Итак, теперь можно заняться детальным исследованием квантовой теории. Техническое содержание основных идей довольно простое – сложно лишь примириться с тем, что они бросают вызов нашим предубеждениям по поводу устройства мира. Мы уже говорили, например, что частицу можно представить в виде множества маленьких циферблатов, расставленных здесь и там, и что длина стрелки такого циферблата (возведенная в квадрат) соответствует вероятности, с которой частицу можно обнаружить в конкретном месте. Циферблаты – это не суть системы, а математический инструмент, которым мы пользуемся, чтобы вычислить шансы найти где-то нашу частицу. Мы привели правило сложения циферблатов, необходимое для описания феномена интерференции. Сейчас нам нужно окончательно свести концы с концами и сформулировать правило, которое объясняло бы, как циферблаты изменяются от одного момента к другому. Это правило послужит заменой первому закону Ньютона в том смысле, что позволит спрогнозировать действия частицы, оставленной в покое. Сначала представим одиночную частицу в некоторой точке.

Мы знаем, как представлять частицу в точке (рис. 4.1). Итак, изображен одиночный циферблат с длиной стрелки 1 (потому что 1 в квадрате – это и есть 1, стало быть, вероятность найти частицу в этой точке равна 1, то есть 100 %). Предположим, что на циферблате 12 часов, хотя этот выбор совершенно произволен. С точки зрения вероятности стрелка часов может указывать в любом направлении, но надо же с чего-то начать, так что условимся на 12 часов. Мы хотим добиться ответа на следующий вопрос: каковы шансы того, что частица позже будет находиться где-то еще? Иными словами, сколько еще циферблатов нужно нарисовать и где их поместить в следующее мгновение? Исааку Ньютону на такой очевидный вопрос отвечать было бы даже скучно: если мы размещаем где-то частицу и ничего с ней не делаем, она никуда и не движется. Но природа весьма категорично утверждает, что это попросту неверно. На самом деле Ньютон не мог ошибиться еще сильнее.

Рис. 4.1. Одиночный циферблат, представляющий частицу, которая четко локализуется в конкретной точке пространства

А вот и правильный ответ: частица в следующий момент может оказаться в любой точке Вселенной. Это значит, что нам придется нарисовать бесконечное множество циферблатов – по одному для каждой мыслимой точки в пространстве. Это предложение стоит перечитать много раз. Наверное, лучше раскрыть эту мысль.

Допущение, что частица может быть где угодно, эквивалентно полному отсутствию предположений по поводу ее движения. Это самое беспристрастное допущение, которое мы можем сделать, и такое решение обладает определенной аскетической привлекательностью, хотя, по общему признанию, действительно кажется, что оно нарушает все законы здравого смысла, а заодно, возможно, и законы физики.

Циферблат представляет нечто определенное – вероятность того, что частица будет обнаружена на месте этого циферблата. Если мы знаем, что частица находится в конкретном месте в конкретное время, то представляем это в виде одиночного циферблата в этой точке. Но если мы начнем с частицы, находящейся в нулевой момент времени в определенном месте, то для «нулевого момента плюс еще сколько-то времени» придется нарисовать огромное – на самом деле бесконечное – количество других циферблатов, заполняющих всю Вселенную. Так подтверждается возможность того, что частица перепрыгивает в любое другое место в одно мгновение. Наша частица будет одновременно и в нанометре от исходного положения, и в миллиарде световых лет отсюда, в ядре звезды отдаленной галактики. Звучит, говоря по-простому, странно. Но нужно со всей ясностью сказать: теория должна быть способна объяснить двухщелевой эксперимент, и как волна начинает распространяться, если обмакнуть в стоячую воду палец ноги, так и электрон, изначально расположенный в некой точке, должен распространяться с течением времени. Нужно только установить, как именно он распространяется.

Мы предполагаем, что, в отличие от водяной волны, электронная волна распространяется по всей Вселенной мгновенно. В техническом смысле можно сказать, что правило распространения частиц отличается от правила распространения водяной волны, хотя в обоих случаях распространение соответствует «волновому уравнению». Уравнение для водяных волн отличается от уравнения волн-частиц (это то самое знаменитое уравнение Шрёдингера, которое мы упомянули в прошлой главе), но оба они связаны с физикой волн. Различия – в деталях того, как объекты движутся с места на место. Кстати, если вы немного в курсе теории относительности Эйнштейна, то должны бы занервничать, услышав, что мы ведем речь о мгновенных перемещениях частицы по Вселенной, так как получается, словно что-то передвигается быстрее скорости света. На самом же деле идея того, что частица может быть здесь и через мгновение очень далеко отсюда, сама по себе вовсе не противоречит теориям Эйнштейна, потому что суть их в том, что быстрее скорости света не может перемещаться информация, а этому ограничению квантовая теория удовлетворяет. Как мы вскоре увидим, динамика прыжков частиц через Вселенную совершенно не такая, как при передаче информации, потому что мы не можем сказать заранее, куда же прыгнет частица. Кажется, что наша теория строится на полной анархии, и будет вполне естественно, если вы не поверите, что природа так себя может вести. Но далее в этой книге мы убедимся, что порядок нашей повседневной жизни действительно берет свое начало в этом фантастически абсурдном поведении.

Если вам непросто переварить подобную анархию – например, необходимость наполнить всю Вселенную маленькими циферблатами, чтобы описать движение единственной субатомной частицы от одного момента к другому, – то вы в хорошей компании. Снятие покровов с квантовой теории и попытки истолковать ее внутреннюю деятельность поставят в тупик кого угодно. Нильс Бор, например, известен такой фразой: «Те, кто не пришел в ужас при знакомстве с квантовой механикой, просто не могут ее понять». Ричард Фейнман предварил третий том «Фейнмановских лекций по физике» словами: «Думаю, могу с уверенностью сказать, что никто не понимает квантовую механику». К счастью, следовать ее законам гораздо проще, чем пытаться разобраться в ее сути. Способность тщательно рассматривать последствия определенного набора предположений, не слишком затрудняя себя их философским смыслом, – одно из самых важных умений современного физика. Это как раз в духе Гейзенберга: зададим первичные предположения и вычислим их последствия. Если мы получаем набор предсказаний, согласующихся с повседневными наблюдениями, теория признается жизнеспособной.

Многие проблемы слишком сложны, чтобы решить их одним мыслительным усилием, а глубокое понимание редко приходит в моменты, когда ученый кричит «эврика». Нужно убедиться, что вы действительно понимаете каждый мельчайший шаг, и после достаточного количества шагов должно появиться понимание общей картины. В противном случае мы поймем, что пошли по ложному пути и нужно начинать все с начала. Эти мельчайшие шаги, которые мы упомянули, не так сложны, но идея взять один циферблат и превратить его в бесконечное множество циферблатов, безусловно, сложна, особенно если представить себе, что их все надо нарисовать. Вечность, если перефразировать Вуди Аллена, – это очень долго, особенно ближе к концу. Советуем не паниковать и не сдаваться. В любом случае мы имеем дело лишь с кусочком вечности. Наша следующая задача – установить правило, которое будет описывать поведение этих циферблатов в определенное время после запуска частицы.

