1

Необходимо сейчас же установить точный смысл и отчасти новое значение некоторых применяемых на этих страницах основных понятий, метафизическое содержание которых само собой постепенно раскроется в ходе изложения, но точный смысл которых необходимо пояснить с самого начала.

Общепринятое различение бытия и становления, усвоенное также философией, недостаточно точно выражает сущность противоположности, выражаемой этими двумя понятиями. Бесконечное становление – деятельность, «действительность», – примерами чему могут послужить физические понятия равномерной скорости и состояния движения или основные представления кинетической теории газов, приходится принимать также как состояние и, следовательно, относить к бытию. Наоборот, в качестве последних элементов непосредственно данного в сознании и через сознание, мы определенно различаем – вместе с Гёте – становление и ставшее. Даже если сомневаться в возможности подойти к последним основам стихии человеческого путем построения отвлеченных понятий, все же ясное и определенное чувство, из которого возникает эта основная, проникающая до крайних границ человеческого сознания противоположность, представляет собой такое значительное нечто, какое вообще является достижимым.

Отсюда следует с полной необходимостью, – a priori в смысле Канта, – что, в основе всего ставшего лежит становление, а не наоборот.

Далее, словами собственное и чужое я обозначаю два изначальных факта сознания, смысл которых для каждого бодрствующего человека – следовательно, устраняется состояние сновидения – ясен на основании полной внутренней очевидности, хотя и не поддается более точному определению. Чужое имеет постоянно то или иное отношение к тому основному факту, который обозначается словом чувственное (внешний мир, мир впечатлений). Философское творчество великих мыслителей постоянно стремилось возможно точнее определить это взаимоотношение при помощи полу наглядных схематических концепций, как, например, явление и вещь в себе, мир как воля и представление, я и не-я, хотя эти попытки переступают границы возможности точного человеческого познания. В равной мере, в изначальном факте, обозначаемом словом я (внутренняя жизнь, личность) некоторым способом, точная формулировка которого также остается недоступной методам абстрактного мышления, коренится элемент «собственного».

Далее, словами душа и мир я обозначаю то противоположение, наличие которого идентично с самим фактом бодрствующего чистого человеческого сознания. Существуют различные степени ясности и остроты этого противоположения, степени сознательности – духовности – одним словом, жизни, от только что начавшегося разделяться на полюсы мифического брезжущего рассвета первобытного человека и ребенка – сюда относятся становящиеся в позднейшее время все более редкими мгновения религиозного и художественного вдохновения – до крайней остроты бодрствования, как, например, в явлениях кантовского или наполеоновского мышления. Эта элементарная структура сознания в качестве факта непосредственной внутренней очевидности недоступна дальнейшему различению путем понятий и в такой же степени очевидно, что эти два, в известной мере искусственно и только средствами человеческой речи разделяемые, момента постоянно соприсутствуют, соединенные и переплетенные, и являются известным единством, известным целым, причем все предрассудки теории из области теории познания, усвоенные прирожденными идеалистами или реалистами, которые полагают первоосновой – или выражаясь их словами «причиной» – то душу, то тело, не имеют никакого основания в чистом факте сознания. Подчеркивается ли в известной философской системе та или иная сторона, это характерно только для личности философа и имеет исключительно биографическое значение.

Если применить слова становление и ставшее к полярной структуре сознания, то слово жизнь получит вполне определенный, близкий по своему значению к понятию становления, смысл. Можно становление и ставшее определить как факт и предмет жизни. Собственная, идущая вперед, постоянно совершающаяся жизнь в каждом своем мгновении идентична с бодрствующим сознанием – этот факт называется настоящим – и, как всему становящемуся, обоим им свойствен таинственный признак направления, некоторое невыразимое чувствование (жизнечувствование), которое человек стремится умственно подчинить своей власти при помощи свойственного всем высшим языкам слова время и связанных с ним проблем, пытаясь таким образом – но тщетно – его объяснить. Из этого вытекает глубокая связь ставшего (неподвижного) со смертью.

Если – давая притом перевес бессознательному над сознательным – обозначить душу как возможность, и, наоборот, мир как действительность – выражения, относительно которых внутреннее чувство не оставляет никакого сомнения, – то жизнь явится тем образом, в котором совершается осуществление возможного. На основании признака направления возможное называется будущим, осуществленное – прошедшим. Само же осуществление, сосредоточие и смысл жизни мы называем настоящим. «Душа» – это то, что подлежит осуществлению, «мир» – осуществленное, «жизнь» – осуществление. На основании этого такие выражения, как мгновение, продолжительность, развитие, жизненное содержание, жизненная задача, значение, объем, цель, конец, полнота и пустота жизни, получают определенное, для всего последующего, именно для понимания исторических явлений, существенное значение.

Наконец, как уже выше говорилось, слова история и при рода будут употребляться в определенном, до сих пор необычном смысле. Они обозначают возможные способы понимания всего осознанного становления и ставшего, жизни и пережитого в форме единообразного, одухотворенной, благоустроенной картины мира (космоса, вселенной, всего сущего), в зависимости от того, что играет роль главенствующего и устрояющего общее впечатление принципа: становление или ставшее, направление или протяженность («время» или «пространство»). Речь идет не об альтернативе, но о шкале бесконечно многих и очень разнообразных возможностей обладать внешним миром в качестве отражения и свидетельства собственного существования, о шкале, крайними ступенями которой являются чисто органическое и чисто механическое мировоззрения (в собственном значении слова: воззрение на мир). Первобытный человек (согласно нашему представлению о его сознании) и ребенок (согласно нашим воспоминаниям) не обладают еще ни одной из этих возможностей в достаточно ясном и согласованном виде. Необходимым условием такого высшего миросознания следует признать наличие языка, но не вообще какого-либо человеческого языка, а языки культурного, каковой для первого еще не существует, а для второго хотя и существует, но недоступен. Или, говоря другими словами, у обоих нет еще отчетливого мышления о мире: имеется предчувствие, но никакого действительного познания истории и природы, во взаимоотношение которых укладывалось бы их собственное существование: у них нет культуры.

Таким образом, это важное слово получает определенный и в высшей степени значительный смысл, который положен в основу всего последующего изложения. В связи с вышеупомянутым определением души как возможного и мира как действительного я различаю возможную и действительную культуру, т. е. культуру, как идею – общего или личного – существования, и культуру как тело этой идеи, как сумму сделавшихся доступными восприятию пространственных и ощутимых ее выражений, как-то: поступки и настроения, религия и государство, искусство и науки, народы и города, экономические и общественные формы, языки, право, обычаи, характеры, черты лица и одежды. История, находящаяся так же, как и жизнь, в близком родстве со становлением, есть осуществление возможной культуры.

Следует прибавить, что все эти положения лежат в значительной своей части вне пределов доступного истолкованию путем понятий, определений и доказательств и что глубочайший их смысл должен быть раскрыт, главным образом, путем прочувствования, переживания, созерцания. Между переживанием и познаванием как формами отношений собственного и чужого («субъекта и объекта») существует различие, недостаточно оцененное. Оно обнаруживается в различии между непосредственной достоверностью, примерами чему служат разные виды интуиции (озарение, чутье, художественное прозрение, Гётевская точная чувственная фантазия), и результатами рассудочного опыта и экспериментальной техники. В первом случае средствами сообщения служат сравнение, образ, символ, во втором – формула, закон, схема. Ставшее делается достоянием познания, или, вернее, как мы дальше увидим, результат становления идентичен для человеческого духа с актом познания. Становление может быть только переживаемо и прочувствовано путем глубокого бессловесного понимания. На этом основано так называемое знание людей. Понимать историю – значит быть знатоком человеческого сердца в высшем смысле слова. Чем чище исторический образ раз, тем исключительнее доступен он только этому собственно неземному видению, не имеющему ничего общего со средствами познания, которые исследует «Критика чистого разума». Механизм чистой картины природы, например вселенная Ньютона или Канта, подвергается познанию, определению путем понятий, разложению путем законов и уравнений и, наконец, приводится в систему. Организм чистого исторического образа, каковым был мир Плотина, мир Данте и Бруно, является объектом созерцания, внутреннего переживания, восприятия в образах и символах, наконец, воссоздается в поэтических и художественных концепциях. Гётева «живая природа» есть исторический образ мира.

Переживание и познавание суть акты сознания отдельного человека. Их результат, ставший, таким образом, актом прошлого, памяти, знания, называется: нечто пережитое или некоторое познание. Понять что-нибудь – исторически или в области естествознания – значит гармонически включить в имеющийся уже запас пережитого или познанного.

 

2

В качестве примера того, как душа стремится осуществить себя в образе своего окружающего мира, того, следовательно, насколько ставшая культура является выражением и отражением идеи человеческого существования, я беру число, лежащее в качестве непосредственного данного элемента в основе всякой математики. Я делаю это в особенности на том основании, что всякая математика, доступная во всей своей глубине только очень немногим, занимает совершенно исключительное положение между остальными созданиями человеческого духа. Она является наукой строгого стиля, так же как и логика, но только более всеобъемлющей и с более богатым содержанием; в отношении необходимости направляющего вдохновения и больших конвенционных форм в ее развитии, она является, наряду с пластикой и музыкой, настоящим искусством; наконец, она является метафизикой высшего порядка, как это доказывают Платон и в особенности Лейбниц. До настоящего времени всякая философия возрастала в связи с соответствующей математикой. Число – это принявшая образ идея причинной необходимости, подобно тому, как представление о Боге, создаваемое заново каждой культурой из своих глубин, является принявшей образ идеей о необходимости судьбы. В этом смысле существование чисел можно именовать тайной, и религиозное мышление всех культур испытывало на себе их влияние.

Подобно тому, как всякое становление имеет в себе первоначальный признак направления (необратимости), в равной мере все ставшее несет в себе признак протяженности, причем возможно только искусственное разделение значения этих терминов. Вместе с тем подлинная тайна всего ставшего и, следовательно (пространственно-материально), протяженного, воплощается в духовной стороне всякой культуры в виде типа математического (неподвижного) числа, в противоположность хронологическому. В основе его сущности лежит стремление к механическому разграничению. Число родственно слову в том смысле, что подобно последнему – в роли понятия «охватывая», «обозначая» – оно разграничивает мировпечатления. Конечно, глубочайшая сущность тут недоступна познанию и выражению. Сделавшееся вещью, настоящее число, точно представленный, произнесенный, написанный числовой знак – цифра, формула, знак, фигура – единственно подлежащее математическому толкованию, подобно возникшему в уме, произнесенному, написанному слову, является в этом смысле оптическим символом, осязаемым и сообщаемым, отражающим в себе разграничивающую деятельность. Возникновение чисел подобно возникновению мифа. Римлянин возводил в божество неопределимые впечатления природы («чужое»), numina, стараясь при помощи имени отграничить и заклясть их. Точно так же и числа и слова суть получившее образ и при помощи формы подчиненное мирочувствование. При их помощи дух («собственное») достигает власти. При их помощи он приводит в порядок и разделяет на части мир. Все настоящие акты познания – не акты переживания, – будучи в качестве таковых связанными с наличностью какого-нибудь культурного языка, стремятся к одинаковой цели. Определение, суждение, закон, система являются результатами произведенных разграничений, и установление причинной связи, которой исчерпывается сущность всякого естествознания, сводится исключительно к точному отграничению двух впечатлений, которые по отношению к числу носят название причины и действия, по отношению к слову – основания и следствия. На этом основано внутреннее сходство построения высокоразвитого языка (грамматики, строения фраз) с соответствующей математикой. Логика всегда есть один из видов математики и обратно. Вместе с тем, во всех актах сознания, находящихся в связи с математическим числом – как-то: измерение, счисление, начертание, взвешивание, приведение в систему, разделение – заложено общее стремление к разграничению ставшего и протяженного, и только благодаря почти что бессознательным актам подобного рода существуют для бодрствующего человека объективные предметы, свойства, отношения, отдельные явления, единство и множество, короче говоря, вся воспринятая, в качестве необходимой и непоколебимой, структура той картины мира, которую он называет «природой» и как таковую «познает». Природа – это то, что счислимо. История есть совокупность всего того, что не имеет отношения к математике. Отсюда математическая точность естественных законов, удивительное прозрение Галилея, что природа «scritta in lingua matematica», и выдвинутое Кантом положение, что точное естествознание простирается как раз до тех границ, в пределах которых возможно применение математического метода.

