Как только речь в школе заходит о чем-нибудь вроде простых чисел, теоремы Пифагора или логарифмов, многие ребята моментально впадают в какой-то загадочный ступор. Они бы очень хотели понять, что там учитель чертит и пишет на доске, но, к сожалению, даже прилагая нечеловеческие усилия, уследить за его рассуждениями не могут. Как это у математиков такое получается? Как им удается так хорошо считать? Может, у них мозг как-то по-другому устроен? Может, у них туда теорема Пифагора сразу встроена? Или они только притворяются, а на самом деле тоже считать не умеют?

Объясняя в Детском университете, почему математики не умеют считать, Райнер Нагель говорил об арабских и греческих математиках. Профессор Тюбингенского университета не только привел в восторг юных слушателей своей лекции, но и консультировал авторов этой книги при написании данного раздела.

Если бы кто-нибудь провел конкурс на самый нелюбимый предмет в школе с самыми заковыристыми контрольными и домашними заданиями, на которые уходит больше всего времени, то математика наверняка победила бы с большим отрывом. Уже само слово «математика» звучит пугающе, как будто с порога предвещая двойки и угрожая оставить на второй год. Сразу вспоминаешь о формулах, уравнениях, иксах и игреках. А ведь взрослые тоже по возможности стараются не использовать странные символы, с помощью которых математики общаются между собой. «Каждая математическая формула в книге, — однажды констатировал знаменитый британский физик Стивен Хокинг, — вполовину сокращает количество ее потенциальных читателей».

Кроме того, в математике все должно быть очень точно. Два плюс два будет четыре. Именно 4, а не 4,153 или 3,879. Ровно 4, ни больше, ни меньше. И можно сколько угодно близко подобраться к правильному ответу, а он все равно будет неверным. Вообще вся эта арифметика — умножение, сложение, деление — зачем это нужно? В конце концов, мы ведь живем в третьем тысячелетии, и у каждого дома есть мощный компьютер! Зачем учиться считать? Для жизни?

ПЕРВЫЙ КАРМАННЫЙ КАЛЬКУЛЯТОР

Создать калькулятор, который помещается в руке, впервые удалось инженерам компании Texas Instruments в 1967 году. Первый в мире мини-калькулятор мог выполнять четыре основных арифметических действия, на экране у него помещалось шесть цифр в строке. Первым карманным калькулятором, поступившим в свободную продажу, стал Bowmar 901B. Он тоже справлялся с четырьмя основными арифметическими действиями, имел размеры 13х7 сантиметров и в 1971 году стоил 240 долларов.

Скажете тоже! В жизни все это математическое барахло никогда не пригодится. Биномы? Логарифмы? Теорема Пифагора? Спросите у родителей, что из всего этого они помнят. Ровным счетом ничего! Немецкий и английский — еще понятно, зачем нужны. Или география с биологией. Они имеют какое-то отношение к жизни. Там про деревья и траву, про тело и здоровье. Это полезно. А вот математика не нужна совершенно. Ею пользоваться никогда не будешь. Неужели нельзя вместо нее включить в программу какой-нибудь действительно полезный предмет — компьютероигроведение, например?

 

Математика правда никому не нужна?

Прежде чем писать письмо в правительство с требованием немедленно заменить в школах математику на компьютероигроведение, давайте подумаем: может быть, в математике все же есть хоть что-то полезное? Что-то, о чем мы забыли, но что может оказаться важным? Ведь мы все-таки в Детском университете — а здесь не так-то легко отменяют науки.

В НАЧАЛЕ БЫЛИ «ТОЧКИ»

В 1952 году студент по имени А. С. Дуглас в качестве дипломной работы разработал первую в мире компьютерную игру. Это была игра «Точки». Играть можно было против компьютера при помощи специальной клавиатуры. Шестью годами позже на свет появилась первая видеоигра — Pong, что-то вроде настольного тенниса на экране. Легендарную и любимую многими игрушку Pac Man создал японский разработчик в 1980 году.

В математике и правда кое-что полезное есть. И оно даже связано с компьютерными играми. Ведь без математиков невозможно было бы создать ни одной компьютерной игрушки. Все, что мы видим на мониторе, — каждое движение инопланетного монстра, каждый дом, строящийся в городе в The Sims, — это результаты сложных математических вычислений. Первым в мире заведением, где стали обучать студентов по специальности «Программирование компьютерных игр», стал американский технологический институт DigiPen. Он находится в Редмонде, родном городе компании Microsoft, и существует при поддержке Nintendo. По словам основателя этого института, «девяносто процентов времени наши студенты посвящают изучению общей математики и математики компьютерных графиков, ведь без этих дисциплин невозможны ни программирование, ни понимание компьютерных технологий». Вот ужас!

