Когда настал очередной дождливый день, который накануне, как всегда, точно предсказала дедушкина поясница, утром в сундуке обнаружились в большом количестве листы белой бумаги, ножницы, коробок со спичками и еще кое-что.
— Самое время заняться геометрией, — сказал дедушка. — Начнем со спичек. Я беру 9 спичек и выкладываю так, чтобы получилось три треугольника. Сторона каждого равна длине спички (рис. 28). Точнее, каждая сторона равна длине спички. Треугольники, у которых равны все три стороны, называются равносторонними. Треугольники, у которых равны две стороны, называются равнобедренными.
Рис. 28
114. Переложи две спички так, чтобы образовалось 4 таких же треугольника.
Эта задача простая. А сейчас внимание: очень важная задача!
115. Сложи 6 спичек так, чтобы получилось 4 треугольника со стороной, равной спичке.
Федя некоторое время пытался на столе сложить нужным образом 6 спичек, но у него ничего не получалось.
Дедушка некоторое время наблюдал за его попытками, а потом сказал:
— Плоские у тебя мысли, дорогой внук. Не забывай, что мы живем в пространстве.
И тут Федю осенило (почему не олетило, ведь до осени еще было далеко?), а может, озарило (это, пожалуй, ближе к правде, поскольку он не так давно проснулся): надо сложить спички в виде пирамиды (рис. 29)! Ура!!! Федя был счастлив почти также, а может, и более, чем когда его любимая команда забила решающий гол в решающем матче. (Автор знает эту команду, но не говорит, чтобы те ребята, которые болеют за другую команду, не обиделись на Федю.)
Рис. 29
— Вот видишь! Невозможное на плоскости оказывается возможным в пространстве. Однако продолжим наши забавы со спичками.
116. Видишь, на столе лежит 12 спичек, образующих 3 квадрата (рис. 30). Переложи 3 спички так, чтобы они образовали 4 таких же квадрата.
Рис. 30
117. А теперь расположи 12 спичек так, чтобы образовалось 6 (!) таких же квадратов.
После некоторых размышлений и дедушкиных намеков Федя догадался, что спички надо сложить в виде куба (рис. 31). Конечно, держаться спички в воздухе не могли, но все равно именно в этом и состояло решение.
Рис. 31
— Треугольная пирамида и куб — два главных многогранника. Какие многоугольники на плоскости соответствуют им? — спросил дедушка.
— Треугольник и квадрат.
— Согласен. Как ты помнишь, у многоугольников есть вершины и стороны. При этом число вершин всегда равно числу сторон. А что у многогранников? У них есть вершины, ребра и грани. Не буду объяснять, что это такое. Это понятно. У треугольной пирамиды 4 вершины, 6 ребер и 4 грани. Меньшего числа ни вершин, ни ребер, ни граней у многогранника быть не может.
118. Придумай два многогранника с 5 вершинами, но с различным числом граней.
На рисунке 32 изображены два различных многогранника с 6 вершинами. Один из них — это пятиугольная пирамида, а другой — треугольная призма. Пирамиды и призмы — самые главные виды многогранников. У треугольной призмы 6 вершин, 9 ребер и 5 граней. Куб — тоже призма. Четырехугольная.
Рис. 32
119. У куба 8 вершин, 12 ребер и 6 граней. Все грани у куба четырехугольники, точнее, квадраты. Придумай многогранник, у которого также было бы 8 вершин, 12 ребер и 6 граней, но не все грани были бы четырехугольниками.
Поверхность треугольной пирамиды состоит из 4 треугольников. Эту поверхность можно разрезать по ребрам или как-то иначе и «развернуть» на плоскости. Получим «развертку» пирамиды. И наоборот: чтобы изготовить из листа бумаги поверхность треугольной пирамиды, можно сначала нарисовать на этом листе «развертку» и, сложив ее по соответствующим линиям, получить поверхность треугольной пирамиды.
120. Какие рисунки из трех имеющихся (рис. 33) являются «развертками» треугольной пирамиды?
Рис. 33
121. а) Какие из изображенных здесь фигур, составленных из 6 квадратов (рис. 34), являются «разверткой» поверхности куба? б) Дорисуй соответствующие полоски и склей из возможных разверток кубы.
Рис. 34
Конечно, при изготовлении пирамиды или куба из «разверток» надо как-то заклеивать получающиеся щели между гранями. Иначе они будут расходиться. Это можно сделать при помощи липкой ленты. А можно при изготовлении «развертки» вырезать специальные полоски для склейки, как на рисунке 35.
Рис. 35
Но можно, оказывается, «сплести» поверхность треугольной пирамиды или куба.
122. Чтобы сплести поверхность треугольной пирамиды, все грани которой равносторонние треугольники, возьми две полоски бумаги, состоящие из четырех одинаковых равносторонних треугольников и из пяти (рис. 36). Сложи из одной полоски пирамиду, а затем вплести в нее другую, как на рисунке 36.
Рис. 36
Если взять полоски из бумаги разного цвета, то получится поверхность пирамиды, две грани которой одного цвета, а две грани — другого. На рисунке 36 показано, как надо сложить каждую полоску. После этого концы второй сложенной полоски надо просунуть в щели пирамиды, получившейся из первой полоски. Из рисунка понятно, что должно получиться в результате.
123. Можно предложить два способа сплетения поверхность куба. Для первого нужны три полоски бумаги, разделенные на четыре квадрата (рис. 37). Для второго способа нужны три полоски бумаги, составленные из пяти одинаковых квадратов (рис. 38). Сплети два куба указанными на рисунках 37 и 38 способами.
Рис. 37
Рис. 38
На рисунках показано, как сложить каждую полоску. Затем надо последовательно добавлять к первой полоске вторую и третью, при этом, если необходимо, просовывать концы следующей полоски в образовавшиеся щели. Если взять полоски из разноцветной бумаги, то в первом случае (см. рис. 37) получим куб, у которого пары соседних граней имеют одинаковый цвет. Во втором случае (см. рис. 38) одного цвета будут две противоположные грани.
Коробки в виде куба часто используют в торговле для упаковки разных предметов.
Рис. 39
124. а) Из рисунка 39 ты можешь понять, как можно изготовить складную кубическую коробку. В раскрытом виде она представляет собой куб без одной грани, без крышки. Две из пяти граней коробки — квадраты, а три — составлены из двух треугольников. Соседние грани и треугольники соединены так, что они могут складываться (например, при помощи клейкой ленты). При складывании коробка превращается в квадрат. Иногда к сложенной коробке добавляют еще один квадрат, который надо положить на дно развернутой коробки. Тогда она будет более прочной. Сделай складную кубическую коробку, б) Попробуй сделать такую же коробку, но с крышкой. Причем крышка должна не просто накрывать коробку, но и держаться закрытой.