Следовательно, в числе, как 6 знаке законченного экстенсивного ограничения, заложена сущность всего действительного, всего, что стало, познано и разграничено в одно и то же время; это на основании внутренней очевидности понял Пифагор при помощи величественной, исключительно религиозной интуиции. Вместе с тем не следует смешивать математику, понимаемую как обладание прирожденным виртуальным миром чисел, с гораздо более узкой научной математикой, с учением о числах. Одна – исчерпывающее и необходимое качество сознания, другая – возможный способ развить это качество. Писанная математика, т. е. известная система застывших положений, в такой же малой мере, как и изложенная в теоретических сочинениях философия, выражают собой все наличие тех математических и философских возможностей, которые таятся в недрах известной культуры. Имеются, кроме того, совершенно иные пути выразить лежащее в основе чисел исконное чувствование и подчинить образующему принципу ставшее и протяженное, – материю или пространство. В начале каждой культуры существует архаический стиль, которому не только применительно к раннеэллинскому искусству, но и вообще можно дать название геометрического. Есть что-то общее, определенно математическое в дипилоновом стиле греческих погребальных ваз, в храмовом стиле IV египетской династии, характеризуемом неограниченным господством прямой линии и прямого угла, в иератическом стиле древнехристианских саркофаговых рельефов и в романском орнаменте. Каждая линия, каждая человеческая или звериная фигура совершенным отсутствием стремления подражать вскрывают здесь мистическое числовое мышление, непосредственно связанное с тайной и культом смерти (застывшего).

Готические соборы и дорические храмы – это окаменевшая математика. Конечно, Пифагору принадлежит научное толкование античного числа как принципа мироустроения осязаемых вещей, как меры или величины. Но в то же время число получило свое выражение в качестве принципа прекрасного устроения чувственно-телесных единиц также в строгом каноне эллинских статуй, дорических и ионических ордеров колонн. Все большие роды искусства представляют собой столько же различных способов подчиненного числу многозначительного различения. Следует только вспомнить о проблеме пространства в живописи. Высокое математическое дарование может и без всякой науки стать продуктивным и вполне себя осознать. Имея перед глазами величественное понимание числа, без которого немыслимы трактовка пространства в пирамидном храме, строительная, оросительная и административная техника, существовавшие уже в Древнем египетском Царстве за 2800 лет до Р.Х., не говоря уже о египетском календаре, мы, конечно, не станем утверждать, что лишенная всякого значения «Счетная книга Яхмоса» из эпохи Нового Царства, является показателем уровня египетской математики. Туземцы Австралии, духовное развитие которых находится еще вполне на ступени первобытного человека, обладают математическим инстинктом, или, что то же, еще не осознанным при помощи слов и знаков сокровищем чисел, далеко превосходящим греческий в отношении толкования чистого пространства. Они изобрели оружие, бумеранг, действие которого указывает на инстинктивное знакомство с родами чисел, которое мы склонны бы были отнести к области высшего геометрического анализа. Соответственно этому, как это будет выяснено впоследствии, они обладают очень сложным церемониалом и таким тонким словесным различением различных степеней родства, какое мы не встречаем нигде, даже ни в одной высокой культуре. Этому отвечает то обстоятельство из цветущей эпохи греков времен Перикла, что они, в аналогии с эвклидовой математикой, не имели никакой склонности ни к церемониалу в общественной жизни, ни к одиночеству, в полной противоположности к эпохе барокко, где мы наблюдаем наряду с анализом пространства двор Короля-Солнца и систему государств, основанную на династическом родстве.

Действительно, стиль души проявляется в мире чисел, однако не только в научной обработке последнего.

 

3

Отсюда вытекает решающее обстоятельство, остававшееся до сего времени неизвестным даже самим математикам.

Число в себе не существует и не может существовать.

Существует несколько миров чисел, потому что существует несколько культур. Мы встречаем индийский, арабский, античный, западноевропейский числовой тип, каждый по своей сущности совершенно своеобразный и единственный, каждый являющийся выражением совершенно особого мирочувствования, символом отграниченной значимости, также и в научном отношении принципом распорядка ставшего, в котором отражается глубокая сущность именно этой, и никакой другой души, той, которая является центральным пунктом как раз соответствующей, и никакой другой культуры. Таким образом существует несколько математик. Несомненно, архитектоническая система эвклидовой геометрии совершенно отличается от картезианской, анализ Архимеда нечто совершенно иное, чем анализ Гаусса, не только по языку форм, целям и приемам, но по своей сути, по первоначальному феномену числа, научное развитие которого они собой представляют. Это в духе и духом воспринятое число, это переживание предельности, с внутренней необходимостью получившее через число наглядность и принявшее форму, а вместе с тем вся природа, весь пространственный мир, образ которого возник через это самопроизвольное отграничение и трактование которого доступно каждый раз только математике определенного рода, – все это говорит не о человеческой стихии вообще, но каждый раз о вполне определенной.

Стиль каждой возникающей математики зависит, следовательно, от того, в какой культуре она коренится и какие люди о ней размышляют. Потому что число предшествует рассудочному уму, а не наоборот. Числа суть творческие, а не творимые сущности. Ум может привести к научному раскрытию формальных возможностей, может применять их и достигать высочайшей зрелости в их применении; но изменить их он совершенно не в силах. В ранних формах орнаментики и архитектуры, в дорической колонне и готике соборов уже осуществлена идея эвклидовой геометрии и счисления бесконечно малых, еще за целые столетия до того, как родились первые математики соответствующих культур.

Глубокое внутреннее переживание, настоящее пробуждение собственного я, делающее ребенка высшим человеком, членом той культуры, к которой он принадлежит, отмечает начало числового и словесного понимания. Только с этого момента начинается сознание предметов, как чего-то во всех отношениях ограниченного и легко отличаемого, возникают точно определимые свойства, понятия, причинная необходимость, система окружающего мира, форма вселенной, законы вселенной – «закон» по своей природе всегда ограничен, неподвижен, подчинен числам, – и вдруг родится ощущение того, что собственно означают числа, в формах ли пластического искусств или математического знания. Понятно, что они еще закрыты для первобытного человека и для ребенка и что – говоря биографически или исторически – решительная эпоха наступает только в тот момент, когда осознанный в его значении акт счисления, измерения, рисования и формирования породит совершенно новый мир, возникший из вновь вскрытой внутренней жизни. Это переживание, с проявлением которого возникает большой стиль, выделяет культуры и типы души как особые индивидуумы из примитивной человеческой стихии.

Как известно, Кант разделяет все наличие человеческого знания на априорные (необходимые и имеющие общее значение) и на апостериорные (вытекающие из опыта) синтезы, и относит математическое познание к первым. Этим он, несомненно, дал отвлеченное выражение сильному внутреннему ощущению. Однако совершенно независимо от того, что между этими двумя областями не существует вполне определенной границы (чему слишком много примеров мы находим в современной высшей математике и механике), каковая определенность, однако, казалось бы, безусловно требуется самим происхождением принципа, сама априорность, одна из гениальнейших концентраций всей теории познания, является понятием в высшей степени трудным. Ничуть не утруждая себя доказательствами – каковые и сами по себе невозможны, – Кант делает предпосылку о неизменяемости формы всякой умственной деятельности и о ее идентичности для всех людей. Таким образом, одно обстоятельство, значение которого не может быть оценено слишком высоко, было им совершенно устранено из рассмотрения, главным образом вследствие того, что Кант при проверке своих мыслей считался только с умственным материалом и интеллектуальным обликом своего времени. Речь идет об изменяющейся степени обязательности этого «абсолютного принципа». Наряду с некоторыми факторами несомненно широкого значения, которые, по крайней мере по видимости, не зависят от принадлежности познающего к той или иной культуре или столетию, в основе всякого мышления лежит еще иная необходимость формы, которой человек подчинен как член вполне определенной, и только этой культуры. Это два совершенно различных вида априорного содержания, и нельзя дать никакого ответа, так как раз – решение лежит вне возможности познания, на вопрос, где граница между двумя вышеупомянутыми областями и существует ли она вообще. До сих пор никто не решился признать, что считавшееся само собой понятным постоянство духовных форм есть только иллюзия и что в течение известной нам истории стиль познания изменялся несколько раз. Но здесь следует помнить, что consensus omnium не всегда свидетельствует об общей истине, но иной раз и об общей ошибке. Смутное сомнение, однако, всегда существовало, и уже из самого факта наличия разногласий всех мыслителей можно было сделать правильный вывод. Но открытием является установление того факта, что это разногласие проистекает не из несовершенства человеческого духа, не из того, что окончательное познание «еще не» достигнуто, что это не недостаток, а есть положенная судьбой историческая необходимость. Глубочайшее и последнее может быть открыто не из постоянства, а из различия и из органической периодичности этого различия. Сравнительная морфология форм познания – вот задача, подлежащая разрешению западных мыслителей.

 

4

Будь математика просто наукой, подобно астрономии и минералогии, ее предмет было бы легко определить. Но по отношению к ней никто не может и не мог этого сделать. Если мы, западноевропейцы, насильственно распространяем наши числовые понятия на то, что занимало математиков в Афинах или Багдаде, все же остается несомненным, что тема, цель и методы науки, носящей то же название, были там совсем иными. Не существует одной науки математики, есть многие математики. То, что мы называем историей математики, понимая под этим прогрессирующую проверку единственного и неизменного идеала, является в действительности, если только устранить обманчивую картину внешних явлений истории, множественностью законченных в себе, независимых процессов, постоянным нарождением новых, усвоением, переработкой и устранением чуждых миров форм, чисто органическими, ограниченными известной длительностью расцветом, зрелостью, увяданием и смертью. Не следует впадать в ошибку. Аисторический греческий дух создал свою математику из ничего, исторически настроенный дух Запада, обладавший уже заимствованной античной наукой, – усвоенной внешне, а не внутренне, – принужден был приобретать собственным путем кажущихся изменений и усовершенствований, в действительности же путем разрушения неадекватной ему эвклидовской. Одно было сделано Пифагором, другое Декартом. Оба акта в глубине идентичны.

Равным образом не подлежит сомнению сродство языка форм математики и языка форм соседних больших искусств.

Целью всей математики является законченная в себе система положений, являющая собой синтетический априорный распорядок всего неподвижного, протяженного, т. е. то же непрерывное искание синтеза, которое мы встречаем в проблеме формы каждого изобразительного искусства, в борьбе каждого отдельного художника в своей области за техническое мастерство. Чувство формы скульптора, художника и композитора по существу является математическим. В аналитической и начертательной геометрии XVII века вскрывается тот же распорядок, который вызывает к жизни, охватывает и стремится насквозь проникнуть в современную ей инструментальную музыку (фугированного стиля) и родственную ей масляную живопись, первую при помощи правил контрапункта, этой геометрии звукового пространства, вторую при помощи известной одному только Западу перспективы, этой почувствованной геометрии пространства картины. Это есть то, что Гёте называет идеей, образ которой непосредственно созерцается в чувственном, в то время как собственно наука не созерцает, но только наблюдает и разлагает. Но математика ведет дальше, чем наблюдение и разложение. В минуты возвышения она действует интуитивно, а не путем абстрагирования. Гёте принадлежит глубокое слово, что математик постольку является совершенным, поскольку он ощущает в себе красоту истины. Здесь мы чувствуем, как близка тайна феномена чисел тайне художественной формы, которая также имеет своей целью многозначительное отграничение, прекрасную меру, уравновешенное величие, строгие взаимоотношения, гармонию, короче говоря, совершенный распорядок чувственного. Таким образом, прирожденный математик становится в один ряд с великими мастерами фуги, резца и кисти, которые также стремятся одеть в символы, осуществить и сообщить другим тот великий распорядок всех вещей, который рядовой современник их культуры носит в себе, не умея в действительности им овладеть. Таким образом царство чисел становится интуитивным отображением мировой формы, наряду с царством звуков, линий и красок. Поэтому слово «творческое» в приложении к математике имеет большее значение, чем в приложении к собственным наукам. Ньютон, Гаусс, Риман были художественными натурами. Стоит только вспомнить как внезапно их осеняли их великие концепции. «Математик, – говорит старик Вейерштрас, – в котором вместе с тем нет частицы поэта, не может быть совершенным математиком».