Это правило – основной закон квантовой теории, хотя впоследствии нам понадобится и второй закон, когда мы перейдем к рассмотрению возможности наличия во Вселенной больше одной частицы. Но начнем по порядку и сначала сосредоточимся на единственной на всю Вселенную частице: никто не обвинит нас в том, что мы хватаемся за все сразу. Итак, она существует в один миг времени – предположим, мы точно знаем, в какой именно, – и представлена единственным циферблатом. Наша конкретная задача – найти правило, описывающее, как будут выглядеть в любой момент все новые циферблаты, рассеянные по Вселенной.

Сначала мы сформулируем это правило, не подводя под него никаких оснований. К тому, почему правило звучит именно так, а не иначе, вернемся через несколько абзацев, но сейчас должны просто принять его на веру. Итак, вот оно: во время t в будущем стрелка циферблата, находящегося на расстоянии x от исходного циферблата, продвинется против часовой стрелки на величину, пропорциональную x²; величина продвижения также пропорциональна массе частицы m и обратно пропорциональна времени t. В записи с помощью символов это значит, что нам нужно повернуть стрелку против хода часов на величину, пропорциональную mx² / t. А если объяснять это словами, то быстрее двигаются по циферблату более массивные частицы, более далекие от исходной точки, а с течением времени ход становится медленнее. Существует алгоритм – или, если угодно, рецепт, – который точно описывает, как определить поведение определенного набора циферблатов в какой-то момент будущего. В каждой точке Вселенной мы рисуем новый циферблат, стрелка которого сдвинута на заданную правилом величину. Это подкрепляет наше предположение о том, что частица может (и так оно и есть) перепрыгивать из начального положения в любую другую точку Вселенной, порождая в процессе движения новые циферблаты.

Для простоты мы представляли только один исходный циферблат, но, конечно, в какой-то момент времени уже может существовать несколько циферблатов, и это отражает постулат, что частица не находится в каком-то определенном месте. Как разобраться с целой кучей циферблатов? Ответ таков: нужно делать то, что мы делали для одного циферблата, и повторять процесс для всех имеющихся циферблатов. Эту идею иллюстрирует рис. 4.2. Первичный набор циферблатов представлен маленькими кружками, а стрелки показывают, как частица перепрыгивает с места каждого первичного циферблата в точку X, «оставляя» там новый циферблат. Конечно, при этом каждый первичный циферблат порождает в точке X новый циферблат, и мы должны сложить их все вместе, чтобы создать окончательный циферблат для точки X. Размер этого окончательного циферблата дает вероятность впоследствии найти частицу в точке X.

.

Рис. 4.2. Прыгающие циферблаты. Окружности соответствуют местонахождению частицы в определенный момент времени; нам необходимо каждой такой точке поставить в соответствие по циферблату. Чтобы вычислить вероятность обнаружения частицы в точке X, мы должны позволить частице прыгнуть туда из всех исходных мест ее пребывания. Несколько таких прыжков обозначено стрелками. Форма линий не имеет никакого значения и уж точно не означает, что частица движется с места нахождения циферблата в точку X по какой-то определенной траектории

Необходимость сложения всех появляющихся в точке циферблатов не так уж странна. Каждый циферблат соответствует специфической траектории, по которой частица могла бы прибыть в точку X. Сложение циферблатов легко понять, если вернуться к двухщелевому эксперименту: мы просто пытаемся перефразировать описание волны для циферблатов. Можем представить два исходных циферблата – по одному у каждой щели. Каждый из них порождает новый циферблат на конкретной точке экрана в одно из последующих мгновений, и мы должны сложить эти два циферблата, чтобы получилась интерференционная фигура. Итак, правило предсказания внешнего вида циферблата в любой точке состоит в том, чтобы перенести в эту точку все исходные циферблаты, один за другим, а потом сложить их все по правилу сложения, описанному в предыдущей главе.

Так как мы решили описывать подобным языком распространение волн, можно использовать его и при размышлениях о более знакомых нам волнах. Самой идее уже много лет. Известно, что голландский физик Христиан Гюйгенс описывал так световые волны еще в 1690 году. Он, конечно, не упоминал воображаемых циферблатов, скорее подчеркивал, что каждую точку световой волны нужно рассматривать в качестве источника вторичных волн (как каждый циферблат порождает множество новых). Эти вторичные волны затем соединяются, что дает новую волну. Процесс повторяется, так что каждая точка новой волны служит источником результирующих волн, которые вновь соединяются друг с другом, и таким способом волна продвигается дальше.

Теперь можно вернуться к тому моменту, который может вызывать ваше справедливое беспокойство. Почему мы выбрали величину mx² / t для определения сдвига часовой стрелки? У этой величины есть имя – это действие – и долгая почтенная история в развитии физики. На самом деле никто пока не понимает, почему эта величина настолько прочно укоренилась в природе, а стало быть, никто не может рационально объяснить, почему стрелки движутся так, как движутся. Возникает вопрос: как вообще кто-то понял, что это так важно? Понятие действия впервые предложил немецкий философ и математик Готфрид Лейбниц в написанной в 1669 году, но неопубликованной работе, однако он не сумел найти способ производить вычисления с его помощью. Вновь ввел его в 1744 году французский ученый Пьер Луи де Мопертюи, а затем его использовал для формулировки нового и очень мощного принципа природы друг Мопертюи, математик Леонард Эйлер. Представьте себе мяч, летящий по воздуху. Эйлер обнаружил: мяч движется по такой траектории, что действие между двумя точками маршрута будет каждый раз наименьшим. В случае с мячом действие соотносимо с разностью между кинетической и потенциальной энергией мяча. Эта закономерность получила название «принципа наименьшего действия», и он может быть использован как альтернатива ньютоновым законам движения. На первый взгляд, принцип довольно странен, потому что кажется, будто для полета с наименьшим действием шар должен заранее знать, куда он собирается лететь еще до того, как он туда полетит. Как иначе он мог бы лететь по воздуху так, чтобы величина, именуемая действием, каждый раз получалась минимальной, когда он уже пролетел? Если перефразировать, то принцип наименьшего действия кажется телеологическим (так говорят, когда предполагают, что события происходят с целью достичь заранее предопределенного исхода). Телеологические идеи вообще пользуются в науке дурной репутацией, и несложно догадаться почему. В биологии телеологическое объяснение появления сложных существ подкрепляло бы теорию существования творца, в то время как теория эволюции путем естественного отбора, выдвинутая Дарвином, предлагает гораздо более простое объяснение, которое к тому же прекрасно согласуется с имеющимися данными. В теории Дарвина нет телеологического компонента: случайные мутации ведут к появлению вариаций в организмах, а внешнее давление со стороны среды и других живых существ определяет, какие вариации передаются следующим поколениям. Этот процесс – единственный, способный объяснить то многообразие и сложность жизненных форм, которые мы наблюдаем сейчас на Земле. Иными словами, устраняется необходимость божественного промысла и постепенного восхождения организмов к какому-то совершенству. Вместо этого оказывается, что эволюция жизни – случайный путь, который определяется несовершенным копированием генов в постоянно меняющихся условиях внешней среды. Лауреат Нобелевской премии французский биолог Жак Моно даже назвал краеугольным камнем современной биологии «систематическое или аксиоматическое отрицание возможности того, что научное знание может быть получено на основе теорий, которые явным или неявным образом включают в себя телеологический принцип».

