— Мы с тобой уже обсудили, что такое треугольник и вообще многоугольник, — так начал дедушка очередное занятие в комнате на втором этаже. — А как бы ты объяснил, что такое окружность? Это не так просто, как кажется, хотя, конечно, ты без труда найдешь ее среди других фигур.

74.  На рисунке 20 имеется несколько овалов. Какой из них, если и не является окружностью, то более всего на нее походит?

                  Рис. 20

Федя указал на тот овал, который, по его мнению, был меньше всего сплющен. Так он и объяснил свой выбор.

— Верно! И все же, что такое окружность? Я не понимаю, что означает «сплющен». Ну-ка, подойди к окну. Что ты видишь прямо за забором? Вернее, кого?

— Я вижу белую козу.

— Гм! У тебя очень хорошее и даже удивительное зрение. Что касается меня, то я вижу козу, белую с правого бока. Но не в этом сейчас дело. Коза привязана за колышек веревкой. Участок, где она пасется, является…

— Кругом!

— Правильно! А границей этого участка будет окружность. Все ее точки находятся от колышка на одинаковом расстоянии, равном длине веревки. Окружность — это линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от заданной точки. Надо еще добавить, что все эти точки лежат в одной плоскости. Окружность является границей круга. То есть окружность — это линия, а круг — часть плоскости. Да, кстати, подойди-ка еще раз к окну. Что ты видишь теперь?

— Белую козу с большим черным пятном на боку.

— Значит, мы можем сделать вывод, что эта коза белая с большим черным пятном на левом боку. Но вернемся к окружности. У окружности есть центр. И все точки окружности находятся на одинаковом расстоянии от центра. Это расстояние называется радиусом. Отрезок, соединяющий любые две точки окружности, называется хордой. Если хорда проходит через центр окружности, то она является диаметром. Как видишь, длина диаметра равна двум радиусам. Диаметр — самая длинная хорда. Для изображения окружности мы используем циркуль.

Нарисуй на большом листе бумаги несколько окружностей с помощью циркуля и от руки. Не правда ли, тяжело рисовать окружность от руки? (Хотя от ноги еще труднее.) Поэтому тебе задание. Каждый вечер ты должен тренироваться в изображении окружности от руки. Это трудно, но полезно. Великий художник Дюрер мог от руки нарисовать окружность и указать ее центр так точно, что даже с помощью циркуля нельзя было найти никаких отклонений.

Итак, у окружности есть центр. Но и у квадрата тоже есть центр.

75.  Чем центр окружности отличается от центра квадрата? (Вопрос этот не очень точен с математической точки зрения, но все-таки понятно, о чем спрашивается.)

76.  На рисунке 21 изображены несколько окружностей и несколько отрезков. Для каждой окружности один из отрезков равен ее диаметру. Вернее, почти равен. Проверь свой глазомер и попробуй «на глазок» для каждой окружности указать отрезок, равный ее диаметру. Потом проверь циркулем.

                  Рис. 21

77.  Ты, конечно, видел канализационные люки. В городе их много. Как ты думаешь, почему крышки канализационных люков делаются круглыми, а не квадратными?

Возможно, окружность — самая главная фигура геометрии. Я даже считаю, что окружность — это душа геометрии. Ты, наверное, слышал о великом Архимеде. Он жил примерно 2300 лет назад в городе Сиракузы на острове Сицилия. За свою жизнь Архимед сделал много великих открытий. Я не стану их перечислять. Говорят, что именно он изобрел рычаг. Принцип рычага и сейчас используется почти в любом подъемном механизме. Он позволяет с помощью небольшого усилия поднять тяжелый груз. Именно по этому принципу и был устроен механизм, который использовал Нави. Обо всем этом ты вскоре узнаешь на уроках физики. А я хочу сказать о другом.