Итак, математика – тоже искусство. У нее есть свои стили и периоды стилей. В противоположность мнению непосвященного или философа, поскольку последний судит как непосвященный, она по своей сущности не неизменна, но, как и всякое искусство, подвержена от эпохи к эпохе незаметным изменениям. Следовало бы при изображении развития больших искусств постоянно иметь в виду современную математику, что оказалось бы далеко не бесплодным. Подробности глубоких взаимоотношений между направлениями в теории музыки, начиная с Орландо Лассо, и фазами развития теории функции никогда не были предметом исследования, однако эстетика могла бы почерпнуть отсюда гораздо больше поучи тельного, чем из всякой «психологии». Все великие математики, начиная с Ферма, Паскаля и Декарта (1630 г.), быт трансцендентальными аналитиками, все же древние, начиная с Пифагора (540 г.) – зрительно-телесно мыслящими натурами. Нужно ли еще раз указывать на тесную связь этих дарований с начинающимся расцветом чистой инструментальной музыки в первом случае, и ионической мраморной скульптуры – во втором? Античная математика, вначале почта исключительно планиметрическая, в своем развитии от Пифагора до Архимеда, обнаруживает тенденцию к стереометрическому пониманию всего числимого. Этому соответствует тенденция плоской живописи аттическо-коринфского стиля к полной пластике через промежуточную стадию рельефа, наложенного на плоскость. Статуя возникла частью из фигурно-рельефообразно-обделанной колонны (Гера Херамия), частью из деревянных или бронзовых пластинок, служивших отделкой стены (Артемида Никандры). И дерево и порос обрабатывались при помощи резца, однако только ваяние из мрамора при помощи долота вполне отвечало художественному чувству создания тела. Соответствующий процесс наблюдается и на Западе. В то время, как так называемая геометрия превращается в анализ чистого пространства, из которого шаг за шагом устраняется все оптическое – как далеко, например, понятие координат у Декарта ушло вперед по сравнению с Ферма – одновременно и инструментальная музыка приобретает новые средства выражения. С 1520 г. изобретенная в Верхней Италии скрипка начинает заменять лютню. Фагот делается известным с 1525 г. В Германии в течение XVI и XVII столетий орган развился в покоряющий пространство инструмент. Монтеверди (1567–1643), положивший изобретением доминантсепт-аккорда начало собственной хроматики, имел в своем распоряжении первый настоящий оркестр, а в 1630 г. в лице Фрескобальди появляется первый большой виртуоз на органе. Рядом с analysis situs, этим венцом творчества Лейбница, стоит мощная символика пространства последних созданий Рембрандта, умершего в 1669 г., а именно: автопортрета в Мюнхене, Дармштадтского Христа и Евангелиста Матфея.

Еще одно обстоятельство, несомненно, отличает стремление к форме всякой математики от чисто научных целей любой физики и химии и сближает ее с изобразительными искусствами: элементы ее, а именно неподвижные числа, независимо от того, имеют ли они наглядный или трансцендентальный характер, являются не какой-либо эмпирической действительностью, а чистыми формами протяженного, как орнаментальные линии или музыкальные гармонии, а приемы ее, следовательно, говоря словами Канта, синтетичны, или, говоря художественным языком, представляют собой композицию, в каковой художник подчинен высшей необходимости – априорному Канта. Пусть в популярных частях любой математики это менее заметно; но числовые образования высшего порядка, к которым каждая из них восходит своими отличными путями, как-то: индийская децимальная система, античные группы конусных сечений, простых чисел и правильных полиэдров, на Западе – числовые тела, пространства многих измерений, в высшей степени трансцендентальные образования учений о трансформации и о множествах, группа неэвклидовских геометрий – все они уже не имеют исключительно рассудочного происхождения, и для полного понимания их глубоких, вполне метафизических оснований необходим известный род визионерного ясновидения. Здесь дело сводится к внутреннему переживанию, а не только к познанию. Только с этого пункта начинается большая символика чисел. Эти формы, родившиеся во имя определенной культуры в душе великих мастеров, как выражение глубочайших тайн ее мироощущения открывают посвященному как бы первооснову его существования. Нужно, чтобы эти создания действовали на нашу душу, как внутренность соборов, как стихи ангелов из пролога «Фауста» или кантаты Баха, для чего необходимы счастливые и редкие минуты. Только тот, кто способен на это – а зрелые умы всегда будут редки – поймет, почему Платон называл вечные идеи своего космоса числами.

 

5

Когда в пифагорейских кругах около 540 г. пришли к убеждению, что сущность всех вещей заключается в числах, тогда не только был сделан шаг вперед в развитии математики, но родилась новая математика из глубин антично) духовной стихии, и возникла сознательная теория, задолго предвозвещенная в метафизических проблемах и поисках художественной формы. Это была совершенно новая математика наряду с навсегда оставшейся не написанной математиком египетской культуры и алгебраически-астрономически по строенной математикой вавилонской культуры с ее эклиптическими системами координат, математиками, однажды родившимися в великую минуту истории и в то время давно уже умершими. Пришедшая в дряхлость ко времени римлян античная математика умерла для живой жизни, несмотря на сохранившуюся в нашем способе выражаться до настоящей: времени видимость существования, чтобы много позднее и к иной далекой местности уступить место арабской; после тоге как и эта отжила свое время, через долгий промежуток времени, на смену ей явилось совершенно новое порождение новой почвы, наша математика, которую мы в странном ослеплении считаем математикой вообще, вершиной и целью двухтысячелетнего развития, но жизнь которой, строго ограниченная назначенными ей столетиями, также близится к своему окончанию.

Изречение, гласящее, что число составляет сущность всех чувственно осязаемых вещей, осталось наиболее ценным положением античной математики. Оно определяет число как меру. В нем заключено все мироощущение души, страстно обращенной к настоящему и здешнему- Измерять в этом смысле – значит измерять что-либо близкое и телесное. Представим себе квинтэссенцию античного искусства, свободно стоящую статую нагого человека: в ней, при помощи плоскостей, меры и чувственного соотношения частей, исчерпывающе передано все существенное и значительное бытия, весь его этос. Пифагоровское понятие гармонии чисел, хотя, вероятно, и ведущее свое начало от – одноголосной – музыки, представляется как бы нарочно приспособленным к идеалу этой пластики. Обделанный камень лишь постольку и являет собой нечто, поскольку у него есть уравновешенные границы и измеренные формы, поскольку он получил осуществление под резцом художника. Без этого он только хаос, нечто еще не осуществленное, покамест еще ничто. Это ощущение, перенесенное в более обширные области, порождает в качестве противоположности хаосу космос, внешний мир античной души, гармонический распорядок всех заключенных в соответствующие границы осязаемо-наличных отдельных предметов. Сумма таких предметов и есть вселенная. Промежуток между ними, наше преисполненное всем пафосом высокого символа мировое пространство есть ничто, τό μή όν. Протяженность для античных людей значит телесность, для нас – пространство, в котором отдельные предметы «являются» функцией. Обратив наш взгляд отсюда назад, мы, может, разгадаем глубочайшее понятие античной метафизики, а именно ’άπειρον Анаксимандра, слово, непереводимое ни на один из языков Запада; это то, что не имеет никакого числа в пифагорейском смысле, никаких измеряемых границ и величины, следовательно, не есть существо, а нечто безмерное и лишенное формы, статуя, еще не изваянная из куска камня. Это άρχή нечто лишенное оптических границ и формы, из которого только путем образования границ, разделения на чувственно самостоятельные предметы, возникает что-то, а именно мир. Таким образом, в основе античного познания в качестве априорной формы лежит телесность в себе, чему в Кантовой картине мира точно соответствует абсолютное пространство, исходя из которого Кант, по собственному признанию, мог «мысленно вывести все вещи».

Теперь становится понятным, в чем отличие одной математики от другой, в особенности античной от современной. Согласно всему своему мирочувствованию зрелое античное мышление могло видеть в математике только ученье о соотношении величин, мер и форм физических тел. Когда, руководствуясь этим ощущением, Пифагор изрек свою основную формулу, для него число было именно оптическим символом, не формой вообще или абстрактным отношением, но разграничивающим признаком ставшего, поскольку последнее проявляется в чувственно обозримых подробностях. Вся античность без исключения воспринимает числа как единицы меры, как величины, длины и поверхности. Другой род протяженности недоступен ее представлению. Вся античная математика в основе своей есть стереометрия. Эвклид, живший в III веке и приведший всю систему к завершению, говоря о треугольнике, с внутреннею необходимостью представляет себе поверхность, ограничивающую тело, но никогда не систему трех пересекающихся прямых линий или группу трех точек в пространстве трех измерений. Линию он определяет названием «длина без ширины μήκος’απλατες. При нашем способе выражаться это определение показалось бы убогим. В границах античной математики оно превосходно.

И наше западное число, в противность мнению Канта и даже Гельмгольца, не развилось из «априорной формы созерцания времени», но в качестве распорядка однообразных величин представляет собой нечто специфически пространственное. Время, как это станет понятным на основании дальнейшего, не имеет ничего общего с математическими предметами. Числа принадлежат исключительно сфере протяженного. Но имеется столько же возможностей и, следовательно необходимостей систематически изобразить протяженность сколько имеется культур. Античное число не есть мышление о пространственных отношениях, но мышление об отграниченных для телесного глаза, осязаемых единицах. Поэтому античность – это вытекает с полной необходимостью – знает только естественные (положительные, целые) числа, которые среди многих в высшей степени абстрактных родов чисел западной математики, как-то: комплексных, гиперкомплексных, неархимедовских и иных систем, занимают обычное, ничем не выделяющееся положение.

Поэтому представление об иррациональных числах, или, по нашему начертанию, о бесконечных десятичных дробях, осталось для греческого духа совершенно недоступным. Эвклид говорит – и следовало бы точнее принимать смысл его слов, – что несоизмеримые расстояния относятся между собой «не как числа». Действительно, в законченном понятии иррациональных чисел лежит полное отделение понятия числа от понятия величины, причина этому та, что иррациональное число, например π, никогда не может быть отграничено или точно выражено при помощи известного расстояния. Из этого следует, что, например, в представлении об отношении стороны квадрата к его диагонали, античное число, представляющее собой, собственно, чувственную границу, замкнутую величину, и ничто иное, соприкасается с совершенно иной числовой идеей, в самой своей сути чуждой античному мирочувствованию и поэтому жуткой, как будто бы речь идет о том, чтобы открыть опасную тайну собственного существования. На это указывает позднегреческий миф, согласно которому тот, кто впервые извлек рассмотрение иррационального из сокровенности и предал его гласности, погиб при кораблекрушении, «так как невысказываемое и безобразное должно постоянно оставаться сокровенным». Кто поймет страх, лежащий в основе этого мифа – тот же страх, который постоянно удерживал греков зрелого времени от расширения их крохотных городов-государств в политически организованные страны, от устройства широких проспектов и аллей с далеким видом и рассчитанным завершением, от вавилонской астрономии с ее устремлением в бесконечные звездные пространства, от преодоления границ Средиземного моря и исследования путей, давно открытых кораблями египтян и финикиян, эту глубокую метафизическую боязнь перед преодолением осязательно-чувственного и настоящего, при помощи которого античное существование окружило себя как бы защитной стеной, за пределами которой лежало что-то жуткое, бездна и первоисточник в известной мере искусственно созданного и утвержденного космоса, – кто поймет это чувство, тому станет понятным основная сущность античного числа, являвшего собой меру в противоположность неизмеримому, а также глубокий религиозный этос, выражающийся в этом ограничении. Гёте в качестве художника с большой страстностью усвоил себе, по крайней мере в своих естественно-исторических исследованиях, эту точку зрения; отсюда его, можно сказать, исполненная страхом полемика против математики, инстинктивно направленная главным образом, чего еще никто как следует не понял, против всей неантичной математики и лежавшего в основе современного ему естествознания счисления бесконечно малых.

Античная религиозность с возрастающей определенностью сосредоточивается на чувственно непосредственных – связанных с местом – культах, вполне отражающих это наделенное образом, всегда близкое, божество. Абстрактные, в бесприютных пространствах мышления витающие догматы всегда оставались ей чуждыми. Культ и догмат относятся друг к другу, как статуя к органу в соборе. В Эвклидовой математике, несомненно, остается что-то культовое. Достаточно припомнить учение о правильных многогранниках и их значение для эзотерики платоновской школы. Этому соответствует, с другой стороны, глубокое сродство анализа бесконечности начиная с Декарта с современной ему догматикой, устремляющейся к чистому, освобожденному от всяких чувственных отношений деизму. Вольтер, Лагранж и д'Аламбер современники. Из недр античного духа принцип иррационального, т. е. разрушение статуарного ряда целых чисел, этих представителей совершенного в себе миропорядка, воспринимали как некоего рода святотатство против божества. У Платона в «Тимее» это чувство выступает с полной очевидностью. Действительно, с превращением прерывающегося числового ряда в непрерывный, оказывается под вопросом не только античное понятие числа, но и весь античный мир. Становится понятным, что для античной математики совершенно невозможны легко укладывающиеся в наше представление отрицательные числа, не говоря уже о нуле как числе – обладающем для индийской души, впервые создавшей это понятие, вполне определенным метафизическим привкусом. Отрицательные величины не существуют. Выражение: -2×-3=+6 не является ни наглядным, ни представлением величины. На +1 кончается ряд величин. В графическом изображении отрицательных чисел (+3-,+2-,+1-,0-,-1-,-2-,-3,), начиная с нуля расстояния вдруг становятся положительными символами чего-то отрицательного. Они обозначают что-то, но уже не существуют реально. Отрицательные числа не величины, но что-то такое, на что величины только намекают. Осуществление этого акта отклоняется от линий направления античного числового мышления.

