только тех задач и вопросов, которые не были рассмотрены в тексте.
1. 11 + (289 — 23) + 17 = 294 километра. Конечно, гарантировать, что Федя с родителями проехал именно это расстояние, нельзя. Возможно отклонение в 1–2 километра.
2. 7 + 5 • 8 = 47.
3. Решение понятно из рисунка 60. Надо отрезать «уголок» из четырех клеток.
Рис. 60
4. Решение этой задачи содержится в главе 4 «Прогулка в магазин».
5. Просто перед тем, как гости вошли в дом, дедушка незаметно повернул банку.
6. Юрий взял пятый стакан и перелил его во второй. Коснулся он только одного пятого стакана.
7. Всего в слове Навуходоносор 13 букв. Можно выбрать три идущие подряд буквы десятью способами. Первой буквой может быть любая с 1-й по 10-ю буква. Подряд четыре буквы можно выбрать девятью способами, а пять — восемью. Всего сокращенных имен будет 10 + 9 + 8 = 27.
8. 9909. 12 000 + 1200 + 12 = 13 212. Девятьсот восемьдесят семь миллионов шестьсот пятьдесят четыре тысячи триста двадцать один.
9. Первоклассник ответил: «Тридцать первое». Он имел в виду число месяца. Самое большее — это 31-е.
10. В двух случаях пункта б) ответ тот же, что и в пункте а). В первом варианте мы увеличили на 3 первое число и уменьшили на 3 второе. Их сумма не изменилась. А оба следующих числа уменьшили на 1. Во втором варианте надо рассмотреть первое и последнее, а затем второе и третье числа. Во всех случаях один и тот же ответ: 269.
11. Федин отец сначала включил один выключатель (назовем его первым) и некоторое время держал его включенным. Затем он выключил первый, включил второй и поднялся на второй этаж. Одна лампочка горела. Она соответствовала второму выключателю. Одна лампочка из двух оставшихся была теплой. Она соответствовала первому.
14. Запускаем одновременно двое часов. После того как истекли 3 минуты, кладем блин и перевертываем часы, отмеряющие 3 минуты. После того как закончилось пересыпание песка в 5-минутных часах, то есть по истечении еще двух минут, переворачиваем блин, а также часы — и те и другие. Через 2 минуты песок в 3-минутных часах пересыплется вниз. В этот момент вновь переворачиваем часы (и те, и другие) и снимаем блин. Таким образом, переворачивая каждый раз и те, и другие часы, когда где-то полностью пересыплется песок, мы будем отмерять по 2 минуты.
15. У Паши 2 + 1 = 3 сестры (плюс сама Маша) и 2 — 1 = 1 брат (минус он сам).
16. Они тройняшки. У них есть еще третий близнец, сестра или брат.
18. За 6 дней лошадь съест 3 охапки сена, корова — 2 охапки и коза — 1 охапку. То есть вместе они съедят 6 охапок. А одну охапку вместе съедят за 1 день.
20. Сложите три кирпича так, как показано на рисунке 61. И меряйте.
Рис. 61
21. 9 кур за 3 дня снесут 9 яиц. А 9 кур за 9 дней снесут 9 • 3 = 27 яиц.
23. Решение в тексте после задачи 29.
24. Сделав разрез (вернее, много разрезов) в листе, как изображено на рисунке 62, мы можем затем «растянуть» лист с разрезами и получить нечто вроде большого бумажного кольца. Есть и другие способы сделать разрез с нужным свойством.
Рис. 62
26. Число советников равно сумме 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 +1024 = 2047.
27. а) 89, 287, 497, 999, 2766; б) LXXIII, CCLXXXIV, DCCCLXXVI, MMDCLXVI; в) MMMCMXCIX = 3999.
28. 100 квадратных сантиметров.
29. Задание состоит в проверке равенств. Например, проверим последнее. Левая часть (40 + 19) • (40 — 19) = 59 • 21 = 1239, правая часть 40 • 40 — 19 • 19 = 1600 — 361 = 1239.
30. 31 • 29 = (30 + 1) • (30 — 1) = 30 • 30 — 1 • 1 = 900 — 1 = 899, 102 • 98 = 10 000 — 4 = 9996, 204 • 196 = 40 000 — 16 = 39 984, 999 • 1001 = 1000 • 1000 — 1 = 999 999. Выражение 56 789 • 56 789 — 56 790 • 56 788 равно 1, так как 56 790 • 56 788 = (56 789 + 1) • (56 789 — 1) = 56 789 • 56 789 — 1.
31. Если остается 8 палочек, то начинающий проигрывает. Это очевидно. Также начинающий проигрывает, если остается 16 палочек. Ведь сколько бы он ни взял, второй игрок может оставить ему 8 палочек, то есть поставить в проигрышное положение. Точно так же начинающий проигрывает (при правильной игре соперника), если на столе 24, 32 палочки и вообще количество, делящееся на 8. А поскольку ближайшее к 50 число, которое делится на 8, есть 48, начинающий выигрывает. Он должен взять 2 палочки.