Математики должны переводить идеи художников на язык программ. В их обязанности входит разработка плана распределения множества сложных задач, связанных с созданием компьютерной игры. В институте математики учатся, например, тому, как разложить сложную задачу на несколько более простых. Математиков привлекают и к созданию голливудских остросюжетных фильмов. Когда на Землю нападают инопланетяне, Человек-паук летит над городом или Нью-Йорк покрывается коркой льда, уже нельзя обойтись студийной съемкой или помощью каскадеров. Изображения таких грандиозных сцен вычисляются и программируются. И каждая точка на экране — это результат вычислений. Для того чтобы все выглядело достоверно, чтобы свет и тени падали правильно, ветер натурально развевал волосы героев, сотням художников-графиков и программистов приходится вывести множество сложных формул.

В общем, понятно: математики все-таки для чего-то да нужны, и делают они очень даже классные вещи. Вот и mp3-плеера без математиков бы не было: mp3 — название метода, с помощью которого музыкальное произведение превращается в цифровые данные. Музыку в mp3 легко сохранять на компьютере или на mp3-плеере и удобно скачивать из интернета. Скачивать музыку в том формате, в котором она записана на CD-дисках, было бы не только дороже, но и гораздо дольше — процесс занимал бы в двенадцать раз больше времени. Неудивительно, что технология mp3 изменила мир, и сегодня этот термин — один из самых часто встречающихся в интернете. Разработал этот революционный метод вместе со своей командой один немец — Карлхайнц Бранденбург. А по образованию он математик.

ВЫЧИСЛЯТЬ МУЗЫКУ

С помощью технологии mp3 из музыкального произведения извлекаются те частоты, которые человеческим ухом не воспринимаются или практически не воспринимаются. И хотя после такой обработки в треке остается только двенадцатая часть от изначальной информации, звучание его не меняется.

Итак, мы выяснили, что, во-первых, в классных штуках полно математики; во-вторых, что весь интернет набит математикой; в-третьих, что компьютеры без математики невозможны; а в-четвертых, что без математики немыслим вообще весь современный мир. Небоскребы, мосты, туннели — все это, не будь на свете математики, развалилось бы на куски или вовсе не было бы построено. И самолеты без математики не летали бы. Прежде чем новая модель самолета в первый раз поднимется в воздух, она должна совершить не один компьютерный полет. Математики рассчитывают влияние малейших изменений крыльев на летные качества воздушного судна и точно знают, выдержит ли корпус самолета сильную бурю. Только когда не остается и тени сомнения, что компьютерная модель летает без затруднений, самолет наконец выруливает на настоящую взлетную полосу. А для того чтобы запустить космический зонд на Марс или на Венеру, нужно бесконечно много математики. Все параметры такого полета вычисляются заранее: траектория, влияние силы притяжения и необходимое количество топлива — ведь в космосе на заправку быстренько не заедешь.

Значит, математика кое для чего все-таки нужна. Но значит ли это, что каждый обязательно должен в ней разбираться? Разве недостаточно, чтобы ею занимались несколько фриков? Неужели нельзя передать всю математику в руки эти славных парней? Тех, кто так странно моргает на занятиях, а на переменах ест дурацкие бутерброды с сыром, но всегда готов помочь, когда барахлит компьютер? Зачем математика всем?

Ответ на этот вопрос, наверное, сильно удивит многих невинно замученных жертв математики. Потому что он таков: математикой нужно заниматься всем для удовольствия. Что математика не бесполезна — окей, это мы поняли. И что существуют люди, которые в ней разбираются, — тоже, в общем, понятно. Но чтобы математика доставляла удовольствие — такого точно не может быть! Правда?

ИДЕАЛЬНЫЙ УЖАСТИК

Математики из лондонского Королевского колледжа как-то для развлечения вывели формулу идеального фильма ужасов. Вот, что у них получилось:

(es + u + cs + t)2 + s +  +  + sin x — st,

где es — таинственная музыка, u — неизвестность, cs — преследования, t — пребывание взаперти, s — пугающие спецэффекты, tl — реальная жизнь, f — фантазия, а — одиночество, dr — темные помещения, fs — декорации, n — количество людей в фильме, sin x — количество крови, st — использование стереотипов.

Чтобы обосновать это возмутительное заявление, мы сейчас, несмотря на предостережение знаменитого физика Хокинга, все-таки приведем в этой главе несколько уравнений. Они, не спорим, выглядят устрашающе. Куча загадочных символов, цифр, штрихов. А среди них еще и буквы, которые при всем желании ни во что осмысленное не складываются. Жуть. Но без уравнений математики не бывает. А мы ведь собираемся отправиться в невероятную и удивительную страну математиков и цифр. Так что соберитесь с духом, и вперед.

 

Может ли математика доставлять удовольствие?

В царстве чисел мы прежде всего натыкаемся на нашу старую знакомую — единицу. Цифру 1 знает каждый человек в мире. Даже самые большие тормоза, абсолютные математические «нули», что-то про единицу да слышали. Она содержится во всех остальных так называемых натуральных числах, ведь все их можно представить в виде ряда единиц: 1 + 1 = 2, 1 + 1 + 1 = 3, 1 + 1 + 1 + 1 = 4. На единицу можно делить все остальные числа: 412: 1 = 412, 24: 1 = 24. Даже 1 можно поделить на 1. Получится 1.