Все родившееся из античного духа становится действительностью только путем пластического отграничения. То, что нельзя нарисовать, – не «число». Платон, Архит и Эвдокс говорят о плоскостных и телесных числах, имея в виду нашу вторую или третью степень, и, само собой разумеется, что понятие высших целых степеней для них не существует. Четвертая степень для являющегося по существу своему пластическим чувства, которое тотчас же истолкует ее как протяженность в четырех измерениях, становится бессмыслицей. Постоянно встречающееся в наших формулах выражение е-ix, или даже применявшиеся уже в XIV столетие Оресмом обозначение 51/2 показалось бы античному чувству полным абсурдом. Эвклид называет множители произведения сторонами (πλευραι). В древности оперируют с дробями – конечными само собою разумеется – прибегая к исследованию отношения двух отрезков прямой линии, выражающихся в целых числах. Именно поэтому идея числа нуль тут совершенно не может проявиться, так как графически она бессмысленна. Пусть не возражают, исходя из привычного способа мышления, что это только «первоначальная ступень» в развитии математики. Внутри того мира, который античность создала вокруг себя, античная математика есть нечто законченное. Незаконченной она представляется только нам. Вавилонская и индийская математики давно уже усвоили в качестве существенных элементов своего мира чисел многое из того, что с точки зрения античного числового чувства являлось бы бессмысленным, и многие греческие мыслители знали об этом. Единая математика, повторяем это еще раз, есть иллюзия. Действительно только то, что адекватно ей, символически значительно для собственной душевной жизни. Только это представляется логически необходимым, все остальное невозможным, ошибочным, бессмысленным, или, как мы привыкли, руководясь гордостью исторического ума, называть «примитивным». Современная математика, одно из высших достижений западного духа – и во всяком случае «истинная» только для нас – показалась бы Платону смешным и бесплодным заблуждением и уклонением на пути к достижению «истинной», конечно, в античном смысле математики, и трудно себе даже представить, сколько великих концепций чуждых культур погибло по нашей вине, так как мы, исходя из нашего способа мышления и заключенные в его границы, не могли их усвоить или, что то же, считали их ложными, излишними и бессмысленными.

 

6

В качестве ученья о наглядных величинах античная математика ставит себе целью исключительно истолкование наличных фактов и ограничивает, следовательно, свое исследование и пределы применимости предметами близлежащими и малыми. В противоположность этой последовательности, в практических приемах западной математики вскрывается нечто в высшей степени нелогическое; это обстоятельство, однако, стало известным только после открытия неэвклидовых геометрий. Числа суть чистые формы познающего духа. Их точная применимость к реально созерцаемому является, следовательно, самостоятельной проблемой. Совпадение математических систем с эмпирикой далеко не есть нечто само собой понятное. В противоположность предрассудку непосвященных (встречающемуся также у Шопенгауэра) о непосредственной математической очевидности созерцания, эвклидова геометрия, имеющая с популярной геометрией всех времен только самую поверхностную тождественность, в самых только узких пределах («на бумаге») приблизительным образом согласуется с созерцаемым. Как дело обстоит при больших расстояниях, видно из простого факта, что параллельные линии пересекаются на горизонте. Вся живописная перспектива основана на этом. Тем не менее Кант, беря исходной точкой наивное сравнение величин, совершенно непростительным для западного мыслителя образом уклонялся от «математики далеких пространств» и постоянно, совершенно по-античному, ссылался на маленькие фигуры, на примере которых, вследствие именно их незначительной величины, специфически западная проблема бесконечных как раз не находила себе никакого применения. Эвклид также избегал ссылаться для доказательства справедливости своих аксиом на пример такого треугольника, три вершины которого определялись бы местонахождением наблюдателя и двумя неподвижными звездами, и который, следовательно, не мог быть ни нарисован, «ни созерцаем»; это является, однако, вполне обоснованным для античного мыслителя. В нем действовало то же самое чувство, которое испытывало страх перед иррациональным и не дерзало понять ничто как нуль, как число, то чувство, которое при созерцании космических отношений закрывало глаза на неизмеримое, чтобы сохранить символ меры.

Идеи Аристарха Самосского, около 270 г. начертавшего систему вселенной, при вторичном открытии Коперником так глубоко взволновавшую метафизические страсти Запада – стоит только вспомнить Джордано Бруно – и ставшую осуществлением огромных ожиданий и подтверждением того фаустовского, готического мироощущения, которое уже в архитектуре соборов принесло свою жертву идее бесконечного пространства, эти идеи были встречены античностью с полным равнодушием и вскоре – хочется сказать намеренно – были забыты. И действительно, Аристархова система вселенной для этой культуры в душевном смысле лишена значения. Она могла даже стать опасной для ее основной идеи. И все-таки, в отличие от Коперниковой – и этот основной факт оставлялся всегда без внимания – своей особой формулировкой она была точно приноровлена к античному мироощущению. Аристарх в качестве внешней границы космоса принимал телесно вполне ограниченный, оптически усвояемый пустой шар, в середине которого находится мыслимая в Коперниковом смысле планетная система. Таким образом был устранен принцип бесконечного, могший стать опасным для чувственно-античного понимания предела. Мы не встречаем в античности ни одного намека на мысль о бесконечности мирового пространства, каковая мысль, по-видимому, кажется в данном случае неизбежной и давно сделалась доступной вавилонскому мышлению. Даже мы видим обратное. Архимед в своем сочинении о «числе песка» – уже само слово указывает, что здесь мы имеем дело с опровержением всяких тенденций в сторону бесконечного, несмотря на что его все еще считают первым шагом на пути к современному интегральному счислению – доказывает, что это стереометрическое тело (так как Аристархов космос является именно таковым), будучи наполнено атомами (песком), приводит нас к очень большим, однако не бесконечным числовым результатам. Это равносильно отрицанию всего того, что мы называем анализом. Вселенная нашей физики зиждется на строгом отрицании всякой материальной ограниченности, как это доказывают постоянно опровергаемые и вновь навязчиво проникающие в умы теории материального, т. е. условно наглядного мирового эфира. Платон, Аполлоний и Архимед, несомненно самые проницательные и смелые математики древности, создали на основании пластически-античного понятия предела совершенную систему чисто оптического анализа ставшего. Они пользуются глубоко продуманными и малодоступными для нас методами особого интегрального исчисления, имеющими лишь кажущееся сходство с методом определенного интеграла Лейбница, и применяют геометрические места точек и координаты, являющиеся определенными именованными размерами и протяженностями, в противоположность неименованным пространственным отношениям и значимости точек в зависимости от их положения в пространстве, как это мы встречаем у Ферма и в особенности у Декарта. Сюда относится в первую очередь метод истощения величин Архимеда, изложенный в недавно открытом его сочинении, обращенном к Эратосфену, в котором он выводит квадратуру сегмента параболы, прибегая к исчислению вписанных прямоугольников (а не к исчислению подобных многоугольников). Но как раз тот остроумный, бесконечно запутанный прием, при помощи которого он, следуя некоторым идеям Платона, достигает результата, осязательным образом вскрывает огромную разницу между этой интуицией и по внешности сходной с ней Паскалевой. Если не считать Риманова понятия интеграла, наиболее резкую противоположность его приему представляют собой наши современные (к сожалению, так до сих пор именуемые) квадратуры, причем в последнем случае значится, что «поверхность» ограничена функцией, и нет никакого намека на применение начертательного приема. Нигде обе математики не соприкасаются более близко и нигде не ощущается с большей очевидностью непреодолимая пропасть, разделяющая две души, выражением которых они являются.

Чистые числа, феномен которых древние египтяне, движимые страхом перед их таинственным происхождением, таили в стиле своих храмовых зал, пирамидах и рядах статуй, были также и для эллинов ключом к смыслу всего ставшего, неподвижного и, следовательно, преходящего. Математическое число в качестве формального основного принципа протяженного мира, который получает свое существование только из бодрствующего человеческого сознания и существует только для него, находится через посредство причинной необходимости в связи со смертью так же, как хронологическое число находится в связи со становлением, с жизнью, с необходимостью судьбы. Эта связь математической формы с концом органического существования, с явлением его неорганических остатков, т. е. трупа, все с большей очевидностью вскрывает перед нами происхождение всех больших искусств. Мы уже имели случай говорить о происхождении ранней орнаментики из погребального культа. Числа – символы преходящего. Неподвижные формы отрицают жизнь. Формулы и символы вводят неподвижность в картину природы. Числа убивают.

Матери «Фауста», величественно царят в одиночестве «в беспорядочных областях призраков», где

Здесь Гёте сближается с Платоном в общем предугадывании какой-то последней тайны. Матери, недостижимое – идеи Платона – обозначают возможности духа, его не родившиеся формы, которые в видимом мире, образовавшемся с глубокой внутренней необходимостью из идеи этого духа, обрели свое проявление в виде творящей и созданной культуры, в виде искусства, мыслей, государства и религии. На этом основана родственность системы чисел известной культуры с ее идеей мира, и благодаря такому соотношению система чисел становится чем-то большим, чем только знание и познание, и приобретает значение мировоззрения, следствием чего является существование стольких же математик – миров чисел – сколько существует высоких культур. Только благодаря этому становится понятной причина и неизбежность того обстоятельства, что великие математические мыслители, художники в царстве чисел, отправляясь от религиозной интуиции, достигли открытия основных математических проблем своей культуры. Так следует рисовать себе сознание античного аполлоновского числа Пифагором, основавшим религию. То же исконное чувство руководило великим Николаем Кузанским, епископом Бриксенским, когда он около 1450 г., исходя из созерцания беспредельности Бога в природе, открыл основы исчисления бесконечных величин. Лейбниц, приведший два столетия спустя эту идею к завершению, сам исходил из чистого метафизического размышления о принципе божественного и его отношении к беспредельной протяженности и таким образом создал analysis situs, эту, пожалуй, более гениальную интерпретацию чистого, отвлеченного от всего чувственного, пространства, богатые возможности которой были использованы только в XIX в. Грассманом в его учении о протяженности и Риманном в его символике двухсторонних плоскостей, выражающих природу уравнений. Декарт, глубоко верующий христианин из кругов Пор-Руаяля, следуя внутреннему побуждению, попутно с философско-математическим преподаванием вернул в католичество пфальц-графиню Елизавету и шведскую королеву Христину, дочь Густава-Адольфа. Кеплер и Ньютон, оба строго религиозные натуры, подобно Платону были вполне убеждены, что им удалось при посредстве чисел интуитивно познать сущность божественного мироустройства.

Принято говорить, что Диофант освободил античную арифметику от ее чувственной связанности, расширив и развив ее, и создал алгебру, как учение о неопределенных величинах. Это во всяком случае не только обогащение, а полное преодоление античного мирочувствования, и одного этого факта достаточно, чтобы доказать, что Диофант внутренне уже не принадлежал к античной культуре. В нем действовало в отношении к действительному, ставшему новое ощущение чисел или, скажем, новое чувство предела, совершенно от личное от прежнего эллинского, из чувственно-осязательной значимости границ которого развились наряду с эвклидовой геометрией осязаемых тел также и подражавшая ей пластика нагой статуи. Подробности развития этой новой математики нам неизвестны. У Диофанта, из-за намерения следовать эвклидовскому ходу мыслей, вырастает это новое чувство предела – я буду называть его магическим, – даже еще не сознающее свою полную противоположность искомой античной формулировке. Идея числа как величины не расширяется, а незаметно упраздняется. Грек никогда не мог бы объяснить, что значат неопределенное число «а» или отвлеченное число 3, – оба не являющиеся ни величинами, ни мерами, ни протяжением. Новое воплощенное в этих родах чисел чувство предела уже лежит в основе рассуждений Диофанта; само же буквенное исчисление, в обличий которого фигурирует в настоящее время алгебра, претерпевшая за протекший промежуток времени еще одну полную переработку, было введено в употребление впервые Виетой в 1591 г. в качестве результата бессознательной, но вполне заметной оппозиции поддерживающемуся под античность счислению Ренессанса.

Диофант жил около 250 г. после Р.Х., следовательно в третьем столетии арабской культуры, исторический организм которой до сего времени скрывался под внешними формами эпохи Римской империи и «Средних веков» и к кругу которой принадлежит все то, что возникло с начала нашего летосчисления в странах грядущего распространения ислама. Как раз в это время перед лицом нового ощущения пространства базилик, мозаик и саркофаговых рельефов раннехристианского-сирийского стиля померк последний признак аттической статуарной пластики. Тогда вновь образовались архаическое искусство и строго геометрический орнамент. Тогда Диоклетиан как раз заканчивал создание калифата под внешним видом римского государства. 500 лет разделяют Эвклида и Диофанта, Платона и Плотина, т. е. последнего завершающего мыслителя – Канта законченной культуры, от первого мистического гения – Данте вновь нарождающейся культуры.