У физиков, однако, споры о том, работает ли принцип наименьшего действия, не ведутся, потому что он позволяет производить вычисления, верно описывающие природу, и является краеугольным камнем физики. Можно возразить, что принцип наименьшего действия вовсе не телеологический, но все споры в любом случае закончатся, когда мы возьмем на вооружение подход Фейнмана к квантовой механике. Мяч, летящий по воздуху, «знает», какую траекторию избрать, потому что на самом деле втайне исследует каждую возможную траекторию.

Как же выяснилось, что правило хода стрелок часов имеет нечто общее с величиной, именуемой действием? В исторической перспективе первым такую формулировку квантовой теории, включающей понятие действия, предложил Дирак, но со свойственной ему эксцентричностью опубликовал свое исследование в советском журнале – в знак поддержки советской науки. Статья под названием «Лагранжиан в квантовой механике» была опубликована в 1933 году и пребывала в забвении много лет. Весной 1941 года молодой Ричард Фейнман размышлял, как разработать новый подход к квантовой теории, используя лагранжеву формулировку классической механики (эта формулировка вытекает из принципа наименьшего действия). Однажды вечером на пивной вечеринке в Принстоне он встретил Герберта Йеле, европейского физика, и, как это водится у физиков, после нескольких кружек они начали обсуждать идеи для исследований. Йеле вспомнил давнюю статью Дирака, и на следующий день они нашли ее в Принстонской библиотеке. Фейнман немедленно начал вычисления по методам Дирака, и в течение дня на глазах у Йеле обнаружил, что может вывести уравнение Шрёдингера из принципа наименьшего действия. Это был большой шаг вперед, хотя Фейнман изначально предполагал, что Дирак мог уже сделать то же самое, потому что это ведь было элементарно; да, элементарно, если вас зовут Ричардом Фейнманом. Со временем Фейнману удалось выяснить у Дирака, знал ли тот, как можно использовать его работу 1933 года, если сделать несколько дополнительных математических шагов. Позднее Фейнман вспоминал, что Дирак, лежа на принстонской траве после не самой выдающейся лекции, ответил просто: «Нет, я не знал. Это интересно». Дирак был одним из величайших физиков в истории, но говорил очень мало. Юджин Вигнер, сам принадлежавший к сонму великих, заметил: «Фейнман – это второй Дирак, но на этот раз с человеческим лицом».

Итак, напомним: мы сформулировали правило, которое позволяет зарисовать множество циферблатов, представляющих состояние частицы в некий момент времени. Правило довольно странное: мы наполняем Вселенную бесконечным количеством циферблатов, которые все оказываются связанными друг с другом отношениями, зависящими от тоже довольно странной, но имеющей большое историческое значение величины – действия. Если два или более циферблата оказываются в одном положении в одно и то же время, они суммируются. Правило основано на том, что мы должны предоставить частице свободу перепрыгнуть из любого конкретного места во Вселенной в любое другое место за бесконечно малое время. Мы сразу же сказали: такие абсурдные на вид идеи должны подвергнуться проверке путем столкновения с природой, чтобы убедиться, что получается что-то разумное. Для начала рассмотрим, как из этой кажущейся анархии возникает нечто очень конкретное. Это один из краеугольных камней квантовой теории – принцип неопределенности Гейзенберга.

 

Принцип неопределенности Гейзенберга

Принцип неопределенности Гейзенберга – одна из самых неправильно понимаемых частей квантовой теории, тропинка, по которой всякие шарлатаны и поставщики вздора проталкивают свою философскую ерунду. Гейзенберг представил эту концепцию в 1927 году в работе под названием Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik, которое с трудом поддается переводу. Самое трудное слово – anschaulich, которое значит то ли «физический», то ли «интуитивный».

Гейзенбергом, возможно, двигало внутреннее раздражение по поводу того, что интуитивно более понятная версия квантовой теории, предложенная Шрёдингером, была принята шире, чем его собственная, несмотря на то что оба метода вели к одинаковым результатам. Весной 1926 года Шрёдингер был уверен, что его уравнение для волновой функции дает физическую картину происходящего внутри атомов. Он считал, что волновую функцию можно визуализировать и что она связана с распространением электрического заряда внутри атома. Это все оказалось неверным, но, по крайней мере, позволило физикам уверенно чувствовать себя всю первую половину 1926 года, пока Борн не предложил вероятностную интерпретацию.

Гейзенберг, с другой стороны, построил свою теорию на абстрактной математике, которая чрезвычайно успешно предсказывала результаты экспериментов, но не подлежала четкой физической интерпретации. Он изложил свое раздражение Паули в письме от 8 июня 1926 года – за несколько недель до того, как Борн метнул свой метафорический гаечный ключ в сторону интуитивного подхода Шрёдингера: «Чем больше я думаю о физической стороне теории Шрёдингера, тем более отвратительной она мне кажется. Там, где Шрёдингер пишет об Anschaulichkeit (наглядности) своей теории… я читаю Mist». Немецкое слово mist переводится как «вздор», «дерьмо»… или «ерунда».

Гейзенберг решил выяснить, что же должно пониматься под «интуитивной картиной», или Anschaulichkeit, физической теории. Что, спросил он себя, квантовая теория должна говорить о таких уже известных свойствах частиц, как их положение? В духе своей оригинальной гипотезы он предположил, что имеет смысл вести речь о положении частицы, только если указать при этом, как его измерять. Поэтому нельзя задавать вопрос, действительно ли электрон находится внутри атома водорода, не описав, каким, собственно, образом вы собираетесь получить информацию об этом. Кажется, это похоже на семантику, но нет. Гейзенберг заметил, что сам процесс измерения порой вносит возмущение, результатом которого становятся ограничения на пути того, что мы можем «знать» об электроне. В своей оригинальной работе Гейзенберг сумел оценить отношения между точностью измерения положения и импульса частицы. В знаменитом принципе неопределенности он утверждает, что если Δx – это неопределенность наших знаний о положении частицы (греческая буква Δ произносится «дельта», так что Δx произносится «дельта икс»), а Δp – соответствующая неопределенность импульса, то

Δ x Δ p ~ h ,

где h – постоянная Планка, а символ ~ значит «примерно равен». Иными словами, произведение неопределенности положения частицы на неопределенность ее импульса будет приблизительно равно постоянной Планка. Это значит, что чем более точно мы определяем положение частицы, тем меньше можем знать о ее импульсе, и наоборот. Гейзенберг пришел к этому выводу, рассматривая отрыв фотонов от электронов. Фотоны – это средство, благодаря которому мы «видим» электрон, как и все остальные объекты: фотоны отрываются от них и собираются перед нашими глазами. Обычно свет, испускаемый объектом, вызывает в самом объекте лишь незначительные возмущения, но это не отменяет нашей фундаментальной неспособности полностью отделить процесс измерения от измеряемого предмета. Логично предположить, что можно миновать ограничения принципа неопределенности, если придумать достаточно хитроумный эксперимент. Сейчас мы покажем, что это не так, и принцип неопределенности носит фундаментальный характер: мы выведем его исключительно из нашей теории циферблатов.

