Каждое утро первым делом Федя открывал сундук. И почти всегда находил там что-то интересное. Он уже этому не удивлялся. К чудесам привыкаешь быстро. Скорее, он удивлялся тем редким случаям, когда сундук оказывался пустым. Очень часто в сундуке обнаруживались условия интересных задач, описания занимательных математических забав, различные инструменты и материалы, помогающие выполнить предлагаемое задание. Федор понимал, что эти задачи и забавы придуманы Нави и его помощниками для учеников и жителей Аииарии. Все, что Федя вынимал из сундука, он складывал на своем столе. Сначала с правой стороны. Там собирались задачи и задания, в которых он еще не разобрался. А те, что он выполнил — сам или с помощью дедушки, перекладывал на левую сторону. Пора и нам познакомить читателя с этой все пополняющейся на столе коллекцией.

98.  Эту удивительную забаву прислал нам друг из соседней Индии. Его имя Капрекар. Возьми любые четыре цифры, но не все одинаковые (одинаковыми могут быть три). Запиши их в порядке убывания, начиная с наибольшей. Получишь четырехзначное число. Затем запиши эти цифры в порядке возрастания. Получишь другое четырехзначное число. Вычти второе из первого. Если результатом будет число трехзначное, припиши спереди 0. С получившимися четырьмя цифрами поступи точно так же. Не позднее чем на седьмом шаге ты получишь некое число. При этом ты быстро поймешь, что дальше вычислять смысла нет. Это число ты сможешь прочитать на обратной стороне этой бумаги, если подержишь ее под лучами жаркого солнца.

99.  Ты сам можешь составить для себя упражнения на два самых трудных арифметических действия: умножение и деление. Возьми большой лист бумаги, нарисуй на нем квадратную сетку (рис. 26). Представь себе, что все квадраты окрашены в шахматном порядке. Рассмотри лишь белые квадраты. Сверху вниз от одной белой клетки до другой проведи произвольный зигзаг, стороны которого идут по белым диагоналям (число сторон у зигзага любое). Возьми два горизонтальных ряда из белых клеток, начинающихся в верхнем и нижнем концах зигзага и идущих в правую сторону (см. рис. 26). Во всех клетках зигзага впиши 1. Напиши 1 и в клетках, составляющих два горизонтальных ряда. (Сначала поставь 1 лишь в первых клетках.) Теперь начни заполнять числами белые клетки внутри получившейся полосы и вправо от зигзага по следующему правилу. Возьми любые четыре соседние белые клетки, образующие квадрат с вершинами вверху и внизу, а также справа и слева:

                  Рис. 26

Здесь буквы В, П, Л и Н означают верхний квадрат, правый квадрат, левый квадрат и нижний квадрат. Если во всех четырех квадратах стоят числа, то связь между ними определяется равенством В Н + 1 = Л П. Другими словами, если мы знаем числа, находящиеся в верхнем, нижнем и левом квадратах, то мы можем найти число, стоящее в правом квадрате. Для этого нам надо перемножить числа из верхнего и нижнего квадратов, прибавить к произведению 1 и разделить получившуюся сумму на число, стоящее в левом квадрате. Начав двигаться от зигзага, мы начнем заполнять соответствующие белые клетки числами, которые сначала будут расти, а затем уменьшаться, пока снова не возникнет другой зигзаг из 1, но уже с правой стороны. На рисунке 26 показан пример: начальный зигзаг (он слева) и то, что из него получилось.

Удивительно, но всякий раз деление будет возможно без остатка. Если, конечно, ты не будешь ошибаться. Чем длиннее исходный зигзаг, тем большие по величине числа будут появляться.

100.  Однажды на постоялый двор прибыл чужестранец. У него не было денег, но была золотая цепочка из 7 звеньев. Он договорился с хозяином, что за каждые сутки проживания будет платить по 1 звену из своей цепочки. При этом он должен отдавать 1 звено сразу, как закончатся сутки. Понятно, что для выполнения этого условия необходимо распиливать цепочку. Путник прожил на постоялом дворе ровно 7 дней, полностью рассчитался с хозяином и при этом распилил лишь одно звено в цепочке. Как это ему удалось?

101.  По дереву, высота которого равна 10 метрам, ползет улитка. За день она поднимается на 3 метра, а ночью сползает вниз на 2 метра. Через сколько времени она доберется до вершины дерева?

(Д—40–41.)

102.  На противоположных краях Большой Желтой пустыни находились два караван-сарая. Из каждого ежедневно точно в полдень отправлялся караван верблюдов, который пересекал пустыню ровно за 7 суток и прибывал в противоположный караван-сарай так же точно в 12 часов дня. Сколько встречных караванов будет на пути следования одного каравана?

103.  На какое наибольшее число частей можно раз-рубить подкову двумя ударами меча?

104.  В круге проделана круглая дырка, не лежащая в центре (рис. 27). Разрежь круг на две части, которые затем можно сложить так, что получится такой же круг, но с дыркой в центре.

                  Рис. 27

105.  Летит стая драконов. Среди них есть драконы двух видов. У одних три головы и два хвоста, а у других — две головы и три хвоста. Всего голов 173, а хвостов 192. Спрашивается: сколько трехголовых и сколько двухголовых драконов в стае?

106.  Хитрый Иосиф. Существует легенда, согласно которой после захвата Иотапаты римлянами Иосиф вместе с 40 иудейскими воинами бежал и спрятался в пещере. Находясь в пещере, воины решили, что лучше покончить с собой, чем попасть в руки завоевателей. С этим не согласился сам Иосиф и еще один человек. Однако, опасаясь открыто выступить против остальных, он как будто с ним согласился и предложил выполнить принятое решение организованно: всем встать в круг и убивать каждого третьего, пока не останется один человек, который совершит самоубийство. Затем Иосиф поставил себя и своего единомышленника на такие места, что они оказывались последними двумя остающимися в живых. Какие места определил Иосиф себе и своему единомышленнику?

107. 3 прыжка волка равны 5 прыжкам лисы. Но за то время, когда волк делает 4 прыжка, лиса делает 7 прыжков. Кто из них бежит быстрее?