32. Решение дано в тексте. Повторяем: первый игрок, начинающий, должен каждый раз уравнивать число палочек в обеих кучках.
33. Заметим, что «плохими» являются числа 1, 3, 7, 15, 31. Если осталась 1 конфета, начинающий проигрывает. Это очевидно. Если имеется 3 конфеты, то начинающий также проигрывает. Он берет одну, а соперник тоже одну. Если имеется 7 конфет, то второй игрок всегда может оставить начинающему 3 конфеты. Также, если имеется 15 конфет, то на любой ход первого игрока второй может оставить ему 7 конфет. То есть «плохое» число. Следующим «плохим» числом является 31. Значит, Карлсон должен взять 1 конфету, чтобы Малыш не мог выиграть. Учитывая любовь Карлсона к сладкому, трудно поверить, что он сделает такой ход (возьмет только 1 конфету). В этой игре жадина проигрывает!
35. Порядок действий задается условием. Главное не запутаться. Последнее равенство должно выглядеть так: 2 + 98 = 100.
36. а) Наибольшее число получим, если вовсе не будет скобок: 31 — 13 + 7 — 5 + 1 = 21. Наименьшее: 31 — (13 + 7) — (5 + 1) = 5.
б) Наибольшее число: 31 — (13 — 7 — 5 — 1) = 31. Наименьшее: 31 — 13 — 7 — 5 — 1 = 5.
37. См. рисунок 63.
Рис. 63
38. Числа должны повторяться через каждые две клетки. Так, число в первой клетке равно числу в четвертой клетке. Ведь если к сумме второго и третьего чисел прибавить первое, то получится тот же результат, что и при прибавлении четвертого. Затем число в четвертой клетке равно числу в седьмой клетке. И так далее. Точно так же равны числа во 2, 5, 8-й и так далее клетках. А также в 3, 6, 9-й, …. Ответ показан на рисунке 64.
Рис. 64
39. В первом равенстве справа 99, во втором справа 1, в третьем вновь 99, в четвертом вновь 1 и так далее. Выражение, в котором число 100 встречается 100 раз, равно 1.
40. а) 38 + 19 — 37 + 21 — 18 — 20 = (38 — 37) + (19 — 18) + (21 — 20) = 1 + 1 + 1 = 3. б) (2 + 4 + 6 + … + 100) — (1 + 3 + 5 + … + 99) = (2 — 1) + (4 — 3) + (6 — 5) + … + (100 — 99) = 1 + 1 + … + 1 (50 раз) = 50.
41. В результате должна получиться картинка, изображенная на рисунке 65. Порядок действий определяется начальной картинкой.
Рис. 65
42. 17 + 19 + 24 + 15 + 12 = 87. Поскольку в следующей сумме третье слагаемое такое же, а остальные увеличены на 1, то и сумма должна быть на 4 больше, то есть 87 + 4 = 91. Таким же образом получим, что третья сумма 87 — 1 — 1 — 2 — 0 — 1 = 82. Четвертая сумма 87 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 = 96. Пятая сумма на 3 меньше четвертой. Она равна 93. Шестая на 6 больше пятой. Она равна 99. Седьмая еще на 5 больше шестой. Она равна 104.
43. В первом выражении мы должны сложить шесть семерок и вычесть четыре семерки. Останется сумма двух семерок, то есть 14. Во втором выражении останется сумма 3 и 4. Она равна 7. Последнее выражение равно 0.
44. 13 + 12 + 27 + 19 + 18 + 11 = (13 + 27) + (12 + 18) + (19 + 11) = 40 + 30 + 30 = 100, 3 + 13 + 27 + 7 + 17 + 23 = (3 + 27) + (13 + 7) + (17 + 23) = 30 + 20 + 40 = 90, 24 + 11 + 19 + 17 + 16 + 4 = (24 + 16) + (11 + 19) + (17 + 4) = 40 + 30 + 21 = 91.
45. Вот как мог решить эту задачу маленький Гаусс. Будем объединять первое слагаемое с последним, второе с предпоследним и так далее. Но сумма первого и последнего (1 + 100), второго и предпоследнего (2 + 99) и всех пар равна 101. Всего пар будет 50. Значит, нужная сумма 50 • 101 = 5050.
46. За одно и то же время Земфира пробегает в 10 раз больше, чем проходит ее хозяин. При этом неважно, как бегает Земфира. Раз хозяин прошел 440 метров, то путь Земфиры равен 4400 метрам, или 4 километрам 400 метрам.
47. Надо провести прямую, соединяющую центры квадрата и круга. (Центр квадрата — это точка пересечения его диагоналей.)
48. Поскольку русский алфавит содержит 33 буквы, средней является буква под номером 17. Это буква «п».
49. Это вопрос: «Где ёж?» (Буквы Г, Д, Е, Ё, Ж следуют в алфавитном порядке.)
