Ложась вечером спать, Федя вспомнил, что хотел запереть на ночь дверь в свою комнату. Но решил этого не делать по двум причинам. Во-первых, нехорошо запираться от дедушки. А во-вторых, у двери изнутри не было никакого запора. Он поступил хитрее: положил на дверь листок бумаги. Если кто-то ночью войдет в комнату, то этот листок обязательно упадет.

Уже лежа в постели, Федя с удовольствием вспомнил прошедший день, немного подумал о еще не решенных задачах и… заснул.

Проснулся на этот раз он довольно рано и кинулся к двери. Бумажка была на месте. Тогда он открыл сундук. На дне лежала свернутая трубкой бумага. Не успел он ее достать, как в дверь вошел дедушка.

— А, уже проснулся! Хороший ученик должен брать пример с зари: она занимается каждый день. Что это у тебя в руках? Похоже на древнюю рукопись. Насколько я понимаю, она из сундука. Давай посмотрим, что в ней.

Это в самом деле была рукопись.

Записано на основании свидетельств очевидцев и подлинных документов историком Божьей волею Титом Младшим.

Однажды у ворот славного города Бркдбра, столицы государства Аииарии, остановился юноша. Несмотря на простую одежду, он держался с достоинством. На бледном лице светились большие голубые глаза, а вьющиеся белокурые волосы подчеркивали его высокий лоб. Юноша постучал в ворота и передал стражнику письмо, адресованное правителю Аииарии его величеству Аль Труисту ибн Эмирханшаху. Но стражник был неграмотен и отправил с гонцом записку во дворец. Там записку прочитал придворный Грамотей. Записка была от известного мудреца и праведника Адемихра Разумного. Сам Адемихр много лет назад поселился в пустыне и посвятил свою жизнь изучению наук и укреплению духа. У него была небольшая школа, в которой всегда учились 10 человек. Каждый год один юноша оканчивал школу, а один — поступал в нее. Каким образом мудрец и отшельник находил себе новых учеников, не знал никто. Ученики же, окончившие школу, расходились по свету, выполняя наказ учителя. В записке, адресованной правителю Аииарии, было написано:

«Досточтимый Аль Труист ибн Эмирханшах!

Я узнал о трудностях, постигших твою страну. Жестокая засуха погубила весь урожай. Страшное землетрясение унесло много жизней и разрушило города и селения. Я знаю также, что ты искренне хочешь помочь своему несчастному народу. Посылаю к тебе одного из лучших выпускников моей школы, юношу, познавшего тайны чисел и фигур, сильного телом и духом. Зовут его Нави Росс. Если ты соблаговолишь сделать его своим советником, то, надеюсь, он сможет помочь тебе найти верный путь к процветанию твоей страны.

С почтением — Адемихр, прозванный Разумным».

Юношу быстро проводили во дворец, и уже через час он удостоился аудиенции правителя.

Надо сказать, что у Аль Труиста были свои советники. Был один старший советник. У старшего советника было два советника 1-го ранга. У каждого советника 1-го ранга было по два советника 2-го ранга. И так далее, до советников 10-го ранга. У советников 10-го ранга советников не было. Понятно, что старший советник не очень обрадовался появлению юноши. И он предложил шаху проэкзаменовать этого выскочку (именно так он назвал юношу, шепча свое предложение на ухо повелителю). Так ли уж хорошо учат в школе Адемихра? Правитель согласился с доводами своего старшего советника и предложил тому задавать свои вопросы.

Старший советник взял из рук одного из своих советников 1-го ранга бумажку, вышел с важным видом вперед и прочитал.

23. Вопрос первый. В нашей благословенной Аииарии, процветающей под мудрейшим руководством Аль Труиста ибн Эмирханшаха, правителя Больших и Малых народов, имеется XVII ведомств, имеющих по XXIII отдела, и в каждом отделе служат по СDIХ чиновников. Сколько всего чиновников в нашей стране удостоены высокой чести служить на благо нашему народу?

Эту записку с вопросом старший советник передал в руки Нави, и все числа мы указываем так, как они были написаны в записке. Для записи чисел в стране в то время пользовались римскими цифрами. Тут же появился слуга и передал Нави бумагу и приспособления для письма.