 

Вывод принципа неопределенности Гейзенберга из теории циферблатов

Вместо того чтобы начать с частицы в определенной точке, подумаем лучше о ситуации, когда мы лишь примерно знаем, где находится частица, но точное ее местоположение неизвестно. Если она где-то в небольшой области пространства, нужно представить ее в виде ряда циферблатов, занимающих всю эту область. В каждой его точке будет находиться по циферблату, и эти циферблаты отразят вероятность, с которой частицу можно найти в этой точке. Если мы возведем в квадрат длины всех стрелок этих циферблатов в каждой точке и сложим, то получим 1, то есть вероятность найти частицу где-то в этой области равна 100 %.

Через некоторое время мы воспользуемся собственными квантовыми правилами для серьезных вычислений, но сначала вынуждены признаться, что забыли упомянуть важное дополнение к правилу поворота стрелок. Мы не хотели вводить его раньше, потому что это чисто техническая деталь, но, если игнорировать ее при вычислении реальных вероятностей, правильных ответов не получим. Относится эта деталь к тому, что написано в конце предыдущего абзаца.

Если начать с одиночного циферблата, стрелка должна иметь длину 1, потому что частица должна находиться в месте расположения циферблата со 100 %-ной вероятностью. Наше квантовое правило гласит: чтобы описать положение частицы в какой-то момент будущего, мы должны переместить циферблат во все точки Вселенной, соответственно тому, как частица может прыгнуть из своего текущего местоположения. Естественно, мы не в силах сделать так, чтобы все стрелки циферблатов имели длину 1, потому что тогда вся интерпретация вероятности рушится. Представьте, например, что частица описывается четырьмя циферблатами, так как находится в четырех разных местах. Если стрелка каждого циферблата имеет длину 1, то вероятность того, что частица находится в любой из четырех позиций, будет равняться 400 % – очевидно, что это нонсенс. Чтобы решить эту проблему, мы должны уменьшать циферблаты, а не только двигать их против часовой стрелки. Это «правило уменьшения» гласит, что после того, как все новые циферблаты будут порождены, каждый из них должен быть разделен на квадратный корень из общего количества часов. Для четырех часов это значит, что каждую стрелку нужно разделить на √4, то есть стрелка каждого циферблата будет иметь длину ½. Отсюда следует: вероятность того, что частица будет найдена на месте любого из четырех циферблатов, равна (½)2 = 25 %. Таким простым способом мы можем убедиться, что вероятность нахождения частицы где-либо всегда будет 100 %-ной.

Конечно, количество возможных положений может быть бесконечным, так что циферблаты могут оказаться и нулевого размера. Это вызывает тревогу, но математика справится. Для наших целей мы всегда будем считать, что число циферблатов конечно и нам никогда не будет нужно знать, насколько уменьшается каждый циферблат.

Вернемся к предположению, что Вселенная содержит единственную частицу, положение которой точно не известно. Следующий раздел можете воспринимать как небольшую математическую задачу – следить за ходом мысли сначала окажется сложно (тогда попробуйте перечитать), но если вы сможете понять, что происходит, то поймете и то, как возникает принцип неопределенности. Для простоты допустим, что частица движется в одномерном пространстве, то есть находится где-то на прямой линии. Более реалистичный пример для трех измерений не отличается фундаментально, зато его сложнее изобразить. На рис. 4.3 мы сделали зарисовку ситуации одномерного движения, изобразив частицу линией из трех циферблатов. Однако нужно представить, что их намного больше – по одному в каждой точке, где может находиться частица. Просто нарисовать такое количество было бы очень трудно. В этой группе циферблатов, соответствующей исходному положению частицы, циферблат 3 находится слева, а циферблат 1 – справа. Итак, в этой ситуации мы знаем, что частица в начальный момент находится где-то между циферблатами 1 и 3. Ньютон сказал бы, что она останется между циферблатами 1 и 3, если с ней ничего не делать, но как насчет квантового правила? Здесь-то и начинается самое интересное: мы поиграем с правилами циферблатов, чтобы ответить на этот вопрос.

Рис. 4.3. Три циферблата, показывающие одинаковое время и расположенные на одной линии, описывают частицу, в начальный момент находящуюся где-то в области этих циферблатов. Нас интересует, каковы шансы на то, чтобы найти частицу в точке X в некоторый последующий момент времени

Позволим времени идти вперед и выясним, что произойдет с этим рядом циферблатов. Представим себе сначала одну конкретную точку на большом расстоянии от исходной группы циферблатов. На рисунке она отмечена буквой X. О точных параметрах «большого расстояния» поговорим чуть позже, а сейчас это просто значит, что стрелки должны существенно изменить свое положение.

Применив правила игры, мы должны перенести каждый циферблат из исходной группы в точку Х, передвигая стрелки и уменьшая их соответствующим образом. Физически это соответствует тому, что частица прыгает из точки поля в точку Х. В точку Х прибудет несколько циферблатов – по одному из каждой исходной точки, и следует сложить их все. В итоге квадрат длины результирующей стрелки циферблата в точке Х даст нам вероятность нахождения частицы в Х.

Теперь понаблюдаем за процессом в развитии и добавим ряд цифр. Допустим, что точка Х находится на расстоянии 10 единиц от циферблата 1, а ширина области, занимаемой исходной группой циферблатов, – 0,2 единицы. При ответе на очевидный вопрос «Что это за расстояние – 10 единиц?» в наше повествование входит постоянная Планка, но сейчас мы ловко отпихиваем ее в сторону и просто отмечаем, что 1 единица расстояния соответствует 1 полному (12-часовому) обороту стрелки на циферблате. Это значит, что точка Х примерно в 10² = 100 полных оборотах от изначального поля (помните о правиле хода часов). Положим также, что циферблаты в исходной группе были одного размера и все указывали на 12 часов. Предположение об их одинаковом размере – это предположение о том, что частицу можно с одинаковыми шансами найти в точках, соответствующих циферблатам 1, 2 и 3 на нашем рисунке, а значение того, что все циферблаты показывают одинаковое время, выявится позднее.

Чтобы переместить циферблат из точки 1 в точку Х, нужно в соответствии с правилом сделать полный оборот стрелки против хода часов 100 раз. Сейчас перенесемся в точку 3, которая находится в 0,2 единицы от точки 1, и переместим в Х и этот циферблат. Так как этот циферблат должен пройти 10,2 единицы, открутить его стрелку назад нужно чуть дальше – 10,2² раза, что очень близко к 104.

