Может ли математика доставлять удовольствие?
В царстве чисел мы прежде всего натыкаемся на нашу старую знакомую — единицу. Цифру 1 знает каждый человек в мире. Даже самые большие тормоза, абсолютные математические «нули», что-то про единицу да слышали. Она содержится во всех остальных так называемых натуральных числах, ведь все их можно представить в виде ряда единиц: 1 + 1 = 2, 1 + 1 + 1 = 3, 1 + 1 + 1 + 1 = 4. На единицу можно делить все остальные числа: 412: 1 = 412, 24: 1 = 24. Даже 1 можно поделить на 1. Получится 1.
Но самое замечательное заключается в том, что с помощью 1 можно делать всякие занятные штуки. Например, при умножении. 1 × 1 = 1, 11 × 11 = 121. Пока что ничего интересного. Занятно станет, если взять калькулятор и продолжить дальше. 111 × 111 = 12 321, 1111 × 1111 = 1 234 321. А 11111 × 11111=123 454 321. Вот перед нами пять результатов пяти примеров. Возникает ощущение, что шестой ответ можно получить и без калькулятора, и он будет выглядеть так же забавно, как и предыдущие. 111111 × 111111 =?
Правильно. Ответ — снова число, которое, как слово «топот», одинаково читается слева направо и справа налево. Давайте назовем его «топот-числом». Оно начинается с 1, затем цифры в нем постепенно и равномерно растут, а потом снова уменьшаются до 1. Посередине стоит самая большая цифра, которая странным образом равняется количеству единиц в каждом из множителей. Так что 111111 × 111111 = 12 345 654 321.
Может, тут действует какой-то таинственный закон? Правило, которому должен подчиняться всякий отряд единиц? Некий «топот-принцип»? Чтобы выяснить, продолжает ли работать это правило, когда числа становятся больше, вообще-то нам следовало бы считать дальше. И мы бы считали. И считали. И считали. И все равно в итоге не выяснили бы, работает ли этот принцип для самых длинных рядов единиц, которые только можно себе представить.
Так не годится. Но на это есть своя причина. Ведь мы совершенно случайно наткнулись на одно из самых захватывающих свойств царства чисел: оно не имеет пределов. Даже самый длинный ряд единиц всегда можно дополнить еще одной. Можно было бы нарисовать ряд единиц от этой книги до Луны, но приписать к ней еще одну единичку все равно проще простого. Даже если бы мы продолжили ряд единиц до границ нашей Солнечной системы, все равно к нему можно было бы добавить еще одну единицу. Даже внешняя граница космоса не смогла бы их остановить. Самого длинного ряда единиц просто не существует. Как не существует и самого длинного ряда пятерок или девяток. Вообще не существует ни самого длинного, ни самого большого числа, потому что всегда найдется число больше. А теперь самое потрясающее: существует не одно число, а бесконечное количество чисел, больших самого большого числа, которое мы можем себе представить.
Для нас это означает вот что: даже если бы мы считали бесконечно долго, мы бы все равно не узнали, справедлив ли «топот-принцип» для всех рядов единиц. Всегда бы оставался такой ряд единиц, который мы еще не проверяли. То есть тут нужно правило, которое бы охватывало все без исключения ряды единиц. Такими вещами и занимаются математики. Они не особенно интересуются частными случаями, а ищут законы, непреложные правила, справедливые для всего бесконечно большого царства чисел. Вечные правила. Правила, которым подчиняются все, абсолютно все жители страны чисел.
ГЕНИЙ СЧЕТА
Герт Миттринг, информатик и педагог из Бонна, пятикратный победитель чемпионата мира по счету, дважды внесенный в Книгу рекордов Гиннеса. Он, например, может за 13,3 секунды вычислить корень 137-й степени из 1000-значного числа. Несмотря на такую феноменальную способность к счету и коэффициент интеллекта 145, в школе Миттринг учился не особенно хорошо. Он даже иногда получал двойки по математике, а средняя оценка в аттестате у него всего 3,7.
