должен быть получен четкий (положительный или отрицательный) ответ, независимо от степени сложности вопроса и связанных с ним разногласий.

Именно это кажущееся почти очевидным утверждение опроверг Гёдель своей так называемой «теоремой о неполноте» в статье под названием «О формально неразрешимых утверждениях Оснований математики и родственных систем». Позднее Пол Хоффман напишет в известной книге «Человек, который любил только числа. Математик Поль Эрдёш» о работе Гёделя следующий комментарий: «По предложенной Рихтером шкале значимости математических открытий Гёдель, безусловно, заслуживает самого высшего, десятого балла!».

Кстати, древнегреческий парадокс об уроженцах Крита (в математике и логике его называют парадоксом лжеца) можно упростить и выразить заявлением «Это утверждение неверно!», которое даже в этой сверхкраткой форме продолжает сохранять неразрешимое внутреннее противоречие. Сам Гёдель слегка изменил классическую фразу, придав ей более изящную и тонкую форму: «Это утверждение недоказуемо!» (если оно доказуемо, то не является истинным, и обратно, и т. д.).

Пользуясь медицинской терминологией, можно сказать, что Гёдель использовал в качестве скальпеля для вскрытия аксиоматики теории множеств так называемое «арифметическое утверждение G» (означающее в переводе на обычный, нематематический язык, что некоторое утверждение является недоказуемым) в сочетании с приемом его отображения. Гёдель перевел G-утверждения на язык арифметики и получил следующий замечательный результат: любая согласованная формальная математическая система, включающая в себя все правила арифметики, содержит в себе математический эквивалент G-утверждения и, следовательно, является несогласованной, т. е. в ней существуют утверждения, которые одновременно невозможно доказать или опровергнуть данным набором правил. Это открытие было сформулировано им в виде двух «теорем о неразрешимости», имеющих следующий вид:

1. Если аксиоматическая теория множеств является согласованной, то в ней существуют теоремы, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть.

2. Не существует конструктивной процедуры, позволяющей доказать согласованность аксиоматической теории множеств.

Естественно, что используемый для доказательства математический аппарат был достаточно сложным, однако полученные результаты были точными и проверяемыми. Более того, Гёдель показал, что если в какую-либо арифметическую систему вводятся некие новые идеи, позволяющие сделать G-утверждения доказуемыми, то в новой, расширенной системе вновь возникнут новые, свои собственные G-утверждения!

Кроме того, Гёдель придал концепции «согласованной арифметической системы» точную математическую форму и показал, что ее нельзя строго обосновать, т. е. каждая такая система будет включать в себя некоторые истинные высказывания, которые не могут быть доказаны, и, следовательно, каждая такая система будет неполной.

***

Гильберт утверждал, что в его науке нет места неопределенности и «каждая математическая задача может быть решена чисто математическими приемами и рассуждениями… поскольку в математике нет места неясности, ignorabimus». Гёдель доказал, что Гильберт ошибался и ни одна, даже самая сложная математическая система не может быть согласованной. Математика оказалась гораздо сложнее языка, используемого для ее описания, точно так же, как человеческие опыт и жизнь постоянно оказываются более сложными и неоднозначными, чем языки, используемые людьми для их описания.

Один из крупнейших специалистов в теории чисел, Герман Вейль когда-то остроумно заметил, что «…Бог существует, поскольку математика явно непротиворечива, но существует и дьявол, поскольку мы не можем доказать эту непротиворечивость». Гильберт был даже более последовательным и завещал, чтобы на его могильной плите было написано: «Мы должны знать и мы обретем знание».

Открытие Гёделя стало для абстрактной математики столь же волнующим, необычным и притягательным событием, как формулировка Гейзенбергом принципа неопределенности для квантовых частиц. На жизнь обычных людей это открытие не оказывает почти никакого воздействия хотя бы потому, что человек не способен выделять в речи «неопределенные» утверждения, играющие основную роль в построениях Гёделя, так что их использование остается редким и малоосмысленным в обыденной жизни.(В качестве примера можно привести популярное выражение «Нет правил без исключений». Это утверждение, примененное к самому себе, означает, что должно существовать хотя бы одно «исключительное» правило, не допускающее никаких исключений и т. д. – Прим. перев)

Один плюс один всегда равняется двум, независимо от того, как люди осуществляют эту арифметическую операцию (школьник у доски, ученый с компьютером и т. п.). В этом отношении открытие Гёделя может казаться даже просто ненужным или неуместным, так что неудивительно, что даже многие профессиональные математики, искренне восхищаясь интеллектуальной мощью и концептуальной новизной теорем Гёделя, спокойно относят их скорее к философии, чем к чистой математике. Например, в известной книге «Инструменты разума» {Mind Tools) Руди Ра-кер с иронией пишет, что теоремы о неполноте «…являются частной собственностью узкого круга специалистов по математической логике, многие из которых не допускают и мысли о том, что эти теоремы могут быть как-то связаны с реальным миром».

Впрочем, последнее утверждение можно считать явным преувеличением с тех пор, как в 1963 г. молодой профессор Станфордского университета Пол Коэн сообщил Гёделю, что он нашел доказательство «вечной неразрешимости» нескольких важных математических проблем, среди которых, кстати, была и одна задача из упоминавшегося выше списка 23 проблем великого Гильберта, умершего еще в 1930 году.

Гёдель прожил долгую и очень тяжелую (по обычным представлениям) жизнь. Он продолжал плодотворно работать, но теорема о неполноте так и осталась его самым блестящим достижением. После оккупации Австрии нацистами он перебрался в США, где работал в Принстонском институте перспективных исследований. В 1940 г. он стал гражданином США, устроив при этом бурную полемику о возможности установления диктатуры в Соединенных Штатах. С годами поведение Гёделя становилось все более неадекватным, что некоторые из его знакомых объясняли просто потерей уверенности в творческих способностях. Гёдель избегал общества коллег и знакомых (единственное исключение составлял Эйнштейн, с которым он обычно прогуливался по пути на работу), жил затворником и общался с людьми только по телефону. Иногда у него начинались приступы мании преследования (Гёдель боялся, что его хотят отравить), и тогда Адель приходилось кормить его с ложечки. Так странно завершился жизненный путь великого человека, который всегда считал себя реалистом, а в молодости дерзко пытался доказать существование Бога математически. Когда Адель поместили в профилакторий после операции и Гёдель остался один, он вообще перестал принимать пищу и умер 14 января 1978 г. фактически от голода в возрасте 71 года.

Сам Гёдель наверняка не стал бы считать свою смерть ужасной или бессмысленной, так как всегда был твердо уверен и настойчиво убеждал окружающих, что все процессы в жизни, науке и даже (буквально!) во Вселенной тесно взаимосвязаны и осмыслены. Психологически интересно, что такими философскими взглядами и твердой верой в причинно-следственную связь обладал именно человек, обнаруживший серьезные неопределенности в самых глубинных основах математики. Несмотря на то, что его открытия явно ограничивали границы человеческого познания, Гёдель был убежден в непрерывном росте разума, а кажущуюся бессмысленность обыденной жизни объяснял тем, что она является лишь подготовкой к иным формам существования (впрочем, после его смерти не удалось обнаружить никаких свидетельств целенаправленной подготовки к такому существованию).