Спал Федор очень крепко, без задних ног. (Так обычно говорят, хотя объяснить это выражение автор не может. Можно ли спать без передних ног или, наоборот, с задними, он, автор, не знает.) Под утро ему начал сниться какой-то странный сон. Вокруг было огромное количество яблок разных цветов и размеров и бегали мальчики. И каждый требовал свою долю. А он, Федя, никак не мог поделить между ними яблоки. Всякий раз кто-то обижался, что получил меньше других, и обещал побить Федю. К тому же сами яблоки постоянно меняли размеры, некоторые превращались в груши, а груши, в свою очередь, становились лампочками. Но сон все же был не страшным, и проснулся Федор в хорошем расположении духа, в предвкушении чего-то интересного и веселого. В комнату заглянул дедушка: — Вставайте, сударь, нас ждут великие дела! Однако, как оказалось, дедушка был не в лучшем настроении. Из-за вчерашней суматохи он забыл надеть на ночь очки и не смог хорошенько рассмотреть сон, который заказал накануне.

На завтрак дедушка предложил сварить каждому по одному яйцу и поджарить по котлетке.

— Себе я обычно варю яйцо всмятку. Его надо варить ровно 1 минуту. Тебе, я думаю, следует сварить яйцо в мешочек. На это требуется 3 минуты. К сожалению, мои наручные часы в ремонте. А комнатные часы от плиты не видны.

— Да по ним и не поймешь, сколько времени, — добавил Федя.

— Вовсе нет. Просто на этих часах часовая стрелка длиннее минутной.

Уголок, игравший роль кухни, располагался на террасе. Здесь стояла небольшая газовая плита.

— Посмотрим, чем нам может помочь волшебный сундук моего друга Умзара.

Дедушка открыл волшебный сундук и достал из него два странных прибора. Каждый состоял из двух соединенных друг с другом стеклянных колбочек.

«Тоже мне, колдовство, — усмехнулся про себя Федор. — Пока я спал, дедушка пробрался в комнату и положил эти штуки в сундук. Ничего! В следующий раз запрусь изнутри. Посмотрим тогда, как он будет делать свои чудеса».

Но дедушку находка очень обрадовала.

— Это же песочные часы. Эти отмеривают 3 минуты, а с помощью этих можно отмерить 5 минут. Я знаю также, что если поставить кастрюльку с водой на горящую конфорку, то она закипит через 3 минуты. Понятно, вода в кастрюльке, а не кастрюлька. Имеем проблему, она же задача.

12.  Как нам сварить одно яйцо всмятку, а другое в мешочек, затратив на это как можно меньше времени? Быстрее, чем за 6 минут, это сделать нельзя. А можно ли управиться за 6 минут? Чтобы полностью понять условие задачи 12, прочти предыдущий абзац текста.

(Д—2, 3, 4.)

(Напомним, что означает запись в скобках: в Дополнении есть еще три задачи на эту тему, номер 2, 3 и 4.)

Дедушка немного задумался и почесал затылок. Он так делал всегда, когда задумывался. И надо признать, что этот простой прием — почесывание затылка — очень хорошо действовал.

— Ну, все ясно, — сказал дедушка после недолгого размышления, — действуем так.

Ставим кастрюльку с водой на плиту и запускаем часы, отмеривающие 5 минут.

Как только вода закипает, бросаем в нее первое яйцо и запускаем часы на 3 минуты.

Как только весь песок в 5-минутных часах оказывается внизу, кладем в кастрюльку второе яйцо.

Как только закончит сыпаться песок в 3-минутных часах, гасим огонь, снимаем кастрюльку и вынимаем готовые яйца.

Теперь надо не перепутать, которое из них для тебя, а какое для меня.

Тут подал свой голос Навуходоносор.

— Не волнуйся, Нав. Я все помню, — сказал ему дедушка и, обращаясь к внуку, пояснил: — Сегодня понедельник, а по понедельникам я обычно жарю ему и себе по котлетке. Сегодня нам придется поджарить не две, а три котлетки. И опять задача.