Теперь у нас два циферблата в точке Х, соответствующие частице, прибывшей туда из точки 1, и частице, прибывшей из точки 3. Их нужно сложить, чтобы начать вычислять итоговый циферблат. Поскольку обе стрелки были откручены назад примерно одинаковое количество раз, то они оба показывают приблизительно 12 часов. При сложении они дают часы с более длинной стрелкой, тоже указывающей на 12. Заметьте, роль играет только конечное положение часовой стрелки. Нет смысла фиксировать число ее оборотов. Пока все хорошо, но мы еще не закончили, потому что между правым и левым краями исходной группы еще есть множество маленьких циферблатов.

И мы переводим внимание на циферблат, лежащий посредине исходной группы, то есть в точке 2. Этот циферблат находится в 10,1 единицы от Х, то есть нужно совершить 10,12 оборота стрелки. Это очень близко к 102 полным оборотам, то есть снова получается целое число. Нужно прибавить этот циферблат к остальным из точки Х, и, как и в предыдущий раз, стрелка станет длиннее. Продолжим: есть точка между точками 1 и 2, и при перемещении циферблата в точку Х нужно будет сделать 101 полный оборот, что снова удлинит стрелку получающегося циферблата. И тут наступает важный момент. Если обратиться к циферблату между этими двумя, то его нужно будет подкрутить 100,5 раза до достижения точки Х. Таким образом получится циферблат, стрелка которого укажет на 6 часов, и при сложении мы уменьшим длину стрелки в Х. Немного подумав, вы убедитесь, что, хотя точки, отмеченные как 1, 2 и 3, дают в Х циферблаты, указывающие на 12, как и точки, лежащие между 1–2 и 2–3, но точки, лежащие на ¼ и ¾ пути между 1–3 и 2–3, дают циферблаты, указывающие на 6. Всего получается 5 циферблатов со стрелкой вверх и 4 циферблата со стрелкой вниз. При сложении всех этих циферблатов мы получим в точке Х такой циферблат, стрелка которого будет микроскопической, потому что почти все циферблаты будут отменять друг друга.

Такое «аннулирование циферблатов», разумеется, относится и к более реалистическому случаю, когда мы принимаем во внимание абсолютно все точки, лежащие в области между точками 1 и 3. К примеру, точка, лежащая на ⅛ пути от точки 1, дает циферблат со стрелкой на 9 часов, в то время как точка, лежащая на ⅜ пути, указывает на 3 часа – и снова они отменяют друг друга. В суммарном итоге оказывается, что циферблаты, соответствующие всем возможным для частицы маршрутам из любой точки поля в точку Х, отменяют друг друга. Аннулирование показано в правом углу рисунка. Стрелки соответствуют часовым стрелкам, прибывающим в Х из различных точек исходной области.

В результате сложения всех этих стрелок они отменяют друг друга. Это основной момент, который нужно усвоить.

Итак, повторим: мы сейчас показали, что, если исходная группа циферблатов достаточно велика и точка Х достаточно далека, то для каждого циферблата, прибывающего в Х со стрелкой на 12 часов, найдется другой циферблат со стрелкой на 6 часов, отменяющий предыдущий. Для каждого циферблата со стрелкой на 3 часа найдется другой со стрелкой на 9 часов, отменяющий первый, и т. д. Эта массовая отмена подразумевает, что на самом деле нет практически никаких шансов найти частицу в точке Х. Звучит это очень интересно и вдохновляюще, так как кажется, что описание соответствует неподвижной частице. Начав со смехотворного на вид предположения о том, что частица может перемещаться из любой точки пространства в любое другое место Вселенной за очень короткий срок, мы обнаруживаем, однако, что это не так, если начать с группы циферблатов. В ситуации, когда все циферблаты интерферируют друг с другом, частица практически не имеет возможности сдвинуться далеко от исходного положения.

Этот вывод, по словам профессора Оксфордского университета Джеймса Блайни, стал результатом «неконтролируемой квантовой интерференции». Для этого явления и соответствующей ему взаимной отмены циферблатов точка Х должна быть достаточно далека от исходной области, – настолько, чтобы циферблаты могли совершить достаточное количество оборотов. Почему? Потому что если точка Х расположена слишком близко, то стрелки часов, возможно, не успеют сделать даже один оборот, а следовательно, не будут отменять друг друга столь эффективно. Представим, например, что расстояние между циферблатом в точке 1 и точкой Х не 10 единиц, а 0,3 единицы. Теперь стрелка циферблата на передней стороне области повернется меньше, чем в предыдущем случае, совершая всего 0,3² = 0,09 оборота, и укажет на начало второго. Аналогично стрелка циферблата из точки 3 на задней стороне области совершит 0,5² = 0,25 оборота и укажет на 3 часа. Соответственно, все циферблаты в Х укажут на что-то между часом и тремя, то есть больше не отменяют друг друга, а складываются в один большой циферблат, указывающий приблизительно на 2 часа. Все это говорит о том, что существует довольно весомый шанс нахождения частицы в местах, расположенных вблизи от исходной области, но все же вне ее. Под «вблизи» мы понимаем расстояние, недостаточное для того, чтобы получить по меньшей мере один оборот стрелки часов. Все это уже намекает на принцип неопределенности, но по-прежнему выглядит довольно туманно, поэтому давайте разберемся, что именно мы понимаем под «достаточно большой» исходной областью и «достаточно удаленной» от него точкой.

Вслед за Дираком и Фейнманом мы сделали предположение, что, если частица массой m проходит расстояние x за время t, величина поворота стрелок будет пропорциональна действию, то есть mx² / t. Однако слова «пропорциональна» недостаточно, если нужно рассчитать реальные величины. Нужно точно знать, чему равен поворот стрелок. В главе 2 мы говорили о законе всемирного тяготения Ньютона и для точных количественных прогнозов ввели понятие гравитационной постоянной Ньютона, которая определяет величину силы гравитации.

С помощью добавления в уравнение постоянной Ньютона можно подставлять числа в уравнение и вычислять характеристики реальных физических явлений, например период обращения Луны по орбите или маршрут движения космического корабля «Вояджер-2» по Солнечной системе. Но нам нужно что-то подобное и для квантовой механики – такая природная константа, которая «задает масштаб» и позволяет нам взять величину действия и выдать точное предсказание того, сколько оборотов должны сделать часовые стрелки при перемещении частицы на конкретное расстояние из исходного положения за заданное время. Эта константа называется постоянной Планка.

