Ученые Древней Греции были первыми из известных нам, кто сделал попытку тщательного исследования Вселенной: они проводили систематический сбор знаний, получаемых посредством человеческого восприятия. Те, кто начал этот рационалистический поиск понимания без участия интуиции, вдохновения, озарений или других нерациональных источников информации, называли себя «философами» (это слово в греческом языке буквально означает «любители мудрости»)

[1]

.

По направлению изучения философия могла быть направлена вовнутрь — в поисках понимания человеческого поведения, этики и морали, побуждений и ответных реакций или наружу — на исследование Вселенной, находящейся вне осязаемой оболочки человеческого разума, короче говоря на исследование «природы».

Философы, относившиеся ко второму направлению, назывались «естественными философами». И в течение многих столетий после периода расцвета Греции изучение явлений природы продолжает называться естественной философией. Более современное слово, которое мы используем вместо него, — «наука» (происходит от латинского слова, означающего «чтобы знать»), стало широко распространенным только в середине XIX столетия. И даже в наши дни самая высокая университетская степень, присвоенная за достижения в области наук, называется «доктор философии».

Слово «естественный»

(natural)

имеет латинское происхождение, таким образом, термин «естественная философия»

(natural philosophy),

который состоит наполовину из латинского и наполовину из греческого, обычно подвергался нападкам «борцов за чистоту терминологии». Греческое слово, означающее «естественный», —

hysikos.

Таким образом, то, что мы привыкли называть современной наукой, более точно может быть описано термином «физическая философия».

Термин «физика» являлся просто краткой формой термина «физическая философия», или «естественная философия», и в его оригинальном значении включал в себя всю науку.

Одним из первых явлений, которое стали рассматривать любопытные греки, было движение. На первый взгляд можно предположить, что движение является признаком жизни; в конце концов, люди и, например, кошки свободно двигаются, а камни и неживые тела — нет. Можно придать камню движение, но обычно посредством импульса, данного ему живым существом.

Однако этот первоначальный взгляд — не верен, так как имеется много примеров движения, в которые жизнь не вовлечена. Движение небесных тел или порыв ветра происходят сами по себе. Конечно, можно было бы предположить, что небесные тела передвигаются ангелами и что ветер является дыханием бога штормов, и действительно, такие объяснения были общеприняты в большинстве обществ в течение многих столетий. Греческие философы, однако, принимали только те объяснения и вовлекали в них только ту часть Вселенной, которая могла бы быть объяснена на основе явлений, поддающихся определению человеческими чувствами. Это исключило и ангелов, и штормовых богов. Кроме того, имелись и менее глобальные примеры движения. Дым костра поднимался вверх. Камень, отпущенный в воздушном пространстве, быстро падал вниз, хотя он не получал никакого импульса в этом направлении. Конечно же даже наиболее мистически настроенный индивидуум не был готов предположить, что каждый клуб дыма, каждый кусочек падающего материала содержит маленького бога или демона, заставляющего его двигаться туда или сюда.

Греческие понятия по данному вопросу были обобщены в достаточно сложной форме философом Аристотелем (384−322 до н.э.). Он утверждал, что каждая из различных фундаментальных видов материи («элементов») имеет свое собственное естественное место во Вселенной. Элемент «земля», в который были включены все окружающие нас твердые материалы, естественно, был расположен в центре Вселенной. Вся материальная, «земляная», часть Вселенной собралась там и сформировала мир, в котором мы живем. В том случае, если бы каждая часть элемента «земля» расположилась так близко к центру, насколько это возможно, Земля должна была бы принять форму сферы (это в действительности было одной линией в рассуждениях, использованных Аристотелем, для доказательства того, что земля имеет сферическую форму, а не плоскую).

Элемент «вода» располагался естественным образом относительно поверхности сферы «земли», элемент «воздух» располагался естественным образом относительно поверхности сферы «воды», и элемент «огонь» располагался естественным образом вне поверхности сферы «воздуха».