50. Это слова «спорт» и «спрут».
51. Каждый год содержит либо 365 дней, либо 366 дней (это високосный год). Разделим 10 000 на 365 с остатком. Получим 10 000 = 365 • 27 + 145. Даже учитывая високосные годы, учительнице исполнилось 27 лет, но нет еще 28 лет. Значит, ей 27 лет.
52. Из того, что сказал дедушка, следует, что этот год не високосный. Посередине будет день под номером 183. 182 дня перед ним — это первая половина года, а 182 дня после — это вторая половина года. Число дней до 1 июля 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 30 = 181. Значит, разговор происходил 2 июля. Этот день как раз является 183-м днем обычного года.
53. Пусть наш год обычный. Если 1 января — воскресенье, то 13 января — пятница, а также пятница — 13 октября. Если 1 января — понедельник, то пятницей будут 13 апреля и 13 июля. Если 1 января — вторник, то пятницей будут 13 сентября и 13 декабря. Если 1 января — среда, то пятницей будет 13 июня. Если 1 января — четверг, то пятницей будут 13 февраля, 13 марта и 13 ноября. Если 1 января — пятница, то пятницей будет 13 августа. И наконец, если 1 января — суббота, то пятницей будет 13 мая. Точно так же можно разобраться с високосным годом.
54. Сегодня Васе 8 лет, а Коле 2 года. Разница между ними 6 лет. Она не меняется. Когда Вася будет в 3 раза старше Коли, то на разницу придется два возраста Коли. То есть возраст Коли 3 года, а возраст Васи 9 лет. А когда Коле будет 6 лет, Васе будет 12. В 2 раза больше. Задачу можно решить также простым перебором.
55. Единственное возможное объяснение состоит в следующем. Этот школьник родился 31 декабря. А разговор происходил 1 января, при этом 31 декабря предыдущего года школьнику исполнилось 11 лет. Позавчера, 30 декабря, ему было 10 лет. В этом году ему исполнится 12 лет. А на будущий год ему исполнится 13 лет.
56. «Такая» сабля не сможет быть вложена в «такие» ножны.
57. На рисунке 66 показан возможный способ подвешивания картины (веревка не натянута). Нетрудно убедиться, что если выдернуть любой гвоздь, то картина не сможет висеть.
Рис. 66
58. Объяснение дано в тексте. Понятно, что невыпуклым является правый четырехугольник.
59. На рисунке 12 фигуры в и е не являются многоугольниками. Из оставшихся фигур выпуклым многоугольником является лишь один д. Все остальные — невыпуклые многоугольники. Остается лишь подсчитать число сторон у каждого. Можешь убедиться, что последний многоугольник и в самом деле является стодевяностодевятиугольником.
60. На рисунке 13,а 4 треугольника и 3 четырехугольника. На рисунке 13,б 9 маленьких треугольников, 3 треугольника, состоящих из четырех маленьких, и 1 треугольник большой (из 9 маленьких). Всего 13 треугольников. На этом же рисунке имеется 9 четырехугольников, состоящих из двух треугольников (это ромбы), также 9 четырехугольников из трех треугольников (трапеции), 6 четырехугольников из четырех треугольников (параллелограммы), 3 четырехугольника из пяти треугольников. И наконец, 3 четырехугольника из восьми треугольников. Всего 30 четырехугольников. На рисунке 13,в 16 маленьких треугольников, 6 треугольников, составленных из четырех маленьких, 3 треугольника, составленных из девяти маленьких, и 1 треугольник из всех маленьких. Всего 26 треугольников. На рисунке 13,г 8 треугольников (4 + 4). На рисунке 13,д 16 треугольников (8 из одного треугольника, 4 двойных и 4 из четырех треугольников) и 17 четырехугольников (рис. 67). На рисунке 13,е 26 треугольников (12 из одного треугольника, 10 двойных и 4 из четырех треугольников) и 29 четырехугольников (рис. 68).
Рис. 67
Рис. 68
61. См. рисунок 69.
Рис. 69
62. См. рисунок 70.
Рис. 70
63. 1 шестиугольник, как на рисунке 71,а, 2 шестиугольника, как на рисунке 71,б, и по четыре, как на рисунке 71,в и г. Всего 11 возможностей.
Рис. 71
64. На рисунке 72 серым заштрихованы неосвещенные части комнаты, зеленым — освещенные одной лампочкой и белые части, освещенные обеими лампочками.
Рис. 72
65. Таким многоугольником может являться пятиконечная звезда (рис. 73).
Рис. 73
66. Можно предложить приятелю спор (пари). Ты можешь положить на пол газету и встать на нее вдвоем с приятелем так, что ни один из вас не сможет дотронуться до другого.
67. Часы вновь покажут точное время, когда они уйдут вперед ровно на 12 часов, или на 12 • 60 = 720 минут. Значит, они покажут точное время через 720 суток, то есть почти через 2 года.