В нашем случае жителей царства чисел можно успокоить. Никакой закон не предписывает им подчиняться «топот-принципу» каждый раз при умножении на отряд единиц. В этом можно убедиться путем перебора. Уже при ряде единиц из десяти штук принцип опасно колеблется, ведь цифра в середине не может быть больше 9. При десяти единицах в ряду результат умножения будет такой: 1111111111 × 1111111111 = 1 234 567 900 987 654 321. Отголосок «топота» еще слышен, но уже не очень четко. А если добавить еще одну единицу в ряд, «топот-принцип» окончательно исчезнет. Получится 123 456 790 120 987 654 321. Все, «топот» замолк. Прощай!
И здравствуй, Карл Фридрих Гаусс! Самое время тебе появиться! Чтобы понять, с каким удовольствием математики общаются с царством чисел, нам пора наконец познакомиться с настоящим математиком. Карл Фридрих Гаусс был не просто настоящим математиком, а одним из самых знаменитых математиков в мире. Он жил с 1777 по 1855 год в Геттингене, где в течение 48 лет преподавал в университете. С математикой у Гаусса было хорошо с раннего детства. «Считать я научился раньше, чем писать», — говорил он. А его отец вспоминал, как сын однажды указал ему на ошибку в подсчетах. А ведь малышу в ту пору было всего три года! Так что Гаусс был настоящим вундеркиндом, но таким, которого в школе замечают только на уроке математики. У его учителя, герра Бюттнера, была привычка давать своим ученикам на уроке ужасно длинные арифметические примеры. Это позволяло ему, пока дети корпят над заданиями, спокойно дремать или ковырять в носу.
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
В царстве чисел обитают очень разные жители. Те, что лучше всего нам знакомы, называются натуральными числами. Это числа, с которыми мы знакомимся еще в детстве: 1, 2, 3, 4, 5 и так далее. К натуральным иногда относят и отрицательные числа: –1, –2, –3, –4… Они кажутся немножко странными, но в царстве чисел есть и куда более удивительные обитатели.
Однажды он задал своим ученикам сложить сто чисел. 1 + 2 + 3 + 4 + … и так далее до 100. Весь класс храбро принялся считать. 1 плюс 2 будет 3, плюс 4 — семь, плюс пять — 12… Только один мальчик не стал считать, как все: маленький Карл Фридрих, подумав пару секунд, записал на своей грифельной доске одно-единственное число и хлопнул ее на стол учителю со словами: «Вот и все!»
Учитель Бюттнер сначала протер глаза, а затем потер руки. Что такое? С чего этот малявка отважился дерзить? Он сурово взглянул на маленького Карла Фридриха, но тот только довольно улыбался в ответ. Когда закончится урок, решил герр Бюттнер, я научу маленького наглеца, как себя вести, парочкой ударов розог. Но когда в конце урока все ученики сдали свои работы, все получилось совсем не так, как представлял учитель. Он посмотрел ответы ребят, и на него напал сильнейший приступ кашля. Пока другие мучились с вычислениями и лишь немногие получили правильный ответ, Гаусс на своей доске написал одно-единственное число. Причем правильное. Что это, чудо?
Вовсе нет. Карл Фридрих Гаусс просто наглядно показал своему учителю разницу между арифметикой и математикой. Пока учитель и остальные ученики мучительно складывали все числа от 1 до 100 одно за другим, он подошел к заданию математически. Он заметил, что начальные числа образуют очень удобные пары с конечными. То есть 1 и 100, 2 и 99, 3 и 98. Если так продолжать дальше, то получится 50 пар, дающих одинаковую сумму. 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101 и так далее. Теперь осталось только умножить в уме 101 на 50 и записать правильный ответ: 5050.
Конечно, маленький Карл Фридрих Гаусс и считать отлично умел. Каждый математик умеет выполнять основные арифметические действия. Но смысл математики состоит не в вычислениях. Математика — это по большей части поиск решений и описание принципов, стоящих за теми или иными задачами. А так как эти принципы нужно описывать очень точно, математики с удовольствием пользуются формулами. Просто так удобнее. Если бы мы захотели описать идею Гаусса обычными словами, нам понадобилось бы много места. Давайте попробуем. «Для того чтобы найти сумму ряда слагаемых, начинающегося с единицы и заканчивающегося сотней, каждый последующий член которого увеличивается на один, необходимо сложить попарно эти числа — первое с последним, второе с предпоследним и так далее — и умножить полученную сумму на половину количества слагаемых в ряде…» И так далее и тому подобное. Кто это поймет? Кто сможет разобраться?