Понятно, что можно вывести любую схему строения Вселенной, но в то же время понятно, что не имеет смысла тратить время на то, что ни в коей мере не подтверждается реальностью, то есть на то, что не находит подтверждения благодаря нашим органам чувств, В данном случае наблюдения на первый взгляд поддерживают аристотелевское представление о Вселенной. Наши чувства сообщают нам, что Земля действительно находится в центре Вселенной; водное покрытие в виде океанов и морей занимает большую часть Земли; воздух простирается относительно земли и моря и в воздушных просторах даже имеются свидетельства существования сферы огня, которая проявляет себя во время штормов и гроз в виде молнии.

Я так подробно рассматриваю представление греков о движении потому, что это была физическая теория, разработанная одним из самых великих умов в истории человечества. Эта теория, казалось, объясняла так много, что она была признана большими учеными на протяжении более чем двух тысяч лет; однако в конце концов все ее положения были заменены другими теориями, которые различались с ней практически по всем пунктам.

Аристотелевское представление Вселенной казалось таким логическим и верным. Почему же тогда оно было заменено? А если было неверным, то почему так много людей в течение такого долгого времени полагали, что оно верно? И что же в конечном счете случилось такое, что заставило их изменить свое мнение относительно правильности теории строения мира «по Аристотелю»?

Метод «сомнения в любой теории» (уважаемый и установленный еще в давние времена) показывает, что из постулатов Аристотеля могут быть выдвинуты два противоречащих друг другу заключения.

Например, камень, брошенный в воду, падает более медленно, чем тот же самый камень, брошенный в воздух. Можно бы было сделать вывод, что чем тоньше материя, сквозь которую падает камень, тем быстрее он движется по пути к своему естественному месту. Но если на пути камня нет вообще никакой материи («вакуум» — от латинского слова, означающего «пустой»), то и камень будет двигаться с бесконечно большой скоростью.

Некоторые ученые отмечали этот момент, и так как они чувствовали, что бесконечная скорость была невозможна, то утверждали, что этот аргумент доказывает невозможность существования вакуума. (Поговорка, которая возникла тогда и которую мы до сих пор употребляем: «Природа не терпит пустоты» —

«Nature abhors a vacuum».)

Главной трудностью, с которой столкнулся Галилео, была проблема хронометрирования. Он не имел часов, достойных своего названия, так что был вынужден импровизировать. Например, он использовал контейнер с маленьким отверстием в основании, из которого вода капала в кастрюлю с достаточной равномерностью. Узнав вес воды, которая перетекла между двумя событиями, можно узнать затраченное время.

Конечно, данный способ не подходит для измерения времени нахождения тел в «свободном падении», то есть беспрепятственном падении вниз. Свободное падение с любой разумной высоты закончится слишком быстро, и количество воды, собранной за время падения, слишком мало, чтобы сделать даже приблизительно точные замеры времени.

Поэтому Галилео решил использовать наклонную плоскость. Гладкий шар будет катиться вниз по гладкому углублению на такой плоскости с явно более низкой скоростью, чем двигался бы в свободном полете. Кроме того, если уменьшить наклон этой плоскости к горизонтали, то шар будет катиться все менее и менее быстро; при точно горизонтальной плоскости шар не будет катиться вообще (по крайней мере, из состояния покоя). Этим методом можно замедлить скорость падения до уровня, при котором даже грубые устройства измерения времени начинают выдавать достаточно точные результаты.

Можно спросить: а может ли движение вниз по наклонной плоскости дать результаты, которые справедливо применять и для случая свободного падения? Кажется вполне разумным предположить, что может. Если что-то истинно для любого из углов, под которым находится наклонная плоскость, оно должно быть истинно и для свободного падения, поскольку свободное падение можно рассматривать как качение вниз по наклонной плоскости, максимально отклоненной по отношению к горизонтали, то есть под углом 90 градусов.

Например, можно легко видеть, что достаточно тяжелые шары различных весов катятся вниз по одной и той же наклонной плоскости с одной и той же скоростью. Это правило является истинным для любого угла к горизонтали, под которым отклонена наклонная плоскость. Если плоскость отклонить более резко, шары покатятся быстрее, но все они одинаково увеличат скорость своего движения и в конечном итоге покроют одно и то же расстояние за одно и то же время. Справедливо будет заключить, что свободно падающие тела пролетят равные расстояния за равное время независимо от их веса. Другими словами, тяжелое тело не будет падать более быстро, чем легкое тело, что не соответствует точке зрения Аристотеля.

