Ал-Хорезми (IX в.)

Известный узбекский алгебраист первой трети IX века Мухаммед бен Муса ал-Хорезми увековечил свое имя в науке главным образом благодаря двум математическим трактатам: один по алгебре — «Хисаб ал-джебр вал-мукабала», а другой по арифметике — «Арифметика».

Ал-Хорезми, как видный ученый своего времени, жил при дворе халифа ал-Мамуны (813–833), покровителя и ценителя наук, по велению которого на арабский язык переводились труды древнегреческих классиков и индийских ученых. Именно по указанию ал-Мамуны ал-Хорезми сделал извлечение из астрономических таблиц индийских математиков, а также путем астрономических наблюдений в Багдаде и Дамаске исправил нужные для астрономии таблицы хорд Птолемея. Кроме того, он принимал участие при измерении градуса земного меридиана и составил ряд трактатов, в том числе «Трактат по астролябии» и «Трактат о солнечных часах».

Свой замечательный трактат по алгебре ал-Хорезми написал также по указанию ал-Мамуны около 830 года как учебное руководство для юношества. В предисловии к своей книге, отзываясь с похвалой о своем покровителе ал-Мамуне, ал-Хорезми отмечает, что задался целью написать краткое сочинение о вычислениях при посредстве «восстановления» (ал-джебр) и «сопоставления» (вал-мукабала). По его словам, он ограничился изложением того, что является наиболее легким и понятным в арифметике, с чем люди сталкиваются на каждом шагу в различных денежных сделках, в торговых делах, в вопросах межевания земли и т. д. Таким образом, алгебраическое сочинение ал-Хорезми преследовало цель элементарного изложения важных сведений, носящих прикладной характер.

Сочинение преимущественно посвящается решению уравнений первой и второй степени. В нем автор рассматривает «шесть случаев»:

1) x 2 =ах; 4) x 2 +a=b;

2) x 2 =а; 5) x 2 +a = bx;

3) ах=b; 6) ax+b=х 2 .

Все эти случаи ал-Хорезми рассматривает на числовых примерах. Для решения подобных уравнений он предложил метод «восстановления» (ал-джебр) и «сопоставления» (вал-мукабала). Например, уравнение

х 2 −5х−12 = х−14

посредством операции «ал-джебр» принимает вид

x 2 +14 = х+5х+12,

а это уравнение после операции «вал-мукабала» приводится к виду

а 2 +2=6х.

Следовательно, при помощи двух указанных выше операций данное уравнение сводится к установленной «нормальной» форме, в данном случае к пятой, т. е. к виду

x 2 +a=bx

Для решения этого уравнения у ал-Хорезми имеется правило, выраженное в словесной форме, которое в современном обозначении сводится к формуле

Для решения квадратных уравнений ал-Хорезми, по-видимому, пользовался двумя приемами — арифметическим и геометрическим. Геометрический прием основан на приравнивании площадей, выражающих геометрическую интерпретацию заданного уравнения. Так, чтобы решить уравнение х 2 +ах=Ь, рассматривался квадрат, состоящий из 4 прямоугольников и 5 квадратов (см. рисунок на стр. 52). Обозначив через S площадь исходного квадрата, получим

С другой стороны,

Приравнивая

правые части, получим

Откуда

Один персидский математик методы «ал-джебр» и «вал-мукабала» даже изложил стихами.

Ал-джебр

Вал-мукабала

Что касается арифметического трактата ал-Хорезми, то он явился источником распространения в странах Ближнего и Среднего Востока и Европы десятичной позиционной системы счисления, заимствованной у индийских математиков.

Алгебраический и арифметический трактаты хорезмского ученого, конечно, трудно переоценить, ибо оба они сыграли огромную роль в истории не только математики, но и всей человеческой культуры.

В заключение надо отметить, что термин «алгебра», как международное название математической науки, произошел от слова «ал-джебр», т. е. от названия трактата ал-Хорезми «Хисаб ал-джебр вал-мукабала». Интересно отметить также, что термин «алгоритм» (общее решение любой математической задачи) есть не что иное, как искаженное имя «ал-Хорезми».

 

Авиценна (Ок. 980-1037 гг.)

Авиценна (Абу-Али ибн-Сина) — великий таджикский ученый-энциклопедист, много сделавший для процветания математической науки. Родился в бухарском селении Афшана. Уже в молодости стал видным ученым и овладел многими профессиями. Он был крупным астрономом, замечательным математиком, видным химиком и одаренным врачом-исследователем. В своих математических трудах Авиценна обобщил достижения своих современников и предшественников, а также ставил и разрешал собственные математические проблемы. Большую роль для развития математической науки сыграли комментарии и дополнения Авиценны к «Началам» Евклида.