13.  У меня имеется сковорода, на которой одновременно можно жарить две котлеты. Чтобы поджарить котлету с одной стороны, требуется 5 минут. Разумеется, каждую котлету надо поджарить с двух сторон. За какое наименьшее время на моей сковороде можно поджарить 3 котлеты?

— Не знаешь? Придется рассказать и показать решение. Если я буду ждать, пока ты решишь задачу, бедный Нос умрет с голоду. К счастью, у нас имеются часы, которые отмеряют ровно 5 минут. Понятно, что за 10 минут мы сможем поджарить полностью лишь 2 котлеты. Легко поджарить 3 котлеты за 20 минут. Остается выяснить, можем ли мы управиться за 15 минут?

Можем! Ведь за 15 минут мы можем поджарить 6 сторон у котлет. А у наших трех котлет как раз 6 сторон. Остается лишь все правильно сделать. Сначала мы жарим 2 котлеты с одной стороны. Это 5 минут. Затем одну котлету переворачиваем, другую снимаем недожаренной и заменяем третьей. Жарим еще 5 минут. И, наконец, снимаем первую котлету. Она готова. Кладем вместо нее недожаренную, а третью переворачиваем. И жарим еще 5 минут. На все ушло ровно 15 минут. Как говорится, что и требовалось доказать.

Феде очень понравилось неожиданное решение. Он немного подумал и спросил:

— А как быть, если на одной стороне котлета жарится 4 минуты? У нас таких часов нет.

Дедушка задумался.

— А я не знаю, как надо действовать в этом случае. Поздравляю тебя, Федор, ты придумал новую задачу. Здорово! Нередко именно так и развивается наука. Все начинается с вопросов: «А что, если…? Почему…? Верно ли, что…?» Иногда поиск ответа затягивается на годы, десятилетия и даже столетия. Например, теорему Ферма математики решали более 300 лет и решили ее недавно, примерно 10 лет назад. Что это за теорема, я пока не могу тебе объяснить. Но через пару лет, я надеюсь, ты наберешься знаний. Однако я отвлекся.

Давай запишем твою задачу. Только позволь мне, как опытному человеку, немного изменить условие.

14. Задача Федора Привалова. На сковороде за 4 минуты можно поджарить 1 блин. Имеется двое песочных часов: одни на 5 минут, а другие на 3 минуты. Можно ли, пользуясь лишь этими часами, за 16 минут поджарить 4 блина? А если можно, то как это сделать?

— Пока ответа на вопрос я не знаю. Надеюсь все же, что вскоре общими усилиями мы справимся с этой задачей, — уверенно заключил дедушка.

Этот странный математический завтрак продолжался чуть ли не полтора часа. Когда все четверо поели (кошка Клава получила свою порцию рыбы и молока), Федя помог дедушке убрать со стола и помыть посуду. Нельзя сказать, что дома он регулярно выполнял эту работу, скорее, наоборот, но тут как-то само собой получилось, что он решил помочь дедушке.

Не успели они с дедушкой закончить домашние дела, как с улицы раздался крик:

— Дедушка Гаврила! Дедушка Гаврила! Выйдя на крыльцо, дедушка воскликнул:

— А! Маша-Паша! Чем обязан?

— Дедушка Гаврила! В наш магазин привезли конфеты «Гипотенуза». Ваши любимые.

— Премного благодарен! Непременно куплю! Если есть какие-то проблемы, милости прошу!

Но проблем у Маши-Паши, как видно, не оказалось, и дедушка вернулся один.

— Это Маша и Паша. Брат и сестра. Они близнецы. У них большая семья. Маша говорит, что у нее два брата и две сестры.

15.  Сколько братьев и сестер у Паши?

(Д—5, 6.)

Федя понимал, что задачка простая, но все же не мог сразу сообразить. А дедушка тем временем, прервав его размышления, добавил еще одну задачу.

16.  Я сказал, что Маша и Паша — близнецы. Но они не двойняшки. Как это может быть?

(Д—7-10.)

Последняя задача совсем озадачила Федю. Он вспомнил близнецов Толю и Колю Каплевых, которые учились в его классе. Они в самом деле были похожи друг на друга как две капли воды.