Если мы будем измерять расстояние, пройденное телом, катящимся вниз по наклонной плоскости, мы обнаружим, что тело последовательно покрывает все большие и большие расстояния за равные временные интервалы.

То есть мы видим, что в первую секунду тело прошло расстояние в 2 фута; в следующую секунду оно прошло уже 6 футов при полном расстоянии в 8 футов; в третью секунду — 10 футов при расстоянии в 18 футов; в четвертую секунду — 14 футов при полном расстоянии в 32 фута. Ясно, что с течением времени шар катится все более и более быстро.

Это само по себе не идет вразрез с аристотелевской физикой, поскольку теория Аристотеля не говорит ничего относительно того, как изменяется со временем скорость падающего тела. Фактически это увеличение в скорости соотносится с аристотелевским представлением, поскольку можно сказать, что, так как тело приближается к своему естественному месту, его «рвение» попасть туда усиливается, что приводит к соответствующему увеличению скорости.

Однако важность метода Галилео заключается в том, что он подошел к вопросу изменения скорости не качественным, а количественным способом. Недостаточно просто сказать «скорость увеличивается со временем». Если это представляется возможным, надо сказать, насколько она увеличивается, и постараться разработать точную взаимосвязь скорости и времени.

Например, если шар проходит 2 фута за одну секунду, 8 футов за две секунды, 18 футов за три секунды и 32 фута за четыре секунды, то, казалось бы, имеется взаимосвязь между пройденным расстоянием и квадратом затраченного на его прохождение времени. Как мы видим, 2 равно 2 х 1

2

, 8 равно 2 х 2

2

, 18 равно 2 х 3

2

, и 32 равно 2 х 4

2

. Мы можем определить эти отношения, сказав, что полное расстояние, покрытое шаром, катящимся вниз по наклонной плоскости (или объектом, находящимся в свободном падении) со старта из состояния покоя, — прямо пропорционально

[5]

квадрату затраченного времени.

Как я сказал ранее, значение ускорения

(а)

шара, катящегося вниз по наклонной плоскости, изменяется в соответствии с углом наклона плоскости. Чем более крутая плоскость, тем больше значение

а.

В результате экспериментов показано, что для данной наклонной плоскости значение

а

находится в прямой пропорциональной зависимости от отношения высоты поднятого конца плоскости к длине плоскости. Если вы обозначите высоту поднятого конца плоскости как

Н,

а длину плоскости как L, то предыдущее предложение можно выразить в математических символах как

а

∞

gH/L.

Где символ ∞ означает «находится в прямой пропорциональной зависимости от».

В такой прямой пропорции значение выражения на одной стороне изменяется в точном соответствии со значением выражения на другой стороне. Если

H/L

удваивается, то удваивается и

а;

если

H/L

делится пополам, то пополам делится и

а;

если

H/L

умножают на 2,529, то и а умножается на 2,529. Такой подход предполагается прямой пропорциональностью. Но предположите, что для некоего значения

а

значение

H/L

оказывается равным одной трети

a.

Если значение

а

изменяется каким-либо способом, значение

H/L

изменяется точно таким же способом, так что оно все равно остается равным третьей части значения

а.

В этом специфическом случае

а

— в три раза больше

H/L,

причем не только для этого набора значений, а для всех значений вообще.

Общее правило таково: если один член пропорции

x

находится в прямой пропорциональной зависимости от другого члена

y,

мы всегда можем заменить знак отношения на знак равенства, введя некоторое соответствующее постоянное значение (называемое «коэффициентом пропорциональности»), на которое нужно умножить

у,

чтобы получить

х.

Обычно вначале мы не знаем точное значение коэффициента пропорциональности. Так что имеет смысл обозначить его некоторым символом. Этот символ обычно

k

(от немецкого слова

«Konstant»).

Поэтому мы можем сказать, что если

(x

~

y),

то

x

=

ky.

Нет никакой абсолютной необходимости использовать в качестве символа для коэффициента пропорциональности именно

Работы Галилео о падающих телах были систематизированы столетием позже английским ученым Исааком Ньютоном (1642–1727), который родился, как любят указывать, в год смерти Галилео.