68. Потребуется 10 000 минут. В сутках 24 • 60 = 1440 минут. 10 000 = 1440 • 6 + 1360 = 1440 • 7 — 80. Другими словами, чтобы досчитать до миллиона, нужно почти 7 суток. По нашим подсчетам, на 80 минут или на 1 час 20 минут меньше недели. Чтобы досчитать до миллиарда, даже если до миллиона человек может досчитать за 6 дней, ему потребуется 6000 дней, поскольку 6000 = 365 • 16 + 160, то есть примерно 16 с половиной лет.
69. Как верно подсчитал Федор, «Шайба» выигрывает у «Гайки», «Гайка» — у «Винта», «Винт» — у «Шайбы» с одним и тем же счетом 5:4. Проверьте сами, составив таблицу командных матчей. Это выглядит очень странно, поэтому это полезно обдумать и обсудить.
71. За указанное время — за 12 часов — маленькая стрелка сделает 1 оборот, а большая — 12 оборотов. На 11 оборотов больше. Значит, она 11 раз обгонит часовую стрелку. Столько же раз (11) стрелки будут совпадать. Первый раз большая вновь совпадет с маленькой на втором круге. И затем совпадения будут иметь место на каждом круге большой стрелки.
73. 1111111 > 999 999, поскольку у левого числа 7 единиц, а у правого — 6 девяток. При сравнении второй пары можно перемножить числа слева, но проще «оценить», заменив каждый множитель на меньший (26 > 25, 43 > 40). Значит, 26 • 43 > 25 • 40 = 1000. Также можно поступить и при сравнении следующей пары: 71 > 69, 19 > 18, 117 > 116. Значит, первое число больше второго. В последней паре 5 • 7 = 35 < 36 = 4 • 9, 287 < 289. Следовательно, первое число меньше второго.
75. Центром квадрата является точка пересечения его диагоналей. Что такое центр окружности, объяснено в тексте. Любой отрезок, соединяющий две точки на границе (квадрата или окружности) и проходящий через центр, делится центром пополам. Именно этим свойством и обладает центр фигуры. (Если она имеет центр.) Но у окружности все точки расположены на равном расстоянии от центра, а у квадрата — нет. Вершины квадрата — дальше всего от центра. Середины сторон — ближе всего.
77. Если бы люки имели квадратные крышки и соответственно имели форму квадрата, то крышка могла бы провалиться в люк, так как сторона квадрата меньше его диагонали. Круглая же крышка не может провалиться.
78. Колышки надо вбить на расстоянии больше 12 метров. Если взять расстояние, равное 12 метрам, то будет одна точка, до которой могут дотянуться обе козы. Соответствующие круги являются касающимися.
79. См. рисунок 74, а, б, в. Место, где может пастись коза, в всех случаях закрашено.
Рис. 74
80. См. рисунок 75, а, б. Место, где может пастись коза, в обоих случаях закрашено.
Рис. 75
81. См. рисунок 76.
Рис. 76
82. На самом деле хозяин постоялого двора неправильно считает. Оба путника заплатили 26 драхм, из которых 23 драхмы были уплачены за ночлег, а 3 драхмы отданы на строительство школы.
83. Всего было 9 лепешек. Каждый съел по 3. Значит, второй съел 3 своих лепешки, и ему ничего не положено. Все деньги должен получить первый путник, у которого было 5 лепешек.
84. Первая работа выгоднее. За каждые две недели на первой работе работник будет получать на 1 драхму больше, чем на второй. Давай подсчитаем. За первые две недели на первой работе будет выплачена 1 драхма, а на второй — ничего. Считаем за 3-ю и 4-ю недели: на первой работе будет выплачено 2 + 3 = 5 драхм, а на второй — 4 драхмы. За 5-ю и 6-ю недели: на первой работе будет выплачено 4 + 5 = 9 драхм, а на второй — 8 драхм. И так будет продолжаться и дальше.
85. Если мы соединим замок барона и оливковую рощу любой линией на карте, то убедимся, что она пересекает границы владений нечетное число раз. Но идя из замка после первого пересечения границы, мы выходим из владений барона. После второго — опять попадаем в его владения, после третьего — выходим, и так далее. После нечетного пересечения мы выходим из владений, после четного — возвращаемся. Ответ: роща не принадлежит барону.
86. И «день» и «ночь» кончаются мягким знаком.
87. Автор, втора, тавро, отвар, рвота.
88. Она была повариха.
89. Просто подсчитай число букв в каждой фразе.
90. «Число букв в этой фразе равно тридцати восьми». Задача решается простым подбором.
91. Зашифровано слово «азбука» и пословица «Терпенье и труд — всё перетрут».
92. См. рисунок 77.
Рис. 77
93. Всего частей 2 + 3 + 4 = 9. Одна часть 2340 : 9 = 260. Первый брат должен получить 2 • 260 = 520 драхм, второй — 3 • 260 = 780 драхм и последний — 4 • 260 = 1040 драхм.