ПАСХА ПО ГАУССУ
В 325 году н. э. Никейский собор постановил праздновать Пасху в первое воскресенье после первого полнолуния после дня весеннего равноденствия. В отличие от Рождества, Пасха выпадает каждый год на разные дни (как и Масленица). Но какой день правильный? Изобретательный математик Гаусс вывел формулу, с помощью которой можно рассчитать дату Пасхи на любой год.
А посмотрите, как коротко и понятно будет выглядеть такое равенство, если записать его цифрами и математическими символами: 1 + 2 + 3 + … + 100 = (1 + 100) ×
. А на случай, если учителю взбредет в голову заставить складывать числа не до 100, а до 200 или до 300, можно переделать это равенство так, чтобы оно подходило для всех подобных случаев. Для этого мы просто заменим число 100 на букву n: 1 + 2 + 3 + … + n = (1 + n) ×
. Буква n в этом равенстве выступает в роли заместителя, ее можно заменить на любое натуральное число. Такая хитрость с заместителями чисел — гениальное изобретение, математики всего мира очень часто пользуются им. Конечно, в качестве заместителей не всегда используют именно n. Это могут быть и n, и x, и y, и a, и b — смотря по обстоятельствам. Но как бы они ни назывались, функция у них всегда одинаковая: замещать что-то другое. Они указывают на то, что уравнение справедливо не только для одного конкретного случая, а для всех подобных случаев.
Кажется, потихоньку становится понятно, почему математикам эта самая математика так нравится. С ее помощью можно сэкономить много времени. Можно удивить учителя. А как приятно бывает найти решение задачи! Занятно, но мы как раз сейчас решили одну задачу — ту, что была обозначена в заголовке этой главы: «Почему математики не умеют считать?» Ответ такой: настоящие математики вообще не считают, им лень это делать. С гораздо большим удовольствием они решают задачи. А арифметику оставляют калькуляторам.
МЕЖДУНАРОДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА
С 1959 года школьники со всего мира борются за победу в олимпиаде по математике. От каждой страны к участию в этих соревнованиях допускается шесть участников, которые за два дня должны решить шесть сложных задач. Победители, так же как и на настоящих Олимпийских играх, получают золотые, серебряные и бронзовые медали. Последняя большая математическая олимпиада состоялась в Гонконге в 2016 году. В ней приняли участие школьники более чем из восьмидесяти стран мира. Национальные отборочные турниры организуются в основном школами с математическим уклоном.
Честно говоря, следует признать, что не все математики решают задачи так легко, как маленький Карл Фридрих Гаусс. Иногда приходится действительно много трудиться. Ведь задачи бывают запутанные и сложные. Главное при решении запутанных задач — сначала установить, в чем, собственно, задача состоит; так и говорят: «Определить задачу». Определение задачи — предпосылка для того, чтобы математики всего мира могли заняться поиском ее решения. У кого появляется идея, как подступиться к решению, формулирует теорему. Она описывает решение задачи, но этого недостаточно. Потому что теорему нужно доказать. Только при наличии доказательства всякий разумно мыслящий человек принимает выдвинутую теорему.
Иначе говоря, математика похожа на игру. Только когда все игроки играют по одним всем известным правилам, игра приносит удовольствие. И действительно, математики ведут себя примерно как шахматисты. Хорошие шахматисты усердно читают книги по шахматам и анализируют партии других игроков. А чтобы победить других хороших шахматистов, они должны быть готовы к действительно трудным задачам. Они должны пробовать новые, необычные, фантастические ходы, до которых прежде никто не додумывался. Дети часто учатся такому лучше, чем взрослые. Поэтому в шахматах, так же как и в математике, встречаются настоящие вундеркинды, которые удивляют даже признанных мастеров. Например, таким вундеркиндом был тюбингенец Симон Брэндли. Уже в пятнадцать лет он посещал университетские семинары по математике и ставил в тупик своими вопросами изумленных преподавателей. В шестнадцать лет он окончил школу, а четырьмя годами позже стал кандидатом математических наук.