Ньютон систематизировал свои знания в книге

«Philosophlae naturalisprincipia mathematical

(«Математические принципы естественной философии»), которая была издана в 1687 году. Книга обычно упоминается просто как

«Principia»

(«Принципы»). Аристотелевская модель физической Вселенной лежала в руинах почти сотню лет, и именно Ньютон теперь заменил ее новой, более точной и более пригодной моделью. Основу новой картины Вселенной составляют три важных научных обобщения относительно движения, которые обычно называются «три закона движения Ньютона»

[9]

.

Его первый закон движения можно выразить следующим образом:

Как вы можете видеть, этот первый закон вступает в противоречие с аристотелевским предположением о «естественном месте» вместе с его заключением, что естественным состоянием объекта является состояние покоя на его естественном месте.

Термин «сила» происходит от латинского слова, обозначающего «силу», и мы знаем его обычное значение, когда говорим о «силе обстоятельств», «силе аргументов» или «военной силе». В физике, однако, сила определена ньютоновскими законами движения. Сила — то, при приложении чего может произойти изменение скорости движения материального тела.

Мы ощущаем такие силы обычно (но не всегда) как мускульные усилия. Мы сознаем, кроме того, что они могут быть приложены в определенных направлениях. Например, мы можем приложить силу к объекту, находящемуся в состоянии покоя, таким образом, чтобы заставить его двигаться от нас. Или мы можем приложить подобную же силу таким способом, чтобы заставить его двигаться к нам. Когда направления приложения силы ясно видны, в обычной разговорной речи мы даем таким силам два отдельных названия. Сила, направленная непосредственно от нас, — толчок; направленная непосредственно к нам — рывок. По этой причине сила иногда определяется как «толчок или рывок», но это не является определением, а только сообщает нам, что данная сила является одним или другим видом силы.

Величина, которая обладает и размером и направлением, как сила, называется «векторной величиной» или просто — «вектором». Та же величина, которая имеет только размер, называется «скалярной величиной». Например, с расстоянием обычно обращаются как со скалярной величиной. Можно сказать, что автомобиль прошел расстояние в 15 миль — при этом не учитывается направление, в котором он путешествовал.

С другой стороны, при некоторых обстоятельствах важное значение имеет объединить направление с расстоянием. Если город B находится на 15 миль к северу от города A, то недостаточно направить автомобилиста, указав расстояние в 15 миль, чтобы он мог достигнуть города В. Необходимо определить направление движения. Если он поедет 15 миль на север, он туда доберется, если же он проедет те же 15 миль на восток (или в любом другом направлении, кроме северного), он туда не попадет. Если мы назовем комбинацию размера пройденного расстояния и направления движения «перемещением», то можно сказать, что перемещение — векторная величина (или просто — вектор).

Важность понимания различий между векторами и скалярами состоит в том, что эти два вида величин управляются по-разному. Например, при сложении скаляров достаточно использовать обычное правило сложения, преподаваемое в начальной школе. Если вы путешествуете 15 миль в одном направлении, потом — 15 миль в другом направлении, полное расстояние, пройденное вами, равно 15 плюс 15, или 30 милям. Безотносительно направления полное расстояние равно 30 миль. Если вы перемещаетесь на 15 миль на север, потом — еще на 15 миль на север, то полное перемещение составляет: север — 30 миль. Предположим, однако, что вы путешествуете 15 миль на север, а потом 15 миль на восток. Чему же тогда равно ваше полное перемещение? Как далеко, другими словами, находитесь вы от своей отправной точки? Полное расстояние, которое вы прошли, — по-прежнему те же 30 миль, но ваше окончательное перемещение: северо-восток — 21,2 мили. Если вы путешествуете на север на 15 миль, а затем на юг на 15 миль, расстояние, которое вы прошли, — по-прежнему те же 30 миль, но ваше окончательное перемещение составляет 0 миль, поскольку вы вернулись назад к вашей отправной точке.