Здесь в первый раз мы соприкасаемся с до сих пор остававшимся неизвестным проявлением тех великих индивидуумов, возникновение, возрастание и увядание которых под тысячеобразной спутывающей внешностью составляют собственную сущность всемирной истории. Ушедшая вместе с римским духом античная духовная стихия, «телом» которой являлась историческая действительность античной культуры с ее созданиями, мыслями, деяниями и обломками, родилась около 1100 г. до Р.Х. в местностях вокруг Эгейского моря. Пробивающаяся на востоке начиная с Августа под покровом античной цивилизации арабская культура имеет местом своего происхождения страны между Нилом и Ефратом, Каиром и Багдадом. В качестве проявлений этой новой души приходится рассматривать почти все «позднеантичное» искусство времен императоров, все охваченные юношеским пылом восточные культы, как-то: Митры, Сераписа, Гора, Исиды и Сирийских Ваалов Эмезы и Пальмиры, христианство и неоплатонизм, императорские форумы в Риме и построенный там сирийцем Пантеон, эту самую первую из всех мечетей.

То обстоятельство, что все еще продолжали писать по-гречески и полагали мыслить по-гречески, значит не больше другого аналогичного явления, а именно, что наука до Канта все еще предпочитала латинский язык, или что Карл Великий «возобновил» Римскую Империю.

У Диофанта число более не имеет значения меры или сути пластических вещей. На равеннских мозаиках человек более не тело. Постепенно греческие обозначения утратили свое первоначальное содержание. Мы покидаем сферу аттической καλοκαγαυία стоической αταραξία и γαληνη. Хотя Диофант и не знает еще нуля и отрицательных чисел, зато и пластические единства пифагорейских чисел ему также более уже незнакомы. С другой стороны, неопределенность арабских отвлеченных чисел представляет собою нечто совершенно отличное от закономерной изменчивости позднейшего западного числа, т. е. функции.

Магическая математика, т. е. алгебра, после Диофанта – учение которого уже заставляет предполагать некоторое предшествующее развитие – продолжала развиваться дальше логическим и широким движением, отдельные подробности которого остаются для нас неизвестными, и достигла своего завершения в эпоху Абассидов, около IX столетия, как это видно по уровню знаний у Альхваризми и Альсидшзи. И только опять по истечении целых пятисот лет, в совершенно новых, отдаленных странах, начинается новый величественный процесс перетолкования магического мира чисел, переданного нам испанскими арабами, в функциональный мир чисел Западной Европы, начинается мощное сопротивление против надвигающегося чуждого мирочувствования с его внутренне достигшим зрелости истолкованием пространства; юная готическая душа была вынуждена бороться против этого чуждого элемента и сломить его, чтобы сохранить свое подлинное, собственное, следствием чего явилась борьба во всех архитектурах, в каждом фасаде, каждом орнаменте, каждом символе, каждой метафизической и математической проблеме, та борьба, чье немое величие ни разу еще никем не было прочувствовано.

Какое значение рядом с Эвклидовой геометрией имеет аттическая пластика – равнозначащий язык форм в ином одеянии – или рядом с анализом пространства фугированный стиль инструментальной музыки, то же значение рядом с восточной алгеброй имеют магическое искусство мозаик, сассанидское искусство арабесок, позднее еще с большей пышностью развитое Византией, с его чувственно-отвлеченным слиянием мотивов органических форм, и, наконец, барельефы Константиновского стиля с их смутными тенями глубин оставленного свободным между изваянными фигурами фона. Как относится алгебра к античной арифметике и западноевропейскому анализу, так же относится купольная базилика к дорическому храму и готическому собору.

Диофант совсем не был великим математиком. Большей части того, что связывается с его именем, мы не найдем в его писаниях, а то, что там находится, конечно, не является его исключительной собственностью. Его случайное значение основано на том, что у него у первого, насколько нам известно, выступает с полной несомненностью это новое чувство чисел. По сравнению с мастерами, работавшими над завершением какой-либо математики, как, например, Аполлоний и Архимед в области античной и соответственно Гаусс, Коши, Риман в области западноевропейской математики, мы находим у Диофанта и Менелая что-то примитивное, что обыкновенно до сих пор обозначали как декадентство. Со временем мы научимся лучше понимать и ценить это явление – подобно тому, как с недавнего времени перестают относиться презрительно к мнимому позднеантичному искусству, рассматривая его как попытку выражения только что нарождающегося раннеарабского мироощущения. Такой же архаической, примитивной и ищущей представляется математика Николая Оресмского, епископа г. Лизье (с 1323 по 1382 г.), применившего в первый раз на Западе свободный вид координат и даже степени с дробными показателями, указующие на несомненно новое, хотя еще неясное чувство чисел, совершенно не античное, но также отличное и от арабского. Если припомним, что рядом с Диофантом стоят раннехристианские саркофаги римских собраний, а рядом с Николаем Оресмским готические одетые статуи немецких соборов, то, несомненно, в обоих примерах хода математической мысли, отражающих одинаково раннюю ступень развития интеллекта, мы найдем нечто родственное. Стереометрическое чувство предела, достигшее у Архимеда высшей степени утонченности и элегантности, было утрачено. Преобладало смутное, устремленное к далекому, мистическое настроение, не имевшее ничего общего с аттической ясностью и свободой. Перед нами рожденные самой землей люди молодой страны, а не жители большого города, как Эвклид или д'Аламбер. Глубокие и сложные образования античного мышления сделались непонятными, на место их выступили смутные и новые, для которых еще не найдена была ясная, по-городскому – интеллектуальная формулировка. Таково готическое состояние всякой юной культуры, пройденное также и античностью в раннедорическую эпоху, от которой ничего не осталось, кроме погребальных ваз дипилоновского стиля. Только в IX и Х вв. в Багдаде концепции эпохи Диофанта получили окончательную разработку и достигли завершения благодаря трудам зрелых мастеров, не уступающих по значению Платону и Гауссу.

 

8

Решающая роль деятельности Декарта, чья геометрия появилась в 1637 г., заключалась не в установлении нового метода или новых воззрений в области традиционной геометрии, как это принято говорить, но в окончательной концепции новой идеи числа, выразившейся в освобождении геометрии от оптических приемов конструкции и вообще от измеренных или измеряемых расстояний. Таким образом получил свое осуществление анализ бесконечного. Неподвижная, так называемая картезианская система координат, идеальный представитель измеримых величин в полуэвклидовском смысле, имевшая еще значение в предшествующий период, как, например, у Николая Оресмского, была не столько закончена благодаря Декарту, но, если заглянуть глубже в его рассуждения, совершенно преодолена им. Его современник Ферма был последним представителем старой классической теории.

Вместо чувственного элемента конкретного отрезка прямой линии и поверхности – специфического выражения античного чувства предела – появляется элемент отвлеченно-пространственный и таким образом совершенно не античный элемент точки, характеризуемой отныне как группа сопряженных чистых чисел. Декарт разрушил литературно унаследованное понятие величины, чувственных размеров и заменил его изменяющейся значимостью отношений положения в пространстве. Однако упускают из вида, что это было равносильным упразднению геометрии вообще, которая с того времени среди мира чисел анализа ведет только призрачное существование, завуалированное античными реминисценциями. В слово «геометрия» вложен неустраняемый аполлоновский смысл. После Декарта так называемая «новая геометрия» превратилась или в синтетический процесс, определяющий посредством чисел положение точек в каком-нибудь пространстве, притом не обязательно трехмерном (в некоторой «множественности точек»), или в аналитический процесс, определяющий числа положением точек. Заменять отрезки прямой положениями – значит воспринимать понятие протяженности чисто пространственно, но уже не телесно.

Классическим примером этого разрушения принятой по наследству оптически-конечной геометрии, по моему мнению, является обращение круговых функций, имевших в индийской математике в совершенно малопонятном для нас смысле значение чисел – в циклометрические функции и дальнейшее их разрешение в ряды, утратившие в бесконечной числовой области алгебраического анализа признаки даже самого отдаленного сходства с геометрическими образованиями в стиле Эвклида. Число л, так же как и основание натуральных логарифмов, создает в этой числовой области, повсюду вновь появляясь, отношения, разрушающие всякие границы прежней геометрии, тригонометрии и алгебры, не имеющие ни арифметического, ни геометрического характера, при обращении с которыми притом никто более не думает ни о действительно нарисованных кругах, ни о действительном исчислении степеней.

 

9

Подобно тому, как античная душа в лице Пифагора около 54 г. выработала свою концепцию аполлоновского числа как измеримой величины, западноевропейская душа в лице Декарта и его современников (Паскаля, Ферма, Дезарга) в точно соответствующую эпоху открыла идею числа, родившуюся из страстного фаустовского стремления к бесконечному. Число как чистая величина, привязанная к телесному наличию отдельных вещей, имеет параллелью число как чистое отношение. Если определять античный мир, космос, исходя из его внутреннего требования видимой границы, как исчисляемую сумму материальных предметов, то, со своей стороны, наше мирочувствование находит свое выражение в образе бесконечного пространства, в котором все видимое воспринимается как нечто обусловленное по отношению к чему-то безусловному, или даже, пожалуй, как действительность низшего порядка. Его символом является решающее, ни в какой другой культуре не встречающееся понятие функции. Функция не есть какое-то расширение одного из ранее имевшихся числовых понятий; она является их полным преодолением. Таким образом, не только эвклидовская, т. е. общечеловеческая популярная геометрия, но и архимедовская сфера элементарного счисления, т. е. арифметика, перестают существовать для действительной обладающей значением математики Западной Европы. Остается один отвлеченный анализ. Для античного человека геометрия и арифметика были научными комплексами высшего порядка, причем и та и другая были наглядными и обращались с величинами при помощи графических и счетных приемов; для нас они только практические пособия повседневной жизни. Сложение и умножение, эти два античных метода счисления величин, родственных графическому конструированию, совершенно исчезают в бесконечности функциональных процессов. Так, например, степени, по своему принципу являющиеся первоначально просто числовыми обозначениями определенных групп умножений (для множителей одинаковой величины), при посредстве нового символа показателя степени (логарифм) и способа его применения в комплексных, отрицательных и дробных формах становятся совершенно отрешенными от понятия величины и переносятся в трансцендентальный мир отношений, который для грека, знавшего только две целые степени в качестве изображения поверхности и тела, является совершенно недоступным (стоит только припомнить такие выражения, как е-?nvx, а1/ i).

Все глубокомысленные создания, быстро следующие одно за другим, начиная с эпохи Ренессанса, как-то: мнимые и комплексные числа, введенные Карданом уже в 1550 г., бесконечные ряды, получившие благодаря великому открытию закона бинома Ньютоном в 1666 г. точное теоретическое обоснование, открытие логарифмов в 1610 г., дифференцильной геометрии, определенного интеграла Лейбницем, открытие множества как новой числовой единицы, намеченное уже Декартом, новые процессы, как-то: неопределенного интегрирования, развертывание функций в ряды, даже в бесконечные ряды других функций, – все они являются столькими же победами над укоренившимся в нашей душе популярно-чувственным ощущением чисел, которое нужно еще было преодолеть в духе новой математики, имевшей своей целью осуществить новое мирочувствование. Не было еще ни одной другой культуры, которая относилась бы с равным уважением к созданиям иной, давно погибшей культуры и давала такой простор в своей науке ее влияниям, как это делала западноевропейская по отношению к античной. Прошло много времени, пока мы нашли в себе смелость думать своим умом. На первом плане всегда лежало стремление во всем сравняться с античностью. Однако каждый шаг в этом направлении был удалением от намеченного идеала. Поэтому история западноевропейской науки представляет собою картину непрерывной эмансипации от чуждого и освобождения, к которому никто не стремился, но которое вынужденно вырастало из глубины бессознательного. Таким образом, развитие новой математики сложилось в тайную, долгую, наконец, победоносную борьбу против понятия величины.

 

10

Антикизирующие предрассудки помешали подобающим образом изобразить западноевропейское число. Усвоенный нами в математике язык знаков ложно отражает действительное положение вещей, и ему, главным образом, приходится приписать то обстоятельство, что даже до настоящего времени среди математиков распространено воззрение, будто числа суть величины, а наш способ письменного изображения, несомненно, основан на этой точке зрения.

Однако новое число есть не эти отдельные знаки, служащие для выражения функций (х,? 5), но сами функции как единицы, как элементы, как изменяющиеся отношения, не допускающие никакого заключения в оптические границы.

Для них была бы нужна новая символика, независимая в своем построении от античных воззрений.