Но самое замечательное заключается в том, что с помощью 1 можно делать всякие занятные штуки. Например, при умножении. 1 × 1 = 1, 11 × 11 = 121. Пока что ничего интересного. Занятно станет, если взять калькулятор и продолжить дальше. 111 × 111 = 12 321, 1111 × 1111 = 1 234 321. А 11111 × 11111=123 454 321. Вот перед нами пять результатов пяти примеров. Возникает ощущение, что шестой ответ можно получить и без калькулятора, и он будет выглядеть так же забавно, как и предыдущие. 111111 × 111111 =?

Правильно. Ответ — снова число, которое, как слово «топот», одинаково читается слева направо и справа налево. Давайте назовем его «топот-числом». Оно начинается с 1, затем цифры в нем постепенно и равномерно растут, а потом снова уменьшаются до 1. Посередине стоит самая большая цифра, которая странным образом равняется количеству единиц в каждом из множителей. Так что 111111 × 111111 = 12 345 654 321.

Может, тут действует какой-то таинственный закон? Правило, которому должен подчиняться всякий отряд единиц? Некий «топот-принцип»? Чтобы выяснить, продолжает ли работать это правило, когда числа становятся больше, вообще-то нам следовало бы считать дальше. И мы бы считали. И считали. И считали. И все равно в итоге не выяснили бы, работает ли этот принцип для самых длинных рядов единиц, которые только можно себе представить.

Так не годится. Но на это есть своя причина. Ведь мы совершенно случайно наткнулись на одно из самых захватывающих свойств царства чисел: оно не имеет пределов. Даже самый длинный ряд единиц всегда можно дополнить еще одной. Можно было бы нарисовать ряд единиц от этой книги до Луны, но приписать к ней еще одну единичку все равно проще простого. Даже если бы мы продолжили ряд единиц до границ нашей Солнечной системы, все равно к нему можно было бы добавить еще одну единицу. Даже внешняя граница космоса не смогла бы их остановить. Самого длинного ряда единиц просто не существует. Как не существует и самого длинного ряда пятерок или девяток. Вообще не существует ни самого длинного, ни самого большого числа, потому что всегда найдется число больше. А теперь самое потрясающее: существует не одно число, а бесконечное количество чисел, больших самого большого числа, которое мы можем себе представить.

Для нас это означает вот что: даже если бы мы считали бесконечно долго, мы бы все равно не узнали, справедлив ли «топот-принцип» для всех рядов единиц. Всегда бы оставался такой ряд единиц, который мы еще не проверяли. То есть тут нужно правило, которое бы охватывало все без исключения ряды единиц. Такими вещами и занимаются математики. Они не особенно интересуются частными случаями, а ищут законы, непреложные правила, справедливые для всего бесконечно большого царства чисел. Вечные правила. Правила, которым подчиняются все, абсолютно все жители страны чисел.

ГЕНИЙ СЧЕТА

Герт Миттринг, информатик и педагог из Бонна, пятикратный победитель чемпионата мира по счету, дважды внесенный в Книгу рекордов Гиннеса. Он, например, может за 13,3 секунды вычислить корень 137-й степени из 1000-значного числа. Несмотря на такую феноменальную способность к счету и коэффициент интеллекта 145, в школе Миттринг учился не особенно хорошо. Он даже иногда получал двойки по математике, а средняя оценка в аттестате у него всего 3,7.

В нашем случае жителей царства чисел можно успокоить. Никакой закон не предписывает им подчиняться «топот-принципу» каждый раз при умножении на отряд единиц. В этом можно убедиться путем перебора. Уже при ряде единиц из десяти штук принцип опасно колеблется, ведь цифра в середине не может быть больше 9. При десяти единицах в ряду результат умножения будет такой: 1111111111 × 1111111111 = 1 234 567 900 987 654 321. Отголосок «топота» еще слышен, но уже не очень четко. А если добавить еще одну единицу в ряд, «топот-принцип» окончательно исчезнет. Получится 123 456 790 120 987 654 321. Все, «топот» замолк. Прощай!

И здравствуй, Карл Фридрих Гаусс! Самое время тебе появиться! Чтобы понять, с каким удовольствием математики общаются с царством чисел, нам пора наконец познакомиться с настоящим математиком. Карл Фридрих Гаусс был не просто настоящим математиком, а одним из самых знаменитых математиков в мире. Он жил с 1777 по 1855 год в Геттингене, где в течение 48 лет преподавал в университете. С математикой у Гаусса было хорошо с раннего детства. «Считать я научился раньше, чем писать», — говорил он. А его отец вспоминал, как сын однажды указал ему на ошибку в подсчетах. А ведь малышу в ту пору было всего три года! Так что Гаусс был настоящим вундеркиндом, но таким, которого в школе замечают только на уроке математики. У его учителя, герра Бюттнера, была привычка давать своим ученикам на уроке ужасно длинные арифметические примеры. Это позволяло ему, пока дети корпят над заданиями, спокойно дремать или ковырять в носу.

НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

В царстве чисел обитают очень разные жители. Те, что лучше всего нам знакомы, называются натуральными числами. Это числа, с которыми мы знакомимся еще в детстве: 1, 2, 3, 4, 5 и так далее. К натуральным иногда относят и отрицательные числа: –1, –2, –3, –4… Они кажутся немножко странными, но в царстве чисел есть и куда более удивительные обитатели.

Однажды он задал своим ученикам сложить сто чисел. 1 + 2 + 3 + 4 + … и так далее до 100. Весь класс храбро принялся считать. 1 плюс 2 будет 3, плюс 4 — семь, плюс пять — 12… Только один мальчик не стал считать, как все: маленький Карл Фридрих, подумав пару секунд, записал на своей грифельной доске одно-единственное число и хлопнул ее на стол учителю со словами: «Вот и все!»

Учитель Бюттнер сначала протер глаза, а затем потер руки. Что такое? С чего этот малявка отважился дерзить? Он сурово взглянул на маленького Карла Фридриха, но тот только довольно улыбался в ответ. Когда закончится урок, решил герр Бюттнер, я научу маленького наглеца, как себя вести, парочкой ударов розог. Но когда в конце урока все ученики сдали свои работы, все получилось совсем не так, как представлял учитель. Он посмотрел ответы ребят, и на него напал сильнейший приступ кашля. Пока другие мучились с вычислениями и лишь немногие получили правильный ответ, Гаусс на своей доске написал одно-единственное число. Причем правильное. Что это, чудо?

Вовсе нет. Карл Фридрих Гаусс просто наглядно показал своему учителю разницу между арифметикой и математикой. Пока учитель и остальные ученики мучительно складывали все числа от 1 до 100 одно за другим, он подошел к заданию математически. Он заметил, что начальные числа образуют очень удобные пары с конечными. То есть 1 и 100, 2 и 99, 3 и 98. Если так продолжать дальше, то получится 50 пар, дающих одинаковую сумму. 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101 и так далее. Теперь осталось только умножить в уме 101 на 50 и записать правильный ответ: 5050.

Конечно, маленький Карл Фридрих Гаусс и считать отлично умел. Каждый математик умеет выполнять основные арифметические действия. Но смысл математики состоит не в вычислениях. Математика — это по большей части поиск решений и описание принципов, стоящих за теми или иными задачами. А так как эти принципы нужно описывать очень точно, математики с удовольствием пользуются формулами. Просто так удобнее. Если бы мы захотели описать идею Гаусса обычными словами, нам понадобилось бы много места. Давайте попробуем. «Для того чтобы найти сумму ряда слагаемых, начинающегося с единицы и заканчивающегося сотней, каждый последующий член которого увеличивается на один, необходимо сложить попарно эти числа — первое с последним, второе с предпоследним и так далее — и умножить полученную сумму на половину количества слагаемых в ряде…» И так далее и тому подобное. Кто это поймет? Кто сможет разобраться?

ПАСХА ПО ГАУССУ

В 325 году н. э. Никейский собор постановил праздновать Пасху в первое воскресенье после первого полнолуния после дня весеннего равноденствия. В отличие от Рождества, Пасха выпадает каждый год на разные дни (как и Масленица). Но какой день правильный? Изобретательный математик Гаусс вывел формулу, с помощью которой можно рассчитать дату Пасхи на любой год.

А посмотрите, как коротко и понятно будет выглядеть такое равенство, если записать его цифрами и математическими символами: 1 + 2 + 3 + … + 100 = (1 + 100) × . А на случай, если учителю взбредет в голову заставить складывать числа не до 100, а до 200 или до 300, можно переделать это равенство так, чтобы оно подходило для всех подобных случаев. Для этого мы просто заменим число 100 на букву n: 1 + 2 + 3 + … + n = (1 + n) × . Буква n в этом равенстве выступает в роли заместителя, ее можно заменить на любое натуральное число. Такая хитрость с заместителями чисел — гениальное изобретение, математики всего мира очень часто пользуются им. Конечно, в качестве заместителей не всегда используют именно n. Это могут быть и n, и x, и y, и a, и b — смотря по обстоятельствам. Но как бы они ни назывались, функция у них всегда одинаковая: замещать что-то другое. Они указывают на то, что уравнение справедливо не только для одного конкретного случая, а для всех подобных случаев.

Кажется, потихоньку становится понятно, почему математикам эта самая математика так нравится. С ее помощью можно сэкономить много времени. Можно удивить учителя. А как приятно бывает найти решение задачи! Занятно, но мы как раз сейчас решили одну задачу — ту, что была обозначена в заголовке этой главы: «Почему математики не умеют считать?» Ответ такой: настоящие математики вообще не считают, им лень это делать. С гораздо большим удовольствием они решают задачи. А арифметику оставляют калькуляторам.

МЕЖДУНАРОДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА

С 1959 года школьники со всего мира борются за победу в олимпиаде по математике. От каждой страны к участию в этих соревнованиях допускается шесть участников, которые за два дня должны решить шесть сложных задач. Победители, так же как и на настоящих Олимпийских играх, получают золотые, серебряные и бронзовые медали. Последняя большая математическая олимпиада состоялась в Гонконге в 2016 году. В ней приняли участие школьники более чем из восьмидесяти стран мира. Национальные отборочные турниры организуются в основном школами с математическим уклоном.

Честно говоря, следует признать, что не все математики решают задачи так легко, как маленький Карл Фридрих Гаусс. Иногда приходится действительно много трудиться. Ведь задачи бывают запутанные и сложные. Главное при решении запутанных задач — сначала установить, в чем, собственно, задача состоит; так и говорят: «Определить задачу». Определение задачи — предпосылка для того, чтобы математики всего мира могли заняться поиском ее решения. У кого появляется идея, как подступиться к решению, формулирует теорему. Она описывает решение задачи, но этого недостаточно. Потому что теорему нужно доказать. Только при наличии доказательства всякий разумно мыслящий человек принимает выдвинутую теорему.

Иначе говоря, математика похожа на игру. Только когда все игроки играют по одним всем известным правилам, игра приносит удовольствие. И действительно, математики ведут себя примерно как шахматисты. Хорошие шахматисты усердно читают книги по шахматам и анализируют партии других игроков. А чтобы победить других хороших шахматистов, они должны быть готовы к действительно трудным задачам. Они должны пробовать новые, необычные, фантастические ходы, до которых прежде никто не додумывался. Дети часто учатся такому лучше, чем взрослые. Поэтому в шахматах, так же как и в математике, встречаются настоящие вундеркинды, которые удивляют даже признанных мастеров. Например, таким вундеркиндом был тюбингенец Симон Брэндли. Уже в пятнадцать лет он посещал университетские семинары по математике и ставил в тупик своими вопросами изумленных преподавателей. В шестнадцать лет он окончил школу, а четырьмя годами позже стал кандидатом математических наук.

Кстати, у шахматистов и математиков есть еще кое-что общее: они любят выигрывать и непременно хотят быть первыми в решении задач. Решать задачи весело, но это может быть и напряженной работой. Те, кто занимаются математикой в университете, должны быть готовы и к неудачам. Ведь математическая задача может быть либо решена, либо не решена. Тут, в отличие от других наук, не действует правило «отрицательный результат — тоже результат». В математике тот, кто не решил свою задачу, ничего не добился и не может написать даже завалящую статейку. Ему приходится думать дальше. Поэтому математиков часто можно узнать по потухшему взгляду. Даже в магазине, на концерте или на вечеринке с друзьями они продолжают размышлять над своей задачей. Даже по ночам они всё думают и думают. Иногда годы, а иногда и целые десятилетия. Один из известнейших математиков мира — англичанин Эндрю Уайлс. Он родился в Кембридже в 1953 году. Когда ему было десять лет, то есть в 1963 году, он однажды вечером зашел в библиотеку своего родного города. Ему захотелось просто покопаться в книжках. Случайно ему попалась книга о знаменитом математике Ферма. Эндрю начал ее читать и наткнулся на теорему Ферма. С тех самых пор она не выходила у него из головы.

ТЕОРЕМА ФЕРМА

Французский юрист и математик-любитель Пьер де Ферма однажды написал на полях старого учебника теорему, утверждающую, что уравнение аn + bn = cn не имеет решений в целых числах при степени больше двух, т. е. например, а4 + b4 = c4. Дальше он приписал, что нашел остроумное доказательство этому, которое, к сожалению, не вмещается на поля книги. С тех пор целые поколения математиков тщетно пытались найти это доказательство.

Три века подряд умнейшие математики мира бились над доказательством теоремы Ферма, но безрезультатно. Маленький Эндрю решил заняться этой задачей. Он стал математиком и работал в лучших университетах мира — в Гарварде, в Принстоне, в Париже. И все это время он размышлял над теоремой Ферма. «Для меня это был личный вызов», — объясняет он. Только играя со своими детьми, Уайлс забывал о теореме Ферма, потому что их она совершенно не интересовала. Девятнадцатого сентября 1994 года произошло невероятное: «Совершенно неожиданно у меня случилось удивительное озарение». Этот день стал самым важным и волнующим моментом математической карьеры Уайлса. Он нашел решение — оно оказалось таким простым и элегантным, что минут двадцать Уайлс просто смотрел на свою запись, не веря глазам. Потом он пошел погулять, а вернувшись, проверил, на месте ли доказательство, и оно было там. Так, проразмышляв 31 год, Эндрю Уайлс доказал теорему, над которой математики бились триста лет.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ФЕРМА

Мы бы с радостью объяснили здесь, как именно была доказана теорема Ферма, но, к сожалению, доказательство не вмещается на поля и этой книги.