Первый закон Ньютона объясняет концепцию силы, но, чтобы позволить нам измерить величину силы, необходимо еще что-то. Если мы определяем силу как то, что порождает ускорение, казалось бы логичным измерить размер силы размером ускорения, которое ее вызывает. Это имеет смысл, когда мы ограничиваем себя рассмотрением одного специфического тела, например баскетбольного мяча. Если мы толкаем баскетбольный мяч по земле с постоянной силой, он перемещается все быстрее и после десяти секунд такого перемещения развивает скорость, например, 2 м/с. Его ускорение — 2 м/с поделить на 10 секунд — 0,2 м/с

2

. Но если вы опять начнете с нуля и будете толкать мяч не так сильно, то после десяти секунд баскетбольный мяч будет перемешаться со скоростью только 1 м/с и поэтому подвергнется ускорению, равному только лишь 0,1 м/с

2

. Так как в первом случае ускорение в два раза больше, чем во втором, кажется справедливым предположить, что и сила в первом случае была в два раза больше, чем во втором.

Но если бы вы попробовали применить те же самые силы к твердому пушечному ядру вместо баскетбольного мяча, то обнаружили бы, что пушечное ядро не будет подвержено таким же ускорениям, как указаны выше. Потребуется применить гораздо большую силу для того, чтобы вообще заставить пушечное ядро двигаться.

Опять же, когда баскетбольный мяч катится со скоростью 2 м/с, вы можете достаточно легко его остановить. Изменение скорости с 2 м/с до 0 м/с требует приложения силы, и вы вполне можете создать достаточную силу, чтобы остановить баскетбольный мяч. Или вы можете пнуть баскетбольный мяч во время его движения и таким образом заставить его изменить направление движения. Пушечное же ядро, перемещающееся со скоростью в 2 м/с, однако, может быть остановлено только приложением очень большого усилия, и, если пнуть его во время движения, это изменит его направление весьма незначительно (а вы отобьете ногу).

Пушечное ядро, другими словами, ведет себя так, как если бы оно обладало большим количеством инерции, чем баскетбольный мяч, и поэтому требует соответственно большего количества силы для получения заданного ускорения. Ньютон использовал термин «масса», чтобы указать величину инерции, которой обладает тело. Таким образом, его второй закон движения гласит: «Ускорение, полученное в результате действия какой-либо силы, действующей на тело, — прямо пропорционально величине этой силы и обратно пропорционально массе тела».

Как я уже объяснил, когда x считают прямо пропорциональным к

Чтобы существовать, сила должна происходить от чего-либо и быть приложена к чему-нибудь. Очевидно, что-то не может быть сдвинуто с места, если другое что-то не подталкивает его. Также должно быть очевидно, что что-то не может подталкивать, если не существует самого предмета подталкивания. Попробуйте представить себе, что вы тянете или толкаете вакуум.

Значит, два тела соединяет сила, и соответственно возникает вопрос: какое же из тел является толкающим, а какое подталкиваемым? Если в процесс вовлечен некий живой организм, мы привыкли думать о нем как об источнике происхождения силы. Мы думаем о себе как о толкающем пушечное ядро, а о лошади — как о том, кто тянет фургон, а не наоборот: о пушечном ядре, толкающем нас, и о фургоне, тянущем лошадь.

В случае же, если рассматриваются два неодушевленных объекта, мы не можем быть настолько уверенными. Стальной шар, падающий на мраморный пол, собирается толкнуть этот пол в момент удара, то есть приложить к нему силу. С другой стороны, в тот момент, когда стальной шар ударяется об пол, пол начинает прикладывать силу по отношению к шару. Принимая во внимание, что сила, которую прикладывает шар, направлена вниз на пол, понятно, что сила, которую прикладывает пол, должна быть направлена вверх на шар.

В этом и во многих других подобных случаях, как мы видим, имеются две силы, равные по величине и противоположные по направлению.

Ньютон сделал обобщение, что такое явление существует всегда и обязательно и истинно во всех случаях. Он отобразил это в своем третьем законе движения. Часто этот закон формулируют в краткой форме: «Для каждого действия имеется равное противодействие». По этой причине третий закон Ньютона иногда упоминается как «закон действия и противодействия».