Стоит уяснить себе существенную разницу двух уравнений – так, гетерогенные вещи не следовало бы даже обозначать одинаковым именем, – как следующие: 3x + 4 x = 5 x и x x +y x = z x (уравнение Ферматовой теоремы). Первое состоит из нескольких «античных чисел» (величин), второе само по себе есть число особого рода, причем это обстоятельство затушевано идентичным способом начертания, развившегося под впечатлением эвклидовско-архимедовских представлений. В первом случае знак равенства устанавливает неподвижную связь между определенными, осязаемыми величинами, во втором он выражает отношение, существующее внутри группы изменяющихся образований, причем одни изменения безусловно влекут за собою другие. Первое уравнение имеет целью определение (измерение) конкретной величины, т. е. известное «решение», второе не преследует вообще никакого решения, но является изображением и знаком определенного отношения, исключающего при условии n больше 2- в этом и заключается знаменитая Ферматова проблема – с доказуемой вероятностью значения, выражающиеся целыми числами. Греческий математик не понял бы, каков смысл этой операции, не имеющей конечной целью никакого «вычисления».

Понятие неизвестных, будучи применено к буквам Ферматова уравнения, вводит в полнейшее заблуждение. В первом уравнении, в «античном», х есть величина определенная и измеряемая, которую предстоит определить. Во втором, в применении к х, у, z, n слово «определять» не имеет никакого смысла, следовательно, имеется в виду отыскать «значение» этих символов, следовательно, они вообще не являются числами в пластическом смысле, но знаками для определенного отношения, лишенного признаков величины, формы и единой значимости, для бесконечного множества возможных положений одинакового характера, и эти возможности, воспринятые, как нечто единое, и есть число. В нашем способе начертания, применяющем, к сожалению, многочисленные и сбивающие с толку знаки, все это уравнение является в действительности одним числом, а х, у, z являются числом в такой же малой мере, как + или =.

Уже введение понятия иррациональных, в сущности своей совершенно антиэллинских чисел, в самой его основе разрушило понятие конкретных, определенных чисел. С этого момента числа перестали быть обозримым рядом возрастающих, раздельных, пластических величин и превратились в непрерывность одного измерения, каждое сечение которой (выражаясь словами Дедекинда) представляет «число, едва ли по праву заслуживающее прежнее наименование». Для античного разумения между 1 и 3 существует только одно число, для западноевропейского – бесконечное множество. Наконец, вместе с введением в употребление мнимых (v-1= i) и комплексных чисел (изображаемых общей формулой а + bi), расширяющих линейную непрерывность до пределов в высшей степени трансцендентального образования числового тела (некоторая совокупность множества однородных элементов), каждое сечение которого представляет собою числовую плоскость, – некое бесконечное множество меньшей «мощности», вроде совокупности всех реальных чисел, – исчезли даже последние остатки антично-популярной осязаемости. Эти числовые плоскости, играющие начиная с Коши и Гаусса видную роль в теории функции, являются чисто умственными образованиями. Еще положительные иррациональные числа, как v2, могли быть усвоены античным числовым мышлением по крайней мере негативным путем, причем их не считали бы за числа, как ’άρ’ρ’ητος или άλογος, но выражения вида х + уi лежат по ту сторону всех возможностей античного мышления. На распространении арифметических законов на всю область комплекса, в пределах которого они имеют постоянную применимость, основана теория функций, отныне выражающая западноевропейскую математику во всей ее чистоте, причем все отдельные области ею поглощаются и в ней растворяются. Только таким образом эта математика становится вполне применимой к картине одновременно развивающейся динамической физике Запада, в то время как античная математика является точным коррелатом пластического мира отдельных предметов, изображенного в статической физике Аристотеля, представляющей собой научную интерпретацию античного космоса.

Классической эпохой этой математики барокко – в противоположность математике ионического стиля – является XVIII век; она начинается с решительных открытий Ньютона и Лейбница, и через Эйлера, Лагранжа, Лапласа и д'Аламбера простирается до Гаусса. Расцвет этого великого создания мысли был похож на чудо. Едва решались верить тому, что видели. Открывали истины за истинами, казавшиеся проницательным умам скептически настроенной эпохи невозможными. Такое значение имеют слова д'Аламбера: «Allez en avant et la foi vous viendra». Они касались теории дифференциальных дробей. Казалось, сама логика восстает против этого, казалось, все предположения основаны на ошибках, и все же цель была достигнута.

Это столетие восторженного опьянения одухотворенными, недоступными телесному глазу формами, – ведь рядом с упомянутыми мастерами анализа стоят Бах, Глюк, Гайдн и Моцарт, причем упивался этими утонченными открытиями и игрой форм только небольшой круг избранных, куда не имели доступа ни Гёте, ни Кант, – вполне соответствует по своему содержанию столетию зрелости ионической эпохи, столетию Платона, Архита и Евдокса (450–350 гг.) – и опять следует прибавить Фидия, Поликлета, Алкамена и постройки Акрополя, – когда мир форм античной математики и пластики достиг полного расцвета своих возможностей и также своего завершения.

Теперь представляется возможным обозреть изначальную противоположность античной и западной духовной стихии. Во всей картине истории высшего человечества не найдется ничего более внутренне друг другу чуждого. Именно потому, что противоположности соприкасаются и, может быть, указуют на общность сокровеннейших глубин существования, в западноевропейской фаустовской душе мы находим это странное искание и стремление к идеалам аполлоновской души, которую она одну из всех понимала и чья неизменная преданность чувственно-чистой действительности возбуждала ее зависть.

Эту, не поддающуюся более точному определению словами, душевную противоположность осуществили во внешнем мире ставшего, ограниченного, преходящего две исторические единицы, а именно античная и западная культуры, из которых одна возникла в позднемикенскую эпоху, другая в эпоху саксонских императоров, и обе закончили свое развитие в лице Аристотеля и Канта, Платона и Гёте, Фидия и Бетховена, Александра и Наполеона.

Теперь также становится понятным все значение символики, нашедшей, пожалуй, свое самое непосредственное выражение в мире чисел обеих математик, но область которой распространяется гораздо дальше. Мы видим, что математика говорит на одном языке со всеми сопутствующими искусствами и вообще со всеми созданиями повседневной жизни, на языке форм, в котором одновременно и проявляются и скрываются глубочайшие возможности душевной стихии. В ближайшем родстве с математикой – мистические архитектуры ранних периодов: дорическая; готическая, раннехристианская, а также и египетская Древнего Царства. Здесь, на почве египетской культуры, оба мира формы никогда окончательно не разделялись. Архитектура больших пирамидных храмов есть молчаливая математика, равным образом и античная душа не проводила строгого разделения между своей символикой статуарной и геометрической. Но и анализ остался архитектурой высочайшего стиля, и мы понимаем теперь, почему эти две системы счисления, из которых одна утверждает значение границ видимого с такой же страстностью, с какой другая отрицает, должны были иметь рядом с собой связанные с ними кровными узами родства такие два искусства, как ионийская пластика и немецкая музыка, наиболее чувственная и наиболее отрицающая чувственное из всех возможных форм художественного творчества.

 

11

Уже ранее упоминалось, что для первобытного человека и для ребенка наступает момент известного внутреннего переживания, рождения своего я, когда оба получают способность понимать феномен чисел и приобретают представление о внешнем мире по отношению к своему я.

Когда из общего хаоса впечатлений перед изумленными глазами первобытного человека начнет выделяться в широких очертаниях этот брезжущий мир устроенных протяженностей и разумного ставшего, и глубоко ощущаемая непреодолимая противоположность этого внешнего мира и собственной души даст направление и облик сознательной жизни, одновременно, наряду со всеми возможностями новой культуры, родится прачувство тоски и стремления в этой душе, внезапно осознавшей свое одиночество. Тоска и стремление к цели становления, к завершению всех внутренних возможностей, к развитию идеи собственного существования. Тоска и стремление ребенка, все с большей ясностью вступающие в сознание в виде чувства неизбежности направления и позднее стоящие перед зрелым умом как жуткая, заманчивая, неразрешимая загадка времени. Слова «прошедшее» и «будущее» вдруг получают роковое значение.

Однако это тоскующее стремление, возникшее из полноты и блаженства внутреннего становления, является вместе с тем в глубочайших тайниках каждой души и чувством страха. Как всякое становление имеет своей целью ставшее, в чем и находит свой конец, так прачувство становления, тоскующее стремление, уже соприкасается с чувством завершения, со страхом. В настоящем ощущается исчезновение; в прошедшем лежит тленность. Здесь коренится вечный страх перед непоправимостью, достижением, окончательностью, перед преходящим, даже перед миром, как уже осуществленным, где рядом положены границы рождения и смерти, страх перед мгновением, когда возможное осуществлено, жизнь внутренне наполнена и закончена, когда сознание достигло своей цели. Это та глубокая боязнь мира, свойственная детской душе, которая никогда не оставляет человека высшего порядка, верующего, поэта, художника в его безграничном одиночестве, боязнь перед чуждыми силами, великими и угрожающими, облеченными в чувственные образы, вторгающимися в брезжущий мир. Равным образом, и направление всего становления в его неумолимости – необратимости – воспринимается с полной внутренней достоверностью как нечто чуждое. Что-то чуждое превращает будущее в прошедшее, и эта сторона сообщает времени, в противоположность пространству, ту полную противоречий жуткость и давящую двойственность, от которых не может вполне освободиться ни один значительный человек.

Боязнь мира, несомненно, есть наиболее творческое из всех исконных чувствований. Ему обязан человек наиболее зрелыми и глубокими из числа форм и образов не только сознательной внутренней жизни, но и ее отражений в бесконечных явлениях внешней культуры. Как тайная, не всем слышная мелодия проходит эта боязнь сквозь язык форм каждого настоящего произведения искусства, каждой искренней философии, каждого великого деяния, и она же лежит, чувствуемая лишь очень немногими, в основе проблем всякой математики. Только внутренне умерший человек, житель большого города поздней эпохи, птоломеевской Александрии или нынешних Парижа и Берлина, только чисто интеллектуальный софист, сенсуалист или дарвинист утрачивает или отрицает ее, водружая между собой и чуждым лишенное тайн «научное мировоззрение».

И если тоскующее стремление связано с тем необъемлемым нечто, чьи бесчисленные изменяющиеся, как Протей, образования скорей затушевываются, чем обозначаются словом «время», то исконное чувство боязни находит свое выражение в духовных, доступных, способных к восприятию образов символах протяженности. Таким образом, в бодрствующем сознании всякой культуры, принимая в каждой своеобразный характер, находят себе место противолежащие друг другу формы времени и пространства, направления и протяженности, причем первая лежит в основе второй – так же как тоскующее стремление лежит в основе боязни; это стремление становится боязнью, а не наоборот: первая недоступна для силы ума, вторая служит ей, первая – переживается, вторая – познается. «Бояться и любить Бога» – вот христианское выражение для двоякого значения этих обоих чувствований мира.

В духовной жизни первобытного человечества и, следовательно, также раннего детства по отношению к элементу чуждых сил, постоянно неумолимо присутствующих во всякой протяженности, в пространстве и при посредстве пространства, пробуждается потребность подчинить их, принудить, примирить, – одним словом «познать». В сущности это одно и то же. Познать Бога на языке всякой ранней мистики значит заклясть, сделать благосклонным, присвоить его себе внутренне. Это возможно при помощи слова, «имени», которым именуют и призывают «numen», или при помощи форм культа со свойственными им тайными силами. Идеи как немецкой, так и восточной мистики, возникновение всех античных богов и культов не оставляют никакого сомнения на этот счет. Настоящее познание равносильно духовному приобщению чуждого. Такая самозащита есть первое творческое деяние каждой пробуждающейся души. С нею начинается высшая внутренняя жизнь в настоящем смысле слова всякой культуры и всякого индивидуума. Познание, установление границ при посредстве понятий и чисел, является наиболее тонкой и вместе с тем наиболее мощной формой такой защиты. В этом смысле человек становится человеком только при посредстве языка. Познание с неопределимой необходимостью превращает хаос первоначальных окружающих впечатлений в космос, в совокупность душевных выражений, «мир в себе» в «мир для нас». Оно успокаивает боязнь мира, подчиняя себе чуждое и таинственное, превращая его в понятную и устроенную действительность и связывая его железными правилами собственного, наложенного на него разумного языка форм.