Чтобы доказать теорему, Эндрю Уайлсу не нужны были ни пробирки, ни электрический микроскоп, ни мощный телескоп. Ему понадобился только листок бумаги. Для математиков это обычное дело: они могут работать где угодно, им нужна только голова и еще, может быть, ноутбук с выходом в интернет. Этого достаточно. Поэтому студенты из бедных стран часто выбирают своей специальностью математику. Это одна из немногих современных наук, заниматься которой не стоит огромных денег.

Благодаря математическим символам математики всего мира понимают друг друга. По крайней мере теоретически. Тот, кто занимается функциональным анализом в Германии, с ходу найдет общий язык со специалистом в той же области из Пекина или Лос-Анджелеса. Но часто случается, что для немецкого ученого лекции коллеги, который работает в соседнем кабинете того же института, и его уравнения — сплошная китайская грамота. Это связано с тем, что в последние десятилетия математика очень сильно специализировалась. Наверное, последним великим математиком, способным охватить весь предмет, был немецкий ученый Давид Гильберт. Он умер в 1943 году.

Теперь мы знаем о математике гораздо больше. И, вероятно, немножко больше с ней подружились. Поэтому теперь можно отважиться на следующий шаг и задать два вопроса, на которые на уроках математики в школе почти никогда не отвечают: во-первых, почему математика работает, а во-вторых, изобрели ее или открыли?

 

Математику изобрели или открыли?

Начнем с последнего вопроса. Он звучит странно, но вполне обоснован, ведь, в конце концов, предметы изучения этой науки в природе не встречаются. Астрономы изучают звезды, медики — человеческое тело, биологи — животных и растения. Всего этого в природе предостаточно. А где, скажите на милость, в природе числа? Или прямоугольные треугольники? Или окружности? Как людям вообще пришло в голову заниматься ими?

Действительно, в мире есть люди, которые обходятся без чисел. Например, маленький южноамериканский народ пирахан. В языке этого племени, обитающего в лесах Амазонии, численность которого всего двести человек, есть слова со значением «небольшое количество», «чуть большее количество» и «много». А для конкретных числительных у пираханов обозначений нет. Несмотря на это, по данным английского лингвиста Дэниела Эверетта, они в состоянии отличить два предмета от трех, а вот когда перед ними оказываются четыре и больше предметов, начинаются серьезные затруднения.

У других племен Амазонии возникают проблемы с обозначением больших чисел. Например, в индейском языке авети существуют специальные слова для количества от одного до трех, есть возможность обозначить числа четыре («два плюс два») и пять («пальцев на руке не осталось»). Но это всё, большее количество на языке авети обозначить очень трудно. К сожалению, это приводит к некоторым неприятным для представителей племени последствиям. Например, при торговле и оплате товаров бразильскими орехами их постоянно обсчитывают. Потому что просьбы вроде «дай мне за это чуть большее количество орехов, чуть больше бананов» работают не очень хорошо.

ПЕРВЫЕ ЦИФРЫ

Возможно, первые цифры в мире были вырезаны больше десяти тысяч лет назад на костях мамонта. По крайней мере, некоторые исследователи считают странные ряды засечек на ископаемых костях мамонтов цифрами. Маленькие кружочки, цилиндрики и шайбочки, которые на Востоке складывали в закрытые глиняные сосуды, на пару тысяч лет моложе. По мнению ученых, они служили для того, чтобы сообщить получателю товара, сколько ему было отправлено коров, овец или ваз.

Так что математика и умение считать — это не то, что способность дышать или есть, которыми каждый человек обладает с рождения. Это искусство, развивавшееся в течение многих тысяч лет. Поэтому можно сказать, что математику изобрели. Неандертальцы, жившие более пятидесяти тысяч лет назад, с большой вероятностью еще не умели считать предметы и уж тем более складывать числа. Неудивительно, они ведь большую часть времени были заняты добычей пропитания и блужданиями по окрестностям. Только шесть тысяч лет назад люди стали понимать, что с помощью чисел можно сделать очень многое. Именно это понимание привело к бурному развитию культуры Месопотамии — цивилизации, находившейся между реками Тигр и Евфрат.

Жители Месопотамии — она располагалась на территории современного Ирака — уже не были кочевниками, как их предки. Они строили постоянные жилища и города. Выращивали злаки и овощи, пасли коров и овец, делали запасы и занимались торговлей. У них была собственность, которую они приумножали, обменивали и делили. А для этого им нужно было взвешивать и измерять. «Я дам тебе двух коров, а ты мне за это 12 глиняных горшков и трех толстых куриц». — «А если я тебе дам трех коров, сколько толстых куриц я получу?» Наверное, примерно так выглядели первые математические задачи.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЗАМОК

В XIII веке немецкий император Фридрих II приказал построить абсолютно симметричное здание. Замок Кастель-дель-Монте, возведенный неподалеку от города Бари на юге Италии, имеет форму правильного восьмиугольника и окружен восемью восьмиугольными башнями. Снаружи он тоже абсолютно симметричен. Историки до сих пор теряются в догадках, зачем Фридриху II понадобился настолько математически выверенный замок.