94. Всего частей 8. Одна часть 72 : 8 = 9 километров. В первый день туристы прошли 3 • 9 = 27 километров, а во второй — 5 • 9 = 45 километров.
95. Пусть путь, пройденный туристами в первый день, составляет 3 части, а во второй — 7 частей. Во второй день туристы прошли на 4 части больше. Одна часть 24 : 4 = 6 километров. В первый день туристы прошли 18 километров, а во второй — 42 километра.
98. Не позднее чем на седьмом шаге должно появиться число 6174, которое затем будет повторяться (7641 — 1467 = 6174). Именно это число и было написано на обратной стороне бумаги.
99. Здесь нет задачи. Это очень полезное и интересное упражнение. Советуем его делать регулярно.
100. Надо распилить третье звено с конца цепочки. Получим два куска цепочки из двух и четырех звеньев и одно распиленное. Смотри решение в таблице.
Дальше можно не объяснять.
101. За каждые сутки улитка поднимается ровно на 1 метр. Через 7 суток она поднимется на 7 метров. Затем в течение следующего дня она поднимется на 3 метра и достигнет вершины. Ответ: 7 суток и 1 день.
102. В момент выхода каравана в караван-сарай прибывают верблюды, вышедшие с другого конца 7 суток назад. Все остальные ранее вышедшие караваны еще в пути. И все они будут встречены по дороге. Также встречены будут караваны, вышедшие в путь, пока наш находится в пути, а также тот, который вышел одновременно с нашим прибытием. Всего встречных караванов 1 + 6 + 6 + 1 = 14.
103. На 6 частей. См. рисунок 78.
Рис. 78
104. Можно, например, вырезать круг из данного круга, как на рисунке 79, и перевернуть его. А можно совсем просто: вырезать в центре круга круглое отверстие нужного радиуса и закрыть вырезанным кругом имеющееся отверстие.
Рис. 79
105. Если мы сложим числа 173 и 192, то получим общее число конечностей (конечности — это хвосты и головы драконов). Но у каждого дракона 5 конечностей. Таким образом, 173 + 192 = 365 есть упятеренное число драконов. А всего драконов 365 : 5 = 73. Далее действуем, как в задаче 97. Если бы у каждого дракона было по две головы, то число голов у 73 драконов было бы 146. А у них 173. Значит, 173 — 146 = 27 — это оставшиеся головы трехголовых драконов. Получаем, что трехголовых драконов 27, а двухголовых — 46.
106. Самое простое в этой задаче — проделать опыт. Положить на стол 40 палочек (или спичек). Занумеровать их. И начинать отсчитывать: 1, 2, 3, 1, 2, 3…., всякий раз убирая палочку, на которую выпал счет 3. Если ты все правильно сделаешь, то должны остаться палочки под номерами 13 (предпоследняя) и 28 (последняя).
107. Пусть лиса сделает 3 • 7 = 21 прыжок. Так как пока лиса делает 7 прыжков, волк делает 4 прыжка, то волк за это время сделает 3 • 4 = 12 прыжков. Но 3 прыжка волка равны 5 прыжкам лисы. Значит, 12 волчьих прыжков — это 5 • 4 = 20 лисьих. Получается, что, пока лиса пробежит путь, равный 21 своему прыжку, волк пробежит путь длиной в 20 лисьих прыжков. Значит, лиса бежит быстрее.
108. На листе было написано 3. Ведь 5 — 3 + 1 = 3. А задуманное число уничтожается, когда мы его вычитаем.
109. Если бы мы не прибавляли 3, а только умножили число на 5, а затем на 2, то результат был таким же, как если бы мы исходное число сразу умножили на 10. А умножение на 10 выполняется простым приписыванием справа 0 (нуля). Но мы после умножения на 5 прибавили 3 и лишь потом умножили на 2. Значит, после первых трех операций мы приписали к нашему числу цифру 6. Затем прибавили 5. Последней цифрой будет 1, то есть на бумажке была написана единица.
110. Через 60 часов в Квашино будет полночь. И солнце светить не может.
111. Перед началом любого матча счет 0:0.
112. Вполне возможно, что карман, куда дедушка опустил карточки, был с хитростью. Например, имел потайное отделение, куда и соскользнули карточки. Из другого кармана дедушка вынул другую стопку карточек. На всех была одна и та же цифра 7.
114. Решение понятно из рисунка 80.
Рис. 80
116. Решение понятно из рисунка 81.
Рис. 81
118. См. рисунок 82.
Рис. 82
119. См. рисунок 83.
Рис. 83
120. Первые два.
121. Из фигур 3 и 5 на рисунке 34 нельзя сложить поверхность куба.
124. б) Например, так (рис. 84).
Рис. 84
125. За 1 минуту машина проезжает 1500 метров или 1 километр 500 метров. За 1 секунду она проезжает 25 метров.
126. …60 километрам в час.
127. Объяснение дано в тексте. Внимательно его изучи.