Это та идея «табу», играющая столь значительную роль в духовной жизни всех примитивных народов, но столь далекая нам по своему первобытному содержанию, что это слово даже нельзя перевести ни на один из более зрелых культурных языков. В основе его лежит такое первобытное чувство, предшествовавшее всякому познанию и пониманию окружающего мира, даже всякому ясному самосознанию, отделяющему душу от мира, что среди нас, интеллектуальных жителей современного большого города, оно может быть доступным разве только детям и немногим художественным натурам. Вечная боязнь, священный трепет, глубокая беспомощность, тоска, ненависть, смутные желания приближения, соединения, удаления – все эти полные форм чувства зрелых душ сливаются в зачаточном состоянии в глухую нерешительность. Двоякий смысл слова «заклинать», значащего, с одной стороны, подчинять своей власти, с другой – умолять, поможет уяснить нам смысл мистического акта, при помощи которого первобытный человек делает чуждое и страшное «табу». Набожный страх перед всем не зависящим от человека, установленным, законосообразным, перед чуждыми силами мира, есть начало всякой элементарной формы. В первобытное время она осуществляется в гиератическом орнаменте и мелочных церемониях, строгих уставах примитивных обычаев и своеобразных культах. На ступенях высшей культуры образования эти, не утрачивая внутренних признаков своего происхождения и характера связывания и заклятия, вырастают в законченные миры форм отдельных искусств, религиозного, логического и математического мышления, экономического, политического, социального и личного быта. Их общее средство, и притом единственное, которое знает осуществляющая себя душа, есть символизирование протяженности, пространства или вещей, – будь то концепции абсолютного мирового пространства Ньютоновой физики, внутреннего облика готических соборов или мавританской мечети, атмосферической беспредельности картин Рембранта или их повторений в сумрачном мире звуков бетховенских квартетов, будь то правильные многогранники Эвклида, скульптуры Парфенона или пирамиды Древнего Египта, нирвана Будды, строгий распорядок придворных обычаев при Сезострисе, Юстиниане 1 и Людовике XIV, или, наконец, идея божества у Гомера, Плотина, Данте, или опоясывающая земной шар побеждающая пространство энергия современной техники.

 

12

Вернемся к математике. Как мы видели, исходным пунктом всякого создания форм в античности было приведение в порядок ставшего, поскольку оно является чувственным, наличным, осязаемым, измеримым, исчисляемым. Западное готическое чувство формы, чувство одиноко блуждающей по всем далям души, избрало для себя знак чистого, не наглядного безграничного пространства. Не следует ни в коем случае вдаваться в заблуждение относительно узкой обусловленности этих символов, которые легко могут показаться идентичными и общеприменимыми. Наше бесконечное мировое пространство, о реальности существования которого, по-видимому, не приходится тратить лишних слов, не существовало для античного человека. Он даже не мог его себе представить. Эллинский космос, чуждость которого нашему способу понимания только по недоразумению оставалась так долго не замеченной, был для эллина самой очевидностью. Действительно, абсолютное пространство нашей физики есть форма, становящаяся понятной и естественной только из нашего душевного склада, как его отражение и выражение, и действительная только для нашего бодрствующего существования. Вся математика, начиная с Декарта, служит теоретическому истолкованию этого высокого символа, наполненного религиозным содержанием. Начиная с Галилея, физика также стремится только к этому. Античная же математика и физика вообще даже не знают этого объекта.

И в этом случае античные наименования, почерпнутые нами из литературного наследия греков, затемнили действительное положение вещей. Геометрией называется искусство измерения, арифметикой – искусство счета. Западная математика более не имеет ничего общего с обоими этими видами ограничивания, но она не нашла для себя никакого нового имени. Слово «анализ» выражает далеко не все.

Начало и конец размышлений античного человека вращаются вокруг отдельных тел и ограничивающих их поверхностей. Мы же, в сущности, знаем только один абстрактный элемент пространства – точку, не обладающую ни наглядностью, ни измеримостью, ни способностью принимать именование, и являющуюся исключительно центром отношений. Прямая линия для грека является измеримой границей плоскости, для нас – неограниченной непрерывностью точек. В качестве примера для иллюстрации своего принципа бесконечно малых Лейбниц приводит прямую, представляющую собою предел окружности с бесконечно большим радиусом, причем другим пределом является точка. Квадратура круга сделалась классической проблемой предельности для античных мыслителей. Это казалось им глубочайшей из всех тайн мировой формы, а именно: превратить плоскость, ограниченную кривой линией, с сохранением неизменной величины, в прямоугольники, и сделать ее, таким образом, измеримой. Для нас это превратилось в обычный прием изображения числа π при помощи алгебраических средств без всякого упоминания вообще о каких-либо геометрических образованиях.

Античный математик знает только то, что он видит и может осязать. Там, где кончается ограниченная и ограничивающая видимость, постоянная тема его размышлений, там же кончается и его наука. Западноевропейский математик, освободившийся от античных предрассудков и вступивший на самостоятельную дорогу, удаляется в совершенно абстрактные области бесконечных числовых множественностей n количества – не только 3-х измерений, где его так называемая геометрия может, и в большинстве случаев принуждена, обходиться без какой-либо помощи наглядности. Обратится ли античный человек к художественному выражению своего чувства формы, он стремится придать человеческому телу в танце, в борьбе, в мраморе и бронзе то положение, при котором поверхности и контуры полнее всего осуществляют меру и смысл. А настоящий художник Запада закрывает глаза и углубляется в область бестелесной музыки, где гармония и полифония приводят к созданиям высочайшей «потусторонности», далеко удаленным от всех возможностей оптически обусловленного. Стоит только припомнить, что понимают под словом фигура афинский ваятель и северный контрапунктист, чтобы ясно представить себе противоположность обоих миров и обеих математик. Греческий математик применяет для обозначения тела слово σώμα. То же слово применяет и юридический язык для выражения противоположности лица и вещи (σώματα χαί πράγματα: personae et res).

Поэтому феномен античного, целого, телесного числа невольно ищет соприкосновений с возникновением телесного человека, его σώμα. Число 1 почти не воспринимается как число. Оно есть αρχη, первоначальное вещество ряда чисел, начало всех чисел в собственном смысле и, следовательно, всякой величины, меры и вещественности. В кругах пифагорейцев в любую эпоху ее числовой знак был одновременно символом материнского лона, начала всей жизни. Число 2, первое настоящее число, удвояющее 1, вследствие этого было поставлено в связь с мужским принципом, и его знак был изображением фаллоса. Наконец, священная троица пифагорийцев обозначала акт соединения мужчины и женщины, зачатия – легко понятное эротическое толкование двух единственных ценных для античности процессов увеличения, рождения величин: сложения и умножения – и знак ее состоял из соединения двух предшествующих. Отсюда падает новый свет на уже упомянутый миф о кощунстве открытия иррационального. Иррациональное, или, по нашему способу выражения, применение бесконечных десятичных дробей, равносильно разрушению органически-телесного, производящего распорядка, установленного богами. Не подлежит сомнению, что пифагорейская реформа античной религии возродила и приняла за основу древнейший культ Деметры. Деметра родственна Гее, Матери-Земле. Существует глубокая связь между поклонением ей и этим возвышенным пониманием чисел.

Таким образом, античность с внутренней необходимостью постепенно стала культурой малого. Аполлоновская душа стремилась подчинить себе смысл ставшего при помощи принципа обозримого предела; ее «табу» сочеталось с непосредственной наличностью и близостью чуждого. Что далеко, что не невидимо, того и нет. Греки и римляне приносили жертвы богам той местности, где они находились; все остальные ускользали от их кругозора. Подобно тому, как в греческом языке нет слова для обозначения пространства, – мы часто будем прибегать к мощным символам подобных явлений языка, – равным образом у греков отсутствовало наше чувство ландшафта, чувство горизонтов, видов, дали, облаков, а также понятие отечества, распространяющееся на большое пространство и охватывающее большую нацию. Родина для античного человека это только то, что он может обозреть с высоты кремля своего родного города. То, что лежит по ту сторону оптической границы этого политического атома, было чужим, даже враждебным. Здесь уже начинается страх античного существования, и этим объясняется ужасающая жестокость, с которой эти крошечные города уничтожали друг друга. Полис есть наиболее маленькая из всех мыслимых государственных форм, и его политика, определенная политика близких окрестностей, есть полная противоположность нашей кабинетной дипломатии, являющейся политикой беспредельного. Античный храм, легко обозримый с одного взгляда, является самым маленьким среди других видов античных построек. Геометрия от Архита до Эвклида – так же как и наша школьная геометрия, стоящая под ее влиянием – имеет дело с маленькими, удобными для обращения фигурами и телами, и, таким образом, от нее остались скрытыми трудности, возникающие при обращении с фигурами астрономических размеров и не всегда допускающие применение эвклидовой геометрии. Иначе, пожалуй, тонкий аттический гений уже тогда сумел бы предугадать кое-что из проблемы неэвклидовой геометрии, так как возражения против известной аксиомы о параллельных линиях, сомнительная и неподдающаяся исправлению формулировка которой уже издавна создавала затруднения, близко подводили к решающему открытию. Поскольку для античного ума было само собой понятным рассмотрение исключительно близкого и малого, так же само собой понятно для нас рассмотрение бесконечного, выходящего за пределы видимого глазом. Все математические воззрения, изобретенные или заимствованные Западом, с полной неизбежностью были подчиняемы языку форм бесконечного, даже задолго до времени открытия дифференциального исчисления. Арабская алгебра, индийская тригонометрия, античная механика равно включались в анализ. Как раз самые «очевидные» положения элементарного счисления: например 2х2 = 4, с аналитической точки зрения становятся проблемами, разрешение которых достигнуто только путем выводов из учения о множестве, а в многих частностях не достигнуто еще до сего времени, что, без сомнения, в глазах Платона и его времени показалось бы безумием и признаком полного отсутствия математических способностей.

Можно в известном смысле трактовать геометрию алгебраически, или алгебру геометрически, т. е. устранять деятельность глаза или, наоборот, допускать его господство. К первому способу прибегли мы, ко второму греки. Архимед, касающийся в своем изящном вычислении спирали некоторых общих фактов, легших также в основу Лейбницевой методы определенного интеграла, тотчас же подчиняет свои приемы, кажущиеся при поверхностном наблюдении в высшей степени современными, стереометрическим принципам; индус в подобном же случае вполне естественным образом нашел бы тригонометрическую формулировку. (В настоящее время не представляется возможным установить, что из известной нам индийской математики является древнеиндийским, т. е. что возникло до Будды.)

 

13

Из основной противоположности античных и западных чисел вытекает столь же глубокая противоположность отношений в которых находятся друг к другу отдельные элементы каждого из этих комплексов. Взаимоотношение величин называется пропорцией, взаимоотношение отношений заключается в сущности функции. За пределами математики оба эти слова имеют глубокое значение для техники обоих соответствующих искусств – пластики и музыки. Если даже не принимать во внимание значение слова «пропорция» в применении к отдельной статуе, как раз наиболее типичные произведения античного искусства, статуя, рельеф и фрески, допускают увеличение или уменьшение масштаба, но слова эти не имеют никакого смысла в применении к музыке, искусству беспредельного. Достаточно вспомнить искусство гемм, сюжеты которого были уменьшениями пластики натуральной величины. С другой стороны, в области теории функций решающее значение имеет понятие трансформации групп, и всякий музыкант подтвердит, что аналогичные образования составляют существенную часть новейшего учения о композиции. Я ограничусь примером одной из наиболее тонких инструментальных форм XVIII в., а именно «tema con variazioni».

Всякая пропорция предполагает постоянство элементов, всякая трансформация – их изменчивость: достаточно сравнить теоремы о подобии у Эвклида, доказательство которых в действительности основано на наличии отношения 1:1, с современным их выводом при помощи круговых функций.

 

14

Конструкция – в широком смысле охватывающая все методы элементарной арифметики – есть альфа и омега античной математики: она равносильна установлению определенного и видимого объекта. Циркуль есть резец этого второго пластического искусства. Способ работы при изысканиях в области теории функций, ставящих себе целью не определенный результат, имеющий характер величины, а исследование общих формальных возможностей, можно обозначить как известный вид теории композиции, находящийся в близком сродстве с музыкальной композицией. Целый ряд понятий из области теории музыки можно было бы также прямо применить к аналитическим операциям физики – тональность, фразировка, хроматичность, а также другие – и вопрос, не сделаются ли благодаря этому многие отношения более удобообозримыми.