 

Краткая история постоянной Планка

Вечером 7 октября 1900 года в полете вдохновения Максу Планку удалось понять, каким образом нагретые тела излучают энергию. Всю вторую половину XIX века точные отношения между распространением световых волн, испускаемых нагретыми телами, и их температурой были одной из главных загадок физики. Каждое нагретое тело испускает свет, причем с увеличением температуры природа этого света изменяется. Мы знакомы с видимым диапазоном света, соответствующим цветам радуги, но свет может иметь и такую длину волны, которая окажется слишком короткой или слишком длинной по сравнению с видимым человеческим глазом спектром. Свет с большей длиной волны называется «инфракрасным», его можно наблюдать с помощью приборов ночного видения. Еще более длинные – радиоволны. Более короткие, чем видимый спектр, световые волны называются ультрафиолетовыми, а волны самой короткой длины относятся к гамма-излучению. Неосвещенный кусок угля при комнатной температуре испускает инфракрасное излучение. Но если бросить его в костер, он начнет светиться красным цветом. Дело в том, что при повышении температуры угля средняя длина волны излучения уменьшается, постепенно доходя до значения, воспринимаемого человеческим глазом. Чем сильнее нагрето тело, тем короче длина волны, которую оно излучает. В XIX веке, когда точность экспериментальных измерений существенно выросла, стало ясно, что верной математической формулы для описания этого наблюдения не существует. Эту ситуацию часто называют «проблемой излучения черного тела», потому что физики называют идеализированные объекты, которые полностью поглощают излучение и затем переизлучают его (осуществляют реэмиссию), «черными телами». Эта проблема была очень серьезной, потому что показывала неспособность физиков понять характер света, излучаемого всеми на свете объектами.

Планк обдумывал этот и сопредельные вопросы термодинамики и электромагнетизма много лет, прежде чем был назначен профессором теоретической физики в Берлине. Изначально пост предлагался Больцману и Герцу, но оба отклонили предложение. Это оказалось неожиданной удачей, потому что Берлин был центром экспериментальных исследований излучения черного тела, а погружение Планка в сердце экспериментальной работы оказалось ключевым для его последующих теоретических свершений. Физики часто работают лучше, когда имеют возможность вести незапланированные беседы с коллегами по самому широкому спектру вопросов.

Мы знаем дату и время откровения, явившегося Планку, потому что он с семьей проводил воскресный день 7 октября 1900 года вместе с коллегой Генрихом Рубенсом. За обедом они обсуждали непригодность современных им теоретических моделей для детального объяснения излучения черного тела. К вечеру Планк нацарапал формулу на почтовой открытке и отправил Рубенсу. Формула оказалась верной, но выглядела и впрямь очень странно. Планк позднее охарактеризовал свои действия как жест отчаяния: он перепробовал все, что пришло в голову. Честно говоря, совершенно непонятно, как он пришел к своей формуле. В великолепной биографии «Научная деятельность и жизнь Альберта Эйнштейна», составленной Абрахамом Пайсом, написано: «Его аргументация была безумной, но безумие это было того божественного сорта, который привносят в науку только величайшие ее представители». Предложение Планка было одновременно революционным и необъяснимым. Он понял, что может истолковать излучение черного тела, только если предположить, что энергия испускаемого излучения состоит из большого количества более мелких «пакетов» энергии. Иными словами, общая энергия квантуется в единицах новой фундаментальной константы природы, которую Планк назвал квантом действия. Сегодня мы называем ее постоянной Планка.

Формула Планка предполагает (хотя он не имел об этом представления), что свет всегда излучается и поглощается пакетами, или квантами. В современной записи эти пакеты обладают энергией E = hc / λ, где λ – длина световой волны (произносится «лямбда»), c – скорость света, а h – постоянная Планка.

Роль постоянной Планка в этом уравнении – быть коэффициентом преобразования длины световой волны в энергию соответствующего кванта. Предположение, что определенное Планком квантование энергии испускаемого света возникает, потому что сам свет тоже состоит из частиц, было очень осторожно выдвинуто Альбертом Эйнштейном. Он сделал это предположение в 1905 году, в чудесный год вспышки своего творческого гения, когда он сформулировал также специальную теорию относительности и самое знаменитое уравнение в истории науки: E = mc². Правда, Нобелевскую премию 1921 года по физике (которая из-за каких-то хитрых бюрократических уловок была вручена только в 1922-м) Эйнштейн получил за работу над фотоэффектом, а не за более известные теории относительности. Ученый предположил, что свет можно рассматривать как поток частиц (в то время он не использовал термин «фотоны»), и верно осознал, что энергия каждого фотона обратно пропорциональна длине волны. Эта идея Эйнштейна стала источником одного из самых знаменитых парадоксов квантовой теории, в которой частицы ведут себя как волны, и наоборот.

Планк разрушил первые камни в основании Максвеллова представления о свете, показав, что энергия света, излучаемого нагретым телом, может быть описана, только если она испускается квантами. Окончательно разметал весь фундамент классической физики Эйнштейн. Его интерпретация фотоэлектрического эффекта заключалась не только в том, что свет испускается малыми порциями, но и в том, что он взаимодействует с материей в форме локализованных пакетов. Иными словами, свет действительно ведет себя как поток частиц.

Идея о том, что свет состоит из частиц (можно сказать, что «электромагнитное поле квантовано») звучала глубоко противоречиво, и правота Эйнштейна была признана лишь через несколько десятилетий. Так же неохотно, как они соглашались с идеей фотона, одним из соавторов которой стал сам Планк, в 1913 году коллеги Эйнштейна представляли его к членству в престижной Прусской академии (это было спустя целых восемь лет после введения понятия фотона):

«В целом можно сказать, что, кажется, нет ни одной крупной проблемы, на которые так богата современная физика, где Эйнштейн не отметился бы значительным вкладом. То, что порой его рассуждения могут оказываться несколько бесцельными, как, например, гипотеза световых квантов, нельзя рассматривать в качестве аргумента против него, потому что невозможно предлагать действительно новые идеи даже в самых точных науках, полностью исключая любой риск».

Иными словами, на самом деле в реальность фотонов никто не верил. Широко распространено было мнение о том, что предположение Планка относилось больше к свойствам материи – мельчайшим осцилляторам, испускающим свет, – чем к собственно свету. Было попросту слишком странно считать, что замечательные волновые уравнения Максвелла подлежат замене теорией частиц.

Мы рассказываем эту историю во многом для того, чтобы подтвердить: осознать квантовую теорию сложно всем и всегда. Визуализировать такие объекты, как электрон или фотон, нереально: они ведут себя то как частица, то как волна, а иногда как ни то ни другое. Эйнштейна этот вопрос беспокоил до конца жизни. В 1951 году, за четыре года до смерти, он писал: «Все 50 лет труда не приблизили меня к ответу на вопрос: что же такое световые кванты?»

Сейчас, спустя еще 60 лет, не возникает сомнения, что теория, которую мы продолжаем разрабатывать с помощью множества мельчайших циферблатов, безошибочно описывает результаты каждого эксперимента, поставленного для ее проверки.

 

Обратно, к принципу неопределенности Гейзенберга

Такова вкратце история введения постоянной Планка. Но для наших целей важнее всего отметить, что постоянная Планка – это единица «действия», то есть та же величина, которая говорит нам, насколько нужно повернуть часы. Современное значение постоянной Планка равно 6,626 × 10–34 кг·м²/с, что является крошечной величиной по меркам повседневности. Это и служит причиной того, почему мы не замечаем в повседневной жизни ее всепроникающего действия.