Тот, кто хотел продать что-нибудь на рынке — пряности или муку, — должен был знать, сколько товара он предлагает. Для этого торговцы пользовались небольшими камнями в качестве гирь или наполняли камнями глиняный кувшин, чтобы выяснить его объем. Так учились считать. Когда хотели расширить поле или обменять его, продавцы и покупатели для начала обходили участок по периметру, чтобы шагами измерить его длину и ширину. Перемножив одно на другое, высчитывали площадь участка. Архитекторы, собиравшиеся строить дворец или храм, должны были разбираться в геометрии. Они чертили ровные треугольники и прямоугольники, чтобы стены здания не вышли кривыми и косыми. Но лучше всех в математике разбирались астрономы. Они следили за движением звезд, вычисляя самое благоприятное время для посева, сбора урожая и поклонения богам.

Первые значительные математики, о которых нам известно, жили шесть тысяч лет назад. Это были шумеры, представители исключительно изобретательного народа Месопотамии. Именно шумеры, помимо прочего, придумали клинопись и даже колесо. Шумеры считаются первыми людьми, о чьих занятиях математикой достоверно известно. Но и в Египте уже больше пяти тысяч лет назад жили люди, умевшие считать и передававшие свои знания другим. У шумеров и египтян не только были слова, обозначающие натуральные числа, — они научились записывать их с помощью знаков на дощечках и папирусах. В раннем египетском письме число 100 000 обозначалось головастиком. Палец означал 10 000. А стебель лотоса соответствовал 1 000. Шесть стебельков лотоса обозначало 6 000.Египтяне умели проводить сложные вычисления. В одном знаменитом свитке папируса, созданном четыре с половиной тысячи лет назад писцом по имени Ахмес, были обнаружены задачи вроде такой: «Раздели сто хлебов между десятью людьми так, чтобы у троих из них оказалась двойная порция». Подобное можно встретить и в современном школьном учебнике. Шумеры и египтяне делили числа примерно таким же образом, как мы сегодня, — на десятки.

СТРАННЫЙ НОЛЬ

Первым математикам казалось странным учитывать нечто, чего вовсе не существует. Наверное, поэтому ноль в европейской системе цифр появился только в конце Средних веков. А придумали его, судя по всему, в далекой Индии. Сегодня ноль играет важную роль в системе чисел, но кое-что загадочное в нем до сих пор осталось. Например, на ноль нельзя разделить ни одно число.

 

Почему сто — это вообще-то «десятьдесят»?

То, что бесконечное количество чисел в царстве математики нужно как-то упорядочивать, люди поняли уже давно. Без разумной системы пришлось бы для каждого числа придумать собственное слово и собственный символ. И все эти слова и символы не мог бы запомнить ни один человек. Так что специальные слова и символы придумали только для нескольких чисел, а остальные стали называть, комбинируя имеющиеся названия и обозначения. Поэтому можно легко составить название любого числа, даже если вы никогда раньше о нем не слышали.

К сожалению, в течение столетий имена числам раздавали несколько небрежно. Так, например, 100 состоит из комбинации наших старых знакомых — 1 и 0. А слово для этого числа, «сто», — довольно новое изобретение. Вообще-то мы должны были бы вместо этого использовать слово «десятьдесят». Но на такое нововведение не отважились бы даже самые храбрые реформаторы орфографии. Так что придется смириться с тем, что обозначающие числа слова и символы не всегда логично соответствуют друг другу.

То, что десятка в системе чисел играет такую большую роль, неудивительно. В конце концов, каждый человек сначала учится считать на пальцах и свои первые вычисления проверяет на них же: три пальца и четыре пальца — семь пальцев; три пальца и пять пальцев — восемь пальцев. Эта маленькая компания из десяти друзей всем хорошо знакома, поэтому в большинстве языков мира первые десять чисел имеют свои особые названия и символы. А остальные получаются с помощью более или менее оригинальной их комбинации.

Числа обычно разделяли на группы по десять — это удобно. Именно поэтому сегодня в мире пользуются в основном десятичной системой счисления. Десять десятков дают сотню, десять сотен — тысячу, и так далее. Например, число 3 428 складывается в десятичной системе следующим образом: 3 тысячи (или 3 × 103), 4 сотни (или 4 × 102), 2 десятка (или 2 × 101) и 8 единиц (или 8 × 100). И все же, помимо десятичной системы счисления, существуют и другие, например шестидесятеричная, которую мы используем при счете времени, или двенадцатеричная, которая в некоторых странах применяется для мер веса и которой пользуемся мы все, считая часы в сутках. Есть даже такая система, которая обходится всего двумя символами, — двоичная система, она лежит в основе работы компьютеров.