Всякая конструкция утверждает видимость, всякая операция отрицает ее, так как первая вырабатывает оптические данные, вторая же их разрушает. Таким образом, вскрывается дальнейшая противоположность обоих видов математических приемов: античная математика малых рассматривает конкретный отдельный случай, решает определенную задачу, выполняет единичную конструкцию. Математика бесконечного рассматривает целые классы формальных возможностей, группы функций, операций, уравнений, кривых, причем имеет в виду не определенный результат, но само протекание процесса. Около двухсот лет тому назад – факт, о котором почти не думают наши математики – возникла идея общей морфологии математических операций, которую и следует признать за сущность новой математики. В ней вскрывается общая широкая тенденция западного духа, становящаяся со временем все более ясной, – тенденция, являющаяся исключительным достоянием фаустовского духа и его культуры и не имеющая подобия в устремлениях других культур. Большинство вопросов, являющихся насущными проблемами нашей математики – соответственно квадратуре круга у греков, как-то: исследование критерия сходимости бесконечных рядов (Коши) или обращение эллиптических и общеалгебраических интегралов в многократные периодические функции (Абель, Гаусс), вероятно, показалось бы «древним», искавшим в качестве результатов определенных величин, остроумной и несколько причудливой забавой – суждение соответствующее также и теперешнему общепринятому мнению широких кругов. Нет ничего столь же непопулярного, как современная математика, и в этом есть также своя доля символики бесконечной дали, расстояния. Все великие произведения Запада, начиная с Данте до «Парсифаля», непопулярны, наоборот, все античные, начиная с Гомера до Пергамского алтаря, популярны в высшей степени.

 

15

Наконец, все содержание западного числового мышления объединяется в одной классической проблеме, являющейся ключом к трудноусвояемому понятию бесконечности – фаустовской бесконечности, отличной от бесконечности арабского и индийского мирочувствования. Речь идет о теории предела вообще, независимо от частных случаев, когда число рассматривается как бесконечный ряд, как кривая или функция. Этот предел является полной противоположностью античному, который до сих пор не назвали этим именем и который выражается в неподвижно ограниченной плоскости измеримой величины. До самого XVIII века эвклидовски-популярные предрассудки затемняли смысл принципа дифференциала. Как бы осторожно ни применять наиболее доступное понятие бесконечно малого, ему все остаются присущи какой-то момент античной константности, какая-то внешность величины, хотя Эвклид не признавал его и не мог признать таковой. Нуль есть постоянная величина, некоторое число в линейной непрерывности между 1 и -1; аналитическим исследованиям Эйлера во многом повредило то обстоятельство, что он – как и многие вслед за ним – считал бесконечно малые величины за нули. Только вполне разъясненное Коши понятие предела устранило этот остаток античного чувства чисел и сделало исчисление бесконечных вполне свободной от противоречий системой. Только переход от «бесконечно малых чисел» к тому, «что находится ниже предельного значения всякой возможной конечной величины», приводит к концепции изменяющегося числа, находящегося ниже любой отличной от нуля конечной величины и, следовательно, не имеющего в себе ни малейшего признака величины. Предел в этой окончательной формулировке вообще не представляет собой нечто такое, к чему совершается приближение. Он представляет собою само приближение – процесс, операцию. Это не состояние, а поведение. Здесь, в решающей проблеме западной математики неожиданно вскрывается, что наша душа предрасположена исторически.

 

16

Освободить геометрию от наглядности, алгебру от понятия величины и объединить обе по ту сторону элементарных рамок конструкции и счета в мощном здании теории функции – таков был великий путь западного числового мышления. Таким образом античное постоянное число растворилось в изменяющемся. Геометрия, ставши аналитической, разрушила все конкретные формы. Она заменила математическое тело, из неподвижных форм которого извлекаются геометрические значимости, абстрактными пространственными отношениями, которые в конце концов являются вообще совершенно неприменимыми к фактам чувственно наличной наглядности. Далее, она заменила оптические образования Эвклида геометрическим местом точек и их отношением к системе координат, исходный пункт которых может быть произвольно выбран, и свела предметное существование геометрического объекта к требованию неизменяемости выбранной системы во все время операции, имеющей теперь уже своим предметом не измерения, а уравнения. Однако вскоре устанавливается истолкование координат исключительно как чистых значимостей, не столько определяющих, сколько изображающих и заменяющих положение точек как абстрактных элементов пространства. Число, предел ставшего, изображается символически уже не в образе какой-либо фигуры, а в образе уравнения. Смысл «геометрии» превращается в обратный: система координат как образ исчезает, и точка становится теперь совершенно абстрактной группой чисел. Путь, которым архитектура Ренессанса превращается благодаря конструктивным нововведениям Микеланджело и Виньолы в барокко, является точным отражением внутренних изменений анализа. Чувственно чистые линии фасадов дворцов и церквей утрачивают свою реальность. На месте ясных координат флорентийско-римской расстановки колонн и расчленения этажей появляются «бесконечные» элементы взвивающихся и волнообразных частей здания, волют и картушей. Конструкция исчезает в изобилии декоративного-функционального, говоря языком математики; колонны и пилястры, соединенные в группы и связки, прорезывают фронтоны, не давая отдыха для глаза, то соединяясь, то вновь расступаясь; плоскости стен, потолков, этажей расплываются потоком украшений стукко и орнаментов, пропадают и распадаются под действием красочных световых эффектов. В то же время свет, разлившийся в привольной игре над этим миром форм зрелого барокко – начиная с Бернини в 1650 г. вплоть до рококо в Дрездене, Вене и Париже – становится чисто музыкальным элементом. Дрезденский Цвингер – это симфония. Вместе с математикой также и архитектура превратилась в XVIII веке в мир музыкального характера.

 

17

На пути развития этой математики наступил момент, когда и теория и сама душа, стремившаяся к беспрепятственному выражению своих внутренних возможностей, почувствовали преграду и помеху не только в ограниченности искусственных геометрических образований, но и в ограниченности зрительного чувства вообще, когда таким образом идеал трансцендентной протяженности вступил в коренной конфликт с ограниченными возможностями непосредственной видимости. Античная душа, предоставляющая чувственному его полное значение и свободу воздействия с покорностью, свойственной платоновской или стоической ’αταραξία и скорее принимавшая, а не создававшая свои великие символы, как мы это видели на примере скрытого эротического значения пифагорейских чисел, не могла и не хотела шагнуть за пределы телесного «теперь» и «здесь». Если пифагорейское число вскрывалось из сути отдельных данных вещей в природе, то число Декарта и следовавших за ним математиков было чем-то таким, что надо было завоевать и вынудить, каким-то самодержавным, абстрактным отношением, независимым от всякой чувственной данности и постоянно готовым утвердить эту свою независимость от природы. Воля к власти – пользуясь знаменитой формулой Ницше – свойственная, начиная с ранней готики времен «Эдды», соборов и крестовых походов, даже еще с завоеваний викингов и готов северной душе в ее отношениях к ее миру, свойственна также и энергии, проявляемой западным числом по отношению к наглядности. Это есть «динамика». В аполлоновской математике дух служит глазу, в фаустовской первый побеждает второй.

Хотя математики в своем уважении к античной традиции не смели долгое время замечать этого, само математическое «абсолютное», настолько совершенно неантичное пространство с самого начала не имело ничего общего со смутной пространственностью ежедневных впечатлений или популярной живописи, с пространственностью, не допускающего по принятому мнению иного толкования и достоверного априорного созерцания Канта, но являлось чистой отвлеченностью, идеальным, неосуществимым постулатом души, все менее удовлетворенной чувственностью как средством выражения и, наконец, со всей страстностью от нее отвратившейся. Тут пробудилось внутреннее зрение.

Только тогда для глубоких мыслителей стало ясным, что с этой повышенной точки зрения, единственная истинная, по наивному воззрению всех времен, Эвклидова геометрия есть только гипотеза, чью исключительную обоснованность по сравнению с другими видами геометрии, совершенно ненаглядными, нельзя даже доказать, как это точно установлено Гауссом, не говоря уже о многократно прославляемом «соответствии» с действительностью, этой догмой непосвященных, опровергаемой любым взглядом вдаль, где все параллели пересекаются. Основное ядро этой геометрии, эвклидова аксиома параллельных линий, есть утверждение, которое можно заменить другими, а именно: что через определенную точку нельзя провести ни одной параллели к прямой, или можно провести две, или даже несколько; все это утверждения, на основании которых возможно построить вполне согласованные трехмерные геометрические системы, которые вполне применими в физике или в особенности в астрономии, в некоторых случаях имеют преимущество перед Эвклидовой.

Уже простое требование безграничности протяженного – каковую ограничность мы со времени исследования Риманна и его теории безграничных, но вследствие своей кривизны не бесконечных пространств, должны отличать от бесконечности – противоречит самому характеру такой непосредственной наглядности, находящейся в зависимости от наличности сопротивления света, следовательно, от материальных границ. Но можно себе представить абстрактные принципы установления границ, выходящие в совершенно новом смысле из круга возможностей оптической ограниченности. Для внимательного наблюдателя уже в картезианской геометрии заметна тенденция переступить за три измерения пережитого пространства, так как таковые не являются безусловной необходимой границей для символики чисел. И хотя представление о пространствах многих измерений – следовало бы это выражение заменить новым термином – только приблизительно с 1800 г. сделалось расширенной основой аналитического мышления, первый шаг к этому был сделан уже в тот момент, когда степени, или, точнее, логарифмы были отделены от их первоначальной связи с чувственно осуществимыми плоскостями и телами и – одновременно с применением иррациональных и комплексных показателей – введены в область функционального в качестве отношений совершенно общего характера. Тот, кто разбирается в этих вопросах, поймет, что переход от представления а3 как естественного максимума к а» уже влечет за собой упразднение безусловности трехмерного пространства.

После того, как представляющая собой элемент пространства точка утратила отчасти еще оптический характер отрезка координаты наглядно воображаемой системы и стала определяться группой трех независимых чисел, тогда было устранено всякое внутреннее препятствие к тому, чтобы число 3 заменить общим числом n. Наступает полное превращение понятия измерения: не числа, выражающие меру, обозначают оптические свойства какой-либо точки по отношению ее положения в пространстве, но неопределенное количество измерений отображает совершенно абстрактные свойства некой числовой группы. Эта числовая группа – из n-ного количества независимых приведенных в порядок элементов – есть картина точки: она называется точкой. Логически выведенное из нее уравнение называется плоскостью, является картиной плоскости. Совокупность всех точек n-ного количества измерений называется пространством n-ного количества измерений. В этих трансцендентальных мирах пространств, не имеющих более никакого отношения к какой бы то ни было чувственности, царят открываемые анализом отношения, которые находятся в постоянном согласовании с данными экспериментальной физики. Эта пространственность высшего порядка есть символ, являющийся исключительным достоянием западного духа. Заключить ставшее и протяженное в эти формы, заклясть чуждый элемент в этот способ усвоения – припомним понятие «табу», – подчинить его своей власти и таким образом «познать» – это поставил себе целью и осуществил один только западный дух. Только в этой сфере числового мышления, открытой для понимания лишь очень ограниченного круга людей – но также обстоит дело и с глубочайшими моментами нашей музыки, нашей живописи и нашей догматики – даже такие образования, как система гиперкомплексных чисел (вроде кватерньонов в векториальном счислении) и на первый взгляд совершенно непонятные знаки, как? получают характер чего-то действительного. Следует уяснить себе, что действительность не есть только чувственная действительность, но что дух в гораздо большей степени может осуществлять свою идею в совершенно иных образованиях, кроме наглядных.

 

18

Из этой величественной интуиции символических миров пространств вытекает последняя и заключительная формулировка западной математики, расширение и одухотворение теории функций и превращение ее в теорию групп. Группы суть множества или совокупности однообразных математических образований, например совокупность всех дифференциальных уравнений определенного типа, построенные и приведенные в порядок аналогично Дедекиндовому числовому телу. По-видимому, речь идет о целых мирах новых чисел, не лишенных для внутреннего зрения посвященных признаков известной наглядности. Предстоит исследовать некоторые элементы этих необычайно абстрактных систем форм, остающихся по отношению к известной группе операций – а именно: трансформаций системы – независимыми от действия последних и обладающих неизменяемостью. Общая задача этой математики выражается, следовательно, в такой форме (по Клейну): «Дано некоторое множество («пространство») n-ного количества измерений и группа трансформаций.

Надлежит произвести исследование принадлежащих к этому множеству образований в отношении тех свойств, которые при трансформациях группы останутся неизменными».

Теперь на этой высочайшей точке достижения – истощив все свои внутренние возможности и исполнив свое назначение быть отражением и чистейшим выражением идеи фаустовской души – математика Запада заканчивает свое развитие, совершенно так же, как это сделала математика античной культуры в III веке. Обе эти науки – это единственные, чью органическую структуру уже в настоящее время можно проследить с исторической точки зрения, – возникли из совершенно новых числовых концепций Пифагора и Декарта, обе после столетия великолепного восхождения достигли зрелости и обе в течение трехсотлетнего расцвета завершили построение своих идей как раз к тому моменту, когда культура, к которой они принадлежали, перешла в цивилизацию мирового города. Эта глубокая зависимость будет разъяснена позднее. Достоверно, что время большой математики для нас окончено. Теперь идет работа сохранения, округления, уточнения, выбирания, талантливая ювелирная работа, заменившая великое созидание, подобно тому, как эпоху позднего эллинизма отмечает александрийская математика.

Нагляднее представить это положение поможет нижеследующая историческая схема.