129. а) На рисунке 41 А находится на расстоянии 15 метров от перекрестка. Но 15 = 3 • 5. Когда А пройдет 15 метров, Б пройдет 3 • 7 = 21 метр. Значит, первым пересечет перекресток Б. б) Здесь у А расстояние до перекрестка 4 • 5 = 20 метров, а Б находится на расстоянии 4 • 7 = 28 метров. В этом случае пешеходы одновременно приходят на перекресток. в) Чтобы дойти до перекрестка, Б должен пройти 13 • 7 = 91 метр. За это время А пройдет 13 • 5 = 65 метров. А пересечет перекресток позднее. г) Когда А пройдет 35 метров (7 • 5), Б пройдет 7 • 7 = 49 метров. А осталось еще 3 метра, а Б — 5 метров. Вопрос, кто пройдет эти пути быстрее? Увеличим каждый путь в 5 раз. Получим 15 метров и 25 метров. Но когда А пройдет 15 метров (3 • 5), Б пройдет 21 метр (3 • 7). Значит, в этом случае первым пересекает перекресток А.
130. 1) Скорость Б на 1 метр в минуту больше скорости В. Вначале В опережает Б на 2 метра. Значит, Б догонит В через 2 минуты. 2) Скорость сближения А и Г составляет 11 метров в минуту. Они ползут навстречу и начальное расстояние равно 19 метрам. Понятно, что они встретятся раньше чем через 2 минуты. А именно через 2 минуты Б догонит В. 3) В пересечет перекресток раньше Б. Ведь Б догонит В через 2 минуты, когда та уже преодолеет перекресток. Найдем, за какое время каждая из черепах преодолевает 1 метр, и через какое время после начала движения она доползет до перекрестка. Черепаха А за 1 минуту, или за 60 секунд, проползает 5 метров. Значит, 1 метр она проползет за 12 секунд. У перекрестка она будет через 9 • 12 = 108 секунд. Черепаха В 1 метр преодолевает за 20 секунд и у перекрестка будет через 5 • 20 = 100 секунд. Черепаха Г 1 метр проползает за 10 секунд, и у перекрестка она будет через 100 секунд. Таким образом, первыми одновременно до перекрестка доберутся черепахи В и Г.
132. Поскольку на рисунке не видны входные двери, а эти двери находятся с правой стороны автобуса, а также потому, что движение у нас правостороннее, этот автобус едет в Москву.
133. Если ничего не делать, то на следующий день пруд зарастет полностью. Значит, на расчистку пруда остается всего 1 день.
137. Одна тетрадь или один карандаш должны стоить целое число копеек. При покупке четного числа тетрадей каждого вида и четного числа карандашей общая стоимость покупки должна быть четной (в копейках). Но сумма в несколько рублей и 37 копеек является нечетной. Так быть не может.
138. Нет. Ему не удастся это сделать. Ведь сумма всех данных чисел является числом нечетным, поскольку среди них ровно три нечетных. (Сумма трех нечетных — число нечетное (1 + 3 + 7 = 11). Все остальные числа являются четными.) А нечетное число нельзя представить в виде суммы двух одинаковых слагаемых.
140. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
141. Ответ: 11 = 1 + 2 + 8, 31 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16, 65 = 1 + 64, 156 = 4 + 8 + 16 + 128, 649 = 1 + 2 + 8 + 128 + 512.
142. 117 = 5 • 23 + 2 (неполное частное 23, остаток 2), 231 = 29 • 7 + 28 (неполное частное 7, остаток 28), 288 = 143 • 2 + 2 (неполное частное 2, остаток 2).
143. 288 = 2 • 144 = 2 • 2 • 72 = 2 • 2 • 2 • 36 = 2 • 2 • 2 • 2 • 18 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 9 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 3, 343 = 7 • 7 • 7, 275 = 5 • 5 • 11, 1024 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 (10 двоек), 899 = 29 • 31 (можно воспользоваться формулой, о которой было рассказано в задаче 29: 899 = 30 • 30 — 1 = (30 — 1) • (30 + 1) = 29 • 31).
144. 38 = 31 + 7 = 19 + 19, 96 = 89 + 7 = 83 + 13 = 79 + 17 = 73 + 23 = 67 + 29 = 59 + 37 = 53 + 43, 118 = 107 + 11 = … (остальные варианты найди самостоятельно), 128 = 109 + 19 = … (остальные варианты найди самостоятельно).
145. Это числа 28 и 16 • 31 = 496. То, что первое число является совершенным, проверить легко. Займемся вторым числом. Его делителями являются 1, 2, 4, 8, 16, 31, 31 • 2 = 62, 31 • 4 = 124, 31 • 8 = 248. Получаем 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496.
146. 3 — 2 • 1 = 1,
3 + 1 — 2 = 2,
3 (2 — 1) = 3,
3 + 2 — 1 = 4,
3 + 2 • 1 = 5,
3 + 2 + 1 = 6,
3 • 2 + 1 = 7,
(3 + 1) • 2 = 8,
3 • (2 + 1) = 9.