Кстати, у шахматистов и математиков есть еще кое-что общее: они любят выигрывать и непременно хотят быть первыми в решении задач. Решать задачи весело, но это может быть и напряженной работой. Те, кто занимаются математикой в университете, должны быть готовы и к неудачам. Ведь математическая задача может быть либо решена, либо не решена. Тут, в отличие от других наук, не действует правило «отрицательный результат — тоже результат». В математике тот, кто не решил свою задачу, ничего не добился и не может написать даже завалящую статейку. Ему приходится думать дальше. Поэтому математиков часто можно узнать по потухшему взгляду. Даже в магазине, на концерте или на вечеринке с друзьями они продолжают размышлять над своей задачей. Даже по ночам они всё думают и думают. Иногда годы, а иногда и целые десятилетия. Один из известнейших математиков мира — англичанин Эндрю Уайлс. Он родился в Кембридже в 1953 году. Когда ему было десять лет, то есть в 1963 году, он однажды вечером зашел в библиотеку своего родного города. Ему захотелось просто покопаться в книжках. Случайно ему попалась книга о знаменитом математике Ферма. Эндрю начал ее читать и наткнулся на теорему Ферма. С тех самых пор она не выходила у него из головы.
ТЕОРЕМА ФЕРМА
Французский юрист и математик-любитель Пьер де Ферма однажды написал на полях старого учебника теорему, утверждающую, что уравнение аn + bn = cn не имеет решений в целых числах при степени больше двух, т. е. например, а4 + b4 = c4. Дальше он приписал, что нашел остроумное доказательство этому, которое, к сожалению, не вмещается на поля книги. С тех пор целые поколения математиков тщетно пытались найти это доказательство.
Три века подряд умнейшие математики мира бились над доказательством теоремы Ферма, но безрезультатно. Маленький Эндрю решил заняться этой задачей. Он стал математиком и работал в лучших университетах мира — в Гарварде, в Принстоне, в Париже. И все это время он размышлял над теоремой Ферма. «Для меня это был личный вызов», — объясняет он. Только играя со своими детьми, Уайлс забывал о теореме Ферма, потому что их она совершенно не интересовала. Девятнадцатого сентября 1994 года произошло невероятное: «Совершенно неожиданно у меня случилось удивительное озарение». Этот день стал самым важным и волнующим моментом математической карьеры Уайлса. Он нашел решение — оно оказалось таким простым и элегантным, что минут двадцать Уайлс просто смотрел на свою запись, не веря глазам. Потом он пошел погулять, а вернувшись, проверил, на месте ли доказательство, и оно было там. Так, проразмышляв 31 год, Эндрю Уайлс доказал теорему, над которой математики бились триста лет.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
Мы бы с радостью объяснили здесь, как именно была доказана теорема Ферма, но, к сожалению, доказательство не вмещается на поля и этой книги.
Чтобы доказать теорему, Эндрю Уайлсу не нужны были ни пробирки, ни электрический микроскоп, ни мощный телескоп. Ему понадобился только листок бумаги. Для математиков это обычное дело: они могут работать где угодно, им нужна только голова и еще, может быть, ноутбук с выходом в интернет. Этого достаточно. Поэтому студенты из бедных стран часто выбирают своей специальностью математику. Это одна из немногих современных наук, заниматься которой не стоит огромных денег.
Благодаря математическим символам математики всего мира понимают друг друга. По крайней мере теоретически. Тот, кто занимается функциональным анализом в Германии, с ходу найдет общий язык со специалистом в той же области из Пекина или Лос-Анджелеса. Но часто случается, что для немецкого ученого лекции коллеги, который работает в соседнем кабинете того же института, и его уравнения — сплошная китайская грамота. Это связано с тем, что в последние десятилетия математика очень сильно специализировалась. Наверное, последним великим математиком, способным охватить весь предмет, был немецкий ученый Давид Гильберт. Он умер в 1943 году.
Теперь мы знаем о математике гораздо больше. И, вероятно, немножко больше с ней подружились. Поэтому теперь можно отважиться на следующий шаг и задать два вопроса, на которые на уроках математики в школе почти никогда не отвечают: во-первых, почему математика работает, а во-вторых, изобрели ее или открыли?