Вспомните, что мы писали о действии, соответствующем прыжку частицы из одной точки в другую: оно равно массе частицы, умноженной на квадрат расстояния, на которое совершен прыжок, и деленной на временной интервал, в течение которого этот прыжок происходит. Измеряется оно в кг·м²/с, как и постоянная Планка, так что если мы просто разделим действие на постоянную Планка, то все единицы сократятся и получится чистое число. Согласно Фейнману, это чистое число и есть та самая величина, на которую мы должны перевести стрелку, соответствующую частице, которая прыгает с одного места на другое. Например, если число равно 1, это значит один полный оборот, а если ½, то пол-оборота, и т. д. В символической форме точная величина, на которую мы должны перевести стрелку часов для расчета вероятности прыжка частицы на расстояние x за время t, равна mx² / (2ht).

Заметьте: в формуле появляется дробь ½. Вы можете либо принять на веру, что она необходима для достижения соответствия экспериментальным данным, либо заметить, что она возникает из самого определения действия. Оба варианта прекрасно подойдут. Сейчас, когда мы знаем значение постоянной Планка, можно точно вычислить величину поворота стрелки часов и коснуться вопроса, который чуть раньше оставили без ответа. А именно: что такое прыжок на расстояние «10»?

Посмотрим, что наша теория говорит о маленьком по повседневным нормам объекте – о песчинке. Теория квантовой механики, которую мы разработали, предполагает, что, если поместить песчинку в какую-то точку, позднее она может оказаться в любом другом месте Вселенной. Но очевидно, что с настоящими песчинками так не происходит. Мы уже видели способ выхода из этой потенциальной проблемы, потому что если интерференция между циферблатами, соответствующими песчинке, перепрыгивающей из множества изначальных точек, достаточна, то при сложении циферблатов они все отменяют друг друга, и песчинка остается на месте.

Первый вопрос, на который нужно ответить, звучит так: сколько раз будут повернуты стрелки часов, если мы переместим частицу с массой песчинки на расстояние, например, 0,001 мм за одну секунду? Мы не сможем увидеть такое небольшое расстояние невооруженным глазом, но для атомного мира оно все еще велико. Вычислить это довольно просто самостоятельно, заменив числа в правиле хода часов Фейнмана. Ответом будет где-то триллион полных оборотов стрелки. Только представьте себе масштабы сопутствующей интерференции.

В результате песчинка остается на своем месте, и практически нет шансов, что она перепрыгнет на существенное расстояние, хотя для получения этого вывода мы реально учитывали возможность того, что она может тайно выпрыгнуть куда-то в другую точку Вселенной.

И этот результат очень важен. Если вы сами подставили числа в формулу, то уже понимаете, почему это так: дело в ничтожной величине постоянной Планка. Если записать ее полностью, получится 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 662 6 кг·м²/с.

Если разделить почти любое привычное нам число на это, получится множество оборотов стрелок и огромная интерференция, так что все экзотические перемещения нашей песчинки по Вселенной отменят друг друга, и эту путешественницу через пространство мы будем воспринимать лишь как скучную пылинку, неподвижно лежащую на пляже.

Мы, разумеется, особенно интересуемся теми случаями, когда циферблаты не отменяют друг друга. Как мы уже видели, это происходит, если стрелка проходит не более одного оборота. В этом случае неконтролируемой интерференции не будет. Посмотрим, что это значит с количественной точки зрения.

Возвращаемся к группе циферблатов, заново нарисовав ее на рис. 4.4, но на этот раз вместо работы с точными числами будем рассуждать более абстрактно. Предположим, что область, в которой расположена группа циферблатов, имеет размер Δx, а расстояние до ближайшей точки области от точки Х равно x. В этом случае размер области Δx соответствует неопределенности нашего знания о начальном положении частицы; она стартует откуда-то из области размера Δx. Начиная с точки 1, которая находится в исходной области и ближе всего к точке Х, мы должны поворачивать часы соответственно прыжку из этой точки в точку Х на величину

Рис. 4.4. Он изображает то же самое, что и рис. 4.3, с тем исключением, что нет ограничения конкретной величиной размера группы циферблатов или расстоянием до точки X

Теперь перейдем к самой удаленной точке – точке 3. Когда мы переносим циферблат из этой точки в точку Х, стрелка поворачивается на большую величину, а именно

Теперь мы можем точно сформулировать условие, при котором циферблаты, прибывающие в точку Х из всех точек исходного поля, не аннулировали бы друг друга: разница между циферблатами, прибывшими из точек 1 и 3, должна быть меньше одного полного оборота, то есть

W 3 − W 1 < один оборот.

Если записать это полностью, мы получим

Рассмотрим конкретный случай, в котором размер области Δx будет много меньше расстояния x. Это значит, что мы исследуем условия, при которых частица совершит скачок значительно больший, чем диаметр ее исходной области. В этом случае условие, при котором циферблаты не отменяют друг друга, выводится непосредственно из предыдущего неравенства и выглядит как

Если вы немного знаете математику, то поймете, как это получается – с помощью перемножения членов в скобках и пренебрежения той частью, которая включает в себя (Δx)². Это можно сделать, потому что по условиям Δx по сравнению с x – величина очень малая, а малая величина в квадрате – это очень малая величина.

Это уравнение заключает в себе условие, при котором циферблаты в точке Х не отменяют друг друга. Мы знаем, что если циферблаты не аннулируются взаимно в определенной точке, то существуют хорошие шансы обнаружить в этой точке частицу. Итак, мы выяснили, что если частица изначально расположена внутри области размером Δx, то через время t существуют хорошие шансы найти ее на значительном расстоянии x от поля, если неравенство выше будет выполнено. Более того, это расстояние увеличивается со временем, потому что в формуле мы на время t делим. Иными словами, чем больше времени проходит, тем выше вероятность нахождения частицы довольно далеко от ее исходного положения. Тут мы начинаем подозревать, что частица все-таки двигается. Заметьте также, что шансы нахождения частицы вдалеке от исходной точки увеличиваются, если Δx уменьшается – то есть если неопределенность исходного положения частицы становится меньше. Иными словами, чем более точно мы улавливаем частицу, тем быстрее она удаляется от исходного положения. Теперь это уже очень напоминает принцип неопределенности Гейзенберга.

Напоследок давайте немного переформулируем наше неравенство. Заметьте: чтобы частица проделала путь из любой точки исходной области до точки Х за время t, она должна пройти расстояние x. Если вы действительно зарегистрировали частицу в точке X, то, разумеется, пришли к выводу, что частица передвигалась со скоростью x / t. Кроме того, напомним, что масса, умноженная на скорость частицы, есть ее импульс, поэтому величина mx / t – это измеренный нами импульс частицы. Теперь можно продвинуться еще дальше и вновь упростить неравенство, записав

где p – импульс. Можно переформулировать уравнение так, что оно примет вид

pΔx < h ,

и это действительно заслуживает дальнейшего обсуждения, потому что данное уравнение уже очень сильно напоминает принцип неопределенности Гейзенберга.

Итак, наши математические расчеты пока окончены, и, если вы не очень пристально следили за ними, вам следует ухватить нить рассуждений с этого момента.

