(К задаче 10)
1. Вычисли устно:
а) 998 + 1002;
б) 138 + 575 — 134 — 572;
в) 6546 — 1309 + 1306 — 6543.
(К задаче 12)
2. У нас есть бочка с квасом и два ковша емкостью 3 литра и 5 литров. Как с помощью этих ковшей отлить из бочки: а) ровно 2 литра; б) ровно 1 литр?
3. Как из бочки с квасом отлить 1 литр, если в нашем распоряжении есть ведро на 12 литров и ковш на 5 литров?
4. Можно ли отлить из бочки с квасом ровно 1 литр, если у нас есть ковш на 2 литра и ковш на 4 литра?
(К задаче 15)
5. Ваня и Алена — брат и сестра. У Алены всего 3 брата и 1 сестра. Сколько братьев и сколько сестер у Вани?
6. Ваня и Алена — брат и сестра. У Алены братьев вдвое больше, чем сестер, а у Вани братьев и сестер поровну. Сколько всего братьев и сколько сестер в этой семье?
(К задаче 16)
7. У трех маляров есть брат Поликарп, а у Поликарпа братьев нет. Как это может быть?
8. Две мамы и две дочки разделили между собой поровну 300 рублей, и каждой из них досталось по 100 рублей. Как такое могло быть?
9. Сын моего отца, но не мой брат. Кто это?
10. В семье я рос один на свете, И это правда до конца, Но сын того, кто на портрете, — Сын моего отца. Кто же нарисован на портрете?
(К задачам 17–19)
11. Корова съедает охапку сена за 4 дня, а коза за 12 дней. За сколько дней они вместе съедят эту охапку сена?
12. Один маляр может покрасить забор за 1 час, а другой — за 40 минут. Сколько времени им понадобится, чтобы вдвоем покрасить забор?
13. Две крестьянки продают на рынке картошку. Одна продает по 70 рублей за ведро, а другая — по 30 рублей за кулек. У кого из них картошка дешевле, если ведро картошки весит 12 кг, а кулек — 5 кг?
14. Профессор Богачев и ассистент Копейкин работают в университете и читают лекции студентам. Профессор Богачев читает 13 лекций в месяц, а ассистент Копейкин — 3 лекции в неделю. Кто из них читает больше (полагаем, что в месяце 31 день)?
(К задаче 21)
15. Пять рыбаков за 5 дней поймали 5 судаков. Сколько судаков поймают 10 рыбаков за 10 дней?
(К задаче 27)
16. а) Какое наибольшее число записывается тремя римскими цифрами? А наименьшее? Тот же вопрос про четыре цифры.
б) Придумай два различных трехзначных числа (записанных римскими цифрами), сумма которых равна однозначному числу.
17. Вычисли:
а) IX — IV + XXVII;
б) C — LXII + XLI — XXXIV (К задаче 45)
18. а) Найди сумму: 1 + 2 + 3 + … + 39 + 40; 1 + 11 + 21 + 31 + … + 81 + 91. б) 6 бильярдных шаров можно сложить треугольником в 3 ряда (рис. 59). Если сложить треугольник в 4 ряда, то получится 10 шаров. А сколько шаров в треугольнике из 50 рядов?
Рис. 59
19. Настя Балабошкина разговаривала на уроке с соседкой по парте Галей Сплетиной. За это учитель дал им задание сложить все числа от 1 до 100. Причем задание учитель разделил между подружками «поровну»: Балабошкина должна найти сумму от 1 до 50, а Сплетина — от 51 до 100. Не вычисляя этих сумм, найди, на сколько сумма Сплетиной больше, чем сумма Балабошкиной.
20. Крестьянин нанялся на работу к помещику на две недели. По поводу оплаты договорились так: за первый день работы помещик платит крестьянину 10 копеек, а потом за каждый следующий день на 1 копейку больше, чем за предыдущий. За две недели крестьянин надеется заработать на новую лошадь, которая стоит 2 рубля 30 копеек. Удастся ли крестьянину это сделать?
(К задаче 46)
21. Из городов A и B, расстояние между которыми 25 километров, выехали одновременно навстречу друг другу два велосипедиста. Скорость первого 15 километров в час, скорость второго 10 километров в час. Одновременно с первым велосипедистом из города A вылетела в том же направлении муха, которая летела, пока не встретила второго велосипедиста, едущего навстречу, и тут же полетела обратно, пока не встретила первого, затем опять повернула обратно до встречи со вторым и т. д., так она летала между велосипедистами, пока те не встретились. Сколько всего километров пролетела муха, если ее скорость равна 30 километров в час?