Еще будучи двадцатилетним, Ньютон обратил внимание на очень важный и глубокий вопрос. Законы движения применимы только к Земле или они справедливы и для небесных тел? Наблюдая на ферме матери падение яблока с дерева

[15]

, он стал задаваться вопросом, действуют ли на Луну те же силы, что и на яблоко.

На первый взгляд могло бы показаться, что Луна не может быть во власти той же самой силы, что и яблоко, поскольку яблоко упало на Землю, а Луна этого не делает. Конечно, если бы одна и та же самая сила была приложена к обоим этим объектам, то она вызвала бы одно и то же ускорение, и они бы оба упали. Однако это — упрощение. Что, если Луна действительно находится во власти той же самой силы, что и яблоко, и поэтому перемещается вниз к Земле; но, кроме того, что, если Луна также подвержена второму движению? Что, если комбинацией этих двух движений является такое, которое заставляет Луну кружиться над Землей и никогда не падать на нее?

Это понятие полного движения, составленного из двух или более движений в различных направлениях, было весьма нелегким для восприятия концепцией для ученых того времени. Когда Николай Коперник (1473–1543) предположил, что Земля вращается вокруг Солнца (а не наоборот), некоторые из наиболее ярых возражений были те, что, если Земля вращается на своей оси и (что еще хуже) перемещается в пространстве в своем вращении вокруг Солнца, на поверхности Земли невозможно будет находиться чему-либо подвижному. Любой, кто подпрыгнул бы в воздух, опустился бы на много ярдов дальше, так как земля под ним передвигалась бы в то время, как он был в воздухе. Спорящие таким образом были настолько уверены в очевидности своих аргументов, что даже не принимали никаких возражений.

Те, кто принимал коперниковское понятие о движении Земли, должны были доказать, что для объекта действительно возможно обладать двумя движениями сразу: то есть что прыгающий человек во время перемещения вверх и вниз может также двигаться вместе с поворачивающейся Землей и поэтому опускается на то же самое место, с которого он прыгал вверх.

Галилео показал, что объект, брошенный вниз с верхушки мачты двигающегося судна, упал в точку у основания мачты. Судно не «выехало» из-под падающего объекта, и он не упал в море. Следовательно, падающий объект, в то время как он перемещался вниз, должно быть, также участвовал и в горизонтальном движении судна. На практике Галилео не пробовал выполнить описанное выше, он предложил то, что сегодня мы называем «мысленный эксперимент». Но даже при том, что данный эксперимент был предложен только в мысленной форме, он был крайне убедительным; суда плавали по морям в течение тысяч лет, и множество предметов, должно быть, было сброшено с верхушек мачт в течение всех этих лет, и все же ни один моряк никогда не сообщал о том, что судно выплыло из-под падающего предмета. (И конечно, в наше время мы можем щелкать монетами о край бьющей струи и ловить их, поскольку они снижаются, без того, чтобы переместить нашу руку. Монета участвует в движении струи, а также — в перемещении вверх и вниз.)

Теперь позвольте нам вернуться к Луне. Относительно Земли она двигается по эллиптической орбите. Однако эллипс, который она описывает в своем вращении вокруг Земли, очень близок по форме к кругу. Луна путешествует по этой орбите со скоростью, которая близка к постоянной.

Хотя линейная скорость Луны почти постоянна, ее векторная скорость, конечно, — нет. Так как Луна перемещается по кривой, направление ее движения в каждый данный момент времени изменяется, и поэтому ее векторная скорость изменяется тоже. Если мы говорим, что векторная скорость Луны непрерывно изменяется, то, конечно, должны сказать, что она подвергается постоянному ускорению.

Если же мы рассматриваем Луну как перемещающуюся с постоянной скоростью по равномерно круговому пути (что является, по крайней мере приблизительно, истинным), то мы можем сказать, что в каждую последовательную единицу времени направление ее движения изменяется на одну и ту же величину. Поэтому она испытывает постоянное ускорение и, согласно второму закону движения Ньютона, должна быть подчинена воздействию постоянной силы. Поскольку изменение в направлении движения всегда направлено к Земле, то ускорение и соответственно сила тоже должны быть направлены к Земле.