147. Укажем только неверные с исправлением. 3) (48 + 32) : 16 = 5, 5) 5 + ((18 — 8) : 2) = 10, 6) (26 — 6) : (62 — 60) = 10, 8) (68 — 8) 2 — 4 = 116, 9) (36 : (4 + 5)) • 3 = 12, 11) 48 — ((8 — 6) : 2) = 47, 12) ((25 — 5) • 4) : 10 = 8.
148. 142 857 • 2 = 285 714, 142 857 • 3 = 428 571, 142 857 • 4 = 571 428, 142 857 • 5 = 714 285, 142 857 • 6 = 857 142, 142 857 • 7 = 999 999. 142 857 = 3 • 3 • 3 • 11 • 13 • 37. При разложении на множители числа 142 857 можно воспользоваться последним равенством. 142 857 • 7 = 999 999 = 3 • 3 • 111 111 = 3 • 3 • 3 • 37 037 = 3 • 3 • 3 • 37 • 1001 = 3 • 3 • 3 • 37 • 11 • 91 = 3 • 3 • 3 • 37 • 11 • 13 • 7. Значит, 142 857 • 7 = 3 • 3 • 3 • 37 • 11 • 13 • 7, а 142 857 = 3 • 3 • 3 • 37 • 11 • 13.
149. Можно воспользоваться способом деления «уголком». В конце получим число 33, к которому надо приписать справа какую-то цифру, чтобы получилось число, которое делится на 37. Так как 111 делится на 37, то и 333 делится на 37. Приписать надо цифру 3.
150. а) Самым меньшим будет число 111 111. Можно также делить «уголком» число, состоящее из одних единиц, и найти первое, которое разделится на 7. б) Самым меньшим будет число, состоящее из 16 (!) единиц. Найти его можно так же: деля число из единиц на 17 «уголком». Конечно, при этом надо суметь не ошибиться.
151. Наименьшим будет число 333 333 331 (8 троек). Самое интересное, что все числа с меньшим числом троек не только не делятся на 17, но и являются простыми.
152. Из решения задачи 150 мы можем получить, что на 7 делятся числа из одних единиц, если количество единиц кратно 6. Точно так же, на 17 делятся числа, у которых количество единиц кратно 16. Значит, число из 48 единиц делится и на 7, и на 17.
153. Возьмем один шарик и будем последовательно прикладывать к нему «уголки» из 3, 5, 7 и так далее шариков, как на рисунке. Будем последовательно получать квадраты со сторонами по 2, 3, 4 и так далее шариков. В первой задаче нам достаточно добраться до большого квадрата со стороной 7. Здесь последним будет «уголок» из 13 квадратиков. Во второй — мы составляем квадрат со стороной 50, последним будет «уголок» из 99 шариков.
154. Можно «честно» найти каждое из произведений и убедиться, что они равны и их разность равна 0. Можно поступить хитрее. Поскольку 7373 = 73 • 101, а 9191 = 91 • 101, каждое из произведений равно произведению трех сомножителей: 73, 91 и 101. Значит, они равны. Выпишем ответы к остальным заданиям: 666 667 • 666 667 = 444 444 888 889; 6 666 667 • 6 666 667 = 44 444 448 888 889; 1 010 111 110 101 : 9091 = 111 111 111; 101 011 111 110 101 : 9091 = 11 111 111 111; 1 100 111 110011 : 9901 = 111 111 111; 110011 111 110011 : 9901 = 11 111 111 111.
155. Деля «уголком», получим, что, приписав справа 1 или 8, получим число, которое делится на 7. То есть в первом пункте два ответа: 200 120 011 и 200 120 018. Во втором пункте так же можно пользоваться способом деления «уголком». Мы же поступим иначе. Разделим число 2 001 200 100 на 56 = 7 • 8 с остатком. Получим 2 001 200 100 = 56 35 735 716 + 4. Впрочем, чему равно неполное частное (это число 35 735 716), не важно. Если мы прибавим к правой части 52, то правая часть будет делиться на 56. Здесь одно решение 2 001 200 152. В третьем случае надо делить (с остатком) число 20 012 001 000 на 7 • 8 • 9 = 504. Здесь остаток равен 96. Поэтому если мы прибавим к нашему числу 504 — 96 = 408 или 408 + 504 = 912, то получим число, которое делится на 7, 8 и 9. Снова два ответа: 20 012 001 408 и 20 012 001 912.
156. 1 километр = 1 000 000 миллиметрам.
157. 1 квадратный метр = 10 000 квадратных сантиметров. 1 кубический метр = 1000 литрам.
158. Площадь поверхности можно измерить в килограммах краски, необходимой, чтобы покрасить эту поверхность.
159. Можно измерить, например, стопку из 100 листов и поделить полученное число на 100.