— Сколько времени потребуется тебе, чтобы произвести нужные расчеты?

— Как мне известно, такие расчеты у вас делает специальный отдел вычислений в научном ведомстве. Не знаю, сколько дней требуется этому отделу, чтобы получить правильный ответ, пользуясь таким неудобным способом записи чисел, я же смогу написать нужное число не позднее чем через одну минуту. Все необходимые расчеты я проделаю в уме.

И через 30 секунд юноша написал на бумаге результат. Нужно L взять CDIX раз и еще прибавить CMXIX.

— К сожалению, я должен прибегнуть к такой форме записи нужного числа, поскольку в вашей системе не хватает цифр для обозначения больших чисел.

— Все правильно? — строго спросил Аль Труист.

— Верно! — стараясь скрыть свой испуг, ответил старший советник. На самом деле отдел вычислений еще не сообщил окончательный результат, ссылаясь на сложность работы. Затем старший советник взял бумагу из рук второго советника 1-го ранга.

24. Вопрос второй. Сможешь ли ты в этой бумаге, на которой написан вопрос, проделать отверстие, через которое я мог бы пройти, не сгибаясь?

Нави усмехнулся.

— Такие задачи мы решаем в первом классе нашей школы, — сказал он и показал одно из решений.

Старший советник совсем упал духом. Но тут оба первых советника подвели к нему за руки маленького человечка и что-то начали шептать ему на ухо. Оказалось, этот человек работает в отделе игр и развлечений. Он придумал игру и знает секрет, позволяющий всех обыгрывать. Пока этот секрет никто не может разгадать.

Старший советник кивнул головой. Маленький человечек гордо вышел вперед, высыпал на стол кучку палочек и сказал:

— Я предлагаю по очереди брать из этой кучки палочки. Каждый раз можно взять не более 6 палочек. Выигрывает тот, кто возьмет последнюю.

— А кто начинает? — спросил Нави.

— Я! — испуганно поглядев на него, ответил маленький человечек.

— Тогда позволь мне, повелитель, сначала пересчитать, сколько здесь палочек. Так будет справедливо, — сказал Нави, обращаясь к правителю.

— Считай! — ответил тот.

Палочек оказалось 50. И юноша воскликнул:

— Но это нечестная игра!

25.  — Я думаю, что вы и сами легко можете догадаться, как правильно играть в эту игру, — продолжал Нави.

Правильно играя, начинающий всегда выигрывает. Первым ходом надо взять 1 палочку, а затем, сколько бы ни взял второй игрок, начинающий дополняет взятое им количество до 7. Так, если второй берет 1 палочку, первый берет 6, на взятие 2 палочек он отвечает взятием 5. И так далее.

— Это верно? — грозно спросил правитель.

Но маленький человечек промолчал. Он тут же испуганно юркнул в толпу придворных и исчез в ней.

— Я же знаю, как правильно играть в более сложную игру. Она называется «ним». На стол кладут сколько угодно кучек с любым количеством палочек. Не обязательно одинаковым. Играют двое. Они по очереди берут из любой кучки любое количество палочек. За один ход можно брать только из одной кучки. Тот, кто возьмет последнюю, выигрывает. В зависимости от количества кучек и числа палочек в них при правильной игре выигрывает либо начинающий игрок, либо второй. Но я не могу пока научить никого из присутствующих, как правильно играть в эту игру. Вам не хватает знаний. Я пришел в вашу страну прежде всего для того, чтобы дать народу ЗНАНИЕ.

На этом рукопись обрывалась. Но было понятно, что продолжение последует.

(От автора. Конечно, номера задач в рукописи отсутствовали. Они поставлены мною, чтобы. Одним словом, понятно, для чего.)

Дедушка внимательно прочитал рукопись.

26.  — Сколько же всего советников имел этот восточный правитель? — спросил он.

И, не дожидаясь ответа, продолжил: — Впрочем, я думаю, и сегодня тех, кто советует, гораздо больше тех, кто что-то делает. А насчет римских цифр и записи чисел с их помощью придется тебе немного рассказать.

Римских цифр всего 7: I, V, X, L, C, D, M.

Для записи чисел от 1 до 10 используются три знака: I, V и X. I = 1, II = 2, III = 3, IV = 4, V = 5, VI = 6, VII = 7, VIII = 8, IX = 9 и X = 10. Как видишь, I означает 1, V — это 5, X — это 10. Если I расположена перед V или X, то ее вычитают соответственно из 5 или 10, если же после, то прибавляют, причем столько раз, сколько этих знаков следует за V или X.

Числа 10, 20, 90, 100 записываются сходным образом, только при этом используются знаки X = 10, L = 50 и C = 100. Получается, что XX = 20, XXX = 30, XL = 40, LX = 60, LXX = 70, LXXX = 80, XC = 90.

Для записи чисел 100, 200, 300,…, 900, 1000 используются знаки C = 100, D = 500 и M = 1000.

Получаем: CC = 200, CCC = 300, CD = 400, DC = 600, DCC = 700, DCCC = 800 и CM = 900.

Для записи любого числа в пределах тысячи надо к числу из третьей группы приписать справа нужное число из второй группы, а затем и число из первой группы. Например, CDLXXXVI = 486, CMLXXIX = 979.

При записи римских цифр выполняется правило: ни одна цифра не может следовать подряд более трех раз. С помощью римских цифр мы можем записывать числа и более 1000. Однако 5000 мы, следуя правилу, записать не можем. Нужна новая буква (цифра).

27.  а) Прочти числа, записанные римскими цифрами: LXXXIX, CCLXXXVII, CDXCVII, CMXCIX, MMDCCLXVI. б) Запиши римскими цифрами числа: 73, 284, 876, 2666. в) Какое наибольшее число можно записать римскими цифрами (по правилу)?

(Д—16, 17.)

Как решал первую задачу Нави?

Понятно, что сначала он перешел к обычной записи. Ведь в римской системе даже сложение — очень непростая операция, а умножение — тем более. Он получил три числа 17, 23 и 409. Требуется найти их произведение. Нави сумел перемножить эти числа быстро и в уме. Как он это сделал?

Он воспользовался одной умной формулой.

Умзар Азум любил говорить, что умножить — это значит умно жить. А чтобы умно жить, надо уметь умно умножать и делить и постоянно приумножать свои знания. А тебе приходилось встречаться с формулами?

Судя по выражению лица Феди, он не только никогда в жизни не встречался с формулами, но даже не представляет, где они обитают и как выглядят. Но с другой стороны, как мы можем быть уверены, что не встречали что-то или кого-то, если не знаем, как это что-то или кто-то выглядит?

— Но вам в школе объясняли, как найти площадь прямоугольника?

— Конечно! Чтобы найти площадь прямоугольника, надо перемножить его длину и ширину.

— А чтобы найти, значит, площадь Ленина, — я думаю, в каждом городе была такая площадь, — надо перемножить длину Ленина на его ширину? Ну, ладно, шутки в сторону. На самом деле, то, что ты сказал, это и есть формула для нахождения площади прямоугольника. Это можно записать так:

Площадь прямоугольника = Длина прямоугольника х Ширина прямоугольника.

А так как что длина и что ширина у прямоугольника — дело спорное, лучше скажем так:

площадь прямоугольника = длина одной стороны х длина другой стороны.

28.  Значит, если длина одной стороны прямоугольника равна 1 метру, а другой равна 1 сантиметру, то его площадь равна…?

Чтобы решить эту задачу, надо сначала выразить длины обеих сторон в одинаковых единицах измерения. В данном случае можно в сантиметрах, тогда получим площадь в квадратных сантиметрах.

Тут дедушка остановился и задумался.

— Извини! Я немного увлекся. Попробую тебе объяснить формулу, которой воспользовался Нави, на примерах.

29.  Проверь равенства. Лучше сказать (математика любит точность): проверь, что написанные здесь равенства верны:

4 • 2 = (3 + 1) (3 — 1) = 3 • 3 — 1 • 1,

13 • 11 = (12 + 1) (12 — 1) = 12 • 12 — 1 • 1,

7 • 3 = (5 + 2) (5 — 2) = 5 • 5 — 2 • 2,

11 • 7 = (9 + 2) (9 — 2) = 9 • 9 — 2 • 2,

15 • 9 = (12 + 3) (12 — 3) = 12 • 12 — 3 • 3,

25 • 11 = (18 + 7) (18 — 7) = 18 • 18 — 7 • 7,

(40 + 19) (40 — 19) = 40 • 40 — 19 • 19.

Сможешь ли ты объяснить общее правило?

Общее правило (формула) таково: если сумму двух чисел умножить на разность тех же чисел, то получим то же самое, если мы сначала первое число умножим само на себя, затем второе умножим само на себя и из первого произведения вычтем второе.

Конечно, настоящей, полноценной формулой это правило станет лишь тогда, когда мы запишем его, как говорят математики, в буквенной, алгебраической форме. И, что очень важно, докажем его, а не получим из примеров. Но об этом ты узнаешь в старших классах.

Как с помощью этого правила Нави быстро нашел нужный результат? Сначала он перемножил 23 • 17 = (20 + 3) (20 — 3) = 20 • 20 — 3 • 3 = 400 — 9 = 391. Затем 409 •  391 = (400 + 9)(400 — 9) = 400 • 400 — 9 • 9 = 160 000 — 81 = 15 919.

30.  Найди устно следующие произведения: 31 • 29, 102 • 98, 204 • 196, 999 • 1001. Чему равно выражение 56 789 • 56 789 — 56 790 • 56 788?

Последним заданием для Нави, как ты помнишь, была игра с палочками. Если ты не разобрался в том, почему начинающий игрок, следуя правилу, указанному Нави, обязательно выигрывает, то давай с тобой сыграем в несколько игр.

И дедушка с внуком с увлечением сыграли в описанную игру. Только вместо палочек они использовали спички. Если начинающий действовал по нужному правилу, он обязательно выигрывал. Но стоило ему (начинающему) хотя бы раз изменить этому правилу, то выигрывал уже второй игрок. Разумеется, если он правильно играл. Что дедушка и показал несколько раз внуку.

— Ну что ж! Если ты полностью разобрался в этой игре, то предлагаю задачу.

31.  На столе лежат 50 палочек. Двое по очереди берут любое число палочек, но не больше 7. Тот, кто взял последнюю, выигрывает. Кто выигрывает при правильной игре? Начинающий игру или его соперник? Как надо играть?

Я надеюсь, что ты теперь легко справишься с этой задачей. Что касается игры «ним», о которой говорил Нави, то я пока не могу тебе о ней подробно рассказать. Может, немного позднее. А сейчас мы рассмотрим один ее вариант.

32.  На столе лежат две кучки палочек. В одной 23 палочки, а в другой — 24. Двое игроков по очереди берут любое количество палочек из любой, но только одной кучки. Выигрывает тот, кто возьмет последнюю. Кто выигрывает при правильной игре: первый игрок или второй? Как должен играть первый игрок?

В этой игре также выигрывает тот, кто начинает. Во время первого хода он должен взять 1 палочку из большей кучки. Надо уравнять число палочек в кучках.

Ты понял, как дальше должен играть первый игрок?

И последняя задача на эту тему.

33.  На столе лежат 32 конфеты. Малыш и Карлсон по очереди берут со стола конфеты. Разрешается за один ход взять не больше половины имеющихся конфет. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. (Одну конфету нельзя делить пополам.) Выигрыш — большой торт. Конечно, Карлсон настоял на том, что он должен начинать игру. Сможет ли он выиграть? Сколько конфет он должен взять за первый ход, чтобы наверняка выиграть?

В этой игре следует начать с конца. Если на столе 1 конфета, то тот, чей ход, проигрывает. Если на столе 2 конфеты, начинающий выигрывает. Дальше рассмотри, кто выигрывает, когда на столе 3, 4, 5, … конфет. Попробуй найти те числа (назовем их «плохими»), при которых начинающий проигрывает. Легко увидеть, что после 1 «плохим» будет число 3. Найди следующие «плохие» числа. Понятно, что надо стараться оставить сопернику «плохое» число. С этим методом — назовем его «обратный ход» — тебе еще придется встретиться.