Конечно, если имеется сила, притягивающая Луну к Земле, это может быть та же хорошо известная сила, которая притягивает яблоко к земле. Однако, если это было бы так и Луна испытывала бы постоянное ускорение, направленное к Земле при наличии постоянной силы, почему же она не падает на Землю, как делает яблоко?

Чтобы понять, почему этого не происходит, мы должны разложить движение Луны на две составляющие движения, находящиеся под прямым углом друг к другу. Одна из составляющих направлена как стрелка, указывающая на Землю, по радиусу круговой орбиты Луны. Она представляет собой движение в ответ на силу, притягивающую Луну к Земле. Другая составляющая направлена под прямым углом к первой и, таким образом, представляет собой касательную к кругу орбиты Луны. И Луна бы двигалась по касательному движению, если бы не имелось никакой силы, притягивающей ее к Земле. Фактическое же движение лежит между этими двумя составляющими. Луна, другими словами, всегда падает на Землю, но в то же самое время также «отступает в сторону».

Ньютон открыл обобщение, что любые два тела во Вселенной притягивают друг друга с силой (f), которая прямо пропорциональна произведению масс

(m

и

m)

тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния

(d)

между ними. Чтобы преобразовать пропорцию в равенство, конечно, необходимо подставить константу. Упомянутая в данном случае константа обычно называется «гравитационной постоянной» и обозначается символом

G.

Таким образом, ньютоновский закон всемирного тяготения может быть выражен как:

Проблемой, которую Ньютон оставил нерешенной, было значение

G.

Чтобы понять, почему проблема не была решена, давайте рассмотрим известный случай падения яблока и попробуем заменить значения в уравнении 4.1 единицами измерения в системе МКС. Мы знаем значение расстояния от яблока до центра Земли и можем установить

d;

оно равно 6 370 000 метрам. Имеются различные пути измерения массы яблока, но мы можем установить его, например, в 0,1 килограмма. Что касается величины силы тяготения

(F)

между яблоком и Землей, то она равна (см. уравнение 3.3), согласно ньютоновскому второму закону движения, произведению массы яблока на ускорение, которому оно подверглось под воздействием силы тяжести. Таким образом, значение Нравно — 0,1 кг умножить на 9,8 м/с

2

, или 0,98 кг∙м/с

2

.

Однако тут мы видим еще два неопределенных значения:

G —

гравитационная постоянная и m — масса Земли. Если бы мы знали любое из них, то могли бы сразу вычислить другое, но Ньютон не знал, так же как и кто-либо другой в его время.

Определяя значение

G,

Кавендиш в действительности определил массу Земли. По этой причине о Кавендише часто говорят как о «том, кто взвесил Землю», но на самом деле он сделал совсем не это.

В обычном языке слова «вес» и «масса» часто имеют одно и то же значение, а о теле часто говорят как о «тяжелом» или «массивном»; даже физики иногда попадают в эту западню. Однако рассмотрим, что такое вес. Вес тела — это сила, с которой тело притягивается к земле. Повторяю, вес — это сила, и единицы измерения он имеет как у силы!

Простой путь измерения веса объекта состоит в том, чтобы подвесить его на кольцевую пружину. В соответствии с законом Гука сила, с которой тело притягивается к Земле, будет растягивать пружину; величина же растяжения (или деформации) пропорциональна силе растяжения (или нагрузке). Именно по этому принципу устроены для измерения веса приборы такого типа — пружинные весы.

Масса тела, с другой стороны, является количеством инерции, которой оно обладает. Согласно второму закону Ньютона,

m = f/a,

то есть это — сила, разделенная на ускорение. Вес, который является силой, должен в соответствии с тем же самым законом быть массой, умноженной на ускорение. В случае веса, который является силой воздействия поля тяготения Земли на тело, рассматриваемое ускорение, естественно, является тем, что произведено полем тяготения земли.

Вес тела

(w),

другими словами, равен массе

(m)

этого тела, умноженной на ускорение свободного падения (g), возникшее благодаря земной гравитации (то есть — силе притяжения Земли):

Естественно, мелкие изменения в значениях

g

становятся все большими по мере удаления тела от центра Земли. Дальнейшее усложнение ситуации представляет собой то, что при удалении тела на большое расстояние от Земли мы можем приблизить его к некоторому другому значительному скоплению массы. Такая ситуация возникает в первую очередь в связи с Луной и имеет очень важное значение, поскольку искусственные объекты уже приземлились там, а живые люди могут встать на поверхность Луны в ближайшие несколько лет

[21]

.