(К задачам 51–55)
22. Может ли сестра быть в 200 раз старше брата?
23. Ваня через три года будет в 2 раза старше, чем он был 3 года назад. Сколько лет Ване?
24. Папа говорит сыну: «Сейчас я в 3 раза старше тебя, а через 12 лет буду старше тебя только в 2 раза». Сколько лет папе и сколько — сыну?
(К задачам 67, 68)
25. У меня дома есть будильник. Он механический (не электронный). Я всегда завожу его на 7 часов. Это значит, что будильник должен звонить 2 раза в сутки — в 7 утра и в 7 вечера. Но будильник почему-то звонит только по утрам, и я ни разу не слышал его вечером. Как же будильник отличает утро от вечера?
26. Сколько времени в течение суток минутная стрелка на часах находится между цифрами 1 и 2?
(К задаче 73)
27. Не пользуясь калькулятором, определи, какое из чисел больше:
а) 1003 + 998 или 2000;
б) 296 + 450 или 295 + 460;
в) 33 • 33 или 32 • 34;
г) 101 • 99 или 102 • 98.
28. Что больше: произведение двадцати троек или произведение тридцати двоек?
(К задачам 86–91)
29. Отгадай загадку:
30. В слове греет есть две буквы «е» подряд. Назови слово, в котором есть три буквы «е» подряд.
31. В русском языке есть, как минимум, 4 слова, которые оканчиваются на «со». Например, колесо. Назови три других слова (это должны быть существительные в именительном падеже. Иностранные слова, такие, как, например, лассо, не считаются).
32. Фраза «Продолжает хотеться есть» (наверное, человек, который ее придумал, был очень голодный) интересна тем, что она состоит из трех глаголов. В самом деле: в этом предложении три слова, и все они — глаголы. А сможешь ли ты придумать фразу из четырех глаголов?
Подсказка: если человека, придумавшего первую фразу, не кормить еще какое-то время, то он скажет вторую.
33. Придумай предложение, в котором шесть слов и после каждого слова (кроме последнего) стоит запятая.
34. Назови пять дней, не используя их названий.
35. а) Чтобы назвать момент времени «тридцать первое мая, двенадцать часов ночи» мы использовали шесть слов. Сможешь ли ты назвать его, используя только два слова?
б) Назови момент времени «тридцать первое августа, двадцать три часа сорок минут», используя только 3 слова.
(К задачам 93–97)
36. Раздели число 60:
а) в отношении 1:2;
б) в отношении 2:3;
в) в отношении 5:1;
г) в отношении 7:5.
37. Путь из дома на работу занимает вдвое меньше времени, чем с работы домой (так как с работы я еду в час пик). Всего на дорогу туда и обратно я трачу ровно 2 часа. Сколько времени занимает путь на работу?
38. Мы отправились в поход на 3 дня. В первый день мы прошли много, но во второй день устали и прошли в 2 раза меньше, а в третий день мы были совсем уставшие, и прошли вдвое меньше, чем во второй. Сколько мы проходили в каждый день, если весь маршрут составил 35 километров?
39. Федя бежал лыжный кросс на 10 километров. Все участники кросса стартовали одновременно, а через полчаса после старта выяснилось, что Федя пробежал в 4 раза меньше лидера — Коли Васильева и отстает от него на 6 километров. Сколько пробежал Федя? С какой скоростью бежал Коля Васильев?
(К задаче 101)
40. Сизиф пытается закатить на гору камень. Высота горы 1 километр. За день Сизиф поднимает камень на 100 метров, а за ночь камень скатывается вниз на 50 метров. Через сколько дней Сизиф закатит камень на вершину горы?
41. Таксист Иван Полтинников получает за один рабочий день 500 рублей, а на следующее утро его жена идет в магазин и тратит 150 рублей. Сможет ли Иван за три недели заработать жене на шубу, которая стоит 7500 рублей?