160. Можно поступить, например, следующим образом. Пометим какой-то участок на поверхности мяча мелом. Затем подкатим мяч к стене так, чтобы он коснулся стенки помеченной мелом частью. На стене получим отметку, находящуюся от пола на расстоянии, равном радиусу мяча.
161. Если у вас есть бочка и камень вмещается в бочку, то можно поступить так. Наполним бочку до краев водой и погрузим в нее камень. Часть воды выльется. Достанем камень и начнем доливать воду в бочку, например, при помощи бутылок, объем которых известен. Долив бочку доверху, мы узнаем объем камня.
162. У левого периметр меньше. Стороны каждого многоугольника равны либо стороне маленького квадрата, либо его диагонали. У правого 30 сторон первого вида и 9 — второго. У левого соответственно 30 и 7.
163. При решении этой задачи (вернее, этих задач) мы будем также пользоваться половинами квадратных единиц. Например, площадь самого маленького треугольника на рисунке 84 равна половине квадратной единицы, так как диагональ квадрата делит его на два равных треугольника. Площадь второго треугольника на том же рисунке равна 1 квадратной единице, так как он является половиной от прямоугольника из двух единичных квадратов. Точно так же получаем, что площадь третьего треугольника составляет половину от трех квадратных единиц или 1 с половиной квадратной единицы (или полторы квадратных единицы), площадь четвертого треугольника равна 3 квадратным единицам. Таким же образом можно находить площади других треугольников. Кроме того, мы будем пользоваться тем, что площади равных диагональ квадрата делит его на два равных треугольника. Площадь второго треугольника на том же рисунке равна 1 квадратной единице, так как он является половиной от прямоугольника из двух единичных квадратов. Точно так же получаем, что площадь третьего треугольника составляет половину от трех квадратных единиц или 1 с половиной квадратной единицы (или полторы квадратных единицы), площадь четвертого треугольника равна 3 квадратным единицам. Таким же образом можно находить площади других треугольников. Кроме того, мы будем пользоваться тем, что площади равных фигур равны. И если мы прибавим к фигуре полукруг и вырежем его в другом месте, то площадь не изменится. Выпишем ответы (в заданных квадратных единицах): 1) 16, 2) 37, 3) 20, 4) 24, 5) 13 с половиной, 6) 28 с половиной, 7) 18, 8) 16, 9) 16, 10) 20, 11) 30, 12) 13, 13) 20, 14) 15, 15) 16, 16) 7 с половиной, 17) 12, 18) 15.
Рис. 85
164. Ответы (в треугольных единицах): 1) 4, 2) 5, 3) 5, 4) 5, 5) 8, 6) 14, 7) 10, 8) 32, 9) 6, 10) 6, 11) 9, 12) 5, 13) 6, 14) 23, 15) 18. Ответы (в шестиугольных единицах): 9) 1; 10) 1; 11) 1 с половиной; 13) 1; 15)3.
165. См. рисунок 86.
Рис. 86
169. Конечно, 50.
178. Поскольку корабль поднимался вместе с водой, при возвращении пиратам пришлось подниматься на столько же ступенек, сколько и при спуске, то есть на 13 ступенек или же 26 футов.
189. Решение понятно из рисунка 87. Сначала делаем вырез, как на рисунке слева, и отгибаем кусок. Затем переворачиваем правую часть на другую сторону. Получаем фигуру, как на рисунке 87 справа. Затем делаем нужные сгибы и получаем фигуру, которую дедушка показал ребятам.
Рис. 87
190. Если за 3 секунды звук преодолевает 1 километр, то за минуту звук преодолеет 20 километров. Значит, его скорость (примерно) 20 километров в минуту или 1200 километров в час.
192. Скорее, все же не обошел.
193. Через полгода будет зима, и озеро замерзнет. И по льду, не замочив ног, вполне можно дойти до его середины.
194. Они должны оказаться по разные стороны.
195. Просто эти два путника подошли к речке с разных сторон, переправились по очереди и пошли дальше.
196. В конце у Феди должно оказаться 3 + 9 — 2 = 10 белых грибов. Следовательно, у всех будет по 10 грибов. Перед тем как Федя начал раздавать грибы, у него было 12 грибов, а у дедушки и Моцарта по 9 белых грибов. Значит, перед тем как Моцарт начал раздавать грибы, у него было 9 + 2 • 9 = 27 белых грибов, у дедушки 9 — 9 = 0 грибов, а у Феди 12 — 9 = 3 гриба. А вначале у дедушки было 6 белых грибов, у Моцарта — 24, а у Феди, как и было сказано, 0 грибов.
198. Решение понятно из рисунка 88, на котором нарисовано, что получится после нужного разрезания заданной фигуры на две части и составления из этих частей прямоугольника. Видно место, куда попадет отмеченный квадрат.
Рис. 88
201. Одно из возможных решений понятно из рисунка 89, на котором изображен вид сверху. Линии — следы разрезов. Один кусок — центральный — напоминает призму. У него две корки. По-видимому, этот кусок и является лучшим, и его отдали маме.
Рис. 89