Объект на поверхности Луны все еще находится в пределах поля тяготения Земли, которое простирается не только на Луну, но и в принципе на всю Вселенную. Однако Луна также имеет собственное поле тяготения. Это поле намного слабее, чем земное, поскольку Луна намного менее массивна, чем Земля, а объект на поверхности Луны находится намного ближе к центру Луны, чем к центру Земли; гравитационное притяжение Луны поэтому гораздо сильнее, чем таковое у отдаленной Земли, и человек, стоящий на поверхности Луны, будет ощущать только ее притяжение.

Но Луна притягивает к своей поверхности объект отнюдь не с той же силой, как это делает Земля. Чтобы увидеть разницу между этими двумя силами, обратимся назад, к уравнению 4.1, которое утверждает, что

F

=

Gmm’/d 2 .

Эта F представляет собой интенсивность притяжения Земли, с которым она воздействует на объект на ее поверхности. Притяжение Луны, с которым она воздействует на объект на ее поверхности, мы можем обозначить

F m .

Далее, объект имеет одну и ту же массу независимо от того, находится ли он на поверхности Земли или на поверхности Луны, так что

m

остается неизменным. Значение

G

также неизменно, поскольку оно является константой повсюду во Вселенной. Масса Луны, однако, как известно, является

1

/

81

массы (m’) Земли. Масса Луны, следовательно, равна

m’/81.

Расстояние от поверхности Луны до ее центра — 1737 км, или примерно

3

/

11

, расстояния от поверхности Земли до ее центра, равного 6370 км (d). Следовательно, мы можем выразить расстояние от поверхности Луны до ее центра как

Теперь подставим эти значения в уравнение 4.1, используя массу и радиус Луны, и мы получим уравнение, которое выражает значение силы притяжения Луны для объекта, находящегося на ее поверхности. Итак, это:

По мере того как объект падает на землю со все большей и большей высоты, время, которое требуется объекту, чтобы достичь ее, увеличивается, а объект приближается к земле со все более и более высокой скоростью. Если мы воспользуемся уравнениями 2.1 и 2.2, подставив в этих уравнениях значение

a,

равное 9,8 м/с

2

(ускорение свободного падения), то можем сделать некоторые легкие вычисления. Тело, упавшее с высоты 4,9 метра, ударится о землю через одну секунду и будет перемешаться в момент соударения со скоростью 9,8 м/с. Если отпустить тело с высоты 19,6 метра, оно ударилось бы о землю через две секунды, а скорость его была бы соответственно 19,6 м/с. Если отпустить тело с высоты 44,1 метра, оно ударилось бы о землю через три секунды, перемещаясь в момент контакта с землей со скоростью 29,4 м/с.

Казалось бы, что если вы бы только могли поднять объект на достаточно большую высоту, то достигли бы такой высокой скорости соударения, какой вам захотелось. Конечно, это кажется верным, но только в том случае, если значение достается одним и тем же для любых высот.

Но значение

g

не является константой; оно уменьшается с высотой. Значение

g

изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от объекта до центра Земли. Точка подъема в 6370 километрах над поверхностью Земли будет на самом деле на высоте 12 740 километров от Земли, поскольку мы рассчитываем расстояние до центра — в два раза дальше от центра, чем от поверхности. А значение

g

на такой высоте равно всего лишь

1

/

4

того, каким оно является на поверхности.

Объект, падающий из состояния покоя, с высоты 6370 километров над поверхностью Земли, в первую секунду разовьет скорость, равную лишь 2,45 м/с, вместо 9,8 м/с, которых он достиг бы после одной секунды падения в непосредственной близости от поверхности Земли.

Но поскольку тело продолжает падать и приближаться к Земле, значение

g,

конечно, постоянно возрастает и в конце падения достигает 9,8 м/с

2

. Однако падающее тело не ударилось бы о поверхность Земли со столь же высокой скоростью соударения, как оно бы сделало, если бы значение