(К задаче 112)
42. В одном государстве королева разгневалась на своего шута и решила его казнить. Она заявила ему: «Скажи что-нибудь в свое оправдание. Только учти: если ты скажешь неправду, то тебя повесят. А если правду, то тебя утопят!» Шут подумал немного и сказал одну фразу, после которой королеве ничего не оставалось делать, как только развести руками и помиловать шута. Что сказал шут?
43. Старшина отдает приказ рядовому Сидорову:
— Назначаю тебя ответственным за внешний вид наших солдат! Поэтому каждое утро ты будешь брить тех солдат, которые не бреются сами. Ясно?
Сидоров, бывший студент-математик, отвечает:
— Ясно! Но, к сожалению, я не смогу выполнить ваш приказ.
— Почему? Неужели ты не сможешь за утро побрить пять или шесть человек?
— Дело не в этом, товарищ сержант. Дело в том, что этот приказ невозможно выполнить.
Прав ли рядовой Сидоров?
44. В некотором царстве-государстве должны были казнить двух преступников. Но в последний момент король решил проявить гуманизм и издал указ: казнить только одного преступника, а второго помиловать. Кого именно помиловать — должен решить жребий. Преступники по очереди вытянут по бумажке, у кого будет бумажка с крестом, того казнят, а кто вытянет пустую — помилуют. Первым жребий будет тянуть преступник по имени Джон. Все было бы хорошо, но другой преступник подговорил судей, и те подложили две бумажки с крестом. Узнав об этом, тюремщик решил предупредить Джона:
— Жребий будет нечестным! Обе бумажки с крестом! Какую бы ты ни вытянул — тебя казнят. Ты должен рассказать все суду или просить, чтобы другой тянул первым, а не ты. Хотя не думаю, что судьи тебя послушают.
— Спасибо тебе, добрый человек, — ответил Джон, — не волнуйся за меня. Я буду первым тянуть жребий. Но вот увидишь, что меня помилуют.
И его действительно помиловали! Как же повел себя на суде сообразительный Джон?
(К задачам 125–132)
45. Мировой рекорд по бегу на стометровой дистанции составляет (примерно) 10 секунд. Вырази скорость бегуна в километрах в час.
46. Между деревней и поселком 120 километров. Машина едет из деревни в поселок со скоростью 60 километров в час, а обратно — 40 километров в час. Найди среднюю скорость автомобиля на всем пути.
47. Расстояние от моего дома до университета, где я работаю, 3 километра. Я прохожу это расстояние за полчаса, а профессор Чижиков — за час. Однажды мы договорились встретиться с профессором Чижиковым. В 10 часов утра я вышел из дома, а он в это же время — из университета. На каком расстоянии от университета мы встретимся? Когда это произойдет?
48. То же условие, что в предыдущей задаче, только с одной поправкой: профессор вышел из университета в 10 часов утра, а я опоздал, и вышел из дома в 10 часов 15 минут.
(К задачам 140–143)
49. а) Какие из следующих чисел являются простыми:
19, 37, 101, 135, 143, 203?
б) Представь следующие числа в виде произведения простых:
22, 35, 64, 89, 221, 361.
50. Разговаривают три математика. Один говорит:
— У меня двое сыновей. Если умножить возраст одного на возраст другого, то получится 437.
— А у меня, — говорит другой, — три внука, и все уже ходят в школу! Если перемножить их возрасты, то получится 1001.
— Ну а у меня два сына и один внук, — говорит третий, — и произведение их возрастов равно 253.
Сколько лет каждому из упомянутых сыновей и внуков?
(К задачам 149–155)
51. На цирковом представлении фокусник говорит зрителям:
— Задумайте какое-нибудь трехзначное число. Теперь припишите к нему слева такое же число. Получилось шестизначное число, не так ли? Я утверждаю, что оно делится на 7 без остатка!
Федя и Коля сидели в зрительном зале. Федя задумал число 147, а Коля — 213. Мальчики достали калькулятор и с удивлением обнаружили, что фокусник прав: Федя получил число 147 147, и оно действительно делится на 7. И Колино число 213 213 также разделилось на 7 без остатка!
— Как же так? — недоумевал Коля. — Ведь фокусник не знал, какие числа мы задумали!
— Наверное, случайность, — предположил Федя. Фокусник тем временем продолжал:
— А теперь попробуйте разделить ваши числа на 11. Федя и Коля принялись нажимать на кнопки калькулятора. Изумлению ребят не было предела. Оба числа разделились на 11 без остатка!!! Мальчики спросили своих соседей по ряду. Оказалось, что все задумали разные числа, но результаты у всех разделились и на 7, и на 11.