Система цифр, которую мы сегодня учим в школе, содержит как раз десять разных символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Все остальные числа получаются путем комбинирования этих десяти знаков. Изначально эта система появилась в Индии, на Запад она попала в IX веке благодаря персидскому математику Мухаммаду ибн Мусе аль-Хорезми. Исламская культура тогда, в Средние века, намного опережала европейскую, поэтому европейские математики многое перенимали от арабских ученых. Так что хотя сейчас в Марокко и Египте используется совершенно не похожий на наш алфавит, цифры выглядят так же — и все потому что начиная с X века они получали все большее и большее распространение в Европе. В Германии в этом деле важную роль сыграл арифметик Адам Риз (которого часто ошибочно именуют Адамом Ризе). В изданной в 1550 году книге «Вычисления в строчку с помощью пера и бумаги» он настолько наглядно объяснил систему чисел, что ее поняли даже дети. Поэтому в Германии до сих пор люди, посчитав в уме, говорят что-нибудь вроде «по Ризу выходит два пятьдесят».

Из этого маленького экскурса в историю математики видно, что развитие этой науки шло не самым прямым путем. Свою лепту в него внесло много разных народов, природа и случайность тоже сыграли немаловажную роль. Если бы пальцев у человека было не десять, а одиннадцать, мы бы сейчас считали совсем по-другому. А еще мы узнали, что математика быстрее всего развивалась там, где она была остро необходима, — в высоко развитых цивилизациях Месопотамии и древнего Египта.

Итак, математика создана человеком, изобретена. Морские свинки считать не умеют, да и умеющего перемножить 4 на 3 шимпанзе еще никто не встречал. Но значит ли это, что математика работает только применительно к людям? Что на другой планете она выглядела бы совсем иначе? Что 2 + 2 на планете солнечной системы звезды Бетельгейзе будет не 4, а, например, gr?j&? Иными словами, мы подошли к вопросу о том, почему математика вообще работает. Или сформулируем по-другому:

 

Будут ли действовать ли законы математики на планете другой солнечной системы?

Самое удивительное в математике то, что, хотя она создана людьми и может выглядеть абсолютно по-разному, все-таки создается ощущение, что это нечто большее, чем просто выдуманная человеком наука. Математика представляется чем-то вроде величественно парящей надо всем мирозданием истины. При всем желании невозможно представить себе, что на другой планете 2 + 2 может равняться не 4, а чему-то другому; что 7 × 8 где-нибудь даст что-то иное, нежели 56; или что меньшая сторона треугольника при каких-нибудь иных условиях не будет лежать против его меньшего угла.

Законы математики, в отличие от биологии или химии, всегда неизменны. А еще удивительно то, что практически все на Земле можно описать с помощью цифр. Можно измерить температуру воздуха на закате, установить вес розы и даже замерить содержание соли в слезинке ребенка. И при этом царство чисел все равно кажется бесконечно далеким от этих вещей.

Пифагорейцы, союз математиков-философов, много размышляли на эту тему. Они были учениками и последователями Пифагора и почитали его как бога.

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

Как соотносятся квадраты, построенные на сторонах прямоугольного треугольника, знали уже вавилоняне за тысячу лет до Пифагора. И все-таки знаменитое равенство а2 + b2 = c2 навсегда оказалось связано с именем этого грека. Доказать эту теорему можно более чем двумя сотнями способов.

В VI веке до н. э. греческие философы много думали о быстротечности и непостоянстве бытия. Если все меняется, спрашивали они себя, если все сущее однажды исчезнет, если все люди, животные и растения умрут, то что останется? Пифагорейцы были убеждены, что останется именно математика, что она надежнее всего. Ее законы созданы для вечности. Их считали, так же как знаменитую теорему Пифагора, очевидными, неопровержимыми и совершенными. Неудивительно, что соотечественники пифагорейцев не любили. Те слыли высокомерными, приверженцами темного тайного учения, которого никто не понимал.

У современных математиков похожая участь: никто их не понимает. Правда, сейчас в приверженности тайному учению их не подозревают. Но большинство современных математиков тоже считают математику совершенной, а ее законы — справедливыми в любой солнечной системе. Давид Гильберт даже утверждал, что математики на самом деле не изобретают и не создают решения задач, не выдумывают новые законы, а открывают их. Они открывают законы, которые существуют и существовали всегда. Правда ли это — никто не знает, да это и не важно. А вот мысль о бесконечном царстве математики, которое можно исследовать при помощи одной только головы, будоражит воображение. Ведь это означает, что для задачи любой сложности в математике существует решение, надо только его найти.

Поэтому нерешенные задачи становятся настоящими вызовами для математиков. Многие из них все бы отдали, чтобы только разрешить одну из великих загадок, вроде тайны парных простых чисел. Простые числа — это такие, которые делятся только на 1 и на себя. Иногда они образуют пары, то есть между ними стоит всего одно четное число. Такую пару образуют 11 и 13 или 17 и 19. В начале числового ряда таких пар довольно много, но чем больше становятся числа, тем реже они встречаются. И все-таки такие пары находятся снова и снова. В бесконечном море чисел они как резиновые лодки в Атлантике. Правило, по которому составляются такие пары, до сих пор не найдено. И тот, кто его выведет, будет чувствовать себя так же, как Эндрю Уайлс, доказавший теорему Ферма, над которой математики бились триста лет.