В своей арифметике Авиценна решал проблемы, которые в настоящее время принадлежат к теории чисел. Об этом красноречиво говорят следующие два правила Авиценны.

Авиценна

Первое правило. «Если дано число, которое, будучи разделено на 9, дает в остатке 1 или 8, то квадрат этого числа, деленный на 9, дает в остатке 1. Если число, разделенное на 9, дает в остатке 2 или 7, то квадрат этого числа, разделенный на 9, дает в остатке 4. Если число, деленное на 9, дает в остатке 4 или 5, то его квадрат, деленный на 9, дает в остатке 7. Наконец, если число, деленное на 9, дает в остатке 3, 6 или 9, то его квадрат, разделенный на 9, дает в остатке 9».

Второе правило. «Если число, деленное на 9, дает в остатке 1, 4 или 7, то его куб, деленный на 9, дает в остатке 1; если число, деленное на 9, дает в остатке 2, 5 или 8, то его куб, деленный на 9, дает в остатке 8 и если число, деленное на 9, дает в остатке 3, 6 или 9, то его куб, деленный на 9, дает в остатке 9».

Авиценна был непререкаемым авторитетом в самых разнообразных областях науки своего времени и по заслугам назывался тогда «главой философов». Историки рисуют Авиценну как человека, верившего в непобедимую силу разума, как борца против слепой веры в религиозные догмы и авторитет церкви. Он считал ложным утверждение церковников, будто бог управляет Вселенной и является вершителем судеб природы и общества. По мнению Авиценны, бог — недеятельная пустая абстракция, не имеющая никакого отношения к развитию окружающей нас материальной действительности, подчиняющейся только своим естественным внутренним законам. Великий ученый требовал, чтобы богословы не вмешивались в дела науки и не тормозили ее развития.

Кроме научных сочинений, Авиценна писал стихи. Силой и мужеством звучат его атеистические четверостишия, в которых полным голосом он клеймит религиозных фанатиков и невежд.

Так, в одном из таких четверостиший Авиценна писал:

Авиценна, как атеист и первооткрыватель многих вопросов науки, подвергался гонению. Его приговаривали к заключению в тюрьмах и к изгнанию, а книги его объявлялись еретическими и обрекались на сожжение.

 

Омар Хайям (Ок. 1040–1123 гг.)

О мар Хайям — выдающийся таджикский ученый — астроном, математик, философ и поэт. О жизни Омара Хайяма имеются скудные сведения. Еще в молодости он проявлял особую склонность к математическим наукам. Многогранный талант молодого ученого был подмечен главным самаркандским судьей. Это обстоятельство побудило Омара Хайяма переехать в Самарканд к своему ценителю и покровителю.

Позднее исключительное дарование Омара Хайяма и его растущая слава позволили ему сделаться придворным ученым сельджукского султана Мелик-шаха. По поручению последнего в 1074 году Омар Хайям возглавлял обсерваторию в Исвахане. В 1079 году по заданию Мелик-шаха он составляет более совершенный календарь, намного точнее григорианского, которым пользуется человечество в настоящее время.

В 1077 году Омар Хайям написал трактат о теоремах Евклида, перевел на персидский язык труды Авиценны, в 1080 году закончил трактат по метафизике («О первоначалах всякого бытия»).

Омар Хайям

Однако сравнительное благополучие Омара Хайяма кончилось со смертью Мелик-шаха.

Его материальное положение сильно пошатнулось. Кроме того, он подвергся нападкам со стороны духовенства. По-видимому, чтобы избегнуть преследования за атеизм и вольнодумство, он в преклонном возрасте совершает паломничество в Мекку. Из Мекки он вернулся в свой родной Нишапур, где и скончался.

В своем крупнейшем математическом сочинении «Алгебра» Омар Хайям подробно рассматривает решение линейных и квадратных уравнений, а также геометрическое построение кубического уравнения.

Алгебру как науку Омар Хайям определяет так: «Алгебра есть научный метод. Ее предмет есть абсолютные числа и измерение величин, которые, будучи неизвестны, поставлены в такие соответствия с чем-нибудь, что их можно определить. Алгебраические решения получаются не иначе, как через уравнение».

Заслуга Омара Хайяма в алгебре заключается в том, что он первый дал способы решения кубических уравнений, которые не были известны до него; положил начало приложениям алгебры к геометрии.

В геометрии Омар Хайям составил оригинальную теорию параллельных линий.

Как поэт в своих четверостишиях Омар Хайям воспел атеизм, свободолюбие и благородные стремления людей. В тяжелые времена средневековья, прославляя свободу человеческой личности, осудил тиранию и гнет, ханжество и лицемерие святош. Он не был доволен тем миром, в котором жил, и желал улучшить его:

Омар Хайям не верил в загробный мир. По этому поводу он иронически писал:

Омар Хайям выступал против всякой религии: языческой, магометанской, христианской: