Конечно, было бы неправильно утверждать, что в течение всех каникул Федя только и делал, что занимался математикой. У него появилось много друзей среди местных ребятишек. Они вместе ходили в лес, купались, играли в разные игры и, конечно, в футбол. Однажды Федя даже разбил мячом окно в местном клубе. Правда, сам Федя утверждал, что виноват его приятель Володя, который не смог поймать брошенный Федей мяч. В общем, кроме математики, были и другие развлечения. Но мы о них не будем рассказывать. К нашей книге все это отношения не имеет.
Да и сами занятия математикой проходили по-разному. Иногда, обычно после завтрака, дедушка с внуком поднимались на второй этаж, и там происходил самый настоящий урок. Так проходили дождливые дни, которые, как известно, бывают каждое лето. Нередко также Федор получал от дедушки задания и с большим удовольствием их выполнял. Ведь все задания, которые предлагал дедушка, были интересными и неожиданными. Совсем не было столь нелюбимых Федором примеров. А может, это просто казалось.
Однажды Федя поинтересовался:
— А ты все эти задачи из собственной головы выдумываешь? Ведь это, наверное, очень трудно?
— Ну, не всегда из собственной головы, бывает, что и из чужой, — ответил дедушка и добавил: — Да, ты прав, выдумывать из головы — дело не очень простое. Но из коленки выдумывать было бы гораздо труднее.
В этот день как раз шел дождь, который дедушка предсказал еще накануне. Он так и сказал вчера: «Поскольку погода сегодня гораздо лучше, чем завтра, надо подготовить для тебя задачки по арифметике». Вот задачи, которые Федя решал в этот дождливый завтрашний день.
34. На рисунках 2 и 3 отмечены точки, и около них поставлены числа. Соедини на рисунке 2 четные числа, а на рисунке 3 — числа, которые делятся на 5, прямыми линиями, точнее, отрезками прямых, в порядке возрастания. Получатся интересные рисунки.
Рис. 2
Рис. 3
35. Ты видишь на рисунке 4 много заданий на сложение и вычитание. Делать их надо одно за другим, постепенно заполняя пустые прямоугольники. Если ты встретишь пару прямоугольников, соединенных стрелкой, то надо во втором прямоугольнике, куда ведет стрелка, поставить то же самое число, что и в первом прямоугольнике. Если ты все сделаешь правильно, то в последнем прямоугольнике получится число 100.
Рис. 4
36. Расставь скобки так, чтобы получилось наибольшее число, и так, чтобы получилось наименьшее число:
а) 31 — 13 + 7 — 5 + 1 = …, 31 — 13 + 7 — 5 + 1 = …;
б) 31 — 13 — 7 — 5 — 1 = …, 31 — 13 — 7 — 5 — 1 = ….
37. Поставь в кружках (рис. 5) числа 1, 7, 9, 14, 15 и 22 так, чтобы суммы троек чисел на каждой стороне треугольника были равными.
Рис. 5
38. Поставь числа в пустых клетках (рис. 6) так, чтобы суммы любых трех чисел, идущих подряд, были бы одинаковыми.
Рис. 6
39. Вычисли:
100 — 1 = …;
100 — (100 — 1) = …;
100 — (100 — (100 — 1)) = …;
100 — (100 — (100 — (100 — 1))) = ….
Можешь ли ты теперь сообразить и быстро сказать, чему равно такое выражение 100 — (100 — (100 — (100 — … — 1))…), в котором число 100 встречается 100 раз?
40. Вычисли устно, найдя удобный способ:
а) 38 + 19 — 37 + 21 — 18 — 20 = …;
б) (2 + 4 + 6 + … + 100) — (1 + 3 + 5 + … + 99) = ….
41. На рисунке 7 изображена фигура, составленная из различных квадратов. У некоторых указаны длины сторон. Сторона самого маленького черного квадрата равна 1. Надо найти длины сторон каждого из квадратов.
Рис. 7
42. Найди сумму: 17 + 19 + 24 + 15 + 12 =….
А теперь постарайся, используя полученный результат, побыстрее найти суммы:
18 + 20 + 24 + 16 + 13 = …;
16 + 18 + 22 + 15 + 11 = …;
19 + 21 + 25 + 17 + 14 = …;
19 + 20 + 25 + 16 + 13 = …;
20 + 21 + 26 + 17 + 15 =…;
21 + 22 + 27 + 18 + 16 =….
43. Вычисли значения выражений. Постарайся сделать это быстрым и удобным способом:
7 + 7 — 7 + 7 + 7 — 7 — 7 + 7 + 7 — 7 = 3 + 4 + 4 — 3 + 4 + 3 + 3 — 4 — 3 — 4 = 127 + 139 + 127 + 139 — 127 — 139 — 127 + 139 — 139 — 139 =….
44. Найди суммы, переставляя слагаемые и объединяя их в пары удобным для сложения образом:
13 + 12 + 27 + 19 + 18 + 11 =…; 3 + 13 + 27 + 7 + 17 + 23 =…; 24 + 11 + 19 + 17 + 16 + 4 =….
Одним из самых великих математиков в истории человечества был немецкий ученый Карл Фридрих Гаусс, живший в XIX столетии. Рассказывают, что, когда ему было 10 лет и он учился в школе, учитель дал ученикам его класса задание:
45. Найти сумму всех целых чисел от 1 до 100.
(Д—18, 19, 20.)
Учитель надеялся, что такое вычисление займет у детей целый урок, и он сможет отдохнуть. Но, к его огорчению и удивлению, маленький Гаусс быстро справился с этой задачей. Он сумел правильно объединить числа в пары. Я думаю, что ты также сможешь найти нужную сумму. Но не надо считать себя таким уж великим, чуть ли не равным Гауссу. Маленький Гаусс самостоятельно нашел нужный метод. Тебе же была дана подсказка.