— Но и это еще не все! — продолжал фокусник. — Ваши числа делятся еще и на 13.
Уже ничему не удивляющиеся ребята опять стали считать. Стоит ли говорить, что и на этот раз фокусник не ошибся.
По дороге домой мальчики обсуждали увиденное. Федя выдвинул гипотезу:
— Я думаю, что фокусник владеет даром гипноза. Вот он и внушил всем зрителям загадать особые трехзначные числа.
— А я уверен, что дело не в этом, — ответил Коля, — мне кажется, тут скрыто какое-то общее свойство всех трехзначных чисел. Наверное, какое трехзначное число ни загадай, полученное шестизначное число всегда разделится и на 7, и на 11, и на 13.
Дома ребята смогли раскрыть секрет фокуса. А ты сможешь?
52. Ученикам второго класса задали выучить таблицу умножения на 9. Один ученик придумал такой способ: пусть нам надо умножить какое-то число (от 1 до 9) на 9, для этого положим обе руки на парту, загнем один палец, который имеет номер этого числа. Тогда ответ перед нами: число пальцев слева от загнутого — это первая цифра в ответе, а число пальцев справа — вторая. Например, хотим умножить 4 на 9. Загибаем 4-й палец. Слева от него 3 пальца, справа 6, значит, ответ 36. Попробуй понять, в чем здесь секрет.
(К задачам 156, 157)
53. Если кубический метр разрезать на кубические миллиметры и поставить их один на другой, то какой высоты получится столб?
54. Золото — это не только драгоценный металл, это еще и одно из самых тяжелых веществ в природе. Кубический метр золота весит (примерно) 20 тонн. Сколько весит кубический сантиметр золота? А кубический дециметр?
55. Плотность населения в Москве составляет около 10 тысяч человек на 1 квадратный километр. Сколько квадратных метров приходится на одного москвича? Чему равна сторона квадрата, содержащего столько квадратных метров?
(К задачам 170–177)
56. Пяти девочкам принесли корзину с пятью яблоками. Как разделить эти яблоки между девочками поровну так, чтобы одно яблоко осталось в корзине? Резать яблоки не разрешается.
57. Почему зеркало меняет правую сторону с левой, но не меняет верх с низом?
58. Почему стоп-кран в поезде выкрашен в красный цвет, а в самолете — в синий?
59. Какая птица из яйца вылупляется, а сама яиц не несет?
60. Какое колесо автомобиля не вращается при повороте направо?
61. Почему верблюд не ест вату?
(К задачам 178, 179)
62. Расстояние между Москвой и Санкт-Петербургом считаем равным 600 километров. Из Москвы выехал поезд в 12 часов 33 минуты, и едет он со скоростью 70 километров в час. Из Санкт-Петербурга в Москву выехал другой поезд в 13 часов 48 минут, и едет он со скоростью 80 километров в час. На каком расстоянии друг от друга будут поезда за час до их встречи?
(К задаче 194)
63. Саша собирал грибы в лесу и не заметил, как заблудился. Потом он целый час плутал по лесу в поисках тропинки и наконец вышел к железной дороге. Саша помнил, что, пока он собирал грибы, он переходил железную дорогу 3 раза, а пока плутал в лесу, переходил ее 2 раза. Надо ли ему еще раз перейти дорогу, чтобы попасть домой?
64. В другой раз Саша побоялся один ходить по лесу и пошел вместе с папой. Но в лесу Саша и его папа потеряли друг друга, и оба заблудились. Пока они плутали в лесу, Саша переходил через железнодорожные пути 4 раза, а папа — 6 раз. По одну сторону от железной дороги они сейчас находятся или по разные?
65. Коля и Федя — соседи по лестничной площадке. Федя собрался в гости к Коле, но никого не застал. Тогда он пошел домой и стал ждать. Пока он ждал, он 3 раза слышал, как хлопает дверь Колиной квартиры. Если он пойдет теперь, застанет ли он кого-нибудь дома?
66. Несколько мальчишек залезли в сад за вишней. Сторож заметил, что мальчишки перелезали через забор (в ту или другую сторону) 7 раз. Когда сторож пришел, застал ли он кого-нибудь в саду?