Учителя их постоянно путали. И близнецы иногда этим пользовались, отвечая друг за друга на уроке. Но в последнее время учителя нашли способ борьбы. Они начали вызывать братьев к доске одновременно. И каждому приходилось отвечать за себя. Но Толя и Коля были двойняшками.

И опять дедушка прервал Федины раздумья:

— Кстати, а ты любишь конфеты «Гипотенуза»?

Оказалось, Федя никогда не пробовал таких конфет, даже не знал, что они бывают. И еще он не понимал значение слова «гипотенуза».

— Ну пусть это пока останется для тебя тайной. Скажу только, что «гипотенуза» имеет отношение к математике. А то, что ты никогда не пробовал этих конфет, немудрено. Они изготавливаются только на нашей районной кондитерской фабрике. Директор фабрики мой бывший ученик. Рецепт конфет дал ему я. Я же узнал его от своего друга Умзара Азума. Я тебе уже говорил о нем. Эти конфеты очень полезны для головы. Раньше я ел их очень много. Теперь приходится себя ограничивать. 1 килограмм я съедаю за 15 дней. Думаю, что тебе потребуется 10 дней, чтобы съесть 1 килограмм.

17. Как ты думаешь, за сколько дней мы с тобой вдвоем съедим 1 кг?

(Д—11–14.)

Дедушка помолчал.

— Похоже эта задача тебе не по зубам. Или, вернее, не по голове. Хотя эти конфеты полезны и для зубов, и для головы. Пока мы будем идти в магазин, я расскажу тебе ее решение. Ты должен не только понять это решение, но и усвоить МЕТОД, которым я буду пользоваться. Это очень важно. Тогда ты сможешь уже самостоятельно решать подобные задачи. Когда же узнаешь много различных методов, то ты научишься не только решать различные интересные задачи, но и придумывать свои методы.

Метод, который я тебе покажу, очень прост. Но часто бывает так: пока не знаешь метода, не представляешь, как и подступиться к задаче. Когда же узнаешь, огорчаешься — это же так просто! Как же я сам не догадался!

Давай подсчитаем, сколько килограммов конфет мы с тобой сможем съесть за 30 дней. Я съем 2 килограмма, ты — 3. Вместе мы с тобой съедим 5 килограммов. Значит, 1 килограмм мы съедим за…

— 6 дней, — обрадованно закричал Федя.

— Правильно. Видишь, как все просто! А почему я взял именно 30 дней, а не 20 или 45?

— А потому, что 30 делится и на 15, и на 10. А 20 делится только на 10, но не на 15. А 45 — наоборот, только на 15, но не на 10.

— Молодец! Назовем этот прием методом «общего кратного». Ведь 30 делится на 15 и 10, то есть является для них общим кратным. Мы могли бы взять вместо 30 и другое общее кратное: 60, 90 и так далее. Но 30 самое удобное. Оно наименьшее. Его так и называют: наименьшее общее кратное чисел 15 и 10. Теперь реши самостоятельно такую старинную задачу.

18.  Имеется охапка сена. Лошадь может съесть ее за 2 дня, корова — за 3, а коза — за 6 дней. За сколько дней лошадь, корова и коза вместе съедят эту охапку сена?

Федя с этой задачей справился, хотя и не очень быстро. (А ты?)

— Метод «общего кратного» может быть использован и в других задачах. Вот простой пример.

19.  Две черепахи ползут наперегонки. Первая проползает 4 метра за каждые 9 часов, а вторая 5 метров за каждые 11 часов. Какая черепаха ползет быстрее?

Задачу можно решать по-разному. Первый способ: найдем кратное чисел 4 и 5. То есть найдем какое-нибудь число, которое делится и на 4, и на 5. Лучше наименьшее.

— 20!

— Верно! Теперь посмотрим, за какое время каждая из черепах проползет 20 метров. Первая проползет 20 метров за 5 • 9 = 45 часов, а вторая — за 4 • 11 = 44 часа. Какая из черепах ползет быстрее?

— Вторая!

— Верно! Теперь другое решение: найдем наименьшее общее кратное чисел 9 и 11.

— 99!

— Правильно! А давай найдем, сколько метров проползет каждая из черепах за 99 часов. Думаю, ты легко сам доведешь решение до конца.