В конце жизни Архимед очень увлекся геометрией. Особенно интересовала его окружность. Архимед сделал замечательные геометрические открытия. Многие из них относятся именно к окружности. Так, например, он доказал, что если диаметр окружности умножить на 22, а затем получившееся число разделить на 7, то в частном будет число, очень близкое к длине окружности. В настоящее время существуют гораздо более точные методы вычисления длины окружности, но метод Архимеда вполне годится для практических расчетов и сегодня.

Когда на родной город Архимеда Сиракузы напали римляне, ученый очень помог жителям Сиракуз при обороне. Например, говорят, что он сумел изготовить большие зеркала и с их помощью направить лучи солнца на корабли римлян и поджечь их. Но силы были не равны. Римляне захватили и разрушили Сиракузы. (Сейчас на месте древнего города находится небольшой порт Сиракуза.) Когда римляне входили в город, Архимед занимался геометрией. Он рисовал на песке круги. Легенда гласит, что последними словами Архимеда, перед тем как его убил римский легионер, были: «Осторожно, не наступи на мои круги». Об Архимеде можно говорить долго. Удивительный был человек. Некоторые из его открытий в те времена казались никому не нужными. Но сейчас мы можем сказать, что если бы Архимед и другие великие ученые две с лишним тысячи лет назад не сделали свои открытия о свойствах окружностей и других кривых, то человек не смог бы летать в космосе.

Взгляни-ка. Появилась вторая коза. Они мирно пасутся рядышком. Травы хватает, да и коза — животное мирное, если, конечно, ее не дразнить. Вот еще несколько задач на тему козы и геометрии.

78.  Представь себе, что длина веревки у одной козы равна 5 метрам, а у другой — 7 метрам. На каком расстоянии надо вбить колышки, чтобы козы не могли помешать друг другу и поссориться из-за какого-нибудь вкусного кустика? Укажи самое маленькое возможное расстояние между колышками.

79.  Вообрази, что имеется колодец в форме квадрата со стороной 2 метра. К одному из его углов привязана коза (рис. 22). Какой вид имеет область, где может пастись коза? Нарисуй эту область для случаев, когда длина веревки равна: а) 2 метрам; б) 4 метрам; в) 5 метрам.

                  Рис. 22

80.  Имеется беседка в виде шестиугольника со стороной 2 метра. К одной из ее вершин привязана коза. Изобрази, где может пастись коза, если длина веревки равна: а) 3 метрам; б) 6 метрам.

В любом механизме, сделанном человеком, имеется множество кругов и окружностей. Наверное, самое великое изобретение человека — это колесо. Действительно, это сейчас кажется так просто — колесо. Подумаешь! Но в природе нет колеса. Животные плавают и летают, они ходят, ползают, а некоторые даже имеют свой личный реактивный двигатель. Но все они бесколесные. И все же круги в природе не редкость. Постарайся вспомнить несколько таких примеров.

— Шляпка гриба, круги на воде от камня… — с трудом вспоминал Федя.

(Добавь и ты что-нибудь к этому списку.)

— И все-таки попробуй объяснить.

81.  Почему колесо имеет форму круга, а не квадрата? Рассмотри квадрат, стоящий на прямой (рис. 23). Пусть он начнет перекатываться, как на рисунке. Нарисуй линии, которые описывают центр квадрата, вершина квадрата, некоторая точка A, отмеченная внутри квадрата.

                  Рис. 23

Впрочем, можно придумать дорогу, по которой будет удобно ездить на велосипедах с квадратными колесами.

Окружность обладает очень важным свойством. Если мы начнем ее вращать вокруг центра, то ничего не меняется, просто одни точки окружности переходят в другие. Окружность может скользить сама по себе. Существует еще одна линия, обладающая таким же свойством, и ты ее знаешь. Какая это линия?

Федя подумал, но на ум ничего не приходило. (Странное выражение, не так ли? Особенно если в него вдуматься. И опять…)

— Это же — самая обычная прямая.

— Верно, — согласился Федор.