Если начать с частицы, находящейся внутри связной области размером Δx, то, как мы установили, с течением времени она может оказаться где угодно внутри более крупной области размером x.

Эта ситуация показана на рис. 4.5. Точнее говоря, это значит, что, если бы мы искали частицу в начальный момент, были бы шансы найти ее где-то во внутренней области. Если бы мы не стали проводить измерения, а решили подождать, высоки были бы шансы найти ее где-то во внешней, более крупной связной области. Это значит, что частица могла перейти из точки внутри малой начальной области в точку внутри более крупной. Однако она не обязана была двигаться, так что до сих пор есть вероятность нахождения ее в меньшей области Δx. Но вполне возможно, что измерения покажут, что частица дошла как раз до края большой области. Если бы этот предельный случай был реализован при измерении, то мы заключили бы, что частица движется с импульсом, который задается только что выведенным нами уравнением (если вы не следовали за нашими математическими рассуждениями, просто примите это на веру), то есть p = h / Δx.

Рис. 4.5. Небольшая область со временем растет, в то время как изначально локализованная там частица с течением времени делокализуется

Теперь можем опять начать сначала и вернуть все в исходное положение. Частица опять окажется в малой области размера Δx. После измерения мы, вероятно, найдем частицу в какой-то другой точке внутри более крупной области, до границы, и таким образом придем к выводу, что ее импульс меньше предельного значения.

Если мы представим, что вновь и вновь повторяем этот эксперимент, измеряя импульс частицы, которая первоначально находится внутри небольшой области размером Δx, мы обычно будем получать при измерении множество значений p где-то между нулем и предельным значением h / Δx. Фраза «если проделать этот эксперимент несколько раз, то можно предсказать, что измеренный импульс окажется в пределах между нулем и h / Δx» значит, что «импульс частицы имеет неопределенность h / Δx». Как и в случае с неопределенностью положения, физики ввели для неопределенности этого рода символ Δp и пишут, что ΔpΔx ~ h. Значок ~ обозначает, что произведение неопределенностей положения и импульса примерно равно постоянной Планка – оно может быть или немного больше, или немного меньше. Немного углубившись в математику, можно сделать это уравнение еще более точным. Результат будет зависеть от подробностей расположения первоначальной группы циферблатов, но не стоит тратить на него слишком много сил и времени, потому что уже сделанного достаточно, чтобы понять основные идеи.

Утверждение, что неопределенность положения частицы, умноженная на неопределенность ее импульса (приблизительно), равна постоянной Планка – возможно, самая известная формулировка принципа неопределенности Гейзенберга. Эта формулировка гласит: если мы знаем, что частица находится в какой-то исходный момент времени в какой-то области, то измерение положения частицы в какой-то более поздний момент времени покажет, что частица движется с импульсом, значение которого нельзя предсказать точнее, чем «нечто между нулем и h / Δx». Иными словами, если мы будем все больше и больше сужать начальную область нахождения частицы, она будет стремиться отпрыгнуть от этой области все дальше. Это настолько важно, что заслуживает третьего варианта формулировки: чем точнее вы знаете положение частицы в какой-то момент, тем хуже будете знать скорость ее движения и, соответственно, ту точку, в которой она окажется позже.

Эта формулировка принципа неопределенности как раз и принадлежит Гейзенбергу. Она лежит в основе квантовой теории, но тут мы должны четко заявить, что сам по себе принцип вовсе не является неопределенным. Это утверждение о нашей неспособности точного отслеживания частицы, и здесь не больше места для квантового волшебства, чем в ньютоновой физике. На последних нескольких страницах мы вывели принцип неопределенности Гейзенберга из фундаментальных правил квантовой физики, которые соответствуют правилам хода часов, сложения и вычитания циферблатов. И действительно, его происхождение кроется в нашем допущении, что частица через мгновение после измерения ее положения может оказаться в любом другом месте Вселенной. Диковатость нашего первого предположения, что частица может оказаться в совершенно произвольном месте Вселенной, была приручена с помощью неконтролируемой квантовой интерференции, и принцип неопределенности – это в каком-то смысле все, что осталось от исходной анархии.

Прежде чем двинуться дальше, мы должны сказать еще нечто очень важное об интерпретации принципа неопределенности. Не следует впадать в заблуждение, думая, что частица находится в каком-то конкретном единственном месте и что распространение исходных циферблатов отражает лишь ограниченность нашего понимания. Если мы считаем, что не можем правильно вывести принцип неопределенности, потому что не можем признать необходимость рассматривать все циферблаты из всех точек внутри исходной области, можно перемещать их по очереди в отдаленную точку Х и потом складывать. Именно делая это, мы и получили наш результат, то есть нам пришлось предположить, что частица прибывает в Х через суперпозицию многих возможных маршрутов.

Принципом Гейзенберга мы чуть позже воспользуемся для иллюстрации некоторых примеров из реального мира. Сейчас же достаточно и того, что нам удалось вывести один из ключевых результатов квантовой теории, не пользуясь ничем другим, кроме простых манипуляций с воображаемыми циферблатами.

Подставим в уравнения несколько цифр, чтобы добиться лучшего понимания предмета. Сколько нужно ждать возникновения существенной вероятности, что песчинка выпрыгнет из спичечного коробка? Предположим, что спичечный коробок имеет стенки длиной 3 см, а песчинка весит 1 мкг. Напомним, что условие для появления существенной вероятности перемещения песчинки на заданное расстояние определяется неравенством

где Δx – размер коробка. Теперь подсчитаем, каким должно быть время t, если мы хотим, чтобы песчинка покрыла расстояние x = 4 см, что уверенно превосходит размеры спичечного коробка. С помощью очень несложной алгебры находим, что

после чего подставляем числа и обнаруживаем, что t должно быть больше, чем примерно 1021 секунд. Это около 6 × 1013 лет, то есть в 1000 раз больше возраста Вселенной. Так что, вероятно, этого не случится. Квантовая механика – странная штука, но не настолько странная, чтобы песчинка сама по себе выпрыгивала из спичечного коробка.

Завершая эту главу и переходя к следующей, сделаем еще одно, последнее наблюдение. Наш вывод принципа неопределенности основывался на конфигурации часов, показанной на рис. 4.4. Если говорить точнее, то мы установили исходную группу часов так, чтобы все стрелки были одинаковой длины и показывали одно и то же время. Это соответствует частице, находящейся в начальном состоянии покоя в определенной области пространства, – как, например, песчинка в спичечной коробке. Хотя мы выяснили, что частица, скорее всего, не будет пребывать в покое, мы также обнаружили, что для больших объектов – а для квантового мира песчинка действительно очень велика – это движение совершенно незаметно. Таким образом, какое-то движение в нашей теории есть, но это движение неощутимо для достаточно больших объектов. Похоже, мы упускаем из виду что-то важное, потому что крупные предметы на самом-то деле движутся, а квантовая теория, как мы помним, – это теория и малых, и больших объектов. Теперь мы должны обратиться к новой проблеме: как объяснить движение?